Fundamentos da Matematica Elementar 6 complexos, polinômios, equações
PedroSantos219
803 views
108 slides
Apr 22, 2015
Slide 1 of 108
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
About This Presentation
Livro de uma das coleções mais notáveis da Matemática Elementar. É interessante tanto para estudantes de Ensino Médio quanto aos de Ensino Superior ou ainda para os amantes desta arte.
Slide Content
GELSON IEZZI
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA
ELEMENTAR
COMPLEXOS POLINOMIOS EQUACÓES
85 exercicios resolvidos
253 exercicios propostos com resposta
207 testes de vestibulares com resposta
2% edicáo
me ATUAL
EDITORA
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA
ELEMENTAR
COMPLEXOS POLINOMIOS EQUACÓES
85 exercicios resolvidos
253 exercicios propostos com resposta
207 testes de vestibulares com resposta
2% edicáo
me ATUAL
EDITORA
Capa
Roberto Franklin Roncino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 — S. Paulo
Composiçäo e desenhos
AM Produces Gráficas Ltda
Rua Castro Alves, 135 — S. Paulo
Artes
Aral Editors Ltda,
Fotolitos
H.O.P. Fotolitos Lida
Rus Deimira Ferreira, 325 — S. Paulo
Impressio e acabamento
Companhia Melhoramentos de Sáo Paulo
Roa Tito, 479 ~ 8. Paulo
Etes
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA LTDA
Rua José António Coelho, 785
Telefones: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 ~ Sáo Paulo — SP — Brasil
APRESENTAGAO
“Fundamentos de Matemática Elementar” é uma coleçäo em dez volumes
elaborada com a pretensäo de dar ao estudante uma visio global da Matemática,
20 nível de escola de 2° grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados pare
5 curso colegial, os “Fundamentos” visam aos alunos em preparativos para exemes
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é öbvio, áqueles alunos de colegial mais interressados na “rainha
as cióncias".
No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentacdo de conceitos e propriedades,
Salvo algumas excegöss bem conhecidas da Matemático Elementar, as proposigdes
» teoremas estäo sempre acompanhados das respectivas demonstracóes.
Na estruturagäo das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenaçäo
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tontamos chegar a questóes
que envolvem outros assuntos jé vistos, obrigando o estudante a uma reviso. A
seqléncia do texto sugere uma dosagem para teoría e exercícios. Os exercícios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicacáo
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
» resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir
à procura do erro cometido.
À última parte de cada volume é constitu‘da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisdo de matéria
estudadı
¡Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind vel para que pudéssemos homenagear
esta colegäo alguns dos grandes matemáticos, rolatando fatos notéveis de su
Vidas e sua obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distancia entre o anselo dos autores
€ o valor de sua obra, gostaríamos de raceber dos colegas professores uma apre
ciaçéo sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agr
decemos.
Os autores.
Roberto Franklin Roncino
Sylvio Ulhoa Cintra Filho
Rua Inhambu, 1235 — S. Paulo
Composiçäo e desenhos
AM Produces Gráficas Ltda
Rua Castro Alves, 135 — S. Paulo
Artes
Aral Editors Ltda,
Fotolitos
H.O.P. Fotolitos Lida
Rus Deimira Ferreira, 325 — S. Paulo
Impressio e acabamento
Companhia Melhoramentos de Sáo Paulo
Roa Tito, 479 ~ 8. Paulo
Etes
Todos os direitos reservados a
ATUAL EDITORA LTDA
Rua José António Coelho, 785
Telefones: 71-7795 e 549-1720
CEP 04011 ~ Sáo Paulo — SP — Brasil
APRESENTAGAO
“Fundamentos de Matemática Elementar” é uma coleçäo em dez volumes
elaborada com a pretensäo de dar ao estudante uma visio global da Matemática,
20 nível de escola de 2° grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados pare
5 curso colegial, os “Fundamentos” visam aos alunos em preparativos para exemes
vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e
também, como é öbvio, áqueles alunos de colegial mais interressados na “rainha
as cióncias".
No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos"
procuramos seguir uma ordem lógica na apresentacdo de conceitos e propriedades,
Salvo algumas excegöss bem conhecidas da Matemático Elementar, as proposigdes
» teoremas estäo sempre acompanhados das respectivas demonstracóes.
Na estruturagäo das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenaçäo
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tontamos chegar a questóes
que envolvem outros assuntos jé vistos, obrigando o estudante a uma reviso. A
seqléncia do texto sugere uma dosagem para teoría e exercícios. Os exercícios
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicacáo
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar
» resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir
à procura do erro cometido.
À última parte de cada volume é constitu‘da por testes de vestibulares até
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisdo de matéria
estudadı
¡Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescind vel para que pudéssemos homenagear
esta colegäo alguns dos grandes matemáticos, rolatando fatos notéveis de su
Vidas e sua obras.
Finalmente, como há sempre uma enorme distancia entre o anselo dos autores
€ o valor de sua obra, gostaríamos de raceber dos colegas professores uma apre
ciaçéo sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agr
decemos.
Os autores.
CAPITULO 1 — NÚMEROS COMPLEXOS
m
Ww.
v.
vi
Corpo dos números complexos
Forma algébrica
Forma trigonométrica
Potenciagäo
Radiciagáo . ee
Equagdes binömias e trinômias
CAPITULO II — POLINÓMIOS
"
u
iv.
v.
vi
CAPITULO 111 — EQUAGÖES POLINOMIAIS
Iv.
v.
vu
vil
vun.
Polinömios .
Igualdade
Onerandes
Grau
Diviséo ol
Divisäo por binômios do 19 grau
Introdugäo .
Definigóes ..
Número de rafzes
Multiplicidade de uma raiz
Relagóes entre cosficientes e raies
Raízes complexes
Rafzes resis
Ratzes racionais
ÍNDICE
oF
15-F
28-F
347
ae
an
AB
52-F
57-F
sı-r
70-F
85-F
85-F
89-F
94-F
97-F
108-F
122
- MSF
m
Ww.
v.
vi
Corpo dos números complexos
Forma algébrica
Forma trigonométrica
Potenciagäo
Radiciagáo . ee
Equagdes binömias e trinômias
CAPITULO II — POLINÓMIOS
"
u
iv.
v.
vi
CAPITULO 111 — EQUAGÖES POLINOMIAIS
Iv.
v.
vu
vil
vun.
Polinömios .
Igualdade
Onerandes
Grau
Diviséo ol
Divisäo por binômios do 19 grau
Introdugäo .
Definigóes ..
Número de rafzes
Multiplicidade de uma raiz
Relagóes entre cosficientes e raies
Raízes complexes
Rafzes resis
Ratzes racionais
ÍNDICE
oF
15-F
28-F
347
ae
an
AB
52-F
57-F
sı-r
70-F
85-F
85-F
89-F
94-F
97-F
108-F
122
- MSF
CAPITULO IV — TRANSFORMAGOES
1. Translormacóes ... 125-F
1. Transtormagio multiplicativa ee 126-F
HI. Transtormacio activa 7 127-F
IV. Transformagäo recíproca 133-F
V. Equagdes recíprocas 135-F
CAPITULO V ~ RAIZES MULTIPLAS E RAIZES COMUNS
1. Derivada de uma tuncáo polinomial : f MSF
1. Raizes maltiplas 151-F
HL Máximo divisor comum . . 155-F
IV. Raízos comuns 159-F
V. Mínimo multipio comum e 163-F
RESPOSTAS DE EXERCICIOS ... 167-F
TESTES à : wr
RESPOSTAS DOS TESTES .. tes 207-F
Evarist Galois
(1811 - 1832)
1. Translormacóes ... 125-F
1. Transtormagio multiplicativa ee 126-F
HI. Transtormacio activa 7 127-F
IV. Transformagäo recíproca 133-F
V. Equagdes recíprocas 135-F
CAPITULO V ~ RAIZES MULTIPLAS E RAIZES COMUNS
1. Derivada de uma tuncáo polinomial : f MSF
1. Raizes maltiplas 151-F
HL Máximo divisor comum . . 155-F
IV. Raízos comuns 159-F
V. Mínimo multipio comum e 163-F
RESPOSTAS DE EXERCICIOS ... 167-F
TESTES à : wr
RESPOSTAS DOS TESTES .. tes 207-F
Evarist Galois
(1811 - 1832)
Intelectual morre em duelo
Evarist Galois nasceu nas proximidades de Paris, na aldeia de Bourg la Reine,
onde seu poi era prefeito
‘Aas 12 anos mostrava pouco interesse por Latim, Grego e Álgebra mas a
Geometria de Legendre o fascinava,
Aos 16 anos, julgando-se em condiedes, procurou entrar na Escola Politécnica
mas foi recusado por falta de preparo e isto marcou o seu primeiro fracasso,
Aos 17 anos escreveu um artigo onde expós suas descobertas fündamı
entregando-o a Cauchy para que o apresentasse na Academia, Cauchy perdeu so.
rabalho e com isto veio o seu segundo fracasso marcante,
Logo mais perdeu o pai que, devido a intrigas clericas, se suicicow, Desiludi
46, Galois entrou na Escola Normal para prepararse a fim de ensinar, sempre
continuando com suas pesquisas.
Em 1830 escreveu um artigo para o concurso de Matemética da Academia
entregando-o para Fourier, que morreu logo depois e o artigo foi perdido.
Com tantas frustracóes Galois acabou por aderir ds causas da revolucio de
1830, foi expulso da Escola Normal e mais tarde entrou para a guarde nacional
Galois inicio suas pesquisas com um trabalho de Lagrange sobre permuta
(göes de raies, o que Ihe deu condigdes necessárias e suficientes para concluir que
equaçôes polinomiais sdo resoldveis por radicals a, baseado nas provas de Abel,
descobriu que as equapdes algébricas irredutiveis säo resolüveis por radicais somente
se 0 grupo de permutacóes sobre suas rafzes também é resolüvel, Sobre iso forne-
(eu um algoritmo para achar essas rafzes, assim como outros postulados sempre
voltados mais para a estrutura algébrica do que pare casos específicos, dando um
tratamento aritmético à Álgebra.
Em suas obras está implícito o conceito de “corpo” que mais tarde Dedekind
detiniria de forma explícita.
Na época Galois entregou a Poisson um artigo contendo sus teoría e este o
classificou de “incompreensivel” mas hoje o que chamamos de “Matemática Mo.
derna” nada mais 6 do que as idéias de Galois que esto chegando até ns
Em 1832, envolvendo-se com uma mulher, em nome de um código de honra,
nfo pode evitar um duelo. Na noite anterior passou as horas rascunhando notas
para a posteridade numa carta a seu amigo. Na manhä de 30 de malo encontrou
seu adversério recebendo um tiro fatal. Socorrido por um camponés, morreu num
hospital para onde toi levado, 205 20 anos de idado.
CAPÍTULO 1
NÚMEROS COMPLEXOS
CORPO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
1. Seja IR o conjunto dos números resis, Consideremos o produto cartesiano
AX R= A
Ria (i, yx E Re ER}
isto &, A 6 0 conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y sño números reas,
Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c,d), de IR? para dar très defi
importantissimas:
inigöes
a) igualdade: dois pares ordenados so iguais se, e somente se, apresentarem
primeiros termos iguais e segundos termos iguais
CT
+) adicio: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par ordenado cu-
jos primeiro e segundo termos sio, respectivamente, a soma dos primeiros e à
soma dos segundos termos dos pares dados.
lo, bl He, d) = (a+ b + d)
e) multiplicacáo: chamase produto de dois pares ordenados a um novo par
ordenado cujo primeiro termo 6 a diferangs entre o produto dos primeiros termos
e o produto dos segundos termos dos pares dados e cujo segundo termo é a soma
dos produtos do primeiro termo de cada par dado pele segundo termo do outro,
da, bl + (o, dl = (ac + bd, ad + be)
LF
Evarist Galois nasceu nas proximidades de Paris, na aldeia de Bourg la Reine,
onde seu poi era prefeito
‘Aas 12 anos mostrava pouco interesse por Latim, Grego e Álgebra mas a
Geometria de Legendre o fascinava,
Aos 16 anos, julgando-se em condiedes, procurou entrar na Escola Politécnica
mas foi recusado por falta de preparo e isto marcou o seu primeiro fracasso,
Aos 17 anos escreveu um artigo onde expós suas descobertas fündamı
entregando-o a Cauchy para que o apresentasse na Academia, Cauchy perdeu so.
rabalho e com isto veio o seu segundo fracasso marcante,
Logo mais perdeu o pai que, devido a intrigas clericas, se suicicow, Desiludi
46, Galois entrou na Escola Normal para prepararse a fim de ensinar, sempre
continuando com suas pesquisas.
Em 1830 escreveu um artigo para o concurso de Matemética da Academia
entregando-o para Fourier, que morreu logo depois e o artigo foi perdido.
Com tantas frustracóes Galois acabou por aderir ds causas da revolucio de
1830, foi expulso da Escola Normal e mais tarde entrou para a guarde nacional
Galois inicio suas pesquisas com um trabalho de Lagrange sobre permuta
(göes de raies, o que Ihe deu condigdes necessárias e suficientes para concluir que
equaçôes polinomiais sdo resoldveis por radicals a, baseado nas provas de Abel,
descobriu que as equapdes algébricas irredutiveis säo resolüveis por radicais somente
se 0 grupo de permutacóes sobre suas rafzes também é resolüvel, Sobre iso forne-
(eu um algoritmo para achar essas rafzes, assim como outros postulados sempre
voltados mais para a estrutura algébrica do que pare casos específicos, dando um
tratamento aritmético à Álgebra.
Em suas obras está implícito o conceito de “corpo” que mais tarde Dedekind
detiniria de forma explícita.
Na época Galois entregou a Poisson um artigo contendo sus teoría e este o
classificou de “incompreensivel” mas hoje o que chamamos de “Matemática Mo.
derna” nada mais 6 do que as idéias de Galois que esto chegando até ns
Em 1832, envolvendo-se com uma mulher, em nome de um código de honra,
nfo pode evitar um duelo. Na noite anterior passou as horas rascunhando notas
para a posteridade numa carta a seu amigo. Na manhä de 30 de malo encontrou
seu adversério recebendo um tiro fatal. Socorrido por um camponés, morreu num
hospital para onde toi levado, 205 20 anos de idado.
CAPÍTULO 1
NÚMEROS COMPLEXOS
CORPO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
1. Seja IR o conjunto dos números resis, Consideremos o produto cartesiano
AX R= A
Ria (i, yx E Re ER}
isto &, A 6 0 conjunto dos pares ordenados (x, y) em que x e y sño números reas,
Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c,d), de IR? para dar très defi
importantissimas:
inigöes
a) igualdade: dois pares ordenados so iguais se, e somente se, apresentarem
primeiros termos iguais e segundos termos iguais
CT
+) adicio: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par ordenado cu-
jos primeiro e segundo termos sio, respectivamente, a soma dos primeiros e à
soma dos segundos termos dos pares dados.
lo, bl He, d) = (a+ b + d)
e) multiplicacáo: chamase produto de dois pares ordenados a um novo par
ordenado cujo primeiro termo 6 a diferangs entre o produto dos primeiros termos
e o produto dos segundos termos dos pares dados e cujo segundo termo é a soma
dos produtos do primeiro termo de cada par dado pele segundo termo do outro,
da, bl + (o, dl = (ac + bd, ad + be)
LF
Chamasss conjunto dos nürmwros complexos, e reprasenta-se por €, o conjunto
dos pares ordenados de números seais para os quais estío definidas « igualdade, à
adicéo e a muliplicacáo conforme o item 1.
É usual representarse cada elemento (x, y) € C com u símbolo 2, portanto:
26 Ce» 22 lx y) sendo x, y ER
2 Aplicacóss
19) Dados 4,
Temos:
ata=120+18,0=12-3,1+0)> (6,1
no 2-12, -(8,01=12:3-1-0,2-0+1-3) (6,3)
Perera er et te ee eee 2e Ga)
2 Wes
3.0 coeur à nen 6 2
21 Dados 7 (1.2) 6 83 = (3,4), caleta 2 tal ue 2 + 2 = 2
Tomos:
rend A
pre pa
— tn =
loeyea Lye?
portanto 2 = (2, 2).
A
2, 3), calcular 2 ral que 2, +
Tomos
WEN (2.3) Ry 23e
4. Teorema
A operacio de adicdo define em © uma estrutura de grupo comutativo, istoé,
verifica as seyuintes propriedadas:
IA + 1] propriedade associativa
la - 21 propriedade comutativa
LA ~ 3] existineis do elemento neutro
IA - al existincia do elemento simétrico
Demonstracáo
lala ta tay sa te 42 Va 2,5 EC
la #22) £25 = [abl teal] + (ef = tere, bed le =
[e+e +e, toed) rf] da + tere), b + tar]
la D + Le + e, dt #) = la + bb + Lie, dd + (eA
2 + (ap ta)
la
daran ta Van ec
fob) + Le, di = lo + 6, b + di
led) + la, b = 2 +2
lA-313 0 EClrte nr vzce
Fasendo z = (a, b), provemos que existe ey = (x, y) tal que 2 te, =
cate x20
(3, bb + 0%, y) = (a,b) om =
Lo+
portonto existe na - (0, O), chamado elemento neutro para a adic
4 qualquer complexo 2 dä como resultado o pröprio z.
. qua somado.
-dlvrcesrecurr=n
Fazendo £ = (a,b), provemos que existe 2° tx, yl tel que 2 + 7° -
ang ma] ol
somado ao complexe z - [a,b] dä como resultado e, - (0, 0)
3.
dos pares ordenados de números seais para os quais estío definidas « igualdade, à
adicéo e a muliplicacáo conforme o item 1.
É usual representarse cada elemento (x, y) € C com u símbolo 2, portanto:
26 Ce» 22 lx y) sendo x, y ER
2 Aplicacóss
19) Dados 4,
Temos:
ata=120+18,0=12-3,1+0)> (6,1
no 2-12, -(8,01=12:3-1-0,2-0+1-3) (6,3)
Perera er et te ee eee 2e Ga)
2 Wes
3.0 coeur à nen 6 2
21 Dados 7 (1.2) 6 83 = (3,4), caleta 2 tal ue 2 + 2 = 2
Tomos:
rend A
pre pa
— tn =
loeyea Lye?
portanto 2 = (2, 2).
A
2, 3), calcular 2 ral que 2, +
Tomos
WEN (2.3) Ry 23e
4. Teorema
A operacio de adicdo define em © uma estrutura de grupo comutativo, istoé,
verifica as seyuintes propriedadas:
IA + 1] propriedade associativa
la - 21 propriedade comutativa
LA ~ 3] existineis do elemento neutro
IA - al existincia do elemento simétrico
Demonstracáo
lala ta tay sa te 42 Va 2,5 EC
la #22) £25 = [abl teal] + (ef = tere, bed le =
[e+e +e, toed) rf] da + tere), b + tar]
la D + Le + e, dt #) = la + bb + Lie, dd + (eA
2 + (ap ta)
la
daran ta Van ec
fob) + Le, di = lo + 6, b + di
led) + la, b = 2 +2
lA-313 0 EClrte nr vzce
Fasendo z = (a, b), provemos que existe ey = (x, y) tal que 2 te, =
cate x20
(3, bb + 0%, y) = (a,b) om =
Lo+
portonto existe na - (0, O), chamado elemento neutro para a adic
4 qualquer complexo 2 dä como resultado o pröprio z.
. qua somado.
-dlvrcesrecurr=n
Fazendo £ = (a,b), provemos que existe 2° tx, yl tel que 2 + 7° -
ang ma] ol
somado ao complexe z - [a,b] dä como resultado e, - (0, 0)
3.
5, Subtracio
Decorre do teorema anterior que, dados os complexos 2, = (a, bbe 23 = (c,d),
pxiste um único z C € tal que 2 + 7/2, pois:
ES A a bap ti tad ee
wt te tr ate eee th
Esse número 2 8 chamado dierenza ente 23 # 2 » indicado por 2 ~ A,
porto
(c,d) lab) = (e- a, b)
Exemplo
(7, 4)~ (6, 11= (7,4) + 26,1) = 7-84-11
13
6. Teorema
A operario de multiplicacio define em © uma estrutura de grupo comuta:
tivo, isto 6, verifica es sequintes propriedades:
[m - 1) propriedade associative
IM - 2] propriedade comutativa
Las - 3] existéneia do elemento neutro
IM - 4 existéncia do elemento inverso
Demonstragóo
IM - 4] (ay ale lp saa). Yan, EC
fay +20) +25 © flo, bi + Le, di} + le, f= (ac o ad # be + de, fl
loc - baie + jad + beit, (ac = ball + fod + bode] =
lace = ble = adf = bel, acf - bat + ade + heal =
= [alos + cf) - bide + cf, afde + ef) + bien - uni] =
= a, DD + (œuf, of do) + (a,b) + Med) + o, Ne a te ea
IM-2l nine ara Fam et
men lab) + (ei = fac ~ bd, ad + be) =
(ca = db, cb + dab = (e, d) + fa, bi = at
IM - 3] dem CCl 2 sem 22,16€
Fazendo 2 = (a,b, provemos que existe em = IX, y) 18l que 2+ tm > 2
oF
(a,b) > by) = fe, DI fax = by, ay + bel da D
fr - by fe 1
Lox=ay b uy 0
portento existe Sm — (1, Ol, chamado elemento neutro para a multiplicacdo, que
multiplicado por qualquer complexo z dá como resultado o próprio 2
IM-4]Y2€ € Sr colza (N
nn
Farendo 2 To, DI, com 5 + 0 ou D #0, prowmos que existe 2"
que 2.2" em
o y) tal
ax by 1
(a,b) + be y) = (1,0) => fax = by, ay 1 bx) = 1, 0) 0.
Lox + ay = 0
A ete
portanto existe 2" = |
b
a pe re). chamalo inverse où snverso mutt
plicativo de z, que multiplicado por 7 = (a, b) dá como resultado em (1, 01
Observemos que a condicio a # 0 ou b 7D equivale a oF +b? # D e isto
garante a existéncia de 2
7. Divisio
Decorre do teorema anterior que, dados as complexos z = (a, 6) # (0, 0)
era 16,0), existe um Único 2 € € tal que 2, +2 = 2, pois.
yar a ica
Roe)
Esto número 2 & chamado quite sore 2) e 2, e indicado por ©
port
neo
Expo
lla ,
me 10, ov}
oF
Decorre do teorema anterior que, dados os complexos 2, = (a, bbe 23 = (c,d),
pxiste um único z C € tal que 2 + 7/2, pois:
ES A a bap ti tad ee
wt te tr ate eee th
Esse número 2 8 chamado dierenza ente 23 # 2 » indicado por 2 ~ A,
porto
(c,d) lab) = (e- a, b)
Exemplo
(7, 4)~ (6, 11= (7,4) + 26,1) = 7-84-11
13
6. Teorema
A operario de multiplicacio define em © uma estrutura de grupo comuta:
tivo, isto 6, verifica es sequintes propriedades:
[m - 1) propriedade associative
IM - 2] propriedade comutativa
Las - 3] existéneia do elemento neutro
IM - 4 existéncia do elemento inverso
Demonstragóo
IM - 4] (ay ale lp saa). Yan, EC
fay +20) +25 © flo, bi + Le, di} + le, f= (ac o ad # be + de, fl
loc - baie + jad + beit, (ac = ball + fod + bode] =
lace = ble = adf = bel, acf - bat + ade + heal =
= [alos + cf) - bide + cf, afde + ef) + bien - uni] =
= a, DD + (œuf, of do) + (a,b) + Med) + o, Ne a te ea
IM-2l nine ara Fam et
men lab) + (ei = fac ~ bd, ad + be) =
(ca = db, cb + dab = (e, d) + fa, bi = at
IM - 3] dem CCl 2 sem 22,16€
Fazendo 2 = (a,b, provemos que existe em = IX, y) 18l que 2+ tm > 2
oF
(a,b) > by) = fe, DI fax = by, ay + bel da D
fr - by fe 1
Lox=ay b uy 0
portento existe Sm — (1, Ol, chamado elemento neutro para a multiplicacdo, que
multiplicado por qualquer complexo z dá como resultado o próprio 2
IM-4]Y2€ € Sr colza (N
nn
Farendo 2 To, DI, com 5 + 0 ou D #0, prowmos que existe 2"
que 2.2" em
o y) tal
ax by 1
(a,b) + be y) = (1,0) => fax = by, ay 1 bx) = 1, 0) 0.
Lox + ay = 0
A ete
portanto existe 2" = |
b
a pe re). chamalo inverse où snverso mutt
plicativo de z, que multiplicado por 7 = (a, b) dá como resultado em (1, 01
Observemos que a condicio a # 0 ou b 7D equivale a oF +b? # D e isto
garante a existéncia de 2
7. Divisio
Decorre do teorema anterior que, dados as complexos z = (a, 6) # (0, 0)
era 16,0), existe um Único 2 € € tal que 2, +2 = 2, pois.
yar a ica
Roe)
Esto número 2 & chamado quite sore 2) e 2, e indicado por ©
port
neo
Expo
lla ,
me 10, ov}
oF
Em C, a operacáo de multiplicacio & distributiva em relagio à adi¢do:
Da artalsa:2+a-.Y2, 2,2. EC
| Demonstraçäo
+ (27 + 23) = (a,b) + (fc, di + (e, 1
= lale+ el = bid +f, afd +1) + bietel] =
= lac # ae = bd bi, ad + af + be + be] =
= Lac bd) + (ae = bt, fad + be) + (of + bel]
(ac = bd, ad + be) + (ae = Df, af + be) =
"bl Med) + (be le = mem tree
bis (ete dete
Verificadas as propriedades A - 1, A-2, A-3, A-4, M-1, M-2, M-3,
M-4 e D podemos afirmar que as operacóes de adiedo e multiplicacáo definem
sobre © uma estrutura de corpo comutativo; € é, portanto, o corpo dos números
complexes.
Il, FORMA ALGEBRICA
9. Imersio de Rem ©
Consideremos o subconjunto R° de © formado pelos pares ordenados cujo
segundo termo é zero:
Rr= {a,b} E Cb = 0}
Pertencem, por exemplo, a R' os pares (0, 0), (1,0), (a, 0), (b, 0), (a+ b, 0),
b, O), ete
Consideremos agora a aplicacio f, de IR em A’, que leva ceda x E Aso par
WER!
oF
Primeitamente notemos que fé bijetora pois:
1) todo par (x, 0) € R'é.0 correspondente, segundo f, de x € IR {isto quer di
zer que 14 sobrejetora);
2) dados x € Re x’ E I, com x + x, os seus vorrespondentes (x, 0) € Ae
(x, OI € R' sio distintos, de acordo com a definigdo de igualdad de pares
ordenados listo quer dizar que 1 injetora)
Em segundo lugar, notemos que | conserva es operagdes de adico e mult
plicasáo pois:
1} à some a +b, com a € Me bE A, está associado o par (a+b, 0) que éa
soma dos pares (2, 0} e (b, 0), correspondentes de a eb, respectivamente
flab} = (a+b, 0) = (8,0) + tb,O} = Ha) + fib)
2) a0 produto ab, com a € Re be R, está associado o par (ab, 0) que do
produto dos pares 18,0) e (b, 0), correspondentes de a e b, respectivamente:
Hab) = (ab, 0) = {ab 0 + 0, à +040 +b) = (a, 0) + tb, O)= flo) « Ho)
Devido a0 fato de existir uma apticagio bijetora f: R— R' que conserva
as operagdes de adigdo e multiplicagäo, dizemos que R e R' s30 ¡somortos.
Devido ao isomorfismo, operar com {x, 0) leva a resultados análogos aos
obtidos operando com x; isto justifica a igualdade.
X= Ox ER
que usaremos daqui por diante
Aceita esta igueldade, temos em particular que O = (0, D}, 1 = (1, 0)¢ IR = RY
Assim, o corpo dos números reais passa a ser considerado subconjunto do corpo
€ dos números complexos.
RCE
wu
de imaginé
Chamamos unidade imaginäria e indicamos por i o número complexe (0, 1),
Notemos que:
Baies (0 1) + (0,1) = (0-0-1.1,0- 141-0 = (1,0
isto 6, a propriedade básica da unidade imaginäria é:
Da artalsa:2+a-.Y2, 2,2. EC
| Demonstraçäo
+ (27 + 23) = (a,b) + (fc, di + (e, 1
= lale+ el = bid +f, afd +1) + bietel] =
= lac # ae = bd bi, ad + af + be + be] =
= Lac bd) + (ae = bt, fad + be) + (of + bel]
(ac = bd, ad + be) + (ae = Df, af + be) =
"bl Med) + (be le = mem tree
bis (ete dete
Verificadas as propriedades A - 1, A-2, A-3, A-4, M-1, M-2, M-3,
M-4 e D podemos afirmar que as operacóes de adiedo e multiplicacáo definem
sobre © uma estrutura de corpo comutativo; € é, portanto, o corpo dos números
complexes.
Il, FORMA ALGEBRICA
9. Imersio de Rem ©
Consideremos o subconjunto R° de © formado pelos pares ordenados cujo
segundo termo é zero:
Rr= {a,b} E Cb = 0}
Pertencem, por exemplo, a R' os pares (0, 0), (1,0), (a, 0), (b, 0), (a+ b, 0),
b, O), ete
Consideremos agora a aplicacio f, de IR em A’, que leva ceda x E Aso par
WER!
oF
Primeitamente notemos que fé bijetora pois:
1) todo par (x, 0) € R'é.0 correspondente, segundo f, de x € IR {isto quer di
zer que 14 sobrejetora);
2) dados x € Re x’ E I, com x + x, os seus vorrespondentes (x, 0) € Ae
(x, OI € R' sio distintos, de acordo com a definigdo de igualdad de pares
ordenados listo quer dizar que 1 injetora)
Em segundo lugar, notemos que | conserva es operagdes de adico e mult
plicasáo pois:
1} à some a +b, com a € Me bE A, está associado o par (a+b, 0) que éa
soma dos pares (2, 0} e (b, 0), correspondentes de a eb, respectivamente
flab} = (a+b, 0) = (8,0) + tb,O} = Ha) + fib)
2) a0 produto ab, com a € Re be R, está associado o par (ab, 0) que do
produto dos pares 18,0) e (b, 0), correspondentes de a e b, respectivamente:
Hab) = (ab, 0) = {ab 0 + 0, à +040 +b) = (a, 0) + tb, O)= flo) « Ho)
Devido a0 fato de existir uma apticagio bijetora f: R— R' que conserva
as operagdes de adigdo e multiplicagäo, dizemos que R e R' s30 ¡somortos.
Devido ao isomorfismo, operar com {x, 0) leva a resultados análogos aos
obtidos operando com x; isto justifica a igualdade.
X= Ox ER
que usaremos daqui por diante
Aceita esta igueldade, temos em particular que O = (0, D}, 1 = (1, 0)¢ IR = RY
Assim, o corpo dos números reais passa a ser considerado subconjunto do corpo
€ dos números complexos.
RCE
wu
de imaginé
Chamamos unidade imaginäria e indicamos por i o número complexe (0, 1),
Notemos que:
Baies (0 1) + (0,1) = (0-0-1.1,0- 141-0 = (1,0
isto 6, a propriedade básica da unidade imaginäria é:
Aplicando a proprisdado associative da multiplicacio, temos também:
INES
SN)
Mais geralmente, para todo n € N, temos:
cuja demonstracio fica como exercicio.
11. Dado um número complexo qualquer 2 = (x, y), temos.
) = (x 0) + (y-0- 0-1, yet + 0-0) =
Al yo
Assim, todo número complexo 2 - (x, y) pode ser escrito sob a forma
2 = x + y +, chamada forma algebrica. O número real x & chamado parte real de
2 e 0 número real y & chamado parte imaginéria de 2. Em símbolos indica-se
x= Relz) e y = mia)
Chamase real todo número complexo cuje parte imaginérie à nula. Chama-se
imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a imaginária näo.
Assim:
x real
= vi (y 7 0) £ imaginário puro
20
2=0+yi
12. A forma algebrica (x + yi} & muito mais prática que o par ordenado (x, y) na
ropresentagáo dos números complexos, uma vez que ela facilita as operacdes. Veja-
mes como ficam as definigdes de igualdade, adicáo e multiplicagäo de complexos,
usando a forma algébrica
Igualdade; a + bi = € + di + a 2 cebed iso 6, dois números complexos 380
iguais se, e somente se, tém partes reais iguais e partes imagindrias iquais,
ar
Adigio: la + bil + (c+ di) = (a + e) + (b + ali, isto é, a soma de dois números
complaxos 4 um complexo cuja parte real é a soma das partes resis das parcelas e
cuis parte imaginária 8 a soma das partes imaginirias das parcelas.
Multiplicagäo: (a +bi{c + di) = (ac = bd) + {ad + beli.isto 6, o produto de dois
números complexes & 0 resuitado do desenvolvimento de (a + bile + di
2 propriedade distributiva e lavando em conta que 1?
{a+ bite +4i) = ale +dil + bite + di) = ac + adi + bei + bai? =
= (ee = bd} + (od + bedi
Exemplo
Dados 2, = 1+i, 2 = 1-10 25 = 3+ 2, calculemos
Atm ta e meme
By tag tay 4148 ete de 542
Ada ras HINTEN 2) = 22 B42) = 6 +4
EXERCÍCIOS
FA Efetuar as seguints opera indicadas
TA)
DE SE NER + 42 +
CRE TETE
Sousse
Operamos com complexes na forma sigébries da mesma forma que fezemos com ex.
raider sigébrias, embrendo openes que i? =
a (GA TNT SD -64 7 +64 = AT 1 +13
DG an D+ sha 5 + die Sie in
Siri Bl
ES
Lea 340226
F2 Etener
a +2 + 0 b) (21 - (2 +8
ans oT = (a + 2} + 11100)
F3 Etewwer
a 30 es bn + 2002 +i
€) se a) (7+ 27-2
FA Coco
a Gear bh? eh DP
oF
INES
SN)
Mais geralmente, para todo n € N, temos:
cuja demonstracio fica como exercicio.
11. Dado um número complexo qualquer 2 = (x, y), temos.
) = (x 0) + (y-0- 0-1, yet + 0-0) =
Al yo
Assim, todo número complexo 2 - (x, y) pode ser escrito sob a forma
2 = x + y +, chamada forma algebrica. O número real x & chamado parte real de
2 e 0 número real y & chamado parte imaginéria de 2. Em símbolos indica-se
x= Relz) e y = mia)
Chamase real todo número complexo cuje parte imaginérie à nula. Chama-se
imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a imaginária näo.
Assim:
x real
= vi (y 7 0) £ imaginário puro
20
2=0+yi
12. A forma algebrica (x + yi} & muito mais prática que o par ordenado (x, y) na
ropresentagáo dos números complexos, uma vez que ela facilita as operacdes. Veja-
mes como ficam as definigdes de igualdade, adicáo e multiplicagäo de complexos,
usando a forma algébrica
Igualdade; a + bi = € + di + a 2 cebed iso 6, dois números complexos 380
iguais se, e somente se, tém partes reais iguais e partes imagindrias iquais,
ar
Adigio: la + bil + (c+ di) = (a + e) + (b + ali, isto é, a soma de dois números
complaxos 4 um complexo cuja parte real é a soma das partes resis das parcelas e
cuis parte imaginária 8 a soma das partes imaginirias das parcelas.
Multiplicagäo: (a +bi{c + di) = (ac = bd) + {ad + beli.isto 6, o produto de dois
números complexes & 0 resuitado do desenvolvimento de (a + bile + di
2 propriedade distributiva e lavando em conta que 1?
{a+ bite +4i) = ale +dil + bite + di) = ac + adi + bei + bai? =
= (ee = bd} + (od + bedi
Exemplo
Dados 2, = 1+i, 2 = 1-10 25 = 3+ 2, calculemos
Atm ta e meme
By tag tay 4148 ete de 542
Ada ras HINTEN 2) = 22 B42) = 6 +4
EXERCÍCIOS
FA Efetuar as seguints opera indicadas
TA)
DE SE NER + 42 +
CRE TETE
Sousse
Operamos com complexes na forma sigébries da mesma forma que fezemos com ex.
raider sigébrias, embrendo openes que i? =
a (GA TNT SD -64 7 +64 = AT 1 +13
DG an D+ sha 5 + die Sie in
Siri Bl
ES
Lea 340226
F2 Etener
a +2 + 0 b) (21 - (2 +8
ans oT = (a + 2} + 11100)
F3 Etewwer
a 30 es bn + 2002 +i
€) se a) (7+ 27-2
FA Coco
a Gear bh? eh DP
oF
F5 Piouar que (3 +11? = Zi e colocar na forma aigtbrica o nimao 13. Conjugado dez
00 ta
Chamase conjugado do complexo z = x + yi 30 complexo vi, isto 6
temo
2=x ty ze x
2. IR ort a ft 20.
Solugso
Gente Osan ea
See EE tt
FS Calor os sepuimes padnci de Exemples
um DI um aim masses pape
ET Provarque (1-1)? « -2ie nleular (1-96 + 1-1. Den 3- di Ended
- MES raten
‘ Aa -7+ D te -7 - 2
D reserve
Teer ere
Rene É imediato notar que o complexo conjugado de 2 é 2:
Solagfo _
Vamos aplicar à definicán de igualdede no compo complexo: MES vier
arfieyró are Bad Por esse motivo dizemos que z e 2 so números complexos conjugados {um &
[2-x conjugado do outro}
a 2+ ayiex es oof
ws mnzens
arme 74 261 me [7
BR SE + ae 4 vin 74 265 am ee at 14, Teorema
+, resolvendo o sistema, temor x= 50 y= 2. Para todo z € € temos:
en vto
a 200 D2+2=2- Reta)
M2 2= 2+ Imt2) oi
a primera squscáo tramos x= ly a subsituimos na segun
ACE pity) = ds a gee y im à dt Wy z=z7ee2ER
Ponanto x= 1e y tou x= eye 1
Demonstracáo
F9 Deteminar x € Me y EIA para que m tanha Fazendo 2 = x + yi, temos:
a 3 Bien y 185 bb + 2 + ie 1 +81 se
lei 7 Sl Sa Wat Z= ber vit + be yi) = 2 D+ Relay
©) an +) + ie 0 1 Gis y)=20
I 2 22 bet yih = Oeil = vie 2+ Iter ei
F10 (MACK-65) Qual € a condicio para que o produto de dois números comolexora + ibe
+ ió dé um nömero ra? I) r= Ta (x + vi
-y) mys -yesy-0e7ER
10-F ma.
00 ta
Chamase conjugado do complexo z = x + yi 30 complexo vi, isto 6
temo
2=x ty ze x
2. IR ort a ft 20.
Solugso
Gente Osan ea
See EE tt
FS Calor os sepuimes padnci de Exemples
um DI um aim masses pape
ET Provarque (1-1)? « -2ie nleular (1-96 + 1-1. Den 3- di Ended
- MES raten
‘ Aa -7+ D te -7 - 2
D reserve
Teer ere
Rene É imediato notar que o complexo conjugado de 2 é 2:
Solagfo _
Vamos aplicar à definicán de igualdede no compo complexo: MES vier
arfieyró are Bad Por esse motivo dizemos que z e 2 so números complexos conjugados {um &
[2-x conjugado do outro}
a 2+ ayiex es oof
ws mnzens
arme 74 261 me [7
BR SE + ae 4 vin 74 265 am ee at 14, Teorema
+, resolvendo o sistema, temor x= 50 y= 2. Para todo z € € temos:
en vto
a 200 D2+2=2- Reta)
M2 2= 2+ Imt2) oi
a primera squscáo tramos x= ly a subsituimos na segun
ACE pity) = ds a gee y im à dt Wy z=z7ee2ER
Ponanto x= 1e y tou x= eye 1
Demonstracáo
F9 Deteminar x € Me y EIA para que m tanha Fazendo 2 = x + yi, temos:
a 3 Bien y 185 bb + 2 + ie 1 +81 se
lei 7 Sl Sa Wat Z= ber vit + be yi) = 2 D+ Relay
©) an +) + ie 0 1 Gis y)=20
I 2 22 bet yih = Oeil = vie 2+ Iter ei
F10 (MACK-65) Qual € a condicio para que o produto de dois números comolexora + ibe
+ ió dé um nömero ra? I) r= Ta (x + vi
-y) mys -yesy-0e7ER
10-F ma.
15, Teorema
Se 24 © 23 säo números complexos ai
wer, temos
WTR Ane
Demonseragiio
Fazenda 2) = xy + ysl @ 23 = X3 + vai, temas:
Way + ap = bey toa) y an mee
TH © tn) Un + vale
= ba vi + Oy = vail 7 +5
Meuse = bu + pile + yall
Kuna = vival ber ya xavi
anio
FAR = xs = viva) = bara + xa yl
bea Xa = Xa Yall * (oxaysi + TE)
10% = vail yla - ya
ee
16, Divisio
Vimos no item 7 como pode ser calculado o quociente de dois números com
plexos. Agora temos um processo mais prático baseado em que:
22 = (o +bila= bil = a? tr 4 D?
Dados zı = atbi #0 e 23 = € + di, tamos
catob,de-cb
A
io 6, par atar bat muller numerador denominados pto conjugado
do denominador
Exemplo
3421
(aan
EE]
12
ExERCICIOS
en
en
Colocar na forma agébria os seguintes números:
30-0
CRT)
dea RIA A,
ART E 10
Meiers 4-3 ag
AO ar,
ES
Colocar na forma à +bi 0% soguintes números complexes:
al o.
Dar ax conagóe nec e siones para que 272" (com € + di #0)
a) imaginácio puro; Di ren.
Soluso
La tb, {arbi lend | loc bal + tbe - sah
Cat
a Reis) O om 24 bd 0
bh imi) =0 ==> be-ad oO
AF
Se 24 © 23 säo números complexos ai
wer, temos
WTR Ane
Demonseragiio
Fazenda 2) = xy + ysl @ 23 = X3 + vai, temas:
Way + ap = bey toa) y an mee
TH © tn) Un + vale
= ba vi + Oy = vail 7 +5
Meuse = bu + pile + yall
Kuna = vival ber ya xavi
anio
FAR = xs = viva) = bara + xa yl
bea Xa = Xa Yall * (oxaysi + TE)
10% = vail yla - ya
ee
16, Divisio
Vimos no item 7 como pode ser calculado o quociente de dois números com
plexos. Agora temos um processo mais prático baseado em que:
22 = (o +bila= bil = a? tr 4 D?
Dados zı = atbi #0 e 23 = € + di, tamos
catob,de-cb
A
io 6, par atar bat muller numerador denominados pto conjugado
do denominador
Exemplo
3421
(aan
EE]
12
ExERCICIOS
en
en
Colocar na forma agébria os seguintes números:
30-0
CRT)
dea RIA A,
ART E 10
Meiers 4-3 ag
AO ar,
ES
Colocar na forma à +bi 0% soguintes números complexes:
al o.
Dar ax conagóe nec e siones para que 272" (com € + di #0)
a) imaginácio puro; Di ren.
Soluso
La tb, {arbi lend | loc bal + tbe - sah
Cat
a Reis) O om 24 bd 0
bh imi) =0 ==> be-ad oO
AF
ña
Fas
Fe
es
Eo
F20
Ea
62
Ea
F24
ras
ar
14-F
amina ie € de mo gw 0 súa +. Zral
ja imaginério puro,
nari la © Mn mo ue o ima 2 EE a
Outerminar o número complexo cuyo produta por 5 + Bi real e cn quosien:e por
144 € imagindro puro.
Orina o ars compost aw fot Sy
Determinar z EC tal que E - -20i
Solugo
Fatendo 2 2 x + yi e à + x vi tomo
Kae 22 ty mee w= vi 2 zei
Pana
eno nm x-0e yoo
Eve
portanto == 0.
Sendo
MAPOFE-I1 Sur tos aimara comen 00.00 eb
7
#0 conjugado de 2, calcular as partes real e imaginôri do número complexo £; = u
Demonstrar que 2% = EIN para todo n tural
[ENE-62) Provar que sea equagáo x2 + la «bi le + il
to uma ai rea), onto woe = di + Be
0, onde a, be, dER, sam:
Determinar os nameros complexos wis que 2 + + (2=3}~ 19 + Gi.
Determinar 2 E € wi que xl 2
Determinar 7 € € tal que 22
Determinar 2 5 © rm que 22 = 1+ VT
Sendo 22 + yl = 1, provar que
Prove que
Item +: coux
nio "ent
todo x re, HT + km
mi thee
17.
FORMA TRIGONOMETRICA
Chamase norma de um número complexo z= x + yi ao número real e positivo
M2) = x +y?
+yiao
Chamase módulo ou valor absoluto de um número complexo 7
húmero real e positivo
lal = YN) = vie + y
‘Algumas vezws em lugar de [2] usamos os símbolos p 04 £ para representar o
mádulo,
Exemples
19) 2 Va + ie Nib ez
Pisa Nb} el
r= -6 = Ni elz
2-1 N= rn 20 dal V2
18, Teorema
7 + x + yi 6 um número complexo qualquer, entäo:
eo
N izi= 0 o ¿=0
un tz e dal
(IV) Ref) Rei iz!
(Vi Ime] < Hime) 21
Wh low ty 0 x
ay Vel VaR Ft = Vo ev > ial
15
Fas
Fe
es
Eo
F20
Ea
62
Ea
F24
ras
ar
14-F
amina ie € de mo gw 0 súa +. Zral
ja imaginério puro,
nari la © Mn mo ue o ima 2 EE a
Outerminar o número complexo cuyo produta por 5 + Bi real e cn quosien:e por
144 € imagindro puro.
Orina o ars compost aw fot Sy
Determinar z EC tal que E - -20i
Solugo
Fatendo 2 2 x + yi e à + x vi tomo
Kae 22 ty mee w= vi 2 zei
Pana
eno nm x-0e yoo
Eve
portanto == 0.
Sendo
MAPOFE-I1 Sur tos aimara comen 00.00 eb
7
#0 conjugado de 2, calcular as partes real e imaginôri do número complexo £; = u
Demonstrar que 2% = EIN para todo n tural
[ENE-62) Provar que sea equagáo x2 + la «bi le + il
to uma ai rea), onto woe = di + Be
0, onde a, be, dER, sam:
Determinar os nameros complexos wis que 2 + + (2=3}~ 19 + Gi.
Determinar 2 E € wi que xl 2
Determinar 7 € € tal que 22
Determinar 2 5 © rm que 22 = 1+ VT
Sendo 22 + yl = 1, provar que
Prove que
Item +: coux
nio "ent
todo x re, HT + km
mi thee
17.
FORMA TRIGONOMETRICA
Chamase norma de um número complexo z= x + yi ao número real e positivo
M2) = x +y?
+yiao
Chamase módulo ou valor absoluto de um número complexo 7
húmero real e positivo
lal = YN) = vie + y
‘Algumas vezws em lugar de [2] usamos os símbolos p 04 £ para representar o
mádulo,
Exemples
19) 2 Va + ie Nib ez
Pisa Nb} el
r= -6 = Ni elz
2-1 N= rn 20 dal V2
18, Teorema
7 + x + yi 6 um número complexo qualquer, entäo:
eo
N izi= 0 o ¿=0
un tz e dal
(IV) Ref) Rei iz!
(Vi Ime] < Hime) 21
Wh low ty 0 x
ay Vel VaR Ft = Vo ev > ial
15
(IV) se x20 ento x = Ix!
O
se x <0 entio x <Ix!
Por outro tado
PP tyme VE ENT cr kel cll @
Comparando De (1D. vem:
x < lxl < al
(VI análoga a UV).
19, Observemos que se 2 é número real entfo o médulo de 2, segundo a cetinigáo
dada no item 17, coincide com o módulo de z como elemento de R pois:
BER me x ll
Assim, por exemplo, temos:
z=2 wired 22-3 >
=3 2=0 =I21=0
20. Teorema
Se 7 € 23 sño dois números complexes quaisquer, entäc:
0 la ale lalola!
2-2) +0
PEU
(ty Le + apts da + last
Demonstracio
DCE UE TN)
A AA
iustificagóes: * ver item 16
m 15 (I)
propriedades comutati
e associativa da multiplicacdo
16-F
HN} Notemos inicialmente que
Res EE
21 rent lc] fee
1.1
NET
Temos en:
1 1
teat feat
(11) No problema resolvido F.39 será dada uma sugestáo para provar
propriedade.
21. Aplicagio
Vamos verificar o último teorema para 2, = 3+ die 23 = 12- Gi
Temos
NET ES
Irala VIER = Y 168 = 13
21 +23 = (3+ 4012-81) = 66+ 33%
la 221 = VE +S = Y 3136
= lal + el
a, 344i Bro (1245) 16 +631 | 16+6%
2" 19-55 ° 2-52 F6) 1444 25 160
a, PERS, 75 6% 5 inh
Ela 1692 “169 © 13" Tal
2y + 2 = (944i) + (1226) = 18-1
la +22l = VISTE RI = 226 < lah + al
5
5 - 4225 = 65
22. Chama-se argumento de um número complexo 2 = x + yi, náo nulo, ao
ángulo 6 tal que
onde p = ll
: WF
O
se x <0 entio x <Ix!
Por outro tado
PP tyme VE ENT cr kel cll @
Comparando De (1D. vem:
x < lxl < al
(VI análoga a UV).
19, Observemos que se 2 é número real entfo o médulo de 2, segundo a cetinigáo
dada no item 17, coincide com o módulo de z como elemento de R pois:
BER me x ll
Assim, por exemplo, temos:
z=2 wired 22-3 >
=3 2=0 =I21=0
20. Teorema
Se 7 € 23 sño dois números complexes quaisquer, entäc:
0 la ale lalola!
2-2) +0
PEU
(ty Le + apts da + last
Demonstracio
DCE UE TN)
A AA
iustificagóes: * ver item 16
m 15 (I)
propriedades comutati
e associativa da multiplicacdo
16-F
HN} Notemos inicialmente que
Res EE
21 rent lc] fee
1.1
NET
Temos en:
1 1
teat feat
(11) No problema resolvido F.39 será dada uma sugestáo para provar
propriedade.
21. Aplicagio
Vamos verificar o último teorema para 2, = 3+ die 23 = 12- Gi
Temos
NET ES
Irala VIER = Y 168 = 13
21 +23 = (3+ 4012-81) = 66+ 33%
la 221 = VE +S = Y 3136
= lal + el
a, 344i Bro (1245) 16 +631 | 16+6%
2" 19-55 ° 2-52 F6) 1444 25 160
a, PERS, 75 6% 5 inh
Ela 1692 “169 © 13" Tal
2y + 2 = (944i) + (1226) = 18-1
la +22l = VISTE RI = 226 < lah + al
5
5 - 4225 = 65
22. Chama-se argumento de um número complexo 2 = x + yi, náo nulo, ao
ángulo 6 tal que
onde p = ll
: WF
Notemos que
19) a condiçäo z # 0 garante p +0
29) existe ao menos um ángulo @ satistazendo a definicio pois
ano CN yyy
cos & oe PE
39) fixado o complexo 2 #0, estáo fixados cos 9 e sen mas o Angulo 0
pode asumir infinitos valores, congruentes dois a dois [congruéncia mádulo Zi
Assim, o complexo 2 # 0 tem argumento
8-40 12m k EZ,
ende 0a, chamado argumento principal de 2, é tal que cos Uy =", son Bq =Le
9 prineips a > is
0 < Uy < 2. Fregüentemente trabalhamos com Jq chamando-o simplesmente
argumento de z
Exemplos
CES
oon 2.
mv | + vera
no Lad ar
sno tat de
29)
4)
18-F
23, Plano de Argand-Gauss
As nocdes de módulo e argumento tornam-se mais concretas quando repre-
sentamos of números complexes 2 = x + yi= (x, y) pelos pontos do plano cartesiano
xOy, com a convencio de marcarmos sobre os eixos Ox e Oy, respectivamente, a
parte teal a a parte imaginária de 2.
Assim, a cada número complexo 2 = (x, y) corresponde um único ponto P do
plano x0y
Nomenclatura:
xOy = plano de Argand-Gauss
Ox = eixo reat
Oy - eixo imaginärio
P= afixo de z
Notemos que a distáncia ante P a O à o médulo de 2:
op VAT p
= ; x Y
+ 0 ángulo formado por OF com o eixe real à Up tal que cos do > Le sen dy =
quio formado por a E x
portanto 0) & 0 argumento principal de 2,
24, Dado um número complexo 2 = x + yi, náo nulo, temos;
zextyicp-
1
pos à
\
itt À
nació
en
19%) 22 V3ri—=
1’ : Fe
wr
19) a condiçäo z # 0 garante p +0
29) existe ao menos um ángulo @ satistazendo a definicio pois
ano CN yyy
cos & oe PE
39) fixado o complexo 2 #0, estáo fixados cos 9 e sen mas o Angulo 0
pode asumir infinitos valores, congruentes dois a dois [congruéncia mádulo Zi
Assim, o complexo 2 # 0 tem argumento
8-40 12m k EZ,
ende 0a, chamado argumento principal de 2, é tal que cos Uy =", son Bq =Le
9 prineips a > is
0 < Uy < 2. Fregüentemente trabalhamos com Jq chamando-o simplesmente
argumento de z
Exemplos
CES
oon 2.
mv | + vera
no Lad ar
sno tat de
29)
4)
18-F
23, Plano de Argand-Gauss
As nocdes de módulo e argumento tornam-se mais concretas quando repre-
sentamos of números complexes 2 = x + yi= (x, y) pelos pontos do plano cartesiano
xOy, com a convencio de marcarmos sobre os eixos Ox e Oy, respectivamente, a
parte teal a a parte imaginária de 2.
Assim, a cada número complexo 2 = (x, y) corresponde um único ponto P do
plano x0y
Nomenclatura:
xOy = plano de Argand-Gauss
Ox = eixo reat
Oy - eixo imaginärio
P= afixo de z
Notemos que a distáncia ante P a O à o médulo de 2:
op VAT p
= ; x Y
+ 0 ángulo formado por OF com o eixe real à Up tal que cos do > Le sen dy =
quio formado por a E x
portanto 0) & 0 argumento principal de 2,
24, Dado um número complexo 2 = x + yi, náo nulo, temos;
zextyicp-
1
pos à
\
itt À
nació
en
19%) 22 V3ri—=
1’ : Fe
wr
Eu an
— nen
à
— 2080 (eos + à» sen)
een
was VE loon i en
5
y :
A forma trigonométrica mais prática que a forma algébrica pare as operacóos
a potenciacáo e radiciacáo em C, conforme veremos a seguir,
EXERCÍCIOS.
28. Determinar o módulo e 0 argumento principal, colocar na formo trigonométric e dar a
resentacio gráfica dos números
aa CRETE
CE] V2 VE
CE nn
a 5-5 n 2-2
0-0 ou 0°
forms tigonométrica: 4 =
(coro + in 0)
x} pi an
cond =
send =
u.
Ww
ES
forme vigor: 144 VD ater im
a
iv
|
| 277
A es
veal
4.0
wg
0 tou 20%
v3
9-3
forme trgonométricn: di» 3 + (oor + i + son St
|
| —. 0. m
wend Bo J
Herma wienamuia = VA de Ve 2 tom + 4
Va Vale TE TENTE LEE
an
— nen
à
— 2080 (eos + à» sen)
een
was VE loon i en
5
y :
A forma trigonométrica mais prática que a forma algébrica pare as operacóos
a potenciacáo e radiciacáo em C, conforme veremos a seguir,
EXERCÍCIOS.
28. Determinar o módulo e 0 argumento principal, colocar na formo trigonométric e dar a
resentacio gráfica dos números
aa CRETE
CE] V2 VE
CE nn
a 5-5 n 2-2
0-0 ou 0°
forms tigonométrica: 4 =
(coro + in 0)
x} pi an
cond =
send =
u.
Ww
ES
forme vigor: 144 VD ater im
a
iv
|
| 277
A es
veal
4.0
wg
0 tou 20%
v3
9-3
forme trgonométricn: di» 3 + (oor + i + son St
|
| —. 0. m
wend Bo J
Herma wienamuia = VA de Ve 2 tom + 4
Va Vale TE TENTE LEE
an
fou 180%
J
forma trigonomérrico: =S = 5 leas 7 + | + san mh
xo
y.
EZ
forma tigonombtica: -2 » 2 (cos Ur
j= pe aie VOTE 2
an
y on
ne i 2 pe los sil Vea oo - SVE
J
forma trigonomérrico: =S = 5 leas 7 + | + san mh
xo
y.
EZ
forma tigonombtica: -2 » 2 (cos Ur
j= pe aie VOTE 2
an
y on
ne i 2 pe los sil Vea oo - SVE
F.29 Calcular o módulo dos seuintes números:
3-4 CES
des @) cond + ing
aos Dar
30. Colocar na forma tigonométree ot números
a 2-8
ms. CE
at 2 ne
Var DAME DET
31. Colocor na forma slbrica os seguintas números:
Dart Er sen
1 um
pds
ab 2s leon 1e sen 71
ee
arts ini
F.32 Calcular o module dos almera
CRETE bi ne Vans
souris
Vamos ala a propiedad él
2 ay at
A [fe pe
HIT AVE,
Hl avn ele VE: 2VE
level = Levis lee 112122) = 4
wee VE sie Vee?
PA
eh ny arm wine VRR = OVE
ae ten win). VS
ny lal, 3Y2, 3410
al Tal VE s
1.33. Calculer o médulo dos números:
a toa A
ae Darren
1 si
“a ss
34 Escrever na forma triponométrien os números:
as
sen 30°)
ahi Ya
ya} z
24-F
\ Lao
mo E. Ya]
Usando 49 o argumento principal, tamos:
2-10 Lo ee
E)
2
fees ar
ve
|
nV à sen
pa
va
si.
= 5 (608 390° + 1 +sen 3309)
FS (FEIUG-67) Escrevor 0 número compiexo.
genométics
na forma a + bie ay forma tee
6.36. (MACK-70) Escreca na forma trigonométrica o invarso multiplicative de 1 + 1 WT.
"6.87 Eserever na forms rigonomätries os números.
+i
a
Pa
hos
F.28 Representar no plano de Arpand Gauss o sguintes complexos
22. aa
ds aie
+ Indica graicamente o mádulo De o argu
0 inept By de cad um del.
25.
3-4 CES
des @) cond + ing
aos Dar
30. Colocar na forma tigonométree ot números
a 2-8
ms. CE
at 2 ne
Var DAME DET
31. Colocor na forma slbrica os seguintas números:
Dart Er sen
1 um
pds
ab 2s leon 1e sen 71
ee
arts ini
F.32 Calcular o module dos almera
CRETE bi ne Vans
souris
Vamos ala a propiedad él
2 ay at
A [fe pe
HIT AVE,
Hl avn ele VE: 2VE
level = Levis lee 112122) = 4
wee VE sie Vee?
PA
eh ny arm wine VRR = OVE
ae ten win). VS
ny lal, 3Y2, 3410
al Tal VE s
1.33. Calculer o médulo dos números:
a toa A
ae Darren
1 si
“a ss
34 Escrever na forma triponométrien os números:
as
sen 30°)
ahi Ya
ya} z
24-F
\ Lao
mo E. Ya]
Usando 49 o argumento principal, tamos:
2-10 Lo ee
E)
2
fees ar
ve
|
nV à sen
pa
va
si.
= 5 (608 390° + 1 +sen 3309)
FS (FEIUG-67) Escrevor 0 número compiexo.
genométics
na forma a + bie ay forma tee
6.36. (MACK-70) Escreca na forma trigonométrica o invarso multiplicative de 1 + 1 WT.
"6.87 Eserever na forms rigonomätries os números.
+i
a
Pa
hos
F.28 Representar no plano de Arpand Gauss o sguintes complexos
22. aa
ds aie
+ Indica graicamente o mádulo De o argu
0 inept By de cad um del.
25.
29 Dados os números complexos
2) = Prod Hin)
da = Da oda + à en 03)
¿terminar 3 + 23] mostrar que Lay +231 € Lait + Leal
Solo
214 25 = (By cord + ù ren) + à Jensen By + pa sen 02)
deu +231 - Ve con Oy + Da con Bgl? + (0; son 8, + pren B®
= Voit, + 4en20)) y ecards seal à 2 (os 068 + san Oca Or)
AAA 2 pip,» cos 0, - 82)
‘come cos By - 83) à no máximo 1, somos
aria er
aie lat
F.40 | Imérgretar roficomante asoma de dois números complex os,
Sotugio
Sejam
nest
dois complexos cujos anos slo Pe,
respectivamente
O complexo.
zen tape (atelt tera
em etico P tal que:
Eee
‘onde OP. OF, OF; so vatorte
Notemos que vetor OP pode sr obtdo pels reg do paralelogramo e seu médulo 6
= VR oc OOD
E.41. Representorgeometricamenta no plano de Argind:Gaust os soguintes subconjuntos de €:
A= (2€ el ele 2) dy
8-2 Eel lzi<3}
p= {eel leila}
Solugio
Fsgamor 2 - x + yicom x y ER. 0.0 =
Envie:
Aude ER fate yt = 4)
Fe
Fa
Fa
Fas
Bar
portanto À 4 uma eirounferänci de cen
ro na origem (0, O) e aio 2
Be (an ER diy? so}
portante 8 & um círculo de centro na
orge e rio 3.
D = {tx yh ER? | ty 1121) ld 00,1)
portento D € uma circunteréncia de cen- 7
Snes)
Resa graeme o una de Argan Gus gun bern ón
a) A = je E CI Rete) = 0} ae = {2 eile = 1}
BB ~ {2 Cl imi) = 0} oF = {2 Cll <2)
oD = {2 EO] Rete) 210 mí) > 2)
gran nina caja dos mar comple ue
bts
Fade 8, qm à onto in dos comple 2 = plan 10
Pe
EEE are m 0 concen de pri agro aw coma
20 8e 4 anode 20 0 bone dem que coruna ds one Amanda e
Coney st
BACH) min com re
BERNIE Prendre pan And an
So 22p» {cos 8 + i+ sen Öl. prover que fe e rente que L=!*= 4 imaginério puro.
# BE
(ee cn em pe
TONES
erdi are 13,
sabendo que
al 0 médulo
#5 6 5, um de seus argumentos está comprendido e
brant.
bo quedado deer aie
..<o
27-F
2) = Prod Hin)
da = Da oda + à en 03)
¿terminar 3 + 23] mostrar que Lay +231 € Lait + Leal
Solo
214 25 = (By cord + ù ren) + à Jensen By + pa sen 02)
deu +231 - Ve con Oy + Da con Bgl? + (0; son 8, + pren B®
= Voit, + 4en20)) y ecards seal à 2 (os 068 + san Oca Or)
AAA 2 pip,» cos 0, - 82)
‘come cos By - 83) à no máximo 1, somos
aria er
aie lat
F.40 | Imérgretar roficomante asoma de dois números complex os,
Sotugio
Sejam
nest
dois complexos cujos anos slo Pe,
respectivamente
O complexo.
zen tape (atelt tera
em etico P tal que:
Eee
‘onde OP. OF, OF; so vatorte
Notemos que vetor OP pode sr obtdo pels reg do paralelogramo e seu médulo 6
= VR oc OOD
E.41. Representorgeometricamenta no plano de Argind:Gaust os soguintes subconjuntos de €:
A= (2€ el ele 2) dy
8-2 Eel lzi<3}
p= {eel leila}
Solugio
Fsgamor 2 - x + yicom x y ER. 0.0 =
Envie:
Aude ER fate yt = 4)
Fe
Fa
Fa
Fas
Bar
portanto À 4 uma eirounferänci de cen
ro na origem (0, O) e aio 2
Be (an ER diy? so}
portante 8 & um círculo de centro na
orge e rio 3.
D = {tx yh ER? | ty 1121) ld 00,1)
portento D € uma circunteréncia de cen- 7
Snes)
Resa graeme o una de Argan Gus gun bern ón
a) A = je E CI Rete) = 0} ae = {2 eile = 1}
BB ~ {2 Cl imi) = 0} oF = {2 Cll <2)
oD = {2 EO] Rete) 210 mí) > 2)
gran nina caja dos mar comple ue
bts
Fade 8, qm à onto in dos comple 2 = plan 10
Pe
EEE are m 0 concen de pri agro aw coma
20 8e 4 anode 20 0 bone dem que coruna ds one Amanda e
Coney st
BACH) min com re
BERNIE Prendre pan And an
So 22p» {cos 8 + i+ sen Öl. prover que fe e rente que L=!*= 4 imaginério puro.
# BE
(ee cn em pe
TONES
erdi are 13,
sabendo que
al 0 médulo
#5 6 5, um de seus argumentos está comprendido e
brant.
bo quedado deer aie
..<o
27-F
IV. POTENCIAGAO
25. Teorema
“O módulo do produto de dois números complexos é igual 20 produto dos
módulos dos fatores e seu argumento é congruente à soma dos argumentos dos
fatores.”
Demonstragäo
Suponhamos dados os números.
