Funciones lineales

Problemas aplicados a la vida de funciones lineales

1. Funciones Lineales


x = horas
trabajadas
0 1 2 3 4
f(x) = dólares
ganados
0 10 20 30 40


Si Juan gana $10.00 por hora, la tabla y gráfica anteriores muestran la función:

Cuando la entrada de la función aumenta en 1, la salida de la
función siempre aumenta por 10. Asi la razón de cambio es 10 y
es constante. Cuando la razón de cambio es constante,
aprendimos en la lección de relaciones lineales que la razón de
cambio se puede llamar la pendiente y la relacion es lineal.
Veamos otro ejemplo:
Juan inicia una cuenta en el banco con 80Bs y deposita cada semana 100Bs

2. x = semanas
transcurridas
0 1 2 3 4
f(x) = dólares
en la cuenta
20 30 40 50 60


La tabla y la gráfica anterior muestran la función:

 Iniciamos con $20 dólares (cuando x = 0, f(x) = 20). Es decir,
el intercepto en y es 20.
 Cuando x aumenta en 1, y aumenta en 10. Es decir, la pendiente es 10.


Definición
La función

3. es lineal si, al aumentar la entrada en 1, entonces la salida siempre aumenta en la
misma cantidad constante.

 La constante en la cual la función aumenta cuando x aumenta en 1 se
llama pendiente y se denota generalmente por la letra m.
 El valor de f(x) cuando x = 0 se conoce como el intercepto y se denota
generalmente por la letra b.

Modelar funciones lineales
Ejemplo 1:
Pedro trabaja lavando autos. Por cada auto que lava gana 20 dólares. Hoy al
iniciar el día cuenta su dinero y ve que tiene 40 dólares.
1. Modelar una función que reciba de entrada la cantidad de autos que lava
Pedro y devuelva la cantidad de dinero que tiene.
2. Usar la función para determinar cuanto dinero tendrá si lava 25 autos.
Solución:
Necesitamos una función que haga lo siguiente:

La siguiente tabla muestra algunos de los valores de la función:
x = cantidad de autos 0 1 2 3 4
f(x) = dólares 40 60 80 100 120

4. Así vemos que esta es una función lineal.
 Cuando el valor de entrada es 0, el valor de salida es 40. Es decir,
el intercepto es 40.
 Cuando el valor de entrada aumenta en 1, el valor de salida aumenta en
20, por lo tanto, la pendiente es 20.
La tabla anterior se puede reescribir expresando f(x) como 40 más el número de
autos lavados multiplicados por 20 dólares.
x 0 1 2 3
f(x)
40 + 0
× 20
40 + 1
× 20
40 + 2
× 20
40 + 3
× 20
De esta tabla podemos obtener la fórmula de la función:
f(x)= 40 + 20x
Ahora podemos usar la fórmula para determinar cuánto dinero tendré Pedro si
lava 25 autos:
f(25)= 40 + 20(25)=540


Ejemplo 2:
Una empresa adquiere una máquina por $12000. El valor de depreciación anual
de la máquina es $2000.
1. Modelar una función que reciba de entrada el número de años
transcurridos de la compra y devuelva el valor actual de la máquina.
2. Usar la función para determinar cuándo el valor de la máquina será $0.
Solución:
Necesitamos una función que haga lo siguiente:

5. La siguiente tabla muestra algunos de los valores de la función:
x = años
transcurridos
0 1 2 3 4
f(x) = valor de la
máquina
$12000 $10000 $8000 $6000 $4000
Así vemos que esta es una función lineal.
 Cuando el valor de entrada es 0, el valor de salida es 12000. Es decir,
el intercepto es 12000.
 Cuando el valor de entrada aumenta en 1, el valor de salida disminuye en
2000, por lo tanto, la pendiente es -2000.
La tabla anterior se puede reescribir expresando f(x) de la siguiente manera:
x 0 1 2 3
f(x)
$12000 + 0
× (-2000)
$12000 + 1×
(-2000)
$12000 + 2
× (-2000)
$12000 + 3
× (-2000)
De esta tabla podemos obtener la fórmula de la función:
f(x)= 12000 - 2000x
Ahora podemos usar la fórmula para determinar cuánto el valor de la máquina
será 0:
0 = 12000 - 2000(x)
Despejando para x obtenemos x=6. Es decir, en 6 años la máquina perderá todo
su valor.

