Gelson iezzi livro do professor - volume 01
brunafideles7
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Oct 26, 2014
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Slide Content
GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI _
COMPLEMENTO PARA
O PROFESSOR
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA
ELEMENTAR 1
CONJUNTOS E FUNÇÔES
CARLOS MURAKAMI _
COMPLEMENTO PARA
O PROFESSOR
FUNDAMENTOS DE
MATEMATICA
ELEMENTAR 1
CONJUNTOS E FUNÇÔES
Apresentacáo
Este livro € o Complemento para o Professor do volume 1, Conjuntos e Fun-
goes, da coleçäo Fundamentos de Matemática Elementar.
‘Cada volume desta colegio tem um complemento para o professor, com o obje-
tivo de apresentar a soluçäo dos exercícios mais complicados do livro e sugerir sua
passagem aos alunos.
E nossa intengäo aperfeigoar continuamente os Complementos. Estamos aber-
tos a sugestdes e críticas, que nos devem ser encaminhadas através da Editora.
Agradecemos à professora Irene Torrano Filisetti a colaboragáo na redacáo das
solugdes que sdo apresentadas neste Complemento.
Os Autores.
Este livro € o Complemento para o Professor do volume 1, Conjuntos e Fun-
goes, da coleçäo Fundamentos de Matemática Elementar.
‘Cada volume desta colegio tem um complemento para o professor, com o obje-
tivo de apresentar a soluçäo dos exercícios mais complicados do livro e sugerir sua
passagem aos alunos.
E nossa intengäo aperfeigoar continuamente os Complementos. Estamos aber-
tos a sugestdes e críticas, que nos devem ser encaminhadas através da Editora.
Agradecemos à professora Irene Torrano Filisetti a colaboragáo na redacáo das
solugdes que sdo apresentadas neste Complemento.
Os Autores.
Capitulo I — Nogdes de lógica
Capítulo IL — Conjuntos .
Capitulo II — Conjuntos numéricos
Capitulo IV — Relagdes
Capitulo V — Introdugdo ás fungdes .
Capitulo VI — Fungáo constante — Funçäo afim
Capitulo VII — Funçôes quadráticas ...
Capitulo VII! — Funçäo modular
Capitulo IX — Outras fungdes elementares
Capítulo X — Funçäo composta — Fungdo inversa ..
Apéndice 1 — Equagdes irracionais .
Apéndice II — Inequagdes irracionais ..
Capítulo IL — Conjuntos .
Capitulo II — Conjuntos numéricos
Capitulo IV — Relagdes
Capitulo V — Introdugdo ás fungdes .
Capitulo VI — Fungáo constante — Funçäo afim
Capitulo VII — Funçôes quadráticas ...
Capitulo VII! — Funçäo modular
Capitulo IX — Outras fungdes elementares
Capítulo X — Funçäo composta — Fungdo inversa ..
Apéndice 1 — Equagdes irracionais .
Apéndice II — Inequagdes irracionais ..
Capítulo I — Nogöes de lógica
6.
ris | orvs
viv] y |
vir v
L
Fiv| y
rir F
© p (e Vs) € falsa, por hipótese.
Entäo, isso significa que p & V, (r V s) & F, ou seja, re 5 sto F.
Como o condicional (4 A ~ 5) + pé Vepé V, entdog A ~ sé Y; portanto, gé Y.
Capítulo II — Conjuntos
3.
37.
45.
. AUBUC = [1, 2,3,
fa, b, ¢, d) UX = (a,b, ¢, de €€X
{c,d} UX = fae, d,e] > a €X,e €X
{b, c,d] NX = fe] m ceX, beXedeX
X= laced
9, 10}
ANB = (2,3,8)
_ à [27 pertencem a A
ANC= 1271 = (267 pertencem ac
u à [2, $e6pertencem a B
BOC = 125,61 = 12506 pertencem a C
AUB = (1,2, ... 7,8) = 9 e 10 ndo pertencem a A UB e, entdo, 9 e 10 per
tencem a C. Porianto, € = (2, 5, 6, 7,9, 10].
Como (AN B) A C € subconjunto de A, temos nA BNC) < 2; entäo o núme-
ro máximo € 2.
y+1<6=y<5=F=(1,2,3,4,5) °F
16,7,8)
6.
ris | orvs
viv] y |
vir v
L
Fiv| y
rir F
© p (e Vs) € falsa, por hipótese.
Entäo, isso significa que p & V, (r V s) & F, ou seja, re 5 sto F.
Como o condicional (4 A ~ 5) + pé Vepé V, entdog A ~ sé Y; portanto, gé Y.
Capítulo II — Conjuntos
3.
37.
45.
. AUBUC = [1, 2,3,
fa, b, ¢, d) UX = (a,b, ¢, de €€X
{c,d} UX = fae, d,e] > a €X,e €X
{b, c,d] NX = fe] m ceX, beXedeX
X= laced
9, 10}
ANB = (2,3,8)
_ à [27 pertencem a A
ANC= 1271 = (267 pertencem ac
u à [2, $e6pertencem a B
BOC = 125,61 = 12506 pertencem a C
AUB = (1,2, ... 7,8) = 9 e 10 ndo pertencem a A UB e, entdo, 9 e 10 per
tencem a C. Porianto, € = (2, 5, 6, 7,9, 10].
Como (AN B) A C € subconjunto de A, temos nA BNC) < 2; entäo o núme-
ro máximo € 2.
y+1<6=y<5=F=(1,2,3,4,5) °F
16,7,8)
A 8
©
May = (a = Mara] + Marg + [nn = are]
® ® o
Maso = Da + De Mapa
‘Obs.: (D elementos que pertencem só ao conjunto A
elementos que pertencem a À € B
@ elementos que pertencem só ao conjunto B
49. nm) = Ma + Ma = Day
Mao =4+5-3=6
Ento, o número de subconjuntos de À UB EI = 64.
50. D mac
D nas = Banc
A EM) ae = Aue
an
ame = Ma + [Me — (1D — WI + ne ~ AM — AV) ~ DI
Page = Ma + Ua — [are = Paren = Banane) +
+ {ne = Eyre = Barerc] = Marc = Marc) — Banancl
ame Pa + Mp Me = Mara = Dane = Bare + Man
©
May = (a = Mara] + Marg + [nn = are]
® ® o
Maso = Da + De Mapa
‘Obs.: (D elementos que pertencem só ao conjunto A
elementos que pertencem a À € B
@ elementos que pertencem só ao conjunto B
49. nm) = Ma + Ma = Day
Mao =4+5-3=6
Ento, o número de subconjuntos de À UB EI = 64.
50. D mac
D nas = Banc
A EM) ae = Aue
an
ame = Ma + [Me — (1D — WI + ne ~ AM — AV) ~ DI
Page = Ma + Ua — [are = Paren = Banane) +
+ {ne = Eyre = Barerc] = Marc = Marc) — Banancl
ame Pa + Mp Me = Mara = Dane = Bare + Man
B: conjunto dos alunos que estudam francés (ng = 163)
Maso = Da + My Mar
221 + 163 — 52 = 332
Pr UP)N(P-UQ) = P-UQ
en
53. IP’ UP]
54. Como C CB, temos n(BUC) = n(B) = 16 dal:
a) n(AUB) = MA) + n(B) = (ANB)
mA) + 16 4
(A) = MANB) = 12 —
b) MANBNC) = n(A) = nA=C) = 12-11 =1
9 nB—(CUA)] = n(AUB) — n(A) = n(C) + n(ANBNC) = 24 ~ 12 = 6 +
D nf(ANB) ~ CI = n(ANB) ~ n(ANBNC) = 4 — 1 = 3
©) n[B — (ANB)] = n(B) = n(ANB) = 16 - 4 = 12
55. A = (0 f8h, 1 > e08hi2a
ANB= {c,d} = c,deA co deB
AUB=la,b,c,d,e,f) = a,b,c,d,e, FEA où eB
entdo, A = {a,b ¢,d) e B= {e,d,e,f]
56. Com base na tabela € possivel montar o diagrama dos conjuntos e indicar o nü-
‘mero de elementos de cada um.
u
iS
15
Maso = Da + My Mar
221 + 163 — 52 = 332
Pr UP)N(P-UQ) = P-UQ
en
53. IP’ UP]
54. Como C CB, temos n(BUC) = n(B) = 16 dal:
a) n(AUB) = MA) + n(B) = (ANB)
mA) + 16 4
(A) = MANB) = 12 —
b) MANBNC) = n(A) = nA=C) = 12-11 =1
9 nB—(CUA)] = n(AUB) — n(A) = n(C) + n(ANBNC) = 24 ~ 12 = 6 +
D nf(ANB) ~ CI = n(ANB) ~ n(ANBNC) = 4 — 1 = 3
©) n[B — (ANB)] = n(B) = n(ANB) = 16 - 4 = 12
55. A = (0 f8h, 1 > e08hi2a
ANB= {c,d} = c,deA co deB
AUB=la,b,c,d,e,f) = a,b,c,d,e, FEA où eB
entdo, A = {a,b ¢,d) e B= {e,d,e,f]
56. Com base na tabela € possivel montar o diagrama dos conjuntos e indicar o nü-
‘mero de elementos de cada um.
u
iS
15
58.
59.
60.
8) 0 número de pessoas consultadas:
ny = HS + 61 + 20 4 142 +5 + 36 + 98 + 23 = 500
b) 0 número de pessoas que só consomem a marca A:
Ma Maca = Bare + Dawe = 109 ~ 25 — 28 + 5 = 61
©) 0 número de pessoas que no consomem as marcas A ou C:
ARE = My = Mayo = $00 — (109 + 162 — 28) = 257
4) 0 número de pessoas que consomem ao menos duas marcas
Mara + Bee + Roy ~ 2 Rye = 25 + 41 + 28 — 10 = 84,
B: conjunto dos individuos da raga branca
P: conjunto dos indivíduos da raga preta
‘A: conjunto dos individuos da raga amarela
nm) = 70
MP) = n(AUB) = 350
2) número de individuos da comunidade: 2 - n(A) = 560
b)n(A) = 280
> nA) = n(AUB) = n(B) = 280
ii 900
Matriz: 209% - 45% = ¿og
700
Santos: 389% - 209% = A
Campinas: x% - 35% = 535%
ampinas: no
m, 3% _ 30
10000 * 10000 * Toa = Ton ~*~ À
JA=tabead à pl ug
noe)" aan mena
Entäo: A a B = (a, b}U{e,f,g} = la,b,e,f, 2).