21 = pas (cosy +
Za = pa (cos + à
sen)
san 03)
€ calculemos módulo e argumento de:
ze nee po (ood + Le send)
Temos:
2521+ 2% pa pa (eos 8 + à + son Geo Ba +1 + send) =
= py + pa [160 Ay. 0088; - son Dyson 23) +
+ is (sen By + cos 0, + sen 8+ 605 8:1)
portant
pr {cos 6 +i + sen 6) = (os + pa) [eos (0, +01) +i + sen (0, + 02)]
ento
P= pres
9 = (0,403) +2km, KER
Exemplos
fay = 2+t00s® + i+ sand
( IE eng!
19)
De fato, temos
VE 1 1, V3) 20 (3.1343,
au ROJO ie BE A is
393.398, 1102 = 6 (cos 4 i+ sen
rn Gin 6 (con ri eng)
o o
rn
6 24
si enn Er
LN
las = 62 toon + à sen
De tro, temos
ne YS lie ich 2 c2 V8 + 2003-00 »
= 1846) +6 V3+6V3) © -12+1-12V3 =
1, x3, edt
tte Ds = 240828 + jose)
ee, Me
Coservemos ue 2 = SE + MF 2e
26. A formula que acaba de ser deduzida estende-se ao produto de n fatores
{n > 2), desde que apliquemos a propriedade associativa da multiplicagáo:
Be ment. = pe (0060 + i+ sen8)
ento
22 lor0103:-:pa)lcos (01 4024... + Bu) +i + sen (0) #854... Bal]
portanto
p= (cos 8 +i+ sen 8) = (o192...pn) + [eos (0,+0,+...+0n) +
+ ie sen (8, +82+...+00)]
+ finalmente:
ES
0=10,+0,+0,+...+0p) +2kr, KEZ
iste & o módulo do produto de n números complexos é igual a0 produto dos
médulos dos fatores e seu argumento & congruente à soma dos argumentos dos
fatores.
25. Teorema
“O módulo do produto de dois números complexos é igual 20 produto dos
módulos dos fatores e seu argumento é congruente à soma dos argumentos dos
fatores.”
Demonstragäo
Suponhamos dados os números.
21 = pas (cosy +
Za = pa (cos + à
sen)
san 03)
€ calculemos módulo e argumento de:
ze nee po (ood + Le send)
Temos:
2521+ 2% pa pa (eos 8 + à + son Geo Ba +1 + send) =
= py + pa [160 Ay. 0088; - son Dyson 23) +
+ is (sen By + cos 0, + sen 8+ 605 8:1)
portant
pr {cos 6 +i + sen 6) = (os + pa) [eos (0, +01) +i + sen (0, + 02)]
ento
P= pres
9 = (0,403) +2km, KER
Exemplos
fay = 2+t00s® + i+ sand
( IE eng!
19)
De fato, temos
VE 1 1, V3) 20 (3.1343,
au ROJO ie BE A is
393.398, 1102 = 6 (cos 4 i+ sen
rn Gin 6 (con ri eng)
o o
rn
6 24
si enn Er
LN
las = 62 toon + à sen
De tro, temos
ne YS lie ich 2 c2 V8 + 2003-00 »
= 1846) +6 V3+6V3) © -12+1-12V3 =
1, x3, edt
tte Ds = 240828 + jose)
ee, Me
Coservemos ue 2 = SE + MF 2e
26. A formula que acaba de ser deduzida estende-se ao produto de n fatores
{n > 2), desde que apliquemos a propriedade associativa da multiplicagáo:
Be ment. = pe (0060 + i+ sen8)
ento
22 lor0103:-:pa)lcos (01 4024... + Bu) +i + sen (0) #854... Bal]
portanto
p= (cos 8 +i+ sen 8) = (o192...pn) + [eos (0,+0,+...+0n) +
+ ie sen (8, +82+...+00)]
+ finalmente:
ES
0=10,+0,+0,+...+0p) +2kr, KEZ
iste & o módulo do produto de n números complexos é igual a0 produto dos
médulos dos fatores e seu argumento & congruente à soma dos argumentos dos
fatores.
27. Já vimos que a forma algébrica facilita as operaçües de adigio, subtracio,
multiplicacáo divisio de números complexos, porém, se necessitarmos calcule
be + vil", com n € Z.näo teremos outro recurso seno usar a fórmula do bind-
mio de Newton que é bastante trabalhosa.
Com a finalidade de simplificar a operacáo de potenciaçäo com complexos,
colocamos o seguinte:
28. Teorema
+ sen Öl, näo nulo, e o número
Dados o número complexe z = p+ (cos 8 +
inteiro n, entéo:
2 = ps (corn + i- send)
(18 formula de Move)
Demonstragso
1 parte
Provemos que a propriedade & válida para n € N, usando o principio da
indugäo finita.
a son = Demi [= 1
PP (cos.0 + i+ sen 0}
b) admitamos a validade da fórmula para n = K-1
Te BIN [eos (k= 1) 9 4 sen ik- 190)
e provemos paran = k
Pm pil [cos tk - 110 +i + sen (k= 1)8] p + (cos 8 +i+ sendy)
= (as ph [cos (tk - 138 +8) +i + sen Uk = 110 +01) =
© PX (cos kB + i+ sen kd)
22 pare
Vamos estender a propriedade para n € Z,.
Sen < 0, entáo n= =m com m € N, portanto a mse aplica a fórmula:
cu 1
zn pms (cos mo +
+ sen mb)”
1, cosmé-i sen mo
(os má + 1 sen mé) (cos mé = i= son mB)
1, cos mb =i + sen me
eme gem. (oo -md} ++ se m0]
om
= pn (cos nô + i+ sen nd}
Exemplos
19) Calcular z} send zu
322 Bun
IR sen SE
2) Calcular 2f sendo 2, = 2 + 1+ 2 V3.
Temos:
taie VES VSP à VAE T2 = VIE = 4
1 a
aza2 Vd de Dina Corks isan
Ku a (eos À e
= 512-1-512 43
EXERCICIOS
F.49 (MAPOFEI-741 Dodo o número complex 2 = 1 + i, determinac © mbdul o 0 ara
mento do complexe 24.
Eso
si eat; ao eva
multiplicacáo divisio de números complexos, porém, se necessitarmos calcule
be + vil", com n € Z.näo teremos outro recurso seno usar a fórmula do bind-
mio de Newton que é bastante trabalhosa.
Com a finalidade de simplificar a operacáo de potenciaçäo com complexos,
colocamos o seguinte:
28. Teorema
+ sen Öl, näo nulo, e o número
Dados o número complexe z = p+ (cos 8 +
inteiro n, entéo:
2 = ps (corn + i- send)
(18 formula de Move)
Demonstragso
1 parte
Provemos que a propriedade & válida para n € N, usando o principio da
indugäo finita.
a son = Demi [= 1
PP (cos.0 + i+ sen 0}
b) admitamos a validade da fórmula para n = K-1
Te BIN [eos (k= 1) 9 4 sen ik- 190)
e provemos paran = k
Pm pil [cos tk - 110 +i + sen (k= 1)8] p + (cos 8 +i+ sendy)
= (as ph [cos (tk - 138 +8) +i + sen Uk = 110 +01) =
© PX (cos kB + i+ sen kd)
22 pare
Vamos estender a propriedade para n € Z,.
Sen < 0, entáo n= =m com m € N, portanto a mse aplica a fórmula:
cu 1
zn pms (cos mo +
+ sen mb)”
1, cosmé-i sen mo
(os má + 1 sen mé) (cos mé = i= son mB)
1, cos mb =i + sen me
eme gem. (oo -md} ++ se m0]
om
= pn (cos nô + i+ sen nd}
Exemplos
19) Calcular z} send zu
322 Bun
IR sen SE
2) Calcular 2f sendo 2, = 2 + 1+ 2 V3.
Temos:
taie VES VSP à VAE T2 = VIE = 4
1 a
aza2 Vd de Dina Corks isan
Ku a (eos À e
= 512-1-512 43
EXERCICIOS
F.49 (MAPOFEI-741 Dodo o número complex 2 = 1 + i, determinac © mbdul o 0 ara
mento do complexe 24.
Eso
si eat; ao eva
Es
Fz
32
E 3 vz
A Ê
v2
ds
ng 2
mt
Forma none: + = VF tae Es an 2,
212 ta DA [eos 20m) + à om Gat] à
zen à en ui
E
plat Vedat + ER - 2, 000 -
forma tigonomérrica: 2 = 2 (eos
20 = 220 (005 MOM y à sen À
2 = 280 (ox 10
6
SE)
um
po oi ZN 7
bi Er + a6
Vrilizando as 1érmuls de Newton e Moivre, expresar sen 28 e cos 20 am funcio de
sen decos.
Solugio
On prensa formula de Move:
202 [p+ los 9+ son DJ = ann + à» son nd) decora au
Leo 41+ sen OI = fc nd + stn nd, à EZ
Esa
Esa
rss
Eso
Fazenda = 2, tomos
(cos + isn? = cos 20 + à + sen 20
año, desenvolvendo o primaire membre pet
on D + 2 + coe D «sen 01:2 gen? = vos 28 +i «sen 20
(cor? 9 en?) 1 à + (yon coe 8) — cor 28 4 + 400 26
Luis de Newton, tomos:
portanto concluimos ques
cor 20 - cost dm sen 20 à 20000 cos 9
pars todo 6 cea,
de Newton e Moivre
Utilizando as oem pcpresar sen 28 e cos 30 em funcio de
sen De cos 8
Osterminar o menor número n natural pare o quel {VIN à imaginario puro.
Solugio
5 Bm
"VE santa mist pe 2 0agumento pin 0 À, ets
Para que 2° sto imaginirio puro & necesirio que seu orgumento sea da forma
E San
Be kn K Ez, pois cos SAE» 0, Assi, tomos:
5.1 sno
oun otek ske ME
¡Como K & inteuo, n= 3 deve ser múltiplo de 6 € o mínimo n, natural, paraiso ocorrer
n= 3 (pos 513) -3 = 12
Veritiande:
hr 165 18 E 5
eV En LE «8 tear SF + i+ son ÊE
Bose 8
Determinar o menor valor de n,n © N, parao qual (V3 + 906;
al reste poste: BI res à negativo; ©) imaginario puro,
(MAPOFEL-T0)
3) Determinar o número complexa z tel que lz + 2F + 1-1 - 0, onde id. unidade
imusjndri e ¥ 0 conjugado de 2.
I Qua! o módulo € 0 argumento dess complex?
el Determinar a potóncia de expoante 1004 dese complexa,
Fz
32
E 3 vz
A Ê
v2
ds
ng 2
mt
Forma none: + = VF tae Es an 2,
212 ta DA [eos 20m) + à om Gat] à
zen à en ui
E
plat Vedat + ER - 2, 000 -
forma tigonomérrica: 2 = 2 (eos
20 = 220 (005 MOM y à sen À
2 = 280 (ox 10
6
SE)
um
po oi ZN 7
bi Er + a6
Vrilizando as 1érmuls de Newton e Moivre, expresar sen 28 e cos 20 am funcio de
sen decos.
Solugio
On prensa formula de Move:
202 [p+ los 9+ son DJ = ann + à» son nd) decora au
Leo 41+ sen OI = fc nd + stn nd, à EZ
Esa
Esa
rss
Eso
Fazenda = 2, tomos
(cos + isn? = cos 20 + à + sen 20
año, desenvolvendo o primaire membre pet
on D + 2 + coe D «sen 01:2 gen? = vos 28 +i «sen 20
(cor? 9 en?) 1 à + (yon coe 8) — cor 28 4 + 400 26
Luis de Newton, tomos:
portanto concluimos ques
cor 20 - cost dm sen 20 à 20000 cos 9
pars todo 6 cea,
de Newton e Moivre
Utilizando as oem pcpresar sen 28 e cos 30 em funcio de
sen De cos 8
Osterminar o menor número n natural pare o quel {VIN à imaginario puro.
Solugio
5 Bm
"VE santa mist pe 2 0agumento pin 0 À, ets
Para que 2° sto imaginirio puro & necesirio que seu orgumento sea da forma
E San
Be kn K Ez, pois cos SAE» 0, Assi, tomos:
5.1 sno
oun otek ske ME
¡Como K & inteuo, n= 3 deve ser múltiplo de 6 € o mínimo n, natural, paraiso ocorrer
n= 3 (pos 513) -3 = 12
Veritiande:
hr 165 18 E 5
eV En LE «8 tear SF + i+ son ÊE
Bose 8
Determinar o menor valor de n,n © N, parao qual (V3 + 906;
al reste poste: BI res à negativo; ©) imaginario puro,
(MAPOFEL-T0)
3) Determinar o número complexa z tel que lz + 2F + 1-1 - 0, onde id. unidade
imusjndri e ¥ 0 conjugado de 2.
I Qua! o módulo € 0 argumento dess complex?
el Determinar a potóncia de expoante 1004 dese complexa,
V. RADICIAGÄO
28. Dado um número complexo 2, chamarse raiz enézima de z, e denotase
um número complexo 2% tal que ZI
xl
Assim, por exemplo, temos:
$ um valor de YT pois
'
19) É NT y 1
q é um valor de YT pois qe
5.48 y 1
gi 8 um valor de ŸT pois (y
v2 i vz
nem os Fs
y u 5 lor de VT pois (03
A diwvida que imediatamente surge é: “quantas 530 as rafzes enézimas de 2 0
‘como determiná las?” A resposta a esta pergunta vem a segr
30. Teorema
Dados o número complexo z = p (eos 0 + i+ send} e o número natural
nin > 2), entáo existem n raízes enézimas de z que so de forma
a Votos + ino 2]
{28 formal de Move)
onde Vp ER EKER
Demonstragóo
Determinemos todos os complexos zx tais que Vz = 24
Sem =
+ (eos & + is sen co}, nossas incógnitas sdo r e co. Apliquemos a
34.
Meira met
emtáo: M + (cos mo + i+ sen neo) = p+ (cos 6 + i+ sen 8)
portanto é necessário:
CER
(2) cos mo = cos
nés + 2K >
(3) senc = send y
Supondo 0 < 0 < 2m, vamos determinar os valores de K para os quais re-
sultam valores de co compreendidas entre O e 2m;
webs hone
Estes n valores de co no sdo congruentes por estarem todos no intervalo
[0.2n. portanto, do origem a n valores distintos para zu
Consideremos agora o valor de wo obtido para K = n:
Ponto
Este valor de 4 à dispensävel por ser congruente ao valor obtido com K = 0.
1,-2,-3,..
Entáo para obter todos os valores de 24, ¿suficiente fazer K=0,1,2,....n-1
Fato endlogo ocore para K = n + 1,n+2,n+3,.….eK
Conclusdo: todo número complexo 2 näo nulo admite n raízes enszimas dis
tintas as quais tém todas o mesmo module IV 121} e argumentos principais for-
355
28. Dado um número complexo 2, chamarse raiz enézima de z, e denotase
um número complexo 2% tal que ZI
xl
Assim, por exemplo, temos:
$ um valor de YT pois
'
19) É NT y 1
q é um valor de YT pois qe
5.48 y 1
gi 8 um valor de ŸT pois (y
v2 i vz
nem os Fs
y u 5 lor de VT pois (03
A diwvida que imediatamente surge é: “quantas 530 as rafzes enézimas de 2 0
‘como determiná las?” A resposta a esta pergunta vem a segr
30. Teorema
Dados o número complexo z = p (eos 0 + i+ send} e o número natural
nin > 2), entáo existem n raízes enézimas de z que so de forma
a Votos + ino 2]
{28 formal de Move)
onde Vp ER EKER
Demonstragóo
Determinemos todos os complexos zx tais que Vz = 24
Sem =
+ (eos & + is sen co}, nossas incógnitas sdo r e co. Apliquemos a
34.
Meira met
emtáo: M + (cos mo + i+ sen neo) = p+ (cos 6 + i+ sen 8)
portanto é necessário:
CER
(2) cos mo = cos
nés + 2K >
(3) senc = send y
Supondo 0 < 0 < 2m, vamos determinar os valores de K para os quais re-
sultam valores de co compreendidas entre O e 2m;
webs hone
Estes n valores de co no sdo congruentes por estarem todos no intervalo
[0.2n. portanto, do origem a n valores distintos para zu
Consideremos agora o valor de wo obtido para K = n:
Ponto
Este valor de 4 à dispensävel por ser congruente ao valor obtido com K = 0.
1,-2,-3,..
Entáo para obter todos os valores de 24, ¿suficiente fazer K=0,1,2,....n-1
Fato endlogo ocore para K = n + 1,n+2,n+3,.….eK
Conclusdo: todo número complexo 2 näo nulo admite n raízes enszimas dis
tintas as quais tém todas o mesmo module IV 121} e argumentos principais for-
355
31, Aplicagóes m2 2 (coset io send) = SRG
K=O m2 22+ (she io send) = VF
19) Calcular as raízos quadradas de -1 2 2
ee Kata 22+ cos eis sony =a be VS
De acordo com a fórmula deduzida, temos
-V3
a © K=2 mn 2+ los rin
Be Vieles} + Ka +i + sen (5 + Keil, K€ (0,1
ES a
E : o eee
KO 2 21+ fork tie son dy ei K=3 me 2: (cos y 3
Ketone te foe Zea ele mia (Y)
: + 2 32. Interpretaçäo geométrica
28) Calcular as raízes cúbicas de 8. Vimos que Y pode assumir n valores distintos porém todos com à mesmo
módulo, Assim, os afixos das n raízes enézimas de z sio pontos da mesma cir
EL cunferéncia, com centro na origem do plano de Argand e raio Y Tz1.
Pela fórmula deduzida, ve
Vimos também que os argumentos principais de Y z formam uma progressäo
= VB feos K 224 ¡sen k + 27
ne YE cos ¡sen ko y
3 ata times de 2 divider a cicuntorncia de centro 0, 0) e rio r = VTiem a pares
Kn Om = 24 {6060 + ie send) = 2 congruentes, to 6
an ind sen säo pontos diametralmente opostos
Ketezn2 (nie sen 27 2 sio pontos diametralmente opost
3 où
Ka 2 + YB 2e ts oise) o 145 V3 se n > 3 sio vértices de um poligono regular inscrito na circunferéncia citada.
Roexaminando as apticacós vistes no item 31. tomos:
3% Calcular as raízes quartas de 841: 8 V3
5 19) raies quadradas de -1
Temosz = -8 + ir 83, entéo = 16 8 6 ued
me = t= los (E+ Kab + à con EE Kal
Aplicando a fórmula, vem: del Ir FRE 2 1
4 = E 0% valores de VI täm afixas que
AER cia haz . idem à croi decent
y 7 4 4 10, 0) e raio 1 em duas partes con-
3
= 2efoos(E + KZ) rice (tek Fh Ke 01,23
sr 37.6
K=O m2 22+ (she io send) = VF
19) Calcular as raízos quadradas de -1 2 2
ee Kata 22+ cos eis sony =a be VS
De acordo com a fórmula deduzida, temos
-V3
a © K=2 mn 2+ los rin
Be Vieles} + Ka +i + sen (5 + Keil, K€ (0,1
ES a
E : o eee
KO 2 21+ fork tie son dy ei K=3 me 2: (cos y 3
Ketone te foe Zea ele mia (Y)
: + 2 32. Interpretaçäo geométrica
28) Calcular as raízes cúbicas de 8. Vimos que Y pode assumir n valores distintos porém todos com à mesmo
módulo, Assim, os afixos das n raízes enézimas de z sio pontos da mesma cir
EL cunferéncia, com centro na origem do plano de Argand e raio Y Tz1.
Pela fórmula deduzida, ve
Vimos também que os argumentos principais de Y z formam uma progressäo
= VB feos K 224 ¡sen k + 27
ne YE cos ¡sen ko y
3 ata times de 2 divider a cicuntorncia de centro 0, 0) e rio r = VTiem a pares
Kn Om = 24 {6060 + ie send) = 2 congruentes, to 6
an ind sen säo pontos diametralmente opostos
Ketezn2 (nie sen 27 2 sio pontos diametralmente opost
3 où
Ka 2 + YB 2e ts oise) o 145 V3 se n > 3 sio vértices de um poligono regular inscrito na circunferéncia citada.
Roexaminando as apticacós vistes no item 31. tomos:
3% Calcular as raízes quartas de 841: 8 V3
5 19) raies quadradas de -1
Temosz = -8 + ir 83, entéo = 16 8 6 ued
me = t= los (E+ Kab + à con EE Kal
Aplicando a fórmula, vem: del Ir FRE 2 1
4 = E 0% valores de VI täm afixas que
AER cia haz . idem à croi decent
y 7 4 4 10, 0) e raio 1 em duas partes con-
3
= 2efoos(E + KZ) rice (tek Fh Ke 01,23
sr 37.6
20) raizes cúbicos de 8 exencicios
2 2
2 = 2: leosk o + bean À] FST Caicur
3 3 ONE DC
Os afixos de VE divider a circunteráncia de contro (0, 0) e rio 2 em wi a Vara a Va
partes congruentes Sugertio: usara definigbo de
F8 Cotcular
ON wei avis a Vor
Ya 0" onza
le nine, VIVE 30
°
59 Calcular pela defini de
Solo
Por detinicdo, temos: V2 + 2, om à
VAE SG = yi 1640 Levi
Esto Último igusidade, sa desenvoivermes (x + il pels ürmula do Binbmio de Newton,
jp) raies quartas de -B + +
a in er ae 238 #20) = del a iP
ay = 2 [cos (GAR 5) 44+ seme + KT EIKE Par Ev
xt-y? 6 (1
amen 0
Os afixos de Y -8 + i+ 8 V3 sio vértices do quadrado inscrito na circun- portanto:
feröneia de centro (0, 0) e raio 2, sendo (/3, 1) um dos vértices
De @ vemy = E ento
Br ext 164.26 - 0 »
1
“3 mo y 1B
donde ver d'ou
15
x +8 punto y
5
Resposta: VIG 1 301 4 qual a 3 + Si où -3-51
EGO (MAPOFEI-75) Determinar ar raices quauradas do número complexo 2 5 - 121
38-F 30-F
2 2
2 = 2: leosk o + bean À] FST Caicur
3 3 ONE DC
Os afixos de VE divider a circunteráncia de contro (0, 0) e rio 2 em wi a Vara a Va
partes congruentes Sugertio: usara definigbo de
F8 Cotcular
ON wei avis a Vor
Ya 0" onza
le nine, VIVE 30
°
59 Calcular pela defini de
Solo
Por detinicdo, temos: V2 + 2, om à
VAE SG = yi 1640 Levi
Esto Último igusidade, sa desenvoivermes (x + il pels ürmula do Binbmio de Newton,
jp) raies quartas de -B + +
a in er ae 238 #20) = del a iP
ay = 2 [cos (GAR 5) 44+ seme + KT EIKE Par Ev
xt-y? 6 (1
amen 0
Os afixos de Y -8 + i+ 8 V3 sio vértices do quadrado inscrito na circun- portanto:
feröneia de centro (0, 0) e raio 2, sendo (/3, 1) um dos vértices
De @ vemy = E ento
Br ext 164.26 - 0 »
1
“3 mo y 1B
donde ver d'ou
15
x +8 punto y
5
Resposta: VIG 1 301 4 qual a 3 + Si où -3-51
EGO (MAPOFEI-75) Determinar ar raices quauradas do número complexo 2 5 - 121
38-F 30-F
F.61 Um quadeado, imite namo circunteróncia de centro na erigem, tem como um da seve
vérices o alza de 2, - 3. Que números complexos do repeesentados pelos outros ibs
vertices?
Solugio 1
Os vértices do quadeado representan as rares quartas de um corto 2 E €. Como uma
das raízes € 31, temas:
Ya e a
Vamos obter os outs ralzes: 2 = 81 = 81-000 à 1 sen}
0+2kn Prenat
zen oleo PRT à den =
= Sous Er ara SE) com €
sto À Fy com E (0.1.2.9)
komo. ES
ktm Kama di
portanto os númeras procurados so 3,-3 0 Ai
Soluedo 2
A circunferencia em questo tem centro.
a origem e atta por PO, 3. portant
seu aio 4 3. Em conseaiéncio, la inter.
cepts os eixos nos pontos (3, 0h, 10, D.
3, 0) e 40, -3) que 180 os vértices do
qundrade
Conclusfo: os números proeursdos so
90. 3.43.01° 300,.9. 3
v2, v2
F.62 Sendo S + 5 - V2 uma des izes quarts de um nümero 2, determinar as rires que
rads de 2
F3 (EE, Lins-661 Uma du raizes de ordam 6 de um número complexo b +2, Determinar as
‘tas rares de orde 6 des número.
F.64 Detorminargraficamonto a rares quarts de 1
F.65 Um hexigono regular, merito numa cicunteréncia de contro na orgem, tem como um
e vous véxices o una de z — 24 Que número: complexas 130 representados pelos au
"os cinco vénuces do hexagon?
F.56 Representar graticamense os números + Bi
F.67_ Representa graficamente as soluzóos da equaro Dindmia (2= 1 +18 1
F.68 Demonstrar que
coma des rates de indice Zn de um número complexe qualquer é zero
40-F
VI. EQUAÇOES BINÓMIAS E TRINÓMIAS
33. Chamase equacdo binômia toda equacáo redutível à forma
EX
ondea be Ga#Dene N.
Para resolver uma equacäo bindmis basta isolar x" e aplicar à definiçäo de
radiciagäo em €:
x +b 0m x"
Observemos que a equacdo binómiz admite n
VE
Ya
Exomplo
Resolver 3x + 192 = 0,
ax 192 00 xt = Mn
fazendo z = -64,vemp = 171 = 64 e 0 = 2, entio.
Va (224 n+ 2k
YEE fos AS
Pelos (gr Ko Gris te Ke Fi K = 01,
Ke Onaga 2 + ie
Ketan 2 loos dei
K=2— 22 = 2+ (cos D + 40 son
vérices o alza de 2, - 3. Que números complexos do repeesentados pelos outros ibs
vertices?
Solugio 1
Os vértices do quadeado representan as rares quartas de um corto 2 E €. Como uma
das raízes € 31, temas:
Ya e a
Vamos obter os outs ralzes: 2 = 81 = 81-000 à 1 sen}
0+2kn Prenat
zen oleo PRT à den =
= Sous Er ara SE) com €
sto À Fy com E (0.1.2.9)
komo. ES
ktm Kama di
portanto os númeras procurados so 3,-3 0 Ai
Soluedo 2
A circunferencia em questo tem centro.
a origem e atta por PO, 3. portant
seu aio 4 3. Em conseaiéncio, la inter.
cepts os eixos nos pontos (3, 0h, 10, D.
3, 0) e 40, -3) que 180 os vértices do
qundrade
Conclusfo: os números proeursdos so
90. 3.43.01° 300,.9. 3
v2, v2
F.62 Sendo S + 5 - V2 uma des izes quarts de um nümero 2, determinar as rires que
rads de 2
F3 (EE, Lins-661 Uma du raizes de ordam 6 de um número complexo b +2, Determinar as
‘tas rares de orde 6 des número.
F.64 Detorminargraficamonto a rares quarts de 1
F.65 Um hexigono regular, merito numa cicunteréncia de contro na orgem, tem como um
e vous véxices o una de z — 24 Que número: complexas 130 representados pelos au
"os cinco vénuces do hexagon?
F.56 Representar graticamense os números + Bi
F.67_ Representa graficamente as soluzóos da equaro Dindmia (2= 1 +18 1
F.68 Demonstrar que
coma des rates de indice Zn de um número complexe qualquer é zero
40-F
VI. EQUAÇOES BINÓMIAS E TRINÓMIAS
33. Chamase equacdo binômia toda equacáo redutível à forma
EX
ondea be Ga#Dene N.
Para resolver uma equacäo bindmis basta isolar x" e aplicar à definiçäo de
radiciagäo em €:
x +b 0m x"
Observemos que a equacdo binómiz admite n
VE
Ya
Exomplo
Resolver 3x + 192 = 0,
ax 192 00 xt = Mn
fazendo z = -64,vemp = 171 = 64 e 0 = 2, entio.
Va (224 n+ 2k
YEE fos AS
Pelos (gr Ko Gris te Ke Fi K = 01,
Ke Onaga 2 + ie
Ketan 2 loos dei
K=2— 22 = 2+ (cos D + 40 son
portanto o conjunto-solugáo de 3x* + 192 = 0 é
S= (V3 +i, 2-V8 + à -V3-i 2
representado pelos vértices do hexágono regular da figura.
be
, Va-i
ExERCICIOS
Violet + Br vic Een ohren
au Velten ein Zens ole € (0.1.2)
Kroatien
70. Resolver ax soguintos equases binómias
a dino o 8-0
Do ar 1-0
rin Ben.
a2-F
34. Chama:se equacio trinömia toda equagdo redutivel à forma
eo tbh + 6 = 0
onde abe EG a#0b#0enEN
Para resolver uma equagio trinómia faz se x" = y, obtém-se yy e yz raízes da
equacio ay? + by + e = 0e, finalmente, recaise nas equagöes bindmias x” = y, e
x" = y? determinando-se as 2n raízes,
Exemplo
Resolver x* + 7x*-B = 0.
Fazendo x? = y, resulta y" + 7y-8 = Oportanto:
ei
749
MATAS
7
Leys
Y
Vamos resolver a equecño bindmia x? = y, = 1 da qual decorre x =
Como 2 = 1 tem módulo 1 e argumento D, ver:
2Kn ES
rien,
x= zx = 1 (cos K=0,1,2
K =D => 29 =cos0 + 1e sen 0 = 1
Lai Ve
es
1-7
asusto
mg ng
2=2%
Vamos resolver a equacáo binómia x? = yz = ~B da qual decorre x =
Como 2 = -8 tem mödulo 8 e argumento 7, vem
x= 2 = 20 leost
À + is sent 1 K=0,1,2
1+2n n+2Ka
3 3
S= (V3 +i, 2-V8 + à -V3-i 2
representado pelos vértices do hexágono regular da figura.
be
, Va-i
ExERCICIOS
Violet + Br vic Een ohren
au Velten ein Zens ole € (0.1.2)
Kroatien
70. Resolver ax soguintos equases binómias
a dino o 8-0
Do ar 1-0
rin Ben.
a2-F
34. Chama:se equacio trinömia toda equagdo redutivel à forma
eo tbh + 6 = 0
onde abe EG a#0b#0enEN
Para resolver uma equagio trinómia faz se x" = y, obtém-se yy e yz raízes da
equacio ay? + by + e = 0e, finalmente, recaise nas equagöes bindmias x” = y, e
x" = y? determinando-se as 2n raízes,
Exemplo
Resolver x* + 7x*-B = 0.
Fazendo x? = y, resulta y" + 7y-8 = Oportanto:
ei
749
MATAS
7
Leys
Y
Vamos resolver a equecño bindmia x? = y, = 1 da qual decorre x =
Como 2 = 1 tem módulo 1 e argumento D, ver:
2Kn ES
rien,
x= zx = 1 (cos K=0,1,2
K =D => 29 =cos0 + 1e sen 0 = 1
Lai Ve
es
1-7
asusto
mg ng
2=2%
Vamos resolver a equacáo binómia x? = yz = ~B da qual decorre x =
Como 2 = -8 tem mödulo 8 e argumento 7, vem
x= 2 = 20 leost
À + is sent 1 K=0,1,2
1+2n n+2Ka
3 3
K=0 > x= 220052 + i- send
3
Kat as 2er + isa)
> e any E 3
K-2 ma = 2+ feos tie © iv?
Eo conjunto-sofugäo da aquagdo trinómia 8:
5.“ 1413, +2.
EXERCICIO
FIA. Resolver ax sopuintos equacdes rinômia:
al xt im 16-0 bl xf +83 48-0
Or 240 ira 0
0) arar 0 ENE
aa
3
Kat as 2er + isa)
> e any E 3
K-2 ma = 2+ feos tie © iv?
Eo conjunto-sofugäo da aquagdo trinómia 8:
5.“ 1413, +2.
EXERCICIO
FIA. Resolver ax sopuintos equacdes rinômia:
al xt im 16-0 bl xf +83 48-0
Or 240 ira 0
0) arar 0 ENE
aa
Nasce a "Matemática Moderna”
A Matemática do século XX é marcada por grande abstracäo e preocupacio
cada vez maior em anälise de grandes esquemas.
Em 1939 surge o primeiro volume de uma grande obra chamada “Elementos
de Matemática” que ainda está em pleno desenvolvimento, tendo sido editado.
seu trigésimo primeiro volume em 1965 o quai ainda ndo está completo em sua
parte I, “As Estruturas Fundementais da Análise” com os subtitulos: Teoria dos
Conjuntos, Algebra, Topología Geral, Fungdes de Variável Real, Espacos Veto-
riais Topológicos e Integracño. Em suas páginas há o nome do autor - "Nicolas
Bourbaki” ~ um francés inexistente com nome grego.
O que se sabe € que em Nancy, cidade onde nasceram vérios dos grandes
matemáticos, hé uma estätua do pitoresco General Charles Denis Sauter Bourbaki,
a quem em 1862 foi oferecido o trono da Grécia que ele rejeitou e que foi parti
cipante notável da guerra francoprussiana. Entretanto, Nicolas Bourbaki nem
mesmo foi parente distante deste general, dando à entender que esse nome foi
tomado simplesmente para designar um grupo de matemáticos, quase todos fran:
ceses, que formam uma espécie de sociedade secrete, da qual André Weil e Jean
Dieudonné säo dois dos mais importantes líderes
André Weil nasceu em 1906, participou de Universidade de Chicago e mais
atuaimente do Instituto de Estudos Avancados, em Princeton,
Jean Dieudonné nasceu também em 1906 e após a segunda guerra langou
sua obra “Novos Desenvovimentos em Matemática” com idsias radicalmente
novas, anunciando uma nova era. Participou da Universidade de Nancy, depois
da Universidade de Paris e mais atualmente da Northwestern University
Os trabalhos de Bourbaki caracteri
zam-se por uma adesäo completa a0 trata
mento axiomático, por uma forma total
mente abstrata e Geral, retratando uma
estsutura lógica. Estas idéias 530 respon:
sáveis pelas mudancas na Matemática em
nivel elementar e secundário, movimento
conhecido como “Matemática Moderna”
Weil, concordando com Hilbert, olhe
Para os problemas a serem resolvidos como
sinal seguro de que a Matemática continue
rá progredindo, Sobre o futuro ele diz: “O
grande matemático do futuro, como o do
passado, fugirá dos caminhos batidos. E
através de idéias inesperadas, a que nossa
imaginagdo no saberis como chegar, que
le os resolverá"
Jean Dieudonné
11906)
CAPITULO
POLINOMIOS
1. POLINOMIOS
35. Detinig
Dada a seqiiéncia de números complexos (ao, a, Ay... @q). Consideremos a
Fungo: t: €-+ € dada por f(x) = ay + a,x + jx? +... +ancn. A funcio fé
denominada fungáo polinomial eu polinômio associado a sequéncia dada.
Os números do, 31, 95, ++, An $80 denominados coeficientes e as parcelas
80, 8:%, 8207, .... aux" so chamados termos do polindmio f
36. Exemplos
As seguintes aplicagóes sio polinómios
fhe) = 1 + 2x + 30° - 5x onde aye 1,9, 2,07=3097=-5,
glx) = 1 + 2x4 onde ag=1,a)= a= a5= 00 ay=7
RO = 5x 3x onde an 43 = 0, 2, = 5 e a3=-3,
37. Definigio
Dados o número complexo a e 0 polinömio x) = ay a1x tapó +... + ax,
‘chama-se valor numérico de f em a a imagem de à pele fungáo f, isto 6:
Hal = ay + aya + alt... tapan,
Assim, por exemplo, se f(x) = 2+ x + x2 +3, temos:
112) = 24242 43-2 0 32
fea) = 2461) HM =
r+ 2 (Ved ee sae
22+1+itt+2-14+8+0i-9- 32-34%,
Muse vezes para simplficar a roracáo, erereveremor apenas
AS
para simbolizar um polindmio # na varidvel x. Norte caso f 60 mesmo que fh
47-5
A Matemática do século XX é marcada por grande abstracäo e preocupacio
cada vez maior em anälise de grandes esquemas.
Em 1939 surge o primeiro volume de uma grande obra chamada “Elementos
de Matemática” que ainda está em pleno desenvolvimento, tendo sido editado.
seu trigésimo primeiro volume em 1965 o quai ainda ndo está completo em sua
parte I, “As Estruturas Fundementais da Análise” com os subtitulos: Teoria dos
Conjuntos, Algebra, Topología Geral, Fungdes de Variável Real, Espacos Veto-
riais Topológicos e Integracño. Em suas páginas há o nome do autor - "Nicolas
Bourbaki” ~ um francés inexistente com nome grego.
O que se sabe € que em Nancy, cidade onde nasceram vérios dos grandes
matemáticos, hé uma estätua do pitoresco General Charles Denis Sauter Bourbaki,
a quem em 1862 foi oferecido o trono da Grécia que ele rejeitou e que foi parti
cipante notável da guerra francoprussiana. Entretanto, Nicolas Bourbaki nem
mesmo foi parente distante deste general, dando à entender que esse nome foi
tomado simplesmente para designar um grupo de matemáticos, quase todos fran:
ceses, que formam uma espécie de sociedade secrete, da qual André Weil e Jean
Dieudonné säo dois dos mais importantes líderes
André Weil nasceu em 1906, participou de Universidade de Chicago e mais
atuaimente do Instituto de Estudos Avancados, em Princeton,
Jean Dieudonné nasceu também em 1906 e após a segunda guerra langou
sua obra “Novos Desenvovimentos em Matemática” com idsias radicalmente
novas, anunciando uma nova era. Participou da Universidade de Nancy, depois
da Universidade de Paris e mais atualmente da Northwestern University
Os trabalhos de Bourbaki caracteri
zam-se por uma adesäo completa a0 trata
mento axiomático, por uma forma total
mente abstrata e Geral, retratando uma
estsutura lógica. Estas idéias 530 respon:
sáveis pelas mudancas na Matemática em
nivel elementar e secundário, movimento
conhecido como “Matemática Moderna”
Weil, concordando com Hilbert, olhe
Para os problemas a serem resolvidos como
sinal seguro de que a Matemática continue
rá progredindo, Sobre o futuro ele diz: “O
grande matemático do futuro, como o do
passado, fugirá dos caminhos batidos. E
através de idéias inesperadas, a que nossa
imaginagdo no saberis como chegar, que
le os resolverá"
Jean Dieudonné
11906)
CAPITULO
POLINOMIOS
1. POLINOMIOS
35. Detinig
Dada a seqiiéncia de números complexos (ao, a, Ay... @q). Consideremos a
Fungo: t: €-+ € dada por f(x) = ay + a,x + jx? +... +ancn. A funcio fé
denominada fungáo polinomial eu polinômio associado a sequéncia dada.
Os números do, 31, 95, ++, An $80 denominados coeficientes e as parcelas
80, 8:%, 8207, .... aux" so chamados termos do polindmio f
36. Exemplos
As seguintes aplicagóes sio polinómios
fhe) = 1 + 2x + 30° - 5x onde aye 1,9, 2,07=3097=-5,
glx) = 1 + 2x4 onde ag=1,a)= a= a5= 00 ay=7
RO = 5x 3x onde an 43 = 0, 2, = 5 e a3=-3,
37. Definigio
Dados o número complexo a e 0 polinömio x) = ay a1x tapó +... + ax,
‘chama-se valor numérico de f em a a imagem de à pele fungáo f, isto 6:
Hal = ay + aya + alt... tapan,
Assim, por exemplo, se f(x) = 2+ x + x2 +3, temos:
112) = 24242 43-2 0 32
fea) = 2461) HM =
r+ 2 (Ved ee sae
22+1+itt+2-14+8+0i-9- 32-34%,
Muse vezes para simplficar a roracáo, erereveremor apenas
AS
para simbolizar um polindmio # na varidvel x. Norte caso f 60 mesmo que fh
47-5
Em particular, se 9 & um número complexa ef é um polinömio tel que
fla) = O, diremos que a $ uma riz ou um zero de f. Por exemplo, os números
-2 01 sdo raizes de fix) = 2x +3x? +x? pois
#2) = 26-2) + 3-2)? + (2 = 0
Het) = A + SN + (AP = 0
ll. IGUALDADE
Neste parágrafo vamos estabelecer o que säo dois polinomios iguais e como
se pode constatar a igualdade de dois polinómios examinando apenas seus coef
cientes.
38, Definicio
Dizemes que um polinômio f é auto {ou identicamente nulo) quando Fassu-
me 0 valor numérico zero para todo x complexa. Em símbolos indicamos:
FeO f= 0, EC
39. Teorema
Um polinomio f é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de # forem nu:
los, Em simbolos, sendo f(x) = ag + ax + 23x? +... +apx0, temos:
02. -2- 2
ay = 0
Demonstracio
19) É imediato que ao = a = m =... = ap = O acarreta:
Had = 0 + Ox + Où +... Ox" = OFX EC.
29) Se 1 é nulo, entdo existem n + 1 números complexos ap, @1, 2... ny
distintos dois a dois, que so raízes de f, sto €:
Mao) = ay + 2,00 + 2207 +... +an0ÿ = 0
flan) = ao + aay + 2707 +...+290) = 0
Has) = ap + a1 + 8303 +... + aya} = 0
Hae ia ao
Assim, estamos diante de um sistema linea e homogéneo do tipo
in + 1) X An + 1) cujas incógnitas s50 a ay, dz... dq. Como determinante deste
sistema é
Im à on
ad a
Dal: a a
áo nulo por tratare do determinante de uma matriz de Vandermond e culos ele
mentos característicos so ay. dy, Gi, «+, Gq, todos distintos, o sistema tem uma
Única solugáo que é a solugio trivial
wenn,
40. Definigäo
Dizemos que dois polinómios f e g so iguais (ou idénticos) quando assumem
valores numéricos iguais para todo x complexo, Em simbolos, indicamos.
Fast, x € €
41. Teorema
Dis polinómios f eg sáo iguais se, o somente sa, os coeficientes de # e g forem.
ordenadamente iguais, Em símbolos, sendo
Hd ap + aux ta rn
AG) by + bin + bax? + Bye” =
temos:
EFETES
Lie 12,
fla) = O, diremos que a $ uma riz ou um zero de f. Por exemplo, os números
-2 01 sdo raizes de fix) = 2x +3x? +x? pois
#2) = 26-2) + 3-2)? + (2 = 0
Het) = A + SN + (AP = 0
ll. IGUALDADE
Neste parágrafo vamos estabelecer o que säo dois polinomios iguais e como
se pode constatar a igualdade de dois polinómios examinando apenas seus coef
cientes.
38, Definicio
Dizemes que um polinômio f é auto {ou identicamente nulo) quando Fassu-
me 0 valor numérico zero para todo x complexa. Em símbolos indicamos:
FeO f= 0, EC
39. Teorema
Um polinomio f é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de # forem nu:
los, Em simbolos, sendo f(x) = ag + ax + 23x? +... +apx0, temos:
02. -2- 2
ay = 0
Demonstracio
19) É imediato que ao = a = m =... = ap = O acarreta:
Had = 0 + Ox + Où +... Ox" = OFX EC.
29) Se 1 é nulo, entdo existem n + 1 números complexos ap, @1, 2... ny
distintos dois a dois, que so raízes de f, sto €:
Mao) = ay + 2,00 + 2207 +... +an0ÿ = 0
flan) = ao + aay + 2707 +...+290) = 0
Has) = ap + a1 + 8303 +... + aya} = 0
Hae ia ao
Assim, estamos diante de um sistema linea e homogéneo do tipo
in + 1) X An + 1) cujas incógnitas s50 a ay, dz... dq. Como determinante deste
sistema é
Im à on
ad a
Dal: a a
áo nulo por tratare do determinante de uma matriz de Vandermond e culos ele
mentos característicos so ay. dy, Gi, «+, Gq, todos distintos, o sistema tem uma
Única solugáo que é a solugio trivial
wenn,
40. Definigäo
Dizemos que dois polinómios f e g so iguais (ou idénticos) quando assumem
valores numéricos iguais para todo x complexo, Em simbolos, indicamos.
Fast, x € €
41. Teorema
Dis polinómios f eg sáo iguais se, o somente sa, os coeficientes de # e g forem.
ordenadamente iguais, Em símbolos, sendo
Hd ap + aux ta rn
AG) by + bin + bax? + Bye” =
temos:
EFETES
Lie 12,
Demonstracáo
Para todo x € ©, temos:
abe ade
Swan = 0e Da Son
me Sax do ld 900
ExERCICIOS
F-72 uals dus expresses absixo representa um polinómio na variée x?
a) exter ge
bi a + ox m2
vs reer)
a Va) exe
Dave se ET
kh
F2 Dan à funado polinomial
Rasse
peces caleular #2), D), KIN. He #1), Axe
Selugio
SI = Lea PIE are en)
Ho) = 08402 40+ 11
eee td
CONTRER CEE TEE
PARAS ne basant menti
a + an + 6x +4
2 En à (A +O) HY BO HOHE + ee 1
Fos) EMS HN? Äh
20
CA
Fas
76
ra
Pay
Seip a tungio polinomi Ha) = xi HKM xe. etext 1
Calcuta 40). 11 € 1-1,
Determinar os rai
nsmio nut.
9. b € de modo que # + {a= 2h + b+ 2Ix + (3 = ebsia © po
Determinar a, b, © de mode que a funcio tix) = [ne b=SIx? + (+ 6 Art (e+e)
sais identcamente nula
asa ae fungóes pot
conciso para que se tenha
wenidade 41x)
gtx)?
Onterminar a condigdo neceser sufiiente para que à expresado
ay? tice
ra
onde
Br, 67,29, ba. cz Ho resis nds nulos,
Solupáo.
Facamos à trapo ossumir o valor constante K Entdo
rote
Beta vee
equivele o
292 + byt ey Klan A EC
ad byte — Kapa? + Kg e
Queequivaleas = Kay by =Kb: e ey = Key imo
minis Hd lo LD + bx +e 0 glk = 2062 4 Zoe =e quel bs
suma um valor que no depende den.
to significa que os coeficientes do numerador dover ser respetivameme propor.
cionais dos coeficientes do denominador
FTE
A tad
ssumem valor constante para todo x E €.
Rem: 2. BE
ann
Determmer a, 8, e de modo que se tonto pora tous x real: PE =K=8
rire
Para todo x € ©, temos:
abe ade
Swan = 0e Da Son
me Sax do ld 900
ExERCICIOS
F-72 uals dus expresses absixo representa um polinómio na variée x?
a) exter ge
bi a + ox m2
vs reer)
a Va) exe
Dave se ET
kh
F2 Dan à funado polinomial
Rasse
peces caleular #2), D), KIN. He #1), Axe
Selugio
SI = Lea PIE are en)
Ho) = 08402 40+ 11
eee td
CONTRER CEE TEE
PARAS ne basant menti
a + an + 6x +4
2 En à (A +O) HY BO HOHE + ee 1
Fos) EMS HN? Äh
20
CA
Fas
76
ra
Pay
Seip a tungio polinomi Ha) = xi HKM xe. etext 1
Calcuta 40). 11 € 1-1,
Determinar os rai
nsmio nut.
9. b € de modo que # + {a= 2h + b+ 2Ix + (3 = ebsia © po
Determinar a, b, © de mode que a funcio tix) = [ne b=SIx? + (+ 6 Art (e+e)
sais identcamente nula
asa ae fungóes pot
conciso para que se tenha
wenidade 41x)
gtx)?
Onterminar a condigdo neceser sufiiente para que à expresado
ay? tice
ra
onde
Br, 67,29, ba. cz Ho resis nds nulos,
Solupáo.
Facamos à trapo ossumir o valor constante K Entdo
rote
Beta vee
equivele o
292 + byt ey Klan A EC
ad byte — Kapa? + Kg e
Queequivaleas = Kay by =Kb: e ey = Key imo
minis Hd lo LD + bx +e 0 glk = 2062 4 Zoe =e quel bs
suma um valor que no depende den.
to significa que os coeficientes do numerador dover ser respetivameme propor.
cionais dos coeficientes do denominador
FTE
A tad
ssumem valor constante para todo x E €.
Rem: 2. BE
ann
Determmer a, 8, e de modo que se tonto pora tous x real: PE =K=8
rire
Demonstragio
Il. OPERACOES
i) ADIGÁO lA-1] f+ ig + hi = (f+ g) th, fa her
42. Dating Faro tte Sax, at À ol nice Ÿ ax,
à & à
Dados dois polinómios
a Wrigemtrs Y exe Merah tnbod= À a. temos
=
dim a + (by + ci) - lai HY Hej =e, Yi € (0, 1, 2,...,n!
ee TURES OT ead a Gace
ehamase some de 1 com y 0 palntmio Fsundo = Y an, at D bo (e .
AP + go = fay + by) + {ay + yb + Lez Hd +... + (on + Dg x” 120 10
e OO
sos ista À tna wernt Ÿ « GB
IA-3) EPI tayet, fer
43. Exemple
Somar fix) -4+3x +x? € glx) 54 8 txt Fazenda fie À ax e este À, at, tomos
Teme Hast ara Yi E(0.1.2...0)
Ha) ar +O + Ont 7 . 7
SE) coe se entáo a, - 0, ¥16 £0, 1, 2... n}. portanto e, felemento neutro para à ado
de polinämio) 8 o palinémio nulo.
enti
{f+ g) be) = (4 #5) + (3 +O) + (1 + 3x + (OF OX 4 (OF Txt . la-al step, PEPIFAA=e
=9+ 3x H4xt 4 xt
Facendo tixi= À spé e Poe I. sie, tomos:
44. Teorema we
tarse ats. 0,41C{0,1.2,...,n} entio
“A operagio de adicio define em Piconjunto dos polinómios de cosfiientes den VE LA en), portant:
complexos) ume estrutura de grupo comutatvo, isto é, verifica as seguintes :
recitando re À anses cage
[A -11 propriedade associative 4
LA -2] propriedade comutariva é
IR = A] exsencio de slemento neuro 2 ee en nein ak me we
LA - 4] existéncia de inverso aditivo Li
sar
525
Il. OPERACOES
i) ADIGÁO lA-1] f+ ig + hi = (f+ g) th, fa her
42. Dating Faro tte Sax, at À ol nice Ÿ ax,
à & à
Dados dois polinómios
a Wrigemtrs Y exe Merah tnbod= À a. temos
=
dim a + (by + ci) - lai HY Hej =e, Yi € (0, 1, 2,...,n!
ee TURES OT ead a Gace
ehamase some de 1 com y 0 palntmio Fsundo = Y an, at D bo (e .
AP + go = fay + by) + {ay + yb + Lez Hd +... + (on + Dg x” 120 10
e OO
sos ista À tna wernt Ÿ « GB
IA-3) EPI tayet, fer
43. Exemple
Somar fix) -4+3x +x? € glx) 54 8 txt Fazenda fie À ax e este À, at, tomos
Teme Hast ara Yi E(0.1.2...0)
Ha) ar +O + Ont 7 . 7
SE) coe se entáo a, - 0, ¥16 £0, 1, 2... n}. portanto e, felemento neutro para à ado
de polinämio) 8 o palinémio nulo.
enti
{f+ g) be) = (4 #5) + (3 +O) + (1 + 3x + (OF OX 4 (OF Txt . la-al step, PEPIFAA=e
=9+ 3x H4xt 4 xt
Facendo tixi= À spé e Poe I. sie, tomos:
44. Teorema we
tarse ats. 0,41C{0,1.2,...,n} entio
“A operagio de adicio define em Piconjunto dos polinómios de cosfiientes den VE LA en), portant:
complexos) ume estrutura de grupo comutatvo, isto é, verifica as seguintes :
recitando re À anses cage
[A -11 propriedade associative 4
LA -2] propriedade comutariva é
IR = A] exsencio de slemento neuro 2 ee en nein ak me we
LA - 4] existéncia de inverso aditivo Li
sar
525
in SUBTRAGÁO
48, Tendo em vista 0 teorema anterior, tem sentido a seguinte detinicáo:
dedos dois polinomios fix) = ag + aix +22x7 +... +apx" e glx) = by + Dix +
+ by +... + Dax, chamase diferenca 1-9 0 polinomio f+ (-g), isto é
(f= 9} (xb = (ao = bo) + {ay = by) (az = Bax? +... (an = Bala”.
ii) MULTIPLICAÇAO
46. Definisäo
Dados dois polinómios
2 bo +x Be +, + BQ x”
chamase produto fg o polinömio
(fa) (x) = agb + (agby +; bo + (35 + 21b + apbalx? +... + Ambar!
Notemos que o produto fg & um polinämio
RO = cp + eux eax? Hem sn
cujo coeficiente cy pode ser assim obtido:
ab + bar to. ado % abi
Notemos ainda que fg pode ser obtido multiplicando:se cada termo ax! de
# por cada termo byx! de 9, segundo a regra (aj) + (bj) = ajbjxi*
+s resultados obridos.
e somando
47. Exemplo
Multiplicar f(x) = x + 2x? + De por glx) = 4 + Bx + 6x?
Temos:
(fa) (x) = (+ 2x? + 330) 14 + 5x + 6) = |
LS Age + GATA ZA à Bx à Bx) + DÍA + Ex + GE) 2
= La + fé + Gx) + (BE + 10x? + 1200) + 11200 + 150° + 188) =
4x4 13x 28% + 2700 + TBS,
48, Dispositivo prático 1
+ St Oe 9
ERST
A+ Be + 6S Á xg
+ Ex + 10x) + 12x e— antag
12x? + 15x + 18x53 g
4x + 13x? EB IHRE fg
49. Dispositivo prático 2
Colocamos numa tabela os coeficientes 2; de f e os coeficientes bj de g;
calculamos todos os produtos aibj; somamos os produtos em cada diagonal, con:
forme indica a figura, obtendo 05 c4
Assim, no nosso exemplo, temos
ss
5 378
os CN
+5+0-13 218107
24 10+6=28 3 AECA
Gus 18+ 12-27
8
portanto, f(x) = (fg) (x) = dx + 13x? + 2x + 27x04 185
50. Teorema
A operaçäo de multiplicacio em P (conjunto dos polindmias de coeticientes
complexos) verifica as sequintes propriedades:
{M-1] propriedede associa
4-0:
gen Wegner
IM-2I propriedade commutative f-gag+, viger
[MS] exstancia de elemento neutro 3 tm EP Its em =f, VIER
LO] propriedage distribu
felgthh=
arsch VER heP
Num curso deste nivel julgamos desnecessério conhecer a prova destos
propriedades. Verificadas as propriedades A- 1, 2, 3, 4, M- 1,2, 3 € D, podemos
afirmar que as operacóes de adigdo e multiplicacio definem sobre P uma estrutura
Ge anel comutativo com unidede, P 6, portanto, a anal dos polinémios complexos.
S5-F
48, Tendo em vista 0 teorema anterior, tem sentido a seguinte detinicáo:
dedos dois polinomios fix) = ag + aix +22x7 +... +apx" e glx) = by + Dix +
+ by +... + Dax, chamase diferenca 1-9 0 polinomio f+ (-g), isto é
(f= 9} (xb = (ao = bo) + {ay = by) (az = Bax? +... (an = Bala”.
ii) MULTIPLICAÇAO
46. Definisäo
Dados dois polinómios
2 bo +x Be +, + BQ x”
chamase produto fg o polinömio
(fa) (x) = agb + (agby +; bo + (35 + 21b + apbalx? +... + Ambar!
Notemos que o produto fg & um polinämio
RO = cp + eux eax? Hem sn
cujo coeficiente cy pode ser assim obtido:
ab + bar to. ado % abi
Notemos ainda que fg pode ser obtido multiplicando:se cada termo ax! de
# por cada termo byx! de 9, segundo a regra (aj) + (bj) = ajbjxi*
+s resultados obridos.
e somando
47. Exemplo
Multiplicar f(x) = x + 2x? + De por glx) = 4 + Bx + 6x?
Temos:
(fa) (x) = (+ 2x? + 330) 14 + 5x + 6) = |
LS Age + GATA ZA à Bx à Bx) + DÍA + Ex + GE) 2
= La + fé + Gx) + (BE + 10x? + 1200) + 11200 + 150° + 188) =
4x4 13x 28% + 2700 + TBS,
48, Dispositivo prático 1
+ St Oe 9
ERST
A+ Be + 6S Á xg
+ Ex + 10x) + 12x e— antag
12x? + 15x + 18x53 g
4x + 13x? EB IHRE fg
49. Dispositivo prático 2
Colocamos numa tabela os coeficientes 2; de f e os coeficientes bj de g;
calculamos todos os produtos aibj; somamos os produtos em cada diagonal, con:
forme indica a figura, obtendo 05 c4
Assim, no nosso exemplo, temos
ss
5 378
os CN
+5+0-13 218107
24 10+6=28 3 AECA
Gus 18+ 12-27
8
portanto, f(x) = (fg) (x) = dx + 13x? + 2x + 27x04 185
50. Teorema
A operaçäo de multiplicacio em P (conjunto dos polindmias de coeticientes
complexos) verifica as sequintes propriedades:
{M-1] propriedede associa
4-0:
gen Wegner
IM-2I propriedade commutative f-gag+, viger
[MS] exstancia de elemento neutro 3 tm EP Its em =f, VIER
LO] propriedage distribu
felgthh=
arsch VER heP
Num curso deste nivel julgamos desnecessério conhecer a prova destos
propriedades. Verificadas as propriedades A- 1, 2, 3, 4, M- 1,2, 3 € D, podemos
afirmar que as operacóes de adigdo e multiplicacio definem sobre P uma estrutura
Ge anel comutativo com unidede, P 6, portanto, a anal dos polinémios complexos.
S5-F
exercicios
eso
Faz
Esa
Fea
ess
es
Far
ros
rss
Foo
Dados us polinömies:
He 7- 20900
ala) Be x tx? + Sx?
E OS
Dados oF polinomios
Hat 24 Bu m
ald 7e
HG) 2 Due dx? +89 ceuta a} Oe, (ride e tht xd
Determinar fix) tal ques ME = (x #1) x 221 + De 2100 D + + 1)
sta i tah que: Me bes 214 (2-18
Sendo cados of golinomios f= x, genden
reais a e b sais que = af + bg
Salario
DESK eat ble FI) «bP lat Ble PEO.
Aplicando o 1eorema da qualdade de polindmics, ver: 2-b e 5-24 b
Repost: 0-3 € ba?
Sendo dados os polindeice
Ra, gt head att Neg ke Ga Oak re,
ber os números reis a,b. © de modo que an tenha kof + bn ch.
(x= 112 + bn 80 = 200-212 -2 6 polinómio nulo.
Demorstar que
Se text 4 px à ae ge le ph be a determina os resis pe ade modo quel = a.
Determinar a, D, € de modo quese tens:
a) otro teo
Ph ab + ah à Ib + ex +6 ea 4 4x 42
eh 282 ant + 1) Hobe = 11 tot 4028 22
Mostrar que os polinómios (= 02 + 2 x 4 1166-V2 Ren 0 gexted
Determinar 0, BEI pora que as polinimios
farra Be ge (xt tee 1128 soja igus.
Daterminse a condieéo pera que ax? + bx + € soja um polinámio quadrado perelo.
2+ 5x, obter oF números
Solugso
SR + bx + e 6 um polindmio quidrado parfaite sa existe px + a tai que:
axtrbetes petal? emo ox tbe ten pial 4 pax ta?
Aplicando 0 teorema de igualdode, temos:
e
O
Ouocrendo I, temos 12 = pa? U.
Subaituindo 1 I am U, vom D = AA (a) » duc
Resposta: bi 490
92 Obrer a ER de modo que os palindmios Fe xt + 2000 - dan 44 0 gantz
vertiquem a condicio 1 = $
ES3 Determinar à condicio pora que o pelinômie {= (ax + bY? + (ex + BR. onde b,c, dato
so resi ndo nulos, se um quedado perfeit,
F94 (£.£, LINS-66) Calcular p pora que o polindmio
ENCRES CET)
in 0 quaérado parteito de um polinámio racional inteiro em x.
F.95 (MAPOFEI-74) Decompor 0 trindmio -6x2 + 36x - 66 em uma diterenca de doit
cubes do tipo De = BI? = de = a,
F.96 (MAPOFE!-76) Verificar se existe valores de k para os queiro trinbmio (k + 2 =
— [2% 1x3, sj expreso por uma soma de quadrados.
IV. GRAU
51. Detiniçäo
Soja f = ap + au + ax? +... + ax" um polinômio náo nulo. Chama:se grau
de f, » representase por af ou gr f, o número natural p tal que ap # 0 e 2i = 0
para todo i >p.
Assim, grau de um polindmio f 6 o indice do “último” termo nfo
nulo de f.
57-F
eso
Faz
Esa
Fea
ess
es
Far
ros
rss
Foo
Dados us polinömies:
He 7- 20900
ala) Be x tx? + Sx?
E OS
Dados oF polinomios
Hat 24 Bu m
ald 7e
HG) 2 Due dx? +89 ceuta a} Oe, (ride e tht xd
Determinar fix) tal ques ME = (x #1) x 221 + De 2100 D + + 1)
sta i tah que: Me bes 214 (2-18
Sendo cados of golinomios f= x, genden
reais a e b sais que = af + bg
Salario
DESK eat ble FI) «bP lat Ble PEO.
Aplicando o 1eorema da qualdade de polindmics, ver: 2-b e 5-24 b
Repost: 0-3 € ba?
Sendo dados os polindeice
Ra, gt head att Neg ke Ga Oak re,
ber os números reis a,b. © de modo que an tenha kof + bn ch.
(x= 112 + bn 80 = 200-212 -2 6 polinómio nulo.
Demorstar que
Se text 4 px à ae ge le ph be a determina os resis pe ade modo quel = a.
Determinar a, D, € de modo quese tens:
a) otro teo
Ph ab + ah à Ib + ex +6 ea 4 4x 42
eh 282 ant + 1) Hobe = 11 tot 4028 22
Mostrar que os polinómios (= 02 + 2 x 4 1166-V2 Ren 0 gexted
Determinar 0, BEI pora que as polinimios
farra Be ge (xt tee 1128 soja igus.
Daterminse a condieéo pera que ax? + bx + € soja um polinámio quadrado perelo.
2+ 5x, obter oF números
Solugso
SR + bx + e 6 um polindmio quidrado parfaite sa existe px + a tai que:
axtrbetes petal? emo ox tbe ten pial 4 pax ta?
Aplicando 0 teorema de igualdode, temos:
e
O
Ouocrendo I, temos 12 = pa? U.
Subaituindo 1 I am U, vom D = AA (a) » duc
Resposta: bi 490
92 Obrer a ER de modo que os palindmios Fe xt + 2000 - dan 44 0 gantz
vertiquem a condicio 1 = $
ES3 Determinar à condicio pora que o pelinômie {= (ax + bY? + (ex + BR. onde b,c, dato
so resi ndo nulos, se um quedado perfeit,
F94 (£.£, LINS-66) Calcular p pora que o polindmio
ENCRES CET)
in 0 quaérado parteito de um polinámio racional inteiro em x.
F.95 (MAPOFEI-74) Decompor 0 trindmio -6x2 + 36x - 66 em uma diterenca de doit
cubes do tipo De = BI? = de = a,
F.96 (MAPOFE!-76) Verificar se existe valores de k para os queiro trinbmio (k + 2 =
— [2% 1x3, sj expreso por uma soma de quadrados.
IV. GRAU
51. Detiniçäo
Soja f = ap + au + ax? +... + ax" um polinômio náo nulo. Chama:se grau
de f, » representase por af ou gr f, o número natural p tal que ap # 0 e 2i = 0
para todo i >p.
Assim, grau de um polindmio f 6 o indice do “último” termo nfo
nulo de f.
57-F
52. Exemplor
19) fo) 44 De + 2x) Gx me = 4
29) gx) = -1 + 2x + 5x? — igs 2
Sree D
et Ru esti dhe 3, sea ea
Se o grau do polinómio f é o, entáo an 6 chamede coeficiente dominante
de f. No caso do coeficiente dominante aq ser igual a 1, 1 é chamado potindmic
unitério.
53, Teorema
Se 1, g e f +g sio polindmios näo nulos, entáo o grau de { + g é menor
Où igual a0 maior dos números öf e Dg.
+) < max (at, 00)
Demonstrate
sms E laa een comme
a fe Fa
admitamos por exemplo m > n. Assim, temos
Gm = Om + Om = 8m + Bm = am +00,
Gratbir040-0,Yi>m,
portanto Alf + g)- m = max (04, 3g)
Se admitirmos m =n, temos
G28) +bi=0+0=0,4 15m
Sm = im + Dm Pode ser nulo, entéo: \
(f+ 9) < max (01, 39)
54. Exemplos
TONED 14
abe) = 2+ 3x — age!
(Fai) = 34 4x0 > ate gl -2
Zee me t=?
al} = 243020 — dg=2
Ut hx) = 3 + 4x + A
NM = 2+ int Sx? Dz
Er dg-2
(rod =5 (4 5x e UF + 9)
55. Teorema
Se fe g sdo dois polinômios näo nulos, entäo o grau de fg é igual à soma
dos graus dete g.
