Funciones económicas, RESUMEN!

Material tipo resumen para económicas del cbc de la uba.
Funciones económicas, cada función y una breve explicación y/o ejemplos adjuntos.

1. 1
x
$
CF
0
x
0
$
()Ix
  0;DomCt
  ;ImCtCF 
  0;DomI
  0;ImI
()Ctx
FUNCIONES ECONOMICAS
Las funciones económicas pueden responder a varios modelos matemáticos (lineal, cuadrático, etc.). Nosotros
estudiaremos, en principio, la aplicación más sencilla: cuando las funciones económicas se adaptan a un modelo
lineal.

Podemos hablar de dos tipos de funciones económicas:
 FUNCIONES DE LA EMPRESA
 FUNCIONES DEL MERCADO

FUNCIONES DE LA EMPRESA

Son aquellas que tienen que ver con la actividad propia de la empresa en sí. Distinguimos tres tipos:
 FUNCIÓN COSTO TOTAL
 FUNCIÓN INGRESO TOTAL
 FUNCIÓN UTILIDAD

FUNCIÓN COSTO TOTAL:
Una función lineal de costo está dada por: ().
v
CtxCxCF  , donde Cv es el costo variable por unidad, CF es
el costo fijo de producción y “x” representa la cantidad producida por la empresa. En consecuencia Cv y CF son
siempre positivos y x es siempre mayor o igual que cero.
Observar que la ordenada al origen CF es el costo de producir 0 unidades, es decir si calculamos
C(0) = Cv .0 + CF = CF, entonces si no se fabrica el producto, de todos modos tenemos un costo fijo.
Como C
v, que es la pendiente de la recta, es siempre positivo, entonces la recta que representa la función costo
total es siempre creciente.












FUNCIÓN INGRESO:
Una función lineal de ingreso está dada por: ().
v
Ixpx , donde pv representa el precio de venta al cual se
comercializa (o vende) el producto y “x” representa la cantidad vendida por la empresa. En consecuencia
p
v siempre es positivo y x es siempre mayor o igual que cero. Observar que la ordenada al origen es cero,
dado que si no se vende nada, no ingresa nada.
Como pv, que es la pendiente de la recta, es siempre positivo, entonces la recta que representa la función
Ingreso total es siempre creciente.

2. 2

x

0
-CF
$

()Ux
  0;DomU
  ;ImU CF
$
()()()UxIxCtx 
FUNCIÓN UTILIDAD:
Se define como la diferencia entre la función de Ingreso total y la función de Costo total, es
decir:

Si las funciones de Ingreso y Costo total son lineales, y además suponemos que se vende
todo lo que se produce, entonces queda de la siguiente manera:  (). .
v v
UxpxCxCF   y
trabajando la expresión algebraicamente, queda:  () .
v v
UxpCxCF  , donde por lógica,
pv>Cv, de lo contrario habría pérdida desde “antes de empezar la actividad”, con lo cual, la
diferencia entre el precio pv y el costo variable Cv será siempre positivo y, como dicha
diferencia es la pendiente de la recta que representa la función Utilidad, entonces dicha recta
será siempre creciente.
Observar que la ordenada al origen es –CF, es decir “costo fijo negativo”. Esto quiere decir
que aunque no venda ni produzca nada, tengo una pérdida igual al costo fijo. Y ésta es la
única función económica en la cual tiene sentido tener valores negativos y positivos.
Veremos que los valores positivos significan ganancia para la empresa (Utilidad positiva) y
los valores negativos significan pérdida (Utilidad negativa).













Si representamos las tres funciones en el mismo gráfico, lo veremos de la siguiente manera:

El punto de intersección entre la función Costo total y la función Ingreso, se llama Punto de
Equilibrio de la empresa. Dicho punto se obtiene cuando el Costo total es igual al Ingreso,
es decir en ese caso no hay pérdida ni ganancia. Observar que si se proyecta dicho punto
sobre el eje x (en línea punteada en el gráfico) coincide con el cero de la función Utilidad, es
decir cuando la utilidad es cero. Por lo tanto, el punto de equilibrio se define también como la
cantidad de unidades que deben producirse y venderse para que la utilidad sea cero. Por
supuesto que la intención de toda empresa será producir y vender más cantidades que la
indicada por el punto de equilibrio, ya que en ese caso se obtendrá una utilidad positiva, es
decir ganancia. De lo contrario, es decir, si no se supera la cantidad de equilibrio, se
obtendrá una utilidad negativa, es decir, pérdida.


x

$
E

3. 3

A partir de las funciones de la empresa mencionadas se pueden definir las siguientes
funciones:


FUNCIÓN COSTO PROMEDIO (o COSTO MEDIO):

Si Ct(x) es la función de Costo total, el costo promedio de producir x unidades es el Costo
total dividido por el número de unidades producidas.
()
()
Ctx
Cpx
x
 , el costo promedio indica el costo promedio por unidad.
FUNCIÓN INGRESO PROMEDIO (o INGRESO MEDIO):
Si I(x) es la función de Ingreso, el ingreso promedio de vender x unidades es el Ingreso total
dividido por el número de unidades vendidas.
()
()
Ix
Ipx
x
 , el Ingreso promedio indica el ingreso promedio por unidad.
FUNCIÓN UTILIDAD MEDIA:
Si U(x) es la función de Utilidad, la utilidad media de producir y vender x unidades es la Utilidad
dividido por el número de unidades producidas y vendidas.
()
()
Ux
Umx
x
 , la Utilidad media indica la utilidad promedio por unidad.
NOTA: EN LAS FUNCIONES ECONOMICAS DE LA EMPRESA DEFINIDAS TAMBIEN SE
PUEDE UTILIZAR LA VARIABLE q EN LUGAR DE LA x PARA INDICAR LA CANTIDAD DE
UNIDADES.

