Fundamentos da Matematica Elementar 2 logaritmos
PedroSantos219
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Apr 22, 2015
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About This Presentation
Livro de uma das coleções mais notáveis da Matemática Elementar. É interessante tanto para estudantes de Ensino Médio quanto aos de Ensino Superior ou ainda para os amantes desta arte.
Slide Content
GELSON IEZZI
OSVALDO DOLCE
CARLOS MURAKAMI
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA
ELEMENTAR
LOGARITMOS
54 exercícios resolvidos
260 exercicios propostos com resposta
234 testes de vestibular com resposta
38 ediçäo
to ATUAL
EDITORA
OSVALDO DOLCE
CARLOS MURAKAMI
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA
ELEMENTAR
LOGARITMOS
54 exercícios resolvidos
260 exercicios propostos com resposta
234 testes de vestibular com resposta
38 ediçäo
to ATUAL
EDITORA
Capa
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 — S. Paulo
Composigáo e desenhos
AM Produçes Gráficas Lada.
Rua Castro Alves, 136 — 5. Paulo
Artes
Aral Editora Lida
Fotolitos
H.O.P. Forolitos Leda.
Rua Delmira Ferreira, 325 — S. Paulo
Impressäo e acabamento
Gráfica Editora Hamburg Ltda.
Rua Apeninos, 294
278-1620 — 278-2648 — 279-9776
‘So Paulo — SP — Brasil
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA LTDA
Rua José Antönio Coelho, 785
Teletonss: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 — Säo Paulo ~ SP — Brasil
APRESENTACAO
“Fundamentos de Matemática Elementar” & uma colecáo em dez volumes
elaborada com a pretensfo de dar ao estudante uma visio global da Matemática,
0 nivel da escola de 2 grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
© curso colegial, os “Fundamentos” visam 405 alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitérios que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como € óbvio, äqueles alunos de colegial mais interesados na “rainha
des ciéncias”.
No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de “Fundamentos”
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentacáo de conceitos e propriedades.
Salvo algumas excegdas bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposicdes
+ teoremas estáo sempre acompanhados das respectivas demonstragóss.
Na estruturacio das séries de exercicios, buscamos sempre uma ordenacdo
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples etentamos chegar a questdas.
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisäo. A
seqléncia do texto sugere uma dosagem para teoria e exercicios. Os exercicios
resolvidos, apresentados em melo 405 propostos, pretendem sempre dar explicacáo
sobre alguma novidede que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforgo positivo ou partir
à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume € constituída por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para ume revisäo da matéria
estudada.
¡Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear
nesta colegío alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notäveis de suas
vidas e suas obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distáncia entre o anseio dos autores
e 0 valor de sua obra, gostaríamos de recober dos colegas professores uma apre-
ciagäo sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agra-
decemos.
Os autores
Roberto Franklin Rondino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 — S. Paulo
Composigáo e desenhos
AM Produçes Gráficas Lada.
Rua Castro Alves, 136 — 5. Paulo
Artes
Aral Editora Lida
Fotolitos
H.O.P. Forolitos Leda.
Rua Delmira Ferreira, 325 — S. Paulo
Impressäo e acabamento
Gráfica Editora Hamburg Ltda.
Rua Apeninos, 294
278-1620 — 278-2648 — 279-9776
‘So Paulo — SP — Brasil
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA LTDA
Rua José Antönio Coelho, 785
Teletonss: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 — Säo Paulo ~ SP — Brasil
APRESENTACAO
“Fundamentos de Matemática Elementar” & uma colecáo em dez volumes
elaborada com a pretensfo de dar ao estudante uma visio global da Matemática,
0 nivel da escola de 2 grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para
© curso colegial, os “Fundamentos” visam 405 alunos em preparativos para exames
vestibulares, aos universitérios que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como € óbvio, äqueles alunos de colegial mais interesados na “rainha
des ciéncias”.
No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de “Fundamentos”
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentacáo de conceitos e propriedades.
Salvo algumas excegdas bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposicdes
+ teoremas estáo sempre acompanhados das respectivas demonstragóss.
Na estruturacio das séries de exercicios, buscamos sempre uma ordenacdo
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples etentamos chegar a questdas.
que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisäo. A
seqléncia do texto sugere uma dosagem para teoria e exercicios. Os exercicios
resolvidos, apresentados em melo 405 propostos, pretendem sempre dar explicacáo
sobre alguma novidede que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforgo positivo ou partir
à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume € constituída por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para ume revisäo da matéria
estudada.
¡Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear
nesta colegío alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notäveis de suas
vidas e suas obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distáncia entre o anseio dos autores
e 0 valor de sua obra, gostaríamos de recober dos colegas professores uma apre-
ciagäo sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agra-
decemos.
Os autores
CAPITULO | — POTENCIAS E RAIZES
mi
w.
v.
vi
CAPITULO I! — FUNÇAO EXPONENCIAL
1, Definicáo
11. Propriedades . .
Poténcia de expoente natural
Poténcia de expoente inteiro negativo
Raiz enézima aritmética .
Poténcia de expoente racional
Poténcia de expoente irracional
Potancia de expoente real
ML, Imagem Oe
IV. Gráfico nenne
V. Equagdes exponenciais
vi.
Inequagdes exponenciais .
CAPÍTULO 111 — LOGARITMOS
1
"
Mm
iv.
v.
vi
Conceito de logaritmo
Antilogaritmo Er
Consegläncias da definic
Sistemas de logaritmos
Propriedades dos logaritmos
Mudança de base
ÍNDICE
--29-8
-29-8
28-8
29-8
348
42-8
- 51-8
528
54-8
558
56-8
63-8
mi
w.
v.
vi
CAPITULO I! — FUNÇAO EXPONENCIAL
1, Definicáo
11. Propriedades . .
Poténcia de expoente natural
Poténcia de expoente inteiro negativo
Raiz enézima aritmética .
Poténcia de expoente racional
Poténcia de expoente irracional
Potancia de expoente real
ML, Imagem Oe
IV. Gráfico nenne
V. Equagdes exponenciais
vi.
Inequagdes exponenciais .
CAPÍTULO 111 — LOGARITMOS
1
"
Mm
iv.
v.
vi
Conceito de logaritmo
Antilogaritmo Er
Consegläncias da definic
Sistemas de logaritmos
Propriedades dos logaritmos
Mudança de base
ÍNDICE
--29-8
-29-8
28-8
29-8
348
42-8
- 51-8
528
54-8
558
56-8
63-8
CAPITULO IV — FUNGÄO LOGARITMICA
Kölner tas fees eee BOB
11. Propriedades 4 drenan : + 69-B
(UL, Imagem suse aia ars 72-8
IV. Gráfico -72-8
CAPITULO V — EQUAGÖES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS
1. Equagdes exponenciais <<... nennen IB
11. Equages logarítmicas —. O nennen TA
CAPITULO VI — INEQUAGÖES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS
1. Inequagdes exponencials .
I. Inequagdes logarítmicas —.. .
96-8
97-8
CAPITULO VII — LOGARITMOS DECIMAIS
1. Introduei 2 109-8
11, Característica e mamtissa 110-8
HI. Regras da característica + 1108
IV. Mantissa sen 21128
V. Exemplos de aplicagóns da tábua de logaritmos - 1188
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS cu 128
TESTES ..... Rn centers ees 139-8
RESPOSTAS DOS TESTES ............... en IB
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Kölner tas fees eee BOB
11. Propriedades 4 drenan : + 69-B
(UL, Imagem suse aia ars 72-8
IV. Gráfico -72-8
CAPITULO V — EQUAGÖES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS
1. Equagdes exponenciais <<... nennen IB
11. Equages logarítmicas —. O nennen TA
CAPITULO VI — INEQUAGÖES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS
1. Inequagdes exponencials .
I. Inequagdes logarítmicas —.. .
96-8
97-8
CAPITULO VII — LOGARITMOS DECIMAIS
1. Introduei 2 109-8
11, Característica e mamtissa 110-8
HI. Regras da característica + 1108
IV. Mantissa sen 21128
V. Exemplos de aplicagóns da tábua de logaritmos - 1188
RESPOSTAS DOS EXERCICIOS cu 128
TESTES ..... Rn centers ees 139-8
RESPOSTAS DOS TESTES ............... en IB
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
ego enxerga longe
‘Leonhard Euler nasceu em Basióia, Suiga, onde seu pei era ministro religioso e pos-
suis alguns conhecimamtos matemáticos
Euler foi aluno de Jean Bemovll + amigo do sous filos Nicolaus a Daniel, receben
do amp insirugdo em Teología, Medicina, Astronomia, Fco, Ligues orentis e Matematica,
Com o suxilo de Bemoutl trou para a Academia de $, Petersburgo, fundada por
Catarina 1, ocupando um lugar na sagäo de Medicina a Fisiologia, e em 1790 passando à
saräo de Fiosofo por ocasilo da morte de Nicolaus @ afastamento de Daniel. Tomando-se
© pricipal matemático 16 008 vine @ sois anos, decicou-sa profundamente à pesquisa com
ondo uma quantidade inigualvel de artigos, inclusive para a evita da Academia,
Em 1736 perdes a vio do olho dirais mas suas pesquisas continuarem intensas che
¡ando a escrower até mesmo enquento brineava com seus fos.
Conquista reputacdo Internacional recebau mencdo honrasa na Academia das Céncias
de Pari bem como vónos prömis em concursos
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlin,
voltando à Rüssia am 1766.
Euler ocupou-se de queso todos os tamos da Matemática Pura a Aplcads sende o moior
responsive! pela Inguagem @ notagdes que usamos hoj; fol o primaico a empregar 3 lata €
como base do sistema de logaritmos natura, a E grecs 7 para razHo ento comprmanto.
1
diémeuo da cicunleréncia e a simbolo / para. Deve-se a ele tambi © uso de letras
"minúsculas designando lados do triángulo e mlbsculas para seus Angulos opostos; simbl:
zou logaritmo de » por I, usou = para indicar ado Hi para fungao de x, alèm de outra
otacdes em Geometria, Algebra, Tigonometiae Andis.
Euler reuniu Cálculo Diferencial» Método dos Fluxos num só ramo mais gral da Mate-
mática que $ a Análico, 0 estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra,
em 1748, à “Introdupño à Andise Infinity”, bauvando-¥e fundamentalmente em funpdes, tanto
algébicas como tanscendentes elamantare [uigonométricas,logartm:as, trigonométricas
vera 6 exponencial.
Foi o primero a traer dos togaitmes como expoentes o com idée cometa sobre loge
rime de números negativos.
Muito imoressado no estudo de sixes intinas. ebleve nolavels resultados que © levas
om relacionar Andisa com Teoria dos Números, para a Geo'hati, Euler desicou um And.
ie de “Introdurdo” onde da a opresentacto de Geomevia Anatica no espace.
Euler escreveu em todos 08 vais, om varias lingues, pubicando mais de 500 fvros a
arios.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou am total cagueira mas o fuxo de suas
pesquisss e publicacdes nBo diminuu, escrevendo com giz em grandes quadras-negros où d-
tando para seus fos
Manteve sua mente poderosa até 05 78 anos quando moreu.
Euler foi descrito pels materrticos de epoca como sendo a prépa “Andiso ancamada”
CAPÍTULO 1
POTÉNCIAS
E RAÍZES
1. POTENCIA DE EXPOENTE NATURAL
1. Definigäo
Sejam a um número real e m um número natural. Poténcia de base 9 e
expoente n & 0 número a" tal que:
#1
aies en net
Desta definigéo decorre que:
Paula
Bmaearara
eas lacada
Y arava
e, de modo geral, para p natural e p > 2, temos que aP 6 um produto de
P fatores iquais a a
2. Exemplos
19 Pa
20) 1-2)
29)
49)
59)
18
‘Leonhard Euler nasceu em Basióia, Suiga, onde seu pei era ministro religioso e pos-
suis alguns conhecimamtos matemáticos
Euler foi aluno de Jean Bemovll + amigo do sous filos Nicolaus a Daniel, receben
do amp insirugdo em Teología, Medicina, Astronomia, Fco, Ligues orentis e Matematica,
Com o suxilo de Bemoutl trou para a Academia de $, Petersburgo, fundada por
Catarina 1, ocupando um lugar na sagäo de Medicina a Fisiologia, e em 1790 passando à
saräo de Fiosofo por ocasilo da morte de Nicolaus @ afastamento de Daniel. Tomando-se
© pricipal matemático 16 008 vine @ sois anos, decicou-sa profundamente à pesquisa com
ondo uma quantidade inigualvel de artigos, inclusive para a evita da Academia,
Em 1736 perdes a vio do olho dirais mas suas pesquisas continuarem intensas che
¡ando a escrower até mesmo enquento brineava com seus fos.
Conquista reputacdo Internacional recebau mencdo honrasa na Academia das Céncias
de Pari bem como vónos prömis em concursos
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlin,
voltando à Rüssia am 1766.
Euler ocupou-se de queso todos os tamos da Matemática Pura a Aplcads sende o moior
responsive! pela Inguagem @ notagdes que usamos hoj; fol o primaico a empregar 3 lata €
como base do sistema de logaritmos natura, a E grecs 7 para razHo ento comprmanto.
1
diémeuo da cicunleréncia e a simbolo / para. Deve-se a ele tambi © uso de letras
"minúsculas designando lados do triángulo e mlbsculas para seus Angulos opostos; simbl:
zou logaritmo de » por I, usou = para indicar ado Hi para fungao de x, alèm de outra
otacdes em Geometria, Algebra, Tigonometiae Andis.
Euler reuniu Cálculo Diferencial» Método dos Fluxos num só ramo mais gral da Mate-
mática que $ a Análico, 0 estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra,
em 1748, à “Introdupño à Andise Infinity”, bauvando-¥e fundamentalmente em funpdes, tanto
algébicas como tanscendentes elamantare [uigonométricas,logartm:as, trigonométricas
vera 6 exponencial.
Foi o primero a traer dos togaitmes como expoentes o com idée cometa sobre loge
rime de números negativos.
Muito imoressado no estudo de sixes intinas. ebleve nolavels resultados que © levas
om relacionar Andisa com Teoria dos Números, para a Geo'hati, Euler desicou um And.
ie de “Introdurdo” onde da a opresentacto de Geomevia Anatica no espace.
Euler escreveu em todos 08 vais, om varias lingues, pubicando mais de 500 fvros a
arios.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou am total cagueira mas o fuxo de suas
pesquisss e publicacdes nBo diminuu, escrevendo com giz em grandes quadras-negros où d-
tando para seus fos
Manteve sua mente poderosa até 05 78 anos quando moreu.
Euler foi descrito pels materrticos de epoca como sendo a prépa “Andiso ancamada”
CAPÍTULO 1
POTÉNCIAS
E RAÍZES
1. POTENCIA DE EXPOENTE NATURAL
1. Definigäo
Sejam a um número real e m um número natural. Poténcia de base 9 e
expoente n & 0 número a" tal que:
#1
aies en net
Desta definigéo decorre que:
Paula
Bmaearara
eas lacada
Y arava
e, de modo geral, para p natural e p > 2, temos que aP 6 um produto de
P fatores iquais a a
2. Exemplos
19 Pa
20) 1-2)
29)
49)
59)
18
6) #-3.3-9
TARA
2
89) 2,42, 2,2018
3030338
99) (-D,1P* = (-0,19(-0,11(-0,11(-0,1)(-0,1) = -0,00001
10%) 0? =0-0-0=0
119) OP = 1
122) 0-0
EXERCÍCIOS
BA Guieunr
a (si? CE oe dt
Sousse
A) DE Se er wer
d 2 + MA + 8 BD = MBH
82 Coleula:
ais? bh ta! ast a”
012% ace Aya 236
2 oy má
aa i ano oe
mo? n (4 CE CET
3. Na definicäo da poténcia a", a base a pode ser um número real positivo,
nulo ou negativo,
Vejamos o que ocor
m cada um desses casos:
19 caso
0 [020 vremnss
Ca
29 caso
2>0>0>0 YneN
isto é, toda poténcia de base real positiva e expoente n EN € um número
real positivo.
28
> 0 ¥ NEN
2<0Pfumico ¥nEN
isto é, toda poténcia de base negativa e expoente par $ um número real positivo
e toda poténcia de base negativa e expoente Ímpar 6 um número reel negativo.
EXERCICIO
Ba Se men. calcular o valor dea = den?" CRÉÉS nn nt
4. Propriedades
Se qE R, DER, MEN e n € N, entio valem as seguintes proprie-
dados.
Pe
Pr
Py. (arbi? = ane be
=, b#0
A
Pa
b
Ps. {ame = amen
Demonstrágáo de Pı (por induçäo sobre nl.
Consigeremos m fixe.
19) A propriedade 6 verdadeira para n = 0, pois
AO gm a Met wa + 90
ja verdadeira para n = p. isto &
nhamos que a propriedade se)
29) Suponhamos que a propr a
ame a? = a, e mostramos que & verdadeira para n =
Gm apti à amtot, De fato
ÓN
38
TARA
2
89) 2,42, 2,2018
3030338
99) (-D,1P* = (-0,19(-0,11(-0,11(-0,1)(-0,1) = -0,00001
10%) 0? =0-0-0=0
119) OP = 1
122) 0-0
EXERCÍCIOS
BA Guieunr
a (si? CE oe dt
Sousse
A) DE Se er wer
d 2 + MA + 8 BD = MBH
82 Coleula:
ais? bh ta! ast a”
012% ace Aya 236
2 oy má
aa i ano oe
mo? n (4 CE CET
3. Na definicäo da poténcia a", a base a pode ser um número real positivo,
nulo ou negativo,
Vejamos o que ocor
m cada um desses casos:
19 caso
0 [020 vremnss
Ca
29 caso
2>0>0>0 YneN
isto é, toda poténcia de base real positiva e expoente n EN € um número
real positivo.
28
> 0 ¥ NEN
2<0Pfumico ¥nEN
isto é, toda poténcia de base negativa e expoente par $ um número real positivo
e toda poténcia de base negativa e expoente Ímpar 6 um número reel negativo.
EXERCICIO
Ba Se men. calcular o valor dea = den?" CRÉÉS nn nt
4. Propriedades
Se qE R, DER, MEN e n € N, entio valem as seguintes proprie-
dados.
Pe
Pr
Py. (arbi? = ane be
=, b#0
A
Pa
b
Ps. {ame = amen
Demonstrágáo de Pı (por induçäo sobre nl.
Consigeremos m fixe.
19) A propriedade 6 verdadeira para n = 0, pois
AO gm a Met wa + 90
ja verdadeira para n = p. isto &
nhamos que a propriedade se)
29) Suponhamos que a propr a
ame a? = a, e mostramos que & verdadeira para n =
Gm apti à amtot, De fato
ÓN
38
Demonstracio de Ps {por induçäo sobre ni.
19) À propriedade é verdadeira para n = O, pois
CE 1-2.
29) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n
(a+b)? = a+ bP, mostremos que 6 verdadeira para n = p + 1, isto 6,
(ab) > PH. BET De fato
fae bye
(a IP (e+ D} = (a DP) + farb) = (ae
ape. poet
+b? +b)
Demonstracio de Ps (por inducáo sobre nl,
Consideremos m fixe
19) A propriedade é verdadeira para n = 0, pois
(amy? a 1a name
29) Supondo que a propriedade seja verdadeira para n isto
fa}? a a"P, mostremos que é verdadeira para n = p+1, Isto é, (am)?"
= amor) De fato
[are tt = (amp? (am) MD gm a gmsptm = mori
As demonstracües das propriedades (Pa) a (Pa) ficam como exercicios.
As propriedades (P) a (Ps) tém grande aplicacäo nos cálculos com po:
téncias. A elas nos referiremos com o nome simplificado de propriedades (P} nos
toos seguíntes.
Nas “ampliagóes” que faremos logo a seguir no conceito de poténcia
Procuraremos manter sempre válidas as propriedades (P), isto é, estes proprièdades
seráo estendides sucesivamente para poténcias de expoente inteiro, racional e real.
EXERCICIOS
BA Clasiticar em verdadeira (V) ou false (F) cada uma das senteneasabaixo:
ateos DE
EOS a
a ES
Er DE. ZU DE
48
185 Simplificar (ot = B29 + Uo? + Di?
Sousse
MS CARRE
bte ee ee nn a
15. Simpiicar os enprendes supondo a+b #0
byte te? CE el [las wey}
De ANOS
) PES
a
of
87 Se ae b s60 números resis, entdo am que condigäes (o | bi?
I. POTENCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
Definigäo
Dado um número real a, no nulo, e um número n natural, define-se a
poténcia a°® pela relacio
isto &, a poténcia de base real, ndo nula, e expoente inteiro negativo & definida
como 0 inverso da correspondente poténcia de inteiro positivo.
8. — Exemplos
m 2*
ee
male
be
a a Le
3% t mr
58
19) À propriedade é verdadeira para n = O, pois
CE 1-2.
29) Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para n
(a+b)? = a+ bP, mostremos que 6 verdadeira para n = p + 1, isto 6,
(ab) > PH. BET De fato
fae bye
(a IP (e+ D} = (a DP) + farb) = (ae
ape. poet
+b? +b)
Demonstracio de Ps (por inducáo sobre nl,
Consideremos m fixe
19) A propriedade é verdadeira para n = 0, pois
(amy? a 1a name
29) Supondo que a propriedade seja verdadeira para n isto
fa}? a a"P, mostremos que é verdadeira para n = p+1, Isto é, (am)?"
= amor) De fato
[are tt = (amp? (am) MD gm a gmsptm = mori
As demonstracües das propriedades (Pa) a (Pa) ficam como exercicios.
As propriedades (P) a (Ps) tém grande aplicacäo nos cálculos com po:
téncias. A elas nos referiremos com o nome simplificado de propriedades (P} nos
toos seguíntes.
Nas “ampliagóes” que faremos logo a seguir no conceito de poténcia
Procuraremos manter sempre válidas as propriedades (P), isto é, estes proprièdades
seráo estendides sucesivamente para poténcias de expoente inteiro, racional e real.
EXERCICIOS
BA Clasiticar em verdadeira (V) ou false (F) cada uma das senteneasabaixo:
ateos DE
EOS a
a ES
Er DE. ZU DE
48
185 Simplificar (ot = B29 + Uo? + Di?
Sousse
MS CARRE
bte ee ee nn a
15. Simpiicar os enprendes supondo a+b #0
byte te? CE el [las wey}
De ANOS
) PES
a
of
87 Se ae b s60 números resis, entdo am que condigäes (o | bi?
I. POTENCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO
Definigäo
Dado um número real a, no nulo, e um número n natural, define-se a
poténcia a°® pela relacio
isto &, a poténcia de base real, ndo nula, e expoente inteiro negativo & definida
como 0 inverso da correspondente poténcia de inteiro positivo.
8. — Exemplos
m 2*
ee
male
be
a a Le
3% t mr
58
8. Com as definigóes de poténcia de expioente natural e potáncia de expoente
inteiro negativo, podemos estabelecer a seguinte definigäo:
se Sa€RenEZ entio
1 sæn-0
da se n>0
exeneicios æn<oes#0
88 Cuir
DEL stat Estas poténcias tem as propriedades (P)
a2 na = a5
od aed ei:
3 er mn
ta he
El Py. fab) = ah bP
"ar ee
CORRE
89 Calcular o vator das expresses:
y haba + (ar Pee (am) = af
EPIA]
onde ae RY, BE RY, MEZ e nEZ.
EXERCICIOS
8.10. Clasiicar am verdadeica IV} ou falsa (Fl coda uma das sonsengos abalxo:
ah? wate a8
me pued
im area ass;
19) Com a definigfo de potáncia de expoente Intelro negativo a propre ;
dade (Pa) au rs i”
nat. '
Penn
Sims | 640 was
eat se ah #0, amp BT
passa a ter significado para m <n. Bu
a a qu a
CEA CA oe
29 Se a= 0 e nEN", 0 & um símbolo sem significado.
inteiro negativo, podemos estabelecer a seguinte definigäo:
se Sa€RenEZ entio
1 sæn-0
da se n>0
exeneicios æn<oes#0
88 Cuir
DEL stat Estas poténcias tem as propriedades (P)
a2 na = a5
od aed ei:
3 er mn
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El Py. fab) = ah bP
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CORRE
89 Calcular o vator das expresses:
y haba + (ar Pee (am) = af
EPIA]
onde ae RY, BE RY, MEZ e nEZ.
EXERCICIOS
8.10. Clasiicar am verdadeica IV} ou falsa (Fl coda uma das sonsengos abalxo:
ah? wate a8
me pued
im area ass;
19) Com a definigfo de potáncia de expoente Intelro negativo a propre ;
dade (Pa) au rs i”
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Penn
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eat se ah #0, amp BT
passa a ter significado para m <n. Bu
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CEA CA oe
29 Se a= 0 e nEN", 0 & um símbolo sem significado.
AT y
¿o
a ro may
e Web a
u [REIST UN
al lalo o darla
of rte are mt
Seb let rayo
HI. RAIZ ENEZIMA ARITMÉTICA
9. Definigäo
Dados um número real a > 0 e um número natural n. demonstra-se que
existe sempre um número real positive ou nulo b tal que bi = a.
Ao número b chamaremos raiz endzima aritmática de a e indicaremos
pelo símbolo Wa onde a é chamado radicando e n é o indice.
Exemples
19) Ÿ32-2 porque 2% = 32
2) VB-2 porque
391 V9 -3 porque
49) YO-0 poraue a
se) ŸT-1 porque
10. Observacóes
19) Da definicáo decorre {Ya 1"
29) Observemos na definicio dada que:
V36-6 endo V36-:6
nie
JE eno JE
477 a
En 2, NS
sio sentengas verdadeiras onde o radical “ndo $ causador” do sinal que o antecede,
30) Devemos estar atentos no cálculo de raiz quadrada de um quadrado
perfeito
VE al
Exemplos
19 VE = 161 = 5 endo VES” =
a ye enio Vx
exencicios
18.14 Clasica em verdadein IV ov osa IF) cada uma das tenets alo
a Vas Venn oie
VO a o feet 1 Yo~o
BAG Ciaslicar em verdade
e yrend
e ER
a Vi xe RY
D VERT EAN
VA 23-4 ER © x30
quadrade oritmética de (x = 1%
Solucño
ES]
ve Ix =the Per)
exc!
mática de
8:17 Determinar a raiz quadrade
RR ur rt
AV ou falsa AF) cado uma das sentengas abaixa:
928
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Seb let rayo
HI. RAIZ ENEZIMA ARITMÉTICA
9. Definigäo
Dados um número real a > 0 e um número natural n. demonstra-se que
existe sempre um número real positive ou nulo b tal que bi = a.
Ao número b chamaremos raiz endzima aritmática de a e indicaremos
pelo símbolo Wa onde a é chamado radicando e n é o indice.
Exemples
19) Ÿ32-2 porque 2% = 32
2) VB-2 porque
391 V9 -3 porque
49) YO-0 poraue a
se) ŸT-1 porque
10. Observacóes
19) Da definicáo decorre {Ya 1"
29) Observemos na definicio dada que:
V36-6 endo V36-:6
nie
JE eno JE
477 a
En 2, NS
sio sentengas verdadeiras onde o radical “ndo $ causador” do sinal que o antecede,
30) Devemos estar atentos no cálculo de raiz quadrada de um quadrado
perfeito
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Exemplos
19 VE = 161 = 5 endo VES” =
a ye enio Vx
exencicios
18.14 Clasica em verdadein IV ov osa IF) cada uma das tenets alo
a Vas Venn oie
VO a o feet 1 Yo~o
BAG Ciaslicar em verdade
e yrend
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a Vi xe RY
D VERT EAN
VA 23-4 ER © x30
quadrade oritmética de (x = 1%
Solucño
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ve Ix =the Per)
exc!
mática de
8:17 Determinar a raiz quadrade
RR ur rt
AV ou falsa AF) cado uma das sentengas abaixa:
928
11. Propriedades
Se aE R,, BER, mEZ, NEN e PEN", temos:
Ry. Yar = Yarn
AO (II = aI}? = [am]? ne x = Ware.
A. Va- Vo Va
Facamos x = Va + Yb, entäo:
an (Ya BA (YI = aber x Yard
Ra. Va" = Yam
Considerando n fixo e m > 0, provaremos por induco sobre m.
19) A propriedade é verdad:
29) Supondo a propriedade verdadeira para m = p, istoé (Ya)? = YaP,
provemos que é verdadeira para m = p + 1, isto é
war Ya,
De fata:
VE Va Var A
Se m <0, fagamos -m = q > 0, entäo
am =
10-8
Rs. YY - Va
Fasamas x = VV, entio
A = Ya me A
A veriticagdo da propriedade (Rs) fica como exercício.
12. Observagio
Notemos que se b Re n € N°,"temos
para b>0, b: Ya= Voor
para b<0, be Ya Vas Io"
isto 6, o coeficiente do radical (a menos do sinal) pode ser colocado no radicando
com expoente igual ao índice do radical
Exemplos
19 2-V3-Y 373 - VA
E
2) VE VER NM
exencicios
18. Simpler os rains
a Va a Var
Suso
VRR BR
ot VANESA
VENEN NEE
a UE NEE NR NR CE
810 Sinpitcr os vo
ab V144 vb) V324 a Via oh 196 0) 1625
ave ov nla Va
ove av
pS
118
Se aE R,, BER, mEZ, NEN e PEN", temos:
Ry. Yar = Yarn
AO (II = aI}? = [am]? ne x = Ware.
A. Va- Vo Va
Facamos x = Va + Yb, entäo:
an (Ya BA (YI = aber x Yard
Ra. Va" = Yam
Considerando n fixo e m > 0, provaremos por induco sobre m.
19) A propriedade é verdad:
29) Supondo a propriedade verdadeira para m = p, istoé (Ya)? = YaP,
provemos que é verdadeira para m = p + 1, isto é
war Ya,
De fata:
VE Va Var A
Se m <0, fagamos -m = q > 0, entäo
am =
10-8
Rs. YY - Va
Fasamas x = VV, entio
A = Ya me A
A veriticagdo da propriedade (Rs) fica como exercício.
12. Observagio
Notemos que se b Re n € N°,"temos
para b>0, b: Ya= Voor
para b<0, be Ya Vas Io"
isto 6, o coeficiente do radical (a menos do sinal) pode ser colocado no radicando
com expoente igual ao índice do radical
Exemplos
19 2-V3-Y 373 - VA
E
2) VE VER NM
exencicios
18. Simpler os rains
a Va a Var
Suso
VRR BR
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VENEN NEE
a UE NEE NR NR CE
810 Sinpitcr os vo
ab V144 vb) V324 a Via oh 196 0) 1625
ave ov nla Va
ove av
pS
118
820
82
823
82
128
Simpliicar as anpassen
a Ver V+ 72-50
br 5108 + 2243 - Var + 2/12
© V20 - Vas + 125 - Vas
a 2000 + 200 + V20 + V2
wt Vs Vaso + Vos NE
w Vars - Vas + Ver - Vis
aa + wae + Vote 2 san Va
Simpliicar
a Vers D Vas E
Redurir ao mesmo indice V3. V7 0 VS.
Solugio
© mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 4 6 12, ent reduzindo no índice 12, temos:
Gey
edt 0 eno índice
a V2. Vs, Va
a VE, Vs. Vs
bi na ss an a
aveva MVa 0 JET
a Va ve a Ve INE
Socio
avs. Va.
DE CE Ts
pas
02
Eten u nord inns com as ra
IVY ViVe Va YE Vie
a Va. Ve ave Na Y Ve
a V6: vs ni VA: Ve a Vic: Ye
a V2 Ya. Va. Ys a Ya: vz
m V7: Y ne =
Ein 0, perte
a) W12 - 2027 + 378) Vs
vr to + V2) «15 - 3V2)
6 -2V3"
PNEUS Va ravie. Va. Vas 283. Vas.
ENTENTER
15 -9V2+5V2-6.9-4v2
soya 15-32) -
06-237 - 25 - 20V'3 12-37-2008
Eletuar 69 opera
ob 2V3 a's -2V2 Va 0 Ves rias
a 64 Va. 2 a CEE CI)
ONE NCES) 0 NEBEN TEL N RENT
a AVE -aVn V8 + 207 nes Var
aver Dr avn
wa -vat
Etetuar
a ave -2vie Va bi «V2 à avast Vs
a Vis + 2V8 + aa - eo). Va
aver Y iz
Eteruae
a Vat Wat
EN NS
82
823
82
128
Simpliicar as anpassen
a Ver V+ 72-50
br 5108 + 2243 - Var + 2/12
© V20 - Vas + 125 - Vas
a 2000 + 200 + V20 + V2
wt Vs Vaso + Vos NE
w Vars - Vas + Ver - Vis
aa + wae + Vote 2 san Va
Simpliicar
a Vers D Vas E
Redurir ao mesmo indice V3. V7 0 VS.
Solugio
© mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 4 6 12, ent reduzindo no índice 12, temos:
Gey
edt 0 eno índice
a V2. Vs, Va
a VE, Vs. Vs
bi na ss an a
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a Va ve a Ve INE
Socio
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IVY ViVe Va YE Vie
a Va. Ve ave Na Y Ve
a V6: vs ni VA: Ve a Vic: Ye
a V2 Ya. Va. Ys a Ya: vz
m V7: Y ne =
Ein 0, perte
a) W12 - 2027 + 378) Vs
vr to + V2) «15 - 3V2)
6 -2V3"
PNEUS Va ravie. Va. Vas 283. Vas.
ENTENTER
15 -9V2+5V2-6.9-4v2
soya 15-32) -
06-237 - 25 - 20V'3 12-37-2008
Eletuar 69 opera
ob 2V3 a's -2V2 Va 0 Ves rias
a 64 Va. 2 a CEE CI)
ONE NCES) 0 NEBEN TEL N RENT
a AVE -aVn V8 + 207 nes Var
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a ave -2vie Va bi «V2 à avast Vs
a Vis + 2V8 + aa - eo). Va
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a Vat Wat
EN NS
830 Simpliicor
1.31. Simpliicar a razen:
a
VA
o We
822 Racionslizar os denominadores dat fraps:
a is
SV AI
sia + YT
2
nz. 1 ER ER WIR ER FERV CH
vz Ya Va Ya waVaeV3 araV2-3
ECON
az
v2
MEAR
+
8:33 Recionalizar o denominador de cada frac:
18
3 4 3
a N a
ve ve "Ye
aod ah o
2v3 Ya Si
1 : 2
a » Ñ
Iw "Five Na
: 4 1
m » o
Vi a aeV3eVe
254 Sieht
» Pie, foe
Vive aa
| VE: VE Vis Ja [25
ae Vos = Van JERR VE
836 Simplticr a expresso:
VTT ot
03 Sin a pie ESE and a x (VE - VE
cecal
as? Mose que YU Z 11 =1-Y2+ Va.
re gut Bee + le.
898 Mowe see Td Javan Va
239 calcu 0 inor au: x «Va Va Va Vz+
IV. POTENCIA DE EXPOENTE RACIONAL
13, Definigde
Dados 2 € RE e PEQ(pEZ e q EN") definese poténcia de base
a
a € expoente 4 pela relacio
e Y
Se a-0 e L > 0, adotamos a seguinte definiçäo especial
a
Exemples
19 3822 V3
30) 772 VTT = 3
158
1.31. Simpliicar a razen:
a
VA
o We
822 Racionslizar os denominadores dat fraps:
a is
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nz. 1 ER ER WIR ER FERV CH
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8:33 Recionalizar o denominador de cada frac:
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» Pie, foe
Vive aa
| VE: VE Vis Ja [25
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836 Simplticr a expresso:
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03 Sin a pie ESE and a x (VE - VE
cecal
as? Mose que YU Z 11 =1-Y2+ Va.
re gut Bee + le.
898 Mowe see Td Javan Va
239 calcu 0 inor au: x «Va Va Va Vz+
IV. POTENCIA DE EXPOENTE RACIONAL
13, Definigde
Dados 2 € RE e PEQ(pEZ e q EN") definese poténcia de base
a
a € expoente 4 pela relacio
e Y
Se a-0 e L > 0, adotamos a seguinte definiçäo especial
a
Exemples
19 3822 V3
30) 772 VTT = 3
158
14,
Observacses
19) © símbolo 0% com a < 0 náo tem significado, pois, L € Q
© QE N° p<0= 0% nio tem significado.
29) Toda poténcia de base positiva e expoente racional é um número
real positivo
a> Om oP YP > 0
exencicios
840 Expresar na forma de potncia de expoemte racional os sepuintes radicals:
sa
15,
dades:
168
ove we ath 0 Wz 44%
Ch nv a Ey
Calcuta, substruido as poténcios de oxpoente racional palos correspondents 1
a ais bi Gat?
pare git
pe
56
Propriedades
As propriadades (P) se verificam para as poténcias de expoente racional.
Se 3 E RI, bE RIP Ea e ! E Q ento valem as seguintes proprie-
a s
Bye
D +
P
Py, +t
Pr,
DR a
Demonsragöes
e eae EPH
P — e
EEES
IE
Deixamos a demonstragäo das propriedades Pa e Pa como exercicio,
EXERCICIOS
B42. Swnoilicar fozeado uso dos propriedades (PI
a 16" bi 2740 esr
Serio
a 168 = A 2128
watt
ery EN EE EN
BA3 Simplfcar tasendo uto das proprisdades (Pi
a 9 CEA a «be où 64 24
ose 0 2568 CRC RES E
CR TT rn)
844 Simplitear
à BALE a bras, gus gia
pa an
YA
9 OP raus at 160
MES
E
17-8
Observacses
19) © símbolo 0% com a < 0 náo tem significado, pois, L € Q
© QE N° p<0= 0% nio tem significado.
29) Toda poténcia de base positiva e expoente racional é um número
real positivo
a> Om oP YP > 0
exencicios
840 Expresar na forma de potncia de expoemte racional os sepuintes radicals:
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15,
dades:
168
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Ch nv a Ey
Calcuta, substruido as poténcios de oxpoente racional palos correspondents 1
a ais bi Gat?
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56
Propriedades
As propriadades (P) se verificam para as poténcias de expoente racional.
Se 3 E RI, bE RIP Ea e ! E Q ento valem as seguintes proprie-
a s
Bye
D +
P
Py, +t
Pr,
DR a
Demonsragöes
e eae EPH
P — e
EEES
IE
Deixamos a demonstragäo das propriedades Pa e Pa como exercicio,
EXERCICIOS
B42. Swnoilicar fozeado uso dos propriedades (PI
a 16" bi 2740 esr
Serio
a 168 = A 2128
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BA3 Simplfcar tasendo uto das proprisdades (Pi
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17-8
48 Sig nono 40 4,850
ae"
CPR ET TE
WY 6218) ae Vans Y
Bak sgt yun playdate el
$. fete pity er]
SCORE CEE TS
BAS So à >0 morue que
ne
V. POTENCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL
16. Dados um número real a > 0 e um número irracional a, podemos
construir, com base nas poténciss de expoente racional, um único número real
9% que é a poténcia de base à e expoente irracional a.
Seja por exemplo a poténcia 3%. Sabendo quais säo os valores racionais
aproximados por falta ou por excesso de Y 2, obtemos em correspandéncia os
valores aproximados por falta ou por excesso de 3? (poténcias de base 3 e
expoente racional, já definidas):
A As B, B,
1 2 # El
gu gs
gu ge
gum gs
que que
Sa gi De
188
17. Definigio
Seja 3€ R, 2 > 0 e a um número irracional, consideremos os conjuntos
Aj=(re0Ir<a) e Ay={s€Qis>a}.
Notemos que
al todo número de A, 6 menor que qualquer número de Az
b) existem dois racionais res tais que r <a<s ea di
6 menor que qualquer número positivo e arbitrio.
Em correspondéncia aos conjuntos Ay e Az consideremos os conjuntos
Bye {a IEA) € By = {aise A)
Se a> 1, demonstra-sel"} que:
renga $=
al todo número de Bj 6 menor que qualquer número de Bz.
b) existem dois números 3’ e 3° tais que a diferenga 2° -al & menor que
qualquer número positivo e arbitrári.
Nestas condigóes, dizemos que a" e a* +30 aproximacdes por falta © por
excesso, respectivamente, de a% e que B, e B; so classes que definem 4°.
Se 0<a<1, tudo acontece de forma análoga
Exemplos de poténcias com expoente irracional
288, a, or, CA ay, (Va
18, Se a=0 e.a é irracional e positivo, daremos a segui
e.o
19. Observagex
191 Se a =1 entáo 1% -1,% a irracional
racional e positivo entáo o símbolo a náo tem
2) Se a<0e a
BY? e (-/2)% ndo tem significado.
significado. Exemplos: (-2)
39) Se a é irracional e negativo (a < 0) entáo O no tem significado.
49} Para as potäncias de expoente irracional sfo vélidas as propriedades (P}
(6) A damonstragdo est ras piginas 24,25 26.
19-8
ae"
CPR ET TE
WY 6218) ae Vans Y
Bak sgt yun playdate el
$. fete pity er]
SCORE CEE TS
BAS So à >0 morue que
ne
V. POTENCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL
16. Dados um número real a > 0 e um número irracional a, podemos
construir, com base nas poténciss de expoente racional, um único número real
9% que é a poténcia de base à e expoente irracional a.
