funciones

funciones segundo año

2. •Concepto de función
•Análisis de funciones
I II III IV
•Reconocimiento de funciones
-En diagrama
Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6

-En tabla de valores
Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4

-En gráfico cartesiano
Ejemplos 1 – 2 – 3
•Clasificación de funciones
-función sobreyectiva o subyectiva
-función inyectiva
-función biyectiva
•Elementos característicos de una función
TEMARIO

3. FUNCIÓN

Una relación definida entre dos conjuntos es
función si y sólo si a cada elemento del conjunto
de partida le hace corresponder uno y sólo uno
del conjunto de llegada.
Conjunto de partida: Dominio
Conjunto de llegada: Codominio
ANTERIOR

4. Las condiciones que debe reunir una
relación para ser función, pueden
resumirse en estas dos:

5. El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la
variable independiente (x).
El Codominio son los valores que puede tomar la variable
dependiente (y).
La IMAGEN es el subconjunto del CODOMINIO que se relaciona
con el DOMINIO. Puede coincidir con este.
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
7
Dominio
(x)
Codominio
(y)
ImagenImagen
Dominio
(x)
Dominio
(x)
Codominio
(y)
Dominio
(x)

6. a.
b.
c.
•m
•n
•p
•q
f
función

A B
f
A= Dom f
Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado con
uno y sólo uno de B.
Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese
elemento.

7. Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R
1
= {(x,y) / (x,y) Є AxB ^ y = x+1}
I R
1
= {(0,1),(1,2),(2,3)}
A B
0.
3.
•2
Para cada elemento x Є A, excepto 3,
existe un solo elemento y Є B tal que
el par (x,y)Є R
1
Para el elemento 3ЄA, no existe
imagen Є B tal que el par (3,y) Є R
1
•-1
•2
•3
•0
•1
1.
Por lo tanto podemos
afirmar que NO ES
FUNCIÓN, ya que no
cumple con la condición de
existencia.

8. Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R
2
= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y
2
= x
2
}
II R
2
= {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)}
BA
•0
•1
•-1
•2
•3
Para cada elemento x Є A, excepto 1,
existe un solo elemento y Є B tal que el
par (x,y)Є R
2
Para el elemento 1 Є A, existen dos
elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R
2 y
(1,-1) Є R
2
.
0.
1.
2.
3.
Por lo tanto se puede afirmar
que la relación NO ES
FUNCIÓN, ya que no cumple la
condición de unicidad para un
elemento del dominio.

9. Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R
3
= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = x}
A
III R
3
= {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)}
B
Para todo elemento x Є A, en este
caso sin excepción, existe un solo
elemento y Є B tal que el par
(x,y)Є R
3.
•0
•1
•2
•3
•-1
0.
1.
2.
3.
Por lo que puede asegurarse
que la relación cumple con
las condiciones de FUNCIÓN.

10. Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R
4
= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = 3}
IV R
4
= {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)}
A B
Para todo elemento x Є A, sin
excepción también, existe un solo
elemento y Є B tal que el par
(x,y) Є R
4.
•3
•0
•1
•-1
•2
0.
1.
2.
3.
Podemos afirmar que es
FUNCION, ya que cumple
con las condiciones de
unicidad y existencia.

11. 1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
1
A B
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR CONTINUAR

12. CORRECTO
La relación del diagrama 1 es función
porque cumple con las condiciones de
existencia y unicidad.
ANTERIOR

13. INCORRECTO
La relación del diagrama 1 es función
ANTERIOR

14. 1
2
a
b
c
Reconocimiento de funciones
2
C D
SI NO
Es función?
•En diagrama
CONTINUAR
ANTERIOR

15. INCORRECTO
La relación del diagrama 2 no es función
porque a un elemento de C le corresponden
dos elementos de D.
ANTERIOR

16. CORRECTO
La relación del diagrama 2 no es función
porque a un elemento de C le corresponden
dos elementos de D.
ANTERIOR

17. 1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
3
E F
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR

18. INCORRECTO
La relación del diagrama 3 no es función
porque un elemento de E no tiene
correspondiente en F.
ANTERIOR

19. CORRECTO
La relación del diagrama 3 no es función
porque un elemento de E no tiene
correspondiente en F.
ANTERIOR

20. 1
2
3
a
b
c
d
Reconocimiento de funciones
4
G H
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR

21. CORRECTO
La relación del diagrama 4 es función
porque cumple con las condiciones de
existencia y unicidad.
ANTERIOR

22. INCORRECTO
La relación del diagrama 4 es función
porque cumple con las condiciones de
existencia y unicidad.
ANTERIOR

23. 1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
5
I J
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR

24. CORRECTO
La relación del diagrama 5 es función
porque cumple con las condiciones de
existencia y unicidad.
ANTERIOR

25. INCORRECTO
La relación del diagrama 5 es función
porque cumple con las condiciones de
existencia y unicidad.
ANTERIOR

26. 1
2
3
4
a
b
c
d
Reconocimiento de funciones
6
K L
Es función?
SI NO
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR

27. CORRECTO
La relación del diagrama 6 es función
porque cumple con las condiciones de
existencia y unicidad.
ANTERIOR

28. INCORRECTO
La relación del diagrama 6 es función
porque cumple con las condiciones de
existencia y unicidad.
ANTERIOR

29. •En tabla de valores
1
x y
-3
4
0
4
-6
8
0
0
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR

30. INCORRECTO
La relación 1 no es función porque 4
tiene dos imágenes.
ANTERIOR

31. CORRECTO
La relación 1 no es función porque 4
está relacionado dos veces.
ANTERIOR

32. •En tabla de valores
2
x y
-3
4
0
8
8
8
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR

