Fundamentos geometria i

1. 3ª edição

2. FUNDAMENTOS
DE
GEOMETRIA

3. SOMESB
Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda.
PresidenteGervásio Meneses de Oliveira
Vice-PresidenteWilliam Oliveira
Superintendente Administrativo e FinanceiroSamuel Soares
Superintendente de Ensino, Pesquisa e ExtensãoGermano Tabacof
Superintendente de Desenvolvimento e
Planejamento Acadêmico Pedro Daltro Gusmão da Silva
FTC-EAD
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Ensino a Distância
Diretor GeralReinaldo de Oliveira Borba
Diretor AcadêmicoRoberto Frederico Merhy
Diretor de TecnologiaJean Carlo Nerone
Diretor Administrativo e FinanceiroAndré Portnoi
Gerente Acadêmico Ronaldo Costa
Gerente de EnsinoJane Freire
Gerente de Suporte TecnológicoLuís Carlos Nogueira Abbehusen
Coord. de Softwares e SistemasRomulo Augusto Merhy
Coord. de Telecomunicações e Hardware Osmane Chaves
Coord. de Produção de Material DidáticoJoão Jacomel
EQUIPE DEELABORAÇÃO / PRODUÇÃO DE MATERIALDIDÁTICO
Produção Acadêmica
AutorPaulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Gerente de EnsinoJane Freire
SupervisãoAna Paula Amorim
Coordenador de Curso Geciara da Silva Carvalho
Revisão FinalElias Santiago de Assis.
Márcia Sekeff Budaruiche Lima.
Produção Técnica
Edição em L
A
T
E
X 2εAdriano Pedreira Cattai.
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
Revisão de TextoCarlos Magno
Coordenação João Jacomel
Equipe Técnica
Alexandre Ribeiro, Angélica Jorge, Cefas Gomes, Clauder Filho, Delmara Brito, Diego Do-
ria Aragão, Fábio Gonçalves, Francisco França Júnior, Hermínio Filho, Israel Dantas, Lucas
do Vale, Marcio Sera×m, Mariucha Ponte, Ruberval Fonseca e Tatiana Coutinho.
Copyrightc2.007FTC-EAD
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É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da
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4. Sumário
Bloco 1: Posição 5
Tema 1: Geometria Axiomática, Segmentos, Ângulos e Triângulos 5
Axiomática 5
1.1O Método Axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2O Quinto Postulado e as Geometrias Não-Euclidianas . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3Denições, Teoremas e Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4Noções Primitivas em Geometria Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5Axiomas de Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6Axiomas de Determinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
As Partes de uma Reta 10
1.8Semi-reta e Segmento de Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.9Classicação de um Segmento de Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10Coordenada de um Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11Razão de Secção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.12Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ângulos 16
1.13Unidade de Medidas de Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Radiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.13.1Transformação de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.14Classicação de Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.14.1Classicação de Dois Ângulos quanto à sua Soma . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.14.2Classicação de Um Ângulo Quanto à sua Medida. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Um pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.15Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Triângulos 25
1.16Classicação dos Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.16.1Quanto aos Lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.16.2Quanto aos Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Congruência 26
1.17Congruência de Segmentos, de Ângulos e de Triângulos . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.17.1Congruência de Segmentos e de Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.17.2Congruência de Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Casos ou Critérios de Congruência de Triângulos . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.17.3Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.18O Teorema do Ângulo Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.18.1Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3

5. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Tema 2: Paralelismo e Polígonos 34
Paralelismo - Conseqüências e Aplicações 34
2.1Segmentos Proporcionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2Teoremas das Bissetrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Semelhança de Triângulos 42
2.3Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4Triângulos Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5Pontos Notáveis do Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1Lugares Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2Cevianas de um Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.3Pontos Notáveis do Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.4Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Polígonos 49
2.6Polígonos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.1Elementos de um Polígono Convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2Nomenclatura de um Polígono Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.3Soma dos Ângulos Internos de Polígono Convexo Qualquer . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.4Soma dos Ângulos Externos de um Polígono . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.5Polígonos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.6Número de Diagonais de um Polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6.7Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Quadriláteros 54
2.7Propriedades dos Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Propriedades dos Trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Propriedades dos Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Propriedades dos Retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Propriedades dos Losangos e dos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.7.1Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bloco 2: Métrica 60
Tema 3: Relações Métricas em Triângulos e Circunferência 60
Relações Métricas num Triângulo 60
3.1Relações Métricas no Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.1Aplicações do Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.2Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2Relações Trigonométricas num Triângulo Retângulo . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4

6. 3.3Relações Métricas num Triângulo Qualquer . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1Lei dos Senos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Coordenadas Polares - Equação de uma Circunferência . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Casos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Distância entre Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Desigualdade Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Natureza de um Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Topograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.4Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Circunferência e Círculo 75
3.4Elementos da Circunferência e do Círculo . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5Ângulos na Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.1Ângulo Inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.2Ângulo Excêntrico Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.3Ângulo Excêntrico Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6Potência de Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Tema 4: Áreas 80
4.1Área de Superfícies Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2Área de Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1Polígono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3Outras Equações que Determinam a Área de um Triângulo . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A Fórmula Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A Fórmula de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.4Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3Área do Círculo e de suas Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1Área do Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.2Área do Setor Circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.3Área do Segmento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.4Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Atividade Orientada 91
5.1Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Referências Bibliográcas 96
5

7. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Apresentação de Disciplina
Caro aluno,
Este material foi concebido com o intuito de atender às necessidades
do curso de Fundamentos de Geometria da FTC-EaD. Inicialmente, trata-
mos de que forma é construída a geometria euclideana plana e em
seguida fala-se em duas sub-áreas: Posição e Métrica. Na primeira, os
conceitos primitivos, os axiomas, as denições e alguns resultados são
tratados de forma a construir os elementos e como este se situam no
plano. Na segunda, denem-se as medidas de comprimento e de área e
fórmulas são obtidas para calculá-las.
Neste material, os resultados apresentados e demonstradossão de
fundamental importância para que se possa argumentar de forma con-
cisa outros resultados não demonstrados. Estude os resultados demon-
strados e prove os que foram deixados como exercício!
Em cada capítulo, exercícios resolvidos são colocados de forma a
apresentar uma metodologia de raciocínio. Aproveite-as para resolver
os exercícios propostos. No nal, encontra-se uma atividade orientada
como parte de sua de avaliação individual.
A Geometria Plana, apesar de elementar, possui um estruturamuito
rica e quem a domina tem a sensação de um conhecimento amplo da
Matemática.
Para que possamos aprimorar este material contamos com sua ajuda.
Bons estudos e sucesso em sua carreira.
Prof.Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.
6

8. Posição
Geometria Axiomática, Segmentos, Ângulos e
Triângulos
Axiomática
Neste capítulo é necessário a introdução de alguns conceitos fundamentais, sem os quais o apren-
dizado da Geometria Plana não seria devidamente apresentada e assimilada pelo estudante.
1.1 O Método Axiomático
A estrutura teórica de cada área da Matemática é disposta em:
⋆O Conceito Primitivo;
⋆Os Axiomas ou Postulados;
⋆As Deni??es; Os Teoremas, Lemas e Corol?rios.
Estes conceitos, de relativa importância em nosso estudo, com o auxílio de
uma boa nomenclatura, determinam o modo de organizar o pensamento na
matemática contemporânea e serão descritos a seguir.
Conceitos Primitivos
⇓
Axiomas
⇓
Teoremas / Lemas
⇓
Corolários
A matemática necessita de rigor e de formalismo. Portanto, épreciso estabelecer um método bem de-
terminado para se obter resultados válidos. Isto é feito comauxílio dos axiomas e dos conceitos primitivos.
Um conceito é primitivo quando é tido como verdade e isento dedeni??o. Os exemplos cl?ssicos s?o. o
?ponto?, a ?reta? e o ?plano?. Simplesmente n?o os denimos,apenas os aceitamos.
Axiomas s?o armativas (conjunto de regras) aceitas sem comprovação e que determinam as pro-
priedades de alguns conceitos primitivos. Uma teoria é ditaaxiomatizadaquando é construída a partir de
axiomas. Em outras palavras: a teoria tem como ponto de partida alguns princípios básicos que constituem
seu conjunto de axiomas ou postulados. Esses postulados (ouaxiomas) são escolhidos, até certo ponto,
arbitrariamente; todavia, uma escolha não adequada de axiomas poderá originar uma teoria inconsistente
ou desprovida de qualquer sentido. Uma teoria axiomática é tanto mais elegante quanto menor for seu
número de axiomas e estes devem ser escolhidos com a preocupação de que sejam
⋆consistentes: não conduz a teoremas contraditórios, isto é, a um teorema eà sua negação. Exem-
plicando. uma geometria que demonstra o teorema de Pit?goras e, por outro lado, conduza à sua
negação, não é consistente.
⋆sucientes ou completos: a teoria pode ser desenvolvida sem a necessidade de outros axiomas.
⋆independentes: quando nenhum deles pode ser demonstrado a partir dos demais.
7

9. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Quando se veri×ca que um dos axiomas √ode ser demonstrado a √artir dos outros, tal axioma passa
a ser um dos teoremas da teoria e, com isto, o conjunto de axiomas torna-se menor, o que é sempre
desejável.
Durante muito tempo distinguiu-seaxiomadepostulado. Os axiomas eram proposições evidentes por
si mesmas; e postulados, proposições que se pediam fossem aceitas sem demonstração. Atualmente,
axiomas e postulados são designações das proposições admitidas sem demonstração. Constituem o
ponto de partida de uma teoria dedutiva.
A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ele apresentou, em sua
famosa obraOs Elementos, um conjunto com cinco axiomas e cinco postulados.
Axiomas:Noções comuns mais gerais que os postulados.
A1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
A2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais.
A3. Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais.
A4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
A5. O todo é maior do que qualquer de suas partes.
Postulados:Noções essencialmente geométricas
P1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade.
P2. Uma linha reta √ode ser √rolongada inde×nidamente.
P3. Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários.
P4. Todos os ângulos retos são iguais.
P5. Se uma reta secante a duas outras forma ângulos de um mesmolado dessa secante, cuja
soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas, se prolongadas su×cientemente, encontrar-
se-?o em um √onto desse mesmo lado, veja a ×gura.
Este5
◦
é o famoso postulado das paralelas. Atualmente é apresentado com as seguintes palavras:
Nota1.Por um pontoPexterior a uma retam, consideradas em um
mesmo plano, existe uma única reta paralela à retam.
αP
m
Com esses axiomas e postulados, Euclides construiu toda Geometria ensinada em escolas de ensino
médio. O famoso Teorema de Pitágoras é característico dessaGeometria. Tanto assim o é, que ele surge,
na maioria das vezes, ao abrirmos um livro de Matemática, seja este de que nível for. O Teorema de
Pitágoras é próprio dos espaços euclidianos, assim chamados em homenagem ao geômetra alexandrino.
Por cerca de dois mil anos, a Geometria de Euclides foi considerada como a única geometria possível.
De fato, a Geometria Euclidiana não contraria os nossos sentidos, pois os seus axiomas, por exemplo, são
noções facilmente aceitas pela nossa intuição.
1.2 O Quinto Postulado e as Geometrias Não-Euclidianas
A certa altura da História da Ciência, os matemáticos, estimulados √elas a×rma??es de alguns ×l?sofos
representados de forma enfática por Emmanuel Kant, argumentaram com a seguinte idéia: “se há possi-
8

10. bilidade apenas de uma única geometria, certos postulados ou noções comuns seriam teoremas, isto é,
conseqüência lógica de proposições primeiras”. Foi dentrodesse raciocínio que renomados matemáticos
tentaram provar o5
◦
Postulado de Euclides, pois o consideravam menos intuitivoe de redação mais com-
plicada. Porém, essa pretensão não foi alcançada, porquanto o5
◦
Postulado não é uma conseqüência
lógica dos quatro anteriores. Substituindo-o, criam-se novas geometrias, tão boas e consistentes quanto a
Euclidiana. A Geometria Euclidiana, transmitida de geração a geração por mais de dois mil anos, não era a
única. As mentes criativas dos matemáticos Bolyai, Lobachevsky, Gauss e Riemann lançaram as bases de
outras geometrias tão logicamente aceitas quanto a Euclidiana. Essas geometrias são conhecidas como
geometrias não-euclidianas.
Citemos, respectivamente, os axiomas que criaram as geometrias de Riemann (1826-1866) e Lo-
batchevski (1793-1856) pela modica??o apenas do postulado das paralelas de Euclides:
⋆Por um ponto fora de uma reta não existe qualquer reta paralela à reta dada.
⋆Por um √onto fora de uma reta existem in×nitas retas √aralelas à reta dada.
O “plano de Riemann” é uma superfície esférica. As retas são circunferências máximas (circunferências
cujo centro coincide com o centro da esfera). Observe que neste plano não existem retas paralelas, pois
duas retas sempre se encontram.
Essas “novas” geometrias foram concebidas sem a pretensão de descrição do mundo real. Porém,
Einstein (1879-1955) mostrou que o espaço é curvo, como o conceberam Riemann e Lobatchevski. Com
sua teoria da Relatividade revolucionou o mundo da Física, que até então obedecia somente as leis de
Newton (1643-1727) no espaço euclidiano. Desta forma, a geometria de Euclides (c. 300 a.C.) e as Leis
de Newton eram v?lidas para algumas circunst?ncias espec?cas.
1.3 Definições, Teoremas e Demonstrações
Uma deni??o ? um conceito que ? feito em fun??o de termos considerados previamente conhecidos.
Por exemplo, “um segmento de reta é uma parte ou porção da retalimitada por dois pontos”. Observe que
são conhecidos os termos ponto, reta e parte, dentre outros.
Partindo-se de uma teoria devidamente axiomatizada, surgem as deni??es, as proposi??es ou teore-
mas, corolários, leis e regras matemáticas, dentre outros;uma enorme cadeia de sub-ramos que forma um
sistema semelhante a uma grande árvore sustentada pelas suas raízes (os axiomas ou postulados).
Um teorema é aceito como logicamente verdadeiro somente
mediante uma prova ou demonstração. O enunciado de um teo-
rema compreende duas partes distintas:
⋆hipótese— conjunto de condições aceitas como verdadeiras;
⋆tese— verdade lógica que se pretende demonstrar a partir da
hipótese.
O raciocínio que permite concluir o estabelecimento da tese,
supondo compreendidas as condições da hipótese é chamado de
demonstração.
Hipótese
Conjunto de todas
as informações iniciais.
⇓
Demonstração
Conjunto de raciocínios e deduções
tomados a partir da hipótese
ou de resultados pertinentes.
⇓
Tese
Resultado o qual se quer chegar
obtido da demonstração.
9

11. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Por exemplo, na proposição: “Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então são congruentes”, temos:
Hipótese: “dois ângulos que são opostos pelo vértice”.
Tese: “ são congruentes”.
Existem, basicamente, duas formas de demonstrar um teorema. Os métodos:
Direto —que se utiliza das informações contidas na hipótese e outrosresultados pertinentes e que
através de uma seqüencia lógica coerente chega ao resultadoou tese.
Indireto —também conhecido como método de redução ao absurdo. Sua estratégia é baseada na ne-
gação lógica da proposição tese e conseqüente contradição da hipótese.
1.4 Noções Primitivas em Geometria Plana
As noções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas por meio de deni??o, j? as
noções primitivas são adotadas de forma intuitiva, sem uma deni??o.
As noções primitivas da geometria plana são:Ponto,RetaePlano.
Utilizas-se para indicar: os pontos,
letras maiúsculas do nosso alfabeto;
as retas, letras minúsculas do nosso
alfabeto; os planos, letras gregas
minúsculas.
A
r
α
PONTO RETA PLANO
Ao estudar geometria é comum fazermos uso de desenhos. Utilizaremos várias guras e desenhos
como ajuda ao entendimento e à intuição, mas avisamos que umagura com determinadas caracter?sticas
não demonstra a verdade ou falsidade de uma proposição matemática.
Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando oponto, aretae oplano.
1.5 Axiomas de Existência
A
B
r
Axioma 1.Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem e pontos
que não pertencem à reta.
Axioma 2.Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém.
Axioma 3.Num plano h? innitos pontos.
A B
r
Dados dois pontosAeB, de duas uma: ouAeBsãocoincidentes(um só ponto com dois nomes) ou
AeBsão distintos. Pontoscolinearessão pontos que pertencem a uma mesma reta.
Sejamresduas retas contidas num mesmo plano, são ditasparalelasquando não possuírem nenhum
ponto em comum; econcorrentesquando possuírem somente um ponto em comum.
10

12. Dados dois pontosAeB, a reunião do segmento de retaABcom o conjunto
dos pontosXtais queBestá entreAeXé a semi-reta
−→
AB. Dizemos semi-reta
−→
ABcom origem emAe que passa porB.
A B X
1.6 Axiomas de Determinação
Axioma 4.Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
A expressão “duas retas coincidentes” é equivalente auma única reta.
Axioma 5.Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
Axioma 6(da inclusão).Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida
nesse mesmo plano.
Nota2.Pontoscoplanaressão pontos que pertencem a um mesmo plano.Figuraé qualquer con-
junto de pontos. Umagura planaé uma gura que tem todos os seus pontos num mesmo plano. A
Geometria Planaestuda as guras planas.
ER1.1.Julgue: Por três pontos dados passa uma só reta.
Solução:Falso. Se os três pontos não forem colineares então não existirá nenhuma reta que passe
pelos três pontos ao mesmo tempo.
1.7 Exercícios
EP1.2.Classique em verdadeiro (V) ou falso (F):
1. ( ) Por um ponto passam innitas retas.
2. ( ) Por dois pontos distintos passa uma reta.
3. ( ) Uma reta contém dois pontos distintos.
4. ( ) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
5. ( ) Três pontos distintos são sempre colineares.
6. ( ) Três pontos distintos são sempre coplanares.
7. ( ) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
8. ( ) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.
9. ( ) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.
10. ( ) Quaisquer que sejam os pontosAeB, seA6=B, então existe uma retartal queA∈reB∈r.
11. ( ) Quaisquer que sejam os pontosPeQe as retasres, seP6=Q, eP,Q∈reP,Q∈s, então
r=s.
11

13. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
12. ( ) Qualquer que seja uma retar, existem dois pontosAeBtais queA6=B, comA∈reB∈r.
13. ( ) SeA=B, existe uma retartal queA,B∈r.
14. ( ) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes.
15. ( ) Duas retas concorrentes tem um ponto comum.
16. ( ) Se duas retas distintas tem um ponto comum, então elas possuem um único ponto
EP1.3.Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos
construir?
Gabarito
EP1.2. 1. (V) 2. (V) 3. (V) 4. (V) 5. (F) 6. (V) 7. (F) 8. (V) 9. (F) 10. (V) 11. (V) 12. (V) 13. (V) 14. (V) 15. (V) 16. (V);EP1.3.4.
As Partes de uma Reta
1.8 Semi-reta e Segmento de Reta
1.1 Definição.Considere dois pontosAeBsobre uma retar. A parte ou porção da
reta com extremidade emAe contendo o pontoBé uma semi-reta com extremidade
emAcontendoB. A parte ou porção da retardelimitada pelos pontosAeBé um
segmento de reta.
A
′
B
′
A B
Assim, dados dois pontosAeB,A6=B, e um pontoOentreAeB, as semi-retas
com origem emOe contendo, respectivamente, os pontosAeBsão chamadas de
semi-retas opostas e o segmento de reta com extremidades emAeBé indicado por
AB. Qualquer ponto do segmentoAB, que está entre os extremos, é chamado ponto
interior ou interno deste segmento.
A O B
1.9 Classificação de um Segmento de Reta
Dois segmentos de reta são ditos:
⋄Colineares: se estão na mesma reta suporte (a reta que contémos segmentos);
⋄Consecutivos: se possuem uma, e só uma, extremidade em comum;
⋄Adjacentes: se são colineares e consecutivos, mas não possuem pontos internos em comum.
A B C D
Colineares
A
B
C
Consecutivos
A B C
Adjacentes
1.10 Coordenada de um Ponto
Axioma 7.A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é
zero se, e somente se, os pontos são coincidentes.
12

14. Atenção!
O número a que se refere este axioma é chamado distância entreos pontos, que sig-
nica o comprimento ou a medida do segmento determinado pelos dois pontos.
Axioma 8.Os pontos de uma reta podem ser colocados em correspondênciabiunívoca com os números
reais, de modo que a diferença entre os números meça a distância entre os pontos correspondentes.
Ao aplicarmos este axioma, o número que corresponde a um ponto da reta é denominado coordenada
deste ponto. Considere um segmentoAB. Seaebsão as coordenadas das extremidades deste segmento,
o seu comprimento será o módulo da diferença entreaebem qualquer ordem. Indicaremos o comprimento
do segmentoABpelo símboloAB. Portanto,AB=|b−a|.
Axioma 9.Se um pontoCencontra-se entreAeB, então
AC+CB=AB.
A C B
Com os últimos três axiomas podemos ordenar os pontos da retacom a ordem dos números reais. Os
números reais são ordenados pela relação “menor do que” (ou pela relação “maior do que”), e faz sentido
dizer que um númerocestá entre dois outrosaeb, quando ocorrea<c<boub<c<a.
Vamos enunciar e demonstrar um resultado que ajudará na demonstração do teorema1.3.
1.2 Proposição.Se, em uma semi-reta
−→
AB, considerarmos um segmento
AC, comAC<AB, então o pontoCestará entreAeB.
A BC
Prova:Hipótese:AC<AB. Tese:Cestá entreAeB.
O pontoAnão pode estar entreBeC, já queBeCestão na mesma semi-reta de origemA. Se o
pontoBestivesse entreAeC, então, pelo axioma 9, teríamosAB+BC=ACe, como conseqüência,
AB<AC. Mas, esta desigualdade contraria a hipóteseAC<AB. Restando apenas a alternativa
que o pontoCestá entre os pontosAeB. 2
1.3 Teorema.SejamA,BeCpontos distintos de uma mesma reta cujas coordenadas são, respectiva-
mente,a,bec. O pontoCestá entreAeBse, e somente se, o númerocestá entreaeb.
Prova:Faremos a demonstração em duas partes.
Parte 1:Hipótese:Cestá entreAeB. Tese:a<c<b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SeCestá entreAeB, pelo axioma 9, tem-se queAC+CB=AB, ou seja,
|c−a|+|b−c|=|a−b|.
Vamos supor quea<c. Neste caso, da igualdade acima, obtém-se|c−a|<b−ae|b−c|<b−a.
Como conseqüência,c−a<b−aeb−c<b−a. Portanto,c−bea<c. Assim, resulta quecestá
entreaeb. Quandob<a, a demonstração é análoga.
Parte 2:Hipótese:a<c<b. Tese:Cestá entreAeB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Considerando que o númerocestá entre os númerosaebentão|c−a|+|b−c|=|a−b|.Como
conseqüência dessa igualdade, temos queAC+CB=AB. Em particular,AC<ABeCB<ABe
CB<AB. Consideremos as semi-retas determinadas pelo pontoA. SeCeBpertencem à mesma
semi-reta, a proposição1.2diz queCestá entreAeB. Resta o seguinte,CeBnão podem estar
separados porA, porque, se assim fosse, teríamosBA+AC=BC, resultando queBA<BC, o que
contradiz a desigualdade obtida anteriormente. 2
13

15. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
1.4 Definição(Ponto Médio).Chamamos de ponto médio do segmentoABa
um pontoMdeste segmento tal queAM=MB. A BM
1.5 Teorema.Todo segmento tem um único ponto médio.
Prova:A demonstração é dividida em duas partes, uma onde é demonstrada a existência de tal
ponto e na outra parte é demonstrada a unicidade.
Parte 1:Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Considere as coordenadasaebdas extremidades do segmentoAB. O axioma 9 nos garante que
existe um número
a+b
2
. SejaCo ponto da reta cuja coordenada éc. Então,
AC=|a−c|=




a−
a+b
2




=




a−b
2




CB=|c−b|=




a+b
2
−b




=




a−b
2




9
>
>
>
=
>
>
>
;
=⇒
AC=CB.
Comoa<c<b, pelo teorema1.3, concluímos queCestá entreAeB. Logo,Cé um ponto médio
deAB.
Parte 2:Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suponha que exista um outro ponto denotadoC
′
, cuja coordenada éc
′
, tal queAC
′
=C
′
B. Se
a<c
′
<b, então teremos quec
′
−a=b−c
′
e, conseqüentemente,c
′
=
a+b
2
. O mesmo ocorrerá
se supormos queb<c
′
<a. Então, pelo axioma 8,C=C
′
. 2 2
Nota3.SeBpertence ao intervaloAC, então a noção de distância entre dois pontosAeB(que
indicamos como o comprimento do segmentoAB, dado porAB) é uma das noções mais básicas da
geometria, satisfazendo as propriedades:
1.AB≥0eAB= 0⇔A=B
2.AB=BA
3.AC≥AB+BC
A propriedade 3 é conhecida comodesigualdade triangular.
ER1.4.Determine a medida do segmentoABsabendo queAC= 2x−4,CB=x+ 6eCé ponto médio
do segmentoAB.
Solução:Cé ponto médio deAB. Portanto,AC=CB∴2x−4 =x+ 6. Logo,x= 10e
AB=AC+CB= 2x−4 +x+ 6 = 3x+ 2 = 32.
14

16. 1.11 Razão de Secção
1.6 Definição(Razão de Secção Interna).Considere o segmento
de retaABeCum ponto interno deste segmento. A razão
k=
AC
CB
é chamada razão ou divisão de seção interna. Os segmentos
ACeCBsão chamados aditivos.
A BC
Posição deC Razãok
Cé ponto médio k= 1
Cestá mais próximo deA k<1
Ccoincide comA k= 0
Cestá mais próximo deB k>1
C→B k→ ∞
Nota4.É claro que seCé ponto médio do segmentoAB, entãok= 1. SeCestá mais próximo a
A, entãok<1. Caso contrário,k>1. Quanto mais próximo deAo pontoCestiver, mais próximo de
0a razãokestará.
ER1.5.Um segmentoABde medida12cmfoi dividido internamente por dois pontosMeN, na razão
1
3
e4, respectivamente. Determine a medida do segmentoMN.
Solução:ComokM<1ekN>1o pontoMestá mais próximo deAdo que o pontoN. Fazendo-se
AM=xeAN=y, temosMB= 12−xeNB= 12−y. Segue que
kM=
AM
MB
=
x
12−x
=
1
3
ekN=
AN
NB
=
y
12−y
= 4.
Resolvendo-se este sistema de equações, encontramosx= 3ey= 9, 6.
Assim,MN=AN−AM= 9, 6−3 = 6, 6. A BM N
3 6, 6 2, 4
1.7 Definição(Razão de Secção Externa).Dividir um seg-
mento de retaABexternamente por um pontoC, numa
razão
k=
AC
CB
em queACeCBsão segmentos consecutivos tais que
|AC−CB|=AB. Os segmentosACeCBsão então
chamados de subtrativos.
A B C
C A B
Posição deC Razãok
Cestá mais próximo deA k<1
Cestá mais próximo deB k>1
Ccoincide comA k= 0
C→B k→ ∞
C→ ∞ k→1
Nota5.É claro que seBé ponto médio do segmentoAC, entãok= 2. SeCestá mais próximo a
A, entãok<1. CasoCesteja mais próximo aB,k>1.
ER1.6.Um segmentoABde medida12cmfoi dividido externamente por dois pontosMeN, na razão
1
3
e4, respectivamente. Determine a medida do segmentoMN
Solução:ComokM<1ekN>1, o pontoMestá mais próximo deAe o pontoN, deB. Fazendo-se
15

17. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
AM=xeAN=y, temosMB= 12 +xeNB= 12 +y. Segue que
kM=
AM
MB
=
x
12 +x
=
1
3
kN=
AN
NB
=
y
−12 +y
= 4.
Resolvendo-se estas equações, encontramosx= 6ey= 16. Assim,
MN=MA+AN= 6 + 16 = 22.
A BM N
6 12 4
1.12 Exercícios
EP1.7.Classique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada uma das arma?ões:
1. ( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
2. ( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
3. ( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
4. ( ) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
5. ( ) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
6. ( ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
EP1.8.SejamA,BeCpontos de uma reta. Faça um desenho representando-os, sabendo queAB= 3,
AC= 2e queBC= 5.
EP1.9.Repita o exercício anterior, sabendo queCestá entreAeB,AB= 7e queAC= 5.
EP1.10.Quatro pontosA,D,VeIestão sobre uma reta de modo que suas coordenadas são números
inteiros consecutivos. Sabe-se, além disto, queVestá entreIeAe queDA<DV. Faça uma gura
indicando as posições relativas destes pontos.
EP1.11.Desenhe uma reta e sobre ela marque dois pontosAeB. Suponha que a coordenada do ponto
Aseja zero e a do pontoBseja um. Marque agora pontos cujas coordenadas são3,5,5/2,1/3,3/2,2,
−1,−2,−5,−1/3,−5/3.
EP1.12.SejamA1eA2pontos de coordenadas1e2. Determine a coordenada do ponto médioA3do
segmentoA1A2. Dê a coordenada do ponto médioA4do segmentoA2A3. Dê a coordenadaA5do ponto
médio do segmentoA3A4.
EP1.13.Dados três pontos colinearesA,BeCtais queABseja o triplo deBC, calcule as medidas de
ABeBCsabendo queAC= 32cm.
EP1.14.São dados três pontosA,BeC, comBentreAeC. SejamMeNos pontos médios deABe
BC, respectivamente. Mostre queMN=
AB+BC
2
.
EP1.15.São dados três pontosA,BeC, comCentreAeB. SejamMeNos pontos médios deABe
BC, respectivamente. Mostre queMN=
AB−BC
2
.
EP1.16.Considere três pontos colinearesA,BeC, sendo queBca entreAeCeAB=BC. SeMé
o ponto médio deABeNé o ponto médio deBCmostre queMN=AB.
16