DVAA-D=AeD-A=-9
AsG=AUS=A
OVA,A-A=0D
ASdA=gUg=g
d'A 4 B= (A — BJU(B — A)
BaA=(B-A)U(A-B)
Como a unido de conjuntos goza da propriedade comutativa, entäo:
(A — BJU(B — A) = (B- AJU(A—B) = AaB
fs)
59.
60.
8) 0 número de pessoas consultadas:
ny = HS + 61 + 20 4 142 +5 + 36 + 98 + 23 = 500
b) 0 número de pessoas que só consomem a marca A:
Ma Maca = Bare + Dawe = 109 ~ 25 — 28 + 5 = 61
©) 0 número de pessoas que no consomem as marcas A ou C:
ARE = My = Mayo = $00 — (109 + 162 — 28) = 257
4) 0 número de pessoas que consomem ao menos duas marcas
Mara + Bee + Roy ~ 2 Rye = 25 + 41 + 28 — 10 = 84,
B: conjunto dos individuos da raga branca
P: conjunto dos indivíduos da raga preta
‘A: conjunto dos individuos da raga amarela
nm) = 70
MP) = n(AUB) = 350
2) número de individuos da comunidade: 2 - n(A) = 560
b)n(A) = 280
> nA) = n(AUB) = n(B) = 280
ii 900
Matriz: 209% - 45% = ¿og
700
Santos: 389% - 209% = A
Campinas: x% - 35% = 535%
ampinas: no
m, 3% _ 30
10000 * 10000 * Toa = Ton ~*~ À
JA=tabead à pl ug
noe)" aan mena
Entäo: A a B = (a, b}U{e,f,g} = la,b,e,f, 2).
DVAA-D=AeD-A=-9
AsG=AUS=A
OVA,A-A=0D
ASdA=gUg=g
d'A 4 B= (A — BJU(B — A)
BaA=(B-A)U(A-B)
Como a unido de conjuntos goza da propriedade comutativa, entäo:
(A — BJU(B — A) = (B- AJU(A—B) = AaB
fs)
Capitulo IIE — Conjuntos numéricos
63. Chamando Ma Ms e Mi os conjuntos de múltiplo, temos:
Mi OMg = Mu = Mi C My € Ma © Me
entäo X é formado por:
5 múltiplos de 12 (que também säo múltiplos de 4 e 6)
7 — 5 = 2 múltiplos de 6 (que näo säo múltiplos de 4 ou 12)
12 — 5 = 7 múltiplos de 4 (que nao sáo múltiplos de 6 ou /2)
8 números impares
num total de $ + 2 + 7 + 8 = 22 elementos
73. Soja = Eon = Omen < ry ento lc ado
[2 5 <a
ad + be
Seja r a média aritmética entrer, e ry = Eo
Comparemos rer:
a _ad+be _ ad-be
mere ER MER er coe cr
Comparemos r erz:
ad+be ¢ _ ad~ be
rons GE ern coerce
Porto, exe al qu 3 <<
76. Dvdr pr 4060 mesmo que mic ape inner de 0, que = Bs
77. = 1 # 04 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + eli
NL...
78. Renda total do pais A: 2 : 101-5 - 107 = 10 10
Renda total do pais B: 1 + 101-2 10° = 2. 10
A renda per capita dos dois pases juntos € renda total dividida pela populaço total:
10. 10" 42. 100
7.10
A renda per capita dos dois paises juntos (novo país) será de aproximadamente
17 000 dólares.
17142.
79, Pela lei de Boyle, temos.
@ + APXV + AV) =K
125 25
Pie
AP =P, - Py
63. Chamando Ma Ms e Mi os conjuntos de múltiplo, temos:
Mi OMg = Mu = Mi C My € Ma © Me
entäo X é formado por:
5 múltiplos de 12 (que também säo múltiplos de 4 e 6)
7 — 5 = 2 múltiplos de 6 (que näo säo múltiplos de 4 ou 12)
12 — 5 = 7 múltiplos de 4 (que nao sáo múltiplos de 6 ou /2)
8 números impares
num total de $ + 2 + 7 + 8 = 22 elementos
73. Soja = Eon = Omen < ry ento lc ado
[2 5 <a
ad + be
Seja r a média aritmética entrer, e ry = Eo
Comparemos rer:
a _ad+be _ ad-be
mere ER MER er coe cr
Comparemos r erz:
ad+be ¢ _ ad~ be
rons GE ern coerce
Porto, exe al qu 3 <<
76. Dvdr pr 4060 mesmo que mic ape inner de 0, que = Bs
77. = 1 # 04 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + eli
NL...
78. Renda total do pais A: 2 : 101-5 - 107 = 10 10
Renda total do pais B: 1 + 101-2 10° = 2. 10
A renda per capita dos dois pases juntos € renda total dividida pela populaço total:
10. 10" 42. 100
7.10
A renda per capita dos dois paises juntos (novo país) será de aproximadamente
17 000 dólares.
17142.
79, Pela lei de Boyle, temos.
@ + APXV + AV) =K
125 25
Pie
AP =P, - Py
83.
87.
Enae:(e + Elo + av = x
SP(V + AV) = 4K ePV=K = AV
haver uma diminuigäo correspondente à $? parte do volume
aT = RBA = ES HE
Vig = 2 = V6 W242 = Va VIP 4- VE = andeb=-1
. Comparemos a eg:
sean EEL vy AEE ND, EY,
nto, a > #.
a) Seja a = V2.
Entáo, af = (V7) = 4e af = (NZ = 8 sto racionais
wareQeweQe v= e
PeQeweQ a #
#eQewveQsa
Prova-se com contra-exemplos.
Um contra-exemplo é o número racional 2 cuja raiz quadrada ndo é racional.
De fato, se V7 = com p, q € IN e mc, 4) = 1, no
2 £ = p= 2g = p&nimeropar = pépar =p=2m=
= 4m = 2g = q 2m = qépar = qe par.
Mas p € q pares é absurdo, pois mdo(p, g) = I.
x+1 1
Fazendo r= IH = 1 temosx + 1 = -x = x= e ou sé,
DE
Analogamente, fazendo r assumir cada um dos valores 0, I, 2 e 3 e tentando cal-
cular x real, só ndo conseguimos quando r = I.
87.
Enae:(e + Elo + av = x
SP(V + AV) = 4K ePV=K = AV
haver uma diminuigäo correspondente à $? parte do volume
aT = RBA = ES HE
Vig = 2 = V6 W242 = Va VIP 4- VE = andeb=-1
. Comparemos a eg:
sean EEL vy AEE ND, EY,
nto, a > #.
a) Seja a = V2.
Entáo, af = (V7) = 4e af = (NZ = 8 sto racionais
wareQeweQe v= e
PeQeweQ a #
#eQewveQsa
Prova-se com contra-exemplos.
Um contra-exemplo é o número racional 2 cuja raiz quadrada ndo é racional.
De fato, se V7 = com p, q € IN e mc, 4) = 1, no
2 £ = p= 2g = p&nimeropar = pépar =p=2m=
= 4m = 2g = q 2m = qépar = qe par.
Mas p € q pares é absurdo, pois mdo(p, g) = I.
x+1 1
Fazendo r= IH = 1 temosx + 1 = -x = x= e ou sé,
DE
Analogamente, fazendo r assumir cada um dos valores 0, I, 2 e 3 e tentando cal-
cular x real, só ndo conseguimos quando r = I.
98. 19 PO) vedada porque | = LD,
Reis sen the ED
Ten
Dereae un tks een MMe ES
re
Qt DA +2)
2 2
99.19.00 event org 2 = ODO,
29 Amts aad ar
Pe:
eovovemos qe vl param = + J io
E AN E IR + D)
Tomos
245484... +(24 3k) + (2 + 3k + 1] =
EEIET ER aus,
ke
esoo. + Km
EI , 74 a+ D EE ARE
+R, Kr GK +7)
. 2 2
100. 12) PU) é verdadeira porque 2 = 2! — 1.
2°) Admitamos a validade de PU — 1), isto &,
A ES
vale PO), ou seja,
PERA RA
Tomos
AREA
1 — 1 e, entäo, devemos provar que
Reis sen the ED
Ten
Dereae un tks een MMe ES
re
Qt DA +2)
2 2
99.19.00 event org 2 = ODO,
29 Amts aad ar
Pe:
eovovemos qe vl param = + J io
E AN E IR + D)
Tomos
245484... +(24 3k) + (2 + 3k + 1] =
EEIET ER aus,
ke
esoo. + Km
EI , 74 a+ D EE ARE
+R, Kr GK +7)
. 2 2
100. 12) PU) é verdadeira porque 2 = 2! — 1.
2°) Admitamos a validade de PU — 1), isto &,
A ES
vale PO), ou seja,
PERA RA
Tomos
AREA
1 — 1 e, entäo, devemos provar que
101.
) PU) & verdadeira porque
Wd + D@-14D
6
2) Admitamos que vale para n = k, isto 6,
PW: P+ 24 Re. +e = MEF ERD
x © provemos que
vale para m = k + 1, ou seja:
Pate tees ee ye ELVES DS)
Tens:
Pee ee ee ee EDEN ye
ess
= K+ DOK + 1), Ok + DF _ ck + Dik GK + 1) + 6k + DI
= ut + a
+ DOE ++ MA
5 ;
102, 19 POD € verda porque [LEE DY = 1 = 1
25) Adntamos vl para n= Li &
Pe: + 2 + 34 A
n= ko Lise
P+p4 Pr. +k+ Pe ker
Tenor
Parse PEDO see nh
5 von
RR, ME AAA
7 : 7
q ME. Eme ap
7 5
104. 1°) PU) é verdadeira porque 6 1 1(1 + 1 + 2)
28) Admitamos valida para n = k, isto 6, 6 1 K(K + D(k + 2) e provemos que
vale para n =k + 1:6 1(k + Nk + Hk + 3).