Seja por exemplo a poténcia 3%. Sabendo quais säo os valores racionais
aproximados por falta ou por excesso de Y 2, obtemos em correspandéncia os
valores aproximados por falta ou por excesso de 3? (poténcias de base 3 e
expoente racional, já definidas):
A As B, B,
1 2 # El
gu gs
gu ge
gum gs
que que
Sa gi De
188
17. Definigio
Seja 3€ R, 2 > 0 e a um número irracional, consideremos os conjuntos
Aj=(re0Ir<a) e Ay={s€Qis>a}.
Notemos que
al todo número de A, 6 menor que qualquer número de Az
b) existem dois racionais res tais que r <a<s ea di
6 menor que qualquer número positivo e arbitrio.
Em correspondéncia aos conjuntos Ay e Az consideremos os conjuntos
Bye {a IEA) € By = {aise A)
Se a> 1, demonstra-sel"} que:
renga $=
al todo número de Bj 6 menor que qualquer número de Bz.
b) existem dois números 3’ e 3° tais que a diferenga 2° -al & menor que
qualquer número positivo e arbitrári.
Nestas condigóes, dizemos que a" e a* +30 aproximacdes por falta © por
excesso, respectivamente, de a% e que B, e B; so classes que definem 4°.
Se 0<a<1, tudo acontece de forma análoga
Exemplos de poténcias com expoente irracional
288, a, or, CA ay, (Va
18, Se a=0 e.a é irracional e positivo, daremos a segui
e.o
19. Observagex
191 Se a =1 entáo 1% -1,% a irracional
racional e positivo entáo o símbolo a náo tem
2) Se a<0e a
BY? e (-/2)% ndo tem significado.
significado. Exemplos: (-2)
39) Se a é irracional e negativo (a < 0) entáo O no tem significado.
49} Para as potäncias de expoente irracional sfo vélidas as propriedades (P}
(6) A damonstragdo est ras piginas 24,25 26.
19-8
EXERCICIO
847 Sinplfer
a 32/5225 2 a or
añ CEE novia vs
VF PSN
nn ES u)
VI. POTENCIA DE EXPOENTE REAL
20. Considarando que já foram definidos anteriormente as poténcias de base
a (8€ Ri) e expoente b {b racional ou irracional) entáo já está definida
a potóncia a? com ac RI e bE R
21. Observagóes
19) Toda poténcia de base real e positiva e expoente real $ um número
Positiv.
a>0— a >0
28) Para as poténcias de expoente real säo válidas as propriedades (P),
isto 6,
Pr
Pa. WERLbERECER
Pa. WERL BERT e ce A)
GER, bER e ce R
(ERE DER e cE R
OS MAIORAIS EM ALGEBRA
Solicitado a relacionar os vinte maiores algebristas de todos os tempos, o
grande matemático francés André Veil, um dos componentes do grupo Bourbaki,
alinhou os seguintes nomes
Format (1601 — 1665)
Euler (1707 — 1783)
Lagrange (97361813)
Legendre (1752 - 1833)
Gauss (1777 1855)
Dirichlet (1805 — 1859)
Kummer (1810 — 1893)
Hermite (1822 - 1901)
Eisenstein (1823 ~ 1852)
Kronecker (1823 1891)
Riemann (1823 1891)
Dedekind (1831-1921)
H.Weber (1842— 1913)
Hensel (1861 ~ 1941)
Hilbert (1862 — 1943)
Takagi (1875 ~ 1960)
Hecke (1887 - 19471
Artin (1898 — 1982)
Hasse (898)
Chevalley (1909)
Esta lista 6, no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma ques-
de elegäncia, Veil nfo se incluiu na relaçäo, faltando com a verdade,
847 Sinplfer
a 32/5225 2 a or
añ CEE novia vs
VF PSN
nn ES u)
VI. POTENCIA DE EXPOENTE REAL
20. Considarando que já foram definidos anteriormente as poténcias de base
a (8€ Ri) e expoente b {b racional ou irracional) entáo já está definida
a potóncia a? com ac RI e bE R
21. Observagóes
19) Toda poténcia de base real e positiva e expoente real $ um número
Positiv.
a>0— a >0
28) Para as poténcias de expoente real säo válidas as propriedades (P),
isto 6,
Pr
Pa. WERLbERECER
Pa. WERL BERT e ce A)
GER, bER e ce R
(ERE DER e cE R
OS MAIORAIS EM ALGEBRA
Solicitado a relacionar os vinte maiores algebristas de todos os tempos, o
grande matemático francés André Veil, um dos componentes do grupo Bourbaki,
alinhou os seguintes nomes
Format (1601 — 1665)
Euler (1707 — 1783)
Lagrange (97361813)
Legendre (1752 - 1833)
Gauss (1777 1855)
Dirichlet (1805 — 1859)
Kummer (1810 — 1893)
Hermite (1822 - 1901)
Eisenstein (1823 ~ 1852)
Kronecker (1823 1891)
Riemann (1823 1891)
Dedekind (1831-1921)
H.Weber (1842— 1913)
Hensel (1861 ~ 1941)
Hilbert (1862 — 1943)
Takagi (1875 ~ 1960)
Hecke (1887 - 19471
Artin (1898 — 1982)
Hasse (898)
Chevalley (1909)
Esta lista 6, no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma ques-
de elegäncia, Veil nfo se incluiu na relaçäo, faltando com a verdade,
CAPÍTULO IX
FUNCÄO
EXPONENCIAL
1. DEFINIGAO
22. Dado um número real a, tal que O<az 1, chamamos funcáo exponencial
de base a a funcio f de Rem R que associa a cada x real o número a’
Em símbolos: f: R—> R
x— e
Exemplos de fungdes exponenciais em R
a} fix) 2% eh hp = 3%
di ph = 10% ob ro = 142)
11. PROPRIEDADES
12) Na funcio exponencial f(x) =
x= 0 01 = 0 =
isto é, o par ordenado (0, 1) pertence a funçäo para todo a € A} - (1).
Isto significa que o gráfica cartesiano de toda funcio exponencial corta o eixo y
no panto de ordenada 1.
2%) A funçéo exponencial f(x] = aX € crescente (decrescente) se, e
somente se, à > 1 (0 < a < 1), Portanto, dados os resis xy € xz. temos:
M quando a > 1
x <x fer) < fla)
1) quando O<a<t
x <= fix) > fhe)
23-8
FUNCÄO
EXPONENCIAL
1. DEFINIGAO
22. Dado um número real a, tal que O<az 1, chamamos funcáo exponencial
de base a a funcio f de Rem R que associa a cada x real o número a’
Em símbolos: f: R—> R
x— e
Exemplos de fungdes exponenciais em R
a} fix) 2% eh hp = 3%
di ph = 10% ob ro = 142)
11. PROPRIEDADES
12) Na funcio exponencial f(x) =
x= 0 01 = 0 =
isto é, o par ordenado (0, 1) pertence a funçäo para todo a € A} - (1).
Isto significa que o gráfica cartesiano de toda funcio exponencial corta o eixo y
no panto de ordenada 1.
2%) A funçéo exponencial f(x] = aX € crescente (decrescente) se, e
somente se, à > 1 (0 < a < 1), Portanto, dados os resis xy € xz. temos:
M quando a > 1
x <x fer) < fla)
1) quando O<a<t
x <= fix) > fhe)
23-8
A demonstragäo desta propriedace exige a seaiiéncia de lemos e teoremas
apresentados nos itens 23 à 30.
3% A funcio exponencial f(x) = 2%, com O< a1, 6 injetora
pois, dados x, ex; taisque x; 7 x (por exemple x < xa) vem:
Se a>, tomos: A) < Hx)
Se O<a<1, tomos: fx) > Ho)
©, portanto, nos dois casos, Hxy) # fx.
23. Loma 1
Sendo ¿ER a> 1 eo nCZ, temos:
2° > 1 se, e somente se, n > 0
Demonstraçso
18 Parte
Provemos, por induçäo sobre n, à proposicia: n> 0— a" > 1
19) d verdadeira para n = 1, pois al = a>1
29) suponhamos que a proposicio seja verdadeira para n = p, isto $,
2 > 1 e provemos que é verdadeira para n =p + 1
De fato, de à > 1, multiplicando ambos os membros desta desigualdade
1? e mamando a desigualdade pois a? é positivo, temos:
EA]
vor à
28 Parte
Provemos, por redugäo a absurdo, a proposigäo
foi n>0
Supondo n < 0 temas, -n > 0.
Notemos que n = D= 2? = 1 e pela primeira parte -n >0= a” > 1
portento
noo a>
Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por a” e mantendo
© sentido da desigualdade pois a” $ positivo, temos
rim
© que é um absurdo, pois contraria a hipétese a? > 1. Logo, n > 0.
2-8
24. Lema2
Sendo 3 € R, 2>10 EQ, temos
a > 1 se, e somente se, r > 0
Demonstragáo
12 Parte
Provemos a proposigäo 1 > Ome a! > 1
Faramos 1 = 2 com 9,9 EN", ende
1 1
alo lema 1, se Baia" >] € >O entio a" 1. Ainda pelo
Palo lama 1, se 00 a
mesmo lema, se > 1 6 p > 0 entéo (I > 1, ou seja,
ı 2
(AP sat eal >t
29 Parto
Provemos agora a proposicdo: a > 1= r > 0
Facamos e E com PEZ e qe2", entio
oat e R
Supondo, q> 0 e considerando que na 12 parte provamos que a° > 1,
tomos pelo lema 1:
4 a
Dre (MP > tee p> 0
Logo a>0 e p>0=r=L>0
Supando agora, a <0, isto é, -q > 0, pelo lema 1 temos
a >t e Pa
y? > 1= -p > Ome p € 0
Logo B sg
a
a<0 e p<0—r
25-8
apresentados nos itens 23 à 30.
3% A funcio exponencial f(x) = 2%, com O< a1, 6 injetora
pois, dados x, ex; taisque x; 7 x (por exemple x < xa) vem:
Se a>, tomos: A) < Hx)
Se O<a<1, tomos: fx) > Ho)
©, portanto, nos dois casos, Hxy) # fx.
23. Loma 1
Sendo ¿ER a> 1 eo nCZ, temos:
2° > 1 se, e somente se, n > 0
Demonstraçso
18 Parte
Provemos, por induçäo sobre n, à proposicia: n> 0— a" > 1
19) d verdadeira para n = 1, pois al = a>1
29) suponhamos que a proposicio seja verdadeira para n = p, isto $,
2 > 1 e provemos que é verdadeira para n =p + 1
De fato, de à > 1, multiplicando ambos os membros desta desigualdade
1? e mamando a desigualdade pois a? é positivo, temos:
EA]
vor à
28 Parte
Provemos, por redugäo a absurdo, a proposigäo
foi n>0
Supondo n < 0 temas, -n > 0.
Notemos que n = D= 2? = 1 e pela primeira parte -n >0= a” > 1
portento
noo a>
Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por a” e mantendo
© sentido da desigualdade pois a” $ positivo, temos
rim
© que é um absurdo, pois contraria a hipétese a? > 1. Logo, n > 0.
2-8
24. Lema2
Sendo 3 € R, 2>10 EQ, temos
a > 1 se, e somente se, r > 0
Demonstragáo
12 Parte
Provemos a proposigäo 1 > Ome a! > 1
Faramos 1 = 2 com 9,9 EN", ende
1 1
alo lema 1, se Baia" >] € >O entio a" 1. Ainda pelo
Palo lama 1, se 00 a
mesmo lema, se > 1 6 p > 0 entéo (I > 1, ou seja,
ı 2
(AP sat eal >t
29 Parto
Provemos agora a proposicdo: a > 1= r > 0
Facamos e E com PEZ e qe2", entio
oat e R
Supondo, q> 0 e considerando que na 12 parte provamos que a° > 1,
tomos pelo lema 1:
4 a
Dre (MP > tee p> 0
Logo a>0 e p>0=r=L>0
Supando agora, a <0, isto é, -q > 0, pelo lema 1 temos
a >t e Pa
y? > 1= -p > Ome p € 0
Logo B sg
a
a<0 e p<0—r
25-8
e Ea
Sendo 4€ R, a > 1, 1 0 5 racionais, temos:
3 >a! see somente se, 5 > 7,
Demonstracáo
LE)
BD en dent paie es dt oy F
1>00
>
26, Lema 4
Sendo 2€ R, a>1 © @E R - 0, temos
a> 1 se, © somente se, a >0
Demonstracáo
Sejam 0s dois conjuntos que definem o número irracional a,
Astrealr<a e Arcos)
18 Parte
Provemos a proposicdo.
>>
Pols defmieño do número & irracional e positivo, existem 1 CA e SEA
tal que O<r<a<s
Peta Jems 2, como a 1, 30 es > D, temo > 1 6 >
fat lama 3. como 2 > 1 € <5, mo 1< al care, agora, pela
definigäo de poténcia de expoente irracional, vem
<a <a < à
isto é,
>
24 Parte
Provemos, por redugäo a absurdo, agora a proposic
a> 1 a>0
Suponhamos, a <0, isto 6, -a > 0.
Pela primeira parte deste teorema, temos:
st ee RO} sas,
“a> 0
Multiplicando ambos os membros da desigualdede obtida por a > 0, vem:
at. > at
ino é, —
‘0 que contraria a hipótese, logo
a>o
27, Teorema 1
Sendo 3€ R, a>1 e bE R, temos:
a? > 1. so, 0 somente se, b > 0.
Demonstracio
s pea “E? ari b>0)
ben 2
pero (ER what b>0
28, Teorema 2
Sendo 2€ R a> 1, ER e x R, temos
DEN se, e somente se, x) > x
Demonstragäo
aocema 1
A ee D on an > 1
=>.
278
Sendo 4€ R, a > 1, 1 0 5 racionais, temos:
3 >a! see somente se, 5 > 7,
Demonstracáo
LE)
BD en dent paie es dt oy F
1>00
>
26, Lema 4
Sendo 2€ R, a>1 © @E R - 0, temos
a> 1 se, © somente se, a >0
Demonstracáo
Sejam 0s dois conjuntos que definem o número irracional a,
Astrealr<a e Arcos)
18 Parte
Provemos a proposicdo.
>>
Pols defmieño do número & irracional e positivo, existem 1 CA e SEA
tal que O<r<a<s
Peta Jems 2, como a 1, 30 es > D, temo > 1 6 >
fat lama 3. como 2 > 1 € <5, mo 1< al care, agora, pela
definigäo de poténcia de expoente irracional, vem
<a <a < à
isto é,
>
24 Parte
Provemos, por redugäo a absurdo, agora a proposic
a> 1 a>0
Suponhamos, a <0, isto 6, -a > 0.
Pela primeira parte deste teorema, temos:
st ee RO} sas,
“a> 0
Multiplicando ambos os membros da desigualdede obtida por a > 0, vem:
at. > at
ino é, —
‘0 que contraria a hipótese, logo
a>o
27, Teorema 1
Sendo 3€ R, a>1 e bE R, temos:
a? > 1. so, 0 somente se, b > 0.
Demonstracio
s pea “E? ari b>0)
ben 2
pero (ER what b>0
28, Teorema 2
Sendo 2€ R a> 1, ER e x R, temos
DEN se, e somente se, x) > x
Demonstragäo
aocema 1
A ee D on an > 1
=>.
278
29. Teorema 3 IV. GRÁFICO
Sendo AE R,0<a<1 0 bE R, temos:
32. Com relacio so gráfico cartesiano da fungio f(x} = a*, podemos dizer
a > 1 se, @ somente se b < 0
19) a curva representativa está toda acima do eixo dos x, pois y= a* >0
st para todo x € R,
2) carts 0 exo y no pomo de ordanıd 1.
se o<s <1 endo ! > à
M se art 6
1 fundo decrescente.
Sea c= 2 > 1, pelo teorema 1, ver: 49} toma um dos aspectos da figura absixo,
se 0<a<1 ¿ode uma
de uma fungäo crescante
>>1=-.>0
1
substituindo © = 1, temos:
Won Dé
> boo
30. Teorema 4
on
ño, 1)
Sendo 2G IR, O<a<4, ER 8, x; ER, temos
a> a se, e somente se, x) € x2,
Demonstraçäo 33. Exemples
= 9 I 0 ático de tongo exponencial de base 2, fix} = 2%
rt Fy cay OOD ge 19) Constuir o ico de fengio expo
uch BF Piast |
x Tv 4
A le
3) 5 s
+ 2 1 la
ii. IMAGEM à a
1
al + A
31. Vimos anteriormente, no estudo de poténcias de expoente real que se :
ee pes Ca ol:
Alirmamos, entdo, que a imagem da funcio exponencial 6 24
lm = ez 2] 1
28
Sendo AE R,0<a<1 0 bE R, temos:
32. Com relacio so gráfico cartesiano da fungio f(x} = a*, podemos dizer
a > 1 se, @ somente se b < 0
19) a curva representativa está toda acima do eixo dos x, pois y= a* >0
st para todo x € R,
2) carts 0 exo y no pomo de ordanıd 1.
se o<s <1 endo ! > à
M se art 6
1 fundo decrescente.
Sea c= 2 > 1, pelo teorema 1, ver: 49} toma um dos aspectos da figura absixo,
se 0<a<1 ¿ode uma
de uma fungäo crescante
>>1=-.>0
1
substituindo © = 1, temos:
Won Dé
> boo
30. Teorema 4
on
ño, 1)
Sendo 2G IR, O<a<4, ER 8, x; ER, temos
a> a se, e somente se, x) € x2,
Demonstraçäo 33. Exemples
= 9 I 0 ático de tongo exponencial de base 2, fix} = 2%
rt Fy cay OOD ge 19) Constuir o ico de fengio expo
uch BF Piast |
x Tv 4
A le
3) 5 s
+ 2 1 la
ii. IMAGEM à a
1
al + A
31. Vimos anteriormente, no estudo de poténcias de expoente real que se :
ee pes Ca ol:
Alirmamos, entdo, que a imagem da funcio exponencial 6 24
lm = ez 2] 1
28
29) an o to fro spore e one, tu
x | yeche ECT
Co 117
a
2
a
pl
im
LE
j
FETE
BIS Sik polices: sors à
39 Construir 0 gráfico da funcio exponencial de base e, tix) = et
Um número irracional importantíssimo
pela letra e e definido pela relagäo:
Ro iman
A z
A demonstiagio de que o ciado limite exite sr e ftvramente
aude zeros 0 estudo de limites Arbol ao sur anes ea
2 [com quae casas decimal © = 2,108
para a análise matemática 6 indicado
T
x 1 oa oo 2.001 | 00001 00001
Du nen! 2 | 40.0" 2.504
ara [ater [27160
EXERCÍCIOS
anos das seguimes tungors exponencisis:
BAR Connruir oF gticos corrsianos das seg
av
8.49 Construr o gráfico cartesiano da fungió am R definido por 1x) + 2
Solu
Fe sehen weeny conn pan rs (EA
calculamos 23°" # linaimente x.
T fr T
era ae [E A an
7 y 1
a 3 “a
Lilo. + 1 Fl
poa RE:
2 : a 1
a +
o 5 Th
ELL
x | yeche ECT
Co 117
a
2
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LE
j
FETE
BIS Sik polices: sors à
39 Construir 0 gráfico da funcio exponencial de base e, tix) = et
Um número irracional importantíssimo
pela letra e e definido pela relagäo:
Ro iman
A z
A demonstiagio de que o ciado limite exite sr e ftvramente
aude zeros 0 estudo de limites Arbol ao sur anes ea
2 [com quae casas decimal © = 2,108
para a análise matemática 6 indicado
T
x 1 oa oo 2.001 | 00001 00001
Du nen! 2 | 40.0" 2.504
ara [ater [27160
EXERCÍCIOS
anos das seguimes tungors exponencisis:
BAR Connruir oF gticos corrsianos das seg
av
8.49 Construr o gráfico cartesiano da fungió am R definido por 1x) + 2
Solu
Fe sehen weeny conn pan rs (EA
calculamos 23°" # linaimente x.
T fr T
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7 y 1
a 3 “a
Lilo. + 1 Fl
poa RE:
2 : a 1
a +
o 5 Th
ELL
8.60 Construir ox gficos das fungdesem R délinides por:
a the 2
D tad » 3
el tad = 20%
a e
DEE
851. Construir os grficos das fungder om FR definkas nor
a
bl Ga =
8.52 Construir o gráfico da luncio em A definide por fx)
Solo:
[2 len) [x To
mn
Sue ste ale
Notemos que o wófico deve apcetentar
para cada ume ordenada y que
6 © valor de 2°, mals uma unidade
Asim, 69 cada 2% sore um acılscime
de 1. tudo se passe como se a export
col y = 2% sofa uma tango
Se Uma unidaco "para cima
asa
Construir os gráficos das (ungdes em IR detínics por
Had 2
21073
br te
Construir © gráfico cs fungSo em IR detinica por fed = 322%
Ay,
ir
ta «3-14
di ta 25-04
e calculando 21,
Sougie
Vamos construir we tala dando valores a x =
Tomos:
x |x okt PTE ES
1 3
u 5 a
1 2
AE) = 4
1 3
> 2 z
opa 3
alle 6
a} a] 4 2
alado ES
ITIT HIT
le
ramen
EN]
Ho
| ot |e
[fs
2
6 ||
gem
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el tad = 20%
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851. Construir os grficos das fungder om FR definkas nor
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8.52 Construir o gráfico da luncio em A definide por fx)
Solo:
[2 len) [x To
mn
Sue ste ale
Notemos que o wófico deve apcetentar
para cada ume ordenada y que
6 © valor de 2°, mals uma unidade
Asim, 69 cada 2% sore um acılscime
de 1. tudo se passe como se a export
col y = 2% sofa uma tango
Se Uma unidaco "para cima
asa
Construir os gráficos das (ungdes em IR detínics por
Had 2
21073
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Construir © gráfico cs fungSo em IR detinica por fed = 322%
Ay,
ir
ta «3-14
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e calculando 21,
Sougie
Vamos construir we tala dando valores a x =
Tomos:
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1 3
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EN]
Ho
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[fs
2
6 ||
gem
55. Consuuir os gráficos das Funedes er IR definidas por
a) ft 2
CE
CRT
a Hs
V. EQUAÇÔES EXPONENCIAIS
34. Definigéo
Eauacdes exponenciais sfo equarées com incógnite no expoente
Exemples
PI,
Existem dois métodos fundamentais para
resolucño das equaçües ex.
Ponenciais.
Faremos a apresentacio agora do primeiro método, sendo
qu 0 segundo
será apresentado quando do estudo de logarítmos, .
35. Método de reduçäo a ums base comum
Este método, como o proprio nome
ambos os membros da equaçäo, com as tra
pas Dropriadades de poténcias, forem redutíveis a poténcias de mesma. bese
a (0 <a # 1) Pelo fato de 2 funeso exponencial {x} = ex
Podemos concluir que poréncias iguals e de mesma base ti
isto 6:
id nos diz, será aplicado quando,
nstormagöes convenientes baseadas
ser injetora,
tém os expoentes iguais,
Po mbec Dosen
exencicios
56 Reiter as sogimesequecós oxpammncns ,
L 9 war. Va
nz. werd ar Ya
Sousse
deu er nn
sis)
es7
5
À Me de a A nn
met. À ee pute de ee 2226 ee mes 5;
}
sal
5 A
PRVLLPR |
8
s-14)
Resolver as seguines auagdes exponencisis:
ara CEE
ord
o Wa.
ann
a 25
19 100% = 0001
mi 125% 0,0
RRovolver ns seguimes eqvocies exponencii:
a Pu 7 ag
Y ar
PIE are) > a
pa DESSEN
vert are. ere!
wert.’ yatta gt
matt, gi op ee at
35-8
a) ft 2
CE
CRT
a Hs
V. EQUAÇÔES EXPONENCIAIS
34. Definigéo
Eauacdes exponenciais sfo equarées com incógnite no expoente
Exemples
PI,
Existem dois métodos fundamentais para
resolucño das equaçües ex.
Ponenciais.
Faremos a apresentacio agora do primeiro método, sendo
qu 0 segundo
será apresentado quando do estudo de logarítmos, .
35. Método de reduçäo a ums base comum
Este método, como o proprio nome
ambos os membros da equaçäo, com as tra
pas Dropriadades de poténcias, forem redutíveis a poténcias de mesma. bese
a (0 <a # 1) Pelo fato de 2 funeso exponencial {x} = ex
Podemos concluir que poréncias iguals e de mesma base ti
isto 6:
id nos diz, será aplicado quando,
nstormagöes convenientes baseadas
ser injetora,
tém os expoentes iguais,
Po mbec Dosen
exencicios
56 Reiter as sogimesequecós oxpammncns ,
L 9 war. Va
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Sousse
deu er nn
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s-14)
Resolver as seguines auagdes exponencisis:
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19 100% = 0001
mi 125% 0,0
RRovolver ns seguimes eqvocies exponencii:
a Pu 7 ag
Y ar
PIE are) > a
pa DESSEN
vert are. ere!
wert.’ yatta gt
matt, gi op ee at
35-8
BSO Retolver os equagées exponenciais abeixo:
Der
Bd EN, ques ae
IVETE YT à
Sale
DOP a
s-%
Re En ne
IU meas IL gh axe
BOs pee = Kt nn
mee HTL ees
EA 4
re rl
a VET, yg
— 5
eg
5-38)
BSO Resolver as squint
Den
eh PN gine
eb Pego
y YB ons a
a Mr:
B61 Aeromer à equecño
Solurdo,
RetoWvomos colocan:
D à mee qu
Sm NL +2 422 229 à ay,
PAS Er
Goes 3
PF el os
ST er Heit a
F gem
One ey x
es squatSes exponencii:
Biene
CRA, ge
y E a
Iai” jan
yy
VE y
expenancia 2-44 2% quel zu
er.
do 2 em evidènaia
BE eue 20,
120 Se 21150429 ne
end 4,50 (0)
2 Rowoiver as seguimos oquacdes exponenco
pen,
306
CERTES
zz
a) et gun |
per pes,
240
1863 Resolvor as squintes oquaçans exponen:
a pat. 20
Solo
RT
amprégando ums Ineögnita auxiliar, io 6, pondo 2° = y, mar:
Meyer ve
7. so convém, pois y= 2* >0
Observamos qe y =
y a Be on
oy
su)
Ba! 9.2% +2 = 0 644" - 9
=o 46 12% -9.2% 0
22-0
pondo 2% y, temor:
ays rd où ve
mas y 2%, emior
Ar
s-{1.-2}
2.64 Resolver at sequintes aquagdos exponencias
a) 220 01 9% + 3% = 90
a 4 20-2 +820 rs
EEE DSH Er
of Pe BO me ro} ane
a ath eg 287 ar aT 0-0
895 Rover» aquagto 20 120 SF 125
Resolver as seguintes equagbes exponenciis
en gos
B67 Resolva a equecio exponencial
we hi a
37-8
Der
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Sale
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306
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Solo
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&60 Resolver a equocio exponencial
43x
ES
E 2 equate exponencist
¡CA
en
Resolver a equecdo
A aig.
872, Resolvor as equates em IR,
a hte
ETES
Solo
8) Devemos examiner iicilmente #2 0 ou 1
so solucdes da equacio,
Substiuindo x + O na eauegde proposa, temor
CEE
logo, O nfo 4 solo.
Substituindo x © 1 ne equagSo, tomos
YA fverésdico)
so
Supondo agora U <x 7 1, tomos:
E
E
Oswolores x= 2 ou x = 3 do solupdes pois m
8} Exeminamos michirmnte se 0 où 1 150 solurs da equagdo propor:
Of = 0 ardadeino) => x » 0 6 solucio
TIER tuerca = x <1 4 soluggo,
Supondo, 0 <x #1, tomos:
MEZ EI EEE 4 3 40 +
mat ent
won 43 où nn À de oies où thie a endise OSs
fazem 2 condicio O Lx #1.
ar
an
ars
ar
am
878
Resolver as equaçôes om Ra:
ae er
wer
tay
PETER
ae -
um
Resolver as equsedes
a ex
A
PCR
m “x
2 CREER
Resolver am MR e quicio (x= x + 1)
Mt
Resolver em IR 9 equopio x" = (x? + x}
solver a equasto 4% + 6% 240%
solute
ividinc 2, tomos:
ad tree
A eE- at
Zr, (2% 220.
miens
Za y, tomos
Fazendo (GV y, ter
bei
yiey- 250 cme (ndo convémi
$= io}
Amir a ester
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2.
9 Resolver os seguinte
Seuvintes sistemas de oquagses:
al 4 16) (x.
DEL . E o
xyes
a dun ER)
Fa,
820 pes
Pondo 2° à ¥, tamoy
Lembrande que a
ESA
Ki pelo manos
umo rie re se exi
0 menes uma rai ral» posea,
auto acia dvr pl
mer Hama
9) dues rates
So positives
> >0
=5>0 5
207 >00 an do
A ieee Zo,
O)
©
o 12
© rr ———— Zn m
2
© PP. =
E
© 5 12 ”
0:00
Seinen mal
I somente uma raiz $ positivo.
20 Ry meme HO) + 2m + 1 €O end.
sn -(me mime}
A | soe yy oes m 20 + MO
9-6
m tom m>z e me +
© conjuro dot valores de m. para que a equecño oxponencial proposta, admita
polo meros uma raiz real 6
s-5U5 US -(meRIm<- + ou mP 2h
2
B84 Determine m ras), para que as equardes abaiko, admita pelo menos uma rar ral.
ah =m + 349% 4 Im + 3-0
mem 2 2m =o
mem + NS (m1) 20
Determine m real, pars que a equecio mi - 112 2% Fa) + 1 à 0
admits pelo menos um raiz reat
BBB Para que valores reais de m a equagdo 2% + 27% =m admite pelo manos uma raiz
1887 Para que valores rout dem, a equacto
mite rae ral?
88 Mostre que a equaeso
OF (mo) 9% + Im 2 1} = 0, com 0 La #1,
“admite polo menos uma rai ra, qualquer que sie m ru
ais
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polo meros uma raiz real 6
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Determine m real, pars que a equecio mi - 112 2% Fa) + 1 à 0
admits pelo menos um raiz reat
BBB Para que valores reais de m a equagdo 2% + 27% =m admite pelo manos uma raiz
1887 Para que valores rout dem, a equacto
mite rae ral?
88 Mostre que a equaeso
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“admite polo menos uma rai ra, qualquer que sie m ru
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VI. INEQUAGÓES EXPONENCIAIS
90 Clasiticar em V où F a soguintes sentencas
\ 4
>: 9 war? > 1
ar br Du 0a
a ner
36. Dafinicio ada rss en
Inequacóes exponenciis so as inequagSes com incógnita no expoente nas
un Bine ego A Car om où Fo ies mange
Exemplos PS aci
4 LA cide
2332 WOK > YI Mas ana a (a) e
Assim como em squacôes exponencinis, existe dois métodos fundsmentai Rares cares ae > da
Para resolugio des inequacdes exponenciai. a Ya (29 <a
SEA mers <a;
Do mesmo modo, do no estudo de equagóes exponenciais, Taramos neo
A apresentacio agora do primeiro
logaritmos.
lodo e © segundo será visto no estudo de A
3 18 a War <VE
az mer 27
37. Método de redugio a uma base comum Solari
Ñ a) 23178 eee 2 >
Ex mátodo será aplicado quando ambos ox membros da inéquacáo puderem Como bete & maior que um, wm x >?
Ser representados como potäncias de mesma base = (0<a*1, =
Lembremos que a funçäo exponencial
serio)
Où deresceme, se 0 < à € 1, portent:
Mod = 8% E crescente, se 9 > 1,
Como a ba ent comprend entre Oe 1, wos x 6-3
Se be © slo números resis onto Se trem lx<-3}.
pers a> 1 tam a? > af mame b> à
Para O<a<1 me 8° > 3% ms bce
a URE me Pct
Ei mic,
como be à maior que 1, mos: E < E 7
Exencicros
sehuenlr<?
ROO Clnsticr om werdechira IV) ou fla (F) at spuints sent
dos exponencial:
en D 1054 > 093. Resavr 0 suite inequocios exa ,
bro à axed
og ao oven wih 2
: z Yan wars
Te RE 8 0.104 0 ta ope pus sai ir qe
y 1
Lx 0 VE <x
Done 0008 > Y one > VERS
TER po
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Inequacóes exponenciis so as inequagSes com incógnita no expoente nas
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Assim como em squacôes exponencinis, existe dois métodos fundsmentai Rares cares ae > da
Para resolugio des inequacdes exponenciai. a Ya (29 <a
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Do mesmo modo, do no estudo de equagóes exponenciais, Taramos neo
A apresentacio agora do primeiro
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37. Método de redugio a uma base comum Solari
Ñ a) 23178 eee 2 >
Ex mátodo será aplicado quando ambos ox membros da inéquacáo puderem Como bete & maior que um, wm x >?
Ser representados como potäncias de mesma base = (0<a*1, =
Lembremos que a funçäo exponencial
serio)
Où deresceme, se 0 < à € 1, portent:
Mod = 8% E crescente, se 9 > 1,
Como a ba ent comprend entre Oe 1, wos x 6-3
Se be © slo números resis onto Se trem lx<-3}.
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2.94 Resolver as saguintesineavocBes exponencia
39> 249 CPE
PA 000 a mes
CRE nat,
nm E
Wa or da
41 00-13 (0,601) PAS
16
ae > Ya
2.95 Resolver as seguimos inecuocdes exponenciais
mi
pant cy Vane
a
8 <2% <32 b 0,0001 < 10,11% < 0,01
sec ad keene
PE) x
<uhncd 9) 03 < 1008 < 1000
DETLEF EEE 22er
DR y y a Cay
WE ge y
3% Resohor as sogintes nequacs exponen:
a ms 1
7
Ape, gsm
Der genet
A E
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a 1
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SERÍA Lo >)
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Posten a 1m a as
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wads ox+ 2 ~ toe + 7
Frese) N ren
Kenia u denkt m x>3)
97 Revolver at inequsgdes exponencais:
ao <a
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2.98 Resolver» inecuacio
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u.
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gegen
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9.100 Resolver as soguintes Inoquacdes
EIA
o
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Solueso
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gee ee 3 EEE >0 aw
BR man,
Fazóndo I y, tomos
Paka g?
977 2B +2 y x
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Farondo 2% y, tomos
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Me, Fey, logo PA où RD
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Lombrando que 2% 2-0, Ÿ x € IR, tomos:
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— ites 42 >0.
Fazende 2° y, tomos
A Er où VD mu yet om
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Lembrando que 2% > 0, ¥ x Em, remos
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2
sem
B.101 Resolver as seguines Inaquardes:
a 6.218 <0 mette >o
a SP 266k 6<o ar. 2.000
DE SE SIE pe DEC ES
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arte para 3%
aes MORTE
CF
8.102 Resolver a inequagso 2°75 + 9% € ht? à 288 4 2,
18.103 Resolver © moquagto TS om Re
Sousse
Devomos considerar re casos:
19 euro
Devemos verificar se 0 au 1 Ho solupdes particulares do inoqusedo.
Farendo x0 € x 21, tamos
neo —=0 <1 Werdedeire) — x 2 0 6 solugio
net TS (ha x. ado 6 so.
A solugo meste coso 6 Sy = (0)
mt sr gota
478
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2 emo
A base da poténcia 6 maior que um,
© tomos:
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rn
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A solu deste emo à dado por A @
0.0
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À solo desa coso ba per @ 1 @
© o 1
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;
3
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S-hEnto<r< 3)
À soluto da nequcio propane 4:
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1.104 Resolver ern IR, as inequogñes
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1.105 Resolver em IR a inequagdo PI
1.106 Resolver em IR, as inequacdes
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1.107 Resolver am IR, as Innauagdes
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4-8
Autodidata cria a Análise
Gottfried Weilheim Leibniz naseeu em Leipzig os quinzo anos entrou na Universidade,
203 dezesote já era bachare! e aos vinte doutorouse om Nuremberg. Adquiio grande conte:
mento geral em Teología, Dirsito, Filozoia e Matemética sendo considered um dos
últimos sss. Visjou muito representando a governo como diplomate, numa de sus vtos
à Londres, em 1643, tormau-se membro do Royal Society
Leibniz, por ser autodidets, frequenterente redescobria teorias 0 as desemolvias
eee ye 1
somo 4 0 caso de sun primeira reslizacio em séries infinias, 2 = 1-141 1,
id a 7 a's"
expano de worin de Gregor
Ao estudar um problems proposte por Huygens, sœbou por fazer umo desenberte
© tridogulo hurmónico, anlogo 90 tiârgulo de Poses! que fescnawa Leibniz. Passou entáo à
(tur as obras de Pascal sobre clSidos 9 série infnits, genralizndo um método impor.
rante para soma e diferenga de fungdes, tanto racionais como inacionals, slaébrias ou
trascendentes (pstavra que ele criou.
Percebando a grande importáncia das notacdes como wur de pensamento, € tes
Ponstvel por multas dels como dx e dy para dierencals em x a y, fyda para integral u fo)
© Primeiro à ompregar ss enpressder “odleulo diferencia”, “cleulo imegral” e "lungs
Viou o ponte para multipliacáo e etcreveu propargöo na forma ab = € 4 aque mos
Auger: porn indicar divido. Ainds criou a notacio = para "4 semeihante a" e = para"
congruente 2”. Laloiz © Newton é que porsstiram no uxo do sinal =, eisdo por Recorde,
até hoje usado.
Em 1684, sob o tulo de “Um novo método para máximos e mínimos, tambéin para
ongentes, que mio 6 abstrufdo por quantidades ivaciorais”, expée, pela prime ver, sou
M
bleulo diferencial dando ds fórmulas de derivagio: dy » xdy + ydx, dt. 4
ment com epieages geométricas
ax" xd, jun
Sua obra mas famoso $ “Acta Erudito
rum” lAnotacóes dor audios} onde observo
um» diferenciplo e imegrago 360 operages
inversas enunciando © teorema fundamental do
cálculo € mostrando que at fungden trnscandon.
e 30 lundamentais em Ani
Sun teoria de diorencioo, pelas natacdes
que uñou, foi mais actita do que a Teoria dos
Fluxos de Newton, embora ot dos tivessem
esenvolvido a Andlie na mesma pos.
Em 1963, numa carte à L'Hospral,chogow
a der ontecipago de teoria des determinantes
Como Hlésoto ede 98 disc.
des lógicas a formas sistemáticas. Orimist 90 ex.
mo, sempre acreditou numa futurs univers,
22980 da linguagem, © que fol muito produtmo
para a Matemática.
Gorrtried W. Leibniz
(1648 — 1716)
CAPÍTULO MI
LOGARITMOS
CONCEITO DE LOGARITMO
38. Lembremos que no estudo de equicóes e Inequagdes exponenciais, feito
anteriormente, só tratamos dos casos em que podíamos reduzir as poténcias
à mesma base.
Se queremos resolver a equaçäo 2% = 3, sabemos que x asuma um
valor entre 1 e 2, pois 2<2%=3<2, mas com os conhecimentos adaui
idos até aqui ndo sabemos qual 6 esse valor e nem o processo para déterminé lo.
À fim de que possames resolver este e outros problemes, vamos iniciar
agora o estudo de logaritmos.
39. Definigio
Sendo à e b números resis e positivos, com à 1, chamase logeritmo
de & na buse a, © expoente que se deve dar à base a de modo que a poténcia
obtida seje igual ab.
Em símbolos: se a, bE IR, 0<a%1 e b > 0. entio
dizemos:
Em logab
à £ base do logaritmo, b 6 0 logaritmando, x € o logaritmo
51-8
Gottfried Weilheim Leibniz naseeu em Leipzig os quinzo anos entrou na Universidade,
203 dezesote já era bachare! e aos vinte doutorouse om Nuremberg. Adquiio grande conte:
mento geral em Teología, Dirsito, Filozoia e Matemética sendo considered um dos
últimos sss. Visjou muito representando a governo como diplomate, numa de sus vtos
à Londres, em 1643, tormau-se membro do Royal Society
Leibniz, por ser autodidets, frequenterente redescobria teorias 0 as desemolvias
eee ye 1
somo 4 0 caso de sun primeira reslizacio em séries infinias, 2 = 1-141 1,
id a 7 a's"
expano de worin de Gregor
Ao estudar um problems proposte por Huygens, sœbou por fazer umo desenberte
© tridogulo hurmónico, anlogo 90 tiârgulo de Poses! que fescnawa Leibniz. Passou entáo à
(tur as obras de Pascal sobre clSidos 9 série infnits, genralizndo um método impor.
rante para soma e diferenga de fungdes, tanto racionais como inacionals, slaébrias ou
trascendentes (pstavra que ele criou.
Percebando a grande importáncia das notacdes como wur de pensamento, € tes
Ponstvel por multas dels como dx e dy para dierencals em x a y, fyda para integral u fo)
© Primeiro à ompregar ss enpressder “odleulo diferencia”, “cleulo imegral” e "lungs
Viou o ponte para multipliacáo e etcreveu propargöo na forma ab = € 4 aque mos
Auger: porn indicar divido. Ainds criou a notacio = para "4 semeihante a" e = para"
congruente 2”. Laloiz © Newton é que porsstiram no uxo do sinal =, eisdo por Recorde,
até hoje usado.
Em 1684, sob o tulo de “Um novo método para máximos e mínimos, tambéin para
ongentes, que mio 6 abstrufdo por quantidades ivaciorais”, expée, pela prime ver, sou
M
bleulo diferencial dando ds fórmulas de derivagio: dy » xdy + ydx, dt. 4
ment com epieages geométricas
ax" xd, jun
Sua obra mas famoso $ “Acta Erudito
rum” lAnotacóes dor audios} onde observo
um» diferenciplo e imegrago 360 operages
inversas enunciando © teorema fundamental do
cálculo € mostrando que at fungden trnscandon.
e 30 lundamentais em Ani
Sun teoria de diorencioo, pelas natacdes
que uñou, foi mais actita do que a Teoria dos
Fluxos de Newton, embora ot dos tivessem
esenvolvido a Andlie na mesma pos.
