Funciones trigonometricas

1. Escuela Secundaria N° 5 Curso: 6° Año Espacio Curricular: MATEMÁTICA Docente: Prof. Alicia Carrizo

2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

3. Astronomía  : Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, ... Artillería  : ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una catapulta o con un cañón? Cartografía   : Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos. Construcciones   : Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado. Navegación   : Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...

4. Podemos extender las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en el círculo . Recuerde :

5. Hallar la razón trigonométrica indicada. Nota que el 5 representa 5 radianes. Un ángulo que mide 5 radianes está en 4to cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?

6. Se puede observar el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo formando ángulos . Recuerde que aunque aquí se muestran algunos ángulos más conocidos podemos hallar el seno o el coseno a ángulos con cualquier medida.

7. Funciones Trigonométricas Para definir las funciones trigonométricas se define como entrada, ϴ , cualquier ángulo medido en radianes. De esta forma el dominio de una función trigonométrica es el conjunto de los números reales. El rango de las funciones f( ϴ ) = sin( ϴ ) y g( ϴ ) = cos ( ϴ ) es [-1,1]. Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones trigonométricas f( ϴ ) = sin( ϴ ), g( ϴ ) = cos ( ϴ ) y h( ϴ ) = tan ( ϴ ).

8. Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x) Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones de seno y coseno armando una tabla de valores.

9. Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

10. Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

11. Gráfica de g(x)=cos(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

12. Gráfica de g(x)=cos(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

13. Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.

14. Gráficas de f(x)=sin(x)

15. Gráficas de f(x)=cos(x)

16. Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) En las gráficas anteriores se puede observar el gran parecido que existe entre ambas. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π /2 unidades y obtener la gráfica de f(x)=sin(x). Podemos describir este parecido diciendo que f(x)= sin(x) = cos(x-[ /2] ) . Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90 º mide /2 (en números reales o radianes).

17. Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) En las gráficas anteriores también se puede observar que los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente para múltiplos de 2  . Este comportamiento se puede describir f(x) = sin(x) = sin(x + 2n  ) donde n pertenece a los enteros (n  ). También podemos decir que g(x) = cos(x) = cos(x + 2n  ) donde n  .

18. Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones. F(x)=2 sin(x) F(x) = sin(2x) F(x) = 2 sin(x +1) F(x) = 2 sin(x) + 1

19. Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)= 2 . sin(x)

20. Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)=sin(2x)

21. Gráfica de f(x) = sin(x) y f ( x)= 2 . sin(x+1)

22. Gráfica de f(x)= 2 . sin(x) y f(x)= 2 . sin(x)+1

23. Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones. F(x)=2 cos(x) F(x) = cos(2x) F(x) = 2 cos(x +1) F(x) = 2 cos(x) + 1

24. Gráfica de f(x)=2cos(x)

25. Gráfica de f(x)=cos(2x)

26. Gráfica de h(x)=tan(x) Vamos a construir una tabla con algunos valores de tangente para varios ángulos. Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está definido para algunos ángulos. ¿Por qué?

27. No siempre es posible definir la función tangente de un ángulo ( x ). De hecho , cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, la función tangente no está definida (¿ por qué ?).

28. Su radio es igual a la unidad. Su centro es el origen de coordenadas. Sus razones trigonométricas son independientes del radio Y LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA 1

29. 1.- Línea seno : Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal. Sen a = cateto opuesto hipotenusa Que por la construcción la hipotenusa vale 1 sen a = y Seno x y a

30. Análisis de los cuadrantes 0º = 0 90º = 1 180º = 0 270º = -1 360º = 0 Línea Seno

31. 2.- Línea coseno: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical. cateto adyacente Cos a = hipotenusa Que por la construcción la hipotenusa vale 1 cos a = x Coseno x y a

32. Línea Coseno 0º = 1 90º = 0 180º = - 1 270º = 0 360º = 1

33. Tg . 3.- Línea tangente : cateto opuesto tg a = --------------------- cateto adyacente x’=1 x y a y’ x x’ y y’ Teorema de Semejanza de triangulos (Teorema de Tales) y/x=y’/x’ Se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco.

34. Línea Tangente

35. x y a 5.- Línea Cotangente : ctg a = 1 tg a  ctg a = x / y       Ctg

36. 4.- Línea secante : sec a = 1 cos a    x y a Secante

37. x y a 5.- Línea Cosecante : Cosec a = 1 Sen a  Cosecante

38. CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

39. ÁNGULOS OPUESTOS P (x,y) 65º -65º Si sen 65º= 0,9063 entonces sen (-65)= Si cos 65º= 0,4226 entonces cos (-65)= Si tg 65º= 2,1445 entonces tg (-65)= -0,9063 0,4226 2,1445 Q(x, -y)

40. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS (SUMAN 180º) Si sen 20º= 0,342 entonces sen160º= Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos160º= Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 160º= 0,342 -0,9396 -0,3639 180 - P (x,y) 20º 160º Q(-x,y)

41. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (SUMAN 90º) Si sen 20º= 0,342 entonces sen 70º= Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos70º= Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 70º= 0,9396 0,342 1/0,3639=2,7474 P (x,y) 20º 70 º 90 - Q(y,x)

42. ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º Si sen 20º= 0,342 entonces sen 110º= Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos110º= Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 110º= 0,9396 -0,342 -1/0,3639=- 2,7474 P (x,y) 20º X y Q (-y,x) 90 + 110 º

43. ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180 º Si sen 20º= 0,342 entonces sen 200º= Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos200º= Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 200º= - 0,342 -0,9396 0,3639 180 + P (x,y) 20º 200º Q(-x,-y)

44. ALGUNOS EJEMPLOS Expresa cos 225º como un ángulo del primer cuadrante 225º cos 225º 45º cos 45º Solución: cos 225º = - cos 45º

45. Con la calculadora se obtiene que el ángulo es –71,5650º, o lo que es lo mismo 288,435. -71,465º 288,535º 288,353 no vale porque es mayor que 180º Por lo ya estudiado, cuando dos ángulos difieren en 180º tienen la misma tangente Por lo que el ángulo buscado cumple que: Conocido el ángulo se calcula el seno y el coseno con la calculadora

46. Con la calculadora se obtiene que el ángulo es -48,5903º que es lo mismo que 311 ,4096º Debo encontrar un ángulo que tenga el mismo seno que 311,4096 y que sea menor a 270º 311,4096 º sen 311,4096 Mismo seno y es menor que 270º