Temos:
(K+ Dk + Kk + 3) = KR + DK + 2) + Ak + IKK + 2)
61 kk + DK + 2)
EEN | 7 SKK + 2) + 3k + INK + 2)
> 61k + Dk + 2Xk + 3)
) PU) & verdadeira porque
Wd + D@-14D
6
2) Admitamos que vale para n = k, isto 6,
PW: P+ 24 Re. +e = MEF ERD
x © provemos que
vale para m = k + 1, ou seja:
Pate tees ee ye ELVES DS)
Tens:
Pee ee ee ee EDEN ye
ess
= K+ DOK + 1), Ok + DF _ ck + Dik GK + 1) + 6k + DI
= ut + a
+ DOE ++ MA
5 ;
102, 19 POD € verda porque [LEE DY = 1 = 1
25) Adntamos vl para n= Li &
Pe: + 2 + 34 A
n= ko Lise
P+p4 Pr. +k+ Pe ker
Tenor
Parse PEDO see nh
5 von
RR, ME AAA
7 : 7
q ME. Eme ap
7 5
104. 1°) PU) é verdadeira porque 6 1 1(1 + 1 + 2)
28) Admitamos valida para n = k, isto 6, 6 1 K(K + D(k + 2) e provemos que
vale para n =k + 1:6 1(k + Nk + Hk + 3).
Temos:
(K+ Dk + Kk + 3) = KR + DK + 2) + Ak + IKK + 2)
61 kk + DK + 2)
EEN | 7 SKK + 2) + 3k + INK + 2)
> 61k + Dk + 2Xk + 3)
105.
106.
107.
108. 1°) P(1) € valida: 1
19) P(O)& valida: 2 1 0.
2) Admitamos verdadeira para n = K, isto é,2 1(k? + &), ou seja, 21 K(k + 2)
€ provemos que vale paran = k + I:
E)
Mr IPD + DK + 14 D =
=k + Kk + 2) = Kk + À) + 2K + 1)
21K + 1)
diay | E + 210 + D +2)
15) P(O € verdadera, pois 3 1 (0! + 2 - 0)
22) Admitamos PQ) verdadeira, ou sea, 3 | (K! + 2) provemos que PUK + 1)
& verdadeira, ou sea
UK + + 2k + DE
Temos: =
+ D + A + DW + HE HEH GK + D =
Ge + 2) + RÉ + K + D)
316 + 2k , A =
Shade key | 2 31042 4308 ann
> 31k +I +2 + DL
19) PUD € válida porque 1 4 1 = (1 + D.
22) Admitamos que se vida para n = k:
CS EE operant
vale para = 4 + J to €
armee (re Da
Temos
a+ oes]
(te Ble ba) a of)
pS
en)
EN
7
2°) Admitamos que seja válida para n = kz
TT
1
k
mn KT
e provemos que € válida
106.
107.
108. 1°) P(1) € valida: 1
19) P(O)& valida: 2 1 0.
2) Admitamos verdadeira para n = K, isto é,2 1(k? + &), ou seja, 21 K(k + 2)
€ provemos que vale paran = k + I:
E)
Mr IPD + DK + 14 D =
=k + Kk + 2) = Kk + À) + 2K + 1)
21K + 1)
diay | E + 210 + D +2)
15) P(O € verdadera, pois 3 1 (0! + 2 - 0)
22) Admitamos PQ) verdadeira, ou sea, 3 | (K! + 2) provemos que PUK + 1)
& verdadeira, ou sea
UK + + 2k + DE
Temos: =
+ D + A + DW + HE HEH GK + D =
Ge + 2) + RÉ + K + D)
316 + 2k , A =
Shade key | 2 31042 4308 ann
> 31k +I +2 + DL
19) PUD € válida porque 1 4 1 = (1 + D.
22) Admitamos que se vida para n = k:
CS EE operant
vale para = 4 + J to €
armee (re Da
Temos
a+ oes]
(te Ble ba) a of)
pS
en)
EN
7
2°) Admitamos que seja válida para n = kz
TT
1
k
mn KT
e provemos que € válida
RTD * EF DEFD
4 13 LL
vr
1 1
LADEN
D
LE, 1 MEDAL +R
“TARDADO KF HKD AND
EEN
AD AZ
14
109. 1?) PU) & verdadeira: A
=10+D=1:2
22) Admitamos que seja válida para n =
PO) 1242-34 2 RKTT
KO + Dk + 2)
3 e provemos
que vale para = k + I:
PU HD A124 2-3 + a 2) = EEE ESD
Temos:
10242034 + Kk + D + + DK +2 =
Fo
H+ K+ DME AED + EE
= 3 3 3
111. 12) P(O) € verdadeira: 2 > 0.
22) Admitamos verdadeira para n = k: 2 > k, com k > 1, e provemos que
vale paran =k +209 >k 4 La
Temos: #4! =2-2>k-2>k+2>k +1
» as Ed
112. 12) PQ) € verdadeira: P > À = +.
29) Admitamos PUK): P + 2 +... + # > LE verdadeira e provemos que
7
vale Pk + DEP +2 4... + (k + p> EE
Temos:
parar > E
ES
m
0
4 13 LL
vr
1 1
LADEN
D
LE, 1 MEDAL +R
“TARDADO KF HKD AND
EEN
AD AZ
14
109. 1?) PU) & verdadeira: A
=10+D=1:2
22) Admitamos que seja válida para n =
PO) 1242-34 2 RKTT
KO + Dk + 2)
3 e provemos
que vale para = k + I:
PU HD A124 2-3 + a 2) = EEE ESD
Temos:
10242034 + Kk + D + + DK +2 =
Fo
H+ K+ DME AED + EE
= 3 3 3
111. 12) P(O) € verdadeira: 2 > 0.
22) Admitamos verdadeira para n = k: 2 > k, com k > 1, e provemos que
vale paran =k +209 >k 4 La
Temos: #4! =2-2>k-2>k+2>k +1
» as Ed
112. 12) PQ) € verdadeira: P > À = +.
29) Admitamos PUK): P + 2 +... + # > LE verdadeira e provemos que
7
vale Pk + DEP +2 4... + (k + p> EE
Temos:
parar > E
ES
m
0
= + AR + 12 + 1 + 4
. 4
Ki 4k + OR + dk + LL + GE + BK + 3
«+ yt aan
+
pois 6k? + 8k + 3 > 0, VK.
113. 15) PU) é
cU ta > lr tea
2°) Suponhamos válida para n = k: (1 + a > 1 + ka e provemos que vale
para n = ke LG + ake! > 1+ + Da
Temos:
Q + at 2 + ah + 2) > (1 + kal + a) = 1 4 ka + a + ke >
>itkata=i+(k+ da
115. 12) PQQ) € verdadeira:
Sy = (3 — 2): 180° = 180° (soma dos ángulos internos de um triángulo).
28) Admitamos válido para m
verdadeira para m
Observemos que:
kz S(k) = (k = 2) 180° e provemos que é
Sk + D = D: 180°,
ao acrescentar um vértice (E), na verdade estamos acrescentando, à figura
anterior, um triángulo (BCE) cuja soma dos ángulos internos é 180°.
Entäo, temos:
Spar = Sy + 180°
(K — 2) + 180° + 180° =
= 180° (k ~ 2 + 1) = (k ~ 1) 180°
116. 15) P(0) & verdadeira, pois (2) = 121, que é unitário e portanto tem
2 = J elemento.
22) PU) € verdadeira, pois P({a}) = { {a}, 2), que € binário e portanto tem
2! = 2 elementos.
u
. 4
Ki 4k + OR + dk + LL + GE + BK + 3
«+ yt aan
+
pois 6k? + 8k + 3 > 0, VK.
113. 15) PU) é
cU ta > lr tea
2°) Suponhamos válida para n = k: (1 + a > 1 + ka e provemos que vale
para n = ke LG + ake! > 1+ + Da
Temos:
Q + at 2 + ah + 2) > (1 + kal + a) = 1 4 ka + a + ke >
>itkata=i+(k+ da
115. 12) PQQ) € verdadeira:
Sy = (3 — 2): 180° = 180° (soma dos ángulos internos de um triángulo).
28) Admitamos válido para m
verdadeira para m
Observemos que:
kz S(k) = (k = 2) 180° e provemos que é
Sk + D = D: 180°,
ao acrescentar um vértice (E), na verdade estamos acrescentando, à figura
anterior, um triángulo (BCE) cuja soma dos ángulos internos é 180°.
Entäo, temos:
Spar = Sy + 180°
(K — 2) + 180° + 180° =
= 180° (k ~ 2 + 1) = (k ~ 1) 180°
116. 15) P(0) & verdadeira, pois (2) = 121, que é unitário e portanto tem
2 = J elemento.
22) PU) € verdadeira, pois P({a}) = { {a}, 2), que € binário e portanto tem
2! = 2 elementos.
u
32) P(2) é verdadeira, pois Ola, b}) = {a}, 1D), fa, bi, 23) & quaternário
e portanto tem 2° = 4 elementos.
48) Admitamos que a proposicäo seja verdadeira para um conjunto À com k
elementos, ou seja, (4) tem 2 elementos. Provemos que a proposiçäo €
verdadeira para um conjunto B com k + 1 elementos, ou seja, O(B) tem
2+ elementos.
Suponhamos que B = AU (b}, ou seja, b 6 o elemento que está em 8 e
näo pertence a A. Entdo 0(8) € formado com os subconjuntos de À (que
sio 21) e mais a reunido de {0} com cada um desses subconjuntos (que säo
‘outros 2* conjuntos)
Conclusdo: ®(B) possui 2» À = 2% * ! elementos.
‘Obs.: Para melhor entender, veja como fizemos para passar de 0((a)) pa-
ra Ola, DI).
