Funciones [Lineales, Cuadráticas, Polinomiales, Racionales, Exponenciales y Logarítmicas]

Este es un breve documento creado con información recopilada de distintas fuentes que habla sobre las funciones y sus tipos, espero que te sirva de mucho.

1. Las funciones


2014
SUS TIPOS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS
RUDICEL FIGUEROA
1ER CUATRIMESTRE - ING. EN SISTEMAS DE LA INFORMACIÓN

2. UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO.


Lic. En Ingeniería en sistemas de la información.


Matemáticas.


Docente encargado: José Antonio Ferra Cuevas.


Alumno: Rudicel Figueroa Santiago.


Heroica Ciudad de Juchitán de Zaragoza Oaxaca., Diciembre 7 de 2014

Calificación: ________

3. Contenido
CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS: ............................................. 4
Ejemplo 1 ........................................................................................................................................... 5
Ejemplo 2 ........................................................................................................................................... 5
Ejemplo 3 ........................................................................................................................................... 7
Dominio y rango de una función ................................................................................................. 8
TIPOS DE FUNCIONES..................................................................................................................... 10
Función lineal: ................................................................................................................................ 10
Ejemplo: ........................................................................................................................................ 11
Funciones lineales de varias variables ................................................................................... 12
Función cuadrática: ...................................................................................................................... 12
Ejemplo ........................................................................................................................................ 13
Funciones polinómicas: .............................................................................................................. 14
Función racional ............................................................................................................................ 15
Ejemplo ....................................................................................................................................... 15
Construcción de hipérbolas ....................................................................................................... 17
Función exponencial .................................................................................................................... 22
Propiedades de la función exponencial ........................................................................ 23
Funciones logarítmicas ............................................................................................................... 24
Propiedades de las funciones logarítmicas ................................................................ 25
ANEXOS:.............................................................................................................................................. 27
Ejercicios graficados de las distintas funciones. ..................................................................... 27
Funciones Lineales ....................................................................................................................... 27
Funciones Cuadráticas ................................................................................................................ 30
Funciones Polinomiales de grado superior ........................................................................... 33
Funciones Racionales .................................................................................................................. 37
Funciones Exponenciales ........................................................................................................... 39
Funciones Logarítmicas .............................................................................................................. 41
CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................... 43
BIBLIOGRAFÍA (LINKOGRAFÍA) ................................................................................................... 44

4. INTRODUCCIÓN

Este documento tiene como finalidad, ayudar a su lector a tener si no una mejor
comprensión de las funciones, al menos a tener una pequeña noción de las misas a
través de los distintos conceptos que vienen y los ejemplos que acompañan a éstos.
La matemática nunca ha sido una ciencia fácil, pero eso no quiere decir que sea
imposible, todo es cuestión de estar determinados a enfrentarla y superarla.
Los distintos enlaces que se muestran en la linkografía son enlaces de páginas que
se dedican a dar cursos en línea. Por ello, si deseas aprender más con respecto a
las funciones, puedes consultar directamente cada enlace y si lo deseas, suscribirte
al curso gratuito que ofrecen estas páginas.
Hablaremos de las funciones básicas y de sus distintas representaciones gráficas,
puede parecer aburrido, pero, aunque suene muy duro, algún día tendremos que
comer y nadie nos dará la “plata” para conseguir algo con qué saciar el hambre.

5. CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS:

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de
forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas
equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales
como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de
enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la
derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x
2
.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la
letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:

6. x --------> x
2
o f(x) = x
2
.
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3
2
= 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a
2
, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso
expresado en kilos
Conjunto X Conjunto Y
Ángela 55
Pedro 88
Manuel 62
Adrián 88
Roberto 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se
llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al
conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.
Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos
también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable
independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla
"doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

7. Conjunto X Conjunto Y Desarrollo
− 2 − 1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
4 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos,
todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y
sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede
quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno
significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos
distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
(dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es
una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento
en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un
conjunto B, se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x

8. Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce
como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la pre imagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su
parte, 1 es la pre imagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los
valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la
función.
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de
llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o
correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y
determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los
elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un
único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las
relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas
que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

9. g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }
h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función
(todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es
función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es
una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de
correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz
cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y (
), pero a los números −4 y −1 no les corresponden
elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con
elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

Dominio y rango de una función

Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los
cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la
variable independiente (la x).
Por ejemplo la función f(x) = 3x
2
– 5x está definida para todo número real
(x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de
todos los números reales.
En cambio, la función tiene como dominio
todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar

10. cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está
comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos
los números reales para los cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función , el dominio de esta función son todos
los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que
cero para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos
considerar lo siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por
todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a
cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x +
a2x
2
+...+ anx
n
(donde a0, a1, a2,..., an son constantes y nun entero no negativo), el
dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el
dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el
denominador sea diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes;
es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable
dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los
valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los
reales que son mayores o iguales a 2.

