Función gamma

contiene ejercicios de calculo con funciones especiales con la función gamma

1. Función Gamma
La función gamma fue definida por euler mediante:
Γ � = �
−�
∞
0
∗�
�−1
�� ; �>0

Algunas funciones definidas son:

1. Γ 1 =1
2. Γ 1/2 = ??????
3. Γ �+1 =� Γ �
4. Γ �+
1
2
=
1∗3∗5…(2�−1)
2
�
??????
1/2


Demostrando (3)
Por definición tenemos que:
Γ � = �
−�
∞
0
∗�
�−1
��
Entonces
Γ �+1 = �
−�
∞
0
∗�
�
��
Hacemos
�=�
�
��=� �
�−1
��
��=�
−�
�� �=−�
−�

Si reemplazamos en la ecuación
Γ �+1 = −�
�
�
−�

0
∞
+� �
−�
∞
0
∗�
�−1
��

2. Γ �+1 =� �
−�
∞
0
∗�
�−1
��
Si observamos la parte derecha es idéntica a la ecuación inicial de la función
de gamma por lo tanto
Γ �+1 =�Γ � … Lqd

Demostrando (2)
Para demostrar que: Γ 1/2 = ??????
Por definición sabemos que Γ � = �
−�
∞
0
∗�
�−1
��
Lo que hacemos es remplazar a ?????? por ??????
�

�=�
2
→ �
1
2=� →
1
2
�
−1/2
��=��
Si despejamos �
−1/2
��=2��
Si remplazamos en la ecuación inicial de gamma a x por el valor de ½
Es decir Γ 1/2 = �
−�
∞
0
∗�
(1/2)−1
��
Quedará de la siguiente forma Γ 1/2 = �
−�
∞
0
∗�
−1/2
��
Ahora si tomamos los nuevos valores que hemos despejado y los introducimos
dentro de nuestra nueva ecuación obtendremos:
Como: ??????
−�/�
????????????=2�� y ??????=�
2

Γ 1/2 =2 �
−�
2
∞
0
��
Hacemos ahora �=�
2
de manera análoga se obtiene
Γ 1/2 =2 �
−�
2
∞
0
��
Multiplicamos miembro a miembro

3. Γ 1/2
2
=2 �
−�
2
∞
0
��∗ 2 �
−�
2
∞
0
��
=4 �
−(�
2
+�
2
)
����
∞
0

Si lo tomamos por coordenadas polares tendremos que:
�=�cos?????? �=�sen?????? �
2
+�
2
=�
2
tan??????=
�
�


����=
?????? �,�
?????? �,??????
�� �??????
?????? �,�
?????? �,??????
=
??????�
??????�
??????�
????????????
??????�
??????�
??????�
????????????
=
cos??????−����??????
���??????����??????

?????? �,�
?????? �,??????
=����
2
??????+����
2
??????
=�(���
2
??????+���
2
??????)
= r
Luego entonces
Γ 1/2
2
=4 �
−�
2
����??????
∞
0
??????/2
0

�
−�
2
��� → �=�
2
∞
0
��=2���
��
2
=���
Reemplazando
1
2
�
−�
��
∞
0
→
1
2
−0+
1
2
=
1
2

4. Luego ahora nos queda, el dos sale del 4 que teníamos entre el ½ que nos dio
más la integral que hacía falta
Γ 1/2
2
=2 �??????
??????/2
0

=2 ??????
0
??????/2
→ 2
??????
2

= Γ 1/2
2
= ??????

Entonces podemos terminar
Γ 1/2 = ?????? … Lqd

5. Teorema: la función gamma satisface

Γ x Γ 1−x =
??????
���??????�
; 0<&#3627408485;<1

Ejemplo de cómo poder utilizar este teorema

Γ 1/4 Γ 3/4 =Γ 1/4 Γ 1−1/4
=
??????
sen??????/4

=
??????
1
2


Entonces
Γ 1/4 Γ 3/4 =?????? 2

6. Ejemplos de la función Gamma
&#3627408486;
∞
0
&#3627408466;
−&#3627408486;
3
&#3627408465;&#3627408486;
También la podemos representar
&#3627408486;
1/2
∞
0
&#3627408466;
−&#3627408486;
3
&#3627408465;&#3627408486;
Hacemos &#3627408481;=&#3627408486;
3
→ &#3627408481;
1
3=&#3627408486;
=
1
3
&#3627408481;
−2/3
&#3627408465;&#3627408481;=&#3627408465;&#3627408486;
Reemplazamos
=
1
3
&#3627408481;
1/3