6. Ejemplo 3:
El director de una escuela analiza la matrícula de sus estudiantes. El año que se
fundó la escuela, inició con 400 estudiantes. A partir de entonces la matrícula de
estudiantes fue aumentando en 50 cada año.
1. Modelar una función que reciba de entrada el número de años
transcurridos desde la fundación de la escuela y devuelva la cantidad de
estudiantes.
2. Usar la función para determinar cuántos estudiantes habrá después de 15
años de su fundación.
Solución:
Necesitamos una función que haga lo siguiente:

La siguiente tabla muestra algunos de los valores de la función:
x = años
transcurridos
0 1 2 3 4
f(x) = cantidad de
estudiantes
400 450 500 550 600
Así vemos que esta es una función lineal.
 Cuando el valor de entrada es 0, el valor de salida es 400. Es decir,
el intercepto es 400.
 Cuando el valor de entrada aumenta en 1, el valor de salida aumenta en
50, por lo tanto, la pendiente es 50.
La tabla anterior se puede reescribir expresando f(x) de la siguiente manera:
x 0 1 2 3

7. f(x)
400 + 0 ×
(50)
400 + 1 ×
(50)
400 + 2 ×
(50)
400 + 3 ×
(50)
De esta tabla podemos obtener la fórmula de la función:
f(x)= 400 +50x
Ahora podemos usar la fórmula para determinar cuántos estudiantes tendrá
después de transcurridos 15 años:
f(15) = 400 +50(15)=1150
La escuela tendrá 1150 estudiantes.


1. Un algodonero recoge 30 Kg cada hora, y demora media hora preparándose todos los días
cuando inicia la jornada. La función lineal que representa esta situación es y = 30x –
15 donde y representa los Kg de algodón recogido y x el tiempo transcurrido en horas.

Realiza una tabla para la anterior función y grafícala.
¿Cuantos Kg de algodón se recogerán en una jornada de 8 horas?

Solución:
Primero realizamos la tabla.

x
(tiemp en horas)
y
(Kg algodón)
0.5 0
1 15
1.5 30
2 45

y luego graficamos

Ahora para saber cuanto algodón se recoge en 8 horas:
y = 30x – 15 para x = 8 necesitamos hallar el valor de y
para eso remplazamos a la x por su valor que es 8 y nos queda


y = 30(8) – 15 = 240 - 15 = 225 (recuerda que 30(8) es un producto)
y = 225 Kg

8. La cantidad de algodón recogido en ocho horas es de 225 kg

2. Por el alquiler de un coche cobran una cuota fija de 20.000 pesos y adicionalmente 3.000
pesos por kilómetro recorrido. Escribe la ecuación canónica que representa esta función y
grafícala, ¿cuánto dinero hay que pagar para hacer un recorrido de 125 Km? y si page un valor de
65.000 pesos ¿cuantos quilómetros recorrí?


Solución:
Primero definimos cual es la ecuación para esto tenemos en cuenta esto:

Importante: Para resolver este tipo de problemas donde nos
piden hallar el valor por unidad consumida y la cuota fija
usaremos la ecuación canónica, donde la pendiente de la recta
(m) es siempre el valor por unidad consumida y b la cuota fija.

Así m será 3.000 que es el valor por unidad (kilometro recorrido) y b es 20.000 que es la cuota fija,
quedando la ecuación y = 3.000x + 20.000, ahora podemos realizar la tabla.

X
(Km recorrido)
y
(Valor a
pagar)
0 20.000
10 50.000
20 80.000
30 110.000

Con esto la grafica nos queda así:

 Para saber cuánto nos cuesta un recorrido de 125 Km usamos la ecuación lineal y cambiamos la
variable x por el valor de 125 Km, así:
y = 3.000(125) + 20.000 = 375.000 + 20.000 = 395.000
y = 395.000

El valor en pesos a pagar por un recorrido de 125 Km es de 395.000 pesos.

 En este caso nos dan el valor de y (valor a pagar 65.000 pesos) y nos piden hallar el de X (kilometraje
recorrido) podemos hacerlo de dos maneras.

