Funcion ces 2

ejercicios sobre ces

1. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CES

Andrea PARMA

Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires

Especialidad: Matemática Aplicada

Palabras clave: cálculo, aplicaciones, función de producción, CES

Resumen

Este trabajo continúa el análisis de la función de producción CES, elasticidad de sustitución constante, iniciado
en el año 2006, mostrando su aplicación en la economía española y argentina.
En primer lugar se hace una síntesis de las características fundamentales de dicha función y se lleva a cabo una
estimación de la producción agregada para la economía española entre los años 1964 y 1988, que responde a
un modelo de Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala.
En segundo lugar, se estudia la función CES teniendo en cuenta que representa un modelo de regresión no
lineal respecto a las variables y a los parámetros. Se emplea la metodología de Kmenta para estimar la función
de producción argentina CES entre los años (1980-1997).
Finalmente se sintetiza algunos aspectos decisivos que acreditan el reemplazo de la función de Cobb-Douglas
por la función CES en la economía argentina de post-guerra y la relación entre el avance tecnológico y la
elasticidad de sustitución en dicho período.

2. APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CES

Andrea PARMA

Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires

Especialidad: Matemática Aplicada

Palabras clave: cálculo, aplicaciones, función de producción, CES


1. Función de producción CES de ACMS
En 1961 Arrow, Chenery, Minhas y Solow (ACMS) desarrollaron una función de producción generalizada llamada
CES, la cual, como sucede con la de Cobb-Douglas, se caracteriza por una elasticidad de sustitución constante,
aunque no necesariamente igual a uno.
La función CES está expresada por:
()[]
ρ
ν
ρρLδKδAQ
−
−−
−+= 1 ( )0-11,0 0 0 ≠><<>> ρδ;v;A [1]
donde Q representa la cantidad producida, K y L dos factores productivos (en general capital y trabajo), A es el
parámetro de eficiencia (indicador de estado de la tecnología),
δ es el parámetro de distribución (indicador de
la participación relativa del factor en el producto),
ν es el parámetro de rendimiento a escala y
ρ es el
parámetro de sustitución (elasticidad de sustitución constante).
La función CES es una función homogénea de grado
ν, sus productividades marginales son positivas, sus
isocuantas son curvas decrecientes y la función de Cobb-Douglas es un caso particular de la misma para
0→ρ. (Lazzari, Parma, 2006)

2. Elasticidad de sustitución de la función de producción CES

Se puede verificar que la elasticidad de sustitución de la función CES es
=σ
ρ+1
1
1

Esto demuestra que
σ es una constante cuya magnitud depende del parámetro
ρ, y que si:
a)
0→⇒∞→ σρ
La función de producción se transforma en una de coeficientes constantes o proporciones fijas. No existe
posibilidad de sustitución entre los factores, sino que se combinan como complementos perfectos y las
isocuantas forman ángulos rectos
b)
10 →⇒→ σρ
En este caso la función de producción CES se aproxima a la de Cobb-Douglas,
c)
100 <<⇒> σρ


1
Lazzari, Parma, 2006. La Función de producción ESC. (Página 5).

3. Existe sustitución entre los factores, aunque no se da tan fácilmente. Las isocuantas no cortan a los ejes ni son
asintóticas a los mismos.
d)
101 >⇒<<− σρ
Existe sustitución entre los factores. Las isocuantas cortan a los ejes, lo cual sugiere que es posible la
producción con la ausencia de uno de los factores productivos.
e)
∞→⇒−→ σρ 1
En este caso las isocuantas son rectas y los bienes son sustitutos perfectos.
En la figura 1 se relacionan algunos valores de
ρcon la forma que adopta la isocuanta en cada caso.