Capitulo IV — Relagóes
122, Utiliza-se a propriedade: se X € subconjunto de X” e Y é subconjunto de Y”,
entáo X x Y € subconjunto de X" x Y” e também vale a recíproca.
Por exemplo:
ge ACX' @ X = AouBouC
axaoximr 0 [Soy 2 oct
endo X’ x Y' = A x Bou A x CouB x BouB x Cou C x BouC x C.
128. À = (0.1,2) |
Be (45)
= AXB=10,9,00,9, 00,5, (1,9, 0,9, (1,9 0,9, 442 D
Verifica-se, diretamente, que somente os pares (0, 4), (0, 5) e (J, 5) satisfazem
ardagioy > x + 4.
Portanto, n(D)
Capítulo V — Introducáo as funçôes
155. Fazendo x = 0, devemos ter:
f(m-0) = m. 10) = £0)
Entdo:
m = 1 = 80) é qualquer real.
mel = (m-1)-10)=0 » £0) =0
m- f@).
2
e portanto tem 2° = 4 elementos.
48) Admitamos que a proposicäo seja verdadeira para um conjunto À com k
elementos, ou seja, (4) tem 2 elementos. Provemos que a proposiçäo €
verdadeira para um conjunto B com k + 1 elementos, ou seja, O(B) tem
2+ elementos.
Suponhamos que B = AU (b}, ou seja, b 6 o elemento que está em 8 e
näo pertence a A. Entdo 0(8) € formado com os subconjuntos de À (que
sio 21) e mais a reunido de {0} com cada um desses subconjuntos (que säo
‘outros 2* conjuntos)
Conclusdo: ®(B) possui 2» À = 2% * ! elementos.
‘Obs.: Para melhor entender, veja como fizemos para passar de 0((a)) pa-
ra Ola, DI).
Capitulo IV — Relagóes
122, Utiliza-se a propriedade: se X € subconjunto de X” e Y é subconjunto de Y”,
entáo X x Y € subconjunto de X" x Y” e também vale a recíproca.
Por exemplo:
ge ACX' @ X = AouBouC
axaoximr 0 [Soy 2 oct
endo X’ x Y' = A x Bou A x CouB x BouB x Cou C x BouC x C.
128. À = (0.1,2) |
Be (45)
= AXB=10,9,00,9, 00,5, (1,9, 0,9, (1,9 0,9, 442 D
Verifica-se, diretamente, que somente os pares (0, 4), (0, 5) e (J, 5) satisfazem
ardagioy > x + 4.
Portanto, n(D)
Capítulo V — Introducáo as funçôes
155. Fazendo x = 0, devemos ter:
f(m-0) = m. 10) = £0)
Entdo:
m = 1 = 80) é qualquer real.
mel = (m-1)-10)=0 » £0) =0
m- f@).
2
16) 102)
lando (3), ver
De io +)
10) : 10)
e
UW) = 10+ D = 2-10 +323
52) =f + D = 2e 2
10 = f@ + D = 2: 2.
fia) 2-10) +3=2:21+3=45
i 2.10) +3=2:45+3=93
Observemos que:
16) = 93 = 2-45 43 =
2-Q-21+3)+3=
=2-2-Q-943 43 43=
= 2-12-2@-34+9 4343143 =
(2-3 42-343 4343
2(P-342 342-343) 43=
HUGH 2-34 P3423 43 =
= 3+ Pe Peas
ou seja: fla) = 3 TH 2-24. +24 De
5) 15) Vale para n = 1, isto & JU) = 3+ (29 = 3.
2) Admitamos verdadeira para n Ae 2-14 +24)
e provemos que é válida para n = k + 1, ou seja,
Met DO EI DED.
Considerando a fundo definida, temos:
fk + D) = 2-00) + 3.
Ento:
fk +) =2-B-Q-'4 2-24 +24 43
fk +) =3-B-@& 142724 4 24 O43
fkK+ Dad OHH 443
fk + D =
Gels 42
7 wsen>0 [M = eG)sex > 0
165. 10 = Vm tat = A [FO Taare
a6) = x
Portanto, fx) e g(x) nao sño iguais.
está definida se EF > 0, ou seja,
1
lando (3), ver
De io +)
10) : 10)
e
UW) = 10+ D = 2-10 +323
52) =f + D = 2e 2
10 = f@ + D = 2: 2.
fia) 2-10) +3=2:21+3=45
i 2.10) +3=2:45+3=93
Observemos que:
16) = 93 = 2-45 43 =
2-Q-21+3)+3=
=2-2-Q-943 43 43=
= 2-12-2@-34+9 4343143 =
(2-3 42-343 4343
2(P-342 342-343) 43=
HUGH 2-34 P3423 43 =
= 3+ Pe Peas
ou seja: fla) = 3 TH 2-24. +24 De
5) 15) Vale para n = 1, isto & JU) = 3+ (29 = 3.
2) Admitamos verdadeira para n Ae 2-14 +24)
e provemos que é válida para n = k + 1, ou seja,
Met DO EI DED.
Considerando a fundo definida, temos:
fk + D) = 2-00) + 3.
Ento:
fk +) =2-B-Q-'4 2-24 +24 43
fk +) =3-B-@& 142724 4 24 O43
fkK+ Dad OHH 443
fk + D =
Gels 42
7 wsen>0 [M = eG)sex > 0
165. 10 = Vm tat = A [FO Taare
a6) = x
Portanto, fx) e g(x) nao sño iguais.
está definida se EF > 0, ou seja,
1
167.
168.
1
D,= (xeRIx 3 1).
N) e 50) serdo iguais somente no conjunto x > J, x € IR.
10 = YEH ets define ZI > 0,
o & à 4
oot
+ ted fos
x = tee I 1 ex < 0 oux > 1.
ia tebe
id D Sao
TT u
HET
80) = está definida se x + 1 > Oex? - x > 0.
Rx
xERI-1<x<Ooux >I},
Por possuirem exatamente o mesmo dominio, fx) = s(x).
D, = IR, D, = R ~ (1)
Nao sto iguais porque os dominios so diferentes.
168.
1
D,= (xeRIx 3 1).
N) e 50) serdo iguais somente no conjunto x > J, x € IR.
10 = YEH ets define ZI > 0,
o & à 4
oot
+ ted fos
x = tee I 1 ex < 0 oux > 1.
ia tebe
id D Sao
TT u
HET
80) = está definida se x + 1 > Oex? - x > 0.
Rx
xERI-1<x<Ooux >I},
Por possuirem exatamente o mesmo dominio, fx) = s(x).
D, = IR, D, = R ~ (1)
Nao sto iguais porque os dominios so diferentes.
Capítulo VI — Funçäo constante — Funçäo afim
Somando membro a membro () e () vem:
a 1
nadia
7
4 10
1
sistema formado por @ e @ é ie
7 +
Substituindo a = + em ©, temos 6 = 4. Dai vem:
1 LE ax
y
1
eh -4 > 3+7-2®
x-y
Somando membro a membro e (D, vem: 2x = 6 = x =
Substinindo x = 3 em @, temos: y = -1, isto & $ = 16, — 1}.
1 1
al crm
"5.
dat tbat
pat: [EI L
$= 12,0)
178. x = n° de bolas brancas
y = n° de bolas pretas.
ans 12 retirada: 215
u
us ne
e
apés 25 retiradas
Resolvendo o sistema formado por (D e @, vem: x = 23 y = 16.
179, f(-1) = -a+b=3
M)=a+b=1
Entlo, Jo) = —x + 2e dal A3) = —1.
= a=-leb=2
Somando membro a membro () e () vem:
a 1
nadia
7
4 10
1
sistema formado por @ e @ é ie
7 +
Substituindo a = + em ©, temos 6 = 4. Dai vem:
1 LE ax
y
1
eh -4 > 3+7-2®
x-y
Somando membro a membro e (D, vem: 2x = 6 = x =
Substinindo x = 3 em @, temos: y = -1, isto & $ = 16, — 1}.
1 1
al crm
"5.
dat tbat
pat: [EI L
$= 12,0)
178. x = n° de bolas brancas
y = n° de bolas pretas.
ans 12 retirada: 215
u
us ne
e
apés 25 retiradas
Resolvendo o sistema formado por (D e @, vem: x = 23 y = 16.
179, f(-1) = -a+b=3
M)=a+b=1
Entlo, Jo) = —x + 2e dal A3) = —1.
= a=-leb=2
186. A partir do gráfico verificamos que a funçäo C(x) passa pelo ponto (8, 520) e
tem coeficiente linear 400.
CO) = ax + 400 = C(8)
Portanto, C(x) = 15x + 400.
Considerando um custo de CRS 700,00, vem:
15x + 400 = 700 = x = 20 litros.
Ba + 400 = 520 = a
15
187. 1.x < 25068 = f(x) = 0
25 068 < x < 83561 = f(x) =
2 506,80
TO
x> 83561 =
2. Calculemos o imposto de renda a pagar JU), para uma renda líquida de
Cr8 83 561,00, valor x.
(83 561,00) = 0,1 + 83 561,00 ~ 2 506,80 = 5 849,30
Para ndo haver descontinuidade nesse ponto (83 561,00; 5 849,30) ao passar
a faixa de 10% para 25%, deveremos ter:
5 849,30 = 0,25 - 83 561,00- = n
15 040,95.
188. Seja H a herança,
x a parte da mae,
2x a parte de cada filho do sexo masculino,
3x a parte da filha.
Enten entre a,
2; cada homem: 2; thas BL
inte: cada homem: LE; sina: 24
189.
S = 6604 = 27521, = 660, — 7) = ty
y=4-7
Entáo: S = 275 + 12 = 3 300.
A distancia entre Säo Paulo e Boa Vista é de 3 300 km.
$= 215-4
“|
100 - 265 + 10x
Tir
© salário médio das mulheres é de CR$ 100,00.
= 250 = x= 100
56
tem coeficiente linear 400.
CO) = ax + 400 = C(8)
Portanto, C(x) = 15x + 400.
Considerando um custo de CRS 700,00, vem:
15x + 400 = 700 = x = 20 litros.