Demonstragóo
seño Fant str À op atm e Deco, sin
E i
Eu = Boa + ayia ++ ake Dy + by
um coeficiente qualquer de (fg)ix)
Temos:
men = Am * by #0
& "0 para todo k> m+n entio
Do) m + n = ot + dg.
6. Exemplos
1914) = 4 + 3x et
gix)=1#2x46x¢ — ag=2
Od = 4 + 1x4 26x + 15? = DU) = 3
ROO = 14 Dee x! + Bx? me OFA
gtx) =3-6x+ 7x2 + Bee 99-3
Mfg) (0 = 3 D +31 - 7x! + 43x! + 40180 Alte)
se.
19) fo) 44 De + 2x) Gx me = 4
29) gx) = -1 + 2x + 5x? — igs 2
Sree D
et Ru esti dhe 3, sea ea
Se o grau do polinómio f é o, entáo an 6 chamede coeficiente dominante
de f. No caso do coeficiente dominante aq ser igual a 1, 1 é chamado potindmic
unitério.
53, Teorema
Se 1, g e f +g sio polindmios näo nulos, entáo o grau de { + g é menor
Où igual a0 maior dos números öf e Dg.
+) < max (at, 00)
Demonstrate
sms E laa een comme
a fe Fa
admitamos por exemplo m > n. Assim, temos
Gm = Om + Om = 8m + Bm = am +00,
Gratbir040-0,Yi>m,
portanto Alf + g)- m = max (04, 3g)
Se admitirmos m =n, temos
G28) +bi=0+0=0,4 15m
Sm = im + Dm Pode ser nulo, entéo: \
(f+ 9) < max (01, 39)
54. Exemplos
TONED 14
abe) = 2+ 3x — age!
(Fai) = 34 4x0 > ate gl -2
Zee me t=?
al} = 243020 — dg=2
Ut hx) = 3 + 4x + A
NM = 2+ int Sx? Dz
Er dg-2
(rod =5 (4 5x e UF + 9)
55. Teorema
Se fe g sdo dois polinômios näo nulos, entäo o grau de fg é igual à soma
dos graus dete g.
Demonstragóo
seño Fant str À op atm e Deco, sin
E i
Eu = Boa + ayia ++ ake Dy + by
um coeficiente qualquer de (fg)ix)
Temos:
men = Am * by #0
& "0 para todo k> m+n entio
Do) m + n = ot + dg.
6. Exemplos
1914) = 4 + 3x et
gix)=1#2x46x¢ — ag=2
Od = 4 + 1x4 26x + 15? = DU) = 3
ROO = 14 Dee x! + Bx? me OFA
gtx) =3-6x+ 7x2 + Bee 99-3
Mfg) (0 = 3 D +31 - 7x! + 43x! + 40180 Alte)
se.
EXER
cfci0s
297. Determinar o gray dos seguintes potindmios:
Eos
Eso
100
FAO! Sea fx) um 1
DI
bet 22-0.
+3 Dem
N ee
ACESGEM-G21 Se a 9 530 doi potinamos de grau m. quel 60 grau de 4 430 de fa?
Determinar o palinämio { do segundo q
Solugio
Sein ad + bx +e. Tomos
WO)na-Oteb-Ore-1 cer
ana
Babeirecd an
th que H10)<1, fede O,
0
ten qu
MN Ser are fit
Subiraindo (1) de (IM, vem 26— 4e 22.
Em Wet 2e tam 0.1
Resposta: text e204
Dererrmnor ums funcio potinomiat 4x} de grau 2 tol que fix) = Ho
Desi ave Hind 4x1 paro todo
Solugo
Seine) 2 a + bx He, Tonos:
HO Hu a+ e afew}? ler
ot Bet ea and bebe x CE
Bb = -0 — bo
Resporta:
thal eax? +e, com 9 #0.
So polinemial do 2°
x
F.102 (MACK-71)
‘you, Determinar #1) sbenda que #11) 0
0! Determine os pelinömios P do torcen
10 grau ais que, para todo número real,
se teus Phx) = Pin = 1).
D} Usando 0 resultado da pare 3, calcule, em fungáo de m
s
. DIVISAO
57. Detinigäo
Dados dois polinomios f (dividendo) e 9 # 0 (divisor), dividir f por y é
determinar dois outros polinémios q (quociente) e r (reste) de modo que se
verifiquem as duas condigdes seguintes:
Daratr-f
ID dr dg four=
caso am que a divisfo é chamada exata}
58. Exemplos
19) Quando dividimos 1 = 8x - 2x 4 7x + 2 por g = It - 2x? + 4x1,
obtemos q = x e r ==6x" + Bx + 2 que satistazem as dues condicdes
1 Gg r= xD = De? 4 dx = 1) (os? 4 Be + 2) Set D + 7x +2
ID 27.2 © 39-3 àr< ag
29) Quando dividimos 1 = Bx? + x? - 10x - 24 por g= x = 2, obtemos à =
SC +1412 6 re 0 que satistazem ds duas condigées
UW ag = (x! #11412) (x= 29 1 0 +3 = 10K = 24 2 +
W reo
Neste caso a divisio € exata; dizemes, entdo, que f é divisível por g où y
& divisor de f.
59. _Divisdes imediatas
Examinemos © polindmio qg + 1, onde g #0 e dr < ag (ou r = 0)
D Seq=0er=0, emáo ag+r=0g+0=0,
W) Seq=0er#0, entio ag + r = Og+ r
IN) Se q # 0, entäo dlag) = da + dg > ag, portanto, Slag + r} > dg pois a
Parcela r tem grau menor que g ou € nula
Há dois casos em que a divisäo de f por g € imediata
portanto, Dag +1) = dr < ag,
19 caso: À
Temos ag * 1 = 0 e, como acabamos de ver, isto acorre somente se 4
f0=>q=0 e 10
cfci0s
297. Determinar o gray dos seguintes potindmios:
Eos
Eso
100
FAO! Sea fx) um 1
DI
bet 22-0.
+3 Dem
N ee
ACESGEM-G21 Se a 9 530 doi potinamos de grau m. quel 60 grau de 4 430 de fa?
Determinar o palinämio { do segundo q
Solugio
Sein ad + bx +e. Tomos
WO)na-Oteb-Ore-1 cer
ana
Babeirecd an
th que H10)<1, fede O,
0
ten qu
MN Ser are fit
Subiraindo (1) de (IM, vem 26— 4e 22.
Em Wet 2e tam 0.1
Resposta: text e204
Dererrmnor ums funcio potinomiat 4x} de grau 2 tol que fix) = Ho
Desi ave Hind 4x1 paro todo
Solugo
Seine) 2 a + bx He, Tonos:
HO Hu a+ e afew}? ler
ot Bet ea and bebe x CE
Bb = -0 — bo
Resporta:
thal eax? +e, com 9 #0.
So polinemial do 2°
x
F.102 (MACK-71)
‘you, Determinar #1) sbenda que #11) 0
0! Determine os pelinömios P do torcen
10 grau ais que, para todo número real,
se teus Phx) = Pin = 1).
D} Usando 0 resultado da pare 3, calcule, em fungáo de m
s
. DIVISAO
57. Detinigäo
Dados dois polinomios f (dividendo) e 9 # 0 (divisor), dividir f por y é
determinar dois outros polinémios q (quociente) e r (reste) de modo que se
verifiquem as duas condigdes seguintes:
Daratr-f
ID dr dg four=
caso am que a divisfo é chamada exata}
58. Exemplos
19) Quando dividimos 1 = 8x - 2x 4 7x + 2 por g = It - 2x? + 4x1,
obtemos q = x e r ==6x" + Bx + 2 que satistazem as dues condicdes
1 Gg r= xD = De? 4 dx = 1) (os? 4 Be + 2) Set D + 7x +2
ID 27.2 © 39-3 àr< ag
29) Quando dividimos 1 = Bx? + x? - 10x - 24 por g= x = 2, obtemos à =
SC +1412 6 re 0 que satistazem ds duas condigées
UW ag = (x! #11412) (x= 29 1 0 +3 = 10K = 24 2 +
W reo
Neste caso a divisio € exata; dizemes, entdo, que f é divisível por g où y
& divisor de f.
59. _Divisdes imediatas
Examinemos © polindmio qg + 1, onde g #0 e dr < ag (ou r = 0)
D Seq=0er=0, emáo ag+r=0g+0=0,
W) Seq=0er#0, entio ag + r = Og+ r
IN) Se q # 0, entäo dlag) = da + dg > ag, portanto, Slag + r} > dg pois a
Parcela r tem grau menor que g ou € nula
Há dois casos em que a divisäo de f por g € imediata
portanto, Dag +1) = dr < ag,
19 caso: À
Temos ag * 1 = 0 e, como acabamos de ver, isto acorre somente se 4
f0=>q=0 e 10
— age = af — dagen < ag
to ocorre somente se q=0 e r # 0. É imedieto que:
, conforme vimos,
q-0
120
4 (portato r #0)
ie < 29 emo q=0
19) Dividir f=0 por g= x? + 3x + V2
Resposte q=0 e r=0
20) Dividir = me + V3 por g= x + 4x8 à x + V3
Resposta q=0 e ranx+ V3
¡A =
Exemplos
60. Deste panto em diante admitiremos sempre Af > g, isto 6, excluiremos da
teoría os dois casos em que a divisäo & trivial, Para responder à pergunta
como obter q er?
no caso de dt > dg explicaremos dois métodos: método de Descartes e método
de chavo. Neste último provaremos a existéncia e a unicidade do quociente e
do resto,
61. Método de Descartes
Este método,
a determina
também conhecido com o nome de método dos coeficientes.
baseia-se nos fatos seguintes
(1) 0q=ót-d9, o que $ consegiéncia de definicäo pois:
Og + r= E Dag + 1) = Of entéo dq + dg = D.
(ID ar < ag our = 0)
© método de Descartes & aplicado da seguinte forma:
19) calculamse dq e dr
22) constroem-se os polinômios q e r deixando incógnitos seus coeficientes
32) determinarse os corticientes impondo a iqualdade ag tr
62-F
62. Aplicagdes
19) Dividir f= 3x4 2x + 7x + 2 por g=3x - 2 + 4x
Temos:
da- 4-32 1 —a- tb
ma pio das
Be rood taire
potes
ar<3
Gat r= Femme fax + DD (Sx? = 2x? + dx Th + (ox? ox te) dx 2x + 7x4 2
Desenvolvendo, temos para todo x:
Were
Sax + (3b - Zain + (4a - 2b + clx? + (ba + dix + (e-b)= 3x*
entáo resulta:
Resposta: q=x e
compare com 19 exemplo do item 58)
2) Dividir
Temos:
dd 122 — qa tbxto
MEA mm O o
Wert lax? tx te) (x 2) + d'a Bx? + x 10x = 24
SH - 10x-24 por g
Desenvolvendo, temos para todo x:
ax? (b= adn? + fe = Dobe + (d- 2e) = Bx? 4x2 10% - 24
onto resulta
Resposta: q= 5x +11x+12 0 6-0
[compre com 2° exemplo do item 68).
to ocorre somente se q=0 e r # 0. É imedieto que:
, conforme vimos,
q-0
120
4 (portato r #0)
ie < 29 emo q=0
19) Dividir f=0 por g= x? + 3x + V2
Resposte q=0 e r=0
20) Dividir = me + V3 por g= x + 4x8 à x + V3
Resposta q=0 e ranx+ V3
¡A =
Exemplos
60. Deste panto em diante admitiremos sempre Af > g, isto 6, excluiremos da
teoría os dois casos em que a divisäo & trivial, Para responder à pergunta
como obter q er?
no caso de dt > dg explicaremos dois métodos: método de Descartes e método
de chavo. Neste último provaremos a existéncia e a unicidade do quociente e
do resto,
61. Método de Descartes
Este método,
a determina
também conhecido com o nome de método dos coeficientes.
baseia-se nos fatos seguintes
(1) 0q=ót-d9, o que $ consegiéncia de definicäo pois:
Og + r= E Dag + 1) = Of entéo dq + dg = D.
(ID ar < ag our = 0)
© método de Descartes & aplicado da seguinte forma:
19) calculamse dq e dr
22) constroem-se os polinômios q e r deixando incógnitos seus coeficientes
32) determinarse os corticientes impondo a iqualdade ag tr
62-F
62. Aplicagdes
19) Dividir f= 3x4 2x + 7x + 2 por g=3x - 2 + 4x
Temos:
da- 4-32 1 —a- tb
ma pio das
Be rood taire
potes
ar<3
Gat r= Femme fax + DD (Sx? = 2x? + dx Th + (ox? ox te) dx 2x + 7x4 2
Desenvolvendo, temos para todo x:
Were
Sax + (3b - Zain + (4a - 2b + clx? + (ba + dix + (e-b)= 3x*
entáo resulta:
Resposta: q=x e
compare com 19 exemplo do item 58)
2) Dividir
Temos:
dd 122 — qa tbxto
MEA mm O o
Wert lax? tx te) (x 2) + d'a Bx? + x 10x = 24
SH - 10x-24 por g
Desenvolvendo, temos para todo x:
ax? (b= adn? + fe = Dobe + (d- 2e) = Bx? 4x2 10% - 24
onto resulta
Resposta: q= 5x +11x+12 0 6-0
[compre com 2° exemplo do item 68).
63. Teorema 5 IB don gy xh!
u 39 grupo de aperasdes: vamos formar o mondmio SE Em „ande
Dados os polinómias construir o polinèmio °
B= ae Ha + au? tax tag lam # 0) té a m
Gp bp 2 + byx + bp {oq # 0) chamado 39 resto parcial
existem um único polinömio q e um único polinômio r tais que ag +
àr< ag (ou r=0)
Demonstracto
Existónci
19 grupo de operagöes: vamos formar o mandmio
e construir o polinômio
lao)
chamado 19 resto parcial.
Notemos que:
Notemos que
ph + apart
une augen dpi dic pita, E
Para maior comodidade, fagamos:
A A LES
d
ys: 2 A + TEEN)
terx ten
49 grupo em diante: analogamente
Notando que, em cada grupo de operacóes, o grau do resto parcial diminui
de 20 menos uma unidade, conclufmos que, após um certo número p de operagdes.
resulta um resto parcial ry de grau inferior a0 de g (ou entáo r =0) e
A] o
Vamos adicionar membro a membro as igualdades de (1) a (p):
A a y FE oye Hg aT)
bn CA]
© que prove o cancelamento de ann" (pelo menos), portanto, dr, = à < m. @ nta
Para maior comodidade, facamos. ee
F0 Gant + ca dog qu 2 +... ext co [BR ELSE (apr "hs
e Le Go qu + + que Ma
22 grupo de operacées: vamos formar o mondmio GE x 2 qu xt ER
: D 7 a
€ construir © polindmio
a e entéo f= gg tr com ár< ag (ou r- 01
ren ló a il °
chamaco 29 resto parcial Unicidade
Notemos que
ÉRIC PRESSE Eo bax” + bg a TT +
‘© que prova o cancelamento de cax (pelo menos), portanto, drz
Para maior comodidad, faces.
O A
<a.
Admitamos a exiténcis de dois quocientes a, e as e dois restos 1) e
) sna divido de 1 por 9, ito &:
tee
la e
na na
© provemos que qu =a: € una.
u 39 grupo de aperasdes: vamos formar o mondmio SE Em „ande
Dados os polinómias construir o polinèmio °
B= ae Ha + au? tax tag lam # 0) té a m
Gp bp 2 + byx + bp {oq # 0) chamado 39 resto parcial
existem um único polinömio q e um único polinômio r tais que ag +
àr< ag (ou r=0)
Demonstracto
Existónci
19 grupo de operagöes: vamos formar o mandmio
e construir o polinômio
lao)
chamado 19 resto parcial.
Notemos que:
Notemos que
ph + apart
une augen dpi dic pita, E
Para maior comodidade, fagamos:
A A LES
d
ys: 2 A + TEEN)
terx ten
49 grupo em diante: analogamente
Notando que, em cada grupo de operacóes, o grau do resto parcial diminui
de 20 menos uma unidade, conclufmos que, após um certo número p de operagdes.
resulta um resto parcial ry de grau inferior a0 de g (ou entáo r =0) e
A] o
Vamos adicionar membro a membro as igualdades de (1) a (p):
A a y FE oye Hg aT)
bn CA]
© que prove o cancelamento de ann" (pelo menos), portanto, dr, = à < m. @ nta
Para maior comodidade, facamos. ee
F0 Gant + ca dog qu 2 +... ext co [BR ELSE (apr "hs
e Le Go qu + + que Ma
22 grupo de operacées: vamos formar o mondmio GE x 2 qu xt ER
: D 7 a
€ construir © polindmio
a e entéo f= gg tr com ár< ag (ou r- 01
ren ló a il °
chamaco 29 resto parcial Unicidade
Notemos que
ÉRIC PRESSE Eo bax” + bg a TT +
‘© que prova o cancelamento de cax (pelo menos), portanto, drz
Para maior comodidad, faces.
O A
<a.
Admitamos a exiténcis de dois quocientes a, e as e dois restos 1) e
) sna divido de 1 por 9, ito &:
tee
la e
na na
© provemos que qu =a: € una.
Pela definicéo de divisio temos
ant at {as aah
Se qu #4; où rs $T, provemos que a igualdade (q, ~ qu)g = #3 = rs ndo
se verifica
alla, - ana] » Alay - a3) +04 > 9g)
sacra a (ar du he a) — Alla: - ara) # dr 00)
endo, para evitar a contradiçäo, devemos ter: qi=q € fen:
64, Método da chave
A prova da existéncia de q e r vista no item 63 nos ensina como construir
‘esses dois polinömios a partir de 1 e g. Vejamos por exemple como proceder se
RI OM arta,
19 grupo de operacdos
Formamos o primei
© primeiro resto parcial ri (3x7 jg = 4x? - 9x? + 11x - 1 que tem grau maior
que ag,
29 grupo de operacäes
1 que tem grau igual a 2g,
o segundo resto parcial #3 =r - ng = =x?
32 grupo de operagdes
Formamos o terctiro termo de q pela operacio Zr = -1 e construimos o
tercairo rasto parcial ry = rz ~ (-1)g = -3x +2 que tem grau menor que ag, por
tanto, está encerrada a divisäo.
3x+2
rasposta: qs 3x7 +4x~
+ opusemos 1, #0 e ra #0; & imediato, por exemplo, que
110 > Dei ih
66-F
A disposigdo prática das operaçäes indicadas acima é a seguinte!
Een)
Denen
a + Bx
que pode ser simplificada assim:
3
65. Aplicacóes
19) Dividir f= 2x! 3x" + 4x? 6x4 7 por gent
20-3
2 2
a
1
Resposta:
4 0
Ei
z 8
11
3
1
4
as 2X -x+1
6
-1
Mx-1 |
12x
x-1
2x+3
a zer
E]
2
7
7
1
8
rx = Bx 8
¿td
IT 1 x
rate
1
a
er
ant at {as aah
Se qu #4; où rs $T, provemos que a igualdade (q, ~ qu)g = #3 = rs ndo
se verifica
alla, - ana] » Alay - a3) +04 > 9g)
sacra a (ar du he a) — Alla: - ara) # dr 00)
endo, para evitar a contradiçäo, devemos ter: qi=q € fen:
64, Método da chave
A prova da existéncia de q e r vista no item 63 nos ensina como construir
‘esses dois polinömios a partir de 1 e g. Vejamos por exemple como proceder se
RI OM arta,
19 grupo de operacdos
Formamos o primei
© primeiro resto parcial ri (3x7 jg = 4x? - 9x? + 11x - 1 que tem grau maior
que ag,
29 grupo de operacäes
1 que tem grau igual a 2g,
o segundo resto parcial #3 =r - ng = =x?
32 grupo de operagdes
Formamos o terctiro termo de q pela operacio Zr = -1 e construimos o
tercairo rasto parcial ry = rz ~ (-1)g = -3x +2 que tem grau menor que ag, por
tanto, está encerrada a divisäo.
3x+2
rasposta: qs 3x7 +4x~
+ opusemos 1, #0 e ra #0; & imediato, por exemplo, que
110 > Dei ih
66-F
A disposigdo prática das operaçäes indicadas acima é a seguinte!
Een)
Denen
a + Bx
que pode ser simplificada assim:
3
65. Aplicacóes
19) Dividir f= 2x! 3x" + 4x? 6x4 7 por gent
20-3
2 2
a
1
Resposta:
4 0
Ei
z 8
11
3
1
4
as 2X -x+1
6
-1
Mx-1 |
12x
x-1
2x+3
a zer
E]
2
7
7
1
8
rx = Bx 8
¿td
IT 1 x
rate
1
a
er
Dividir
-16 por g=x+1
ı 0 0 0 16 1-1
a 1 1 ı
a 0 16
a
o 16
a
10-16
1 1
15
Resposta: qxe de ro 18
EXERCÍCIOS
F.103 Dividindo © polindmio # por x? = x + 5 obtemas quaciente x2 41 e resto Je=S,
Determinar 1.
Solucto:
Por definig£o de diviso, temos:
mage ento
150841) 08-848) IE Br BE NEE BE NEL TE TEL BE BER 6?
Resposta: mt a + 6x?
F.704 Numa divisSa de polindmiot om que 0 divisor tem wou 4, o quociente tem grau 2 6 à
resto tem grau 1, qual à grau do divicendo? E 48 0 au da reto fase 2?
108 {EPUSP-57) Numa divise de potindiios em que o diviamdo 6 de mau p eo
quociente de grau q. quad 6 0 gray máximo que o reo pode er?
F.106 Dividir # por y aplicando o método de Descartes
DI ga
Da ee er
GI te 230612 a genkey
1107 Eterunr a divisbo de {a xd + ax +b por g = 2x? + 24-6, Qual 6a condicóo para que a
iso sja exata?
sar
Solusio
Aplicando o método da chavo, temos:
1 0 a > 12
Al sa 3 11
707
as
11
ate
80 reso & nulo para
1
Resposta: qe À
ocre toa
pars dito exo: 22-48 0 be
F.108 Sem eletuer e dis, determinar a eb de mado que o palinémio
Held lat dax +B
soja civsivol por g = (x 292
Sousse
Oescrvolvendo as poténcios, obtemos:
[BEN + + (15 4 Babe (740)
a
Fazenco q=0x + a [pois a = d - do = 1e lmbrando que 12 ag (pois 1 & divinivel
or gl, sul para todo x que
DDR + 15+ Ba + 47 + D Cox td) dol o + 4 or 4 (= de 4 (de Ad A
2e
30-40 8.404 34843011
15 + 300 40-40 15 + 908-4 do 51 —> 29-17
The 7e be 44e 9-97
Resposa: 92-17 0 8.37
F.108 Determinar of reis a 0 b de mode que o polinbmio
(dan + (29 = DH + 20x + la + 20] seja iso! por y =? 3x4 4.
6.110 (EPUSP-50) Determina pEIR a q ER de modo que x8 +1 ja Aviso! por x? + px +
EII UTA-G21 Sp + peg é dial por x? Fax +b ex? +m +4, demanstrar que
bannen)
112 Dados of polinomios 1-00 + bed + Box +d e pax? + Zar +e, made:
1 orover que $ divisiuel por a;
I) detarminar a condlede para que Y soja um cubo partit.
ser
-16 por g=x+1
ı 0 0 0 16 1-1
a 1 1 ı
a 0 16
a
o 16
a
10-16
1 1
15
Resposta: qxe de ro 18
EXERCÍCIOS
F.103 Dividindo © polindmio # por x? = x + 5 obtemas quaciente x2 41 e resto Je=S,
Determinar 1.
Solucto:
Por definig£o de diviso, temos:
mage ento
150841) 08-848) IE Br BE NEE BE NEL TE TEL BE BER 6?
Resposta: mt a + 6x?
F.704 Numa divisSa de polindmiot om que 0 divisor tem wou 4, o quociente tem grau 2 6 à
resto tem grau 1, qual à grau do divicendo? E 48 0 au da reto fase 2?
108 {EPUSP-57) Numa divise de potindiios em que o diviamdo 6 de mau p eo
quociente de grau q. quad 6 0 gray máximo que o reo pode er?
F.106 Dividir # por y aplicando o método de Descartes
DI ga
Da ee er
GI te 230612 a genkey
1107 Eterunr a divisbo de {a xd + ax +b por g = 2x? + 24-6, Qual 6a condicóo para que a
iso sja exata?
sar
Solusio
Aplicando o método da chavo, temos:
1 0 a > 12
Al sa 3 11
707
as
11
ate
80 reso & nulo para
1
Resposta: qe À
ocre toa
pars dito exo: 22-48 0 be
F.108 Sem eletuer e dis, determinar a eb de mado que o palinémio
Held lat dax +B
soja civsivol por g = (x 292
Sousse
Oescrvolvendo as poténcios, obtemos:
[BEN + + (15 4 Babe (740)
a
Fazenco q=0x + a [pois a = d - do = 1e lmbrando que 12 ag (pois 1 & divinivel
or gl, sul para todo x que
DDR + 15+ Ba + 47 + D Cox td) dol o + 4 or 4 (= de 4 (de Ad A
2e
30-40 8.404 34843011
15 + 300 40-40 15 + 908-4 do 51 —> 29-17
The 7e be 44e 9-97
Resposa: 92-17 0 8.37
F.108 Determinar of reis a 0 b de mode que o polinbmio
(dan + (29 = DH + 20x + la + 20] seja iso! por y =? 3x4 4.
6.110 (EPUSP-50) Determina pEIR a q ER de modo que x8 +1 ja Aviso! por x? + px +
EII UTA-G21 Sp + peg é dial por x? Fax +b ex? +m +4, demanstrar que
bannen)
112 Dados of polinomios 1-00 + bed + Box +d e pax? + Zar +e, made:
1 orover que $ divisiuel por a;
I) detarminar a condlede para que Y soja um cubo partit.
ser
F.113 Aplicando o método da chave determinar quocionte
o) fte Ex 41, go 2x TEN
een +304 8x2, gene?
cl 12541, gx 45
di La De + 8 +9, gas
CRIER CINE EEE]
esto da divido de Y por
FA14 Demonswar que se £ © q sio polinomios slvisives por h, entdo o resto r da dvi
del por 9 também & divisive! por h.
‘Solugio
Sein qu 0 quociente de 1 por hi En ah
Sein a3 © quociente de ÿ porn: 9 qu
Seiam q © quociente
1 o resto da divido de { por g: = ag ++
Temor,
so:
= a = auh = ah lan quan portant rd ivisivel por
F.115 Mostrar que se 1 e g fo potindmios divisíeis pelo polinómi h, ento o mesmo ocorre
comtra 1-90 ip
VI. DIVISAO POR BINOMIOS DO 19 GRAU
66, Trataremos neste tópico das divisdes em que o dividendo € um polinómio f,
com df > 1, e 0 divisor $ um polinámio g, com dg = 1.
Observemos o que ocorre quando dividimos
9-4
2 2 DE + 4x
Er EN Qt +8
ax
e + 4x
1
-8x 432
E
0 ea + 8x2 1 por
Como já sabemos, neste tipo de diviséo r & um polinómio constante pois:
à
lo
ou ro
Vemos que o velor numérico de-r ndo depende do número a substituido no
lugar de x, istoé, rlal + 1, ¥ a € €.
Notemos, finalmente que
Ha) 26427042441 128- 124 16-1 aS wr
O resto da diviso de um polinômio f por x=a é igual 40 valor numérico
de fem a,
Demonstracáo
De acordo com a definicäo de divisso
a: ix-altref
onde q e r sáo, respectivamente, o quociente e o resto. Como x -a tem grau I,
o resto r ou & nulo ou tem grau zero, portento, r & um polinômio constante.
Caiculemos os valores dos polinómios da igusldade acima em a
ala) «(a= a) + a,
or
entäo: r= fla).
68, Exemplos
1910 resto da divisio de f= 5x* + 3x? +11 por g=x-3 6
MO = 5 2 38 +3 2 97 + 11 2 405 + 27 + 11 2 443
ix+3)" 46-2)? por g= X43 6
Y + (25)? = 25
2910 resto da divisdo de
HD = (3 43)" + (-3- 27
69. Teorema de D'Alembert
Um polindmio f & divisivel por x - a se, e somente se, a é raiz de.
Demonstracáo
De acordo com o teorema do resto, temos r = fla), emo.
roo come fla
{divisdo exata) (a 6 raiz de 1)
Aplicaçses
el por g=x- 1
19) Verificar que f= x5 = 4x - 3x7 + 7x - 1 6 di
A) 215-419-3676 Tot 1-4-347-1=0, entáo
£ 6 divisivel por 9,
nF
o) fte Ex 41, go 2x TEN
een +304 8x2, gene?
cl 12541, gx 45
di La De + 8 +9, gas
CRIER CINE EEE]
esto da divido de Y por
FA14 Demonswar que se £ © q sio polinomios slvisives por h, entdo o resto r da dvi
del por 9 também & divisive! por h.
‘Solugio
Sein qu 0 quociente de 1 por hi En ah
Sein a3 © quociente de ÿ porn: 9 qu
Seiam q © quociente
1 o resto da divido de { por g: = ag ++
Temor,
so:
= a = auh = ah lan quan portant rd ivisivel por
F.115 Mostrar que se 1 e g fo potindmios divisíeis pelo polinómi h, ento o mesmo ocorre
comtra 1-90 ip
VI. DIVISAO POR BINOMIOS DO 19 GRAU
66, Trataremos neste tópico das divisdes em que o dividendo € um polinómio f,
com df > 1, e 0 divisor $ um polinámio g, com dg = 1.
Observemos o que ocorre quando dividimos
9-4
2 2 DE + 4x
Er EN Qt +8
ax
e + 4x
1
-8x 432
E
0 ea + 8x2 1 por
Como já sabemos, neste tipo de diviséo r & um polinómio constante pois:
à
lo
ou ro
Vemos que o velor numérico de-r ndo depende do número a substituido no
lugar de x, istoé, rlal + 1, ¥ a € €.
Notemos, finalmente que
Ha) 26427042441 128- 124 16-1 aS wr
O resto da diviso de um polinômio f por x=a é igual 40 valor numérico
de fem a,
Demonstracáo
De acordo com a definicäo de divisso
a: ix-altref
onde q e r sáo, respectivamente, o quociente e o resto. Como x -a tem grau I,
o resto r ou & nulo ou tem grau zero, portento, r & um polinômio constante.
Caiculemos os valores dos polinómios da igusldade acima em a
ala) «(a= a) + a,
or
entäo: r= fla).
68, Exemplos
1910 resto da divisio de f= 5x* + 3x? +11 por g=x-3 6
MO = 5 2 38 +3 2 97 + 11 2 405 + 27 + 11 2 443
ix+3)" 46-2)? por g= X43 6
Y + (25)? = 25
2910 resto da divisdo de
HD = (3 43)" + (-3- 27
69. Teorema de D'Alembert
Um polindmio f & divisivel por x - a se, e somente se, a é raiz de.
Demonstracáo
De acordo com o teorema do resto, temos r = fla), emo.
roo come fla
{divisdo exata) (a 6 raiz de 1)
Aplicaçses
el por g=x- 1
19) Verificar que f= x5 = 4x - 3x7 + 7x - 1 6 di
A) 215-419-3676 Tot 1-4-347-1=0, entáo
£ 6 divisivel por 9,
nF
22) Determiner a de modo que {= x - 2ax? + (a= 1)x+ 15 seja dvisivel ©
in f > 1
% a a a Bnet a |
Vamos impor a condicio r= 115) =D: =
a oes er A
NIS - 22 + 8° 4 (a 15 43 = 125-8004 Ga 5 + 15 à a :
135
2135-45220 — .- E eo pS En '
_ ©
70, Dispositive prático de Brio-Ruffini
Dados os polinómios 7. Exemplos
taa ara + (an
Pe: in Bath fan #0) 19) f= 2-7 + 3x1 e gax-3.
vamos deteminar o quociente q 00 resto r da diviso de por y. 2 o El 3 a ya
Fagamor Pa par men Ts
re FOREN. > +4 e er, QE, Est, |
4° 0 + qu vet dnt 6 n 36 107
e apliquemos o método dos coeficientes a determin
Portanto: q = 2x? + 6x? + 11x + 36 5 = 107
aux! at, te] S
SS
PRES A 3
ax" la = ago! + o = aaa"? ++ (ant = aqn-20x = aq à Y 3 3
m 225-2 | 195-31
Impondo a condicio q «(x =a) + =, resultar as igualdades: jan A E CEES
24 EE 135 5
a9 = 2 peros 2 un
aaa are aus portento: q = 625x? + 375x? + 225% + 135 7 = 0
aan te q Ble
perl O) (Ag eH?
9 5 1 |
Fan = Tl tn ir E IA
-13 2
Os cálculos indicados acima para obter a € r tornarse mals rápidos com a a
aplicaçäo do saguinte dispositivo prático de Briot-Ruffini. Pariente: RAR 18's 27 a
72-F 73-F
in f > 1
% a a a Bnet a |
Vamos impor a condicio r= 115) =D: =
a oes er A
NIS - 22 + 8° 4 (a 15 43 = 125-8004 Ga 5 + 15 à a :
135
2135-45220 — .- E eo pS En '
_ ©
70, Dispositive prático de Brio-Ruffini
Dados os polinómios 7. Exemplos
taa ara + (an
Pe: in Bath fan #0) 19) f= 2-7 + 3x1 e gax-3.
vamos deteminar o quociente q 00 resto r da diviso de por y. 2 o El 3 a ya
Fagamor Pa par men Ts
re FOREN. > +4 e er, QE, Est, |
4° 0 + qu vet dnt 6 n 36 107
e apliquemos o método dos coeficientes a determin
Portanto: q = 2x? + 6x? + 11x + 36 5 = 107
aux! at, te] S
SS
PRES A 3
ax" la = ago! + o = aaa"? ++ (ant = aqn-20x = aq à Y 3 3
m 225-2 | 195-31
Impondo a condicio q «(x =a) + =, resultar as igualdades: jan A E CEES
24 EE 135 5
a9 = 2 peros 2 un
aaa are aus portento: q = 625x? + 375x? + 225% + 135 7 = 0
aan te q Ble
perl O) (Ag eH?
9 5 1 |
Fan = Tl tn ir E IA
-13 2
Os cálculos indicados acima para obter a € r tornarse mals rápidos com a a
aplicaçäo do saguinte dispositivo prático de Briot-Ruffini. Pariente: RAR 18's 27 a
72-F 73-F
EXERCIcIOS
F.116 (MAPOFEI-70) Dado um polirámio PL), de grau n > 1
al Demonstrar que Pla) = 0, ento Pix) 6 divisive par x =
b) Demonstarunicidade do resto da dicke de PU) pox x 8,
el Em termos de Pal, qual o resto dessa divsio?
F.117 Determinar o resto © 0 quoclante da divo da f= x a nor g= x = à)
Solusio
cano
Aplicando Brior-Ruftini, tamos:
—_——
D 6 6 m
io. à @
Resposta: F=0 € gen + ox ade. san
F.118 Determinar o reto au quoclente da di de = x +40 por g = x
Solucio
Mean tan zan
Alicando Briot Ruttini, tamos:
m1 oros
1 o 9 a moja
van» am Ta
Resposta: 1m 2a 9 am heat. at
F.118 Determinar o resto e o quocieme da divido de 1 = «N -aR por g=x +
Sage
19 caso: népar rath
pa
o
1% oo oo]
7 ® a Lo
o
CRETE
T4-F
(ea) (I an a an zur
n= eos
SoS
1 © 0 o o Le
oa 2 «2 EN
F.120 Octerminar o rest © o quociente da divise def =xM +40 por g =x +8,
Socio.
19 caso: nö Me) = (a) +a aah at = a
Larra
a ro
ae an
29 emo: nd imper
a am
F.121 Detarminar os restos e os quocientes das vides de f or y nos seguinte cesos:
a) taxt-8t e ganes el text e genet
D Le 48 agen 5 $ fex6e te gas et
ARES a} Fe 384249 0 gux-3
Dg PI Fes 243 0 ex +3
F.122 (CESCEN-68) O quocieme de um polinámio de grau n + 1 por «a um polind
mio de grau
F.123 (ITA-64) Determinar o sento de x2 + x +1 divicido por x + 1
F124 Qual bo rst da di def = aut por g = x
id
2
75-F
F.116 (MAPOFEI-70) Dado um polirámio PL), de grau n > 1
al Demonstrar que Pla) = 0, ento Pix) 6 divisive par x =
b) Demonstarunicidade do resto da dicke de PU) pox x 8,
el Em termos de Pal, qual o resto dessa divsio?
F.117 Determinar o resto © 0 quoclante da divo da f= x a nor g= x = à)
Solusio
cano
Aplicando Brior-Ruftini, tamos:
—_——
D 6 6 m
io. à @
Resposta: F=0 € gen + ox ade. san
F.118 Determinar o reto au quoclente da di de = x +40 por g = x
Solucio
Mean tan zan
Alicando Briot Ruttini, tamos:
m1 oros
1 o 9 a moja
van» am Ta
Resposta: 1m 2a 9 am heat. at
F.118 Determinar o resto e o quocieme da divido de 1 = «N -aR por g=x +
Sage
19 caso: népar rath
pa
o
1% oo oo]
7 ® a Lo
o
CRETE
T4-F
(ea) (I an a an zur
n= eos
SoS
1 © 0 o o Le
oa 2 «2 EN
F.120 Octerminar o rest © o quociente da divise def =xM +40 por g =x +8,
Socio.
19 caso: nö Me) = (a) +a aah at = a
Larra
a ro
ae an
29 emo: nd imper
a am
F.121 Detarminar os restos e os quocientes das vides de f or y nos seguinte cesos:
a) taxt-8t e ganes el text e genet
D Le 48 agen 5 $ fex6e te gas et
ARES a} Fe 384249 0 gux-3
Dg PI Fes 243 0 ex +3
F.122 (CESCEN-68) O quocieme de um polinámio de grau n + 1 por «a um polind
mio de grau
F.123 (ITA-64) Determinar o sento de x2 + x +1 divicido por x + 1
F124 Qual bo rst da di def = aut por g = x
id
2
75-F
F.125 Determinar a, à E de modo que pelindmio
Mad + (201 + (32h + de
10, om seguida, obtor o quocionte da divieo,
in duisivol por y
Solugdo
14 ci s
MAD -a12 + (Za 1112 + (ae 21 + Aa = 1003-0 porta à = à
par x = 100,8 somente 11) = 0, entBo:
Aplicando o dlspositwo prático de Brio Ruffini vemos dividir © polinomio
E ee -
a E tomos
Ir por
m
126 Determinar pe 4 mais de modo que f= x? # (paix + 29 © 9 = x2 + oa
sejam ambos division por 2 x.
Solgie
Pelo teorema de D'Alembart,f «à +50 divisas por 2 x» = (x~2)40, 0 wha, (2) « 0
(2) ~ 0, ano:
MDR + Ip-al? + 2p- 0m 49-20 = -4 (D)
De erro ra ©
Rando osinera formado pa eaux) e (1) vom:
Respora: p - og
.127 Determinar u de modo que a dito de
presenta resto quel à 7.
F.128 Determinar p de modo quo o polindmio f= 2x2 + px? = (Zp+ 1): + in + 1 sej dvi
porge «+4.
F.129 Determinar p € q de modo que o polinómio x3 - 2px? + (p+ 3x + (2p +a) sei divisive
por x # x-2
F.190 (FEIUG-59] Onerminar à eb de mode que o polinómio f= x3 + 242 + ax +b apresente
‘ex soguintes propriedades:1 + 1 &divislvel porx+1 e 1-1 6 divisival por x= 1
F.191 Determinar o polindmio 1 do segundo grau que, dividido por x, x 1 ex = 2, spresonta
restes 4, 90 18, respactivamonte,
Sousse
Sein f= 0x2 + be + 6. Temor:
HO) «4-02 +be0+e- des — Ui)
Mi = a+ bed + en Om arbee-9 Qt
Ma +be2 + e- 18m mehrere QU
1146 divise per 1
1) où coros das visos dof por x= 2 x= 3 130 igual
138 (MAPOFE!-78) Detorminar o polínómio do 39 grau que so anula para x = 1 0 que, divi
ido por x à 1, x=2 € 242, db rectos ua 6.
FF.134 Mostrar que se a soma dos coeficientes de um polinimio 1 6 nuls, ent Y 4 dvhafel por
Pac)
Solugio
Sea f= do RO tal que ag + où + ep O.
Provemos que f 6 dvisival por x= 1 ou, 0 qued equivalent, 1(1) = 0:
FO) = ag tage) Heke aged
sagt ata tt one 0.
Assim, por exemple, so dlvsives por x = 1 04 polinómios:
De (pois 3 + 4-8) + 2 = 0)
ne = BOF st iso 7 + LB) + O)
F.195 (ITA-S1) Quel é à condicño necesáris 6 suficiente que devam star p 4 q de modo
que x? + 2800-04 2D soja divicivelporx+a (p.4 © M on > a)
F.136 (EPUSP-58) Quai devo ser o valor do costiciente © para que os estos das divis5os de
200 4x8 + WA + td por xt 12 € x 12 sejam igus?
TIE
Mad + (201 + (32h + de
10, om seguida, obtor o quocionte da divieo,
in duisivol por y
Solugdo
14 ci s
MAD -a12 + (Za 1112 + (ae 21 + Aa = 1003-0 porta à = à
par x = 100,8 somente 11) = 0, entBo:
Aplicando o dlspositwo prático de Brio Ruffini vemos dividir © polinomio
E ee -
a E tomos
Ir por
m
126 Determinar pe 4 mais de modo que f= x? # (paix + 29 © 9 = x2 + oa
sejam ambos division por 2 x.
Solgie
Pelo teorema de D'Alembart,f «à +50 divisas por 2 x» = (x~2)40, 0 wha, (2) « 0
(2) ~ 0, ano:
MDR + Ip-al? + 2p- 0m 49-20 = -4 (D)
De erro ra ©
Rando osinera formado pa eaux) e (1) vom:
Respora: p - og
.127 Determinar u de modo que a dito de
presenta resto quel à 7.
F.128 Determinar p de modo quo o polindmio f= 2x2 + px? = (Zp+ 1): + in + 1 sej dvi
porge «+4.
F.129 Determinar p € q de modo que o polinómio x3 - 2px? + (p+ 3x + (2p +a) sei divisive
por x # x-2
F.190 (FEIUG-59] Onerminar à eb de mode que o polinómio f= x3 + 242 + ax +b apresente
‘ex soguintes propriedades:1 + 1 &divislvel porx+1 e 1-1 6 divisival por x= 1
F.191 Determinar o polindmio 1 do segundo grau que, dividido por x, x 1 ex = 2, spresonta
restes 4, 90 18, respactivamonte,
Sousse
Sein f= 0x2 + be + 6. Temor:
HO) «4-02 +be0+e- des — Ui)
Mi = a+ bed + en Om arbee-9 Qt
Ma +be2 + e- 18m mehrere QU
1146 divise per 1
1) où coros das visos dof por x= 2 x= 3 130 igual
138 (MAPOFE!-78) Detorminar o polínómio do 39 grau que so anula para x = 1 0 que, divi
ido por x à 1, x=2 € 242, db rectos ua 6.
FF.134 Mostrar que se a soma dos coeficientes de um polinimio 1 6 nuls, ent Y 4 dvhafel por
Pac)
Solugio
Sea f= do RO tal que ag + où + ep O.
Provemos que f 6 dvisival por x= 1 ou, 0 qued equivalent, 1(1) = 0:
FO) = ag tage) Heke aged
sagt ata tt one 0.
Assim, por exemple, so dlvsives por x = 1 04 polinómios:
De (pois 3 + 4-8) + 2 = 0)
ne = BOF st iso 7 + LB) + O)
F.195 (ITA-S1) Quel é à condicño necesáris 6 suficiente que devam star p 4 q de modo
que x? + 2800-04 2D soja divicivelporx+a (p.4 © M on > a)
F.136 (EPUSP-58) Quai devo ser o valor do costiciente © para que os estos das divis5os de
200 4x8 + WA + td por xt 12 € x 12 sejam igus?
TIE
72. Genoralizagio 5 Nu
Para obtermos rapidamente o quaciente q e o resto r da divisio de um poli- an
nömio 1,com At > 1, porg = bx - a onde D # 0, notemos que: € divisivel pelo produto (x ~ aj{x - b)
(ie=ajg trio cando, Ob e ‘nonin
do que docatre a sequinte repea prdtica: E _ Sejam q 0 quociente er = ex + do resto da diviso de f por (x= ax - bl;
ende
19) dividese f por x2 empregando o dispositivo de Briot Ruffini; ax abi + (ex + 8) = 1
Caleulando os valores numéricos desses polinômios em
29) divide-se o quociente encontrado {a} pelo número b, obtendo q
[atal] {a - alfa-b) + (cad) = Ha) m
habe ey,
5 D fpoisteaivimer por «= ab
Exemplos
Calculando os valores numéricos em b, temos:
19) Dividir f= xt - 2x9 42 7x4 1 por g= Bx = 5 Ax
Latbi] (b= ab bh + (cb + 6) = tb),
ù TD époi visio! por =
Resulta entáo o sistema: | * 4 =D
æ+4-0
donde veme = 0 e d = 0, portanto r = 0.
iO + ef + 6x q "3 atthe
EXERCICIOS
20) iif 450425 por nut}
F.198 Qual do resto da divi de 4 A8 1 por g=2x-47
F.139 Mosuerque {202+ 9:2 +7x-6 6 diviivl por g- xt + 8x +8.
Solugéo
Podemos resolver este problema sem efetuar a dvisio, notando que
ar wenns.
Se Y for divisivel por x +2 ex + 3, de acordo com o teorema do item 73. ar ivive
org Provemos, portanto, que 1-21 > 0 0 1-3) = 0
3
a
o
een aan ered “= 4 anno
MAI à 202 + 9122+ 1-8 à à ten
ree 79-F
Para obtermos rapidamente o quaciente q e o resto r da divisio de um poli- an
nömio 1,com At > 1, porg = bx - a onde D # 0, notemos que: € divisivel pelo produto (x ~ aj{x - b)
(ie=ajg trio cando, Ob e ‘nonin
do que docatre a sequinte repea prdtica: E _ Sejam q 0 quociente er = ex + do resto da diviso de f por (x= ax - bl;
ende
19) dividese f por x2 empregando o dispositivo de Briot Ruffini; ax abi + (ex + 8) = 1
Caleulando os valores numéricos desses polinômios em
29) divide-se o quociente encontrado {a} pelo número b, obtendo q
[atal] {a - alfa-b) + (cad) = Ha) m
habe ey,
5 D fpoisteaivimer por «= ab
Exemplos
Calculando os valores numéricos em b, temos:
19) Dividir f= xt - 2x9 42 7x4 1 por g= Bx = 5 Ax
Latbi] (b= ab bh + (cb + 6) = tb),
ù TD époi visio! por =
Resulta entáo o sistema: | * 4 =D
æ+4-0
donde veme = 0 e d = 0, portanto r = 0.
iO + ef + 6x q "3 atthe
EXERCICIOS
20) iif 450425 por nut}
F.198 Qual do resto da divi de 4 A8 1 por g=2x-47
F.139 Mosuerque {202+ 9:2 +7x-6 6 diviivl por g- xt + 8x +8.
Solugéo
Podemos resolver este problema sem efetuar a dvisio, notando que
ar wenns.
Se Y for divisivel por x +2 ex + 3, de acordo com o teorema do item 73. ar ivive
org Provemos, portanto, que 1-21 > 0 0 1-3) = 0
3
a
o
een aan ered “= 4 anno
MAI à 202 + 9122+ 1-8 à à ten
ree 79-F
148 Determinar ae b emfungio dende modo que 40% + bx 41 sia divisive por (= 1}?
F.140 IMAPOFEI=74) Mostra que x) = xt + 248 = = 2 ii
por gta = x2 #3042,
F.149 (EPUSP-62) Determiner os números rast 9 € b e o maior intro m de tal modo que ©
141 Provar que In = 2129 + be 1/0 1 6 divisive porn? - dx +2 polinomio xS - an + bx? ba? à Dx = anja Ghistve por ic 1.
F.142 Determinar a e bern R de modo que o polinómio
129842584 Ba = bn + fo +b)
#.150 Se a, B e 7 so rares do polinömio f, qual $ grav de 1?
sin vive porq = x2 =x
Se f admito & Be y como raizes, entio 1 é dhitivel por x - a, x - Be x = y, portanto,
Solugio #4 dv peo produc fx ain ts» ir 4, axe um polio ul
ae sexe died O Lo ar
no à dial or ceda que Y aja ivive por x= 0. x= 1, ino 6, se 101 = 0 Existe dus poulies
EN) = 0, Aim, temos:
anoto Aa
MO) = 0 =P 0942-02+a-b)-0+ (4b) = 0 nb = 0
HO) 20 142-1 eb) Hard) = 0 43-0 Maro = dreier 223
Resolvendo o sistema formado por estas duas equacden, ver
Resposta: f= 0 ov D > 3
Rewnoste: 8 = 1 6 b = 1
F:161 Se ae vides de um polinomio Y por x 1, x= 2 ex - 3 130 exotos, que se pode dizer do
1.142 (E. E. Maus-67) Determinar p e q de modo que o polinämio x + px + à ja divisiei gras de #7
CRETE
F.182 Aplicando Briot-Ruttni, determine o quocinte qe reso da iso de # » xd = x2 à
F.144 Determiner 5. b, © de modo que mA + bx2N-I + © mie divisive! por xx + HU 1). YT por ge te = Zi 3),
wem! PR
29 + 32-10x + 8 6 divisive por x- 1 mes à viva por (x= 12, Sejam qu 0 quociente e y 0 reso da dWvinio def por x = 2
aber
Sejam qz o quacient 8 #0 roto da divo de q, por x - 3
ar
Sobsttuindo (1) em (1. vo:
f= [20 nl e
Gi + [ni + a}
Anim. qu 6 0 quociente procurado e rzl«-2) + 11 6. resto procurado. Apliquemos
Briot Ruffini duas vezes:
1 31 tad 1 aye E
1 ai TO asi Te
A a
Verficamos que 1 ivive por x 3 pois obtivemos q = 22 + 2x-8 01, = 0, porkm,
{nfo à dvsivel por 4x - 1? uma vez que q nod Gill por x = 1 amara
ES
F.148 Provar que 6x6 - 6x5 + 1 6 civiiva por (x = 11 e determiner o quociont,
Resposta: = x44 © r= 15-25
F:147 Provar que nan = An + 1100-41 6 divisive) por (x = 172.
80-F
F.140 IMAPOFEI=74) Mostra que x) = xt + 248 = = 2 ii
por gta = x2 #3042,
F.149 (EPUSP-62) Determiner os números rast 9 € b e o maior intro m de tal modo que ©
141 Provar que In = 2129 + be 1/0 1 6 divisive porn? - dx +2 polinomio xS - an + bx? ba? à Dx = anja Ghistve por ic 1.
F.142 Determinar a e bern R de modo que o polinómio
129842584 Ba = bn + fo +b)
#.150 Se a, B e 7 so rares do polinömio f, qual $ grav de 1?
sin vive porq = x2 =x
Se f admito & Be y como raizes, entio 1 é dhitivel por x - a, x - Be x = y, portanto,
Solugio #4 dv peo produc fx ain ts» ir 4, axe um polio ul
ae sexe died O Lo ar
no à dial or ceda que Y aja ivive por x= 0. x= 1, ino 6, se 101 = 0 Existe dus poulies
EN) = 0, Aim, temos:
anoto Aa
MO) = 0 =P 0942-02+a-b)-0+ (4b) = 0 nb = 0
HO) 20 142-1 eb) Hard) = 0 43-0 Maro = dreier 223
Resolvendo o sistema formado por estas duas equacden, ver
Resposta: f= 0 ov D > 3
Rewnoste: 8 = 1 6 b = 1
F:161 Se ae vides de um polinomio Y por x 1, x= 2 ex - 3 130 exotos, que se pode dizer do
1.142 (E. E. Maus-67) Determinar p e q de modo que o polinämio x + px + à ja divisiei gras de #7
CRETE
F.182 Aplicando Briot-Ruttni, determine o quocinte qe reso da iso de # » xd = x2 à
F.144 Determiner 5. b, © de modo que mA + bx2N-I + © mie divisive! por xx + HU 1). YT por ge te = Zi 3),
wem! PR
29 + 32-10x + 8 6 divisive por x- 1 mes à viva por (x= 12, Sejam qu 0 quociente e y 0 reso da dWvinio def por x = 2
aber
Sejam qz o quacient 8 #0 roto da divo de q, por x - 3
ar
Sobsttuindo (1) em (1. vo:
f= [20 nl e
Gi + [ni + a}
Anim. qu 6 0 quociente procurado e rzl«-2) + 11 6. resto procurado. Apliquemos
Briot Ruffini duas vezes:
1 31 tad 1 aye E
1 ai TO asi Te
A a
Verficamos que 1 ivive por x 3 pois obtivemos q = 22 + 2x-8 01, = 0, porkm,
{nfo à dvsivel por 4x - 1? uma vez que q nod Gill por x = 1 amara
ES
F.148 Provar que 6x6 - 6x5 + 1 6 civiiva por (x = 11 e determiner o quociont,
Resposta: = x44 © r= 15-25
F:147 Provar que nan = An + 1100-41 6 divisive) por (x = 172.
80-F
F.153 Determinar o quociente « o resto da divisio de
NE 9-82 + 84-6 por ge te IZ)
Solugio
Vamos dividir f sucassivamonto por x 1 26-4 = 2-2) 0 plier o mesma racio:
ini feto em F 152
Bod aot 4
aot ae
20-1 o
1 1
asa jad
tler = Ob » 0 2 0
Resposta: a Peters
F.184 Sando 5 2 -2 os restos da divisio de um pollnömio # por x = 1 ex + 2, rmpectivamente.
pede-se determinar o resto de divisio de À pelo produto (x ~ x + 3)
Solagio
Pelo tsorama do reso, temos:
Mes. na.
Sejam q a r= ax +b, respectivamante, O quociente e © resto de divsio de 1 por
feo 1162+ A, Tomos
Pa ge ber ai lex)
Tomemos os volores numéricos dette polinómios em 1e 3:
Heats AA ER Er) o
y
MAD à af + LB NS + 9) + (da ble 2 = de +b
ES
Resolvendo 0 sistema formado por a+ = 52-38 +b
2
Bogota u + E
F.155 (E. E, Maui-68) Sendo 8 0 6 os restos espectios da divsdo de um polindmio PLx) por
Ix-5) 0 1x3), pedeue determiner o asta d dvisia de Pix] pelo produto (x Sts 31
F.156 (EE, Lins-66) Colcular o resto Ax) de um polínómio intro em x palo produto
{+ 1x 21, sabendos que o resto da divisio por (x + 1) no ponte -1 9 0 resto de
divide por (x -2) no ponto 2 to ambos unis a 3
F.187 (MAPOFEI-72)
3) Enuncia o teorema da existáncio a unieidade do quociente do resto de divisio de
‚is polindmios de uma verivel Ale) e Bla)
I Determinar o esto da divisio de um polinómio Ale) por Ble) © 22 + 1, conhecen
dose ALO e Alsi), onde ¡6 a unidade imaginári.
F.158 Um polínbmio 4, dividido por x + 2 ex? + 4 dármstor O ex +1, respectivamente. Quai 6
‘resto de divido det por (x + 2162 + 917
F-159 (MAPOFEI-76) Um polindmio Pix) $ ivisivelporx +1, a, dividido por x2 +1, dé quo.
ciome x3 6 a resto Axl. Se RIZ) = 9, esrever Ple),
Bar
NE 9-82 + 84-6 por ge te IZ)
Solugio
Vamos dividir f sucassivamonto por x 1 26-4 = 2-2) 0 plier o mesma racio:
ini feto em F 152
Bod aot 4
aot ae
20-1 o
1 1
asa jad
tler = Ob » 0 2 0
Resposta: a Peters
F.184 Sando 5 2 -2 os restos da divisio de um pollnömio # por x = 1 ex + 2, rmpectivamente.
pede-se determinar o resto de divisio de À pelo produto (x ~ x + 3)
Solagio
Pelo tsorama do reso, temos:
Mes. na.
Sejam q a r= ax +b, respectivamante, O quociente e © resto de divsio de 1 por
feo 1162+ A, Tomos
Pa ge ber ai lex)
Tomemos os volores numéricos dette polinómios em 1e 3:
Heats AA ER Er) o
y
MAD à af + LB NS + 9) + (da ble 2 = de +b
ES
Resolvendo 0 sistema formado por a+ = 52-38 +b
2
Bogota u + E
F.155 (E. E, Maui-68) Sendo 8 0 6 os restos espectios da divsdo de um polindmio PLx) por
Ix-5) 0 1x3), pedeue determiner o asta d dvisia de Pix] pelo produto (x Sts 31
F.156 (EE, Lins-66) Colcular o resto Ax) de um polínómio intro em x palo produto
{+ 1x 21, sabendos que o resto da divisio por (x + 1) no ponte -1 9 0 resto de
divide por (x -2) no ponto 2 to ambos unis a 3
F.187 (MAPOFEI-72)
3) Enuncia o teorema da existáncio a unieidade do quociente do resto de divisio de
‚is polindmios de uma verivel Ale) e Bla)
I Determinar o esto da divisio de um polinómio Ale) por Ble) © 22 + 1, conhecen
dose ALO e Alsi), onde ¡6 a unidade imaginári.
F.158 Um polínbmio 4, dividido por x + 2 ex? + 4 dármstor O ex +1, respectivamente. Quai 6
‘resto de divido det por (x + 2162 + 917
F-159 (MAPOFEI-76) Um polindmio Pix) $ ivisivelporx +1, a, dividido por x2 +1, dé quo.
ciome x3 6 a resto Axl. Se RIZ) = 9, esrever Ple),
Bar
Recém-nascido abandonado nos degraus de igreja
Jean Le Rond D'Alembert abandonado quando pequeno nos degraus da
igreja de St. Jean Baptista de Rond, perto de Notre-Dame, em Paris, foi adotado
por um humilde casal. Mais tarde descobriuse que seu pai era o general da arti
Iharia Chevalier Destouches e sua mae a aristocrática escritora Madame de Tencin
mas D'Alembert, quando se tornou famoso matemático, preferiu ser reconhecido
¡como filho de seus pais adotivos.
Teve ampla instrucio em Direito, Medicina, Ciéncias e Matemático, cola-
borando com Diderot nos 28 volumes da “Enciclopédia”.
Em 1754 tornov-se secretário perpétuo da “Academia das Ciencias” e já
era o mais influente cientista francés.
D'Alembert mantinha correspondéncia com Euler cujos interesses eram
muito parecidos quanto 305 logaritmos de números negativos, mas achava diseu:
tível o uso de séries infinitas de Euler e também fazia objegßes sobre seu conceito.
de ciferenciais.
Achando fundamental a idgia de limite no Cálculo, chegou a definir esse
conceito em um de seus escritos, porém, sua definicäo ndo foi to clara como as
de Leibniz e Euler. D'Alembert negava 2 idéia que temos hoje sobre infinito pois
ppensava em grandezas geométricas e näo em teoria dos conjuntos.
Uma de suas preooupagdes básicas era a prova de que toda operacio algébrica
fetuada sobre números complexos resultaria em número complexo mostrando que
© sistema formado por eles € algebricamente fechado, admitindo que um cálculo
de varidveis complexas seguiria o mesmo esquema do cálculo para combinacóes
algébricas de varidveis reais.
Em “Teoría das Probabilidades”, as-
sim como Euler, escreveu sobre problemas
de expectativa de vide, valor de uma uni
dade, loterias, opondose muitas vezes as
ideias da época como na probabilidade de
Obter cara em dois langamentos de uma
moeda que para ele seria 2/3 e nio 3/4
Somo € usual
D'Alembert, em seu “Tratado de
Dinámica” enunciou seu célebre principi
l'as açües e rescdes internas de um sistema
de corpos rígidos cm movimento esto
em equilibrio”,
Em consegüöncia de suas atividades
e sendo amigo de Voltaire e outros fildso:
fos, foi um dos que abriram caminho para
a Revolugio Francese, mas morreu antes
Jean Le A. D'Alembert da queda da Bastiihe, no mesmo ano que
(1717 — 1783) Euler.
CAPÍTULO I
EQUAGÖES POLINOMIAIS
1. INTRODUCAO
74, Neste capitulo trabalharemos com funcöes polinomiais
PO 2 ay + ax at aa
conde os coeficientes 49, y, @2,.--, an $80 nümeros complexos e à variävel x tam
bém & complexe, isto 6, x pode ser substituído por um número complexo qualquer.
Hé algumas propriedades que exigem restrigäo para os coeficientes (por exem
plo, os coeficientes devem ser reais); quando surgirem, faremos a restricáo.
78. Recomendamos ao estudante fazer, neste instante, uma revisio de alguns
assuntos básicos vistos no capítulo anterior, tas como:
a) valor numérico de Pix) para x = a (item 37);
b) fungio polinomial identicamente nula e teorema correspondiente
fitens 38 e 39)
©) fungöes polinomisis idénticas e teorema correspondente {itens 40 e 41}
4) adigäo, multiplicacio e divisio de polinèmios (itens 42 a 58);
e) divisio por bindmios do 19 grau, especialmente o teorema de D'Alembert
item 68)
11. DEFINIGOES
76. Dados duas funçôes polinomiais y = f(x) e y = g(x), chamase equaçäo po:
linomial ou equacño algébrica a sentence aberta fix) = glx)
Assim, por exemplo, se fix) = x" + x?=x-1e glx) = 3x?> 3, a sentence
aberta x 4 x= 1 = 3-3 ¿uma equagio polinomial
Jean Le Rond D'Alembert abandonado quando pequeno nos degraus da
igreja de St. Jean Baptista de Rond, perto de Notre-Dame, em Paris, foi adotado
por um humilde casal. Mais tarde descobriuse que seu pai era o general da arti
Iharia Chevalier Destouches e sua mae a aristocrática escritora Madame de Tencin
mas D'Alembert, quando se tornou famoso matemático, preferiu ser reconhecido
¡como filho de seus pais adotivos.
Teve ampla instrucio em Direito, Medicina, Ciéncias e Matemático, cola-
borando com Diderot nos 28 volumes da “Enciclopédia”.
Em 1754 tornov-se secretário perpétuo da “Academia das Ciencias” e já
era o mais influente cientista francés.
D'Alembert mantinha correspondéncia com Euler cujos interesses eram
muito parecidos quanto 305 logaritmos de números negativos, mas achava diseu:
tível o uso de séries infinitas de Euler e também fazia objegßes sobre seu conceito.
de ciferenciais.
Achando fundamental a idgia de limite no Cálculo, chegou a definir esse
conceito em um de seus escritos, porém, sua definicäo ndo foi to clara como as
de Leibniz e Euler. D'Alembert negava 2 idéia que temos hoje sobre infinito pois
ppensava em grandezas geométricas e näo em teoria dos conjuntos.
Uma de suas preooupagdes básicas era a prova de que toda operacio algébrica
fetuada sobre números complexos resultaria em número complexo mostrando que
© sistema formado por eles € algebricamente fechado, admitindo que um cálculo
de varidveis complexas seguiria o mesmo esquema do cálculo para combinacóes
algébricas de varidveis reais.
Em “Teoría das Probabilidades”, as-
sim como Euler, escreveu sobre problemas
de expectativa de vide, valor de uma uni
dade, loterias, opondose muitas vezes as
ideias da época como na probabilidade de
Obter cara em dois langamentos de uma
moeda que para ele seria 2/3 e nio 3/4
Somo € usual
D'Alembert, em seu “Tratado de
Dinámica” enunciou seu célebre principi
l'as açües e rescdes internas de um sistema
de corpos rígidos cm movimento esto
em equilibrio”,
Em consegüöncia de suas atividades
e sendo amigo de Voltaire e outros fildso:
fos, foi um dos que abriram caminho para
a Revolugio Francese, mas morreu antes
Jean Le A. D'Alembert da queda da Bastiihe, no mesmo ano que
(1717 — 1783) Euler.
CAPÍTULO I
EQUAGÖES POLINOMIAIS
1. INTRODUCAO
74, Neste capitulo trabalharemos com funcöes polinomiais
PO 2 ay + ax at aa
conde os coeficientes 49, y, @2,.--, an $80 nümeros complexos e à variävel x tam
bém & complexe, isto 6, x pode ser substituído por um número complexo qualquer.
Hé algumas propriedades que exigem restrigäo para os coeficientes (por exem
plo, os coeficientes devem ser reais); quando surgirem, faremos a restricáo.