Em 1963, numa carte à L'Hospral,chogow
a der ontecipago de teoria des determinantes
Como Hlésoto ede 98 disc.
des lógicas a formas sistemáticas. Orimist 90 ex.
mo, sempre acreditou numa futurs univers,
22980 da linguagem, © que fol muito produtmo
para a Matemática.
Gorrtried W. Leibniz
(1648 — 1716)
CAPÍTULO MI
LOGARITMOS
CONCEITO DE LOGARITMO
38. Lembremos que no estudo de equicóes e Inequagdes exponenciais, feito
anteriormente, só tratamos dos casos em que podíamos reduzir as poténcias
à mesma base.
Se queremos resolver a equaçäo 2% = 3, sabemos que x asuma um
valor entre 1 e 2, pois 2<2%=3<2, mas com os conhecimentos adaui
idos até aqui ndo sabemos qual 6 esse valor e nem o processo para déterminé lo.
À fim de que possames resolver este e outros problemes, vamos iniciar
agora o estudo de logaritmos.
39. Definigio
Sendo à e b números resis e positivos, com à 1, chamase logeritmo
de & na buse a, © expoente que se deve dar à base a de modo que a poténcia
obtida seje igual ab.
Em símbolos: se a, bE IR, 0<a%1 e b > 0. entio
dizemos:
Em logab
à £ base do logaritmo, b 6 0 logaritmando, x € o logaritmo
51-8
40. Exemplos
19) logs8 = 3 pois 2-8
1
a
3%) lo95=1 pois Bt = 5 &
49 lot = 0 pois 7°- 1
2) ty À 222 pus re
59) log = > pois 4
6% 109225 = -2 pois 10/2173
Com as restrigdes impostas (a,b R, D<a#1 # b>O), dados 8
e 6 existe um único x = logb.
A operagio, pela qual se determina o logaritmo de D (LE IR » b>0)
huma dada base a ER © 0<a%1), chamamos /ogaritmagio e o resultado
dessa operario 6 0 logaritmo.
”
N. ANTILOGARITMO
41. Definicio
Sejam a e b números reais positivos com a% 1, se o logaritmo de
5 na base ad x, entáo 5 4 0 antilogeritmo de x na base a
Em símbolos, se 2, bE R,O<a%1 e b>O entño
qb. xl delo
Exemplos
19) antilog,2=9 pois 109,9 = 2
1
2) antilon,3 = J pois log À = 3
+ +
3%) antiog/-2)= + pois tog, À
52-3
EXERCICIOS
8.108 Calcular pola deinigo os soguints logaritmos:
a + 2) tome bog 2592
Sotoca
ai oo, bak me RI mue
A a? 2
DD Neogene ama ES
2 me
ae
d ogg 2:32 = (028 32 =
5
son.
1.108 Calcula pele anfing oF seguintes togarítmos:
a TE: tongs 3 ie
ms 00m $ r
ï
Son Det gts oy
on + os 4
1 im re Home Sony
LO Ci ea ei o lin In: ,
pe 6 tongs YT
eV? u y
a ong VE a yg VE 0 toy VO
: a
vs Ya my Be Due
ona ee “Y
E Cala m 8 0 gus co:
A
à 8e mao «los À + 10,200
à 5 1059 VE + to 8109, VE
re
CRE" 37 tyes VE + A
6312 au vk da 8 em
8 nga) oy ony 9 on 21
ts cael
mat Mo eine di anton, -4
538
19) logs8 = 3 pois 2-8
1
a
3%) lo95=1 pois Bt = 5 &
49 lot = 0 pois 7°- 1
2) ty À 222 pus re
59) log = > pois 4
6% 109225 = -2 pois 10/2173
Com as restrigdes impostas (a,b R, D<a#1 # b>O), dados 8
e 6 existe um único x = logb.
A operagio, pela qual se determina o logaritmo de D (LE IR » b>0)
huma dada base a ER © 0<a%1), chamamos /ogaritmagio e o resultado
dessa operario 6 0 logaritmo.
”
N. ANTILOGARITMO
41. Definicio
Sejam a e b números reais positivos com a% 1, se o logaritmo de
5 na base ad x, entáo 5 4 0 antilogeritmo de x na base a
Em símbolos, se 2, bE R,O<a%1 e b>O entño
qb. xl delo
Exemplos
19) antilog,2=9 pois 109,9 = 2
1
2) antilon,3 = J pois log À = 3
+ +
3%) antiog/-2)= + pois tog, À
52-3
EXERCICIOS
8.108 Calcular pola deinigo os soguints logaritmos:
a + 2) tome bog 2592
Sotoca
ai oo, bak me RI mue
A a? 2
DD Neogene ama ES
2 me
ae
d ogg 2:32 = (028 32 =
5
son.
1.108 Calcula pele anfing oF seguintes togarítmos:
a TE: tongs 3 ie
ms 00m $ r
ï
Son Det gts oy
on + os 4
1 im re Home Sony
LO Ci ea ei o lin In: ,
pe 6 tongs YT
eV? u y
a ong VE a yg VE 0 toy VO
: a
vs Ya my Be Due
ona ee “Y
E Cala m 8 0 gus co:
A
à 8e mao «los À + 10,200
à 5 1059 VE + to 8109, VE
re
CRE" 37 tyes VE + A
6312 au vk da 8 em
8 nga) oy ony 9 on 21
ts cael
mat Mo eine di anton, -4
538
Hi. CONSEQUENCIAS DA DEFINIGAO
42. Decorrem ds definigio de logaritmos as sequintes propriedades para
0<a#1, b>0
19) “O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a zero”
log, 1 = 0
29) "0 logaritmo da base em qualquer base igual a um”.
109,
39 “A poténcia de base a e expoente log, D E igual a br.
tog,
a »
A justificagio desta propriedade está no fato de que o logaritmo de
b na base a 8.0 expoente que se deve dar à base @ para a poténcia obti-
da ficar igual a &
49) “Dois logarítmos em uma mesma base «fo ¡guais se, e somente se,
05 logeritmandos 530 iguais
log, = loge — bee
Demonstracáo
atea CT tor
ee ame ob -
IE asar costaria © * D
exencicios
RAA Caleular 0 valor de
a) es e anys
Solugéer
un 8288 ee ze Ber
tanz
8.115 Calcular o valor des
eer à am a ses
gi sous oy gions ns tome
y een my où VE
8.116 Calcular
4) anion (oa, 3) D) anttaygtogs 8)
IV. SISTEMAS DE LOGARITMOS
43. Chamamos de sistema de logaritmos de base a a0 conjunto de todos os
logaritmos dos números reais positivos em uma base a (0<2 #1). Por exemplo,
o conjunto formado por todos os logaritmos de buse 2 dos números reais e
positivos $ o sistema de logarítmos na base 2.
Entre a infinidace de valores que pode assumir à base e, portanto, entre
a infinidade de sistemas de logaritmos, existem dois sistemas de logaritmos
particular mente importantes, que säo
a) sistema de logaritmos decimais 8 0 sistema de bese 10 também chamado
sistema de logaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglés
(1561 - 1630). quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10,
‘tendo publicado à primeira tábua ttabela) dos logaritmos de 1 a 1 000 em 1 617).
+ Ingicaremos o logaritmo decimal pela notaçäo /0g,yx où simplesmente
leg x
bi sistema de logaritmes neperionos & o sistema de base e le + 2,71828,
nümero irracional), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O name
‘ano vem de John Neper, matemático escocés (1550-1617), autor do
primeito trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos, O nome natural +e
deve ao fato de que no estudo dos fenámenos naturais geraimente aparece uma
lei exponencial de base: e.
Indicaremos o logaritmo neperiano pelas natagdes /09,x ou tmx. Em
algumas publicardes também encontramos as notardes igx ou Lx
55-8
42. Decorrem ds definigio de logaritmos as sequintes propriedades para
0<a#1, b>0
19) “O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a zero”
log, 1 = 0
29) "0 logaritmo da base em qualquer base igual a um”.
109,
39 “A poténcia de base a e expoente log, D E igual a br.
tog,
a »
A justificagio desta propriedade está no fato de que o logaritmo de
b na base a 8.0 expoente que se deve dar à base @ para a poténcia obti-
da ficar igual a &
49) “Dois logarítmos em uma mesma base «fo ¡guais se, e somente se,
05 logeritmandos 530 iguais
log, = loge — bee
Demonstracáo
atea CT tor
ee ame ob -
IE asar costaria © * D
exencicios
RAA Caleular 0 valor de
a) es e anys
Solugéer
un 8288 ee ze Ber
tanz
8.115 Calcular o valor des
eer à am a ses
gi sous oy gions ns tome
y een my où VE
8.116 Calcular
4) anion (oa, 3) D) anttaygtogs 8)
IV. SISTEMAS DE LOGARITMOS
43. Chamamos de sistema de logaritmos de base a a0 conjunto de todos os
logaritmos dos números reais positivos em uma base a (0<2 #1). Por exemplo,
o conjunto formado por todos os logaritmos de buse 2 dos números reais e
positivos $ o sistema de logarítmos na base 2.
Entre a infinidace de valores que pode assumir à base e, portanto, entre
a infinidade de sistemas de logaritmos, existem dois sistemas de logaritmos
particular mente importantes, que säo
a) sistema de logaritmos decimais 8 0 sistema de bese 10 também chamado
sistema de logaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglés
(1561 - 1630). quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10,
‘tendo publicado à primeira tábua ttabela) dos logaritmos de 1 a 1 000 em 1 617).
+ Ingicaremos o logaritmo decimal pela notaçäo /0g,yx où simplesmente
leg x
bi sistema de logaritmes neperionos & o sistema de base e le + 2,71828,
nümero irracional), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O name
‘ano vem de John Neper, matemático escocés (1550-1617), autor do
primeito trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos, O nome natural +e
deve ao fato de que no estudo dos fenámenos naturais geraimente aparece uma
lei exponencial de base: e.
Indicaremos o logaritmo neperiano pelas natagdes /09,x ou tmx. Em
algumas publicardes também encontramos as notardes igx ou Lx
55-8
V. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Vejamos agora as propiedades que tornam vantajoso © emprego de
logaritmos nos céleulos
44. 1% Logaritmo do produto
"Em qualquer base a (0 <a + 1), 0 logaritmo do produto de dois
stores reais positivos é igual a soma dos logaritmos dos fatores”.
Em símbolos
Se 0<a#1, b>0 6 0>0, mio
log lb - cl = log,b + log,
Demonstracáo
Fazendo log, b = x, log € = y e logs Ib + €} = z provemos que
De ato
ogy bax — ob
loge sy ac
log, (b+ 6) abre
UPS
45. Observaciies
18) Esta propriedade pode ser estendica para o caso do logarítmo do pradu- ,
to den In > 2) fatores reais e positivos, isto És
Se 0< aH 1e by, by, Da, my by € BT entéo
fog, UD + Dz + by + «+ Da) = Hoge: + logs ba + logo Ds + + logy bn.
Demonstrapäo
Faremos a demonstracio por inducáo sobre a.
i) par
n= 26 verdadera, isto é
logy {bi + ba) = logs by + logy bs
lil Suponhamos que a propriedade seja válida para p > 2 fatores, isto &
Hipótese (logy {by > Da ==. + By) = loga by + log by +... + logy by
+ mostremos que a propriedade € vélide para (p + 1) fatores, isto 6:
° Tse (log, ld + Da +... + By + boys) = loge by + logs by + +
+ logs bp + 109a per
Temos
19 Membro da Tese = log, (babe By + bp) =
= tog (lb, +Dz- + bp) * byes] = logy (by + by. by) +109 bos; =
= logs by + loga bs +... + fons bp + 10ga bprı = 22 Membro da Tess,
2%) Devemos observar que se b > 0 ec > 0 entéo b+ e> Oe
tidade
ider
logs (b + ci = log, b + logs € com 0<2%1
mas, se soubermos apenas que b + € > 0 anté
» temos:
logs lb + €) = logy iB! + fogg ie com O<a #1.
Exemplos
19) ogg (3 + 4) = logs 3 + logs 4
29) loga (2 + 3 + 5) = loga2 + loge 3 + log 5
30) loge 3 + 1-4) + 1-6) = loge 3 + loge 1-41 + log 1-81
49) Se x > 0 entáo logs [x » (x + M] = logy x + logs (x + 1)
59) logs (x + (x = 21] = logs x + logs (x - 2) se, e somente se, x > 0 e
x-2>0, isto 6, x > 2.
46. 2%) Logaritmo do quociente
"Em qualquer base a (0 < a # 1), o logaritmo do quociente' de dois núme-
ros resis positivos 6 igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo.
do divisor”.
Em símbolos
NAAA
in) = lg lo
7-8
Vejamos agora as propiedades que tornam vantajoso © emprego de
logaritmos nos céleulos
44. 1% Logaritmo do produto
"Em qualquer base a (0 <a + 1), 0 logaritmo do produto de dois
stores reais positivos é igual a soma dos logaritmos dos fatores”.
Em símbolos
Se 0<a#1, b>0 6 0>0, mio
log lb - cl = log,b + log,
Demonstracáo
Fazendo log, b = x, log € = y e logs Ib + €} = z provemos que
De ato
ogy bax — ob
loge sy ac
log, (b+ 6) abre
UPS
45. Observaciies
18) Esta propriedade pode ser estendica para o caso do logarítmo do pradu- ,
to den In > 2) fatores reais e positivos, isto És
Se 0< aH 1e by, by, Da, my by € BT entéo
fog, UD + Dz + by + «+ Da) = Hoge: + logs ba + logo Ds + + logy bn.
Demonstrapäo
Faremos a demonstracio por inducáo sobre a.
i) par
n= 26 verdadera, isto é
logy {bi + ba) = logs by + logy bs
lil Suponhamos que a propriedade seja válida para p > 2 fatores, isto &
Hipótese (logy {by > Da ==. + By) = loga by + log by +... + logy by
+ mostremos que a propriedade € vélide para (p + 1) fatores, isto 6:
° Tse (log, ld + Da +... + By + boys) = loge by + logs by + +
+ logs bp + 109a per
Temos
19 Membro da Tese = log, (babe By + bp) =
= tog (lb, +Dz- + bp) * byes] = logy (by + by. by) +109 bos; =
= logs by + loga bs +... + fons bp + 10ga bprı = 22 Membro da Tess,
2%) Devemos observar que se b > 0 ec > 0 entéo b+ e> Oe
tidade
ider
logs (b + ci = log, b + logs € com 0<2%1
mas, se soubermos apenas que b + € > 0 anté
» temos:
logs lb + €) = logy iB! + fogg ie com O<a #1.
Exemplos
19) ogg (3 + 4) = logs 3 + logs 4
29) loga (2 + 3 + 5) = loga2 + loge 3 + log 5
30) loge 3 + 1-4) + 1-6) = loge 3 + loge 1-41 + log 1-81
49) Se x > 0 entáo logs [x » (x + M] = logy x + logs (x + 1)
59) logs (x + (x = 21] = logs x + logs (x - 2) se, e somente se, x > 0 e
x-2>0, isto 6, x > 2.
46. 2%) Logaritmo do quociente
"Em qualquer base a (0 < a # 1), o logaritmo do quociente' de dois núme-
ros resis positivos 6 igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo.
do divisor”.
Em símbolos
NAAA
in) = lg lo
7-8
Demonstragio
Fand ou «lon 2 Lots à x moe aus à
be ao
logy b= x =» a
fom czy — rc
tony (
47. Observagóos
19) Fazendo b = 1, escrevemos
eat loge > fom ome
a identidade
2) Se b > 0 e e> 0 emo À. > 0 e v
toga (2) = ob - loge com 0<a#1
b u
mas se soubermos apenas que > O entäo temos:
tomy 12) = oga1b1 = lore) com 0
Exemplos
19 logs (2) = logs 2 + loge 3
alg
29) tog (? £3) log (2 + 9} = 1008 = 1092 + 1093 - log5
39) log (Lg) = og 2 lon (2 + 5) = 1002 - log + log] =
= 1092 = log 3 - log S
49) Se x > 0 entáo logs (>
= fogs x = fogs Oe + D)
89) logs 224 = logs za)
x4+1>0 © x-1>0, sto é, x>1
logs (x - 1) se, e somente se,
E dr me 2 Y
-48,
Cologaritmo
Chamase cologaritmo de um número 6 (b € R eb > Ol, numa base a
la Re 0 < a # 1), ao oposto do logaritmo de b na base 2,
49,
real positiva @
base da potén
Em símbolos
$00 <a # 10450, ento
colog, D = log, b
Comino ue bib + Hom, temo we 0:81 à 090 do
1
cologa b = loge D
Exemplos
19) wo 5 o 6 ln Y
1
29) colog: À = “lors à = logs 3
3 too 2
1092 - log
49) Se x > 1 entáo logy x = logs (x - 1)
log 2 + colog 3
logs x + cology (x - 1}
39) Logaritmo da potänela
“Em qualquer base a (0 < a # 1), o logaritmo de uma poténcia de base
»xooente real & igual ao produto do expoente pelo logaritmo da
Em símbolos
Be 0 € a # 1,5 > 0 0 05, onto :
logy BO = e+ logy D
Fand ou «lon 2 Lots à x moe aus à
be ao
logy b= x =» a
fom czy — rc
tony (
47. Observagóos
19) Fazendo b = 1, escrevemos
eat loge > fom ome
a identidade
2) Se b > 0 e e> 0 emo À. > 0 e v
toga (2) = ob - loge com 0<a#1
b u
mas se soubermos apenas que > O entäo temos:
tomy 12) = oga1b1 = lore) com 0
Exemplos
19 logs (2) = logs 2 + loge 3
alg
29) tog (? £3) log (2 + 9} = 1008 = 1092 + 1093 - log5
39) log (Lg) = og 2 lon (2 + 5) = 1002 - log + log] =
= 1092 = log 3 - log S
49) Se x > 0 entáo logs (>
= fogs x = fogs Oe + D)
89) logs 224 = logs za)
x4+1>0 © x-1>0, sto é, x>1
logs (x - 1) se, e somente se,
E dr me 2 Y
-48,
Cologaritmo
Chamase cologaritmo de um número 6 (b € R eb > Ol, numa base a
la Re 0 < a # 1), ao oposto do logaritmo de b na base 2,
49,
real positiva @
base da potén
Em símbolos
$00 <a # 10450, ento
colog, D = log, b
Comino ue bib + Hom, temo we 0:81 à 090 do
1
cologa b = loge D
Exemplos
19) wo 5 o 6 ln Y
1
29) colog: À = “lors à = logs 3
3 too 2
1092 - log
49) Se x > 1 entáo logy x = logs (x - 1)
log 2 + colog 3
logs x + cology (x - 1}
39) Logaritmo da potänela
“Em qualquer base a (0 < a # 1), o logaritmo de uma poténcia de base
»xooente real & igual ao produto do expoente pelo logaritmo da
Em símbolos
Be 0 € a # 1,5 > 0 0 05, onto :
logy BO = e+ logy D
Demonstracáo
Farendo log, b = x e log, b= y, provemos que y = a+ x
De fato:
logy b= x at
tog, by a
DL mare rt mea eat year
50. Observaçües
12) Como colorário desta propriedade, decorre:
"Em qualquer base a (0 <a # 1), o logaritmo da reiz enézima de um nú
mero real positive & igual ao produto do inverso do índice da raiz pelo logaritmo.
do radicando”.
Em símbolos:
58 0 € #1, 55 0 8 n €, mid
109 VE = toga 8 Liga o ”
2%) Se b > 0 entáo bY > 0 para todo a real e vale a identidade
109, B® = a + log, D
mas se soubermos apenas que 6° > 0 entáo temos
a > log, bi.
log, 6”
Exemplos
19) logs 2% = 5 + logs 2
3.1
29) 109 92 = logs 2? = q + logs 2
logs 37% = -4 = logs 3
o, E
39) logs ¿7
49) log (x - 1) = 4 - log x = 1) se, e somente se x - 1>0, isto 6 x > 1
59) Se x # 0 entáo log x? = 2+ log ix:
51. As proprisdades
18) loge + ci = fog, b + logs ©
29) logs (2) « log b = loge €
3% log, BY a » fog, b
válidas com as dovidesrestrigdes para #, 6. e €, nos permitem obser o logaritmo
de um produto, de um quociente ou de Uma poténcis, conhecendo somente os
logarítmos dos termos do produto, dos termos do quociente ou da base de po-
e
Notemos a impossibilidade de obter o logaritmo de uma soma ou de uma di-
ferençe, por meio de regras análogas as dadas. Assim para encontrarmos
log, lb + c) e logs lb - €)
‚mente, calcular inicialmente (b + c) e (b - cl
e potenciagao
Ko E,
ser calculadas com uso de togaritmos, deo das CE If conhecies. Assim
exemplo, a expresso
— log A = log — log A = log (a + D} -
1
og eo log a logs + log - Blog
Dispondo de uma tabela que dé loga, log e loge (veja nas páginas 113
e 114) calculamos log A e, entlo, pela mesma tabela obtemos P.
61-8
Farendo log, b = x e log, b= y, provemos que y = a+ x
De fato:
logy b= x at
tog, by a
DL mare rt mea eat year
50. Observaçües
12) Como colorário desta propriedade, decorre:
"Em qualquer base a (0 <a # 1), o logaritmo da reiz enézima de um nú
mero real positive & igual ao produto do inverso do índice da raiz pelo logaritmo.
do radicando”.
Em símbolos:
58 0 € #1, 55 0 8 n €, mid
109 VE = toga 8 Liga o ”
2%) Se b > 0 entáo bY > 0 para todo a real e vale a identidade
109, B® = a + log, D
mas se soubermos apenas que 6° > 0 entáo temos
a > log, bi.
log, 6”
Exemplos
19) logs 2% = 5 + logs 2
3.1
29) 109 92 = logs 2? = q + logs 2
logs 37% = -4 = logs 3
o, E
39) logs ¿7
49) log (x - 1) = 4 - log x = 1) se, e somente se x - 1>0, isto 6 x > 1
59) Se x # 0 entáo log x? = 2+ log ix:
51. As proprisdades
18) loge + ci = fog, b + logs ©
29) logs (2) « log b = loge €
3% log, BY a » fog, b
válidas com as dovidesrestrigdes para #, 6. e €, nos permitem obser o logaritmo
de um produto, de um quociente ou de Uma poténcis, conhecendo somente os
logarítmos dos termos do produto, dos termos do quociente ou da base de po-
e
Notemos a impossibilidade de obter o logaritmo de uma soma ou de uma di-
ferençe, por meio de regras análogas as dadas. Assim para encontrarmos
log, lb + c) e logs lb - €)
‚mente, calcular inicialmente (b + c) e (b - cl
e potenciagao
Ko E,
ser calculadas com uso de togaritmos, deo das CE If conhecies. Assim
exemplo, a expresso
— log A = log — log A = log (a + D} -
1
og eo log a logs + log - Blog
Dispondo de uma tabela que dé loga, log e loge (veja nas páginas 113
e 114) calculamos log A e, entlo, pela mesma tabela obtemos P.
61-8
ExERcICiOs.
8.117 Desenvalver aplicando as propriedades dos logaritmos a,b e e so resis positivos!
ES oat
br tops
a tony 12)
Sousse
ot og 2 og nb = Ig gs? + gp + lo =
rss es sde
oe eg tp
= anges Bngyh= seme
also
ñ rege
-3logo - 21006 + Flog
log a - log tb? VE) - log a? - (log? + tog?) =
1.118 Desenvolver aplicando ax propriedades dos logaritmos (a,b e € 40 resis positivos:
PE vn
far fase
val Ye) nl)
de Se va BYR)
1.190 Desea kan propria do logos I > > € >
Ben
les ( ws
a) Ge)
12 Ge ¥ pique tante ge
O ot logge Lo pla
Soto
A D mg 5EEI he
“gn t= nth hend)
2,
A expreso 6 À
628
8.121 Qual 4 6 oxpresao cujo desenvolvimento logaritmico $ dodo sbsixo (o be 130 reis
positives?
ab tog; 8 + logy b - logge b} 2logs = log - 3loge
©) 2- los + Stops = Zone a) Loya -Zugd - Loge
Li Loge - Fi m 2+Ltogya + toga - logre
o Lines Figo Stone 02+ os + Foo o
di Logo - mb = 216
8.122 Quai & a expreso culo desenvolvimento logarítmica € dado abaixo la > b> € 2017
a) + ogg lo + bl — toga la = bd
BY 2109 (2 Fb) - 31oga log (a = BI
ı log la + bl
à Lab stop te +01
a Lot ont 8 logt
y Sele -2i en a
8.423 Se 1092-3 # 1892 - b, colacar am lungio de a à bos sequints logaritmos decimals
2) 196 DI toga al tog 12
di to VE ©) 109 08 4) tag 20
0 ta Bug = 22) dot
VI. MUDANGA DE BASE
53. Há ocasiôes em que logaritmos em bases diferentes necessitam serem trans-
formados para uma única base conveniente
Por exemplo:
19) na aplicagáo das propriedades operatórias os logaritmos devem estar
todos numa mesma base.
29) mais adiante (+) falaremos da tébua de logaritmos, uma tabela de valores
‘que possibilita determinar o valor do logaritmo decimal de qualquer número real
positivo. Se quisermos determinar o valor de um logaritmo näo decimal, devemos
antes transtormá-lo em logaritmo decimal para depois procurar o valor na ta
(o) Ver espíuulo Vi
8.117 Desenvalver aplicando as propriedades dos logaritmos a,b e e so resis positivos!
ES oat
br tops
a tony 12)
Sousse
ot og 2 og nb = Ig gs? + gp + lo =
rss es sde
oe eg tp
= anges Bngyh= seme
also
ñ rege
-3logo - 21006 + Flog
log a - log tb? VE) - log a? - (log? + tog?) =
1.118 Desenvolver aplicando ax propriedades dos logaritmos (a,b e € 40 resis positivos:
PE vn
far fase
val Ye) nl)
de Se va BYR)
1.190 Desea kan propria do logos I > > € >
Ben
les ( ws
a) Ge)
12 Ge ¥ pique tante ge
O ot logge Lo pla
Soto
A D mg 5EEI he
“gn t= nth hend)
2,
A expreso 6 À
628
8.121 Qual 4 6 oxpresao cujo desenvolvimento logaritmico $ dodo sbsixo (o be 130 reis
positives?
ab tog; 8 + logy b - logge b} 2logs = log - 3loge
©) 2- los + Stops = Zone a) Loya -Zugd - Loge
Li Loge - Fi m 2+Ltogya + toga - logre
o Lines Figo Stone 02+ os + Foo o
di Logo - mb = 216
8.122 Quai & a expreso culo desenvolvimento logarítmica € dado abaixo la > b> € 2017
a) + ogg lo + bl — toga la = bd
BY 2109 (2 Fb) - 31oga log (a = BI
ı log la + bl
à Lab stop te +01
a Lot ont 8 logt
y Sele -2i en a
8.423 Se 1092-3 # 1892 - b, colacar am lungio de a à bos sequints logaritmos decimals
2) 196 DI toga al tog 12
di to VE ©) 109 08 4) tag 20
0 ta Bug = 22) dot
VI. MUDANGA DE BASE
53. Há ocasiôes em que logaritmos em bases diferentes necessitam serem trans-
formados para uma única base conveniente
Por exemplo:
19) na aplicagáo das propriedades operatórias os logaritmos devem estar
todos numa mesma base.
29) mais adiante (+) falaremos da tébua de logaritmos, uma tabela de valores
‘que possibilita determinar o valor do logaritmo decimal de qualquer número real
positivo. Se quisermos determinar o valor de um logaritmo näo decimal, devemos
antes transtormá-lo em logaritmo decimal para depois procurar o valor na ta
(o) Ver espíuulo Vi
Vejamos © processo que permite transformar © logaritmo de um número
positivo em uma certa base para outro em base conveniente.
54. Propriadade
Sa a, b e e söo números reais positivos e 2 e € diferentes de um, entáo
temo:
Loge b
E
Demonstracio
Consideremos logs b = x, loge b = y e loge a = 2 € notemos que z + D
pois a # 1
Provemos que x =
De fate:
log, b= x — a
loge b = y — Y
loge = 2 o ct
o me may —
85, Exemplos
19) logs 5 transformado para a bese 2 fica
EN
10095 = 709, 3
29) logs 7 transtormado para a base 10 fica
39) logre 3 transformado para a base 10 fica
logio3__ logs 1
loges 3 = aoe OS Loges
56. Observaçäo
A propriedade da mudanca de base pode também ser assim apresentada
Se a, b e ¢ sño números reais positivos e a e € diferentes de um, entdo
tome
Log b = loge b + logs ©
Demonstracio
A demonstragdo $ bastante si
ples, basta que transformemos o loge b para
a bas
tomb
log logy © RE «ogy lg, D
57. Consogúéncias
19) Se a a b sdo reais positives e diferentes de um, entáo tem-<e:
1
Node = ogg
Demonstregóo
logy b
Transtormando logs b para a base b, tomos: log, b = Eee
Tom 3
29) Se a eb sha reais positivos com a diferente de um e $
rie, ert
pn: Flom
LET
Demonstrardo
Devemos considerar dois casos:
19 caso.
Se b= 1, tem
legs 1 = 0
Cr
pay
65-8
positivo em uma certa base para outro em base conveniente.
54. Propriadade
Sa a, b e e söo números reais positivos e 2 e € diferentes de um, entáo
temo:
Loge b
E
Demonstracio
Consideremos logs b = x, loge b = y e loge a = 2 € notemos que z + D
pois a # 1
Provemos que x =
De fate:
log, b= x — a
loge b = y — Y
loge = 2 o ct
o me may —
85, Exemplos
19) logs 5 transformado para a bese 2 fica
EN
10095 = 709, 3
29) logs 7 transtormado para a base 10 fica
39) logre 3 transformado para a base 10 fica
logio3__ logs 1
loges 3 = aoe OS Loges
56. Observaçäo
A propriedade da mudanca de base pode também ser assim apresentada
Se a, b e ¢ sño números reais positivos e a e € diferentes de um, entdo
tome
Log b = loge b + logs ©
Demonstracio
A demonstragdo $ bastante si
ples, basta que transformemos o loge b para
a bas
tomb
log logy © RE «ogy lg, D
57. Consogúéncias
19) Se a a b sdo reais positives e diferentes de um, entáo tem-<e:
1
Node = ogg
Demonstregóo
logy b
Transtormando logs b para a base b, tomos: log, b = Eee
Tom 3
29) Se a eb sha reais positivos com a diferente de um e $
rie, ert
pn: Flom
LET
Demonstrardo
Devemos considerar dois casos:
19 caso.
Se b= 1, tem
legs 1 = 0
Cr
pay
65-8
2 caso;
Seb # 1, temos:
ia 4% à
log gb a 1.
99,8” = Loges T° Toga Mb
Exemples
19) logs 3 = logy, 3 Floss 3
29) log 6 = logg-s 6 = “legs 6
29) 10915 = logs 6 = = Flogs 5
EXERCÍCIOS
8.128 Ssbendo que loge 2 = = 8 10905 - b, co ar 09102.
Sotugo
30
rotando que 2 = ¿20 «10 = 22 eames
E
on)
top = pee. "2" 5/_ 109030 - loom 3 - log, 1
Yoga 30 + Toga 3 *
Tan
ou fe
8.125 Sabendo que log 2 = à e log 3 > b, coculor 10945,
ve mg ou mag BE.
8.127 Se logia 27 = a, calcule logs 16.
8.128 Demonstrar que a reacdo entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes
de um independe da base considerada,
129 Collar A = log + 108427 + los V7.
8.130 Simpliicr al * € loge d
8.131 Simplficar a
B.132 Se a, b e © so resis positivos com a # 1 e 26 7 1, prove que
logab = lgac D 15 + tong 2)
1.183 Se a,b € € sio venis positivos, diferentes de um e à = + 6, prove ave:
1 1
—_ oe
Tome EX
sus en nee soe poto teams a may aA non a
== CRETE
a me
18.195 Se a, b, 0 6 d to ran positivos, diferentes de um be #1, roue que:
1098
Less d + loapd + logo = loge + loge + loge =
18.136 Se a e b edo revs positives, prove que: 0109 . 08
8.137 Se a,b, © 0 4 sio real positivon, ae € diferentes de 1, prow que!
1008 18e 1 «log lens D)
18.138 So x = loge lb, y = logy lac) a 2 - tong tbe), prove que:
pr ae pat
wea yen eet
70.139 Se a, b, 6 0 d slo resis positivos, dlferantes de um e dois a dois distintos, prove a
O A AOE. ni.
TRS Togo d= lo à
8.140 Se » 0 b So ross da equagdo xl - px + a 0 (p 2-0 e 0 < a 1). damonste que:
10992 + long bP + Fogg ab + long DR p
141 Se 0, b & sho 1 medidas dos lados de um single rerärgulo de hipotenute de me
FT Gide o sabando que ob # 1 ea + DH, demonstre que
logar € + logan € » 2lodgrb€ * 1095-66:
one. (Bone
$
1 € fo reis positivos, prove a igueldede: e
BA42 se
7
ayuno prove ques x= 107 70
144 Se 0, bee ado reais positivos, diferentes de um e a » BA = db + BE « af neh,
prow que: ate te= al Hecho, cla too)
Toga Tae eae
8.148 Se D x # 1, demonstre que:
a + 1 euh.
Tone 2 + toga 4 * Toga + toon CORTE vot?
Supesto. oe
67-8
Seb # 1, temos:
ia 4% à
log gb a 1.
99,8” = Loges T° Toga Mb
Exemples
19) logs 3 = logy, 3 Floss 3
29) log 6 = logg-s 6 = “legs 6
29) 10915 = logs 6 = = Flogs 5
EXERCÍCIOS
8.128 Ssbendo que loge 2 = = 8 10905 - b, co ar 09102.
Sotugo
30
rotando que 2 = ¿20 «10 = 22 eames
E
on)
top = pee. "2" 5/_ 109030 - loom 3 - log, 1
Yoga 30 + Toga 3 *
Tan
ou fe
8.125 Sabendo que log 2 = à e log 3 > b, coculor 10945,
ve mg ou mag BE.
8.127 Se logia 27 = a, calcule logs 16.
8.128 Demonstrar que a reacdo entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes
de um independe da base considerada,
129 Collar A = log + 108427 + los V7.
8.130 Simpliicr al * € loge d
8.131 Simplficar a
B.132 Se a, b e © so resis positivos com a # 1 e 26 7 1, prove que
logab = lgac D 15 + tong 2)
1.183 Se a,b € € sio venis positivos, diferentes de um e à = + 6, prove ave:
1 1
—_ oe
Tome EX
sus en nee soe poto teams a may aA non a
== CRETE
a me
18.195 Se a, b, 0 6 d to ran positivos, diferentes de um be #1, roue que:
1098
Less d + loapd + logo = loge + loge + loge =
18.136 Se a e b edo revs positives, prove que: 0109 . 08
8.137 Se a,b, © 0 4 sio real positivon, ae € diferentes de 1, prow que!
1008 18e 1 «log lens D)
18.138 So x = loge lb, y = logy lac) a 2 - tong tbe), prove que:
pr ae pat
wea yen eet
70.139 Se a, b, 6 0 d slo resis positivos, dlferantes de um e dois a dois distintos, prove a
O A AOE. ni.
TRS Togo d= lo à
8.140 Se » 0 b So ross da equagdo xl - px + a 0 (p 2-0 e 0 < a 1). damonste que:
10992 + long bP + Fogg ab + long DR p
141 Se 0, b & sho 1 medidas dos lados de um single rerärgulo de hipotenute de me
FT Gide o sabando que ob # 1 ea + DH, demonstre que
logar € + logan € » 2lodgrb€ * 1095-66:
one. (Bone
$
1 € fo reis positivos, prove a igueldede: e
BA42 se
7
ayuno prove ques x= 107 70
144 Se 0, bee ado reais positivos, diferentes de um e a » BA = db + BE « af neh,
prow que: ate te= al Hecho, cla too)
Toga Tae eae
8.148 Se D x # 1, demonstre que:
a + 1 euh.
Tone 2 + toga 4 * Toga + toon CORTE vot?
Supesto. oe
67-8
ntífico
Joseph Louis Lagrange nasceu em Turin, tá
Bein jovem tornou-se professor na Escola Real de Artilharia em Turin, fazen-
do sua primeira publicagäo em 1759 na "Micelänea”, revista da Academia,
Lagrange substituiu Euler na Acadernia de Berlim, por convite de Frederico,
© Grande, af passando vinte anos. Em Berlim publicou importantes obras sabre
Mecánica, problema dos trés corpos, primeiras idéias de fungBes e importantes
trabalhos sobre teoría das equacóes. Após a morte de Frederico, foi para a Franca,
“convidado por Louis XVI, onde tomou parte no Comité de Pesos e Medidas.
Foi o primeiro professor da Escola Politécnica onde ensinava Anälise, esere
vendo notas de curso em vários níveis mais tarde publicadas no clássico “Teoría
des Fungóes Analíticas”, marcame em sau rigor e tentando tornar o Cálculo mais
lógico do que prático, Nesta obra impulsionou 8 teoria das fungBes de variável real
‘Que a partir dal ocuparia a atengäo dos matemáticos, utilizando-se nela da notacío
para derivadas de várias ordens,
Na Escola Normal, Lagrange preparou e ministrou aulas, hoje equivalentes
ds do curso colegial ou pré-universitário, am Algebra avangada.
Lagrange muito contribuiu para o estudo do Cálculo das Variacóes, um
ramo novo da Matemática no sécuio XVIII, resolvendo com esta teoria vários.
problemas de isometria, chegando a ser considerado superior mesmo por Euler.
Em Teoria dos Números fez importantes demonstragäes, provando, por exem-
plo, que todo inteiro positivo € a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos.
Em 1788, Lagrange publicou sua
“Mecánica Analítica” considerada um poema
científico pela perfeicio e grandeza de sua
estrutura, associando-se mais à Matemática
Pura do que à Aplicada, Sua idéia funda:
mental influiria muito nas reformas educa:
cionais da Revolugäo Francesa 0, como
dizia o próprio Lagrange: “pareceme que
as soluçôes que vou apresentar serdo de
interesse para os geómetras tanto pelos
métodos quanto pelos resultados. Essas
solupóes serfo puramente analíticas €
podem ser entendidas mesmo sem figures",
e realmente nfo há um único diagrama
‘om seu trabalho.
Lagrange era Uma pessoa muito
melancólica, com poucas partieipagöes em
Política e movimentos revolucionários, sen-
do que para ele a Matemática era ume
Escrito um poema
Joseph L. Lagrange
(1736 — 1813) arte sublime, sua propria ra2äo para existir
CAPÍTULO IV
FUNGÄO
LOGARITMICA
. DEFINIGÄO
Dado um número real a 10 < a # 1) chamamos funcáo logarítmica de base
se,
à a fungdo t deIR} em IR que associa a cada x o número log, x.
Em símbolos:
TIRE A
x loge x
Exemplos de fungdes logarítmicas em IR
a) fix) = logs x bi 960 = logs x
e) hx) = log x dl px} » fn x
11. PROPRIEDADES
19) Se 0 <a # 1 entáo as funcdes 1 de IR} emiR definida por f(x) —
log, x e g de R emIR? definida por g(x) - 2% sio inversas uma da outra
Demensteagior
Para provarmos esta propriedade basta provarmos que fog = lang € 90. Im
De tato
OHR) = MOD = logs gtx) = Log a = x €
{orf c= elfen} = fh a x
Joseph Louis Lagrange nasceu em Turin, tá
Bein jovem tornou-se professor na Escola Real de Artilharia em Turin, fazen-
do sua primeira publicagäo em 1759 na "Micelänea”, revista da Academia,
Lagrange substituiu Euler na Acadernia de Berlim, por convite de Frederico,
© Grande, af passando vinte anos. Em Berlim publicou importantes obras sabre
Mecánica, problema dos trés corpos, primeiras idéias de fungBes e importantes
trabalhos sobre teoría das equacóes. Após a morte de Frederico, foi para a Franca,
“convidado por Louis XVI, onde tomou parte no Comité de Pesos e Medidas.
Foi o primeiro professor da Escola Politécnica onde ensinava Anälise, esere
vendo notas de curso em vários níveis mais tarde publicadas no clássico “Teoría
des Fungóes Analíticas”, marcame em sau rigor e tentando tornar o Cálculo mais
lógico do que prático, Nesta obra impulsionou 8 teoria das fungBes de variável real
‘Que a partir dal ocuparia a atengäo dos matemáticos, utilizando-se nela da notacío
para derivadas de várias ordens,
Na Escola Normal, Lagrange preparou e ministrou aulas, hoje equivalentes
ds do curso colegial ou pré-universitário, am Algebra avangada.
Lagrange muito contribuiu para o estudo do Cálculo das Variacóes, um
ramo novo da Matemática no sécuio XVIII, resolvendo com esta teoria vários.
problemas de isometria, chegando a ser considerado superior mesmo por Euler.
Em Teoria dos Números fez importantes demonstragäes, provando, por exem-
plo, que todo inteiro positivo € a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos.