Ba + 400 = 520 = a
15
187. 1.x < 25068 = f(x) = 0
25 068 < x < 83561 = f(x) =
2 506,80
TO
x> 83561 =
2. Calculemos o imposto de renda a pagar JU), para uma renda líquida de
Cr8 83 561,00, valor x.
(83 561,00) = 0,1 + 83 561,00 ~ 2 506,80 = 5 849,30
Para ndo haver descontinuidade nesse ponto (83 561,00; 5 849,30) ao passar
a faixa de 10% para 25%, deveremos ter:
5 849,30 = 0,25 - 83 561,00- = n
15 040,95.
188. Seja H a herança,
x a parte da mae,
2x a parte de cada filho do sexo masculino,
3x a parte da filha.
Enten entre a,
2; cada homem: 2; thas BL
inte: cada homem: LE; sina: 24
189.
S = 6604 = 27521, = 660, — 7) = ty
y=4-7
Entáo: S = 275 + 12 = 3 300.
A distancia entre Säo Paulo e Boa Vista é de 3 300 km.
$= 215-4
“|
100 - 265 + 10x
Tir
© salário médio das mulheres é de CR$ 100,00.
= 250 = x= 100
56
191. x = salário/hora de Paulo e Joana.
192.
193.
205.
Paulo walten 4 mints ($ de tor) à mis que eos pore peo
do, rest 10
Baits 2x = ID x 2 25
Porno, Pal rhe x 225 = 30065: 00 = 9
Um sino gu Po re sto CRS 9000
A engrenagem a tem 24 dentes e a engrenagem c tem 36 dentes. Ambas as en-
grenagens dio um número inteiro de voltas quando os números de dentes que
“passam” pelo ponto de contato com a engrenagem for um múltiplo comum
de 24 e 36.
O mme(24,36) 6 72. Entäo, se c der duas voltas e a der 3 voltas, as duas retor-
nam à situaçao inicial.
Quando o piloto mais veloz (72 segundos por volta) completar x volta, o pilo-
10 menos veloz (75 segundos por volta) terá dado (x ~ 1) volts.
Entdo, temos:
Tx ='75(6 =D = x= 25,
Fla) passa pelos pontos (3, 0) e (2, 2).
= ee = a=2eb= -6 = W=%-6
#09 passa por (0, I) e (2, ~2)
seep eee bal = eset
09 passa por (0, De (=1, =D)
[2 =a=2eb=1= Weir
-a+b
a) f(x) >) = 2x -6>
=3
x+ lo x>2
2
ba) <b) = xr ist x20
916) MG) = = 6B 2+ 1 = ALE! fla) > NO
O20) >4 xd x< 2
SO 2x -6<0® 153
v
192.
193.
205.
Paulo walten 4 mints ($ de tor) à mis que eos pore peo
do, rest 10
Baits 2x = ID x 2 25
Porno, Pal rhe x 225 = 30065: 00 = 9
Um sino gu Po re sto CRS 9000
A engrenagem a tem 24 dentes e a engrenagem c tem 36 dentes. Ambas as en-
grenagens dio um número inteiro de voltas quando os números de dentes que
“passam” pelo ponto de contato com a engrenagem for um múltiplo comum
de 24 e 36.
O mme(24,36) 6 72. Entäo, se c der duas voltas e a der 3 voltas, as duas retor-
nam à situaçao inicial.
Quando o piloto mais veloz (72 segundos por volta) completar x volta, o pilo-
10 menos veloz (75 segundos por volta) terá dado (x ~ 1) volts.
Entdo, temos:
Tx ='75(6 =D = x= 25,
Fla) passa pelos pontos (3, 0) e (2, 2).
= ee = a=2eb= -6 = W=%-6
#09 passa por (0, I) e (2, ~2)
seep eee bal = eset
09 passa por (0, De (=1, =D)
[2 =a=2eb=1= Weir
-a+b
a) f(x) >) = 2x -6>
=3
x+ lo x>2
2
ba) <b) = xr ist x20
916) MG) = = 6B 2+ 1 = ALE! fla) > NO
O20) >4 xd x< 2
SO 2x -6<0® 153
v
63:14 45-2 + 3x
6
6349 + 3x > 39
>237 =x>79
209. >65
211. a) <-3-
<0= 1-x<0 = x>1
Tox
S=(xeRIx>1)
DÉS 32e 202 m-1<0e x<4
s=fremix< 4]
<0 = x+2>0=x>
3
El
Be FLD 4-5 Se x<6
ne
x-350 = x33
214. f(x) passa pelos pontos (~3, 1) e (4, 4).
—3a tb
a+b
6
6349 + 3x > 39
>237 =x>79
209. >65
211. a) <-3-
<0= 1-x<0 = x>1
Tox
S=(xeRIx>1)
DÉS 32e 202 m-1<0e x<4
s=fremix< 4]
<0 = x+2>0=x>
3
El
Be FLD 4-5 Se x<6
ne
x-350 = x33
214. f(x) passa pelos pontos (~3, 1) e (4, 4).
—3a tb
a+b
gta) passa por (4, 4) € (I, ~4).
Eh a ihn a
a+b= 73 u 3
h(x) passa por (4, 4) e (—3, 1).
fatb=4 3 ya one dye 18
=e bal PPT ee Sa Tr
2) £0) < (3) < RG)
10) < 8) =
©) Mx) < f(x) < 860),
ne < 1 = x + LE < —
16) < 2) = —
moto 2 co - et
<0
x+3 “00 +
Eh a ihn a
a+b= 73 u 3
h(x) passa por (4, 4) e (—3, 1).
fatb=4 3 ya one dye 18
=e bal PPT ee Sa Tr
2) £0) < (3) < RG)
10) < 8) =
©) Mx) < f(x) < 860),
ne < 1 = x + LE < —
16) < 2) = —
moto 2 co - et
<0
x+3 “00 +
S={xeRl-3<x<4 où x> 11).
o =
xt xt xt x43
a E EN
a ADA BET ET WE!
KF HRT > rer”
= +2 +9 <0
AMA Cy,
a De- 26 - 5
4x + 6
W- DE - EE)
<0
o =
xt xt xt x43
a E EN
a ADA BET ET WE!
KF HRT > rer”
= +2 +9 <0
AMA Cy,
a De- 26 - 5
4x + 6
W- DE - EE)
<0
S=(x€IRIx<0 ou x>2)
Capítulo VII — Funçôes quadráticas
226. y = (m? - dx? — (m + 2x — 1 está definida se m?
mazemá -2,
4 # 0, isto & se
227. Seja fo) = ar + bx + c.
Emo: (-D) =a=b+0=-4 0
fD=a+b+c=2©
fQ) = 4a+2+e=1@
a
Capítulo VII — Funçôes quadráticas
226. y = (m? - dx? — (m + 2x — 1 está definida se m?
mazemá -2,
4 # 0, isto & se
227. Seja fo) = ar + bx + c.
Emo: (-D) =a=b+0=-4 0
fD=a+b+c=2©
fQ) = 4a+2+e=1@
a
228.
231.
232.
Resolvendo o sistema formado por D, O e O) temos:
do b = 3 na 3? equaçäo, vem € = 1.
Substituindo 6 = 3e € = / na 1? equagdo, vem a
Portanto, lx) = 247 + 3x + 1.
fD=a+b+c-4
10) = 4a + 2 +e
16) = 9a + re
Resolvendo o sistema, temos:
ar nem @-@ [ar bt ens
i mreeo [ati
Mimsendı= MIRE
4
at bro
2b +30 = 16
c= 10
Substituindo e = 10 na 2? equacdo, obtemos b = —
Substituindo e = 10 e b = —7 na 1? equaçäo, vem a
Entáo: abe = 1: (-7) 10 = ~70.
=
grande vend so de senda = ec
x-(0- 4) = 120
Entáo, temos: x? ~ 100x + 2 500 = 0 = x = 50.
1,1
1,1
xt y
wen
Considerando D e @, temos: X - 7x + 12=0 = x=3 où x = 4.
Como xy = 12, entäo, para x = 3, y= 4e para x = 4,y = 3.
$= 16,4,4, 9).
Er
w
xty=7@
7
2
a) x? — 3x 0 = 4 où x= -1
[Ary m tm yas 0
x4 xy = -8©
Substituindo D em (2), vem:
231.
232.
Resolvendo o sistema formado por D, O e O) temos:
do b = 3 na 3? equaçäo, vem € = 1.
Substituindo 6 = 3e € = / na 1? equagdo, vem a
Portanto, lx) = 247 + 3x + 1.
fD=a+b+c-4
10) = 4a + 2 +e
16) = 9a + re
Resolvendo o sistema, temos:
ar nem @-@ [ar bt ens
i mreeo [ati
Mimsendı= MIRE
4
at bro
2b +30 = 16
c= 10
Substituindo e = 10 na 2? equacdo, obtemos b = —
Substituindo e = 10 e b = —7 na 1? equaçäo, vem a
Entáo: abe = 1: (-7) 10 = ~70.
=
grande vend so de senda = ec
x-(0- 4) = 120
Entáo, temos: x? ~ 100x + 2 500 = 0 = x = 50.
1,1
1,1
xt y
wen
Considerando D e @, temos: X - 7x + 12=0 = x=3 où x = 4.
Como xy = 12, entäo, para x = 3, y= 4e para x = 4,y = 3.
$= 16,4,4, 9).
Er
w
xty=7@
7
2
a) x? — 3x 0 = 4 où x= -1
[Ary m tm yas 0
x4 xy = -8©
Substituindo D em (2), vem:
2x + x4 — 2x)
Entáo, para x = 4, y = 4e para x
S = 14, -4), (-1, 01.