78. Recomendamos ao estudante fazer, neste instante, uma revisio de alguns
assuntos básicos vistos no capítulo anterior, tas como:
a) valor numérico de Pix) para x = a (item 37);
b) fungio polinomial identicamente nula e teorema correspondiente
fitens 38 e 39)
©) fungöes polinomisis idénticas e teorema correspondente {itens 40 e 41}
4) adigäo, multiplicacio e divisio de polinèmios (itens 42 a 58);
e) divisio por bindmios do 19 grau, especialmente o teorema de D'Alembert
item 68)
11. DEFINIGOES
76. Dados duas funçôes polinomiais y = f(x) e y = g(x), chamase equaçäo po:
linomial ou equacño algébrica a sentence aberta fix) = glx)
Assim, por exemplo, se fix) = x" + x?=x-1e glx) = 3x?> 3, a sentence
aberta x 4 x= 1 = 3-3 ¿uma equagio polinomial
Recordemos que uma sentenga em x, aberta, pode ser verdadeira ou falsa
conforme o valor atribuido a x. No nosso exemplo, temos:
para x = 0, D+0-0-1,- 3-01-3 (falsa)
oi sc)
para x = 1, 141 3.7-3 (verdadeira)
Co] EN
77. Dada uma equacäo polinamial f(x) = g(x), chama-se raiz da equagäo todo
nümero que, substituido em lugar de x, torna a sentenga verdadeira. Assim, o nú:
mero ré caiz de f(x) = glx) se, e s6 se Fr) = g(r) & sentenca verdadeira,
Aetomando 0 nosso exemplo, na equaciox? + x x = 1 = 3-3 ac raires
slo 1, 2¢-1 pois
paraxet, 1+17-1-12 Dd Ow 0 (verdadeira)
porax=2,2°42°-2.1= 3.2.3 9 2 9 (erdadeira)
pera LIRA (131 -3— O = O (verdad
enquanto que 3 náo é raiz pois
pare x=3, P+ P-3-1 = 3. 3-30 93 24 (falsa)
78. Chamase conjunto-solugáo ou conjunto-verdade em C da equeçäo f(x} = gtx)
9 conjunto $ cujos elementos säo as raizes complexas da equacio.
Por exemplo, o conjunto-solucio da equaçäo x? +x? - x = 1 = 32-3 6
S=(1,2,-1)
79, Resolver uma equacáo potinomial é obter o seu conjunto-solugáo.
Dada a equacdo polinomial Fix) = glx), resoivéla significa desenvolver um
raciocínio lógico e concluir quais sáo as raizes, sam ter de “adivinhar” nenhuma
sem "esquecer” nenhuma. Aprender a resolver equacúes polinomíais é a meta deste
capitulo.
Vimos que a equaçäo x? + x? - x - 1 = 3x? - 3 apresenta as raízes 1, 2
2-1, porém, náo esclarecemos duas questées:
18) como obtivemos as raizes?
28} do só assas as raizes da equagdo?
A teoria sequinte responde a essas perguntas.
88-F
80, Duss equardes polinomiais sáo equivalentes quando apresentam o mesmo
conjunto-solugie, iste &, toda raiz de uma equagäo é também raiz da cutra e
reciprocamente, Assim, por exemplo, as equagdes
Mart te Bde (2x -2x-x 2 0
so equivalentes pois Sy = (1,2,-1) e S2 = {1.2.-1}.
81. Hô duas operacóes que no alteram o conjuntossolugáo de ume equaçäo
polinomial, ste é, há duas maneiras de transformar uma equacáo polinomial em
outra, equivalente à primeira:
19) somar ao dois membros a mesma fungáo polinomiat
100) = gla) om 100 M gd oO
Exemplo
Seja a equacáo
x? = 4x + a te tS
Eu wists ©
m a
4-5 a0s dois membros:
adicionemos h(x) = -gix) = -2
(Bx = ax 411), + (ax) e (DP + x 4 6) + (exe 8)
cs) nö a D]
5x+6=0 @
fagamos as simplificagóes
decorre que (1) equivalente a (2) , portanto: S, = Sy = (2,3)
Na prática, aplicamos esta propriedade com o seguinte enunciado: "em toda
equssäo polinomial, transpor um termo de um membro para outro, tocando 0
sinal do seu coeficiente, no altera o conjuntosolucáo'
100 = glx) 100 = gfx) + ©
87-F
conforme o valor atribuido a x. No nosso exemplo, temos:
para x = 0, D+0-0-1,- 3-01-3 (falsa)
oi sc)
para x = 1, 141 3.7-3 (verdadeira)
Co] EN
77. Dada uma equacäo polinamial f(x) = g(x), chama-se raiz da equagäo todo
nümero que, substituido em lugar de x, torna a sentenga verdadeira. Assim, o nú:
mero ré caiz de f(x) = glx) se, e s6 se Fr) = g(r) & sentenca verdadeira,
Aetomando 0 nosso exemplo, na equaciox? + x x = 1 = 3-3 ac raires
slo 1, 2¢-1 pois
paraxet, 1+17-1-12 Dd Ow 0 (verdadeira)
porax=2,2°42°-2.1= 3.2.3 9 2 9 (erdadeira)
pera LIRA (131 -3— O = O (verdad
enquanto que 3 náo é raiz pois
pare x=3, P+ P-3-1 = 3. 3-30 93 24 (falsa)
78. Chamase conjunto-solugáo ou conjunto-verdade em C da equeçäo f(x} = gtx)
9 conjunto $ cujos elementos säo as raizes complexas da equacio.
Por exemplo, o conjunto-solucio da equaçäo x? +x? - x = 1 = 32-3 6
S=(1,2,-1)
79, Resolver uma equacáo potinomial é obter o seu conjunto-solugáo.
Dada a equacdo polinomial Fix) = glx), resoivéla significa desenvolver um
raciocínio lógico e concluir quais sáo as raizes, sam ter de “adivinhar” nenhuma
sem "esquecer” nenhuma. Aprender a resolver equacúes polinomíais é a meta deste
capitulo.
Vimos que a equaçäo x? + x? - x - 1 = 3x? - 3 apresenta as raízes 1, 2
2-1, porém, náo esclarecemos duas questées:
18) como obtivemos as raizes?
28} do só assas as raizes da equagdo?
A teoria sequinte responde a essas perguntas.
88-F
80, Duss equardes polinomiais sáo equivalentes quando apresentam o mesmo
conjunto-solugie, iste &, toda raiz de uma equagäo é também raiz da cutra e
reciprocamente, Assim, por exemplo, as equagdes
Mart te Bde (2x -2x-x 2 0
so equivalentes pois Sy = (1,2,-1) e S2 = {1.2.-1}.
81. Hô duas operacóes que no alteram o conjuntossolugáo de ume equaçäo
polinomial, ste é, há duas maneiras de transformar uma equacáo polinomial em
outra, equivalente à primeira:
19) somar ao dois membros a mesma fungáo polinomiat
100) = gla) om 100 M gd oO
Exemplo
Seja a equacáo
x? = 4x + a te tS
Eu wists ©
m a
4-5 a0s dois membros:
adicionemos h(x) = -gix) = -2
(Bx = ax 411), + (ax) e (DP + x 4 6) + (exe 8)
cs) nö a D]
5x+6=0 @
fagamos as simplificagóes
decorre que (1) equivalente a (2) , portanto: S, = Sy = (2,3)
Na prática, aplicamos esta propriedade com o seguinte enunciado: "em toda
equssäo polinomial, transpor um termo de um membro para outro, tocando 0
sinal do seu coeficiente, no altera o conjuntosolucáo'
100 = glx) 100 = gfx) + ©
87-F
2%) multiplicar os dois membros pelo mesmo número complexe k(k # 0)
100 = ghd <> ke thd = ke gtd
Exemple
BE 2 Le 0 0 6c - 1 = 0 so eines pol à 2 foi ar a 19
através de uma multi
licacáo por 8
82, Na resolucdo de uma equaçäo polinomial procuramos sempre transformé-la
em outra, equivalente e mais “simples”, em que o conjunto-soluçäo possa ser
obtido com maior facilidade. Assim, empregando os artificios descritos no item
anterior, 6 possivel transformar qualquer equaçäo flx) = glx) numa equaçäo equi
valente Pix) = fix) - glx) = 0, isto &, toda equagfo polinomial & redutivel à
forma:
+ 4
+ ana ax +00 = 0
83, Quando transformamos uma equagäo polinor
podem ocorrer dois casos notävei
para a forma Plx)
19 caso: Plx) é identicamente nula
isto é, estamos diante da equacáo
DIOR 0
que & uma sentenga verdadeira para todo número complexo que seja colocado no
lugar de x, portant
se
29 caso: Pix) é constante e
isto 6, estamos diante da aquacáo
ox +0»
FORME FO +k = 0
‘que & uma sentenga falsa para todo número complexe que seja colocado no lugar
de x, portanto:
s-9
Exemplos
19) Resover (x DP + 11 + = + x 2
Temas: A Pat
MO be 0
portanto:0x? + 0x? + 0x + 0 = 0 $ = €
isto
29) Resolver x(x = MK = 2) = x? 3x? + 2x - 7
Tomos: 3° - 3x24 2x = xd = Gxt + 26-7
isto (2 Gut + Ded = P= Bx? + 2x A O
portanto:0x? + Ox? + Ox + 7 = 0 S= Y
Daqui por diante excluiremos esses dois casos imediatos, portanto, só con
sideraremos as equagdes polinomiais P(x) = O em que o grau de P & maior que zero.
141. NUMERO DE RAÏZES
84, Como toda equacéo polinomial pode ser colocada na forma
Plc) © ann” a a +... tay tag O,
6 evidente que as seg
intes proposicées säo equivalentes
(1) réraiz da equagdo Pix) = 0
(2) ré raiz da funcio polinomial P(x)
(3) r áraiz do polinômio P
€ as trés proposipdes 10 sintetizadas por Pir) = 0.
Diremos também que a equacäo Plx) = 0 é de grau n se, e só se, Pix} e P sio
degraun.
5. Teorema
‘Todo polinómio P de grau n > 1 admite ao menos uma raiz compl
Admitiremos a validade deste teorema, chamado teorema fundamental da
Algebra (T.F.A.), sem demonstracio.
100 = ghd <> ke thd = ke gtd
Exemple
BE 2 Le 0 0 6c - 1 = 0 so eines pol à 2 foi ar a 19
através de uma multi
licacáo por 8
82, Na resolucdo de uma equaçäo polinomial procuramos sempre transformé-la
em outra, equivalente e mais “simples”, em que o conjunto-soluçäo possa ser
obtido com maior facilidade. Assim, empregando os artificios descritos no item
anterior, 6 possivel transformar qualquer equaçäo flx) = glx) numa equaçäo equi
valente Pix) = fix) - glx) = 0, isto &, toda equagfo polinomial & redutivel à
forma:
+ 4
+ ana ax +00 = 0
83, Quando transformamos uma equagäo polinor
podem ocorrer dois casos notävei
para a forma Plx)
19 caso: Plx) é identicamente nula
isto é, estamos diante da equacáo
DIOR 0
que & uma sentenga verdadeira para todo número complexo que seja colocado no
lugar de x, portant
se
29 caso: Pix) é constante e
isto 6, estamos diante da aquacáo
ox +0»
FORME FO +k = 0
‘que & uma sentenga falsa para todo número complexe que seja colocado no lugar
de x, portanto:
s-9
Exemplos
19) Resover (x DP + 11 + = + x 2
Temas: A Pat
MO be 0
portanto:0x? + 0x? + 0x + 0 = 0 $ = €
isto
29) Resolver x(x = MK = 2) = x? 3x? + 2x - 7
Tomos: 3° - 3x24 2x = xd = Gxt + 26-7
isto (2 Gut + Ded = P= Bx? + 2x A O
portanto:0x? + Ox? + Ox + 7 = 0 S= Y
Daqui por diante excluiremos esses dois casos imediatos, portanto, só con
sideraremos as equagdes polinomiais P(x) = O em que o grau de P & maior que zero.
141. NUMERO DE RAÏZES
84, Como toda equacéo polinomial pode ser colocada na forma
Plc) © ann” a a +... tay tag O,
6 evidente que as seg
intes proposicées säo equivalentes
(1) réraiz da equagdo Pix) = 0
(2) ré raiz da funcio polinomial P(x)
(3) r áraiz do polinômio P
€ as trés proposipdes 10 sintetizadas por Pir) = 0.
Diremos também que a equacäo Plx) = 0 é de grau n se, e só se, Pix} e P sio
degraun.
5. Teorema
‘Todo polinómio P de grau n > 1 admite ao menos uma raiz compl
Admitiremos a validade deste teorema, chamado teorema fundamental da
Algebra (T.F.A.), sem demonstracio.
86. Teorema da decomposigäo
Todo polinömio P de grau n In > 1)
Pa + ann EP #2. aK + ag
+0
pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau, isto &
Po agli ral = ra) a). tx
onde fp, Ta, 05, ++, Fa sio as raízes de P.
À manos da ordem dos fatores tal decomposicio é única,
Demonstragáo
13 parte: existéncia
a) Sendo P um polinömio de grau n > 1, podemos aplicar o T.F.A. e P tem
20 menos uma raiz ry. Assim, Plry) = 0 e, de acordo com o teorema de D'Alembert,
P é divisivel por x- 1:
Plone m
onde Q, é polinámio de grau n= 1 e coeficiente dominante ay. Se n = 1, entáo
f= 1 = Oe Q, é polinômio constante, portanto, Q, = ap eP = apíx=rj), ficando
demonstrado nosso teorema,
bi Se n > 2, entio n-1 > 1 e 0 TFA & aplicével ao polinómio Qu, isto
6, O, tem 20 menos uma raiz r,. Assim, O, (13) = 0.6 Q, à ivisivel por x = F3:
Qe m
Substituindo (1°) em (1) resulta: P = (x= r,)0e
yO, (2)
onde O, & polindmio de grau n= 2 e cosficiente dominante ap. Se n = 2, isto é,
n-2 = 0,entáo Q3 = ay eP = an(x~r1)(x - ra), ficando demonstrado nosso teo»
<) Assim por diante, após n apl
igualdade:
Bes sucessivas do T.F.A. chegamos na
Pe brille a). Dental On od
onde Op temarau n-m=0 ecoeficiente domi
te ap, portanto, On = ay €
A)
90-F
28 parte: unicidade
Vamos supor que P admita dues decomposicóe
P = apli ll er) 2 De
P = ae FNC FM e X= Ah
Supondo reduzidos e ordenados os dois segundos membros, temas
a = an + x 4
Ficamos com a igualdade:
be roller). e ead EI = = GK
Atribuindo a x o valor de ra, temos:
9 = tron Aine
e se o produto & nulo, um dos fatores rı = 1j $ nulo; com uma conveniente mu:
dança na ordem dos fatores, podemos colocar fry 1
À igualdade (1) se transforme em:
border da) Ge ral be = =) bea)
e em seguida em
werden. ER EEE CETTE]
Atribuindo a x a valor 12, termes.
CEA
gilts = Glen
e, analogamente, um dos fatores ra = ri
nulo; com uma conveniente mudanga na
‘ordem dos fatores, podemos colocar |
Assim por diante, coneluiríamos ri= rj para todo i € (1,2,3,....0)
As igualdades m = naht = anti m O Pati Feet
prova da unicidade da decomposicáo.
oe
Todo polinömio P de grau n In > 1)
Pa + ann EP #2. aK + ag
+0
pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau, isto &
Po agli ral = ra) a). tx
onde fp, Ta, 05, ++, Fa sio as raízes de P.
À manos da ordem dos fatores tal decomposicio é única,
Demonstragáo
13 parte: existéncia
a) Sendo P um polinömio de grau n > 1, podemos aplicar o T.F.A. e P tem
20 menos uma raiz ry. Assim, Plry) = 0 e, de acordo com o teorema de D'Alembert,
P é divisivel por x- 1:
Plone m
onde Q, é polinámio de grau n= 1 e coeficiente dominante ay. Se n = 1, entáo
f= 1 = Oe Q, é polinômio constante, portanto, Q, = ap eP = apíx=rj), ficando
demonstrado nosso teorema,
bi Se n > 2, entio n-1 > 1 e 0 TFA & aplicével ao polinómio Qu, isto
6, O, tem 20 menos uma raiz r,. Assim, O, (13) = 0.6 Q, à ivisivel por x = F3:
Qe m
Substituindo (1°) em (1) resulta: P = (x= r,)0e
yO, (2)
onde O, & polindmio de grau n= 2 e cosficiente dominante ap. Se n = 2, isto é,
n-2 = 0,entáo Q3 = ay eP = an(x~r1)(x - ra), ficando demonstrado nosso teo»
<) Assim por diante, após n apl
igualdade:
Bes sucessivas do T.F.A. chegamos na
Pe brille a). Dental On od
onde Op temarau n-m=0 ecoeficiente domi
te ap, portanto, On = ay €
A)
90-F
28 parte: unicidade
Vamos supor que P admita dues decomposicóe
P = apli ll er) 2 De
P = ae FNC FM e X= Ah
Supondo reduzidos e ordenados os dois segundos membros, temas
a = an + x 4
Ficamos com a igualdade:
be roller). e ead EI = = GK
Atribuindo a x o valor de ra, temos:
9 = tron Aine
e se o produto & nulo, um dos fatores rı = 1j $ nulo; com uma conveniente mu:
dança na ordem dos fatores, podemos colocar fry 1
À igualdade (1) se transforme em:
border da) Ge ral be = =) bea)
e em seguida em
werden. ER EEE CETTE]
Atribuindo a x a valor 12, termes.
CEA
gilts = Glen
e, analogamente, um dos fatores ra = ri
nulo; com uma conveniente mudanga na
‘ordem dos fatores, podemos colocar |
Assim por diante, coneluiríamos ri= rj para todo i € (1,2,3,....0)
As igualdades m = naht = anti m O Pati Feet
prova da unicidade da decomposicáo.
oe
87. Corolèrio
Toda equaçäo polinomial de grau n {n > 1) admite n, e somente n, raízes
complex.
Demonstracáo
Seja a equaco polinomial
O + anal + agar? 4.4 81x + 80 = 0
Vimos na demonstra
raizes (distintas ou no) ff. F2, far
20 provar a unicidade da decomposiçäo.
da existäncia da decomposicdo que P admite as
In. Provamos que so só essas as raízes de P
88, Exemplos
19) Fatorar o polinomio P = Sx! - 6x* - BOX + BD sabendo que suas rares
sio 1,-2,2,-2i, 2i
P = 50x = Dix + 2x = De + 2 =
29)Qual & o conjunto-solugdo da equagdo 7x ~ 1)/{x - 21x - 31 = 02
De que grau & essa equagdo?
Temo:
P = Min Mb lo = 1e = 2x 2006 = 2h = Bie 310 = 3)
as raizes de P sio 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3 e 3 portanto a equacdo é do 99 grau eseu
conjuntoverdade $ = (1, 2, 3)
89. Observacies
18) Tendo em vista o teorema da decomposigäo, todo polinómio P de grau
A ln > 1) pode ser ancarado como o desenvolvimento de um produto de n fatores
do 19 grau e um fator constante ay que é 0 coeficiente dominante em P.
Po alo ral ral ra) b= Fad
29) Nada impede que a decomposigäo de P apresente fatores iguais. Asso-
ciando os fatores idénticos da decomposigao de P, obtemos:
Po alo rl SU o ber e
onde
mi + me + mt tm en
feta ta oso, fp. SF dois a dois
Neste caso, Pé divisivel separadamente pelos polindmios (x -
ber"... OC = I,
EXERCÍCIOS
F.160 Dade a aquecio polinomia: (x = Mind = Ax +a) = G2 12.
Podes
al eolockia na forma Pix) =
3} Obrera para que 2 sea uma des rlzes de equa.
Solugie
a) Desenvolvamos 0 dois membros
HOO a 0 al A
a la Da
mht + ale =
Pord-teo
WEBER PUPPE TER ET
wot 2 2 tales (04 0,2 0
EN
b 26 ait ve, 000 se, PI) =
ELBE PETE ae 4 = Bt E
20 wed
Resposta: x3 + 2
W+ax+6+1-0 6 à
F.162 Resolver es seguiatos equagtes polinomiai:
era = =P
BD be + 2H Dd 401928
ER REIT Ba TEE" BEE + 1) ed x
F.162 Determinar o grau e o conjunto-tolugfo des equegóns:
8) St 11-71 = ©
b) ale + A 87 » 0
di 62-26 o
1 Determinar m de modo que -2 ste sai da equecio #2 + (m+ 20 + (1 + mix =2
nes
93-F
Toda equaçäo polinomial de grau n {n > 1) admite n, e somente n, raízes
complex.
Demonstracáo
Seja a equaco polinomial
O + anal + agar? 4.4 81x + 80 = 0
Vimos na demonstra
raizes (distintas ou no) ff. F2, far
20 provar a unicidade da decomposiçäo.
da existäncia da decomposicdo que P admite as
In. Provamos que so só essas as raízes de P
88, Exemplos
19) Fatorar o polinomio P = Sx! - 6x* - BOX + BD sabendo que suas rares
sio 1,-2,2,-2i, 2i
P = 50x = Dix + 2x = De + 2 =
29)Qual & o conjunto-solugdo da equagdo 7x ~ 1)/{x - 21x - 31 = 02
De que grau & essa equagdo?
Temo:
P = Min Mb lo = 1e = 2x 2006 = 2h = Bie 310 = 3)
as raizes de P sio 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3 e 3 portanto a equacdo é do 99 grau eseu
conjuntoverdade $ = (1, 2, 3)
89. Observacies
18) Tendo em vista o teorema da decomposigäo, todo polinómio P de grau
A ln > 1) pode ser ancarado como o desenvolvimento de um produto de n fatores
do 19 grau e um fator constante ay que é 0 coeficiente dominante em P.
Po alo ral ral ra) b= Fad
29) Nada impede que a decomposigäo de P apresente fatores iguais. Asso-
ciando os fatores idénticos da decomposigao de P, obtemos:
Po alo rl SU o ber e
onde
mi + me + mt tm en
feta ta oso, fp. SF dois a dois
Neste caso, Pé divisivel separadamente pelos polindmios (x -
ber"... OC = I,
EXERCÍCIOS
F.160 Dade a aquecio polinomia: (x = Mind = Ax +a) = G2 12.
Podes
al eolockia na forma Pix) =
3} Obrera para que 2 sea uma des rlzes de equa.
Solugie
a) Desenvolvamos 0 dois membros
HOO a 0 al A
a la Da
mht + ale =
Pord-teo
WEBER PUPPE TER ET
wot 2 2 tales (04 0,2 0
EN
b 26 ait ve, 000 se, PI) =
ELBE PETE ae 4 = Bt E
20 wed
Resposta: x3 + 2
W+ax+6+1-0 6 à
F.162 Resolver es seguiatos equagtes polinomiai:
era = =P
BD be + 2H Dd 401928
ER REIT Ba TEE" BEE + 1) ed x
F.162 Determinar o grau e o conjunto-tolugfo des equegóns:
8) St 11-71 = ©
b) ale + A 87 » 0
di 62-26 o
1 Determinar m de modo que -2 ste sai da equecio #2 + (m+ 20 + (1 + mix =2
nes
93-F
F.164 Resoiver a equacio xl = Sxl = 10x - 6 — 0, sabendo que dues rares ño -1 03.
Sousse
Vamos divide Pla] = xt 84 - 104-6 por Int 1-9)
Temor que Pix} = (x + AU DIR + 2 2), po
ws Det 2 = nn
to, as demais raízos vom de
Resposta: 8 = (-1,3,-1 + à,
F.165 Resolver a aquegio Gx! + 7x? - 18x-15 = 0, tobando que uma das ratzes 6-1
F.166 (FEIUC-67) O polinomio Pix) = x8 = x4 = 13404 1302 + 96% - 96 6 tal que PUN
Quai oF outros valores de x que oanulam’?
F.167 {MAPOFEL-71)
3) Calar ss rolzes quadradas do número complexe 2.
BI Determinar os ralzes da equacio 23 (3 + 502-4471 ~ 0,
F.168 (MAPOFEI-74) Determivar o polínémio Pix) do 39 grau cules salzen sio 0, 1.0 2
svendorse que PLL) . 3
ss que Pd) à
F.169 (MACK-72) Decompor o polindmio 3 + 4x? + 7x 10 0m um produto de fatoros
do primero grs
IV, MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
90. Exemplo preliminar
Consideremos a equaco polinomial (x - 31(x - 11%(x - 4° = que apresenta
seis raízes sendo: uma raiz igual a 3, duas raízes iguais pl e trás raizes iguais a 4.
Dizemos que 3 é ralz simples, 16 raiz dupla e 4 é raiz tripla da equecdo dada,
94-F
91. Dofinigäo
Dizemos que r é ralz de multiplicidade m, m > 1, da equaçño Plx) = Ose, e
somente se,
Pa tre ri". Oe ale) # 0
isto 6, 6 raiz de multiplicidade m de Pix} = O quando o polinómio Pé divisivel por
x = 1)" e náo é divisivel por (x - 1)", ou melhor, a decomposicäa de P apresenta
exatamente m fatores iguais a x ~
Quando m = 1, dizemos que r é raiz simples; quando m = 2, dizemos que
1 & raz dupla; quando m = 3, dizemos que r öraiz triple, et.
Exemplos
1914 equacio x*ix + SY = D admite as rafzes O com multipliidade 4 e -5
com multiplicidade 7, portanto, embora seja equaçäo do 119 grau, seu conjunto-so:
luçäo tem só dois elementos: S = (0, -5}
20)A equaçäo (x- a)" = 0 admi
seu conjunte-solugdo é S = (3).
só a raiz a com multiplicidade n, isto é,
EXERCICIOS
6.190 Determinar todas op roles e respoctivos muttiticióndos nas equar bes:
al ate an 0
BI 7x Ie + 1150-8) = 0
Gi Ata FONSI = 3h = Abe OS = 1)
PX + x + A = VAS = 0
FAT Quel 4 0 grou de ume au potinomial PLx) — O cular rezos so 3, 2, -1 com mut
vipllcidades 7, 8 € 10. respectivamente?
Solus
Pla) = Kin= 3970-2160 + DIE onde tk EC ek #0)
Resposta: grau 23
Sousse
Vamos divide Pla] = xt 84 - 104-6 por Int 1-9)
Temor que Pix} = (x + AU DIR + 2 2), po
ws Det 2 = nn
to, as demais raízos vom de
Resposta: 8 = (-1,3,-1 + à,
F.165 Resolver a aquegio Gx! + 7x? - 18x-15 = 0, tobando que uma das ratzes 6-1
F.166 (FEIUC-67) O polinomio Pix) = x8 = x4 = 13404 1302 + 96% - 96 6 tal que PUN
Quai oF outros valores de x que oanulam’?
F.167 {MAPOFEL-71)
3) Calar ss rolzes quadradas do número complexe 2.
BI Determinar os ralzes da equacio 23 (3 + 502-4471 ~ 0,
F.168 (MAPOFEI-74) Determivar o polínémio Pix) do 39 grau cules salzen sio 0, 1.0 2
svendorse que PLL) . 3
ss que Pd) à
F.169 (MACK-72) Decompor o polindmio 3 + 4x? + 7x 10 0m um produto de fatoros
do primero grs
IV, MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
90. Exemplo preliminar
Consideremos a equaco polinomial (x - 31(x - 11%(x - 4° = que apresenta
seis raízes sendo: uma raiz igual a 3, duas raízes iguais pl e trás raizes iguais a 4.
Dizemos que 3 é ralz simples, 16 raiz dupla e 4 é raiz tripla da equecdo dada,
94-F
91. Dofinigäo
Dizemos que r é ralz de multiplicidade m, m > 1, da equaçño Plx) = Ose, e
somente se,
Pa tre ri". Oe ale) # 0
isto 6, 6 raiz de multiplicidade m de Pix} = O quando o polinómio Pé divisivel por
x = 1)" e náo é divisivel por (x - 1)", ou melhor, a decomposicäa de P apresenta
exatamente m fatores iguais a x ~
Quando m = 1, dizemos que r é raiz simples; quando m = 2, dizemos que
1 & raz dupla; quando m = 3, dizemos que r öraiz triple, et.
Exemplos
1914 equacio x*ix + SY = D admite as rafzes O com multipliidade 4 e -5
com multiplicidade 7, portanto, embora seja equaçäo do 119 grau, seu conjunto-so:
luçäo tem só dois elementos: S = (0, -5}
20)A equaçäo (x- a)" = 0 admi
seu conjunte-solugdo é S = (3).
só a raiz a com multiplicidade n, isto é,
EXERCICIOS
6.190 Determinar todas op roles e respoctivos muttiticióndos nas equar bes:
al ate an 0
BI 7x Ie + 1150-8) = 0
Gi Ata FONSI = 3h = Abe OS = 1)
PX + x + A = VAS = 0
FAT Quel 4 0 grou de ume au potinomial PLx) — O cular rezos so 3, 2, -1 com mut
vipllcidades 7, 8 € 10. respectivamente?
Solus
Pla) = Kin= 3970-2160 + DIE onde tk EC ek #0)
Resposta: grau 23
F.172 Formar equeedo eujes ‘zen so 2,-3,1 + 18 1
Solucio
Aeguandob ke ler = rl roll ra) = 0, ito,
ho e TEE TEE Eee
+ detenvolvendo temas:
ko RE 2x2 Geb à 16 = 12) = 0 com k FO
6.173 Formar uma equacdo polinomial cajas cízas 530 -2, =
104 com multiplicidade 1
F.174 Construir uma equacáo algébrica cujas roízos sio 2, 3, V3 e - V3 com maltiplicidade 1.
F.178 Conttrui ums equacáo slgébrica cuja raízes #50 1, à
respectivamente.
com multiplicióade 1, 2 @2,
F.176 Qual 6. maliplickce da ai x na equacio polinomial Pl) 0, nox sequintes casos?
19) Pla) PS + Gus er O
29) Pind + -2x8 + 8 eT ee ret
Solugto
19) PU = sb = Ex + 6) = = Of (2-5 6)
am
Como QUO! # 0, resulta que O4 raiz com multiplicdade 5
29) Vamos dividir Pl sucesivos vezes por x
Tomos PL = DR nen
ar
type se oa 2 4
proa. ile
vr o o Jo
jr 1 le
1 2 Taro
Como tt} = 3 # 0, resulta que 16 riz tiple
sports: 5093.
1.177 {ITAE2) Resolver a quando 4 = 4x3 + Ox? = 16x + 16 = O eabando-se que 2 6 rie
dunia da mesmo.
F.178 (MAPOFEI-761 Se, no equecño x - 76x + 250 = O, mácalz dupla en = 206 a outre
rai, char men.
Solugáo
A equisio dada &raduvel à forma
bo me + 2m
io 6, devenvolvendo:
2 2 mx 2m? O
portanto, devemos ı
an? 2 75 © 2m? = 250
e io scan m=6 ene
Resposta: m =5 0 n= =10,
V. RELAÇOES ENTRE COEFICIENTES E RAIZES
92. Consideremos a equaräo do 29 grau:
Mad+bxre-0 (a #0)
eujas raízes so ry
Vimos que essa equacdo pode ser escrita sob a forma:
(2) ale he» rl = 0
Temos a Identidade:
nr al rl rd Y
io:
Rates tin tak tiny x
cone)
portanto:
b ©
io as relagdes entre raizes e coeficientes da equagäo.
97-F
Solucio
Aeguandob ke ler = rl roll ra) = 0, ito,
ho e TEE TEE Eee
+ detenvolvendo temas:
ko RE 2x2 Geb à 16 = 12) = 0 com k FO
6.173 Formar uma equacdo polinomial cajas cízas 530 -2, =
104 com multiplicidade 1
F.174 Construir uma equacáo algébrica cujas roízos sio 2, 3, V3 e - V3 com maltiplicidade 1.
F.178 Conttrui ums equacáo slgébrica cuja raízes #50 1, à
respectivamente.
com multiplicióade 1, 2 @2,
F.176 Qual 6. maliplickce da ai x na equacio polinomial Pl) 0, nox sequintes casos?
19) Pla) PS + Gus er O
29) Pind + -2x8 + 8 eT ee ret
Solugto
19) PU = sb = Ex + 6) = = Of (2-5 6)
am
Como QUO! # 0, resulta que O4 raiz com multiplicdade 5
29) Vamos dividir Pl sucesivos vezes por x
Tomos PL = DR nen
ar
type se oa 2 4
proa. ile
vr o o Jo
jr 1 le
1 2 Taro
Como tt} = 3 # 0, resulta que 16 riz tiple
sports: 5093.
1.177 {ITAE2) Resolver a quando 4 = 4x3 + Ox? = 16x + 16 = O eabando-se que 2 6 rie
dunia da mesmo.
F.178 (MAPOFEI-761 Se, no equecño x - 76x + 250 = O, mácalz dupla en = 206 a outre
rai, char men.
Solugáo
A equisio dada &raduvel à forma
bo me + 2m
io 6, devenvolvendo:
2 2 mx 2m? O
portanto, devemos ı
an? 2 75 © 2m? = 250
e io scan m=6 ene
Resposta: m =5 0 n= =10,
V. RELAÇOES ENTRE COEFICIENTES E RAIZES
92. Consideremos a equaräo do 29 grau:
Mad+bxre-0 (a #0)
eujas raízes so ry
Vimos que essa equacdo pode ser escrita sob a forma:
(2) ale he» rl = 0
Temos a Identidade:
nr al rl rd Y
io:
Rates tin tak tiny x
cone)
portanto:
b ©
io as relagdes entre raizes e coeficientes da equagäo.
97-F
93. Consideremos a equaçäo do 39 grau:
(a + bé 4 +de 0 @ #0)
cujas raízes 880 nun € Fy
Vimos que essa equaçäo pode ser escrita sob a forma:
2) alk rd CERN
Temos a identidade:
ax? + bx? + ox + d al ri lo = rad = rs), Vx
lita tobe tintin tannin, ex
portanto:
© a
OS
a a
so as relacées entre raizes e coaficientes da equaçäo.
94, Vamos agora deduzir as relagóes entre cooficientos e raizes de uma equacäo
polinomiat de grau n {n > 1).
Dada a equagáo
Pin) = an" + 2
1x91 aga? + a text ap =O lan #0)
cujas raizes 530 1, fa, fa, fa temos a identidade:
Plax) = att ralla ral de i =
gk” + an tra tte tant tale”
tratar Pte)
Es
ENULELT ENT =
pora
5
= anf tanta +
Sy
Nana oo fal oP
ES
portanto, aplicando a condicio de identidade:
98-F
S,
tte ttt iq et
Senn tan tant.
soma de todos 0% Cyn Produtos, | y an
. MES
Sn de h raízes de equaçäo A an
Sp = Ma ta = LO a
so as relacóes entre raizes e coeficientes da equacdo Plx) = 0, também chamadas.
relagdes de Girard.
95, Aplicagóes
18) Calcular a soma e o produto das raizes da equacáo
Ont + au + ax? + Ex +8 =O.
a3
nentnene EEE hint
E A
ca
2) Se
2.1} € o conjunto solugáo da equagio
2 4 5x2 + Ex + 11 = 0, care
Tomos
tats Be
»
can
ann
porno: dtd t= en tn - Ann nn tan
Sp ee
77-24-78
(a + bé 4 +de 0 @ #0)
cujas raízes 880 nun € Fy
Vimos que essa equaçäo pode ser escrita sob a forma:
2) alk rd CERN
Temos a identidade:
ax? + bx? + ox + d al ri lo = rad = rs), Vx
lita tobe tintin tannin, ex
portanto:
© a
OS
a a
so as relacées entre raizes e coaficientes da equaçäo.
94, Vamos agora deduzir as relagóes entre cooficientos e raizes de uma equacäo
polinomiat de grau n {n > 1).
Dada a equagáo
Pin) = an" + 2
1x91 aga? + a text ap =O lan #0)
cujas raizes 530 1, fa, fa, fa temos a identidade:
Plax) = att ralla ral de i =
gk” + an tra tte tant tale”
tratar Pte)
Es
ENULELT ENT =
pora
5
= anf tanta +
Sy
Nana oo fal oP
ES
portanto, aplicando a condicio de identidade:
98-F
S,
tte ttt iq et
Senn tan tant.
soma de todos 0% Cyn Produtos, | y an
. MES
Sn de h raízes de equaçäo A an
Sp = Ma ta = LO a
so as relacóes entre raizes e coeficientes da equacdo Plx) = 0, também chamadas.
relagdes de Girard.
95, Aplicagóes
18) Calcular a soma e o produto das raizes da equacáo
Ont + au + ax? + Ex +8 =O.
a3
nentnene EEE hint
E A
ca
2) Se
2.1} € o conjunto solugáo da equagio
2 4 5x2 + Ex + 11 = 0, care
Tomos
tats Be
»
can
ann
porno: dtd t= en tn - Ann nn tan
Sp ee
77-24-78
39) Resolver a equacdo x
6x? + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de
m
a tw
a
MU 1 1 0 192 portanto S = (1, 2, 8)
onen {ou vice-versa)
96. Observagio
As n relacdes de Girard para uma equacdo polinomial de grau n ndo sáo sufi-
cientes para obter 11, fa, Fa, + fa. Se tentarmos o cálculo de r,, por exemplo, após
várias substituigdes, obteremos a equa
En + amet + on
que equivale à equagic dada.
Exemplo
Resolver Pix} = x - Gx? + 3x + 1
o.
WM oarntne& @ natantan=3 (3) nn =-10
10
Tomos: Q) nia tal tan de 60) +
en
dei ant
6-10 a 00 +34 +1920 02)
Fi
Quando à dada uma condicio para as raízes (por exemplo, soma de dune
raízes é 1) entáo 6 possivel obter o conjunto solugio como vimos no item 95 — 3%.
100-F
EXERCKCIOS
F.17 Calcular 2 some eo produto dat rales dos saguintes equacées:
a) 93-262 49x- 0
bit 78-8 + fixe tO
CEST EN
F:180 Calcula 1 some dos qusdrados o asoma dos cubos das cízes da aquacio
29 = pat equ
solute
Pt rac6o de Giro, tamos
Fam xrel eo Ved ededd.
Tomos: X= ln + 09 + ry)? - Zinta + ra + farah = Pia
piensan
2 ile sado nt
avedntndtdatndede onde
Y rte ta) tania tol tanta tls
NAT CAE CEE CCE
= Ve piney rra trata) Orar e Y req 30
portanto Y = pip? - 24)-pq + Ar p3 = 3pq +3r
Rena X= p?=2q 0 Y= ph dp + 26
F181 Colour a soma dos quedrados des rire da equicto xt + 6x3 - 1137 + 4x + 7-0,
F.182 50 0 conjunto-soluedo de aquicio «tee + fal er bm O 4 $= bc, 6).
eslevir, om tungäo de 0, y + Ó, 0 número
Solupto
Paie rales de Girard, temor: sbed = 5 9 abe + abd + sed + bed = Y
Assim, temor: y tt abd tabe Y
1
Resposta:y = Y
101-F
6x? + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de
m
a tw
a
MU 1 1 0 192 portanto S = (1, 2, 8)
onen {ou vice-versa)
96. Observagio
As n relacdes de Girard para uma equacdo polinomial de grau n ndo sáo sufi-
cientes para obter 11, fa, Fa, + fa. Se tentarmos o cálculo de r,, por exemplo, após
várias substituigdes, obteremos a equa
En + amet + on
que equivale à equagic dada.
Exemplo
Resolver Pix} = x - Gx? + 3x + 1
o.
WM oarntne& @ natantan=3 (3) nn =-10
10
Tomos: Q) nia tal tan de 60) +
en
dei ant
6-10 a 00 +34 +1920 02)
Fi
Quando à dada uma condicio para as raízes (por exemplo, soma de dune
raízes é 1) entáo 6 possivel obter o conjunto solugio como vimos no item 95 — 3%.
100-F
EXERCKCIOS
F.17 Calcular 2 some eo produto dat rales dos saguintes equacées:
a) 93-262 49x- 0
bit 78-8 + fixe tO
CEST EN
F:180 Calcula 1 some dos qusdrados o asoma dos cubos das cízes da aquacio
29 = pat equ
solute
Pt rac6o de Giro, tamos
Fam xrel eo Ved ededd.
Tomos: X= ln + 09 + ry)? - Zinta + ra + farah = Pia
piensan
2 ile sado nt
avedntndtdatndede onde
Y rte ta) tania tol tanta tls
NAT CAE CEE CCE
= Ve piney rra trata) Orar e Y req 30
portanto Y = pip? - 24)-pq + Ar p3 = 3pq +3r
Rena X= p?=2q 0 Y= ph dp + 26
F181 Colour a soma dos quedrados des rire da equicto xt + 6x3 - 1137 + 4x + 7-0,
F.182 50 0 conjunto-soluedo de aquicio «tee + fal er bm O 4 $= bc, 6).
eslevir, om tungäo de 0, y + Ó, 0 número
Solupto
Paie rales de Girard, temor: sbed = 5 9 abe + abd + sed + bed = Y
Assim, temor: y tt abd tabe Y
1
Resposta:y = Y
101-F
F.183 Calcular à sora dos inversos at rozas da equacio x3 - 7x7 + 4x = 1 = 0.
F.1B4 Sendo (a,b, e) a soto da equacio 2 - 3x2 + 8x + 1 2 O, calcular o valor de ex
prendo stb? + atc? + Diet,
Selugso
Aplicando a5 races de Girard, temos: tI)
ui abe =
portonte:
ato? + ate? + 20? = lab + be + cal? - 2{{abllbe) + (belica} + fabMeal] =
= (ab + be + cal? 2 2abelb ve al =
a
Rospono: À
F.185 Revolver 3 aquacio x - 9x2 + 29x = 15 = O, sabendo que suas
Sol
Palas rolacdes de Girard. tomos: MI ere
209 eso em PLA
Im antantan- 2
am anne
15
a pesa condicio do problema remos: — (IV) m + ry = 20
Susıtkuinde (IV) em I 1
ha: Ory à 9 7 = 3
Wntnes e ul mers
Portanto n
130
es da equacio v2 -6y +5=
“bat en
Respose:S + {1.8.5}
F196 Cacular 3 área do trlängulo cujos lados aio ot ricer da eauogéo
Bra Be + y= 0, onde os resi m, Y ado dados.
Solo 1
alo demu de Mieráo, um trángulo de lados #4, 13,63 e cemiporimarra p= TE 3
rovance fran
102-F
EN CENT EEE)
ENCORE sais tata hana
Solugio 2
Temos Pix) = 2 sand + Bat Y= be = a = al a)
untäo § TTENTEET EME Va = Pipl ~
@ a? of
atar
87 Resolver a aquaco x? = Gx? + 11%
9 saben que as rates eto am PA.
F.188 Resolver a mquacio x - 9x2 + 20x = 12= 0, sabendo que uma raiz € igual 20 dobro da
soma das ouwas duas
189 Mesolvor a equagio #3 - 4x? + x + 6 = 0, sabando que uma raiz € igual
outras duas
soma des
F.190 Revolver a equacdo 64x? - 66x? + 14x = 1 = 0 sabendo que suas rares to se P.G.
Solugto
Pata laps de Girard, eos Wnt tae 8
ae
(DRE ETES
1
um anne
om
Substituindo IV) em 1, tomos:
eig do pen. men IM nee 6
2
als tates
an tun hara sé +en 2
nn et
ne a
Aplicando o algoritmo de Brlot-Ruftini, vemos dividir
Bo at por x= E
103-F
F.1B4 Sendo (a,b, e) a soto da equacio 2 - 3x2 + 8x + 1 2 O, calcular o valor de ex
prendo stb? + atc? + Diet,
Selugso
Aplicando a5 races de Girard, temos: tI)
ui abe =
portonte:
ato? + ate? + 20? = lab + be + cal? - 2{{abllbe) + (belica} + fabMeal] =
= (ab + be + cal? 2 2abelb ve al =
a
Rospono: À
F.185 Revolver 3 aquacio x - 9x2 + 29x = 15 = O, sabendo que suas
Sol
Palas rolacdes de Girard. tomos: MI ere
209 eso em PLA
Im antantan- 2
am anne
15
a pesa condicio do problema remos: — (IV) m + ry = 20
Susıtkuinde (IV) em I 1
ha: Ory à 9 7 = 3
Wntnes e ul mers
Portanto n
130
es da equacio v2 -6y +5=
“bat en
Respose:S + {1.8.5}
F196 Cacular 3 área do trlängulo cujos lados aio ot ricer da eauogéo
Bra Be + y= 0, onde os resi m, Y ado dados.
Solo 1
alo demu de Mieráo, um trángulo de lados #4, 13,63 e cemiporimarra p= TE 3
rovance fran
102-F
EN CENT EEE)
ENCORE sais tata hana
Solugio 2
Temos Pix) = 2 sand + Bat Y= be = a = al a)
untäo § TTENTEET EME Va = Pipl ~
@ a? of
atar
87 Resolver a aquaco x? = Gx? + 11%
9 saben que as rates eto am PA.
F.188 Resolver a mquacio x - 9x2 + 20x = 12= 0, sabendo que uma raiz € igual 20 dobro da
soma das ouwas duas
189 Mesolvor a equagio #3 - 4x? + x + 6 = 0, sabando que uma raiz € igual
outras duas
soma des
F.190 Revolver a equacdo 64x? - 66x? + 14x = 1 = 0 sabendo que suas rares to se P.G.
Solugto
Pata laps de Girard, eos Wnt tae 8
ae
(DRE ETES
1
um anne
om
Substituindo IV) em 1, tomos:
eig do pen. men IM nee 6
2
als tates
an tun hara sé +en 2
nn et
ne a
Aplicando o algoritmo de Brlot-Ruftini, vemos dividir
Bo at por x= E
103-F
ee 66 14 1
CEE]
+ recaímos na equagio 64x? = 40x + 4 = 0 cujer rares 480
1 1
En:
ResponesS = (E, LE
F101 Resolver a squagäo x3 + 5x3 - 12% - 36 = O, sabendo que uma rai 6 igual v0 produto
és outros Suse,
F.102 1E.E.MAUA-64) — Determinar a rizo da equagdo 3 = 16x? + 23x - = Osabendovse
‘que a produto de dues delas 4 iu unicade
F.AB3 Resolver à aquicio xt - 4x) = x + 16% - 12 = O sabendo que existem duat rires
simios
Solugfo
Tomos
arnes
"o. Bea
UN an tantat tats tants Be
(nats Harare tine ta 6
OW) ann Bee
m 63 «0 eon o probleme)
Comparando 11 e IV) asu
MA meme trees wn
Subttevindo (V) em IN, resulta
fats + ra) toni + ra] à 216 ne =~
} + sara 6 4 vu
Sutnttuindo este Último cesulado em (IVI, vem
“
De (VI o (VI) resulto que ry 0 ra 50 en
ES
alarm 12 — anna
2 —nr-3 vun
ws de equagdo y? = 4y + 3= 0, i106,
De (VI 6 (VIN regulta que nenn
ae}
an rites da equagio y2 = 4 0, to n = 28
Resposta: 8 = (2, -2 1,
204-F
F.104 Resolver 9 equagdo x! - 2x3 +.4x2 + 2-21 = 0, sabendo que dus ralzes so simétricas.
F.195 Determinar à condicdo para que a quero 2
od + Bu = y +0 ana ds raze
F.196 Resoher o equagáo x2 - Gx? - 4x +12 0, mbendo que dus rires so simétricas
1.197 {FEIUC-63) — Galeular a raies da equagdo 2 + dx? = 1x + K = O, sobendo que a
soma des dust rires vole 7.
F.198 Resolver à aquacio x4 + 4x? - 202 - 12x + 9 = 0, sbando que tem raies igus dus
1.198 Resoiwee 9 equagio x3 = 10x? + 31x - 30 = 0, tabendo que uma sir 0iguel ádiferenga
das outs dus.
F.200 Resolver a equegio x? - x2 = Bx + 12= D, sabendo que admito uma raz com multiplic
dodo 2.
Solugfo
Tomos:
Woneneneer
E
m na ran tas
reer Betz
LIVE c= ra (condi do probleme)
On UV) em (D rata An tat HN
De 00 om Hi rue ea Zur na dd
Eminando ry por sume de (1 e 11), mt: .
E main +00 poten eon a À
Monte.
m= Deno
un ne Bea
m were
Ei
a E en ?
2
Law n--2
Resposta: S = (2, -2)
105-F
CEE]
+ recaímos na equagio 64x? = 40x + 4 = 0 cujer rares 480
1 1
En:
ResponesS = (E, LE
F101 Resolver a squagäo x3 + 5x3 - 12% - 36 = O, sabendo que uma rai 6 igual v0 produto
és outros Suse,
F.102 1E.E.MAUA-64) — Determinar a rizo da equagdo 3 = 16x? + 23x - = Osabendovse
‘que a produto de dues delas 4 iu unicade
F.AB3 Resolver à aquicio xt - 4x) = x + 16% - 12 = O sabendo que existem duat rires
simios
Solugfo
Tomos
arnes
"o. Bea
UN an tantat tats tants Be
(nats Harare tine ta 6
OW) ann Bee
m 63 «0 eon o probleme)
Comparando 11 e IV) asu
MA meme trees wn
Subttevindo (V) em IN, resulta
fats + ra) toni + ra] à 216 ne =~
} + sara 6 4 vu
Sutnttuindo este Último cesulado em (IVI, vem
“
De (VI o (VI) resulto que ry 0 ra 50 en
ES
alarm 12 — anna
2 —nr-3 vun
ws de equagdo y? = 4y + 3= 0, i106,
De (VI 6 (VIN regulta que nenn
ae}
an rites da equagio y2 = 4 0, to n = 28
Resposta: 8 = (2, -2 1,
204-F
F.104 Resolver 9 equagdo x! - 2x3 +.4x2 + 2-21 = 0, sabendo que dus ralzes so simétricas.
F.195 Determinar à condicdo para que a quero 2
od + Bu = y +0 ana ds raze
F.196 Resoher o equagáo x2 - Gx? - 4x +12 0, mbendo que dus rires so simétricas
1.197 {FEIUC-63) — Galeular a raies da equagdo 2 + dx? = 1x + K = O, sobendo que a
soma des dust rires vole 7.
F.198 Resolver à aquacio x4 + 4x? - 202 - 12x + 9 = 0, sbando que tem raies igus dus
1.198 Resoiwee 9 equagio x3 = 10x? + 31x - 30 = 0, tabendo que uma sir 0iguel ádiferenga
das outs dus.
F.200 Resolver a equegio x? - x2 = Bx + 12= D, sabendo que admito uma raz com multiplic
dodo 2.
Solugfo
Tomos:
Woneneneer
E
m na ran tas
reer Betz
LIVE c= ra (condi do probleme)
On UV) em (D rata An tat HN
De 00 om Hi rue ea Zur na dd
Eminando ry por sume de (1 e 11), mt: .
E main +00 poten eon a À
Monte.
m= Deno
un ne Bea
m were
Ei
a E en ?
2
Law n--2
Resposta: S = (2, -2)
105-F
F.201 Resolver a equagio 84% - 28%) + 18x? + 276-270, sabendo que uma de raies tem
mmultigicidade 3
Fa str sao + 8 20e 22 bande au ak ene dais À
6.203 (MAPOFEI-74) Hosolar a aqungdo: x - 5x2 + 2x +
raites #0 quédruplo ca soma das cutras dues.
0, sabendosss que uma des
F.208 (ITAJUBA-55) — Resolver 9 aquacio Sx? = 37x? + 60x - 72 0, tabendo que uma raiz
4 média harménica das ours du
F.205 (E.N.E.-51) ~ Determinar m de modo que a sauagdo xÍ + mx = 2 = 0, tenh uma raiz
ule,
F.206 Resolver a equagio 2x4 = x? - 1492 4 19x - 6» O sabendo que exister use salzen
beta
sou
far
QUO tata Errata Na tata
CS
Mo “4 {condo do problema)
De (Vi om (AV) resalto 1304 8-3 MV
1
De AV) em (it) resulta mar rad + ratas tea) = 12
"em An) 5
1 19
craie Bou meo tye? 0
2-2 In 2
ino 6, 1+ tty rad = 30
Ferobvendo o sstome (HI, (IV) resulta ry = 1 44 = =3 fou viewer.
5
Monta.
1
que fomese 11 = 2er = 5 (ou viewers)
Want
ego $= hl
F.207 Resolver equecio 5x9 - 26x! - 1812 + 92x - 8 = O, ssbando que o produto de dues
aloes 62
106-F
F.208 À soms de duas ia da equecóo x4 + 230 + px? + gx + 2 06-1 6 0 produto des
‘ures duas raies 4 1. Calcular p + q e resolver a equosio,
F.208 Determinar à condo para que os raizes de equecño x? + px? à ax +
ume PG
‘Solugfo
Tomos
formam
Mo ontara=-"
TPE EC EEE
a name
(WI ma + emndisi do problema)
De IV) em dt) esa = =e 1
De AV) am (rite nts +E ar 2 0
portante, ry +13 + 13) =a, ou melhor, ep) oq HN.
Substituindo (I) em (Ur, vem: YF + ph = a, isto 8, 2e + (op! = a?
Resposta: a3 = 3
F.210 Determinar m para que à equacio x2 = 7x + m » 0, tenho uma siz igual 96 dobro de
uma outra e, em sequica, resolver a equacio.
F.211 Achar a condigS0 para que a enuaefo x? + px + a = 0, tenha uma das airs igual à
toma dor invertot dat ouas dust
F.212 Dada a equacio x! + pal + qx? + me + 6 = 0, prove que:
tio om P.G. endo 02s 12
om PA. emáo 9? = Ang + Br « 0
1) ae a aires
N) ee at rien et
F.213 (MACK-63) - Numa equesáo do tareero greu, o primeira coeliciomo 4 1, 0 wgundo 6
igual a2, 0 erciro desconhecido e a último & 8. Sabendo que eta equacio tem ae trs
faits om .G., Paso se doerminar as Kaas a sore QUES,
F.214 (EPUSP-43) ~ Determinar p 0 q de modo que a equacio xt + px? + 2x7 -x + a» 0)
aprevente duas ralzes recíorocas entre Hi © a6 outras duns sales com soma igusl a 1
215 (EFE-5S) — Determinar m e K de modo que 3 cada raiz 0 da eqvagio ma’ + Bx +
+ 1342 +1 +1 0 commande somime tem mie de meuma sau
ANG (EPS? 40) Sendo à, rt ui» 3 8 eel
tog orgy od
F217 (MACK-68) — Provar que se a e b si raízos de equacdo x7 - px + 8" = O, teremos:
logge + loggh! + togga + loggh® = mo
107-F
mmultigicidade 3
Fa str sao + 8 20e 22 bande au ak ene dais À
6.203 (MAPOFEI-74) Hosolar a aqungdo: x - 5x2 + 2x +
raites #0 quédruplo ca soma das cutras dues.
0, sabendosss que uma des
F.208 (ITAJUBA-55) — Resolver 9 aquacio Sx? = 37x? + 60x - 72 0, tabendo que uma raiz
4 média harménica das ours du
F.205 (E.N.E.-51) ~ Determinar m de modo que a sauagdo xÍ + mx = 2 = 0, tenh uma raiz
ule,
F.206 Resolver a equagio 2x4 = x? - 1492 4 19x - 6» O sabendo que exister use salzen
beta
sou
far
QUO tata Errata Na tata
CS
Mo “4 {condo do problema)
De (Vi om (AV) resalto 1304 8-3 MV
1
De AV) em (it) resulta mar rad + ratas tea) = 12
"em An) 5
1 19
craie Bou meo tye? 0
2-2 In 2
ino 6, 1+ tty rad = 30
Ferobvendo o sstome (HI, (IV) resulta ry = 1 44 = =3 fou viewer.
5
Monta.
1
que fomese 11 = 2er = 5 (ou viewers)
Want
ego $= hl
F.207 Resolver equecio 5x9 - 26x! - 1812 + 92x - 8 = O, ssbando que o produto de dues
aloes 62
106-F
F.208 À soms de duas ia da equecóo x4 + 230 + px? + gx + 2 06-1 6 0 produto des
‘ures duas raies 4 1. Calcular p + q e resolver a equosio,
F.208 Determinar à condo para que os raizes de equecño x? + px? à ax +
ume PG
‘Solugfo
Tomos
formam
Mo ontara=-"
TPE EC EEE
a name
(WI ma + emndisi do problema)
De IV) em dt) esa = =e 1
De AV) am (rite nts +E ar 2 0
portante, ry +13 + 13) =a, ou melhor, ep) oq HN.
Substituindo (I) em (Ur, vem: YF + ph = a, isto 8, 2e + (op! = a?
Resposta: a3 = 3
F.210 Determinar m para que à equacio x2 = 7x + m » 0, tenho uma siz igual 96 dobro de
uma outra e, em sequica, resolver a equacio.
F.211 Achar a condigS0 para que a enuaefo x? + px + a = 0, tenha uma das airs igual à
toma dor invertot dat ouas dust
F.212 Dada a equacio x! + pal + qx? + me + 6 = 0, prove que:
tio om P.G. endo 02s 12
om PA. emáo 9? = Ang + Br « 0
1) ae a aires
N) ee at rien et
F.213 (MACK-63) - Numa equesáo do tareero greu, o primeira coeliciomo 4 1, 0 wgundo 6
igual a2, 0 erciro desconhecido e a último & 8. Sabendo que eta equacio tem ae trs
faits om .G., Paso se doerminar as Kaas a sore QUES,
F.214 (EPUSP-43) ~ Determinar p 0 q de modo que a equacio xt + px? + 2x7 -x + a» 0)
aprevente duas ralzes recíorocas entre Hi © a6 outras duns sales com soma igusl a 1
215 (EFE-5S) — Determinar m e K de modo que 3 cada raiz 0 da eqvagio ma’ + Bx +
+ 1342 +1 +1 0 commande somime tem mie de meuma sau
ANG (EPS? 40) Sendo à, rt ui» 3 8 eel
tog orgy od
F217 (MACK-68) — Provar que se a e b si raízos de equacdo x7 - px + 8" = O, teremos:
logge + loggh! + togga + loggh® = mo
107-F
VI. RAIZES COMPLEXAS
97. Vamos expor aqui algumas propriedades que relacionam entre si as raízes
complexes e näo resis de uma equaçäo polinomial de coef @ ajudem
a determinar as rafzes de equacio,
98, Teorema
Se uma equacio polinomial de coeficientes resis admite como raiz o número
complexo z = a + Bi (8 # 0), antäo também admite como raiz o número 2 = a - Bi,
conjugado de 2.
Demonstragáo
Soja a equacdoPlx} = apa + ap.
+ onan”? ++ aK ag = 0
de coeficientes reais que admite a raiz z, isto 6, Piz) = 0.
Provemos que 2 também é raiz, sto 4, P(Z) = O:
PUR) = an + an + an a? + ay =
A
99, Teorema
Se uma equagio polinomial de coeficientes reais admite a raiz 2 = a+ Pi
{8 + 0) com mutvplicidade p, entáo também admite a raiz 2 = a - Bi com multiplici.
dade p.
Demonstraçéo
Suponhamos que a equsgäo P(x) = O com coeficientes todos reais admita a
raiz z = a + Bi (8 # 0) com multiplicidads p e a raiz 2= a - Pl com multiplicidade
PT (p' # pl. Provemos que isso leva a uma contradigäo.
Seja m o menor dos números p e p'. Como o palindmio P & divisivel por
(c= 21P e (= 21, Pé divisivel por (x= 21" e (x - 2)", Sendo 2 #2, resulta que Pé
divisivet por be 23" + (x 2", ento:
108-F
Lbc= 237 + (en) «O Ee = ax - 2 + Q
be det the + a + Q = [x7 = 2ax + (er + BI a
Como Pe [x? - ax + (a? + #2)}" tém coeficientes reais, seguese que Q
tem todos os cosficientes reais. Sie passive dois casos:
19 caso: mp <p
Portanto Q no $ divisivel por x - ze & divisivel por x =
tz) = O. Isto é absurdo por contrariar o teorema anterior.
10 6, Ale) #08.
2 caso: map <p
Portanto Q náo é divisivel por x - Ze & divisivel por x - 2,istoé, O12) # 0e
lz} » 0. Isto também & absurdo por contrariar o teorema anterior.
Para evitar contradicdo, temos necessariemente p = p’
100. Observacóes
19) Os dois teoremas anteriores só se aplicam e equagdes polinomiais de
coeficientes ceais. Por exemplo a equacfo x? = ix = 0 tem como raízes O
ei, entretanto näo admite raiz |, conjugada de
28) Como a tode raiz complexa 2 = a + Bi (9 0) de uma equacáo com coe.
ficientes reais P(x) = O corresponde uma outta raiz 2 = @- fi, com igual
multiplicidada, segue-se que 0 número de raizes complexes náo reais de
Plx) = 0 é necessariamente par.
3%) Se uma equagäo polinomial de coeficientes reais tem grau impar, entäo
ela admite um nümero Ímpar de raízos resis, Assim, por exemplo, toda
equacio ax + bx? + ex +d = 0 (com a, b, c,d reais} tem uma ou trás
raies resis pois o número de raízes complexes e náo reais & par,
101. Aplicagées
12) Determinar o menor grau que pode ter uma equacáo polinomial de coe:
ficientes reais para admitir 1, i ¢ 1 + i como raízes
Tal equacio terá no mínimo 6 raizes: 1, i, +
mo grau 5.
| 141, 11 portanto terá no mini
109-F
97. Vamos expor aqui algumas propriedades que relacionam entre si as raízes
complexes e näo resis de uma equaçäo polinomial de coef @ ajudem
a determinar as rafzes de equacio,
98, Teorema
Se uma equacio polinomial de coeficientes resis admite como raiz o número
complexo z = a + Bi (8 # 0), antäo também admite como raiz o número 2 = a - Bi,
conjugado de 2.
Demonstragáo
Soja a equacdoPlx} = apa + ap.
+ onan”? ++ aK ag = 0
de coeficientes reais que admite a raiz z, isto 6, Piz) = 0.
Provemos que 2 também é raiz, sto 4, P(Z) = O:
PUR) = an + an + an a? + ay =
A
99, Teorema
Se uma equagio polinomial de coeficientes reais admite a raiz 2 = a+ Pi
{8 + 0) com mutvplicidade p, entáo também admite a raiz 2 = a - Bi com multiplici.
dade p.
Demonstraçéo
Suponhamos que a equsgäo P(x) = O com coeficientes todos reais admita a
raiz z = a + Bi (8 # 0) com multiplicidads p e a raiz 2= a - Pl com multiplicidade
PT (p' # pl. Provemos que isso leva a uma contradigäo.
Seja m o menor dos números p e p'. Como o palindmio P & divisivel por
(c= 21P e (= 21, Pé divisivel por (x= 21" e (x - 2)", Sendo 2 #2, resulta que Pé
divisivet por be 23" + (x 2", ento:
108-F
Lbc= 237 + (en) «O Ee = ax - 2 + Q
be det the + a + Q = [x7 = 2ax + (er + BI a
Como Pe [x? - ax + (a? + #2)}" tém coeficientes reais, seguese que Q
tem todos os cosficientes reais. Sie passive dois casos:
19 caso: mp <p
Portanto Q no $ divisivel por x - ze & divisivel por x =
tz) = O. Isto é absurdo por contrariar o teorema anterior.
10 6, Ale) #08.
2 caso: map <p
Portanto Q náo é divisivel por x - Ze & divisivel por x - 2,istoé, O12) # 0e
lz} » 0. Isto também & absurdo por contrariar o teorema anterior.
Para evitar contradicdo, temos necessariemente p = p’
100. Observacóes
19) Os dois teoremas anteriores só se aplicam e equagdes polinomiais de
coeficientes ceais. Por exemplo a equacfo x? = ix = 0 tem como raízes O
ei, entretanto näo admite raiz |, conjugada de
28) Como a tode raiz complexa 2 = a + Bi (9 0) de uma equacáo com coe.
ficientes reais P(x) = O corresponde uma outta raiz 2 = @- fi, com igual
multiplicidada, segue-se que 0 número de raizes complexes náo reais de
Plx) = 0 é necessariamente par.
3%) Se uma equagäo polinomial de coeficientes reais tem grau impar, entäo
ela admite um nümero Ímpar de raízos resis, Assim, por exemplo, toda
equacio ax + bx? + ex +d = 0 (com a, b, c,d reais} tem uma ou trás
raies resis pois o número de raízes complexes e náo reais & par,
101. Aplicagées
12) Determinar o menor grau que pode ter uma equacáo polinomial de coe:
ficientes reais para admitir 1, i ¢ 1 + i como raízes
Tal equacio terá no mínimo 6 raizes: 1, i, +
mo grau 5.
| 141, 11 portanto terá no mini
109-F
2%} Formar uma equagäo polinomial de grau mínimo e coeficientes reais que
admite O como raíz simples, 1 como raiz dupla e 2 - 3i como raiz tripla.
Tal equagäo terá também 2 + 3i como raiz tipla, portanto a solucáo 8:
Kix = O) bx 18 te ~ 243i)? - 2-3 = 0 onde KE Re k#O.
38) Resolver a equaçäo x* + x? + 2x? + 3x - 3 = 0, sabendo que uma das
raizes 6 i V3.