Em 1788, Lagrange publicou sua
“Mecánica Analítica” considerada um poema
científico pela perfeicio e grandeza de sua
estrutura, associando-se mais à Matemática
Pura do que à Aplicada, Sua idéia funda:
mental influiria muito nas reformas educa:
cionais da Revolugäo Francesa 0, como
dizia o próprio Lagrange: “pareceme que
as soluçôes que vou apresentar serdo de
interesse para os geómetras tanto pelos
métodos quanto pelos resultados. Essas
solupóes serfo puramente analíticas €
podem ser entendidas mesmo sem figures",
e realmente nfo há um único diagrama
‘om seu trabalho.
Lagrange era Uma pessoa muito
melancólica, com poucas partieipagöes em
Política e movimentos revolucionários, sen-
do que para ele a Matemática era ume
Escrito um poema
Joseph L. Lagrange
(1736 — 1813) arte sublime, sua propria ra2äo para existir
CAPÍTULO IV
FUNGÄO
LOGARITMICA
. DEFINIGÄO
Dado um número real a 10 < a # 1) chamamos funcáo logarítmica de base
se,
à a fungdo t deIR} em IR que associa a cada x o número log, x.
Em símbolos:
TIRE A
x loge x
Exemplos de fungdes logarítmicas em IR
a) fix) = logs x bi 960 = logs x
e) hx) = log x dl px} » fn x
11. PROPRIEDADES
19) Se 0 <a # 1 entáo as funcdes 1 de IR} emiR definida por f(x) —
log, x e g de R emIR? definida por g(x) - 2% sio inversas uma da outra
Demensteagior
Para provarmos esta propriedade basta provarmos que fog = lang € 90. Im
De tato
OHR) = MOD = logs gtx) = Log a = x €
{orf c= elfen} = fh a x
2) A fungdo logarítmica Ha) = logs x & erescente (decrescente) se, © 2%) Quando a bate € poste e menor que um, a el de desiguldade
somente se, à > 1(0<a< D. existente entre os logaritmos de dois números positivos $ de sentido contrário
à que existe entre esses números,
Demonstracio
Provemos inicialmente a implicacio Exenpior
a> 1 + (eg CURE, x, © IRE, ED log X2 > fogs Kl 19 B>2 — log 8 < log,2
De fato: x i
Quai 29 125 5 = logy 12 € log, 5
uaisquer que sejam x1 e xz positivos e xy > x temase pela terceira 4 }
consegiéncia da dofiniedo de logaritmos 39) V3<7 => vu V3 won à
42) — 10993 0,3 > 1092 2.
als > ¿om 9 03<24 logs log
38) Se a bese é maior que um, entäo os números positivos menores que
um tém logaritmos negativos e os números maiores que um tém ogaritmos posi
e agora pelo teorema 2 (página 27) conch
logo Xa > lay Xs S
Provemos agora implicagSo
De fato, se à > 1:
(Vx, EIRE, oe CARE, loge x > logy x == >) a>
GEST = logs x < logy 1 — log, x <0
Considerando DI log x? log 1 > lou x > 0
loge 2 = Ya = my = a?
logy xy = yy 2 a tamos: ia
19) tog: 0,25 <0
a> vi a > ah,
Pam tei a mas
elo fato da funcio exponencial ser crescente para base maior que um
ann en 3 @ ais
A demonstragäo de que a fungdo logarítmica & decrascente se, e somente se,
a base é positiva e menor que um ficará como exercicio.
42) Se a base é positiva o menor que um, entäo os números positivos me
nores que um tém logaritmos positivos e os números maiores que um tém fogarit:
BB, CHA mos negativos.
De tato, se 0 € a € 1:
1%) Quando a base é maior que um, a relaçäo de desigualdade existente entre
M ET — lon x > logy — loge x > 0
os logaritmos de dois números positivos tem mesmo sentido que a relacio entre Pen Hs q
esses números. > + log) x < log 1 — logs x <0
Exempios Exemplos
19452 — logs 4 > 109,2 191 10995 0.25 > 0
2) 15>4 — log 15 > logs 4 29) logos 0,03 > ©
39 VE >7 — log V5 < log7
49) 0,42 < 6,3 = log, 0,42 < logs 6,3
59 4>03 — nd > 03 49) logos VS
39) logos 4 < 0
<o
70-8 71.8
somente se, à > 1(0<a< D. existente entre os logaritmos de dois números positivos $ de sentido contrário
à que existe entre esses números,
Demonstracio
Provemos inicialmente a implicacio Exenpior
a> 1 + (eg CURE, x, © IRE, ED log X2 > fogs Kl 19 B>2 — log 8 < log,2
De fato: x i
Quai 29 125 5 = logy 12 € log, 5
uaisquer que sejam x1 e xz positivos e xy > x temase pela terceira 4 }
consegiéncia da dofiniedo de logaritmos 39) V3<7 => vu V3 won à
42) — 10993 0,3 > 1092 2.
als > ¿om 9 03<24 logs log
38) Se a bese é maior que um, entäo os números positivos menores que
um tém logaritmos negativos e os números maiores que um tém ogaritmos posi
e agora pelo teorema 2 (página 27) conch
logo Xa > lay Xs S
Provemos agora implicagSo
De fato, se à > 1:
(Vx, EIRE, oe CARE, loge x > logy x == >) a>
GEST = logs x < logy 1 — log, x <0
Considerando DI log x? log 1 > lou x > 0
loge 2 = Ya = my = a?
logy xy = yy 2 a tamos: ia
19) tog: 0,25 <0
a> vi a > ah,
Pam tei a mas
elo fato da funcio exponencial ser crescente para base maior que um
ann en 3 @ ais
A demonstragäo de que a fungdo logarítmica & decrascente se, e somente se,
a base é positiva e menor que um ficará como exercicio.
42) Se a base é positiva o menor que um, entäo os números positivos me
nores que um tém logaritmos positivos e os números maiores que um tém fogarit:
BB, CHA mos negativos.
De tato, se 0 € a € 1:
1%) Quando a base é maior que um, a relaçäo de desigualdade existente entre
M ET — lon x > logy — loge x > 0
os logaritmos de dois números positivos tem mesmo sentido que a relacio entre Pen Hs q
esses números. > + log) x < log 1 — logs x <0
Exempios Exemplos
19452 — logs 4 > 109,2 191 10995 0.25 > 0
2) 15>4 — log 15 > logs 4 29) logos 0,03 > ©
39 VE >7 — log V5 < log7
49) 0,42 < 6,3 = log, 0,42 < logs 6,3
59 4>03 — nd > 03 49) logos VS
39) logos 4 < 0
<o
70-8 71.8
ll. IMAGEM
Se 0 < a+ 1 antio a fungáo f de IA] em IR definida por tx) = log x
admite a fungdo inversa g de IR om IR} definida por g(x) = 0X. Logo & bie
e, portanto, a imagem de f &
Im > IR.
IV. GRÁFICO
Com relagdo ao gráfico cartesiano da fungdo fix) = logs x (0 < a # 1,
podemos dizer:
19) está todo a direita do sixo y (x > 0);
22) corta o eixo x no ponte de abscissa 1 {logy 1 =O para todo 0 < a # 1};
30) se a> 1 & de uma funcio crescante e se 0 <a <1 6 de uma fungáo
decrescente;
49) 6 simétrico em relago a reta y = x (bissetriz dos quadrantes impares)
do grético da tungéo gl) = &*;
5%) toma um dos aspectos ds figura absixo>
TES
728
60. Exemplos
19) Construir o gráfico cartesiano da funçäo fix) - log, x (x > 0). Cons-
truímos a tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos x.
x] wo togx | | x
1
< + 3
1
+ 2
pl
a z 1 +
o 1 o 4
1 o 1 Ye |} fp
2 1 2 i f+
3 2 3 | a
LIL
Uma alternativa pare construirmos o gráfico de 1(x) ~ log, x (x > 0} seria
‘construitmos inicialmente o gráfico da fungdo inversa glx) = € Fix = 2% e lem
brar que se (b, a) € 17? = g, entáo (a, bi EL.
e ‘
T px
NE x | ys ton x
1 1
| 4 7] 3
1 1!
a 4 2
1 1
2 al =
oj 1 1 o
| 2 2 1
2| 4 4 2
alos s| 3
Se 0 < a+ 1 antio a fungáo f de IA] em IR definida por tx) = log x
admite a fungdo inversa g de IR om IR} definida por g(x) = 0X. Logo & bie
e, portanto, a imagem de f &
Im > IR.
IV. GRÁFICO
Com relagdo ao gráfico cartesiano da fungdo fix) = logs x (0 < a # 1,
podemos dizer:
19) está todo a direita do sixo y (x > 0);
22) corta o eixo x no ponte de abscissa 1 {logy 1 =O para todo 0 < a # 1};
30) se a> 1 & de uma funcio crescante e se 0 <a <1 6 de uma fungáo
decrescente;
49) 6 simétrico em relago a reta y = x (bissetriz dos quadrantes impares)
do grético da tungéo gl) = &*;
5%) toma um dos aspectos ds figura absixo>
TES
728
60. Exemplos
19) Construir o gráfico cartesiano da funçäo fix) - log, x (x > 0). Cons-
truímos a tabela dando valores inicialmente a y e depois calculamos x.
x] wo togx | | x
1
< + 3
1
+ 2
pl
a z 1 +
o 1 o 4
1 o 1 Ye |} fp
2 1 2 i f+
3 2 3 | a
LIL
Uma alternativa pare construirmos o gráfico de 1(x) ~ log, x (x > 0} seria
‘construitmos inicialmente o gráfico da fungdo inversa glx) = € Fix = 2% e lem
brar que se (b, a) € 17? = g, entáo (a, bi EL.
e ‘
T px
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1 1
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1 1!
a 4 2
1 1
2 al =
oj 1 1 o
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2| 4 4 2
alos s| 3
22) Corstrir o gráfico cartasiano da fungáo f(x) = log, x (x > 0)
‘
Ñ «|» TT A
| » 8 1]
2| 4 a 4
a] 2 2 4
of 4 1 i
11 3 ri nal
7 2 om
1 1 Na aoe
2 4 4 FA _
a A, a FRE
a 8 à TI oe
exencicios
1.146 Ana am a propos Y Werden! où # (sa
8110013 > 802 BC nn ons 7
S11 tone > ons dd 03> loys 0.22
AU 1 e080> food À 3229 <omne 38
21 deed <i wu ms Dim
NE eme VBC aye
18167 Consul 0 was ds tuner:
où 100 «tony ne
a 10 tops eer
1.148 Contato ose unes
0 160 = fons Ht pt 460 tag
2128 Contato ues a faros:
où ts} = fogs =) 100 = tye 1
60) to Ma) EVE
748
2.150 Construir os gráficos dos funcäns
a = 24 tog x bh fod 2 1 log
8.151 Determine o dominio da Junco Wx) » logy Di - 43.
Sousse
Para que © Iogaritmo sejo cel dovamos ter loparitmando post e base postive ©
iferente de un.
Assim
logy BA = Ener 2 >?
Do KEIR ex <-2 ou x > 2)
10.152 Determine 0 dominio des lunes
by fbx) «fogs fan - 21?
N = og be + 12
a) fel = logs 11 2)
“a
oa «tae
8.152 Determine o dominio ds funedo 14) = longe 12XÉ + 5x + 2.
Selugo
O SA
Resolvando separadamente ax Inenungder {1 e Mt), Lemos:
Mater 22022 € Lo DZ
Woc<nst4t 1x0
Forondo à Intersacgfo destes conjuntos
fron ia er < hour 32e vol
8.164 Determine o dominio des fared:
Da 109130 & + 2)
1 #00 = log ie + x - 2)
©) Med = footages) 1 + B= xh
758
‘
Ñ «|» TT A
| » 8 1]
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11 3 ri nal
7 2 om
1 1 Na aoe
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a 8 à TI oe
exencicios
1.146 Ana am a propos Y Werden! où # (sa
8110013 > 802 BC nn ons 7
S11 tone > ons dd 03> loys 0.22
AU 1 e080> food À 3229 <omne 38
21 deed <i wu ms Dim
NE eme VBC aye
18167 Consul 0 was ds tuner:
où 100 «tony ne
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1.148 Contato ose unes
0 160 = fons Ht pt 460 tag
2128 Contato ues a faros:
où ts} = fogs =) 100 = tye 1
60) to Ma) EVE
748
2.150 Construir os gráficos dos funcäns
a = 24 tog x bh fod 2 1 log
8.151 Determine o dominio da Junco Wx) » logy Di - 43.
Sousse
Para que © Iogaritmo sejo cel dovamos ter loparitmando post e base postive ©
iferente de un.
Assim
logy BA = Ener 2 >?
Do KEIR ex <-2 ou x > 2)
10.152 Determine 0 dominio des lunes
by fbx) «fogs fan - 21?
N = og be + 12
a) fel = logs 11 2)
“a
oa «tae
8.152 Determine o dominio ds funedo 14) = longe 12XÉ + 5x + 2.
Selugo
O SA
Resolvando separadamente ax Inenungder {1 e Mt), Lemos:
Mater 22022 € Lo DZ
Woc<nst4t 1x0
Forondo à Intersacgfo destes conjuntos
fron ia er < hour 32e vol
8.164 Determine o dominio des fared:
Da 109130 & + 2)
1 #00 = log ie + x - 2)
©) Med = footages) 1 + B= xh
758
Liberada publicagáo de segredo militar
Gaipare Monge, francés, filha de um pobre negociante, por influéncio de um tenente
coronel scsi &s aulas nu Escola Militar de Merdre onde saris professor mais tarde.
De grande capicidade, foi um dos matemáticos de Rewolucko Francesa, contribuindo
com muitos atigns pura as “Memorias da Academia de Ciéncas
“Tornou-se um dos mais notáveis cantustas franceses tend talvez maine repute
físico © químico do que matemánico, Participou junto a Lavoisier de experiéncas que rev
a Quimica um 1789,
longe fo} mambro do Instituto Nacional que ocupow o lugar da Academia no época da
Revolve.
Como matemáico, sua principal obra foi “Geometria Descrtva”, mantida seceramente
guadaña por sus superiores and 1794 pois achavam de interesse da defasa nacional. Neste
rabalno se utlizou muito de diagramas mas parece tinalmante ter concordado com Lagrange
em evitädos na Geometria Analitin element.
Monge, tanto quanto Carnot e Condorcet, participou ativamente de cumpanhas revo
conéias,chagand 3 ser Ministro da Marinha à responsável pela astinaturn da elatrin oficia!
180 Julgamento e execusáo dro, Depois de um ano se afastou dese ergo, mantenda-e sempre:
ato em operacies políticas e militares e publicou importante trabalho com o título
"Descriedo de Arte de Fabricar os Canhôes”.
Foi o principe detursor des instvicóos de amino, Membre de uma coma de obres
pübices, em 1794, esimulou à fundacio us Esculo Poltéenica especializado no preparo de
engenheiros, da qual for profesor u acminsrador.
Ensinava © que chamamos de Gsomatria
Descritva e tambóm aplicapío da Anise a Geome-
ia. tendo impresionado tanto Lat
seus resultados que so diz en
"Com sua aplicaplo da Andise à Geomea ©
abo do homem se tornars morta
avez a Monge o retursimento da Geome:
tia no eipago, com um tratamemto totaimente
alpébrico. Em 1975 publicou "Folnas de Andie”
‘dando forma à Geometria Analítica em ws di
mentées que se inclue em textos de cursos ui
versdrio atun © chegou até nós, gros preacw
pardo das alunos em pubis.
No fim da Revolugio recebeu muitas
honraias, pois sempre apoiou Napoledo. Com
a restauracto de monarquia francesa boi banido,
Gaspard Monge perdeu at mesmo no posto na Escola Politécnica
11746 — 1818) @ no Insttuto Nacional. morrando logo depois
CAPÍTULO Y
EQUACÖES
EXPONENCIAIS
E LOGARITMICAS
1. EQUAGÖES EXPONENCIAIS
61. Como haviamas dito quando do primeiro estudo de equagdes exponenciais
voltamos novamente a esse assunto.
Abordsremos agora, as equacóes exponencisis que näo podem ser reduzi=
das a uma igualdade de poténcias de mesma base, através de simples aplicacdo
das propriedades das poténcias.
A resolucäo de uma equaçäo deste tino baseia-se na definigäo de logarfimo,
isto 6, se D € a # 1 e b > 0 temse:
tx mb
exeneicios
8.155 Resolver as enungder
es ws
Sotsäns
2) 43 xs toms
$+ los)
a me SE 3 me 28% 375 me fog 375
5 - dogs 398}
Gaipare Monge, francés, filha de um pobre negociante, por influéncio de um tenente
coronel scsi &s aulas nu Escola Militar de Merdre onde saris professor mais tarde.
De grande capicidade, foi um dos matemáticos de Rewolucko Francesa, contribuindo
com muitos atigns pura as “Memorias da Academia de Ciéncas
“Tornou-se um dos mais notáveis cantustas franceses tend talvez maine repute
físico © químico do que matemánico, Participou junto a Lavoisier de experiéncas que rev
a Quimica um 1789,
longe fo} mambro do Instituto Nacional que ocupow o lugar da Academia no época da
Revolve.
Como matemáico, sua principal obra foi “Geometria Descrtva”, mantida seceramente
guadaña por sus superiores and 1794 pois achavam de interesse da defasa nacional. Neste
rabalno se utlizou muito de diagramas mas parece tinalmante ter concordado com Lagrange
em evitädos na Geometria Analitin element.
Monge, tanto quanto Carnot e Condorcet, participou ativamente de cumpanhas revo
conéias,chagand 3 ser Ministro da Marinha à responsável pela astinaturn da elatrin oficia!
180 Julgamento e execusáo dro, Depois de um ano se afastou dese ergo, mantenda-e sempre:
ato em operacies políticas e militares e publicou importante trabalho com o título
"Descriedo de Arte de Fabricar os Canhôes”.
Foi o principe detursor des instvicóos de amino, Membre de uma coma de obres
pübices, em 1794, esimulou à fundacio us Esculo Poltéenica especializado no preparo de
engenheiros, da qual for profesor u acminsrador.
Ensinava © que chamamos de Gsomatria
Descritva e tambóm aplicapío da Anise a Geome-
ia. tendo impresionado tanto Lat
seus resultados que so diz en
"Com sua aplicaplo da Andise à Geomea ©
abo do homem se tornars morta
avez a Monge o retursimento da Geome:
tia no eipago, com um tratamemto totaimente
alpébrico. Em 1975 publicou "Folnas de Andie”
‘dando forma à Geometria Analítica em ws di
mentées que se inclue em textos de cursos ui
versdrio atun © chegou até nós, gros preacw
pardo das alunos em pubis.
No fim da Revolugio recebeu muitas
honraias, pois sempre apoiou Napoledo. Com
a restauracto de monarquia francesa boi banido,
Gaspard Monge perdeu at mesmo no posto na Escola Politécnica
11746 — 1818) @ no Insttuto Nacional. morrando logo depois
CAPÍTULO Y
EQUACÖES
EXPONENCIAIS
E LOGARITMICAS
1. EQUAGÖES EXPONENCIAIS
61. Como haviamas dito quando do primeiro estudo de equagdes exponenciais
voltamos novamente a esse assunto.
Abordsremos agora, as equacóes exponencisis que näo podem ser reduzi=
das a uma igualdade de poténcias de mesma base, através de simples aplicacdo
das propriedades das poténcias.
A resolucäo de uma equaçäo deste tino baseia-se na definigäo de logarfimo,
isto 6, se D € a # 1 e b > 0 temse:
tx mb
exeneicios
8.155 Resolver as enungder
es ws
Sotsäns
2) 43 xs toms
$+ los)
a me SE 3 me 28% 375 me fog 375
5 - dogs 398}
2.166 Resolver as eaungden
A xt
DEE DEZE!
CRE DEE
où 59208, name.
DPS
1187 Resolver a equagéo 2°? 20,
Sola
pes guet DE go we e
pes que Fa A 2
Zr seen
Dra
> 412
52 (loss 12)
8.168 Amor ax equagder:
ya DI net ganes e get à gen
8.159 Revolver as equardes
are
DIESER SIDE Deren
ee get 2
1.160 Resolver a eauagdo 2902. 3-1
2.181 Resolver as equacdos:
MA Dg ro
Ren. dx gts 2e 0
asno no
8.182 Resolver equecdo 4% + 6% 9%
8.163 Revolver a equogio 4% 20 14% 4 3 + 40%
8.164 Resolver a squardo 3% + 32% 1, supondo 0 <a 4 1
165 Resolver o sistema de equagóes:
642% + 642 = 40
erry 12
78-8
11. EQUAGOES LOGARITMICAS
Podemos classificar as equagdes logarítmicas em tr
62. 1% Tipo: logs flx) = log, gfx)
É a equacio que apresenta ou é redutivel a uma igualdade entre dois loga-
ritmos de mesma base 2 (0 <a % 1)
A resolupio de uma equecdo deste tipo boseiarse na quarta conseqúéncia da
definigäo.
Nao nos devemos esquecer das condisées de existéncia do logaritmo, isto é,
a base do logeritmo deverá ser positiva e diferente de um e o fogaritmando.
deveré ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolugáo da equacio
só serfo considerados solucBes da equacáo logarítmica proposta se for um valor
que satistaz as condigBes de existencia do logaritmo.
Esquematicamente, temos:
Se0<a 1 ento
Loge fle) = Fogg glx) ==> 16x} = gi > 0
63. Exemplos
19) Resolver a equacio log: (3x - 5) = log; 7.
Solucáo
109: (3x - 8) = log; 7 => x -5=7>0
Resoivendo
3-5-7ox-4
x = 4 6 solugdo da equacdo proposta e no há necessidade de verificarmos pois
7> 0 é satisfeita para todo x real
S= (4)
A xt
DEE DEZE!
CRE DEE
où 59208, name.
DPS
1187 Resolver a equagéo 2°? 20,
Sola
pes guet DE go we e
pes que Fa A 2
Zr seen
Dra
> 412
52 (loss 12)
8.168 Amor ax equagder:
ya DI net ganes e get à gen
8.159 Revolver as equardes
are
DIESER SIDE Deren
ee get 2
1.160 Resolver a eauagdo 2902. 3-1
2.181 Resolver as equacdos:
MA Dg ro
Ren. dx gts 2e 0
asno no
8.182 Resolver equecdo 4% + 6% 9%
8.163 Revolver a equogio 4% 20 14% 4 3 + 40%
8.164 Resolver a squardo 3% + 32% 1, supondo 0 <a 4 1
165 Resolver o sistema de equagóes:
642% + 642 = 40
erry 12
78-8
11. EQUAGOES LOGARITMICAS
Podemos classificar as equagdes logarítmicas em tr
62. 1% Tipo: logs flx) = log, gfx)
É a equacio que apresenta ou é redutivel a uma igualdade entre dois loga-
ritmos de mesma base 2 (0 <a % 1)
A resolupio de uma equecdo deste tipo boseiarse na quarta conseqúéncia da
definigäo.
Nao nos devemos esquecer das condisées de existéncia do logaritmo, isto é,
a base do logeritmo deverá ser positiva e diferente de um e o fogaritmando.
deveré ser positivo. Assim sendo, os valores encontrados na resolugáo da equacio
só serfo considerados solucBes da equacáo logarítmica proposta se for um valor
que satistaz as condigBes de existencia do logaritmo.
Esquematicamente, temos:
Se0<a 1 ento
Loge fle) = Fogg glx) ==> 16x} = gi > 0
63. Exemplos
19) Resolver a equacio log: (3x - 5) = log; 7.
Solucáo
109: (3x - 8) = log; 7 => x -5=7>0
Resoivendo
3-5-7ox-4
x = 4 6 solugdo da equacdo proposta e no há necessidade de verificarmos pois
7> 0 é satisfeita para todo x real
S= (4)
22) Resolver a equecio logs (2x - 3) = logs (4x - 5).
Solupio
logs (2x - 3) = logs {4x - 5) — 2x
Resolvendo
3=4x-5>0
2-3=4x-5—x-1
x = 1 ndo 6 solugio da equagäo proposta pois fazendo x = 1 em 4x - 5 encontra
mos 4 = 1- 6 = =1 <0, logo a equagée proposta nio tem solugdo. Chegaría-
mos & mesma conclusdo se ao invés de fazer x = 1 em 4x - 5, o fizéssemos em
2x - 3, J que 2x - 3 = 4x - 5.
5-8.
39) Resolver a eauagdo logs (x? = 3x - 10) = logs (2 - 2x).
Solugio
logs (x? = 3x = 10) « logs (2 = 2x) = x? = 8x = 1
Resolvendo
xP Bk 10 2-24 œ x x - 122 0 — x « 4 ou x = -3.
x = 4 nfo 6 solugdo, pois, fazendo x = 4 em 2-2 encontramos
2-2:4- 6<0
x = 3 é solugdo, pois, fazendo x = -3 em 2 - 2x encontramos
2-2: (3-8 > 0.
s
a
654, 29 Tipo: log, fx) = a.
€ a equagio logarítmica que apresenta ou & redutivel a uma igualdade entre
um logaritmo € um número real,
A resoluco de uma equacdo deste tipo é simples, basta aplicarmos a defini.
‘glo de logaritmo.
Esquematicamente, temos:
Se O<a#1 e aGIR ontño
logs ffx) = a => 100 = at
Nao precisamos nos preocupar com a condiggo de existéncia do logaritmo,
sendo O <a #1, tomos a > O para todo a real e consequentemente
10d = a > 0
80-8
Exemplos
19) Resolver a aquacáo log, (3x +1) = 4
Solucio
logy (9x +1)=4 2 3x + 1 24 me Ox 18 > x
S- (8.
Resolver a equagdo logs (x? + 3x - 1) =
2)
Solueo
logs (x? + 3x - 1} = 2 me a? + 3x
x= 2ou x- 5,
sr,
3%) Resolver a oquagdo log; L1 + logs (1 = 2x1]
aS ex + x 10 0
Solugéo
dogs {1 + logs (1 - 2x 2 => 1 + togg(t = 24) = 22
— logs (1 = 2x) = 3 mm 1 - 2x = 3 > x = -13.
S= {13}
66. 30 Tipo: incógnita auxiliar
Sio as equagdes que resolvemos fezendo inicialmente uma mucanga de
incógnita,
67. Exemples
tog} x = logs x
19) Resolver a equacác
Solugio
A equacáo proposta € equivalente à equaçäo
logs x}? logs x - 2 = 0
Fezendo log, x = y temos: y
Mas, y = logs x, entäo:
log x = 2—+ x = 2 logs x = -1 => x = 21
5-44
-y-2=0=y=20y
1
E
818
Solupio
logs (2x - 3) = logs {4x - 5) — 2x
Resolvendo
3=4x-5>0
2-3=4x-5—x-1
x = 1 ndo 6 solugio da equagäo proposta pois fazendo x = 1 em 4x - 5 encontra
mos 4 = 1- 6 = =1 <0, logo a equagée proposta nio tem solugdo. Chegaría-
mos & mesma conclusdo se ao invés de fazer x = 1 em 4x - 5, o fizéssemos em
2x - 3, J que 2x - 3 = 4x - 5.
5-8.
39) Resolver a eauagdo logs (x? = 3x - 10) = logs (2 - 2x).
Solugio
logs (x? = 3x = 10) « logs (2 = 2x) = x? = 8x = 1
Resolvendo
xP Bk 10 2-24 œ x x - 122 0 — x « 4 ou x = -3.
x = 4 nfo 6 solugdo, pois, fazendo x = 4 em 2-2 encontramos
2-2:4- 6<0
x = 3 é solugdo, pois, fazendo x = -3 em 2 - 2x encontramos
2-2: (3-8 > 0.
s
a
654, 29 Tipo: log, fx) = a.
€ a equagio logarítmica que apresenta ou & redutivel a uma igualdade entre
um logaritmo € um número real,
A resoluco de uma equacdo deste tipo é simples, basta aplicarmos a defini.
‘glo de logaritmo.
Esquematicamente, temos:
Se O<a#1 e aGIR ontño
logs ffx) = a => 100 = at
Nao precisamos nos preocupar com a condiggo de existéncia do logaritmo,
sendo O <a #1, tomos a > O para todo a real e consequentemente
10d = a > 0
80-8
Exemplos
19) Resolver a aquacáo log, (3x +1) = 4
Solucio
logy (9x +1)=4 2 3x + 1 24 me Ox 18 > x
S- (8.
Resolver a equagdo logs (x? + 3x - 1) =
2)
Solueo
logs (x? + 3x - 1} = 2 me a? + 3x
x= 2ou x- 5,
sr,
3%) Resolver a oquagdo log; L1 + logs (1 = 2x1]
aS ex + x 10 0
Solugéo
dogs {1 + logs (1 - 2x 2 => 1 + togg(t = 24) = 22
— logs (1 = 2x) = 3 mm 1 - 2x = 3 > x = -13.
S= {13}
66. 30 Tipo: incógnita auxiliar
Sio as equagdes que resolvemos fezendo inicialmente uma mucanga de
incógnita,
67. Exemples
tog} x = logs x
19) Resolver a equacác
Solugio
A equacáo proposta € equivalente à equaçäo
logs x}? logs x - 2 = 0
Fezendo log, x = y temos: y
Mas, y = logs x, entäo:
log x = 2—+ x = 2 logs x = -1 => x = 21
5-44
-y-2=0=y=20y
1
E
818
29) Resolver a equacio 7.
Solucdo
Fazendo logs x = y, temos:
+ = Demme (2 4 UT + vb Y en
A
Ty
wm 2 4 BV + ve <
Was y = logs x, ento; logs x = 2 2 usted
1
seit
ib
exencicios
2.166 Resolver s cause
2) fog x + 21 lapa GX + 8)
3) tons oe = gal 8
2 teeter? = De logy ad ~ Ax = 201
log lo RE
hei + 1 à 2 o e+ 5)
D Bee em oe
BA67 Resolver 2 equi
tt Ban = 0
à Igea o a 1 + 5x 2
og, 2a? = 8x + 4 2-2 Dz
nach
L168 Resolver as equortes:
2) lus loan») © 1
2 loa log log x] = 0
€ ogy on flo x = 1} = 0
4} tops [1 + 108 (1 + toga xi] = 0
1) ogy; li + tong ix + ml)» 2
m tof + 2 + logs (3 tom] = 1
6) oo; (2 +3 + logy lt + A + loge (Se + MJ) 2
0.169 Revolver a equacfo: logs logy x? - 5x + 21] = 10942.
2.170 Resolver as equaeses:
ai 8x O03) 7
A
a ao HOP ag
lex PE a ogg V7
2.171 Revolver o sitema de ecuagdes:
cay
Logev « Vx
72 Revolver os equapiex:
al tog x - 2 + logux - 3 + 0
DIS > log x - 7 + log + 2-0
el logx fox - 1) - 6
log 2 + logy x = 3) = 2
0) 2+ loge + 2e 8 + logan
1) tot = 4 + log
173 Resolver as squectes:
BE. BE: SE
5 toga * TF dog
y dear, 2eme 5
CE TE
IO 2 8
VF tage * toa + 3 7 4
a
Ba eher.
Oye loge ga?
e te . 2= toms | 4 = ox | toga
a topar 73 toga ~ B= loge 6 Toga
174 Roser a equecio top, (2x + 3) = 2
Solugse
ES
log, (2e + 3) 2 me .
23 on
Rosolvondo (N, tomos:
Ma IO do x
Somente x= 3. à solucño, pois dde saistazer (I
s+ {a}.
Solucdo
Fazendo logs x = y, temos:
+ = Demme (2 4 UT + vb Y en
A
Ty
wm 2 4 BV + ve <
Was y = logs x, ento; logs x = 2 2 usted
1
seit
ib
exencicios
2.166 Resolver s cause
2) fog x + 21 lapa GX + 8)
3) tons oe = gal 8
2 teeter? = De logy ad ~ Ax = 201
log lo RE
hei + 1 à 2 o e+ 5)
D Bee em oe
BA67 Resolver 2 equi
tt Ban = 0
à Igea o a 1 + 5x 2
og, 2a? = 8x + 4 2-2 Dz
nach
L168 Resolver as equortes:
2) lus loan») © 1
2 loa log log x] = 0
€ ogy on flo x = 1} = 0
4} tops [1 + 108 (1 + toga xi] = 0
1) ogy; li + tong ix + ml)» 2
m tof + 2 + logs (3 tom] = 1
6) oo; (2 +3 + logy lt + A + loge (Se + MJ) 2
0.169 Revolver a equacfo: logs logy x? - 5x + 21] = 10942.
2.170 Resolver as equaeses:
ai 8x O03) 7
A
a ao HOP ag
lex PE a ogg V7
2.171 Revolver o sitema de ecuagdes:
cay
Logev « Vx
72 Revolver os equapiex:
al tog x - 2 + logux - 3 + 0
DIS > log x - 7 + log + 2-0
el logx fox - 1) - 6
log 2 + logy x = 3) = 2
0) 2+ loge + 2e 8 + logan
1) tot = 4 + log
173 Resolver as squectes:
BE. BE: SE
5 toga * TF dog
y dear, 2eme 5
CE TE
IO 2 8
VF tage * toa + 3 7 4
a
Ba eher.
Oye loge ga?
e te . 2= toms | 4 = ox | toga
a topar 73 toga ~ B= loge 6 Toga
174 Roser a equecio top, (2x + 3) = 2
Solugse
ES
log, (2e + 3) 2 me .
23 on
Rosolvondo (N, tomos:
Ma IO do x
Somente x= 3. à solucño, pois dde saistazer (I
s+ {a}.
BATS Rewer as equagses: 1.178 Resolver as equa:
2 ogg Oe? = 13x 6 18) « 2 ah log (6x = 0) - 2-109, (Be = 61 + 2-0
tony 4-30 © 2 Loge #24 loge #1
A dog À = ner 16) 2 22+ boty dé = - Belong ay 412 0
rn
tern
loser TR HIN
1.100 Ansoiver as aquagdos
ee a
a oo 2-3 DI 109,12x = 0? = ange - a1? 2
8.176 Resolver a cauto. logge yy) I + x + 61 = Sousse
a} Antes de apicormos quslquer propridade oporatéris, devemos astabelecer as
8.177 Resoher a sauge tom (x? = 7% = 9) = Mona = 24 = condicdes de axinäneis para of logaritmos,
Assim sordo, dovomos ter
26130 eda}
e boo m
10 n>
Solupfo
lodge) x2 De ~ 91 oy = Bu = 31 22 y
jose Roland u eauerio proposta pare x 7 1. innen
verre op, (x Dr logy ix 11 3 == gy la + 19 dx = 1-3 <>
id ee na ego ane on x
Retovendo Somente x= 4 solo, pois sanear a condi (I
s= (2)
TI at Gx - 8-0 x -2 où x= À
bi Estobelecendo à condicio de axistáncia dos loguriumos, tomos
(x=? >0
x - 2 io 6 solugdo. vom fazendo x= 2 om
2° -2.2-3.-3<0.
2-3, encontramos
ho shout
2 zs A a, “-1>0
van à à moto pot mundo me Zam ein eum ar ow .
cars, metas usando à car monate paa à # À 0 x #4, mot
Palo e ” ane
togs(2x = NF = loutre = 7-2 BE = 2 me
2
sei x op »
m xe b=
BO Resolver as sauer 2-1
RN sommer
2) og, (x = 31 Logg 41 met
logy 18x +20 = lap, (OK + 4) =
2} a tent ment
©) loge OK #14) legge 62 = Xd “ 5
logres [2 = Bx 8» lua) (2 39 Où dos vores encumrdos to slugs, pos, aioz 3 condicio (
Ton (SÍ = ME 71 Long OP = 2
s-2 #1
D ogg (HF 8 = 2) = log (OE 5 + 2)
2 ogg Oe? = 13x 6 18) « 2 ah log (6x = 0) - 2-109, (Be = 61 + 2-0
tony 4-30 © 2 Loge #24 loge #1
A dog À = ner 16) 2 22+ boty dé = - Belong ay 412 0
rn
tern
loser TR HIN
1.100 Ansoiver as aquagdos
ee a
a oo 2-3 DI 109,12x = 0? = ange - a1? 2
8.176 Resolver a cauto. logge yy) I + x + 61 = Sousse
a} Antes de apicormos quslquer propridade oporatéris, devemos astabelecer as
8.177 Resoher a sauge tom (x? = 7% = 9) = Mona = 24 = condicdes de axinäneis para of logaritmos,
Assim sordo, dovomos ter
26130 eda}
e boo m
10 n>
Solupfo
lodge) x2 De ~ 91 oy = Bu = 31 22 y
jose Roland u eauerio proposta pare x 7 1. innen
verre op, (x Dr logy ix 11 3 == gy la + 19 dx = 1-3 <>
id ee na ego ane on x
Retovendo Somente x= 4 solo, pois sanear a condi (I
s= (2)
TI at Gx - 8-0 x -2 où x= À
bi Estobelecendo à condicio de axistáncia dos loguriumos, tomos
(x=? >0
x - 2 io 6 solugdo. vom fazendo x= 2 om
2° -2.2-3.-3<0.
2-3, encontramos
ho shout
2 zs A a, “-1>0
van à à moto pot mundo me Zam ein eum ar ow .
cars, metas usando à car monate paa à # À 0 x #4, mot
Palo e ” ane
togs(2x = NF = loutre = 7-2 BE = 2 me
2
sei x op »
m xe b=
BO Resolver as sauer 2-1
RN sommer
2) og, (x = 31 Logg 41 met
logy 18x +20 = lap, (OK + 4) =
2} a tent ment
©) loge OK #14) legge 62 = Xd “ 5
logres [2 = Bx 8» lua) (2 39 Où dos vores encumrdos to slugs, pos, aioz 3 condicio (
Ton (SÍ = ME 71 Long OP = 2
s-2 #1
D ogg (HF 8 = 2) = log (OE 5 + 2)
8.101 Resolver as equagdet!
al logy tx = 29 + agg + 2h = 4
by tog, be + 11 + logy tx = 2) = 2
el log + logía - 20) =
al log, 15x - 2) = log = logy tx D + 2
el 109 t8x + 4) = tog, - logy he - 21 = 1
1) tog, 12x + 2)? = tog, (2x - 3)» 4
1
D looygt + 217+ top - D =
8.182 Rosier o eavaréo a * a 6259 no
8.183 Resolver» queno Ion X" + 7) = og, GF"! + 11 = 2.
2.184 Rewer us equasen
tong x)
9) igs (ax - PT
195 2 3)
DC TELE
amas
109 Vx = 40
4
B.185 Resolver a squagdo À logytx = 18) - og IV - 4) = 1
8.106 Resolver a oquecio log M" + 15+ 2% + 27) = 2+ 09 (2**? a1
8.187 Resolver a equacto logy = 21 + lag, (3x = 2) —
Selugso
Vamos ettabalece inicisimant
937
2 condicio de existánca dos logoritmos, ito &
>o —:>2 |
i 22
7 2
2220 > À
Resolvendo a equacio, temos:
tongo 2) + tgp (Be = 2) = 09,7 log 2100 21) jan? —
A
> (dar exes ae
wa. -
Somente x = 3 & solugdo, pois saistaz a condicio (1
sis)
8.188 ResoWver as equacées:
sl log tx + 4) + log, (x = 3) = 109,18
DI logs (1 = 2d + logg 2 = xl © long (B = 2x)
} logy (x + N + togy bx ~ 51 = fog, 2x = 32
4 3 E
dh log (2x + 1) + log (4x 3) = tog (292 = x = 2)
©) 10g, (4 - ah = og [2x = 1) = logy (3 - x) — logy be en
vom bé + Lx + colagy Oc + 3) = loan (3x = 1)
3 + +
Sta + clg 0 + 04
VIE Lime}
8.109 Resolver a equagdo 2+ log lon x) = log 1 - 2 toa x) = 1095.
8.190 Resolver a equagio x + log (1 + 24) = x log 4 1096.
15.191 Resolver as enungden
a) Vi09% dos wy log’! = 2+ wor
2
a,
2 Racer ao ot EE 5 = 6
8.183 Resor oF aque:
2) logPs? = 20 VE + 4 2 0B) long VE = 1.25 = lo VE
1092 LÉ
a
-2
8194 Resolver a equagio x? + x-+tog6 = loa? - 0.
8.195 Resolver o sistomo de equecóes
xtye?
log: + 100g 7 = 1094 12
Souto
Aplicando a propriedade dos logaritmos na segunda equacio tems:
109,12 2 ay = 12,
log x + loa, y = log, 12 logy (xv!