236.a#0 > m-1#0 > mel
A>0 = Qm + 3% - 4mm — 1) > 0
Amé + 12m + 9 — Am? + 4m > 0
9
16m > -9 » m> 2
237. m+240 0 m#-2
a#0 =
330 + G- m) - Am + Dm - D >0 =
= -l6n +1730 = me
17
<ema
238.40 = m#0
A=0 = (m+ IP - 4mm + 1)
= 3m? 4 2m -
1
= m=-toum-+
3
Portanto: m = — ou m
239. a=1#0
4=0 = Gm+ ~ 4m + m4 2)=0 = 5m +8m-4
=0>
2
> m= 2 ov m= -2
Portnto:m = Lou m =
240. a #0 =m+1x0=me-1
A<0 = Qm +37 - 4{m+1Nm—1)<0 + I2m< -13 >
-2B
Portanto: m < 32,
241.a #0 = me0
A<0 © (m-I?-4mm-2<0 > 4m+1<0 > m<-+
Entáo, para x = 4, y = 4e para x
S = 14, -4), (-1, 01.
236.a#0 > m-1#0 > mel
A>0 = Qm + 3% - 4mm — 1) > 0
Amé + 12m + 9 — Am? + 4m > 0
9
16m > -9 » m> 2
237. m+240 0 m#-2
a#0 =
330 + G- m) - Am + Dm - D >0 =
= -l6n +1730 = me
17
<ema
238.40 = m#0
A=0 = (m+ IP - 4mm + 1)
= 3m? 4 2m -
1
= m=-toum-+
3
Portanto: m = — ou m
239. a=1#0
4=0 = Gm+ ~ 4m + m4 2)=0 = 5m +8m-4
=0>
2
> m= 2 ov m= -2
Portnto:m = Lou m =
240. a #0 =m+1x0=me-1
A<0 = Qm +37 - 4{m+1Nm—1)<0 + I2m< -13 >
-2B
Portanto: m < 32,
241.a #0 = me0
A<0 © (m-I?-4mm-2<0 > 4m+1<0 > m<-+
242. Emax’ + bx + ¢ = 0, temos x =
Em Sx? + Bbx + aß’c = 0, temos:
A= pb? 4 Lag? = PQ — 4ac)
= 6b + PET ae —b + Wor a
xm BOE ANE Te EE A
En 2a
ou seja, so as mesmas raizes, multiplicadas por aß.
243. Em ax? + bx + ¢ = 0, temos | ow
4) Sabendo que (x + x)? = x} + 2x2 + x3, entáo
dad i 4 nine [7] - 2-(5) =:
»
LA
a ST
Em Sx? + Bbx + aß’c = 0, temos:
A= pb? 4 Lag? = PQ — 4ac)
= 6b + PET ae —b + Wor a
xm BOE ANE Te EE A
En 2a
ou seja, so as mesmas raizes, multiplicadas por aß.
243. Em ax? + bx + ¢ = 0, temos | ow
4) Sabendo que (x + x)? = x} + 2x2 + x3, entáo
dad i 4 nine [7] - 2-(5) =:
»
LA
a ST
D Sted ue + = + nm
Hats ag = tants + (SP + à
245. 2x? - 2mx 4 3 = 0
x +m =m
5 vn
ng» | Zu x = E triada) ov ng = LE
x, = 3% El
Portanto: xy =m =» m= NE m= NT
MR -b
ne [Riu
Como as raizes sto inteiras e 47 é número primo, entáo x, = 7 ou x; = 47 (ou
vice-versa).
Portanto: Ix, — x,! = 11 — 471 46.
1 1 Aa
wt te
CE al
Sabendo que + Pers PES (e =
«fp ¿e Bam
a
Portanto, vem:
MBN t= E -m>0 = m<0
Hats ag = tants + (SP + à
245. 2x? - 2mx 4 3 = 0
x +m =m
5 vn
ng» | Zu x = E triada) ov ng = LE
x, = 3% El
Portanto: xy =m =» m= NE m= NT
MR -b
ne [Riu
Como as raizes sto inteiras e 47 é número primo, entáo x, = 7 ou x; = 47 (ou
vice-versa).
Portanto: Ix, — x,! = 11 — 471 46.
1 1 Aa
wt te
CE al
Sabendo que + Pers PES (e =
«fp ¿e Bam
a
Portanto, vem:
MBN t= E -m>0 = m<0
Fazendo x’ = 2x, em @ e O), vem:
tg [EA
k 2x = 2k
2x, + x"
2x, x"
Substituindo x, = 3 em (D, vem x; = 2.
Ox =k = 238k =k=
250. Seja a equaçäo ax? + bx + c = 0.
Já provamos no exereicio 243 que S = x, + x; =
uno, tons be 0 = e+ tee €
252. a)
hr] 0 ae Ota te
= ac — (b? - 2ac)x + ac = 0
tg [EA
k 2x = 2k
2x, + x"
2x, x"
Substituindo x, = 3 em (D, vem x; = 2.
Ox =k = 238k =k=
250. Seja a equaçäo ax? + bx + c = 0.
Já provamos no exereicio 243 que S = x, + x; =
uno, tons be 0 = e+ tee €
252. a)
hr] 0 ae Ota te
= ac — (b? - 2ac)x + ac = 0
4) Sabendo que (x; + x)? = x} + 3xfx, + u +
0 = a 4b — Jabex + 0
A+, Bro Din
x
253.
255. m = 2x - en = 2x + 1 sto impares, positivos e consecutivos.
msn = 15992 (2x - 12x + 1) = 159 = 4x? — 1 = 1599 = x = 20
Portanto, m = 39e n = 41 = m+n = 80.
258. à = 4 — 12m
-A _ 5 | 12-4m _5
> 12 E
Ww om
259. 3 = (2m — NP — 43m + 1) = 4m? + dm + 16
parida mémtésée ntm 20e m= -200m
260. f(x) = mx? + (m ~ x + (m + 2) tem máximo sem < 0.
&= (m - 1) — 4m(m + 2) = —3m* —10m + 1
1 a
ie a: + > 0 (rejeitado)
-2-m=-
Am ou
~1 (valor procurado)
sis
261.
(m ~ Di + (m + Dx - m tem mínimo se m > 1
A = (m + D + mm — 1) = Sm? - 2m +1
n
0 = a 4b — Jabex + 0
A+, Bro Din
x
253.
255. m = 2x - en = 2x + 1 sto impares, positivos e consecutivos.
msn = 15992 (2x - 12x + 1) = 159 = 4x? — 1 = 1599 = x = 20
Portanto, m = 39e n = 41 = m+n = 80.
258. à = 4 — 12m
-A _ 5 | 12-4m _5
> 12 E
Ww om
259. 3 = (2m — NP — 43m + 1) = 4m? + dm + 16
parida mémtésée ntm 20e m= -200m
260. f(x) = mx? + (m ~ x + (m + 2) tem máximo sem < 0.
&= (m - 1) — 4m(m + 2) = —3m* —10m + 1
1 a
ie a: + > 0 (rejeitado)
-2-m=-
Am ou
~1 (valor procurado)
sis
261.
(m ~ Di + (m + Dx - m tem mínimo se m > 1
A = (m + D + mm — 1) = Sm? - 2m +1
n
Sm? + 2m
Am — i
que nao tem solugdes reais.
Portanto, am € IR | f(x) tenha minimo igual a 1.
1 = 9m? -2m+3=0,
Assim, no intervalo (0, 6],
21
mear = er = 10
265. y = -2x + bx + c passa por (1, 0). Entäo:
0=-2+bre= b+e=2 ©
2321-20
wein
a
Substituindo @ em @, vem e = 10.
Portanto, y = 2% + 12x — 10e, entdo, y = yy =
266. Xx +72=8 = 2
Seja y = xz
-2x
| = y 8-20 = y 2e + 8x
b
ER
xs
Como a = -2 < 0, existe máximo, quando xy
= 2e, portanto, z
Am — i
que nao tem solugdes reais.
Portanto, am € IR | f(x) tenha minimo igual a 1.
1 = 9m? -2m+3=0,
Assim, no intervalo (0, 6],
21
mear = er = 10
265. y = -2x + bx + c passa por (1, 0). Entäo:
0=-2+bre= b+e=2 ©
2321-20
wein
a
Substituindo @ em @, vem e = 10.
Portanto, y = 2% + 12x — 10e, entdo, y = yy =
266. Xx +72=8 = 2
Seja y = xz
-2x
| = y 8-20 = y 2e + 8x
b
ER
xs
Como a = -2 < 0, existe máximo, quando xy
= 2e, portanto, z
267. Seja um retángulo de lados a e b.
Eniio: 2a + 20 = 20 = a+b=10 = b=10- a
A área y = ab & tal que y = a(10 - a) = —a’ + 104.
Como 0 coeficiente de a? é negativo, existe máximo, que é dado por
10
Er
Entäo, b = 10 - 5 = 5.
Ou seja, a área € máxima para o quadrado de lado 5 cm.
268. Sejax + y=6 = y
Sejaz = x + y?
6-x
= 22x84 G6- x + =
= z= dt - 1x + 36
Como a = 2 > 0, existe mínimo, dado por x = 72; = 3.
Entdo, y = 6 - 3 = 3.
269. Seja a área z = xy.
Como um dos vértices pertence á reta
y = —4x + 5, tomos:
z= x(-4 +5)
(como a < 0, exis
Entáo: x
Po
29
sates ¿os = y
5.5
Lados do retängulo: + e 7 El
270. Consideremos o triángulo com os cate-
tos sobre os eixos cartesianos.
A reta AB passa pelos pontos A(0, 6) €
B(8, 0). Determinemos a equagäo
y = ax + D dessa reta:
62-046
O=t+b 7?
=]
Portanto, y
»
Eniio: 2a + 20 = 20 = a+b=10 = b=10- a
A área y = ab & tal que y = a(10 - a) = —a’ + 104.
Como 0 coeficiente de a? é negativo, existe máximo, que é dado por
10
Er
Entäo, b = 10 - 5 = 5.
Ou seja, a área € máxima para o quadrado de lado 5 cm.
268. Sejax + y=6 = y
Sejaz = x + y?
6-x
= 22x84 G6- x + =
= z= dt - 1x + 36
Como a = 2 > 0, existe mínimo, dado por x = 72; = 3.
Entdo, y = 6 - 3 = 3.
