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Funciones de dos variables

1. 1 FUNCIONES MULTIVARIABLES DIANA PAOLA GOMEZ CALCULO VECTORIAL ECCI- 2020-II

2. CONTENIDO Función de dos variables. Gráfica de una función real de dos variables. Curvas de nivel . Límite . Continuidad . Derivadas Parciales . 2

3. 3

4. 4 Funciones de Varias Variables. Definición : Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales ( x , y ) de un conjunto D , un número real único denotado por f ( x , y ). El conjunto D es el Dominio de f y su i magen es el conjunto de valores que toma f , es decir

5. 5 Ejemplos. 1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos. 2. Evalué la función del inciso (a) en f ( , ) , f ( 1 , 1 ) y f (2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta.

6. 6 Gráfica de una función de dos variables. Definición : Si f es una función de dos variables con dominio D , entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos ( x, y, z ) de R 3 tales que z = f ( x , y ) y ( x , y ) está en D .

7. 7 La magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa M situado en el origen de coordenadas sobre un cuerpo de masa m situado en el punto (x, y, z) viene dada por: La ley de los gases ideales dice que la presión P de un gas es una función del volumen V y la temperatura T según la ecuación donde c es una constante. La desviación S en el punto medio de una viga rectangular cuando está sujeta por ambos extremos y soporta una carga uniforme viene dada por: S donde L es la longitud, w la anchura, h la altura y C una constante.   Ejemplos de A plicación

8. 8 Ejercicio en C lase 1 . Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen.

9. 9 Curvas de nivel.

10. 10 x O Definición : Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f ( x , y )= k , donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f ).

11. 2. EJERCICIOS 11 1 . Trace la gráfica y las curvas de nivel de: 2 . Una lámina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura T ( en grados centígrados ) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen . a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 , 3) es 40°C, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados .

12. Ejemplos 12 5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:

13. 13 Límites

14. 14 Límites Definición : Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a ( a , b ). Entonces decimos que el límite de f ( x , y ) cuando ( x,y ) se aproxima a ( a , b ) es L y escribimos tal que siempre que y

15. 15 Interpretación geométrica de los límites X Z

16. 16

17. 17 Determina la no existencia del límite de una función real. Definición : Si cuando por una trayectoria C 1 y cuando por otra trayectoria C 2, , donde , entonces no existe. a b y

18. Ejemplos 18 6. Muestre que no existe 7. Muestre que no existe 5. Muestre que no existe

19. 19 Continuidad Definición : Una función f de dos variables, se denomina continua en ( a , b ) si Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto ( a , b ) de D Nota: Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio

20. 20 Derivadas parciales respecto a x Sea z= f ( x , y ), definida en el dominio D del plano XY y sea ( x , y ) un punto de D . La función f ( x , y ) depende solamente de x y está definida alrededor de x 0. Si la derivada existe , el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f ( x , y ),con respecto a x en el punto ( x , y ) y se denota por

21. 21 Definición de derivada parcial con respecto a x.

22. 22 Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en ( a , b ) , denotada por f y ( x , y ), se obtiene dejando x fija (x=x ). Definición de derivada parcial con respecto a y.

23. 23 Ejemplos 1. Si f ( x , y )= 4-x 2 -2y 2 , encuentre f x (1,1), f y (1,1), e interprete estos números como pendientes. 2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f

24. 24 Derivadas parciales respecto a x y a y.