Temes, entéo que -i V3 também & raiz, portanto o 19 membro é divisivel
por (x - IV ER + 1/3) = x7 + 3. Dividindo, recs
w+ Boh 1 0
e abtemos as duas raizes restantes:
1+ Vis4
ar zu
EXERCICIOS
F.216 Obtar a equagda de menor gres que tem como ress
Solupfo
oda equacio pelinomlal com costicientes resis que admits a riz complexe 2 também
adrite a rai Z, portanto, 4 rafze da equagio procurada sio: 5,4, 2, 2, Qe Bi
2i 8 die apresenta co
A equeo &
Ie = Noe + übe = Zoe + Zi BN + =
Kod + 11 #462 +910
Resposta: KE + Lau + 4982 + 961 = 0 com k #0
F.219 Formar ume equapio slgénrica de costciones 1
14 0 I seam ratzes amp.
som grau minimo, de mado que 0,
F.220 (FEIUC-83) — Se um número complexo 2 6 raie de quae
ape FOL + += 0 (no FO}
om cotficlantes rai, o conjugado de z também o 9:4?
F.221 Corstruir um aquacio potinomial do 6° gr
coma raze simples #0 como a duos,
e da conticintes reais que smite 1,204
110-F
F.222 Resolver sequacio nt + 3x? +20,
1.229 Resolver » equagio xf = 26) + 6x2 +24 + 12 D,sabando que uma des rales 62 + A.
1.224 Resolver a équagio x4 - 4x2 + Bx + 35 = 0, sabendo que uma das rafzes 6 2 + à V3.
Solagso
Game à equaeño tam todos of coelicientes reis resulta que outra ralz 4 2 - à VA
conjugado de 2 +¡W31. Assim, o polinómio dado 4 divisivel por
te 2 1131-2413),
ino 4, por x? 4x + 7
MO aa +36 | ae
a me mass
ao td 836
= 40 + 16 - 2x
CRETE
2 ge + 2 - 35
mr:
À guacho dde se rm 02 = An TR 6 du 1 0
€ cla du 4x + 3 O lo que fam, porto
SAT wate
si
‘8 2
Resposta: = (2 #1 VS, 2-1 V3, 2:41, -2-
F.226 Determinar à e b (res) de mods que a aquecdo 2x3 - Sx? + ex +b = O admita araiz
asi
F.226 Resolver a equacio 47 x6 + 365 - ud + De - Gu? 4% 1 = 9, sonido que | 6 uma dos
raie da equacio e tem multipiidace 3
F.227 (EE.MAUA-E6) - € dodo o polindmio Pixl « x4 + 0x2 + Dx + E com €, D, E números
tosis, Sabose que o número complezo (0, 1} 6 ro de Pix} = Do que dididindose
Ple) por Gfx) obtémae quociente yx} = x + 2x2 + dx + Be por rento 15. Pad
determinar Ple) as ralzes de Pla) =O.
F.228 Resolver e equagdo x4 - 4x2 + Gx +36 = 0, sebendo que ume dos raízos $ 2 + 1/3.
má
admite O como raíz simples, 1 como raiz dupla e 2 - 3i como raiz tripla.
Tal equagäo terá também 2 + 3i como raiz tipla, portanto a solucáo 8:
Kix = O) bx 18 te ~ 243i)? - 2-3 = 0 onde KE Re k#O.
38) Resolver a equaçäo x* + x? + 2x? + 3x - 3 = 0, sabendo que uma das
raizes 6 i V3.
Temes, entéo que -i V3 também & raiz, portanto o 19 membro é divisivel
por (x - IV ER + 1/3) = x7 + 3. Dividindo, recs
w+ Boh 1 0
e abtemos as duas raizes restantes:
1+ Vis4
ar zu
EXERCICIOS
F.216 Obtar a equagda de menor gres que tem como ress
Solupfo
oda equacio pelinomlal com costicientes resis que admits a riz complexe 2 também
adrite a rai Z, portanto, 4 rafze da equagio procurada sio: 5,4, 2, 2, Qe Bi
2i 8 die apresenta co
A equeo &
Ie = Noe + übe = Zoe + Zi BN + =
Kod + 11 #462 +910
Resposta: KE + Lau + 4982 + 961 = 0 com k #0
F.219 Formar ume equapio slgénrica de costciones 1
14 0 I seam ratzes amp.
som grau minimo, de mado que 0,
F.220 (FEIUC-83) — Se um número complexo 2 6 raie de quae
ape FOL + += 0 (no FO}
om cotficlantes rai, o conjugado de z também o 9:4?
F.221 Corstruir um aquacio potinomial do 6° gr
coma raze simples #0 como a duos,
e da conticintes reais que smite 1,204
110-F
F.222 Resolver sequacio nt + 3x? +20,
1.229 Resolver » equagio xf = 26) + 6x2 +24 + 12 D,sabando que uma des rales 62 + A.
1.224 Resolver a équagio x4 - 4x2 + Bx + 35 = 0, sabendo que uma das rafzes 6 2 + à V3.
Solagso
Game à equaeño tam todos of coelicientes reis resulta que outra ralz 4 2 - à VA
conjugado de 2 +¡W31. Assim, o polinómio dado 4 divisivel por
te 2 1131-2413),
ino 4, por x? 4x + 7
MO aa +36 | ae
a me mass
ao td 836
= 40 + 16 - 2x
CRETE
2 ge + 2 - 35
mr:
À guacho dde se rm 02 = An TR 6 du 1 0
€ cla du 4x + 3 O lo que fam, porto
SAT wate
si
‘8 2
Resposta: = (2 #1 VS, 2-1 V3, 2:41, -2-
F.226 Determinar à e b (res) de mods que a aquecdo 2x3 - Sx? + ex +b = O admita araiz
asi
F.226 Resolver a equacio 47 x6 + 365 - ud + De - Gu? 4% 1 = 9, sonido que | 6 uma dos
raie da equacio e tem multipiidace 3
F.227 (EE.MAUA-E6) - € dodo o polindmio Pixl « x4 + 0x2 + Dx + E com €, D, E números
tosis, Sabose que o número complezo (0, 1} 6 ro de Pix} = Do que dididindose
Ple) por Gfx) obtémae quociente yx} = x + 2x2 + dx + Be por rento 15. Pad
determinar Ple) as ralzes de Pla) =O.
F.228 Resolver e equagdo x4 - 4x2 + Gx +36 = 0, sebendo que ume dos raízos $ 2 + 1/3.
má
VII. RAIZES REAIS
102. Dada uma equaeio polinomial
volver uma teoria que permite deter
admite num certo intervalo dado la;
com cosficientes reais, vamos desen-
ar o número de raízes reais que a equardo
103. Seja Pix) = 0 uma equaçäo polinomial com coeficientes todos resis. Indique-
MOS BOF fp, fay Fa, Ip SUAS raies reals € por 24, 24, 23, 73. … 2q, Eq suas raízes
complexas e nao reas
Pelo teorama da decomposieäo, temo:
(1 P = apli dera. (ro) fez) x29) bea ios
ix-aq)x-tall
Vamos efetuar o produto correspondents a duas raízes complexes conjugadas
2 = a+ fie 2, = a - Bi, por exemplo:
E u
=a +P DO exe R
Verificamos que o produto é positivo para todo valor real dado a x, Como o
polinómio:
O (x= eye 21) = 29106 2 M) ue 0e ZN Za
Lez 21-21) Oe 29) = Ba) ae (= BQN = al
é o produto de q fatores do tipo que acabemos de analitar, concluimos que Q
assume valor numérico positivo para todo x real e a expresso (1) fica:
Pralinen Oe = re)
(2)
com Qik) > 0, ¥ x ER,
104. Teorema de Bolzano
Sejam Pix]
tervalo real aborto,
uma equaco polinomial com coeficientes resis Ja; bl um in
19) se Pla) e Pb) tm mesmo sinal, entáo existe um número par de raizes
tesis ou nio existem rafzes reals da equagdo em Je; bl .
112-F
29) se Pla) © Pb} tim sinais contrérios, entäo existe um número impar de
raizes reais da equaçäo em Ja; bl.
Demonstragáo
Notemos que ser; 6 interna so intervalo la bl, entáo a <r; <b,isto 6
> 0
— lalo 0) <0
5 <0
Notemos também que se ra & externa ao intervalo Ja; bl, por exemple, se
à <b < rg, resulta:
<0
— (o Feb ro) > 0
bn <0
Caleulemos agora a produto Pla + Pibl:
Pla)-Plb} =lan«Qla)=(a=r,la=r...(a-cp!]la,-Olb)-(o-r Mb-r3 Ab=rpl =
= 6h (Ola) O(b))-Lfa-r,Nb-rlllia-t2b-ra oa lla-to)tb-Fp)] a
Verificamos que Pla) + Pb} & um produto de p + 2 fatores numéricos,
saber:
um fator à 32 > 0
um fator é Ola) + Q{bi > 0 pois Aix) > 0, ¥ x E R
P fatores do tipo la - rm) (b - rm) onde tm & raiz real da equardo
Assim, os únicos fatores negativos do segundo membro da relagäo (3) sáo os.
fetores correspondentes äs raizes de P(x) = 0 internas ao intervalo Ja: bl, o que per
mite concluir a existéncia de dues possbilidades.
12) quanco Pía) e Pb} tám mesmo sinal, isto 6, Pla) + Plb) > 0, existe
um número par de fatores negativos do tipo (a = FD - £,) e, portanto, existe um
nümero par de raízas reais da equagäo Plx} = 0 que s$o internas ae intervalo Ja; bl.
2%) quando Pfal e PID) täm sinals contrários, isto 4, Ple) + Plb) <0, existe
um número Ímpar de fatores negativos do tipo (a - ;(br;) e, portanto, existe um
"número impar de raízes reais da equaçäo P(x) = O que sio internas ao intervalo
de; bl.
nor
102. Dada uma equaeio polinomial
volver uma teoria que permite deter
admite num certo intervalo dado la;
com cosficientes reais, vamos desen-
ar o número de raízes reais que a equardo
103. Seja Pix) = 0 uma equaçäo polinomial com coeficientes todos resis. Indique-
MOS BOF fp, fay Fa, Ip SUAS raies reals € por 24, 24, 23, 73. … 2q, Eq suas raízes
complexas e nao reas
Pelo teorama da decomposieäo, temo:
(1 P = apli dera. (ro) fez) x29) bea ios
ix-aq)x-tall
Vamos efetuar o produto correspondents a duas raízes complexes conjugadas
2 = a+ fie 2, = a - Bi, por exemplo:
E u
=a +P DO exe R
Verificamos que o produto é positivo para todo valor real dado a x, Como o
polinómio:
O (x= eye 21) = 29106 2 M) ue 0e ZN Za
Lez 21-21) Oe 29) = Ba) ae (= BQN = al
é o produto de q fatores do tipo que acabemos de analitar, concluimos que Q
assume valor numérico positivo para todo x real e a expresso (1) fica:
Pralinen Oe = re)
(2)
com Qik) > 0, ¥ x ER,
104. Teorema de Bolzano
Sejam Pix]
tervalo real aborto,
uma equaco polinomial com coeficientes resis Ja; bl um in
19) se Pla) e Pb) tm mesmo sinal, entáo existe um número par de raizes
tesis ou nio existem rafzes reals da equagdo em Je; bl .
112-F
29) se Pla) © Pb} tim sinais contrérios, entäo existe um número impar de
raizes reais da equaçäo em Ja; bl.
Demonstragáo
Notemos que ser; 6 interna so intervalo la bl, entáo a <r; <b,isto 6
> 0
— lalo 0) <0
5 <0
Notemos também que se ra & externa ao intervalo Ja; bl, por exemple, se
à <b < rg, resulta:
<0
— (o Feb ro) > 0
bn <0
Caleulemos agora a produto Pla + Pibl:
Pla)-Plb} =lan«Qla)=(a=r,la=r...(a-cp!]la,-Olb)-(o-r Mb-r3 Ab=rpl =
= 6h (Ola) O(b))-Lfa-r,Nb-rlllia-t2b-ra oa lla-to)tb-Fp)] a
Verificamos que Pla) + Pb} & um produto de p + 2 fatores numéricos,
saber:
um fator à 32 > 0
um fator é Ola) + Q{bi > 0 pois Aix) > 0, ¥ x E R
P fatores do tipo la - rm) (b - rm) onde tm & raiz real da equardo
Assim, os únicos fatores negativos do segundo membro da relagäo (3) sáo os.
fetores correspondentes äs raizes de P(x) = 0 internas ao intervalo Ja: bl, o que per
mite concluir a existéncia de dues possbilidades.
12) quanco Pía) e Pb} tám mesmo sinal, isto 6, Pla) + Plb) > 0, existe
um número par de fatores negativos do tipo (a = FD - £,) e, portanto, existe um
nümero par de raízas reais da equagäo Plx} = 0 que s$o internas ae intervalo Ja; bl.
2%) quando Pfal e PID) täm sinals contrários, isto 4, Ple) + Plb) <0, existe
um número Ímpar de fatores negativos do tipo (a - ;(br;) e, portanto, existe um
"número impar de raízes reais da equaçäo P(x) = O que sio internas ao intervalo
de; bl.
nor
105, Aplicaçäes
1%) _ Quantas rares reais a aquacdo x? + 5x? - 3x + 4 = 0 pode apresentar no
intervalo Jo, 1?
Temos P(x) = x? + Gx? - 3x + 4, entio:
PIO) = 0° + 510)? - 310) + 4 - 4 > 0
P(t) 1 + SUN - 3(1) + 4-7 > 0
Como P(O) e PT) säo positivos, a equacáo pode ter duas ou nenhuma raiz
real no intervalo dado.
29 Quantas raizes reais a equagdo x? - 3x? + 7x + 1 pode apresentar no
intervalo J-1, 1[?
Temos Pix) = x? - 3x? + 7x # 1, ento:
PAT) = 1)? = BAY + 7) +1 = -19<0
PE = PS HM e126 > 0
Como Piet) e P(1) tém sinais contrários, a equaçäo pode ter uma ou trás
is no intervalo dado,
rares re
3°) Otarminar m de modo que a equagdo:
aa = Bx? + dm 3) = D
tenha ao menos uma raiz real campreendida entre 0.0 2.
A condicio para isso € que PIO) e P(Z) tenham sinals opostos. Temos:
Plo) =m-3 € PQi=m+3
portanto:
PIO) - PZ} < 0 — Im - Bim+ 3 <0 => 3 € m < 3
105, Interpretagäo geométrica
Se y = Plx} é uma funcio polinomial de cost
‘demos a cada par (x, y) da fungäo associar um ponto do plano cartesiano e, assim,
obter o seu gráfico.
nr
ntes reais @ varlävel x real, po-
107. Exemplos
19) Gráfico de y= 2-1, x ER
Considerando que dois pontos distintos determinam uma rata, vamos atti
buir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes
yet r
2x -1 Pt
P,(0, -1)
Obremos P, 10, -1} e Ps (1, 1) e traçamos a reta P,P; que é precisamente o
grático da fungáo dada.
29) Gritico de y = x? - 6x +8, x E IR
O gráfico desta fungáo 6 uma parábola com a concavidade voltada pere
eixo de simetria vertical, vértice no ponto V tal que
a
E &
e corta 0 eine dos x nos pontos que tim
somo abscissas as raízes da equagäo y = O,
isto 6, nos pontos (2,0) e (4, 0).
Fazeros à tabel
x |» | ponte
o A
1 e
2 5
3 Dev
4 E
5 |
elel cs
me.
1%) _ Quantas rares reais a aquacdo x? + 5x? - 3x + 4 = 0 pode apresentar no
intervalo Jo, 1?
Temos P(x) = x? + Gx? - 3x + 4, entio:
PIO) = 0° + 510)? - 310) + 4 - 4 > 0
P(t) 1 + SUN - 3(1) + 4-7 > 0
Como P(O) e PT) säo positivos, a equacáo pode ter duas ou nenhuma raiz
real no intervalo dado.
29 Quantas raizes reais a equagdo x? - 3x? + 7x + 1 pode apresentar no
intervalo J-1, 1[?
Temos Pix) = x? - 3x? + 7x # 1, ento:
PAT) = 1)? = BAY + 7) +1 = -19<0
PE = PS HM e126 > 0
Como Piet) e P(1) tém sinais contrários, a equaçäo pode ter uma ou trás
is no intervalo dado,
rares re
3°) Otarminar m de modo que a equagdo:
aa = Bx? + dm 3) = D
tenha ao menos uma raiz real campreendida entre 0.0 2.
A condicio para isso € que PIO) e P(Z) tenham sinals opostos. Temos:
Plo) =m-3 € PQi=m+3
portanto:
PIO) - PZ} < 0 — Im - Bim+ 3 <0 => 3 € m < 3
105, Interpretagäo geométrica
Se y = Plx} é uma funcio polinomial de cost
‘demos a cada par (x, y) da fungäo associar um ponto do plano cartesiano e, assim,
obter o seu gráfico.
nr
ntes reais @ varlävel x real, po-
107. Exemplos
19) Gráfico de y= 2-1, x ER
Considerando que dois pontos distintos determinam uma rata, vamos atti
buir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes
yet r
2x -1 Pt
P,(0, -1)
Obremos P, 10, -1} e Ps (1, 1) e traçamos a reta P,P; que é precisamente o
grático da fungáo dada.
29) Gritico de y = x? - 6x +8, x E IR
O gráfico desta fungáo 6 uma parábola com a concavidade voltada pere
eixo de simetria vertical, vértice no ponto V tal que
a
E &
e corta 0 eine dos x nos pontos que tim
somo abscissas as raízes da equagäo y = O,
isto 6, nos pontos (2,0) e (4, 0).
Fazeros à tabel
x |» | ponte
o A
1 e
2 5
3 Dev
4 E
5 |
elel cs
me.
Exemplos
30) Gréfico de y= x, X ER
sinal de Pía) # sinal de P(b)
Vamos inicialmente construir a tabela E vi
Po)
Prat |
x ponto
-2 e A H =
E 8
Pla)
a © Pio! |
|. - A
4 número impr de raizes
Po o € |
RER 2 sinol de Pla) = sinal de PIb)
1 E F =
= hs
1 6 vi v
3 a ei Po |
3 u:
2 8 ü Pb Pls)
5 125
2 Es u !
3 E x
y
Nesta condigóes, pesquisa as raies reis de ume equagio polinomiat Pix) whe
= 06 localizar (onda? quantos?) os pontos em que o gráfico crtesiano da fungio ha
y = Pix} intercepta o eixo das abscissas ly = 0).
‘Assim, 0 teorema de Bolzano comporta uma inerpreracdo geomátrica baseada,
em resumo, no seguinte Piby L
Sinal de Pla) = sinel de Pi) — número par de raizes
sinal de Pia) # sinal de Plb) == número impar de rires húmero par de rales
16. NZ
30) Gréfico de y= x, X ER
sinal de Pía) # sinal de P(b)
Vamos inicialmente construir a tabela E vi
Po)
Prat |
x ponto
-2 e A H =
E 8
Pla)
a © Pio! |
|. - A
4 número impr de raizes
Po o € |
RER 2 sinol de Pla) = sinal de PIb)
1 E F =
= hs
1 6 vi v
3 a ei Po |
3 u:
2 8 ü Pb Pls)
5 125
2 Es u !
3 E x
y
Nesta condigóes, pesquisa as raies reis de ume equagio polinomiat Pix) whe
= 06 localizar (onda? quantos?) os pontos em que o gráfico crtesiano da fungio ha
y = Pix} intercepta o eixo das abscissas ly = 0).
‘Assim, 0 teorema de Bolzano comporta uma inerpreracdo geomátrica baseada,
em resumo, no seguinte Piby L
Sinal de Pla) = sinel de Pi) — número par de raizes
sinal de Pia) # sinal de Plb) == número impar de rires húmero par de rales
16. NZ
EXERCICIOS
F.220 (EPUSP-69) Montre que » equacio 1000%5 + 20x? - 1 = 0 agite umo raiz positive
interior a À
Solugio
Fasamos Pix! = 1000x5 + 20% = 1 e calculemos PIO) e PZ
PIO) = 1000(0)$ + 20107 - 1 = -1 <a
1 15 4 agi 2 2 1 = 1000 + 2800-3125 378,
PCE) « 10001 $38 o DIE JE Do
Como Pa) =P.) <0, ts que Parent um número mar es rs no
invervato Jo; E [ (teorema de Boizano)
1.230 Quantas so as aires reais da equacdo 23 - 10x + Sx - 1 > 0, no interale Jo; al?
231 Dada a funcio potinomal HIx) « x3 + 2x, pedese const se gráfico cartesiano 6, à
Partir dl, estabelece o número de raies se do equacio fx) = 0.
1.232 Osterminar & de modo que .0quicio x3 + 7? 45x 40, tena 99 menos ums riz ral no
intervalo +2; 0],
1.238 (EPUSP Ga) — Montre que a eauscdo f(x) = x9 = 2x2 + 2x 4 20, la >01 50 tumums
iz reo, Diga qual do ina de wi,
238 (EPUSP-68) — Considere a equacio, na incógnita x, Del - Bad + 3e + = 2e
3) Mostre que, para cada rea, ola admite ume raiz Única real rl)
D) Determine valor det parao qual a raie rit) à máximo.
©) Determine essa raiz máxima,
F.295 (EPUSP-61) ~ Demanstro que: “Toda equaço do vpo + 6
€ 3, b números reas ndo nulos, admite uma rit ea de cna! cr
admite ds raat reia dient."
+b 0,sendo impar
io 20 de De ndo
F.236 Um polinömio P de 59 grau com coofiionten resis em dun aízes Imaginri. Sutsendo
que PEZ ==1, PL = 2, PIO) =-, Plil=-7 e Pl2) >0, dior quenterado
as aire reis de P 6 em que intervalo ero,
118-F
VIII. RAIZES RACIONAIS
108. Vamos desenvolver aqui um raciocinio que permite estabelecer se uma equa
¢¥0 polinomial de coeficientes inteiros admite raizes racionals e, em caso positivo,
vamos obter tals raízes.
109, Teorema
Se uma equaçäo polinomial
PO 2 ane a ap 07 + ax + 39 = 0, (an #0),
de colinas nor, admite uma rae rar 8 (onde BEL. a € 2,0 pe a
sio primos entre si), entäo p & divisor de ap e a é divisor de aq.
Demonstracáo
uma raiz de Pix) = O, temos:
Isotando Emp" e, depois, 294", temos
A A
(11) a9q = plant ON
Come ap, Ar, das + an, P € q sio todos inteiros, decorre que:
Lagan! Hana? +. + 0977] 6 inteiro e
B= Lago! apt aya?!) à inroiro
Assim, retomando {1 e (00, vem
o Baez e qm Me pez
= 5
Isto significa que:
1er
F.220 (EPUSP-69) Montre que » equacio 1000%5 + 20x? - 1 = 0 agite umo raiz positive
interior a À
Solugio
Fasamos Pix! = 1000x5 + 20% = 1 e calculemos PIO) e PZ
PIO) = 1000(0)$ + 20107 - 1 = -1 <a
1 15 4 agi 2 2 1 = 1000 + 2800-3125 378,
PCE) « 10001 $38 o DIE JE Do
Como Pa) =P.) <0, ts que Parent um número mar es rs no
invervato Jo; E [ (teorema de Boizano)
1.230 Quantas so as aires reais da equacdo 23 - 10x + Sx - 1 > 0, no interale Jo; al?
231 Dada a funcio potinomal HIx) « x3 + 2x, pedese const se gráfico cartesiano 6, à
Partir dl, estabelece o número de raies se do equacio fx) = 0.
1.232 Osterminar & de modo que .0quicio x3 + 7? 45x 40, tena 99 menos ums riz ral no
intervalo +2; 0],
1.238 (EPUSP Ga) — Montre que a eauscdo f(x) = x9 = 2x2 + 2x 4 20, la >01 50 tumums
iz reo, Diga qual do ina de wi,
238 (EPUSP-68) — Considere a equacio, na incógnita x, Del - Bad + 3e + = 2e
3) Mostre que, para cada rea, ola admite ume raiz Única real rl)
D) Determine valor det parao qual a raie rit) à máximo.
©) Determine essa raiz máxima,
F.295 (EPUSP-61) ~ Demanstro que: “Toda equaço do vpo + 6
€ 3, b números reas ndo nulos, admite uma rit ea de cna! cr
admite ds raat reia dient."
+b 0,sendo impar
io 20 de De ndo
F.236 Um polinömio P de 59 grau com coofiionten resis em dun aízes Imaginri. Sutsendo
que PEZ ==1, PL = 2, PIO) =-, Plil=-7 e Pl2) >0, dior quenterado
as aire reis de P 6 em que intervalo ero,
118-F
VIII. RAIZES RACIONAIS
108. Vamos desenvolver aqui um raciocinio que permite estabelecer se uma equa
¢¥0 polinomial de coeficientes inteiros admite raizes racionals e, em caso positivo,
vamos obter tals raízes.
109, Teorema
Se uma equaçäo polinomial
PO 2 ane a ap 07 + ax + 39 = 0, (an #0),
de colinas nor, admite uma rae rar 8 (onde BEL. a € 2,0 pe a
sio primos entre si), entäo p & divisor de ap e a é divisor de aq.
Demonstracáo
uma raiz de Pix) = O, temos:
Isotando Emp" e, depois, 294", temos
A A
(11) a9q = plant ON
Come ap, Ar, das + an, P € q sio todos inteiros, decorre que:
Lagan! Hana? +. + 0977] 6 inteiro e
B= Lago! apt aya?!) à inroiro
Assim, retomando {1 e (00, vem
o Baez e qm Me pez
= 5
Isto significa que:
1er
(0 agp” $ divisivet por a e, como p°
a säo primos entre si, an $ divisivet
pora.
(UI) 299" € divisivel por p e, como q" e p sio primos entre si, ay & divisivel
por p.
110. Aplicapóes
19) Quais sáo as raízes racionais 6
quacio
Ont ~ 6x5 + axt ~ Gx - 10x? + 30x - 12 = 07
As possvals rates racianais dessa equagio tim à forma À onde p é divisor
de -12 e q $ divisor positivo de 2, isto é:
PE(1,1,-2,2,-3,9,-4,4,-6,6,-12,1% e «Ss
Assim, se a equagdo tiver raízos racionais, essas raízes estio no conjunto:
i 11.33
11 -2,2-9.3.4.4-6.0-12.12-1,1, 3,3
: 2-83-44 -66-1212-2,2,.9,3)
que fo} obtido da tbe
» |
tL fet | a] a ls] a [ele] 12) 2
area GEIGEHE
Fazendo a verificaçäo para os 16
‚mentos do conjunto, terlamos que as
inc is ans so 2e pis
Pia) = 2120 - S(2I + aia}* - S(2P - 1012) + 3012) - 12 =
128 - 160 + 64 - 40 - 40 + 60 - 12=0
Bye ados — sides e atte
bad
poda,
= ouh + som - 122
1-5+8-20-80+96
+15-12=1:5*8-20-80+96,
15-12 3
o
Blo
ele
Pe
2
© para os demais elementos Plx) # 0.
120-F
28) Quais sdo as raizes inteiras da equaçäo x? + 3x? - 3x - 9= 0?
Temos:
PEEL +3399) + get
1, -3, 3, -9, 9
wii Bet
a
Fazendo as ver
pen
ces:
-4, P(A) = -8, PL-3) = 0, P(3) = 36, P(-9) = -468 e PUS) = -522,
portanto, a raiz procurada é -3,
111. Observapdes
12) O teorema anterior só se aplica a equacóes polinomiais de coeficientes
inteiros (todos). No é suficiente que o cosficiente dominante (an) e o termo inde.
perdente (a ) sejam inteiros,
2 e Lonquano que moro enter (asado roman prs apes
como possiveis raizes 10 =
22) Se a equacio PIX]
0.com coeficientes inteiros e ay # 0, admito uma
raiz in entio y é divisor de ay (termo independiente de P
Assim, as possiveis raízes inteiras de 7x5 + x* “x+6=0 do
-2, 2, 3, 3, -6, 6,
32) Se aequagio Pix} = 0 com coeficientes inteiros e cosficiente dominante
unitário (ay = 1) edmite uma raiz racional ©, ento essa raiz é necessariamente in
teira pois a=
Assim, por exemplo, qualquer raiz racional da equagdo
fe Dr B= 0
é necessariamente inteira pois está no conjunto 4-1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8,
121-F
a säo primos entre si, an $ divisivet
pora.
(UI) 299" € divisivel por p e, como q" e p sio primos entre si, ay & divisivel
por p.
110. Aplicapóes
19) Quais sáo as raízes racionais 6
quacio
Ont ~ 6x5 + axt ~ Gx - 10x? + 30x - 12 = 07
As possvals rates racianais dessa equagio tim à forma À onde p é divisor
de -12 e q $ divisor positivo de 2, isto é:
PE(1,1,-2,2,-3,9,-4,4,-6,6,-12,1% e «Ss
Assim, se a equagdo tiver raízos racionais, essas raízes estio no conjunto:
i 11.33
11 -2,2-9.3.4.4-6.0-12.12-1,1, 3,3
: 2-83-44 -66-1212-2,2,.9,3)
que fo} obtido da tbe
» |
tL fet | a] a ls] a [ele] 12) 2
area GEIGEHE
Fazendo a verificaçäo para os 16
‚mentos do conjunto, terlamos que as
inc is ans so 2e pis
Pia) = 2120 - S(2I + aia}* - S(2P - 1012) + 3012) - 12 =
128 - 160 + 64 - 40 - 40 + 60 - 12=0
Bye ados — sides e atte
bad
poda,
= ouh + som - 122
1-5+8-20-80+96
+15-12=1:5*8-20-80+96,
15-12 3
o
Blo
ele
Pe
2
© para os demais elementos Plx) # 0.
120-F
28) Quais sdo as raizes inteiras da equaçäo x? + 3x? - 3x - 9= 0?
Temos:
PEEL +3399) + get
1, -3, 3, -9, 9
wii Bet
a
Fazendo as ver
pen
ces:
-4, P(A) = -8, PL-3) = 0, P(3) = 36, P(-9) = -468 e PUS) = -522,
portanto, a raiz procurada é -3,
111. Observapdes
12) O teorema anterior só se aplica a equacóes polinomiais de coeficientes
inteiros (todos). No é suficiente que o cosficiente dominante (an) e o termo inde.
perdente (a ) sejam inteiros,
2 e Lonquano que moro enter (asado roman prs apes
como possiveis raizes 10 =
22) Se a equacio PIX]
0.com coeficientes inteiros e ay # 0, admito uma
raiz in entio y é divisor de ay (termo independiente de P
Assim, as possiveis raízes inteiras de 7x5 + x* “x+6=0 do
-2, 2, 3, 3, -6, 6,
32) Se aequagio Pix} = 0 com coeficientes inteiros e cosficiente dominante
unitário (ay = 1) edmite uma raiz racional ©, ento essa raiz é necessariamente in
teira pois a=
Assim, por exemplo, qualquer raiz racional da equagdo
fe Dr B= 0
é necessariamente inteira pois está no conjunto 4-1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8,
121-F
exencicios
237 IMAPOFEI-71),
2 Proa se o nömaro racional À. pe a primos ome si, $ az de uma eauisfo
ehébries com casicienes isis
pop =o
{op # 0), emo p & civisor de an © «6 disor de ao.
BI Determiner où raízes da squecño ad + 2 4x + 6 <0.
238 a) Qusissf0 os divisores de 127
Sh Quais a 05 divisores positivos de 6?
Sl, Qui so 35 possveis raízes racional de equagdo 5x + 4x6 + 243 = +1
238 (ITA-64) Quns as possivis raire imteiras da equecdo x3 + 4x2 + 2x 4 = 07
FZ00 IMACK-64) A equacdo x" ran lH... a © admito ralces resis race
nos? Por que? Eventualmante, quais s30 ay raites reis intra?
F241 Quais io as raies Imeras da equaeso x? = 9x? à 224-24 = 07
Solugto
Coma o coeliiente de x? 4 1, os possivals aízos inteiras de aquacio so os divisores
de -24, sta 6
TM 2-2 3-8 4-4 6, 6, 8, 8, 12, -12, 24, -2.
Caiculendo 0 valor de P nesses números, temos.
PE #0, 81-11 #0, FU) #0, PL-2) #0,
PID) 40, Pi-3) #0, PLA! #0, PL-a} 20
mas PIG) 0. 1 2-14
Dividinds P por x 6: 3 o
rcaimos na equagfo xi = x + 4 = 0 cu rates sño complexes a ndo ints
Resposte: 6
242 Resor à equasto ak) ~ 61% =e
“ on ty Cru
= onde 1°] indies o quociente
ee as
Aa a
8288 poate sauce REE 10 onde yg noo anime E
F244 Resolver à equacio 5x¥=37x2 +90x- 72-0, subendo que admite roizes
122-F
1.245 Pesquisar as aízesinteras da equagdo x? - 9x2 + 23x - 15 - 0.
246 Rowolver à eauagdo 2x5 - 5x3 - 2x - 4x + 3 0.
Solucto
Varros inicialmente pesquiar rozas rocionsis da aquacio, Se 2 4 ix ena
PS(1,-1.3.-3) e a€t.2}
ponante 2.5 (1,-1,9,-3, $. +
3 ( E
Fazendo Pla) 20 - 639-297
PUN) £0, PEN #0, Plea) #0
1
ms PIS) =0 0 PIS
0, portent P € divisival por In b= $)
Resposta
FAT (EPUSP-S8) soler a equagio x? = 2x? = x + 2 2 0.
248 (FAUN-67) Determine an raies da equacio x5- SO + Gxt + 7x - 6.» 0.
248 Resolver: Zu6H 6-19 à 19-0 2 20
1.250 Detseminar as raize da guacho: x6 + 3x5 - Bel End 18x24 3x = 40
16251 Resolver a aquncto x = 9x2 + 20% -24 0, totendo que es ralzs sio números interos
282 (EPUSP-50) Ar equneSes (x - allx = bl = 0 en? 2 « 0
‘onde a. b so números racionsis, podem ov no tr razas comune? Lust)
16253 IEPUSP-66) Prowar que 12 um número irracional for 2ero de um trinómio do
29 grav, x2 + ax +b, com à e b racionais, eno trinömin será Coico,
123-F
237 IMAPOFEI-71),
2 Proa se o nömaro racional À. pe a primos ome si, $ az de uma eauisfo
ehébries com casicienes isis
pop =o
{op # 0), emo p & civisor de an © «6 disor de ao.
BI Determiner où raízes da squecño ad + 2 4x + 6 <0.
238 a) Qusissf0 os divisores de 127
Sh Quais a 05 divisores positivos de 6?
Sl, Qui so 35 possveis raízes racional de equagdo 5x + 4x6 + 243 = +1
238 (ITA-64) Quns as possivis raire imteiras da equecdo x3 + 4x2 + 2x 4 = 07
FZ00 IMACK-64) A equacdo x" ran lH... a © admito ralces resis race
nos? Por que? Eventualmante, quais s30 ay raites reis intra?
F241 Quais io as raies Imeras da equaeso x? = 9x? à 224-24 = 07
Solugto
Coma o coeliiente de x? 4 1, os possivals aízos inteiras de aquacio so os divisores
de -24, sta 6
TM 2-2 3-8 4-4 6, 6, 8, 8, 12, -12, 24, -2.
Caiculendo 0 valor de P nesses números, temos.
PE #0, 81-11 #0, FU) #0, PL-2) #0,
PID) 40, Pi-3) #0, PLA! #0, PL-a} 20
mas PIG) 0. 1 2-14
Dividinds P por x 6: 3 o
rcaimos na equagfo xi = x + 4 = 0 cu rates sño complexes a ndo ints
Resposte: 6
242 Resor à equasto ak) ~ 61% =e
“ on ty Cru
= onde 1°] indies o quociente
ee as
Aa a
8288 poate sauce REE 10 onde yg noo anime E
F244 Resolver à equacio 5x¥=37x2 +90x- 72-0, subendo que admite roizes
122-F
1.245 Pesquisar as aízesinteras da equagdo x? - 9x2 + 23x - 15 - 0.
246 Rowolver à eauagdo 2x5 - 5x3 - 2x - 4x + 3 0.
Solucto
Varros inicialmente pesquiar rozas rocionsis da aquacio, Se 2 4 ix ena
PS(1,-1.3.-3) e a€t.2}
ponante 2.5 (1,-1,9,-3, $. +
3 ( E
Fazendo Pla) 20 - 639-297
PUN) £0, PEN #0, Plea) #0
1
ms PIS) =0 0 PIS
0, portent P € divisival por In b= $)
Resposta
FAT (EPUSP-S8) soler a equagio x? = 2x? = x + 2 2 0.
248 (FAUN-67) Determine an raies da equacio x5- SO + Gxt + 7x - 6.» 0.
248 Resolver: Zu6H 6-19 à 19-0 2 20
1.250 Detseminar as raize da guacho: x6 + 3x5 - Bel End 18x24 3x = 40
16251 Resolver a aquncto x = 9x2 + 20% -24 0, totendo que es ralzs sio números interos
282 (EPUSP-50) Ar equneSes (x - allx = bl = 0 en? 2 « 0
‘onde a. b so números racionsis, podem ov no tr razas comune? Lust)
16253 IEPUSP-66) Prowar que 12 um número irracional for 2ero de um trinómio do
29 grav, x2 + ax +b, com à e b racionais, eno trinömin será Coico,
123-F
F.254 (MAPORE 63)
3 Qual à eaueso do tercero yr,
raiz complexa LA + V3 in
om coeficientes reais, que postu a raiz real 5 8 à
bl Determinar quatro intérus consecutivos n 2, 0-1, mn + 1, Wis que o cubo de
int sia igual à soma dos eubos ca cada um dos tés outros
6255 (EPUSO-40) Resoner à equacño 29% à 14 + 20° 95 + 78% - 890 + 22% 4 2046 - 0.
F.256 Provar ue se uma equacio polinomal de cosficiemes intevos admite como raie o
número irracional a+ Vb, entäo a= V5 Lumbim 6 raiz
F.287 Unlizondo 0 problema anterior, formar ums ecuocio de cosficients interes e grau
mínimo, vendo como saizes 1, 2 à 1- V2
F.258 Nosolver a equagde Ix Gx? - 7x? 4 3x + 2, sabendo que uma des ruizes à 1 ı V2
F.280 (MACK-20) Resolver no conunto dos números complexos à cquocdo Un = 233» À ==
F260 (EPUSP-6é
Ve ENTER ER
1245
CAPÍTULO 1V
TRANSFORMACOES
1. TRANSFORMAGÖES
112. Definicio
Transtormacio de uma equacio algébrica P,[x) 0 € toda operagáo com à
‘qual se obtém uma nova equagdo Pa(y) = O cujas raizes estajam relacionadas com
as raizes da equacäo inicial através de uma lei conhecida y = f(x}
A equsgäu P; - O é chamada equacio primitiva; a equaçäo Paty) = 0 é
chamada equacdo transformada e a lei y - Hx) é chamada relacéo de transformacio.
113. Exemples
191 Se Pilx)=3x" - Ted #5 = 0 6 à equocio primitiva e y =x? é a relacio
de transformacio, entdo:
Pa y AV 745239 2¥ + 8 =0
6 à equacio transformada.
Neste exemplo, as rafzes de Pa(y) -0 sio iguais aos quadradns das raízes
de Puto) = 0.
29) Se Pylx) = 2x - Sx? + 7x-1=0 6 a equagáo primitiva e y -x-1éa
relacio de transformarän, entio:
Pa 2ly #1)? = Bly # HF + ly My ay? By +30
6 a equarño transformada.
Naste exemplo, as rafzes de Paly)=0 sio iquais as raízes de Pix) = 0
diminuidas de 1
Passemos agoro a um estudo das trés principais transformagóes que se
pode fazer com uma equacio polinomial.
125-F
3 Qual à eaueso do tercero yr,
raiz complexa LA + V3 in
om coeficientes reais, que postu a raiz real 5 8 à
bl Determinar quatro intérus consecutivos n 2, 0-1, mn + 1, Wis que o cubo de
int sia igual à soma dos eubos ca cada um dos tés outros
6255 (EPUSO-40) Resoner à equacño 29% à 14 + 20° 95 + 78% - 890 + 22% 4 2046 - 0.
F.256 Provar ue se uma equacio polinomal de cosficiemes intevos admite como raie o
número irracional a+ Vb, entäo a= V5 Lumbim 6 raiz
F.287 Unlizondo 0 problema anterior, formar ums ecuocio de cosficients interes e grau
mínimo, vendo como saizes 1, 2 à 1- V2
F.258 Nosolver a equagde Ix Gx? - 7x? 4 3x + 2, sabendo que uma des ruizes à 1 ı V2
F.280 (MACK-20) Resolver no conunto dos números complexos à cquocdo Un = 233» À ==
F260 (EPUSP-6é
Ve ENTER ER
1245
CAPÍTULO 1V
TRANSFORMACOES
1. TRANSFORMAGÖES
112. Definicio
Transtormacio de uma equacio algébrica P,[x) 0 € toda operagáo com à
‘qual se obtém uma nova equagdo Pa(y) = O cujas raizes estajam relacionadas com
as raizes da equacäo inicial através de uma lei conhecida y = f(x}
A equsgäu P; - O é chamada equacio primitiva; a equaçäo Paty) = 0 é
chamada equacdo transformada e a lei y - Hx) é chamada relacéo de transformacio.
113. Exemples
191 Se Pilx)=3x" - Ted #5 = 0 6 à equocio primitiva e y =x? é a relacio
de transformacio, entdo:
Pa y AV 745239 2¥ + 8 =0
6 à equacio transformada.
Neste exemplo, as rafzes de Pa(y) -0 sio iguais aos quadradns das raízes
de Puto) = 0.
29) Se Pylx) = 2x - Sx? + 7x-1=0 6 a equagáo primitiva e y -x-1éa
relacio de transformarän, entio:
Pa 2ly #1)? = Bly # HF + ly My ay? By +30
6 a equarño transformada.
Naste exemplo, as rafzes de Paly)=0 sio iquais as raízes de Pix) = 0
diminuidas de 1
Passemos agoro a um estudo das trés principais transformagóes que se
pode fazer com uma equacio polinomial.
125-F
11, TRANSFORMACAO MULTIPLICATIVA
114, Definicio
Cromase trastormagño muti ï
do mitten ana em que à relie de tne
formaçäo & 2 ve ae
yekex tk #0)
Dada a equagäo primitiva P,(x)=0, substituind x por Ye fezendo as
simplificacáes, obtemos a transformada Paty) = 0, cujas rafzes s30 precisamente
as raízes de P;(x) : 0 multiplicadas por k.
115, Aplicaçäes
_ 18 Dada a equagdo x? 2x7 4 x # 10, obter sua transformada pele rela:
slo y = 2x.
ATA
arc raro
Portanto, eliminando 05 denominadores, ver
Pslyb= Y? = By? + dy +
2%) Obter a transformada que apresenta como raizes os simétricos dos
triples das raies de 5x? #32 - x + 1
Neste caso, temos:
equaedo primitiva: P(x)
relacio de
entdo:
ET
Pech
Portanto, eliminando os denominadores, vem:
Pan
Sy? Hay +9y+ 2720
126-F
111. TRANSFORMAGAO ADITIVA
116, Definigäo
Chamase transformac3o aditiva aquela em que a relacio de transformacio &
y=xta
Dade a equagäo primitiva P(x) = 0, substituindo x por y-a e fazendo as
simplificacóes, obtemos a transtormada Paly) =D, cujas raízes sño precisamente
as raizes de Pı[x} =0 acrescidas de a, sendo a um número complexo qualquer.
117. Aplicagées
, obter sua transformada pela relacio
19) Dada a equacio x? = 2x? + x +
x+2
A A 2047 20
portanto, eliminando os paränteses, temos:
Pay y -By? +21y-17=0
2%) Obter a transformada que apresenta como raizes as rafzes de Gx? + x? ~
-x+1= 0 diminufdas de 3,
Neste caso, temos
equagdo primitiva: Pyix) = Gx? +x? -x+1=0
relacio de transtormagáo: y = x - 3
ento:
PAC = Pıly+ 3) = Bly + 8 + (y +3)? ly + 314 1-0
portanto, eliminando os parénteses, temos
Pa (y) = By? + 46y? + 140y + 142-0
Notemos que os dois resultados obtidos neste item também poderiam sar
indicados de outra forma.
yo) [Prod a
Pax + 2) = (4 0° = Blx #2)? + 210004 2) 17
127-F
114, Definicio
Cromase trastormagño muti ï
do mitten ana em que à relie de tne
formaçäo & 2 ve ae
yekex tk #0)
Dada a equagäo primitiva P,(x)=0, substituind x por Ye fezendo as
simplificacáes, obtemos a transformada Paty) = 0, cujas rafzes s30 precisamente
as raízes de P;(x) : 0 multiplicadas por k.
115, Aplicaçäes
_ 18 Dada a equagdo x? 2x7 4 x # 10, obter sua transformada pele rela:
slo y = 2x.
ATA
arc raro
Portanto, eliminando 05 denominadores, ver
Pslyb= Y? = By? + dy +
2%) Obter a transformada que apresenta como raizes os simétricos dos
triples das raies de 5x? #32 - x + 1
Neste caso, temos:
equaedo primitiva: P(x)
relacio de
entdo:
ET
Pech
Portanto, eliminando os denominadores, vem:
Pan
Sy? Hay +9y+ 2720
126-F
111. TRANSFORMAGAO ADITIVA
116, Definigäo
Chamase transformac3o aditiva aquela em que a relacio de transformacio &
y=xta
Dade a equagäo primitiva P(x) = 0, substituindo x por y-a e fazendo as
simplificacóes, obtemos a transtormada Paly) =D, cujas raízes sño precisamente
as raizes de Pı[x} =0 acrescidas de a, sendo a um número complexo qualquer.
117. Aplicagées
, obter sua transformada pela relacio
19) Dada a equacio x? = 2x? + x +
x+2
A A 2047 20
portanto, eliminando os paränteses, temos:
Pay y -By? +21y-17=0
2%) Obter a transformada que apresenta como raizes as rafzes de Gx? + x? ~
-x+1= 0 diminufdas de 3,
Neste caso, temos
equagdo primitiva: Pyix) = Gx? +x? -x+1=0
relacio de transtormagáo: y = x - 3
ento:
PAC = Pıly+ 3) = Bly + 8 + (y +3)? ly + 314 1-0
portanto, eliminando os parénteses, temos
Pa (y) = By? + 46y? + 140y + 142-0
Notemos que os dois resultados obtidos neste item também poderiam sar
indicados de outra forma.
yo) [Prod a
Pax + 2) = (4 0° = Blx #2)? + 210004 2) 17
127-F
29 [Prise sexe
Pal = 8) = Bb 3)? + 46e 3)? + 140(x - 3) + 142
onde Pi) = Pzx + al para todo valor complexo atribuido a x, pois, desenvolvendo
as poténcias indicadas em Pstx + a), obtemos Py{x}. Podemos dizer entäo que
Pb) e Patx + a) sio funçBes polinomisis idénticas.
118. Teorema
Dada a equacio primitiva
TH + aux + ap =O
a sue transformada aditiva 6
Pabctal = Ral + Ra.
(alle bata) +. +R, eo) + Ro = 0
‘onde Ro, Ri, Rau... Bn sio 05 restos das divisdes Py, e sucessivos quocientes,
por x + a,
Demonstracáo
Provemos que Py (x) e Palx+ a) sio funçües polinomiais idénticas:
2) quando dividimos P, por x +2, obtemos quociente Qy (de grau n= 1}
e resto Ro (constante) tais que
Pye Qy (xt ah Re ©
2%) quando dividimos Go por x+ 3, obtemos quociente Qi (de grau n= 2}
e resto Ry tais que
Q =O, + (x ta) +R,
€ suttitindo (2) em (rea:
Pre Qu + (era Ryo (eta) Ro
3%) quando dividimos Q, por x + a, obtemes quociente Q (de grau n- 3)
e resto Ry tais que:
Où + Q + ix + a) + Ry 10)
128-F
ce substituindo (3) em (2), resulta
Pac Gye ix ta)? + Ra «x tal? + Ry = fx Had + Ro ®
e assim por diante até:
42) quando dividimos Op.» por x+a, obtemos quociente Op, (de grau
0) e resto Raat tals que:
= x + 2) + An ©
& sutiuindo (5) em nue
Py =O gar + KEI Ana = fx a). HAL + Oca) + Ro
A divisdo de Op por x à dé quociente 0 e resto Ru, portanto Op
= Ry, resultando:
A
O que prove a tese
119, Dispositivo prático de Horner-Ruffini
Do teorems amer rete que a anéormado aditivo de Pl) 0, de
rau n 4 si poos n+ rotor du divider do polinamio P, © sucesos
Ge por xa podem se fs rapidamente
soins por 2 As some dies por + ped
Som aux do dspostwo. Ge Morne Aufn temelante a0 de Brot Aufn
Pi
Goi | Ancı
An
ner
Pal = 8) = Bb 3)? + 46e 3)? + 140(x - 3) + 142
onde Pi) = Pzx + al para todo valor complexo atribuido a x, pois, desenvolvendo
as poténcias indicadas em Pstx + a), obtemos Py{x}. Podemos dizer entäo que
Pb) e Patx + a) sio funçBes polinomisis idénticas.
118. Teorema
Dada a equacio primitiva
TH + aux + ap =O
a sue transformada aditiva 6
Pabctal = Ral + Ra.
(alle bata) +. +R, eo) + Ro = 0
‘onde Ro, Ri, Rau... Bn sio 05 restos das divisdes Py, e sucessivos quocientes,
por x + a,
Demonstracáo
Provemos que Py (x) e Palx+ a) sio funçües polinomiais idénticas:
2) quando dividimos P, por x +2, obtemos quociente Qy (de grau n= 1}
e resto Ro (constante) tais que
Pye Qy (xt ah Re ©
2%) quando dividimos Go por x+ 3, obtemos quociente Qi (de grau n= 2}
e resto Ry tais que
Q =O, + (x ta) +R,
€ suttitindo (2) em (rea:
Pre Qu + (era Ryo (eta) Ro
3%) quando dividimos Q, por x + a, obtemes quociente Q (de grau n- 3)
e resto Ry tais que:
Où + Q + ix + a) + Ry 10)
128-F
ce substituindo (3) em (2), resulta
Pac Gye ix ta)? + Ra «x tal? + Ry = fx Had + Ro ®
e assim por diante até:
42) quando dividimos Op.» por x+a, obtemos quociente Op, (de grau
0) e resto Raat tals que:
= x + 2) + An ©
& sutiuindo (5) em nue
Py =O gar + KEI Ana = fx a). HAL + Oca) + Ro
A divisdo de Op por x à dé quociente 0 e resto Ru, portanto Op
= Ry, resultando:
A
O que prove a tese
119, Dispositivo prático de Horner-Ruffini
Do teorems amer rete que a anéormado aditivo de Pl) 0, de
rau n 4 si poos n+ rotor du divider do polinamio P, © sucesos
Ge por xa podem se fs rapidamente
soins por 2 As some dies por + ped
Som aux do dspostwo. Ge Morne Aufn temelante a0 de Brot Aufn
Pi
Goi | Ancı
An
ner
120. Exemplos
Resposta: (x +2)? - 8{x + 2) + 21x +2) ~17=0
22) Desenvolver o polinómio Py
de x-3.
Bx? +37 x 41 segundo as poténcias
4
16 47 [1-8
sa] 0-7
46 = Fy
Ry
Resposta: Py = 5x3)? + 46(x - 3)? + 140(x - 3) + 142
3%) Dada a equacdo x°~x*+9x7 4 1=0, obter ume equagio cujas raizes
sejam as rafzes da equacdo dada acrescidas de 1.
Vamos determinar a transformada aditiva através da relagdo y = x + 1.
10 1 o 3 ot
A Ja
TRATA
CIA E
CA
DRE
1 -6
1
Resposta: Gy" + 14y4 = 16y 4 Tay? - By +
mor
EXERCÍCIOS
£.261 Quai € à equecio polinamial cujasrafze so iguas ás rales dn equacio.
Pin) ento 2a à ut 4 + =O
across de 508?
Solugto
wt Xe D portamte x= À, endo:
À ler de wanstormarfo 6 va x Xe Do 2. emo:
My Wyse read
CORTE Myo Ws vai DEE TER
Eliminando os denominadares, amos: Paly) = 16y + 4By? + 108y2 + 216y + 405 0
Resposta: — 1699 + 4899 + 10By1 + 216y + 405 «0
1.262 Determinar a ralagdo de trarsformagéo mesiente à qual y2-12y+16=0 é uma
transformada multiplicative de © - 3x + 2 «0.
Solugio
Temor: Pyle) = 30 3042-0, Palys
127416 0 yaks
Oeteminmer K fom BI: ta = PAUL 2 Lao
Eliminando os danomradores e ¡sentando com Pal) emos.
y? Skly + 2k) ey? 12y + 16 «0
portance: tas = Ku?
we ke?
Resposta: y Ze
1283 Obter uma enuneo eus rares sjem o quidruplo des raies de x? - x? + 2-3 «0.
1.264 Ortorminar 3 teanstarmads aditivo de xi +2x2 + 3x - 6 = 0 desprovida de termo do
segundo grau.
Solugso
A uenstormada aditivo 6 Ry bet 3194 Ra en +012 + Re (x ah + Ro 20
Aplicando Horner-Ruffini, var
1. 2 3 6
AAA A
7 2-9 ] arar
ET zen
vor
131-F
Resposta: (x +2)? - 8{x + 2) + 21x +2) ~17=0
22) Desenvolver o polinómio Py
de x-3.
Bx? +37 x 41 segundo as poténcias
4
16 47 [1-8
sa] 0-7
46 = Fy
Ry
Resposta: Py = 5x3)? + 46(x - 3)? + 140(x - 3) + 142
3%) Dada a equacdo x°~x*+9x7 4 1=0, obter ume equagio cujas raizes
sejam as rafzes da equacdo dada acrescidas de 1.
Vamos determinar a transformada aditiva através da relagdo y = x + 1.
10 1 o 3 ot
A Ja
TRATA
CIA E
CA
DRE
1 -6
1
Resposta: Gy" + 14y4 = 16y 4 Tay? - By +
mor
EXERCÍCIOS
£.261 Quai € à equecio polinamial cujasrafze so iguas ás rales dn equacio.
Pin) ento 2a à ut 4 + =O
across de 508?
Solugto
wt Xe D portamte x= À, endo:
À ler de wanstormarfo 6 va x Xe Do 2. emo:
My Wyse read
CORTE Myo Ws vai DEE TER
Eliminando os denominadares, amos: Paly) = 16y + 4By? + 108y2 + 216y + 405 0
Resposta: — 1699 + 4899 + 10By1 + 216y + 405 «0
1.262 Determinar a ralagdo de trarsformagéo mesiente à qual y2-12y+16=0 é uma
transformada multiplicative de © - 3x + 2 «0.
Solugio
Temor: Pyle) = 30 3042-0, Palys
127416 0 yaks
Oeteminmer K fom BI: ta = PAUL 2 Lao
Eliminando os danomradores e ¡sentando com Pal) emos.
y? Skly + 2k) ey? 12y + 16 «0
portance: tas = Ku?
we ke?
Resposta: y Ze
1283 Obter uma enuneo eus rares sjem o quidruplo des raies de x? - x? + 2-3 «0.
1.264 Ortorminar 3 teanstarmads aditivo de xi +2x2 + 3x - 6 = 0 desprovida de termo do
segundo grau.
Solugso
A uenstormada aditivo 6 Ry bet 3194 Ra en +012 + Re (x ah + Ro 20
Aplicando Horner-Ruffini, var
1. 2 3 6
AAA A
7 2-9 ] arar
ET zen
vor
131-F
Para mio ocorrar termo do segunda grau, devemos ter
Resposta: 2Iy3 + 454-179 - 0
16265 Determinor a transtormoda de Zu x? +x-1 «0 mediante a regio de wandten“
macdo y=x=2
F.266 (EPUSP-61) Dade uma equacio algtorica em x e tendo y=x-
e ha euro transformado am y admit raz rule? (usiigue)
paro que valores
F.267 Determinar a relacio de tronelgrmacio mediante
qual y + 997 + 26y 4252 0 4
‘uma tapsformacs adtiva de x 12 0.
Soluséo
Tomos: Pyle) «P= + 12 0, Palyh VA + 9V2 + 20y +2540, y=x ta
Aglicando Horner-Rutfin, ver:
a) a 1
Taper
a [nm
CEL
17%
portant
est ie 2s
36-1226 —
tas 8
Resposta: y=x-2
F.268 Dado a equacio x? - 8x2 + 4x - 6 - 0, determinar relacio de
‘qual se obtem sua transtorno y? + y =4 0
F.268 (MACK-SA) Na divisio de um polindmia Pix} peto binomio do 1% grau fx) pelo
método de RutliniMorner achowse:
Als o 1 e e
3 7 Fon
Oetorminar Ple, Ole), REx) € fl.
132-F
Iv. TRANSFORMAGAO RECIPROCA
121. Definigäo
Chamase transtormacáo recíproca aquela em que a relacio de transtor-
macáo és
yeh ago
Dada a equscdo primitive Py lx) =0, subsituindo x por I # farendo as
simplificacóss, obtemos a transformada P3(y) = O, cujas raízes o precisamente os
inversos das raízes de PLL
122. Aplicagées
12) Dada a equagio x? - 2x7 + x + 1 = 0, obter sua transformada pela relapáo
rayo
Bat rc:
y
1
4434120 = Py
isto y
2%) Obrer à transformada que apresenta como raízes os inversos das raízes
de BO HF
equicio primitiva: Py bx
relagáo de translormagio: Y ==]
A ua
Pld = PII) = BIT? +L
Y
123. Observemos que, para obter a transformada recíproca, basta inverter total
mente a ordem dos coeficientes da equacio primitiva e trocar x par y
Prd à ax" tp Ea TA apro = D
Poly) = any" tay + apy? +2. + an.
133
Resposta: 2Iy3 + 454-179 - 0
16265 Determinor a transtormoda de Zu x? +x-1 «0 mediante a regio de wandten“
macdo y=x=2
F.266 (EPUSP-61) Dade uma equacio algtorica em x e tendo y=x-
e ha euro transformado am y admit raz rule? (usiigue)
paro que valores
F.267 Determinar a relacio de tronelgrmacio mediante
qual y + 997 + 26y 4252 0 4
‘uma tapsformacs adtiva de x 12 0.
Soluséo
Tomos: Pyle) «P= + 12 0, Palyh VA + 9V2 + 20y +2540, y=x ta
Aglicando Horner-Rutfin, ver:
a) a 1
Taper
a [nm
CEL
17%
portant
est ie 2s
36-1226 —
tas 8
Resposta: y=x-2
F.268 Dado a equacio x? - 8x2 + 4x - 6 - 0, determinar relacio de
‘qual se obtem sua transtorno y? + y =4 0
F.268 (MACK-SA) Na divisio de um polindmia Pix} peto binomio do 1% grau fx) pelo
método de RutliniMorner achowse:
Als o 1 e e
3 7 Fon
Oetorminar Ple, Ole), REx) € fl.
132-F
Iv. TRANSFORMAGAO RECIPROCA
121. Definigäo
Chamase transtormacáo recíproca aquela em que a relacio de transtor-
macáo és
yeh ago
Dada a equscdo primitive Py lx) =0, subsituindo x por I # farendo as
simplificacóss, obtemos a transformada P3(y) = O, cujas raízes o precisamente os
inversos das raízes de PLL
122. Aplicagées
12) Dada a equagio x? - 2x7 + x + 1 = 0, obter sua transformada pela relapáo
rayo
Bat rc:
y
1
4434120 = Py
isto y
2%) Obrer à transformada que apresenta como raízes os inversos das raízes
de BO HF
equicio primitiva: Py bx
relagáo de translormagio: Y ==]
A ua
Pld = PII) = BIT? +L
Y
123. Observemos que, para obter a transformada recíproca, basta inverter total
mente a ordem dos coeficientes da equacio primitiva e trocar x par y
Prd à ax" tp Ea TA apro = D
Poly) = any" tay + apy? +2. + an.
133
‘Assim, por exemplo, temos:
Prd = x + 2x 43x? + 4x + Ex + 6 2 0
Palo = Gy! + by ta ay? + 3y? + 2y+ 120
exercicios
270 Dada a equacio x + 3x2 + 5x +1 =
¿determinar sus transformac
Solo
Temes
PO eater EN ESS
IO
A
vr Y Y o
iminando os donominadores, tomos:
Panne 420
Resposa: y +53 +32 41 +0
ZT Obter uma equacSo cujas rafzes ejam os inversos dos afzer de:
Bet + Da 49x-200,
5.272 Determinar a >, © de modo que a equecso
DEI PER + 2nd Pen
seo squivalente à u transtormach recíproca.
Solugo
12) Vamos obter a transformada recíproca:
1
ari areas
y yay
imoé aby sey? 42 + By <y uO
221 A condicio para que sjam équivalentes 6:
7
mio temor att, 22-26 e ca
Repose: 0d 002 où ant, bo 5 ene?
134-F
v. EQUAÇOES RECIPROCAS
124, Definigéo
Uma equeçäo polinomial Pix} =0 6 chamada recíproca se, e somente se,
1
é equivalente à sua transformada recíproca Pl
125, Teorema
Dada a equacio recíproca Pix} =0, se @ $ uma raiz com multiplicidade m,
dede,
ento À tar com a memo ma
Oemenarse
da imos que 1.0 40 um ride Pn eno I ide rar
met resp Pt) 0, tendo a e a mero mund. Se PH 0
€ equivalente a P(L; = 0, entäo toda raiz da segunda também & reiz de primeire,
portanto, 4 é raiz de Pix) =0.
126. O teorema anterior sugere um processo para construir equagdes recíprocas
baste formar a equacio tomando o cuidado de a cada raiz a fazer corresponder ume
Lom à mesma mutige de
Exomplos
19) PO =8lx-2)(x- 4) =D é uma equacdo recíproca pois
2
Pic = 4x6 = 10 + 4» 0
ermano pao A g
135-F
Prd = x + 2x 43x? + 4x + Ex + 6 2 0
Palo = Gy! + by ta ay? + 3y? + 2y+ 120
exercicios
270 Dada a equacio x + 3x2 + 5x +1 =
¿determinar sus transformac
Solo
Temes
PO eater EN ESS
IO
A
vr Y Y o
iminando os donominadores, tomos:
Panne 420
Resposa: y +53 +32 41 +0
ZT Obter uma equacSo cujas rafzes ejam os inversos dos afzer de:
Bet + Da 49x-200,
5.272 Determinar a >, © de modo que a equecso
DEI PER + 2nd Pen
seo squivalente à u transtormach recíproca.
Solugo
12) Vamos obter a transformada recíproca:
1
ari areas
y yay
imoé aby sey? 42 + By <y uO
221 A condicio para que sjam équivalentes 6:
7
mio temor att, 22-26 e ca
Repose: 0d 002 où ant, bo 5 ene?
134-F
v. EQUAÇOES RECIPROCAS
124, Definigéo
Uma equeçäo polinomial Pix} =0 6 chamada recíproca se, e somente se,
1
é equivalente à sua transformada recíproca Pl
125, Teorema
Dada a equacio recíproca Pix} =0, se @ $ uma raiz com multiplicidade m,
dede,
ento À tar com a memo ma
Oemenarse
da imos que 1.0 40 um ride Pn eno I ide rar
met resp Pt) 0, tendo a e a mero mund. Se PH 0
€ equivalente a P(L; = 0, entäo toda raiz da segunda também & reiz de primeire,
portanto, 4 é raiz de Pix) =0.
126. O teorema anterior sugere um processo para construir equagdes recíprocas
baste formar a equacio tomando o cuidado de a cada raiz a fazer corresponder ume
Lom à mesma mutige de
Exomplos
19) PO =8lx-2)(x- 4) =D é uma equacdo recíproca pois
2
Pic = 4x6 = 10 + 4» 0
ermano pao A g
135-F
Lug,
KAREL TEE TEE STE
22) Pix)
© & uma equagio recíproca
que também pode ser escrita assim:
18% 21 - 94x? - 214+ 18-0,
32) Pla) = 2 > la Wx Lx 21 +0 6 uma equacio recíproco que tam-
bém pode ser escrita assim.
2x 11 230 230 + x= 20,
Notemos neste exemplo que à raiz a
correspondente a raiz
49) Pix) = (x- 2) {x 3) = x? - 5x 4 6=0 ndo é equagio recíproca por aprı
sentar ac 2 3 do compute de rats ner
39 Pi pente do ndo 6 samelo rcpoco os as aa 2 à
1 o
5 Po tém a mesma multiplicidad.
127. Já aprendemos a reconhecer se uma equagio colocada na forma fatorade 6
ou náo € recíproca. Ocorre, entretanto, que as equagdes polinomiais raramente
aparecem fatoradas. Para fazer o reconhecimento de equagées recíprocas vem o
seguinte:
128, Teorema (do reconhecimento}
A condiséo necessária e suficiente para que uma equacdo Pix) - O sejo
recíproca à que os coeficientes equidistantes dos extremos sejam iguais ou
simétricos.
