funciones cuadraticas y raiz cuadrada.pdf

2023

1. .cl
open green
road
Guía Matemática FUNCI´ONCUADR´ATICAYRA´IZ
CUADRADA
profesor: Nicol´as Melgarejo

2. open green
road 1.
Detras del movimiento que describe un proyectil, la distancia que recorre un objeto que acelera o en la
cada libre de una manzana, esta presente la funcion cuadratica. El concepto de funcion es transversal a
todas la ciencias tanto naturales como sociales, por tal motivo es importante poder interpretar sus gracas
y desde ahi extraer conclusiones.
2.
Se denomina funcion cuadratica a aquella denida como:
f:
R!R
x!f(x) =ax
2
+bx+c
dondea; b; cson constantes reales cona6= 0. Existe una relacion directa entre la funcion cuadratica y
una ecuacion de segundo grado del tipoy=ax
2
+bx+cque iremos desarrollando en esta gua.
2.1.
La ecuacion cuadratica no es inyectiva ya que una imagen tiene asociadas dos preimagenes. Veamos
un caso puntual paraf(x) =x
2
:
f(3) = 3
2
= 9
f(3) = (3)
2
= 9
En general para cualquierxse cumplira quex
2
= (x)
2
, por lo tanto, hay dos preimagenes asosciadas
a una misma imagen.
La funcion cuadratica tampoco es epiyectiva porque el recorrido no es igual al codominio. En estas
condiciones la funcion inversa solo existira si \arreglamos" el dominio y el codominio de la funcion. Para
ver estas caractersticas con mas claridad es recomendable gracar la funcion.
2.2. f(x) =ax
2
+bx+c
La graca de la funcion cuadratica se denominaparabolala cual es una curva simetrica respecto a
una recta paralela al eje de las ordenadas. La parabola se compone de todos los pares ordenados (x; y) que
satisfacen la ecuacion cuadraticay=ax
2
+bx+c. Por ejemplo, si tomamos la funcionf(x) =x
2
+ 2x3
y la gracamos se obtiene:-4 -2 2 4
-4
-2
2
2

3. open green
road Las caractersticas particulares de cada parabola estan determinadas por sus coecientesa,byclas
cuales estudiaremos a continuacion.
2.2.1. a
El coeciente que acompa~na ax
2
determina el sentido de las amas" de la parabola.
Sia >0 entonces las amas" de la parabola van hacia arriba.
Una manera de recordarlo es pensando que sia >0 la parabola esta \contenta c:".
Sia <0 entonces las amas" de la parabola van hacia abajo.
Una manera de recordarlo es pensando que sia <0 entonces la parabola esta riste :c".
3

4. open green
road 2.2.2. c
Si evaluamosx= 0 en una funcion cuadratica cualquieraf(x) =ax
2
+bx+cobtenemos:
f(0) =a0
2
+b0 +c=c
El punto(0; c) yde una funcion
cuadratica del tipof(x) =ax
2
+bx+c. A continuacion se presenta la graca de distintas parabolas con
c= 2.
2.2.3. x
Si quisieramos saber en que puntos la parabola intersecta al ejex, debemos buscar el o los puntos para
los cuales se cumple quey= 0. Aplicando tal condicion a la funcionf(x) =ax
2
+bx+clo que debemos
resolver es:
0 =ax
2
+bx+c
Hemos llegado a una ecuacion de segundo grado con una incognita, la cual podemos resolver con la
solucion general
1
.
x=
b
p
b
2
4ac
2a
Con esta expresion encontramos las races de la ecuacion cuadratica y con ello los puntos donde la
funcion cuadratica cruza el ejex:

b+
p
b
2
4ac
2a
;0
!
y

b
p
b
2
4ac
2a
;0
!
Recordemos que una ecuacion cuadratica puede tener a lo mas 2 soluciones, esto quiere decir que hay
casos para los que solo habra una solucion y otros en donde no habra solucion real. Todo depende de un
termino llamadodiscriminante que se dene como:
=b
2
4ac
1
Cualquier camino para encontrar las races o soluciones de la ecuacion de segundo grado es valido
4

5. open green
road Los puntos de interseccion con el eje de las abscisas los podemos reecribir en funcion de as:

b+
p

2a
;0
!
y

b
p

2a
;0
!
2.2.4. x
Segun el valor del la funcion cuadratica cortara dos, una o ninguna vez al ejex.
Si >0 la parabola corta al ejexen 2 puntos. Esto se debe a que
p
si existira y habran dos
soluciones en la ecuacion de segundo grado. Por ejemplo, para la funcionf(x) =x
2
x2 los
coecientes sona= 1,b=1 yc=2. En base a esto calculamos el discriminante de la
siguiente manera:
=b
2
4ac
= (1)
2
4(1)(2)
= 1 + 8 = 9
Como >0 la ecuacion 0 =x
2
x2 tiene dos soluciones reales y, por lo tanto, la funcion corta
al ejexdos veces. Los puntos de interseccion son:

b+
p

2a
;0
!
y

b
p

2a
;0
!