3. Estimación de la función de producción

3.1 Estimación de la función de producción de Cobb-Douglas

Para estimar la función de producción de Cobb-Douglas basta aplicar una simple transformación logarítmica
β
i
α
ii
LKAQ=
iiii
εLlnβKlnαAlnQln +++=
i
εes la perturbación aleatoria en la función de producción o error estocástico del modelo, distribuido
normalmente con esperanza nula
()() n...i,E
i 1 0=∀=ε y varianza constante, pues de lo contrario
si
() 0aεE
i
≠=, este sería un efecto constante y por ello determinista sobre la variable exógena
i
Q.
iiiiεLlnβKlnββQln +++=
321 [2]
La expresión [2] es un modelo de regresión lineal. Por lo tanto resulta muy sencillo utilizar estimaciones
mínimocuadráticas ordinarias de
iβ (i = 1, 2, 3) para aproximar la función de producción de Cobb-Douglas.



3.2 La estimación de la función de producción española (1964-1988)

K
L
∞→ρ
0→ρ
1−→ρ
Figura 1

4. Con el objeto de estimar una función agregada para la economía española, utilizamos la Tabla 1 donde se
emplean datos anuales de stock de capital, empleo y PIB, éste último en pesetas constantes de 1980.
2


Año Q K L A B C D 1964 7527,4 11302,5 11703 1 Año ln Q lnK lnL
1965 8004,2 12578,4 11990,9 2 1964 8,926304976 9,332779219 9,3676005
1966 8568,9 14024,7 12123,4 3 1965 8,987721683 9,439736336 9,39190331
1967 8939,1 15471,3 12198,2 4 1966 9,055894649 9,54857534 9,40289275
1968 9544,7 17036,7 12256,5 5 1967 9,098190192 9,646741974 9,40904368
1969 10398 18814,3 12333,6 6 1968 9,163741306 9,74312512 9,41381169
1970 10822,3 20536,9 12330,7 7 1969 9,249368759 9,842372498 9,42008252
1971 11318 22061,6 12427,1 8 1970 9,289364099 9,929978547 9,41984737
1972 12227,1 23888,2 12650,4 9 1971 9,334149658 10,00159382 9,42763485
1973 13166,9 26010,6 12875,4 10 1972 9,411410079 10,08113989 9,44544411
1974 13866,5 28214,8 13041,7 11 1973 9,485461384 10,16625943 9,46307379
1975 13940,9 30094,6 12823 12 1974 9,537231138 10,24760194 9,4759072
1976 14397,2 31819,3 12587,4 13 1975 9,542582245 10,31210103 9,45899571
1977 14829,2 33396 12581,8 14 1976 9,574789022 10,3678283 9,44045159
1978 15044 34774,5 12373,4 15 1977 9,604353489 10,41619141 9,4400066
1979 15023,1 35909,7 12173,9 16 1978 9,61873452 10,45663964 9,42330429
1980 15209,1 36991,9 11811,5 17 1979 9,617344296 10,48876273 9,40704959
1981 15171,3 37892,5 11471,8 18 1980 9,629649212 10,51845425 9,37682891
1982 15355,9 38755,6 11358,3 19 1981 9,627160764 10,54250848 9,34764713
1983 15633,2 39488,6 11279,3 20 1982 9,639255044 10,56503054 9,33770403
1984 15914,5 39966,1 10954,9 21 1983 9,657152137 10,5837673 9,33072447
1985 16282,8 40607,3 10854,9 22 1984 9,674985922 10,59578687 9,30154212
1986 16816,4 41504,4 11111,2 23 1985 9,697864615 10,61170313 9,29237187
1987 17748,7 42851,5 11452,2 24 1986 9,73010988 10,63355472 9,31570889
1988 18676,6 44656,5 11780,6 25 1987 9,784067553 10,66549593 9,34593713
Tabla 1 Economía española entre 1964-1988 26 1988 9,835026682 10,70675515 9,37420939
27 0,322 0,630 0,009
28 0,106 0,013 1,053
29 0,992 0,025
Tabla 2. Función de Cobb-Douglas para la economía española



2
Molinas, Sebastián y Zabalza (1991).

5. En la Tabla 2 se transforman las variables en logaritmos. Utilizando la planilla de cálculo Excel, se realizan las
estimaciones minimocuadráticas ordinarias de
i
β (i = 1, 2, 3) que aparecen en la fila 27. En el siguiente renglón,
se especifican los desvíos típicos.
()0531
0090
1
,
,β=

()0130
6300
2
,
,β
=

()1060
3220
3
,
,β
=

En la celda B29 se encuentra el coeficiente de determinación9920
2
,R= que indica una correlación alta.
El error estandar para la estimación de Q es 0,025, que es muy pequeño. Se observa que existe una mayor
participación del capital (próxima a 2/3) respecto al trabajo (próxima a 1/3). A su vez, la suma de las
elasticidades estimadas en ambos inputs es próxima a la unidad. Por lo tanto la economía española entre los
años 1964 y 1988 tiene una producción agregada de Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala.

