función constante

matematicas

1. FUNCIÓN CONSTANTE Y FUNCIÓN LINEAL.
Función constante.
La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable
independiente ( x ), la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir, permanece
constante.
Sea ( )f x c=. El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el
contradominio es únicamente el real c.
Ejemplo 1.
La función f(x) = 4 es una función constante porque independientemente del valor de
x el valor de la función siempre es 4.
Otra manera de representar una función es por medio de una lista de parejas ordenadas de
la forma ( x, f(x)) frecuentemente en una tabla.
Ejemplo 2.
La función f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:
x f(x)
-1 3
0 3
1 3
2 3
1.5 3
5
2
3
La gráfica de esta función para los valores de x entre -3 y 3 es:

2. -2
-1
0
1
2
3
4
5
-3-2-10123
Ejemplo 3.
Sea la función f(x)=-2 , encontrar su representación tabular y gráfica.
x f(x)
-3 -2
-1.75 -2
-1 -2
0 -2
1 -2
2.99 -2
-3
-2
-1
0
1
2
-3-2-10123
Una función constante f(x) = c :
·tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x,
·tiene como gráfica una línea horizontal,
·nunca cruza el eje x, excepto cuando f(x) = 0,
·cruza una sola vez el eje y en el punto (0, c),
·es aquella en que el exponente máximo de la x es cero,
Nota. Dado que
0
1x=
, entonces
()
0
4 4(1) 4f x x= = =
.

3. Función lineal.
La función lineal es aquella que siempre crece ( o decrece ) “lo mismo”. Esto es, para
dos intervalos de la misma magnitud de la variable independiente ( x ), los cambios
correspondientes en la variable dependiente ( f(x) ) son iguales.
La ecuación que representa una función lineal es de la forma ( )f x mx b= + , que
también se puede escribir 0Ax By C+ + = .
El dominio de las funciones lineales es el conjunto de todos los reales ¡, y el
contradominio es también el conjunto de todos los reales ¡.
Ejemplo 4.
Sea la ecuación ( ) 2 1f x x= -. Su representación tabular es:
Consideremos dos intervalos de la misma magnitud en la variable independiente, de x1 =
-1 a x2 = 1, y de x3 = 2 a x4 = 4. Los cambios correspondientes en la variable
dependiente son iguales:
(1) ( 1) 1 ( 3) 4
(4) (2) 7 3 4
f f
f f
- - = - - =
- = - =
como se muestra en la siguiente tabla
xD x f(x) ()f xD
2 1
2x x- =
-1 -3
2 1
( ) ( ) 4f x f x- =
1 1
4 3
2x x- =
2 3
4 3
( ) ( ) 4f x f x- =
4 7
La representación gráfica de la función es la siguiente:
x f(x)
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
4 7

4. Observe que la tangente de a, esto es la tangente del ángulo de inclinación de la recta, se
puede calcular como
. ( ) 4
tan 2
. 2
cat opuestof x
cat adyacente x
a
D
= = = =
D
a este valor se le denomina pendiente de la recta y frecuentemente se representa por la
letra m, que es una medida de la inclinación de la recta. Nótese que esta constante
aparece como coeficiente de la variable x en la ecuación ( ) 2 1f x x= -.
Cuando x = 0 , ( 0) 1f x= = -, como se ve en la representación tabular; este par
ordenado ( 0, -1 ) es el punto de intersección de la recta con el eje y . Al valor de y
cuando x = 0 se le denomina ordenada al origen y frecuentemente se representa por la
letra b, que es la distancia de la intersección de la recta al origen. Nótese que esta
constante aparece como término independiente en la ecuación ( ) 2 1f x x= -.
Sea ( )f x mx b= + una función lineal, al coeficiente de la x se le llama pendiente (m), y
al término independiente se le llama ordena al origen (b) y es la intersección con el eje y.

Ejemplo 5.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 0 1 2 3 4
a

5. En la siguiente gráfica la ordenada al origen b = 2 está indicada con un punto azul.
Analizando la figura, si partiendo del punto azul me muevo 2 unidades a la derecha y 3
unidades hacia arriba, vuelvo a quedar en un punto sobre la recta. La pendiente
2 1
2 1
( ) 3
2
y y y f x
m
x x x x
- D D
= = = =
- D D
es la razón, o cociente, entre el cambio en y y el cambio en x.
Dado que la ecuación general de la recta es
( )f x mx b= +
Entonces la ecuación de la recta graficada es
()
3
2
2
f x x= +
Se dice que una función es creciente en un intervalo si para toda
2 1
x x> dentro del
intervalo,
2 1
( ) ( )f x f x>
Es decreciente si para toda
2 1
x x> dentro del intervalo,
2 1
( ) ( )f x f x<
En el caso de las funciones lineales, éstas son crecientes cuando la pendiente es positiva y
decrecientes cuando la pendiente es negativa.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 0 1 2 3

6. Ejemplo 6.
Sean los puntos A (3,2) y B (4,5) encontrar la ecuación de la recta que los une.
La pendiente de la recta es:
5 2 3
3
4 3 1
m
-
= = =
-
Dado que la pendiente es positiva, la función es creciente.
Recordando que ( )f x mx b= + , entonces, ( )f x mx b- = . Así, sustituyendo las
coordenadas ( , ( ))x f x de cualquiera de los dos puntos y el valor de m se obtiene la
ordenada al origen.
()
()()5 3 4 5 12 7
b f x mx
b
= -
= - = - = -
La ecuación que describe dicha recta es ( ) 3 7f x x= -.
Ejemplo 7.
La recta que pasa por el punto A(2,1), y que tiene una pendiente de m = -5, tiene la
siguiente ecuación:
()
()
( )()
()
1 5 2 1 10 11
5 11
f x mx b
b f x mx
b
f x x
= +
= -
= - - = + =
= - +
y su gráfica se muestra en la figura.

7. - 2 0
- 10
0
10
2 0
3 0
4 0
- 5- 4- 3- 2- 10 1 2 3 4 5
Como la pendiente es negativa la función es decreciente.
Se puede ver que las gráficas de todas las funciones lineales cruzan una sola vez el eje x
en el punto de coordenadas ( x, 0 ) denominado intersección con el eje x o raíz.
Para encontrar este punto, se sustituye ( ) 0f x= y despejamos x.
0 5 11
11
5
x
x
= - +
=
Entonces esta recta cruza al eje x en el punto
11
, 0
5
æ ö
ç ÷
è ø
y al eje y en (0, 11).
Una función lineal ( )f x mx b= +
·es aquella en que el exponente máximo de la x es uno,
·tiene como gráfica una línea recta,
·cruza una vez el eje x, cuando f(x) = 0,
·cruza una vez el eje y en el punto (0, b),
·la función es creciente cuando la pendiente es positiva y decreciente cuando es
negativa.