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Funcion de transferencia

1. SEMANA 2. Función de Transferencia. Determinación de Polos y Ceros. Método de las asíntotas para determinar los Diagramas de Bode de amplitud y fase. Ejemplos.

2. FUNCION DE TRANSFERENCIA

3. DEFINICÍON La funcion de transferencia (FdT) de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida(función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada(función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales sean cero.

4. Considérese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación: Donde “ y es la salida del sistema además “ x es la entrada. La función de transferencia de este sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero. G(s) Es una representación matemática de los sistemas lineales donde la relación entre la entrada y la salida es una ecuación diferencial lineal del tipo :

5. CARACTERÍSTICAS Es independiente de la entrada del sistema. Se trata de una característica interna de cada sistema. Conociendo la funcion de transferencia se puede encontrar la respuesta del sistema para cualquier tipo de entrada. El denominador de la funcion de transferencia se denomina, polinomio característico: sus raíces se llaman polos del sistema. Las raíces del numerador se denomina ceros del sistema.

6. Cómo obtener una f. t. Para obtenerla, es necesario que las condiciones iniciales sean nulas. De no serlo, se debe obligar a dichas condiciones a ser cero. Se obtiene a partir de la representación de un sistema LTI por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, el modelo dinámico del sistema. Linealizando la Ecuación Diferencial y aplicando la transformada de Laplace.

7. Ejemplo ilustrativo: Hallar la F. T. X(s)/P(s) del sistema

8. Describimos el comportamiento dinámico del sistema: Suponemos condiciones iniciales iguales a 0: Aplicamos Laplace: Agrupando y despejando:

9. Ejemplo: en un circuito LRC calcular su funcion transferencia y hacer su respectivo diagrama de bloques voltaje de salida es: Voltaje de entrada es : (t) = (t) = (t) + (t) + (t) Voltaje en el resistor es: (t) = R. i ( t) Voltaje en el inductor es: (t) = L  

10. Ahora hacemos las respectivas transformadas de Laplace de las ecuaciones Transformada de Laplace del voltaje de salida (s) = I(s) (1) Transformada de Laplace del voltaje del resistor (s) = RI(S) (2) Transformada de Laplace del voltaje del inductor (s) = LSI(s) (3) Transformada de Laplace del voltaje del voltaje de entrada (s) = (s) + (s) + (s) (4)  

11. Reagrupando las ecuaciones (1),(2),(3), en (4) se puede expresar en los siguientes términos. (s) = (R + + Ls)I(s) (5) Ahora calculemos la funcion de transferencia que en este caso es la transformada de Laplace de la tensión de salida dividido entre la transformada de Laplace de la funcion de entrada. G(s) = Ahora sustituimos los datos G(s) = = Simplificando los datos tenemos: G(s) = =  

12. Funcion de Transferencia de un sistema realimentado Podemos encontrar la FdT de un sistema realimentado de la siguiente figura:

13. diagrama de bloques I(S) = = (s) = I(s) = (s) - (s) - (s)  

14. MATEMATICAMENTE SE DEFINE COMO LOS PUNTOS SINGULARES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Polo de primer orden Polo de orden n Ceros de primer orden Ceros de orden n

15. NORMALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA CUANDO LOS GRADOS DE LOS POLINOMIOS DE F(S) SON ELEVADOS, SIEMPRE SE PUEDE FACTORIZAR D ELA FORMA. Forma factorizada Representación normalizada Si hay raíces complejas, éstas serán complejas conjugadas k  constante independiente de la frecuencia s r , s t  polos y ceros de orden r y t en s=0 (s/x i )+1  polos y ceros de primer orden en s=- z i y en s=-p i x ai s 2 +x bi s+1  pares de polos y ceros conjugados factorizados DONDE:

16. Respuesta de Frecuencia a partir de los Diagramas de Polos y Ceros . Se puede determinar gráficamente la respuesta de frecuencia a partir de los diagramas de polos y ceros de la función de transferencia. Sea la siguiente función de transferencia: Donde p y z son reales. Se puede obtener la respuesta en frecuencia de esta función de transferencia de la relación:

17. Los factores , son magnitudes complejas como puede verse en la figura . FIGURA: Determinación de la respuesta de frecuencia en el plano complejo.

