Funciones

Conceptos básicos de funciones.

1. Funciones
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

2. Funciones
Cálculo Diferencial
Adriana Quintero Palomino
Departamento de Matemáticas, Física y Estadística
Universidad de La Sabana
3 de abril de 2018
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

3. Funciones Grácas de funciones
Denición: Función; Una funciónfde un conjuntoDa un conjuntoYes una regla que asigna un
elementoúnicof(x)2Ypara cada elementox2D.
El conjuntoDde los valores de entrada posible se llamaDominio. El conjunto
de todos los valoresf(x), a medida quexvaria enD, se denominaRangode la
función.
Ejemplo: Algunas Funciones, sus doominios y rangos.
Función Dominio (x) Rango (y)
f(x) =x
3
(1;1) ( 1;1)
f(x) =
1
x
(1;0)[(0;1) (1;0)[(0;1)
f(x) =
p
2x (1;2] [ 0;1)
f(x) = ln(x) ( 0;1) ( 1;1)
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

4. Funciones Grácas de funciones
Algunas Grácas
A continuación se muestran las grácas de las funciones anteriores, para que se
realice la vericación visual de los valores enunciados:
Función Gráca Función Gráca
f(x) =x
3
f(x) =
1
x
f(x) =
p
2x
f(x) = ln(x)
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

5. Funciones Grácas de funciones
Prueba de la recta vertical para una función La totalidad de las curvas que se gráca en el plano de coordenadas,nopueden
ser denominadas funciones, por lo anterior existe la pruebba de la línea vertical,
para la cual se observa que si al trazar innitas líneas verticales, existe al menos
una la cual corte a la curva en dos o mas puntos, dicho gráco no representa
una función.
Función No función
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

6. Funciones Grácas de funciones
Funciones denidas a trozos Un función denida a trozos es aquella que presenta distintas fórmulas a lo
largo de su dominio.
f(x) =
8
<
:
f1(x)six<a;
f2(x)sixa;
Ejemplo: Función a trozos
Función
f(x) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
sen(x)six<2;
p
2xsi2x0;
Ln(x)si x>0;
Gráca
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

7. Funciones Grácas de funciones
Simetría: Funciones pares e impares Un funcióny=f(x)se denomina
función par de xsi f(-x)=f(x)
función impar de xsi f(-x)=-f(x)
para todaxen el dominio de la función.
La gráca de una funciónparessimétrica respecto al eje yy la de una función
imparessimétrica al origen.
Ejemplo: Función a trozos
Función Par Función Impar
f(x) =
x
2
1
x
2
4
f(x) =
x
x
2
2
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

8. Funciones Grácas de funciones
Clasicación de Funciones Existen varios tipos de funciones, entre las más comunes se pueden resaltar:Función Lineal
Un funciónf(x) =mx+b, dondemybson constantes, se denominafunción
lineal.
m6=0,b=0 m=0,b6=0
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

9. Funciones Grácas de funciones
Función Potencia
Una funciónf(x) =x
a
se denomina función potencia, donde los valores que
tomeapermite generar otra subclasicación, como sigue:
a2N a2Z,a<0 a2Q
Potencia Racional Radical
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

10. Funciones Grácas de funciones
Función Polinómica
Una funciónf(x)se denomina función polinómica si
f(x) =anx
n
+an1x
n1
+: : :+a1x+a0
f(x) =5x
4
+2x+3 f(x) =x
5
2x
3
+x+2
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

11. Funciones Grácas de funciones
Función Algebraica
Una funciónf(x)se denomina función algebraica si está conformado por
operaciones básicas entre funciones polinómicas.
f(x) =x
1=3
(x+3) f(x) =x(1x
2
)
2=3
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

12. Funciones Grácas de funciones
Función Trigonométrica
Dos de las funciones trigonométricas básicas se muestran a continuación:
f(x) =sen(x) f(x) =cos(x)
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial

13. Funciones Grácas de funciones
Función Exponencial
Una funciónf(x)se denomina exponencial sif(x) =a
x
, cona>0.
f(x) =a
x
f(x) =a
x
Función Logarítmica
Una funciónf(x)se denomina logarítmica sif(x) =loga(x), conaconstante
positiva ya6=1.
Cálculo Diferencial Cálculo Diferencial