33. CORRECTO
La relación 2 es función.
ANTERIOR

34. INCORRECTO
La relación 2 es función.
ANTERIOR

35. •En tabla de valores
3
x y
-3
4
0
6
0
8
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR

36. CORRECTO
La relación 3 es función.
ANTERIOR

37. INCORRECTO
La relación 3 es función.
ANTERIOR

38. •En tabla de valores
4
x y
-3
4
0
0
-6
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR

39. INCORRECTO
La relación 4 no es función porque 0
no tiene imagen.
ANTERIOR

40. CORRECTO
La relación 4 no es función porque 0
no tiene imagen.
ANTERIOR

41. •En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O
a b c
1
Es función?
SI NO
ANTERIOR CONTINUAR

42. CORRECTO
La relación del gráfico 1 es función.
ANTERIOR

43. INCORRECTO
La relación del gráfico 1 es función.
ANTERIOR

44. •En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O
a b c
2
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR

45. INCORRECTO
La relación del gráfico 2 no es función
porque c no tiene imagen. (No cumple la
condición de existencia.)
ANTERIOR

46. CORRECTO
La relación del gráfico 2 no es función
porque c no tiene imagen.
ANTERIOR

47. •En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O
a b c
3
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR

48. CORRECTO
La relación del gráfico 3 es función.
ANTERIOR

49. INCORRECTO
La relación del gráfico 3 es función.
ANTERIOR

50. Clasificación de las funciones
•Función sobreyectiva o suryectiva
Una función f de A en B se sobreyectiva, si y sólo si para todo y perteneciente
a B existe un elemento x perteneciente a A, tal que f(x) = y.
Ejemplo:
Dados: A = {-1,0,1,2,} ; B = {0,1,4,} y f : A → B / f(x) = x
2
tenemos:
A B
0.
-1.
1.
2.
•0
•1
•4
f
Observamos que el conjunto imagen coincide con B, es decir,
todos los elementos de B reciben por lo menos una flecha.
ANTERIOR
CONTINUAR

51. En otras palabras para que una función sea sobreyectiva, el
codominio y la imagen deben coincidir. Recordemos que el
codominio son todos los R, excepto que se nos comunique lo
contrario.
R R
Dominio Codominio
Como puede verse
la imagen es el
conjunto R, por lo
tanto Codom=Img
ES
SOBREYECTIVA
y
x

52. •Función inyectiva
Ejemplo:
Dados: A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7,9,} y f : A → B / f(x) = 2x + 1 tenemos:
A Bf
0.
1.
2.
3.
1.
3.
5.
7.
9.
ANTERIOR

53. •Función biyectiva
Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectiva
e inyectiva.
Ejemplo:
Dados: A = {0,1,2,3} , B = {1,2,3,4} y f : A → B / f(x) = x +1 tenemos:
A B
0.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
Observamos que en este caso la relación es uno a uno.
ANTERIOR

54. Para determinar si la gráfica como la que vemos aquí corresponde o no a una
función, podemos ayudarnos con el trazado de líneas auxiliares verticales, y
analizar si alguna de ellas corta a la grafica en mas de una oportunidad.
Todas las rectas verticales cortan a la grafica en solo una oportunidad cada una, por
lo que podemos asegurar que cumple la condición de existencia y unicidad, por lo
tanto es FUNCION.
Y
X

55. Veamos ahora esta gráfica, tracemos como antes rectas verticales
para ver si cumple con las condiciones:
Como se puede ver, algunas rectas verticales cortan a la
gráfica en mas de una oportunidad, con lo que no se cumple la
condición de existencia
y
x

56. Veamos ahora esta gráfica, el dominio esta definido como
5
);(
Al trazar las rectas auxiliares verticales, podemos ver que hay algunas que
no cortan a la grafica, por lo tanto en esos valores del dominio, no hay
imagen, lo que nos permite afirmar que NO ES FUNCION, ya que no cumple
la condición de existencia
Observar que el grafico termina en 5 y NO continua mas allá de ese
valor.
y
x

57. Si al grafico anterior le modificamos el dominio, tal que DOM: ,y trazamos
ahora rectas verticales,(recordar que solo debo estudiar las condiciones en el
dominio, y por lo tanto trazar rectas verticales solo en el intervalo )
]5;(
]5;(
Veremos que TODAS las rectas cortan a la gráfica SOLO en
un punto, por lo tanto, podemos afirmar que este gráfico
corresponde a una función.
5
y
x

58. Elementos característicos de una
gráfica
•Veremos ahora como reconocer algunas características de las
graficas:
Dominio: recorrido de la función sobre el eje x
Imagen: recorrido de la función sobre el eje y
Puntos máximos: son aquellos donde alcanza su mayor valor,
pueden ser relativos o absolutos
Puntos mínimos: son aquellos donde alcanza su menor valor,
pueden ser relativos o absolutos
Raíces o ceros: son los valores donde la función corta al eje x
Intervalos de positividad: son los valores de x donde la función
toma valores positivos
Intervalos de negatividad: son los valores de x donde la función
toma valores negativos

59. Y
X
-8 5
Dom: [-8;5]
Img: [-5;6]
-5
6
Punto mínimo relativo (3;-4)
Ptos. Máximos relativos (1;4),(-8;1)
Raíces:{-6;-2;2;4}
-6 -2 2
3
4
-4
1
4
-4
1
Pto. Máximo absoluto: (5;6)
Pto. Mínimo absoluto: (-4;-5)
Intervalos de negatividad: (-6;-2)U(2;4)
Intervalos de positividad:[-8;-6)U(-2;2)U(4;5]
Intersección con el eje y: (0;3)