4. 4

pmáx.
0
q
qmáx.

p
D

FUNCIONES DEL MERCADO
Son aquellas que tienen que ver con la actividad en el mercado. Distinguimos dos tipos:
 FUNCIÓN DE DEMANDA
 FUNCIÓN DE OFERTA

FUNCIÓN DE DEMANDA

Definimos a la demanda como la relación entre el precio de un bien y las cantidades que se
está dispuesto a adquirir en el mercado en un determinado momento, manteniendo constante
los demás factores que puedan afectarla.
Una función de demanda expresa la cantidad demandada q (el número de unidades
solicitadas) como una función del precio por unidad p, es decir, ()qfp , donde p es la
variable independiente y q la variable dependiente. Como p es la variable independiente,
entonces el dominio de la función de demanda está dado por los precios que puede
tomar determinado producto. En cambio como q es la variable dependiente, el conjunto
imagen está dado por las cantidades que se demandan a esos precios.
Para los llamados bienes normales o típicos la cantidad demandada disminuye al aumentar el
precio, y por el contrario, cuando el precio disminuye aumenta la cantidad demanda. Es decir,
la función de demanda es una función decreciente respecto del precio para bienes
normales.

Función de demanda y su representación gráfica

La gráfica de una función de demanda constituye la curva de demanda. Cabe aclarar que sólo
tiene sentido económico la sección o tramo de la curva que queda en el primer cuadrante, es
decir donde 0 0qyp , ya que las cantidades de un producto y sus precios toman valores
nulos o positivos. Las funciones de demanda están en algunos casos representados por
funciones lineales, en otros casos dichas funciones no son lineales.
La convención de los economistas es representar p en el eje de las ordenadas (eje y) y q en el
de abscisas (eje x). Es decir que el dominio de la función está sobre el eje vertical y la imagen
en el eje horizontal.

Gráfico de la función de demanda lineal: .pmqb 


  0;
máx
DomD p






El precio máximo del bien es el precio cuando la cantidad demandada es cero y la cantidad
demandada máxima es la cantidad cuando el precio es cero.


  0;
máx
ImD q

5. 5

1
018 18
20
p p
1
25 18
20
1
1825
20
720 140
q
q
q q
 

 
1
10018 13
20
p p   
Ejemplo: Veamos un ejemplo de función lineal de demanda, en donde se relaciona las
cantidades mensuales demandadas de un determinado producto (q) y su precio de venta (p):
1
18
20
p q 
¿Cuál es el dominio y el conjunto imagen de la función?
Para obtener el dominio de la función buscamos el precio máximo, es decir, el precio para el
cual el mercado ya no comprará más productos, es decir, para una cantidad demandada igual
a cero:
Es decir que, el dominio de la función de demanda
es:  0;18DomD
Para obtener el conjunto de Imagen de la función, buscamos la cantidad demandada máxima
igualando a cero el precio y despejando la cantidad demandada:


Si el precio es cero, el producto se regala y la demanda es de 360 unidades.
Es decir que, la imagen de la función de demanda es:   0;360ImD

Gráfico de la función de demanda:














a) ¿Cuál es la demanda para un precio p = $ 10?

b) ¿Habrá consumidores dispuestos a pagar $25 por unidad?
c) ¿Cuál es el mayor precio que la demanda acepta?
d) ¿Por qué la pendiente de la función es negativa?
e) ¿A qué precio se demandan 100 unidades?

a) p = $ 10


Si el precio es $ 10, la demanda es de 160 unidades.

b) p = $ 25

Si el precio es veinticinco pesos, no hay demanda,
porque no existe ningún comprador dispuesto a pagar
ese precio.

c) El mayor precio que el mercado acepta es $18, para el cual la demanda es de cero
unidades, es decir que cuando el precio sea inferior a dicho monto, el mercado comenzará a
demandar el producto.
d) La pendiente de la función demanda es negativa, porque al aumentar los precios del bien,
disminuyen las cantidades demandadas. Es una función decreciente.
1
0 18
20
1
18 360
20
q
q q
 

1
10 18
20
1
1810
20
820 160
q
q
q q
 



6. 6

p
O
pbase
  ;
base
DomOp 
p
O
q
q
0
0
  0;DomO
e) q = 100 Si la demanda es de 100 unidades, el precio
es $ 13.