18. La amplitud de es: Y el ángulo de fase de es: Donde los ángulos están definidos en la figura . Se hace notar que se define como sentido positivo para la medición de ángulo a la rotación anti horaria. Del análisis de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado, se sabe que un par de polos complejos conjugados cercanos al eje produce un modo altamente oscilatorio de la respuesta transitoria. En el caso de la respuesta frecuencias, un par de polos así ubicados han de producir una respuesta de pico elevado.

19. Ejemplo: por ejemplo, la siguiente función de transferencia: Donde p1 y p2 son complejos conjugados como se ve en la figura . Se puede hallar la respuesta en frecuencia de esta función de transferencia

20. Donde los ángulos están definidos en la figura. Como AP BP es muy pequeño en la cercanía de es muy grande. De manera que un par de polos complejos conjugados cerca del eje ha de producir una respuesta de frecuencia de pico elevado. Inversamente, si la respuesta de frecuencia no es de picos elevados, la función de transferencia no ha de tener polos complejos conjugados cerca del eje . En conclusión: polos reales y distintos: Estable polos reales y múltiples: parcialmente estable polos complejos conjugados: inestable ,  

21. Respuesta transitoria Los transitorios de las salida se pueden relacionar con las raíces de la ecuación característica tal como se vio antes. De modo que el concepto de Estabilidad puede definirse en términos matemáticos más precisos de la siguiente forma: Un sistema es estable si las raíces de la ecuación característica son reales negativas o complejas conjugadas con parte real negativa. O dicho en forma más compacta, si todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja s.

22. Ejemplo de obtención de polos y ceros mediante matlab clc,clear all,close all %Hallando ceros y polos de funciones de transferencia %En este ejemplo introduciremos el valor del numerador y denominador en %forma de vectores num =[5 20]; den=[1 4 20]; %Damos forma a la ecuacion usando la funcion tf que crea un modelo de % funcion de transferencia G= tf ( num,den ) %Utilizamos la funcion tf2zp para convertir de modelo de funcion de %transferencia a polos y ceros [ z,p,k ]=tf2zp( num,den ) PARA DETERMINAR POLOS Y CEROS

23. G = 5 s + 20 -------------- s^2 + 4 s + 20 Continuous-time transfer function. z = -4 p = -2.0000 + 4.0000i -2.0000 - 4.0000i k = 5

24. clc,clear all,close all num =[5 20]; den=[1 4 20]; pzmap ( num,den ), axis ([-5 5 -5 5]) PARA GRAFICAR POLOS Y CEROS

25. Métodos de las asíntotas para determinar los diagramas de Bode de amplitud y fase

26. Los diagramas de bode están compuestos por un diagrama de magnitud o de ganancia y un diagrama de fase, ambos son dependientes de la frecuencia angular . En el diagrama de magnitud, el eje vertical esta formado por la ganancia del circuito en decibeles, en cambio, en el diagrama de fase, este eje esta formado por ángulos de desfase, en grados .

27. Ahora nos preguntaremos, de donde parte la idea para generar un diagrama de bode ? Bueno , nace a partir de las funciones de transferencia, estas resultan de dividir una salida entre una entrada de cualquier sistema FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA En este circuito rlc en serie, podemos obtener funciones de transferencia de corriente, voltaje y potencia, ya que esos parámetros para nosotros son calculables, asi mismo se puede obtener las funciones de transferencia para cada uno de los elementos pasivos del sistema, resistencia, inductor o el capacitor .

28. Esta función de transferencia por ejemplo relaciona el voltaje de la resistencia con el voltaje de la fuente. El voltaje de la resistencia sería la salida mientras que el de la fuente sería la entrada, ojo que la función esta en el dominio de “s ya que estas funciones se obtienen en el dominio de la frecuencia compleja, pasando el circuito al dominio de la frecuencia compleja tenemos .

