Funciones logaritmicas

Funciones logarítmicas y sus propiedades

1. Funciones logarítmicas y
sus gráficas
Prof.Rosa E. Padilla

2. Logaritmo
•Se define �=���
��como el número ytal
que �=�
�
,donde x > 0, y aes una
constante positiva diferente de 1

3. Ejemplo: Grafica �=2
�

4. Ejemplo: Grafica �=2
�

5. Comparar gráficas

6. Hallar la fórmula inversa de
��=2
�
•Reemplazar f(x)por y.
•Intercambiar x por y.
•Resolver para y.
•Reemplazar ypor �
−1
(�).

7. Función logaritmo base 2
•���
2�→se lee “logaritmo base 2 de x”
•Significa la potencia a la cual es elevada a
la 2 para obtener x.
•Ejemplo:
���
28=3

8. Función logarítmica
•Para cualquier función ��=�
�
su
inversa es llamada función logarítmica
base a.
•La gráfica de su inversa se obtiene
reflejando la gráfica de la función original
en la recta y = x.
•�=�
�
⟹�=���
��
•La inversa de ��=�
�
está dada por
�
−1
�=���
��.

9. Definición
•Se define �=���
��como el número ytal
que �=�
�
,�>0y aes una constante
positiva diferente de 1.

10. Características función
logarítmica
•�=�
�
•�
−1
�=���
��
•�>1
•Continua
•Uno a uno
•Dominio: 0,∞
•Rango: −∞,∞
•Creciente
•Asíntota vertical en el eje y: ���
��→−∞cuando�→0
+
•Intercepto xen: (1, 0)
•No tiene intercepto y
•���
�1=0y���
��=1∀logaritmo base a.

11. Práctica
Halla los siguientes logaritmos:
1.���
1010,000 2.���
100.01 3.���
28
4.���
93 5.���
61 6.���
88
4 −2 3
1
2
0 1

12. Convirtiendo entre ecuaciones
exponenciales y logarítmicas
•���
��=�↔�=�
�
•Ejemplo: Convierte las siguientes
exponenciales a logaritmos.
1)16=2
�
2)10
−3
=0.001 3)�
??????
=70
���
216=����
100.001=−3���
??????70=??????

13. Convirtiendo entre ecuaciones
exponenciales y logarítmicas
•���
��=�↔�=�
�
•Ejemplo: Convierte los siguientes
logaritmos a exponenciales.
1)���
232=5 2)���
��=83)�=���
????????????
2
5
=32 �
8
=�??????
�
=??????

14. Calculando logaritmos con
calculadora
log�=���
10�
1)log645,778
2)log0.000239
3)log(−3)
5.8101
−3.6216
∄

15. Logaritmo Natural
•El logaritmo base ees llamado el
logaritmo natural.
ln�=log
??????�

16. Halla los el valor de los
logaritmos naturales
1)ln645,778
2)ln0.0000239
3)ln(−5)
4)ln�
13.3782
−12.6416
∄
1

17. Cambio de base en logaritmos
•Para cualquier logaritmos con bases a yb,
y cualquier número M:
log
�??????=
log
�M
log
��

18. Ejemplo
•Utiliza logaritmos comunes para hallar el
valor de log
58:

19. Ejemplo
•Utiliza logaritmos naturales para hallar el
valor de log
58:

20. Aplicaciones
•La magnitud Rde la escala Richter para
medir la intensidad Ide un terremoto, está
definida como �=log
??????
??????0
,donde ??????
0es la
intensidad mínima utilizada para
comparación, o la intensidad del menor
sismo registrado en un sismógrafo. Si un
sismo es 10 veces más intenso uno anterior,
se registra un incremento de 1 en la
intensidad del anterior. Si es 100 veces más
intenso, entonces el aumento en intensidad es
2.

21. Aplicaciones
•Un sismoenAhmedabad, India el 26 de
enerode 2001 tuvounaintensidadde
10
7.9
∙??????
0. ¿Cuál era la magnitud en la
escala Richter?
•La magnitud en la escala Richter fue de
7.9.

22. Graficando funciones
logarítmicas
•Ejemplo: �=��=���
5�

23. Graficando funciones
logarítmicas
•Ejemplo: �=��=���
5�
Utilizando calculadora gráfica:
�=���
5�=
ln�
ln5

24. Grafica las siguientes
funciones:
1)��=ln(�+3)
2)��=3−
1
2
ln�
3)��=ln(�−1)

25. 1)��=ln(�+3)

26. 2)��=3−
1
2
ln�

27. 3)��=ln(�−1)

28. Transformaciones
Sea ��=log�. Para cada función, grafica las
mismas e identifica las trasformaciones de f→
g.
•1.��=3log�
•2. ��=
1
2
log�+1
•3. ��=−log�−2
•4. ��=−5log�
•5. ��=0.25log�−2
•6. ��=log�+5−3

29. 1. ��=3log�

30. 2. ��=
1
2
log�+1

31. 3. ��=−log�−2

32. 4. ��=−5log�

33. 5. ��=0.25log�−2

34. 6. ��=log�+5−3

35. Propiedades de los logaritmos
•∀�>0,�≠1;�
�
=�⇔�=log
��
•Si �
�
=�
�
→�=�
•Para �>0,�>0��≠1:
–Producto: log
���=log
��+log
��
–División:log
�
�
�
=log
��−log
��
–Potencias: log
��
�
=�∙log
��
•log
��
�
=�∧�
log
??????�
=�;∀�>0
•log
��=log
��⇔�=�
•log
��=1
•log
�1=0

36. Propiedades

37. Práctica
•Expande cada logaritmo.

38. Práctica
•Reescribe cada expresión como un
logaritmo.