3.3. Aproximación de Kmenta para estimar la función de producción CES

La función CES representa un modelo de regresión no lineal respecto a las variables y a los parámetros (modelo
intrínsecamente no lineal).
()[]
iε
ρ
ν
ρ
i
ρ
ii
eLδKδAQ
−
−−
−+= 1 [3]

Tomando logaritmos naturales en ambos miembros de [3], se obtiene:
()[ ]
iiiiLKln
v
AlnQlnεδδ
ρ
ρρ
+−+−=
−−
1
3
[4]
Si los
iy LK
i son no estocásticos (o estocásticos pero independientes de
iε), se puede establecer la función
de verosimilitud de la manera habitual, calculando las estimaciones maximoverosímiles de
ρνδ,Ay , , con una
calculadora. Es posible obtener una estimación alternativa
4
más sencilla de los parámetros de la función CES
sustituyendo [4] por su aproximación lineal respecto de
ρ mediante el desarrollo en serie de Taylor en un
entorno de
0ρ= . Eliminando los términos en los que
ρ aparece con exponentes mayores que la unidad:

()
()[]
iiiiii
LlnKlnLlnvKlnAlnQlnεδρνδδνδ+−−−−++=
2
1
2
1
1 [5]
El segundo miembro de la expresión [5] se puede dividir en dos partes, una corresponde a la función de Cobb-
Douglas, mientras que la otra representa una corrección para el caso en que ρ no se aproxime a 0. La
expresión [ ]
iiiiiiLlnKlnLlnKlnQlnεββββ+−+++=
2
4321
[6] corresponde a un modelo de regresión
lineal múltiple. Si la estimación de
4β, no es significativamente distinta de cero, se rechaza el modelo CES a


3
Error estocástico del modelo, distribuido normalmente con esperanza nula.
4
Kmenta, J. (1971).

6. favor del modelo de Cobb-Douglas. Los parámetros de la expresión [6] están relacionados con los de [5] de la
siguiente forma:

1
βlogantiA=
32
2βββ
δ
+
=

32
ββν+= ( )
32
324
2
ββ βββ
ρ
+−
= [7]
Por lo tanto, se pueden utilizar las estimaciones minimocuadráticas ordinarias de
iβ (i = 1, 2, 3, 4) para obtener
las aproximaciones de los parámetros de la expresión [5]. El error de aproximación de la función CES depende
de la proximidad de
ρ a 0, de la relación de los dos factores productivos y de los valores de los parámetros que
se obtienen.