18. EP1.17.São dados pontosA,B,CeDcolineares, com coordenadasx,y,zewe tais quex<y<z<
w. Prove queAC=BDse, e somente se,AB=CD.
EP1.18.Considerando a seguinte arma??o. ?SePé ponto de interseção de círculos de raiore centros
emAeB, entãoPA=PB” e utilizando régua e compasso, descreva um método para construção de um
triângulo com dois lados de mesmo comprimento (tal triângulo é chamado detriângulo isósceles). Idem
para construção de um triângulo com os três lados de mesmo comprimento (tal triângulo é chamado de
triângulo eqüilátero).
EP1.19.Mostre que, sea<b, entãoa<
a+b
2
<b.
EP1.20.Um segmento ligando dois pontos de um círculo e passando peloseu centro é chamado de
diâmetro. Mostre que todos os diâmetros têm a mesma medida.
EP1.21.Dois círculos de mesmo raio e centrosAeBse interceptam em dois pontosCeD. O que
pode ser armado sobre os tri?ngulosABCeACD?
EP1.22.SejamA,B,CeDquatro pontos da retamtais queBestá entreAeC, eCentreBeD.
Sabendo queAB=CDmostre queAC=BD.
EP1.23.Quatro pontosA,B,CeDsão colineares. O pontoBestá entreAeC, e o pontoCentreBe
D. Demonstre que o pontoCse encontra entreAeD.
EP1.24.O,A,BeCsão os pontos distintos de uma reta, sucedendo-se na ordemOABC, e tais que
AO= 3cm,OB= 5cm,4AB+AC−2BC= 6cm. Calcule a medida do segmentoOC.
EP1.25.O,A,B,CeDsão cinco pontos de uma reta, sucedendo-se na ordemOABCD, e tais que
AO= 1cm,OB= 3cm,OC= 5cm,OD= 7cm. SendoMeNos pontos médios deABeCD,
respectivamente, ePo ponto médio deMN, calculeOP.
EP1.26.A,B,CeDsão pontos distintos de uma reta, sucedendo-se na ordem alfabética, e tais que
AD= 12cmeBC= 7cm. CalcularAB+CDe a distância entre os pontos médios dos segmentosABe
CD.
EP1.27.Os segmentosABeBC;BCeCDsão adjacentes, de tal maneira queAB= 3BCe
BC= 2CD. SeAD= 36cm, determine as medidas dos segmentosAB,BCeCD.
EP1.28.Numa carpintaria, empilham-se50tábuas, umas de2cme outras de5cmde espessura. A
altura de pilha é de154cm, determine a diferença entre o número de tábuas de cada espessura.
EP1.29.Os pontosPeQpertencem ao interior do segmentoABe estão de um mesmo lado do seu
ponto médio.PdivideABna razão
2
3
eQdivideABna razão
3
4
. SePQ= 2cm, calculeAB.
EP1.30.Mé um ponto médio de um segmentoABeCé um ponto de reta
←→
ABexterno ao segmento
AB. Demonstrar queMC=
CA+CB
2
.
EP1.31.A,B,CeDsão pontos distintos de uma reta, sucedendo-se na ordem alfabética.MeNsão
os pontos médios respectivos dos segmentosABeCD. Demonstrar queMN=
AC+BD
2
.
EP1.32.O segmentoABvale 7 vezes o segmentoCD. Achar a medida deABquando se toma para
unidade a terça parte deCD.
EP1.33.P,QeRsão três pontos distintos de uma reta. SePQé igual ao triplo deQRePR= 40cm,
determine as medidas dos segmentosPQeQR.
EP1.34.ABeBCsão segmentos adjacentes cujos pontos médicos respectivossãoMeN. Demonstrar
queMN=
AB+BC
2
.
17

19. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP1.35.ABeBCsão segmentos adjacentes;MeNsão os pontos médios respectivos dos segmentos
ACeAB. Demonstrar queMN=
AC−AB
2
.
EP1.36.Mé o ponto médio de um segmentoABeCé um ponto interno ao segmentoMB. Demonstrar
queMC=
CA−CB
2
.
EP1.37.SejamMeNos pontos médios, respectivamente, dos segmentosABeBC, contidos numa
mesma reta, sendoAB≡BC, comA6=C. Demonstre queMNé congruente aAB.
EP1.38.SeA,BeCsão pontos colineares, determineAC, sendoAB= 20cmeBC= 12cm.
EP1.39.ABeBCsão dois segmentos adjacentes. SeABé o quíntuplo deBCeAC= 42cm, determine
ABeBC.
EP1.40.Numa retar, tomemos os segmentosABeBCe um pontoPde modo queABseja o quíntuplo
dePC,BCseja o quádruplo dePCeAP= 80cm. SendoMeNos pontos médios deABeBC,
respectivamente, determineMN.
EP1.41.Dados três pontosA,BeCsobre uma mesma reta, consideramosMeNos pontos médios
dos segmentosABeBC. Demonstre queMNé igual à semi-soma ou à semi-diferença dos segmentos
ABeBC.
EP1.42.No segmentoAC, toma-se um pontoBde forma que
AB
AC
= 2
BC
AB
. Determine o valor de
BC
AB
.
Gabarito
EP1.7. F; F; V; F; V; F.EP1.12.
3
2
,
7
4
,
13
8
.EP1.13.24; 8ou48; 16.EP1.24.9cm.EP1.25.4cm.EP1.26.5cm;9, 5cm.
EP1.27.24cm;8cme4cm.EP1.28.14.EP1.29.70cm.EP1.32.21.
EP1.38.8cmou32cm.EP1.39.AB= 35cmeBC= 7cm.EP1.40.36cmou45cmou20cm.EP1.42.
√
3−1
2
.
Ângulos
1.8 Definição.Umânguloαé uma região do plano delimitada por duas
semi-retas com a mesma origemO. As semi-retas são chamadas dela-
dosdo ângulo e a origem comumOdevérticedo ângulo. Assim, duas
semi-retas, cada uma contendo os pontosAeBe com mesma origem,
delimitam duas regiões distintas do plano.
O
A
B
α
Existem outras deni??es para ?ngulo. Na Gr?cia antiga, um ?ngulo era de×nido como sendo uma
?deex?o? ou ?quebra em uma linha reta?. Euclides deniu um ?ngulo plano como sendo a inclinação
recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento. Em1.893,
H. Schotten resumiu as deni??es de ?ngulo em tr?s tipos.
⋆A diferença de direção entre duas retas;
⋆A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro,
permanecendo entrementes no outro lado do ângulo;
⋆A por??o do plano contida entre as duas retas que denem o ?ngulo.
Em1.634, P. Henrigone deniu ?ngulo como sendo um conjunto de pontos. Esta deni??o tem sido
usada com mais freqüência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o símbolo “<” para representar
ângulo.
18

20. Existem várias maneiras distintas de representar ângulo. Por exemplo,
o ?ngulo na ×gura √ode ser re√resentado √orA
ˆ
OBou porB
ˆ
OA. Nesta
notação a letra indicativa do vértice deve sempre aparecer entre as outras
duas, as quais representam pontos das semi-retas que formamo ângulo.
O
A
B
α
É comum utilizarmos a letra designativa do vértice para representar o ângulo, como, por exemplo, (na
×gura⇒
ˆ
Oou a utilização de letras gregas para representação de ângulos. Na ×gura anterior utilizamosα.
1.13 Unidade de Medidas de Ângulos
Axioma 10.É possível colocar, em correspondência biunívoca, os números reais entre zero e180
◦
e
as semi-retas da mesma origem que dividem um dado semi-plano, de modo que a diferença entre estes
números seja a medida do ângulo formado pelas semi-retas correspondentes.
Denominamos ângulo raso aquele cujos lados são semi-retas opostas.
180
◦
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90 80
70
60
50
40
30
20
10
0
Figura1.1: Transferidor
Dividamos a abertura de um ângulo raso em180partes
iguais. Cada ?ngulo obtido por deni??o ter? a medida de1
◦
(um grau). Como submúltiplos do grau temos:
⋆o minuto (
′
), que corresponde à sexagésima parte do grau,
ou seja1
′
=
1
60
1
◦
;
⋆o segundo (
′′
), que corresponde à sexagésima parte do min-
uto, ou seja,1
′′
=
1
60
1
′
.
Os ângulos são medidos emgrauscom o auxílio de um transferidor (Figura1.13).
A astronomia talvez tenha sido o principal fator que desencadeou o estudo feito com ângulos. Pelo
menos1.500antes de Copérnico, Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro. No entanto
este material hist?rico se √erdeu. O que ×cou foi um tratado escrito por volta de260a.C. envolvendo
tamanhos e distância do Sol e da Lua.
A divisão do círculo em360partes iguais aparece mais tarde e não existe qualquer razãocient?ca.
Talvez a raz?o que a justique esteja nos estudos feitos pelopovo babilônio (4.000a.C. -3.000a.C.). Este
povo realizava muitos estudos para o trato de terrenos pantanosos e construções de cidades. Tinham
interesse pela Astronomia e a relação desta com conceitos religiosos (eram politeístas) e, para viabilizar
tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base60(sistema hexagesimal).
Um outro fato observado é que60é o menor número de dois algarismos que possui uma grande
quantidade de divisores distintosD(60) ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, razão pela qual este número
tenha sido adotado.
O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em360partes foi Hipsicles (180a.C.), seguido pelos
caldeus. Por volta de150a.C. encontramos uma generalização de Hiparco para este procedimento.
Dividir um círculo em6partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela época e é
possível que se tenha usado o número60para representar a sexta parte do total, que passou a ser360.
19

21. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Outro fato que pode ter inuenciado na escolha do n?mero360é que o movimento de translação da
Terra em volta do Sol se realizava em um período de aproximadamente360dias, o que era uma estimativa
razoável para a época. Hiparco mediu a duração do ano com grande exatidão ao obter365, 2467dias.
Atualmente esta medida corresponde a365, 2222dias.
Nosso entendimento é que o sistema sexagesimal (base60) tenha inuenciado a escolha da divis?o do
círculo em360partes iguais, assim como a divisão de cada uma dessas partesem60partes menores e
também na divisão de cada uma dessas subpartes em60partes menores. Uma garantia para isto é que
os babilônios usavam frações com potências de60no denominador. As frações sexagesimais babilônicas,
usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:
“primeiras menores partes” = sexagésimos
“segundas menores partes” = sexagésimos de sexagésimos
Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi alíngua internacional dos intelectuais por
muito tempo, passamos a ter:
“primeiras menores partes” = partes minutae primae
“segundas menores partes” = partes minutae secundae
de onde apareceram as palavras minuto e segundo.
Fique atento! Usualmente, a unidade de medida de ângulos é o grau.
Grado
A unidade grado é muito pouco utilizada, apesar de ser uma unidade decimal, enquanto que o grau
é sexagesimal. Vamos dividir a abertura do ângulo raso em200partes iguais. Cada ângulo obtido por
deni??o ter? a medida de1grado(1gr). Assim, o ângulo raso pode ter também a medida de200gr. Os
submúltiplos do grado são os usuais para sistemas decimais.Por exemplo, o decigrado1dcgr(0, 1gr), o
centigrado1cgr(0, 01gr).
Radiano
A unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional é o radiano
que foi criada pelo matemático Thomas Muir e pelo físico James T. Thom-
son, de uma forma independente, e adotada como sendo uma unidade
alternativa. O termo radian apareceu pela primeira vez num trabalho de
Thomson em1.873.
Uma unidade desta medida é obtida quando tomamos sobre uma cir-
cunferência de raio qualquerrum arco cuja medida também ér.
O
A
B
r
1.13.1 Transformação de Unidades
A transformação de unidades é feita mediante uma simples regra de três, ou seja, estabelecendo-se
que
180
◦
——200gre180
◦
——πrad.
ER1.43.Transforme45
◦
em grados.
20

22. Solução:Sabemos que180
◦
correspondem a200gr, portanto
180
◦
− − −200gr
45
◦
− − −x
Esta proporção nos dáx= 50gr.
ER1.44.Quanto mede em graus
3π
2
rad?
Solução:Sabemos que180
◦
correspondem aπrad, portanto
180
◦
− − −180rad
x − − −
3π
2
Esta proporção nos dáx= 270
◦
.
1.14 Classificação de Ângulos
Sejam
−→
AO,
−−→
OBe
−−→
OCsemi-retas de mesma origem. Se o segmentoABinterceptar
−−→
OC, diremos que
−−→
OC, divide o ânguloA
ˆ
OB.
Axioma 11.Se uma semi-reta
−−→
OC, divide um ânguloA
ˆ
OB, entãoA
ˆ
OB=A
ˆ
OC+C
ˆ
OB.
1.9 Definição.Dois ângulos são ditos consecutivos se o lado de um é também o lado do outro. São ditos
ângulos adjacentes se são ângulos consecutivos que não possuem pontos internos em comum.
O C
B
A
O C
B
A
O C
B
A
Consecutivos:
Adjacentes:
Lado comum:
A
ˆ
OBeA
ˆ
OC
———
−→
OA
A
ˆ
OCeB
ˆ
OC
———
−−→
OC
A
ˆ
OBeB
ˆ
OC
AˆOBeBˆOC
−−→
OB
1.10 Definição(Bissetriz de um ângulo).Chamamos de bissetriz à semi-
reta que possui o vértice do ângulo como origem e o divide em dois outros
ângulos adjacentes e de mesma medida.
Na ×gura ao lado, a semi-reta
−−→
OCé bissetriz do ânguloAˆOB.
O C
A
B
α
α
1.14.1 Classificação de Dois Ângulos quanto à sua Soma
21

23. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Dois ângulosxeysão chamados:
⋆complementares quandox+y= 90
◦
;
⋆suplementares quandox+y= 180
◦
;
⋆replementares quandox+y= 360
◦
;
⋆explementares quandox+y= 720
◦
.
Assim, se a medida de um ângulo éxtemos que:
⋆( 90
◦
−x)é o complemento dex;
⋆(180
◦
−x)é o suplemento dex;
⋆(360
◦
−x)é o replemento dex;
⋆(720
◦
−x)é o explemento dex.
1.14.2 Classificação de Um Ângulo Quanto à sua Medida
α <90
◦
Ângulo agudo
α
α >90
◦
Ângulo obtuso
α
α= 90
◦
Ângulo reto
α
Quando duas retas distintas se interceptam, formam-se quatro ângulos.
Como indicado na ×gura abaixo, dizemos que os ?ngulosAˆOBeDˆOCsão
opostos pelo vértice. Do mesmo modo o são os ângulosA
ˆ
ODeB
ˆ
OC.
AD
C B
O
1.11 Proposição.Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
Prova:ConsidereA
ˆ
OBeD
ˆ
OCdois ângulos opostos pelo vértice, então eles possuem o mesmo
suplemento:A
ˆ
OD. Então,A
ˆ
OB+A
ˆ
OD= 180
◦
eD
ˆ
OC+A
ˆ
OD= 180
◦
eD
ˆ
OC+A
ˆ
OD= 180
◦
.
Portanto,A
ˆ
OB= 180
◦
−A
ˆ
OD=D
ˆ
OC. 2
1.12 Definição.Diremos que duas retas são perpendiculares se elas se
intersectam formando ângulo reto. O
1.13 Teorema.Por qualquer ponto de uma reta passa uma única reta perpendicular a esta reta.
Prova:Fixando um pontoPsobre a retar. Pelos axiomas1.1e3.1, existem dois semi-planos
determinados por esta reta, considere um destes os semi-planos, denotando-o porπP,r. Pelo
axioma 10, existe uma única semi-reta com vérticePcontida no semi-planoπP,r, tal que sua
coordenada é de90
◦
. Logo, esta semi-reta é perpendicular à retar. 2
ER1.45.Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às10he40min.
Solução:Para encontrarmos este ângulo devemos proceder da seguintemaneira:
22

24. 1. Marque a primeira hora inteira anterior ao horário em questão;
∈. Marcar o hor?rio em quest?o denindo comoxo ângulo percorrido pelo ponteiro pequeno;
3. Montar a equação referente ao horário, no casoy= 60
◦
+x;
4. Observar as regras de três das velocidades dos ponteiros:
Ponteiro pequeno (PP)30
◦
——60min,
Ponteiro grande (PG)360
◦
——60min
Sendo assim,
PP PG
30
◦
—— 60min
x—— 40min
µh10
Segue quex=
4030
60
= 20
◦
. Logo,y= 60
◦
+x= 80
◦
.
Um pouco de História
Foi com os gregos que surgiu o conceito de ângulo em trabalhosque envolviam o estudo de
relações dos elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades
das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas emcírculos, eram conhecidas desde
o tempo de Hipócrates. Eudoxo talvez tenha usado razões e medidas de ângulos na determi-
nação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra.
Problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas já eram tratados
por Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-194 a.C).
Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar
respostas para a vida tanto na Terra, assim como entender os corpos celestes que aparecem
à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ciência a incorporar o estudo
de ângulos como uma aplicação da Matemática. Na determinação de um calendário ou de uma
hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Freqüente-
mente, o Sol servia como referência e a determinação da hora dependia da inclinação do Sol e
da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (relógio de Sol).
1.15 Exercícios
EP1.46.Se
−→
OPé bissetriz deA
ˆ
OB, determine o valor de cada variável desconhecida.
(a)
O P
A
B
3x
x+ 10
◦
O A
P
B
x+ 30
◦
y−10
◦
2y
(b)
EP1.47.Determine o valor da variável em cada caso.
23

25. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
(a)
40
◦
2x−10
◦
(b)
x+ 20
◦
2x−10
◦
(c)
x+ 35
◦
3x−15
◦
α
(d)
2x−yx+y
α
4x−2y
(e)
2x−10
◦
α=x+ 40
◦
EP1.48.Mostre que: “se um ângulo e seu complemento têm a mesma medida, então o ângulo é reto”.
EP1.49.Dois ângulos são suplementares. A diferença entre eles é de50
◦
. Determine a medida dos
dois ângulos.
EP1.50.Mostre que o suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso.
EP1.51.Quanto mede o ângulo cuja quinta parte do seu suplemento mede16
◦
?
EP1.52.O ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes mede40
◦
. Sendo a medida de
um deles igual a três quintos da medida do outro, determine a medida dos dois ângulos.
EP1.53.Três semi-retas de mesma origem são traçadas no plano. Colocando-se um transferidor de
forma adequada, a primeira delas tem coordenada0, a segunda tem coordenada 30 e a última 120. Qual
a medida do ângulo entre a segunda e a terceira? Se o transferidor fosse rodado um pouco de modo que
a coordenada da primeira fosse agora 20, quais seriam as coordenadas das outras semi-retas?
EP1.54.Duas retas se interceptam formando quatro ângulos. Se um deles é reto, mostre que os outros
também são retos. Se, ao invés de ser reto, um deles medisse60
◦
, quais seriam as medidas dos outros?
EP1.55.Dois ângulos são complementares e o suplemento de um deles mede tanto quanto o suple-
mento do segundo mais30
◦
. Quanto medem os dois ângulos?
EP1.56.Determine a medida do ângulo agudo que tem a mesma medida do seu complemento.
EP1.57.Qual é o ângulo agudo que mede o dobro do seu complemento?
EP1.58.Porque o complemento de um ângulo é sempre menor que o seu suplemento?
EP1.59.Ao longo de
1
2
hora o ponteiro dos minutos de um relógio descreve um ângulo raso (ou seja,
o ?ngulo entre sua √osi??o inicial e sua √osi??o ×nal ? um ?ngulo raso). Quanto tempo ele leva para
descrever um ângulo de60
◦
?
EP1.60.Ao mesmo tempo em que o ponteiro dos minutos gira, o das horas também gira, só que em
menor velocidade: ele leva6horas para descrever um ângulo raso. Quanto tempo ele leva para percorrer
um ângulo de10
◦
?
EP1.61.Qual o ângulo formado entre o ponteiro dos minutos e das horasquando são12horas e30
minutos?
EP1.62.Exatamente às12horas um ponteiro estará sobre o outro. A que horas voltará a ocorrer que
os dois ponteiros formem um ângulo de0
◦
?
24

26. EP1.63.Uma √oligonal ? uma ×gura formada √or uma seq??ncia de √ontosA1,A2,. . .,Ane pelos
segmentosA1A2,A2A3,A3A4,. . .,An−1An. Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são os
seus lados. Desenhe a poligonalABCDsabendo que:
AB=BC=CD= 2cm,A
ˆ
BC= 120
◦
eB
ˆ
CD= 100
◦
.
Um polígono é uma poligonal em que as seguintes4condições são satisfeitas:
(a)An=A1,
(b) os lados da poligonal se interceptam somente em suas
extremidades,
(c) cada vértice é extremidade de dois lados e
(d) dois lados com mesma extremidade não pertencem a
uma mesma reta.
A
1
A
2
A
3
A
4 A
5
A
6
A
n−1
An
Um polígono de vérticesA1,A2, . . . ,An+1=A1, será representado porA1A2A3 An. Ele temn
lados,nvértices enângulos.
EP1.64.Desenhe um polígono de4ladosABCDtal queAB=BC=CD=DA= 2cm, com
A
ˆ
BC=A
ˆ
DC= 100
◦
e comB
ˆ
CD=B
ˆ
AD= 80
◦
.
EP1.65.A soma dos comprimentos dos lados de um polígono é chamada de perímetro do polígono.
Desenhe um polígono, meça seus lados e determine seu perímetro.
EP1.66.SejaABCDum polígono tal queAB=BC=CD=DA. SeAB=aseu perímetro será
4a. Determine um ponto E fora da região limitada pelo polígono tal queABEé um triângulo eqüilátero.
Considere agora o polígonoAE BCD. Determine seu perímetro.
EP1.67.No polígonoABCDda questão anterior, sejaMo ponto médio do ladoAB. Determine agora
dois pontosE1eE2tais queAE1MeME2Bsejam eqüiláteros. Determine agora o perímetro do polígono
AE1ME2BCD.
EP1.68.O segmento ligando vértices não consecutivos de um polígonoé chamado uma diagonal do
polígono. Faça o desenho de um polígono de seis lados. Em seguida desenhe todas as suas diagonais.
Quantas diagonais terá um polígono de20lados? Enlados?
EP1.69.Dê exemplo de um polígono que possua uma diagonal que não esteja contida na região por
ela limitada.
Polígonos convexos re-
cebem designações especi-
ais. Aqui estão algumas des-
ignações dadas a estes polí-
gonos de acordo com seu
número de lados.
n Nomenclatura
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 eneágono
10 decágono
11 undecágono
n Nomenclatura
12 dodecágono
13 tridecágono
14 tetradecágono
15 pentadecágono
16 hexadecágono
17 heptadecágono
18 octadecágono
19 eneadecágono
20 icoságono
EP1.70.Dado um polígono convexo mostre que qualquer de suas diagonais sempre o divide em dois
conjuntos convexos.
EP1.71.Duas retas concorrentes formam4ângulos tais que a soma dos dois menores é a metade de
um dos ângulos obtuso formados. Calcular o maior desses ângulos.
EP1.72.Qual é o ângulo que, somado à metade do seu replemento, excedeo seu suplemento de
3
4
do
seu complemento?
25

27. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP1.73.Por um pontoPde uma retartraçam-se, do mesmo lado der, duas semi-retas. Calcular os
três ângulos formados sabendo-se que suas medidas, expressas em graus, são números consecutivos.
EP1.74.Calcular o ângulo que excede seu complemento de40
′′
.
EP1.75.Determinar o complemento, o suplemento e o replemento do ângulo de67
◦
42
′
17
′′
.
EP1.76.O dobro do suplemento de um ângulo vale sete vezes o seu complemento. Achar o ângulo.
EP1.77.A soma de dois ângulos é78
◦
e um deles vale os3/5do complemento do outro. Achar os
ângulos.
EP1.78.O quíntuplo do suplemento do complemento de um ângulo é igualao triplo do replemento do
seu suplemento. Achar o ângulo.
EP1.79.As bissetrizes de dois ângulos adjacentes formam um ângulo de38
◦
. Um dos ângulos mede
41
◦
. Calcular o outro.
EP1.80.Quatro semi-retas formam em torno de um ponto ângulos cujas medidas sexagésimas são
proporcionais aos números2;3;5e8. Determine os ângulos.
EP1.81.X
ˆ
OA,A
ˆ
OBeB
ˆ
OYsão três ângulos consecutivos situados num mesmo semi-plano dos deter-
minados pela retaX Y, eOM,ONeOPsão as suas respectivas bissetrizes. Calcular esses três ângulos,
sabendo queX
ˆ
ONé reto e queM
ˆ
OP= 100
◦
.
EP1.82.X
ˆ
OYé um ângulo reto;OXé a bissetriz de um ânguloA
ˆ
OBeOYé a bissetriz de um ângulo
C
ˆ
OD. Demonstrar queA
ˆ
OCeB
ˆ
ODsão suplementares.
EP1.83.OXeOYsão bissetrizes de dois ângulos adjacentes,A
ˆ
OBeB
ˆ
OC, ambos agudos, e tais que
AˆOB−BˆOC, = 36
◦
;OZé bissetriz do ânguloXˆOY. Calcule o ânguloBˆOZ.
EP1.84.Do pontoAde uma retaX Ytraça-se a semi-retaAB, que forma comX Yum ângulo de75
◦
do mesmo pontoAe no outro semi-plano dos determinados porX Ytraça-se a semi-retaAC, que forma
comX Ydois ângulos cujas medidas diferem de50
◦
. Achar os três ângulos incógnitos formados em torno
do pontoA.
EP1.85.SejaA
ˆ
OBum ângulo eruma reta do seu plano que contémO, e situada na região não convexa.
SejamOXeOUas bissetrizes dos ângulos agudos queAOeOBformam comr. SeAˆOB= 150
◦
, calcule
X
ˆ
OY.
EP1.86.Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4h 42min.
EP1.87.A que horas pela primeira vez após o meio-dia os ponteiros de um relógio formam110
◦
?
EP1.88.É uma hora da tarde. O ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas pela primeira
vez em qual horário?
EP1.89.Entre4e5horas o √onteiro das horas de um rel?gio ×ca duas vezes em ?ngulo reto com o
ponteiro dos minutos. Quais são estes momentos?
EP1.90.Pelo pontoCde uma retaABtraçam-se, num mesmo semi-plano dos determinados porAB, as
semi-retasCQ,CTeCR. O ânguloA
ˆ
C Qé o dobro do ânguloQ
ˆ
CTe o ânguloB
ˆ
C Ré o dobro do ângulo
R
ˆ
CT. Calcular o ânguloQ
ˆ
C R.
EP1.91.As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são(8x+ 2)
◦
e(3x+ 12)
◦
. Calculex.
EP1.92.Calcule o complemento de um ângulo agudo de medidaθque satisfaz a relação:2θ+2α−4β=
0.
26

28. EP1.93.Calcule o suplemento do complemento de um ângulo de medidaθque satisfaz a relação:
3θ−6α+ 9β−60
◦
= 0.
EP1.94.Prove que a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes comple-
mentares é constante.
EP1.95.Dois ângulos adjacentes, de medidasxey, estão na razão de3para7. Sabendo que a medida
do ângulo formado pelas suas bissetrizes é30
◦
, calculexey.
EP1.96.X
ˆ
OTé um ângulo raso; as semi-retasOYeOZdecompõem esse ângulo em três outros
tais queX
ˆ
OY= 2Y
ˆ
OZ=
Z
ˆ
OT
3
. Calcular os dois ângulos consecutivos formados pelas bissetrizes dos
ângulosX
ˆ
OY,Y
ˆ
OZeZ
ˆ
OT.
EP1.97.Provar que uma reta perpendicular a uma bissetriz de um ângulo, traçada pelo vértice, forma
ângulos iguais com os lados do ângulo.
EP1.98.Da medida de um ângulo tira-se sua terça parte e depois a metade do suplemento do que
restou. Obtemos através destas operações o valor de60
◦
. Qual a medida do ângulo?
EP1.99.Demonstre que o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às (h) horas e (m)
minutos é:α= (30h−
11m
2
)(em graus).
Gabarito
EP1.46. (a)x= 5
◦
, (b)x= 10
◦
ey= 50
◦
.EP1.47. (a)25
◦
; (b)30
◦
; (c)x= 25
◦
eα= 120
◦
; (d)x= 40
◦
,y= 20
◦
e
α= 120
◦
; (e)x= 20
◦
eα= 60
◦
.EP1.49.115
◦
,65
◦
.EP1.51.100
◦
.EP1.52.30
◦
,50
◦
.EP1.53.90
◦
;50
◦
e140
◦
.EP1.54.
60
◦
,120
◦
e120
◦
.EP1.55.30
◦
,60
◦
.EP1.56.45
◦
.EP1.57.60
◦
.EP1.59.10mi n.EP1.60.20mi nEP1.61.165
◦
.EP
1.62.13h5mi n27s.EP1.66.5a.EP1.67.5a.EP1.68.170,
n(n−3)
2
.EP1.70.EP1.71.144
◦
EP1.72.30
◦
EP1.73.59
◦
,
60
◦
e61
◦
EP1.74.45
◦
20
′′
EP1.75.22
◦
17
′
43
′′
;112
◦
17
′
43
′′
e292
◦
17
′
43
′′
.EP1.76.54
◦
.EP1.77.18
◦
e60
◦
EP1.78.45
◦
EP1.79.35
◦
EP1.80.40
◦
;60
◦
;100
◦
e160
◦
EP1.81.X
ˆ
OA=B
ˆ
OY= 80
◦
eA
ˆ
OB= 20
◦
.EP1.83.9
◦
EP1.84.105
◦
; 115
◦
e
65
◦
.EP1.85.165
◦
.EP1.86.111
◦
.EP1.87.12h20mi n.EP1.88.13h05mi n27s.EP1.89.4h5
5
11
mi ne4h38
2
11
mi n.EP1.90.
Q
ˆ
C R= 60
◦
.EP1.91.X= 2.EP1.92.90
◦
−2β+α.EP1.93.110
◦
+ 2α−2β.EP1.95.x= 18
◦
ey= 42
◦
.EP1.96.
45
◦
; 60
◦
.EP1.98.90
◦
.
Triângulos
1.14 Definição.Dados três pontosA,BeC, não colineares, à reunião dos segmentosAB,BCeAC
chamamos triânguloABCe indicamos por△ABC.
⋄Os pontosA,BeCsão chamados de vértices;
⋄Os segmentosAB,BCeACde medidac,aeb, respectivamente,
são os lados;
⋄Os ângulosˆA,ˆBeˆCsão os ângulos internos do triângulo.
⋄Diz-se queAB,BCeACe os ângulosˆC,ˆAeˆBsão, respectiva-
mente, opostos.
A B
C
ab
c
1.16 Classificação dos Triângulos
Classica-se os tri?ngulos de duas maneiras.
27

29. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
1.16.1 Quanto aos Lados
⋆Escaleno– Todos os lados possuem medidas diferentes;
⋆Isósceles– Dois lados possuem medidas iguais. Estes lados são chamados de laterais e o terceiro
lado é chamado de base;
⋆Equilátero– Todos os lados possuem mesma medida.
A B
C
a
b
c
a6=b6=c
p
A B
C
ab
c
a=b
A B
C
ab
c
a=b=c
1.16.2 Quanto aos Ângulos
⋆Retângulo– Possui um ângulo retângulo;
⋆Acutângulo– Possui todos os ângulos agudos;
⋆Obtusângulo– Possui um ângulo obtuso.
A B
C
ˆA= 90
◦
A B
C
ˆ
A,
ˆ
B,
ˆ
C<90
◦
/
A B
C
ˆ
C>90
◦
Congruências
1.17 Congruência de Segmentos, de Ângulos e de Triângulos
Neste capítulo nos limitaremos ao estudo da congruência de segmentos de retas, ângulos e triângulos.
1.17.1 Congruência de Segmentos e de Ângulos
1.15 Definição.Dizemos que dois segmentosABeCD(ou dois ângulosˆAeˆB)são congruentes se
possuem a mesma medida. Utilizaremos o símbolo≡para designar a congruência.
⋄AB≡CD: segmentoABé congruente ao segmentoCD;
⋄
ˆ
A≡
ˆ
B: ângulo
ˆ
Aé congruente ao ângulo
ˆ
B.
28

