Fundamentos básicos de Álgebra, polinomios

Fundamentos básicos de Álgebra, polinomios

2. Los polinomios son una parte importante
del Álgebra. Están presentes en todos los
contextos científicos y tecnológicos: desde
los ordenadores y la informática hasta la
carrera espacial.
La fórmula que
expresa el
movimiento de
un cuerpo en
caída libre viene
dada por el
siguiente
polinomio:
2
2
1
)( gttP
t: tiempo
g: gravedad
La fórmula para calcular
el volumen de un cubo
en función de la
longitud (l) de su lado
viene dada por:
3
)(llV

3. MonomiosMonomios
Un monomio es una expresión algebraica en la
que la únicas operaciones que afectan a las
letras son la multiplicación y la potencia de
exponente natural.
Son monomios: NO son monomios:
2
2x
23
12yzx
15
4abc
2
2

x
3
2
2
7xyz

4. Partes de un monomioPartes de un monomio
Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
2.Gr 6213. Gr 171511. Gr
1 11

5. Tipos de monomiosTipos de monomios
Monomios semejantessemejantes:
tienen la misma parte literal.
Monomios opuestosopuestos:
son semejantes y sus coeficientes
son números opuestos.
NO semejantes NO opuestos
23
25ba
32
25bacba
32
3
32
ba
32
25ba
32
ba
xy5 xy
7
1

32
25ba
32
25ba
23
7
1
yx
23
7
1
yx
32
ba
32
ba
xy xy



6. Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
La suma (o resta)suma (o resta) de monomios semejantes se realiza
sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte
literal.
2
xy
222
35 yxxy No son semejantes,
luego no se pueden
sumar.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2
xy
2
xy
2
xy
2
xy
2
xy
5 3 5 7
10( )


5 3 5 7

7. Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para multiplicarmultiplicar por un lado, multiplicamos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales.
24
15yx
Ejemplo 3:  yy73
2
Ejemplo 4:
3 7
2
yy
3
21y()

32
35 xxy ()53
2
xy
3
x

8. Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para dividirdividir por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:

27
7:21 yy
bba4:25
23
21 7: ( )( )
7
y
2
y :
5
3y
25 4ba
3
b
3
4
25
a

9. PolinomiosPolinomios
Un polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y
si no tiene parte literal se llama término término
independienteindependiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se
denomina gradogrado del polinomio.
21373
523
 xyzyxxy
Términos
Término
independiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del
monomio de mayor grado.
Coeficiente
principal

10. PolinomiosPolinomios
El valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
10437)(
34
 xxxxP
 10242327)2(
34
P
 10141317)1(
34
P
Ejemplo:
861082411210883167 
 4104371041317 

11. PolinomiosPolinomios
El polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
10437)(
34
 xxxxP
10437)(
34
 xxxxP
Ejemplo:
Polinomio opuesto:

12. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para sumarsumar polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
Ejemplo: 172)(
245
 xxxxP
87223)(
234
 xxxxxQ
)()( xQxP
5
2x
4
x
2
7x 1
4
3x
3
2x
2
2x x7 8
775222
2345
 xxxxx


13. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para restarrestar polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
Ejemplo: 172)(
245
 xxxxP
87223)(
234
 xxxxxQ
)()( xQxP
5
2x
4
x
2
7x 1
4
3x
3
2x
2
2x x7 8
979242
2345
 xxxxx


14. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Ejemplo:
3245
2por 172)( xxxxxP 
)(2
3
xPx
3
2x
3578
21424 xxxx 

172
245
 xxx

15. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
El producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes.
Ejemplo: 43)( 152)(
23
 xxQxxxP
)()( xQxP
43
2
x
4203236
235
 xxxx

152
3
xx
4208
3
 xx
235
3156 xxx 


16. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:
245
2796)( xxxxP 
   
932
3 :273:93:63:)(
23
2224252


xx
xxxxxxxxP
xyyxxQ 57)(
3


3
27 5 7 5
( ): 2
2 2 2 2
x y xy
Q x x x y y
x x
    
 

17. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del
divisor y los dispondremos como una división
normal.
xxxxxP 3011202)(
243

23)(
2
 xxxQ
3
2x
4
x
2
11x x30 20
2
xx3 2

18. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
3
2x
4
x
2
11x x30 20
2
xx3 2
2
x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa
restando al dividendo.
2
x
4
x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx



234
23 xxx 

19. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
3
2x
4
x
2
11x x30 20
2
xx3 2
4º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo,
entre el primer término del divisor, así obtenemos el
segundo término del divisor. Este segundo término
se multiplica por el divisor y se pasa restando al
dividendo.
2
x
234
23 xxx 
203095
23
 xxx
x5
xxx
x
xx
10155
5
23
23
2



xxx 10155
23


20. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado
del polinomio resto sea menor que el grado del
polinomio divisor.
3
2x
4
x
2
11x x30 20
2
xx3 2
2
x
234
23 xxx 
203095
23
 xxx
x5
xxx 10155
23

20206
2
xx
6
12186
2
 xx
82x

21. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
3
2x
4
x
2
11x x30 20
2
xx3 2
2
xx5 6
82x
Polinomio dividendo
)(xD
3
2x
4
x
2
11x x30 20
2
xx3 2
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
)(xd
)(xc
)(xr
2
xx5 6
82x

22. Regla de RuffiniRegla de Ruffini
La regla de Ruffiniregla de Ruffini es un algoritmo que
permite obtener fácilmente el cociente y el
resto de la división de un polinomio por un
binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo
con un ejemplo.
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del
divisor.
532)(
23
 xxxxD
1)( xxd

23. Regla de RuffiniRegla de Ruffini
532)(
23
 xxxxD 1)( xxd
2º) Se colocan los
coeficientes de cada
término. Si no apareciese
algún término entre el de
mayor grado y el de menor
se coloca un 0.
213 5
3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en
d(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término
de mayor grado.
1
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el
que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del
producto se coloca debajo del coeficiente del término
siguiente y se suman .
2
2

24. Regla de RuffiniRegla de Ruffini
5º) El resultado de la suma
se vuelve a multiplicar por
el número situado a la
izquierda y se repite el
proceso.
213 5
1
2
2
3
3
0
0
5
El último número (recuadro rojo) se corresponde con
el resto de la división mientras que el resto de
números de la fila inferior son los coeficientes del
cociente.
xxxc 32)(
2
 5)(xr
532)(
23
 xxxxD 1)( xxd

25. Identidades notablesIdentidades notables
Las siguientes operaciones con binomios son
simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su
constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar
que la expresión (a+b)
2
es igual a a
2
+b
2
. Pero es FALSO.

26. (a+b)
2
Identidades notablesIdentidades notables
Cuadrado de una suma:Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• más el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a + b
a + b
ab + b
2
a
2
+ ab
a
2
+ 2ab + b
2
a
2
ab
ab
b
2
a
b
a b
a + b
a

+

b

27. a
2
(a-b)
2
Identidades notablesIdentidades notables
Cuadrado de una diferencia:Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una
diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a - b
a - b
- ab + b
2
a
2
- ab
a
2
- 2ab + b
2
ab
ab
b
2

28. Identidades notablesIdentidades notables
Suma por diferencia:Suma por diferencia: una suma por una diferencia
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el cuadrado del segundo.
a + b
a - b
- ab - b
2
a
2
+ ab
a
2
- b
2

29. Identidades notablesIdentidades notables