FUNCIÓN DE OFERTA

Definimos a la oferta como "la relación entre la cantidad que el productor está dispuesto a
ofrecer a la venta de un bien, y el precio al que dicha cantidad se ofrece en el mercado, en un
determinado momento".
Una función de oferta expresa la cantidad ofertada u ofrecida q (el número de unidades que
un proveedor está dispuesto a llevar al mercado para satisfacer la demanda) como una función
del precio por unidad p, es decir: ()qfp , donde p es la variable independiente y q la
variable dependiente.
Como p es la variable independiente, entonces el dominio de la función de oferta está dado
por los precios que puede tomar determinado producto. En cambio como q es la variable
dependiente, el conjunto imagen está dado por las cantidades que se ofrecen a esos
precios.
Comúnmente al aumentar el precio, la cantidad ofrecida aumenta, y si el precio disminuye se
reduce la oferta. Es decir, la función de oferta es una función creciente respecto del precio
para bienes normales.

Función de oferta y su representación gráfica

La gráfica de una función de oferta constituye la curva de oferta. Al igual que para la función de
demanda, sólo tiene sentido económico la sección o tramo de la curva que queda en el primer
cuadrante, es decir donde 0 0qyp , ya que las cantidades de un producto y sus precios
toman valores nulos o positivos. Las funciones de oferta están en algunos casos representados
por funciones lineales, en otros casos dichas funciones no son lineales.
La convención de los economistas es representar p en el eje de las ordenadas (eje y) y q en el
de abscisas (eje x). Es decir que el dominio de la función está sobre el eje vertical y la imagen
en el eje horizontal.
Gráfico de la función de oferta lineal: .pmqb 










El precio base del bien es el precio cuando la cantidad ofrecida es cero, es decir el precio a
partir del cual se empieza a ofrecer el producto.
La gráfica de la oferta también puede ser así:









La cantidad ofrecida mínima es la cantidad que se ofrece cuando el precio es cero, es decir es
el stock mínimo que se ofrece de un cierto producto.
  0;ImO
q
mínima
  ;
mínima
ImOq 

7. 7

0
p
q
O
D
E
pe
q
e
Ejemplo: Veamos un ejemplo de función lineal de oferta, en donde se relaciona las cantidades
mensuales ofrecidas de un determinado producto (q) y su precio de venta (p):
1
2
2
pq
¿Cuál es el dominio y el conjunto imagen de la función?
Para obtener el dominio de la función buscamos el precio base, es decir, el precio cuando la
cantidad ofrecida es cero, es decir el precio a partir del cual se empieza a ofrecer el producto.
Igualamos a cero la cantidad ofrecida:

Es decir que, el dominio de la función de oferta es:  2;)DomO
La imagen de la función de oferta es:  0;)ImO
Para realizar el gráfico de la función de oferta podemos utilizar una tabla de valores:





Para graficar consideramos la convención de los economistas, es decir representamos los
precios en el eje vertical y las cantidades en el eje horizontal.
Gráfico de la función de oferta:














PUNTO DE EQUILIBRIO DEL MERCADO (O PUNTO DE COURNOT)
Se produce equilibrio en el mercado cuando la cantidad demandada de un producto es igual a
la cantidad ofrecida del mismo, es decir todo lo que se produce (se lanza al mercado) se
consume. El precio y la cantidad de equilibrio corresponden a las coordenadas del punto de
intersección de las curvas de oferta y demanda. Para determinar analíticamente el punto de
equilibrio deben igualarse las funciones de demanda y oferta, es decir, el precio de la demanda
se iguala con el precio de la oferta: pd = po y luego se despeja q o bien la cantidad demandada
se iguala con la cantidad ofrecida: q
d = q
o y luego se despeja p.



(;)
ee
Eqp es el punto de equilibrio.







Cuando el precio está por debajo del precio de equilibrio, la demanda es mayor que la oferta, y
se produce una escasez del producto.
Cuando el precio está por encima del precio de equilibrio, la oferta es mayor que la demanda, y
se produce un excedente de la producción.
q
1
2
2
pq

0 2
2 3
4 4
1
02 2
2
p p

8. 8

Cuando el precio es igual al precio de equilibrio, no hay escasez ni excedente.
Ejemplo:
Si la demanda para un cierto producto es q = −5p + 4000 unidades vendidas por semana y la
oferta es q = 7p – 1400 unidades por semana, entonces se obtiene el precio de equilibrio
cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida:
5400071400
d o
qq p p  despejando p resulta igual a 450. El precio de equilibrio
es $450 y la cantidad de equilibrio se obtiene reemplazando dicho precio en la ecuación de la
demanda o bien en la de oferta, reemplazando p=450 en la ecuación de demanda:
545040001750 q  unidades por semana.
Gráfico:



NOTA: EN LAS FUNCIONES DE DEMANDA Y OFERTA TAMBIEN SE PUEDE UTILIZAR LA
VARIABLE x EN LUGAR DE LA q PARA INDICAR LA CANTIDAD DE UNIDADES
DEMANDADAS Y OFRECIDAS RESPECTIVAMENTE.

9. 9