Demostrapáo
1) Consideremos & equaçäo polinomial de grau n:
136-F
PO = ap + ape + px cet ax? taux tag
(=
eatidistames
Diremos que an e as sio 05 coeficientes extremos, ay € as sio eqüidis
tantes dos Extremos, aps € a2 também, etc. De uma maneira geral, An-k e
au {k <n) sío equidistantes dos extremos.
2) Condigäo suficiente
Se a ne ve do mo KID KE Sen ue PEL
equivale a Pix) = 0.
Baste multiplicar PLL) =0, membro 3 membro, por +1 que obtemos
260 = 0
3) Condicto necessária
Provemos que se
PO ap ET a à aux an =0
e PL ge + aa à Gp to rk tan 0
530 equivalentes, entäo an = ax para todo k=O, 1,2, .... N.
Devido à equivaléncia das equaróes, os coeficientes devem ser proporcionais,
isto é:
ën=K- 10) | Tomando as igualdades (K) e IK), temos:
aa kay u Bn Ko a € km ke ant
ea koa 2)
entio
A dy | ane a
san (19 | portanto
on (0) | Imker
e concluimos a tese: anak = #8.
KAREL TEE TEE STE
22) Pix)
© & uma equagio recíproca
que também pode ser escrita assim:
18% 21 - 94x? - 214+ 18-0,
32) Pla) = 2 > la Wx Lx 21 +0 6 uma equacio recíproco que tam-
bém pode ser escrita assim.
2x 11 230 230 + x= 20,
Notemos neste exemplo que à raiz a
correspondente a raiz
49) Pix) = (x- 2) {x 3) = x? - 5x 4 6=0 ndo é equagio recíproca por aprı
sentar ac 2 3 do compute de rats ner
39 Pi pente do ndo 6 samelo rcpoco os as aa 2 à
1 o
5 Po tém a mesma multiplicidad.
127. Já aprendemos a reconhecer se uma equagio colocada na forma fatorade 6
ou náo € recíproca. Ocorre, entretanto, que as equagdes polinomiais raramente
aparecem fatoradas. Para fazer o reconhecimento de equagées recíprocas vem o
seguinte:
128, Teorema (do reconhecimento}
A condiséo necessária e suficiente para que uma equacdo Pix) - O sejo
recíproca à que os coeficientes equidistantes dos extremos sejam iguais ou
simétricos.
Demostrapáo
1) Consideremos & equaçäo polinomial de grau n:
136-F
PO = ap + ape + px cet ax? taux tag
(=
eatidistames
Diremos que an e as sio 05 coeficientes extremos, ay € as sio eqüidis
tantes dos Extremos, aps € a2 também, etc. De uma maneira geral, An-k e
au {k <n) sío equidistantes dos extremos.
2) Condigäo suficiente
Se a ne ve do mo KID KE Sen ue PEL
equivale a Pix) = 0.
Baste multiplicar PLL) =0, membro 3 membro, por +1 que obtemos
260 = 0
3) Condicto necessária
Provemos que se
PO ap ET a à aux an =0
e PL ge + aa à Gp to rk tan 0
530 equivalentes, entäo an = ax para todo k=O, 1,2, .... N.
Devido à equivaléncia das equaróes, os coeficientes devem ser proporcionais,
isto é:
ën=K- 10) | Tomando as igualdades (K) e IK), temos:
aa kay u Bn Ko a € km ke ant
ea koa 2)
entio
A dy | ane a
san (19 | portanto
on (0) | Imker
e concluimos a tese: anak = #8.
Exemplos
So equacôes recíprocas:
19) 4x? 10x + 4 = 0
U
29) 18% - 2159 - 94x? - 21K + 182 0
==)
39) DEI + 280 287 11 20
2
49 3
sx +5 +320
que pode ser escrita
JD ext + a SE + 3
Para facilitar a resolucdo classficaremos as equacdes recíprocas em:
2) equapdes recípracas de 12 espécie: aquelas em que os cosficientes eali-
distantes dos extremos s80 igual
Exemplos: 19) 30 + 4x? +4x+3=0
29) Dé 100 25 = 11x47 20
DI equagdes reciprocas de 28 espéci
distantes dos extremos s30 simétricos:
aquelas em que os co
icientes equi
an "80, mas ran ayes ed, à
Exemplos: 19) 7x2 - 6x? +6x-7=0
29) dx 5x? + Bx -4 = 0
138F
130. Propriedades
19) Toda equaçäo Pix) =0, reciproca de 2% espécie, admite a raiz 1. A
ivisio de P por x - 1 conduz a ume equacio recíproca de 12 espécie.
De fato, se Pix) =0 apresente coeficientes eqüidistantes dos extremos
simétricos, entäo a soma dos coeficientes 6 nula, isto €
PU) = 8n + apa tapa too tag tay +800 € 1 à rai.
Aplicando o dispositivo prätico de Briot-Ruffini, obtemos:
ar a a a a a aji
dm nt 2 +
CI Ont anid en | 0 |
Em]
portanto P(x) = (x= 1) + Qlx
0 © Ox) =0 é equacdo recíproca de 13 espécie
Exemplo
A rquacio Axt - 5x) + 5x - 4 = 0 admite araiz 1 6, dividindo o 19 membro
por xl:
4 o 5
a o
recaímos em (x 1) (4x?
uo
ax
0 sendo Qlx) de 12 espicie
22) Tode equeco Pix)
raiz LA
e grau par.
, recíproca de 12 espécie e grau Ímpar, admite à
ido de P por x +1 conduz a uma equacio recíproca de 1? espécio
De fato, como Pix) - 0 apresenta número par de coeficientes iguais dois
a dois, temos:
Plt} = man + ans ~ nea * 2-16 iz
139-F
So equacôes recíprocas:
19) 4x? 10x + 4 = 0
U
29) 18% - 2159 - 94x? - 21K + 182 0
==)
39) DEI + 280 287 11 20
2
49 3
sx +5 +320
que pode ser escrita
JD ext + a SE + 3
Para facilitar a resolucdo classficaremos as equacdes recíprocas em:
2) equapdes recípracas de 12 espécie: aquelas em que os cosficientes eali-
distantes dos extremos s80 igual
Exemplos: 19) 30 + 4x? +4x+3=0
29) Dé 100 25 = 11x47 20
DI equagdes reciprocas de 28 espéci
distantes dos extremos s30 simétricos:
aquelas em que os co
icientes equi
an "80, mas ran ayes ed, à
Exemplos: 19) 7x2 - 6x? +6x-7=0
29) dx 5x? + Bx -4 = 0
138F
130. Propriedades
19) Toda equaçäo Pix) =0, reciproca de 2% espécie, admite a raiz 1. A
ivisio de P por x - 1 conduz a ume equacio recíproca de 12 espécie.
De fato, se Pix) =0 apresente coeficientes eqüidistantes dos extremos
simétricos, entäo a soma dos coeficientes 6 nula, isto €
PU) = 8n + apa tapa too tag tay +800 € 1 à rai.
Aplicando o dispositivo prätico de Briot-Ruffini, obtemos:
ar a a a a a aji
dm nt 2 +
CI Ont anid en | 0 |
Em]
portanto P(x) = (x= 1) + Qlx
0 © Ox) =0 é equacdo recíproca de 13 espécie
Exemplo
A rquacio Axt - 5x) + 5x - 4 = 0 admite araiz 1 6, dividindo o 19 membro
por xl:
4 o 5
a o
recaímos em (x 1) (4x?
uo
ax
0 sendo Qlx) de 12 espicie
22) Tode equeco Pix)
raiz LA
e grau par.
, recíproca de 12 espécie e grau Ímpar, admite à
ido de P por x +1 conduz a uma equacio recíproca de 1? espécio
De fato, como Pix) - 0 apresenta número par de coeficientes iguais dois
a dois, temos:
Plt} = man + ans ~ nea * 2-16 iz
139-F
Aplicando o dispositivo prético de Briot-Ruffini, obtemos:
CS an a a |
A A TN
\
Ox}
portanto Pix) = (x + 1) + Q(x) e Q(x} é equaçio recíproca de 1% ospécie
e grau par
Exemplo
A equacio 3x? + 4x? + 4x + 3 = O admite raiz -1 8, dividindo o 19 membro
por x + 1:
3 ı 3 10
recafmos em {x + IB +x+3)=0 sendo Qlx) de 1? espécie e grau pa
+
at
131, Equaçäes de 19 espécie o
au par
Vamos rasolver a aquagdo P(x) 20 onde any = a (OS k <n) e n=2p
{n é par). Temos:
DREI Er
ET age? +
a art
dividindo ambos os membros por XP, tamos
AE Tap ap ag apes E+
1
1 1 1
madre tate
=. tt
associando 0s pares de termos eqüié
istantes dos extremos, temos:
140-F
1 1 1
aot + Late ra tye it
pita gal tab? So)
tyabtsdreaites Hayes
ta
+ a equacio fica:
dp Papa + apeaiv?=2) + agua = By) +...80 (de grau p=
132. Exemples
19) Resolver a oquagäo 6x* - 35x? + 62x? - 35x + 6 = 0.
Tara
en doo Lio me out eh yas hen
er eya yc eS ow y=
A eax = sd
se xt la 5, no 2x 5x e x=2 où x= +
1.10 PER 5 -+
sexe Le D entto ax -10x ex-3 où xe
i yi
portanto S=(2, 4.3. à
29) Resoiver a equagiio Ext - 13x5 - Gx! + 26x? + 6x? - 13x + 6 = 0.
Tomos:
1900 +,
sm,
CRETE
Gly? = Sy) = 18ly2 = 2) -6y+26=0=> Gy? - 134 - 24y + 62 0
1-F
CS an a a |
A A TN
\
Ox}
portanto Pix) = (x + 1) + Q(x) e Q(x} é equaçio recíproca de 1% ospécie
e grau par
Exemplo
A equacio 3x? + 4x? + 4x + 3 = O admite raiz -1 8, dividindo o 19 membro
por x + 1:
3 ı 3 10
recafmos em {x + IB +x+3)=0 sendo Qlx) de 1? espécie e grau pa
+
at
131, Equaçäes de 19 espécie o
au par
Vamos rasolver a aquagdo P(x) 20 onde any = a (OS k <n) e n=2p
{n é par). Temos:
DREI Er
ET age? +
a art
dividindo ambos os membros por XP, tamos
AE Tap ap ag apes E+
1
1 1 1
madre tate
=. tt
associando 0s pares de termos eqüié
istantes dos extremos, temos:
140-F
1 1 1
aot + Late ra tye it
pita gal tab? So)
tyabtsdreaites Hayes
ta
+ a equacio fica:
dp Papa + apeaiv?=2) + agua = By) +...80 (de grau p=
132. Exemples
19) Resolver a oquagäo 6x* - 35x? + 62x? - 35x + 6 = 0.
Tara
en doo Lio me out eh yas hen
er eya yc eS ow y=
A eax = sd
se xt la 5, no 2x 5x e x=2 où x= +
1.10 PER 5 -+
sexe Le D entto ax -10x ex-3 où xe
i yi
portanto S=(2, 4.3. à
29) Resoiver a equagiio Ext - 13x5 - Gx! + 26x? + 6x? - 13x + 6 = 0.
Tomos:
1900 +,
sm,
CRETE
Gly? = Sy) = 18ly2 = 2) -6y+26=0=> Gy? - 134 - 24y + 62 0
1-F
Pesquisando raizes racionais dessa equacio obtemos que as raizes so.
13
122 ou y 2 où =
1
se x+ 2, decorre x = 1 traiz dupla)
1
se xt Lent, decone x = =1 (iz dupls
a xttB 3
x 6 Qu xs
portanto S= 1, -1,
123. Resume
19) Se 6 dada uma equicdo recíproca de 2? espácie e grau impar, sabemos
‘que uma das raízes & 1 e, dividindo por x= 1, recaímos numa equacáo de 13
espécie e grau par.
29) Se é dada uma equaçäo recíproca de 28 espécie e grau par, sabemos que
uma das raízes à 1 e, dividindo por x - 1, recaimos numa equacäo de 19 espécie
8 grau impar. Nesta, uma das raízes é -1 e, dividindo por x + 1, recaímos numa
equecio de 1? espécie e grau par.
30) Se 6 dada uma equacäo recíproca de 12 espácia e grau ímpar, sabemos
que uma das rafzes 6 -1 6, dividindo por x + 1, recaimos numa equacio de 12
espécio e grau par.
Assim, todas as equacóes recíprocas acabam recaindo em equaçäo de 19
espécie e grau par.
exencicios
F.273 Resolver à sauagdo recíproca: Gx3=19x2 1199-50
Solo
19) Trata de ums equacin de 2% mpécie, portanto, 1 $ raiz. Apliquemos Bot
6 0 w <
6 a % oo
salmos ns equacto Gx? - 13% +6 =
142-F
22) Aplicando a I6rmula ca equacáo do 29 grau, temos
F27A Resolver à equecio reciproca: 2x4 = 4x3 + 4x-20,
Solo
19) Tratase de equacdo de 2? espdeie com grau par portamo admite as rates Y ©
1: Apliquemos Brit
12 «4 0 4 -
ala 2 = 2 [>
T 4 2 ©
Recaimos om 23 - 4x + 2 20.
2°) Aplicando a formula de equacio do 22 grau, temos: x
Remo: $= {1, 21}
275 Mnolve à equacio recíproca: x 2 Sx! IO + Be à 0.
Sotucto
19) 2 pic 1 6 rie
22) Recaimos om x4 = 4x0 4 5x2 = 4x +1 20 que 6 de 19 espécie
fquemes à tenia uta
Mers detre —
was mar
1
Mala tones me
wissen as
Liv
Rewpona: Se {1
143-F
13
122 ou y 2 où =
1
se x+ 2, decorre x = 1 traiz dupla)
1
se xt Lent, decone x = =1 (iz dupls
a xttB 3
x 6 Qu xs
portanto S= 1, -1,
123. Resume
19) Se 6 dada uma equicdo recíproca de 2? espácie e grau impar, sabemos
‘que uma das raízes & 1 e, dividindo por x= 1, recaímos numa equacáo de 13
espécie e grau par.
29) Se é dada uma equaçäo recíproca de 28 espécie e grau par, sabemos que
uma das raízes à 1 e, dividindo por x - 1, recaimos numa equacäo de 19 espécie
8 grau impar. Nesta, uma das raízes é -1 e, dividindo por x + 1, recaímos numa
equecio de 1? espécie e grau par.
30) Se 6 dada uma equacäo recíproca de 12 espácia e grau ímpar, sabemos
que uma das rafzes 6 -1 6, dividindo por x + 1, recaimos numa equacio de 12
espécio e grau par.
Assim, todas as equacóes recíprocas acabam recaindo em equaçäo de 19
espécie e grau par.
exencicios
F.273 Resolver à sauagdo recíproca: Gx3=19x2 1199-50
Solo
19) Trata de ums equacin de 2% mpécie, portanto, 1 $ raiz. Apliquemos Bot
6 0 w <
6 a % oo
salmos ns equacto Gx? - 13% +6 =
142-F
22) Aplicando a I6rmula ca equacáo do 29 grau, temos
F27A Resolver à equecio reciproca: 2x4 = 4x3 + 4x-20,
Solo
19) Tratase de equacdo de 2? espdeie com grau par portamo admite as rates Y ©
1: Apliquemos Brit
12 «4 0 4 -
ala 2 = 2 [>
T 4 2 ©
Recaimos om 23 - 4x + 2 20.
2°) Aplicando a formula de equacio do 22 grau, temos: x
Remo: $= {1, 21}
275 Mnolve à equacio recíproca: x 2 Sx! IO + Be à 0.
Sotucto
19) 2 pic 1 6 rie
22) Recaimos om x4 = 4x0 4 5x2 = 4x +1 20 que 6 de 19 espécie
fquemes à tenia uta
Mers detre —
was mar
1
Mala tones me
wissen as
Liv
Rewpona: Se {1
143-F
F.276 (TAG) Resolver a equardo ax 21x44 21x74 = 0
F277 Resolver a equagio: ax bxt + (36 - Bah - 130 - 69h + bx = = 0
FL278 Dada equacdo: x6 + Bax5 + (b= 2hx% + (da +b tela + und Ib = 2ahx 1 0
determinar a. b. € de modo que sea recíproca # resolver.
270 Resolver 3 equanio x5 = Ex 4 933 = Qu + 5x -
<0.
280 Resolver a equagio recíproco: Ext Béx? + 10122 - 4x +2 = 0,
Solche
Tratnse de equogfo de 1? espácie a grau par. Facames e dvisdo por x? e spiquemos
9 mudares de sore tl @ de dy y
Tomos BB 101-5412) 08110 me oh» Y
seins brota
By? -21- Say + 101
Be.
Rewolvendo estr
tf one e L$ PEN .
=x2 ww xed
7
1
2 possbitiade: x + À
AE eg wg
Resposta: $= {2,
F.2B1 Resolver a equacfo ZW - à 3x +2 20)
282 (FEIUC-E5) Resolver à aqueos + da x + 1 = 0.
283 (FEIUC-64) Res
1 a equagio: Ext + 36x) + 62x? + 25x + 6 « 0.
F284 (E.ELINS-60) Resolver equicio 2 + 29 + 22 4 2 + 1 2 O no campo complexo
moe que, nums cera ordem, as raíz estío em progreso geométrico
285 Resolver o equacto: y! -4y#+ y+ y2 dy + 1-0.
fs ji
205 Resolver a sauce: HS = À
287 (MACK-53) A soma dos 5 termos de uma P.G. de números rai 484 6 9 soma
dos termos de ordem par é 120. Eserever a P.G,
144-F
CAPÍTULO Y
RAÍZES MÚLTIPLAS
E RAÍZES COMUNS
1. DERIVADA DE UMA FUNGÄO POLINOMIAL
19) Dada a funcio polinomial t: C— € dafinida por:
Had AT o,
onde ay # 0 e n > 0, chamase funcio polinomial derivada de f(x) a fungáo
© > € definida por:
FON a + An = Mann? do 2 +. + a) +0
29 Se fix) = k, Y x € € entáo a funcio polinomial derivada é definida por
fd 0.
135. Exemplos
19H) = 2 +3 — FM) = 1222 + 0-2
Per HOD OA
= 10K +3
N = Txt + Gxt Hr —
ame MK) = be THB BoP +2. Sexe 1e 46x40
Bx) + 18x? + 10x +4
ur
F277 Resolver a equagio: ax bxt + (36 - Bah - 130 - 69h + bx = = 0
FL278 Dada equacdo: x6 + Bax5 + (b= 2hx% + (da +b tela + und Ib = 2ahx 1 0
determinar a. b. € de modo que sea recíproca # resolver.
270 Resolver 3 equanio x5 = Ex 4 933 = Qu + 5x -
<0.
280 Resolver a equagio recíproco: Ext Béx? + 10122 - 4x +2 = 0,
Solche
Tratnse de equogfo de 1? espácie a grau par. Facames e dvisdo por x? e spiquemos
9 mudares de sore tl @ de dy y
Tomos BB 101-5412) 08110 me oh» Y
seins brota
By? -21- Say + 101
Be.
Rewolvendo estr
tf one e L$ PEN .
=x2 ww xed
7
1
2 possbitiade: x + À
AE eg wg
Resposta: $= {2,
F.2B1 Resolver a equacfo ZW - à 3x +2 20)
282 (FEIUC-E5) Resolver à aqueos + da x + 1 = 0.
283 (FEIUC-64) Res
1 a equagio: Ext + 36x) + 62x? + 25x + 6 « 0.
F284 (E.ELINS-60) Resolver equicio 2 + 29 + 22 4 2 + 1 2 O no campo complexo
moe que, nums cera ordem, as raíz estío em progreso geométrico
285 Resolver o equacto: y! -4y#+ y+ y2 dy + 1-0.
fs ji
205 Resolver a sauce: HS = À
287 (MACK-53) A soma dos 5 termos de uma P.G. de números rai 484 6 9 soma
dos termos de ordem par é 120. Eserever a P.G,
144-F
CAPÍTULO Y
RAÍZES MÚLTIPLAS
E RAÍZES COMUNS
1. DERIVADA DE UMA FUNGÄO POLINOMIAL
19) Dada a funcio polinomial t: C— € dafinida por:
Had AT o,
onde ay # 0 e n > 0, chamase funcio polinomial derivada de f(x) a fungáo
© > € definida por:
FON a + An = Mann? do 2 +. + a) +0
29 Se fix) = k, Y x € € entáo a funcio polinomial derivada é definida por
fd 0.
135. Exemplos
19H) = 2 +3 — FM) = 1222 + 0-2
Per HOD OA
= 10K +3
N = Txt + Gxt Hr —
ame MK) = be THB BoP +2. Sexe 1e 46x40
Bx) + 18x? + 10x +4
ur
136. Observemos atentamente o que ocorre com cada termo de f(x) na passagem
para 04h
ae — pe
For E,
en em Fb)
é como se o expoente p de x (em f} passasse a multiplicar o coeficiente a e forse
substituido por p - 1 fuma unidade inferior a pl
137. Teorama
Se Fox) = glx) + h(x), entdo F(x} = grbc) + rich
Demonstracáo
Sejam as fungöes polinomi
Ba Ta ae
Hoel = Bax” + bai”! + Bau? + + Bix + by
Fix) = gba + hoo
= fan + ah + amer + Bon + nes + Da + à
+ lay + bal + (ac + bol
Vamos calcular as fungdes derivadas dessas funçôes:
HARD TI a Ma o
A
PO man + Baba" ln Tape + Data À +
+ (m= lager + base" +... # fay + by)
É evidente que fx) = 900 + Hill
138, Teorema
Sejam as fungóes polinomiais a = ax? e f = bu, Se y = af entáo
Y= 0B + of"
Demonstragio
Tram ern intra" entdo
Y Da a NR + PA = af + af"
146-F
139. Teorema
Sejam as fungóes polinomiais
OD a tan Han a e B= x.
Se fix) = gixif entdo Fx) = gi) + 9008
Demonstracáo
Fazendo a; = ajxi, temos: O6 = Gy + ans tp ++ @ + ao
portanto:
100)
900 = BE (an + Ai + pa tm + + ay)
Ba Zr
entáo, aplicando os dois teoremas anteriores, temes:
140,
bc = (ad + af + lps + aD) + lai + Gad) + +
+ OB + 000") = a + her + diner tt OE +
+ (an + ot ani gb + gif"
Teorema
Sejam as fungdes polinomials
DD m ana" + an a a + ay
HO = Dr + ba + mn +... + bx + by
Se fhe) = glx) + bfx) antdo FO) = gx) + MX) + gle + x).
Demonstragio
Fazendo fi » bix', temos
portanto:
104
+ volo
bx) + bcd = Slim + 9D mr + 9) mea
entáo, aplicando © tworema anterior, temos;
es
A 08m + 908] + Lam + art + lg IRD + aberBal =
00 Bm + Beas + Bm. t+ Bo) + atx Bin + Bina Bi +o Be) =
= a (x) nba) + gfx vb)
147-F
para 04h
ae — pe
For E,
en em Fb)
é como se o expoente p de x (em f} passasse a multiplicar o coeficiente a e forse
substituido por p - 1 fuma unidade inferior a pl
137. Teorama
Se Fox) = glx) + h(x), entdo F(x} = grbc) + rich
Demonstracáo
Sejam as fungöes polinomi
Ba Ta ae
Hoel = Bax” + bai”! + Bau? + + Bix + by
Fix) = gba + hoo
= fan + ah + amer + Bon + nes + Da + à
+ lay + bal + (ac + bol
Vamos calcular as fungdes derivadas dessas funçôes:
HARD TI a Ma o
A
PO man + Baba" ln Tape + Data À +
+ (m= lager + base" +... # fay + by)
É evidente que fx) = 900 + Hill
138, Teorema
Sejam as fungóes polinomiais a = ax? e f = bu, Se y = af entáo
Y= 0B + of"
Demonstragio
Tram ern intra" entdo
Y Da a NR + PA = af + af"
146-F
139. Teorema
Sejam as fungóes polinomiais
OD a tan Han a e B= x.
Se fix) = gixif entdo Fx) = gi) + 9008
Demonstracáo
Fazendo a; = ajxi, temos: O6 = Gy + ans tp ++ @ + ao
portanto:
100)
900 = BE (an + Ai + pa tm + + ay)
Ba Zr
entáo, aplicando os dois teoremas anteriores, temes:
140,
bc = (ad + af + lps + aD) + lai + Gad) + +
+ OB + 000") = a + her + diner tt OE +
+ (an + ot ani gb + gif"
Teorema
Sejam as fungdes polinomials
DD m ana" + an a a + ay
HO = Dr + ba + mn +... + bx + by
Se fhe) = glx) + bfx) antdo FO) = gx) + MX) + gle + x).
Demonstragio
Fazendo fi » bix', temos
portanto:
104
+ volo
bx) + bcd = Slim + 9D mr + 9) mea
entáo, aplicando © tworema anterior, temos;
es
A 08m + 908] + Lam + art + lg IRD + aberBal =
00 Bm + Beas + Bm. t+ Bo) + atx Bin + Bina Bi +o Be) =
= a (x) nba) + gfx vb)
147-F
141, Teorema
Se Nx) = [nb com n > 0, ent Fl) = n + labo ls » 9°60.
Demonstracáo
19) Provase por inducdo finite que se
fhe) = gy bed + a2 bel + gst) + and
entáo
FA = 050203 In + 919293 + Gn + + + 819293 + Bh
29} Supondo yy 98 = = Gg, temos como conseqläneia do an-
terior que se
fix) = glad + glx) + atx) + xi, = labo)"
Hx) = gtx) + gp)» atx) atx) = labo!
endo
FO) = 9°09 9 + 999 tt
999 ».9 + 999» 9,+ 999" + 9, El
= nlggg ge be] gtx)
Ne
142. Aplicaqües
1) Ad dm GD ae 1e Be 1?
o
et
na sa
29 fled = PHS > Pod = Be OP ern)
ie) ee
Em ms
3 Hid HN rar
a Ko
— fd = (DR HD + du à Ba HOY + (A a + NI? + Bx + 5)
¡ea A
RE 5
na ur ae 07
148-F
143, Derivagóes sucess
Vimos no item 134 que, dada a fungio polinomial fx), podemos definir a
fungáo polinomial derivada representada por f(x) ou 11 (x)
A ln Map Al Zap ata
Coma Fix) também é uma funcio polinomial 6 possivel determinar a sua
funço polinomial derivada (f'(x)', obtendo a chamada funcio derivedasegunda de
fo), que será denotada por f(x) ou fx.
Notemos que
Hs la Map + (n= O ap O Te 2 + 85 + 69
A derivad da funcáo polinomial1(%Mx) & chamada funçäo derivada-teresira de
100) e será denotada por f(x) ou f(x}. Notemos que:
E ++
+32. 102
E, assim por diante, a derivada da tuncio polinomial t#{x) 4 chamada
funçäo derivada-erreézima de f(x) e sará danotada por (Mx),
kun
Calcular as derivadas sucessivas da funcio polinomial
fi) = x4 + ut ne,
1M xy 2 48 + 6? + 6x + 4
Hs) = 128 + 12x + 6
(log) = 26x + 12
hx) = 24
SIA
Observemos que a cada derivardo o grau da funcio polinomial diminui de
fade; assim, se Fix) tem grau n entáo todas as derivadas de ordem superior a
sio idonticamente nulas.
148-F
Se Nx) = [nb com n > 0, ent Fl) = n + labo ls » 9°60.
Demonstracáo
19) Provase por inducdo finite que se
fhe) = gy bed + a2 bel + gst) + and
entáo
FA = 050203 In + 919293 + Gn + + + 819293 + Bh
29} Supondo yy 98 = = Gg, temos como conseqläneia do an-
terior que se
fix) = glad + glx) + atx) + xi, = labo)"
Hx) = gtx) + gp)» atx) atx) = labo!
endo
FO) = 9°09 9 + 999 tt
999 ».9 + 999» 9,+ 999" + 9, El
= nlggg ge be] gtx)
Ne
142. Aplicaqües
1) Ad dm GD ae 1e Be 1?
o
et
na sa
29 fled = PHS > Pod = Be OP ern)
ie) ee
Em ms
3 Hid HN rar
a Ko
— fd = (DR HD + du à Ba HOY + (A a + NI? + Bx + 5)
¡ea A
RE 5
na ur ae 07
148-F
143, Derivagóes sucess
Vimos no item 134 que, dada a fungio polinomial fx), podemos definir a
fungáo polinomial derivada representada por f(x) ou 11 (x)
A ln Map Al Zap ata
Coma Fix) também é uma funcio polinomial 6 possivel determinar a sua
funço polinomial derivada (f'(x)', obtendo a chamada funcio derivedasegunda de
fo), que será denotada por f(x) ou fx.
Notemos que
Hs la Map + (n= O ap O Te 2 + 85 + 69
A derivad da funcáo polinomial1(%Mx) & chamada funçäo derivada-teresira de
100) e será denotada por f(x) ou f(x}. Notemos que:
E ++
+32. 102
E, assim por diante, a derivada da tuncio polinomial t#{x) 4 chamada
funçäo derivada-erreézima de f(x) e sará danotada por (Mx),
kun
Calcular as derivadas sucessivas da funcio polinomial
fi) = x4 + ut ne,
1M xy 2 48 + 6? + 6x + 4
Hs) = 128 + 12x + 6
(log) = 26x + 12
hx) = 24
SIA
Observemos que a cada derivardo o grau da funcio polinomial diminui de
fade; assim, se Fix) tem grau n entáo todas as derivadas de ordem superior a
sio idonticamente nulas.
148-F
Exercicios
F.288 Determinar a deriwedo-primoir das seguintes funedes polinomiis:
a) tot 48 Sat vate ea
ras Bega
mart
DENE 3 2
3
el Had 2x2 7x +8)
CADENCE ENT EC ENT
où
2160
a) fh)
M the)
D td
be 1104 2112« + 3)
nat
1-97
(3-208
[EEE + te)
À fxd = 422 G44
M ed = (98 = Be 4 (Zu = 112
F.289 Calcuar à derivado. toosia de fungio patine
Souçio
a zn
Resposta: = 2104
F.200 Calcular » derivada de order p da fungée Hix) = xp Sa
fay 0 lg mat
tn na? —
— 1/60 tna 2 (no te
Rmpore: 4060 = nin = sin = 2)
F.201 Doterminor es derivados sucesivas de Fungo (x) = 7x9 = 112 + 6x - 3.
191 Obtor k pre que se tenho identicomante Ple] + Kix 2) Pal + DE = VB)
22)Caleuir os costicietes a, Be.
28 Mostrar que Pix) 6 de forma (x 1) Qe) a calcular ste polinómio Qt
150-F
het = in 11
(n= pe tia? A,
derived oiave da fungko Fla) » 3x5 + bat + ox) 4 dx? + ex tt.
) Sendo Piel = Bu + 0x2 + bx + 6, padese:
1. RAIZES MÜLTIPLAS
144. Vimos no item 91 que r é raiz da equacio polinomial fix)
cidade m, se
0, com multipi.
fix) = kr) + ghd 2 ait #0
Vamos ver agora dois teoremas que facilitam a pesquise das raizes miltipias
de uma equacic polinomial.
145, Teorema
Se r 6 raiz de multiplicidade m da equagdo fx) = 0, entäo r 6 raiz de multi
plicidade m = 1 da equacdo fx) = D, ande fx) é a derivada-primeira de f(x).
Demorstrasáo
NI Gx) + bee A Gr)
Fi) Sm IU gid = à Gi)
portento, temos:
be = Am + qbo + Le + ofa]
1, como m sale) + =H) + qe 2 m » ale) #0, temos que ré raiz de muttiplicidade
met def (0) = 0.
146, Corolário 1
Se ré raiz de multipi
#60 = 0,
fx) = 0, entáo r à raiz de
= 0,1610 = 0, (MU) = 0
com moltiplicidades m - 1, m - 2, m=3,.... 1, respectivamente, er ndo à aiz de
HO) = 0,
147. Corolário 2
Se r $ raiz das equacdes
fh 2 0, Hx) = 0, FD =, ag HOG
é raiz da equaçäo 1! ba
, entáo a multiplicidade de r em fhe
151-F
F.288 Determinar a deriwedo-primoir das seguintes funedes polinomiis:
a) tot 48 Sat vate ea
ras Bega
mart
DENE 3 2
3
el Had 2x2 7x +8)
CADENCE ENT EC ENT
où
2160
a) fh)
M the)
D td
be 1104 2112« + 3)
nat
1-97
(3-208
[EEE + te)
À fxd = 422 G44
M ed = (98 = Be 4 (Zu = 112
F.289 Calcuar à derivado. toosia de fungio patine
Souçio
a zn
Resposta: = 2104
F.200 Calcular » derivada de order p da fungée Hix) = xp Sa
fay 0 lg mat
tn na? —
— 1/60 tna 2 (no te
Rmpore: 4060 = nin = sin = 2)
F.201 Doterminor es derivados sucesivas de Fungo (x) = 7x9 = 112 + 6x - 3.
191 Obtor k pre que se tenho identicomante Ple] + Kix 2) Pal + DE = VB)
22)Caleuir os costicietes a, Be.
28 Mostrar que Pix) 6 de forma (x 1) Qe) a calcular ste polinómio Qt
150-F
het = in 11
(n= pe tia? A,
derived oiave da fungko Fla) » 3x5 + bat + ox) 4 dx? + ex tt.
) Sendo Piel = Bu + 0x2 + bx + 6, padese:
1. RAIZES MÜLTIPLAS
144. Vimos no item 91 que r é raiz da equacio polinomial fix)
cidade m, se
0, com multipi.
fix) = kr) + ghd 2 ait #0
Vamos ver agora dois teoremas que facilitam a pesquise das raizes miltipias
de uma equacic polinomial.
145, Teorema
Se r 6 raiz de multiplicidade m da equagdo fx) = 0, entäo r 6 raiz de multi
plicidade m = 1 da equacdo fx) = D, ande fx) é a derivada-primeira de f(x).
Demorstrasáo
NI Gx) + bee A Gr)
Fi) Sm IU gid = à Gi)
portento, temos:
be = Am + qbo + Le + ofa]
1, como m sale) + =H) + qe 2 m » ale) #0, temos que ré raiz de muttiplicidade
met def (0) = 0.
146, Corolário 1
Se ré raiz de multipi
#60 = 0,
fx) = 0, entáo r à raiz de
= 0,1610 = 0, (MU) = 0
com moltiplicidades m - 1, m - 2, m=3,.... 1, respectivamente, er ndo à aiz de
HO) = 0,
147. Corolário 2
Se r $ raiz das equacdes
fh 2 0, Hx) = 0, FD =, ag HOG
é raiz da equaçäo 1! ba
, entáo a multiplicidade de r em fhe
151-F
148, Resumo
‘A condicio necesséria e suficiente para que um número r seja raiz com
nultiplicidede m de uma equacáo polinomial f(x) = 0 € que r seja raiz das funcöes
TER e mo seja raiz de tx)"
EXERCÍCIOS
F.294 Verificar sea squecio 263 = Ox? + 12% + 6 = O tem aigurra raiz dupla
Sonde
Toda eventun raiz dupla da equagio dada fix! = O também & raiz da dern or
DL 6x2 = 18x + 12, portant, temor:
2 zent un
Où “candidatos” aie dupla a o 1 002, facamos a verteagio:
ten) = 209 DUNN 12) + 6 11 #0
12) = 212! = 91212 + 122) + 6 = 10 #0
Respon: náo hd riz dupla
F.206 Resolver a squecio 4x3 - 2063 + 33x =
8 + 0, siendo que esi umn raie dupe.
Sowie
Fazondo (x = 4x3 = 20%? + 38% 18, tomos:
El 120 - 40x +38.
‘Arsiz aupla € necomoriomente raiz det! ta, portanto
,
fama :
AT au
soo ca ace ee PO
E
FAO assim, a raiz duple de dla)
oe
3
Pesauisande am 100 tomos: 1
z 7.
6.3: apiquemor Brio
2 E 8
¿fa m»
3
2 Er o
la 2
4 a To
fe cecaimos om 4x - 8 2 0 portanto s outra ra 62.
Repos $= (2.2)
152-F
1.296 Verificar e eauscho x? - ax + 8 = O tom aires qua
1.297 1EPUSP-421 Pesquisrraleas múltiplos na equngdo x - Zu + 3x2 7 + Ex - 2 0,
F.298 Resolver a equagio x} - 5x2 + Ex - 4, tabando que existem raies möltipas.
1.299 Obter as aires múltiplos dos anunedes
a) x8 1200 + 5261-068 + 660)
Di xe + at 2 Rue 4 Be 4e 0
F.300 Resolver a oquagso xt - x?
paid 3,
Det + 94-2 0, sende que admite uma rat de multi
F.901 Determiner 0 e q de modo que a aqusgdo x + x2 qu + p = O admita ume raiz com
mutilicidade 3.
Solche
Fazendo fin) = #492 Han + D, tomes
a + 2e 4 a
1 = 8x +2
Cha -6 #0
A condigio do problema estará write se exinic um número r tal que fl = O,
sh oe 1 = 0. Tomas
ho ms 6x + 2-0 x
1
3
a taco —a-t
1 Hear —arz
poo pr
Responte: p
51302 Deverminos a # de modo que a eqvecso x* - 6x? + ax += O odia uma riz vipla
Sowie
Fotondo tix) = x = 8x + ax +b, temor:
A = Zen.
se omic um número eta! que
A contig do problema estará sist
ty =a Dino a Phe #0. Tomas
ao see? 1220 mene tt
153-F
‘A condicio necesséria e suficiente para que um número r seja raiz com
nultiplicidede m de uma equacáo polinomial f(x) = 0 € que r seja raiz das funcöes
TER e mo seja raiz de tx)"
EXERCÍCIOS
F.294 Verificar sea squecio 263 = Ox? + 12% + 6 = O tem aigurra raiz dupla
Sonde
Toda eventun raiz dupla da equagio dada fix! = O também & raiz da dern or
DL 6x2 = 18x + 12, portant, temor:
2 zent un
Où “candidatos” aie dupla a o 1 002, facamos a verteagio:
ten) = 209 DUNN 12) + 6 11 #0
12) = 212! = 91212 + 122) + 6 = 10 #0
Respon: náo hd riz dupla
F.206 Resolver a squecio 4x3 - 2063 + 33x =
8 + 0, siendo que esi umn raie dupe.
Sowie
Fazondo (x = 4x3 = 20%? + 38% 18, tomos:
El 120 - 40x +38.
‘Arsiz aupla € necomoriomente raiz det! ta, portanto
,
fama :
AT au
soo ca ace ee PO
E
FAO assim, a raiz duple de dla)
oe
3
Pesauisande am 100 tomos: 1
z 7.
6.3: apiquemor Brio
2 E 8
¿fa m»
3
2 Er o
la 2
4 a To
fe cecaimos om 4x - 8 2 0 portanto s outra ra 62.
Repos $= (2.2)
152-F
1.296 Verificar e eauscho x? - ax + 8 = O tom aires qua
1.297 1EPUSP-421 Pesquisrraleas múltiplos na equngdo x - Zu + 3x2 7 + Ex - 2 0,
F.298 Resolver a equagio x} - 5x2 + Ex - 4, tabando que existem raies möltipas.
1.299 Obter as aires múltiplos dos anunedes
a) x8 1200 + 5261-068 + 660)
Di xe + at 2 Rue 4 Be 4e 0
F.300 Resolver a oquagso xt - x?
paid 3,
Det + 94-2 0, sende que admite uma rat de multi
F.901 Determiner 0 e q de modo que a aqusgdo x + x2 qu + p = O admita ume raiz com
mutilicidade 3.
Solche
Fazendo fin) = #492 Han + D, tomes
a + 2e 4 a
1 = 8x +2
Cha -6 #0
A condigio do problema estará write se exinic um número r tal que fl = O,
sh oe 1 = 0. Tomas
ho ms 6x + 2-0 x
1
3
a taco —a-t
1 Hear —arz
poo pr
Responte: p
51302 Deverminos a # de modo que a eqvecso x* - 6x? + ax += O odia uma riz vipla
Sowie
Fotondo tix) = x = 8x + ax +b, temor:
A = Zen.
se omic um número eta! que
A contig do problema estará sist
ty =a Dino a Phe #0. Tomas
ao see? 1220 mene tt
153-F
18 poniblidedes x = 1
(1) 20 o obren na
Hy) 2 0 12a an
8 + be
2 posiblidade: x = -1
ao no LAF poli + be Oe b- 225
N o me abt)? = 120-4) Han 0 en -8
porto a =-8 0 b=-9
eb a
esporas lo = Be b= -3) où la
1.303 Determinar 3, b, © de modo que 1 sea air dupla da aquacio
a = 3m + bx te.
Sage
A condicio do problems estará sites se 1 = fn} 0 0 (tr) 4 0.
Fanendo Hb) = x3 Sex? + bu e, tomos:
Ait al Eux be (by à Ge - Ga.
Impondo es condig
A mb te Beet
a
Donde vem: b= 60-3 0 er 2- 3
atte gett be 0 =æb-60 3
Como #7) #0. devemos ur a.
Besports b = 603,0 = 20000
F.308 (MAPOPEI-721 E dada a equagdo x? » 9x? > 9x + Am 0.
3) Quais cs valores de À para cs cun 9 equagdo admite uma raiz dupla?
DI Pra que vlores de Aa aqueco tem trás raite reais distintos dues à dun?
F.308 Provar que a equagio x* 4 px? + q = 0 nio pode ter tré raies igus
F.306 Determinar à condicáo para que 9 aquscSo x% + px + q O tech raíces múnipls
2307 Determinar a condigño para que a aquacto 23 - px - a O tonta uma rai dupla.
£.308 Determinar m de modo que a eauogéo x 22 +x rm
tonne uma roi dupe
180-F
300 Determinar a condiefo para que a equagdo x! = px 4 = 0 enha umo raiz dupl,
Calcular esa riz,
F.310 (ENE-54) Determinar m de modo que a equagdo x* + mal + 8x = O admit ume raie
via e, em seguia, resolver a aquecio.
F.311 (ENE-S11 Calcuta m de modo que a oquacio x? + mx = 2 = O acts uma raiz dupla
+ resolve a equacio.
.312 Prowr que as eauecdes binómias ax" + b = 0, cam a #00 b #0, ño en rales ml
Dis.
313 (ITA-80) Demonstrur que x8 2 equsgdo x + ax +. 0 (ab #0, reia) tiver ume raz
up, ento a será sampre postive.
F.314 {EPUSP-58) Ostarninar kde modo que equacio 34% - Bud - 6x2 à 26x + k= O ade
tum reir dupla nsgaiv e, om seguid, resolver equacio.
F.316 (MAPOFEI-70)
a) Defini rie mälipla de um pollnömio.
II Para que valores de ca equecdo 2x3 - deen x? + costa = Oto raies mötilas?
6} Mostrar que a quero do item possul ums raz simples qulauer que sia
F.316 (MAPOFEI-73) Parte A: Determine 0 número complexo 2
yma nm
ee
rte 8: Um palinómio Pla) = x3 + ax? + bx +66 divisive pato seu polinömio derivado
Pinte one due por x =. Determine os comficienttya, Dec
Mi. MAXIMO DIVISOR COMUM
149, Definigäo
Dados dois polinómios näo nulos f e y, dizemos que o polinómio h& o máxi:
mo divisor comum de f e € se, e somente se, vert
DI) h é unitério;
D2) h é divisor de f e de y;
3) se qualquer outro polindmia hy também é divisor de fe deg, ento hy
à divisor de h.
Indicaremos o máximo divisor comum de dois polindmios com a notagáo:
fh = mde ft, ab
155-F
(1) 20 o obren na
Hy) 2 0 12a an
8 + be
2 posiblidade: x = -1
ao no LAF poli + be Oe b- 225
N o me abt)? = 120-4) Han 0 en -8
porto a =-8 0 b=-9
eb a
esporas lo = Be b= -3) où la
1.303 Determinar 3, b, © de modo que 1 sea air dupla da aquacio
a = 3m + bx te.
Sage
A condicio do problems estará sites se 1 = fn} 0 0 (tr) 4 0.
Fanendo Hb) = x3 Sex? + bu e, tomos:
Ait al Eux be (by à Ge - Ga.
Impondo es condig
A mb te Beet
a
Donde vem: b= 60-3 0 er 2- 3
atte gett be 0 =æb-60 3
Como #7) #0. devemos ur a.
Besports b = 603,0 = 20000
F.308 (MAPOPEI-721 E dada a equagdo x? » 9x? > 9x + Am 0.
3) Quais cs valores de À para cs cun 9 equagdo admite uma raiz dupla?
DI Pra que vlores de Aa aqueco tem trás raite reais distintos dues à dun?
F.308 Provar que a equagio x* 4 px? + q = 0 nio pode ter tré raies igus
F.306 Determinar à condicáo para que 9 aquscSo x% + px + q O tech raíces múnipls
2307 Determinar a condigño para que a aquacto 23 - px - a O tonta uma rai dupla.
£.308 Determinar m de modo que a eauogéo x 22 +x rm
tonne uma roi dupe
180-F
300 Determinar a condiefo para que a equagdo x! = px 4 = 0 enha umo raiz dupl,
Calcular esa riz,
F.310 (ENE-54) Determinar m de modo que a equagdo x* + mal + 8x = O admit ume raie
via e, em seguia, resolver a aquecio.
F.311 (ENE-S11 Calcuta m de modo que a oquacio x? + mx = 2 = O acts uma raiz dupla
+ resolve a equacio.
.312 Prowr que as eauecdes binómias ax" + b = 0, cam a #00 b #0, ño en rales ml
Dis.
313 (ITA-80) Demonstrur que x8 2 equsgdo x + ax +. 0 (ab #0, reia) tiver ume raz
up, ento a será sampre postive.
F.314 {EPUSP-58) Ostarninar kde modo que equacio 34% - Bud - 6x2 à 26x + k= O ade
tum reir dupla nsgaiv e, om seguid, resolver equacio.
F.316 (MAPOFEI-70)
a) Defini rie mälipla de um pollnömio.
II Para que valores de ca equecdo 2x3 - deen x? + costa = Oto raies mötilas?
6} Mostrar que a quero do item possul ums raz simples qulauer que sia
F.316 (MAPOFEI-73) Parte A: Determine 0 número complexo 2
yma nm
ee
rte 8: Um palinómio Pla) = x3 + ax? + bx +66 divisive pato seu polinömio derivado
Pinte one due por x =. Determine os comficienttya, Dec
Mi. MAXIMO DIVISOR COMUM
149, Definigäo
Dados dois polinómios näo nulos f e y, dizemos que o polinómio h& o máxi:
mo divisor comum de f e € se, e somente se, vert
DI) h é unitério;
D2) h é divisor de f e de y;
3) se qualquer outro polindmia hy também é divisor de fe deg, ento hy
à divisor de h.
Indicaremos o máximo divisor comum de dois polindmios com a notagáo:
fh = mde ft, ab
155-F
150. Examplos
A € gb 2x - Dix AL entdo
h = bc 2)(x - 3) satisfaz as condigdes D1, D2, DA, portanto, h = mdc (1, gl.
2) Set 10 gx 3x? 432 3x +2, eto hn
satisfaz as condicóes D1, D2 ¢ D3, portanto, h = mde (f, 9)
Para resolver o problema “como obter h = mde (f, 9)?" vamos a0 seguinte:
161, Toorama
Se f e g sio polinômios náo nulos e r é o resto da divisio de f por g, entio
mde (f, 9) = md (6, 1).
Demonstracáo
Seja h = mac (f, gl. Tomos por definigäo que h &
Der + Desa
Por outro ado, ser 6 0 resto de divsáo def por g, entBo:
@r-t-a-a
Subsiwinso(D e @ em @) resin
Feq-h-a-a-
or de fe de 9, portanto:
la ad h
isto 6, h 6 divisor de r.
‘Saja hy = mde (g, 1). Como h é divisor de q a de r, resulta que h é divisor de
hu. Provemos que h = hy, mostrando que hy também é divisor de h.
Temos por definigäo que h, é divisor de y e de r, portanto:
aes hy
Seah ©
portanta:
fog te = eas chi taahı = (aan + Gala
isto 4, h, & divisor de Fe, como já era divisor de g, hy é divisor de h.
Conclusño: hé divisor de hy e h, 6 divisor de h, portanto, h
) = mie (ger)
156-F
152. Método das divisGes sucessivas
Como principal aplicagáo do teorema anterior, temos o método das divisóes
sucessivas para obter 0 mde (f, g), que se baseia na seguinte observacdo:
a) dados dois polinömios näo nulos f e y, com af > ag, sejarı 0 resto da di-
visdo de f por g,entäo mac if, a) = mde ig, ra}
b) se n = 0 entio g = mde {f,9) e o problema é imediato; ser, # 0, sejara 0
resto da divisda deg por rs, entdo mde (9,11) = mde (ruta)
€) ser =O entáo 1, = mide ((, 9); se ra 70, seja ry 0 resto da divisäo der, por
a. emtáo mde {fra} = mde (ra, ra}
+, assim por diante, notemos que, após um certo número finito k de divisöes sucesti
vas, atíngimos nacessariamente ume divisdo exata (pois os graus dos restos diminuem
de a0 menos uma unidade por vez até que atingimos um resto ty constante e à
divisäo de res por rx $ exatal
tla gin ala fes Lt
ho & nm o am
O polinömio rx (devidamente multiplicado pelo inverso do seu coeficiente
dominante, para ser polinámio unitário) 4 0 mac (1,9).
Exemplo
Obter o mde dos polinámios
E E ES
19) dividindo f por g obtemos as = x? + x + 4e ri = 10x - 10.
1x - dene santo:
29) dividindo g por ry obtemos qa = 45% = jg e Ta = 0, portamos
1
m hinexet
de Wa) = 3
Dispositivo prática
EE
10% / 10 o
187-F
A € gb 2x - Dix AL entdo
h = bc 2)(x - 3) satisfaz as condigdes D1, D2, DA, portanto, h = mdc (1, gl.
2) Set 10 gx 3x? 432 3x +2, eto hn
satisfaz as condicóes D1, D2 ¢ D3, portanto, h = mde (f, 9)
Para resolver o problema “como obter h = mde (f, 9)?" vamos a0 seguinte:
161, Toorama
Se f e g sio polinômios náo nulos e r é o resto da divisio de f por g, entio
mde (f, 9) = md (6, 1).
Demonstracáo
Seja h = mac (f, gl. Tomos por definigäo que h &
Der + Desa
Por outro ado, ser 6 0 resto de divsáo def por g, entBo:
@r-t-a-a
Subsiwinso(D e @ em @) resin
Feq-h-a-a-
or de fe de 9, portanto:
la ad h
isto 6, h 6 divisor de r.
‘Saja hy = mde (g, 1). Como h é divisor de q a de r, resulta que h é divisor de
hu. Provemos que h = hy, mostrando que hy também é divisor de h.
Temos por definigäo que h, é divisor de y e de r, portanto:
aes hy
Seah ©
portanta:
fog te = eas chi taahı = (aan + Gala
isto 4, h, & divisor de Fe, como já era divisor de g, hy é divisor de h.
Conclusño: hé divisor de hy e h, 6 divisor de h, portanto, h
) = mie (ger)
156-F
152. Método das divisGes sucessivas
Como principal aplicagáo do teorema anterior, temos o método das divisóes
sucessivas para obter 0 mde (f, g), que se baseia na seguinte observacdo:
a) dados dois polinömios näo nulos f e y, com af > ag, sejarı 0 resto da di-
visdo de f por g,entäo mac if, a) = mde ig, ra}
b) se n = 0 entio g = mde {f,9) e o problema é imediato; ser, # 0, sejara 0
resto da divisda deg por rs, entdo mde (9,11) = mde (ruta)
€) ser =O entáo 1, = mide ((, 9); se ra 70, seja ry 0 resto da divisäo der, por
a. emtáo mde {fra} = mde (ra, ra}
+, assim por diante, notemos que, após um certo número finito k de divisöes sucesti
vas, atíngimos nacessariamente ume divisdo exata (pois os graus dos restos diminuem
de a0 menos uma unidade por vez até que atingimos um resto ty constante e à
divisäo de res por rx $ exatal
tla gin ala fes Lt
ho & nm o am
O polinömio rx (devidamente multiplicado pelo inverso do seu coeficiente
dominante, para ser polinámio unitário) 4 0 mac (1,9).
Exemplo
Obter o mde dos polinámios
E E ES
19) dividindo f por g obtemos as = x? + x + 4e ri = 10x - 10.
1x - dene santo:
29) dividindo g por ry obtemos qa = 45% = jg e Ta = 0, portamos
1
m hinexet
de Wa) = 3
Dispositivo prática
EE
10% / 10 o
187-F
183, Se mdc if, 9)
entre si.
entäo os polinómios e g sáo chamados polindmios primos.
Assim, por exemplo, f = 1 slo primos entre si:
ES
mde if, 9
EXERCICIOS
F.317 Determicar o más dos olinómios:
fart + a AB ga,
F.318 Determicar 0 mae dos polinämiar:
Pa xt + pus nd + rer 0 getreu
F.318 (EPUSP-58) Determinar o mde (1.9) se Fed MIR +11 a ge fad + 1e 1)
F.320 Provar que se 1 g #00 polindmios divisvis nor (x a, em
tombé € die por a 2.
0 reso do divido det por
321 Detorminar 0 mde dos palinômios
A)
F.322 Ooterminar o mde dos polinómios = (x2 = 11341170 g= Milk nit.
150-5
IV. RAIZES COMUNS
154, Vamos desenvolver uma teoria que permite estabelecer as raizes comura a dois
polindmios f e 9. isto é, as raízes comuns a duas equagdes polinomiais Fx) = 0
e gh) =O
155, Teorema
Se a é uma raiz dos polindmios f eg, entäo a é uma raiz de (resto da divisfo
de 1 por gh.
Demonstracäo
tanga — ro faro — ras fal - qlal fa) em
la
186, Reciproco
Se a & uma raiz dos polinömios g e r, entäo a & uma raiz de f.
Demonstragio
as gtr —+ fla) = ala) + gla) + rla) = ala) -0+ 0 - 0
187, Teorema
Se a & uma raiz dos polinômios f e g, entéo a € uma raiz do mac (f, a).
Demonstraçäo
Suponhamos aplicado © método das divisöes sucessivas
tle els
na n & na o a
ain ta |e
Se a é raiz de te 9,antáo @ é raíz de 1, se ab raiz de ge ry, entáo aé raíz de
mise @ é raiz de ry @ fz, ontäo a & raiz de ra; assim por
mic (1.9).
ne, a 6 ralz de ry
169-F
entre si.
entäo os polinómios e g sáo chamados polindmios primos.
Assim, por exemplo, f = 1 slo primos entre si:
ES
mde if, 9
EXERCICIOS
F.317 Determicar o más dos olinómios:
fart + a AB ga,
F.318 Determicar 0 mae dos polinämiar:
Pa xt + pus nd + rer 0 getreu
F.318 (EPUSP-58) Determinar o mde (1.9) se Fed MIR +11 a ge fad + 1e 1)
F.320 Provar que se 1 g #00 polindmios divisvis nor (x a, em
tombé € die por a 2.
0 reso do divido det por
321 Detorminar 0 mde dos palinômios
A)
F.322 Ooterminar o mde dos polinómios = (x2 = 11341170 g= Milk nit.
150-5
IV. RAIZES COMUNS
154, Vamos desenvolver uma teoria que permite estabelecer as raizes comura a dois
polindmios f e 9. isto é, as raízes comuns a duas equagdes polinomiais Fx) = 0
e gh) =O
155, Teorema
Se a é uma raiz dos polindmios f eg, entäo a é uma raiz de (resto da divisfo
de 1 por gh.
Demonstracäo
tanga — ro faro — ras fal - qlal fa) em
la
186, Reciproco
Se a & uma raiz dos polinömios g e r, entäo a & uma raiz de f.
Demonstragio
as gtr —+ fla) = ala) + gla) + rla) = ala) -0+ 0 - 0
187, Teorema
Se a & uma raiz dos polinômios f e g, entéo a € uma raiz do mac (f, a).
Demonstraçäo
Suponhamos aplicado © método das divisöes sucessivas
tle els
na n & na o a
ain ta |e
Se a é raiz de te 9,antáo @ é raíz de 1, se ab raiz de ge ry, entáo aé raíz de
mise @ é raiz de ry @ fz, ontäo a & raiz de ra; assim por
mic (1.9).
ne, a 6 ralz de ry
169-F
158, Reciproco
Se a $ uma raíz do mde (f, q), entäo @ $ uma raiz de f e de y
Demonstracdo anélogs à anterior
Determinar as raízes comuns 205 polinómios
CA gt
no 7 3
x-6 -2+6
9 o
emtäo mde (1, 9) = x - 3, portanto a única raiz comum ate g 6 3
2%) Obter es raizes comuns às equaróes polinomiais
P= Gx? + Bx 41250 © ZO.
Ox? + 5x + 12 2x + 24
lento mde (1,9) = x2 - 7x + 12, portanto as rai
equagio x - x + 12= 0, isto 6, Be 4.
as raizes da
160-F
160. Teorema
Se f e g sáo polindmios divisíveis por (x - al", entäo r (resto da divisdo def
por g) também é divisival por (x - al".
Demonstragáo
Por hipótese, temos:
taba
ma" +a) 0 far
Do que ocome:
(x= a)™ > a q+ @
fe faqeg=ix-al” EC ET ET LE
161, Teorema
Se fe g sio polinömios divisiveis por (x - a)", entäo o mde (f, y) também &
vel por (x - a)"
pur
Spam nto à dada pean
¿le ple ele = male
no a ts EN
Se fe g säo divisiveis por (x - a), entäor, é divisivel por {x -al";seger,
iveis por (x - a), antáo o mesmo ocorre com r,: se r, er, «Ho divisiveis
por {x - al", entáo o mesmo ocorre com 13; assim por diante, rx = mde if, g) é
divisivel por (x - al",
162.- Corolério
Se a 6 raiz de 1 e de g, com multiplicidades my e mz, respectivamente ento
a é raiz do mde f, 9) com multiplicidade igual ao menor des números my OU my
163. Suponhamos dados dois polinómios f e g, no nulos, já decompostos em fa.
teres: f= ant ix Ii,
9 bb ali (x - PITA I,
‘onde as bases das potäncias {x - a, x = f, x - Y, =) slo duas a duas distintas.
161-F
Se a $ uma raíz do mde (f, q), entäo @ $ uma raiz de f e de y
Demonstracdo anélogs à anterior
Determinar as raízes comuns 205 polinómios
CA gt
no 7 3
x-6 -2+6
9 o
emtäo mde (1, 9) = x - 3, portanto a única raiz comum ate g 6 3
2%) Obter es raizes comuns às equaróes polinomiais
P= Gx? + Bx 41250 © ZO.
Ox? + 5x + 12 2x + 24
lento mde (1,9) = x2 - 7x + 12, portanto as rai
equagio x - x + 12= 0, isto 6, Be 4.
as raizes da
160-F
160. Teorema
Se f e g sáo polindmios divisíveis por (x - al", entäo r (resto da divisdo def
por g) também é divisival por (x - al".
Demonstragáo
Por hipótese, temos:
taba
ma" +a) 0 far
Do que ocome:
(x= a)™ > a q+ @
fe faqeg=ix-al” EC ET ET LE
161, Teorema
Se fe g sio polinömios divisiveis por (x - a)", entäo o mde (f, y) também &
vel por (x - a)"
pur
Spam nto à dada pean
¿le ple ele = male
no a ts EN
Se fe g säo divisiveis por (x - a), entäor, é divisivel por {x -al";seger,
iveis por (x - a), antáo o mesmo ocorre com r,: se r, er, «Ho divisiveis
por {x - al", entáo o mesmo ocorre com 13; assim por diante, rx = mde if, g) é
divisivel por (x - al",
162.- Corolério
Se a 6 raiz de 1 e de g, com multiplicidades my e mz, respectivamente ento
a é raiz do mde f, 9) com multiplicidade igual ao menor des números my OU my
163. Suponhamos dados dois polinómios f e g, no nulos, já decompostos em fa.
teres: f= ant ix Ii,
9 bb ali (x - PITA I,
‘onde as bases das potäncias {x - a, x = f, x - Y, =) slo duas a duas distintas.
161-F
Decorre do corolário anterior que o mde (f, g) $ o polindmio unitério produto
dos fatores comuns a fo g, tomado cada fator com o menor dos expoentes com que
aparace em f eg
Exemplo
f= ge Te = Dr = Dr + 38
g = 2e 1° - 2080 - BME + 417
entio
mde tf, g) = 06 = Whe 27 ix - 51%
Notemos que os fatores no comuns: (x + 3) que aparece só em fe (x + 4) que
aparece só em g, ndo sdo fatores do mde f, 9)
EXERCÍCIOS
F.323 Determinar y bdo modo que os polinómios
A tonham duos rares comune,
ori
Temor y
Vamos impor HD) 2 0 @ f(t) 0:
1.0 —0+02+0:0+b-0 =%b-0
MO WEN Ha +020 mme tbe
xx = 1), portanto, a rates comuns af eg 250 001
anim, tomos b + 0 6 à » -2.
Reponse = -2 b - 0
F.328 Determiner an ra comuns a ss nio comuns ds aquacs
MARIDO IO
F326 Cslculer es
ias comuns 20s potindmios
A bin sab? 9 gender
F.326 Calcular as rafzes comuns aos polindmios
tox
PER EP er Ber rer Den
F.327 Determinar e de modo que as equacóos x - Gu? = Aut a. 0 à ad 3x #2 0 admitam
ma rat comm.
162-F
V. MÍNIMO MÜLTIPLO COMUM
164. Definigäo
Dados dois polinömios náo nulos f e g, dizemos que h é 0 mínimo múltiplo
comum de f e ge, e somente se, verificar as seguintes condigóss:
MI) héunitário
M2) hédivisivel por fu por g;
M3) se qualquer outro polinómio h, também é divisivel por fe por g, entáo
ha € divisivel por ha
Indicaremos o mínimo mültiplo comum de dois polinámios com a notacá
h- mme, g.
165. Exemplos
M9) Se t= = We = 2-3 6 g = (x = Dix - 31-41 onto
h= pe tx = 217 (x ~ 310 - 4) satistaz as condigdes MI, M2 e M3, portanto,
h= mme (1,0)
29) Se + = Lentéo o mme (fg) ho xt + x = x = 1
por satisfazer as condigóss MI, M2 e M3.
Para resolver o problems “como obter h = mme If, 91?” provese o seguinte:
166. Teorema
Se f où sd0 polinómios divisiveis por (x - al", entZo o mme {f,g) também é
divisivel por bx ai
Come conseqiéncia desse teorema, concluimos que se a é raiz de te de g, com
muitplicidades m, e mz, respectivamente, entáo a & raiz do mme (f,g) com mult
Plicidade igual a0 maior dos números m, ou mz
163
dos fatores comuns a fo g, tomado cada fator com o menor dos expoentes com que
aparace em f eg
Exemplo
f= ge Te = Dr = Dr + 38
g = 2e 1° - 2080 - BME + 417
entio
mde tf, g) = 06 = Whe 27 ix - 51%
Notemos que os fatores no comuns: (x + 3) que aparece só em fe (x + 4) que
aparece só em g, ndo sdo fatores do mde f, 9)
EXERCÍCIOS
F.323 Determinar y bdo modo que os polinómios
A tonham duos rares comune,
ori
Temor y
Vamos impor HD) 2 0 @ f(t) 0:
1.0 —0+02+0:0+b-0 =%b-0
MO WEN Ha +020 mme tbe
xx = 1), portanto, a rates comuns af eg 250 001
anim, tomos b + 0 6 à » -2.
Reponse = -2 b - 0
F.328 Determiner an ra comuns a ss nio comuns ds aquacs
MARIDO IO
F326 Cslculer es
ias comuns 20s potindmios
A bin sab? 9 gender
F.326 Calcular as rafzes comuns aos polindmios
tox
PER EP er Ber rer Den
F.327 Determinar e de modo que as equacóos x - Gu? = Aut a. 0 à ad 3x #2 0 admitam
ma rat comm.
162-F
V. MÍNIMO MÜLTIPLO COMUM
164. Definigäo
Dados dois polinömios náo nulos f e g, dizemos que h é 0 mínimo múltiplo
comum de f e ge, e somente se, verificar as seguintes condigóss:
MI) héunitário
M2) hédivisivel por fu por g;
M3) se qualquer outro polinómio h, também é divisivel por fe por g, entáo
ha € divisivel por ha
Indicaremos o mínimo mültiplo comum de dois polinámios com a notacá
h- mme, g.