3.4. Ejemplo de uso de la metodología de Kmenta para estimar la función de producción.

Año PBI K L A C D E F
1980 10302,3 16824,41 8331,5 1 Año lnPBI lnK lnL (lnK-lnL)
2
1981 9743,7 17293,46 8304 2 1980 9,2401 9,7306 9,0278 0,4939
1982 9435,9 17397,98 8446 3 1981 9,1844 9,7581 9,0245 0,5382
1983 9823,9 17307,33 8502 4 1982 9,1523 9,7641 9,0414 0,5222
1984 10020,3 17210,27 8705 5 1983 9,1926 9,7589 9,0481 0,5053
1985 9323,9 17025,02 8814 6 1984 9,2124 9,7533 9,0717 0,4646
1986 9989,4 16794,71 9154 7 1985 9,1403 9,7424 9,0841 0,4334
1987 10248,2 16672,41 9419 8 1986 9,2093 9,7288 9,1219 0,3683
1988 10054,1 16600,8 9595,5 9 1987 9,2349 9,7215 9,1505 0,3261
1989 9356,7 16395,24 9695 10 1988 9,2157 9,7172 9,1690 0,3005
1990 9185,4 16008,75 9797 11 1989 9,1438 9,7047 9,1794 0,2760
1991 10157,1 15714,62 10222 12 1990 9,1254 9,6809 9,1898 0,2411
1992 11132,8 15777,1 10498 13 1991 9,2259 9,6623 9,2323 0,1849
1993 11769,9 16105,23 10633 14 1992 9,3177 9,6663 9,2589 0,1660
1994 12712,2 16649,64 10608,5 15 1993 9,3733 9,6869 9,2717 0,1724
1995 12201,4 17165,93 10327,5 16 1994 9,4503 9,7201 9,2694 0,2032
1996 12784,6 17584,22 10442,5 17 1995 9,4093 9,7507 9,2426 0,2582
1997 13896,8 18327,58 11106,5 18 1996 9,4560 9,7748 9,2536 0,2716
Tabla 3. Economía argentina 1980-1997 19 1997 9,5394 9,8162 9,3153 0,2509
20 3,17 4,82 1,82 -18,25
21 1,43 1,68 1,58 3,82
22 0,85 0,05
Tabla 4. La función CES para la economía argentina

7. En primer lugar se realiza la estimación de una función de producción agregada para Argentina. En la Tabla 3 se
especifican por año el PBI a precios constantes de 1986 en millones de pesos (Ministerio de Economía y Obras y
Servicios Públicos de la Nación), el trabajo en millones de personas (INDEC, datos de Empleo de la Encuesta
permanente de hogares) y el capital en millones de pesos
5
. A partir de esta tabla se utiliza la metodología de
Kmenta para estimar la función de producción CES para este período de la Argentina.
[ ]
iiiiiiεLlnKlnβLlnβKlnββQln +−+++=
2
4321

La Tabla 4 transforma las variables en logaritmos. Los resultados de la estimación lineal, empleando el Excel, se
muestran en el rango de celdas C20:F22, donde la primer fila corresponde a los
i
β (i = 1, 2, 3, 4) y la segunda
a los respectivos desvíos típicos.
()823
2518
1
,
,β−=

()581
821
2
,
,β
=

()681
824
3
,
,β
=

()431
173
4
,
,β
=

En la celda C22 se encuentra el coeficiente de determinación850
2
,R= que indica una correlación alta.
El error estandar para la estimación de Q es 0,05, que es muy pequeño.
Como
4β=3,17 es significativamente distinto de 0, se rechaza el modelo Cobb-Douglas a favor del modelo
CES.
1βlogantiA=
32
2ββ
β
δ
+
=

32ββν +=
( )
32
324
2
ββ
βββ
ρ
+−
=

8
1021
−
=.,A 60,δ
= 3=ν 22,ρ=
Como
100 <<⇒> σρ 30,σ=, existe sustitución entre los factores. Las isocuantas no cortan a los ejes ni
son asintóticas a los mismos. El parámetro
3
=ν indica rendimiento a escala creciente. El coeficiente
8
1021
−
=.,A nos indica poca influencia de nuevas tecnología para la producción del país.

4. Pasaje de la función de Cobb-Douglas a la función CES en la Argentina.

4.1. El crecimiento industrial de la post-guerra en la Argentina

Jorge Katz realizó una investigación detallada sobre el crecimiento industrial argentino en el período que se
extiende de 1946 a 1961. En esta última sección se señalarán algunos detalles importantes de este trabajo que
permitirán mostrar la pertinencia del reemplazo de la función de Cobb-Douglas por la función de producción
generalizada CES en la Argentina en el período de estudio
6
. Dicho período se puede dividir en dos partes. Uno
que se extiende entre 1946 -1953 y el otro entre 1954-1961. Desde fines de los años treinta hasta mediados de
los años 50, el capital privado extranjero había desaparecido de la Argentina producto de las nacionalizaciones
de los años 1947-1950. Durante 1953-1954 se produjeron muchos cambios en el país tanto en política interna


5
Meloni, Osvaldo. “Algunas estimaciones del producto potencial de la Argentina”
6
Jorge M. Katz. “Production functions, foreign investment and growth”