1/2
∗
∞
0
&#3627408466;
−&#3627408481;
∗&#3627408481;
−2/3
&#3627408465;&#3627408481;
=
1
3
&#3627408481;
1/6
∗
∞
0
&#3627408466;
−&#3627408481;
∗&#3627408481;
−2/3
&#3627408465;&#3627408481;
=
1
3
&#3627408466;
−&#3627408481;
∗&#3627408481;
−
1
2 &#3627408465;&#3627408481;
∞
0

Como sabemos por definición de gamma Γ &#3627408485; = &#3627408466;
−&#3627408481;
∞
0
∗&#3627408481;
&#3627408485;−1
&#3627408465;&#3627408481;
Hacemos una analogía en ambas ecuaciones y obtenemos
&#3627408485;−1 = −
1
2
→ &#3627408485;= −
1
2
+1 → &#3627408485;=
1
2

1
3
Γ
1
2

Y como hemos visto anteriormente Γ
1
2
= ??????
Entonces nos queda que
&#3627408486;
∞
0
&#3627408466;
−&#3627408486;
3
&#3627408465;&#3627408486; =
1
3
??????

7. Demostrar que 3
−4&#3627408461;
2∞
0
&#3627408465;&#3627408487;=
??????
4 &#3627408473;&#3627408475;3

Si recordamos el teorema que dice que &#3627408462;
&#3627408485;
=&#3627408466;
&#3627408485; &#3627408473;&#3627408475; &#3627408462;
= &#3627408466;
ln&#3627408462;
&#3627408485;

Podremos entonces remplazar en nuestro caso los valores siguientes
&#3627408466;
−4&#3627408461;
2
&#3627408473;&#3627408475;3
∞
0
&#3627408465;&#3627408487; = &#3627408466;
− 4 &#3627408473;&#3627408475;3 &#3627408461;
2
∞
0
&#3627408465;&#3627408487;
Hacemos &#3627408485;= 4 &#3627408473;&#3627408475;3 &#3627408461;
2
→ &#3627408461;
2
=
&#3627408485;
4 &#3627408473;&#3627408475;3
→&#3627408487;=
&#3627408485;
4ln3
→
&#3627408487;=
&#3627408485;
1/2
4ln3

Reemplazamos
&#3627408466;
−&#3627408485;
∞
0
&#3627408465;
&#3627408485;
1/2
4ln3

1
4ln3
&#3627408466;
−&#3627408485;
∞
0
&#3627408465; &#3627408485;
1/2
→ &#3627408465; &#3627408485;
1/2
=
1
2
&#3627408485;
−1/2
&#3627408465;&#3627408485;

1
4ln3
&#3627408466;
−&#3627408485;
∞
0
∗
1
2
&#3627408485;
−1/2
&#3627408465;&#3627408485;
1
4 ln3
&#3627408466;
−&#3627408485;
∞
0
∗&#3627408485;
−1/2
&#3627408465;&#3627408485;
1
4 ln3
Γ
1
2

Y como hemos visto anteriormente Γ
1
2
= ??????
Entonces nos queda que
3
−4&#3627408461;
2∞
0
&#3627408465;&#3627408487; =
??????
4 ln3
… Lqd

8. Resolver
&#3627408485;
&#3627408474;
∞
0
&#3627408466;
−&#3627408462;&#3627408485;
&#3627408475;
&#3627408465;&#3627408485;

Hacemos
&#3627408481;=&#3627408462;&#3627408485;
&#3627408475;
→ &#3627408485;
&#3627408475;
=
&#3627408481;
&#3627408462;
→ &#3627408485;=
&#3627408481;
1
&#3627408475;
&#3627408462;
1
&#3627408475;
→ &#3627408465;&#3627408485;=
1
&#3627408475;&#3627408462;
1
&#3627408475;
&#3627408481;
1
&#3627408475;
−1
&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408485;
&#3627408474;
=
&#3627408481;
&#3627408474;
&#3627408475;
&#3627408462;
&#3627408474;
&#3627408475;