30. A congruência de segmentos é uma relação de equivalência, ouseja:
⋄um segmento é sempre congruente a ele mesmo;
⋄se um segmento é congruente a outro então este é congruente aoprimeiro;
⋄dois segmentos, congruentes a um terceiro, são congruentesentre si.
Nota6.O mesmo é válido para a relação de congruência de ângulos.
1.17.2 Congruência de Triângulos
1.16 Definição(Congruência de Triângulos).Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer
uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam
congruentes.
Se△ABCe△E FGsão dois triângulos congruentes e se
A↔E,B↔FeC↔G
? a corres√ond?ncia que dene a con}ru?ncia⇔ ent?o valem⇔ simultaneamente, as seis relações seguintes:
AB≡E F,BC≡FG,AC≡E G,
ˆA≡ˆE,ˆB≡ˆF,ˆC≡ˆG.
Escreveremos△ABC≡ △E FGpara indicar que os triângulos△ABCe△E FGsão congruentes e que
a congruência levaAemE,BemFeCemG.
Nota7.A√esar desta deni??o exi}ir que tr?s lados e tr?s ?n}ulos sejam congruentes para que dois
triângulos também o sejam, podemos trabalhar com alguns critérios os quais garantem a congruência
entre dois triângulos.
Casos ou Critérios de Congruência de Triângulos
Axioma 12(caso LAL).Dados dois triângulos△ABCe△A
′
B
′
C
′
, se
AB≡A
′
B
′
,BC≡B
′
C
′
eˆB≡ˆB, então△ABC≡ △A
′
B
′
C
′
.
Observe que⇔ de acordo com a deni??o⇔ √ara vericarmos se dois
tri?n}ulos s?o con}ruentes temos que vericar seis rela??es: congruência
dos três pares de lados e congruência dos três pares de ângulos corre-
spondentes.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
29

31. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Importante!
O axiomac anterior arma que ? suciente vericar a√enas tr?s delas, ou seja, em dois
triângulos△ABCe△A
′
B
′
C
′
:
AB≡A
′
B
′
BC≡B
′
C
′
ˆ
B≡
ˆ
B
′
9
>
=
>
;
⇒
¨
AB≡A
′
B
′
,BC≡B
′
C
′
,AC≡A
′
C
′
ˆ
A≡
ˆ
A
′
,
ˆ
B≡
ˆ
B
′
,
ˆ
C≡
ˆ
C
′
1.17 Teorema.[caso ALA] Dados△ABCe
△A
′
B
′
C
′
, seAC≡A
′
C
′
,ˆA≡ˆA
′
eˆC≡ˆC
′
, então
△ABC≡ △A
′
B
′
C
′
A
B
CA
′
B
′
C
′
Prova:Considere dois triângulos△ABCe△A
′
B
′
C
′
. como na ×gura acima. Hi√?teses:AC≡
A
′
C
′
,ˆA≡ˆAeˆC≡ˆC
′
⇔tese:△ABC≡ △A
′
B
′
C
′
.
SejaPo ponto da semi-reta
−→
ABtal queAP≡A
′
B
′
. Comparando△ABCcom△A
′
B
′
C
′
temos,
pelo axioma 12 que são triângulos congruentes. Logo,AˆC P≡ˆC
′
. Mas, por hipótese,ˆC
′
≡AˆCB.
Portanto,A
ˆ
CP≡A
ˆ
CB. Conseqüentemente, as semi-retas
−→
CPe
−→
CBcoincidem. Mas então o pontoP
coincide com o pontoBe, portanto, o△ABCcoincide com△APC. Como△ABC≡ △A
′
B
′
C
′
, então
△ABC≡ △A
′
B
′
C'. 2
1.18 Proposição.Em um triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
A B
C
Pratique! Deixaremos a demonstração desta proposição como exercíciopara o leitor. Consulte as
referências.
1.19 Proposição.Se em um△ABCtem-se dois ângulos congruentes, então o triângulo é isósceles.
Prova:Hipótese:△ABCem que
ˆ
A≡
ˆ
C. Tese:AB≡BC.
Queremos mostrar queAB≡AC. Comparemos△ABCcom ele próprio, fazendo corresponder os
vértices (como na prova da proposição anterior), isto é:A↔A,B↔CeC↔B. Como
ˆ
B≡
ˆ
C
e
ˆ
C≡
ˆ
Bpor hipótese, eBC=CB⇔ se}ue (√elo teorema ...⇒ que esta corres√ond?ncia dene
uma congruência. Como conseqüênciaAB=BC. Lo}o⇔ √or deni??o⇔ o△ABCé isósceles. Seja
△ABCe sejaDum ponto da reta que contémBeC. O segmentoADchama-se mediana do
triângulo relativamente ao ladoBC, seDfor o ponto médio deBC. O segmentoADchama-se
bissetriz do ângulo
ˆ
Ase a semi-reta
−→
ADdivide o ânguloC
ˆ
ABem dois ângulos congruentes, isto é,
seCˆAD≡DˆAB. O segmentoADchama-se altura do triângulo relativamente ao ladoBC, seADfor
perpendicular à reta que contémBeC. 2
1.20 Proposição.Em um triângulo isósceles a mediana relativamente à base é também bissetriz e altura.
Pratique! Deixaremos a demonstração desta proposição como exercíciopara o leitor. Consulte as
referências.
30

32. 1.21 Teorema.[caso LLL] Se dois triângulos têm
três lados correspondentes congruentes, então os
triângulos são congruentes.
A B
C
A
′
B
′
C
′
Considere os triângulos△ABCe△A
′
B
′
C
′
(veja na ×gura acima⇒.
Prova:Hipótese:AB≡A
′
B
′
,AC≡A
′
C
′
eBC≡B
′
C
′
. Tese:△ABC≡ △A
′
B
′
C
′
.
Marquemos um pontoPno semi-plano denido pela reta que cont?m o ladoACque não contém
o pontoB. Construímos o triângulo auxiliar△APCde forma que seja congruente a△A
′
B
′
C
′
. e
tenha o ladoACem comum com o△ABC. Pela proposição4.2, o△PABé isósceles implicando
queAˆBP≡AˆPB=α. Usando a proposição4.2, vemos que△BPCtambém é isósceles,
assim,C
ˆ
BP≡C
ˆ
PB=β. Como
ˆ
B=
ˆ
P=α+β→
ˆ
B=
ˆ
P. Daí, pelo casoLAL, temos que
△ABC≡ △APC, e pela construção do triângulo△APCtemos que△ABC≡ △A
′
B
′
C
′
. 2
1.22 Teorema.[caso LAAO] Se dois triângulos têm
ordenadamente congruentes um lado, um ângulo ad-
jacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses
triângulos são congruentes.
A B
C
A
′
B
′
C
′
Pratique! Deixaremos este caso para que você, o leitor, tente demonstrar sozinho. Não con-
seguindo, consulte as refer?ncias bibliogr?cas, ou consulte o professor gestor da disciplina.
1.17.3 Exercícios
EP1.100.Um ângulo raso é dividido por duas semi-retas em três ângulosad-
jacentes congruentes. Mostre que a bissetriz do ângulo do meio é perpendicular
aos lados do ângulo raso.
EP1.101.Na ×gura ao lado os ?ngulosαeβsão congruentes. Mostre que
AC=BC.
.
A
B
C
α
β
EP1.102.Na ×gura ao lado tem-seAB=ACeBD=CE. Mostre que:
△ACD≡ △ABEe△BCD≡ △CBE.
EP1.103.Dois segmentosABeCDse interceptam em um pontoMo
qual é ponto médio dos dois segmentos. Mostre queAC=BD.
EP1.104.Em um triânguloABCa altura do vérticeAé perpendicular ao
ladoBCe o divide em dois segmentos congruentes. Mostre queAB=AC.
A
B
C
D
E
EP1.105.Mostre que os pontos médios dos lados de um triângulo isósceles formam um triângulo
também isósceles.
31

33. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP1.106.Na gura abaixo,AC=ADeABé bissetriz do ânguloC
ˆ
AD. Prove
que os triângulosACBeADBsão congruentes.
EP1.107.Em um quadriláteroABCDsabe-se queAB=CDeBC=AD.
Mostre que os triângulosACBeCADsão congruentes. Conclua que os ângulos
opostos do quadrilátero são congruentes, isto é,
ˆ
A=
ˆ
Ce
ˆ
B=
ˆ
D. Altere sua
prova para mostrar que, se os quatro lados tiverem a mesma medida então os
quatro ângulos serão congruentes.
A B
C
D
EP1.108.Mostre que um triângulo eqüilátero é também equiangular, isto é, tem os três ângulos iguais.
EP1.109.Na gura abaixo o pontoAé ponto médio dos segmentos
CBeDE. Prove que os triângulosABDeACEsão congruentes.
EP1.110.Dois círculos de centroAeBe mesmo raio se intercep-
tam em dois pontosCeD. SeMé o ponto de interseção deABe
CD, mostre queAM=MBeCM=MD.
AB C
D
E
EP1.111.Use o resultado do exercício anterior para descrever um método de construção, usando
apenas régua e compasso, de uma perpendicular a uma reta passando por um ponto fora desta.
EP1.112.Da gura abaixo é sabido queOC=OB,OD=AOeBˆOC=CˆOA.
Mostre queCD=BA. Se, além disto, soubermos queCD=OBconclua que
os três triângulos formados são isósceles.
AOD
BC
EP1.113.Um quadrilátero tem diagonais congruentes e dois lados opostos também congruentes. Mostre
que os outros também são congruentes.
1.18 O Teorema do Ângulo Externo
1.23 Definição.Seja△ABC, os seus ângulosAˆBC,BˆC AeCˆAB
são chamados deângulos internosou simplesmente deângulos do
triângulo. Os suplementos destes ângulos, obtidos pelo prolonga-
mento de um lado, são chamados de ângulos externos do triângulo.
Na gura ao lado, o ânguloeé ângulo externo ao triângulo△ABC,
adjacente ao ânguloA
ˆ
BC.
A B
C
X
e
1.24 Teorema.[Ângulo Externo]Qualquer ângulo externo de um triângulo mede mais do que qualquer
dos ângulos internos que não lhe são adjacentes.
Prova:Considere um△ABC, denotemos a medida
dos ângulos internos porˆA,ˆBeˆCde acordo com o vér-
tice de cada ângulo.
Hipótese:△ABCcomˆeângulo externo adjacente aˆC.
Tese:ˆe>
ˆ
Aeˆe>
ˆ
B.
A
B C
M
X
P
e
ConsidereMo ponto médio deACePum ponto pertencente à semi-reta
−−→
BMde tal forma que
BM≡MP. Pelo caso LAL,△BAM≡ △PMCe assim:B
ˆ
AM≡P
ˆ
CM. Como a semi-reta
−→
CPdivide
o ânguloˆe=A
ˆ
CX, temosB
ˆ
AM≡P
ˆ
CM<ˆe, ou seja,ˆe>
ˆ
A. Analogamente, tomando o ponto médio
deBCe usando ângulos opostos pelo vértice, poderemos concluir queˆe>ˆB. 2
32

34. Deixaremos para o leitor a demonstração dos seguintes resultados:
1.25 Proposição.A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que
180
◦
.
1.26 Corolário.Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos.
1.27 Corolário.Se duas retas distintasmensão perpendiculares a uma
terceira, entãomennão se interceptam.
m
n
1.28 Proposição.Por um ponto fora de uma retarpassa uma única reta
perpendicular ar.
r
P
Prova:Faremos esta demonstração em duas partes.
Parte 1: Existência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pelo axioma 2 podemos considerar dois pontosAeBpertencentes ar. Pelo axioma 1 vamos con-
siderar um pontoCque não pertence arde tal modo que o△ABCseja isósceles. Pelo teorema1.5
podemos considerarPo ponto médio do ladoAB. Usando agora a proposição1.20temos queCPé
a altura relativa ao ladoAB, portanto é a perpendicular que queríamos obter.
Parte 2:Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suponha que existam retasr1er2e passando porCe perpendiculares ar. Usando SejaP=r∩r1,
Q=r∩r2eC. Considere o△PQC. Pela proposição1.25temos que
ˆ
P+
ˆ
Q= 180
◦
, o que representa
uma contradição. Logo não podem existir duas retasr1er2e nas condições dadas. 2
1.29 Proposição.Se dois lados de um triângulo não são congruentes então seus ângulos opostos não
são congruentes e o maior ângulo é oposto ao maior lado.
1.30 Proposição.Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então oslados que se opõem a
estes ângulos têm medidas distintas e o maior lado opõe-se aomaior ângulo.
Pratique! Agora é com você! Demonstre esta proposição.
Qualquer d?vida e/ou diculdade, consulte o professor gestor da disciplina, por exemplo.
1.31 Teorema.Em todo triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados é maior do que o comprimento
do terceiro lado.
Prova:Hipótese:△ABC. Tese:AB+BC>AC.
Utilizando o resultado expresso no axioma 9, podemos con-
siderarPum ponto sobre a semi-reta
−→
ABde modo que
AP=AB+BP. Temos queCB≡BPe, portanto, o△BCPé
isósceles com baseCP. Logo, teremosB
ˆ
CP≡B
ˆ
PC. Como
Bestá entreAeP, entãoB
ˆ
CP<A
ˆ
CP. Segue-se que no
△ACPtêm-seBˆPC<AˆCP. Logo, pela proposição anterior,
AC<AP. Mas então,AC<AB+BC. 2
|| ||
A B
C
P
1.32 Teorema.[Desigualdade Triangular] Dados três pontos distintosA,BeCdo plano, tem-se que
AC≤AB+BC. A igualdade ocorre se, e somente se,Bpertence ao segmentoAC.
Utilize a proposição1.28e o teorema1.32para demonstrar a desigualdade triangular.
33

35. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Importante! A desigualdade triangular é a única restrição para que se possa construir um triângulo
com comprimento dos lados pré-determinados. Por exemplo, de acordo com esta desigual-
dade é impossível construir um triângulo cujos lados meçam5,3e9.
Demonstre a proposição a seguir como exercício.
1.33 Proposição.Sejama,bectrês números positivos. Suponha que|a−b|<c<a−b. Então, pode-se
construir um triângulo cujos lados medema,bec.
1.34 Definição.Em um triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é
chamado hipotenusa (BC, na ×gura⇒, e os outros dois lados s?o denominados
catetos (ACeAB, na ×gura⇒.
A B
C
Se dois triângulos retângulos são congruentes, então, necessariamente, os ângulos retos devem se
corresponder. Por causa disto, além dos três casos de congruência que já conhecemos, existem outros
tr?s espec?cos para tri?ngulos ret?ngulos. Estes s?o apresentados no teorema seguinte, deixado como
exercício.
1.35 Teorema.[Congruência de triângulos retângulos] Sejam△ABCe△A
′
B
′
C
′
dois triângulos retângu-
los cujos ângulos retos são
ˆ
Ce
ˆ
C
′
. Se alguma das condições abaixo ocorrer, então△ABC≡ △A
′
B
′
C
′
:
1.BC≡B
′
C
′
e
ˆ
A≡
ˆ
A
′ 2.AB≡A
′
B
′
eBC≡B
′
C
′
e 3.AB≡A
′
B
′
e
ˆ
A≡
ˆ
A
′
.
Os casos acima √odem ser identi×cados como igualdade entre
1. cateto e ângulo oposto;2. hipotenusa e cateto; 3. hipotenusa e ângulo agudo.
1.18.1 Exercícios
EP1.114.Prove que se um triângulo tem dois ângulos externos congruentes, então ele é isósceles.
EP1.115.A ×gura ao lado ? formada √elos
segmentosAC,AE,CFeE B. Determine os
ângulos que são:
(a) menores do que o ânguloˆ7.
(b) maiores que o ânguloˆ5.
(c) menores do que o ânguloˆ4. A
B
C
D
E
F
ˆ1
ˆ2
ˆ3
ˆ4
ˆ5ˆ6
ˆ7
ˆ8ˆ9
ˆ10
EP1.116.Na ×gura ao lado, os ?ngulos externosA
ˆ
CEeA
ˆ
BDe satis-
fazem a desigualdade:AˆCE<AˆBD. Mostre queAˆBD<AˆBC.
A
B CD E
EP1.117.Prove que um triângulo retângulo tem dois ângulos externos obtusos.
34

36. EP1.118.Na ×gura abaixo tem-seBD>BCe
ˆ
A>A
ˆ
BC. Prove que
BD>AC.
A
B
C
D
EP1.119.Na ×gura1.119Hfoi escolhido no segmentoFGde sorte queE H≡E G. Mostre que
EˆHF>EˆHG.
EP1.120.Se um△ABCé eqüilátero eDé um ponto do segmentoBCmostre queAD>DB.
EP1.121.Na ×gura1.121,ˆ1≡ˆ2. Mostre que as retasmensão paralelas.
E
F
G
H
Figura1.119
1
2
m
n
Figura1.121
A
B
C
D
E
Figura1.122
EP1.122.Na ×gura1.122B,DeAsão colineares. Do mesmo modoD,EeCsão colineares. Mostre
queAˆE C>DˆBC.
EP1.123.Na ×gura1.123,△ABC≡ △E DCsão congruentes e os pontosA,CeDsão colineares.
Mostre queAD>AB.
EP1.124.Na ×gura1.124tem-seˆ1≡ˆ2eˆ1 +ˆ2 = 180
◦
. Conclua que as retasmensão paralelas.
EP1.125.Na ×gura1.125
ˆ
Be
ˆ
De são ângulos retos eAB≡DC. Mostre queAD≡BC.
EP1.126.Na ×gura1.126ADeBCsão segmentos. Mostre queAD+BC>AB+CD.
A
B
C D
E
Figura1.123
ˆ1 ˆ2
m n
Figura1.124
A B
CD
Figura1.125
EP1.127.Duas retasmensão cortadas por uma transversal formando ângulosαeγcomo indicado
na ×gura1.127. Mostre que, seα+γ= 180
◦
, entãomennão se interceptam.
EP1.128.Na ×gura1.128ADeBCsão congruentes e perpendiculares aCD. Mostre que os ângulos
ˆAeˆBe são congruentes.
A B
C D
Figura1.126
α
γ
m
n
Figura1.127
A B
CD
Figura1.128
35

37. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP1.129.Dado um△ABC, marca-se um pontoDno ladoAB. Mostre queCDé menor que o compri-
mento de um dos ladosACouBC.
EP1.130.Mostre que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor ou igual180
◦
.
(Sugestão: Faça por absurdo, ou seja, suponha que existe um△ABCcuja soma dos ângulos seja maior
do que180
◦
).
Paralelismo e Polígonos
Paralelismo - Conseqüências e Aplicações
Veremos neste capítulo como duas retas do plano podem se posicionar, uma relativamente à outra.
Estudaremos as conseqüências e as aplicações do paralelismo entre duas retas.
Dizemos que duas retas são
⋆concorrentes— caso elas sejam do mesmo plano e possuam um único ponto em comum;
⋆paralelas— caso elas sejam do mesmo plano e não possuam ponto em comum;
⋆coincidentes— caso elas possuam todos os pontos em comum;
⋆reversas— caso elas não possuam pontos em comum e ainda estejam em planos distintos.
Axioma 13.Por um pontoPfora de uma retar
pode-se traçar uma única retasparalela à retar.
r
P
⇒
r
s
P
2.1 Proposição.Se a retaré paralela às retasset, entãosetsão paralelas ou coincidentes.
Prova:Suponha quesetnão coincidem e são paralelas à retar. Ses
etnão fossem paralelas entre si, elas teriam um ponto de interseção,
digamosP. Mas, então,setseriam distintas e paralelas à retar
passando porP. Isto contradiz o axioma 13.
b
P
r
s
t
Pratique! Agora é sua vez! Prove o seguinte resultado:
2.2 Corolário.Se uma reta corta uma de duas paralelas, então corta também a outra.
2.3 Proposição.Sejamr,s,ˆae
ˆ
bcomo na ×gura ? direita. Seˆa≡
ˆ
b,
entãor//s.
ˆ
b
ˆa
r
s
36

38. Prova:Hipótese:ˆa≡
ˆ
b. Tese:ré paralela as.
Suponha queresnão são paralelas. SejaP=r∩s, como represen-
tado na ×gura ? direta, forma-se o△ABP. Neste triânguloˆaé ângulo
externo e
ˆ
bé ângulo interno não adjacente ao ânguloˆa, ou vice-versa.
Assim, pelo teorema do ângulo externo teríamosˆa6=
ˆ
bo que contradiz
a hipótese. Portanto,resnão se intersectam.
b
A
b
P
b
B
ˆa
ˆb
r
s
2
Quando duas retasressão cortadas por uma transversalt
formam-se oito ?ngulos como indicado na ×gura ao lado.
Cada par destes ângulos recebe nomes especiais de acordo coma
localização em relação à reta transversalt. Vejamos:
ˆa
ˆe
ˆg
ˆc
ˆ
b
ˆ
f
ˆ
h
ˆ
d
r
s
t
Ângulos Correspondentes– estão do mesmo lado da transversal. Um deles é externo e outro é interno,
são eles:ˆae
ˆ
b;ˆce
ˆ
d;ˆee
ˆ
f;ˆge
ˆ
h.
Ângulos Alternos– estão em lados opostos da transversal. Ambos são esternos ou ambos são internos.
⋆Alternos Internos:ˆae
ˆ
h;
ˆ
deˆi.
⋆Alternos Externos:ˆceˆf;ˆbeˆg.
Ângulos Colaterais– estão na mesmo lado da reta transversal. Ambos são externosou ambos são
internos.
⋆Colaterais Internos:ˆae
ˆ
d;ˆee
ˆ
h.
⋆Colaterais Externos:ˆbeˆc;ˆfeˆg.
Atenção! E se as retasresforem paralelas?
Muda alguma coisa? Muda sim!
Os nomes dos ângulos continuam os mesmos. Con-
tudo, eles passam a apresentar as seguintes carac-
terísticas:
ˆa
ˆe
ˆg
ˆc
ˆ
b
ˆ
f
ˆ
h
ˆ
d
r
s
t
(1)Ângulos correspondentes congruentes.Isto é,ˆa=ˆb;ˆc=ˆd;ˆe=ˆfeˆg=ˆh.
(2)Ângulos alternos internos congruentes.Ou seja,ˆa=
ˆ
he
ˆ
d=ˆe.
De fato. Comoˆae
ˆ
bsão ângulos correspondentes, temosˆa=
ˆ
b. Por outro lado,
ˆ
b=
ˆ
hpor serem
opostos pelo vértice. Por transitividade temosˆa=
ˆ
h. Para mostrar que
ˆ
d=ˆebasta usar o mesmo
raciocínio.
(3)Ângulos colaterais suplementares.Veri×que!
Importante! Em qualquer um dos casos (resparalelas ou não) note queˆa=ˆg,
ˆ
b=
ˆ
h,ˆc=ˆee
ˆ
d=
ˆ
f,
por serem opostos pelo vértice (OPV). Além disso, teremos que
ˆ
b+ˆc= 180
◦
. Inversamente,
se
ˆ
b+ˆc= 180
◦
, entãoˆa≡
ˆ
b. Estas observações permitem reescrever a proposição2.3de
duas maneiras distintas.
2.4 Proposição.Se, ao cortarmos duas retas com uma transversal,
37

39. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
(a) obtivermos
ˆ
b+ˆc= 180
◦
, então as retas são paralelas;
(b) os ângulos correspondentes forem congruentes, então asretas são paralelas.
Nota8.O axioma 13 permite-nos mostrar que a inversa desta proposição é também verdadeira que
também pode ser demonstrada por contradição.
2.5 Proposição.Considereresretas paralelas etuma transversal
ares. Então, os ângulos correspondentes são congruentes.
O teorema seguinte é conseqüência direta do axioma 13 e é um
dos resultados mais importantes da Geometria Plana. Em Geome-
trias Não-Euclidianas, este teorema é falso.
r
s
t
ˆa
ˆ
b
2.6 Teorema.A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é180
◦
.
Prova:Considere um△ABCcom ângulos internos indicados por
ˆ
A,
ˆ
Be
ˆ
C.
Hipótese:△ABC. TeseˆA+ˆB+ˆC= 180
◦
.
A
B C
P Q Pelo axioma 13 podemos, pelo pontoAtraçar a (única) retarparalela
à reta que contém o segmentoBC. SejamPeQpontos sobrertais
queAestá entrePeQ. Note queP
ˆ
AB+B
ˆ
AC+C
ˆ
AQ= 180
◦
por
construção.P
ˆ
AB=
ˆ
BeC
ˆ
AQ=
ˆ
C, por correspondência de ângulos
(alternos internos). DaíˆA+ˆB+ˆC= 180
◦
. 2
Os resultados no corolário seguinte são conseqüências imediatas do teorema2.6. Procure justic?-los
e fa?a uma ×gura √ara cada deles.
2.7 Corolário.
(a) A soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é90
◦
.
(b) Cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede60
◦
.
(c) A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a somadas medidas dos ângulos internos
que não lhe são adjacentes.
(d) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é360
◦
.
ER2.1.Demonstre os itens (a) e (c) do corolário acima.
Solução:(a) SejaABCum triângulo retângulo emˆA, ou seja,ˆA= 90
◦
. Como a soma das medidas
dos ângulos internos de qualquer triângulo é180
◦
, temos que
ˆ
A+
ˆ
B+
ˆ
C= 180
◦
, visto que
ˆ
A= 90
◦
segue que
ˆ
B+
ˆ
C= 90
◦
(c) Considere o triânguloABCindicado na ×gura ao lado. Queremos
mostrar queˆα=ˆa+
ˆ
b.
De fato, como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é
180
◦
, em particular, temosˆa+
ˆ
b= 180
◦
−ˆc. Por outro lado, os ângulos
ˆceˆαsão suplementares, ou sejaˆc+ˆα= 180
◦
, dondeˆα= 180
◦
−ˆc.
Concluímos assim queˆα=ˆa+
ˆ
b.
b
B
b
C
b
A
ˆa
ˆbˆc
ˆα
O teorema seguinte também é conseqüência direta do axioma 13.
38

40. 2.8 Teorema.Seressão retas paralelas, então os pontos derestão à
mesma distância da retas.
// //
A B
CD
A inversa deste teorema é também verdadeira e sua demonstração é proposta como exercício.
Nota9.Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos
são paralelos. Denotaremos um paralelogramo pela ordem de seus
vértices. Observe na gura ao lado queABCDé um paralelogramo
pois,ABé paralelo aDCeADparalelo aBC. A B
CD
2.9 Proposição.Em um paralelogramo, lados e ângulos opostos são
congruentes.
A B
CD
/ /
Prova:SejaABCDum paralelogramo. Trace a diagonalAC. ComoABeDCsão paralelos, então
BˆAC≡AˆC D. ComoADeBCsão paralelos, entãoCˆAD≡AˆC B. Como, além disso,ACé uma
lado comum aos triângulos△ABCe△CDA, então estes triângulos são congruentes. Logo,
ˆ
B≡
ˆ
D,
AB≡CDeBC≡DA. É fácil ver queˆA≡ˆC. 2
Pratique! Vamos ver se você está atento!
Prove a seguinte proposição.
2.10 Proposição.As diagonais de um paralelogramo se interceptam em
um ponto que é ponto médio das duas diagonais.
A B
CD
b
//
//
/
/
As duas proposições a seguir são resultados que oferecem condi??es sucientes para que um quadril?tero
seja um paralelogramo.
2.11 Proposição.Se os lados opostos de um quadrilátero são congruentes entãoo quadrilátero é um
paralelogramo.
Prova:Considere o quadriláteroABCD. SejaACuma diagonal deABCDe considere os
triângulos△ACDe△CAB.
Hipótese:AB≡CDeBC≡AD⇒. Tese:AB//CDeBC//DA.
Pela congruência de triângulos, caso LLL, temos que△ACD≡ △CAB, daíC
ˆ
AD≡A
ˆ
CB. Pela
proposição2.3tem-se queBC//DAe, assim,DˆCA≡BˆAC. Utilizando a proposição2.3mais
uma vez,AB//CD. 2
Pratique! Será um bom exercício provar que.
2.12 Proposição.Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, então o
quadrilátero é um paralelogramo.
39

41. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Prova:SejaABCDum quadrilátero. Suponha que os ladosABeCD
sejam congruentes e paralelos. Considerando a diagonalACtemos
D
ˆ
CA=C
ˆ
AB(alternos internos).
Como, por hipótese,DC=AB, segue que os triângulosDCAe
CABsão congruentes, Pelo caso de congruênciasLAL. Em particu-
lar,DA=CB. Logo, pela proposição2.11, o quadriláteroABCDé um
paralelogramo.
A B
CD
2.13 Teorema.[Base Média] O segmento ligando os pontos médios de dois
lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metadede seu compri-
mento.
b
A
b
B
b
C
b
M
b
N//
//
/
/
2.14 Proposição.Suponha que três retas paralelas,a,bec, cortam as retasm
ennos pontosA,BeCe nos pontosA
′
,B
′
eC
′
, respectivamente. Se o ponto
Bencontra-se entreAeC, então o pontoB
′
também encontra-se entreA
′
eC
′
.
SeAB=BC, então também tem-seA
′
B
′
=B
′
C
′
.
a
b
c
b
A
b
B
b
C
b
A
′
b
B
′
b
C
′
A proposição anterior pode ser generalizada de maneira quase imediata para o caso em que as duas
transversais cortam um número qualquer (maior ou igual a três) de retas paralelas.
2.15 Corolário.Suponha quekretas paralelasa1,a2,. . .akcortam duas retasmennos pontosA1,A2,. . .Ak
e nos pontosA
′
1
,A
′
2
,. . .A
′
k
, respectivamente. SeA1A2=A2A3=. . .=Ak−1Ak, entãoA
′
1
A
′
2
=A
′
2
A
′
3
=. . .=
Ak−1
′A
′
k
.
2.1 Segmentos Proporcionais
Vamos estudar os segmentos proporcionais. Preste bem atenção!
Dados dois segmentosABeCD, existe um único númeroα∈Rtal queAB=αCD. Se o númeroα
é racional, dizemos que os segmentosABeCDsão comensuráveis. Caso contrário, eles são chamados
incomensuráveis.
Considere um feixe de retas paralelas (três ou mais retas) coplanares e duas
retas transversais, de acordo com a ×gura. Chamamos de segmentos corre-
spondentes, os segmentos contidos em transversais diferentes mas entre as
mesmas paralelas. Neste caso, os segmentosABeA
′
B
′
são proporcionais,
conforme o Teorema de Tales logo abaixo. a
b
c
b
A
b
B
b
C
b
A
′
b
B
′
b
C
′
Se uma transversalt1a um feixe de retas paralelas é dividida emnpartes congruentes, então outra
transversalt2a este feixe será também dividida emnpartes congruentes entre si.
De fato, se consideramos que a transversalt2for dividida em uma quantidade menor de partes,n−1
por exemplo, teremos que duas paralelas deveriam se cruzar para que tal fato ocorresse. Um absurdo. O
caso contrário também é um absurdo, ou seja, se na transversalt2tivéssemos uma quantidade maior de
partes.
Atenção! Provamos, até agora, que o número de partes que um feixe de paralelas produz em
transversais é o mesmo. Falta deduzir que os segmentos são iguais entre si.
40

