Función Cuadrática.

Función Cuadrática: sus características y elementos que la identifican. Raíces. Eje de simetría. Vértice. Concavidad. Estudio de la función.

1. Dolz, Pablo Joaquín.Dolz, Pablo Joaquín.
I.S.F.D Nº 107, Cañuelas.I.S.F.D Nº 107, Cañuelas.
Bs. As. Argentina.Bs. As. Argentina.
Año 2011.Año 2011.

2. Función cuadráticaFunción cuadrática
Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas
disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología, disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología,
Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con
aceleración constante, trayectorias de proyectiles, aceleración constante, trayectorias de proyectiles,
ganancias y costos de empresa, variación de la población ganancias y costos de empresa, variación de la población
de una determinada especie que responde a este tipo de de una determinada especie que responde a este tipo de
función, y obtener así información sin necesidad de función, y obtener así información sin necesidad de
recurrir a la experimentación.recurrir a la experimentación.
Además de características geométricas de la parábola Además de características geométricas de la parábola
son tales que tienen otras aplicaciones, tales como los son tales que tienen otras aplicaciones, tales como los
espejos parabólicos en los faros de los coches y en los espejos parabólicos en los faros de los coches y en los
telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para
radioastronomía y televisión por satélite presentan radioastronomía y televisión por satélite presentan
también este tipo de diseño.también este tipo de diseño.

3. CaracterísticasCaracterísticas
 Una función de la forma Una función de la forma f (x) = a x ² + b x + c f (x) = a x ² + b x + c con con aa, , bb y y c c
pertenecientes a los reales y pertenecientes a los reales y aa distinto de distinto de 0 0, es una función cuadrática y su , es una función cuadrática y su
gráfico es una curva llamada parábola.gráfico es una curva llamada parábola.
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman: En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la
función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es
incompleta. incompleta.

4. Ciertos elementos que la identificanCiertos elementos que la identifican

5. RaícesRaíces
Las Las raícesraíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x x para para
los cuales la expresión vale los cuales la expresión vale 00, es decir los valores de , es decir los valores de xx tales que tales que y = 0y = 0. .
Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola
corta al ejecorta al eje x x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan . Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan
al eje al eje x x en: en:
Ninguna raízUna raízDos raíces

6. Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos
f(x) = 0f(x) = 0, entonces , entonces ax² + bx +c = 0ax² + bx +c = 0
Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:Para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

Al resultado de la cuenta Al resultado de la cuenta bb²² - 4ac - 4ac se lo llama se lo llama discriminante de la ecuacióndiscriminante de la ecuación,,
esta operación presenta distintas posibilidades: esta operación presenta distintas posibilidades:
Si Si bb²² - 4ac > 0 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles. tenemos dos soluciones posibles.
Si Si bb²² - 4ac = 0 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación
tiene una sola solución real.tiene una sola solución real.
Si Si b b²² - 4ac < 0 - 4ac < 0 la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no
tendrá solución real.tendrá solución real.

7. SimetríaSimetría
La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si
conocemos dos puntos del gráfico conocemos dos puntos del gráfico (x1, p)(x1, p) y y (x2, p),(x2, p), el eje de simetría el eje de simetría
pasará por el punto medio entre estos, o sea pasará por el punto medio entre estos, o sea
VérticeVértice
El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría.El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría.
Conocida la coordenada Conocida la coordenada xx de un punto, su correspondiente coordenada de un punto, su correspondiente coordenada yy se se
calcula reemplazando el valor de calcula reemplazando el valor de x x en la expresión de la función.en la expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo
a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba.a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba.
El vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la El vértice se puede calcular utilizando los coeficientes de la función de la
siguiente manera: siguiente manera:

8. ConcavidadConcavidad
Para identificar qué tipo de concavidad tendrá la función cuadrática, basta con Para identificar qué tipo de concavidad tendrá la función cuadrática, basta con
observar el coeficiente del primer término (observar el coeficiente del primer término (aa), es decir el término que tiene ), es decir el término que tiene
la variable elevada al cuadrado.la variable elevada al cuadrado.
Si Si a > 0a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba. la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.
Si Si a < 0 a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo. la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.
*Análisis Completo de la función cuadrática
Conjunto Imagen
En general: Si a > 0 el conjunto imagen de f(x) es [xv; +∞).Si a < 0 el conjunto
imagen de f(x) es (-∞; xv]

9. Intervalos de Crecimiento y DecrecimientoIntervalos de Crecimiento y Decrecimiento
Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro
en el que son decrecientes.Si en el que son decrecientes.Si a>0a>0, la función , la función f(x)f(x) es creciente en el es creciente en el
intervalo intervalo ( xv ;+ ∞)( xv ;+ ∞) , y decreciente en el intervalo , y decreciente en el intervalo (-∞;xv). (-∞;xv). SiSi a<0 a<0, la función , la función
f(x)f(x) es creciente en el intervalo es creciente en el intervalo (-∞;xv)(-∞;xv) , y decreciente en el intervalo , y decreciente en el intervalo
(xv;-∞).(xv;-∞).
Conjunto de Positividad y Negatividad
Las raíces reales de una función, si es que existen, nos permitirán determinar los
intervalos en los cuales la función es positiva y los intervalos en los cuales es
negativa. Los intervalos de positividad (c+) de una función f(x) son los intervalos de
x en los cuales la función es positiva, es decir, donde f(x)>0.
Los intervalos de negatividad (c-) de una función f(x) son los intervalos de x en los
cuales la función es negativa, es decir, donde f(x)<0.
Máximo o mínimo
Si a>0 la ordenada del vértice (yv) es el valor mínimo que alcanza la función,
lo toma en xv. Si a< 0 la ordenada del vértice (yv) es el valor máximo que
alcanza la función,lo toma en xv. Se lo llama extremo.

10. Expresiones de la función cuadráticaExpresiones de la función cuadrática
a, x1, x2
f(x) = a ( x - x1 ). ( x - x2)
Factorizada
a, xv, yv f(x) = a ( x - xv )² + y v
Canónica
a, b, c f(x) = a x² + bx +c
Polinómica
ParámetrosExpresiónForma