Gaal resumo

GEOMETRIA ANALÍTICA

1. GAAL - Vetores, retas e planos no espaco
Dist^ancia entre dois pontos no espaco:A= (x1; y1; z1) eB= (x2; y2; z2)
d(A; B) =
p
(x2x1)
2
+ (y2y1)
2
+ (z2z1)
2

Produto escalar de vetores n~ao-nulos:
!
V= (x1; y1; z1) e
!
W= (x2; y2; z2)
(a)h
!
V ;
!
Wi=jj
!
Vjj jj
!
Wjjcos;ondee ^angulo entre
!
Ve
!
W:
(b)h
!
V ;
!
Wi=x1x2+y1y2+z1z2:
Projec~ao ortogonal de
!
Vsobre
!
W:O vetorprojWVe paralelo aWe e tal que
VprojWVe ortogonal aW. Ele e o vetor:
projWV=

hV; Wi
jjWjj
2

W
Produto vetorial de
!
Ve
!
W:

E o vetorVWque tem normajjVWjj=jj
!
Vjj jj
!
Wjjsin;^angulo entre
!
Ve
!
W
(ou seja, sua norma e igual a area do paralelogramo denido porVeW).
Ele e ortogonal a
!
V= (x1; y1; z1) e a
!
W= (x2; y2; z2) e tem sentido dado pela regra da
m~ao direita:
VW=

det

y1z1
y2z2

;det

x1z1
x2z2

;det

x1y1
x2y2

:
ou,
VW= det
2
4
!
i
!
j
!
k
x1y1z1
x2y2z2
3
5
onde
!
i= (1;0;0),
!
j= (0;1;0) e
!
k= (0;0;1).
Produto misto:corresponde ao volume do paraleleppedo formado por
!
V= (x1; y1; z1),
!
W= (x2; y2; z2) e
!
U= (x3; y3; z3) e e dado por:
hVW; Ui= det
2
4
x1y1z1
x2y2z2
x3y3z3
3
5
Equac~ao de um plano:Vetor normal
!
N= (a; b; c) e passa pelo pontoP= (x0; y0; z0)
ax+by+cz+d= 0; onded=(ax0+by0+cz0)
Equac~oes de uma reta:Vetor diretor
!
V= (a; b; c) e passa pelo pontoP= (x0; y0; z0)
Equac~oes parametricas:r:
8
<
:
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct
;para todot2R:
Equac~ao vetorial:(x0+at; y0+bt; z0+ct):
Equac~oes simetricas(para a; b; c6= 0) :
xx0
a
=
yy0
b
=
zz0
c