29. PARA HALLAR EL VOLTAJE DE LA RESISTENCIA, PRIMERO HALLAMOS LA CORRIENTE DEL CIRCUITO : A PARTIR DE LA CORRIENTE HALLAMOS EL VOLTAJE EN LA RESISTENCIA: LUEGO CON ESTE VOLTAJE HALLAMOS LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA H(S):

30. En resumen hasta el momento, los diagramas de bode son graficos que representan ganancias de un sistema Y EL DESFASE QUE HAY EN UNA SEÑAL DE SALIDA EN cOMPARACION CON LA DE ENTRADA . La ganancia y el angulo de desfase se obtienen a partir de una función de transferencia, para lo cual se construye el diagrama de bode . RESUMEN

31. Cómo construir un diagrama de bode Para construir a mano, básicamente se necesita aproximaciones y estas las hallaremos gracias a las asíntotas, estas se establecen con base en los polos y ceros de la función de transferencia, la pendiente depende del tipo de polo y los ceros. Para analizar de una mejor forma, convenientemente factorizamos el numerador asi como el denominador, de tal forma que para nosotros sea fácil diferenciar cuantos polos y ceros contenga esta, se recomienda trabajar en el dominio de “ s .

32. Identificaremos 7 tipos de elementos que nos producen 7 tipos de pendientes en el diagrama de bode : 1. Valores constantes (K) 2. Cero en el origen (s) ± n 3. Cero simple ( s+a ) 4. Cero cuadrático ( s+b ) 2 ó (s 2 +2bs+b 2 ) 5. Polo en el origen (s) ±n 6. Polo simple ( s+c ) 7. Polo cuadrático ( s+d ) 2 ó (s 2 +2ds+d 2 ) aplican tanto en magnitud como en fase

33. EJEMPLO DE UN DIAGRAMA DE BODE Construiremos el diagrama de bode de magnitud para la siguiente función de transferencia. En primer lugar, factorizamos el numerador y el denominador, esto nos ayudara a hallar los polos y ceros . Al momento de factorizar nos dimos cuenta que hay una a) constante k b) un cero en el origen c) dos polos simples

34. Luego procedemos a expresar la función de t. a forma estándar, esta forma nos ayudará a obtener la información necesaria para nuestro diagrama . LUEGO PASAMOS A REEMPLAZAR LAS S POR JW

35. Haciendo esa forma, hallamos la constante k que viene a ser 10, ahora con la forma estándar procedemos a expresar la f.t h en decibeles, nos ayudamos con las propiedades de logaritmos .

36. Para este diagrama de magnitud de bode, marcamos las frecuencias de quiebre en el eje horizontal, se obtienen a partir de los polos y ceros, 0 2 y 10 .

37. Ahora procedemos a dibujar las asíntotas, para esto nos ayudamos del cuadro anteriormente brindando .

38. Con esta información, procedemos a hacer el diagrama de bode . Evaluamos la expresión hdb en las frecuencias de quiebre . OJO QUE PARA W= 0 HEMOS UTILIZADO W = 0.1 PORQUE NO PODEMOS CALCULAR EL LOGARITMO DE 0, TAMBIÉN PARA RESALTAR SERÍA CONVENIENTE EVALUAR LA FRECUENCIA EN UNA DÉCADA POSTERIOR A LA ULTIMA FRECUENCIA DE QUIEBRE, PARA TENER UNA IDEA DE HACIA DONDE SE DIRIGE NUESTRO GRÁFICO

39. Ahora marcamos los puntos que hemos hallado, estos nos dan una idea aproximada de la forma de nuestro gráfico

40. El gráfico de magnitud se obtendrá sumando las asíntotas en cada uno de los intervalos de frecuencia, Para trazar el gráfico de manera precisa y rápida se recomienda sumar los valores de las asíntotas en cada uno de las frecuencias de quiebre.

41. Uniendo estos puntos obtendremos la aproximación asintótica, este se acerca al gráfico real .

42. Llegado este punto se puede prescindir de las asíntotas y las marcas que se han colocado como referencia. Lo que nos interesa es la línea azul, el diagrama de magnitud de Bode.

43. En Matlab es posible construir el grafico real de bode, con la diferencia de que en las frecuencias de quiebre los cambios no son tan bruscos, son curvas mas suavizadas .

44. Y por ultimo podemos ver una comparación de la gráfica que hemos construido y la generada en Matlab

45. Conclusión : la aproximación nos da una idea de como va a ser nuestro grafico real, con alguna imprecisiones obviamente en los cambios de pendiente tal como observamos en la imagen anterior .