42. Trace segmentos de retas paralelos à transversalt1tal que uma de suas extremidades seja o ponto de
divisão produzidos pela interseção do feixe retas at2. Paralelogramos então são formados. Conseqüen-
temente, é formada uma seqüência de triângulos congruentesna transversalt2pelo critério ALA. Desta
forma, os segmentos que estão na transversalt2são iguais entre si.
2.16 Teorema.[Teorema de Tales] Se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a
razão de dois pares de segmentos correspondentes são iguais.
Prova:Hipótese: Duas retas transversais a um feixe de retas paralelos. Tese: razão de dois
pares de segmentos correspondentes são iguais.
A demonstração do teorema possui duas partes:
1
a
parte: Segmentos comensuráveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suponha que possamos dividir um segmentoABsobre a transversalt1emαpartes de mesmo
tamanhoae um segmentoCD, sobre esta mesma transversal, emβpartes de mesmo tamanho
a. Pelo resultado constatado anteriormente temos que sobre atransversalt2existirãoαsegmen-
tos de retas de mesmo tamanhoa
′
constituindo-se um segmentoA
′
B
′
de comprimentoαa
′
.
Da mesma forma, teremosβsegmentos de retas de mesmo tamanhoa
′
constituindo-se um
segmentoC
′
D
′
de comprimentoβa
′
.
Como,AB=αaeA
′
B
′
=αa
′
,
AB
A
′
B
′
=
a
a
′
. Além disso,CD=βaeC
′
D
′
=βa
′
,
CD
C
′
D
′
=
a
a
′
.
Portanto,
AB
A
′
B
′
=
CD
C
′
D
′
.
2
a
parte: Segmentos incomensuráveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sejaasubmúltiplo comum deAB, ou seja,AB=αa,α∈Z, mas não é submúltiplo deCD.
Sejaβ∈Ztal queβa<CD<(β+ 1)a. Dividindo-se esta desigualdade porABtemos,
βa
AB
<
CD
AB
<
(β+ 1)a
AB
⇒
βa
αa
<
CD
AB
<
(β+ 1)a
αa
⇒
β
α
<
CD
AB
<
β+ 1
α
.
Aplicando-se o resultado na transversalt2temos queA
′
B
′
=αa
′
eβa
′
<C
′
D
′
<(β+ 1)a
′
.
Logo,
βa
′
A
′
B
′
<
C
′
D
′
A
′
B
′
<
(β+ 1)a
′
A
′
B
′
⇒
βa
′
αa
′
<
C
′
D
′
A
′
B
′
<
(β+ 1)a
′
αa
′
⇒
β
α
<
C
′
D
′
A
′
B
′
<
β+ 1
α
Esta desigualdade e a anterior denem um ?nico n?mero real, assim:
CD
AB
=
C
′
D
′
A
′
B
′
.2
ER2.2.Sabendo quer,setsão retas paralelas, determine
(a) o valor dex; (b) o valor deDF; (c) o valor de E G.
x
12
3
9
r
s
t
A
B
C
D
E
F
4
6 12
r
s
t
A
B
C
D
E
F
G
CG= 6,FG= 10,BG= 2
Solução:
(a) Pelo teorema de Tales,
x
12
=
3
9
. Aplicando-se o produto dos meios igual ao produto dos extremos,
41

43. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
temos9x= 36. Segue quex= 4.
(b) FaçamosDF=x. Portanto,
x
12
=
4 + 6
6
. Aplicando-se o produto dos meios igual ao produto dos
extremos, temos6x= 1210. Logo,x= 20.
(c) Neste exemplo temos as transversais se cruzando. FazendoE G=xe aplicado-se corretamente o
teorema de Tales, temos:
x
10
=
2
6
. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja,
6x= 20. Logo,x=
10
3
.
2.2 Teoremas das Bissetrizes
Os dois teoremas das bissetrizes são resultados de aplicação do teorema de Tales. O problema se re-
sume em determinar a posição de corte que a bissetriz determina no lado oposto de um triângulo qualquer.
2.17 Teorema.[da bissetriz interna] Uma bissetriz interna de um triângulo qualquer divide o lado oposto
em dois segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes.
Prova:Considere um triângulo qualquer com vértices nos pontosA,BeCeDum ponto tal
queADé bissetriz do ânguloB
ˆ
AC.
b
A
b
B
b
C
b
F
b
D
α
α
//
//
Prolongue o ladoACa um segmentoAFtal que sua medida seja igual
ac. O triângulo com vértices emA,BeFé isósceles e façamosA
ˆ
BF=
A
ˆ
F B=α. O ânguloB
ˆ
ACé externo do triângulo△AF B. Portanto,
BˆAC= 2αe comoADé bissetriz,CˆAD=BˆAD=α.ABé transversal a
ADe aBFe como os ângulos alternos internos são iguais, temos que
ADé paralelo aBF. Segue, pelo Teorema de Tales, que
AC
CD
=
AB
BD
.
2.18 Teorema.[da bissetriz externa] Uma bissetriz de um ângulo externo intercepta o prolongamento do
lado oposto e o divide em dois segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes.
b
C
b
B
b
A
b
D
/
/
Em outros termos, no triânguloABCda gura ao lado, sejaADa bissetriz
do ângulo externo no vérticeA. Com as anotações da gura, temos:
AC
CD
=
AB
BD
.
Prova:Tente fazer como exercício!
ER2.3.Sabendo queADé bissetriz interna de um triângulo com vértices emA,BeCe queAC= 6,
AB= 9eCD= 2, calculeCB.
Solução:FaçamosBD=x. Pelo teorema da bissetriz interna,
2
x
=
6
9
. O produto dos meios é igual
ao produto dos extremos, portanto6x= 18. Logo,x= 3.
42

44. ER2.4.Sabendo queADé bissetriz externa de um triângulo com vértices emA,BeCe queAC= 20,
AB= 40eBD= 60, calculeBC.
Solução:FaçamosBC=x. Logo,CD= 60−x. Pelo teorema da bissetriz externa,
60
60−x
=
40
20
= 2,
ou seja,60 = 120−2x. Segue quex= 30.
2.2.1 Exercícios
EP2.5.Prove que cada ângulo de um triângulo eqüilátero mede60
◦
.
EP2.6.Prove que a medida do ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medidas dos ângulos
internos a ele não adjacentes.
EP2.7.O que é maior, a base ou a lateral de um triângulo isósceles cujo ângulo oposto à base mede
57
◦
?
EP2.8.Quanto medem os ângulos de um triângulo se eles estão na mesmaproporção que os números
1,2e3?
EP2.9.Se um triângulo retângulo possui um ângulo que mede30
◦
, mostre que o cateto oposto a este
ângulo mede a metade da hipotenusa.
EP2.10.Seja△ABCisósceles com baseAB. SejamMeNos pontos médios dos ladosCAeCB,
respectivamente. Mostre que, o reexo do pontoCrelativamente à reta que passa porMeNé exatamente
o ponto médio do segmentoAB.
EP2.11.Um retângulo é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos retos. Mostre que todo
retângulo é um paralelogramo.
EP2.12.Mostre que as diagonais de um retângulo são congruentes.
EP2.13.Um losango (também denominado, rombo) é um paralelogramo que tem todos os seus lados
congruentes. Mostre que as diagonais de um losango cortam-se em ângulos retos e são bissetrizes dos
ângulos internos do losango.
EP2.14.Um quadrado é um retângulo que também é um losango. Mostre que, se as diagonais de um
quadrilátero são congruentes e se cortam em um ponto que é ponto médio de ambas, então o quadrilátero
é um retângulo. Se, além disso, as diagonais são perpendiculares uma à outra, então o quadrilátero é um
quadrado.
EP2.15.Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de
um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados laterais. Um trapézio é dito isósceles
se suas laterais são congruentes. SejaABCDum trapézio em queABé uma base. Se ele é isósceles,
mostre que
ˆ
A=
ˆ
Be
ˆ
C=
ˆ
D.
EP2.16.Mostre que as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
EP2.17.Mostre que, em um paralelogramo os ângulos dos vértices consecutivos são suplementares.
EP2.18.Se as diagonais de um quadrilátero convexo têm o mesmo comprimento, o que pode ser dito
sobre ele?
EP2.19.Um triângulo tem dois ângulos que medem20
◦
e80
◦
. Determine a medida de todos os seus
ângulos externos.
43

45. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP2.20.Considere um ângulo de vérticeAe sejaOum ponto na região limitada por ele. SejamMe
Nos pés das perpendiculares baixadas de O aos lados do ângulo.Qual a medida do ânguloM
ˆ
ONse a
medida de
ˆ
Afor20
◦
?
EP2.21.Pode existir um triânguloABCem que a bissetriz do ânguloˆAe a bissetriz do ângulo externo
no vérticeBsejam paralelas?
EP2.22.Determine os ângulos de um triângulo retângulo isósceles.
EP2.23.Por que um triângulo não pode ter dois ângulos externos agudos?
EP2.24.Pode um ângulo externo de um triângulo ser menor do que o ângulo interno que lhe é adja-
cente?
EP2.25.SejaABCum triângulo isósceles de baseBC. Mostre que a bissetriz do seu ângulo externo
no vérticeAé paralela a sua base.
Gabarito
EP2.8.30
◦
,60
◦
e90
◦
.EP2.19.160
◦
,100
◦
,100
◦
.EP2.20.160
◦
.EP2.21. Não.EP2.21.90
◦
,45
◦
,45
◦
.EP2.21.
Seus suplementos seriam obtusos e a sua soma resultaria num ângulo maior que180
◦
.EP2.24. Sim. Basta que o triângulo seja
obtusângulo.
Semelhança de Triângulos
2.3 Introdução
O conceito de semelhança era conhecido pelos gregos antes mesmo do Teorema de Pitágoras, tanto
é que o teorema fundamental de semelhança é conhecido como teorema de Thales, um tributo a Thales
de Mileto (630−550a.C.). Thales é o mais antigo entre os sábios da Grécia antiga. Ele se tornou célebre
ao predizer o eclipse do Sol em585a.C. A cosmologia de Thales, na qual a água constitui o princípio e a
origem do universo, foi uma das primeiras pesquisas sobre a natureza realizada pelos jônios.
2.4 Triângulos Semelhantes
2.19 Definição(Semelhança de Triângulos).Dois triângulosABCeX Y Zsão semelhantes se for possível
estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que ângulos correspondentes
sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais.
Com isto queremos dizer que, se△ABCe△X Y Zsão triângulos semelhantes e seA→X,B→Y
eC→Zé a correspondência que estabelece a semelhança, então valem simultaneamente as seguintes
relações:
ˆA≡ˆX,ˆB≡ˆY,ˆC≡ˆZ
e
AB
X Y
=
BC
Y Z
=
CA
ZX
=k. (2.1)
O quociente2.1, comum entre as medidas dos lados correspondentes, é chamado de razão de propor-
cionalidade entre os dois triângulos.
Nota10.Dois triângulos semelhantes com razão de proporcionalidade um são congruentes.
44

46. A deni??o de semelhan?a requer que conhe?amos n?meros reais, uma vez que a razão2.1é real.
Lembramos que os gregos não conheciam números reais da mesmaforma que conhecemos atualmente.
Eles conheciam números racionais e tiveram a noção de que existem números que não são racionais
ainda no tempo de Pitágoras, sendo
√
2o primeiro e o mais conhecido deles. Devido à existência dos
“irracionais” é que foi desenvolvida, pelos gregos, a noçãode comensurável.
Já sabemos que dois segmentosABeCDsão ditos comensuráveis se existirem números inteirospeq
tais que
AB
CD
=
p
q
. Mostra-se que em um quadrado de lado medindo1unidade, a razão entre a medida do lado e a
diagonal(
√
2)é não comensurável.
2.20 Teorema.Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, corta os outros dois lados, então
ela os divide na mesma razão.
Prova:Seja△ABC. Considere uma reta paralela ao ladoBCque
corta os ladosABeAC, respectivamente, nos pontosDeE, como
representado na gura ao lado. Queremos provar que
AD
AB
=
AE
AC
.
Para isto, tome um pequeno segmentoAP1na semi-reta
−→
ABde modo
que as razões
AB
AP1
e
AD
AP1
não sejam números inteiros.
B C
A
D E
Consideremos na semi-reta
−→
ABos pontosP2,P3,. . .,Pk,. . ., tais quekAP1=APk, para todok≥2.
Existem então dois números inteirosmentais que:Destá entrePmePm+1eBestá entrePne
Pn+1. Tem-se portanto:
mAP1<AD<(m+ 1)AP1enAP<AB<(n+ 1)AP1.
Podemos concluir destas desigualdades que:
(a)
m
n+ 1
<
AD
AB
<
m+ 1
n
.
Tracemos pelos pontosP1,P2,. . .Pn+1retas paralelas aBC. Estas retas, segundo o corolário2.15,
cortam a semi-reta
−→
ACem pontosQ1,Q2,. . .Qn+1, os quais também satisfazem akAQ1=AQk, para
todok, 2≤k≤n+1. Além disso, o pontoEencontra-se entreQmeQm+1e o pontoCentreQneQn+1.
O mesmo raciocínio feito acima pode ser repetido aqui obtendo-se como resultado a desigualdade:
(b)
m
n+ 1
<
AE
AC
<
m+ 1
n
.
As desigualdades(a)e(b)permitem-nos concluir que
(c)




AD
AB
−
AE
AC




<
m+ 1
n
−
m
n+ 1
.
Observe que, comom≤n, então
m+ 1
n
−
m
n+ 1
=
m+n+ 1
n(n+ 1)
≤
2n+ 2
n(n+ 1)
=
2
n
, ou seja, as razões
AD
AB
e
AE
AC
diferem por não mais do que
2
n
. Quanto menor for o segmentoAP1tanto maior será o número
ne tanto menor será o quociente
2
n
. Como o lado esquerdo da desigualdade (c) não depende den,
só podemos concluir que os quocientes
AD
AB
e
AE
AC
são iguais. 2
O teorema a seguir relaciona semelhança com os casos de congruência. As demonstrações dos teo-
45

47. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
remas a seguir ×cam como exerc?cio √ara o leitor.
2.21 Teorema.[1
o
caso de semelhança de triângulos] Dados△ABCe△E FG, se
ˆ
A=
ˆ
Ee
ˆ
B=
ˆ
F, então
os triângulos são semelhantes.
2.22 Teorema.[2
o
caso de semelhança de triângulos] Se, em dois triângulos△ABCe△E FG, tem-se
ˆ
A=
ˆ
Ee
AB
E F
=
AC
E G
, então os triângulos são semelhantes.
2.23 Teorema.[3
o
caso de semelhança de triângulos] Se, em dois triângulosABCeE FG, tem-se
AB
E F
=
BC
FG
=
CA
GE
, então os dois triângulos são semelhantes.
Importante! Dois polígonos são semelhantes quando existe uma correspondência entre seus vér-
tices de sorte que ângulos correspondentes são congruentese lados correspondentes são
proporcionais numa mesma razão. Assim, um polígono convexoA1A2. . .Ané congruente a
um outroA
′
1
A
′
2
. . .A
′
nse, e só se,
ˆ
A1=
ˆ
A
′
1
,
ˆ
A2, =
ˆ
A
′
2
,. . .
ˆ
An=
ˆ
A
′
n, e
A1A2
A
′
1
A
′
2
=
A2A3
A
′
2
A
′
3
=. . .=
An−1An
An−1
′A
′
n
.
De fato, a no??o de ×guras semelhantes se estende muito al?m dos simples polígonos
convexos. Quando comparamos uma foto e sua ampliação temos claramente duas ×guras
semelhantes. No caso, temos uma grande quantidade de pontoscorrespondentes e a dis-
tância entre eles é multiplicada por um determinado fator deampliação (2 vezes, 3 vezes,
etc). Os mapas pretendem ser representações esquemáticas de regiões, onde as distâncias
lineares entre pontos representam as distâncias reais quando multi√licadas √or um fator ×xo.
As plantas baixas de casas e apartamentos são outros exemplos de representação de uma
situação real de modo que as distâncias na planta representam as distâncias reais quando
multiplicadas pelo fator de conversão usado na elaboração da planta.
2.4.1 Exercícios
EP2.26.Mostre que dois triângulos eqüiláteros são sempre semelhantes.
ER2.27.Mostre que são semelhantes dois triângulos isósceles que têm iguais os ângulos opostos à
base.
Solução:SejamABCeE FGtriângulos isósceles de basesBCeFG,
respectivamente. DaíAB=ACeE F=E G. Consequentemente,
AB
E F
=
AC
E G
.
Por outro lado, por hipótese temosA
ˆ
AC=F
ˆ
E G. Portanto, pelo casoLAL,
os triângulosABCeE FGsão semelhantes. B C
A
F G
E
/
/
////
EP2.28.SejaDo ponto médio do segmentoABeEé ponto médio do segmentoAC. Mostre que os
triângulosADEeABCsão semelhantes.
ER2.29.Os lados de um triânguloABCmedem6m,9me12m. Em um triânguloE FGsemelhante a
este, o menor lado mede30m. Determine a medida dos outros lados.
46

48. Solução:Sejamx,yezas medidas dos lados do triânguloE FG. Pela semelhança entre os
triângulosABCeE FGtemos:
6
x
=
9
y
=
12
z
.
Como o menor lado do△E FGmede30cmtemos quex= 30, visto que o menor lado do△ABCmede
6cm. Daí
6
30
=
9
y
⇒y= 45
6
30
=
12
z
⇒z= 60
portanto, os outros lados do△E FGmedem45cme60cm.
EP2.30.Os lados de um triângulo medem9cm,17cme21cm. Determine os lados de um segundo
triângulo sabendo que ele é semelhante ao primeiro e que seu perímetro (soma das medidas dos lados) é
141cm.
EP2.31.Como no caso de triângulos, quando duas guras são semelhantes, chama-se razão de
semelhança ao quociente dos comprimentos dos segmentos correspondentes. Sabe-se que a razão de
semelhança entre um triângulo eqüiláteroT1, cujo lado mede28cm, e um triânguloT2é4/7. Determine o
comprimento dos lados do segundo triângulo.
EP2.32.Dois retângulos são semelhantes. A base do primeiro mede15cme sua altura6cm. Ache os
lados do segundo retângulo sabendo que a razão de semelhançaentre o primeiro e o segundo é2.
EP2.33.Dois retângulos são semelhantes. A base do primeiro mede3cme sua altura2cm. A base
do segundo mede10cm. Determine a altura do segundo e a razão de semelhança entre oprimeiro e o
segundo retângulo.
EP2.34.Dois retângulos são semelhantes. Sendo3, 5cma razão de semelhança entre o primeiro e o
segundo. Se o perímetro do primeiro é10cm, qual o perímetro do segundo?
EP2.35.Dois paralelogramos são congruentes e a razão de proporcionalidade do primeiro para o
segundo éa. Mostre que a razão entre o comprimento de uma diagonal do primeiro e da correspondente
diagonal do segundo também éa.
EP2.36.Na planta de uma cidade, desenhada na escala1 : 6.000, a distância entre o local da Catedral
e o do estádio de futebol é de45cm. Qual a distância verdadeira entre os dois locais?
EP2.37.A sombra, sobre o solo, de um bastão de7mcolocado na vertical, mede3m. Estime a altura
de um edifício, na mesma região, cuja sombra, no mesmo instante, mede27m.
2.5 Pontos Notáveis do Triângulo
Os lugares geométricos a seguir serão apresentados com o intuito de entender a relação existente
entre eles e os pontos notáveis do triângulo.
2.5.1 Lugares Geométricos
2.24 Definição(LG).O lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfazem umadeterminada
propriedade.
47

49. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
2.25 Definição(Circunferência).Uma circunferênciaS=S(O,r)é o lugar
geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de um ponto xodado.
P∈S⇔d(P,O) =r.
b
O
b
P
r
2.26 Definição(Mediatriz).É o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidis-
tante de dois pontos dados.
P∈m⇔PA=PB
b
A
b
B
b
P
//
//
m
2.27 Definição(Bissetriz).É o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidis-
tante dos lados de um ângulo.
b
O //
//
b
P
b
A
b
B
//
//
2.5.2 Cevianas de um Triângulo
2.28 Definição.Qualquer segmento que une o vértice de um triângulo até um ponto da reta suporte do
lado oposto é chamado ceviana.
A seguir vamos apresentar as principais cevianas de um triângulo:
⋆Altura– Ceviana que é perpendicular ao lado do triângulo.
Em um triângulo retângulo emA, o ladocé a altura relativa ao ladob, enquanto que, o ladobé
a altura relativa ao ladoc.
Em um triângulo obtusângulo emA, a altura relativahbao ladobé um segmento formado com
o auxílio do prolongamento do ladob.
⋆Mediana– Ceviana que une o vértice do triângulo até o ponto médio do lado oposto.
⋆Bissetriz interna– Ceviana que pertence à bissetriz do ângulo interno do triângulo.
⋆Bissetriz externa– Ceviana que pertence à bissetriz do ângulo externo do triângulo.
2.5.3 Pontos Notáveis do Triângulo
2.29 Teorema.[Baricentro] As medianas de um triângulo se encontram num pontoGchamado baricentro.
Este divide cada mediana em dois segmentos que estão na razão2 : 1.
48

50. Prova:ConsidereM1,M2eM3os pontos médios, respectivamente, dos ladosBC,ACeABde
um triângulo de vértices emA,BeC. As medianasBM2eCM3se cruzam emX(não sabemos
ainda se é o baricentro).
M2M3é base média do triângulo△ABC, relativa ao ladoBC. Assim,M2M3é paraleloBCe
M2M3=
BC
2
.
Tomamos os pontosDeE, pontos médios dos segmentosCXeBX, respectivamente.DEé
base média do triângulo△X BC, relativa ao ladoBC. Assim,DEé paralelo aBCeDE=
BC
2
.
Concluímos então queDEé paralelo aM2M3eDE=M2M3. Assim, o quadriláteroM2M3E Dé
um paralelogramo, cuja propriedade principal é que suas diagonais se cruzam no ponto médio.
Podemos então dizer queDX=X M3, mas:DX=
CX
2
. Logo,
CX
2
=X M3, ou seja,CX=
2X M3. Analogamente, obtemosBX= 2X M2. Considere agora as medianasAM1eBM2.
As medidasAM1eBM2se cruzam emY. O procedimento é análogo ao das medianasCM1e
CM2, e vamos concluir queBY= 2Y M2eAY= 2Y M1.
Demonstramos queBX= 2X M2. Logo, os pontosXeYsão coincidentes.
A união de todos os resultados comprovam que as medianas concorrem num mesmo ponto
(baricentro) e que dividem as medianas em segmentos na razão2 : 1 2
2.30 Teorema.[Incentro] As bissetrizes internas dos ângulos de um triângulo concorrem num ponto que
é o centro da circunferência inscrita no triângulo e, por isso, é chamado incentro.
Prova:Exercício.
2.31 Teorema.[Circuncentro] O ponto de encontro das mediatrizes dos lados do tri?n}ulo denem um
ponto que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo e, por isso, chamado circuncentro.
Prova:As medianasressão osLGdos pontos eqüidistantes deBeCe deAeB, respectiva-
mente. Então o cruzamento deresé o ponto eqüidistante dos vérticesA,BeC. Claramente,
a terceira mediatriz tem ponto comum ao ponto de interseção deres. 2
2.32 Teorema.[Ortocentro] As alturas de um triângulo concorrem num pontochamado ortocentro.
Prova:Pelos vértices do△ABCtraçamos retas paralelas aos lados opostos e construímos
o TriânguloA
′
B
′
C
′
. Observe queACBC
′
eACA
′
Bsão paralelogramos e queAC=BA
′
e
AC=C
′
B. Logo,Bé ponto médio deA
′
C
′
.
ComoAC||A
′
C
′
ehb⊥AC⇒hb⊥A
′
C
′
.
As alturas do△A
′
B
′
C
′
pertencem às mediatrizes do△A
′
B
′
C
′
. Portanto, como as mediatrizes
concorrem num ponto, as alturas também concorrem num ponto. 2
2.33 Teorema.[Ex-incentro] As bissetrizes externas de dois ângulos de umtriângulo e a interna do
terceiro ângulo concorrem em um ponto chamado ex-incentro,que é o centro da circunferência tangente a
um dois lados e aos prolongamentos dos outros dois.
Importante! Num triângulo eqüilátero, os pontos notáveis são coincidentes, pois, neste triângulo a
altura é bissetriz, mediana e mediatriz.
ER2.38.No triângulo△ABC,Gé baricentro. Calculex;yezsabendo queAG= 12,GM3= 4,GB= 10,
GM1=x,GC=yeGM2=z.
49

51. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Solução:ComoGé baricentro, divide cada medi-
ana em segmentos na razão2 : 1. Assim:
2z= 10
y= 24
2x= 12
9
>
=
>
;
⇒
8
>
<
>
:
z= 5
y= 8
x= 6
A
BC
M1
M2 M3
G
ER2.39.Num triânguloABC,Hé o seu ortocentro eB
ˆ
HC= 140
◦
. CalculeB
ˆ
AC.
Solução:De acordo com o enunciado, podemos construir a
gura ao lado. Os tri?ngulos△AHcCe△HHBCsão semelhantes
eαé o ângulo comum. Assim,
ˆ
A=C
ˆ
HHB,
ˆ
A= 180
◦
−B
ˆ
HC.
Logo,
ˆ
A= 40
◦
.
A
BCHA
HB
HC
H
α
2.5.4 Exercícios
EP2.40.Determine a soma dos ângulos internos de um
(a) pentágono. (b) eneágono. (c) quadrilátero não-convexo .
EP2.41.Sejaro raio, emcm, da circunferência inscrita em um triângulo retângulo com catetos medindo
6me8cm. Quanto vale24r?
EP2.42.Na ×gura ao lado, o tri?nguloABCé eqüilátero e está circunscrito
ao círculo de centro0e raio2cm.CDé altura do triângulo. Determine a medida
do raio da circunferência.
EP2.43.Considere um triânguloABCretângulo emA, isósceles de cateto
medindoa. Uma reta cruza o ladoACno ponto médioM, o ladoABno ponto
Ee no prolongamento da reta que passa porCBno pontoD. SeBC=BD,
calcule a medida do segmentoBE.
A B
C
D
EP2.44.ABé um diâmetro de uma circunferência de centroO. Toma-se um pontoCdeste círculo
e prolonga-seACde um segmentoCDigual aAC. O segmentoODcorta a circunferência emEe o
segmentoBCemF. SeAB=aeOD=b, calculeE F.
EP2.45.Considere um paralelogramoABCDeMo ponto médio deAB. DetermineMPsabendo que
Pé o ponto de interseção dos segmentosACeDMe queDP= 16.
EP2.46.SePé o incentro do triânguloABCeB
ˆ
PC= 125
◦
, determine
ˆ
A.
EP2.47.Determine o perímetro do△CDEsabendo queDE//AB,
BC=x,ACmedeye queIé o incentro do triânguloABC.
EP2.48.SendoHo ortocentro do△ABCeB
ˆ
HC= 40
◦
. Determine
ˆ
A.
EP2.49.Hé o ortocentro de um triângulo isóscelesABCde base
BCeB
ˆ
HC= 40
◦
, determine os ângulos do triângulo.
A B
C
D E
I
50

52. EP2.50.Num triânguloABC,Gé o baricentro. Calculexeysabendo-se queCG=y+ 2,GE=x,
AG=yeGD= 7−x.
EP2.51.Em um triânguloABC, os ângulos
ˆ
Ae
ˆ
Bmedem, respectivamente,86
◦
e34
◦
. Determine o
ângulo agudo formado pela mediatriz relativa ao ladoBCe pela bissetriz do ânguloˆC.
EP2.52.Considere o△ABC, de ladosa,b, ec, e seu baricentroG. Traçam-seGEeGFparalelas a
ABeACrespectivamente. Calcule os lados do△GE F.
EP2.53.Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo retângulo de catetosbece hipotenusaa.
EP2.54.Num triânguloABCretângulo emB,Dé o ponto médio do ladoAB,DEé paralelo aBCeGé
o ponto de interseção dos segmentosCDeBE. SendoAC= 54cm, calculeGB.
EP2.55.A hipotenusa de um triângulo retângulo mede20cme um dos ângulos20
◦
.
(a) Calcule a mediana relativa à hipotenusa.
(b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
EP2.56.Considere um triânguloABC. Une-se o ponto médioMdo ladoBCaos pésDeEdas alturas
BDeCE. Classi×que o△MDE.
EP2.57.SejaIo incentro de um△ABCeDI Eum segmento paralelo ao ladoBC. Sabendo que
AB= 18,AC= 23eBC= 20, calcule o perímetro do△ADE.
EP2.58.Num triânguloABC, a retarque passa pelo baricentro e o incentro é paralela ao ladoBCdo
triângulo. Demonstrar que os lados do triângulo formam uma progressão aritmética.
Gabarito
EP2.40. (a)540
◦
, (b)1.260
◦
, (c)360◦.EP2.41.48.EP2.42.2
√
3.EP2.43.
a
3
.EP2.44.
3a−2b
6
.EP2.45.M P= 8.EP
2.46.70
◦
.EP2.47.x+y.EP2.48.140
◦
.EP2.49.(20
◦
, 20
◦
, 140
◦
).EP2.50.x= 4ey= 6.EP2.51.60
◦
.EP2.52.
a
3
;
b
3
e
c
3
.EP2.53.r=
b+c−a
2
.EP2.54.18cm.EP2.55.AM= 10cme25
◦
.EP2.56.△M DEé isósceles.EP2.57.41.EP2.58.
Demonstração.
Polígonos
2.6 Polígonos Convexos
Uma seq??ncia de se}mentos consecutivos dene uma linha √oligonal. Dois segmentos consecutivos
possuem em comum um ponto chamado vértice. Cada segmento da linha poligonal será chamado de
lado. Se a origemA1do primeiro segmento desta seqüência coincide com a extremidadeAndon-ésimo
segmento, temos uma poligonal fechada ou simplesmente um polígono. Caso contrário, a linha poligonal
é aberta.
Um polígono diz-se entrelaçado se dois dos seus lados se interceptam. Esta interseção pode se dar de
forma aleatória ou periódica.
Dividimos em duas classes os polígonos não entrelaçados. Umpolígono pertence à classe dos con-
vexos se quaisquer dois pontosXeYde seu interior forma um segmento inteiramente contido no polígono.
Caso contrário, o polígono é côncavo.
Atenção! Você conseguiu entender? Dê uma olhadinha nos desenhos abaixo e tudo ×car? claro.
51

53. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
b
b
X
Y
Polígono Convexo
b b
M N
Polígono Côncavo
2.6.1 Elementos de um Polígono Convexo
Considere um polígonoA1A2. . .An. J? denimos o que s?o v?rtices e lados de um pol?gono. As diag-
onais de um polígono são segmentos cujas extremidades são dois vértices não consecutivos do polígono.
Os ângulos internosˆansão os ângulos formados por cada par de lados consecutivos. Os ângulos externos
ˆ
Ansão os suplementos destes. Portanto,ˆan+
ˆ
An= 180
◦
.
2.6.2 Nomenclatura de um Polígono Convexo
A tabela a seguir exibe a nomenclatura de um polígono em função do numero de ladosn.
nNomenclatura
3triângulo
4quadrilátero
5pentágono
6hexágono
7heptágono
8octógono
nNomenclatura
9eneágono
10decágono
11undecágono
12dodecágono
13tridecágono
14tetradecágono
nNomenclatura
15pentadecágono
16hexadecágono
17heptadecágono
18octadecágono
19eneadecágono
20icoságono
2.6.3 Soma dos Ângulos Internos de Polígono Convexo Qualquer
Pode-se provar que um polígono convexo denlados possui (n−2) triângulos encaixados em seu interior.
Como em cada triângulo a soma dos ângulos internos é180
◦
, temos que a soma dos ângulos internos de
um polígono convexo denlados é dado por:
Si= (n−2)180
◦
(2.2)
ER2.59.Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono convexo.
Solução:Comon= 9,S9= (9−2)180
◦
= 1260
◦
.
2.6.4 Soma dos Ângulos Externos de um Polígono
2.34 Teorema.A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é360
◦
.
52

54. Prova:Sabemos queˆai+
ˆ
Ai= 180
◦
,i= 1, 2, 3,. . .,n. Segue que
n
X
i=1
(ˆai+
ˆ
Ai) =n180
◦
⇒
n
X
i=1
ˆai+
n
X
i=1
ˆ
Ai=n180
◦
⇒
n
X
i=1
ˆ
Ai=n180
◦
−
n
X
i=1
ˆai.
Portanto,
Se=n180
◦
−(n−2)180
◦
⇒Se= 360
◦
.2
2.6.5 Polígonos Regulares
Dizemos que um polígono é regular quando possui todos os lados congruentes (eqüilátero) e todos
os ângulos internos congruentes (eqüiângulo). Conseqüentemente, os ângulos externos também são
congruentes.
Para um polígono regular denlados temos:
ˆai=
n−2
n
180
◦ ˆ
Ai=
360
◦
n

ER2.60.Determine qual o ângulo interno de um dodecágono regular.
Solução:Temos um polígono regular comn= 12. Portanto,
ˆai=
180
◦
(12−2)
12
=
1800
◦
12
= 150
◦
.
ER2.61.Determine o número de polígonos cuja medida do ângulo interno é expressa por um valor
inteiro.
Solução:Sabemos que ângulo interno e ângulo externo de um polígono regular são suplementares,
ou seja, sua soma é igual a180
◦
. Uma vez que o ângulo interno deve ser inteiro, devemos ter o ângulo
externo também com medida inteira. Sendo assim, comoˆAi=
360
◦
n
,né divisor de360
◦
. Como não
existem polígonos de um ou dois lados, os possíveis valores denpertencem ao conjunto
{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90,120, 180, 360}
que possui22elementos.
ER2.62.Determine o polígono regular cujo ângulo interno é três vezes maior que o externo.
Solução:ˆAi= 3xeˆai=x. Mas,ˆAi+ˆai= 3x+x= 4x= 180
◦
. Portanto,x= 45
◦
. ComoˆAi=
360
◦
n
,
345
◦
=
360
◦
n
. Logo,n= 8, ou seja, um octógono regular.
2.6.6 Número de Diagonais de um Polígono
Considere um polígono comnlados. De cada vértice podemos traçar um segmento para os outros
n−3vértices (n−3, porque as diagonais unem vértices não consecutivos). Portanto, no caso de um
polígono comnlados, logo com n vértices, pode-se traçarn(n−3)segmentos. Contudo, ao construir estes
segmentos, aparecerão sempre segmentos repetidos, isto é,a diagonal que une um vérticeAcom um
vérticeB, é a mesma que uneBcomA, logo, o número de diagonais de um polígono comnlados é dado
por
n(n−3)
2
.
53

55. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
ER2.63.Determine o polígono que possui20diagonais.
Solução:20 =d=
n(n−3)
2
⇒40 =n(n−3)⇒n
2
−3n−40 = 0. Esta equação possui raízes
n1=−5en= 8. Como não existe polígono com quantidade de lados expresso por um número negativo,
o polígono procurado é um octógono regular.
ER2.64.Determine o polígono cujo número de lados é igual ao dobro do número de diagonais.
Solução:n= 2d⇒d=
n
2
⇒
n(n−3)
2
=
n
2
⇒n−3 = 1⇒n= 4. Um quadrilátero.
ER2.65.Num polígono regular o ângulo interno excede o externo em60
◦
. Calcule o número de diagonais
distintas do polígono.
Solução:Temos que
ˆai+
ˆ
Ai= 180
◦
ˆai−
ˆ
Ai= 60
◦
.
Somando-se estas duas equações, temos:2ˆai= 280
◦
. Portanto,ˆai= 120
◦
. Segue que
ˆ
Ai= 60
◦
. Desta
forma,n=
360
◦
60
◦
= 6ed=
6(6−3)
2
= 9.
ER2.66.Se aumentarmos em3o número de lados de um polígono, o número de diagonais aumenta
21. Determine o polígono.
Solução:Temos que
d=
n(n−3)
2
d+ 21 =
(n+ 3)((n+ 3)−3)
2
9
>
>
=
>
>
;
⇒
n(n−3)
2
+ 21 =
(n+ 3)n
2
⇒n(n−3) + 42 = (n+ 3)n⇒42 = (n+ 3)n−n(n−3)⇒42 =n(n+ 3−n+ 3) = 6n⇒n= 7
O polígono é, portanto, um heptágono.
2.6.7 Exercícios
EP2.67.Qual é polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é1080
◦
?
EP2.68.Determine qual a medida inteira mais próxima de cada ângulo externo de um heptágono
regular.
EP2.69.Qual o polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo?
EP2.70.ABCDEé um pentágono regular. Determine a medida, em graus, do ânguloA
ˆ
CD.
EP2.71.Determine o polígono regular convexo em que on
◦
de lados é igual ao número de diagonais.
EP2.72.Considere as arma??es sobre √ol?}onos convexos. Determine a arma??o {alsa.
I. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.
54

56. II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados.
III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o
número de lados do polígono é ímpar.
EP2.73.Dois ângulos internos de um polígono convexo medem130
◦
cada um e os demais ângulos
internos medem128
◦
cada um. Determine o número de lados do polígono.
EP2.74.A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é2.160
◦
. Calcule o número
de diagonais deste polígono que não passa pelo centro da circunferência que o circunscreve.
EP2.75.O comprimento da diagonal do pentágono regular de lado medido1unidade é igual à raiz
positiva de:
(a)x
2
+x−2 = 0
(b)x
2
−x−2 = 0
(c)x
2
−2x+ 1 = 0
(d)x
2
+x−1 = 0
(e)x
2
−x−1 = 0
EP2.76.Determine o ângulo interno de um polígono regular em que o número de diagonais excede em
3unidades o número de lados.
EP2.77.A razão entre o número de diagonais de dois polígonos é
5
26
. Um deles possui o dobro do
número de lados do outro. Determine os polígonos.
EP2.78.Um polígono possui a partir de um de seus vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais
de um hexágono. Determine o polígono e o total de suas diagonais.
EP2.79.Determine o total de polígonos cujo número de ladosné expresso por dois algarismos iguais
e que seu númerodde diagonais é tal qued>26n.
EP2.80.Aumentando-se o número de lados de um polígono de em3unidades, seu número de suas
diagonais aumenta de21. Determine o número de diagonais desse polígono.
EP2.81.O número de lados de dois polígonos é dado por(x−1)e(x+ 1). Sabendo-se que o número
total de diagonais é55, qual o número que expressa a diferença entre elas?
EP2.82.Num polígono, a soma dos ângulos internos adicionada à soma dos ângulos externos é igual
a1440
◦
. Determine o número de diagonais do polígono.
EP2.83.Em um polígono regularABCD. . .,as mediatrizes dos ladosABeBCformam um ângulo de
9
◦
. Determine o número de lados do polígono.
EP2.84.ABeBCsão dois lados consecutivos de um polígono regular. SeA
ˆ
BC= 3A
ˆ
CBachar o
número de lados do polígono.
EP2.85.AB,BC,CDeDEsão4lados consecutivos de um icoságono regular. Os prolongamentosAB
eDEcortam-se emI. CalculeBˆI D.
EP2.86.A soma dos ângulos externos de um pentágono e de4dos seus ângulos internos é igual a
850
◦
. Calcule o quinto ângulo do pentágono.
EP2.87.A razão entre o número de lados de dois polígonos é
2
3
e a razão entre o número de diagonais
é
1
3
. Determine os polígonos.
EP2.88.Determine o número de diagonais de um polígono convexo sabendo que de um dos seus
vértices partem12diagonais.
55

57. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP2.89.Determine o ângulo interno de um polígono regularABCD..., sabendo que as bissetrizesAPe
CPdos ângulos
ˆ
Ae
ˆ
Cformam um ângulo que vale
2
9
do seu ângulo interno.
EP2.90.Três polígonos possuem o numero de lados expressos por números inteiros consecutivos.
Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a43, determine o polígono com
menor número de lados.
EP2.91.A medida sexagésima do menor ângulo de um polígono convexo é139
◦
e as medidas sex-
agésimas dos outros ângulos formam com a do primeiro, tomadas na ordem crescente, uma progressão
aritmética cuja razão é2
◦
. Calcular o número de lados do polígono.
EP2.92.Demonstrar que um polígono convexo não pode ter mais de três ângulos internos agudos.
EP2.93.Determine o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes de um polígono.
EP2.94.Três polígonos regulares com número de ladosm,nep“preenchem o plano” num mesmo
vértice. Demonstre que
1
m
+
1
n
+
1
p
é constante.
Gabarito
EP2.67. Octógono.EP2.68.51
◦
.EP2.69. OctógonoEP2.70.36
◦
EP2.71. Pentágono.EP2.72. II.EP2.73.7.EP2.74.70
EP2.75.e.EP2.76.120
◦
.EP2.77. Octógono; hexadecágono.EP2.78. Dodecágono;54diagonais.EP2.79.4EP2.80.14.
EP2.81.15EP2.82.20.EP2.83.40.EP2.84.5(pentágono).EP2.85.126
◦
.EP2.86.50
◦
.EP2.87.n1= 6en2= 9.EP
2.88.90.EP2.89.162.EP2.90. Polígonos:6,7e8; o menor polígono é o hexágono.EP2.91.12.EP2.93.x=
360
◦
n
.
Quadriláteros
2.35 Definição.Quadrilátero é um polígono com quatro lados.
Importante!
Por se tratar de um polígono com quatro lados, um quadrilátero possui duas diagonais
e a soma dos ângulos internos e a dos externos são iguais a360
◦
.
Podemos dividir os quadriláteros em dois grupos: os côncavos e os convexos. Neste
capítulo estaremos mais interessados no estudo dos quadriláteros convexos notáveis.
Os quadriláteros planos convexos notáveis são:
1. O Trapézio: possui dois lados paralelos, os quais são chamados de bases. Quando um trapézio
possui apenas dois lados paralelos podemos classic?-los em
(a) Escaleno: todos os lados possuem medidas distintas;
(b) Retângulo (ou bi-retângulo): um dos lados é também altura do trapézio (possui dois ângulos
retos);
(c) Isósceles: os lados não paralelos possuem mesma medida.
2. Paralelogramo: possui os lados opostos paralelos;
3. Retângulo: possui os quatro ângulos congruentes;
4. Losango: possui os quatro lados congruentes;
5. Quadrado: possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes.
56

58. 2.7 Propriedades dos Quadriláteros
As propriedades a seguir são simples de demonstrar, visto que as provas são conseqüências de casos
de congruência de triângulos e constituem um bom exercício para o leitor.
Propriedades dos Trapézios
P1. Os ângulos consecutivos cujo lado comum é um dos lados nãoparalelo de um trapézio são suple-
mentares. Uma conseqüência imediata disto é que:
P2. As bissetrizes dos ângulos consecutivos cujo lado comumé um dos lados não paralelo de um
trapézio são perpendiculares.
P3. Num trapézio isósceles, as diagonais e os ângulos da basesão congruentes.
P4. O comprimento da base média de um trapézio (segmento que possui extremidades nos pontos
médios dos lados não paralelos) é paralela à base e é a média aritmética dos comprimentos das
bases.
Propriedades dos Paralelogramos
Em um paralelogramo temos que
P5. Os ângulos opostos são congruentes. Além disso, se os ângulos opostos de um quadrilátero convexo
são congruentes, então ele é um paralelogramo. Uma conseqüência desta propriedade é que todo
retângulo é paralelogramo.
P6. Lados opostos são congruentes. Além disso, se os lados opostos de um quadrilátero convexo são
congruentes, então ele é um paralelogramo.
P7. Suas diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios. Além disso, se as diagonais de um
quadrilátero convexo se interceptam nos respectivos pontos médios, então ele é um paralelogramo.
Propriedades dos Retângulos
Por se tratar de um paralelogramo, todas as propriedades dosparalelogramos são também válidas para
os retângulos. Além destas, temos que
P8. Suas diagonais são congruentes. Além disso, todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é
um retângulo.
Propriedades dos Losangos e dos Quadrados
Por se tratar de um paralelogramo, todas as propriedades dosparalelogramos são também válidas para
os losangos. Além destas, temos que
P9. Suas diagonais são perpendiculares. Além disso, todo paralelogramo que tem diagonais perpendic-
ulares é um losango.
57

59. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Por se tratar de um losango (ver deni??o) e de um ret?ngulo, oquadrado possui todas as propriedades
já vistas anteriormente.
Nota11.Se um quadrilátero convexo possui diagonais que
⋆se cortam ao meio, então é um paralelogramo;
⋆se cortam ao meio e são congruentes, então é um retângulo;
⋆se cortam ao meio e são perpendiculares, então é um losango;
⋆se cortam ao meio, são congruentes e perpendiculares, entãoé um quadrado.
2.7.1 Exercícios
EP2.95.Marque V, se verdadeiro, ou F se falso.
1. ( ) Todo paralelogramo é um retângulo.
2. ( ) Todo quadrado é retângulo.
3. ( ) Todo paralelogramo é losango.
4. ( ) Todo quadrado é losango.
5. ( ) Todo retângulo que tem dois lados congruentes é quadrado.
6. ( ) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes congruentes é losango.
7. ( ) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo.
8. ( ) Se dois lados de um quadrilátero são congruentes, entãoele é um paralelogramo.
9. ( ) Se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes, então ele é um paralelogramo.
10. ( ) As diagonais de um losango são congruentes.
11. ( ) As diagonais de um retângulo são perpendiculares.
12. ( ) As diagonais de um retângulo são bissetrizes dos seus ângulos.
13. ( ) As diagonais de um paralelogramo são bissetrizes dos seus ângulos.
14. ( ) As diagonais de um quadrado são bissetrizes de seus ângulos e são perpendiculares.
15. ( ) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes de seus ângulos, então ele é um losango.
16. ( ) Se as diagonais de um quadrilátero são bissetrizes e congruentes, então ele é um quadrado.
EP2.96.A razão entre dois lados de um paralelogramo é2/3. se o perímetro desse paralelogramo é
150m, determine a medida dos lados.
EP2.97.Num paralelogramo, dois ângulos consecutivos medemx+ 50e2x+ 70. Determine o maior
dos ângulos deste paralelogramo.
EP2.98.Sabendo que um dos ângulos externos de um paralelogramo é130
◦
, determine os ângulos
internos.
58

60. EP2.99.As diagonais de um retânguloABCDse cruzam formando um ângulo de50
◦
. Determine os
ângulosB
ˆ
ACeC
ˆ
BD.
EP2.100.Os ângulos de um losangoABCDmedemαe2α. Sabendo que sua diagonal menor mede
4cm, calcule o seu lado.
EP2.101.ABCDé um paralelogramo,Mé o ponto médio do ladoCDeTé o ponto de intersecção de
AMcomBD. Calcule o valor da razãoDT/BD.
EP2.102.Determine a a×rmativa falsa.
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares.
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio,
então esse paralelogramo é um losango.
EP2.103.Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, ângulo
agudoαe um ângulo obtusoβ. Suponha que, em um tal trapézio, a medida deβseja igual a cinco vezes
a medida deα.
(a) Calcule a medida deα, em graus.
(b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes deαeβé reto.
EP2.104.Num losango, a medida do ângulo obtuso é igual ao triplo da medida do ângulo agudo. Calcule
as medidas dos ângulos desse losango.
EP2.105.A medida de cada ângulo obtuso de um losango é expressa por2x+ 5
◦
e a medida de cada
ângulo agudo porx+ 40
◦
. Determine as medidas dos4ângulos internos desse losango.
ER2.106.A base média de um trapézio vale20cme a base maior é
3
2
da base menor. Determine as
bases.
Solução:Sabemos pela propriedadeP4que o comprimento da base média de um trapézio é a mé-
dia aritmética dos comprimentos das bases, assim, denotanto as bases maior e menor, respectivamente,
porBeb, temos:
20 =
B+b
2
⇒B+b= 40
Por outro lado, a base maior corresponde a
3
2
da base menor. Isto é,
B=
3
2
b.
Daí, destas duas equações temos
3
2
b+b= 40⇒b= 16.
Consequentemente,B=
3
2
12 = 24.
EP2.107.Num trapézio retângulo em que o ângulo agudo mede45
◦
, demonstre que a altura é igual a
diferença entre as bases.
EP2.108.Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto formacom a bissetriz de um ângulo
agudo do trapézio um ângulo de110
◦
. Determine o maior ângulo do trapézio.
59

61. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP2.109.No trapézioABCDAD=DC=CBeBD=BA. Calcule o ângulo
ˆ
A.
EP2.110.Um trapézioABCDde basesABeCDé tal que
ˆ
A=
ˆ
B= 60
◦
,AD= 8cmeDC= 7cm.
Determine a base média do trapézio.
EP2.111.Num paralelogramo de perímetro30cm,
ˆ
A= 120
◦
, a bissetriz do ângulo
ˆ
Dpassa pelo ponto
médioMdo ladoAB. Calcule os lados do paralelogramo e os ângulos do△CMD.
EP2.112.Calcule o perímetro de um trapézio isósceles cujas bases medem12cme8cm, sabendo que
as diagonais são bissetrizes dos ângulos adjacentes à base maior.
EP2.113.SejamABCDum quadrado,ABPum triângulo eqüilátero exterior. Calcule o ânguloD
ˆ
PQ.
EP2.114.Um trapézioABCDde base maiorAB= 10cmé tal que
ˆ
A=
ˆ
B= 60
◦
sendo a diagonalAC
perpendicular ao ladoCB. Determine o perímetro do trapézio.
EP2.115.ABCDé um quadrado eCMNé uma reta que intercepta a diagonalBDemMe o ladoAB
emN. SeC
ˆ
MD= 80
◦
, calculeA
ˆ
NC.
EP2.116.ABCDé um losango no qual
ˆ
B= 108
◦
eCAPQé um outro losango cujo vérticePestá no
prolongamento deAB. Achar os ângulos formados pelos segmentosAQeBC.
EP2.117.ABCDé um retângulo cujas diagonais se cortam emOeAOMé um triângulo eqüilátero
constituído no semiplano dos determinados porACque contémB. SeA
ˆ
CD= 25
◦
, calcule os ângulos do
△ABM.
EP2.118.ABCDEé um pentágono regular eE DCMé um paralelogramo interno ao pentágono. Calcular
os ângulos do triânguloAME.
EP2.119.Na ×gura,ABCDEé um pentágono regular,DCF
é um triângulo eqüilátero. Calcule os ângulosB
ˆ
F C,A
ˆ
DFe o
menor dos ângulos formado pelos segmentosBDeCF.
EP2.120.Considere um trapézio qualquer de basesaeb
(b>a). Determine os segmentos formados pelas diagonais na
base média do trapézio.
A
B
CD
E F
EP2.121.Considere as seguintes proposições:
I. Todo quadrado é um losango.
II. Todo quadrado é um retângulo.
III. Todo retângulo é um paralelogramo.
IV. Todo triângulo eqüilátero é isósceles.
Pode-se armar que a quantidade de arma??es verdadeiras ?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) Todas são falsas.
ER2.122.A diferença entre a medida de dois ângulos consecutivos de paralelogramo é40
◦
. Calcular a
medida dos ângulos internos desse paralelogramo.
60

62. Solução:Considere o paralelogramoABCDrepresentado ao lado.
Pela propriedadeP5sabemos queˆa=ˆce
ˆ
b=
ˆ
d. Além disso, a soma
dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é360
◦
. Em particular,
A B
CD
ˆa
ˆ
b
ˆc
ˆ
d
ˆa+
ˆ
b+ˆc+
ˆ
d= 360
◦
⇒ˆa+
ˆ
b+ˆa+
ˆ
b= 360
◦
⇒2ˆa+ 2
ˆ
b= 360
◦
⇒ˆa+
ˆ
b= 180
◦
.
Por outro lado, por hipótese temos
ˆ
b−ˆa= 40
◦
. Assim, resolvendo o sistema de equações
¨
ˆa+
ˆ
b= 180
◦
−ˆa+
ˆ
b= 40
◦
temos
ˆ
b= 110
◦
eˆa= 70
◦
. Logoˆa=ˆc= 70
◦
e
ˆ
b=
ˆ
d= 110
◦
.
EP2.123.No trapézioABCDde basesABeCD(AB>CD)e de lados não paralelosADeBC, a
bissetriz do ânguloBˆADintercepta o prolongamento do ladoDCno pontoPde maneira que2PˆBC+
A
ˆ
BC= 180
◦
. Se a baseAD= 37eBC= 26, calculeCD.
Gabarito
EP2.95.
1. (V) 2. (V) 3. (F) 4. (V) 5. (F) 6. (V) 7. (F) 8. (F)
9. (F) 10. (F) 11. (F) 12. (F) 13. (F) 14. (V) 15. (V) 16. (V)
EP2.96.30m;45m.EP2.97.110
◦
.EP2.98.50
◦
ey= 130
◦
.EP2.99.B
ˆ
AC= 25
◦
eC
ˆ
B D= 65
◦
.EP2.100.4EP2.101.1/3
EP2.102.I I I.EP2.103.β= 5αeα+β= 180
◦
∴α+ 5α= 180
◦
,α= 30
◦
eβ= 150
◦
. Sejaxo ângulo formado pelas bissetrizes
deαeβ. Logox+
α
2
+
β
2
= 180
◦
∴x+
α+β
2
= 180
◦
x+ 90
◦
= 180
◦
∴x= 90
◦
.EP2.104.45
◦
e135
◦
.EP2.105.85
◦
e95
◦
EP2.107.ABDEé um retângulo⇒DE=bC E=a−be o△BE Cé isóscelesh=C E∴h=a−b.EP2.108.130
◦
.EP2.109.
72
◦
.EP2.110.11cm.EP2.111.△AM Dé isósceles,△BM Cé eqüilátero e△C M Dé retângulo emM. Fazendo-sea=AM,
AD+BC+AB+DC= 6a= 30cm∴a= 5cm.AD=BC=a= 5cmeAB=DC= 2a= 10cm.EP2.112.36cm.EP2.113.
180
◦
.EP2.114.25cm.EP2.115.125
◦
.EP2.116.ACé bissetriz doB
ˆ
AD(losangoABC D).AQé bissetriz doB
ˆ
AC(losango
C APQ)180
◦
+ 4a= 180
◦
4a= 72a= 18
◦
,x= 108
◦
+a x= 108
◦
+ 18
◦
= 126
◦
e o suplemento54
◦
.EP2.117.35
◦
,115
◦
e30
◦
.
EP2.118.36
◦
,72
◦
e72
◦
.EP2.119.B
ˆ
F C= 66
◦
;A
ˆ
DF= 12
◦
e84
◦
.EP2.120.M Pé a base média do△ABD⇒M P=
a
2
QNé
base média do△ABC⇒QN=
a
2
PQé o chamado segmento de Euler eM P+PA+QN=
a+B
2
a
2
+PQ+
a+b
2
⇒PQ=
b−a
2
EP2.121.(b).EP2.123.11.
61

63. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Métrica
Relações Métricas em Triângulos e
Circunferência
Relações Métricas num Triângulo
3.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Considere um triângulo retânguloABC, com ân-
gulo reto no vérticeA. Trace a alturaADdo vérticeA
ao ladoBC. Adotemos a seguinte notação:
Hipotenusa:a=BC
Catetos:b=AC;c=AB
Projeções sobre a hipotenusa:m=BD;n=CD
Altura relativa à hipotenusa:h=AD
A
B CD
h
b
c
a
m n
Figura3.2: Triângulo Retângulo em
ˆ
A
ComoADé perpendicular aBC, então os triângulosADBeADCsão retângulos. Como
ˆ
B+
ˆ
C= 90
◦
e
ˆ
B+B
ˆ
AD= 90
◦
, entãoB
ˆ
AD
∼
=
ˆ
C. ComoD
ˆ
AC+
ˆ
C= 90
◦
, entãoD
ˆ
AC=
ˆ
B.
Os triângulosADBeCDAsão, portanto, semelhantes ao triânguloABCe são também semelhantes
entre si. Logo,
△ABC∼ △DBA⇒
a
c
=
b
h
=
c
m
△ABC∼ △DAC⇒
a
b
=
b
n
=
c
h
△ADC∼ △DBA⇒
b
c
=
n
h
=
h
m
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
=⇒
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
c
2
=am
b
2
=an
h
2
=mn
ah=bc
ch=bm
bh=cn
Assim, provamos as seguintes proposições:
3.1 Proposição.Cada cateto é a média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa.
Isto é,b
2
=anec
2
=am
3.2 Proposição.A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica dos segmentos determinados pelas
projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Isto é,h
2
=mn.
62

64. 3.3 Proposição.O produto da hipotenusa pela altura do triângulo relativa a ela é igual ao produto dos
catetos. Isto é,acdoth=bc.
3.4 Proposição.O produto de um cateto pela altura do triângulo relativa à hipotenusa é igual ao produto
do outro cateto pela projeção do primeiro sobre a hipotenusa. Isto é,bh=cnech=bm.
Nota12.O teorema a seguir é um dos mais conhecidos da Matemática. Suaimportância é in-
contestável devido a sua grande utilização nas diversas áreas. Ele é conhecido como “teorema de
Pitágoras” em homenagem a um grande geômetra da Grécia antiga.
3.5 Teorema.[Pitágoras] Se um triângulo é retângulo, então o quadrado docomprimento da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Prova:Considere um triângulo retângulo emA. De acordo com a proposição3.1,b
2
=nae
c
2
=am. Somando-se estas equações, temos queb
2
+c
2
=an+am=a(n+m). Comon+m=a,
segue queb
2
+c
2
=a
2
. 2
Pratique! A inversa do teorema de Pitágoras também é verdade. Prove como exercício.
Você pode ainda, consultar o tema 1 do AVA (proposições 47 e 48) e ver outra versão para
a demonstração deste teorema, exibida por Euclides.
ER3.1.Num triângulo retângulo, sabe-se que seus lados medemx,x−7ex+ 1. Calculex.
Solução:Como o triângulo é retângulo e o maior dos lados éx+1, pelo teorema de Pitágoras temos
que:
(x+ 1)
2
=x
2
+ (x−7)
2
Desenvolvendo-se os termos, temos
x
2
−16x+ 48 = 0
cuja solução éx= 4oux= 12. A soluçãox= 4não é conveniente, pois, não podemos ter a medida
negativa para o lado de um triângulo. Logo,x= 12é a única solução para o problema.
ER3.2.O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é4+2
√
2. Calcule a altura relativa à hipotenusa.
Solução:Considere o triângulo em questão com vértices emA,BeC.
Portanto,b=c=x(isósceles) ea
2
=b
2
+c
2
, ou seja,a
2
=x
2
+x
2
⇒a=
x
√
2. Segue quea+b+c=x+x+x
√
2 = 4 + 2
√
2, ou seja,x= 2. Sendo
ho comprimento da altura relativa à hipotenusa, temos quehx
√
2 =xx,
ou seja,h=
√
2.
A
B C
x x
a
3.1.1 Aplicações do Teorema de Pitágoras
3.6 Proposição.O comprimentodda diagonal de um quadrado de lado medindoℓ4é dado por:
d=ℓ4
√
2.
Prova:Por Pitágoras,ℓ
2
4
+ℓ
2
4
=d
2
, ou seja,d
2
= 2ℓ
2
4
. Assim,d=ℓ4
√
2.
ℓ4
ℓ4
d
63

65. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
3.7 Proposição.O comprimentohda altura de um triângulo equilátero de lado
medindoℓ3é dado por:
h=
ℓ3
√
3
2
.
A proposição3.7é também uma aplicação direta do teorema de Pitágoras e
deve ser provada pelo leitor como exercício. Lembre-se de que a altura relativa
a um dos lados o divide ao meio.
ℓ3
ℓ3
h
Nota13.Chamamos de triângulos Pitagóricos aqueles que satisfazem
o Teorema de Pitágoras e são formados por lados cujo comprimento é
um número inteiro. Considerexeydois números inteiros comx>
y. Se ×zermos os catetosb= 2xyec=x
2
−y
2
, chegaremos a
conclusão quea=x
2
+y
2
. Observe que as ternas da tabela ao lado
são Pitagóricas e seus múltiplos também o são. Por exemplo,(3, 4, 5)
e(6, 8, 10).
xyx
2
−y
2
2xyx
2
+y
2
21 3 4 5
31 8 6 10
32 5 12 13
41 15 8 17
42 12 16 20
.
.
.
3.1.2 Exercícios
ER3.3.Os catetosbecde um triângulo retânguloABCmedem6e8, respectivamente. Determine a
medida da menor altura desse triângulo.
Solução:Pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa do triânguloABCé igual a:a
2
= 6
2
+ 8
2
=
36 + 64 = 100. Logo,a= 10cm. por outro lado,ah=bc, ondehé a altura relativa à hipotenusa. Daí,
10h= 68. Segue queh= 4, 8cm.
EP3.4.Quanto mede a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos medem um centímetro
cada?
EP3.5.Deduza as fórmulas da diagonal do quadrado e da altura de um triângulo eqüilátero.
EP3.6.Quanto mede a altura de um triângulo eqüilátero cujos lados medem1, 0cmcada?
EP3.7.Uma caixa mede12cmde comprimento,4cmde largura e3cmde altura. Quanto mede as
diagonais de cada uma das faces da caixa?
EP3.8.A área de um triângulo retângulo é12dm
2
. Se um dos catetos é2/3do outro, calcule a medida
da hipotenusa desse triângulo.
EP3.9.As rodas de uma bicicleta, de modelo antigo, têm diâmetros de110cme de30cme seus centros
distam202cm. Determine a distância entre os pontos de contato das rodas com o chão.
ER3.10.Considere os triângulosABC, retângulo emB, eACD, retângulo emC. Sabendo-se que
AB= 1cm,BC= 2cmeAD= 3cm, determineCD.
Solução:Sejax=AC. Aplicando o teorema de Pitágoras
ao△ABC, temosx
2
= 1
2
+ 2
2
. Segue que,x=
√
5.
ConsidereCD=y. ComoACDé um triângulo retângulo em
C,AC=
√
5eAD= 3, temos3
2
= (
√
5)
2
+y
2
. Assim,y= 2.
Portanto,CD= 2cm.
A
B
C
D
1
2
3
64