269. Seja a área z = xy.
Como um dos vértices pertence á reta
y = —4x + 5, tomos:
z= x(-4 +5)
(como a < 0, exis
Entáo: x
Po
29
sates ¿os = y
5.5
Lados do retängulo: + e 7 El
270. Consideremos o triángulo com os cate-
tos sobre os eixos cartesianos.
A reta AB passa pelos pontos A(0, 6) €
B(8, 0). Determinemos a equagäo
y = ax + D dessa reta:
62-046
O=t+b 7?
=]
Portanto, y
»
271.
272.
Como o vértice C do retängulo pertence a essa reta, temos:
Árcaz = ry nn)
She + 6
Como a == < 0, entdo existe máximo.
4
4)
Portanto, o retángulo tem lados 3 e 4.
-n-4=y-
20)
Metade da área do retángulo: z
= 2= MIRA WIx.
xy
ley
3
Localizemos o triángulo equilätero con-
forme a figura ao lado. A altura, estan-
do sobre o eixo y, cortando o lado da
base no seu ponto médio.
Por Pitágoras, i? = 4 ~ 2 = h= NT.
Determinemos a reta que passa pelos
pontos (0, VF) e (2, 0):
(2035 .
xlO= Mtb > a= VT
> ray = VdK WT
> EEK) =
vw
a
Como a = —V3, negativo, existe máximo.
x ven x= a.
ar MET
Portanto, base = 2x = 2e altura y = v3.
eo
Determinemos a reta que passa pelos
pontos (3, 0) e (0, 4).
y ht
3 3
Metade da area: z = xy =
272.
Como o vértice C do retängulo pertence a essa reta, temos:
Árcaz = ry nn)
She + 6
Como a == < 0, entdo existe máximo.
4
4)
Portanto, o retángulo tem lados 3 e 4.
-n-4=y-
20)
Metade da área do retángulo: z
= 2= MIRA WIx.
xy
ley
3
Localizemos o triángulo equilätero con-
forme a figura ao lado. A altura, estan-
do sobre o eixo y, cortando o lado da
base no seu ponto médio.
Por Pitágoras, i? = 4 ~ 2 = h= NT.
Determinemos a reta que passa pelos
pontos (0, VF) e (2, 0):
(2035 .
xlO= Mtb > a= VT
> ray = VdK WT
> EEK) =
vw
a
Como a = —V3, negativo, existe máximo.
x ven x= a.
ar MET
Portanto, base = 2x = 2e altura y = v3.
eo
Determinemos a reta que passa pelos
pontos (3, 0) e (0, 4).
y ht
3 3
Metade da area: z = xy =
4 a
7 < 0, existe máximo.
-4 3
=x E > y-2
3
Portanto, base = 2x = 3 e altura y = 2,
273. Q(x, ~6) € parábola
Distancia horizontal
274.
Áreaz=xy = 2= + 200%
Como a = = < 0, existe máximo.
= 200 = y = 100.
100 1.
200 © 7
276. 10
=2=m=
277.
2 =m-10=05
"FT
= m=-‚Doum= VIO
14) = 16a + 4b +0 =
Resolvendo esse sistema, vem a = 2.
a
7 < 0, existe máximo.
-4 3
=x E > y-2
3
Portanto, base = 2x = 3 e altura y = 2,
273. Q(x, ~6) € parábola
Distancia horizontal
274.
Áreaz=xy = 2= + 200%
Como a = = < 0, existe máximo.
= 200 = y = 100.
100 1.
200 © 7
276. 10
=2=m=
277.
2 =m-10=05
"FT
= m=-‚Doum= VIO
14) = 16a + 4b +0 =
Resolvendo esse sistema, vem a = 2.
a
286. f(x) = —x + 2x
Vas (Uy De zeros: x = 0 ou x = 2
‘Como g(x) deve ser simétrico a fix) em
rolagdo à reta y = 3, entdo temos:
19 E
ponto (0, 0) —— ponto (0, 6)
vértice (1, 1) vértice (1, 5)
Ponto (2, 0) —— ponto (2, 6)
Fazendo g(x) = ax? + bx + ¢, deve-
mos ter:
#0 == 6
al) =a+rb+o=5
20) = 4a + 2b+e=6
+4
e, resolvendo 0 sistema, vem
a=1b=-20=6
287.
Notemos inicialmente que x, e x, sño abscissas dos pontos de intersesdo das cu
vas g(x) = x + x e A(x) = —x -x + 4; portanto, säo as raizes da equagäo
bx es ox x 4, ou seja, x; = -2ex, = 1
Temos:
san tx = a=hb=alec
ND = --x4+4 = d=-le=-lef=4
+
296.
M4 43>0 0 1<x<3
2
OK =
eRI1<x <2}
Vas (Uy De zeros: x = 0 ou x = 2
‘Como g(x) deve ser simétrico a fix) em
rolagdo à reta y = 3, entdo temos:
19 E
ponto (0, 0) —— ponto (0, 6)
vértice (1, 1) vértice (1, 5)
Ponto (2, 0) —— ponto (2, 6)
Fazendo g(x) = ax? + bx + ¢, deve-
mos ter:
#0 == 6
al) =a+rb+o=5
20) = 4a + 2b+e=6
+4
e, resolvendo 0 sistema, vem
a=1b=-20=6
287.
Notemos inicialmente que x, e x, sño abscissas dos pontos de intersesdo das cu
vas g(x) = x + x e A(x) = —x -x + 4; portanto, säo as raizes da equagäo
bx es ox x 4, ou seja, x; = -2ex, = 1
Temos:
san tx = a=hb=alec
ND = --x4+4 = d=-le=-lef=4
+
296.
M4 43>0 0 1<x<3
2
OK =
eRI1<x <2}
201. 20 = 0er ed
A mn x
2<0 = -1<x<2
— ni
sun p _% H H
e Apt ®
(AUB)NC x
“+O 2 3
(AUB)NC = fxeRI10 <x <2)
298. pla) <0 + a Sa+6<0 = 2<a<3
Calculando g(a) para a = 2e a = 3, vem: q(2) = 20 e aß) = 30.
Entáo, para2 < a < 3, entäo 20 <g(a) < 30, pois nesse intervalo g(x) é crescente.
319% -2%-x+2>0 wa meo q
2-2) -&-2>0 AAA — À
& - Ber - )>0 ‘ 2
+ ici da
(x DE = 1) rr rs x
Ken) —
S=txelRI-1<x<l0ux> 2}.
DW-+x-3<0 = +
2% — 3) + (x — 3) < 0 x 3 —— —x
& = DR + 1) < 0 ue
“ios
MA x
- +
EE
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Calculando g(a) para a = 2e a = 3, vem: q(2) = 20 e aß) = 30.
Entáo, para2 < a < 3, entäo 20 <g(a) < 30, pois nesse intervalo g(x) é crescente.
319% -2%-x+2>0 wa meo q
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Ken) —
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EE
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303.
- 20) - 9 Á
(2 = 21x + 206 ~ x) $ x
O maior número inteiro que satisfaz a inequaçäo é 19.
310. 1)
1-2
f-1)
fxeR Ix > 31
BS. bDe+i<æ-3e-n o [WIRD
m-3<-% ©
20 ?-1>0 @w-345<0
#—4>0 2045-3850
ho ont: HE
2 2 3
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(2 = 21x + 206 ~ x) $ x
O maior número inteiro que satisfaz a inequaçäo é 19.
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DA — 56 + 4 < BE LIA es
48 = 5x + 4 < 3 — 6x + 6
BG +6<K +4
Or +x-2<0 Dar +10<0
Qi+x>0 ®-æ+m-3<0
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BG +6<K +4
Or +x-2<0 Dar +10<0
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O)
fie a eo ©
©-x
x+1>0 @w-m+3<0
324.92 > Atm AM
eed e+ ets +1
2 A+ D = @ + Oe + m) Sg
G2 + 402 + 1) Ge + 402 + 1)
Como x + 4 > 0, vx EIR ex? + 1 > 0, vx € IR, entáo:
mx = 3x ~ 4m > 0, Vx e dai -m > 0 Me A < 0 (I)
P<0 = m> sm
A<0 = 9- 16m < 0 > <
Entäo, m <
+
325. Y + 2x + (p — 10) >0,VXEIR 9 A<0 = 4 4-1 <0 =
>» 4-4p<0 = p>1l
3
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3
Como x > 0, vx €IR* ex! + 1 > 0, vx EIR, entdo devemos ter:
a = x ~ a <0, VX ER, e dai —2a < 0 () e A <0 (II)
5 dd v2 ve
seso tobe aca
prenne
an +— a
wna u — a
on 7 E
4
vz
Portanto, a > 27
333. Para ter uma raiz positiva e outra negativa, 0 (zero) deve estar entre elas, ou
seja, xy < 0 < xy, isto &, devemos ter: (m — 2) +10) < De dai
(m-2m+2)<0 5 -2<m<2
334. Como asraizes devem er sinais contrários, nido devemoster:x, < 0 < x, ou sea,
1-10) <0 = 2.k-9<0 = k<S (D
Como Ixy! < ll, emo-$ = 5% < 0
‘ome Ixy! < Iylyentdo-S = MCE <0 =
<0=k>0 (D
De (1) e (ID vem 0 < k < 5; entäo, o menor valor inteiro € k = 1.
0<x < x O
:
nen<2@
O 0 < x < x, ovorre em très condigdes:
Om: 0 > 0 = mm + 9 >0 + m<-Som>0
@a>0 > Km + 2m + 1) - mm + 9 >0 = mes
S595 24D ge Mtl m2
®z>0 m >0 woe <-1 ou m>0
388.0<x <x<2 >
”
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wna u — a
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Portanto, a > 27
333. Para ter uma raiz positiva e outra negativa, 0 (zero) deve estar entre elas, ou
seja, xy < 0 < xy, isto &, devemos ter: (m — 2) +10) < De dai
(m-2m+2)<0 5 -2<m<2
334. Como asraizes devem er sinais contrários, nido devemoster:x, < 0 < x, ou sea,
1-10) <0 = 2.k-9<0 = k<S (D
Como Ixy! < ll, emo-$ = 5% < 0
‘ome Ixy! < Iylyentdo-S = MCE <0 =
<0=k>0 (D
De (1) e (ID vem 0 < k < 5; entäo, o menor valor inteiro € k = 1.