(© sistema proposto fica anto reduzido ds equacdet
etyeT
we 12
eus solar slo x= 6 ys 4 où e yet.
s + (03, 4), la, 30}
87-8
al logy tx = 29 + agg + 2h = 4
by tog, be + 11 + logy tx = 2) = 2
el log + logía - 20) =
al log, 15x - 2) = log = logy tx D + 2
el 109 t8x + 4) = tog, - logy he - 21 = 1
1) tog, 12x + 2)? = tog, (2x - 3)» 4
1
D looygt + 217+ top - D =
8.182 Rosier o eavaréo a * a 6259 no
8.183 Resolver» queno Ion X" + 7) = og, GF"! + 11 = 2.
2.184 Rewer us equasen
tong x)
9) igs (ax - PT
195 2 3)
DC TELE
amas
109 Vx = 40
4
B.185 Resolver a squagdo À logytx = 18) - og IV - 4) = 1
8.106 Resolver a oquecio log M" + 15+ 2% + 27) = 2+ 09 (2**? a1
8.187 Resolver a equacto logy = 21 + lag, (3x = 2) —
Selugso
Vamos ettabalece inicisimant
937
2 condicio de existánca dos logoritmos, ito &
>o —:>2 |
i 22
7 2
2220 > À
Resolvendo a equacio, temos:
tongo 2) + tgp (Be = 2) = 09,7 log 2100 21) jan? —
A
> (dar exes ae
wa. -
Somente x = 3 & solugdo, pois saistaz a condicio (1
sis)
8.188 ResoWver as equacées:
sl log tx + 4) + log, (x = 3) = 109,18
DI logs (1 = 2d + logg 2 = xl © long (B = 2x)
} logy (x + N + togy bx ~ 51 = fog, 2x = 32
4 3 E
dh log (2x + 1) + log (4x 3) = tog (292 = x = 2)
©) 10g, (4 - ah = og [2x = 1) = logy (3 - x) — logy be en
vom bé + Lx + colagy Oc + 3) = loan (3x = 1)
3 + +
Sta + clg 0 + 04
VIE Lime}
8.109 Resolver a equagdo 2+ log lon x) = log 1 - 2 toa x) = 1095.
8.190 Resolver a equagio x + log (1 + 24) = x log 4 1096.
15.191 Resolver as enungden
a) Vi09% dos wy log’! = 2+ wor
2
a,
2 Racer ao ot EE 5 = 6
8.183 Resor oF aque:
2) logPs? = 20 VE + 4 2 0B) long VE = 1.25 = lo VE
1092 LÉ
a
-2
8194 Resolver a equagio x? + x-+tog6 = loa? - 0.
8.195 Resolver o sistomo de equecóes
xtye?
log: + 100g 7 = 1094 12
Souto
Aplicando a propriedade dos logaritmos na segunda equacio tems:
109,12 2 ay = 12,
log x + loa, y = log, 12 logy (xv!
(© sistema proposto fica anto reduzido ds equacdet
etyeT
we 12
eus solar slo x= 6 ys 4 où e yet.
s + (03, 4), la, 30}
87-8
8.196 Resolver of seguinter sistemas de equaes: X.
5.201 Resolver a equacño: 4x
a fs Solucto
dog, x + logy = 109,8
a Aplicando logaritmo de base 2 a ambos os membros, tomos
ee jo sc
©) 4 paa = longy = 2 A ton (4 219% on? — 10024 + logo) Hogan =
o rn as 3109, = og, = 3+ toggx + 2
Loge + logy 2 Fazenda 10938 « Y, tomos:
aio F-34250 o y 21 où va?
Lg x tony = 241002 + 1093 Ms y = lon, emo
SR
Lion Vay = 1 4 tog 2
ox = 1 = x 2
logge 2 nn
8.197 Resolver 0 sistema de oquacdos:
D go 6 +) long tx = vi
12% FR
so (20)
1 4 8.202 Rosolver as equacses:
COTES
Pen
8.198 Reraher o sistema os ausge: un 9% 100
[009% Hong = 2 ©) 16%? - a
logy + cologyy = 1 DEE SEE
Solucde y o
Lembrando que colog,y
AY fecendo a substituigo logyx = a € lossy = b
0 sistema proposto, temos: 18.203 Resolver a equagio mat) _ gh + an JR +
fest over 8.206 Resolver as aquagde
2) tog 1M 1
=.09yx © B= loagy, anti bh 29%) 100
logge 2 2x9 à RR
logy 1 y 3
s- (0,0) 8205 Austen a cues
8.199 Fatolver os seguints seas de sa: acoge dog
as 3 100 Yio
ay {32004222 0ur +0 are? lege logge? à 310mg gt 8
M ages actor 17 PA Be toggx = 22 lemv = 1 u doo log, gio ya
8.200 Resolver o sistema de aquagdes: AIRE 1 000
x solver a cusco log, ZEN « 2x - 4
toa, bo oa 2) = -8 8.206 Fes ño long (2 D
255 wad = rer
[Works + tiv -s 1207 Resolver à emuagdo 3 + ton, 1,
=
88-8 89-8
5.201 Resolver a equacño: 4x
a fs Solucto
dog, x + logy = 109,8
a Aplicando logaritmo de base 2 a ambos os membros, tomos
ee jo sc
©) 4 paa = longy = 2 A ton (4 219% on? — 10024 + logo) Hogan =
o rn as 3109, = og, = 3+ toggx + 2
Loge + logy 2 Fazenda 10938 « Y, tomos:
aio F-34250 o y 21 où va?
Lg x tony = 241002 + 1093 Ms y = lon, emo
SR
Lion Vay = 1 4 tog 2
ox = 1 = x 2
logge 2 nn
8.197 Resolver 0 sistema de oquacdos:
D go 6 +) long tx = vi
12% FR
so (20)
1 4 8.202 Rosolver as equacses:
COTES
Pen
8.198 Reraher o sistema os ausge: un 9% 100
[009% Hong = 2 ©) 16%? - a
logy + cologyy = 1 DEE SEE
Solucde y o
Lembrando que colog,y
AY fecendo a substituigo logyx = a € lossy = b
0 sistema proposto, temos: 18.203 Resolver a equagio mat) _ gh + an JR +
fest over 8.206 Resolver as aquagde
2) tog 1M 1
=.09yx © B= loagy, anti bh 29%) 100
logge 2 2x9 à RR
logy 1 y 3
s- (0,0) 8205 Austen a cues
8.199 Fatolver os seguints seas de sa: acoge dog
as 3 100 Yio
ay {32004222 0ur +0 are? lege logge? à 310mg gt 8
M ages actor 17 PA Be toggx = 22 lemv = 1 u doo log, gio ya
8.200 Resolver o sistema de aquagdes: AIRE 1 000
x solver a cusco log, ZEN « 2x - 4
toa, bo oa 2) = -8 8.206 Fes ño long (2 D
255 wad = rer
[Works + tiv -s 1207 Resolver à emuagdo 3 + ton, 1,
=
88-8 89-8
18.208 Resolver of sistemas de aquagds: 8.212 Revolver os equasdes:
su PAYER Log + 308 7 al og - 5 long + 1 = 0
long 2 4 mr On west 2) tos} = og = 1
a O oad 2 tea
8.200 Resolver a equapko log, x - 2) = toggtx? = x + 6) + logy (2x #1, ki
Souto 3.213 Reiter a6 ander
‘condigso de existóncia dos loparitmos, temos: fae: 7
” m a Va /T 22
4-250 —2>2
E al en lira rarric
2910 >}
Estabaloeando inicimente
8.214 Resolver a aquecio:
1 + ogg tx = a)
Agilando as propriedade e nsformande où logoriumos 8 base 2, temor: o Se
toggle = 2) logge? = x #8) oy 2x #1) mo tong Wx +3 Va
Son, be = 2) 2 ogy = à + 6) = tog (2x + 1) =
8.218 Resolver os sistemas de aquagden
> loagte = 21~ u. - ae
2 a a x-4 a fen y
connie)
5-10 y cop + 1 gate 21 0
D Log 242 Hy = 7) = 2
rase ogy ta? + 2) + toga, (9? + 9) = 2
ab logs + 2) = togy lx = 6) = logs (2x - 5) A 2 toga bee yl = 109 (x y) - ©
tong ix #2) + log, = x) + cology fa = 1) = 09918 0 o fee 2 + log, oy vi = 1
ch ogg? = 2x 4 2) 1109, (2x + 1) — lost = 4) wer
+ [tome oy a
2.201 Resolver a euuosto log} = 9 logyx = 4 tox oy =
‘Solucio 8.216 Resolver u equecio log; x + 109,2 = 2.
lobe O haga o - 9 lor O + Sato
so toga = Slope = 4 = 0 1 :
ce rando que. = omas: t09,x + Gog = 2
Farendo top = y 1 Lonbrando we long? + ae ont Tats
Yaya 0 —y mes y = 109,2, ann Fazundo top, ~ Y, vom:
nes me x 2 16 yo Les ve
1 yoo
2
3
mes y 2 lon;%, endo logs»
se (16. Ss. (2
90-8
su PAYER Log + 308 7 al og - 5 long + 1 = 0
long 2 4 mr On west 2) tos} = og = 1
a O oad 2 tea
8.200 Resolver a equapko log, x - 2) = toggtx? = x + 6) + logy (2x #1, ki
Souto 3.213 Reiter a6 ander
‘condigso de existóncia dos loparitmos, temos: fae: 7
” m a Va /T 22
4-250 —2>2
E al en lira rarric
2910 >}
Estabaloeando inicimente
8.214 Resolver a aquecio:
1 + ogg tx = a)
Agilando as propriedade e nsformande où logoriumos 8 base 2, temor: o Se
toggle = 2) logge? = x #8) oy 2x #1) mo tong Wx +3 Va
Son, be = 2) 2 ogy = à + 6) = tog (2x + 1) =
8.218 Resolver os sistemas de aquagden
> loagte = 21~ u. - ae
2 a a x-4 a fen y
connie)
5-10 y cop + 1 gate 21 0
D Log 242 Hy = 7) = 2
rase ogy ta? + 2) + toga, (9? + 9) = 2
ab logs + 2) = togy lx = 6) = logs (2x - 5) A 2 toga bee yl = 109 (x y) - ©
tong ix #2) + log, = x) + cology fa = 1) = 09918 0 o fee 2 + log, oy vi = 1
ch ogg? = 2x 4 2) 1109, (2x + 1) — lost = 4) wer
+ [tome oy a
2.201 Resolver a euuosto log} = 9 logyx = 4 tox oy =
‘Solucio 8.216 Resolver u equecio log; x + 109,2 = 2.
lobe O haga o - 9 lor O + Sato
so toga = Slope = 4 = 0 1 :
ce rando que. = omas: t09,x + Gog = 2
Farendo top = y 1 Lonbrando we long? + ae ont Tats
Yaya 0 —y mes y = 109,2, ann Fazundo top, ~ Y, vom:
nes me x 2 16 yo Les ve
1 yoo
2
3
mes y 2 lon;%, endo logs»
se (16. Ss. (2
90-8
8.217 Resolver as naungöen:
al fog. 109,2
el logy x = B+ loaya2 = 3
DI logge = 1 + 1009
al tong? + 4 Wo:
8.218 Rosoiver
a) logysx+ Veg, SVB + 109/55 VS - - VE
©) VIF foe VA stone + 1 2 0
28 Ras ea à 221042 09410 = 0 GE,
8.220 Resolver os sistemes de eases:
a fiona eve À D fara 2 inne
a ws
"e 2 gs (a 2 xt
NN
8.222 Resolver cauagio 10042 log, 2 = 109, 2
Solusto
109,2 «log, 2 = 109, 2
ne 1 De = om Hox + 41 loa = 8
Fco gx « y vom
MO meme O mo vad
ma. ve 109), ento
na
oes? un
ses
8.228 Roter os une
2) log 3 lou 3 1 tog, 3 > 0
+ oe
ému pi ges
Gao On * GR
ag = log + ei VI 0
.2
92-8
1.224 Hesolor à equacio
109 10+ tony, te? - 3x + 24 = -2 + logy 10 logo (x - 3).
dx (LES
8.225 Aesoiver » equegio.
toad log 120-2 CT
Bee) 3
8.225 Resolver as aquagdes, sbendo que 0 <u #1:
1
2 09,109,600 ange
2 Jonge + es #2 gage à 0
a lor lo ogy 1 + Logg Ya
nat
ee
+ logyy2 109, 2x = 0
8.227 Resolver aque mbanco que 2 0 bso rns posthos a di
logy _ 209%
Tooke m
+
8.228 Resolver a nauapdo log, x + logs x + long x = 1.
9.229 Resolver » equagdo smbendo que 0 <a 15 1000 ZAR gs 19,
8220 Resolver a oquicto:
logía =x) 2 log)
COTE
savendo que 2 > >0 e 2-b#1
1
1.231 Resolver os sistemes de equaes:
rare
L082 2 = 10094, 4
(Ras
Lions og, 2 2 y VF 1 od
tog ik + Y = lagune En
ee e ET
al fog. 109,2
el logy x = B+ loaya2 = 3
DI logge = 1 + 1009
al tong? + 4 Wo:
8.218 Rosoiver
a) logysx+ Veg, SVB + 109/55 VS - - VE
©) VIF foe VA stone + 1 2 0
28 Ras ea à 221042 09410 = 0 GE,
8.220 Resolver os sistemes de eases:
a fiona eve À D fara 2 inne
a ws
"e 2 gs (a 2 xt
NN
8.222 Resolver cauagio 10042 log, 2 = 109, 2
Solusto
109,2 «log, 2 = 109, 2
ne 1 De = om Hox + 41 loa = 8
Fco gx « y vom
MO meme O mo vad
ma. ve 109), ento
na
oes? un
ses
8.228 Roter os une
2) log 3 lou 3 1 tog, 3 > 0
+ oe
ému pi ges
Gao On * GR
ag = log + ei VI 0
.2
92-8
1.224 Hesolor à equacio
109 10+ tony, te? - 3x + 24 = -2 + logy 10 logo (x - 3).
dx (LES
8.225 Aesoiver » equegio.
toad log 120-2 CT
Bee) 3
8.225 Resolver as aquagdes, sbendo que 0 <u #1:
1
2 09,109,600 ange
2 Jonge + es #2 gage à 0
a lor lo ogy 1 + Logg Ya
nat
ee
+ logyy2 109, 2x = 0
8.227 Resolver aque mbanco que 2 0 bso rns posthos a di
logy _ 209%
Tooke m
+
8.228 Resolver a nauapdo log, x + logs x + long x = 1.
9.229 Resolver » equagdo smbendo que 0 <a 15 1000 ZAR gs 19,
8220 Resolver a oquicto:
logía =x) 2 log)
COTE
savendo que 2 > >0 e 2-b#1
1
1.231 Resolver os sistemes de equaes:
rare
L082 2 = 10094, 4
(Ras
Lions og, 2 2 y VF 1 od
tog ik + Y = lagune En
ee e ET
8.233 Resolver o sistema:
[ions + logay logge = 2
logs + longe + logy x = 2
ogg? + loa + loser = 2
1.236 Sendo a e b reais positivos e diferentes de 1, resolver o siete:
ES
2+ ogg + ton Y Fong >
5
8.235 Resolver 0 sistemo de saunçôen
(ue Hong + Happy) = logy
à es ” E x y E Jay
8.237 Resowor os sistemos de equigdes:
OR Y 4 408 - 200
a
| ATA y
Een à 0 a
al
|| Mes x 09 0 = 1020
[use 4 8x . 20
a
ICE
9-8
CAPÍTULO VI
INEQUAGOES
EXPONENCIAIS
E LOGARITMICAS
1. INEQUAGOES EXPONENCIAIS
Como havíamos prometido do primeiro estudo de inequagdes exponenciais,
voltamos novamente 3 esse assunto.
Enfocaremos agora as inequacdes exponenciais que ndo podem ser reduzidas
a uma desigualdade de poténcias de mesma base, através de simples aplicagdes
das propriedades de poténcias.
68. A resoluçäo de uma inequacáo deste tipo baseiase no crescimento ou de
crescimento da furgo logarítmica, ito 6, se > 0,0>D 0 O<c#1 tom
se
(log, a > log. b se 6 > 1
Wek >b —
tog, a < log, D se O<e<1
log, a < loge b se © > 1
maso >
loge a” > log, D se O<e<1
[ions + logay logge = 2
logs + longe + logy x = 2
ogg? + loa + loser = 2
1.236 Sendo a e b reais positivos e diferentes de 1, resolver o siete:
ES
2+ ogg + ton Y Fong >
5
8.235 Resolver 0 sistemo de saunçôen
(ue Hong + Happy) = logy
à es ” E x y E Jay
8.237 Resowor os sistemos de equigdes:
OR Y 4 408 - 200
a
| ATA y
Een à 0 a
al
|| Mes x 09 0 = 1020
[use 4 8x . 20
a
ICE
9-8
CAPÍTULO VI
INEQUAGOES
EXPONENCIAIS
E LOGARITMICAS
1. INEQUAGOES EXPONENCIAIS
Como havíamos prometido do primeiro estudo de inequagdes exponenciais,
voltamos novamente 3 esse assunto.
Enfocaremos agora as inequacdes exponenciais que ndo podem ser reduzidas
a uma desigualdade de poténcias de mesma base, através de simples aplicagdes
das propriedades de poténcias.
68. A resoluçäo de uma inequacáo deste tipo baseiase no crescimento ou de
crescimento da furgo logarítmica, ito 6, se > 0,0>D 0 O<c#1 tom
se
(log, a > log. b se 6 > 1
Wek >b —
tog, a < log, D se O<e<1
log, a < loge b se © > 1
maso >
loge a” > log, D se O<e<1
exencicos
5.238 Resolver at inequacdes:
>. weed
Selugéo
3) Tomando os logaritmos de ambos os membros de desigusidade na baso 3 e man.
rando a desiguldade pois a bese do logaritmo 6 maior que um, tomos:
Por exento, tomando slim na ue Le Imurtndo a pt, somo
BF > 2 + logy Di? — x 210018 > logs? mx 10852
A son
da bate 3 para 0 logarimo viso obter um simplifican na rsotgo.
Obteriamos © mesmo resultado 30 tomistemos 08 logos em qualquer outra
bese, Non, 3<0)
BD 2 10a 9° og 2 union act? — —
E CIS
2
=> nee
SRE | x > 10952}
x ton 2
loas 5
0.200 olor se inoue
war dass ‚az
pet
weet ai!
8.240 Resolver a ineauacio 221 > 2901
Solucio.
ze > rr >=
a e
=
ox 2
> 6 — tong 21% > tops + x > tony 8
3e 3
4
= fe E mj n> 1096)
8.241 Resolver a inoqueäos
a eget wy PEN
Ha ye ap
1
at
18.242 Revolver as inaquordes:
a kr et DEE ttc gt at
ee OE ET CE
eh Re et BR
243 Horolvor ss inequag ns:
D PDG by Pt Sg
1244 Resolver as inaquagses:
à 85.280 ba. 2a aco
DEE EEE
noi
“>
a 2-8" 820
mira co
8.245 Resolver a inequarso 9%
18.248 ResoWver a inequanio 4X - 6 210% + 8-26" <0.
aig ota,
2.247 Resolver a inccucio 4°!
IN. INEQUAGOES LOGARITMICAS
Assim como classificamos as equagdes logaritmicas em trás tipos básicos,
vamos também classificar as inequagSes logarftmicas em trás tipos
60. 19 Tipo: — log, f1x) > log, obs)
E à inequagdo que é redutivel a uma desigualdade entre dois logaritmos
de mesma base a (0 < 8 # 1
‘Como a funcáo logaritmo & crescente se a > 1 e decrescente se D Ka <1,
devemos considerar dois casos
97-8
5.238 Resolver at inequacdes:
>. weed
Selugéo
3) Tomando os logaritmos de ambos os membros de desigusidade na baso 3 e man.
rando a desiguldade pois a bese do logaritmo 6 maior que um, tomos:
Por exento, tomando slim na ue Le Imurtndo a pt, somo
BF > 2 + logy Di? — x 210018 > logs? mx 10852
A son
da bate 3 para 0 logarimo viso obter um simplifican na rsotgo.
Obteriamos © mesmo resultado 30 tomistemos 08 logos em qualquer outra
bese, Non, 3<0)
BD 2 10a 9° og 2 union act? — —
E CIS
2
=> nee
SRE | x > 10952}
x ton 2
loas 5
0.200 olor se inoue
war dass ‚az
pet
weet ai!
8.240 Resolver a ineauacio 221 > 2901
Solucio.
ze > rr >=
a e
=
ox 2
> 6 — tong 21% > tops + x > tony 8
3e 3
4
= fe E mj n> 1096)
8.241 Resolver a inoqueäos
a eget wy PEN
Ha ye ap
1
at
18.242 Revolver as inaquordes:
a kr et DEE ttc gt at
ee OE ET CE
eh Re et BR
243 Horolvor ss inequag ns:
D PDG by Pt Sg
1244 Resolver as inaquagses:
à 85.280 ba. 2a aco
DEE EEE
noi
“>
a 2-8" 820
mira co
8.245 Resolver a inequarso 9%
18.248 ResoWver a inequanio 4X - 6 210% + 8-26" <0.
aig ota,
2.247 Resolver a inccucio 4°!
IN. INEQUAGOES LOGARITMICAS
Assim como classificamos as equagdes logaritmicas em trás tipos básicos,
vamos também classificar as inequagSes logarftmicas em trás tipos
60. 19 Tipo: — log, f1x) > log, obs)
E à inequagdo que é redutivel a uma desigualdade entre dois logaritmos
de mesma base a (0 < 8 # 1
‘Como a funcáo logaritmo & crescente se a > 1 e decrescente se D Ka <1,
devemos considerar dois casos
97-8
19 caso
Quando a base é maior que 1, a relacdo de desigualdade existente entre
os logaritmandos & de mesmo sentido que o dos logaritmos. Ndo nos devemos
esquecer que, pare existirem os logaritmos em M, os logaritmandos deveráo
ser positivos.
Esquematicamente, tenos:
Se a>, entáo
168, 100 > log, 90x) —— thx) > al) > 0
2 caso
Quando a bese é positiva e menor que 1, a relaçäo de desigualdade existente
entre os logaritmandos & de sentido contrário a dos logaritmos, Também, náo
os podemos esquecer que os Iogaritmandos deverdo ser positivos pare que os
logaritmos sejam reais.
Esquematicamente, tomos:
Se 0<a<1, entáo
logy fix) > log, ple) —= 0 < hel < ghd
Agrupando os dois casos num sé esquema temos:
fix} > ghd > 0 se a > 4
ou
nn |
D < 40 < gd 5 0 <a <1
19)
a inequagdo log, (2x - 1) < log, 8.
Solucáo
Observe que a base é maior que um, logo a desigualdade entre os logaritman-
dos tem mesmo sentido que a dos logaritmos.
4 €
log, (2x = 1) <t0g,6 OL IE here
S-cxE RIE <x
1 2,
2 2°
29} Resolver a inequacdo log, (x - 4x) > log, 5.
4 5
Solusio
Observe que agora a base é menor que um, logo a desigualdede entre os
logaritmandos tem sentido contrério à dos logaritmos,
log a? = Ax) > Hog, OL = Oe Be
(mr ex < 0 où x> 4 N
ete cs ee Sco cece m
o 4 x
Ce
à £
un TT
—o- J
wow o ann
Seixe RI-1<x<0 où 4 <x <3}
291 Resolver a inequagäo log, I? - 2x - 6) > 1095 2.
Solugáo
dog, (x? - 2x - 6} 3 log, 2 == 2072 =>
PO —x%-2 où x 34
seinenixa-2 où x> 4)
90-8
Quando a base é maior que 1, a relacdo de desigualdade existente entre
os logaritmandos & de mesmo sentido que o dos logaritmos. Ndo nos devemos
esquecer que, pare existirem os logaritmos em M, os logaritmandos deveráo
ser positivos.
Esquematicamente, tenos:
Se a>, entáo
168, 100 > log, 90x) —— thx) > al) > 0
2 caso
Quando a bese é positiva e menor que 1, a relaçäo de desigualdade existente
entre os logaritmandos & de sentido contrário a dos logaritmos, Também, náo
os podemos esquecer que os Iogaritmandos deverdo ser positivos pare que os
logaritmos sejam reais.
Esquematicamente, tomos:
Se 0<a<1, entáo
logy fix) > log, ple) —= 0 < hel < ghd
Agrupando os dois casos num sé esquema temos:
fix} > ghd > 0 se a > 4
ou
nn |
D < 40 < gd 5 0 <a <1
19)
a inequagdo log, (2x - 1) < log, 8.
Solucáo
Observe que a base é maior que um, logo a desigualdade entre os logaritman-
dos tem mesmo sentido que a dos logaritmos.
4 €
log, (2x = 1) <t0g,6 OL IE here
S-cxE RIE <x
1 2,
2 2°
29} Resolver a inequacdo log, (x - 4x) > log, 5.
4 5
Solusio
Observe que agora a base é menor que um, logo a desigualdede entre os
logaritmandos tem sentido contrério à dos logaritmos,
log a? = Ax) > Hog, OL = Oe Be
(mr ex < 0 où x> 4 N
ete cs ee Sco cece m
o 4 x
Ce
à £
un TT
—o- J
wow o ann
Seixe RI-1<x<0 où 4 <x <3}
291 Resolver a inequagäo log, I? - 2x - 6) > 1095 2.
Solugáo
dog, (x? - 2x - 6} 3 log, 2 == 2072 =>
PO —x%-2 où x 34
seinenixa-2 où x> 4)
90-8
71, 2 Tipo:
fog, fx) = K
É a inequacio logarítmica que & redutivel a uma desigualdade entre
um logaritino e um número real.
Para resolvermos uma inequagäo deste tipo, basta notarmos que o número
real k pode ser assim expresso
k = ko log a = log, al
Portanto, so equivalentes as inequagdes
tog, 10 > k —— log, fix) > log, al
109, fix) < k == log, 1) < log, ak
Pelo estudo já feito no tipo anterior, temas, esquematicamente:
— jas sw 9.>1
a — oca
“
a>1
o<s<t
72. Exemplos
19) Resolver a inequaco log, (3x + 2) < 2,
Sotucáo
NEE ESS 0 2< 222 Ze
Seine Rl arc)
29) Resolver a inequaçäo tog, (2x? >
Sohan
log (24? 30 > 4 at Er = Gn —
[ar - 3x3 0 —x<0 nd
Wan - 3x- 250 RÁ <x< 2 (1
100-8
2
o 2
nt
+ 2
a nec
ES
o Foz .
uo
4 où 3 <x<2
Saxe RI- | <x<o 0 + <x<2)
3%) Resolver a inequacio log, (2x7 - 7x + 51 & -2.
Solupáo
A La
logy (2x2 = Tx + 5) € 22 en
— KS 29 DP
—xs- } où x>4
KERIXS= Lou x24
So as inequegúes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudange de
incógnita.
7.
Exemplo
Resolver a inuquacio log} x - 3+ logy x + 2 > 0,
Solupio
Fezendo 100,
Pa r2>0—y<1 00 y>2 ma y = logyx ento
= y, temos:
lx <1 2 0<x<3! où togjx>2 >> 9-9
Seine RIO<x<3 où x>9}
101-8
fog, fx) = K
É a inequacio logarítmica que & redutivel a uma desigualdade entre
um logaritino e um número real.
Para resolvermos uma inequagäo deste tipo, basta notarmos que o número
real k pode ser assim expresso
k = ko log a = log, al
Portanto, so equivalentes as inequagdes
tog, 10 > k —— log, fix) > log, al
109, fix) < k == log, 1) < log, ak
Pelo estudo já feito no tipo anterior, temas, esquematicamente:
— jas sw 9.>1
a — oca
“
a>1
o<s<t
72. Exemplos
19) Resolver a inequaco log, (3x + 2) < 2,
Sotucáo
NEE ESS 0 2< 222 Ze
Seine Rl arc)
29) Resolver a inequaçäo tog, (2x? >
Sohan
log (24? 30 > 4 at Er = Gn —
[ar - 3x3 0 —x<0 nd
Wan - 3x- 250 RÁ <x< 2 (1
100-8
2
o 2
nt
+ 2
a nec
ES
o Foz .
uo
4 où 3 <x<2
Saxe RI- | <x<o 0 + <x<2)
3%) Resolver a inequacio log, (2x7 - 7x + 51 & -2.
Solupáo
A La
logy (2x2 = Tx + 5) € 22 en
— KS 29 DP
—xs- } où x>4
KERIXS= Lou x24
So as inequegúes que resolvemos fazendo inicialmente uma mudange de
incógnita.
7.
Exemplo
Resolver a inuquacio log} x - 3+ logy x + 2 > 0,
Solupio
Fezendo 100,
Pa r2>0—y<1 00 y>2 ma y = logyx ento
= y, temos:
lx <1 2 0<x<3! où togjx>2 >> 9-9
Seine RIO<x<3 où x>9}
101-8
EXERCICIOS
8248 Resolver es inoquacies
3) log (5x - 21 Clone
top, (3x = 1) 3 tog, (2x + 3)
€ log, (2 = 11 > log x + 99
DL TO a 2) < log EN
226 Rent nag
nt
£2250 oor o noun
a 2 = 8 <oy be + 13
12 nos as irc:
mo (ix 83
PA
ade
al log Le + 3x + 3) > 0
1.252 Resolver as inequecóss:
2 <tog, (x + 1) <4
27 Son tn <1
8.258 Resolver as inaquapdes:
Db) to (6x = 3) <tomy 3
€ toga (2x2 - 53) € 109, 3
1 tony LÉ + 11 <t09,
5
bi logy tt = x 2) >2~ 100, 5
ots
o Ve +2
$) tog, (te = 9) 32
ES)
a
top, aot E
Wagan him
td = 4x + 1) 30
bb 2 <og, (2 = Zu <3
ES]
ariel >1 pr Hogg be = 32 at llaga <1
AE
8.254 Resoner as inoquacos
"098-280
3x
e ml <4
tr Sion + 4 < 0
102-8
DCE
Bl toga + 2 togyx + 4 D 0
di 1 <ioste <3
B.255 Resolver os inaqungdes:
Mona 6241 >0 blo
108-220
2) flag, ot = lo = 205109 4 148 <0
256 Resolver 9 nequagío 1 = V1 = Blog, m? € 3+ log x
logs xt
1.257 Resolver Inuocio: long 8 110840 € Ge
+ ‘+
8.268 Resolver a inequagio: | IX 1 jure 0 a C1
1 + 10m x
1258 Resolvos a inequapio. log, la = 2) + 109 ix = 21 € 1
Soluio
“Ames de aplicarmos 08 proprindades oparaórlas dos logaritmos devemos estabelecer
+ condicio para a existenco dos legariunos, Io &
zz)
x>3 0
270 —x>2
esolvendo a inaauagdn, tamos:
Vo eg IE >
AZ nal are m
IA solugSo de inequacio proposta slo 65 valores de x que saistsesm simultanaamente
(m 6 Mi, porno 5
w
1 cl
un . .—
x
anu
Sein Rlacx <a)
8.260 Resolver as Inequag es:
2) top) Ex + 4) log (2 = 1151
DI tog, 60 + long in +1 log, 12x + 6)
6) tog, (9x 4 21 = logy 1 - 20) > 2
e) log (2x - 1) = lug tx + 2) < 1093
6) Long x? + = 6) - logs ER 1} > tony 4
1) log, le = 1) + tog, x 2) 22
103-8
8248 Resolver es inoquacies
3) log (5x - 21 Clone
top, (3x = 1) 3 tog, (2x + 3)
€ log, (2 = 11 > log x + 99
DL TO a 2) < log EN
226 Rent nag
nt
£2250 oor o noun
a 2 = 8 <oy be + 13
12 nos as irc:
mo (ix 83
PA
ade
al log Le + 3x + 3) > 0
1.252 Resolver as inequecóss:
2 <tog, (x + 1) <4
27 Son tn <1
8.258 Resolver as inaquapdes:
Db) to (6x = 3) <tomy 3
€ toga (2x2 - 53) € 109, 3
1 tony LÉ + 11 <t09,
5
bi logy tt = x 2) >2~ 100, 5
ots
o Ve +2
$) tog, (te = 9) 32
ES)
a
top, aot E
Wagan him
td = 4x + 1) 30
bb 2 <og, (2 = Zu <3
ES]
ariel >1 pr Hogg be = 32 at llaga <1
AE
8.254 Resoner as inoquacos
"098-280
3x
e ml <4
tr Sion + 4 < 0
102-8
DCE
Bl toga + 2 togyx + 4 D 0
di 1 <ioste <3
B.255 Resolver os inaqungdes:
Mona 6241 >0 blo
108-220
2) flag, ot = lo = 205109 4 148 <0
256 Resolver 9 nequagío 1 = V1 = Blog, m? € 3+ log x
logs xt
1.257 Resolver Inuocio: long 8 110840 € Ge
+ ‘+
8.268 Resolver a inequagio: | IX 1 jure 0 a C1
1 + 10m x
1258 Resolvos a inequapio. log, la = 2) + 109 ix = 21 € 1
Soluio
“Ames de aplicarmos 08 proprindades oparaórlas dos logaritmos devemos estabelecer
+ condicio para a existenco dos legariunos, Io &
zz)
x>3 0
270 —x>2
esolvendo a inaauagdn, tamos:
Vo eg IE >
AZ nal are m
IA solugSo de inequacio proposta slo 65 valores de x que saistsesm simultanaamente
(m 6 Mi, porno 5
w
1 cl
un . .—
x
anu
Sein Rlacx <a)
8.260 Resolver as Inequag es:
2) top) Ex + 4) log (2 = 1151
DI tog, 60 + long in +1 log, 12x + 6)
6) tog, (9x 4 21 = logy 1 - 20) > 2
e) log (2x - 1) = lug tx + 2) < 1093
6) Long x? + = 6) - logs ER 1} > tony 4
1) log, le = 1) + tog, x 2) 22
103-8
8261 Resolver a inequacós.
3 log, VO LT + Lapp Va LT D indus
DI logy (8x) = 109 Wx = = toa VE 1 € log, 3
2.262 Fesoler à ineavario: log, (2x? 4 x à 11 = logy Ox = 11S
8.263 Revol a inequegso.lodsllon, 109,20] > 0,
todo — lg, gy > 1 cc de
A 3
TES EE
sE Rl1<x<V3
8.264 Resolver as Insqumönn
2) 109; (09,0 <0 1 log, tog, x 20
ten log, x) D @ tonliong (04970) > 0
©) ton logs Hog, xi] <0 1) foagllogy tog, x0] > à
4 + 4
8285 Resolver
moe ml 0120 pr ei,
286 Resor neos: tag, loa oy SO pora 0 <a < 1.
8.267 Rasoir ss incas:
al 109, (1 ll? - 34 + 21]} > 0
br tea lious 0 - 81] > 0
dios =
1
105; 009,
18268 Determine à dominio eos tunen
à tha) = og 2 the) Vian, Y
9 10 = ten 5 040) fan To
an fio FBF aan fi x
ET oo
104-8
0 trator ant «fue,
8.270 Resolver at inenuacées:
bt tong
Sa
sr < (9,64)? HORE
so al L
8271 Resolver a inequegio x 08 >t
8272 Determine os valores de a paro que 9 eqvoedo
La 4109; a 0 ants
Solute
A equicto admit salres mais so © discriminante da quai nio for nivo
“20.
zen ur
1
ê a
Resposta: 0 <a <V2
8273 Determinar os valores de a para 08 que as raíces da oquacio sia reis
aa - toga 0 bb Set = Gx + Joga = 0
Delon + 42 0 CENTRE TE)
9.274 Determinar a pora que a equicto 3x? Bx + lon (2e? - Ga 4 101 - O vamo
2 de sinais contrérios.
273 Resolve a means
a lalo (O o x - 4120
8.276 Resoiver u inequugto 99% à log x <1
277 Resolve à inequecio logy (24? - Sx + 21 > 1
sen
Sn oe es
ons
aero bon n>2
: jose:
Como a base x pode ser maior ou menor que ur, devamos examinar dois caros:
3 log, VO LT + Lapp Va LT D indus
DI logy (8x) = 109 Wx = = toa VE 1 € log, 3
2.262 Fesoler à ineavario: log, (2x? 4 x à 11 = logy Ox = 11S
8.263 Revol a inequegso.lodsllon, 109,20] > 0,
todo — lg, gy > 1 cc de
A 3
TES EE
sE Rl1<x<V3
8.264 Resolver as Insqumönn
2) 109; (09,0 <0 1 log, tog, x 20
ten log, x) D @ tonliong (04970) > 0
©) ton logs Hog, xi] <0 1) foagllogy tog, x0] > à
4 + 4
8285 Resolver
moe ml 0120 pr ei,
286 Resor neos: tag, loa oy SO pora 0 <a < 1.
8.267 Rasoir ss incas:
al 109, (1 ll? - 34 + 21]} > 0
br tea lious 0 - 81] > 0
dios =
1
105; 009,
18268 Determine à dominio eos tunen
à tha) = og 2 the) Vian, Y
9 10 = ten 5 040) fan To
an fio FBF aan fi x
ET oo
104-8
0 trator ant «fue,
8.270 Resolver at inenuacées:
bt tong
Sa
sr < (9,64)? HORE
so al L
8271 Resolver a inequegio x 08 >t
8272 Determine os valores de a paro que 9 eqvoedo
La 4109; a 0 ants
Solute
A equicto admit salres mais so © discriminante da quai nio for nivo
“20.
zen ur
1
ê a
Resposta: 0 <a <V2
8273 Determinar os valores de a para 08 que as raíces da oquacio sia reis
aa - toga 0 bb Set = Gx + Joga = 0
Delon + 42 0 CENTRE TE)
9.274 Determinar a pora que a equicto 3x? Bx + lon (2e? - Ga 4 101 - O vamo
2 de sinais contrérios.
273 Resolve a means
a lalo (O o x - 4120
8.276 Resoiver u inequugto 99% à log x <1
277 Resolve à inequecio logy (24? - Sx + 21 > 1
sen
Sn oe es
ons
aero bon n>2
: jose:
Como a base x pode ser maior ou menor que ur, devamos examinar dois caros:
18) So xD UM, temo eyo dn ane
log, (2x7 = 5x +2) > 1 US Sx 42> x UR D - 6x + 2 > 0 al longa #2) <1 DER <1
VE LIVE oer at SEB <a
<< ENE nie um 2 toga be - Be + 41 € 1 1 10a 5 Ee ©
À ego rat. coo Udo par 1 195,
; a ton < $ ou 223 >
z 2 x-5 2
ur _* nes M lo ques ar 7°
HET
More
1279 Para nun valores de 4 eB se tom à desiualdade:
tou > long (EP
18.280 Resolver a insausgdo low, Ix = 1) + log, (x + 41 > 0,
sot >
8.281 Resolver à inoquacto.
2) So O<x<1 AV) tomos: HOT D at pe a>ı
fogs 232 = 5x + 2 D 1 ne aed Bu + 2 € ee 1.282 Resolver a inequegäo log, x + logyx > 1
VE cet
8.288 Resolver 9 inequagdo 109, 2X 19, 277! = 2) > 2.
A solueño neste caso 6 dado por
2
NS peg
Vs es
s,-iecrl 2
A solucio da inoquasdo proposta &:
NP E ER)
106-8 wa
log, (2x7 = 5x +2) > 1 US Sx 42> x UR D - 6x + 2 > 0 al longa #2) <1 DER <1
VE LIVE oer at SEB <a
<< ENE nie um 2 toga be - Be + 41 € 1 1 10a 5 Ee ©
À ego rat. coo Udo par 1 195,
; a ton < $ ou 223 >
z 2 x-5 2
ur _* nes M lo ques ar 7°
HET
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1279 Para nun valores de 4 eB se tom à desiualdade:
tou > long (EP
18.280 Resolver a insausgdo low, Ix = 1) + log, (x + 41 > 0,
sot >
8.281 Resolver à inoquacto.
2) So O<x<1 AV) tomos: HOT D at pe a>ı
fogs 232 = 5x + 2 D 1 ne aed Bu + 2 € ee 1.282 Resolver a inequegäo log, x + logyx > 1
VE cet
8.288 Resolver 9 inequagdo 109, 2X 19, 277! = 2) > 2.
A solueño neste caso 6 dado por
2
NS peg
Vs es
s,-iecrl 2
A solucio da inoquasdo proposta &:
NP E ER)
106-8 wa
CAPÍTULO VII
LOGARÍTMOS
DECIMAIS
1. INTRODUGAO
Apés o estudo da teoria dos logaritmos, veremos agora algumas aplicagöes
08 cálculos numéricos.
Os logaritmos, quando da sua invençéo, foram saudados alegremente por
Kepler (Johann Kepler (1571-1630) astrónomo alemSo) pois aumentavam enorme:
mente a capacidade de computacio dos astrónomos,
Notemos que, com as propriedades operatórias dos logaritmos, podemos
transformar uma multiplicacio em uma soma, uma divisäo em uma subtracio e
uma potenciagdo em uma multiplicagdo, isto é, com o emprego da teoria de
logaritmos podemos transformar uma operagäo em outra mais simples de ser
realizada, v
Dentre os diversos sistemas de loga weet
ritmos estudaremos com particular inte
resse o sistema de logaritmos de base 10.
Lembremos as principals proprie
dades da funcio logarítmica de base 10: qu u;
1) fog = 0
2) log 10 = 1
Bx > 1 logx > 0
D<x<1=l0gx<0
109-8
LOGARÍTMOS
DECIMAIS
1. INTRODUGAO
Apés o estudo da teoria dos logaritmos, veremos agora algumas aplicagöes
08 cálculos numéricos.
Os logaritmos, quando da sua invençéo, foram saudados alegremente por
Kepler (Johann Kepler (1571-1630) astrónomo alemSo) pois aumentavam enorme:
mente a capacidade de computacio dos astrónomos,
Notemos que, com as propriedades operatórias dos logaritmos, podemos
transformar uma multiplicacio em uma soma, uma divisäo em uma subtracio e
uma potenciagdo em uma multiplicagdo, isto é, com o emprego da teoria de
logaritmos podemos transformar uma operagäo em outra mais simples de ser
realizada, v
Dentre os diversos sistemas de loga weet
ritmos estudaremos com particular inte
resse o sistema de logaritmos de base 10.