11. El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el
cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente
valores positivos bajo la función f.

TIPOS DE FUNCIONES
Función lineal:
En geometría y el álgebra elemental, una función
lineal es una función polinómica de primer grado; es
decir, una función cuya representación en el plano
cartesiano es una línea recta. Esta función se puede
escribir como:

Dónde m y b son constantes reales y x es una
variable real. La constante m es la pendiente de la recta,
y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se
modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b,
entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo
también de transformación lineal, en el contexto de álgebra lineal.

12. Ejemplo:

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales
siguientes:

En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de
la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad
entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en
el punto y= 2.
En la ecuación:

La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor
de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el
eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con
el eje de las x a través de la expresión:

13. Funciones lineales de varias variables
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones
geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

Representa un plano y una función

Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de
coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional.

Función cuadrática:
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una
parábola.
f(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:
ax² + bx + c = 0

14. Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Ejemplo
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)

15. Funciones polinómicas:

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an x
n

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la
función.
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una
parábola.

16. Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se
consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.


Función racional
Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales
menos los valores de x que anulan el denominador.
Ejemplo



Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad
inversa de ecuación:
.

17. Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de
las funciones

18. Construcción de hipérbolas
Las hipérbolas son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el
origen.


A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.

19. El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.


El centro de la hipérbola es: (0, -3)

20. 2. Traslación horizontal

El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.


El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.

21. El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua

El centro de la hipérbola es: (-b, a)


El centro de la hipérbola es: (3, 4).

22. Para representar hipérbolas del tipo:

Se divide y se escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de
asíntotas paralelas a los ejes.




El centro de la hipérbola es: (-1, 3)

23. Función exponencial
La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número
real x le hace corresponder la potencia a
x
se llama función exponencial
de base a y exponente x.

24. Propiedades de la función exponencial
Dominio: .
Recorrido: .
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las curvas y=a
x
e y= (1/a)
x
son simétricas respecto del eje OY.

25. Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la
exponencial en base a.

26. Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz
del 1
er
y 3
er
cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son
funciones reciprocas o inversas entre sí.

28. ANEXOS:
Ejercicios graficados de las distintas funciones.
Nota: La sintaxis está de tal forma que sea reconocible por cualquier programa.
Funciones Lineales

1.- y=-x+3


2.- Y=-(x/3)+4

29. 3.- y= -12/5


4.- y= (8x-9)/5

30. 5.- y=3, 2x-3

6.- y=(5/2x)+13/4

31. Funciones Cuadráticas

1.- y=x^2+6x+10
2.- y=x^2-4x+4

32. 3.- y=-x^2-4x-2

4.- y= x^2-4

33. 5.- y= -2x^2-x+6

6.- y=x^2+2x+2

34. Funciones Polinomiales de grado superior

1.- y=x^3-x


2.- y=x^3+x^2-9x-9

35. 3.- y=-x^3-6x^2-8x

4.- y=-x^3+x^2+x-1

36. 5.- y=x^3+4x^2+4x

6.- y=x^4-3x^3-4x^2

37. 7.- y=x^4-5x^2+4

8.- y=x^4-16x^2

38. Funciones Racionales

1.- y=(x-3)/(x-4)

2.- y=(2x+3)/(x+2)

39. 3.- y=(3x+7)/(x+2)

4.- y=(x-4)/(x-5)

40. Funciones Exponenciales

1.- y=2^x

2.- y=3^x

41. 3.- y=(1/2)^x

4.- y=(1/3)^x

42. Funciones Logarítmicas

1.- y=log(x,2)

2.- y=log(x,3)

43. 3.- y=log(x,1/2)

4.- y=log(x,1/3)

44. CONCLUSIÓN

Como habrás podido observar en cada uno de los diferentes temas, existen varios
tipos de funciones, a las lineales se les llama así porque básicamente representan
una línea recta en el plano cartesiano.
Las funciones cuadráticas o ecuaciones cuadráticas representan una parábola que
también es conocida como una especie de curva en el plano cartesiano.
Así también los otros tipos de funciones que se hayan plasmado aquí.
Puedes utilizar algún tipo de función para muchas cosas, no creas que las
matemáticas no te van a servir de nada porque es TODO LO CONTRARIO.
Sobre todo si decides estudiar carreras como, robótica, Ing. en sistemas, Ing.
Electromecánica y otras relacionadas a la tecnología, créeme que no es nada
sencillo y peor aún… LAS MATEMÁTICAS SON LA BASE DE ESTAS CARRERAS.
Así que si no estás preparado para esto, sería bueno para ti el cambiar de carrera
antes de que te puedas arrepentir.

45. BIBLIOGRAFÍA (LINKOGRAFÍA)
http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Funciones_matematicas.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_polinomica.html
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_exponencial.html
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_logaritmica.html