165. Exemplos
M9) Se t= = We = 2-3 6 g = (x = Dix - 31-41 onto
h= pe tx = 217 (x ~ 310 - 4) satistaz as condigdes MI, M2 e M3, portanto,
h= mme (1,0)
29) Se + = Lentéo o mme (fg) ho xt + x = x = 1
por satisfazer as condigóss MI, M2 e M3.
Para resolver o problems “como obter h = mme If, 91?” provese o seguinte:
166. Teorema
Se f où sd0 polinómios divisiveis por (x - al", entZo o mme {f,g) também é
divisivel por bx ai
Come conseqiéncia desse teorema, concluimos que se a é raiz de te de g, com
muitplicidades m, e mz, respectivamente, entáo a & raiz do mme (f,g) com mult
Plicidade igual a0 maior dos números m, ou mz
163
167. Suponhamos dados dois polinómios f e 9, náo nulos, já decompostos em fa-
tores:
f= aple ala BI - 11 5
A IIx - aN?
onde as bases das poténcias (x - a, x - 8, x - y ..1 säo duas a duas distintas.
Decorre do teorema anterior que o mme {f, 9) 6 © polindmio unitério produto
dos fatores comuns e näo comuns a f e g, tomado cada fatar com o maior dos e
poetes com que aparece em fe 9.
Exemplo
f= 300 = FG Whe - HIT + DS
ge 20 Hbc = DE SI + 47
mme {f, 9) = (x ~ 1x = Dr - 6170 + Dix + 4)?
EXERCÍCIOS
F.228 (EPUSP-64) Determine o mme # más dor polindmios
PS
F.329 Determinar o mme e 0 mie dos potinimios
este ge bent od
4.390 Provar que se Y 6 diva por (x - 19 a q 6 ivisiol por (x = a entäo mme 1, 9
ie por (x - 09% com n 33,
Solo
Davide és hipôtesn feta, temor:
fe tea e paa
Por de
mme lll q kat sara
edo de mme |, gl, tomos que este polindmio 6 divisive! por 1, portamo
entio mme (, # ds
n>S wae iz de
vel por (x =a” onde n 6 no minimo 3 ix > 31. Notemos que
1,2.3
331 Efeuar a some hg + 25 = 9
Sousio
Fouendof=x+2, gax-2 0 hex? =4,temor que
me Ugh) <2 = 4 be + 2x Al eo:
164-F
AA, Lemma, anes
ES LISTE Leelee i
sain ES
ers
AAA
Souçio
Detarminemos o mde dos polínámios
[RE 4 ns 4 EBD e ge N a
ee ete ao | tad + oe
Aa, 1
Se Er
xo + SxS + Do +O
we ad + oR?
porno y=
Reports y= arts
at + 209 = D = 2x +1
wt Db Det
5.394 Simpifien à trago:
ar ee
NN IT
6.298 (EPUSP-63) Determinar se constantes A, Be C de modo que se verifique aid
1 a exec
Boner Gr
F.397 Oaterminar ae $ eval de modo que a igualdade
COS
398 Prover quese f #9 so polinómics unirlos, ano 1 +g má Uf, gb + mme U, 9
165-F
tores:
f= aple ala BI - 11 5
A IIx - aN?
onde as bases das poténcias (x - a, x - 8, x - y ..1 säo duas a duas distintas.
Decorre do teorema anterior que o mme {f, 9) 6 © polindmio unitério produto
dos fatores comuns e näo comuns a f e g, tomado cada fatar com o maior dos e
poetes com que aparece em fe 9.
Exemplo
f= 300 = FG Whe - HIT + DS
ge 20 Hbc = DE SI + 47
mme {f, 9) = (x ~ 1x = Dr - 6170 + Dix + 4)?
EXERCÍCIOS
F.228 (EPUSP-64) Determine o mme # más dor polindmios
PS
F.329 Determinar o mme e 0 mie dos potinimios
este ge bent od
4.390 Provar que se Y 6 diva por (x - 19 a q 6 ivisiol por (x = a entäo mme 1, 9
ie por (x - 09% com n 33,
Solo
Davide és hipôtesn feta, temor:
fe tea e paa
Por de
mme lll q kat sara
edo de mme |, gl, tomos que este polindmio 6 divisive! por 1, portamo
entio mme (, # ds
n>S wae iz de
vel por (x =a” onde n 6 no minimo 3 ix > 31. Notemos que
1,2.3
331 Efeuar a some hg + 25 = 9
Sousio
Fouendof=x+2, gax-2 0 hex? =4,temor que
me Ugh) <2 = 4 be + 2x Al eo:
164-F
AA, Lemma, anes
ES LISTE Leelee i
sain ES
ers
AAA
Souçio
Detarminemos o mde dos polínámios
[RE 4 ns 4 EBD e ge N a
ee ete ao | tad + oe
Aa, 1
Se Er
xo + SxS + Do +O
we ad + oR?
porno y=
Reports y= arts
at + 209 = D = 2x +1
wt Db Det
5.394 Simpifien à trago:
ar ee
NN IT
6.298 (EPUSP-63) Determinar se constantes A, Be C de modo que se verifique aid
1 a exec
Boner Gr
F.397 Oaterminar ae $ eval de modo que a igualdade
COS
398 Prover quese f #9 so polinómics unirlos, ano 1 +g má Uf, gb + mme U, 9
165-F
CAPÍTULO 1
F2
F3
F4
Er
Es
Eno
Faz
9.
3-10
02-2
ai 3-5
aan
où si
a 1-2
as
a+ 12
bh 24-104
242)
a 1
be
de
a
2
Ayna
A
dy
PS
2
A
d «2,920
Moe yz
au+e-0
ae
RESPOSTAS
Fa
FAs
©
a
fas
Faz
Ea
Fa
F258
F2
imposes
Pere
ha
slap E,
¡ori
ima ne hun
rare
220 où à où -i où 1 où
167-F
F2
F3
F4
Er
Es
Eno
Faz
9.
3-10
02-2
ai 3-5
aan
où si
a 1-2
as
a+ 12
bh 24-104
242)
a 1
be
de
a
2
Ayna
A
dy
PS
2
A
d «2,920
Moe yz
au+e-0
ae
RESPOSTAS
Fa
FAs
©
a
fas
Faz
Ea
Fa
F258
F2
imposes
Pere
ha
slap E,
¡ori
ima ne hun
rare
220 où à où -i où 1 où
167-F
630 0 3VZleoE +1. o $
ro teot ST + à + son
E 3
og
IN
BO + à + sen 0
DEE + à son E
an, on
DEE Se is son SE
à 20 Be à un 8H
mV Z toos SE + à sen D
a
Ve 4 à a 3
CRE
ñas a 2V2
3
ess Pedi
vi
A entre + mine 3
[IS cote 99 + «sete a]
arm?
PEN Feo BE vie wn 2
or
168-F
Be ES
GET; EEE,
BI @ deserve a reta y = 1-0 ext
do (1.0)
Fas x= 12 + 161
= 2
rag 2.2,
FAB O médulo 64 à 0 argumemo 47.
ESt al 2
189-F
ro teot ST + à + son
E 3
og
IN
BO + à + sen 0
DEE + à son E
an, on
DEE Se is son SE
à 20 Be à un 8H
mV Z toos SE + à sen D
a
Ve 4 à a 3
CRE
ñas a 2V2
3
ess Pedi
vi
A entre + mine 3
[IS cote 99 + «sete a]
arm?
PEN Feo BE vie wn 2
or
168-F
Be ES
GET; EEE,
BI @ deserve a reta y = 1-0 ext
do (1.0)
Fas x= 12 + 161
= 2
rag 2.2,
FAB O médulo 64 à 0 argumemo 47.
ESt al 2
189-F
Esa
ess
es
Es
Ese
00138 = 00000 - 3009 Fer
son.3@ = 3 co + sang - san R82 lou
a Fea 2 out + VE où -1 + V3 où -2
oe PER EIN Frege.
a3 ru
Base
Mise ape SE
eu
EE
BI 3 + zi où -9 -2
papers
19243 , 3-2
es Vas -Vari-Vs
os va-
Eos
2
34 iou3- io
Vena
al Tov à où 24 ou =i
a -2V2+2Vzi ou H
ran AN
D 2+ 2V3 iow -4 où 2-2V3i
1
a tou à
onde & Elo, 1,2, 3}
en
capı
en
Ea
«75
es
en
79
90
ea
Fez
res
[2
F8
Eso
as-Ini-.422
asa Vido
dx“ V2 (eus 8 + à + sem
OS = (1, -1,2-2}
fTULO 1
POS
Ho) = 4, 4) = 36, en 0
rare
Gaon) tx) = TE RTE
CECI RE EEE)
a) = 16 + 200 - 2002 + 30 a
dan (0) = tax = 2x2 + 948 Ber à a
Inf) (a) = an = 16 150 = ant
inh za
blonbel ex?
ambos
impossivel
6
192 impossivel
F93 ode be
Eos 520
ES 26 + 36x - 50e 493 (x 2
F.96 Sim, por exemple, k + $
For Mo *
PES]
{Saou mie
0-0
A
ae? © ara in?
FO don
Aa = 20
Ea0ra-b=0-0
pao ze De
es. MAEM @n+
F.108 6 nos dos casos
F0 - 4-1
ın-F
ess
es
Es
Ese
00138 = 00000 - 3009 Fer
son.3@ = 3 co + sang - san R82 lou
a Fea 2 out + VE où -1 + V3 où -2
oe PER EIN Frege.
a3 ru
Base
Mise ape SE
eu
EE
BI 3 + zi où -9 -2
papers
19243 , 3-2
es Vas -Vari-Vs
os va-
Eos
2
34 iou3- io
Vena
al Tov à où 24 ou =i
a -2V2+2Vzi ou H
ran AN
D 2+ 2V3 iow -4 où 2-2V3i
1
a tou à
onde & Elo, 1,2, 3}
en
capı
en
Ea
«75
es
en
79
90
ea
Fez
res
[2
F8
Eso
as-Ini-.422
asa Vido
dx“ V2 (eus 8 + à + sem
OS = (1, -1,2-2}
fTULO 1
POS
Ho) = 4, 4) = 36, en 0
rare
Gaon) tx) = TE RTE
CECI RE EEE)
a) = 16 + 200 - 2002 + 30 a
dan (0) = tax = 2x2 + 948 Ber à a
Inf) (a) = an = 16 150 = ant
inh za
blonbel ex?
ambos
impossivel
6
192 impossivel
F93 ode be
Eos 520
ES 26 + 36x - 50e 493 (x 2
F.96 Sim, por exemple, k + $
For Mo *
PES]
{Saou mie
0-0
A
ae? © ara in?
FO don
Aa = 20
Ea0ra-b=0-0
pao ze De
es. MAEM @n+
F.108 6 nos dos casos
F0 - 4-1
ın-F
FA parade
v
a
F100»
AN]
a-w-x
Fixe ts
a 2-2
Feen
1 93.
Love
mu
Endp-2V2, ae
PAZ ad = be
en l
5
raed
raat
WRF
o
a
a
e
a
a
»
A
{
{
{
{
{
{
acy
EN]
1-0
a-0
Faser
axe 3496-27
reo
ae 20 + 3x2 + On + 127
2162
aa x + 280 +2 TE wer)
268
ae «8 2 28 + Aad + Bx à 16
064
Pere er ee eres]
0
are
PER BEN 4 où à In BE
1486
PER ELF 4998-274 4 81
eo
Crea
ET
FA24 = na
Ezra <2
121
CP TRE
200.
2
3
1908-0, b=-2
[Lee ox +4
FASB 8 4x2 ee 4 2
FAD p= +
Br
5 À a 6 impor
F136 -0
a Bixt + 840 à 3602 + 7x + 16
oy.
ar)
ae dyed
Por re Pen
91,2
es
want 40410
A
F198 + = 287
FM p=-3, qu?
Fiasacb-c=0
F146 q Bet + 4 à ue à ee
FtaBa in, bent
P9922, be, me
rast > a
FASB eee
156 Rind = 8
FAST Rta) Pe 3
were ened
Fire Eo à
F160 Pin) = xt a à x 4 2
CAPÍTULO tI
FA61m 22
(2
6
vis-e
as-ó
F168 a) pou 2; S=
F162 4) S =
un
a 5 52 (a, 5)
al qu 10; 8- {V2. -V2)
5.3
3.5
£106 3, -3, 2 0 2
Paral Et
Diner
960 Ph = en à 128 = Bx
DETENTE)
F270) 4 mpl
à img)
à Gimp)
3
vi
NS
(duotad
(acota
5 (simples)
10 Iqutmeupta)
2 Isimotes)
aia
7
iva
=
24 quintuple)
Fara 298 Où + 2x +8
Kara selon à D à 16x 18 = 0
AS
sans (2,2, -2)
FA79 a) toma = 2
produto = 5
BI soma 7
produto = 1
e som =-2
produto
a pt
(ip
6
F190 47
Fas 4
3-iv18
2.3)
Fasss- (1, 2, 6)
rape s = (2, -1, 3)
Fits = {-6, 3, -2)
eases = (2,3, 4)
ras {Va Va,
ive}
7195.7 a
ES (2, 2, 3)
Fan set.
pases (1,
Fast.
Eos = G
names = Lo,
Faoas- (a
12
raso (22, 3,2)
F208 m = -3
F207s = (3 - V7, 3 + Vi
22208)
5
FD 40-3
+S
rai m= 602 (2
m= GeS- {1.2.3}
rang pet 0
Es a
aaa
pape 20-0
p--teqet
EnSm= 1 ek» 8
216-2 +1092 - 4 + log
END x 2d à D 2d O
173-6
v
a
F100»
AN]
a-w-x
Fixe ts
a 2-2
Feen
1 93.
Love
mu
Endp-2V2, ae
PAZ ad = be
en l
5
raed
raat
WRF
o
a
a
e
a
a
»
A
{
{
{
{
{
{
acy
EN]
1-0
a-0
Faser
axe 3496-27
reo
ae 20 + 3x2 + On + 127
2162
aa x + 280 +2 TE wer)
268
ae «8 2 28 + Aad + Bx à 16
064
Pere er ee eres]
0
are
PER BEN 4 où à In BE
1486
PER ELF 4998-274 4 81
eo
Crea
ET
FA24 = na
Ezra <2
121
CP TRE
200.
2
3
1908-0, b=-2
[Lee ox +4
FASB 8 4x2 ee 4 2
FAD p= +
Br
5 À a 6 impor
F136 -0
a Bixt + 840 à 3602 + 7x + 16
oy.
ar)
ae dyed
Por re Pen
91,2
es
want 40410
A
F198 + = 287
FM p=-3, qu?
Fiasacb-c=0
F146 q Bet + 4 à ue à ee
FtaBa in, bent
P9922, be, me
rast > a
FASB eee
156 Rind = 8
FAST Rta) Pe 3
were ened
Fire Eo à
F160 Pin) = xt a à x 4 2
CAPÍTULO tI
FA61m 22
(2
6
vis-e
as-ó
F168 a) pou 2; S=
F162 4) S =
un
a 5 52 (a, 5)
al qu 10; 8- {V2. -V2)
5.3
3.5
£106 3, -3, 2 0 2
Paral Et
Diner
960 Ph = en à 128 = Bx
DETENTE)
F270) 4 mpl
à img)
à Gimp)
3
vi
NS
(duotad
(acota
5 (simples)
10 Iqutmeupta)
2 Isimotes)
aia
7
iva
=
24 quintuple)
Fara 298 Où + 2x +8
Kara selon à D à 16x 18 = 0
AS
sans (2,2, -2)
FA79 a) toma = 2
produto = 5
BI soma 7
produto = 1
e som =-2
produto
a pt
(ip
6
F190 47
Fas 4
3-iv18
2.3)
Fasss- (1, 2, 6)
rape s = (2, -1, 3)
Fits = {-6, 3, -2)
eases = (2,3, 4)
ras {Va Va,
ive}
7195.7 a
ES (2, 2, 3)
Fan set.
pases (1,
Fast.
Eos = G
names = Lo,
Faoas- (a
12
raso (22, 3,2)
F208 m = -3
F207s = (3 - V7, 3 + Vi
22208)
5
FD 40-3
+S
rai m= 602 (2
m= GeS- {1.2.3}
rang pet 0
Es a
aaa
pape 20-0
p--teqet
EnSm= 1 ek» 8
216-2 +1092 - 4 + log
END x 2d à D 2d O
173-6
[IP BER SENDEN BEN
rams ón iV iva)
Faas. Ana à 342-9)
Base. en
Fame sf)
F227 Pix) = Sell
F228 S = 2+i V3, 2-1V3,-2+1,
#200 nena
Fan
em20<a< a
233 0102 € rogtiva
r. aed
mot ob er:
1206 P vam wis caíeos roui: a By
2<acu <p<o
sıcre2
23782441)
F.238 062)-41.-1.2.-2.3.-3.4
32,1
CAPÍTULO IV
F.268 y) dy? à 32y 102-0
F265 293 + tty? 4 214190 0
mr
D, (5) = 41,5)
21-42, -2,3, 8, 4, -6, 6, -6,
“ana
“vous aízes inmeiras cio 08 di
som
22-6
F243 x= 5
Baus
Fass» f, 2,6)
PRE
ras 0001.23
1
ñas» (1, -1,2.4
Faso s = {1,-1, -6)
F261$« (2,3, 4)
F.282 No, pols Sy = Bun} e 52 =
{v2, - V2}
F264 o) «8 = 6x2 6x - 5 = 0
63.456
rase (4.3)
Fast man 20
pases - (1h 1 12,1 va)
2 3-1/7)
F259 5 = £3
F.266 how sr rat da quo
sgibries
hon y
F.269 Ple) = 3x7 - 14745 20 + 3x2 + 16% 80
Oe) = 33 4 2105 = x 4 12
Ris) = -164
tex -7
Lanata TP SET ET
1
2
be 3e + Jor eb oe
IS
CES
.2+8,2-Va)
Peat canes
De 2B lt BAI STO +
2+V3,2- va)
viña)
F208 8. La
5
p20 5-1 VIE VITE TE. 1-3
287 (4, 12, 36, 108, 924) ou vicevena
CAPÍTULO V
F.288 9) le 120 nn
be) = Ox) +2 x +1
©) He 12-18
a Etui = 1289 = 1202 Bx +02
6) EU à TER + 19
FR = 582 = Px + AG» 7)
a ts) = 210 - 516
PAF) = 1013 = 20
4 Ptah BE DRT
i) ad» de A 2) (Sx + BI
KY Pla) b= 3x An TIGRE - 306 + 25)
F200 Hi)» Dia 22045
Plan a2x 22
tay = 42
sido = 0, para a> 3
295
A78-F
rams ón iV iva)
Faas. Ana à 342-9)
Base. en
Fame sf)
F227 Pix) = Sell
F228 S = 2+i V3, 2-1V3,-2+1,
#200 nena
Fan
em20<a< a
233 0102 € rogtiva
r. aed
mot ob er:
1206 P vam wis caíeos roui: a By
2<acu <p<o
sıcre2
23782441)
F.238 062)-41.-1.2.-2.3.-3.4
32,1
CAPÍTULO IV
F.268 y) dy? à 32y 102-0
F265 293 + tty? 4 214190 0
mr
D, (5) = 41,5)
21-42, -2,3, 8, 4, -6, 6, -6,
“ana
“vous aízes inmeiras cio 08 di
som
22-6
F243 x= 5
Baus
Fass» f, 2,6)
PRE
ras 0001.23
1
ñas» (1, -1,2.4
Faso s = {1,-1, -6)
F261$« (2,3, 4)
F.282 No, pols Sy = Bun} e 52 =
{v2, - V2}
F264 o) «8 = 6x2 6x - 5 = 0
63.456
rase (4.3)
Fast man 20
pases - (1h 1 12,1 va)
2 3-1/7)
F259 5 = £3
F.266 how sr rat da quo
sgibries
hon y
F.269 Ple) = 3x7 - 14745 20 + 3x2 + 16% 80
Oe) = 33 4 2105 = x 4 12
Ris) = -164
tex -7
Lanata TP SET ET
1
2
be 3e + Jor eb oe
IS
CES
.2+8,2-Va)
Peat canes
De 2B lt BAI STO +
2+V3,2- va)
viña)
F208 8. La
5
p20 5-1 VIE VITE TE. 1-3
287 (4, 12, 36, 108, 924) ou vicevena
CAPÍTULO V
F.288 9) le 120 nn
be) = Ox) +2 x +1
©) He 12-18
a Etui = 1289 = 1202 Bx +02
6) EU à TER + 19
FR = 582 = Px + AG» 7)
a ts) = 210 - 516
PAF) = 1013 = 20
4 Ptah BE DRT
i) ad» de A 2) (Sx + BI
KY Pla) b= 3x An TIGRE - 306 + 25)
F200 Hi)» Dia 22045
Plan a2x 22
tay = 42
sido = 0, para a> 3
295
A78-F
292 Ho) o
Miet
asie 2
Pas da Shes 77
8°) OG) « 5x2 + 26% + 77
5.206 Ni
F207 5 à cit vila.
F208 « (1,2)
F209 a 2 6 rai duals
à 6 ral dupla
BI 1 6 raz ita
24 raiz dupla
F3005 - (1, -2}
F304 a) A=-5 où A- 27
D 5 A <7
F.206 uma rai tip: p = 0 € a = 0
ums raz dupla: and + 270% = 0
307 4p? = 2742
z
F308m « um
a
7
6209 270° + 2664 = 0
Fa10m= 605,
Farm 2059 td
Fax 19
176-F
F150) a=
Fa PAS?
Poss
F317 mde gh = x? + x 2
F318 mde (gl = + +2
F319 mde Wg) = (x +e 1)
F.a21 mde 91 © be - 2x - a)?
322 moe tg) de = 119 + D
F.324 comuns: 1 0-2
‘nfo comunt: 3 6-1
F325 0 0
F326 6 à
F327 0 = 6 ov a= 12
F328 mme = ae = xe xD al?
ede = x= 1
F.329 mme = x8 = x? 2x2 + 1
mde = x1
ease Sta?
TESTES
NÚMEROS COMPLEXOS
Tra
Tes
Tes
17
(CESCEN 681 Os nimerus complexus x © y pura os quan
aa
So respoctvumente
ated elo, RN
ao © nenhum dot untenores
(PUC-74) O número complexo z que verifies à equncio
Iori 06
Da ee is ei
ICESCEN: 701 A pornos enbsimo In imievo) de um nömers imvuimário. puro &
a1 sempre um número imoginário puro
DI sempre um numero veal negative
1 sempre um númeso real postive
malo où um mimara imagine puro
+ nenhum das anteriates
"o
(MACRI) A igualado (1 +
voile para todos oF números ma
aa v2 #3 wa
9) menus os respostes amtenores
(MACK-77) Sejam 08 números complenos ul ii ev Dei, Eo Ur
igua a:
ay bu ow CET ©) nom
AFEI-72) O número compan
al imaginávio paca 9 II positivo para n múltiplo de 2
©) poste para n db forma A R41) compleso de toma à + bi como YO
bl Sontorme n pode valer 1.4.1 ou =
IMACK-751 Dado M 78 à 7% 2 AN à Mt = 37 10, 0 olor de 1 no ponte
moisi War iii ates CNE
177-F
Miet
asie 2
Pas da Shes 77
8°) OG) « 5x2 + 26% + 77
5.206 Ni
F207 5 à cit vila.
F208 « (1,2)
F209 a 2 6 rai duals
à 6 ral dupla
BI 1 6 raz ita
24 raiz dupla
F3005 - (1, -2}
F304 a) A=-5 où A- 27
D 5 A <7
F.206 uma rai tip: p = 0 € a = 0
ums raz dupla: and + 270% = 0
307 4p? = 2742
z
F308m « um
a
7
6209 270° + 2664 = 0
Fa10m= 605,
Farm 2059 td
Fax 19
176-F
F150) a=
Fa PAS?
Poss
F317 mde gh = x? + x 2
F318 mde (gl = + +2
F319 mde Wg) = (x +e 1)
F.a21 mde 91 © be - 2x - a)?
322 moe tg) de = 119 + D
F.324 comuns: 1 0-2
‘nfo comunt: 3 6-1
F325 0 0
F326 6 à
F327 0 = 6 ov a= 12
F328 mme = ae = xe xD al?
ede = x= 1
F.329 mme = x8 = x? 2x2 + 1
mde = x1
ease Sta?
TESTES
NÚMEROS COMPLEXOS
Tra
Tes
Tes
17
(CESCEN 681 Os nimerus complexus x © y pura os quan
aa
So respoctvumente
ated elo, RN
ao © nenhum dot untenores
(PUC-74) O número complexo z que verifies à equncio
Iori 06
Da ee is ei
ICESCEN: 701 A pornos enbsimo In imievo) de um nömers imvuimário. puro &
a1 sempre um número imoginário puro
DI sempre um numero veal negative
1 sempre um númeso real postive
malo où um mimara imagine puro
+ nenhum das anteriates
"o
(MACRI) A igualado (1 +
voile para todos oF números ma
aa v2 #3 wa
9) menus os respostes amtenores
(MACK-77) Sejam 08 números complenos ul ii ev Dei, Eo Ur
igua a:
ay bu ow CET ©) nom
AFEI-72) O número compan
al imaginávio paca 9 II positivo para n múltiplo de 2
©) poste para n db forma A R41) compleso de toma à + bi como YO
bl Sontorme n pode valer 1.4.1 ou =
IMACK-751 Dado M 78 à 7% 2 AN à Mt = 37 10, 0 olor de 1 no ponte
moisi War iii ates CNE
177-F
TES (ITA-IS) Se 2
fentéo podamos a
024 € 25 tio ambos rene ou neh
BI zp 0 23 o nivmeros complexos ndo resi
Gi 21 0 23 sio mimaros reas racional
di 2 € número complexo puro e 2 & número real
9) nenhurna das anterior
450 ambos resi,
23 so nümeros complexos, nem ec
TRO (MAGK-77) O nümero las bit, web resis, 6 eal a atitamente negativo se e
a 320 CEE dato e b#0
dayOebz0ea==b el no mi
TEO CESCEN-<) 0 comme IE ate
ai
TFT APUC-77) O conjugado do inverso de número comalexo +
s Biel aia ai CRE
TEAZ {EPUSP-67) Seen y dois números complexos tos que u =
(we conjumdus de ve vl. Ente y=v 6 iguol a
ri rt 23-31
9) nenhuma dis respostes anteriores
RN
PETE)
‘YE.13 ICESGRANAIO-77) Sei x = x + iy um número complexo nfo nulo, onde x e y
fo rois Se we sio números rons ti que:
A ea +18 pomos alos que
al sil<ı war darber warmen
Ma>0en>o
TF4 LEPUSP-6S) O quocionte do número complexo a + ib palo número complexo aso
bolbrera hac ba
dorcrbraro 1 enhuma das respostes anteriores
A 21 À gvalce
Py ro
do e el
Bteyteieo
y-0e lziet
dv-0emivet
178-F
TF.16 (PUC=74) Na forma tngonamitrica © número complexe
ar
fica
Ti
am
0 VF Leos B+ 0 3
0 Va eos
1 an
ote eos SF isan
Bee
an
T6.17 (CESCEM-701 Dedos os núxreros complexos
1 2 0 (corgi sam 9)
23 2 0 + (sen 6 à 2 cos 1
a) 21 #23 160 conjugados
9 2) - 21, & um número cel
A) xy min 6 um número rest
1
Endo, o mégulo # 0 sigumento de 2 so, respectivamente
das mem VE es
0 si
TEA (UNICAMP-67) O modulo de poro à à à resis, 6
tre 2 on a
©) Pertuma dar resportas a
TF.20 (FECLUSP-69) O módulo do nómero complexe
EA Fr
PEL PAPERS:
bl zen € um veo seal
mr ies um número real
où 6 © 90"
corte Wie imma
oar ome a ann
+) penhume decries nines
Tea MAGICO Se +L +, amo over de Lal 6
at vo at CE ae
TEE WACK O meo come 5030 Estan SIE 1.2, En
dass bazo ando ado
ES
(CESCEA-74) Soja 2 0 produto dos números complexos V3 + à a $+ Va
179-F
fentéo podamos a
024 € 25 tio ambos rene ou neh
BI zp 0 23 o nivmeros complexos ndo resi
Gi 21 0 23 sio mimaros reas racional
di 2 € número complexo puro e 2 & número real
9) nenhurna das anterior
450 ambos resi,
23 so nümeros complexos, nem ec
TRO (MAGK-77) O nümero las bit, web resis, 6 eal a atitamente negativo se e
a 320 CEE dato e b#0
dayOebz0ea==b el no mi
TEO CESCEN-<) 0 comme IE ate
ai
TFT APUC-77) O conjugado do inverso de número comalexo +
s Biel aia ai CRE
TEAZ {EPUSP-67) Seen y dois números complexos tos que u =
(we conjumdus de ve vl. Ente y=v 6 iguol a
ri rt 23-31
9) nenhuma dis respostes anteriores
RN
PETE)
‘YE.13 ICESGRANAIO-77) Sei x = x + iy um número complexo nfo nulo, onde x e y
fo rois Se we sio números rons ti que:
A ea +18 pomos alos que
al sil<ı war darber warmen
Ma>0en>o
TF4 LEPUSP-6S) O quocionte do número complexo a + ib palo número complexo aso
bolbrera hac ba
dorcrbraro 1 enhuma das respostes anteriores
A 21 À gvalce
Py ro
do e el
Bteyteieo
y-0e lziet
dv-0emivet
178-F
TF.16 (PUC=74) Na forma tngonamitrica © número complexe
ar
fica
Ti
am
0 VF Leos B+ 0 3
0 Va eos
1 an
ote eos SF isan
Bee
an
T6.17 (CESCEM-701 Dedos os núxreros complexos
1 2 0 (corgi sam 9)
23 2 0 + (sen 6 à 2 cos 1
a) 21 #23 160 conjugados
9 2) - 21, & um número cel
A) xy min 6 um número rest
1
Endo, o mégulo # 0 sigumento de 2 so, respectivamente
das mem VE es
0 si
TEA (UNICAMP-67) O modulo de poro à à à resis, 6
tre 2 on a
©) Pertuma dar resportas a
TF.20 (FECLUSP-69) O módulo do nómero complexe
EA Fr
PEL PAPERS:
bl zen € um veo seal
mr ies um número real
où 6 © 90"
corte Wie imma
oar ome a ann
+) penhume decries nines
Tea MAGICO Se +L +, amo over de Lal 6
at vo at CE ae
TEE WACK O meo come 5030 Estan SIE 1.2, En
dass bazo ando ado
ES
(CESCEA-74) Soja 2 0 produto dos números complexos V3 + à a $+ Va
179-F
1TF.23 (MACK-79) A solucio du equacio 1e, + 2 = 2 + 1 6 um número complexo de médur
oe
nz wVE 91 a
o
à
sie
TR.28 (FFCLUSP-69) Se z e w año doit múmeras complexes quaisquer tas que
lai to 19200,
entso o número complexo ZI à
al dewlor absolute BI imaginério puro al ore
sa al nenhums dus resposus anteriores
1-25 (ITALIE) Supontemos que
moore nasty, #0, 40
1550 dois números complexos, tas que 21 +73 = 2. Eno tomos:
almas e la ihe?
bl ayer oe lee ial VE
moro lalelai- V2
nenn tyes
a) nenume das resposta anteriores
TF26 WUC-70) Seb 2 lens 20 iemn 20" A 2 pe leu A+ 1e send). us anos
eortespandentes à D, b+ 2, D 2 ia, b+ Ir lo os vértices de um
al rapero bt losange e mund
© quadrititero qustaver a) nanhuma das respostas amerores
16.27 (UNICAMP-67) Dos ninnsos complexos, nfo nulos, enardo representados, no plano,
complesa, sobre uma reta que pass pela Geiger:
3 se tou produto far um número complex
A oe au auoeinnne for um nümer real
el somente se mus argumentos forem cóngruos a À
2
al sempre © nunca
TP.28 (MACK-74) O número complexe 2-x+ yl Etat que [4-31 -2. Entin, necesaria
HOLx<I e 0<y<2
U1Sa55 e -24y 82
O -1SxS2 0 2% y 59
Wonca + 0663
DORE a y Alo tem tenio
TR.29 IMACK-/7) Represantando-te graticamente, mo plano de Argand Gauss, of núnecos
complenos 7 tas que 2° - Es, © nünro de pontas obtidos &
wi v2 as aa ©) a0 se
180-F
T6.30 (CESGRANAIO-COMCITEE-72) O conjunto dos pontos 2 - x + do plano com
plexo que saistizem [2-117 2x a y22 €
3} 0 conjunto vaso
bi uma ragige ro limitada do plano
© todos or pomos x= iy tts que y 22
urna re
El diferente dos quatro anteriores
TRAN (ITA-74] Seis 2 um número complexa, sotucío da equacio
ter S280, k-0,1,2,9,4.
Podemos afirmar que:
8) todos. os 24, k=0, 1. 4 entäo sobre uma circunteréncia
1) todos oF 74, «0, 1... 4 eto sobre uma reta paralela 30 sixo real
1 todos or 74, k= 0, 1... 4 estño sobre uma rata paralela 0 else imaginéio
9 4 equagso no admite solucio
9) nanhuma das respostes anteriores
5.32 (MACK-75) Où números complonos 2 Wis que 12-217 - 3)
8 Y cas, representados no plano de Argund-Guuss, formam:
al ume reto BI sera parébota
€} uma oipse com locos emo e 7
©) ume eifeunterénen com centro em a aio Y
6) um hipérbote
TF3 (MACK-76) Sen t= 2 4 3i um nümero complexo, Se
A-izEelleust; ce
BCE >-atbi e mea},
feo no plano de Argen Gauss, ANB &
al um conjunte vis I ume semicreunferäncia
1 umsemicíicalo 9 ans crearte
fe) um circulo
Tr.38 (COMUITEC-COMBIMED-751 Sejam 0, 2, e 23 us representaedes gráficos dos com-
plenos 0, (2,231 e (-b.-11, respectivamente. À menor geterminuci pos
de ingule AOA e
a 170 mage ou 165" on
TES (GESCEN-74) As fungies mprbólicas costa 0 Senne sin defiidas como:
ame") sion OS
onde ra tive at! e leony Pisin)
Ness condiobos, podemos dize que cosh z € qual a
al tinh x + sin y = Som x + out yO) sim x + cosy + cosh x ein y
ch woah x scory tina =siny coma Hiny Gain cuty
1815
oe
nz wVE 91 a
o
à
sie
TR.28 (FFCLUSP-69) Se z e w año doit múmeras complexes quaisquer tas que
lai to 19200,
entso o número complexo ZI à
al dewlor absolute BI imaginério puro al ore
sa al nenhums dus resposus anteriores
1-25 (ITALIE) Supontemos que
moore nasty, #0, 40
1550 dois números complexos, tas que 21 +73 = 2. Eno tomos:
almas e la ihe?
bl ayer oe lee ial VE
moro lalelai- V2
nenn tyes
a) nenume das resposta anteriores
TF26 WUC-70) Seb 2 lens 20 iemn 20" A 2 pe leu A+ 1e send). us anos
eortespandentes à D, b+ 2, D 2 ia, b+ Ir lo os vértices de um
al rapero bt losange e mund
© quadrititero qustaver a) nanhuma das respostas amerores
16.27 (UNICAMP-67) Dos ninnsos complexos, nfo nulos, enardo representados, no plano,
complesa, sobre uma reta que pass pela Geiger:
3 se tou produto far um número complex
A oe au auoeinnne for um nümer real
el somente se mus argumentos forem cóngruos a À
2
al sempre © nunca
TP.28 (MACK-74) O número complexe 2-x+ yl Etat que [4-31 -2. Entin, necesaria
HOLx<I e 0<y<2
U1Sa55 e -24y 82
O -1SxS2 0 2% y 59
Wonca + 0663
DORE a y Alo tem tenio
TR.29 IMACK-/7) Represantando-te graticamente, mo plano de Argand Gauss, of núnecos
complenos 7 tas que 2° - Es, © nünro de pontas obtidos &
wi v2 as aa ©) a0 se
180-F
T6.30 (CESGRANAIO-COMCITEE-72) O conjunto dos pontos 2 - x + do plano com
plexo que saistizem [2-117 2x a y22 €
3} 0 conjunto vaso
bi uma ragige ro limitada do plano
© todos or pomos x= iy tts que y 22
urna re
El diferente dos quatro anteriores
TRAN (ITA-74] Seis 2 um número complexa, sotucío da equacio
ter S280, k-0,1,2,9,4.
Podemos afirmar que:
8) todos. os 24, k=0, 1. 4 entäo sobre uma circunteréncia
1) todos oF 74, «0, 1... 4 eto sobre uma reta paralela 30 sixo real
1 todos or 74, k= 0, 1... 4 estño sobre uma rata paralela 0 else imaginéio
9 4 equagso no admite solucio
9) nanhuma das respostes anteriores
5.32 (MACK-75) Où números complonos 2 Wis que 12-217 - 3)
8 Y cas, representados no plano de Argund-Guuss, formam:
al ume reto BI sera parébota
€} uma oipse com locos emo e 7
©) ume eifeunterénen com centro em a aio Y
6) um hipérbote
TF3 (MACK-76) Sen t= 2 4 3i um nümero complexo, Se
A-izEelleust; ce
BCE >-atbi e mea},
feo no plano de Argen Gauss, ANB &
al um conjunte vis I ume semicreunferäncia
1 umsemicíicalo 9 ans crearte
fe) um circulo
Tr.38 (COMUITEC-COMBIMED-751 Sejam 0, 2, e 23 us representaedes gráficos dos com-
plenos 0, (2,231 e (-b.-11, respectivamente. À menor geterminuci pos
de ingule AOA e
a 170 mage ou 165" on
TES (GESCEN-74) As fungies mprbólicas costa 0 Senne sin defiidas como:
ame") sion OS
onde ra tive at! e leony Pisin)
Ness condiobos, podemos dize que cosh z € qual a
al tinh x + sin y = Som x + out yO) sim x + cosy + cosh x ein y
ch woah x scory tina =siny coma Hiny Gain cuty
1815
TF.36 (CESCEN-72) Considerese o conjunto K dos números complexos de forma a bi
nde a e b sio números racionais. Indique qual das oporacdes sepuintes pode nfo
ter resultado em K
al adigfo D) subtragto ©) multpicacio
dl visto com divisor ao nulo ©) rosiciagio
POLINÓMIOS
TF.37 (CESCEM-69) Daco o polinomio Pix) = x2 - 2x, 0 valor de PI +1) ser
2) PUD + Pa b)-2 oo
az ©} renhums oes antariore,
TED IMACK=79) Bind apo" + ap euer too 6 um potintmio
dp + dns to tan tag & 8 soma dos costcientes do polinémio pix).
A som dos coelicientes do polinómio. (4x2 - 2x0 = 2x = 1135 4
a0 1 -36 at ant
© imposivel de celular no tempo pone
TEO (CESCEA-70) Sls Pin} um poinómo do 22 grau a que
PO) =-20 APRA 6
Endo, 0 conjunto de todos ot x para os quals Phx) <0 €:
GER Ix S-2 où “>10 bi WE Lx <4 où x 8)
d RER la <x<s D RER 122 Lx < 10)
RER La <-20 oy x >a)
TFA (EPUSP-87] Se 1x) & um polinomio do tercairo grav tal que HO) = -2 HI « 3:
12)- 1 He 6, emo
aso yo<m<s a 3 <1) <6
MODE 0) renhums das respostas anteriores
TAN (ITA-70) Soja # uma funglo cant tal que Mn = 830 + bx + ex +d, para todo
x real, onde 9, b 6, d so números mas. Se f(x) = O para todo x do conjunto
(1.2, 3,4,5), temos, entáo, que:
où (Bis ar 6) HG a+ 3
6) el menhuma dos afirmagdes acima 6 válida
isla st cordicós 1
TR.A2 (ITA-771 Se Pix) & um polinómio do 5? grou que sa
= P21 = PÍO) = Pls) = PIS) e PIG)~ 0, entéo tome
2) Po) CPE a PRI-S
Sl PIG)- 2 6) nenhume das resposta anteriores
TF8 (CESCEA-70) O coeficiente da maior pordncia de um potinómia Plx) de 39 graue 1
Sabendose que PII)=PIZI=0 © PIS) 20, entgo PET) vale
aa br 66 ae 9-2 or
182-F
restent de onerapäo
TFA4 (GV-70) O grau do polinömio quoci
fot ses men)
aa DEI a7 ae
©} menhums des reports anteriores
TAG UTA-70) Considre o conjunto G dos polnómios Piel de grau 3, ta que Pla) =
= Pox} pora todo x real. Temes, ento, que:
81 © tem apenas dois elementos
BI C € 0 conjunto de todos 08 polindmios da forma P(x) = 2px! + bx,
el C tem apenas um elements
{4} € tem ums infinidide de siamentos,
9) montura das anteriores
48 (ITA-69) Seja C o conjunto e todos ot polinámics POX) de grau 2 que se anula para
x= 1 6 x= 2, Seis D o conjunto de todos os palinbmios Pix) de grau 2 quese anulam
pars xu 1, #22 0 x=3. Entäo uma das afırmacder abaixo verdadera.
si cad bl a unido de C com Dé iguat D
e) CostácomidomD 9) Destd contigo em C
MI nanhuma das anterieres
“TR.a7 ICESCEM-75} Considere 93 proposes:
1. Um polinömio cujo termo de maior grau & Aga", (Ag #0), seré do grau Im-1)
00 terma indopendente for nulo. Ñ
Um palinómia de rau m te, no máximo, Im +1) termos nâo nulas
ais polindmioe serio do mamo grau quando possuirem © memo número de 1
anio.
a) tocar so verdadeicos — b) roment 16 werdadeira el somente 1 € vordadeira
somente II 6 vecicera 8) odes af tales.
TAB (EPUSP-G81 Sein up 0 cocficiene de x” num polindmio de cooliientes complexos
de grau 30. Sando ty =-1 © pais 1 ip ln DO). mid ayy à igual a
ai bhai ai 20) nonnom doe anteriores
representada de forma única
ha CESEN Se) un cera oe
ee
a
o termo de maior grav, nitrie, Nextar condicós, deínimos ordem K de rin] como:
2% au Ab sn grs (pind) & grau (etait
Ke
2% rau de (pb -1 se grau (pou) > gray lated
get + a
Asti, dado o palmómio ra - TE à ordem de es
on v2 ea aa os
183-F
nde a e b sio números racionais. Indique qual das oporacdes sepuintes pode nfo
ter resultado em K
al adigfo D) subtragto ©) multpicacio
dl visto com divisor ao nulo ©) rosiciagio
POLINÓMIOS
TF.37 (CESCEM-69) Daco o polinomio Pix) = x2 - 2x, 0 valor de PI +1) ser
2) PUD + Pa b)-2 oo
az ©} renhums oes antariore,
TED IMACK=79) Bind apo" + ap euer too 6 um potintmio
dp + dns to tan tag & 8 soma dos costcientes do polinémio pix).
A som dos coelicientes do polinómio. (4x2 - 2x0 = 2x = 1135 4
a0 1 -36 at ant
© imposivel de celular no tempo pone
TEO (CESCEA-70) Sls Pin} um poinómo do 22 grau a que
PO) =-20 APRA 6
Endo, 0 conjunto de todos ot x para os quals Phx) <0 €:
GER Ix S-2 où “>10 bi WE Lx <4 où x 8)
d RER la <x<s D RER 122 Lx < 10)
RER La <-20 oy x >a)
TFA (EPUSP-87] Se 1x) & um polinomio do tercairo grav tal que HO) = -2 HI « 3:
12)- 1 He 6, emo
aso yo<m<s a 3 <1) <6
MODE 0) renhums das respostas anteriores
TAN (ITA-70) Soja # uma funglo cant tal que Mn = 830 + bx + ex +d, para todo
x real, onde 9, b 6, d so números mas. Se f(x) = O para todo x do conjunto
(1.2, 3,4,5), temos, entáo, que:
où (Bis ar 6) HG a+ 3
6) el menhuma dos afirmagdes acima 6 válida
isla st cordicós 1
TR.A2 (ITA-771 Se Pix) & um polinómio do 5? grou que sa
= P21 = PÍO) = Pls) = PIS) e PIG)~ 0, entéo tome
2) Po) CPE a PRI-S
Sl PIG)- 2 6) nenhume das resposta anteriores
TF8 (CESCEA-70) O coeficiente da maior pordncia de um potinómia Plx) de 39 graue 1
Sabendose que PII)=PIZI=0 © PIS) 20, entgo PET) vale
aa br 66 ae 9-2 or
182-F
restent de onerapäo
TFA4 (GV-70) O grau do polinömio quoci
fot ses men)
aa DEI a7 ae
©} menhums des reports anteriores
TAG UTA-70) Considre o conjunto G dos polnómios Piel de grau 3, ta que Pla) =
= Pox} pora todo x real. Temes, ento, que:
81 © tem apenas dois elementos
BI C € 0 conjunto de todos 08 polindmios da forma P(x) = 2px! + bx,
el C tem apenas um elements
{4} € tem ums infinidide de siamentos,
9) montura das anteriores
48 (ITA-69) Seja C o conjunto e todos ot polinámics POX) de grau 2 que se anula para
x= 1 6 x= 2, Seis D o conjunto de todos os palinbmios Pix) de grau 2 quese anulam
pars xu 1, #22 0 x=3. Entäo uma das afırmacder abaixo verdadera.
si cad bl a unido de C com Dé iguat D
e) CostácomidomD 9) Destd contigo em C
MI nanhuma das anterieres
“TR.a7 ICESCEM-75} Considere 93 proposes:
1. Um polinömio cujo termo de maior grau & Aga", (Ag #0), seré do grau Im-1)
00 terma indopendente for nulo. Ñ
Um palinómia de rau m te, no máximo, Im +1) termos nâo nulas
ais polindmioe serio do mamo grau quando possuirem © memo número de 1
anio.
a) tocar so verdadeicos — b) roment 16 werdadeira el somente 1 € vordadeira
somente II 6 vecicera 8) odes af tales.
TAB (EPUSP-G81 Sein up 0 cocficiene de x” num polindmio de cooliientes complexos
de grau 30. Sando ty =-1 © pais 1 ip ln DO). mid ayy à igual a
ai bhai ai 20) nonnom doe anteriores
representada de forma única
ha CESEN Se) un cera oe
ee
a
o termo de maior grav, nitrie, Nextar condicós, deínimos ordem K de rin] como:
2% au Ab sn grs (pind) & grau (etait
Ke
2% rau de (pb -1 se grau (pou) > gray lated
get + a
Asti, dado o palmómio ra - TE à ordem de es
on v2 ea aa os
183-F
TR.SO ICESCEM-70) P(x! € um polindmio de yrov à ti que:
PIO #0, tnd, Palo
Pio
CRT
<) uma tungáo acional
1} nenhums dos espostas anteriores,
TEST (PUC-12} Oval polinómo abuixo €
rr
aid nn 2x
Dt Er)
ve etd ato
mi x-0
D) uma fungi racianal ago into
@) uma funcio tanscedente
amen nulo?
BI x = 3x à x
sex
PET = 2 a8 4 2 à 2e = Bu = 2e
152 IGV- Se
Len = 210 4 fm? and Dims a= BIN dG +1 idonticamente nulo,
an ws aa a 2
el serum as alterativa anteriores,
TRESICESCEA. 76! Subendo que y, be 6 Wo is ue x? 744 a ee
ln bel ix 1) ma dentidhue, O velos de ath 4e à
aa mos di 10 a2 mo
RBS {GV-721 Para que o bánómio 732 + 17 sejuiobnuico $ exprassio
LA = bP ah Hat. coma 30 © >0. dowmos wer para a-b ©
aa ws an
a3 el menhuma das alternative
TELSS ITA-68) Os cosluciones A, 8, € € D do polinomio PO). Ad + Bx? Ex D devem
“Sstistaes cotas solos para que PLA) Seja um cubo parent, Asse a opio corre
ca
ao SA
2 er
we eo Ay
BC sa co gta
ac oo Le
Oo SK EN
104.7
TF56 (GV-731 Um, e somonte um, dos polinómios abaixo satisaz y relocio
Pix = Pix = 1}, pave todo x rea
deeds retreat at
DP pate ders br Pod =} 3
©) Pin = at 3x a Pot
a) Po 2 x
TR.S7 IITA-68) Dizrmos que or polindmios prix, pa Dee exixt so lincurmente indepen
¿entes IL 1) seo regie ayy {x + agpe(x} | ayaghe! = O implica vj ~ 99> a3- 0,
nde a. 89, 33 #70 números rea, Caso conträrio, diam que pyle), PO €
F3) s50 tinearmente dependentes IL. D.} Os polnamas nba = x? 4 2x + 1,
mode x2 #1 e pyle = 32 = 2x +2 ai
saut
BI mem L 1. mem LD,
12) LA se pi pe € pal cium ue aimes ais
au.
SI manu dst anteriores.
TRSB (PUC=/2 Os voiores de m, n e p par que
nb lo Bie Lip 348
mara
ie incapandeme de x sio:
dm n-5 pe? ml n-6 0-9
Omit ns ped dm 1
Amin 3 0-6
TD (CESCEA-72) Detwrman à © b do modo que a expreso
aoe
Be toe te
iy depeoas de x. Emin. à +B & ius!
di bio 8 a ne se
TEGO {GV-711 Sinpiticanda.se 3 exprassin:
) Gone te e 2) ks Tix = thie ead
ort
185-F
PIO #0, tnd, Palo
Pio
CRT
<) uma tungáo acional
1} nenhums dos espostas anteriores,
TEST (PUC-12} Oval polinómo abuixo €
rr
aid nn 2x
Dt Er)
ve etd ato
mi x-0
D) uma fungi racianal ago into
@) uma funcio tanscedente
amen nulo?
BI x = 3x à x
sex
PET = 2 a8 4 2 à 2e = Bu = 2e
152 IGV- Se
Len = 210 4 fm? and Dims a= BIN dG +1 idonticamente nulo,
an ws aa a 2
el serum as alterativa anteriores,
TRESICESCEA. 76! Subendo que y, be 6 Wo is ue x? 744 a ee
ln bel ix 1) ma dentidhue, O velos de ath 4e à
aa mos di 10 a2 mo
RBS {GV-721 Para que o bánómio 732 + 17 sejuiobnuico $ exprassio
LA = bP ah Hat. coma 30 © >0. dowmos wer para a-b ©
aa ws an
a3 el menhuma das alternative
TELSS ITA-68) Os cosluciones A, 8, € € D do polinomio PO). Ad + Bx? Ex D devem
“Sstistaes cotas solos para que PLA) Seja um cubo parent, Asse a opio corre
ca
ao SA
2 er
we eo Ay
BC sa co gta
ac oo Le
Oo SK EN
104.7
TF56 (GV-731 Um, e somonte um, dos polinómios abaixo satisaz y relocio
Pix = Pix = 1}, pave todo x rea
deeds retreat at
DP pate ders br Pod =} 3
©) Pin = at 3x a Pot
a) Po 2 x
TR.S7 IITA-68) Dizrmos que or polindmios prix, pa Dee exixt so lincurmente indepen
¿entes IL 1) seo regie ayy {x + agpe(x} | ayaghe! = O implica vj ~ 99> a3- 0,
nde a. 89, 33 #70 números rea, Caso conträrio, diam que pyle), PO €
F3) s50 tinearmente dependentes IL. D.} Os polnamas nba = x? 4 2x + 1,
mode x2 #1 e pyle = 32 = 2x +2 ai
saut
BI mem L 1. mem LD,
12) LA se pi pe € pal cium ue aimes ais
au.
SI manu dst anteriores.
TRSB (PUC=/2 Os voiores de m, n e p par que
nb lo Bie Lip 348
mara
ie incapandeme de x sio:
dm n-5 pe? ml n-6 0-9
Omit ns ped dm 1
Amin 3 0-6
TD (CESCEA-72) Detwrman à © b do modo que a expreso
aoe
Be toe te
iy depeoas de x. Emin. à +B & ius!
di bio 8 a ne se
TEGO {GV-711 Sinpiticanda.se 3 exprassin:
) Gone te e 2) ks Tix = thie ead
ort
185-F
TEST (COVSART-731 A expresso:
1
Te “
Susann 3
+2
à EE mx
Ca
Visit zur
eh nenhums das mposias series
1.62 (PUC-761 Os valores de A 6 ais ave:
lee a
92. AE
RSS Tas B= onde A, BEC 150 rite a, bee so
aA -28 -1,0-0
At; Ba 3: 602
1 nennums dot anteriores.
TRGS (MACK 2771 On or de
Bene
a
CE {Decermine duns constantes Au 8 tas que
1 A a
dz CRC EURE RE TEL
a?
©) 030 se
TRS (PUC 1/1 O auocieme de civisio de nalindmio
Pind as en md por Prod lla
EE bl 24 1 20 2x8 2 2 + 1)
©) Diet 2 30 2 28 =e + a 204 + 2 92 +2 =
E
TRGG (CESCEA-75) O quaciente e o cesto da divido de Phx) - xt x +1 gor Di
Lx x= à ado, reipactiamente
durs est bent ene?
Dun ent dits ex
O
106-F
TF7 (CESCEM-67) Dados os polinbmies PIal do grau mo Six! de grau n In <mi: ©
seo We die do polindmia P(x) por (xb a nacetariamente
al um polindmio de grau O; sto & uma constante
DI um polindmve de gray m0
©) um nolindmio de grau menor que a
A1 um polnormo identicamente nulo
9) um potinöm.o de grau menor quem
‘TF.68 (E ESCUSP-66) Sera O a quociente e A 0 reno du dudo de um golinámio A por um
Ppaindmiv 8. Eno, quando À à dvd por 20:
o 8
a) o quoriente € 20 eo wate 2R bl oquonemes Leon E
a ex 2K») oavonene à 2 :
|
81 o quacieme 6 20 4 0 resto À
(TF.G9 (CESCEM-70) Divina {x} - 4x2 + 7x - 3) por un verte polinomio pb) obremas
uociento [x= 1) orasto [2e- 1} O polindmio pls) & igual
a 22-3042 D x? a0 +2 ch atest
PEA €) nenhums das enteriorer
TR.TO (MACK-16) Se Aix) = Ble - 200 2 1) = (2x = AS +3)
Btn) = Er TE Be Een
ei Ba
ma
crudo, pura todo x do dominio de F, ma
a Fara wo Fi = x22
arme ve PTE
5 nama erative entries coma
TEIVICESCEN-TD Se re a, onde PEL
aa bl axes
arte aK ete
mar.
=
TRTZ (ITA-71 Dividindo o valinömio Pix] - x2 4x2 +x 41 pele polindmie OL obremos
o quociemo Si) = 1 +x eo reo Rix) x +1. O polinomio Gls) sarita
si op) - 0 vom. 2) alo #0
eam #0 +) nenhuma des anteriores
16.73 (PUG-77 Se a divisdo do potindmio Py eh - x + px? - ax +3 por Pobla
or exats, enti os valoras de à 6 u sin, respectivamente:
sized site d2e2 tet sea
187-F
1
Te “
Susann 3
+2
à EE mx
Ca
Visit zur
eh nenhums das mposias series
1.62 (PUC-761 Os valores de A 6 ais ave:
lee a
92. AE
RSS Tas B= onde A, BEC 150 rite a, bee so
aA -28 -1,0-0
At; Ba 3: 602
1 nennums dot anteriores.
TRGS (MACK 2771 On or de
Bene
a
CE {Decermine duns constantes Au 8 tas que
1 A a
dz CRC EURE RE TEL
a?
©) 030 se
TRS (PUC 1/1 O auocieme de civisio de nalindmio
Pind as en md por Prod lla
EE bl 24 1 20 2x8 2 2 + 1)
©) Diet 2 30 2 28 =e + a 204 + 2 92 +2 =
E
TRGG (CESCEA-75) O quaciente e o cesto da divido de Phx) - xt x +1 gor Di
Lx x= à ado, reipactiamente
durs est bent ene?
Dun ent dits ex
O
106-F
TF7 (CESCEM-67) Dados os polinbmies PIal do grau mo Six! de grau n In <mi: ©
seo We die do polindmia P(x) por (xb a nacetariamente
al um polindmio de grau O; sto & uma constante
DI um polindmve de gray m0
©) um nolindmio de grau menor que a
A1 um polnormo identicamente nulo
9) um potinöm.o de grau menor quem
‘TF.68 (E ESCUSP-66) Sera O a quociente e A 0 reno du dudo de um golinámio A por um
Ppaindmiv 8. Eno, quando À à dvd por 20:
o 8
a) o quoriente € 20 eo wate 2R bl oquonemes Leon E
a ex 2K») oavonene à 2 :
|
81 o quacieme 6 20 4 0 resto À
(TF.G9 (CESCEM-70) Divina {x} - 4x2 + 7x - 3) por un verte polinomio pb) obremas
uociento [x= 1) orasto [2e- 1} O polindmio pls) & igual
a 22-3042 D x? a0 +2 ch atest
PEA €) nenhums das enteriorer
TR.TO (MACK-16) Se Aix) = Ble - 200 2 1) = (2x = AS +3)
Btn) = Er TE Be Een
ei Ba
ma
crudo, pura todo x do dominio de F, ma
a Fara wo Fi = x22
arme ve PTE
5 nama erative entries coma
TEIVICESCEN-TD Se re a, onde PEL
aa bl axes
arte aK ete
mar.
=
TRTZ (ITA-71 Dividindo o valinömio Pix] - x2 4x2 +x 41 pele polindmie OL obremos
o quociemo Si) = 1 +x eo reo Rix) x +1. O polinomio Gls) sarita
si op) - 0 vom. 2) alo #0
eam #0 +) nenhuma des anteriores
16.73 (PUG-77 Se a divisdo do potindmio Py eh - x + px? - ax +3 por Pobla
or exats, enti os valoras de à 6 u sin, respectivamente:
sized site d2e2 tet sea
187-F
16.74 (PUC-70} Paro que valor de m 0 resto da dio de Pu) = 4x3 - 3x? + mK +1 por
Pate 22-1 indapande de x?
3
amt bimt om.
5 5
5
amb
‘TF.75 (CESCEA-75} Sıbando-se que um polinámio Pix) do 49 grau $ divise por (x~ 219
eave PIO)==8 e P(t) -3, ovolor de PCS) &
a 10 oh 8 a6 a7 as
ETS TA-70) Sein Pla! = ap + aux | 222 4 age + u. + oo, onde oo 3, um
Bolinamio divisive! por (x + San, Nesta condigdes remos:
1001
a) eg = 50% 90 x 9 App an
do = US +) renta dat antros
2887
16.77 (PUC-70) Uma condici necemária e suficiente para que um poinömio Pix) de cost
cientes intra sea divisive! por (x 191 que:
a1 asia vilo por I 1 al?
fc) 3 is oi de PO
©) nanhums das anteriores
D) sein diviser por (a ad
8 “soir de Pia)
‘TF.78 (CESCEA-68) Se n 21 © um nümwo natural anröo o poinämin Pix) = 5x7 ax 21
ai Pia) A divisive por x-n
© Ph à tan por 2
EI Plat 4 vital por x2
bi PU & vieu por x + 1
I bet e iio oor 2 1
TF.79 (WACK-76) O resto da divitio de ka? + = 1 por x + 2k 0
PET
MR at
a ae
‘R80 (CESCEA-731 Os cosiciones ap. a, 9, 00 polindmia Pix} = ag + AUX + 39K,
arma, nesta ocdem, ums P.G. de vaio 112. Entio, 0 resto de aivisho de. PIX! Dor
x42, 4
210 sem omar BIO seno por
8 0 pet a) no sai
TR.BI (MACK-77! O resto da visio por x= b, de polmbmio.
Lara
O
1
ced à
oo at at
1887
a = ab = cb dl se bes #0
bi om geral, um polindmig no nulo de guau 3
el o poindmio nulo se e somance se an b= 6 =
(0) «empre o polindmio nulo
al no se
15.92 (CESCEN-72) A aviso de (9-1) por (x= 1) tomiesto Rial equocen Ol
Pose aiemar que:
sl Rik) 2-2 e Gb) vom gras 998
BIR) =O Ole se anula pora 0,
ch Re) =-2 0 QW) se anula para x =
DARIO o Oh vale pore x= O
SI Rb) S-2 e OR) valet pora x= 0
TE.83 (EPUSP-67) O rento de divido de um polinomio Pla) por ax = b à
“rm mnt adora
aa PUL 0 ann ai
TEE (PUC+711 O valor de k para o quel © polinämie Pla) = Ge + Viet Hand «hack +
+2x +8 à ais por Of: 3e +4 à
sis ui -2 a a2 aa
TES (CESCEA- 751 Assinalar a airmaco Flo
à 6x4 6x2 = 11 divisive! por a? 1
»
aa Ty) A, quin que seam oF mens € ey,
jo ge 4x9 4x02 por «21 88
el Se 0282 um imro, eatin, o reste au divisio de Au +x"? à 1 por x +1 6 8
TR.AG HITA-76) Où valons teus a eb, tals que os palitos.
wd ata (Que bie do a la + Zul +
sin diviveis pur x 11, o:
«et números anios, sendo que um e positive a o autro negativo
(di dors números rei, send um racional © 0 autra imacional
© wonnums das resposta anteriors.
Pate 22-1 indapande de x?
3
amt bimt om.
5 5
5
amb
‘TF.75 (CESCEA-75} Sıbando-se que um polinámio Pix) do 49 grau $ divise por (x~ 219
eave PIO)==8 e P(t) -3, ovolor de PCS) &
a 10 oh 8 a6 a7 as
ETS TA-70) Sein Pla! = ap + aux | 222 4 age + u. + oo, onde oo 3, um
Bolinamio divisive! por (x + San, Nesta condigdes remos:
1001
a) eg = 50% 90 x 9 App an
do = US +) renta dat antros
2887
16.77 (PUC-70) Uma condici necemária e suficiente para que um poinömio Pix) de cost
cientes intra sea divisive! por (x 191 que:
a1 asia vilo por I 1 al?
fc) 3 is oi de PO
©) nanhums das anteriores
D) sein diviser por (a ad
8 “soir de Pia)
‘TF.78 (CESCEA-68) Se n 21 © um nümwo natural anröo o poinämin Pix) = 5x7 ax 21
ai Pia) A divisive por x-n
© Ph à tan por 2
EI Plat 4 vital por x2
bi PU & vieu por x + 1
I bet e iio oor 2 1
TF.79 (WACK-76) O resto da divitio de ka? + = 1 por x + 2k 0
PET
MR at
a ae
‘R80 (CESCEA-731 Os cosiciones ap. a, 9, 00 polindmia Pix} = ag + AUX + 39K,
arma, nesta ocdem, ums P.G. de vaio 112. Entio, 0 resto de aivisho de. PIX! Dor
x42, 4
210 sem omar BIO seno por
8 0 pet a) no sai
TR.BI (MACK-77! O resto da visio por x= b, de polmbmio.
Lara
O
1
ced à
oo at at
1887
a = ab = cb dl se bes #0
bi om geral, um polindmig no nulo de guau 3
el o poindmio nulo se e somance se an b= 6 =
(0) «empre o polindmio nulo
al no se
15.92 (CESCEN-72) A aviso de (9-1) por (x= 1) tomiesto Rial equocen Ol
Pose aiemar que:
sl Rik) 2-2 e Gb) vom gras 998
BIR) =O Ole se anula pora 0,
ch Re) =-2 0 QW) se anula para x =
DARIO o Oh vale pore x= O
SI Rb) S-2 e OR) valet pora x= 0
TE.83 (EPUSP-67) O rento de divido de um polinomio Pla) por ax = b à
“rm mnt adora
aa PUL 0 ann ai
TEE (PUC+711 O valor de k para o quel © polinämie Pla) = Ge + Viet Hand «hack +
+2x +8 à ais por Of: 3e +4 à
sis ui -2 a a2 aa
TES (CESCEA- 751 Assinalar a airmaco Flo
à 6x4 6x2 = 11 divisive! por a? 1
»
aa Ty) A, quin que seam oF mens € ey,
jo ge 4x9 4x02 por «21 88
el Se 0282 um imro, eatin, o reste au divisio de Au +x"? à 1 por x +1 6 8
TR.AG HITA-76) Où valons teus a eb, tals que os palitos.
wd ata (Que bie do a la + Zul +
sin diviveis pur x 11, o:
«et números anios, sendo que um e positive a o autro negativo
(di dors números rei, send um racional © 0 autra imacional
© wonnums das resposta anteriors.
TF.87 (MACK-75) Sabese que os restos das vibes dey? + ay +2 por y=1 ey +1 TE94 (GV-74) Snjam a, E, e, da, 1 os números que apsrecem no dispositive (de Briat-Rulfi
so iguala entr 5 O valor de a 6: nil pera o cálculo do quociente e do reso da dis de
a0 e 92 as Bal + Bad AF 16 por x +4.