Reemplazando
=
&#3627408481;
&#3627408474;
&#3627408475;
&#3627408462;
&#3627408474;
&#3627408475;
∗ &#3627408466;
−&#3627408481;
∗
∞
0
1
&#3627408475;&#3627408462;
1
&#3627408475;
&#3627408481;
1
&#3627408475;
−1
&#3627408465;&#3627408481;
=
1
&#3627408462;
&#3627408474;
&#3627408475;
∗
1
&#3627408475;&#3627408462;
1
&#3627408475;
&#3627408481;
&#3627408474;
&#3627408475; ∗ &#3627408466;
−&#3627408481;
∗
∞
0
&#3627408481;
1
&#3627408475;
−1
&#3627408465;&#3627408481;
=
1
&#3627408475;&#3627408462;
&#3627408474;
&#3627408475;
+
1
&#3627408475;
&#3627408466;
−&#3627408481;
∗
∞
0
&#3627408481;
&#3627408474;
&#3627408475;
+
1
&#3627408475;
−1
&#3627408465;&#3627408481;
=
1
&#3627408475;&#3627408462;
&#3627408474;+1
&#3627408475;
&#3627408466;
−&#3627408481;
∗
∞
0
&#3627408481;
&#3627408474;+1
&#3627408475;
−1
&#3627408465;&#3627408481;
Como ya sabemos Γ &#3627408485; = &#3627408466;
−&#3627408481;
∞
0
∗&#3627408481;
&#3627408485;−1
&#3627408465;&#3627408481;
Hacemos una analogía en ambas ecuaciones obtenemos
&#3627408485;−1 =
&#3627408474;+1
&#3627408475;
−1 → &#3627408485;=
&#3627408474;+1
&#3627408475;
−1+1 → &#3627408485;=
&#3627408474;+1
&#3627408475;

=
1
&#3627408475;&#3627408462;
&#3627408474;+1
&#3627408475;
Γ
&#3627408474;+1
&#3627408475;
… Rta

9. Resolver

&#3627408465;&#3627408485;
−ln&#3627408485;
1
0

&#3627408482;= −ln&#3627408485;
−&#3627408482;= ln&#3627408485;
&#3627408466;
−&#3627408482;
=&#3627408466;
&#3627408473;&#3627408475;&#3627408485;

&#3627408466;
−&#3627408482;
=&#3627408485;
−&#3627408466;
−&#3627408482;
&#3627408465;&#3627408482;=&#3627408465;&#3627408485;

−&#3627408466;
−&#3627408482;
&#3627408465;&#3627408482;
&#3627408482;
1
0

Cuando x 0  x ∞ y x1  x 0
Por tanto
−
&#3627408466;
−&#3627408482;
&#3627408465;&#3627408482;
&#3627408482;
1/2
0
∞

Al cambiar los límites de la integral

&#3627408466;
−&#3627408482;
&#3627408465;&#3627408482;
&#3627408482;
1/2
∞
0

&#3627408482;
−1/2
&#3627408466;
−&#3627408482;
&#3627408465;&#3627408482;
∞
0

Como ya sabemos Γ &#3627408485; = &#3627408466;
−&#3627408481;
∞
0
∗&#3627408481;
&#3627408485;−1
&#3627408465;&#3627408481;
Hacemos una analogía en ambas ecuaciones obtenemos
&#3627408485;−1 = −1/2 → &#3627408485;= 1/2
Entonces Γ
1
2
= ??????