8. como externa
7
, que fueron determinantes para el crecimiento en la utilización del capital y nuevas tecnologías
en las industrias. A fines de los años 50, las industrias Petroquímicas, Químicas, Automotores, Maquinarias y
Equipamiento Eléctrico, Maquinarias para agricultura y Metalúrgicas se expandieron en forma considerable. Otro
factor influyente en el país en materia industrial durante el período mencionado, se refiere a las políticas
laborales. La depresión de 1951-1952, provocó un alza inflacionaria importante e hizo que el gobierno tomara
medidas de ajuste, congelando los sueldos entre 1952-1954. Movilizaciones laborales empezaron a actuar,
aumentando los problemas del mercado laboral. Esto último como así también la nuevas tecnologías
introducidas en el sector industrial, hizo más fácil la sustitución del capital por el trabajo en el período 1954-1961.

Período Producción Trabajo Capital
1946-1954 3,5 % 2,2 % 5,8 %
1955-1961 5,2 % 1,7 % 2,1 %
1946-1961 4,6 % 2,1 % 4,2 %

Tabla 5. Crecimiento en el sector industrial argentino.
En la Tabla 5 se puede observar que en el período 1946-1961 el porcentaje de crecimiento del capital fue más
alto que el del trabajo. En segundo lugar, el crecimiento de la producción fue mayor que el de ambos factores.
En tercer lugar, el porcentaje de crecimiento de ambos factores productivos, capital y trabajo, cayó entre 1955-
1961. Esto último hace pensar que el aumento de producción en el último período tiene que ver más con el
avance de la tecnología que con el crecimiento de ambos factores productivos.


4.2. El avance de la tecnología en la Argentina partir del modelo de Cobb-Douglas

En la función de Cobb-Douglas
δδ
KLAQ
−
=
1
, A representa un parámetro de eficiencia (indicador del estado
de la tecnología), que puede aumentar o disminuir la producción total, dejando la elasticidad de sustitución entre
los factores constante. A su vez,
δ es la elasticidad de la producción respecto al trabajo y δ−1 la elasticidad
de la producción respecto al capital. Aplicando logaritmo neperiano en ambos miembros a la expresión anterior
se obtiene
()lnδLlnδAlnQln −++=1 K
Derivando ambos miembros y asumiendo que
δes constante, queda la expresión
()
K
K
δ
L
L
δ
A
A
Q
Q ′
−+
′
+
′
=
′
1
[8]
La expresión [8] indica que la velocidad relativa de crecimiento de la producción,
Q
Q′
está determinada no solo
por velocidad relativa de crecimiento del trabajo
L
L′
y del capital
K
K′
sino también de la tecnología
A
A′
. Por lo


7
Ley 1957 de inversión extranjera y ley 1958 de promoción de la industria.

9. tanto si se necesita calcular
A
A′
se puede obtener como residuo de la ecuación [8]. En la Tabla 6 se considera la
medida de la velocidad de cambio de la tecnología en el sector industrial argentino. Se observa allí que, en el
período 1955-1961, el acelerado crecimiento en el porcentaje de producción es contemporáneo al porcentaje de
aumento de avances en la tecnología. A su vez, la suma de las elasticidades es aproximadamente igual a la
unidad en ambos períodos y en la totalidad (rendimientos constantes a escala). Si bien el modelo de Cobb-
Douglas brinda una primer medida de los cambios tecnológicos en los dos períodos de los años de Post-guerra,
el modelo tiene sus limitaciones y no puede ser considerado como un parámetro industrial.


Período Trabajo Capital
% crecimiento en
la producción
%
progreso en la tecnología
1946-1954 0,63 0,37 3,5 % 0,6 %
1955-1961 0,66 0,34 5,2 % 3,2 %
1946-1961 0,64 0,36 4,6 % 1,3 %
Tabla 6. Progreso tecnológico de la economía Argentina

4.3. Limitaciones de la función de producción de Cobb-Douglas en la Argentina.

La primera limitación es que se trabaja en forma global, sin comparar los comportamientos de diferentes tipos de
industrias del país en los períodos estudiados. La elasticidad de sustitución para la función Cobb-Douglas es
siempre igual a uno y se decide a priori, no importando las diferencias entre los diferentes sectores industriales.
Puede ocurrir que una industria tenga una elasticidad de sustitución más alta que otra, pudiendo sustituir más
fácilmente un factor productivo por otro.