1 +
p
9
2
;0
!
y

1
p
9
2
;0
!

1 + 3
2
;0

y

13
2
;0


4
2
;0

y

2
2
;0

(2;0) y (1;0)
5

6. open green
road Si = 0 la parabola corta al ejexen 1 punto. Esto se debe a que la solucion general para la
ecuacion de segundo grado tiene una unica solucion:
x=
b
p

2a
=
b
p
0
2a
=
b
2a
Por lo tanto, en este caso el punto de interseccion con el ejexes

b
2a
;0

.
Por ejemplo, en la funcionf(x) =x
2
2x+1 los coecientes sona= 1,b=2 yc= 1. Conociendo
esto calculamos el discriminante:
=b
2
4ac
= (2)
2
4(1)(1)
= 44 = 0
Como = 0 la ecuacion 0 =x
2
2x+ 1 tiene solo una solucion y, por lo tanto, la funcion corta al
ejexuna vez. El punto de interseccion es

b
2a
;0

=

2
21
;0

= (1;0)
6

7. open green
road Si <0 la parabola no corta al ejex. Esto se debe a que
p
no existe y, por lo tanto, la ecuacion
cuadratica no tiene solucion en los numeros reales. Por ejemplo, para la funcionf(x) =x2 los
coecientes sona=1,b= 0 yc=2. En base a esto calculamos el discriminante .
=b
2
4ac
= 0
2
4(1)(2)
=8
Como <0 la ecuacion 0 =x
2
2 no tiene solucion en los reales y por lo tanto la funcion no
corta al ejex.
2.2.5.
Existen dos puntos de gran interes en el estudio de las funciones: el mnimo y el maximo. Para una
funcion cuadraticaf(x) =ax
2
+bx+cexiste un mnimo de la funcion cuandoa >0 y existe un maximo
cuandoa <0. Dicho punto recibe el nombre de vertice.
7

8. open green
road Cabe destacar que el eje de simetra de la parabola pasa por el verticev, el cual tiene coordenadas:
vertice =


b
2a
;
4acb
2
4a

3.
La funcion raz cuadrada es aquella que asocia un termino real positivoxcon su raz cuadrada
p
x,
la cual podemos escribir como:
f(x) =
p
x
Esta funcion va deR
+
enR
+
, por lo que la solucion negativa de las races no se considera, de lo
contrariof(x) =
p
xno sera funcion porque cada preimagen tendra dos imagenes.
3.1.
La funcion raiz cuadrada es creciente, esto quiere decir que para cualquierx1> x2se cumple que
f(x1)> f(x2). Ademasf(x) =
p
xes biyectiva en los intervalos que la hemos denido y por lo tanto
tiene funcion inversa.
x1> x2=)f(x1)> f(x2)
3.2. f(x) =
p
x
El graco de la funcion cuadratica se asemeja a la mitad de una parabola pero simetrica al ejexcomo
la mostramos a continuacion:-5 5 10 15 20 25 30
-5
5
10
15
3.2.1. f(x) =
p
ax
Estudiemos como afecta la amplicacion del argumento de la raz por alguna >0.
8

9. open green
road Podemos notar que una funcion donde el coeciente dexes mayor que en otra, la graca de la funcion
con coeciente mayor siempre esta por sobre la graca con coeciente menor.
3.2.2. f(x) =
p
x+a
Estudiemos como afecta el sumar un terminoaal argumento de la funcion.
Paraf(x) =
p
x+apodemos notar dos cosas:
La graca de la funcion parte en el ejexen el puntoa
La graca de la funcion que tiene mayoraesta sobre las otras.
-Ejercicios 1
Para cada una de las siguientes funciones:
1.f(x) =x
2
x+ 1
2.g(x) =x
2
+ 4x+ 3
3.h(x) = 5x
2
+ 15x+ 20
4.f(x) = 6 + 5x+x
2
5.g(x) =x
2
+ 8x+ 16
9

10. open green
road Hallar sin gracar:
1. x
2. y
3.
4.
5.
10

11. open green
road Bibliografa
[1Apuntes de

Algebra I, Tomo I,Segunda edicion 1993, Facultad de Ciencias, USACH
Antonio Orellana Lobos.
[2Apuntes

Algebra,Edicion 2003, Facultad de Ciencias, USACH
Ricardo Santander Baeza.
11