10. Demuestre que &#3627408466;
−&#3627408462;&#3627408485;
2
+&#3627408463;&#3627408485;
&#3627408465;&#3627408485;
∞
−∞
= &#3627408466;
&#3627408463;
2
/4&#3627408462;
∗
??????
&#3627408462;


−&#3627408462;&#3627408485;
2
+&#3627408463;&#3627408485;= −(&#3627408462;&#3627408485;
2
−&#3627408463;&#3627408485;)
&#3627408462;&#3627408485;
2
−&#3627408463;&#3627408485;+&#3627408487;
2
−&#3627408487;
2

2&#3627408485; &#3627408462; &#3627408487; = −&#3627408463;&#3627408485;
&#3627408487;=
−&#3627408463;&#3627408485;
2&#3627408485; &#3627408462;
 &#3627408487;=
−&#3627408463;
2 &#3627408462;
 &#3627408487;
2
=
&#3627408463;
2
4&#3627408462;

Completamos el cuadrado
− &#3627408462;&#3627408485;
2
−&#3627408463;&#3627408485;+
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
−
&#3627408463;
2
4&#3627408462;

− &#3627408485; &#3627408462;−
&#3627408463;
2 &#3627408462;

2
+
&#3627408463;
2
4&#3627408462;

Reemplazamos
&#3627408466;
− &#3627408485; &#3627408462;−
&#3627408463;
2 &#3627408462;

2
+
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
∞
−∞
&#3627408465;&#3627408485;
Separamos exponentes
&#3627408466;
− &#3627408485; &#3627408462;−
&#3627408463;
2 &#3627408462;

2

∗&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
∞
−∞
&#3627408465;&#3627408485;
&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;∗ &#3627408466;
− &#3627408485; &#3627408462;−
&#3627408463;
2 &#3627408462;

2

∞
−∞
&#3627408465;&#3627408485;
Sustituimos exponente
&#3627408482;=&#3627408485; &#3627408462;−
&#3627408463;
2 &#3627408462;
→ &#3627408465;&#3627408482;= &#3627408462; &#3627408465;&#3627408485;

11. Reemplazamos límites si: &#3627408485;=−∞ →&#3627408482;=−∞ &#3627408486; &#3627408485;=∞ → &#3627408485;=∞
Por tal razón quedaría la estructura de la siguiente forma
=&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;∗ &#3627408466;
−&#3627408482;
2

&#3627408465;&#3627408482;
&#3627408462;
∞
−∞

=
&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
&#3627408462;
∗ &#3627408466;
−&#3627408482;
2

&#3627408465;&#3627408482;
∞
−∞

Realizamos una sustitución para seguir el método de gamma
&#3627408482;
2
=&#3627408481; → &#3627408481;
1/2
= &#3627408482; →
1
2
&#3627408481;
−1/2
&#3627408465;&#3627408481;=&#3627408465;&#3627408482;
Reemplazamos los límites nuevamente
&#3627408482;=−∞ →&#3627408481;=−∞ &#3627408486; &#3627408482;=∞ → &#3627408481;=∞
=
&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
&#3627408462;
∗ &#3627408466;
−&#3627408481;
∗
&#3627408481;
−
1
2
2
&#3627408465;&#3627408482;
∞
−∞

=
&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
2 &#3627408462;
∗ &#3627408466;
−&#3627408481;
∗&#3627408481;
−1/2
&#3627408465;&#3627408482;
∞
−∞

Como los límites no satisfacen la ecuación de gamma, hacemos un corrimiento
hacia la derecha de tal forma que
=
2&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
2 &#3627408462;
∗ &#3627408466;
−&#3627408481;
∗&#3627408481;
−1/2
&#3627408465;&#3627408482;
∞
0

Como ya sabemos Γ &#3627408485; = &#3627408466;
−&#3627408481;
∞
0
∗&#3627408481;
&#3627408485;−1
&#3627408465;&#3627408481;
Hacemos una analogía en ambas ecuaciones obtenemos
&#3627408485;−1 = −1/2 → &#3627408485;= 1/2

12. &#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
&#3627408462;
Γ 1/2
Y como Γ 1/2 = ??????
=
&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
&#3627408462;
??????
Por propiedades de los radicales tenemos que
=&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
??????
&#3627408462;

=&#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;
??????
&#3627408462;

&#3627408473;&#3627408482;&#3627408466;??????&#3627408476; &#3627408466;
−&#3627408462;&#3627408485;
2
+&#3627408463;&#3627408485;
&#3627408465;&#3627408485;
∞
−∞
= &#3627408466;
&#3627408463;
2
4&#3627408462;∗
??????
&#3627408462;

… Lqd.






God bless