G19 funcion de transferencia y diagrama de bode

analisis de señal

1. Análisis de Señales Docente: Ing. Roger Guachalla Narváez

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G19: - Función de Transferencia
- Diagramas de Bode

19.1 Función de Transferencia

19.1.1 ¿Qué es una Función de Transferencia?
Una función de transferencia es una función matemática lineal que emplea la transformada de Laplace y permite
representar el comportamiento dinámico y estacionario de cualquier sistema.
Un sistema de Control realiza un Proceso específico y, por lo general, contará con Entradas de Sensores y Salidas de
Actuadores. Los sensores son dispositivos que convierten magnitudes físicas en señales eléctricas, se encargan de
captar las variables del proceso (presión, temperatura, nivel, humedad, velocidad, etc.). El sistema procesará los datos
obtenidos de los sensores y generará acciones de control en los actuadores. Los actuadores son aquellos componentes
del sistema que modificarán el entorno de manera que tal que se cumpla el proceso requerido.


La Función de Transferencia H(s) es el cociente formado por Y(s), la Transformada de Laplace de la salida de un
sistema LTI (Causal, Lineal e Invariante en el tiempo), dividida entre X(s), la Transformada de Laplace de la entrada a
dicho sistema, cuando las condiciones iniciales son iguales a cero en el tiempo �=0
−


Dónde:

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19.1.2 Origen de la Función de Transferencia
Es de vital importancia conocer y entender cómo se comporta un proceso. Se debe hallar la forma de representar ese
proceso en el ‘papel’. Es decir, encontrar alguna ecuación matemática que permita modelar y simular el
comportamiento real del proceso.
Es ahí donde tiene origen la Función de Transferencia. Si se observan los datos obtenidos por algún sensor, después de
haber aplicado alguna perturbación, a través de los actuadores, se observará que la variable del proceso comenzará a
evolucionar en el tiempo hasta alcanzar otro estado donde se quedará estable, conocido como el Estado Estacionario.
Entonces de ese movimiento dinámico se puede clasificar el comportamiento del proceso en el tiempo de dos formas:



En la zona dinámica el sistema va variando con el tiempo, y en la zona estacionaria, el sistema ya no depende más del
tiempo, porque sin importar si el tiempo sigue creciendo, la variable se mantiene en el mismo valor.
Para modelar los procesos, en base a estas respuestas dinámicas, se consiguen elaborar ecuaciones diferenciales que
representan la evolución de las variables con el tiempo. El trabajo con este tipo de ecuaciones diferenciales puede
llegar a ser un poco complicado, es por eso que, aplicando la transformada de Laplace, se puede representar el
sistema que originalmente estaba en el tiempo en forma de ecuaciones diferenciales a representarlo en la variable
compleja � en forma de ecuaciones algebraicas.
Así surge la Función de Transferencia, las cual relaciona la salida del sistema sobre la entrada. De esa manera se puede
saber cómo se comporta el sistema de una forma matemática.



Las funciones de transferencia se componen de un numerador polinómico y un denominador, que también es un
polinomio. Y como todo polinomio tiene raíces, aquí aparece otro concepto que se debe tener claro:
Al igualar el polinomio del numerador �(�) a cero se obtienen las raíces denominadas “Ceros del Sistema”. De manera
similar al igualar el polinomio del denominador �(�) a cero se obtienen las raíces denominadas “Polos del Sistema”

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19.1.3 Estabilidad de una Función de Transferencia

Los ceros y polos pueden ser graficados en el plano complejo � y aquí se puede determinar si una función de
transferencia es estable o inestable.

Simplemente con observar la ubicación de los Polos del Sistema se conoce si el sistema es estable o no.
Si algún polo (x) del sistema se encuentra ubicado en el semiplano derecho del plano ??????, se sabe que el sistema es
Inestable.
Si algún cero (o) se encuentra en esta zona, el sistema NO será inestable, apenas tendrá un determinado
comportamiento en su respuesta dinámica.
Como se puede evidenciar los polos y ceros de una función de transferencia caracterizan la forma y el
comportamiento que tendrá un determinado sistema ante una eventual entrada de excitación.
19.1.4 Limitadamente o Marginalmente estable
Sin embargo, existen casos especiales. ¿Qué sucede si los polos se encuentran en el origen del plano? ¿O sobre todo el
eje imaginario?
Un sistema es limitadamente estable o críticamente estable si hay un polo en el origen y los demás polos en el
semiplano negativo.
Sin embargo, si existen más de un polo en el origen el sistema se vuelve inestable.

Por otro lado, un sistema es marginalmente estable si existe una pareja simple (sin multiplicidad) de polos complejos
conjugados sobre el eje imaginario (es decir no tienen componente real), estando el resto de los polos en el semiplano
negativo. Caso contrario y exista más de una pareja de polos complejos, el sistema sería un sistema inestable.

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Ejemplo de Función de Transferencia:


19.1.5 Función de Transferencia en MATLAB
MATLAB, es uno de los softwares especializados para realizar estudios de ingeniería, donde se pueden analizar
especialmente sistemas dinámicos lineales representados por funciones de transferencia tales como circuitos RC,
sistemas Mecánicos, lazo cerrados de control, etc.
 Para crear una función de transferencia en MATLAB basta con aplicar el comando tf
 Para graficar el mapa de polos y ceros se utiliza la función pzmap()

Por ejemplo, si se tiene la siguiente función de Transferencia

El código en Matlab es:



Donde en las variables numerador y denominador, únicamente se colocan los coeficientes de los polinomios.

