FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Presentación

1. Republica Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Sede: Barcelona Escuela: Ing. Industrial Presentado por: Claudia Bolívar 26.564.288 Barcelona, 20/11/2020 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2. INTRODUCCION Como sabemos el algebra vectorial y el calculo diferencial son ramas que conectan temas como el de las funciones, mayormente funciones de varias variables . A continuación se estudiara de forma objetiva los conceptos relaciones con el tema de las funciones de varias variables, incluyendo temas como: Sistema de Coordenadas Cartesianas, Sistema de Coordenadas Cilíndricas, Sistema de Coordenadas Esféricas . Para empezar debemos aclarar que existen varios tipos de sistemas de coordenadas, pero en general se pueden definir como un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclideo o mas generalmente variedad diferencial . Debemos tener en cuenta que existe la posibilidad de transformar de ciertos sistemas de coordenadas a otros y en el presente trabajo aprenderemos como y la utilidad de esta herramienta.

3. En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números ( coordenadas ) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico .​ El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una  tupla ordenada ; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada- x ». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica ".​ SISTEMA DE COORDENADAS TUPLA: en  matemáticas , si  n  es un  número natural , entonces una  n- upla , también llamada  n- tupla , es una  secuencia  o lista ordenada  finita  de  n  objetos, y estos elementos se dice que son sus componentes.

4. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados , dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en   se pueden definir sistemas  n -dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto ( A ) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre un eje determinado : Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje  x  está definido por el origen de coordenadas ( O ) y un vector ( ) tal que: El valor de la coordenada  x  de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje  x .

5. SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS El sistema de coordenadas cilíndricas , se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial . Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo , al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada  z  que determina la altura del cilindro.

6. SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

7. TRANSFORMACIONES TRANSFORMACION DE COORDENADAS ENTRE CARTESIANAS Y CILINDRICAS P (X,Y,Z) P (r, , z) Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada  z , es la misma Mientras que las coordenadas   e   constituyen los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa  , por lo que De aquí se tienen las relaciones inversas:

8. TRANSFORMACION DE COORDENADAS ENTRE CILINDRICAS Y ESFERICAS Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En primer lugar, la coordenada   es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo Y con las correspondientes relaciones inversas TRANSFORMACION DE COORDENADAS ENTRE CARTESIANAS Y ESFERICAS Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.

9. Y sus correspondientes relaciones inversas EJEMPLOS: 1.-Estructura 2.-Formulas (reglas)

10. 3.-Ejercicio 4.-Resolución 5.-Respuesta 1.-Estructura 2.-Formulas (reglas)

11. 3.-Ejercicio 4.-Resolución 5.-Respuesta

12. SIMETRIA La simetría es una característica presente en numerosas ramas de las matemáticas, y por lo tanto no se limita como pudiera parecer a primera vista a la geometría. Es un tipo de  invarianza : la propiedad de que un objeto matemático permanece sin cambios bajo un determina do conjunto de  operaciones o  transformaciones. Dado un objeto estructurado  X  de cualquier tipo, una simetría es una aplicación del objeto sobre sí mismo que conserva su estructura. Esto puede ocurrir de muchas maneras; por ejemplo, si  X  es un conjunto sin estructura adicional, una simetría es una aplicación  biyectiva  de un conjunto sobre sí mismo, dando lugar a un grupo de permutaciones. Si el objeto  X  es un conjunto de puntos en el plano con su estructura métrica o cualquier otro espacio métrico, una simetría es un función biyectiva  del conjunto en sí mismo que conserva la distancia entre cada par de puntos (es decir, es una isometría). En general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría.

13. TIPOS DE SIMETRIA De rotación . Es el giro que experimenta todo motivo de manera repetitiva hasta que finaliza consiguiendo la posición idéntica que tenía al principio. De abatimiento. En este caso lo que se logra es dos partes iguales de un objeto concreto tras llevarse a cabo un giro de 180º de una con respecto a la otra. De traslación . Este es el término que se utiliza para referirse al conjunto de repeticiones que lleva a cabo un objeto a una distancia siempre idéntica del eje y durante una línea que puede estar colocada en cualquier posición. De ampliación . Se emplea para dejar patente que dos partes de un todo son semejantes y es que tienen la misma forma pero no un tamaño igual. Bilateral . Es la que permite que se obtenga un retrato bilateral que tiene como espina dorsal un eje de simetría. A los lados de este aparecen formas iguales a la misma distancia de él que serán las que permitan crear ese citado retrato.

14. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x )   que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente ( y )   que cambia respecto a  x . El cambio que sufre  y  está definido por una expresión algebraica que funge como regla.  Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo diferente, procesado:

15. La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para  y = f(x)  dependiendo el valor que tome  x . En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo  t . Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables.  Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas  z  =  f( x,y ).  La idea de relación es más compleja puesto que el valor de  z  depende no solo del valor de  x  o de  y,  sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de  z . 

16. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente: Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimencionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados ( x, y ) le corresponden dos valores de  z.  Rompe con la definición de función. 

17. DOMINIO Y RANGO Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función  z  en función del dominio.  El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactúan estas variables. Por ejemplo: Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de  x   y    de  y  tal que ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la función  f  jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:

18. De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma  f  o  z,   que en realidad son todos los reales, pues nunca se indefine: En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de los valores que toman  x  y  y  en un plano, en el caso de una función de tres variables. Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:  Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de  x  y de  y  son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos dimensiones solamente. 

19. Para el siguiente ejemplo de función : Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El método para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe que argumento de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda de la siguiente forma: Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de puntos que simplemente no indefinen a la función  f.  La imagen se encuentra evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto donde se alcanza el valor máximo de  f , si es que lo hay: Valor máximo Valor mínimo

20. Ahora se escribe la imagen: El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional que sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro por fuera y así determinar que región indefinie a  f  y cual no.  Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje  z  positivo. La circunferencia que describe a la mitad es justamente la frontera del dominio.

21. El último dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro variables. En estos caso, el dominio es una gráfica tridimensional. Por ejemplo: El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables en su argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a  f . La raíz cuadrada del denominador no puede ser igual a 0. Así mismo, su argumento no puede ser negativo. Por la conjunción de ambas condiciones se tiene que el dominio es: La gráfica del dominio está en tres dimensiones: El gráfico es pues una esfera. Es importante notar que la superficie está punteada pues solo el "contenido" es parte del dominio. Si las variables del argumento de la función tomaran valores de un punto de la superficie,  f  se indefiniría. 

22. CONCLUSION Como consecuencia de lo expuesto podemos decir que las funciones de varias variables son muy importantes y que poseen una gran cantidad de usos en distintas ramas de la matemáticas, el conocimiento adquirido en este trabajo será de gran provecho tanto en el uso de las matemáticas como en muchas otras áreas de la ingeniera. A lo largo de esta presentación aprendimos la estructura de cada sistema de coordenadas expuestos y así mismo diferenciarlos y transformarlos según nuestro requerimiento en el momento. No olvidemos también lo importante que resulta ser la simetría en el área de las matemáticas aplicadas a la ingeniera ya que en general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría .

23. BIBLIOGRAFIA Elaboradores de Wikipedia. (2020a, noviembre 13). Simetría . Wikipedia, la enciclopedia libre. https://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa Elaboradores de Wikipedia. (2020b, noviembre 17). Sistema de coordenadas . Wikipedia, la enciclopedia libre. https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas Funciones de varias variables - Diario de Cálculo Vectorial . (s. f.). Diario de Cálculo Vectorial. Recuperado 19 de noviembre de 2020, de https:// sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-variables

24. Maculet , A. (2020, 11 noviembre). Simetría: qué es en matemáticas y ejercicios . Smartick . https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/simetria/ SISTEMAS COORDENADOS - GEOMETRIA ANALITICA . (s. f.). Geometría Analítica. Recuperado 19 de noviembre de 2020, de https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas-cordenados

25. ANEXOS https://www.youtube.com/watch?v=yGMjw8C9z-Y&ab_channel=ProfeMarcoAyala https://www.youtube.com/watch?v=XkKXfu3PDw8&t=272s&ab_channel=ProfeMarcoAyala https://www.youtube.com/watch?v=ERisW0OBWkY&ab_channel=ProfeMarcoAyala