46. EJERCICIO: Para EL CIRCUITO DE LA FIGURA 1: Calcule la función de transferencia, h(s) figura 1 Calcule para de la figura 1 FIGURA 1  

47. SOLUCIÓN (A): Transformando el circuito de la figura 1 AL DOMINIO DE (S) Y LUEGO UTILIZANDO UNA DIVISION DE TENSIONES EN EL DOMINIO DE (S), SE OBTIENE: sustituyendo los valores numéricos correspondientes al circuito, obtenemos:  

48. Solución (b): Comenzamos escribiendo en forma estándar: Reemplazando  

49. Solución (b): Con la ayuda de la calculadora vamos hallar directamente en forma polar: = Reemplazando  

50. Solución (b): Con la ayuda de la calculadora vamos hallar directamente en forma polar: =  

51. UTILIZANDO DIAGRAMA DE BODE EN MATLAB:   Comenzamos escribiendo g en forma estándar: para Reemplazando : = 0.34 ⎳-56,30 Reemplazando :  

52. UTILIZANDO DIAGRAMA DE BODE EN MATLAB:

53. EJEMPLO “Método simple” Hallar el diagrama de bode de la siguiente función de transferencia: Primero analizamos la función encontrando los ceros y polos respectivos: Ceros: Polos:  

54. Factorizamos la función Hallamos (la constante de bode) para obtener el diagrama de bode, para ello simularemos que las “s” no existan en la función, por lo cual nos quedaría: Para saber la ganancia de K, usaremos la fórmula de: Reemplazando el valor de K Analizaremos ahora las frecuencias los cuales son el módulo de los polos y ceros:  

55. Analizaremos las décadas para el diagrama de bode: Reemplazando valores: Para , este es el primer tramo el cual disminuirá a razón de Para , este es el segundo tramo el cual disminuirá a razón de NOTA: Cuando son ceros las rectas asintóticas suben y cuando son polos bajan.  

56. RECTAS ASINTOTICAS (DIAGRAMA DE BODE APROXIMADO)

57.   SIMULACION DEL DIAGRAMA DE BODE DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA  

58. Estabilidad y control de los sistemas eléctricos: La estabilidad del sistema puede ser estudiado a partir de los polos de la función de transferencia. Análisis de la respuesta a la frecuencia de un sistema: Gracias al diagrama de bode podemos representar gráficamente el módulo de la función de transferencia del sistema F( jw ) frente a la frecuencia W , como la fase de F( jW ) frente a la W ; de una manera aproximada, de gran simplicidad. APLICACIONES

59. Sistemas de Transferencia de redes Con fines de asegurar la continuidad del servicio eléctrico, ciertas instalaciones se conectan a dos fuentes: Una fuente normal(N) Una fuente de reserva(R) utilizada para alimentar la instalación cuando la fuente normal no está disponible. Un sistema de transferencia de redes permuta la carga entre estas dos fuentes. Puede ser automatizado para manejar la permutación en función a diversas condiciones externas programadas.

60. Transferencia de redes manual: Este dispositivo es la transferencia mas simple. Pero el tiempo de permutación de la red normal a la red de reserva esta en funcion a la intervención humana. una transferencia de redes manual puede componerse de 2 o 3 aparatos (según gama) accionados manualmente (interruptores automáticos o seccionadores en carga) e interclavados mecánicamente. Los interclavamientos para 2 aparatos imposibilitan la puesta en paralelo, incluso transitoria, de las dos fuentes.

61. Transferencia de redes tele comandada: Es la mas empleada para los aparatos de gran calibre (a partir de 400 A). No requiere ninguna intervención humana para su funcionamiento. La permutación de la red normal a la red de reserva está picoteadamente eléctricamente. Una transferencia de redes tele comandada está constituida por 2 o3 aparatos (según gama) a las cuales esta asociado un interclavamiento eléctrico realizado según diferentes esquemas. El mando de los aparatos esta asegurado mediante un interclavamiento mecánico que protege de cualquier mal funcionamiento eléctrico e impide una maniobra manual errónea.

62. Transferencia de redes automáticas: La asociación de un automatismo dedicado con una transferencia de redes tele comandada permite el pilotaje automático de las redes según diferentes modos programados. Esta solución asegura una gestión optima de energía: Permutación sobre una fuente de reserva en funcion de las necesidades externas. Gestión de los alimentadores. Regulación. Permutación de seguridad.

63. GRACIAS