Lembremos as principals proprie
dades da funcio logarítmica de base 10: qu u;
1) fog = 0
2) log 10 = 1
Bx > 1 logx > 0
D<x<1=l0gx<0
109-8
11. CARACTERÍSTICA E MANTISSA
75. Qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, estará
necessariomente comprendido entre duas poténcias de 10 com expoantes inteiros
consecutivos.
Exemplos
19 x= 004 — 107 < 0,04 < 107
2) x= 0,361 — 107 € 0,351 < 10°
mM x= 3,72 = 10°< 3,72 € 10!
4 45,7 = 10 < 45,7 < 10
52) x = 673 => 107 € 573 € 10°
Assim, dado x > 0, existe € EZ tal que:
108 € x < 10°! ms jog 10% < log x < log 10"! — € < log x <e + 1
Podemos afirmar que
logx=c+m onde cEZ e 0<m<1
isto 4 0 logaritmo decimal de x & a soma de um número inteiro € com um
número decimal m no negativo e menor que 1.
O número inteiro © é por definigäo a característica do logaritmo de x
e o número decimal m (0% m <1} é por definigdo a mantissa do logaritmo
decimal de x.
II, REGRAS DA CARACTERÍSTICA
A característica do logaritmo decimal de um número x real positivo será
calculada por uma das duas regras seguintes.
410-8
78, Regal (x > 1)
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao
número de algarismos de sua parte inteira, menos 1
Justificacóo
Seja x > 1 e x tem {n + 1} algarismos na sua parte inteira, entäo temos
10 € x € 10" => fog 10° < fog x < log 10" = nS logx <n + 1
isto 6, a característica de logx ém
Exemplos
logaritmo característica
fog 2.3 e-0
log 31,421 ent
109.204 e=2
log 6542,3 e-3
7. Regal (0 € x <1)
A característica do logaritmo decimal de um número 0 € x <1 ¿o
oposto da quantidade de zeros que precedom o primeira algarismo significativo.
Justificacdo
Sea 0<x<1 e x tem n algarismos zeros precedendo o primeiro
algarismo no nulo, temos entäo:
107 <x < 10" 109107 € fog x € log 107 en log in À 1
isto é, à característica do logx é -n.
Exemples
logaritmo característica
190,2 1
108 0,035 c--2
log 0,00405 e-3
log 0,00053 c-4
111-8
75. Qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, estará
necessariomente comprendido entre duas poténcias de 10 com expoantes inteiros
consecutivos.
Exemplos
19 x= 004 — 107 < 0,04 < 107
2) x= 0,361 — 107 € 0,351 < 10°
mM x= 3,72 = 10°< 3,72 € 10!
4 45,7 = 10 < 45,7 < 10
52) x = 673 => 107 € 573 € 10°
Assim, dado x > 0, existe € EZ tal que:
108 € x < 10°! ms jog 10% < log x < log 10"! — € < log x <e + 1
Podemos afirmar que
logx=c+m onde cEZ e 0<m<1
isto 4 0 logaritmo decimal de x & a soma de um número inteiro € com um
número decimal m no negativo e menor que 1.
O número inteiro © é por definigäo a característica do logaritmo de x
e o número decimal m (0% m <1} é por definigdo a mantissa do logaritmo
decimal de x.
II, REGRAS DA CARACTERÍSTICA
A característica do logaritmo decimal de um número x real positivo será
calculada por uma das duas regras seguintes.
410-8
78, Regal (x > 1)
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao
número de algarismos de sua parte inteira, menos 1
Justificacóo
Seja x > 1 e x tem {n + 1} algarismos na sua parte inteira, entäo temos
10 € x € 10" => fog 10° < fog x < log 10" = nS logx <n + 1
isto 6, a característica de logx ém
Exemplos
logaritmo característica
fog 2.3 e-0
log 31,421 ent
109.204 e=2
log 6542,3 e-3
7. Regal (0 € x <1)
A característica do logaritmo decimal de um número 0 € x <1 ¿o
oposto da quantidade de zeros que precedom o primeira algarismo significativo.
Justificacdo
Sea 0<x<1 e x tem n algarismos zeros precedendo o primeiro
algarismo no nulo, temos entäo:
107 <x < 10" 109107 € fog x € log 107 en log in À 1
isto é, à característica do logx é -n.
Exemples
logaritmo característica
190,2 1
108 0,035 c--2
log 0,00405 e-3
log 0,00053 c-4
111-8
IV. MANTISSA
A mantissa é obtida nas tébuas (tabelas) de logaritmos.
Em geral lg é um número iracional e por esse m ébus
ge logarit tabelas que for ritmos
os números i almenie de 1 a 10
Nas páginas 113 e 114 temos uma tabela de mantissas dos logeritmos dos
números inteiros de 100 a 299.
Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar
a seguinte propriedade
178. Propriedade da mantissa
A mantissa do logaritmo decimal de x näo se altera se multiplicarmos x
por uma poténcia de 10 com expoente inteiro,
Demonstragäo
Para demonstrarmos essa propriedade mostremos que se p € Z entdo a
diferença
(og(x + 10°) - log) EZ.
De fato:
log 10 = pez.
109010? + x) - log x = lat 1°
Uma conseqúéncia importante é:
"Os logaritmos de dois números cujas representagses decimais diferem
“penas pela posigo da vírgula tém mantissas quais.”
‘Assim os logaritmos decimais dos múmeros 2, 200, 2000, 0,2; 0,002
‘tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas as característicos sdo respectivamente
0,2, 3, -1, 3.
128
A]
“le: =1:]#+ Ess [> Te Fe
10 | 0000 | ones | ows | 0128 | or70 [0212 | 0283 | 0294 | 0398 | 378
39 | 0818 | ousa | cage | o8s1 | 0869 | 0607 | 0885 | 0882 | 0719 | 0755
12 oraz | 0028 | 6064 | ee | 0904 | 0963 | 1004 | 1033 | 1072 | 1108
13 | 1190 | 1123 | 3206 | 1239 | von | tans | 100810907 | 1509 | 1490
14 | 1001 | 1002 | 1320 [0683 | 1500 | tera | tone | 1072 | 1703 | 1732
15 | 1761 | 1390 | 1018 1047 | 1875 | 1903 | 1935 | 1959 | 1987 | zou
18 [2001 | 2068 | 2005 | 2020 | 2108 | 2198 | 2201 | 2227 | 2253 | 2270
17 | 2308 | 2300 | 2366 | 2200 | 2408 | 2420 2485 | 2000 | 2608 | 2529
18 | 2553 | 2577 ; 2601 | 2625 | 2648 | 2672 | 2095 | 2718 | 2702 | 2765
18 | 2900 | Zero | 2uso | 866 | ave | 2000 | 2022 | 2045 | 2067 | 2300
20 | 2050 ' 3002 | 2054 | 2075 | 096 | 2118 | 2130 | 2160 | 3191 | 3200
2 | axe 2200 | sans | 3282 | aaoe | 3020 | 206 | 2008 | muss | 2008
22 | 2424 ‚20a | 3468 | sans | 9502 | 3522 | 3641 | 3500 | 2519 | 2598
33 | 3017 | 206 | 2065 | sera | sen | 3711 | 3725 [9707 | 2766 | 3794
24 | 002 | 2020 | 2000 | 3006 | sans | 2002 | 2008 | 3927 | 9045 | 3062
25.| sora | 007 | ana | 4031 | 4088 | 4066 | 4082 | 4099 | | 0139
2 6150 | ates | area | 4200 | ane | 4252 | 4209 | 4206 | 4281 | 4700
2 | aaa | 000 | caus | 4302 | eave | e200 | 2009 | aaz5 | asco | cass
28 | aara | seer | 6502 | 4510 | 4520 | asas | ass | 4570 | 4504. 2600
2 | 628 | 600 | sone | 4060 | aona | 4008 | arıa | 4726 | araz | 4797
30 | arr | ares | 0900 | agro | 020 | amas | 4857 : 4071 | asus | ao
3 [018 | ze | sone | 4000 | 2000 | ases | 4391 | sont | 5024 | 5008
2 [Sos | Ss | Sora | sos2 | s1os | sio | siaz | oras | 5199 | 6172
33 | Stes | sts | s2it | 8228 | 6207 | 2200 | 5208 | s270 | 8208 | 5002
3 | sare | cazo | 5300 | 6359 | sous | soe | Soon | 5403 | 5418 | 5428
35 | saa | maso | sans | 5470 ‚soo 5602 | ssıe | 2527 | 5500 | sscı
5 | sena | fore | Soar | Sooo | Sort EE | 5626 | 5670
37 | 5082 | sae | 2708 | ent? | 5720 | arco | 5782 | 5160 | 5770 | 5766
38 | 5798 | 5808 | 5821 | 5832 | 5843 | secs | sass | 5877 | sans | 5600
3 | Se1t 2022 | suso sona | Soss | 5000 | 6977 | 5988 | 5999 | 5010
40 [6021 0031 | 0042 | 6052 | goes | sors | 6088 | sono | 0107 : 6117
3 | 128 | Grae | eraa | creo | 6190 | oreo | ror | 8201 ¡6212 6722
2 | S202 | ozas | ages [osea ara | 6204 0294 | 5308 | sate | 6325
43 | 8335 | 6345 | 6355 | 6365 | 6375 | 6385 6395 | 6406 | 6416 © 6425
| bass | cana seen | ace | cara | esas sans | 0803 | esta, 0122
45 | 6532 | e542 | 0551 | 0561 | és: | e580 , e500 | 6509 | cove | core
38 | boon | Gear | seas | cose | oces | 0073 | ones | esos | 6702 | 672
47 [6721 | emo | 8729 | eras | se | ever | 6776 | oras | 6794 | oma
48 | 8912 | Guat | suso | save | ans | easy | 0300 | 675 | sam | 6809
48 | 6002 | aout | 6820 | 6920 | 6929 | 6905 | eos | ones | 6972 | cost
so | sooo | esos | 2007 | 2016 | 2024 | 7032 | 7042 | 7080 | 1059 | 7087
31. 508 | Jose | yous | mon | aio | 718 | 26 | 7038 | 7149 | 7182
62 | 7060 | 2068 | 7177 | res | 7093 | 7202 | 7210 | 7210 | 1220 | 7235
33 | 7003 | 7201 | 2259 | 7207 | 1278.) 1204 | 7282 | 7900 | 7308 | 7356
da Loge | 7502 | 7240 | 7340 | 2356 | 7864 | 7572 | 7980 | 7388 | 7306
wLola{2feal«felef7 [es fs
nes
A mantissa é obtida nas tébuas (tabelas) de logaritmos.
Em geral lg é um número iracional e por esse m ébus
ge logarit tabelas que for ritmos
os números i almenie de 1 a 10
Nas páginas 113 e 114 temos uma tabela de mantissas dos logeritmos dos
números inteiros de 100 a 299.
Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar
a seguinte propriedade
178. Propriedade da mantissa
A mantissa do logaritmo decimal de x näo se altera se multiplicarmos x
por uma poténcia de 10 com expoente inteiro,
Demonstragäo
Para demonstrarmos essa propriedade mostremos que se p € Z entdo a
diferença
(og(x + 10°) - log) EZ.
De fato:
log 10 = pez.
109010? + x) - log x = lat 1°
Uma conseqúéncia importante é:
"Os logaritmos de dois números cujas representagses decimais diferem
“penas pela posigo da vírgula tém mantissas quais.”
‘Assim os logaritmos decimais dos múmeros 2, 200, 2000, 0,2; 0,002
‘tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas as característicos sdo respectivamente
0,2, 3, -1, 3.
128
A]
“le: =1:]#+ Ess [> Te Fe
10 | 0000 | ones | ows | 0128 | or70 [0212 | 0283 | 0294 | 0398 | 378
39 | 0818 | ousa | cage | o8s1 | 0869 | 0607 | 0885 | 0882 | 0719 | 0755
12 oraz | 0028 | 6064 | ee | 0904 | 0963 | 1004 | 1033 | 1072 | 1108
13 | 1190 | 1123 | 3206 | 1239 | von | tans | 100810907 | 1509 | 1490
14 | 1001 | 1002 | 1320 [0683 | 1500 | tera | tone | 1072 | 1703 | 1732
15 | 1761 | 1390 | 1018 1047 | 1875 | 1903 | 1935 | 1959 | 1987 | zou
18 [2001 | 2068 | 2005 | 2020 | 2108 | 2198 | 2201 | 2227 | 2253 | 2270
17 | 2308 | 2300 | 2366 | 2200 | 2408 | 2420 2485 | 2000 | 2608 | 2529
18 | 2553 | 2577 ; 2601 | 2625 | 2648 | 2672 | 2095 | 2718 | 2702 | 2765
18 | 2900 | Zero | 2uso | 866 | ave | 2000 | 2022 | 2045 | 2067 | 2300
20 | 2050 ' 3002 | 2054 | 2075 | 096 | 2118 | 2130 | 2160 | 3191 | 3200
2 | axe 2200 | sans | 3282 | aaoe | 3020 | 206 | 2008 | muss | 2008
22 | 2424 ‚20a | 3468 | sans | 9502 | 3522 | 3641 | 3500 | 2519 | 2598
33 | 3017 | 206 | 2065 | sera | sen | 3711 | 3725 [9707 | 2766 | 3794
24 | 002 | 2020 | 2000 | 3006 | sans | 2002 | 2008 | 3927 | 9045 | 3062
25.| sora | 007 | ana | 4031 | 4088 | 4066 | 4082 | 4099 | | 0139
2 6150 | ates | area | 4200 | ane | 4252 | 4209 | 4206 | 4281 | 4700
2 | aaa | 000 | caus | 4302 | eave | e200 | 2009 | aaz5 | asco | cass
28 | aara | seer | 6502 | 4510 | 4520 | asas | ass | 4570 | 4504. 2600
2 | 628 | 600 | sone | 4060 | aona | 4008 | arıa | 4726 | araz | 4797
30 | arr | ares | 0900 | agro | 020 | amas | 4857 : 4071 | asus | ao
3 [018 | ze | sone | 4000 | 2000 | ases | 4391 | sont | 5024 | 5008
2 [Sos | Ss | Sora | sos2 | s1os | sio | siaz | oras | 5199 | 6172
33 | Stes | sts | s2it | 8228 | 6207 | 2200 | 5208 | s270 | 8208 | 5002
3 | sare | cazo | 5300 | 6359 | sous | soe | Soon | 5403 | 5418 | 5428
35 | saa | maso | sans | 5470 ‚soo 5602 | ssıe | 2527 | 5500 | sscı
5 | sena | fore | Soar | Sooo | Sort EE | 5626 | 5670
37 | 5082 | sae | 2708 | ent? | 5720 | arco | 5782 | 5160 | 5770 | 5766
38 | 5798 | 5808 | 5821 | 5832 | 5843 | secs | sass | 5877 | sans | 5600
3 | Se1t 2022 | suso sona | Soss | 5000 | 6977 | 5988 | 5999 | 5010
40 [6021 0031 | 0042 | 6052 | goes | sors | 6088 | sono | 0107 : 6117
3 | 128 | Grae | eraa | creo | 6190 | oreo | ror | 8201 ¡6212 6722
2 | S202 | ozas | ages [osea ara | 6204 0294 | 5308 | sate | 6325
43 | 8335 | 6345 | 6355 | 6365 | 6375 | 6385 6395 | 6406 | 6416 © 6425
| bass | cana seen | ace | cara | esas sans | 0803 | esta, 0122
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38 | boon | Gear | seas | cose | oces | 0073 | ones | esos | 6702 | 672
47 [6721 | emo | 8729 | eras | se | ever | 6776 | oras | 6794 | oma
48 | 8912 | Guat | suso | save | ans | easy | 0300 | 675 | sam | 6809
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so | sooo | esos | 2007 | 2016 | 2024 | 7032 | 7042 | 7080 | 1059 | 7087
31. 508 | Jose | yous | mon | aio | 718 | 26 | 7038 | 7149 | 7182
62 | 7060 | 2068 | 7177 | res | 7093 | 7202 | 7210 | 7210 | 1220 | 7235
33 | 7003 | 7201 | 2259 | 7207 | 1278.) 1204 | 7282 | 7900 | 7308 | 7356
da Loge | 7502 | 7240 | 7340 | 2356 | 7864 | 7572 | 7980 | 7388 | 7306
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9908
9952
114-8
V. EXEMPLOS DE APLICAÇOES DA TABUA DE LOGARITMOS
19) Calcular log 23,4
A característica 6 1 e a mantissa 6 0,3692 que é a mesma do número
234. Temos, entéo:
og 23,4 - 1,3692,
29) Calcular log 0,042
A coracterística é -2 e a mantissa & 0,6232 que é a mesma de 420.
Temos, entäo:
109 0,042 = -2 + 0,6232 = -1,3768.
Entretanto, 8 usual escrevermos -2 + 0,6232 sob a forma 2,6232; onde
figura explícitamente a mantissa do logaritmo e a característica -2 & substituida
pela motacio 2.
Dizemos que 2,6232 é a forma mista ou preparada do log 0,042 e que
1.3768 é a forma negativa de log 0.062.
39) Calcular log 314,2 y lag
Para calcularmos o log 314,2; consi
‘deremos parte da representacdo cartesiana
da funcio f(x) = log x.
x y = logx
x= 314 | yı = log 314 = 2,4969
x = 3143 | y = log 314,3 = (2)
x= 315 | va log315 = 2,4983
PT
tog 14
ra 314s ES
A varisçäo de funcio logarítmica näo & linear, mas podemos aceitar como
‘ume boa aproximacäo de log 314,3 a ordenada y do ponto D sobre a reta AB.
Para determinarmos o valor de y,consideremos os triángulos AEB e AFD.
Como os triángulos AFD e AEB so semelhantes, temos:
115-8
4
2188288 28828 882838 ER828 32133 FONTS BRISA YSIS SRsss| =
704 | 7212
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9598
9586
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9773
ans
9063
9908
9952
114-8
V. EXEMPLOS DE APLICAÇOES DA TABUA DE LOGARITMOS
19) Calcular log 23,4
A característica 6 1 e a mantissa 6 0,3692 que é a mesma do número
234. Temos, entéo:
og 23,4 - 1,3692,
29) Calcular log 0,042
A coracterística é -2 e a mantissa & 0,6232 que é a mesma de 420.
Temos, entäo:
109 0,042 = -2 + 0,6232 = -1,3768.
Entretanto, 8 usual escrevermos -2 + 0,6232 sob a forma 2,6232; onde
figura explícitamente a mantissa do logaritmo e a característica -2 & substituida
pela motacio 2.
Dizemos que 2,6232 é a forma mista ou preparada do log 0,042 e que
1.3768 é a forma negativa de log 0.062.
39) Calcular log 314,2 y lag
Para calcularmos o log 314,2; consi
‘deremos parte da representacdo cartesiana
da funcio f(x) = log x.
x y = logx
x= 314 | yı = log 314 = 2,4969
x = 3143 | y = log 314,3 = (2)
x= 315 | va log315 = 2,4983
PT
tog 14
ra 314s ES
A varisçäo de funcio logarítmica näo & linear, mas podemos aceitar como
‘ume boa aproximacäo de log 314,3 a ordenada y do ponto D sobre a reta AB.
Para determinarmos o valor de y,consideremos os triángulos AEB e AFD.
Como os triángulos AFD e AEB so semelhantes, temos:
115-8
OF a BE „2.
BE” AE” Tog 315- log 314” 1 8
+ d = 0,3: tlog 315 - log 314) = 2
> d = 0.3: (24883 - 2,4969) > o 7
> 4 = 0.0004 =
Portanto, 5
a
log 314,3 = 109314 + à =
1
ou sje,
log 314,3 = 2,4969 + 0,0004 = 2,4973,
O processo pelo qual calculamos o log 314,3 é chamado interpolacáo linear.
49) Calcular antilog 1,7952
Fazendo x = entilog 1,7952 tomos:
log x = 1,7952.
Com a mantissa 0,7952 encontramos na tábua O número 624, mas como
a característica do log x 6 1, entäo temos:
624.
Fazendo x = antilog-1,3716; temos:
log x = -1,3716.
Devemos transformar o logaritmo na forma negativa para a forma mista
ou preparada, pois na tábua a mantissa & sempre positiva,
Essa transformago & obtida adicionando-se 1 à sua parte decimal e sub-
raindo-se 1 da parte inteira, o que evidentemente näo altera o número negativo,
Assim, temos
13716 = -1 - 03716
= 141 - 0,3716 = -2 + 0,6284 = 2,6284
log x = -1,3716 = 2,6284.
Com a mantissa 0,6284 encontramos o número 425, mas como a caracterís
tice do log x é -2, temos:
x = 0,0425.
16-8
69) Calculer amtilop 3,2495
x = antilog 3,2495 = log x = 3,2495,
A mantissa 0,2495 näo aparece na lábua, porém, está compreendida entre
as mantissas 0,2480 e 0,2504.
Considerando novamente a funçäo fix} = logx, temos:
log 1 770
log xy = 3,2498
1770-3,2480
log 1780 © 3.2504
1770 e
Lembrando, a variaçéo da funcáo logarítmica nfo é linear, mas podemos
aceitar como uma boa aproximagäo de antilog 3,2495 a abscissa x do ponto D
sobre a rota AB.
Para determinarmos o valor de x, consideremos os triángulos AED e AFB,
Como os triángulos AED e AFB sío semelhantss, temos:
A
D le 1780 -log 1770
A 109% - log 1770
E F
oe,
or
> ax HIT yg 1g. 00015 „un
10 * log 1 780 - og 1 770 ‘ona "4 58
Portanto,
x= 1770+d=1710+63 + x = 17763.
17-8
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+ d = 0,3: tlog 315 - log 314) = 2
> d = 0.3: (24883 - 2,4969) > o 7
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Portanto, 5
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1
ou sje,
log 314,3 = 2,4969 + 0,0004 = 2,4973,
O processo pelo qual calculamos o log 314,3 é chamado interpolacáo linear.
49) Calcular antilog 1,7952
Fazendo x = entilog 1,7952 tomos:
log x = 1,7952.
Com a mantissa 0,7952 encontramos na tábua O número 624, mas como
a característica do log x 6 1, entäo temos:
624.
Fazendo x = antilog-1,3716; temos:
log x = -1,3716.
Devemos transformar o logaritmo na forma negativa para a forma mista
ou preparada, pois na tábua a mantissa & sempre positiva,
Essa transformago & obtida adicionando-se 1 à sua parte decimal e sub-
raindo-se 1 da parte inteira, o que evidentemente näo altera o número negativo,
Assim, temos
13716 = -1 - 03716
= 141 - 0,3716 = -2 + 0,6284 = 2,6284
log x = -1,3716 = 2,6284.
Com a mantissa 0,6284 encontramos o número 425, mas como a caracterís
tice do log x é -2, temos:
x = 0,0425.
16-8
69) Calculer amtilop 3,2495
x = antilog 3,2495 = log x = 3,2495,
A mantissa 0,2495 näo aparece na lábua, porém, está compreendida entre
as mantissas 0,2480 e 0,2504.
Considerando novamente a funçäo fix} = logx, temos:
log 1 770
log xy = 3,2498
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Lembrando, a variaçéo da funcáo logarítmica nfo é linear, mas podemos
aceitar como uma boa aproximagäo de antilog 3,2495 a abscissa x do ponto D
sobre a rota AB.
Para determinarmos o valor de x, consideremos os triángulos AED e AFB,
Como os triángulos AED e AFB sío semelhantss, temos:
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A 109% - log 1770
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Portanto,
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17-8
exencicios
18.284 Calcular
al 1093210
al lo90,74
8286 Calcular
al sation 38768
© antics 7.5145
8.286 Catcula:
2) antilog 2.0899
1 nt 0,9473
8287 Calcular
al 1093278,
41 109 0,8358
8.288 Catala
al ontilog 1,3552
1 antiog 1,7383
6.289 Achar o msiar valor de n pare o qual 21, 02, 83
cando a igualdode
br 109254 ©) 109572
d) log 0.00357
© antitog 0.9975
DI antitog 1,8095
3 Mami 21271
el antilog 3.6693
by antilog-32147
ang 1,8817
©) 9004576
©) lage
I antilog 0.435
a antlog 1,8336
an +0 números reais. weil
log 12.945 - a
logar + 32
loa = a3
CEN
8.290 Calcular 109,9
Solo
boos „ 94M,
37 og? 7 02070
8.201 Calcular:
au? Bis
8.292 RevoWar ss aquacdes (aprox
à #10 =
1.588
ds dt 98) lomé
images em contésimo
ren ur. de
- 50
18.283 Resolver os equagdes Inproximecdos em contésimosl
ES
a 19% 7-108 + 10-0
118-8
ya
arre
9.294 Calcular com aproximagdo de mildsimas o valor de Ÿ/2.
Solugio
Soja
x= V7 won - 109 VF =lopx = Lig? > loge - EX 0,3010 =
log - 00602
Por intrpolag3o leer obtemos: x
148,
8.295 Calcular com aproximanso de milsimos o valor de
a Y er Yo CEA
18296 O volume de uma estra 6 dado por Y
© vaio de esters de volume 20 om
Pr
FR? onde R € 0 ro da ester, Caleuar
8297 Calcular o vator de A = VISANT: 11,73% com aproximacto de contésimos.
A 0298 0 valor de um capital Co empregado a uma taxa à de juro, cplaizados pao:
vera 0 20 tien do periodo 6 dado, as + puriodos por Cie) = Co (1 + Ht Oster
(Mine quel 60 tempo ces para que um Capital empregodo à taxa da 2% 20
ines de jos, que + apralzados menslmarte, cobre de sao
Solutio
Sendo Cit! = 2: Co e i = 002 tomos: 207 = Colt 4 0020 2 = 11,021
Tomando logaritmos decimals, remos:
E fon 2 wre = top? mes OBZ oy, 0010
09 1.0218 = ion? 191,02) - 1092 ee ee
Dre 35 meses.
Resposta: 35 meses
48.208 Deenioor aw! $ tampa nec pars que um cpl empregdo a tua e 5%
to dh com Juro cars mentalmente, lue de ao.
18.300 Determinar qual É © tempo necembrio pore que um capital emprogado a taxa de
10,5% 30 trimestre, com puros capitalizados ao fim de cada trimestre, dobre de
8.301 Quai 6 o montante de Cr$ 10.000,00 empragado a taxa de 3% 20 més, capitaizados
mortalmente, a0 tim de 18 meses?
8.302 Quai 6 0 montante de Gr$: 3 000,00 empregado a uma taxa de 4% so trimestre, cap
ados trimestralmente, so fim de 12 anos?
18.303 Uma corta cultura de bactris cresce segundo lei Ni) = 2000 - 10%, unde Ni
€ námero de bactéris após * horas. Quotes bucrériss haverá 9208 3 horas?
6304 A desintegra de certo material radiative 6 cado por: 010 - Op» 10°
(0120) - 400 gramas © dy + 500 ramas, emo calcular K
se
1928
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al 1093278,
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al ontilog 1,3552
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18296 O volume de uma estra 6 dado por Y
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8297 Calcular o vator de A = VISANT: 11,73% com aproximacto de contésimos.
A 0298 0 valor de um capital Co empregado a uma taxa à de juro, cplaizados pao:
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(Mine quel 60 tempo ces para que um Capital empregodo à taxa da 2% 20
ines de jos, que + apralzados menslmarte, cobre de sao
Solutio
Sendo Cit! = 2: Co e i = 002 tomos: 207 = Colt 4 0020 2 = 11,021
Tomando logaritmos decimals, remos:
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09 1.0218 = ion? 191,02) - 1092 ee ee
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Resposta: 35 meses
48.208 Deenioor aw! $ tampa nec pars que um cpl empregdo a tua e 5%
to dh com Juro cars mentalmente, lue de ao.
18.300 Determinar qual É © tempo necembrio pore que um capital emprogado a taxa de
10,5% 30 trimestre, com puros capitalizados ao fim de cada trimestre, dobre de
8.301 Quai 6 o montante de Cr$ 10.000,00 empragado a taxa de 3% 20 més, capitaizados
mortalmente, a0 tim de 18 meses?
8.302 Quai 6 0 montante de Gr$: 3 000,00 empregado a uma taxa de 4% so trimestre, cap
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18.303 Uma corta cultura de bactris cresce segundo lei Ni) = 2000 - 10%, unde Ni
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6304 A desintegra de certo material radiative 6 cado por: 010 - Op» 10°
(0120) - 400 gramas © dy + 500 ramas, emo calcular K
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RESPOSTAS
CAPÍTULO 1
82
es
ea
e
87
89
810
Baz
ana
as
897
gi
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2, 16 1
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1218
CAPÍTULO 1
82
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98. KERO 53 où 1 x 2}
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128-8
CAPITULO IIL
1 4
AE
2.02
and
1 1 a
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3 sw
sands. use as
ems»
emanan wach om.
mu 010 avant
116019; 015
Bibeln + logo log = longs: D Tonya à 2 gy fone:
a2
4 2 dogs 3 + 3 + logy - logs e:
le + Llomb- loges M q logra + 9 + logy - toga:
# Liga - Liogb - Loge:
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A 5 1 pod - Zioge.
logra = Staged: + toga - D load log
8419 a) 1 + toga = logy (a + 8)
CERTES TE
3
1 2 1
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D Lions + IE ee à Ph
Dean
y VE
Brat a)
+e, gy ave
PE, gy av
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pl
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CAPITULO IV ame ag tb so
6.146 a) AV cl F; Vi alr; fF; gh; VOR, > 4 eH
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as 1318
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CAPÍTULO Y
8.166 a) 5 = (109,4) 015 = long 3) eS. {oma}
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ns = Lis, 21 5
=
5.158 51 5 - (10) D S = {louys67) à S - {logge 00)
3 El
8.169 si 5 = {om} Bst} S = (0028)
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81605 - (100996)
8.1611 S - 1, 109,3) b) S = (0, log¿5) 9 S- {logy}
5-2 a S = Lion 3. k ns {2 0952)
81025 = {109,17
3
81635 - {10923}
Y
01665 - ona, Es, (1, ingest)
8106215 - (a 95-9 05-197) 05- las) 05. (05-92
8467 a) 8 = {2} ms-{i as-(2-1} ws-(4 3)
sth) ns=l02) 9s-(2+V3,2-V3)
Basso S={8} le ee a
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mn s-i) WS-{82) 0s-B as - (o)
paris - (a, 2}
0.172 Ss. (64, E) ws- (12. Ya) as (1000, 1
as. (4, Rea oS = {2, 16) 15 - {1, 100, ot
81730) $ = (100, 1000} bis = {4,512} as. (37
als = (10%, 10) ers ~ (16)
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st ns (1d os to-D
132-8
Bars - (1)
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a Vest mn
emos) ms (1 Vert) ash
Bastais-{si ms se ae
os- (4) ose (8, Ni estao
8.102 5 = (10, 10%)
ses s - (1,2)
aus. (2) vrs - 42.3) as. {48}
8185 5 - (25)
8:06 5 - {109,3}
age a) S - (5) pse{2} a s=(sevu}
os} ns os:
as - (10)
pagos - (1)
brotar (1,10) vs {io} a s-{s12, 4}
8.192 + [loss 10, 10, 22}
8193 01 5 - {10. Y10} vrs = (5, Ys) as-(3.2)
51045 » (1,192)
sas (220) ms-iah) as {20,15 201)
as - {63} 8 (25,16), 116,28)
81975 - (12, 1)
8199 a 5 - (oo, 10001) vs 8, 1201)
a ne
82005 -{a,a, 13, due. buch.)
a2020) 8 - (3.9 » s = (100, os-@ 4)
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ost esata d)
82035 « (2, 4)
1 1
8204.) s- (10, 1} ws. (10, 5) as}
8206 «) 5 = {10° ws-{ os + {1000}
2.2065. (2)
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133-8
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133-8
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Brasil) 99-03) os-(61 0s- (hy
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8205 - 12.0)
8.220 ai S - (14, 21, (2, 4) 018 + (13,2, (27, 31}
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: 1
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sanas 3} ms (La) ds-@ sa J}
220 s - (8)
02355 - (1,2,2
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Bas = (1. Va}
228 - (20039)
0 re
82205 - {1.2}
name. {ere à Vw, 18 Va)
8.231 a) S = [Vz ss {4,161} as (27, 25}
8.234 5 - {ti 19, lloagb, logo!)
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109,3
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ss (40,100,154. dl à sde. rail
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1348
CAPITULO VI
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197-8
Bars
8278 à
“(re ntocr< Via}
s MI2 Ca ET te a x #0)
sem 2cxcsexete x #0)
Seminar ex #0}
s fenlh<r<et as-enlac-to.n)
Se{xERI1 <x <3} a S-{RERI-S<x<-2 où x >4}
fee ni exc ow ¿de?
s WERl-I<ı<2 poses
rene ob o
s-wenticucd <E mx
samu>ien>i o D<s<te0<v<n
pags = (ER) <x<2}
Base (xe RIO Lx <a où x 78
Fy
sms = {x R10 <x < 332)
8203 - {x ER blog à <x < 933)
CAPÍTULO VIL
8284 0) 36085 b114048 0) 0.7574 a 0) 35627
8285 ») 7590 br 636 6 B27 010327 er 000467 N 00134
B286 a) 000813 bi 0.00085 e 0,367 © 0,0223
82870) 35152 bl 13/61 cl 26605 TE ot 0,44.
82880) 2265 b) 2,727 05678 a) 0.02925
CCE
829191 0.6909) 2.5219) 06825 LE ol 0777
8292 a) 286 bb 273 9 as di -0,82 a9
8.203 a} 5 - {1,58; 232) bt s - do; 1.28) 0 S - 0,90; 0.60} a) s = (0.60; 1.10)
825.) 1201 bh 1778 © 10.554 9) 40,520
1.296 1,68 cm
8.297 2,60
2.299 38 mesos
007 times
8.301 0r$ 1200000
"302 C$ 32 730.00
10.309 2 422 hacias
8.04 x - 0004845
1388
TESTES
POTENCIAS E RAIZES
rea
ea
wa
es
186
107
(61-651 O voor do expresso y = S=108=4=10% 6:
ai 208 DER) a 210
al narhuma das respostas anteriores.
où 20-10
ned azn
HA
ere
(PUc-681 Depois de simpliicar encontramos:
az. De Dei nada disso.
(FCESP-74) Para todo n, (2% + ZH - I) 6 igual a
aye bbe ao
PIE EURE ETE
(ePUsP-08) Se 2% + 2% 0, omdo BE EX à juni a
Arde ee ob nanhums des anteriores.
(CESCEM-70) Chamemse coseno hipembólico da x e seno hiperbólico de x, à
represeetamse respectvamamo por cosh x 0 sonh x 205 números
net
Emdo: (oma? = (genx)? vate:
a) cos 2x sant 2x a a
©) menhumo des anteriores
(PUC-88) Remover os expoentes negativos e simplificar
ow
Deny bi x
al menus dos respostes anteriores
avt ay
IEESCUSP.60) A expresso
6 equivalente 6:
oth
More "aria m
139-8
8278 à
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CAPÍTULO VIL
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825.) 1201 bh 1778 © 10.554 9) 40,520
1.296 1,68 cm
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2.299 38 mesos
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8.301 0r$ 1200000
"302 C$ 32 730.00
10.309 2 422 hacias
8.04 x - 0004845
1388
TESTES
POTENCIAS E RAIZES
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(61-651 O voor do expresso y = S=108=4=10% 6:
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al narhuma das respostas anteriores.
où 20-10
ned azn
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(PUc-681 Depois de simpliicar encontramos:
az. De Dei nada disso.
(FCESP-74) Para todo n, (2% + ZH - I) 6 igual a
aye bbe ao
PIE EURE ETE
(ePUsP-08) Se 2% + 2% 0, omdo BE EX à juni a
Arde ee ob nanhums des anteriores.
(CESCEM-70) Chamemse coseno hipembólico da x e seno hiperbólico de x, à
represeetamse respectvamamo por cosh x 0 sonh x 205 números
net
Emdo: (oma? = (genx)? vate:
a) cos 2x sant 2x a a
©) menhumo des anteriores
(PUC-88) Remover os expoentes negativos e simplificar
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al menus dos respostes anteriores
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IEESCUSP.60) A expresso
6 equivalente 6:
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TB. (MACK-77) Se Mh - nd 1 2x - 3, ont
wa DE an
TB.9 ICESCEM-74) Comparando: os númaros 107%? e 2-10", podese atirmar que
ar 0 19 excede © 2 em 8.107 bi 0 19 exeede 9 2 em 2 + 10
20 19 de 2 om 8:10 di 0 19 € igual à 5 vezes o #
61 6 19 oxcado o 2° om 5,
10.10 MACK-74) O número 14h) omo lgarzmo das unidades:
#2 CE as 6 a8
Ton Eu an Signo
i
2/3 Eau
Tu
78.12 (MACK-77) Dos vloes abc. 0 ue end mais proximo de | JDE. &
3
00015 BIO 0 sis ©) no se
1013 (CESCEA-7S) Simplficandoss » expreso
250 - Ya 312 - VE
ES
cbtmse:
al 3V2 15-242 965-V2 wave asıya
78,14 Quel des afırmagdes à falsa para x € IR?
d VB et expt Ve etext
et VOLE tlx = 1) qualquer que scie x
9 VA bae 11 qualauer que sia x
9.10 (MACK-74) Dacis a8 airmagdor
11028 4 maior que 900
UN 0.1 6 manor que 0.3 Lu
limos algerimos de 8!" aio 2 0 5
N où doit
1V) 2/5 & maior que 3 V2
al 16 uma carts bl 36 dues ceros € ab ards cortos
(8) quatro ceras 81 todas erradan
18,16 (FE1-66) A somo Ya + Ya 6 igual a
ave ONE a Va a Ys
©) carro das anteriores.
40-8
18.17 (CESCEM-76) Consdore as proposes:
L Wow
à: «E va
al comente 1 4 corta BI somente I € correta el somente I & correr
al somente I 4 fale el somente | 6 fala
res iruvesr-m V2 VS
ve
2i2veeVa y Suave MERO
3 3 D
ave a Vs
€
18.19 (EAESP-GV-77) À expresso [WEED -V8 y
4 equivalente à: 2
IS
a
5 12
78.20 (MACK-69) Subrraindose —5— de obtém-se
a-3V7 Vasa
ab Bt -4V7 VE oh -22-
e) nenhuma das respostas acima $ corra,
onde a 66 sho números potes
VT ay
a
18.21 (PUC-69) Os números V5, YS 0 VZ 30 colocados:
al om order decroscente
BI em order eresconte
©) em ordem ndo deciercente
di © último número velo à semisoma dos dois primeiros
el node diss.
78.22 (PUG-70) A exressio V3 - 2/2 6 equivalome a:
ENE a V3- Vaz
PRE avs+vz
1020 (681-67) À expt VAL 6 gua x
EA
PERE bi 1-2 ove a Ya
1 annua dar anerores
1418
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TB.9 ICESCEM-74) Comparando: os númaros 107%? e 2-10", podese atirmar que
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20 19 de 2 om 8:10 di 0 19 € igual à 5 vezes o #
61 6 19 oxcado o 2° om 5,
10.10 MACK-74) O número 14h) omo lgarzmo das unidades:
#2 CE as 6 a8
Ton Eu an Signo
i
2/3 Eau
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78.12 (MACK-77) Dos vloes abc. 0 ue end mais proximo de | JDE. &
3
00015 BIO 0 sis ©) no se
1013 (CESCEA-7S) Simplficandoss » expreso
250 - Ya 312 - VE
ES
cbtmse:
al 3V2 15-242 965-V2 wave asıya
78,14 Quel des afırmagdes à falsa para x € IR?
d VB et expt Ve etext
et VOLE tlx = 1) qualquer que scie x
9 VA bae 11 qualauer que sia x
9.10 (MACK-74) Dacis a8 airmagdor
11028 4 maior que 900
UN 0.1 6 manor que 0.3 Lu
limos algerimos de 8!" aio 2 0 5
N où doit
1V) 2/5 & maior que 3 V2
al 16 uma carts bl 36 dues ceros € ab ards cortos
(8) quatro ceras 81 todas erradan
18,16 (FE1-66) A somo Ya + Ya 6 igual a
ave ONE a Va a Ys
©) carro das anteriores.
40-8
18.17 (CESCEM-76) Consdore as proposes:
L Wow
à: «E va
al comente 1 4 corta BI somente I € correta el somente I & correr
al somente I 4 fale el somente | 6 fala
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3 3 D
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18.19 (EAESP-GV-77) À expresso [WEED -V8 y
4 equivalente à: 2
IS
a
5 12
78.20 (MACK-69) Subrraindose —5— de obtém-se
a-3V7 Vasa
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e) nenhuma das respostas acima $ corra,
onde a 66 sho números potes
VT ay
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18.21 (PUC-69) Os números V5, YS 0 VZ 30 colocados:
al om order decroscente
BI em order eresconte
©) em ordem ndo deciercente
di © último número velo à semisoma dos dois primeiros
el node diss.
78.22 (PUG-70) A exressio V3 - 2/2 6 equivalome a:
ENE a V3- Vaz
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1020 (681-67) À expt VAL 6 gua x
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1418
18.24 (EAESP-GV-77) A expreso - 2 onde à e D 580 números postios
8 equivalente a. Varo Ya
D VE + Ve re + Van
0 Vers VA ve + Vase CR CES ETES CET
a Ve Varo Vara
TB.25 (MACK-76) Se n $ número naturel maior que 1, a expreso
Y
¡AA
4 1 y
> al ana
NZ E
E iguat as
O A AA
Br by orto Y Z 10 a 000123123.
