Funciones de distribución discreta en la flotación

Flotación y sus moedelación

1. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación en Flotación
Mario A. Guevara
Departamento de Metalurgia
Universidad de Atacama
Noviembre de 2001.

2. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Objetivos
Conocer y representar mediante ecuaciones el fenómeno
de flotación
Evaluar los parámetros de los modelos
Simular el proceso

3. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Temario
Conceptualización del sistema
Modelación flotación semibatch
Funciones de distribución continua
Funciones de distribución discreta
Evaluación de parámetros
Modelación contínua

4. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Conceptualización del sistema de flotación
Partículas
libres
Partículas
unidas a
burbujas
Partículas
unidas a
burbujas
Partículas
libres
E
s
p
u
m
a
P
u
lp
a
Alimentación Aire Relave
Concentrado Aire

5. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Conceptualización del sistema de flotación
Tres son los enfoques
Existencia de cuatro fases
Una de partículas libres en la pulpa
Partículas adheridas a burbujas en la pulpa
Partículas libres en la espuma
Partículas adheridas a burbujas en la espuma
Dos fases
Una de pulpa
Otra de espuma
Enfoque cinético

6. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Enfoque cinético
Se considera que el evento de flotación ocurre análogo a una
reacción química.
+

n
C(t)K
dt
dC(t)


7. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Planteando el modelo en términos del componente residual en
la celda
M(t)K
dt
dM(t)

donde:
M(t) = masa residual del componente en un tiempo t=t
M
0
= masa residual del componente para t=0
Integrando:


t
0
M(t)
M
dtK
M(t)
dM(t)

0

8. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Resulta:
tK-
0
e
M
M(t)
F(t)


F(t)
t
1

9. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Primer problema:
La evidencia experimental muestra que, aún cuando el tiempo tienda a
infinito, siempre existe una fracción de componente que no es flotable.
0
0
M
m
R

donde:
m
0
= masa residual flotable del componente en un tiempo t=0
M
0
= masa residual del componente para t=0
Solución:

Se define un parámetro R

, que representa la fracción de masa flotable
del componente de la mena (recuperación máxima obtenible)

10. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Aplicando el modelo ahora para el componente flotable
remanente en la celda, m(t), queda:
tK-
0
e
m
m(t)
f(t)


f(t)ln
[min]t
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
t
1 t
2 t
3 t
4
K = 1,0
K = 0,5

11. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
En flotación, la variable habitual que se utiliza es la
recuperación, R, por lo tanto:
0
0
0
0
M
m(t) - m

M
M(t) - M

inicial masa
recuperada masa
R 
como:
se obtiene
 
tk
e1R R





R
m
M
0
0

12. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos
problemas más en el modelo derivado:
f(t)ln
t1
2

13. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
De acuerdo a la evidencia experimental, existen dos problemas más en el modelo derivado:
Si bien los valores tienden a representar un comportamiento lineal, la curva no tiende a f(t) = 1 en t=0.
Esto se debe a que es difícil determinar el tiempo cero real de la experiencia
Solución
Se agrega un nuevo parámetro , que permite obtener el tiempo real
) -t (K-
0
e
m
m(t)
f(t)



14. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Te rcer problema
Para tiempos grandes, la pendiente varía haciéndose cada vez menos negativa, especialmente para f(t) < 0,1.
Esto es debido al parámetro K, y puede deberse a dos factores
Que K es función del tiempo
Que K está estadísticamente distribuído
Intuitivamente, es más razonable que K esté estadísticamente distribuído

15. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Se define como especie a todas aquellas partículas que tienen la misma velocidad de flotación
Este concepto agrupa la partícula misma como el medio ambiente, tanto químico como hidrodinámico.
Este concepto está basado en la respuesta de la mena frente a la flotación y no a las características de las partículas como individuos.
O sea, dos especies serán iguales si tienen la misma velocidad de flotación
Por lo tanto, cada mena en particular se caracterizará por una distribución inicial de especies que irá cambiando a medida de transcurra la flotación

16. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución
(t)
p
pp+dp
.dx(x)b)XP(a3.
.1dx(x)2.
R.xtodopara0(x)1.
adprobabilid de contínuaFunción
b
a







(t)
p
p
1 p
2 p
3

1

3

2
.(x)x)P(X3.
.1(x)2.
0.(x)1.
adprobabilid de discretaFunción
x





17. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación flotación semi-batch
Estas funciones representan la probabilidad o frecuencia con que se
presenta una cierta propiedad p.
(p)dp representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la
propiedad p, en el intervalo diferencial p a p+dp, en forma contínua.

j
, representa la probabilidad o frecuencia con que se presenta la
propiedad p
j
en forma discreta.

18. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
Ψ(t)f(t)
t
f(0)
k
k
f(t
1
)
f(t
2
)
f(t
3
)
f(t
4
)
t
1
t
2
t
3
t
4
k + dk




max
min
k
k
dkt)Ψ(k,f(t) f(t)
remanentefracción -.dk t)Ψ(k,f(t)
frecuencia -. dk t)Ψ(k,

19. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
La ecuación fundamental de modelación de flotación para una
distrubución contínua de velocidades es, entonces:


max
min
k
k
dkt)Ψ(k,f(t) f(t)
el problema para resolverla es que la función distribución,
(k,t), depende del tiempo
La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación
sigue una cinética de primer orden, por lo tanto:
   t)Ψ(k,f(t)k- t)Ψ(k,f(t)
dt
d


20. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
reordenando
y resolviendo para:
 
dtk-
t)Ψ(k,f(t)
t)Ψ(k,f(t)d



t)Ψ(k,f(t)t)Ψ(k,f(t) t t
Ψ(k,0)Ψ(k,0)f(0)t)Ψ(k,f(t) 0t


tenemos:
t-k
eΨ(k,0) t)Ψ(k,f(t)



21. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene:
esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de
velocidades inicial, (k,0), para el mineral.



max
min
k
k
tk-
dkeΨ(k,0) f(t)

22. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
(k,0)
k
Rectangular simple (k,0)
k
Rectangular doble
(k,0)
k
Triangular (k,0)
k
Triangular invertida simple

23. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
(k,0)
k
(k,0)
k
Triangular invertida doble
(k,0)
k
Gamma simple
(k,0)
k
Gamma doble
Triangular invertida simple

24. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
(k,0)
k
qxk
m
Rectangular simple
k
m
Ejemplo
Encontrar la función distribución si la distribución de
velocidades iniciales corresponde a una función
rectangular simple

25. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución continua
Solución
para esta ecuación, existen dos casos particulares cuando q
toma los valores de cero y uno, y se obtiene:
 
tktkq
m
mm
e e
tkq)(1
1
f(t)




 
tk
tk
m
m
m
e f(t)
1 q si
e 1
tk
1
f(t)
0 q si









26. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
(t)F(t)
t

1
k
t
1
t
2
t
3




n
1j
j
j
j
F(t)t)(k,Φ F(t)
remanentefracción -. F(t)t)(k,Φ
frecuencia -. t)(k,Φ
k
1

2
k
2

27. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
La ecuación fundamental de modelación de flotación para una
distribución discreta de velocidades es, entonces:



n
1j
j
F(t)t)(k, F(t)
el problema para resolverla es que la función distribución,
(k,t), depende del tiempo
La suposición que se utiliza es que la velocidad de flotación
sigue una cinética de primer orden, por lo tanto:
   F(t)t)(k,k- F(t)t)(k,
dt
d


28. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
reordenando
y resolviendo para:
 
dtk-
F(t)t)(k,
F(t)t)(k,d



F(t)t)(k,F(t)t)(k, t t
(k,0)F(0)(k,0)F(t)t)(k, 0t


tenemos:
t-k
e(k,0) F(t)t)(k,



29. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
Reemplazando en la ecuación fundamental, se tiene:
esta ecuación se puede resolver conocido la distribución de
velocidades inicial, (k,0), para el mineral.




n
1j
tk-
j
j
e(k,0)Φ F(t)

30. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelo de García-Zúñiga
(t)F(t)
t

k
t
1
t
2
t
3 tk
2
2
1
1
tk
2
tk
1
eΦ)-(1 Φ F(t)
:tenemos
k k
Φ-1 Φ
0 k
Φ Φ
:haciendo
eΦ eΦ F(t)
flota no que otray flota que una flotables,
especies dos de existencia la Propone
21








k=0
1-
k=k

31. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelo de Kelsall
(t)F(t)
t

k
t
1
t
2
t
3
k
s
1-
k
f

eΦ)-(1 eΦ F(t)
:tenemos
k k
Φ-1 Φ
k k
Φ Φ
:haciendo
eΦ eΦ F(t)
rápido flota que otray lenyo flota que una
flotables, especies dos de existencia la Propone
tktk
f2
2
s1
1
tk
2
tk
1
fs
21









32. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelo de Jowett
(t)F(t)
t

1
k
t
1
t
2
t
3
k
s
1-
1
-
2
k
f
tk
21
tk
21
f3
213
s2
22
1
11
tk
3
tk
2
tk
1
fs
321
e)-Φ-(1 eΦ F(t)
:tenemos
k k
-Φ-1 Φ
k k
Φ Φ
0 k
Φ Φ
:haciendo
eΦ eΦ eΦ F(t)
rápido flota
que otray lento flota que unaflota, no que una
flotables, especies tresde existencia la Propone











2
k=0

33. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Funciones de distribución discreta
Observaciones:
F(t), corresponde al sólido remanente en la celda
En términos de la recuperación, se debe utilizar la relación:
F(t)-1 R(t)

34. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Evaluación de parámetros
Modelo de García-Zúñiga
R
t
R

 
tk
e1R R









R
R
- 1ln
t
tk
R
R
1ln 








k
Método gráfico

35. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Evaluación de parámetros
Modelo de Kelsall
F(t)
t

t
Método gráfico
tktk
fs
eΦ)-(1 eΦ F(t)


tk
s
eΦ F(t)
:largos tiempospara


k
s
   tk - Φ-1ln eΦ - F(t)ln
f
tk
s


ln[1-]
k
f
 
tk
s
eΦ - F(t)ln



36. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación de la flotación contínua
La diferencia fundamental entre un sistema discreto y uno continuo se
refiere al mecanismo de transporte de masa a través de la unidad
En un sistema semibatch, las partículas permanecen un mismo
tiempo dentro de la celda
En una operación continua, la partículas muestran una distribución de
tiempos de residencia

37. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelación de la flotación contínua
La metodología consiste en evaluar la función distribución de
tiempos de residencia en una celda contínua y ponderarla de
acuerdo al modelo semibatch.














00
tk
0
BATCH
dtE(t)dkeΨ(k,0) f(t)
dtE(t)f(t) f(t)
ó

38. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Distribución de tiempos de residencia
Para caracterizar el transporte de masa a través de un reactor
se han planteado dos tipos de reactores ideales:
Flujo pistón
La alimentación se desplaza dentro del reactor sin mezcla axial y
con mezcla perfecta en dirección radial
las partículas tienen un mismo tiempo de residencia
Mezcla perfecta
El flujo de alimentación se dispersa homogenea e
instantáneamente en todo el volumen de reactor
Las partículas tienen tiempos de residencia distintos

39. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Mezcla perfecta
La distribución de tiempo de residencia para la mezcla
perfecta tiene la expresión:
t
t
e
t
1
E(t)


donde t es el tiempo promedio de la distribución (tiempo medio
de residencia).
En forma adimensional

 e E(t)t )E(

40. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Mezcla perfecta
para N reactores conectados en serie:




N
N
1N
e
1)!(n
N
E(t)t )E(
Se debe tomar en cuenta que si N tiende a infinito, el
comportamiento de los reactores en serie es equivalente a un
flujo pistón.

41. Universidad de Atacama
Modelación de la Flotación
Modelo de García Zúñiga flotación continua
Se debe resolver la ecuación:
 
NN
0
t
t
N
N
1-N
tk
0
BATCH
tk 1
1

N
t
k 1
1
f(t)
dte
1)!(N
N
t
t
t
1
e f(t)
dtE(t)f(t) f(t)
































Solución: