Funciones logarítmicas

Función logarítmica, por alumnos de 4°CO

1. Funciones logarítmicas

2. La función logarítmica se define por medio de la siguiente expresión:   log a   x= y a y = x Ejemplo: ¿A  qué exponente hay que elevar la base 2 para obtener 8? Al exponente 3, ya que 2 3 es igual a 8. Decimos que el logaritmo de 8 en base 2 es 3. Simbólicamente lo expresamos de esta forma: log 2  8 = 3 2 3 = 8

3. Dominio e imagen El dominio de una función logarítmica son todos los números reales positivos, ej.: 2, 5, 7/2, 47. Dom F={ / > 0} La imagen de una función logarítmica son todos los números reales, ej.: -8, 0, 4/5, 25. Img F={ }  

4. Graficar una función logarítmica : Las gráfica de la  función logarítmica es simétrica   de la gráfica  de la función exponencial , ya que son funciones inversas porque son operaciones contrarias. Función Exponencial Función Logarítmica

5. Pasos para graficar una función logarítmica: 1) Partimos de la formula log a  x = y Ejemplo: log 2  x = y 2) Realizamos una tabla de valores, otorgándoles diferentes valores a X X Y 1/4 -2 1/2 -1 1 2 1 4 2 8 3 16 4

6. 3) Graficar dicho puntos sobre los ejes cartesianos: Dom: R+ Img: R

7. La Función Logarítmica puede ser creciente o decreciente. A hora veremos un ejemplo de cada una: Si a >1 , por ejemplo 3. f(x) = log 3  x Hacemos las tabla de valores: X Y 1/9 -2 1 3 1

8. Graficamos según los valores de la tabla:

9. Pudimos ver que la función es creciente, por lo tanto decimos que una función es creciente siempre que la variante a > 1 Ahora veremos otro caso…

10. Si 0 < a < 1 , por ejemplo ½. f(x) = log 1/2  x Hacemos la tabla de valores: X Y 4 -2 2 -1 1 ½ 1 ¼ 2

11. Graficamos según los valores de la tabla:

12. En este ejemplo pudimos ver que la función es decreciente, por lo tanto decimos que la función es decreciente siempre que 0 < a < 1 A continuación veremos la formula logarítmica completa:

13. Formula completa y=k.   log a  (x-b) +c

14. La función logarítmica natural o neperiana: L a base de la función logarítmica es  e , es decir, cuando el valor de la base del logaritmo es el número natural  e.   Su definición es igual que la de la función logarítmica común en donde en lugar de tener como base  a  su base es  e : ln x = y

15. F unción logarítmica común: Cuando la función logarítmica tiene como base el valor de  10 , se la denomina función logarítmica común , y se omite escribir la base, solamente escribimos log , es decir : f(x)= log x El gráfico  se construye igual que los otros gráficos presentados anteriormente. Cuando  y = 1  el valor de  x = 10

16. EN EL SIGUIENTE EJEMPLO TENEMOS UNA CONSTANTE (K) MULTIPLICANDO A LA FUNCION LOGARITMICA:

17. Ej : f(x)=2. log 3  x X F(x) 0,56 -1 1 1,73 1 3 2 5,21 3 Dominio= (0, +∞) Imagen= IR Asíntota= x=0 Creciente Conclusión : si la función logarítmica es multiplicada por una constante K > 0 se modifica la pendiente del grafico.

18. CONCLUSIONES RESPECTO A LOS GRAFICOS DOMINIO= R+ ASINTOTA AL EJE X IMAGEN =R DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL f(x)= log a  x +1 o - 1 DESPLAZAMIENTO VERTICAL f(x)=( log a x ) +2 o -2 PUNTO SEGURO (1,0)

19. DESPLAZAMIENTOS DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS

20. DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES: Estos se producen por la constante que afecta directamente a la variable independiente (X) POR EJEMPLO: si tenemos la función F(x)=log a  x y le sumamos al argumento un número, es decir: F(x)=log a  x +1 ocurrirá lo siguiente. DOM= R ASINTOTA x= -1 El grafico se traslada una unidad hacia la izquierda, se modifica el dominio de la función y la asíntota

21. En otro caso, teniendo F(x)=log a  x -2 el grafico se trasladara dos unidades hacia la derecha, modificando también el dominio y la asíntota. DOM= (2; ∞ ) ASINTOTA X = 2

22. DESPLAZAMIENTOS VERTICALES: Estos se dan por termino independiente de la función POR EJEMPLO: Tenemos la función: f(x)= log x Si le sumamos dos unidades : f(x)=( log x ) +2 y si le restamos 2 unidades f(x)=( log  x ) – 2 Ocurrirá lo siguiente en el grafico:

23. APLICACIONES: PODEMOS ENCONTRAR LAS FUNCIONES LOGARITMICAS APLICADAS A DIVERSOS CAMPOS PROFESIONALES. POR EJEMPLO ALGUNOS USOS SON: Proyecciones de población mundial Crecimiento de población bacteriana Vidas medias de material radiactivo Ley de enfriamiento Escalas de pH La escala de Richter Nivel de intensidad del sonido (decibeles)  

24. MAGNITUD DE UN TERREMOTO: A CONTINUACION ALGUNOS EJEMPLOS:

25. Decibelios (dB) El decibelio (dB) es la unidad de medida utilizada para el nivel de potencia y el nivel de intensidad del ruido. Se utiliza una escala logarítmica porque la sensibilidad que presenta el oído humano a las variaciones de intensidad sonora sigue una escala aproximadamente logarítmica. Así, se define para el cálculo de la sensación recibida por un oyente, un nivel de potencia L W , en decibelios, y se  relacionará la potencia de la fuente del sonido a estudiar (W 1 ) con la potencia de una fuente de referencia (W ) cuyo sonido es el umbral de audición en el aire (igual a 10  − 12  vatios):

26. FIN DE LA PRESENTACION Integrantes: Curso: 4º 1ª Ec Santos Maira Profesora: Juliana Isola Saab Solange Suarez Gonzalo Franco Tatiana