66. EP3.11.Na gura temos queBC= 2,AC= 10,CD= 8e um ângulo
reto emB. Determine o valor deAD.
EP3.12.A folha de papel retangularABCDé dobrada de tal forma que
o vérticeAse torna um ponto do segmentoBC. Sabendo-se queAD= 20
eAB= 16, determineDP.
A
B C D
EP3.13.As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética.
Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor ladomede6?
EP3.14.Num triânguloABC, retângulo emA,Dé o pé da altura relativa ao ladoBC. No triânguloADB,
Eé o pé da altura relativa ao ladoAB. Se a medida deCEé80, determine o comprimento deBC.
EP3.15.Em um triângulo retânguloOAB, retângulo emO, comOA=a
eOB=bsão dados os pontosPemOAeQemOBde tal maneira que
AP=PQ=QB=x. Nessas condições, o valor dexé:
EP3.16.Considere um trapézioABCDtal que os segmentos de reta
ABeCDsão perpendiculares ao segmento de retaBC. SeAB= 19cm,
BC= 12cmeCD= 14cm, determine a medida, em centímetros, do
segmento de retaAD.
EP3.17.Na gura3.17, o triânguloAE Cé eqüilátero eABCDé um
quadrado de lado medindo2cm. CalculeBE.
A B
CD
E
Figura3.17
EP3.18.Na gura3.18,AB= 6,BD= 9eAC=BC=CE+ 2. Determine o perímetro do triângulo
ABC.
A B
C
DEF
Figura3.18
A B
CD
P
Q
R
S
Figura3.19
EP3.19.Na gura3.19,ABCDrepresenta um quadrado de lado11eAP=AS=CR=CQ. Determine
o perímetro do quadriláteroPQRS.
EP3.20.Uma folha quadrada de papelABCDde lado unitário é dobrada de modo que o vérticeC
coincide com o pontoMmédio deAB. Determine o comprimentoBP.
EP3.21.Os três lados de um triângulo retângulo, estão em progressãogeométrica. Determinar a razão
da progressão.
EP3.22.As raízes da equação2x
2
+ 2(k−3)x−3k(5k−6) = 0representam as medidas dos catetos
de um triângulo retângulo. Determine o parâmetrokde modo que a hipotenusa do triângulo seja igual a5.
EP3.23.A diagonalACde um trapézioABCD, de bases menorABe maiorCD, é perpendicular ao
ladoADde comprimentob. SendoCD=a, calcule a altura do trapézio.
EP3.24.ABCDé um quadrado cujo lado mede15mePé um ponto externo a este quadrado que
dista9mdo vérticeCe12mdo vérticeB. A reta que contém o segmentoAPintercepta o ladoBCemE.
Calcule o comprimento do segmentoAE.
65

67. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP3.25.Num triângulo retânguloABC, a razão entre a altura e a mediana relativas à hipotenusaBCé
igual a
40
41
. Calcule a razão entre os catetosABeAC.
EP3.26.Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raior, dispostos como
indica a ×gura adiante, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de
raioR, de modo a ×carem √resos sem folga. Ex√resse o valor deRem termos
derpara que isso seja possível.
EP3.27.Na ×gura ao lado, o tri?nguloABCé eqüilátero com lados de com-
primento2cm. Os três círculosC1,C2eC3têm raios de mesmo comprimento
e seus centros são vérticesA,BeCdo triângulo, respectivamente. Sejar>0
o raio do círculoC4interior ao triânguloABCe simultaneamente tangente aos
círculosC1,C2eC3. Calcule9(1 +r)
2
.
A B
C
Gabarito
EP3.8.2
√
13d m.EP3.9.198cm.EP3.11.14.EP3.12.10
√
5EP3.13.24.EP3.14.10.EP3.15.a+b−
√
2ab.EP3.16.
13cm.EP3.17.(
√
6−
√
2)cm.EP3.18.100/7EP3.19.22
√
2.EP3.20.0, 375.EP3.21.q=
q√
5 + 1
2
.EP3.22.k= 2ou
k=−0, 5.EP3.23.
b
a

p
a
2
−b
2
.EP3.24.AE= 16, 342m.EP3.25.
4
5
.EP3.26.r.EP3.27.12.
3.2 Relações Trigonométricas num Triângulo Retângulo
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos:`tri' = três, `gonos' = ângulos e `metron' =
medir. Da?, o seu signicado. medida dos tri?ngulos. Assim,a trigonometria é a parte da matemática que
tem como objetivo o cálculo das medidas dos elementos de um triângulo (lados e ângulos).
História. . .
. . .por volta de140a.C. o astrônomo grego Hiparco que é considerado o pai da As-
tronomia, foi quem pela primeira vez empregou relações entre os lados e os ângulos de um
triângulo retângulo. Em125a.C., Ptolomeu produz o mais antigo documento que trata da
trigonometria: oAlmagesto, baseado nos trabalhos de Hiparco. No séculoX V, Purback
procurou restabelecer a obra de Ptolomeu, construindo a primeira tábua trigonométrica. O
primeiro tratado de trigonometria, feito de maneira sistemática, é chamado de Triangulis ou
tratado dos triângulos e escrito pelo matemático alemão Johann Muller (discípulo de Pur-
back).
Hoje em dia a trigonometria não se limita a estudar somente ostriângulos. Encontramos
aplicações da trigonometria em Eletricidade, Mecânica, Acústica, Música, Engenharia Civil,
Topograa, Astronomia Matem?tica, bem como para um grande elenco de disciplinas mais
recentes, como a Geodésia, a Navegação Oceânica, a Navegação Aérea, a Mecânica de
Sat?lites Articiais, a Transmiss?o de R?dio de Grande Alcance, o Cálculo de Trajetórias de
Mísseis Intercontinentais, o Cálculo do Aquecimento Solarem Arquitetura, etc.
3.8 Definição.Considere um triânguloABCretângulo emA. A razão
entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e a hipotenusa é
chamada cosseno do ângulo; entre o cateto oposto a um determinado
ângulo e a hipotenusa é chamada seno do ângulo e; entre o cateto
oposto e o adjacente, ambos a um determinado ângulo, é chamada
tangente do ângulo. Assim: A B
C
c
a
θ
b
senθ=
cateto oposto aθ
hipotenusa
, cosθ=
cateto adjacente aθ
hipotenusa
, tgθ=
cateto oposto aθ
cateto adjacente aθ
66

68. Como conseq??ncia destas deni??es temos que, se ? conhecido um dos lados de um triângulo retân-
gulo, é possível calcular as medidas dos seus outros dois lados, supondo-se que conheçamos os valores
do seno, cosseno e tangente de um dos ângulos do triângulo retângulo.
Atualmente, uma máquina de calcular (ou um computador) razoavel-
mente simples, possui circuitos que permitem calcular estes valores com
uma boa aproximação. Pode-se, no entanto, utilizar uma tabela que é
encontrada facilmente em qualquer compêndio sobre trigonometria. Uma
tabela que é bem fácil de memorizar se encontra ao lado
θ 30
◦
45
◦
60
◦
senθ
1
2
√
2
2
√
3
2
cosθ
√
3
2
√
2
2
1
2
tgθ
√
3
3
1
√
3
ER3.28.Calcule o valor dexe deyna ×gura ao lado.
Solução:No△ABC,sen 45
◦
=
√
2
2
=
AB
6
. Logo,AB= 3
√
2.
No△ABD,sen 30
◦
=
1
2
=
AB
x
. Logo,x= 6
√
2.
Comotg(45
◦
) = 1 =
AB
AC
=
3
√
2
AC
, dondeAC= 3
√
2.
Ainda no△ABD,tg 30
◦
=
√
3
3
=
AB
AD
=
3
√
2
AC+y
=
3
√
2
3
√
2 +y
.
Logo,y= 3(
√
6−
√
2). A
B
C D
x
y
6
45
◦
30
◦
Nota14.A relaçãosen
2
θ+cos
2
θ= 1é a trigonométrica
fundamental. De fato, considere um triânguloABC
retângulo emAeθ=A
ˆ
BC. Então
sen
2
θ+ cos
2
θ=

b
a
‹2
+

ca
≡
2
=
b
2
+c
2
a
2
=
a
2
a
2
= 1.
A
B
C
a
c
b
θ
3.2.1 Exercícios
EP3.29.No triânguloABC,AB= 5,BC= 12eCA= 13. Qual a medida do ângulo
ˆ
B?
EP3.30.No triânguloDE F,DE=E F= 6eF D= 6
√
2. Quanto mede cada ângulo do triângulo?
EP3.31.Um trapézioABCDtem uma altura2
√
3, basesAB= 4eDC= 1, e o ângulo interno emA
medindo60
◦
. Determine a medida do ladoBC.
EP3.32.Num triânguloABC, retângulo emA,α=A
ˆ
CB,
senα= 2/3eBC= 12. Determine o valor deAB.
EP3.33.Na ×gura a seguir,A
ˆ
DB=A
ˆ
CD= 60
◦
,A
ˆ
DC= 90
◦
eB
ˆ
CD= 105
◦
. SeCD= 5m, determine o comprimento do
segmentoAB.
EP3.34.Num triângulo retânguloABC, sejaDum ponto
da hipotenusaACtal que os ângulosD
ˆ
BDtenham a mesma
medida. Determine
AD
DC
.
A
B
CD
Figura3.33
EP3.35.Um dispositivo colocado no solo a uma distânciadde uma torre dispara dois projeteis em
trajetória retilíneas. O primeiro, lançado sob um ânguloθ∈(0,π/4), atinge a torre a uma alturah. Se o
segundo, disparado sob um ângulo2θ, atinge-a a uma alturaH, determineHem função dehed.
67

69. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP3.36.Mé um ponto interno a um ângulo de60
◦
e cujas distâncias aos lados desse ângulo sãoaeb.
Determinar a distância do pontoMao vértice do ângulo.
EP3.37.Pé um ponto interno a um retânguloABCDque dista3cmdo vérticeA,5cmdo vérticeCe
4cmdo vérticeD. Calcule a distância entre os pontosPeB.
EP3.38.Determine o comprimento do ladoABde um triânguloABC, cujas medianasADeBEcortam-
se em ângulo reto, sabendo queAC=beBC=a.
Gabarito
EP3.31.
√
13EP3.32.8.EP3.33.(5
√
10)/2.EP3.34.1.EP3.35.H= 2hd
2
/(d
2
−h
2
).EP3.36.2
√
a
2
ab+b2
√
3
.EP3.37.
3
√
2cm.EP3.38.
q
a
2
+b
2
5
.
3.3 Relações Métricas num Triângulo Qualquer
Observando o tri?ngulo re√resentado na ×gura a seguir, utilizaremos as
seguintes convenções:
– Medidas dos ângulos internos:
ˆ
A,
ˆ
B,
ˆ
C.
– Medidas dos lados em unidade de comprimento:a=BC,b=ACe
c=AB.
Temos ainda que todo triângulo é formado por seis elementos principais,
que são três lados e três ângulos; e por um elemento secundário, que é a área.
A
B
C
a
b
c
Atenção!
Estudaremos duas relações no plano entre as medidas dos lados de um triângulo e seus
ângulos, são elas: alei dos senose alei dos cossenos.
3.3.1 Lei dos Senos
Considere um triânguloABCinscrito numa circunferência de raioR,
como na ×gura. Temos:
-AH: diâmetro da circunferência eAH= 2R;
-AO: raio da circunferênciaAO=R;
- Medidas dos lados do triânguloABC:
AB=c,BC=aeAC=b.
A
B
CO
H
a
b
c
Para deduzir a lei dos senos, observe que os ângulosˆHeˆBsão congruentes, pois ambos estão
inscritos no mesmo arcoCA. Al?m disso⇔ √odemos armar que o ?n}uloA
ˆ
C Hé reto, pois o segmento de
retaAHé um diâmetro. Portanto, o triângulo△ACHé um triângulo retângulo. Segue que:
senˆH= senˆB=
AC
AH
=
b
2R
.
Logo,sen
ˆ
B=
b
2R
e, portanto,
b
senˆB
= 2R.Analogamente, chegaríamos às igualdades
c
sen
ˆ
C
= 2Re
a
sen
ˆ
A
= 2R.
Como estas três expressões são todas iguais a2R, √oderemos escrever ×nalmente:
a
sen
ˆ
A
=
b
sen
ˆ
B
=
c
sen
ˆ
C
= 2R. (3.3)
68

70. A relação (3.3) mostra que as medidas dos lados de um triângulo qualquer sãoproporcionais aos senos
dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a2R, ondeRé o raio da
circunferência circunscrita ao triânguloABC.
Oba! Oba! Enunciemos assim a lei dos senos:
3.9 Teorema.[Lei dos Senos] Num triângulo qualquer, as medidas dos ladossão propor-
cionais aos senos dos ângulos opostos, e a razão de proporçãoé igual a2R, em queRé o
raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
ER3.39.Calcule, aproximadamente, o perímetro do triân-
gulo da ×gura ao lado, sabendo quesen 15
◦
=
√
6−
√
2
4
e
sen(120
◦
) = sen(60
◦
).
15
◦
45
◦
A
BC
18
Solução:Como neste problema temos2ângulos podemos encontrar a medida do terceiro ângulo.
Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é180
◦
, segue que:
ˆ
A+
ˆ
B+
ˆ
C= 180
◦
⇒
ˆ
A= 180
◦
−(15
◦
+ 45
◦
)⇒
ˆ
A= 120
◦
.
Agora podemos usar a lei dos senos (3.3) para resolver o problema:
⋄
a
sen
ˆ
A
=
b
sen
ˆ
B
⇒18sen 15
◦
=bsen 120
◦
⇒b=
18sen 15
◦
sen 120
◦
=
√
6−
√
2
4
√
3
2
≈5, 37.
⋄
a
sen
ˆ
A
=
c
sen
ˆ
C
⇒18sen 45
◦
=csen 120
◦
⇒c=
18sen 45
◦
sen 120
◦
⇒c= 18
√
2
2
√
3
2
≈14, 70.
O perímetro2pdo triângulo é dado por2p=a+b+c≈18 + 5, 37 + 14, 70 = 18, 37.u.c
3.3.2 Lei dos Cossenos
Dado um triânguloABCqualquer, consideraremos o ângulo
ˆ
A, quando:
1. O triânguloABCé acutângulo.
– No△BCH, temos:a
2
=h
2
+ (c−m)
2
(I)
– No△ACH, temos:h
2
=b
2
−m
2
(II)
Substituindo (II) em (I), temos:
a
2
=b
2
−m
2
+ (c−m)
2
=b
2
+c
2
−2cm(III).
Temos ainda, no triângulo△ACHum ângulo reto
emH:
cos
ˆ
A=
m
b
⇒m=bcos
ˆ
A.
Substituindo-se em (III), temos:
a
2
=b
2
+c
2
−2bccos
ˆ
A.
A B
C
Hc
a
b
h
m
69

71. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
2. O triânguloABCé obtusângulo em
ˆ
A.
– No△BCHtemos:a
2
=h
2
+ (c+m)
2
(I)
– No△ACHtemos:b
2
=m
2
+h
2
⇒h
2
=b
2
−m
2
(II)
Substituindo (II) em (I), temos:
a
2
=b
2
−m
2
+ (c+m)
2
=b
2
+c
2
+ 2cm(III)
Temos ainda, no△ACHreto emH:cos(180
◦
−
ˆ
A) =
−cosˆA=
m
b
⇒m=−b. cosˆA, que substituindo em
(III) temos:
a
2
=b
2
+c
2
+2c(−bcosˆA) =b
2
+c
2
−2bccosˆA
A
C
B
c
ab
H
h
m
Oba! Oba! Assim, podemos enunciar o seguinte resultado:
3.10 Teorema.[Lei dos Cossenos] Num triânguloABCqualquer, o quadrado da medida
de um lado, é igual à soma dos quadrados das medidas dos outrosdois lados menos duas
vezes o produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo formado por eles.
Considerando a ×gura ao lado, em s?mbolos escrevemos a lei dos cossenos
como:
a
2
=b
2
+c
2
−2bccosˆA,b
2
=a
2
+c
2
−2accosˆB,c
2
=a
2
+b
2
−2abcosˆC.
A
B
C
a
b
c
ER3.40.Um triângulo possui dois lados consecutivos medindo4cme2
√
3cm, e um ângulo agudo,
formado por estes lados, medindo30
◦
. Calcular o comprimento do terceiro lado.
Solução:Sejaxa medida do terceiro lado. Pela lei dos cossenos temos que
x
2
= 4
2
+ (
√
3)
2
−24
√
3cos 30
◦
,
ou seja,
x
2
= 16 + 3−8
√
3
√
3
2
.
Resolvendo-se esta equação, encontraremosx=
√
7cm.
ER3.41.Qual a medida de cada ângulo de um triângulo cujos lados medem7,5e3?
Solução:Como neste exemplo conhecemos três lados do triângulo
podemos usar a lei dos cossenos para encontrarmos cada um dosân-
gulos desconhecidos. Veja como.
A B
C
3
7
5
Para o ângulo
ˆ
A, temos:
a
2
=b
2
+c
2
−2bccos
ˆ
A⇒7
2
= 3
2
+ 5
2
−235cos
ˆ
A⇒49 = 9 + 25−30cos
ˆ
A
⇒15 =−30cos
ˆ
A⇒cos
ˆ
A=−
1
2
⇒
ˆ
A= 120
◦
70

72. Para o ângulo
ˆ
B, temos:
b
2
=a
2
+c
2
−2accosˆB⇒3
2
= 7
2
+ 5
2
−275cosˆB⇒9 = 49 + 25−70cosˆB
⇒ −65 =−70cos
ˆ
B⇒cos
ˆ
B=−
13
14
⇒
ˆ
B≈21, 79
◦
Para o ângulo
ˆ
C, temos:
c
2
=a
2
+b
2
−2abcos
ˆ
C⇒5
2
= 7
2
+ 3
2
−273cos
ˆ
C⇒25 = 49 + 9−42cos
ˆ
C
⇒ −33 =−42cosˆC⇒cosˆC=−
11
14
ˆC≈38, 21
◦
3.3.3 Aplicações
Coordenadas Polares - Equação de uma Circunferência
SejaC(c,a)o centro de uma circunferência de raioa,
como mostra a ×gura ao lado. SejaP(r,θ)um ponto desta
circunferência. Tracemos os raios vetores dePeCe o raio
da circunferênciaCP, assim formando o triângulo△OPC,
e deste triângulo utilizando a lei dos cossenos, temos:
r
2
+c
2
−2crcos(θ−α) =a
2
ou
r
2
−2crcos(θ−α) +c
2
−a
2
= 0.
P
O(Pólo)
C
r
c
a
αθ
Eixo Polar
Casos Especiais
1. Quando o centro está no pólo, temos:
c= 0⇒r=a,
2. Quando a circunferência passa pelo pólo e o centro se encontra no eixo polar, temos:
α= 0ec=a⇒r=±2acosθ.
3. Quando a circunferência passa pelo pólo e seu centro se encontra sobre o eixo que forma um ângulo
de90
◦
com o eixo polar, temos:
α= 90
◦
ec=a⇒r=±2asenθ.
O A O AC
O A
C
71

73. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Distância entre Dois Pontos
P
O
Q
A
θ1
θ2
r2 r1
d
Dados dois pontosP(r1,θ1)eQ(r2,θ1)
e utilizando a lei dos cossenos, a distância
dentrePeQ, é dada por:
d=
È
r
2
1
+r
2
2
−2r1r2cos(θ2−θ1).
Desigualdade Triangular
Vimos que para que exista um triângulo, o comprimento de qualquer um dos lados é menor que a soma
e maior que a diferença do comprimento dos outros dois lados.Este resultado √ode ser veri×cado √elo
teorema do cossenos. De fato, de acordo com a ×gura
−1<cos
ˆ
C<1
e, pela lei dos cossenos,
cosˆC=
a
2
+b
2
−c
2
2ab
.
Assim,
C B
A
a
c
b
−1<
a
2
+b
2
−c
2
2ab
<1⇒ −2ab<a
2
+b
2
−c
2
<2ab
⇒ −a
2
−b
2
−2ab<−c
2
<−a
2
−b
2
+ 2ab
⇒ −(a+b)
2
<−c
2
<−(a−b)
2
⇒(a−b)
2
<c
2
<(a+b)
2
⇒ |a−b|<c<a+b
Importante! O comprimento de qualquer um dos lados de um triângulo é menorque a soma e maior
que a diferença do comprimento dos outros dois lados.
Natureza de um Triângulo
Utilizando a lei dos cossenos, e sejacosˆA=k, comk∈R, façamos a seguinte análise:
1. Se o ângulo
ˆ
Afor reto, temosk= cos 90
◦
= 0. Logo,
a
2
=b
2
+c
2
−2bc0 =b
2
+c
2
,
ou seja,a
2
=b
2
+c
2
(teorema de Pitágoras). Assim, quando
ˆ
Aé reto
o triângulo é retângulo.
A
B
C
2. Se o ângulo
ˆ
Afor obtuso, temos:
a
2
=b
2
+c
2
−2bccos(
ˆ
A) =b
2
+c
2
−2bck.
Sabendo que90
◦
<ˆA<180
◦
, temosk<0. Assim,
a
2
=b
2
+c
2
−2bck.
Logo,a
2
>b
2
+c
2
e, neste caso, o triângulo é dito obtusângulo.
A
B
C
72

74. 3. Se o ânguloAfor agudo, temos:
a
2
=b
2
+c
2
−2bccos(ˆA) =b
2
+c
2
−2bck.
Sabendo que0
◦
<
ˆ
A<90
◦
, temosk>0. Assim,
a
2
=b
2
+c
2
−2bck.
Logo,a
2
<b
2
+c
2
e, neste caso, o triângulo é dito acutângulo.
A
B
C
Nota15.Na verica??o da natureza de um tri?ngulo, tomamos o quadrado do comprimento do maior
dos lados e comparamos com a soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois.
Lembrete! O maior dos lados se opõe ao ângulo de maior medida, e vice-versa.
Isto é, conhecendo as medidas dos lados de um triângulo podemos dizer se o triângulo é acutângulo,
retângulo ou obtusângulo.
ER3.42.Classique o tri?ngulo formado pelos pontos.
P1

1,
π
3
≡
,P2
√
3,
π
6
≡
eP3(1, 0
◦
)
Solução:Calcule as distânciasd(P1,P2),d(P1,P3)ed(P2,P3)e utilize a nota anterior.
Topografia
A B
C
N N
N
N
P O
Ao visar o pontoQdo pontoP, o agrimensor veri×ca que PQ
atravessa um pântano. A linhaPQtem a orientação38
◦
42
′
SE
no pontoP. Na margem do pântano, sobrePQ, emAo agri-
mensor visa o pontoB, orientado aos61
◦
NE, a 1500 m. De
Bvisa a outra margem do pântano emC, situado na linhaPQ,
orientado10
◦
30
′
SW. Achar a distânciaBC, o ângulo que deve
girar o aparelho emCpara prosseguir na direção primitiva da
linhaPQe, ×nalmente, a dist?nciaACatravés do pântano.
Dois carros partem em linha reta de uma praça no mesmo
instante, onde que um segue numa direção diferente do outro.
Sabe-se que o ângulo formado entre as linhas da direção é de
60
◦
e as velocidades dos carros são de60e80quilômetros
horários respectivamente. Decorridos15minutos, qual a dis-
tância que separa esses carros?
Pratique!
É necessário medir a altura de uma torre que está do outro ladode um rio, de modo que
no momento não é possível atravessar este rio. Considerandoo terreno totalmente plano, o
agrimensor instalou seu teodolito a uma altura de1, 65m. Considerando esta situação, de
que forma você encontraria a altura da torre?
73

75. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
3.3.4 Exercícios
EP3.43.No triângulo ao lado, calcular as medidas dexey
indicadas, sabendo quesen 15
◦
=
√
6−
√
2
4
.
EP3.44.Num triângulo seus lados são indicados porx,x+ 1
ex+ 2. O maior lado éx+ 2e um dos ângulos mede120
◦
.
Determine o perímetro deste triângulo.
15
◦
135
◦
√
2
x
y
EP3.45.Uma equipeAde trabalho parte de um pontoM1em linha reta, abrindo uma estrada de800m
de comprimento, formando um ângulo de60
◦
com a linha reta que ligaM1aM2que estão separados por
1092m. Uma equipeBde trabalho está emM2que iniciará uma segunda estrada que ligaráM2até onde
está a equipeA. Sob que ângulo deve partir a equipeBe qual o comprimento desta nova estrada?
EP3.46.É necessário medir a distância entre dois pontos, sabendo que um é inacessível. Como fazer
isso?
EP3.47.Num triângulo△ABC,b= 4cm,c= 5cme
ˆ
A= 60
◦
. Determine o terceiro lado e os dois
outros ângulos deste triângulo.
EP3.48.Numa corrida de Fórmula 1, exatamente sobre a linha de chegada, a certa altura há um
helicóptero de TV. Ao apontar na reta de chegada, um corredorAo vê sob um ângulo de elevação de20
◦
,
enquanto o corredorB, que está120mà sua frente, vê o helicóptero sob um ângulo de45
◦
. Qual a altura
do helicóptero? (Desprezar a altura dos corredores)
EP3.49.É preciso saber a distância que separa dois pontosAeBque estão do outro lado de um rio.
Não é possível atravessar este rio. De que forma você faria isso, supondo que você possui um teodolito
(aparelho que determina a medida de um ângulo) e uma trena.
EP3.50.Mostre que os pontos

3,
π
6
≡
,

7,
π
3
≡
e

3,
π
2
≡
são vértices de um triângulo isósceles.
EP3.51.Discutir a fórmula da distância da seção3.3.3quando os pontos são colineares com o pólo.
Considerar os casos quando os pontos estão num mesmo semiplano e em semiplanos opostos em relação
ao eixo polar.
EP3.52.Discuta e dê solução para encontrar a área de um triângulo, cujos vértices estão em coorde-
nadas polares, e o pólo se encontra na região interna do triângulo. Faça o mesmo quando o pólo está na
região externa.
EP3.53.Determine o intervalo que o terceiro lado de um triângulo vaiestá contido, sabendo que dois
lados deste triângulo medem9cme12cm, atendendo as condições:
(a) o triângulo é retângulo; (b) é obtusângulo; (c) é acutâng ulo.
EP3.54.No triânguloABC, os ladosACeBCmedem8cme6cm, respectivamente, e o ânguloAvale
30
◦
. O seno do ânguloBvale:
EP3.55.Pra calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos
AeB, um observador que se encontra junto aAafasta-se20mda margem, na direção da retaAB, até o
pontoCe depois caminha em linha reta até o pontoD, a40mdeC, do qual ainda pode ver as árvores.
Tendo vericado que os ?ngulosDCBeBDCmedem, respectivamente, cerca de15
◦
e120
◦
, que valor ele
encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação
√
6 = 2, 4?
EP3.56.Um triânguloTtem lados iguais a4,5e6. O cosseno do maior ângulo deTé:
EP3.57.Se em um triânguloABCo ladoABmede3cm, o ladoBCmede4cme o ângulo interno
formado entre os ladosABeBCmede60
◦
. calculeAC.
74

76. EP3.58.Na ×gura,ABCDé um quadrado cuja área mede4m
2
, eCé o ponto médio do segmentoAE.
Determine o comprimento deBE.
EP3.59.Deseja-se medir a distância entre duas cidadesBeC, sobre um mapa sem escala. Sabe-
se que, no mapa, as cidadesA,BeCdeterminam um triângulo em queBˆAC= 60
◦
,AB= 80km
eAC= 120km, ondeAé uma cidade conhecida. Determine, aproximadamente, a distância entre as
cidadesBeC.
EP3.60.Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha.
Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto
tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
EP3.61.Num retânguloABCD, o pontoPestá sobre o lado
DC, de modo que a medida deDPcorresponde ao triplo da
medida do ladoAD, enquanto a medida deCPvale o dobro de
BC. Determine a medida, em radianos, do ânguloA
ˆ
PB.
EP3.62.Na ×gura3.62,AB=AC=ℓé o lado do decá-
gono regular inscrito em uma circunferência de raio unitário e
de centro no ponto0.
(a) Calcule o valor deℓ;
(b) Mostre quecos 36
◦
= (1 +
√
5)/4.
A
BCO
Figura3.62
EP3.63.Determinar a natureza, quanto aos ângulos, de um triângulo,cujos lados medem:
(a)6,8e11; (b) 10,14e17.
EP3.64.Os lados de um triângulo medem7cm,15cme20cm. Calcular a projeção do menor lado
sobre o maior.
EP3.65.Os lados de um triângulo são:AB= 3dm,BC= 5dm,AC= 7dm. Calcular a projeção do
ladoABsobre a reta que contém o ladoBC.
EP3.66.Dois lados de um triângulo são:AB= 7dm,AC= 8cm. Calcular o comprimento do ladoBC,
sabendo que a sua projeção sobre a reta que contém o ladoABmede11cm.
EP3.67.Num triânguloABC, o ladoAB= 6m, o ladoAC= 8me a medidaAM= 5m. Calcular o
comprimento do ladoBC.
EP3.68.Os lados de um triângulo sãoAB= 12m,AC= 15m,BC= 18m. Calcular o comprimento da
bissetriz interna relativa ao ângulo
ˆ
A.
EP3.69.Calcular o comprimento da diagonalBDde um paralelogramoABCD, sabendo que o lado
AB= 4cm,BC= 5cme
ˆ
B= 60
◦
.
EP3.70.Os lados de um triângulo sãoAB= 4m,AC= 8m,BC= 5m. Prolonga-se o ladoBCde um
segmentoCD=BC. CalcularAD.
EP3.71.Os lados de um triângulo sãoAB= 13m,AC= 11m,BC= 16m. A medianaAMe a bissetriz
internaBDcortam=se emI. CalcularI M.
EP3.72.Dois lados consecutivos de um paralelogramo têm por medidasaebe uma das diagonais tem
por medidac. Determine a medida da outra diagonal.
EP3.73.Num paralelogramo de lados medindoaeb, calcule a soma dos quadrados das diagonais.
75

77. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP3.74.A diagonal menor de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, umα
e o outro2α. Determine a razão entre os comprimentos dos lados menor e maior.
EP3.75.Um triânguloABCestá inscrito num círculo de raio2
√
3. Sejama,beca medida dos lados
opostos aos ângulos
ˆ
A,
ˆ
Be
ˆ
C, respectivamente. Sabendo quea= 2
√
3e que(
ˆ
A,
ˆ
B,
ˆ
C)é uma progressão
aritmética, calcule as medidas dos lados e dos ângulos do triânguloABC.
EP3.76.Calcular o ângulo
ˆ
Ade um triânguloABC, sabendo queACeBCsão, respectivamente, iguais
aos8/3e7/3do comprimento do ladoAB.
EP3.77.Os lados de um triângulo sãoAB= 6cm,AC= 7cmeBC= 5cm. Calcular a distância do
ponto de concurso das medianas (baricentro) ao ladoAC.
EP3.78.Sobre os catetosABeACde um triângulo retânguloABCconstroem-se externamente triân-
gulos eqüiláteros, cujos centros sãoXeY. Prove queX Y
2
=
1
3
(a
2
+bc
√
3).
EP3.79.A medida dos lados de um triângulo sãoAB= 21cm,AC= 17cmeBC= 26cm. Calcular a
distância do vérticeBao ponto médio da medianaAM.
EP3.80.ABCDé um paralelogramo o qualAB= 5cmeAD= 3cm. Calcular o comprimento da
diagonalAC, sabendo que a sua projeção sobre a reta que contém o ladoABmede6cm.
EP3.81.Mé um ponto qualquer da baseBCde um triângulo isóscelesABC. Prove que
AB
2
−AM
2
=MCMB.
EP3.82.Calcular o comprimento do lado de um triângulo eqüilátero cujos vértices estão situados,
respectivamente, sobre três retas paralelas, sabendo que sãoaebas distâncias da paralela intermediárias
às outras duas.
EP3.83.De um ponto fora de uma reta traçam-se a esta reta a perpen-
dicular e duas oblíquas que medem7me5m, respectivamente. Calcular
a distância entre o pé da perpendicular e o da menor oblíqua, sabendo que
os pés das oblíquas distam4m.
EP3.84.Na ×gura ao lado, os tri?ngulosABCeBE Dsão eqüiláteros
de lados medindo2aea, respectivamente. Calcule a medida do segmento
AE.
A
B C D
E
EP3.85.O raio do círculo circunscrito a um triânguloABCéR, o circuncentro éOe o baricentro éG.
Demonstrar que a distância do circuncentro ao baricentro é dada pela fórmula:
OG
2
=R
2
−
1
9
(a
2
+b
2
+c
2
).
Gabarito
EP3.54.2/3.EP3.55. A distância entre as duas árvores é de28m.EP3.56.1/8.EP3.57.
√
13cm.EP3.58.2
√
5.EP
3.59.105, 83.EP3.60.1, 5h.EP3.61.(3π)/4.EP3.62. (a)ℓ(
√
5−1
2
, (b)cos 36
◦
=
√
5 + 1
4
.EP3.63. (a) obtusângulo (b)
acutângulo.EP3.64.
28
5
.EP3.65.
3
2
.EP3.66.13cm.EP3.67.10cm.EP3.68.10cm.EP3.69.
√
61cm.EP3.70.9
√
2m.
EP3.71.
24
7
.EP3.72.
p
2(a
2
+b
2
)−c
2
.EP3.73.2a
2
+ 2b
2
.EP3.74.
1
2 cosα
.EP3.75. Lados:2
√
3,4
√
3e6; Ângulos:30
◦
,
60
◦
e90
◦
.EP3.76.
ˆ
A= 60
◦
.EP3.77.
4
√
6
7
cm.EP3.78. Demonstração.EP3.79.16cm.EP3.80.2
√
11cm.EP3.81.
Demonstração.EP3.82.2
q
a
2
+ab+b
2
3
.EP3.83.1m.EP3.84.a
√
3.EP3.85. Demonstração.
76

78. Circunferência e Círculo
Considere um planoπe um pontoOdeste plano.
3.11 Definição.Uma circunferênciaS(O,r)de centro emOe raioré o conjunto dos pontosPdo plano
que estão a uma distânciardo pontoO.
Um pontoPé interno à circunferência de centroOe raiorsed(O,P)<r. O pontoPpertence à
circunferência sed(O,P) =rePé externo à circunferência sed(O,P)>r.
O conjunto dos pontos internos (externos) a uma circunferência é chamado interior (exterior).
3.12 Definição.Um círculoϕ(O,r)de centro emOe raioré o conjunto dos pontosPdo plano que estão
a uma distância inferior ou igual ardo pontoO.
Assim, o círculo é um conjunto formado pelos pontos da circunferência e de seu interior.
rO
S(O,r) ={P∈π;d(O,P) =r}
rO
ϕ(O,r) ={P∈π;d(O,P)≤r}
3.4 Elementos da Circunferência e do Círculo
Raio: Corda: Diâmetro:
segmento que une o centro
da circunferência a qualquer
de seus pontos.
segmento ligando dois pon-
tos de um circunferência.
corda que passa pelo centro
da circunferência.
b
b
b
b
bb
b
b
bb
Atenção! Estes elementos estão também presentes no círculo.
Considere uma circunferênciaSde centro emOe raiore sejamAeBdois pontos deSque não
estejam nas extremidades do diâmetro deS.
3.13 Definição.Um arco de circunferência é uma parte ou porção da circunferência limitada pelos pontos
AeB. Neste caso, os pontosAeBdelimitam dois arcos de circunferência emS: o arco menor e o maior.
Os pontosAeBsão chamados de extremidades do arco. Notação:ˆAB.
77

79. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Nota16.Uma semi-circunferência é um arco cujas extremidades são também extremidades de um
diâmetro da circunferência.
3.14 Definição.SeOé centro do círculo, entãoA
ˆ
OBé chamado de ângulo central. A medida em graus
do arco menor determinado pelos pontosAeB? √or deni??o a medida do ?n}ulo centralA
ˆ
OB. A medida
em }raus do arco maior ? denida como sendo360
◦
−a
◦
, ondea
◦
é a medida em graus do arco menor.
No caso em queABé um diâmetro a medida dos dois arcos é, claramente,180
◦
.
3.15 Definição.O setor circular é o conjunto dos pontos comuns ao interior deum ângulo e de um círculo
que possuem, respectivamente, centro e vértice comuns.
3.16 Definição.Um segmento circular é o conjunto de pontos obtidos da interseção do semi-plano com
origem na reta que passa por dois pontos distintosAeBda circunferênciaScom o círculo de mesmo
centro e raio que a circunferênciaS. SeAeBsão extremidades de um diâmetro deS, o segmento é
chamado semi-círculo.
3.17 Definição.Se uma reta intercepta uma circunferência em dois pontos, então diremos que ela é uma
secante à circunferência, ou ainda, que a reta e a circunferência são secantes.
3.18 Proposição.Um raio é perpendicular a uma corda (que não é um diâmetro) se,e somente se, a
divide em dois segmentos congruentes.
Prova:Sejasuma reta secante a uma circunferênciaSde centroOe raior, passando pelos
pontosAeBque não são extremidades de um diâmetro. ConsidereIo ponto de interseção
entre a retase o raior. Se o raiordeSé perpendicular às, O triânguloOI Aé congruente ao
triânguloOI B(caso LAAO⇒. A im√lica??o n?o demonstrada ×ca como exerc?cio √ara o leitor.2
Importante! Quando uma reta e um círculo têm apenas um ponto em comum, dizemos que a reta
tangencia o círculo e chamamos a reta de tangente ao círculo.O ponto comum entre uma
tangente e um círculo é chamado de ponto de tangência ou pontode contato.
3.19 Proposição.Uma reta é tangente a um círculo se, e somente se, ela é perpendicular ao raio que
liga o centro ao ponto de tangência.
Prova:SejaSuma circunferência de centroOe raioreTum de seus pontos. Sejata reta
que passa pelos pontosTeE, ondeE6∈S. Se o raioOTé perpendicular ate o segmentoOE
é oblíquo, a medida de segmentoOEé maior que a do segmentoOT. Logo o pontoEé exterior
aS. Conseqüentemente, a retattem somente um pontoTcomum aS, pois, os demais são
externos. Portanto,té tangente aS. A im√lica??o n?o demonstrada ×ca como exerc?cio √ara o
leitor. 2
3.5 Ângulos na Circunferência
Como a deni??o de ?n}ulo central {oi vista⇔ ve|amos outras deni??es e √ro√riedades envolvendo
ângulos e circunferências.
3.5.1 Ângulo Inscrito
3.20 Definição.Ângulo cujo vérticeVestá sobre a circunferência e os lados secantes interceptamesta
circunferência em pontosAeBdistintos do pontoV. Os pontosAeBdeterminam dois arcos. O arco que
78

80. não contiver o pontoVé chamado de arco correspondente ao ângulo inscrito dado. Diremos também que
o ângulo subtende o arco.
3.5.2 Ângulo Excêntrico Interior
3.21 Definição.Ângulo cujo vértice é interior à circunferência.
3.5.3 Ângulo Excêntrico Exterior
3.22 Definição.Ângulo cujo vértice é exterior à circunferência.
3.23 Proposição.Em um mesmo círculo, ou em círculos do mesmo raio, cordas congruentes determinam
ângulos centrais congruentes e reciprocamente.
Prova:Deixada para o leitor
3.24 Proposição.Todo ângulo inscrito em um círculo tem a metade da medida do arco central correspon-
dente.
Prova:SejamS(O,r)uma circunferência de centroOe raio medindor,AV Bo ângulo inscrito de
medidaαeAˆOBo ângulo central correspondente de medidaβ. Devemos considerar3casos:
1
o
- O centroOestá pertence a um dos lados do ângulo de medidaα;
2
o
- O centroOé interno ao ângulo de medidaα;
3
o
- O centroOé externo ao ângulo de medidaα.
No caso 1
o
OV=AO=r, ou seja, o triânguloOVAé isósceles. Segue queα=AV O=OAV. Como
βé ângulo externo no triânguloOVA, segue queβ= 2α.
No caso 2
o
prolongando-se o segmentoV O, este intercepta a circunferência em um pontoC.
Façamos as medidas dos ângulosAV C,CV B,AOCeCV Bcomo sendoα1,α2,β1eβ2, respecti-
vamente. De acordo com o caso 1
o
, temos queβ= 2α1eβ2= 2α2. Somando-se estas duas
equações, chegamos da mesma forma, aβ= 2α.
No caso 3
o
prolongando-se o segmentoV O, este intercepta a circunferência em um pontoC.
Façamos as medidas dos ângulosBV C,AV C,BOCeAOCcomo sendoα1,α2,β1eβ2, respecti-
vamente. De acordo com o caso 1
o
, temos queβ1=aα1eβ2= 2α2. Subtraindo-se a primeira destas
equações pela segunda, chegamos da mesma forma, aβ= 2α.
Portando,α=β/2. 2
3.25 Corolário.Todos os ângulos inscritos que subtendem um mesmo arco têm a mesma medida. Em
particular, todos os ângulos que subtendem um semicírculo são retos.
Prova:Exercício
3.26 Definição.[Ângulo de segmento ou semi-inscrito a uma circunferência]É um ângulo que possui
vértice na circunferência, um lado secante e o outro tangente à circunferência.
3.27 Proposição.A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida do ângulo central
correspondente.
79

81. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
3.6 Potência de Ponto
3.28 Definição.Deni??o: Se|aPum ponto qualquer de um plano,S(O,r)uma circunferência de centro
emOe raioResuma reta secante aSemAeBcontendo o pontoP. Uma potência do pontoPé dada
por:
Pot(P) =PAPB.
3.29 Proposição.Sejams1es2duas retas secantes a uma circunferência de centro emOe raior, nos
pontosA,B,CeD, e que se interceptam emP. EntãoPAPB=PCPD.
Prova:Temos dois casos a considerar. No primeiro, o ângulo emPé oposto pelo vértice e no
segundo caso, o ângulo emPé comum. Como os ângulos emAeCsão inscritos e possuem
o mesmo arco na circunferência, temos
ˆ
A=
ˆ
C. Desta forma, os triângulosPADePCBsão
semelhantes (ALA), ou seja,
PA
PD
=
PC
PB
. Logo,PAPB=PCPD. 2
As duas proposições a seguir devem ser demonstradas pelo leitor.
3.30 Proposição.Se os dois lados de um ângulo de vérticePsão tangentes a um círculo nos pontosA
eB, então:
(a) a medida do ângulo
ˆ
Pé igual a180
◦
menos a medida do arco menor determinado porAeB;
(b)PA=PB.
Um polígono está inscrito num círculo, ou é inscritível, se seus vértices pertencem ao círculo.
3.31 Proposição.Todo triângulo está inscrito em um círculo.
Esta proposição pode ser enunciada da seguinte maneira:
3.32 Proposição.Três pontos não-colineares determinam um círculo.
Importante! De um modo geral apenas os triângulos possuem a propriedade de serem inscritíveis
em círculos. Para outros polígonos a condição de que o mesmo possa ser inscrito em um
círculo acarreta fortes restrições sobre as suas medidas.
3.33 Proposição.Um quadrilátero pode ser inscrito em um círculo se, e somentese, possui um par de
ângulos opostos suplementares.
O círculo está inscrito em um polígono se todos os lados do polígono são tangentes ao círculo. Quando
tal ocorre diz-se que o polígono circunscreve o círculo.
3.34 Proposição.Todo triângulo possui um círculo inscrito.
3.35 Proposição.Todo polígono regular está inscrito em um círculo.
3.36 Corolário.Todo polígono regular possui um círculo inscrito.
3.7 Exercícios Propostos
EP3.86.Pode existir um círculo de raio igual a6cme no qual uma corda meça14cm?
80

82. EP3.87.Em um círculo cujo raio mede30cmpode existir uma corda que meça45cm?
EP3.88.Considere dois círculos de raiosr1er2. Mostre que se eles se intersectam em mais de um
ponto entãor1+r2é maior do que a distância entre seus centros.
EP3.89.Dados dois círculos de raiosr1er2cujos centros distamd, mostre que, ser1er2>d, então
os dois círculos se intersectam em dois pontos.
EP3.90.Diremos que dois círculos são tangentes se são tangentes a uma mesma reta em um mesmo
ponto. O ponto mencionado é chamado de ponto de contato. Mostre que, quando dois círculos são
tangentes, os dois centros e o ponto de contato são colineares.
EP3.91.Dois círculos são ditos tangentes exteriores se cam de lados opostos da reta tangente comum.
Se os dois cam do mesmo lado da reta tangente, diz-se que os dois são tangentes interiores. Qual
a distância entre os centros de dois círculos que são tangentes exteriores sabendo-se que seus raios
medem2cme5cm?
EP3.92.Qual a distância entre os centros de dois círculos que são tangentes interiores se seus raios
medem2cme3cm?
EP3.93.O diâmetro de um círculo é12cm. Calcule a distância ao círculo de um ponto exterior que
dista15cmdo seu centro.
EP3.94.O raio de um círculo é10cm. Calcule a distância ao círculo de um ponto interior sabendoque
ele dista4cmdo seu centro.
EP3.95.Qual é o lugar geométrico dos pontos que distam2cmde um círculo cujo raio mede5cm?
EP3.96.Três círculos são dois a dois tangentes exteriores. Seus centros formam um triângulo eqüilátero.
Qual a medida de seus raios?
EP3.97.Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, cordas congruentes são
eqüidistantes do centro.
EP3.98.Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, cordas eqüidistantes do
centro são congruentes.
EP3.99.Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, seduas cordas têm compri-
mentos diferentes, a mais curta é a mais afastada do centro.
EP3.100.Mostre que a mediatriz de uma corda passa pelo centro do círculo.
EP3.101.Explique porque o reexo de um c?rculo relativamente a uma reta que passa pelo seu centro
? o mesmo c?rculo. (vide cap?tulo ...para deni??o de reexo)
EP3.102.Em um triângulo eqüilátero mostre que o círculo inscrito e o círculo circunscrito têm o mesmo
centro.
EP3.103.Mostre que dois pontos tomados sobre uma corda e situados a igual distância de seu ponto
médio são eqüidistantes.
EP3.104.Mostre que dois pontos tomados sobre uma reta tangente a um círculo a igual distância do
ponto de contato são eqüidistantes do círculo.
EP3.105.Sucessivos arcos são marcados sobre um círculo de modo que arco tenha uma corda de
mesmo comprimento que o raio. Prove que o sexto arco termina no ponto onde o primeiro arco começa.
EP3.106.Prove que todo paralelogramo inscrito em um círculo é retângulo.
81

83. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP3.107.Prove que todo trapézio inscrito em um círculo é isósceles.
EP3.108.Prove que o segmento ligando o vértice de um polígono regularao centro do círculo em que
ele está inscrito é bissetriz do ângulo daquele vértice.
EP3.109.Dado um quadrado de lado5cm, qual o raio do círculo no qual ele está inscrito? Qual o raio
do círculo que ele circunscreve?
EP3.110.Dado um triângulo eqüilátero de lado4cm, qual o raio do círculo no qual ele está inscrito?
Qual o raio do círculo que ele circunscreve?
EP3.111.Dados dois círculos e duas retas, cada uma das quais tangentes aos dois círculos. Mostre
que os segmentos delas determinados pelos pontos de tangência são congruentes.
EP3.112.Um círculo está inscrito em um triângulo retângulo cujos lados medem3,4e5. Determine o
diâmetro do círculo.
EP3.113.Um círculo está inscrito em um triângulo retângulo cujos catetos medembeceahipotenusa
medea. Determine o diâmetro do círculo.
EP3.114.Um círculo está inscrito em um triângulo eqüilátero. Determine o raio do círculo sabendo que
a altura do triângulo é6cm.
Áreas
4.1 Área de Superfícies Planas
A noção de área de regiões poligonais é introduzida na geometria através dos seguintes axiomas:
Axioma 14.A toda região poligonal corresponde um número maior que zero.
Atenção! O número a que se refere este axioma é chamado de área da região.
Axioma 15.Se uma região poligonal é a união de duas ou mais regiões poligonais que duas a duas não
tenham pontos interiores em comum, então sua área é a soma dasáreas daquelas regiões.
Axioma 16.Regiões triangulares limitadas por triângulos congruentes possuem mesmas áreas.
4.2 Área de Polígonos
Axioma 17.A área de um retângulo é o produto das medidas de dois de
seus lados adjacentes.
ABCDé retângulo⇒A=ABBC.
A B
CD
A partir destes axiomas vamos determinar a área de algumas regiões poligonais simples.
82

84. 4.1 Proposição.A área do paralelogramo é produto do comprimento de um de seuslados pelo compri-
mento da altura relativa a este lado.
Prova:Dado um paralelogramoABCDdesignemos porbo comprimento do ladoAB, porho
comprimento de um segmento ligando as retas que contém os segmentosABeCDe que seja
perpendicular a ambas (este segmento é chamado de altura do paralelogramo relativamente ao
ladoAB), porH1o pé da perpendicular ao ladoABe que passa pelo vérticeDde e porH2o pé
da perpendicular ao ladoCDe que passa pelo vérticeB.
A B
CD
H1
H2
D
′
A B
CD
H1
H2
D
′
CD
H1 D
′
SendoABCDum paralelogramo, temos queAD≡BC,AH1≡CH2eDH1≡BH2. Podemos
decompor este paralelogramo em dois triângulos congruentes△AH1De△CH2Be num retân-
guloH1BH2De remontar o retânguloAH1H2D
′
(ver ×gura⇒. Segue que o ret?nguloABH2D
′
tem
basebe alturah. Pelo axioma anterior, a áreaAtem medidabh. 2
4.2 Proposição.A área de um triângulo é a metade do produto do comprimento de qualquer de seus
lados pela altura relativa a este lado.
Prova:Considere um triângulo△ABCde alturah. Tracemos duas paralelas, uma ao segmento
BCe que passa pelos pontos médiosM1do segmentoABeM2do segmentoACe a outra ao
segmentoABe que passa pelo pontoC. Observe que estas retas se interceptam num ponto o
qual designaremos porD(ver ×gura abaixo⇒.
h
2
b
A
B C
DM1 M2
O segmentoM1M2se constitui na base média do
triângulo△ABC, desta forma, podemos decompô-lo em
um trapézioBCM2M1e em um triângulo△AM1M2, am-
bos de altura
h
2
. Observe que o triângulo△AM1M2é
congruente ao triângulo△CM2D(casoLAAO). Assim, o
paralelogramoBCDM1possui a mesma área do triângulo
△(ver ×gura⇒. Segue que o √aralelogramoBCDM1tem
basebe altura
h
2
. Pelo axioma anterior, a áreaAtem
medidab
h
2
. 2
Pratique! Fica como exercício a prova dos resultados a seguir:
4.3 Proposição.A áreaAde um trapézio é a metade do produto do comprimento de sua alturahpela
soma dos comprimentos de suas bases maior e menor, respectivamente,Beb. Simbolicamente temos:
A=
(B+b)h
2
.
4.4 Proposição.A áreaAde um losango é a metade do produto dos comprimentos de suas diagonais,
Ded, isto é:
A=
Dd
2
.
Nota17.O losango é um paralelogramo e, portanto, sua área também é dada por:
AL=bh
83

85. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
4.2.1 Polígono Regular
4.5 Proposição.Considere um polígono regular comnlados de comprimentos iguais aℓe de apótema
de comprimentom. Então,
Apol=pm.
Prova:Podemos decompor um polígono regular comnlados de comprimentos iguais aℓe de
apótema de comprimentomemntriângulos de baseℓe alturam. Portanto,
Apol=nAT
AT=
ℓm
2
9
=
;
⇒Apol=
nℓm
2
=
2pm
2
=pm.
2
4.6 Proposição.A área de um polígono regular denlados, inscrito numa circunferência de raioRé dada
por:
1
2
R
2
nsen

360
◦
n
‹
.
4.2.2 Exercícios
EP4.1.Determine a área de um triângulo eqüilátero de ladoℓ.
EP4.2.O raio do círculo inscrito em um polígono regular é chamado deapótema do polígono regular.
Prove que a área de um polígono regular é igual à metade do produto de seu perímetro por seu apótema.
EP4.3.Determine a área de um hexágono regular inscrito em um círculo de raioR.
EP4.4.Prove que a razão entre os comprimentos de dois círculos é igual a razão entre seus raios.
EP4.5.Prove que a razão entre as áreas de dois discos é igual a razão entre os quadrados dos seus
raios.
EP4.6.Se os diâmetros de dois discos são3e6, qual a relação entre as suas áreas?
EP4.7.Qual a área de um quadrado inscrito em um círculo cujo raio mede5cm?
EP4.8.Qual é a relação entre as áreas de dois hexágonos regulares cujos lados medem2cme3cm?
EP4.9.Dá-se um trapézioABCDde basesAB=a,CD=b, coma>be de alturah. Demonstrar que
a diferença entre áreas dos triângulos que têm por basesABeCD, respectivamente, e por vértice oposto
a interseção das diagonais é
(a−b)h
2
.
EP4.10.Determinar a área de um retângulo em função de sua diagonaldsabendo que a diagonal é o
triplo de sua altura.
EP4.11.Determinar a área de um quadrado em função da sua diagonald.
EP4.12.A área de um retângulo é40cm
2
e sua base excede de6cmsua altura. Determinar a altura
do retângulo.
EP4.13.Um retângulo têm24cm
2
de área e20cmde perímetro. Determinar suas dimensões.
EP4.14.A base de um retângulo é o dobro de sua altura. Determinar suasdimensões sendo72cm
2
sua área.
84

86. EP4.15.As bases de um trapézio isósceles medem respectivamente4cme12cm. Determinar a área
desse trapézio sabendo que o semi-perímetro do trapézio é igual a13cm.
EP4.16.Uma das bases do trapézio excede a outra de4cm. Determinar as medidas dessas bases
sendo40cm
2
a área do trapézio e5cma altura.
EP4.17.As diagonais de um losango estão entre si como
2
7
. Determinar a área desse losango sabendo
que a soma de suas diagonais é igual ao perímetro de um quadrado de81cm
2
de área.
EP4.18.Suponhamos que se percorra um triângulo num sentido determinado e que se prolongue,
nesse sentido, cada lado de um comprimento igual ao próprio lado que se prolonga. Demonstrar que a
área do triângulo que tem por vértices as extremidades dos prolongamentos é igual a sete vezes a área
do triângulo dado.
EP4.19.O perímetro de um losango é de60cm. Calcule a medida de sua área, sabendo que a sua
diagonal maior vale o triplo da menor.
EP4.20.Determinar a área de um losango sendo120cmo seu perímetro e36cma medida da sua
diagonal menor.
EP4.21.Determinar o lado de um quadrado, sabendo-se que se aumentarmos seu lado de2cmsua
área aumenta36cm
2
.
EP4.22.Determinar o lado de um quadrado cujo perímetro é igual ao perímetro de um retângulo cuja
base excede de3a altura, sendo66cma soma do dobro da base com o triplo da altura.
EP4.23.Um quadrado e um losango tem o mesmo perímetro. Determinar a razão entre área do
quadrado e do losango sabendo que as diagonais do losango estão entre si como
3
5
e que a diferença
entre elas é igual a40cm.
EP4.24.Um triângulo eqüilátero, um quadrado e um hexágono regular têm o mesmo perímetro, que é
120cm. Determinar a razão entre a soma das áreas do triângulo eqüilátero e do quadrado para a área do
hexágono regular.
EP4.25.Determinar a área de um retângulo cuja base e altura são, respectivamente, o lado e o apótema
de um pentágono inscrito em uma circunferência de raior.
EP4.26.Determinar a área de um hexágono regular sabendo que seu apótema mede2
√
3cm.
EP4.27.Determinar a área de um quadrado cujo lado é igual ao lado de umoctógono regular inscrito
em um círculo de raior.
EP4.28.Determine a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito a um hexágono regular.
Gabarito
EP4.1.
ℓ
2
√
3
4
.EP4.3.
3
√
3
2
R
2
EP4.6.AD= 4Ad.EP4.7.50cm
2
.EP4.8.4AH= 9Ah.EP4.10.
2
√
2
9
.EP4.11.
d
2
2
EP??.
h= 4.EP4.13.4×6.EP4.14.12×6.EP4.15.24cm
2
.EP4.16.B= 10eb= 4.EP4.17.112cm
2
.EP4.19.135cm
2
.
EP4.20.864cm
2
.EP4.21.8cm.EP4.22.
729
4
cm
2
.EP4.23.
17
15
.EP4.24.
4 + 3
√
3
6
.EP4.25.
r
2
4
(
p
15−2
√
5).EP4.26.
24
√
3cm
2
.EP4.27.r
2
(2−
√
2).EP4.28.
3
4
.
4.2.3 Outras Equações que Determinam a Área de um Triângulo
A Fórmula Trigonométrica
4.7 Teorema.A medida da área de um triângulo é a metade do produto das medidas de dois dos seus
lados pelo seno do ângulo por eles formado.
85

87. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
Prova:Seja△ABCum triângulo cujos lados medema,bec. Sendoha altura relativa ao
ladoAC=b, temos queS=
bh
2
. Da trigonometria do triângulo retângulo,sen
ˆ
C=
h
a
. Destas
relações obtemos
S=
1
2
absen
ˆ
C2 (4.4)
Pratique!
Pode-se chegar, de forma análoga, a:
S=
1
2
acsen
ˆ
BouS=
1
2
bcsen
ˆ
A.
A Fórmula de Heron
Considere o triângulo△ABCcujos lados medema,bec. A Lei dos cossenos aplicada a este triângulo
nos diz que:
c
2
=a
2
+b
2
−2abcos
ˆ
C.
Elevando ao quadrado a expressão (4.4) temos que:
4S
2
=a
2
b
2
sen
2ˆ
C=a
2
b
2
(1−cos
2ˆ
C) =ab(1 + cos
ˆ
C)ab(1−cos
ˆ
C)
= (ab+abcos
ˆ
C)(ab−abcos
ˆ
C)
Multiplicando este último resultado por4, obtemos:
16S
2
= (2ab+ 2abcos
ˆ
C)(2ab−2abcos
ˆ
C).
Completando os quadrados nas expressões contidas no segundo membro, os fatores se adequam ao
uso da Lei dos cossenos da seguinte forma:
16S
2
= (a
2
+b
2
+ 2ab−a
2
−b
2
+ 2abcosˆC)(−a
2
−b
2
+ 2ab+a
2
+b
2
−2abcosˆC)
= [(a+b)
2
−c
2
][c
2
−(a−b)
2
]
= (a+b+c)(a+b−c)(c+a−b)(c−a+b)
= (a+b+c)(a+b+c−2c)(a+b+c−2b)(a+b+c−2a).
Segue que:
S
2
=
1
16
(a+b+c)(a+b+c−2a)(a+b+c−2b)(a+b+c−2c)
=
1
2
(a+b+c)
1
2
(a+b+c−2a)
1
2
(a+b+c−2b)
1
2
(a+b+c−2c)
=
a+b+c
2


a+b+c
2
−a
‹


a+b+c
2
−b
‹


a+b+c
2
−c
‹
.
Substituindo-se o semi-perímetrop=
a+b+c
2
, concluímos que:S=
È
p(p−a)(p−b)(p−c).
Enunciaremos este resultado, conhecido como a Fórmula de Heron para a determinação da área de
um triângulo.
4.8 Teorema.[Fórmula de Heron] Seja△ABCum triângulo cujos lados medema,bec. Então a medida
da área deste triângulo é
S=
È
p(p−a)(p−b)(p−c),
em que2p=a+b+cé o perímetro do triângulo△ABC.
86

88. 4.9 Teorema.Seja△ABCum triângulo circunscrito a uma circunferência de raiore cujos lados medem
a,bec. Então a medida da área deste triângulo é
S=pr,
em quep=
a+b+c
2
é o semi-perímetro do triângulo△ABC.
Prova:SejaIo centro da circunferência circunscrita pelo triânguloABC. Assim:
S=SI AB+SI BC+SI C A=
cr
2
+
br
2
+
ar
2
=r
c+b+a
2
=pr.
2
4.2.4 Exercícios
EP4.29.Determinar a área de um triângulo retângulo sabendo que um dos catetos mede10m, e o
ângulo oposto e esse cateto30
◦
.
EP4.30.A razão entre a base e a altura de um triângulo é
8
5
, sendo52ma soma da base com a altura,
determine a área do triângulo.
EP4.31.Determinar a área de um triângulo isósceles sabendo que sua base mede6x, e a soma dos
lados congruentes10x.
EP4.32.Determinar a área de um triângulo isósceles de perímetro igual a32m, sabendo que sua base
excede de2mcada um dos lados congruentes.
EP4.33.Determinar a área de um triângulo eqüilátero em função de suaalturah.
EP4.34.O apótema de um triângulo eqüilátero é igual ao lado de um quadrado de16m
2
de área.
Determinar a área do triângulo.
EP4.35.O perímetro de um triângulo retângulo é90dm. Determinar a área do triângulo sabendo que
seus lados são inversamente proporcionais a
1
5
,
1
12
e
1
13
.
EP4.36.Em um retângulo a hipotenusa é os
5
3
do cateto menor, e o cateto maior os
4
3
do menor. Sendo
60cmo perímetro do triângulo, determine a sua área.
EP4.37.Calcular a área de um triânguloABCdo qual se conhecem os dados seguintes:AC=b,AB=c
e o ângulo compreendido entre estes segmentos medindo150
◦
.
EP4.38.Considere um triângulo retângulo isóscelesABCde catetosAB=AC=a e um pontoE
tomando sobre o prolongamento do catetoCA. Unindo-seBaEtemos o segmentoBEque é paralelo à
bissetrizADdo ângulo reto
ˆ
A. Determine a área do triânguloCBEem função dea.
EP4.39.Calcular a área do triânguloABC, sendoAB= 4cm,
ˆ
A= 30
◦
e
ˆ
C= 45
◦
.
EP4.40.Determinar a área do triângulo eqüilátero em função do raioRdo círculo circunscrito a esse
triângulo.
EP4.41.Determinar a área de um triângulo eqüilátero em função do raiordo círculo inscrito nesse
triângulo.
EP4.42.A base de um triângulo mede12cme sua altura6cm. Determinar a razão entre a área do
triângulo e a área de um quadrado inscrito nesse triângulo sabendo que a base do quadrado está apoiada
sobre a base do triângulo.
87

89. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
EP4.43.Determine a medida do raio de um círculo inscrito em um triângulo isósceles de lados10cm,
10cme12cm.
EP4.44.Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base6cm, tendo lado
medindo5cm.
EP4.45.SejaABCum triângulo isósceles cujos os lados congruentes medem5cm, sendo6cma
medida do ladoBC(base do triângulo). Calcule a razão entre o raio do círculo circunscrito e o raio do
círculo inscrito nesse triângulo.
EP4.46.Determiner o perímetro de um triângulo retângulo sabendo que sua área é igual a36cm
2
e
que a hipotenusa é igual ao dobro da altura relativa a ela.
Gabarito
EP4.29.50
√
3m
2
.EP4.30.320m
2
.EP4.31.12x
2
.EP4.32.48m
2
.EP4.33.
h
2
√
3
3
.EP4.34.48
√
3m
2
.EP4.35.270d m
2
.
EP4.37.150cm
2
.EP4.37.
bc
4
.EP4.38.a
2
.EP4.39.6 + 2
√
3cm
2
.EP4.40.
3
√
3
4
R.EP4.41.3
√
3r
2
.EP4.42.
9
4
.EP4.43.
3cm.EP4.44.
25
8
.EP4.45.
25
12
.EP4.46.12(1 +
√
2).
4.3 Área do Círculo e de suas Partes
4.3.1 Área do Círculo
Vimos que a área de um polígono regular é o produto dos comprimentos do semi-perímetro pelo do
apótema.
4.10 Teorema.A área da região limitada por uma circunferência é igual a metade do produto do raio pelo
comprimento do círculo.
4.11 Corolário.A área de um disco de raio r éπr
2
.
A prova do Teorema4.10e do Corolário4.11será deixada para o curso de Cálculo I.
ER4.47.Calcule a área de uma circunferência de raio igual a:
(a)r= 5cm (b)r= 3, 5cm (c)r= 3cm (d)r=
a
2
cm
Solução:
(a)A=πr
2
=π5
2
= 25πcm
2
(c)A=πr
2
=π3
2
= 9πcm
2
(b)A=πr
2
=π(3, 5)
2
= 12, 25πcm
2
(d)A=πr
2
=π

a
2
≡
2
=
a
2
π
4
cm
2
ER4.48.Calcular a área da região limitada por duas circunferênciasconcêntricas, uma com raio10cm
e a outra com raio6cm.
Solução:Na ×gura a regi?o est? √intada de verde e sua ?rea ? a ?rea do c?rculo maior menos a
área do círculo menor, ou seja,
S=πR
2
−πr
2
=π(R
2
−r
2
) =π(100−36) = 64πcm
2
.
ER4.49.Calcular a área de um círculo circunscrito em um triângulo equilátero de lados medindo18cm.
88

90. Solução:Na ×gura ao lado, sejaao apótema,ro raio eha altura do
triângulo, então;
h=a+r
18
2
=h
2
+ 9
2
«
⇒h=
√
324−81 =
√
243 = 9
√
3
r
2
= 9
2
+ (h−r)
2
= 81 +h
2
−2hr+r
2
= 81 + 243−29
√
3r+r
2
9
>
=
>
;
⇒r= 6
√
3
Portanto, a área do círculo é dada porAC=πr
2
= 108πcm
2
.
A
B C
O
ar
ER4.50.Um triângulo eqüilátero de perímetro igual a18cmestá inscrito em uma circunferência. Calcular
a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência.
Solução:A área da região é a área do círculo menos a área do triângulo.
Seaé o apótema,ré o raio ehé a altura do triângulo, entãoh=a+r
Assim:
6
2
=h
2
+ 3
2
⇒h=
√
36−9 =
√
27 = 3
√
3
r
2
= 3
2
+ (h−r)
2
⇒r
2
= 9 + 27−23
√
3r+r
2
r= 2
√
3
Área do círculo =πr
2
= 12πcm
2
.
Área do triângulo =6
h
2
= 63
√
3
2
= 9
√
3cm
2
.
Área do círculo - Área do triângulo =(12π−9
√
3)cm
2
.
A
B C
O
ar
4.3.2 Área do Setor Circular
Notemos que a área do setor pode ser calculada por uma regra detrês simples:
1. Área de um setor circular de raioreαradianos
2πrad——— πr
2
αrad——— Asetor
«
⇒Asetor=
αr
2
2
2. Área de um setor circular de raioreαgraus
360
◦
——— πr
2
α
◦
——— Asetor
«
⇒Asetor=
πr
2
α
360
3. Área de um setor circular em função do raiore do comprimentoℓdo
arco
2πr——— πr
2
ℓ——— Asetor
«
⇒Asetor=
ℓr
2
O
α
r
89

91. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
4.3.3 Área do Segmento Circular
4.12 Proposição.A área do segmento circular de um círculo de raior, em queαé a medida do ângulo
central eℓé o comprimento do arco é dado por:
Aseg m=
r
2
2
(α−senα).
Prova:Sejaαcom medida em radianos.
Aseg m=AsetOAB−A△OAB=
αr
2
2
−
1
2
rrsenα
=
r
2
2
(α−senα)2
O
α
r
4.13 Proposição.A área da coroa circular determinada por duas circunferências de raios medindoRer
é dada por:
Acor oa=π(R
2
−r
2
),R>r.
Prova:Acor oa=πR
2
−πr
2
=π(R
2
−r
2
). 2
O
r
R
4.3.4 Exercícios
EP4.51.Qual a área de um círculo sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a8πcm?
EP4.52.Calcular a área de um setor circular de raiore ângulo central medindo:
(a)30
◦
(b)45
◦
(c)60
◦
(d)90
◦
(e)120
◦
(f)135
◦
(g)150
◦
(h)180
◦
EP4.53.Calcular a área de um segmento circular de um círculo de raioRe ângulo central medindo:
(a)30
◦
(b)45
◦
(c)60
◦
(d)90
◦
(e)120
◦
(f)135
◦
(g)150
◦
(h)180
◦
EP4.54.Qual a área da coroa determinada pelas circunferências concêntricas de raios15cme12cm?
EP4.55.Determine a razão entre as áreas dos círculos circunscrito einscrito num quadrado de ladoa.
EP4.56.Unindo-se um ponto qualquerPde uma semi-circunferência às extremidades do diâmetro
obtemos um triângulo retângulo de catetos iguais a9cme12cm, respectivamente. Determinar a razão
entre a área do círculo e a área do triângulo retângulo.
EP4.57.Os pontosA,BeCsão centros dos três círculos tan-
gentes exteriormente como na ×gura ao lado. SendoAB= 10cm,
AC= 14cmeBC= 18cm, determine as áreas desses três círculos.
A
B C
90

92. EP4.58.Duas circunferências iguais de raior, tangentes entre si, tangenciam internamente uma outra
circunferência de raio4r. Calcular a menor das duas áreas limitadas por arcos das trêscircunferências.
EP4.59.Calcular a área da região sombreada, sabendo-se que o quadrado tem lado de medidaa.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
EP4.60.Calcular a área da superfície limitada por seis círculos de raio
rcom centros nos vértices de um hexágono regular de lado2.
EP4.61.Na ×gura ao lado, determine a ?rea da √arte sombreada em
função do raiordo círculo, sendoABeBCos lados de um quadrado
inscrito nesse círculo.
A
B
C
D
O
A B
C
EP4.62.Calcular a área da superfície sombreada sabendo queABCé
um triângulo retângulo isósceles de lado medindoa.
EP4.63.Calcular a área da superfície sombreada sabendo que o
diâmetro do semi-círculo maior medea.
EP4.64.Calcular a área da superfície sombreada sabendo que o com-
primento do lado do triângulo equilátero éa.
EP4.65.Calcular a área da região sombreada sabendo queAB=te
queré o raio do círculo maior.
B
A
EP4.66.Calcular a área da região sombreada, sabendo-se queABCD
é um quadrado e que a circunferência tem diâmetro igual a4.
EP4.67.Em um círculo de20mde diâmetro traça-se um ângulo central
A
ˆ
OBde30
◦
. SendoACa perpendicular baixada do pontoAsobreOB,
calcular a área da parte sombreada.
O
A
BC
91

93. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
A B
CD
EP4.68.Calcular a área da parte sombreada, sabendo-se queABCDé
um quadrado de ladoa.
EP4.69.Calcular a área da região sombreada, sabendo-se que a cir-
cunfer?ncia da ×gura ao lado corta dois lados do tri?ngulo equilátero, de
lados medindo6, nos seus respectivos pontos médios.
A B
CD
EP4.70.Calcular a área da região sombreada, sabendo-se que o
quadradoABCDpossui lado de comprimentoℓ.
EP4.71.Na ×gura ao lado, o a√?tema do hex?gono regular mede
5
√
3cm. Determinar a área sombreada.
A
B C
D
E
EP4.72.Determinar a ?rea e o √er?metro da ×guraBE D, inscrita no triângulo
retânguloABC, sabendo queACmede10cm, o ânguloˆCmede45
◦
e que os
arcosBDeE Dtem seus centros, respectivamente, nos pontosCeA.
EP4.73.Calcular a área da região sombreada, sabendo-se que o quadrado tem lado de medidaa.
(a) (b) (c)
EP4.74.Determinar a área de um segmento circular de60
◦
de um círculo que contém um setor circular
de6πcm
2
de área, sendo2πcmo comprimento do arco desse setor.
EP4.75.Determinar a razão entre as áreas dos segmentos circulares em que ×ca dividido um c?rculo
no qual se traça uma corda igual ao raio do círculo.
Gabarito
EP4.51.16πcm
2
.EP4.52. (a)
π
12
r
2
, (b)
π
8
r
2
, (c)
π
6
r
2
, (d)
π
4
r
2
, (e)
π
3
r
2
, (f)
3π
8
r
2
, (g)
5π
12
r
2
, (h)
π
2
r
2
.EP4.53. (a)
π−3
12
r
2
,
(b)
π−2
√
2
8
r
2
, (c)
2π−3
√
3
12
r
2
, (d)
π−2
4
r
2
, (e)
4π−3
√
3
12
r
2
, (f)
3π−2
√
2
8
r
2
, (g)
5π−3
√
3
12
r
2
, (h)
π
2
r
2
.EP4.54.81πcm
2
.
EP4.55.2.EP4.56.
26
25
.EP4.57.9πcm
2
,49πcm
2
,121πcm
2
.EP4.58.(5π−6
√
3)
r
2
6
.EP4.59. (a)
€
1−
π
4
Š
a
2
, (b)
€
π
2
−1
Š
a
2
, (c)
€
1−
π
4
Š
a
2
, (d)
€
π−2
4
Š
a
2
, (e)
€
π
2
−1
Š
a
2
, (f)
€
1−
π
4
Š
a
2
.EP4.60.2(3
√
3−π).EP4.61.r
2
.EP4.62.
a
2
2
.EP4.63.
πa
2
9
.EP4.64.
π+ 6
√
3
72
a
2
.EP4.65.
πt
2
8
.EP4.66.4(π−2).EP4.67.
25
6
(2π−3
√
3).EP4.68.
a
2
(4π−3
√
3)
12
.
EP4.69.18(π+ 2
√
3).EP4.70.
(3−2
√
2)
16
a
2
.EP4.71.50(2π−3
√
3)cm
2
.EP4.72.
25
2
[2 + (
√
2−2)π]e
5
2
[4(
√
2−1) +π].
EP4.73. (a)
3(1−
√
3) +π
3
a
2
(b)
π−2
4
a
2
(c)
(4−π)
8
a
2
.EP4.74.3(2π−3
√
3)cm
2
.EP4.75.
2π−3
√
3
10π+ 3
√
3
.
92

94. Atividade Orientada
Esta atividade consiste em avaliar o seu aprendizado na disciplina de Fundamentos de Geometria. As
questões requerem um razoável conhecimento do assunto abordado. Sucesso!
5.1 Etapa 1
ER5.1.Sabendo-se queA,BeCsão pontos distintos de uma reta, que a medida deABé igual ao
triplo da medida deBCeAC= 64cm, determine as medidas dos segmentosABeBC.
Solução:De fato, temos duas possibilidades para a disposição dos pontos:ABCouACB. Vejamos
cada caso.
1. Chamemosxa medida deBC. Então,AB= 3x. ComoAC=AB+BCeAC= 64cm,
temos que3x+x= 64. Logo,4x= 64e, portanto,x= 16cm. Neste caso,AB= 3x= 48e
BC=x= 16cm.A B C 3x x
2. Chamemosxa medida deBC. ComoABé o triplo deBC,AB= 3x. Mas, comoCestá entre
AeB, então,AC=AB−BC= 3x−x= 2x. Sabemos queAC= 64cm. Então,2x= 64cm.
Logo,x= 32cm. Assim,AB= 3x= 96cmeBC=x= 32cm.
A BC2x x
Agora é a sua vez!
O enunciado a seguir se refere às questões5.1.1e5.1.2
Ana, Bia e Carla estão sentadas em um banco (alinhadas) na pracinha. Sabe-se que a distância entre
Aninha e Bia é igual ao sêxtuplo da distância entre Bia e Carla, e a distância entre Ana e Carla é70cm.
5.1.1.Encontre as distâncias entre Ana e Bia, entre Bia e Carla, e a disposição delas no banco.
5.1.2.Suponha que Bia esteja entre Ana e Carla. Márcia e Naira, amigas das meninas, também querem
bater um papo com elas. Márcia senta-se exatamente na metadedo espaço existente entre Ana e Bia,
e Naira na metade do espaço entre Bia e Carla. Sabendo-se que adistância entre Márcia e Naira é de
80cm, encontre a distância entre Ana e Carla.
5.1.3.Sabendo que o suplemento de um ânguloxé igual a180
◦
−x, encontre o ângulo tal que um
quarto do seu suplemento vale20
◦
.
5.1.4.Que horas marca o relógio cujo ponteiro dos minutos encontra-se apontando para o número12
e cujo ângulo entre o ponteiro maior e o ponteiro menor é igualao ângulo encontrado na questão anterior
somado com20
◦
?
5.1.5.O complemento de um ânguloxé igual a90
◦
−x. Sabendo que o complemento da quarta parte
de um ângulo excede o complemento desse ângulo em60
◦
, determine o ângulo.
5.1.6.Cinco semi-retas partem de um mesmo pontoV, formando cinco ângulos que cobrem todo
o plano e são proporcionais aos números2,3,4,5e6, ou seja, a soma dos ângulos formados pelas
93

95. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
retas é igual a360
◦
e, além disso, se chamarmos dex,y,z wet, os ângulos entre as retas, teremos
x
2
=
y
3
=
z
4
=
w
5
=
t
6
. Calcule o menor dos ângulos.
5.1.7.O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados, por exemplo, se um triângulo
tem lados de medidasx,yez, então seu perímetro é igual ax+y+z. Determine o perímetro do triângulo
ABCnos casos:
(a) Triângulo eqüilátero comAB=x+ 2y,AC= 2x−yeBC=x+y+ 3. Lembre-se de que triângulo
eqüilátero é aquele que tem os três lados de mesma medida;
(b) Triângulo isósceles de baseBCcomAB= 2x+ 3,AC= 3x−3eBC=x+ 3.
5.1.8.Mostre que o triângulo retângulo tem dois ângulos agudos (menores que90
◦
). SUGESTÃO: Para
essa demonstração, comece chamando dex,yezos ângulos internos do triângulo. Depois,x+y+z=
180
◦
. Faça agora uma análise das possibilidades de os ângulos serem agudos ou obtusos.
5.1.9.Se os lados de um triângulo são expressos por2x+ 20,4x+ 8e40−4x, determine o intervalo de
variação dex. SUGESTÃO: Lembre-se da desigualdade triangular.
5.1.10.O perímetro de um triângulo isósceles é a soma dexcomy, onde(x,y)é solução do sistema
¨
x−y= 5
2x−3y=−5
.
Sabe-se que a base mede5cm. Calcule as medidas dos outros dois lados. SUGESTÃO: Lembre-se de
que um triângulo isósceles tem dois lados de mesma medida. Portanto, inicialmente encontre a solução
do sistema para depois usar as informações sobre o triângulo.
5.2 Etapa 2
5.2.1.Mostre que dois triângulos eqüiláteros são semelhantes. SUGESTÃO: Para demonstrar o fato
acima, lembre-se de que dois triângulos que possuem todos osângulos correspondentes congruentes são
semelhantes.
5.2.2.Mostre que, se a razão de semelhança entre dois triângulos ék, então o perímetro de um é igual
akvezes o perímetro do outro. SUGESTÃO: Se a razão de semelhança entre dois triângulos ék, então,
chamando dex,yez, ea,becas medidas dos lados desses triângulos, temos que
x
a
=
y
b
=
z
c
=k.
Encontre o perímetro de cada triângulo e calcule a razão entre seus perímetros.
5.2.3.Um polígono regular possui o número de diagonais que possui um octógono menos11. SUG-
ESTÃO: Lembre-se de que o número de diagonais de um polígono regular denlados é dado pord=
n(n−3)
2
, a soma dos ângulos internos,Si= 180
◦
(n−2)e a soma dos ângulos externosSe= 360
◦
.
Sendo assim:
(a) Qual é o polígono?
(b) Qual é a soma dos ângulos internos do polígono?
(c) Qual é a soma dos ângulos externos?
5.2.4.Dois fazendeiros, João e Antônio, têm currais em formatos poligonais. O curral do João possui
n+ 1lados e o do Antônio possuin−4. A soma do número de diagonais dos dois currais poligonais é igual
a29. Determine a quantidade de lados de cada curral.
94

96. 5.2.5.Sabe-se que o ângulo interno e o ângulo externo de um polígonoregular são dados, respecti-
vamente, pelas fórmulasai=
(n−2)180
◦
n
eae=
360
◦
n
. Se a razão entre o ângulo interno e o ângulo
externo de um certo polígono regular é 5,5, qual é seu número de lados?
5.2.6.Considere um trapézio isósceles cujos ângulos da base medem2x−15
◦
ex+ 25
◦
. Determine os
ângulos do trapézio.
5.2.7.A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a
5
31
da soma dos outros dois
ângulos opostos. Quais são os ângulos do paralelogramo? SUGESTÃO: Sabe-se que ângulos opostos de
um paralelogramo são congruentes, e que a soma de dois ângulos adjacentes é igual a180
◦
.
5.2.8.A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos ladosum ângulo de47
◦
. Qual
é a medida dos ângulos agudos? SUGESTÃO: As bissetrizes dos ângulos internos de um losango são
diagonais desse polígono!
5.2.9.Determine as medidas da base e da altura de um retângulo, sabendo que seu perímetro vale
576cme que a base excede a altura em8cm.
Atividade Prática de Fundamentos de Geometria
Prezado(a) estudante,
Em Fundamentos de Geometria, você está tendo a oportunidadede estudar os conceitos de ponto, reta
de plano.
REFLITA
Qual a sua concepção de ponto, de reta e de plano?
Você já ouviu falar desses conceitos como entes intuitivos?
Pra voc?⇔ o que si}nica entes intuitivos⊥
Considerando o ponto, por exemplo, percebemos que ele não é concreto, não se pode pensar no ponto
como um objeto.
EM SALA DE AULA
Se perguntarmos aos nossos alunos onde e quando se usa a palavra ponto, eles provavelmente vão
citar como exemplo: o ponto de referência, o ponto da costura, o ponto de cozimento de uma comida, o
ponto de exclamação, de interrogação, etc.
Fato semelhante acontece com a reta, com o segmento de reta, com o plano e com o ângulo. Objetos
e coisas relacionadas ao nosso cotidiano são comumente citados como ilustração, uma vez que se aprox-
imam desses conceitos geométricos: o encontro de duas paredes para dar exemplo de reta; a superfície
de uma mesa para dar o exemplo de plano; os ponteiros do relógio para ilustrar exemplo de ângulos.
Porém, no ensino de Geometria, para efeito didático, é necess?rio identicar o √onto com uma letra
maiúscula do alfabeto latino, a reta com uma letra minúsculae o plano com uma letra grega. No entanto, é
de fundamental importância que possamos citar elementos relacionados com ambientes, a começar pela
sala de aula.
∼ ⋄ ♦Para saber mais!♦ ⋄ ∼
95

97. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
⋆Só Matemática: Seu portal matemático
URL:<http://www.somatematica.com.br/cgi-bin/busca/ search.pl?lang=en&q
=geometria+plana>
⋆Aulas de Matemática
URL:<http://www.aulasdematematica.com.br/>
⋆Conheça Euclides de Alexandria e sua Geometria:
URL:<http://www.numaboa.com.br/criptologia/historia/euclides.php>
Agora é com você:
Uma das nossas preocupações é que você adquira habilidades ecompetências para a sua práxis
pedag?gica, atrav?s da amplia??o da compreens?o do signicado dos diversos conteúdos. Convidamos
você a construir um GEOPLANO, recurso valioso para educadores que lançam mão de materiais concretos
para a construção do conhecimento matemático. Vamos lá?!
1. Adquira uma tábua quadrada de
“madeirite”, com30cmde lado.
2. Em seguida, trace com uma régua e
uma caneta sobre toda a sua superfície
da tábua, uma malha quadriculada com
um centímetro de distância de uma linha
para outra.
3. Na seqüência, coloque pregos pe-
quenos nos pontos de todas as últimas
linhas laterais, formando uma espécie
de cercado, conforme desenho abaixo.
4. Usando “borracha de dinheiro”, você pode formar retas paralelas, retas concorrentes, retas perpendi-
culares, ângulos de várias medidas, etc.
Nota18.Procure explorar através desta atividade o máximo de demonstrações dos conteúdos vi-
gentes. Acreditamos que você estará procurando sempre investigar, pesquisar e experimentar todas
as possibilidades que podem lhe garantir uma aprendizagem e×ciente e √romissora √ara o seu exer-
c?cio prossional de Educador Matem?tico.
∼ ⋄ ♦Para saber mais: GEOPLANO! ♦ ⋄ ∼
URL:<http://mathematikos.psico.ufrgs.br/textos/geoplan.pdf>
URL:<http://revistaescola.abril.com.br/edicoes/0184/aberto/mt82238.shtml>
5.3 Etapa 3
5.3.1.A base maior de um trapézio isósceles mede50cme a base menor30cm. Sendo60
◦
a medida
de cada um dos seus ângulos agudos, determine a altura e o perímetro do trapézio.
5.3.2.Aninha estava andando pela rua, quando parou e observou um edifício, construído em um terreno
plano, sob um ângulo de60
◦
. Mais tarde ela se afastou do edifício mais30m, passando a vê-lo sob ângulo
96

98. de45
◦
. Calcule a altura do edifício.
5.3.3.Verique se existe um tri?n}uloABCtal queBC= 10cm,AC= 1cme= 30
◦
. SUGESTÃO:
Chame dexa medida do outro lado e utilize a Lei dos Cossenos. Em seguida, obterá uma equação do
segundo grau. Veja se existe solução para tal equação.
5.3.4.Uma formiguinha está num praça cujo formato é um triângulo retângulo de hipotenusa medindo
5m. Existe um jardim circular de raio1m, inscrito nessa praça. A formiguinha caminhou pelos três lados
do triângulo, sem atravessar o jardim. Qual foi a distância percorrida por ela?
5.3.5.As medidas dos lados de um quadrilátero circunscrito a uma circunferência sãox+ 1,2x,3x+ 1
e3x. Encontre o perímetro do quadrilátero.
5.3.6.Um quadrado e um losango têm o mesmo perímetro. Determine a razão entre a área do quadrado
e do losango, sabendo que as diagonais do losango estão entresi assim como3está para5e que a
diferença entre elas é igual a40cm. SUGESTÃO: Aqui vale lembrar que a área de um quadrado de ladox
é calculada pela fórmulaAq=x
2
, e a de um losango de diagonaisdeD,Al=
dD
2
.
5.3.7.Epitápio tem em seu sítio uma plantação de milho num terreno cuja
forma é um quadrado, e uma plantação de feijão em torno da plantação de
milho, de tal forma que a √lanta??o total ×que no formato circular. Sabendo-se
que a área plantada de milho é igual a81m
2
, calcule a área total da plantação.
SUGESTÃO: encontre o raio do círculo e calcule a área do círculo.
5.3.8.Qual é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo que possui área igual a49cm
2
e cuja
hipotenusa mede o dobro da altura relativa a ela. SUGESTÃO: Pode-se usar, para calcular a área de um
triângulo de basebe de alturah, a fórmulaA=
bh
2
.
5.3.9.Determine a área de um triângulo retângulo isósceles, sabendo que sua hipotenusa é igual à
oitava parte do perímetro de um quadrado inscrito em um círculo de raio2cm. SUGESTÃO: Lembre-se de
que, num triângulo retângulo isósceles, os catetos podem ser vistos como a base e a altura, e que o lado
de um quadrado inscrito em um círculo de raioré igual ax=r
√
2.
Atividade Prática de Fundamentos de Geometria
Prezado(a) estudante,
As atividades práticas têm como propósito incentivá-lo à pesquisa e à investigação, objetivando a auto-
suci?ncia na sua a√rendiza}em. Mais que isso⇔ as atividades que aqui propomos pretendem prepará-
lo para uma práxis pedagógica mais emocionante, mais envolvente, mais signi×cativa aos seus futuros
educandos, de modo a poder mostrar-lhes uma Matemática comoela é, útil, bela, essencial à vida humana.
A disciplina Geometria, nesse aspecto, é bastante proeminente para experimentações e demonstrações.
E a História da Matemática, como já tratamos em disciplinas anteriores, pode trazer para sala de aula a
compreensão desta íntima relação Ser Humano - Matemática.
Os seres humanos, no seu viver, produziram diversos conhecimentos para compreender e agir no seu
universo. Um desses conhecimentos é a Matemática. E a diversidade de coisas neste universo produziu
hist?rica e es√ecicamente a Geometria.
Aqui, veremos um pouco a história do antigo Egito, cujas terras pertenciam ao Estado e era dividida
para o cultivo entre os cidadãos.
97

99. FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA
“(. . . ) A terra fértil era encontrada às margens do Rio Nilo, graças ao seu regime de cheias
e vazantes anuais. Se por um lado as enchentes do Nilo propiciavam a fecundidade de suas
margens, por outro criavam o problema das constantes demarcações da terra, já que a cheia
destruía as marcas anteriores, e o Estado Egípcio precisavanovamente redistribuir e remarcar
as faixas de terra de cada família ou clã. A divisão era feita em faixas retangulares aproximada-
mente equivalentes. Outras maneiras de dividir a terra poderiam levar algumas propriedades a
possuir muita terra fértil, enquanto algumas outras quase nenhumas ou nenhuma.”
(Tenório, 1995, p. 12.)
Segundo Tenório, esta distribuição com o objetivo de maximizar a produção pode representar o desen-
volvimento de uma técnica empírica de construções de ângulos retos, que, posteriormente, seria demon-
strada pelo teorema de Pitágoras. De fácil construção, propomos a você a execução da prática egípcia,
apresentada como ilustração por este autor.
ATIVIDADE:
1. Pegar uma corda e fazer treze nós eqüidistantes.
2. Construir com a corda um triângulo retângulo, xando-a noprimeiro e
no quinto nó .
3. Fechar o triângulo, unindo o décimo-terceiro ao primeironó.
4. Fixar o terceiro vértice no oitavo nó, esticando bem os lados do triân-
gulo.
Você obterá um triângulo retângulo, cujo ângulo reto está noquinto nó.
E, assim, você construirá o clássico triângulo3,4e5.
Ora, com este triângulo retângulo de lados com3,4e5unidades de comprimento, os egípcios, fácil e
seguramente, podiam demarcar suas terras, tendo a garantiade rapidez e precisão na demarcação.
Posteriormente, pelo teorema de Pitágoras, como foi demonstrado em aula, podemos facilmente equa-
cionar esta prática egípcia da seguinte maneira:
5
2
= 4
2
+ 3
2
.
∼ ⋄ ♦Para saber mais: GEOPLANO! ♦ ⋄ ∼
⋆Veja a série proposta pelo programa Salto para o Futuro Geometria em questão
URL:<http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2001/gq/gq0.htm>
⋆Conheça a Matemática das Pirâmides de Gisé e algumas sugestões para trabalhos interdis-
ciplinares
URL:<http://www.expoente.com.br/professores/kalinke/projeto/piramide.htm>
98

100. Referências Bibliográficas
[1] DOLCE, Osvaldo& POMPEO, José Nicolau; Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 09;
Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. 7
a
edição. São Paulo: Atual, 1.996.
[2] HOWARD, EVES;História da Geometria: Série Tópicos da História da matemática para o uso
em sala de aula. 1
a
edição. São Paulo: Atual, 1.994.
[3] BARBOSA, João Lucas Marques; Geometria Euclidiana Plana: Coleção do Professor de
Matemática. 6
a
edição. Rio de Janeiro: SBM, 2.004.
[4] UMBERTO CÉSAR CHACON, MALANGA; Livro de Matemática. 1
a
edição. São José dos Campos:
Poliedro, 2.004.
[5] AABOE, Asger;Episódios da História Antiga da Matemática. 2
a
edição. Rio de Janeiro: SBM,
2002.
[6] HOWARD, Eves;Introdução à História da Matemática. 1
a
edição. Campinas: UNICAMP, 1.995.
[7] GONÇALVES JÚNIOR, Oscar;Matemática por Assunto, Vol. 6. 2
a
edição. São Paulo: Scipione,
1.989.
[8] WAGNER, Eduardo;Construções Geométricas. Coleção do Professor de Matemática. 4
a
edição.
Rio de Janeiro: SBM, 2.001.
[9] LIMA, Elon Lages;Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor de Matemát ica. 2
a
edição. Rio de Janeiro: SBM, 1.997.
99

101. FTC-EAD
Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância
Democratizando a educação.
www.ead.ftc.br

102. www.ead.ftc.br