+) impossve de ser calculado com à inormacio dada
2 8 o 16
TE.88 (CESCEM-76) O quoeiente de 2x4 - 8x7 - 10% =1 por x-3 &
of zx 1182 + 23% 68 BI 29 2 1138 4 39% + 109) Eme E
el 2218 + 23x 109 dae? 28 ca 2
DEN Er ve rer)
mio as becedtert wi
TF.89 IGV-74 O quociente du divisäo do polinómio (4x4 + 6x3 - 7x24 8x- 7) por ee .
wen e a 19 as an os
a) 4x = 16x + 74 bh 26 - 7x +37 “TR.965 ICESCEM-70) Se PIX) & um polinômo divisivel por (x - a) e por {x - bh podemos
cone que (r= 0 de Di dde Pole,
a TE am 2, 2 a
a bi al sempre b) desde que Pia) = Pb) = D
a e =n) 0 al duran AE
el nenhurna cas anteriores
TEO (GV-73) Assinale à lirmaçäo verdadero
“TR.96 (CICE -68) Determinar m en no polindmio 2 + 3x0 + ml nx 3 para que
ana mein Men nel ee
ed dim=21, n-21 e m=-17, n= 24
PA]
SEE TROT ICESCEA-72) Se 9.6 b sio determinados de forma que o polindmic
TF.9V IMACK-69) Na divisio do polindmo Ses ax) » bx! + Du 41 por x= 2, en ear be + 20
comrouse O quociance Sat + ex + dx? + ex + 115. O vette & vis Gish por x? = 8x 4, entio a+b wie
2-29 DE azar CET wo vi -20 os a2 DE
el imgossivel de determinar sem comiecer 8, b, €, de
TF8 (GV-71) Determinandose m on de forma que 4-3 220 + mx tn sa
TE.S2 (CONSART-741 O polinbmio Pix) que satistaz a iquotdage divisive por 32 - Sx - 6, 0 quociante desso divisio sed:
Han + 242 POD à 3x8 4 38 2 x= 2 + Pld be ah ate 4x +4 ba d 6446-10
a) 92222 bd? ates del TA
ao dt
TF.99 (MACK-73) O polindmio 20 = 927 6 divisvel por x2 a
TE93 (CESCEA-70) O quodro a) se, € somente se, n for um número natural per
D se, e somente se, n for um número natural impor
132 oro es „1620 A e om mn. Tann?
in | sue À canter gue 1 6 nino mtl à
DRE ET
TF.100 (PUC=76) Os wiores de a e b de modo que o polindmio Pi = x + a+b
& 0 positive prático de Brist-Ruttini, da divisio de determinase polinömio PLx) eo eine pelo polie Pabxd = (x 19%, sn:
par dettrminads binömio linear. Did. Emtdo, à valor de Pix) + DI) ne pom s)as2eb--3 blas e b=-2
we Da-ten-s dacdebe-t
AED ot 9) -0,932432 0) 0854 032-3 00.2
190-F 191-F
so iguala entr 5 O valor de a 6: nil pera o cálculo do quociente e do reso da dis de
a0 e 92 as Bal + Bad AF 16 por x +4.
+) impossve de ser calculado com à inormacio dada
2 8 o 16
TE.88 (CESCEM-76) O quoeiente de 2x4 - 8x7 - 10% =1 por x-3 &
of zx 1182 + 23% 68 BI 29 2 1138 4 39% + 109) Eme E
el 2218 + 23x 109 dae? 28 ca 2
DEN Er ve rer)
mio as becedtert wi
TF.89 IGV-74 O quociente du divisäo do polinómio (4x4 + 6x3 - 7x24 8x- 7) por ee .
wen e a 19 as an os
a) 4x = 16x + 74 bh 26 - 7x +37 “TR.965 ICESCEM-70) Se PIX) & um polinômo divisivel por (x - a) e por {x - bh podemos
cone que (r= 0 de Di dde Pole,
a TE am 2, 2 a
a bi al sempre b) desde que Pia) = Pb) = D
a e =n) 0 al duran AE
el nenhurna cas anteriores
TEO (GV-73) Assinale à lirmaçäo verdadero
“TR.96 (CICE -68) Determinar m en no polindmio 2 + 3x0 + ml nx 3 para que
ana mein Men nel ee
ed dim=21, n-21 e m=-17, n= 24
PA]
SEE TROT ICESCEA-72) Se 9.6 b sio determinados de forma que o polindmic
TF.9V IMACK-69) Na divisio do polindmo Ses ax) » bx! + Du 41 por x= 2, en ear be + 20
comrouse O quociance Sat + ex + dx? + ex + 115. O vette & vis Gish por x? = 8x 4, entio a+b wie
2-29 DE azar CET wo vi -20 os a2 DE
el imgossivel de determinar sem comiecer 8, b, €, de
TF8 (GV-71) Determinandose m on de forma que 4-3 220 + mx tn sa
TE.S2 (CONSART-741 O polinbmio Pix) que satistaz a iquotdage divisive por 32 - Sx - 6, 0 quociante desso divisio sed:
Han + 242 POD à 3x8 4 38 2 x= 2 + Pld be ah ate 4x +4 ba d 6446-10
a) 92222 bd? ates del TA
ao dt
TF.99 (MACK-73) O polindmio 20 = 927 6 divisvel por x2 a
TE93 (CESCEA-70) O quodro a) se, € somente se, n for um número natural per
D se, e somente se, n for um número natural impor
132 oro es „1620 A e om mn. Tann?
in | sue À canter gue 1 6 nino mtl à
DRE ET
TF.100 (PUC=76) Os wiores de a e b de modo que o polindmio Pi = x + a+b
& 0 positive prático de Brist-Ruttini, da divisio de determinase polinömio PLx) eo eine pelo polie Pabxd = (x 19%, sn:
par dettrminads binömio linear. Did. Emtdo, à valor de Pix) + DI) ne pom s)as2eb--3 blas e b=-2
we Da-ten-s dacdebe-t
AED ot 9) -0,932432 0) 0854 032-3 00.2
190-F 191-F
TF.101 IFFCLUSP-69) Pera todo número natural n 2 1, 0 polindmio
Poa) tis” T a) 6 divisive por:
at, bh ix = Othe st
Oi Pl tt) 0) menhuma das anteriores
A
TF.102 (MACK-74) Um polindmio desconhocido an ser dividido por x= 1 deinu resto 2
+0 ser dividido por x=2 Cana resto 1. Entdo o reto da divisio dese polinómio
por NR
e A 0 dix-S Re
TF-103 HTA-7S) Se dividiemos um polinámio Pix} por x -2 à resto 413. so dividiemos
Plxl por (x=2) o resto € 5. Supondo que Rix) 4 0 resto do diviaio de Pix)
por xl = 4, podemos afirmar que o valor de RO, para X = 1 &
BE vr as an
5) nenhuma des anteriores
TR.I08 (PUC-72) Os tomos das divides de um polingmio POX) pelos bindmios Ix + 1),
(We @ (x21, so, respectivamente 5, 21, -1. Entio 0 resto db diisdo de
Pol por le Ihe la €
ae et bl x + 3x +2 dz
are edn
TF.105 (CESCEA-72) O corticieme de x) no polindmio PIX) do tercelra grau que se anula
bury xu=1 @ tal que dividido sepuradamente por x= 1, x42 © x43 deixa
sempre resto 10, &
as wi 10 a: a e né se
16.108 (GV-75) O roue de sise de ponème
BSH 120 + He por de TO = BN EY €
areas D dea at ao
6.107 UTA-BBI Suponhomes que os potinámios Pix}, Ola), plxl © al) satistarum as
Sequintes concicóos
Pint + plal + Ola} + ala) - 1 para todo x complexo
Plat 0, aio) 0
Assinale 9 olumacio correo
AL Pts) & divisa por (x) = x) PLA) # A) aso $30 primos entre ai
el QD - 0 di poa nio $ divisive! por Rx) — x = 1
al pt =0
EQUACOES POLINOMIAIS
TE.108 PUC-76) Uma raiz da aquerio e111 0 4
mi De a a- ao
192-F
‘TF 108 IMACK=75) O valor de m de modo que - 1 sa raiz da equecio
20 + ime dds (1e mixe 2 0 € quo a
aa et ay #2 a2
TFMO(CESCEM-7A Se o mimma complexe 2 = 1+i € umo dos raies de equapío.
xt 4e ovorde sé
aa Bie one as 2) 128)
TRAN (CESCEM-71) Uma equate de 39 grau cujes raie aio 1, 2€ 3 €:
a 462-110-680
di 2 62 + 60
MR. 202 6-0
RP
ax + Ge Re
TEAN2 (CESCEA-77) As salzen de polinämio Pl) Pato io 1, 2 8 2. 0
quociente de Pix) por x-3 é
42 DIAZ eat? ee?
TEA (COMBITEC-COMBNMAEO-781 Sobre sais da aquaria xt 2042436 - 0 pose
mon alma
a) former uma suceso de 4 números em progresse geométrice
DI dues sio complexas conjugada e dus so reais
©) rernama des ro
1 forma uma suceso de 4 números em progress armée
al sho toco racionai
TF.114 (CESGRANRIO-CONCITEC-73) Duda a equacéo x= 13x84 36 - 0, rame que:
WI mie 4 razesrenisinacionais mit 8 ais eis
fl admire rates rane 8) site à roms reais interas
fe) à atirmarivas anerioes so ase
TRAYS (CESCEM-20) Se A 6 uma maris quadeada m Sn. 1 à matt Wentidade de ardem
m, antio o determimante da matriz (A xil 6 um povinémia de grav n na vacia x
Colas raíces so cham valores propor de A, Entdo os valores pnónelos dh matriz
O rentum dos anteriores
TRANS (PUC-74) A multiplicidade daralz x | dumndo ac S420 à
a v2 os a a as
1F.117 (CESGRANRIO-76) Uma das reis do polinömio rd 1 4x2 1326 € 1. Com rw
Taco de autras raíz do polindmio podemos armar ue:
2) ombur do negar I ums & negativa oa outra & pass
©) ambas 530 positivos uma delas ru
>) sin comploxas com a mes part real
193-F
Poa) tis” T a) 6 divisive por:
at, bh ix = Othe st
Oi Pl tt) 0) menhuma das anteriores
A
TF.102 (MACK-74) Um polindmio desconhocido an ser dividido por x= 1 deinu resto 2
+0 ser dividido por x=2 Cana resto 1. Entdo o reto da divisio dese polinómio
por NR
e A 0 dix-S Re
TF-103 HTA-7S) Se dividiemos um polinámio Pix} por x -2 à resto 413. so dividiemos
Plxl por (x=2) o resto € 5. Supondo que Rix) 4 0 resto do diviaio de Pix)
por xl = 4, podemos afirmar que o valor de RO, para X = 1 &
BE vr as an
5) nenhuma des anteriores
TR.I08 (PUC-72) Os tomos das divides de um polingmio POX) pelos bindmios Ix + 1),
(We @ (x21, so, respectivamente 5, 21, -1. Entio 0 resto db diisdo de
Pol por le Ihe la €
ae et bl x + 3x +2 dz
are edn
TF.105 (CESCEA-72) O corticieme de x) no polindmio PIX) do tercelra grau que se anula
bury xu=1 @ tal que dividido sepuradamente por x= 1, x42 © x43 deixa
sempre resto 10, &
as wi 10 a: a e né se
16.108 (GV-75) O roue de sise de ponème
BSH 120 + He por de TO = BN EY €
areas D dea at ao
6.107 UTA-BBI Suponhomes que os potinámios Pix}, Ola), plxl © al) satistarum as
Sequintes concicóos
Pint + plal + Ola} + ala) - 1 para todo x complexo
Plat 0, aio) 0
Assinale 9 olumacio correo
AL Pts) & divisa por (x) = x) PLA) # A) aso $30 primos entre ai
el QD - 0 di poa nio $ divisive! por Rx) — x = 1
al pt =0
EQUACOES POLINOMIAIS
TE.108 PUC-76) Uma raiz da aquerio e111 0 4
mi De a a- ao
192-F
‘TF 108 IMACK=75) O valor de m de modo que - 1 sa raiz da equecio
20 + ime dds (1e mixe 2 0 € quo a
aa et ay #2 a2
TFMO(CESCEM-7A Se o mimma complexe 2 = 1+i € umo dos raies de equapío.
xt 4e ovorde sé
aa Bie one as 2) 128)
TRAN (CESCEM-71) Uma equate de 39 grau cujes raie aio 1, 2€ 3 €:
a 462-110-680
di 2 62 + 60
MR. 202 6-0
RP
ax + Ge Re
TEAN2 (CESCEA-77) As salzen de polinämio Pl) Pato io 1, 2 8 2. 0
quociente de Pix) por x-3 é
42 DIAZ eat? ee?
TEA (COMBITEC-COMBNMAEO-781 Sobre sais da aquaria xt 2042436 - 0 pose
mon alma
a) former uma suceso de 4 números em progresse geométrice
DI dues sio complexas conjugada e dus so reais
©) rernama des ro
1 forma uma suceso de 4 números em progress armée
al sho toco racionai
TF.114 (CESGRANRIO-CONCITEC-73) Duda a equacéo x= 13x84 36 - 0, rame que:
WI mie 4 razesrenisinacionais mit 8 ais eis
fl admire rates rane 8) site à roms reais interas
fe) à atirmarivas anerioes so ase
TRAYS (CESCEM-20) Se A 6 uma maris quadeada m Sn. 1 à matt Wentidade de ardem
m, antio o determimante da matriz (A xil 6 um povinémia de grav n na vacia x
Colas raíces so cham valores propor de A, Entdo os valores pnónelos dh matriz
O rentum dos anteriores
TRANS (PUC-74) A multiplicidade daralz x | dumndo ac S420 à
a v2 os a a as
1F.117 (CESGRANRIO-76) Uma das reis do polinömio rd 1 4x2 1326 € 1. Com rw
Taco de autras raíz do polindmio podemos armar ue:
2) ombur do negar I ums & negativa oa outra & pass
©) ambas 530 positivos uma delas ru
>) sin comploxas com a mes part real
193-F
TF118 (GV-79) Saendo que Pla) = «nt + 1190 38x? + 62x-24 tem ume air du
pla x = 2, dominio de defingse da funcio Mx) = fog [Pix] €
KER x#2 0x3) mixeriz<x<o)
a {knit cx <6} al {x€Rix<-1 m x>7)
ab ERlı<ı<2 où 2€ x € 6}
TRAIB (SANTA CASA-77) O polinèmie pla) = ax + Da + cx3+ dx + ex +1 6 vistas
por mine -2x2+ Vx epor gant: «î-x-2, Entáo pix) tem:
cinco rates ris
DI trés rafzes resi o duas complexes
€) quatro raízes ras o uma compl
(dus rafzes real a duos complexes
©} ume raie rel e quatro complexas
TEA120 (TA-87) A nuage axé # a + ad at aux tag « O
3) só admito uma raiz de multipticidode 5
DI se iver apenas 2 rates de multiplicidad 1, existe uma rez de multplicktade 2
©) se ver uma ruiz de multplicidode 3, tem duas razes de multiplcióado 1
¿se iver apenas &razesdisintas, uma cal term multilicidado 2
(©) se tier uma rai ral, to sero reais
TEA21 (GV-731 Se a
alo grau de Pl & >> 2 ou Pixl idonticamente nulo
bi o grau de Pix) € menor ou igual 62
1 0 geo de Pix) 2878 2
alo gru de Pix) 6 exctamente 2
+) nono cas anteriores
bb sic raiees do potinómio Pix) omo:
TF.122 (CESCEA-73) Considere ar afirmacdas.
1. Sein Pts) = an 4 aux
Pix) = 0 para todo x real <> ay =
ery
2. Sajom Pi) = lax+2btbe+a © Qik) — x + Be + 6 Ends
PU = Gli) pire todo xteal a b= 3 € 6-4
2. Todo polinómio Pte) do grav nadie no máximo, m rfzes eels
a todas so verdadolas BI 16 So falas
©) 20310 foret 0) no sl
TF-123 UTA-70) Considere os poindmios Pix) - agit + 4132 32d + ayxt au, dead,
talsque PLZ} - PUS) = Pa) = Pied - 0, onde © @12.3,4:. Temos,entáo, ne
aby > 4 Ds <0 do 9 <> 0
1) nénhum ds airmasder antrioes dw
194-F
TE.124 (CESCEA-73) Assinala à afro verdedeio:
al Seoé soir de equecio x? + 4x2 + 6x + 2-0, emio à FZ, onde 2 con.
Junto dos números inteitos relativos
DI Soja Pla) um palinômio do grau n. Ent
H+ a divide Pix) > Pl 2 0
el Se Pla} & um petindmio do grau, eno, existem números reas ay,
que Pix} Galiana). op)
‘TF.125 (PUC-70) Sobre um polindmio na indeterminada x de cosficiantesinteos ede grau no.
máximo n que ss snula para n+ 1 valoros distintos de x, poder afirma
5) 6 constant $) 6 de gras {mpur ©) 6 de grau par
dh éidentimente nul el nanhuma dns anteriores
TF.126 (EPUSP-67) Qual 6 o coeficiente de xM'L no polindmio x3 + pt =... cujos
ecos sho © com muttiplizidsde 3, 2 com mltiplcidan?
ao v1 20 Dain)
al 2aln= 110} menu das respostes anteriores
TF.127 (EPUSP-681 © polinomio
29 à Gen 19 + cos APM À tan 19 + cos Teilen 2° à cos 2h!
+ Gen 19 + cot 1m 2° + cos Zeilen FP + con DT? +
a} tom 0 produto du razas Iguala 1
I acmiıe zero como raz simples
©) admite 2210 como riz de multipliidade 48
4 no admite ralzes reia
fe) hentuma dae anteriores
TF.128 (17A=72) Soja a oquogño Pix) = O, onde PI 4 um polindmio de gras m. Se Piet
aéite uma rai itera, emo. PI-1) + PO) + PIT necesariamente:
a vies b) vues €) E divisiva pers
dl Bdlvisivlpor3 0) menu dis anteriores
TFA28 (CESCEM-16) O polinémio de grau 3
sio gráfico está esbogado na figura 20
lodo tem
1. uma raiz qual 9-2, ume rei iguela
Beuma raz complex
II. termo independent igual 2-2
II. uma ai eat e dung complet
8) somente 1 & cova
DI somente Há corer
©) somente I 6 corto
4) panas | e N sf0 corretas
+) apenas Ie Il sio corretas
195-F
pla x = 2, dominio de defingse da funcio Mx) = fog [Pix] €
KER x#2 0x3) mixeriz<x<o)
a {knit cx <6} al {x€Rix<-1 m x>7)
ab ERlı<ı<2 où 2€ x € 6}
TRAIB (SANTA CASA-77) O polinèmie pla) = ax + Da + cx3+ dx + ex +1 6 vistas
por mine -2x2+ Vx epor gant: «î-x-2, Entáo pix) tem:
cinco rates ris
DI trés rafzes resi o duas complexes
€) quatro raízes ras o uma compl
(dus rafzes real a duos complexes
©} ume raie rel e quatro complexas
TEA120 (TA-87) A nuage axé # a + ad at aux tag « O
3) só admito uma raiz de multipticidode 5
DI se iver apenas 2 rates de multiplicidad 1, existe uma rez de multplicktade 2
©) se ver uma ruiz de multplicidode 3, tem duas razes de multiplcióado 1
¿se iver apenas &razesdisintas, uma cal term multilicidado 2
(©) se tier uma rai ral, to sero reais
TEA21 (GV-731 Se a
alo grau de Pl & >> 2 ou Pixl idonticamente nulo
bi o grau de Pix) € menor ou igual 62
1 0 geo de Pix) 2878 2
alo gru de Pix) 6 exctamente 2
+) nono cas anteriores
bb sic raiees do potinómio Pix) omo:
TF.122 (CESCEA-73) Considere ar afirmacdas.
1. Sein Pts) = an 4 aux
Pix) = 0 para todo x real <> ay =
ery
2. Sajom Pi) = lax+2btbe+a © Qik) — x + Be + 6 Ends
PU = Gli) pire todo xteal a b= 3 € 6-4
2. Todo polinómio Pte) do grav nadie no máximo, m rfzes eels
a todas so verdadolas BI 16 So falas
©) 20310 foret 0) no sl
TF-123 UTA-70) Considere os poindmios Pix) - agit + 4132 32d + ayxt au, dead,
talsque PLZ} - PUS) = Pa) = Pied - 0, onde © @12.3,4:. Temos,entáo, ne
aby > 4 Ds <0 do 9 <> 0
1) nénhum ds airmasder antrioes dw
194-F
TE.124 (CESCEA-73) Assinala à afro verdedeio:
al Seoé soir de equecio x? + 4x2 + 6x + 2-0, emio à FZ, onde 2 con.
Junto dos números inteitos relativos
DI Soja Pla) um palinômio do grau n. Ent
H+ a divide Pix) > Pl 2 0
el Se Pla} & um petindmio do grau, eno, existem números reas ay,
que Pix} Galiana). op)
‘TF.125 (PUC-70) Sobre um polindmio na indeterminada x de cosficiantesinteos ede grau no.
máximo n que ss snula para n+ 1 valoros distintos de x, poder afirma
5) 6 constant $) 6 de gras {mpur ©) 6 de grau par
dh éidentimente nul el nanhuma dns anteriores
TF.126 (EPUSP-67) Qual 6 o coeficiente de xM'L no polindmio x3 + pt =... cujos
ecos sho © com muttiplizidsde 3, 2 com mltiplcidan?
ao v1 20 Dain)
al 2aln= 110} menu das respostes anteriores
TF.127 (EPUSP-681 © polinomio
29 à Gen 19 + cos APM À tan 19 + cos Teilen 2° à cos 2h!
+ Gen 19 + cot 1m 2° + cos Zeilen FP + con DT? +
a} tom 0 produto du razas Iguala 1
I acmiıe zero como raz simples
©) admite 2210 como riz de multipliidade 48
4 no admite ralzes reia
fe) hentuma dae anteriores
TF.128 (17A=72) Soja a oquogño Pix) = O, onde PI 4 um polindmio de gras m. Se Piet
aéite uma rai itera, emo. PI-1) + PO) + PIT necesariamente:
a vies b) vues €) E divisiva pers
dl Bdlvisivlpor3 0) menu dis anteriores
TFA28 (CESCEM-16) O polinémio de grau 3
sio gráfico está esbogado na figura 20
lodo tem
1. uma raiz qual 9-2, ume rei iguela
Beuma raz complex
II. termo independent igual 2-2
II. uma ai eat e dung complet
8) somente 1 & cova
DI somente Há corer
©) somente I 6 corto
4) panas | e N sf0 corretas
+) apenas Ie Il sio corretas
195-F
‘TF.190 (ITA-74) Sea, b,c so raies da equordo x? - 2x7 + 3x - 4 = 0, onto ovalorde
de
ON
1 1 3 PE
at 0-4 ai 1
Y manu das respostas anteriores
TEST UTA-75) Sendo a, 6, 6, d as rafres da equicño 2x4 = 743 4 9x2 = 7x + 2-0,
podemos afirmar que:
ah 4,0, 6 do reais positivos
ptr éiguis 12
bh at A éiguais Y
©) a,b, 6 d ndo do reis
1
et et pe rom des ann
aed * abd * ibe
al nanhuena das anteriores
‘TE.132 (FEI-G7) Sendo a, b, e as rizos da aquaria 2x3 - 3x2 + Sx 41-0. 0 valor
da expreso afb! + Dict + a? 6
a 9 31 a 8
a
az el nenhums des anteriores
TE.138 (E £.LINS-68) Sendo a, b, © as raízes da aquecño 38 9x1 0, entio uvalur de
ten
ait ao no se pode calcular
‘TF.194 (1TA-79) Sojo a equegio do 4? grau x4 + ax) + od tee + = 0, onde,
450 números racionsis nfo rulos tlt que: L, M, N, P año rafzes reis dessa egustéo,
Dor de
Es Ms yy Pe og
fan" CET ETS
a dao Peer 8 Goon
EL eS Lab nomme dran
‘TF.195 (CESCEM-73) Selam $ e P, respectivamente, e some e 0 produto das rafzcs du couux 3e
28 + ox 1 V3 - 0, onde a 6 um número rest
Assinale à asertiva corra
SHO waro
IS - 0, somemeso 1% 0
1 So ator inteuo, P inter
4) P 6 irracional qualquer que sea à
ol Pé irracional somente se ator iracional
196-F
‘TEAS (CESGRANRIO-77) O produto de duos das ralzes da equacio
2 = 198 + 37K 14 0
à 1. A some dos duas maiores raies da equaco €
27 e ae ay 1912 318
TF.197 (CESCEA-75) Chamandose 3, bec as raises da equavio
meteo + 18e O
e sebando-w que a> 0 € 6-8, owlarde otb 6
a DE ae CE) a2
ins do equaso
fe 6 y diferanga entre as outres
TEA3B (GV-79) Sum bee com 2 <b ew
28 = 1042 + 31% - 90 = 0. Sobendo que ums
usa, o valor de a - bee &
23 CE as oo os
“16.199 (MACK=251 Uma rir de oquacio #3 + A + x + 6 O 6 qual à soma des ures
‘dias, As raízes desta equacio So:
02-15 a 3-21
©) ventura des unteres
TF.1A0 (CESCEN-G81 O produto do duos das rares du equagdo 2 4 BE + Du td.
Sigual 9 20 8 some diz mesmos voies cidoramo de zero. À 39 rit vale
»
22 bl Scomploxs a ao
+) quatquer valor ses contarme ot valores de be
TE.141 ICOMBITEC-COMBIMED-75) Ums des raíces do potindmio plc) - «3-8 + x-1 4
x= 1. O produto dus dus outa raie 6
ao oi aa a oi
16.142 (PUC-70) Os vilores de h para que a eauugso 2 + MA + BH ik +1. 0
admita uns rates posts año:
1 1
owt who a1. 12 où 3
0 nanhuma ds respusts omeriores
TE.149 (EESCUSP-EN A equegio 20 = ax | xe = 0, tom dss rares simétricas se
a) abe Wavre à ae = 21 wo ue
el nenhuma resposta # verdadeia
TF.148 {CESCEA-76} Sendo e malos das wis,
+ abono se que vena elas é méd a
ae by 12 a -10 a. 9-7
12, be cda quicio x 4 Gal 4 1x +6 -0,
mática det outrat dues, o valor de ar be de &
197-F
de
ON
1 1 3 PE
at 0-4 ai 1
Y manu das respostas anteriores
TEST UTA-75) Sendo a, 6, 6, d as rafres da equicño 2x4 = 743 4 9x2 = 7x + 2-0,
podemos afirmar que:
ah 4,0, 6 do reais positivos
ptr éiguis 12
bh at A éiguais Y
©) a,b, 6 d ndo do reis
1
et et pe rom des ann
aed * abd * ibe
al nanhuena das anteriores
‘TE.132 (FEI-G7) Sendo a, b, e as rizos da aquaria 2x3 - 3x2 + Sx 41-0. 0 valor
da expreso afb! + Dict + a? 6
a 9 31 a 8
a
az el nenhums des anteriores
TE.138 (E £.LINS-68) Sendo a, b, © as raízes da aquecño 38 9x1 0, entio uvalur de
ten
ait ao no se pode calcular
‘TF.194 (1TA-79) Sojo a equegio do 4? grau x4 + ax) + od tee + = 0, onde,
450 números racionsis nfo rulos tlt que: L, M, N, P año rafzes reis dessa egustéo,
Dor de
Es Ms yy Pe og
fan" CET ETS
a dao Peer 8 Goon
EL eS Lab nomme dran
‘TF.195 (CESCEM-73) Selam $ e P, respectivamente, e some e 0 produto das rafzcs du couux 3e
28 + ox 1 V3 - 0, onde a 6 um número rest
Assinale à asertiva corra
SHO waro
IS - 0, somemeso 1% 0
1 So ator inteuo, P inter
4) P 6 irracional qualquer que sea à
ol Pé irracional somente se ator iracional
196-F
‘TEAS (CESGRANRIO-77) O produto de duos das ralzes da equacio
2 = 198 + 37K 14 0
à 1. A some dos duas maiores raies da equaco €
27 e ae ay 1912 318
TF.197 (CESCEA-75) Chamandose 3, bec as raises da equavio
meteo + 18e O
e sebando-w que a> 0 € 6-8, owlarde otb 6
a DE ae CE) a2
ins do equaso
fe 6 y diferanga entre as outres
TEA3B (GV-79) Sum bee com 2 <b ew
28 = 1042 + 31% - 90 = 0. Sobendo que ums
usa, o valor de a - bee &
23 CE as oo os
“16.199 (MACK=251 Uma rir de oquacio #3 + A + x + 6 O 6 qual à soma des ures
‘dias, As raízes desta equacio So:
02-15 a 3-21
©) ventura des unteres
TF.1A0 (CESCEN-G81 O produto do duos das rares du equagdo 2 4 BE + Du td.
Sigual 9 20 8 some diz mesmos voies cidoramo de zero. À 39 rit vale
»
22 bl Scomploxs a ao
+) quatquer valor ses contarme ot valores de be
TE.141 ICOMBITEC-COMBIMED-75) Ums des raíces do potindmio plc) - «3-8 + x-1 4
x= 1. O produto dus dus outa raie 6
ao oi aa a oi
16.142 (PUC-70) Os vilores de h para que a eauugso 2 + MA + BH ik +1. 0
admita uns rates posts año:
1 1
owt who a1. 12 où 3
0 nanhuma ds respusts omeriores
TE.149 (EESCUSP-EN A equegio 20 = ax | xe = 0, tom dss rares simétricas se
a) abe Wavre à ae = 21 wo ue
el nenhuma resposta # verdadeia
TF.148 {CESCEA-76} Sendo e malos das wis,
+ abono se que vena elas é méd a
ae by 12 a -10 a. 9-7
12, be cda quicio x 4 Gal 4 1x +6 -0,
mática det outrat dues, o valor de ar be de &
197-F
TF.145 (MACK-78) As ralzes da aquecño x9 - Gx? + kx + 64 ~ 0 estño am progreso
geométrica. O valor de k &:
2-0 ea a -2 ars on
TF.146 ICESCEA-74) Seja Pix) = u + ax? + bx + 0 Sabendorse que Pix) + Pl-xd 6
um trinámio que we anula para x = 2 0 x = 2 € com coeficionte de x? guala 2,
lente, 0 produto das raies de Pix) &
na on 92 63 dose
TRAST (FFCLUSP-G6) Se xy, xa, xy com 0< x € 1, |» 1,2,9 ado caizes do mu
cio 49 + bat + on de D, em:
a bec tm mèduis menorques bd e c= -3 de>1
SS 8) no há equecio saistezendo hcondicao dade
TF.148 (1TA-77) Os valores reis de a © D, para os qual ot cquagies XD + ax + 180
© x9 + be + 120. tém aus rafzes comuns, ado
d ant; ba? bla=tib=4 ans bed
ahora bo ©) renta das anteriores
al esa aquagfo tem ura solucáo de multiticiónde 2
bo as olupdes dersanquacdo formam uma progress
©} a aqua tem 2 sauge rei racional
Ah a equagio tar 2 solucdes resis reclonals
e) a. equacáo no tem solugdes rei
TF.160 (CESGRANRIO-COMCITEC-73) A equegdo 131 ax? +be + ce 0, coma.b,c EA.
9) poss sempre riz mo reat
DI pode ni ter raiz vet
«pode ter apenas uma raz imaginória
0) tem elo menos ume rai sel
1 o satisfaz a nenhuma dos quateostrmativas acima
TR.AST (PUC-74) O grau mínimo que um polindmio de cosficientes reais edmite, abando que
Battie ented konn
al tora D grav eh grou) A gray el Pores
TF-152 IMACK-76] Os coeficientes do polindmio p sio mais € subese que elo posui trés
rafats duos das quals 00 0 (2 =~), Entio à pode ser:
AR A ten atx) xt ox
TFABS (MACK=74) Os números complexos 1 + , 1 + 12 0 2-4 año raíaes do pol
mio P de coeficientes resi, Podernos alımar que o grau de P 6 necesariamente:
a pur I impar © maior ou igual
al maior ou igual a quatre ©) igual a tie
198-F
© adie urna rai igual a (unidede
TF-166 (TA-76) A equigño 4x9 = DA + x =
imoginári). Deduzimos, ento, que
al al equagdo no admit raiz real, manor que 2
DI al equagdo série como rai, um número racional
el tt equacáo ndo admite como raiz, um número positivo
al equa3o ndo possui ai da forma bi, com b < 1
+) nómhuma das rospostas anteriores
TE.186 (CESCEM-73) O número 2 + 3 éroizdaequagio x + bx + 6 - 0. combe
« resis. Podemos envio afirmar que
bé um número irracional
6) be € nf estdo univocamente determinados
a) 04 um nömero impar
el 6 bum número racional
el be um número impar
TF.156 (FFCLUSP-68) Soboso que © equagio slghbrica anta bx? -cx+u = D onde
2 b. e, so nümeros reas, suite 1 como raiz dupla mi (unidadn imaginsrial como
raiz simples. Os valores 609, b,c, d so:
dao ed rr bre dr
Ou mbrze= ad! CRERCCEE EEE TES
FAST (E.E.LINS-67) Uma riz de uma equacio de tercero arau com coeticientes resi 4
1 + oi ee some das demas aizes 4 3-21. As aizes des equagio so:
MILI dei RAB 603-2142
6h 3,2, 1421 ©) nenhums dor anterióres
TFASB (CESCEM-70) Sabese que o potinómio Pix} tem:
1. Uma única role ineira x de multplcidede pa
2. Uma única raiz racional ndo Inera x3 do multplcidade q
3. Ua única riz irracional xy de multipliidade +
Pent
se onto concluir que a funcio racional Rix} = = y
= me mi A Pe
a) está definida para toco x complexe
est definida para todo x # x, mat no está definida para x = xy
©) élimitada para todo x real
¿ndo está definida nos pontos yx, 23,21
9) enhuma des respostes anteriores
At Mo da td dr
‘TF.189 {GV-73) Comidere 3 equacño polínomia! PO - O, com conficknies res, e 0
imensio aberto 1-1, 21. Sabese que Pi) > O e PD} > 0, Nestes con
podemos afirmar que
al exito um número par de rires mais av ndo oxiem raíses ross ca aquecóo
Ped = 0 em J-2[
bh -1e 2 oratzerde PO) = 0
€) ro existom rafzes reais da quo em ]-1,2[, nunca
di Onümero derelzorde Pix) - D tm ]=1, 2[ € impr
el oarfico de Pls) and sempre acima do aio dot x
199-F
geométrica. O valor de k &:
2-0 ea a -2 ars on
TF.146 ICESCEA-74) Seja Pix) = u + ax? + bx + 0 Sabendorse que Pix) + Pl-xd 6
um trinámio que we anula para x = 2 0 x = 2 € com coeficionte de x? guala 2,
lente, 0 produto das raies de Pix) &
na on 92 63 dose
TRAST (FFCLUSP-G6) Se xy, xa, xy com 0< x € 1, |» 1,2,9 ado caizes do mu
cio 49 + bat + on de D, em:
a bec tm mèduis menorques bd e c= -3 de>1
SS 8) no há equecio saistezendo hcondicao dade
TF.148 (1TA-77) Os valores reis de a © D, para os qual ot cquagies XD + ax + 180
© x9 + be + 120. tém aus rafzes comuns, ado
d ant; ba? bla=tib=4 ans bed
ahora bo ©) renta das anteriores
al esa aquagfo tem ura solucáo de multiticiónde 2
bo as olupdes dersanquacdo formam uma progress
©} a aqua tem 2 sauge rei racional
Ah a equagio tar 2 solucdes resis reclonals
e) a. equacáo no tem solugdes rei
TF.160 (CESGRANRIO-COMCITEC-73) A equegdo 131 ax? +be + ce 0, coma.b,c EA.
9) poss sempre riz mo reat
DI pode ni ter raiz vet
«pode ter apenas uma raz imaginória
0) tem elo menos ume rai sel
1 o satisfaz a nenhuma dos quateostrmativas acima
TR.AST (PUC-74) O grau mínimo que um polindmio de cosficientes reais edmite, abando que
Battie ented konn
al tora D grav eh grou) A gray el Pores
TF-152 IMACK-76] Os coeficientes do polindmio p sio mais € subese que elo posui trés
rafats duos das quals 00 0 (2 =~), Entio à pode ser:
AR A ten atx) xt ox
TFABS (MACK=74) Os números complexos 1 + , 1 + 12 0 2-4 año raíaes do pol
mio P de coeficientes resi, Podernos alımar que o grau de P 6 necesariamente:
a pur I impar © maior ou igual
al maior ou igual a quatre ©) igual a tie
198-F
© adie urna rai igual a (unidede
TF-166 (TA-76) A equigño 4x9 = DA + x =
imoginári). Deduzimos, ento, que
al al equagdo no admit raiz real, manor que 2
DI al equagdo série como rai, um número racional
el tt equacáo ndo admite como raiz, um número positivo
al equa3o ndo possui ai da forma bi, com b < 1
+) nómhuma das rospostas anteriores
TE.186 (CESCEM-73) O número 2 + 3 éroizdaequagio x + bx + 6 - 0. combe
« resis. Podemos envio afirmar que
bé um número irracional
6) be € nf estdo univocamente determinados
a) 04 um nömero impar
el 6 bum número racional
el be um número impar
TF.156 (FFCLUSP-68) Soboso que © equagio slghbrica anta bx? -cx+u = D onde
2 b. e, so nümeros reas, suite 1 como raiz dupla mi (unidadn imaginsrial como
raiz simples. Os valores 609, b,c, d so:
dao ed rr bre dr
Ou mbrze= ad! CRERCCEE EEE TES
FAST (E.E.LINS-67) Uma riz de uma equacio de tercero arau com coeticientes resi 4
1 + oi ee some das demas aizes 4 3-21. As aizes des equagio so:
MILI dei RAB 603-2142
6h 3,2, 1421 ©) nenhums dor anterióres
TFASB (CESCEM-70) Sabese que o potinómio Pix} tem:
1. Uma única role ineira x de multplcidede pa
2. Uma única raiz racional ndo Inera x3 do multplcidade q
3. Ua única riz irracional xy de multipliidade +
Pent
se onto concluir que a funcio racional Rix} = = y
= me mi A Pe
a) está definida para toco x complexe
est definida para todo x # x, mat no está definida para x = xy
©) élimitada para todo x real
¿ndo está definida nos pontos yx, 23,21
9) enhuma des respostes anteriores
At Mo da td dr
‘TF.189 {GV-73) Comidere 3 equacño polínomia! PO - O, com conficknies res, e 0
imensio aberto 1-1, 21. Sabese que Pi) > O e PD} > 0, Nestes con
podemos afirmar que
al exito um número par de rires mais av ndo oxiem raíses ross ca aquecóo
Ped = 0 em J-2[
bh -1e 2 oratzerde PO) = 0
€) ro existom rafzes reais da quo em ]-1,2[, nunca
di Onümero derelzorde Pix) - D tm ]=1, 2[ € impr
el oarfico de Pls) and sempre acima do aio dot x
199-F
TF.160 (CESCEM-70) O gráfico acima 6 o de um polinómio cujos zeros reis eso todos no
trecho dazenhado, Este polinomio
3) pode ser do 29 grav DI poce sr do 89 grau e} pode ser do 69 grou
1) pode cor quncrado parteto— el. nonhuma das anteriores.
‘TF.161 (GV-74) Dantn.as equagdes seguintes, asinlo aqua que tem peto menos uma sie 1
satistacendo, a condo 1 < 1 < 2
ec)
2
wate ae Wo Beene zon
m » 2 3 2-0
um 28 = 18 a O
aww ou am ou
TFA62 (TA-7SI Em quo intervalo estio us rares reis ds equacio:
PER + 23 Gx - 9 « 0?
at [180,200] bb fa 12] a (12: 13]
01-10: 10] +) nonhuma das raspasts anteriores
TF.163 ITA-27) Soja © corpo dos números resis, Em relagdo à equacto
50 = 1892 - 15x = 20 = 0, x EIR, podemos afirmar que:
al no tom solugio into Db) tam somente uma sande
©) tom somente duos soluce distintos) tem très solucdes distims
+) nanhuma das anteriores
TF.164 (CICE-68) Determinor u cou superior de riz positiva da equacio.
ERRE SR 4 =O
a v2 oa as CE
TRA651ITA-74) O conjunto dos valores de k, para cs quois Hx) = a = 242 4 Ox ok
tem um ou ts zeros reis entre 102, &
Re? Di<k<2 d2>4 m k>6
MEST ©) nenumo ds respostas anteriores
TF.166 (UNICANP-ST) O valor de K tal que à forgo y = xd = 2x2 + dk tone um
2000 ana 2026,
Dk E a k> 18 bk >o0 ak<o
ak<6 Boxen
200-F
e167 CESCEN-7O) Doe nie 7, es
serais de mund 1006 ext bet (ooo, iin
3,5 2,2
weed ated
2.2 1,8
on a Lu v
TF.168 (CESCEA-73) Sejom a <b € © as rares do equagdo x9 + 2x7 = x
Eno, 9+ 246, wile
a2 DE a3 a
TE.169 ICESCEM-68) O número de ralzes inviros da quo x8 + xt + 2132 + 60-06
di m2 as 860} renum dorvalorer anterior
TF.470 ICICE-68) Resolver à aquagio: 25 = xf = 8239 - 2813? - 279K - 198 = 0
an
6.2.4 D 7,344
ana}
14,3, -6,-2 45
TF.A71 (CESGRANRIO-COMCITEC-731 Sciam eB rafzes de enuagso x!
Teme enti que:
al Era do ecuacio.
8
9) & + F6 rie ca equate
el od) € raiz de sors
abo? € riz da auch
el ae quatre ofiemtvas anteriors so falas
TE172 IMACK-761 0 molindmio x7 2x6 =
ai 2 rates dupla
5) 1 raie plo
A raies ndo ross
al G raizos ndo reais
fe) 3 voltae duplas
TF.173 (MACK-60) À equscSo Tx? - In + 2x = 11 0
al admise uma miz comploxa de muhipleidade 2
BI ndo admite mans reais
el aro $ a riz da equacio.
di 0 produto dos rizos 6 = 1
7
1 auoue sentengas sxima 530 falsas
201-F
trecho dazenhado, Este polinomio
3) pode ser do 29 grav DI poce sr do 89 grau e} pode ser do 69 grou
1) pode cor quncrado parteto— el. nonhuma das anteriores.
‘TF.161 (GV-74) Dantn.as equagdes seguintes, asinlo aqua que tem peto menos uma sie 1
satistacendo, a condo 1 < 1 < 2
ec)
2
wate ae Wo Beene zon
m » 2 3 2-0
um 28 = 18 a O
aww ou am ou
TFA62 (TA-7SI Em quo intervalo estio us rares reis ds equacio:
PER + 23 Gx - 9 « 0?
at [180,200] bb fa 12] a (12: 13]
01-10: 10] +) nonhuma das raspasts anteriores
TF.163 ITA-27) Soja © corpo dos números resis, Em relagdo à equacto
50 = 1892 - 15x = 20 = 0, x EIR, podemos afirmar que:
al no tom solugio into Db) tam somente uma sande
©) tom somente duos soluce distintos) tem très solucdes distims
+) nanhuma das anteriores
TF.164 (CICE-68) Determinor u cou superior de riz positiva da equacio.
ERRE SR 4 =O
a v2 oa as CE
TRA651ITA-74) O conjunto dos valores de k, para cs quois Hx) = a = 242 4 Ox ok
tem um ou ts zeros reis entre 102, &
Re? Di<k<2 d2>4 m k>6
MEST ©) nenumo ds respostas anteriores
TF.166 (UNICANP-ST) O valor de K tal que à forgo y = xd = 2x2 + dk tone um
2000 ana 2026,
Dk E a k> 18 bk >o0 ak<o
ak<6 Boxen
200-F
e167 CESCEN-7O) Doe nie 7, es
serais de mund 1006 ext bet (ooo, iin
3,5 2,2
weed ated
2.2 1,8
on a Lu v
TF.168 (CESCEA-73) Sejom a <b € © as rares do equagdo x9 + 2x7 = x
Eno, 9+ 246, wile
a2 DE a3 a
TE.169 ICESCEM-68) O número de ralzes inviros da quo x8 + xt + 2132 + 60-06
di m2 as 860} renum dorvalorer anterior
TF.470 ICICE-68) Resolver à aquagio: 25 = xf = 8239 - 2813? - 279K - 198 = 0
an
6.2.4 D 7,344
ana}
14,3, -6,-2 45
TF.A71 (CESGRANRIO-COMCITEC-731 Sciam eB rafzes de enuagso x!
Teme enti que:
al Era do ecuacio.
8
9) & + F6 rie ca equate
el od) € raiz de sors
abo? € riz da auch
el ae quatre ofiemtvas anteriors so falas
TE172 IMACK-761 0 molindmio x7 2x6 =
ai 2 rates dupla
5) 1 raie plo
A raies ndo ross
al G raizos ndo reais
fe) 3 voltae duplas
TF.173 (MACK-60) À equscSo Tx? - In + 2x = 11 0
al admise uma miz comploxa de muhipleidade 2
BI ndo admite mans reais
el aro $ a riz da equacio.
di 0 produto dos rizos 6 = 1
7
1 auoue sentengas sxima 530 falsas
201-F
TE.A7A IEESCUSP-69) Data a enuagdo px? axl + me - 1 = 0, ento,
al 6 posslet ocher valores reis pore p, ae r de modo que 1, 2, 3 € 4 sejom
alzas desta eauaedo
PI 4 possivel achar valores reis pare p, 4 € ¢, com p Intro, de modo que 1, 3e
V2 jam raires desa equecio
©) aro $ raie desta ecuecio
3 6 passt encontrar valores resis paro
ralzes dose equacio
9) entra ds sespostos € verdadeira
a er de mods que 1,
102 m
TRAPS (TA-S0) À equacio 3x5 = xd + 2 + x= 1 - 0 pose
a) és rafzes complexas e duos rolzes rois
5) pelo menos uima riz rel positive
©) Hoden vaizes interes
Gi uma rai compa
81 nannurna cas respostas anteriores
TE176 UTA-70) Colculendo as ralte simples € múltiios ds equaedo
PRESEN
podamos afirmar que esta aquagáo tem:
al uma raiz simples, dus dupias © uma wipia
DI uma raiz simples, uma dupla © uma vela
©) dues ralzs simples, vie dupla e uma triplo
CI duas rarzos simples à uns duplas
lues rares simples © uma mine
TF.177 UTA-74) A oquagio x0-1=0, onda n 6 um número natural maior do que 5,
a) 1 raiz positivo, 1 raiz negativa © In-2) rafzes comotexas quando n # por
1) Y rai postive, (9-1) raus no resis quando n € par
O1 mir meo, (n= 1) raizes complexes quando © € impor
di 1 raíz positiva, 1 raiz native e {n-2) Faites complexas auando n € um
número natural qualquer
9} nenhuma das sespostas anteriores
TFIMB (EFCLUSP-69) Quai dos sguintes mûres à parte 1
PAN
Bom 40 a-+
2 7 7
o aa
1E.179 (FFCLUSP-67) Sendo n um número inter, positive, impor. mostrast que
Due = Inf 2 nf e
al € mittipto de 3 no pode sor um número. por
bl pode sor um almera primo dl € sempre ostitamenta maior do que zero
2) nonhuma das afirmagies anteriores 8 verdachira
202-F
TF.180 (CESCEM-71} Um polindmio de copticientes ineiros tem uma raiz dupla igual a
a+ Vu onde se b do números primos, Podemos conclu que ene palndmie:
al tom gru 2
© tem ums den
©) admito pero menos uma
el ño siete
TF8 (PUC-70) A equncdo desprovida do termo de primairo grau que se obtóm transfor
mando 9 amade Be 3x + 8-0 8
sh 109 + 151 0 bisv+e-o
a a-4-0 8-360
‘TF.182 Se 0 conjumo da aquacdo,
Sa + I-22 0 € Lab, €
‘ido à cquepáo culo conjuntowsrdede € (20, 2b, 20) &:
9) 10x? - 8 rex = 0 bi 5x? - 8x? + 28% - 16 = 0
© 20 = alte = Ut = €) 91 40x! 2 16x! + tax = 2 2 0
©) manhuma das anteriores
TFA83(PUC-74) O volinèmio Pla] = 3x? - 4x 1 2. deservolido stgundo es pottncias
de +2 fes
a) Pla) = abe + 2 - 16 + 21 + 22
DI Pad = Bx + 2) BA + 2) 22
©) Pla) 2 Joe #21 à 16x + 21 + 22
di Pa © 361 2 = Sle + 2) =
8) Pla) = ER à Gtx + 21 + 11
TF.184 1GV=751 Desenvoendoss © polinbqio y = 2x Sx? = ax
de 1, 0 corticiene de (6-1? val
us bra a4 a2 on
5 em potincias
TR18S IMACK-G91 As raíces da mauscho ZW Sn? + 2-0 o representadas por
a,b, €. d. A equaçäo cujas raires so representadas por À, un 5 €
asta
bh dxf = Sib + 2x = ©
dam +200
a) xt 5242-0
où ast = ox 42-0
TFABG (FFCLUSP-69) É dada a equacño x?-2\eosahe#1=0. Admitimos que sa
© 6 uma raz desta square, ande ro + 1 = 2,
estas condigdas, qual dos valores ababco pode ser astumido por 07
sr sr 2 A az
a © oe os az 1
203-F
al 6 posslet ocher valores reis pore p, ae r de modo que 1, 2, 3 € 4 sejom
alzas desta eauaedo
PI 4 possivel achar valores reis pare p, 4 € ¢, com p Intro, de modo que 1, 3e
V2 jam raires desa equecio
©) aro $ raie desta ecuecio
3 6 passt encontrar valores resis paro
ralzes dose equacio
9) entra ds sespostos € verdadeira
a er de mods que 1,
102 m
TRAPS (TA-S0) À equacio 3x5 = xd + 2 + x= 1 - 0 pose
a) és rafzes complexas e duos rolzes rois
5) pelo menos uima riz rel positive
©) Hoden vaizes interes
Gi uma rai compa
81 nannurna cas respostas anteriores
TE176 UTA-70) Colculendo as ralte simples € múltiios ds equaedo
PRESEN
podamos afirmar que esta aquagáo tem:
al uma raiz simples, dus dupias © uma wipia
DI uma raiz simples, uma dupla © uma vela
©) dues ralzs simples, vie dupla e uma triplo
CI duas rarzos simples à uns duplas
lues rares simples © uma mine
TF.177 UTA-74) A oquagio x0-1=0, onda n 6 um número natural maior do que 5,
a) 1 raiz positivo, 1 raiz negativa © In-2) rafzes comotexas quando n # por
1) Y rai postive, (9-1) raus no resis quando n € par
O1 mir meo, (n= 1) raizes complexes quando © € impor
di 1 raíz positiva, 1 raiz native e {n-2) Faites complexas auando n € um
número natural qualquer
9} nenhuma das sespostas anteriores
TFIMB (EFCLUSP-69) Quai dos sguintes mûres à parte 1
PAN
Bom 40 a-+
2 7 7
o aa
1E.179 (FFCLUSP-67) Sendo n um número inter, positive, impor. mostrast que
Due = Inf 2 nf e
al € mittipto de 3 no pode sor um número. por
bl pode sor um almera primo dl € sempre ostitamenta maior do que zero
2) nonhuma das afirmagies anteriores 8 verdachira
202-F
TF.180 (CESCEM-71} Um polindmio de copticientes ineiros tem uma raiz dupla igual a
a+ Vu onde se b do números primos, Podemos conclu que ene palndmie:
al tom gru 2
© tem ums den
©) admito pero menos uma
el ño siete
TF8 (PUC-70) A equncdo desprovida do termo de primairo grau que se obtóm transfor
mando 9 amade Be 3x + 8-0 8
sh 109 + 151 0 bisv+e-o
a a-4-0 8-360
‘TF.182 Se 0 conjumo da aquacdo,
Sa + I-22 0 € Lab, €
‘ido à cquepáo culo conjuntowsrdede € (20, 2b, 20) &:
9) 10x? - 8 rex = 0 bi 5x? - 8x? + 28% - 16 = 0
© 20 = alte = Ut = €) 91 40x! 2 16x! + tax = 2 2 0
©) manhuma das anteriores
TFA83(PUC-74) O volinèmio Pla] = 3x? - 4x 1 2. deservolido stgundo es pottncias
de +2 fes
a) Pla) = abe + 2 - 16 + 21 + 22
DI Pad = Bx + 2) BA + 2) 22
©) Pla) 2 Joe #21 à 16x + 21 + 22
di Pa © 361 2 = Sle + 2) =
8) Pla) = ER à Gtx + 21 + 11
TF.184 1GV=751 Desenvoendoss © polinbqio y = 2x Sx? = ax
de 1, 0 corticiene de (6-1? val
us bra a4 a2 on
5 em potincias
TR18S IMACK-G91 As raíces da mauscho ZW Sn? + 2-0 o representadas por
a,b, €. d. A equaçäo cujas raires so representadas por À, un 5 €
asta
bh dxf = Sib + 2x = ©
dam +200
a) xt 5242-0
où ast = ox 42-0
TFABG (FFCLUSP-69) É dada a equacño x?-2\eosahe#1=0. Admitimos que sa
© 6 uma raz desta square, ande ro + 1 = 2,
estas condigdas, qual dos valores ababco pode ser astumido por 07
sr sr 2 A az
a © oe os az 1
203-F
TE.187 (PUC~76) Os valores de a, be € de mado que a equacio.
rn à o 2 lau + D + eh 4 Dan? o = Dale
eis recíproca, so
1
ma e- PATTES) dede tent
ETE DEFENSE: Jost
7
ates elex-dipeaies 1
¡batea and
das
7
TE 188 Um» erw recíproca que ait as raies 1 2 6
Mazo IO A O
nd I - 22 0
2) mantume des respostes anteriores
TF.189 (TA-141 O vaor absolute da soma die dues menores raizes ds equacóo
Erden
a2 ma a YB ae e doo
FAO {EESCUSP-67) Soja Piha Fb Hm ra com at cur Se
MR 6 raz de Piel, amo:
Sl kok 1 0 98 eres
dk
BI A, 6 raie triple
1 slo as rales NT 430 as izes
dk Bint ses mes
Te
1 IFEIUC-66) A resolucio aa cago ax + bx? + ex (bx du 0, se mur
à rerolugio do Auuacüne do unyundh grau pala tubstwisio
1
wee. SS ayanıa
ans e) anus des anteriores
ot
e192 (TA-67) A au À
192 (TAG 5
= 0 tom rares
2
a tis
12243
3
TR.193 117-08) Para que a equscio 2x4 + bx? = bx -
enka quote soles mais.
41 um número real qualquer bn
ab >o ae
Aba
204-F
TENSA TACTO) Seam Pala ap + aa ap
AS
Ais potinamios. Stand so wur PI) > 0 para todo x rel, tomos, eno, que
> Or yO <a
BASE 01 entra das antics
TF9 (CESCEM-72) O alor numérico do polindmio derivado de Pix) x 1 12x - 7
para lo ve
En wer av EN a za
TF.196 (CESCEM-72) Um polinömio où cosficentes insiros na variével x
seu tarro independente 6 Ímpar n o cosficamin de termo de maior qu
Assinale a resposta false:
Signals 1
3) 0 valor do prtiniamio puis x = 0 6 um número impor
I a 200 nay 6 ir «ese potindma
5) 0 polinámmo derived tem mau pa
4) ocorticenta do tara do rain gas do palin derivado hu número impar
+) mu name par podr sor aie sto poli
6.197 (CESCFM-71) Um polinomio. Pix! 4 il an modo de nu polindmio derivado
Pe) por be =a) atin promos conclu
où à nie x= à 6 mini WI o gi 0 paínómio # palo menos 3
E10 ga eo poliniman $ ol a 2 el qu 00 vob 6 hil a 1
el nie existe tal palindmio
TF.198 IMACK- GI Admito uma rai de multi dois à seguinta cuarto:
mao Me dx-2-0
O el rana eae anteriores
‘TF-199 (CESCEA-73) Assinale entre as equacbes abuixo u que apresenta raiz de muliplicidnde
win
W910
Da
at ato
Seno
16.200 (PUC-72) Sp x1- -2 4 uma raiz dupla de equardo 27+ 7e + ax+K-O ento:
ok hoz MK=O 0} montumaciosant
du
TE 201 (FECLUSP-66) Se a amade x? + ax + 3x + 1 = 0, tem ralz triple, ent:
dat dea
6
D} 3 pode omumir mais de um valor a
el marmo das anceriones
205-F
rn à o 2 lau + D + eh 4 Dan? o = Dale
eis recíproca, so
1
ma e- PATTES) dede tent
ETE DEFENSE: Jost
7
ates elex-dipeaies 1
¡batea and
das
7
TE 188 Um» erw recíproca que ait as raies 1 2 6
Mazo IO A O
nd I - 22 0
2) mantume des respostes anteriores
TF.189 (TA-141 O vaor absolute da soma die dues menores raizes ds equacóo
Erden
a2 ma a YB ae e doo
FAO {EESCUSP-67) Soja Piha Fb Hm ra com at cur Se
MR 6 raz de Piel, amo:
Sl kok 1 0 98 eres
dk
BI A, 6 raie triple
1 slo as rales NT 430 as izes
dk Bint ses mes
Te
1 IFEIUC-66) A resolucio aa cago ax + bx? + ex (bx du 0, se mur
à rerolugio do Auuacüne do unyundh grau pala tubstwisio
1
wee. SS ayanıa
ans e) anus des anteriores
ot
e192 (TA-67) A au À
192 (TAG 5
= 0 tom rares
2
a tis
12243
3
TR.193 117-08) Para que a equscio 2x4 + bx? = bx -
enka quote soles mais.
41 um número real qualquer bn
ab >o ae
Aba
204-F
TENSA TACTO) Seam Pala ap + aa ap
AS
Ais potinamios. Stand so wur PI) > 0 para todo x rel, tomos, eno, que
> Or yO <a
BASE 01 entra das antics
TF9 (CESCEM-72) O alor numérico do polindmio derivado de Pix) x 1 12x - 7
para lo ve
En wer av EN a za
TF.196 (CESCEM-72) Um polinömio où cosficentes insiros na variével x
seu tarro independente 6 Ímpar n o cosficamin de termo de maior qu
Assinale a resposta false:
Signals 1
3) 0 valor do prtiniamio puis x = 0 6 um número impor
I a 200 nay 6 ir «ese potindma
5) 0 polinámmo derived tem mau pa
4) ocorticenta do tara do rain gas do palin derivado hu número impar
+) mu name par podr sor aie sto poli
6.197 (CESCFM-71) Um polinomio. Pix! 4 il an modo de nu polindmio derivado
Pe) por be =a) atin promos conclu
où à nie x= à 6 mini WI o gi 0 paínómio # palo menos 3
E10 ga eo poliniman $ ol a 2 el qu 00 vob 6 hil a 1
el nie existe tal palindmio
TF.198 IMACK- GI Admito uma rai de multi dois à seguinta cuarto:
mao Me dx-2-0
O el rana eae anteriores
‘TF-199 (CESCEA-73) Assinale entre as equacbes abuixo u que apresenta raiz de muliplicidnde
win
W910
Da
at ato
Seno
16.200 (PUC-72) Sp x1- -2 4 uma raiz dupla de equardo 27+ 7e + ax+K-O ento:
ok hoz MK=O 0} montumaciosant
du
TE 201 (FECLUSP-66) Se a amade x? + ax + 3x + 1 = 0, tem ralz triple, ent:
dat dea
6
D} 3 pode omumir mais de um valor a
el marmo das anceriones
205-F
TF202 (CESCEM-68) Os valores de a © b para que a equacio
a a bh? + (ab - als? + (ab + A + 2 t=O
ana uma raiz dupla igual a zero, respectivamente
à 2-2 D) 4-4 €} qualquer; 2
& 22 € Penhumo des anteriores
TF.205 (FFCLUSP~68) Para qua a equagio algébrica
arm + la + ambe - am ©
admita 0 valor 2 como raiz dupla, à valor de m deve ser
242 M2 70 II el nenhumo das resposta antarioras
TF.206 ICESCEM-73) Os valores de m e n a fim de que a equepio
a + 2 4 dm Sixt + ee ee
simi das, © apenas cas rafzes let, Ho,
spectivomants,
a Ses weed ade ser adas
8 0 ajos ae af
TR.208 (CESCEA-75) Ssbendo que 20r0 4 rie de multipickinde 3 da aquacke
tee EE à o ren,
enti, à + va
a3 ES
a CE
TF.208 (FFCLUSP-67) Se ix-a) 6 mate. de Pld taa + taney tan © de
Obed = mue à fo = Hope + + an, onto:
3) @ 4 rai simples de Pod bi & 4 riz dupla de PDO
©) @ € raiz ola oe PIX) SU nfo # rai de PI)
8 ranhams das anteriores
TF.207 (FFGLUSP 66) Se dois winëmies do segundo grau PGA = ax? + bat ce
= + Lx + € possuem uma e uma sb ralz comum Xp, timples, 0 stu
inion múltiplo comum & à polinomio
FWP + br» a + Das ed Dh x ro
beanie Line Zr ah le = gen ne
LEE
Oe B ng ok
206-F
RESPOSTAS
TE 1208
11218
USA
Teızae
Trias
TE1250
Tr.126.0
TEA27 e
Tree
11290
TF.1906
LT]
TEAS26
Trade
151342
TE1959
151366
151370
Trasse
F139
Tr.10d
Trac
1120
Tras a
Trae
TEASe
TAG ¢
1F1470
1.148
1194
1F.1604
ASA
1.1820
151539
151540,
TF1850
TE186 €
151570,
15.150
TF1590
15-160 0
A
15.1629
151630
TF.1040
151650
TF.166 ¢
F679
Tree
15-169 6
TEO
TEMA
151720
Tre
Tried
Teams
151780
151770
15.1784
161793
Tr 1808
ST
Tree’
ar
TF 184
ann
TE1860
151870
LT
Tries
Tr 1806
LT
151924
har
Te 1949
Tr 198
LT)
1.1979
La
207-F
a a bh? + (ab - als? + (ab + A + 2 t=O
ana uma raiz dupla igual a zero, respectivamente
à 2-2 D) 4-4 €} qualquer; 2
& 22 € Penhumo des anteriores
TF.205 (FFCLUSP~68) Para qua a equagio algébrica
arm + la + ambe - am ©
admita 0 valor 2 como raiz dupla, à valor de m deve ser
242 M2 70 II el nenhumo das resposta antarioras
TF.206 ICESCEM-73) Os valores de m e n a fim de que a equepio
a + 2 4 dm Sixt + ee ee
simi das, © apenas cas rafzes let, Ho,
spectivomants,
a Ses weed ade ser adas
8 0 ajos ae af
TR.208 (CESCEA-75) Ssbendo que 20r0 4 rie de multipickinde 3 da aquacke
tee EE à o ren,
enti, à + va
a3 ES
a CE
TF.208 (FFCLUSP-67) Se ix-a) 6 mate. de Pld taa + taney tan © de
Obed = mue à fo = Hope + + an, onto:
3) @ 4 rai simples de Pod bi & 4 riz dupla de PDO
©) @ € raiz ola oe PIX) SU nfo # rai de PI)
8 ranhams das anteriores
TF.207 (FFGLUSP 66) Se dois winëmies do segundo grau PGA = ax? + bat ce
= + Lx + € possuem uma e uma sb ralz comum Xp, timples, 0 stu
inion múltiplo comum & à polinomio
FWP + br» a + Das ed Dh x ro
beanie Line Zr ah le = gen ne
LEE
Oe B ng ok
206-F
RESPOSTAS
TE 1208
11218
USA
Teızae
Trias
TE1250
Tr.126.0
TEA27 e
Tree
11290
TF.1906
LT]
TEAS26
Trade
151342
TE1959
151366
151370
Trasse
F139
Tr.10d
Trac
1120
Tras a
Trae
TEASe
TAG ¢
1F1470
1.148
1194
1F.1604
ASA
1.1820
151539
151540,
TF1850
TE186 €
151570,
15.150
TF1590
15-160 0
A
15.1629
151630
TF.1040
151650
TF.166 ¢
F679
Tree
15-169 6
TEO
TEMA
151720
Tre
Tried
Teams
151780
151770
15.1784
161793
Tr 1808
ST
Tree’
ar
TF 184
ann
TE1860
151870
LT
Tries
Tr 1806
LT
151924
har
Te 1949
Tr 198
LT)
1.1979
La
207-F
Categories
GeneralDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 803
- Slides 108
- Favorites 9
- Age 3880 days
Related Slideshows
22
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper
RodolfoMoralesMarcuc
33 views
26
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint
chalobrido8
36 views
31
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf
JaiJai148317
33 views
14
Fertility awareness methods for women in the society
Isaiah47
30 views
35
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture
RitikSharma297999
29 views
5
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx.......
ourcommunity56
30 views