Função algébrica

1. FUNÇÃO ALGÉBRICA Professora: Cristiane Borges

2. FUNÇÃO ALGÉBRICA Definição : É uma função obtida por um número finito de operações algébricas sobre a função identidade e a constante. Essa operações algébricas incluem adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação. As funções polinomiais e racionais são tipos especiais das algébricas, um exemplo desta são:

3. Função Constante Uma função cuja imagem consiste de um único número é chamada de função constante. Assim, se f ( x )= c e se c for um número real qualquer, então f será uma função constante e seu gráfico será uma reta paralela ao eixo x , a uma distancia de c unidades desse eixo.

4. Função Identidade É uma função definida por f(x)=x. Seu gráfico é uma reta que divide ao meio o primeiro e terceiro quadrante.

5. Toda função P(x) = a n x n + a n -1 x n-1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a  é considerada uma função polinomial .Exemplo: f ( x )=5 x 5−6 x +7. Uma função racional , y = f(x) , é uma função que pode ser expressa como uma razão (quociente) de dois polinômios P(x) e Q(x).

6. FUNÇÃO ALGÉBRICA DO 1º GRAU

7. Definição: Chama-se função polinomial do 1º grau (Função linear) a qualquer função f dada por uma lei da forma f(x)= ax + b. Na função f(x)= ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e b é um termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x)= 5x- 3, onde a=5 e b=-3. f(x)= -2x- 7, onde a=-2 e b=-7. Gráfico O gráfico de uma função do 1º grau, y= ax + b é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy .

8. Exemplo : Vamos construir o gráfico da função f(x)= -x+ 4. Para x=0, temos y= -0+ 4= 4,portanto o ponto é (0,4). Para y=0, temos 0= -x+ 4, x=4, portanto o ponto é (4,0). Marcamos os pontos (0,4) e (4,0) no plano cartesiano e ligamos por uma reta.

9. APLICAÇÕES DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine: A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; Calcule o custo de produção de 400 peças. 2) Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros?

10. RESOLUÇÃO: 1) f(x) = 1,5x + 16 b) f(x) = 1,5x + 16 f(400) = 1,5*400 + 16 f(400) = 600 + 16 f(400) = 616 O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00. 2) f(x) = 0,9x + 4,5 f(22) = 0,9*22 + 4,5 f(22) = 19,8 + 4,5 f(22) = 24,3 O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30.

11. FUNÇÃO ALGÉBRICA DO 2º GRAU

12. Definição: Uma função polinomial do 2º grau ou função quádratica é definida por f(x)= ax² + bx + c. O gráfico da função quadrática é apresentado abaixo é a forma de U caraterística é chamada de parábola. Toda parábola é simétrica em relação a um eixo que chamamos de eixo de simetria ou simplesmente eixo da parábola. O ponto onde a parábola intercepta o eixo é conhecido como vértice.

13. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y= x² + x. Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. se   a > 0 , a parábola tem a concavidade voltada para cima ; se   a < 0 , a parábola tem a concavidade voltada para baixo ;   x y -3 6 -2 2 -1 -1/2 -1/4 1 2 2 6

14. Obs : As raízes de f(x)= ax² + bx + c são obtidas através da Fórmula de Bhaskara .

15. Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) = 2x 2 – 4x + 6. Solução: Analisando a função f(x) = 2x 2 – 4x + 6, obtemos: a= 2, b= -4 e c= 6. Seque que:

16. EXERCÍOS DE APLICAÇÃO

17. Exercício : Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x 2 + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros. Solução: Como a parábola possui equação y = – 9x 2 + 90x, podemos constatar que sua concavidade está voltada para baixo e que a altura máxima atingida pela bala de canhão corresponde à coordenada y do vértice, uma vez que o vértice é ponto maximo absoluto. Assim, para determinar a altura máxima atingida pela bala do canhão, basta determinar o valor y do vértice. Temos que: a = – 9, b = 90 e c = 0. Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros como mostra o cálculo abaixo. po

18. Exercício 1 : A empresa de telefonia celular OLA oferece um serviço de plano mensal para seus clientes com as seguintes características: Para um total de ligações de até 50 minutos o cliente paga o valor fixo de R$40 reais. Se os minutos forem excedidos, cada minuto de excesso será cobrado pelo valor de R$ 1,50 (além dos R$ 40,00 fixo). Determine o valor pago por um cliente que utilizou o celular por 74 minutos em um mês. Exercício 2: Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.

19. Exercício 3 : Construa o gráfico das seguintes funções: a) f(x)= x + 2 b) f(x)= -2x + 3 c) f(x)= - x² + 10x - 14 Exercício 4 : Uma função do 2º grau nos dá sempre: Uma reta Uma hipérbole Uma parábola Uma elipse Exercício 5 : Um projétil é lançado verticalmente, para cima e sua trajetória é uma curva de equação   s = - 40 t 2 + 200t , onde s é o espaço percorrido, em metros, em t segundos. Encontre a  altura máxima atingida por esse projétil, em metros.