La primera: remplazamos el valor de y en la ecuación, de lo que obtendremos.
65.000 = 3.000X + 20.000 despejando x nos queda.
65.000 – 20.000 = 3.000X 45.000 = 3.000X 45.000/3.000 = X

9. X = 15

La segunda: graficamos la función y cómo podemos ver en la grafica, para un valor de y igual a
65.000 tenemos un valor de X igual a 15

El kilometraje recorrido por el cual pagamos 65.000 es 15 Km.


magina que trabajas medio tiempo repartiendo periódicos y que puedes entregar 9
periódicos cada 15 minutos. Si entregas a una tasa constante, ¿cuántos diarios
podrías entregar en 2 horas? ¿Puedes trazar un gráfico para representar esta
situación? ¿Cómo te ayudaría el gráfico a resolver este problema? En esta
Sección aprenderás a construir un gráfico para resolver problemas lineales de la
vida cotidiana como éste.
Orientación
Graficar es una herramienta útil cuando se analiza una situación. Esta Sección se
enfocará en el uso de gráficos para ayudarte a resolver problemas lineales que
ocurren en la vida cotidiana.
Recuerda el plan para resolver problemas de 4 pasos:
1. Comprender el problema y subrayar o destacar la información clave.
2. Traducir el problema y trazar un método para resolver el problema.
3. Llevar a cabo el plan y resolver el problema.
4. Revisar e interpretar tu respuesta. ¿Tiene sentido?
Ejemplo A
Una compañía de celulares está ofreciendo a sus clientes el siguiente plan.
Puedes comprar un celular nuevo por $60 y pagar una tarifa fija mensual de $40
por mes con llamadas ilimitadas. ¿Cuánto dinero costará el plan después de 9
meses?
Solución:
Comienza por traducir la oración a una ecuación algebraica.
cell phone=$60+$40 per month
Deja m= el número de meses y t= el costo total . La ecuación queda como:
t(m)=60+40m

10. Puedes utilizar el método de suponer y verificar o resolver esta
ecuación. Sin embargo, esta Sección se enfoca en la utilización de gráficos para
resolver problemas. Esta ecuación es de la forma pendiente-intercepto. Cuando
grafiques la recta de esta ecuación, encontrarás todos los pares ordenados que
son soluciones para el problema de los teléfonos celulares.

[Figure 1]
Si encuentras el costo a los 9 meses, puedes ver que el costo es
aproximadamente $425,00. Para verificar si esto es aproximadamente correcto,
sustituye 9 por la variable m .
PhoneCalling planTotal cost=$60=$40∗9=$360=$420.
Nuestra respuesta, $425,00 es aproximadamente igual a la solución exacta,
$420,00.
Ejemplo B
Christine se demoró una hora en leer 22 páginas de “Harry Potter y la Orden del
Fénix.” Le quedan por leer 100 páginas para terminar el libro. Suponiendo que lee
a una velocidad constante, ¿en cuánto tiempo espera ella terminar de leer el libro?

[Figure 2]
Solución:

11. No contamos con la suficiente información para escribir una ecuación. No
sabemos la pendiente o el intercepto en y− . Sin embargo, tenemos dos puntos
que podemos graficar. Sabemos que si Christine nunca hubiese tomado un libro,
ella habría leído cero páginas. Por lo tanto, Christine se demora 0 horas en leer 0
páginas. También sabemos que le tomó a Christine una hora leer 22 páginas. Las
coordenadas que podemos graficar son (0, 0) y (1, 22).

[Figure 3]
Si utilizas el gráfico y encuentras 100 páginas, puedes determinar que Christine se
demorará unas 4,5 horas en leer 100 páginas.
También puedes pensar en esto como una situación de variación directa y
resolverlo como una proporción.
22 pages1 hour=100 pagesh hours
Utilizando el teorema de los productos cruzados, puedes descubrir que h≈4.55 .
Christine se demorará unas 4,55 horas en leer 100 páginas, lo que se acerca
mucho a tu estimación original de 4,5 horas.
Ejemplo C
Un plan de mensajes mensual de un celular cuesta $10 por los primeros 100
mensajes de texto y luego $0,25 por cada mensaje de texto adicional. Grafica esta
relación. Utiliza la gráfica para determinar el costo de enviar 123 mensajes de
texto en un mes.
Solución:
El plan cuesta $10 sin importar cuántos mensajes envíes bajo 100. Incluso si
envías cero mensajes, el costo es $10. Por lo tanto, $10 es el intercepto en y . La
pendiente o tasa es $0,25 por mensaje de texto o 14 , pero sólo después de los
100 mensajes de texto. Además, la variable independiente x representa el número
de mensajes enviados over 100 . Debido a que queremos saber el costo de enviar
123 mensajes de texto en un mes, realmente necesitamos considerar

12. cuando x=23 . Primero, graficaremos la ecuación utilizando el intercepto en y y la
pendiente:

[Figure 4]
El par coordinado para cuando x=23 está entre 15 y 16. En situaciones como
éstas, es útil escribir la ecuación con el fin de encontrar el valor exacto, que en
este caso es 15,75.
Enviar 123 mensajes de texto costará $15,75 con este plan