4.4. La función de producción CES en la Argentina de post-guerra.

Surge entonces la necesidad de aplicar otro tipo de función generalizada como la CES para el análisis de la
economía industrial argentina de post-guerra que como ya se ha dicho anteriormente se caracteriza por una
elasticidad de sustitución constante, aunque no necesariamente igual a uno. La Tabla 7 muestra las
elasticidades de sustitución del capital por el trabajo en 15 industrias argentinas en 1946 y la Tabla 8 las
elasticidades de sustitución de 10 industrias argentinas en 1954. Al comparar las mismas 10 industrias, al pasar
de 1946 a 1954, la elasticidad de sustitución creció en 5 casos (Químicas, Automotores, Máquinas y
Equipamiento Eléctrico, Papelera e Imprenta), se mantuvo estable en dos (Vidrios-Piedras y Tabaco) y decreció
en tres sectores (Productos de cuero, Alimenticia y Metalúrgica). Otra conclusión que se extrae de la
comparación de las tablas anteriores, es que la elasticidad de sustitución es cercana a 0 en sólo 2 casos en
1946 (Automotores y Máquinas y Equipamiento Eléctrico) y en un único caso (Metalúrgica) en 1954. Además, de
las 15 industrias en 1946, 8 de ellas tienen elasticidad de sustitución significativamente distinta de uno y de las

10. 10 estudiadas en 1954, 6 tienen elasticidad de sustitución lejana a la unidad. Esto último nos confirma las
limitaciones de las funciones de producción de Cobb-Douglas (
1
=σ) y Harrod- Domar (0=σ).

Industria Elasticidad de Sustitución
σ
Error standard de σ 2
R
Alimenticia 1,35 0,25 0,71
Tabacalera 1,76 0,30 0,92
Textil 0,98 0,19 0,87
Lechera 0,84 0,07 0,94
Papelera 1,49 0,80 0,65
Imprenta 0,87 0,10 0,85
Químicas 0,90 0,19 0,75
Petroquímicas 2,02 0,60 0,55
Productos de goma 0,92 0,17 0,95
Productos de cuero 0,87 0,10 0,87
Vidrios-Piedras 1,19 0,11 0,92
Madera y mobiliario 0,93 0,18 0,73
Metalúrgica 0,87 0,22 0,70
Automotor y maquinaria 0,46 0,20 0,55
Máquinas y equipamiento
eléctrico
0,45 0,16 0,76
Tabla 7. Elasticidad de Sustitución de 15 industrias argentinas en 1946

Industria
Elasticidad de Sustitución
σ
Error standard de σ 2
R
Alimenticia 0,87 0,16 0,79
Tabacalera 1,73 0,40 0,90
Papelera 1,63 0,30 0,91
Imprenta 0,91 0,18 0,72
Químicas 1,01 0,13 0,90
Productos de cuero 0,71 0,11 0,82
Vidrios-Piedras 1,20 0,06 0,97
Metalúrgicas 0,47 0,20 0,45
Automotor y maquinarias 0,68 0,22 0,58
Máquinas y equipamiento
eléctrico
1,11 0,20 0,80
Tabla 8. Elasticidad de Sustitución en 10 industrias argentinas en 1954

11. Finalmente la Tabla 9 muestra la relación entre el progreso tecnológico de nuestro país en la post-guerra y la
elasticidad de sustitución, estimado a partir de la función de producción CES. Se observa en dicha tabla que el
aumento en la elasticidad de sustitiución entre capital y trabajo es contemporáneo al avance tecnológico en el
período 1954-1961.

Períodos Elasticidad de
sustitución
σ
% crecimiento en la Q 2
R
1946-1953 0,16 (0,09) 0,6 0,7
1954-1961 0,48 (0,13) 4,7 0,75
1946-1961 0,23 (0,12) 2,1 0,8
Tabla 9. Relación entre avance tecnológico y elasticidad de sustitución en 1946-1961

Referencias bibliográficas

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