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Dando como resultado:



El mapa de polos (x) y ceros (o)




Donde se puede determinar que el sistema es Inestable

19.1.6 Ejercicios de Funciones de Transferencia
Escribir el código Matlab y determinar los ceros y los polos de las siguientes funciones de transferencia y graficarlos en
el plano complejo S, indicar si el sistema es Estable o Inestable.

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19.2 Diagramas de Bode
El norteamericano Hendrik Wade Bode (1905-1982) usó por primera vez en 1938 el diagrama que lleva su nombre
para el estudio de estabilidad de sistemas en lazo cerrado. Su uso se extendió ampliamente en el estudio de los
circuitos electrónicos.
El diagrama de Bode es una técnica de análisis de sistemas y procesos muy importante en ingeniería porque gracias a
una buena interpretación del diagrama de bode, se puede entender el comportamiento, funcionamiento y estabilidad
de un proceso físico real en varias zonas de operación.
El diagrama de Bode es el trazado de la respuesta de frecuencia de un sistema con gráficos de magnitud y fase
separados.
19.2.1 Magnitud y Fase en el diagrama de Bode
Un diagrama de Bode se encuentra constituido por dos gráficas debido a que para este análisis se usan números
complejos, es decir que contaremos con una parte real y una parte imaginaria.
Si consideramos un número complejo �=�+� �

Donde �=�??????(�) es la parte real de � y �=??????�(�) la parte imaginaria de �.
La representación gráfica en el plano complejo del número � es:

A partir de este triángulo se puede encontrar la magnitud y la fase de �:
Magnitud: |�|= √�
2
+�
2
; Fase: arg�=??????=���
−1
(
�
�
)
De la figura también podemos inferir que:
�=|�| cos ?????? ; �= |�| ��� ??????
entonces sustituyendo en el numero complejo tenemos que:
�= |�|cos??????+� |�| ��� ??????
Por la identidad de Euler, el seno y coseno pueden expresarse como:
cos??????=
??????
????????????
+??????
−????????????
2
; sin??????=
??????
????????????
−??????
−????????????
2 ??????

Reemplazando en la anterior expresión:
�= |�|
??????
????????????
+??????
−????????????
2
+� |�|
??????
????????????
−??????
−????????????
2 �

Tomando del conjugado de �: �̅=�−� �

Entonces: |�̅|=|�| ; arg�̅= −arg�


Las dos gráficas del diagrama de Bode corresponden a la gráfica de la Magnitud y a la gráfica de la Fase. Por lo tanto, la
interpretación del diagrama de bode físicamente indica cual es la amplitud de la señal aplicada al sistema y su desfase.

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19.2.2 Como interpretar el diagrama de Bode
Como ejemplo y aplicando el diagrama de Bode en la teoría de Control, realizar un diagrama de bode de una función
de transferencia que permita determinar la respuesta en frecuencia (salida) del sistema en estado estable cuando se
perturba o estimula el proceso con una entrada senoidal.
Suponiendo que se tiene un proceso, G(s), cualquiera (un circuito eléctrico, un tanque de agua, un motor, un reactor,
una turbina, etc.) y se aplica a la entrada una señal sinusoidal.


Realizando el diagrama de Bode se obtiene:

El eje horizontal representa la frecuencia en Hertz y en escala logarítmica. El eje vertical representa la ganancia en
decibelios (para el gráfico de Magnitud) y los grados de desfase (para el gráfico de Fase)
El gráfico de Magnitud indica que:
 La magnitud de la salida es igual a la magnitud de la entrada hasta una frecuencia ≈2 Hz. Después, a medida
que la frecuencia se la señal de entrada se incrementa, la amplitud va disminuyendo hasta obtener una
ganancia de -60 dB a una frecuencia de 100 Hz
 La fase de la señal de salida va variando de 0 grados en 0.1 Hz hasta -180 grados para 100 Hz

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19.2.3 Matlab Función bode
La función bode permite obtener la respuesta en frecuencia de Bode para modelos LTI. Entre las formas más comunes
de utilizar esta función se encuentran:
 bode(sys): dibuja el gráfico de Bode del modelo LTI sys (creado con tf o zpk). El rango de frecuencia y el
número de puntos que tomará para graficar se eligen de forma automática.
 bode(sys,wmin,wmax): dibuja el gráfico de Bode para frecuencias entre wmin y wmax (en rad/seg).
 bode(sys,w): utiliza el vector w de frecuencias propuesto para calcular el Bode. Dado que el vector w debe
estar en escala logarítmica, existe en MATLAB la función logspace que genera un vector de frecuencias en
forma logarítmica.
 bode(sys1,sys2,...,w): dibuja el gráfico de Bode de varios modelos LTI en una sola figura. El parámetro
w es opcional, también se puede especificar color, tipo de línea y marcadores como se los utiliza con el
comando plot.
 [mag,fase]=bode(sys,w) o [mag,fase,w]=bode(sys): devuelve la magnitud y la fase en grados. Este
comando no dibuja en pantalla, mag(:,:,k) y fase(:,:,k) determina la respuesta en w(k). Para obtener
magnitudes en dB, se debe calcular magdb=20*log10(mag).
Ejemplo: Dada la siguiente transferencia, obtener el gráfico de Bode
G(s)=
2500
� (�+5)(�+50)

Para ello se ejecutan los siguientes comandos desde el workspace en Matlab:

Dando como resultado:

Video: Tutorial diagrama de bode en Proteus
https://www.youtube.com/watch?v=h4xAKKUZzGM
18.1 Informe escrito

I. Realizar los Ejercicios de Funciones de Transferencia en la sección 19.1.6

FECHA DE ENTREGA: miércoles 28 de octubre de 2020