8} nenhuma das respostes anterirer
at.
La
18.27 ICESCEA-74) Asinale a aflrmagäo verdadaire:
a) Var +7 - à + b_auoiquer que sam o
5
=
ani Ya
o 4
ER ICE Fe ed
81-04 YA - L
D rose
ah lo + D a? a o music
al ni wi
que miam a
5 resis
4
18.28 MACK-761 0 valor da 5x? + 24% 4 4x E, quando x - 16, &
20 US E
iz RCE 6) Ay a inn su
cars by cest en
2 ear 29 8 a2:12.8.0
Eas
si?
4
TOM (GV-7 O valer da exento (ORTE e:
0002 or 00m t
1428
FUNGÄO EXPONENCIAL
8:31 (CESCEA-15) Conticree o fungdo RR tal que He) = a? Eno, HO) + HA =)
vale
Diet me aim où oi
32 (CESOEA-IA Ua) 8 «2, em
D Ur O eH HLA) à VASO
BD Meran Ja
1038 (CESCEA-761 Dacia a funcio 1x) = 1 = a, atinale a afiumagdo core
1 1
ONCE EE a htm ee anno) 0
ae yl
2
a) 0 conjunto image de 6 |= A
Io conjunto imagers de 1 6 = IR
+) o dominio def 60 «IR?
di 6 domino de 16.0 3
el este 60 grlico de I = 3%
Tot g
TES (CONSART-76) O gráfico que mals bem representa à funcño FAIR, tal que fie) -
ore
ay by ay
0.9
o.
195)
° ci = to à
ay oy
‘0. 1) Des
TT g d
103-8
8 equivalente a. Varo Ya
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a) Var +7 - à + b_auoiquer que sam o
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18.28 MACK-761 0 valor da 5x? + 24% 4 4x E, quando x - 16, &
20 US E
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FUNGÄO EXPONENCIAL
8:31 (CESCEA-15) Conticree o fungdo RR tal que He) = a? Eno, HO) + HA =)
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1 1
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+) o dominio def 60 «IR?
di 6 domino de 16.0 3
el este 60 grlico de I = 3%
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TES (CONSART-76) O gráfico que mals bem representa à funcño FAIR, tal que fie) -
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103-8
IS
18.28 (CESCEM-I1) A funcio veal 4 1
concluimos que:
a} para x <0, Hx) € desrescente bi para x > 2, Hl $ decrescente
1 para x > 29, 100 > x d para x <2, Hed <a
8 1001 6 furgo identidade
18.37 (FE|-68) Senco 9 > 0, para a lung 16) = of tems
1 ea] =
2) Hag) = fhe) « ther +
3 tod « [160]
anti
BI somente 1 e 2 530 verdadeiras
9) somente 2 © 3 310 verdaderos
al tods 580 alias
© somente 1 0 3 +50 verdadel
©) todas 520 vordadeiras
18.38 (ITA-73) A lei de decomposigge do radium no tempo 1 20, 4 dada por With = Ce“,
ET onde MU & à quontidade de radium no tempo 1; C, Kio constantes positivas le 6 a
base do logaritmo naperlara). Se a metade de quantidade primitiva MIO), desaparece
“am 1 600 anos, qual quanticado perdice em 100 anos?
al (1 = 1001) de quantidace Inicia! 0) (1 = 256) de quanticade ¡nica
©) (1 - 2:16) da quantidade inicial 4) {1 =
9) nenhuma das respostas anteriores
i) de quantidads inicial
10.38 (CESGRANRIO-761 Ums substincia raciostiva está em procoso de desimagiaglo, de
modo que no instante 1,2 quantidade nfo deximegrada €
Alt) AO) + rat
‘onde A(O) incica à quantidede de substinei no instante = 0. O tempo necessrlo
ara que à metage da quantidade inicia se desimegro &:
f :
ave
at
di determindvel somente se for conhecido o valor de AIO)
3
1
e From 21
18.00 (ITA-73) O crescimento de uma crrto cultura de bactrias obedece a fungdo Xi =
vCal, onde Kit) € 0 número de bactriat no tempo € 2 D: C, k so constants po
suas, fo & a base do logertmo neperana). Verlficandose que 0 número wicia de
"actárias KIO}, duplica am 4 hora, quamtas Le pode esperar no fim de 6 horas?
al Syazes 0 núme inicial 5) 25 vers o námero inicial
el 2/2 vezes o número inicia! al 29/2 vezes o número inicial
ai menus dos respostas anteriores
TOA) (MACK-761 O número da solupdes de 2* = x2 6:
(Sugestéo: Face os gráficos de fla) = 2 glel = 2%. Observe que 212 > 1002)
ao #1 CE as 0} maior que 3
144-8 .
TB.42 (PUC-89) A solugáo da aquagso 4%7°4% = al 4
a vs ao 8) 20-6 #1 nado dise
FRA3 (CESCEA-72) Se (0,0625)*7 = 0,25, antio, (x + 10 vale
1 i
ee 4% nm
TOA muc. Se 2-8 = À. et où les de à
tes mes ote? aies 264
TB.45 (GESGRANRIO-73) Os valores de x que satstazem à aqungäo MAR. 1
so dadot por
dde aies die6 dies
9) nannuma ds respostas anteriores
TRAG (MACK-74) Se 410%) = 266, anio
9) 25<1<08 bos << 18
25 <x S38 xmas
a 1S <x <25
18.47 (PUC-76) Os valores de x que ssisiasem a equecio 100 + 10% « VT 000% sio
Mes bh ded A er SD
TBAB (CESCEM-72) Os zus de funcio 00-289 o:
al todos comploxos
©) inexistentes Gl om número de ante
1) todos imaginárlos puros
1 impossveis de se calcular
18:49 (CONSART-73) O valor de x na equacáo
4 dado por:
ae E ¿E 2
» à ws a -$ a 2
el centro dae rspostas anteriors
TREO (GV-76) A aquacia 3% - 4 = a, com a real, 26 tord solucio real para
Meda masa ders aaa ard
B51 (GV-76) A square 6% - À - 2, onde a & um número real ndo nulo, ter sotucáo.
>o sa dao De>V3 ma<-V3
145-8
18.28 (CESCEM-I1) A funcio veal 4 1
concluimos que:
a} para x <0, Hx) € desrescente bi para x > 2, Hl $ decrescente
1 para x > 29, 100 > x d para x <2, Hed <a
8 1001 6 furgo identidade
18.37 (FE|-68) Senco 9 > 0, para a lung 16) = of tems
1 ea] =
2) Hag) = fhe) « ther +
3 tod « [160]
anti
BI somente 1 e 2 530 verdadeiras
9) somente 2 © 3 310 verdaderos
al tods 580 alias
© somente 1 0 3 +50 verdadel
©) todas 520 vordadeiras
18.38 (ITA-73) A lei de decomposigge do radium no tempo 1 20, 4 dada por With = Ce“,
ET onde MU & à quontidade de radium no tempo 1; C, Kio constantes positivas le 6 a
base do logaritmo naperlara). Se a metade de quantidade primitiva MIO), desaparece
“am 1 600 anos, qual quanticado perdice em 100 anos?
al (1 = 1001) de quantidace Inicia! 0) (1 = 256) de quanticade ¡nica
©) (1 - 2:16) da quantidade inicial 4) {1 =
9) nenhuma das respostas anteriores
i) de quantidads inicial
10.38 (CESGRANRIO-761 Ums substincia raciostiva está em procoso de desimagiaglo, de
modo que no instante 1,2 quantidade nfo deximegrada €
Alt) AO) + rat
‘onde A(O) incica à quantidede de substinei no instante = 0. O tempo necessrlo
ara que à metage da quantidade inicia se desimegro &:
f :
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di determindvel somente se for conhecido o valor de AIO)
3
1
e From 21
18.00 (ITA-73) O crescimento de uma crrto cultura de bactrias obedece a fungdo Xi =
vCal, onde Kit) € 0 número de bactriat no tempo € 2 D: C, k so constants po
suas, fo & a base do logertmo neperana). Verlficandose que 0 número wicia de
"actárias KIO}, duplica am 4 hora, quamtas Le pode esperar no fim de 6 horas?
al Syazes 0 núme inicial 5) 25 vers o námero inicial
el 2/2 vezes o número inicia! al 29/2 vezes o número inicial
ai menus dos respostas anteriores
TOA) (MACK-761 O número da solupdes de 2* = x2 6:
(Sugestéo: Face os gráficos de fla) = 2 glel = 2%. Observe que 212 > 1002)
ao #1 CE as 0} maior que 3
144-8 .
TB.42 (PUC-89) A solugáo da aquagso 4%7°4% = al 4
a vs ao 8) 20-6 #1 nado dise
FRA3 (CESCEA-72) Se (0,0625)*7 = 0,25, antio, (x + 10 vale
1 i
ee 4% nm
TOA muc. Se 2-8 = À. et où les de à
tes mes ote? aies 264
TB.45 (GESGRANRIO-73) Os valores de x que satstazem à aqungäo MAR. 1
so dadot por
dde aies die6 dies
9) nannuma ds respostas anteriores
TRAG (MACK-74) Se 410%) = 266, anio
9) 25<1<08 bos << 18
25 <x S38 xmas
a 1S <x <25
18.47 (PUC-76) Os valores de x que ssisiasem a equecio 100 + 10% « VT 000% sio
Mes bh ded A er SD
TBAB (CESCEM-72) Os zus de funcio 00-289 o:
al todos comploxos
©) inexistentes Gl om número de ante
1) todos imaginárlos puros
1 impossveis de se calcular
18:49 (CONSART-73) O valor de x na equacáo
4 dado por:
ae E ¿E 2
» à ws a -$ a 2
el centro dae rspostas anteriors
TREO (GV-76) A aquacia 3% - 4 = a, com a real, 26 tord solucio real para
Meda masa ders aaa ard
B51 (GV-76) A square 6% - À - 2, onde a & um número real ndo nulo, ter sotucáo.
>o sa dao De>V3 ma<-V3
145-8
1852 [GV-10) O canjunto tolugso de eavagso a4 + 1 à
ad DEU] er {0} ata o {2
5: EAT: sister NE ET
ress scr o une PV, pue e
resina KENT scr
22 »l ao a 92
TES ICESCEM-74) A solucdo da equacdo: OHH? - SKM + IK à DEL + DHT 10110 à
axed IA ee lee?
B56 (CONSART-73) O valor
al um número menor do que 3b)
a de x na equicio 382 + Ber = 810 6 dado por
mümero maior de que 7
© um número náo inferior a 5d um nümero Impar
a) nenhurra dat respostas anteriores
298 + 125
‘TBST (CESCEA-73) A eouogo 28 * 41}, adie como solueSes os números a
eb. Entdo
Batb-0 der
a2 vs ao ae
TOO (ITA-721 Todas at rizos reis da equagio x 43-0:
1 1
sm te mt due md
dut. 9-3
©) nanhuma des respostas anteriores
no dem raies ras
TREO (GV-7) Se 28+! - 23-% = 6, entdo x2 + 20 vale:
am mm ee ee un
BGN GE8GE A 70 O roto dt de ea as Baten) 2-04
dom wo 02 0S wl no
10-8
18.62 UTA-74) Sobre a raiz de enunche
podemos atımar
al oo 6 reat by € menor que =!
Gi está no imeruio [O, 6] al € um número primo
9) nenhurna des resposts a
1053 IFE1-69) A igusidado 7% 4 PCI = EX ae verifica
a) apenas paro voreniracionss de x bl apenas par x = 1
EA] 9 para x
fe) nennuma des anteriores
18.64 |GV-73) O produto dat solugdes da equagéo 442 - 3 + 28743 160€
22 LE a) ss 9.
10.66 NTA-70) A equecio 20 - 200% = -1 apresenta solo:
DEZ} bh >t aA<a<ı ya
©} nonhuma des respostss anteriores & válido
18.56 IMACK-791 A sotucio reat da equacdo 4° - 6% = 2 + 0% está no imervato
ai4<x€1 DERFE a 3<e<a
ads 2) 205% <30
18.57 (WACK-77) A equacso eX + 0°% = k admite solu real
le à à base do sistema de logaritmos naperiancs)
al para todo real D) para todo k>e cl somemte para 2 CK <e
I Somente sele for intoico 0) mio sei
10.58 (GV-731 A oquacto 25% - 2m* + 2m + 1 = O admite solugóo, se e somente se
ERRUFI
8.9 (CESCEA-70} O conjunto de todos oF n para os ques a eauacso
n= Max 4201 = nla Gn + 0. n > 0
posa tr solo €
Emi <a
a) HER 0<n< 4}
a (er tn<i)
o (len loa)
a MERE <n da)
107-8
ad DEU] er {0} ata o {2
5: EAT: sister NE ET
ress scr o une PV, pue e
resina KENT scr
22 »l ao a 92
TES ICESCEM-74) A solucdo da equacdo: OHH? - SKM + IK à DEL + DHT 10110 à
axed IA ee lee?
B56 (CONSART-73) O valor
al um número menor do que 3b)
a de x na equicio 382 + Ber = 810 6 dado por
mümero maior de que 7
© um número náo inferior a 5d um nümero Impar
a) nenhurra dat respostas anteriores
298 + 125
‘TBST (CESCEA-73) A eouogo 28 * 41}, adie como solueSes os números a
eb. Entdo
Batb-0 der
a2 vs ao ae
TOO (ITA-721 Todas at rizos reis da equagio x 43-0:
1 1
sm te mt due md
dut. 9-3
©) nanhuma des respostas anteriores
no dem raies ras
TREO (GV-7) Se 28+! - 23-% = 6, entdo x2 + 20 vale:
am mm ee ee un
BGN GE8GE A 70 O roto dt de ea as Baten) 2-04
dom wo 02 0S wl no
10-8
18.62 UTA-74) Sobre a raiz de enunche
podemos atımar
al oo 6 reat by € menor que =!
Gi está no imeruio [O, 6] al € um número primo
9) nenhurna des resposts a
1053 IFE1-69) A igusidado 7% 4 PCI = EX ae verifica
a) apenas paro voreniracionss de x bl apenas par x = 1
EA] 9 para x
fe) nennuma des anteriores
18.64 |GV-73) O produto dat solugdes da equagéo 442 - 3 + 28743 160€
22 LE a) ss 9.
10.66 NTA-70) A equecio 20 - 200% = -1 apresenta solo:
DEZ} bh >t aA<a<ı ya
©} nonhuma des respostss anteriores & válido
18.56 IMACK-791 A sotucio reat da equacdo 4° - 6% = 2 + 0% está no imervato
ai4<x€1 DERFE a 3<e<a
ads 2) 205% <30
18.57 (WACK-77) A equacso eX + 0°% = k admite solu real
le à à base do sistema de logaritmos naperiancs)
al para todo real D) para todo k>e cl somemte para 2 CK <e
I Somente sele for intoico 0) mio sei
10.58 (GV-731 A oquacto 25% - 2m* + 2m + 1 = O admite solugóo, se e somente se
ERRUFI
8.9 (CESCEA-70} O conjunto de todos oF n para os ques a eauacso
n= Max 4201 = nla Gn + 0. n > 0
posa tr solo €
Emi <a
a) HER 0<n< 4}
a (er tn<i)
o (len loa)
a MERE <n da)
107-8
18.20 (PUG-76) A solueso de equagto 4% - 3
a 2 1 2 3
at 4
ai o à a z
1871 IMACK-761 Se a e b sio constantes tis que, para todo x 70,
A ged:
ATEN
endo a + b 6 iguala
2 4
si - : az at »
2 Der! 4 » 4 »2
18.72 (ITA-76) Seja À uma fang rea! de varie rel, al que
ENS
pars todo número reol x. Nestas condigóes, remos
AI = 1, Ala) = Alex), para todo nümero teal x e ndo existe um nümero reat
#0, satstazendo a relacio AUX = 1
b} ALO) = 18 Abd = 0. para algum oro reat x
El AU) <0 8 Ale) + Al-x), para todo mümmera mal x
no existe um número real x, ndo nulo, sarutazendo a relacio A) = 1 e náo
existe um número real x, soitazendo A(x) + AH
+) naohume das respostas anteriores
18.73 (MACK-76) Assinle a Única afirmagdo corren
2) 0213 > 020 bi 0217 <o.218 02 >02"
DO Som a
10.74 (CESCEM-741 O valor de n para o qual (0.819 < 10.51 4
el mopativo 0) 0 at as oa
nz tg
>
go de inequecto 14, z
1875 (04-73) A sol; 4 £
PETE LISTET
MRS 8 ou x >0 ©) contame des alternativas
18.76 (CESCEA-721 O conjunto de todos oF valores reas de x para us quais
CRE
8) IR comjunto de todos os números reis
fenix) 29 a nfo se
18.79 IMACK-77) O menor número natural tl ue < 10%, &
(Dado: 1092 = 0.301)
a 12 b) 18 2) 20 on el io si
1488
TB.78 (CESCEA-I3) Asinale o aticmagso verdadera
9) 5e 0 € » € 1, entio, aVX € 4% para todo x 191 que © € x Ci
b) Se 0 <a <1, entäo, alxl 3 ox, paro todo x real
el Sa a > 1. ontdo, 89 > all, para todo x rest
a co wi
18.79 (MACK-75) O conjumo solucdo da imequecio 22°? - 0,75 + 202 <1 4:
a kERlx>or wD of ERI -P<e <i)
di Emir <0} el monnuma das anteriores
a um número positivo e diferente de 5. A solucio da intauacto
< FP à 6 conjunto 60s números resis x tais que
0 <x €? mad beet adı
bet wacı 8) 0<x<1 cy x <0 se a >t
eStart
1081 (1YA-79) A desiguatdage “Wa +e <2 à witida pare
al qualquer x positive pice <a
OSS) où ZA OLAS où 2x <3
+) nerbuma das alternatives anteriores
RIZ (CESGEA AE) © cont de todo ot números mai us ot que ST <a
a) RER 1x21 ou x St} bh Em ta <x <a}
a ER |x #0) ariete)
EEE
18.83 UTA-76) Considere © seguinte Tung real de varével seat
moe OO
nti
[EN
2) para todo número eal x oeperenn, simultaneamente, M(-2) = M(x} 0.& abe) <1
À positivo) e um b (nümero real negativo), tis que
a) para todo x > 1, econ
©) existe: um a (nümero 1
Mal < MB)
4) Mk) = O, somente quando x = 0 à Mini > 0 apenas quando x < 0.
9) nenhuma das atternatvas anteriores
1498
a 2 1 2 3
at 4
ai o à a z
1871 IMACK-761 Se a e b sio constantes tis que, para todo x 70,
A ged:
ATEN
endo a + b 6 iguala
2 4
si - : az at »
2 Der! 4 » 4 »2
18.72 (ITA-76) Seja À uma fang rea! de varie rel, al que
ENS
pars todo número reol x. Nestas condigóes, remos
AI = 1, Ala) = Alex), para todo nümero teal x e ndo existe um nümero reat
#0, satstazendo a relacio AUX = 1
b} ALO) = 18 Abd = 0. para algum oro reat x
El AU) <0 8 Ale) + Al-x), para todo mümmera mal x
no existe um número real x, ndo nulo, sarutazendo a relacio A) = 1 e náo
existe um número real x, soitazendo A(x) + AH
+) naohume das respostas anteriores
18.73 (MACK-76) Assinle a Única afirmagdo corren
2) 0213 > 020 bi 0217 <o.218 02 >02"
DO Som a
10.74 (CESCEM-741 O valor de n para o qual (0.819 < 10.51 4
el mopativo 0) 0 at as oa
nz tg
>
go de inequecto 14, z
1875 (04-73) A sol; 4 £
PETE LISTET
MRS 8 ou x >0 ©) contame des alternativas
18.76 (CESCEA-721 O conjunto de todos oF valores reas de x para us quais
CRE
8) IR comjunto de todos os números reis
fenix) 29 a nfo se
18.79 IMACK-77) O menor número natural tl ue < 10%, &
(Dado: 1092 = 0.301)
a 12 b) 18 2) 20 on el io si
1488
TB.78 (CESCEA-I3) Asinale o aticmagso verdadera
9) 5e 0 € » € 1, entio, aVX € 4% para todo x 191 que © € x Ci
b) Se 0 <a <1, entäo, alxl 3 ox, paro todo x real
el Sa a > 1. ontdo, 89 > all, para todo x rest
a co wi
18.79 (MACK-75) O conjumo solucdo da imequecio 22°? - 0,75 + 202 <1 4:
a kERlx>or wD of ERI -P<e <i)
di Emir <0} el monnuma das anteriores
a um número positivo e diferente de 5. A solucio da intauacto
< FP à 6 conjunto 60s números resis x tais que
0 <x €? mad beet adı
bet wacı 8) 0<x<1 cy x <0 se a >t
eStart
1081 (1YA-79) A desiguatdage “Wa +e <2 à witida pare
al qualquer x positive pice <a
OSS) où ZA OLAS où 2x <3
+) nerbuma das alternatives anteriores
RIZ (CESGEA AE) © cont de todo ot números mai us ot que ST <a
a) RER 1x21 ou x St} bh Em ta <x <a}
a ER |x #0) ariete)
EEE
18.83 UTA-76) Considere © seguinte Tung real de varével seat
moe OO
nti
[EN
2) para todo número eal x oeperenn, simultaneamente, M(-2) = M(x} 0.& abe) <1
À positivo) e um b (nümero real negativo), tis que
a) para todo x > 1, econ
©) existe: um a (nümero 1
Mal < MB)
4) Mk) = O, somente quando x = 0 à Mini > 0 apenas quando x < 0.
9) nenhuma das atternatvas anteriores
1498
FUNGAO LOGARITMICA
18.04 MACK-141 Se ogy sh = x emo 0 wl de x à
a. a »
” CE] 3-4 ai a
1885 PUC-IT O volor do logo ou 125 € wut a
2 a 3 2 4
od 4 ado al of
3 “3 a dy E
TE. 38 [PUC-761 Se lo 3512 = >, ende x vee:
a6 ni os DE od
7 3
1087 PU0-75) © conumo verde de eue un /Æ - 4
dvd ve avec avec’
18.98 ICESGRANRIO-74} Dado que al? = b, com a e b números reais maiores que 1,
al gb =12 DI tonya =D cl loggt2 = b 6) loggd = a e) ome
18.89 (CESCEM-73) A base do sistema de logarmos no qual o logaritmo de V'2 vale -1
PEÑA bbe ave oon? 062
©) nño oxie, pois © logarumo ndo pode ser negative
18:90 PUC-77) O número, cujo logaritmo na baw a 6 4 e na bae 468, à
a3 ae on di 6581 6) 243
TB.91 IMACK-751 O logaritmo de 144 no sistema de base 2/3 6 igual a:
vs DENT 12 a3 a4
19.92 (GV-12) Soja x o número cujotogoriumo na base 3/3 vale 0,75. Entdo x? ~
a2 ») Vz- a va-1 05
©) mennuma das alternativos
78.93 PUO-721 Se 11x) - long, ontdo 102) 6 igual &:
an vo aa as aa
TOA ICESCEM-73) Sejo Y a tuneño que a cada quadrado portero associ sau logaritmo
a base 2. Emio, se tix?) = 2, tomos:
dx-s4 ax
a tog? DI
1
a el x - + $
150-8
18.96 (CESGRANRIO-76) O pH de uma solugio 4 definido por
1
D = lors (te
me
onde HY 6 u concentracio de hidrogtnio am fone-rama por lire de solucio. O pH
e ume solugéo tal que HY 100107 4
27 wwe aio ae mo
B96 (CESGRANRIO-77) As indicacóos M e Az, na escala Richter, de dois terremotos
eso relacionadas pela Iórmula
‘onde My # Mz madera enersi liberado pels terremotos sob a forme de ondos que:
5e propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondent a A; - 8
9 outio correspondante a Ra = 6. A razio ML à
“i
a2 m at a du
1097 (FEI-66) Se ab = 1, anto long Va e
22 i ©} nanhuma das anteriores
7 ot ) E
16.98 (CESCEA-75) Para que valores de b » equacño
M8 2 3 6 log = al 0
admito uma raiz nus?
a beoe bes bib 2-V% eb#2- V2
ab=2- 18 eb=2+V8 db <0 où b>4
1 paca todo lo veel
TB.99 (GV-74) Na equucio y « 29901
a 18 bra
Y será quai e 8 quando x for igual a
a - as 0) 23
18.100 (CESCEM-57) À exprassfo 69% pode também sor asia
a ml ox duel 0
18.101 (MACK-76) A expressdo SR” para x >0, & equivalente a
a) 3x CES a sx CES CES
T8.102 (MACK-77) O vator de A tol que SOMA + 20 - 2-0, €
var Ver av a ee a no
151-8
18.04 MACK-141 Se ogy sh = x emo 0 wl de x à
a. a »
” CE] 3-4 ai a
1885 PUC-IT O volor do logo ou 125 € wut a
2 a 3 2 4
od 4 ado al of
3 “3 a dy E
TE. 38 [PUC-761 Se lo 3512 = >, ende x vee:
a6 ni os DE od
7 3
1087 PU0-75) © conumo verde de eue un /Æ - 4
dvd ve avec avec’
18.98 ICESGRANRIO-74} Dado que al? = b, com a e b números reais maiores que 1,
al gb =12 DI tonya =D cl loggt2 = b 6) loggd = a e) ome
18.89 (CESCEM-73) A base do sistema de logarmos no qual o logaritmo de V'2 vale -1
PEÑA bbe ave oon? 062
©) nño oxie, pois © logarumo ndo pode ser negative
18:90 PUC-77) O número, cujo logaritmo na baw a 6 4 e na bae 468, à
a3 ae on di 6581 6) 243
TB.91 IMACK-751 O logaritmo de 144 no sistema de base 2/3 6 igual a:
vs DENT 12 a3 a4
19.92 (GV-12) Soja x o número cujotogoriumo na base 3/3 vale 0,75. Entdo x? ~
a2 ») Vz- a va-1 05
©) mennuma das alternativos
78.93 PUO-721 Se 11x) - long, ontdo 102) 6 igual &:
an vo aa as aa
TOA ICESCEM-73) Sejo Y a tuneño que a cada quadrado portero associ sau logaritmo
a base 2. Emio, se tix?) = 2, tomos:
dx-s4 ax
a tog? DI
1
a el x - + $
150-8
18.96 (CESGRANRIO-76) O pH de uma solugio 4 definido por
1
D = lors (te
me
onde HY 6 u concentracio de hidrogtnio am fone-rama por lire de solucio. O pH
e ume solugéo tal que HY 100107 4
27 wwe aio ae mo
B96 (CESGRANRIO-77) As indicacóos M e Az, na escala Richter, de dois terremotos
eso relacionadas pela Iórmula
‘onde My # Mz madera enersi liberado pels terremotos sob a forme de ondos que:
5e propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondent a A; - 8
9 outio correspondante a Ra = 6. A razio ML à
“i
a2 m at a du
1097 (FEI-66) Se ab = 1, anto long Va e
22 i ©} nanhuma das anteriores
7 ot ) E
16.98 (CESCEA-75) Para que valores de b » equacño
M8 2 3 6 log = al 0
admito uma raiz nus?
a beoe bes bib 2-V% eb#2- V2
ab=2- 18 eb=2+V8 db <0 où b>4
1 paca todo lo veel
TB.99 (GV-74) Na equucio y « 29901
a 18 bra
Y será quai e 8 quando x for igual a
a - as 0) 23
18.100 (CESCEM-57) À exprassfo 69% pode também sor asia
a ml ox duel 0
18.101 (MACK-76) A expressdo SR” para x >0, & equivalente a
a) 3x CES a sx CES CES
T8.102 (MACK-77) O vator de A tol que SOMA + 20 - 2-0, €
var Ver av a ee a no
151-8
18.103 (MACK-751 © gráfico 90 lado repre-
sents à Fangio
}
av by =
D y=t09,x db y= loge
TA
TB.104 (CESGRANRIO-73} Nos gráficos abaixo,represantams9, no sino horizontal 0 valores
de x e, no oo vertical, seus loggritmos en uma beso a <1, O que malhor representa
9 funedo logar 4
v vá
1 0
u MM
an ot am aw
9} nanhum dos gráticos acima & representative de funcio logs x
8.108 (CESGRANRIO-74) O gráfico que mals bem reprasema e funcio 100 + lonupl xl.
etinida para todo x #0, 6
» v v i
a
:
u
78.106 IMACK-74) O gräfico cartesiano de funcio Y definida por
DES)
DEN
eapt
o
foo
| pl
a
+ rar dos anteriores
-
-
153-8
sents à Fangio
}
av by =
D y=t09,x db y= loge
TA
TB.104 (CESGRANRIO-73} Nos gráficos abaixo,represantams9, no sino horizontal 0 valores
de x e, no oo vertical, seus loggritmos en uma beso a <1, O que malhor representa
9 funedo logar 4
v vá
1 0
u MM
an ot am aw
9} nanhum dos gráticos acima & representative de funcio logs x
8.108 (CESGRANRIO-74) O gráfico que mals bem reprasema e funcio 100 + lonupl xl.
etinida para todo x #0, 6
» v v i
a
:
u
78.106 IMACK-74) O gräfico cartesiano de funcio Y definida por
DES)
DEN
eapt
o
foo
| pl
a
+ rar dos anteriores
-
-
153-8
19.107 1GV-74) Conside
as funge:
Wy = toggl4x = 7: 0 y — loge = 2) e 08 gráficos
4 vt
15)
als
E
"+
ow |
©
ak
EN
re
Y
As Unicas associacóos corretas estás na alternativa:
a) (1, Al UM, 8) bi 1, ©: tn, 8) 2, où 0, 8
ai 4, Gi: A: Ob 2,0); 1.0)
TB.108 (CESCEM-74) Qual das funpdos seguintes pode ser representado pelo gráfico baixa?
3 x
bl y» lioggal, o> 1 > 0
Byron 0 <a LT, x 30
void st cee
AS
PES
18.109 (CESGRANAIO-761 Sejam Gsl=t, 1) > 1-1, 110
(1, 1) IR detiidas por
eilt TEE
Tax Tet
A uno composta
Pott, +8
x FIG
6 igual e
Due E oF oF ear
154-8
TB.110 (CESCEM-74) Com relie sos gráficos dar fungdos y - 2icgx e y = log 2x
podemos alıımar que:
a eles 130 se interceptam
€) se intercepta em epenes dois pontos dl) coincidem
sl sio simáticos am relagdo 30 vito das abseissas
TB.111 IMACK-751 O número de pomos comuns sox gráficos das tung defiidas por
ey oglxl, x 0. e
a v2 es aa $) nanhums das ant
TB.112 (CESGRANRIO-73I Sendo y = e* para x pertencente A. sus funcio inverse 6
expres por:
al x logay para y > 0
dx tomes para y BO
1 nenums das respostos anteriores
BI x = loge para y pertoncente à IR
dix toy pue y <0
18.113 (CESCEM-74) O dominio da funcio inversa da tungio y = 1 - 2% 6 0 comumo
or números reais 2 tls quer
ESTO Me>1 dad He>2 dag
18.116 (CESGRANRIO-72) O campo de dafinigän da funçdo y = log (10 + 3x - x
8 dado por:
axc2 access Hx>s ARK BU (RDS)
el menhums dat respostas anteriores
“78.116 (PUC-76) O dominio da funcio dotinida por lon x? - Gx + 2) € dado pelo conjunto:
a (xCR 6 mé ov RD) (KER 6 BKK < si
a {xR © BES) am
an(s
10.116 (PUC-72) O dominio de faneño Its] = lonygin® + du + 18) &
aix >0 co OY x taualquer que sa a
ace el nenhumo das anteriores
à ait
18117 (GV-77) O conjunto de todos as números resis x para os quais y - Jon (2
à um nöınero rei, 6 0 conjunto dos números reais x als que
ax co bho<x<2 and?
Perera) a 0<x <2
18418 (PUC-EB) Se y — long 962 - 4x) para que y existo devemos ter x
2) igual o 4 DI menor que 4 2) maior que 4
ab igual o 2 e) nasa dio
155-8
as funge:
Wy = toggl4x = 7: 0 y — loge = 2) e 08 gráficos
4 vt
15)
als
E
"+
ow |
©
ak
EN
re
Y
As Unicas associacóos corretas estás na alternativa:
a) (1, Al UM, 8) bi 1, ©: tn, 8) 2, où 0, 8
ai 4, Gi: A: Ob 2,0); 1.0)
TB.108 (CESCEM-74) Qual das funpdos seguintes pode ser representado pelo gráfico baixa?
3 x
bl y» lioggal, o> 1 > 0
Byron 0 <a LT, x 30
void st cee
AS
PES
18.109 (CESGRANAIO-761 Sejam Gsl=t, 1) > 1-1, 110
(1, 1) IR detiidas por
eilt TEE
Tax Tet
A uno composta
Pott, +8
x FIG
6 igual e
Due E oF oF ear
154-8
TB.110 (CESCEM-74) Com relie sos gráficos dar fungdos y - 2icgx e y = log 2x
podemos alıımar que:
a eles 130 se interceptam
€) se intercepta em epenes dois pontos dl) coincidem
sl sio simáticos am relagdo 30 vito das abseissas
TB.111 IMACK-751 O número de pomos comuns sox gráficos das tung defiidas por
ey oglxl, x 0. e
a v2 es aa $) nanhums das ant
TB.112 (CESGRANRIO-73I Sendo y = e* para x pertencente A. sus funcio inverse 6
expres por:
al x logay para y > 0
dx tomes para y BO
1 nenums das respostos anteriores
BI x = loge para y pertoncente à IR
dix toy pue y <0
18.113 (CESCEM-74) O dominio da funcio inversa da tungio y = 1 - 2% 6 0 comumo
or números reais 2 tls quer
ESTO Me>1 dad He>2 dag
18.116 (CESGRANRIO-72) O campo de dafinigän da funçdo y = log (10 + 3x - x
8 dado por:
axc2 access Hx>s ARK BU (RDS)
el menhums dat respostas anteriores
“78.116 (PUC-76) O dominio da funcio dotinida por lon x? - Gx + 2) € dado pelo conjunto:
a (xCR 6 mé ov RD) (KER 6 BKK < si
a {xR © BES) am
an(s
10.116 (PUC-72) O dominio de faneño Its] = lonygin® + du + 18) &
aix >0 co OY x taualquer que sa a
ace el nenhumo das anteriores
à ait
18117 (GV-77) O conjunto de todos as números resis x para os quais y - Jon (2
à um nöınero rei, 6 0 conjunto dos números reais x als que
ax co bho<x<2 and?
Perera) a 0<x <2
18418 (PUC-EB) Se y — long 962 - 4x) para que y existo devemos ter x
2) igual o 4 DI menor que 4 2) maior que 4
ab igual o 2 e) nasa dio
155-8
18.119 (CESCEA-74) O dominio de detinigío de fungso
Me wol Var Mr
dx<Soux>E a x52 où xDs
dx Cot où 1<x GS el no wi
8.120 (CESCEA-71) O conjumo de todos oF números resis x pare os ques à expresso
Log (282 + Gx 1 16) 1 hop ik? - 6x + 8)
está definida 6:
d {KE RI2 x <4 où x <-2 où x > 8}
bi {ke REX <1 où 5 € x < 7}
d'RERI-2 Ex <2 où 4€x <8}
DER IX <1 où >) ©) oo se
TB.121 (GV-731 Para que a expreso. 11x) = log (mix? + (2m + 1x + 1] enoja det
para toda x tel, 6 suticiento que
am>-lem m amet
Im>-Lemz0o bim>o ears
dm <-4 am
18.122 (CESCEM-77) Considere as afirmacdes
L log! = 0
1. log 001 = -2
I, og ta + BI = toga + top
DVVF AVY OMY a VEE
10.123 (GV-721 Soja x « “ÉL. Entéo, log x € quai a
a) Lions = tog «loge Lioga tosh + loge ei Lin
q opa lon loge loge -logb siege ei Eloge
pes
4) Vlogs - logb-lope «) 008
9h + ope
18.12 (PUC-89) Se m = 22 onde nam él
m a
al lb «oe - Ziogd BI logb + ge + 1002 - logd
©) log + ope + 2aongc dl 1092 + logh - loge + log
©) ada disso
18.125 (CESCEA-89) Considero as proposicdos
woo Va Vert? = Foon plot +27, x > 0.
156-8
‘coda uma delas a lea V 9 for verdadeia a F cmo sea Hals. No ordem
ob - loge
2. Se 0 <o #1, ondo, b= longn mm xP
aot Vert. Vad
a) todas so falas D) somente 1 à verdadeira
©) somente 2 € verdadeira © somame 3 6 verdedeira
9) todas 530 verdadeiras
1
18.126 ÍMACK-69) Se ax = logo + Zope - toga, ento
Sue wa Be o
ÉS ©
©) menhuma des resposta acima $ eorera
18.127 (F£1-68) Pare quaisauer números cea posiivos x € y temas:
al 10996 + y) e logge + oder D logufx Y) = loa, lega
a yo
mn go +
4
el nenhuma dar anteriores
16.128 ICONSART-75) O wnlor de 3 log 3 + lo95 &
DO bh log 135 et dlg2 e) logs
118.129 (CESCEA-71) Sabendose que loga = m. © valor de expresso
an emos
18.190 (PUC-77) Se loggx — ne may = On, eno, Logg Vy 6 igual
E En æ a of
ode BE a ep 2
1,331 (GESCEA-10) Sendo cols Je «14,286 «4, eno, à 6
2 #1 os #3 © née ses
a 1
19,132 (F£1-68) A soma dot logarimos de dois números na base @ 6 2. © produto eses
números &
“3 nz a 8 di -81 el menhumo das anteriores
10.133 {EPUSP-67) Se log¿ls=b) + me la LD) = 8, emo, Tops a? - 5) igual o
3) 30 warm ams dm
o) mechuma des respostas anteriores
Me wol Var Mr
dx<Soux>E a x52 où xDs
dx Cot où 1<x GS el no wi
8.120 (CESCEA-71) O conjumo de todos oF números resis x pare os ques à expresso
Log (282 + Gx 1 16) 1 hop ik? - 6x + 8)
está definida 6:
d {KE RI2 x <4 où x <-2 où x > 8}
bi {ke REX <1 où 5 € x < 7}
d'RERI-2 Ex <2 où 4€x <8}
DER IX <1 où >) ©) oo se
TB.121 (GV-731 Para que a expreso. 11x) = log (mix? + (2m + 1x + 1] enoja det
para toda x tel, 6 suticiento que
am>-lem m amet
Im>-Lemz0o bim>o ears
dm <-4 am
18.122 (CESCEM-77) Considere as afirmacdes
L log! = 0
1. log 001 = -2
I, og ta + BI = toga + top
DVVF AVY OMY a VEE
10.123 (GV-721 Soja x « “ÉL. Entéo, log x € quai a
a) Lions = tog «loge Lioga tosh + loge ei Lin
q opa lon loge loge -logb siege ei Eloge
pes
4) Vlogs - logb-lope «) 008
9h + ope
18.12 (PUC-89) Se m = 22 onde nam él
m a
al lb «oe - Ziogd BI logb + ge + 1002 - logd
©) log + ope + 2aongc dl 1092 + logh - loge + log
©) ada disso
18.125 (CESCEA-89) Considero as proposicdos
woo Va Vert? = Foon plot +27, x > 0.
156-8
‘coda uma delas a lea V 9 for verdadeia a F cmo sea Hals. No ordem
ob - loge
2. Se 0 <o #1, ondo, b= longn mm xP
aot Vert. Vad
a) todas so falas D) somente 1 à verdadeira
©) somente 2 € verdadeira © somame 3 6 verdedeira
9) todas 530 verdadeiras
1
18.126 ÍMACK-69) Se ax = logo + Zope - toga, ento
Sue wa Be o
ÉS ©
©) menhuma des resposta acima $ eorera
18.127 (F£1-68) Pare quaisauer números cea posiivos x € y temas:
al 10996 + y) e logge + oder D logufx Y) = loa, lega
a yo
mn go +
4
el nenhuma dar anteriores
16.128 ICONSART-75) O wnlor de 3 log 3 + lo95 &
DO bh log 135 et dlg2 e) logs
118.129 (CESCEA-71) Sabendose que loga = m. © valor de expresso
an emos
18.190 (PUC-77) Se loggx — ne may = On, eno, Logg Vy 6 igual
E En æ a of
ode BE a ep 2
1,331 (GESCEA-10) Sendo cols Je «14,286 «4, eno, à 6
2 #1 os #3 © née ses
a 1
19,132 (F£1-68) A soma dot logarimos de dois números na base @ 6 2. © produto eses
números &
“3 nz a 8 di -81 el menhumo das anteriores
10.133 {EPUSP-67) Se log¿ls=b) + me la LD) = 8, emo, Tops a? - 5) igual o
3) 30 warm ams dm
o) mechuma des respostas anteriores
19.194 (EPUSP-G6) Se log = b = lagon onto m 6 igual a
u bee en a 6-10
+) renhuma dos respostas antoriores
18.195 (GV-70) Se 109192 « 0,901; entáo o valor da expresso 109,920 + ly) 40 + 1,9800 &
“0 br 120806 ci 4806 41 5206
el nanhuma das respontss anteriores
18.196 ICESCEM-72) Sabardo que 1092 = 0,9070300; avanto vale 109220 + 10310486767
9) 8,0208 b) 7160206 130206 di 2020103
el faltar dados pore o cálculo
18.137 (CESCEM-76) Dados 1092 = 0,30103 » 103 = 0.47712; 0 lo972 &
a) 000624 5} 085733 — cl 086175 4) 1.85733 el 196176
6.138 (MACK-70) Se log Ë - 09091 + 1039 = 0.9542: 0 único logaritmo quo ndo pode
sar encontrado sem o uso des telas, &
al bog 17 D) log à © 109 15 di tog 600 ed lop 0.4
TB.139 (MACK=76) Sabese que 1092 - 9 © 9m = b. O valor de
BA
a
e just a
ah Se - ao bI & = 3-6 atm
dao E
79.140 ICESCEA-7S) Sendo que 1992 «03010, deter o vato a exprno log 7
2
al 20908 br 3.9164 ol 39832} 2.4960 ol 25786
TO.141 PUC-74) Sendo logo? = 0.3: onto 0 menor nümero natural n que veiico a
Flag 2" > 104 à
or vo an an a
16.142 (CESCEA-73) Sejom as olmagden
1. Se logo me logb eo, aio, logía +) men
2, San à + D números revs mositivos e diferentes de 1
Erin: 109,6 + loge = 1
3. loa = tows - loa + loge
log ¿E = logs = ow + og
emo
8) todas 150 vordadoicos B) somente 1 6 vordadeica el somente 2 € verdadero
¿somente 3-4 vordadows e) todos so talas
158-8
18.143 (CESCEM-75) A solo da equstdo X= b, om a>teb>té
toga
x = toga = log bn oe a les
on. ab ©) x log - an
ED
18.144 ICESGRANRIO-73) A raro cote os logaritmos de 16 e 4 numa base auniquer €
a 028 bios oa “2
© um número que depende da base escaiida
70.145 (PUC-76) Se loggm = ky endo loggm mh
a) 2k we CE at ake
"78.145 (MACK-78) O valor de
1392 1094310044 10045 +1009 16947 + SE + Fom98
“y? et 92 DE}
8.187 (CESCEM-76) O logacirmo de um número na base 16 4 2. Entdo, o logaritmo deste
nümero na base 4 6
pu. q
4 a 3 a6
ae vi 03 as
N 4 3
8.148 MACK-741 See A - logy15 +0223 ine. Enter
# A<0 POSALI aı<a<2 dard
© manhuma das afirmagdes anteriores $ verdadera
TB.148 (CESCEA-70) A expression (1 + logs Woah E equivalente a:
a) loggn BI m Hogan ogg rn
118.150 (CESCEA-69) Sendo logge - 9 l5ap¢, a relacio entre a e é
gts bien aed ab arb
BASI (MACK-T61 Se X - loge 169 © Y = don, 19, enti:
2 3
-2y x-dr ax.
ax-2 w x. à
©) nanhuma des anteriores
18.182 UTA-70) Dados logo? - 2 © Mod = D, eto log, 20 € iuai à
N oa an
ma "7 » 2
el remuma ds respostas acimo & válida
u bee en a 6-10
+) renhuma dos respostas antoriores
18.195 (GV-70) Se 109192 « 0,901; entáo o valor da expresso 109,920 + ly) 40 + 1,9800 &
“0 br 120806 ci 4806 41 5206
el nanhuma das respontss anteriores
18.196 ICESCEM-72) Sabardo que 1092 = 0,9070300; avanto vale 109220 + 10310486767
9) 8,0208 b) 7160206 130206 di 2020103
el faltar dados pore o cálculo
18.137 (CESCEM-76) Dados 1092 = 0,30103 » 103 = 0.47712; 0 lo972 &
a) 000624 5} 085733 — cl 086175 4) 1.85733 el 196176
6.138 (MACK-70) Se log Ë - 09091 + 1039 = 0.9542: 0 único logaritmo quo ndo pode
sar encontrado sem o uso des telas, &
al bog 17 D) log à © 109 15 di tog 600 ed lop 0.4
TB.139 (MACK=76) Sabese que 1092 - 9 © 9m = b. O valor de
BA
a
e just a
ah Se - ao bI & = 3-6 atm
dao E
79.140 ICESCEA-7S) Sendo que 1992 «03010, deter o vato a exprno log 7
2
al 20908 br 3.9164 ol 39832} 2.4960 ol 25786
TO.141 PUC-74) Sendo logo? = 0.3: onto 0 menor nümero natural n que veiico a
Flag 2" > 104 à
or vo an an a
16.142 (CESCEA-73) Sejom as olmagden
1. Se logo me logb eo, aio, logía +) men
2, San à + D números revs mositivos e diferentes de 1
Erin: 109,6 + loge = 1
3. loa = tows - loa + loge
log ¿E = logs = ow + og
emo
8) todas 150 vordadoicos B) somente 1 6 vordadeica el somente 2 € verdadero
¿somente 3-4 vordadows e) todos so talas
158-8
18.143 (CESCEM-75) A solo da equstdo X= b, om a>teb>té
toga
x = toga = log bn oe a les
on. ab ©) x log - an
ED
18.144 ICESGRANRIO-73) A raro cote os logaritmos de 16 e 4 numa base auniquer €
a 028 bios oa “2
© um número que depende da base escaiida
70.145 (PUC-76) Se loggm = ky endo loggm mh
a) 2k we CE at ake
"78.145 (MACK-78) O valor de
1392 1094310044 10045 +1009 16947 + SE + Fom98
“y? et 92 DE}
8.187 (CESCEM-76) O logacirmo de um número na base 16 4 2. Entdo, o logaritmo deste
nümero na base 4 6
pu. q
4 a 3 a6
ae vi 03 as
N 4 3
8.148 MACK-741 See A - logy15 +0223 ine. Enter
# A<0 POSALI aı<a<2 dard
© manhuma das afirmagdes anteriores $ verdadera
TB.148 (CESCEA-70) A expression (1 + logs Woah E equivalente a:
a) loggn BI m Hogan ogg rn
118.150 (CESCEA-69) Sendo logge - 9 l5ap¢, a relacio entre a e é
gts bien aed ab arb
BASI (MACK-T61 Se X - loge 169 © Y = don, 19, enti:
2 3
-2y x-dr ax.
ax-2 w x. à
©) nanhuma des anteriores
18.182 UTA-70) Dados logo? - 2 © Mod = D, eto log, 20 € iuai à
N oa an
ma "7 » 2
el remuma ds respostas acimo & válida
FRASS 16V-75) Se laps = me fo? o, amd, Joy VAE ales
sn gain yg mein
ve où om Vis ape
TB.A64 (MACK-75) Sebendo-0 que 1ogua 7
tat
2 lonyeS = b, 0 valor de 19,428 6
Sumo. 78 LE
213
si
2»
Zo wat
To
TB.106 (GV-76) Se fon, - 1.2920; emo e sotucio de 8% = 1,5 4, aproximadamente:
0778 08 9026 04
© 0635
18.156 (MACK-74) À soma TE à 4
+ lap: onde N 6 um número imeiro
Too: * my To
ran », mx D]
1
a
—— to: longa
Taw PR 7 ER
dete
Togy, 201
oi E
Cros
+) Impossivel de eserever em forma condensada
78.167 PUC-73) Se X= 982 . 1098 ego.
2
D x 5192 bi x 51093 Ax 2 50003
db x = 5 colog 2 0h x= 5log4 °
18.58 IITA-68) Sejam a 0 b dois números resis, à > 0 © b>0, o #1, b #1. Que
cleo var teur a « b part que 4 mago 3% © xing + 20m - 0
toro dues rales rea guió? "
Bar Dom deb a os
168 ICONSANT-74) uma sino due tony SO ae à
no “1997
dim bm 10 os a
TO.60 CESCEAI O vator de para ue (a) nn à &
3 =
1
wi ai 4 A
1 , a nas wi
160-8
18.161 ICONSART-731 A wlucho da saungdo: 1094 + 109, (Sx = 2 = 1 € dada por
4 1
a a2 ae
» 4 o
+) nénhums des remporte anteriores
‘18.162 (PUC-77) O conjunto verdade da oquagio Zlogx = log à + lon x +3} &
DRS va a) 1% 9 (6
16.183 {PUC-72) As raízes da equecio
1 1 2
oc + Ly + togte 310 ton 24 Wo
tonto Li + logie - 21 013
2 5
aves 25 a
2 u
3
23 neonume das anteriores
3 aes
TB.188 (GV-76) A oquacño Meg? + 2) = log, (2 = 21 + 2, admito dues solugdes reais
cuis soma vale
1
PENES ur ao di a4
vi VE
B.165 (MACK-75) A solugso da ecuacto 1091229) + 10912011] = tog [24%] etd no
dx? 2KxKO dOÉx<Z WPCA EDA
18.166 (CESCEA-74) A afirmacio log (x +2) # 2 = tog ln - 400) are 10)
& verdadeica 5, e somam se
ao 10 b x 30
dx u x= 10 el mo sti
dro où x - 20
18.167 (PUC-70) As solugóos da equagio log x? - 3x + 1) - log (2x - 3) = op VS so
241 VS basVse VE-1 aVe-1 d4-V5 e V5-4
©) centuma des anteriores
18.168 (PUC-72) Aumentande um nümaro x de 16 unidades, seu logaritmo ne dose 3
“aumenta de 2 unidades, Entäo, x 6
22 vi as a 4 as
18.160 (GV-75) Num sistema de loparitmos, 0 logaritmo de 101,44 supera de 5 0 logaritmo
de 3,17. Quoi 6 a base?
N da auwm nz
: seven
ae o anna weet dame CEASE
ende m ne
Ses was aes am
© nenhums das akerotivas anteriores
161-8
sn gain yg mein
ve où om Vis ape
TB.A64 (MACK-75) Sebendo-0 que 1ogua 7
tat
2 lonyeS = b, 0 valor de 19,428 6
Sumo. 78 LE
213
si
2»
Zo wat
To
TB.106 (GV-76) Se fon, - 1.2920; emo e sotucio de 8% = 1,5 4, aproximadamente:
0778 08 9026 04
© 0635
18.156 (MACK-74) À soma TE à 4
+ lap: onde N 6 um número imeiro
Too: * my To
ran », mx D]
1
a
—— to: longa
Taw PR 7 ER
dete
Togy, 201
oi E
Cros
+) Impossivel de eserever em forma condensada
78.167 PUC-73) Se X= 982 . 1098 ego.
2
D x 5192 bi x 51093 Ax 2 50003
db x = 5 colog 2 0h x= 5log4 °
18.58 IITA-68) Sejam a 0 b dois números resis, à > 0 © b>0, o #1, b #1. Que
cleo var teur a « b part que 4 mago 3% © xing + 20m - 0
toro dues rales rea guió? "
Bar Dom deb a os
168 ICONSANT-74) uma sino due tony SO ae à
no “1997
dim bm 10 os a
TO.60 CESCEAI O vator de para ue (a) nn à &
3 =
1
wi ai 4 A
1 , a nas wi
160-8
18.161 ICONSART-731 A wlucho da saungdo: 1094 + 109, (Sx = 2 = 1 € dada por
4 1
a a2 ae
» 4 o
+) nénhums des remporte anteriores
‘18.162 (PUC-77) O conjunto verdade da oquagio Zlogx = log à + lon x +3} &
DRS va a) 1% 9 (6
16.183 {PUC-72) As raízes da equecio
1 1 2
oc + Ly + togte 310 ton 24 Wo
tonto Li + logie - 21 013
2 5
aves 25 a
2 u
3
23 neonume das anteriores
3 aes
TB.188 (GV-76) A oquacño Meg? + 2) = log, (2 = 21 + 2, admito dues solugdes reais
cuis soma vale
1
PENES ur ao di a4
vi VE
B.165 (MACK-75) A solugso da ecuacto 1091229) + 10912011] = tog [24%] etd no
dx? 2KxKO dOÉx<Z WPCA EDA
18.166 (CESCEA-74) A afirmacio log (x +2) # 2 = tog ln - 400) are 10)
& verdadeica 5, e somam se
ao 10 b x 30
dx u x= 10 el mo sti
dro où x - 20
18.167 (PUC-70) As solugóos da equagio log x? - 3x + 1) - log (2x - 3) = op VS so
241 VS basVse VE-1 aVe-1 d4-V5 e V5-4
©) centuma des anteriores
18.168 (PUC-72) Aumentande um nümaro x de 16 unidades, seu logaritmo ne dose 3
“aumenta de 2 unidades, Entäo, x 6
22 vi as a 4 as
18.160 (GV-75) Num sistema de loparitmos, 0 logaritmo de 101,44 supera de 5 0 logaritmo
de 3,17. Quoi 6 a base?
N da auwm nz
: seven
ae o anna weet dame CEASE
ende m ne
Ses was aes am
© nenhums das akerotivas anteriores
161-8
2.
18.171 {EAESP-GV-77) A solucdo do sisters av
logy (Za + y) = 1
um par ix, y) tal que x = y vale
al -16 v1 16 a4 CE a2
18.172 (CESCEA~70) Sojo x = ae y - bo solugdo do sistema
Jog x = egy = >
an
Ent, 0 vor de
2) 18 ou -18 as a v8
RATE (SU A on de mu 2:6
5
12
a) x= 912 x tog E da
ae bh x + 09, E ae
a) «= 1092 où x log 5
19.7 MACK-79) A sado oca une Y ~ V3.2 à
allog2 bh tog? MAA a
CL)
TO.175 (MACK=68) So 4x°92% 43 amo es solugdes sio:
3) dois números inteiros coincidentes
b) dois números intelros positivos
©) dois números inteiros negativos
di dois números fraciondrios positivos
+) dois números Iraciongrios nogativos
178.176 (MACK-74) A solucio real da equacio x"). 5 esta no intervalo:
SA wa] a Bat als] mf)
18.177 {ITA-78) A retpaito da squecío exponencial 4% + GX - 9% podemos afirmar que:
an. ong 1 VE, oon
01 x = [on LT top LE 6 uma riz
) x = [lone (FHI tome ANE 6 uma mi
+3,
dx leg (211 stony CE 6 umo raz
a x Too (21) ty (LEA) 6 ume rar
Voge (S11 Dale à
9} nennume das alternatives anteriores
162-8
Uma der strmacöer
16.178 (ITA-G8) Considere a equacio 80% + 8% - 6-0. com 9 >t.
ao, reltiamente A equagdo proposta, está correto, Asin
Pozos
AS
b) x - 10952 ©) à 2 tog? © x 2-3
4) nannuma das opçôes anteriores € verdadeia
18.179 ICESCEA-76) O conjunto de todos os námeros reis x tis que
Kern 0, 170 021, &
a {0} {a} al) oF alo,
18.190 IITA-76) Em relacio à equacdo «00 VX. „84%. 2, > 0, tomos:
2) ade opens uma el,» ua! 6 um numer inte positive
1) o adit um rie Ita miser à rage 0 € x < 35
+) tods a alza eo neos acom 6
2x1 6 adie uma ca cn xp ls que
al Lt ped
LE
os Sc cer
ce uma ar à
med. S087
“
1 nemume det respostas anteiores
Ta
abia me a (9) ar (21, 24)
el nontume das anteriores
18.182 (MACK-75) Se logy? + lopzao = 1,8 > 0,8 #1. x À 1, entdo o valor de x di
ae CEA av as ave
18.183 (CESCEM=68) Se log¿x = loa ea? 1 109,2, ade x val
ava bi V2 a2 ai 4
1 nanbum dos voloes anteriores,
18186 (CESCEM-68) A solucio da equecio lou, (loge x) = logs Wg al &
Mn Ma de as
10 (WACK 74 A ane o O11 los Onde x Cum nimmer
Pi - " 1+ ys
à lo tooo oie aia ee a SE
ve comet gat » V2
dencia LS
ss si co
19:86 (HACK. #0) Son, 25 > lo, 36 eno
er dar up
A ac ae
138
18.171 {EAESP-GV-77) A solucdo do sisters av
logy (Za + y) = 1
um par ix, y) tal que x = y vale
al -16 v1 16 a4 CE a2
18.172 (CESCEA~70) Sojo x = ae y - bo solugdo do sistema
Jog x = egy = >
an
Ent, 0 vor de
2) 18 ou -18 as a v8
RATE (SU A on de mu 2:6
5
12
a) x= 912 x tog E da
ae bh x + 09, E ae
a) «= 1092 où x log 5
19.7 MACK-79) A sado oca une Y ~ V3.2 à
allog2 bh tog? MAA a
CL)
TO.175 (MACK=68) So 4x°92% 43 amo es solugdes sio:
3) dois números inteiros coincidentes
b) dois números intelros positivos
©) dois números inteiros negativos
di dois números fraciondrios positivos
+) dois números Iraciongrios nogativos
178.176 (MACK-74) A solucio real da equacio x"). 5 esta no intervalo:
SA wa] a Bat als] mf)
18.177 {ITA-78) A retpaito da squecío exponencial 4% + GX - 9% podemos afirmar que:
an. ong 1 VE, oon
01 x = [on LT top LE 6 uma riz
) x = [lone (FHI tome ANE 6 uma mi
+3,
dx leg (211 stony CE 6 umo raz
a x Too (21) ty (LEA) 6 ume rar
Voge (S11 Dale à
9} nennume das alternatives anteriores
162-8
Uma der strmacöer
16.178 (ITA-G8) Considere a equacio 80% + 8% - 6-0. com 9 >t.
ao, reltiamente A equagdo proposta, está correto, Asin
Pozos
AS
b) x - 10952 ©) à 2 tog? © x 2-3
4) nannuma das opçôes anteriores € verdadeia
18.179 ICESCEA-76) O conjunto de todos os námeros reis x tis que
Kern 0, 170 021, &
a {0} {a} al) oF alo,
18.190 IITA-76) Em relacio à equacdo «00 VX. „84%. 2, > 0, tomos:
2) ade opens uma el,» ua! 6 um numer inte positive
1) o adit um rie Ita miser à rage 0 € x < 35
+) tods a alza eo neos acom 6
2x1 6 adie uma ca cn xp ls que
al Lt ped
LE
os Sc cer
ce uma ar à
med. S087
“
1 nemume det respostas anteiores
Ta
abia me a (9) ar (21, 24)
el nontume das anteriores
18.182 (MACK-75) Se logy? + lopzao = 1,8 > 0,8 #1. x À 1, entdo o valor de x di
ae CEA av as ave
18.183 (CESCEM=68) Se log¿x = loa ea? 1 109,2, ade x val
ava bi V2 a2 ai 4
1 nanbum dos voloes anteriores,
18186 (CESCEM-68) A solucio da equecio lou, (loge x) = logs Wg al &
Mn Ma de as
10 (WACK 74 A ane o O11 los Onde x Cum nimmer
Pi - " 1+ ys
à lo tooo oie aia ee a SE
ve comet gat » V2
dencia LS
ss si co
19:86 (HACK. #0) Son, 25 > lo, 36 eno
er dar up
A ac ae
138
78.187 (MACK-69) x e y So números reais positvos; x > y implica
DREN. EIER “> y y
MESES D og o
ch qualquer que seo a, 0% > of
3 qualquer que seja a, logy x > logy y
e C2" > ar
TR.188 (ITA-72) Assnale a sontenga correto
ds 109,0 sx > 1, tog x >0 se x <1
Do<a<1 tex >0 mx Et log x end
aa>ı PR ee x Doz
BO<a<1 Dog: week
9) Ponhums dos respostas anteriores
18.189 (CESCEA-74) Se os logortros decimos dos números resis 0 b# forem detinidos
ee at b+e=1, enti
3) logo +logb + toge>0 bh 1 <a8 Sn? <2 en
2 toga «log + loge >0 6) 0 Sate <1 ro se
TB.180 (EPUSP.GE) Dadas as fundos fxd = Vx=1 ea) - 77 tomolxl, o campo
e cotimeño da funcio comporta Hal) 4
dx>0 RP RO va
6) nerbume der anteriores
TB.191 (MACK-74) Os pomos P = (x, y) cujes coordenadas eatistazemn a
{ ve
vet 6x48
al so todos pontos do primairo quadrante DI slo em número finito
© 380 pomos de um arco da parábola © za colineares
al o pontos de uma curva logarítmica
78.192 (MACK -73) Em qual das patcagens abaixo foi cometido um rro?
E<uthi<i
200 <8 a<a
io
1
Sion (GN
sat 1 1
A) stony it) <2 logo th) e
Somo (2) <2 toga (5)
a<2
78.193 1GV-78) Pera que » des
aldace lop, (Ox + 2) > 3, x rel, sea verdadera, deve:
marta mr<- 5 gy 2 exe 5
Laure E mado 9-2ex<-8
ax>- E a-2<x<- E
8 NS a
164-8
10.194 (CESCEA-72) A solugio an inequacio fn (x? - 3x = 9) >0 (hrs log) &
2S <5 bx S-2 ou x>s 026865
dz où x F5 ndo si
ai <0, sio
18.195 (MACK-77) Os atores de x pars os quais Jon, =
4 Bence mocx<d
noise mb<acz mo<r<i
a-1<x<z dx<o ou x> e nio
7 2
19.196 1GV-731 0 conjomo {x € | tony (ALT 1 > 1) 6 ua
al {x ER <1 où x>3} bi (kei <-1 où x > 1}
art) a wen <a <1}
a {x ER <x <3}
18.197 IITA-69) O conjunto dos pares de números resis x © y, que saisfazem à desigual.
ode lon, 1 - 2 >0 está entre as opeSes aboixe:
9 1<x<0 6 y>3 bi x>o e 2<y<a
du>0 e y>3 où 1 Lx <0 0 2<y<a
Al v>2 dx <o + 2<y <a
10.198 (CESCEA-70) O conjumo de todos os x para os quais
log Ed + Bx + 241 >
+
a ixemlx<-1 où x>6) REIR <-9 ov x > 8}
O KERIB SKS -1 0 8<x<8)
ae mier <2 où 7S" <9}
ale miz<x<7
10.199 (GV-74) Para que lop, lx ~ 2) + 1007 be - 2) <1, demon te
12<x<4 SZ 0x4 dx ES où da
A3<KS4 012<x<3
18200 (GV-70) A clue da igang lo (a 4 1) 9109, x <2 4 0 comun:
4 4
atenta cx EVE <p cy}
went Acc) ag
d (ee mix<-1Vx> 1} el nanhums dos respostes anteriores
165-B
DREN. EIER “> y y
MESES D og o
ch qualquer que seo a, 0% > of
3 qualquer que seja a, logy x > logy y
e C2" > ar
TR.188 (ITA-72) Assnale a sontenga correto
ds 109,0 sx > 1, tog x >0 se x <1
Do<a<1 tex >0 mx Et log x end
aa>ı PR ee x Doz
BO<a<1 Dog: week
9) Ponhums dos respostas anteriores
18.189 (CESCEA-74) Se os logortros decimos dos números resis 0 b# forem detinidos
ee at b+e=1, enti
3) logo +logb + toge>0 bh 1 <a8 Sn? <2 en
2 toga «log + loge >0 6) 0 Sate <1 ro se
TB.180 (EPUSP.GE) Dadas as fundos fxd = Vx=1 ea) - 77 tomolxl, o campo
e cotimeño da funcio comporta Hal) 4
dx>0 RP RO va
6) nerbume der anteriores
TB.191 (MACK-74) Os pomos P = (x, y) cujes coordenadas eatistazemn a
{ ve
vet 6x48
al so todos pontos do primairo quadrante DI slo em número finito
© 380 pomos de um arco da parábola © za colineares
al o pontos de uma curva logarítmica
78.192 (MACK -73) Em qual das patcagens abaixo foi cometido um rro?
E<uthi<i
200 <8 a<a
io
1
Sion (GN
sat 1 1
A) stony it) <2 logo th) e
Somo (2) <2 toga (5)
a<2
78.193 1GV-78) Pera que » des
aldace lop, (Ox + 2) > 3, x rel, sea verdadera, deve:
marta mr<- 5 gy 2 exe 5
Laure E mado 9-2ex<-8
ax>- E a-2<x<- E
8 NS a
164-8
10.194 (CESCEA-72) A solugio an inequacio fn (x? - 3x = 9) >0 (hrs log) &
2S <5 bx S-2 ou x>s 026865
dz où x F5 ndo si
ai <0, sio
18.195 (MACK-77) Os atores de x pars os quais Jon, =
4 Bence mocx<d
noise mb<acz mo<r<i
a-1<x<z dx<o ou x> e nio
7 2
19.196 1GV-731 0 conjomo {x € | tony (ALT 1 > 1) 6 ua
al {x ER <1 où x>3} bi (kei <-1 où x > 1}
art) a wen <a <1}
a {x ER <x <3}
18.197 IITA-69) O conjunto dos pares de números resis x © y, que saisfazem à desigual.
ode lon, 1 - 2 >0 está entre as opeSes aboixe:
9 1<x<0 6 y>3 bi x>o e 2<y<a
du>0 e y>3 où 1 Lx <0 0 2<y<a
Al v>2 dx <o + 2<y <a
10.198 (CESCEA-70) O conjumo de todos os x para os quais
log Ed + Bx + 241 >
+
a ixemlx<-1 où x>6) REIR <-9 ov x > 8}
O KERIB SKS -1 0 8<x<8)
ae mier <2 où 7S" <9}
ale miz<x<7
10.199 (GV-74) Para que lop, lx ~ 2) + 1007 be - 2) <1, demon te
12<x<4 SZ 0x4 dx ES où da
A3<KS4 012<x<3
18200 (GV-70) A clue da igang lo (a 4 1) 9109, x <2 4 0 comun:
4 4
atenta cx EVE <p cy}
went Acc) ag
d (ee mix<-1Vx> 1} el nanhums dos respostes anteriores
165-B
B.201 (CESCEA-79) A solugán da Inoqusedo log x= colon (x + 1) > og 12 4
ARRE ARO A o “<a
18.202 (CESCEA-71) O comunto de todos os x para os quais
x tea in €
a See nlx>2)
xe mlx >)
où no sel
bl (kewl <x <2}
a teal <x <2}
78.203 (GV-71) A socio ca inequacto x9 +n? -91>0 6 © conjunto dos números
os x tas qu
al x <- V0 où x >Vi0 Dx>s
a x > V10 où - V0 <x <-3 9) 3 <x < VIT
ad Vio <x < Vi
78.206 (GV-71) O conjunto dos x para os quais x logo + 1) logo (2 + 1
xt BASIC 0 x40
xr où x>0 dpt
dd A EE RO, où xD
18206 (GV-72) O dominio da funçl 1 daca por #0) = Weg, be 1 &:
+
Demi) mixer) à feemlx>1)
weni) ol (xemls <x 2}
10.206 (CESCEM-68) Qual é o campo de defíicdo de funcio.
EN
xt bal de> dx > 10
+) todo © campo de números rans
8.207 (CESCEA-75) A desigualinds = log x}? 2 on x 4 3 20, & wrdadeir pora
DADO EAST O IO OO
OR Mocca
16.208 TA-T1) Soja a deigusidade lle xi? = loge x > 8
Determinandose ss ius desta desigualade obteman:
SS DS
ES
6) nenhums des cespostos am
PS
166-8
TB.208 (ITA-73) Os valores de x que vorlicam a desigualdade
1 1
Tar
DI xD OA dh I<e<e
el nenhume das respostas anteriores
>1 si
x] 206
18210 MACK-79) 0 conjuno socio da regu 19 is
a beni Y bh GER |x >0)
+ a Kenitcucı
a wenlocıch yeni Fes)
ad
YB211 (ITA=77) No conjumo dos mümeros resi, a desigualdade lon logs (a? - SI >08
vordaoaira pars
a Vs<xl<s D Vs <hl<Ve a VE<h.<3
ala el nennums dat respotas anteriores
18.212 (CESCEA-67) Sendo a >1, a tolueSo da inequacio loga loge x} <0 &
dx>o bus d1<ada A O<x<1 el 0x <a
S06:
10218 CESCEA IN 90 << sao mL Lo
Mol piéélau dns
9.218 (TA
) O conjunto ie todos oF valores de x pare os quais existe um y real de modo
eme
y = oor loose =
+ dado por
a Imenaio spero A, de extremos -VZ » V2
mos VS 0 Va
) intervalo aborto A, de ext
imenalo aserto A, de ex
dl imervalo aberto A, de extromor
al nanuma des eetpottat anteriores
TB216 ICESCEM-67) A condicio par
ie €
que à 0quecio x? = 2x loge m = 0 nfo tenha rares
m <h amet amet amd
aim>o wo<m< dm£t ame d m>
107-8
ARRE ARO A o “<a
18.202 (CESCEA-71) O comunto de todos os x para os quais
x tea in €
a See nlx>2)
xe mlx >)
où no sel
bl (kewl <x <2}
a teal <x <2}
78.203 (GV-71) A socio ca inequacto x9 +n? -91>0 6 © conjunto dos números
os x tas qu
al x <- V0 où x >Vi0 Dx>s
a x > V10 où - V0 <x <-3 9) 3 <x < VIT
ad Vio <x < Vi
78.206 (GV-71) O conjunto dos x para os quais x logo + 1) logo (2 + 1
xt BASIC 0 x40
xr où x>0 dpt
dd A EE RO, où xD
18206 (GV-72) O dominio da funçl 1 daca por #0) = Weg, be 1 &:
+
Demi) mixer) à feemlx>1)
weni) ol (xemls <x 2}
10.206 (CESCEM-68) Qual é o campo de defíicdo de funcio.
EN
xt bal de> dx > 10
+) todo © campo de números rans
8.207 (CESCEA-75) A desigualinds = log x}? 2 on x 4 3 20, & wrdadeir pora
DADO EAST O IO OO
OR Mocca
16.208 TA-T1) Soja a deigusidade lle xi? = loge x > 8
Determinandose ss ius desta desigualade obteman:
SS DS
ES
6) nenhums des cespostos am
PS
166-8
TB.208 (ITA-73) Os valores de x que vorlicam a desigualdade
1 1
Tar
DI xD OA dh I<e<e
el nenhume das respostas anteriores
>1 si
x] 206
18210 MACK-79) 0 conjuno socio da regu 19 is
a beni Y bh GER |x >0)
+ a Kenitcucı
a wenlocıch yeni Fes)
ad
YB211 (ITA=77) No conjumo dos mümeros resi, a desigualdade lon logs (a? - SI >08
vordaoaira pars
a Vs<xl<s D Vs <hl<Ve a VE<h.<3
ala el nennums dat respotas anteriores
18.212 (CESCEA-67) Sendo a >1, a tolueSo da inequacio loga loge x} <0 &
dx>o bus d1<ada A O<x<1 el 0x <a
S06:
10218 CESCEA IN 90 << sao mL Lo
Mol piéélau dns
9.218 (TA
) O conjunto ie todos oF valores de x pare os quais existe um y real de modo
eme
y = oor loose =
+ dado por
a Imenaio spero A, de extremos -VZ » V2
mos VS 0 Va
) intervalo aborto A, de ext
imenalo aserto A, de ex
dl imervalo aberto A, de extromor
al nanuma des eetpottat anteriores
TB216 ICESCEM-67) A condicio par
ie €
que à 0quecio x? = 2x loge m = 0 nfo tenha rares
m <h amet amet amd
aim>o wo<m< dm£t ame d m>
107-8
10206 (6v-78) Para que valores de» saute x? = Va tong K O um outs ate
Sir
nocx<® wok a o<k<Vr
ao<x<s ERBETEN.
78.217 {ITA-71) Dutorminado se a condicio sobre 1 pars que a equagéo
4% loge + 312% - loge t = 0
admita dus ralzes reais ditinss, obremos:
mesos CET deters
dae el nanhums dos respostos anteriores
‘T8218 (MACK-77) A equagio #2 - 4x + 3 + log UK = 1) = 0 tem raítos resis de sinais con
Urin, se € somente
DISET 4109 OO
BD O<KSI +103 €} abo sei
ak > reo
18.219 (MACK-16) Se x >0, e “log
OCT
PTE ES
indica © logaritmo cecimal, eno:
Mt ler
©) nenhuma das alternativas anteriores $ corres
10200 (8808-72) 0 ur de ego JAMIE 28
ol -44.05290 5) 3094710 cl 1097965 a) -9:98678 — e) -11.01923
10.221 (CESCEM-74) As características, no sistamo decimal, de log 7, 109 0,032, tog 105 »
109 0.00010 66, respectivamento,
at 4.8, -3 AS 10-1, 5, 4
4 0,-2.8, ca d 7.0, 5.0
18222 (CESGRANRIO-73) A caractartatic do logaritmo de 800 no sistema de base 3 é dada
por
a2 ba 43 ar
©) nenhuma das respostes anteriores
18.223 (GV-731 Se N 4 um número positivo, expresso na forma 101 + K, onde n ¿ um nme:
ro intero e 1 SK < 10, endo:
3) a mantissa de log N eK bl a coraterínica de 10910 N 6 K
©) a caracteríuco de logigN 8 n €) à mantisa de go N 4 n
1 a caractorsuca de login N=» K
18,224 (CESCEA-71) Animale, entro as afirmagdes abolxo, a verdadeirn:
a) log na = log a, para todo a >0 0 todo natu
AS
1688
Vias - Lans, pr todo à 0
ah pe Tao — om <a < 01
on
022 (CESCEA-72 e 1090101048 = 106000, eo, oo 0.701648 vale
2) 05007 1) 11980082 <) 0.190007 10007. ns mi
18.226 (CESCEM-73) Se log cos x = 1.870900 ent, © velor de log sec x 6:
a 0.129100 6) 142910 el 1 + 7.870900. ci 112910 e) 0.129100
18.227 IMACK-74) Se logio & = 1.221; ento loge 36 € igual a
a) 1988 bi1462 sg) 2482) 108%
1 nenhuma das eespostas anteriores
10.228 (CESCEA-24) Se log 0,4321 - 1,89668, 09 0,3625 + -0,44069 «lag 0,3219 - -0.49227,
ent
Log 04921 110903628 910003219 g gua
3
Ta or izar ci Tamm a) 146754
al nenhuma cas respostas anteriores
78.228 (CESCEA-I5 Sabondo que lagwo 2 = 0.901030 e logo = 0,477121; 0 valor de x na
©
lomo qe à
al -o058796 b) Toarana el 1.941303 al 0.058076 e) 7.941508
16.230 (ITA-74) Sendo a1. an, «An números reis, o maior valor den tal que as igueido:
des 30 lodo sie vesdadolras 4
dard logue 123878 = 91
na foam = as
danas
anos loge ta = am
fe) nenhuma das respostas anteriores
18.221 (MACK-75) Saberdo ave logo? = 0,301 e que x = 2%, podemos afirmar
3} x 6 um número menor que um bilhäo porém maior que com mines
ym mais que 31 slgrismos
DI x à um número que, em notacio decimal
1 x 6 um nömero entre 9020 » 8931
dh a earacerisicn do logaritmo de x 4 30
et x maior que um bilhdo porém mahor que um trino
169-8
Sir
nocx<® wok a o<k<Vr
ao<x<s ERBETEN.
78.217 {ITA-71) Dutorminado se a condicio sobre 1 pars que a equagéo
4% loge + 312% - loge t = 0
admita dus ralzes reais ditinss, obremos:
mesos CET deters
dae el nanhums dos respostos anteriores
‘T8218 (MACK-77) A equagio #2 - 4x + 3 + log UK = 1) = 0 tem raítos resis de sinais con
Urin, se € somente
DISET 4109 OO
BD O<KSI +103 €} abo sei
ak > reo
18.219 (MACK-16) Se x >0, e “log
OCT
PTE ES
indica © logaritmo cecimal, eno:
Mt ler
©) nenhuma das alternativas anteriores $ corres
10200 (8808-72) 0 ur de ego JAMIE 28
ol -44.05290 5) 3094710 cl 1097965 a) -9:98678 — e) -11.01923
10.221 (CESCEM-74) As características, no sistamo decimal, de log 7, 109 0,032, tog 105 »
109 0.00010 66, respectivamento,
at 4.8, -3 AS 10-1, 5, 4
4 0,-2.8, ca d 7.0, 5.0
18222 (CESGRANRIO-73) A caractartatic do logaritmo de 800 no sistema de base 3 é dada
por
a2 ba 43 ar
©) nenhuma das respostes anteriores
18.223 (GV-731 Se N 4 um número positivo, expresso na forma 101 + K, onde n ¿ um nme:
ro intero e 1 SK < 10, endo:
3) a mantissa de log N eK bl a coraterínica de 10910 N 6 K
©) a caracteríuco de logigN 8 n €) à mantisa de go N 4 n
1 a caractorsuca de login N=» K
18,224 (CESCEA-71) Animale, entro as afirmagdes abolxo, a verdadeirn:
a) log na = log a, para todo a >0 0 todo natu
AS
1688
Vias - Lans, pr todo à 0
ah pe Tao — om <a < 01
on
022 (CESCEA-72 e 1090101048 = 106000, eo, oo 0.701648 vale
2) 05007 1) 11980082 <) 0.190007 10007. ns mi
18.226 (CESCEM-73) Se log cos x = 1.870900 ent, © velor de log sec x 6:
a 0.129100 6) 142910 el 1 + 7.870900. ci 112910 e) 0.129100
18.227 IMACK-74) Se logio & = 1.221; ento loge 36 € igual a
a) 1988 bi1462 sg) 2482) 108%
1 nenhuma das eespostas anteriores
10.228 (CESCEA-24) Se log 0,4321 - 1,89668, 09 0,3625 + -0,44069 «lag 0,3219 - -0.49227,
ent
Log 04921 110903628 910003219 g gua
3
Ta or izar ci Tamm a) 146754
al nenhuma cas respostas anteriores
78.228 (CESCEA-I5 Sabondo que lagwo 2 = 0.901030 e logo = 0,477121; 0 valor de x na
©
lomo qe à
al -o058796 b) Toarana el 1.941303 al 0.058076 e) 7.941508
16.230 (ITA-74) Sendo a1. an, «An números reis, o maior valor den tal que as igueido:
des 30 lodo sie vesdadolras 4
dard logue 123878 = 91
na foam = as
danas
anos loge ta = am
fe) nenhuma das respostas anteriores
18.221 (MACK-75) Saberdo ave logo? = 0,301 e que x = 2%, podemos afirmar
3} x 6 um número menor que um bilhäo porém maior que com mines
ym mais que 31 slgrismos
DI x à um número que, em notacio decimal
1 x 6 um nömero entre 9020 » 8931
dh a earacerisicn do logaritmo de x 4 30
et x maior que um bilhdo porém mahor que um trino
169-8
TB.232 [MACK-75) O número de agarmos da poréneie 50% y,
2) 25008) 85 ci 100 (Ondo: 1092 = 0,201),
a) 250 os
18.238 (GV-741 Nume tabela se que logo 615.4 = 2,789157 a que login 6,153 = 0,789087.
Pode se determinar que 109108753, vale aproximado rion
al 2780115 bi 2788088 «) 3780012 di 3.780098) 2.780012
18.234 (GV-73) Sejam log 1,220
tal que log x = 20865280 4:
al 122.08 —b) 12,208 ce 0012204 a) 0001204
+8) remmuma alternative anterior
00883598 e log 1.221 = 0,0887167. Entño, o valor de x
1708
RESPOSTAS
18.106
78.1074
19.108 0
16.109:
18.100
Tao
Tanza
101132
Tarte,
Tasse
Taree
161170
OS
Tamaa
101200
read
10.122 0
101240
18.126
18.1260
18.127 6
181280
181290
18.1308
Tee
16.1823
e133
Tete
18.136 4
Ta1a6a
181970
171-8
2) 25008) 85 ci 100 (Ondo: 1092 = 0,201),
a) 250 os
18.238 (GV-741 Nume tabela se que logo 615.4 = 2,789157 a que login 6,153 = 0,789087.
Pode se determinar que 109108753, vale aproximado rion
al 2780115 bi 2788088 «) 3780012 di 3.780098) 2.780012
18.234 (GV-73) Sejam log 1,220
tal que log x = 20865280 4:
al 122.08 —b) 12,208 ce 0012204 a) 0001204
+8) remmuma alternative anterior
00883598 e log 1.221 = 0,0887167. Entño, o valor de x
1708
RESPOSTAS
18.106
78.1074
19.108 0
16.109:
18.100
Tao
Tanza
101132
Tarte,
Tasse
Taree
161170
OS
Tamaa
101200
read
10.122 0
101240
18.126
18.1260
18.127 6
181280
181290
18.1308
Tee
16.1823
e133
Tete
18.136 4
Ta1a6a
181970
171-8
Tease
19.149
18508
181510
Y8 1620
18.1539
18.190
181550
16.1560
TBA87 4
8.1880
78.1890
18.1609
eat
Ta12e
181630
TBAée
1728
Taassc
8.1706
Tem
101720
181730
Taırac
10.750
10.1764
18.770
18.780
2.1795
101800
Tante
181825
101830
18.1060
181951
101964
Tazııe
Ta2ı2c
182132
162140
182150
102160
Tazızc
102184
Tazıaa
182200
Tazzıu
18.2220
182230
722240
182263
78.2265
18.2275
18.228 4
18.2296
18.230
162310
182920
102230
102040
19.149
18508
181510
Y8 1620
18.1539
18.190
181550
16.1560
TBA87 4
8.1880
78.1890
18.1609
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Ta12e
181630
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1728
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8.1706
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101720
181730
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10.750
10.1764
18.770
18.780
2.1795
101800
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181825
101830
18.1060
181951
101964
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182132
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182150
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182200
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18.2220
182230
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182263
78.2265
18.2275
18.228 4
18.2296
18.230
162310
182920
102230
102040
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