0<x < x O
:
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O 0 < x < x, ovorre em très condigdes:
Om: 0 > 0 = mm + 9 >0 + m<-Som>0
@a>0 > Km + 2m + 1) - mm + 9 >0 = mes
S595 24D ge Mtl m2
®z>0 m >0 woe <-1 ou m>0
388.0<x <x<2 >
”
Eno: Dm < -50u0<m<
x, < x < 2 ocorre em trés condigdes:
2 és cond
Om-10)>0 = mm+1)>0=m<-10um>0
DA > 0 (idem item®): m <+
s Am + D
OS <2- WAY cre
Resposta; m < -5.
x, < x < 2 ocorre em trés condigdes:
2 és cond
Om-10)>0 = mm+1)>0=m<-10um>0
DA > 0 (idem item®): m <+
s Am + D
OS <2- WAY cre
Resposta; m < -5.
339. mx? - Am + Ix + m+ 5 = 0
x <0<x 0
n<0<u<2e |e
n<m<2@
Ox<o<xw
a-10)<0 » mim +5)<0~ -S<m<0
Ox <xw<2
Da:10)>0 = mlm - dm + 1) + m + 5] > 0 = mm + D >0 >
= m<-1oum>0
DA >0 + Am + 17 mim 5) >0 > m < +
a ost ao AA
DIS = <2 ie <2
+1
<0 = m<0oum>i
Entäo: -$ < m < I.
344. (m + Ix? + Am + Dx + m —
Dm+1#0 + m1
DA 20 = dm + IP 4m + Im 1)>0 = m>-1
O (raizes negativas)
»
x <0<x 0
n<0<u<2e |e
n<m<2@
Ox<o<xw
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Ox <xw<2
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DA >0 + Am + 17 mim 5) >0 > m < +
a ost ao AA
DIS = <2 ie <2
+1
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Entäo: -$ < m < I.
344. (m + Ix? + Am + Dx + m —
Dm+1#0 + m1
DA 20 = dm + IP 4m + Im 1)>0 = m>-1
O (raizes negativas)
»
346.
350.
351.
Entáo: m > 1
(m — 2x2 + Gm — 1)x + (m + 1) = 0 (sinais conträrios)
Dm-2#0 m#2
met
DP<0 > 4
Portanto: ~1 < m < 2.
<0 + -1<m<2
atk tk-5=0
Y ase decos = PO = AGL co bes
2) raiz negativa em valor absoluto menor que a raiz positiva =
2850 E>o=t>o
De 1) e 2), vem: 0 < k < Se, como k < Z, k = 1 &0 menor valor.
A= 1-3, -2, -1,0,1,2,3)
2) m € À 6 n € À, men coeficientes de x + 2mx + m = 0; considerando A?
como o conjunto de pares ordenados que representam o par (m, n), teremos
49 possiveis solugdes.
) As equagdes que tém raizes reais e distinta so aquelas que verficam a con-
disao A > 0, ou seja, m? > ». Essa condicio é satisfita pelos pares (m, 2)
seguintes:
(3,-3.3, 29,003 3,0, (3, D3, D3, 9
(£2, 3, (2, = 2), (2, = Ds (-2,0), (-2, 1), (-2,2), (-2, 9
Cho
0,0
2-3. 2-2), — D, (2, 0), 2 D, 2,2, 0,3
6, -3, 6, -3, 6, —D, B, 0), 6, D,G,2, 6, 3)
num total de 30 pares.
350.
351.
Entáo: m > 1
(m — 2x2 + Gm — 1)x + (m + 1) = 0 (sinais conträrios)
Dm-2#0 m#2
met
DP<0 > 4
Portanto: ~1 < m < 2.
<0 + -1<m<2
atk tk-5=0
Y ase decos = PO = AGL co bes
2) raiz negativa em valor absoluto menor que a raiz positiva =
2850 E>o=t>o
De 1) e 2), vem: 0 < k < Se, como k < Z, k = 1 &0 menor valor.
A= 1-3, -2, -1,0,1,2,3)
2) m € À 6 n € À, men coeficientes de x + 2mx + m = 0; considerando A?
como o conjunto de pares ordenados que representam o par (m, n), teremos
49 possiveis solugdes.
) As equagdes que tém raizes reais e distinta so aquelas que verficam a con-
disao A > 0, ou seja, m? > ». Essa condicio é satisfita pelos pares (m, 2)
seguintes:
(3,-3.3, 29,003 3,0, (3, D3, D3, 9
(£2, 3, (2, = 2), (2, = Ds (-2,0), (-2, 1), (-2,2), (-2, 9
Cho
0,0
2-3. 2-2), — D, (2, 0), 2 D, 2,2, 0,3
6, -3, 6, -3, 6, —D, B, 0), 6, D,G,2, 6, 3)
num total de 30 pares.
©) As equagdes que tém raizes reais, distintas e positivas verificam também as
condigées P = n > Oe S = —2m > 0, ou seja, n > Oe m < 0. Essas con-
digdes sto satisfeitas por 6 dos pares do item b.
Capítulo VIII — Funcáo modular
368. 2) fix) = x
aint 43
%+3,0x>00 O)
fe = | ou
Beh + 38e à < 0 D
‘h) f(x) = Ix? - 2 1x1 - 31
Consideremos inicialmente a fungáo (sem o módulo):
Bom 350x200
ou
20 = x — 2x1
PER Ie x <0®
Como a funçäo fx) = 1401,
entäo na regido entre —3 € 3
fem sua imagem simétrica em
relaçäo ao eixo x.
a
condigées P = n > Oe S = —2m > 0, ou seja, n > Oe m < 0. Essas con-
digdes sto satisfeitas por 6 dos pares do item b.
Capítulo VIII — Funcáo modular
368. 2) fix) = x
aint 43
%+3,0x>00 O)
fe = | ou
Beh + 38e à < 0 D
‘h) f(x) = Ix? - 2 1x1 - 31
Consideremos inicialmente a fungáo (sem o módulo):
Bom 350x200
ou
20 = x — 2x1
PER Ie x <0®
Como a funçäo fx) = 1401,
entäo na regido entre —3 € 3
fem sua imagem simétrica em
relaçäo ao eixo x.
a
Hi _ [Ise x>0
372, 10) = Bn [EEO
373. 10) = Ho"
=
; —
ae ee Feng
Aste e > 1 j
=D ex
{ =hsex<i
x= Lsex>1
375.) -11=| ou A o
=x + hsen<i “x
meet sl x-1
A +++ x
fo i
ao} nate dol
11.
Lu o 1
Ise x<0
10 = | -2e + 1,50 0<x<1
Ise x31
m
a
372, 10) = Bn [EEO
373. 10) = Ho"
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375.) -11=| ou A o
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Ise x31
m
a
x-Lsex>1
382. a) lx - 11 | ou
=x + sexe
x-Lexpi
| ou
se x<1
DAN = g(x) = k tem soluçäo única quando o gráfico de f intercepta a reta
y = k em um único ponto e isso só ocorre para k > I.
384. d) 12x2 + 15x — 31 2-3
34-3305 x<-300x>1
MH = 3
0 (rejeitada)
-13
x = > (tejetada)
ast + Sx -3 =x 4 2x-3 2
| où
Dx? + Sk IS Ad
ou
x= -6
-13, -6).
€) 13x - 21 =3x-2
150-152
3x 2, vx x ER
lox = 21 =3x-2 >
x-2=--K+2=x
"
ole
2
s=fremix> +
D = 3x1 =
4
420 xa
x -4
4-4 = 1d
II se | gy
4 ke KH 4, VX XEIR
s=fremix> +
382. a) lx - 11 | ou
=x + sexe
x-Lexpi
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se x<1
DAN = g(x) = k tem soluçäo única quando o gráfico de f intercepta a reta
y = k em um único ponto e isso só ocorre para k > I.
384. d) 12x2 + 15x — 31 2-3
34-3305 x<-300x>1
MH = 3
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x = > (tejetada)
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| où
Dx? + Sk IS Ad
ou
x= -6
-13, -6).
€) 13x - 21 =3x-2
150-152
3x 2, vx x ER
lox = 21 =3x-2 >
x-2=--K+2=x
"
ole
2
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D = 3x1 =
4
420 xa
x -4
4-4 = 1d
II se | gy
4 ke KH 4, VX XEIR
s=fremix> +
x+ Lx>-1
387. a) lx +=], ow
x= 1,x<-1
x20
=xx<0
Ix + 1 ~ x} A x
o
-x<-
ix Ul-ixt=|2x+1,-1<ex<0
1x30
Portanto, a equaçäo dada fica:
x + 10 2x = 2 = x = — 1 (rejeitado porque xdeveser menor que ~ 1)
2x4 T= et 1 ve xE IR I <x <0
I=x41>x=0
S= [xeIRI -1<x <0},
MT
Mm
x
Mm
:
ox<o
CI PE
. 0x>1
A uns = em 1x<0 00 x3 1h
387. a) lx +=], ow
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x20
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Ix + 1 ~ x} A x
o
-x<-
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1x30
Portanto, a equaçäo dada fica:
x + 10 2x = 2 = x = — 1 (rejeitado porque xdeveser menor que ~ 1)
2x4 T= et 1 ve xE IR I <x <0
I=x41>x=0
S= [xeIRI -1<x <0},
MT
Mm
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CI PE
. 0x>1
A uns = em 1x<0 00 x3 1h
Fazendo a reunigo de (De (D, vem:
Vege’
s= from! —bex< Sexe
A A
= (xl <1 ou Ixl>3) = C1<x<1 où x < -3 où x > 3)
S= {xeRIx< -3 où -1<x<1 où x>31
390.|2-4] <5 à 502-1405 15 e302
x
1 ,
besroctorco)>
<i> k<-t ont)
Todos os mimeros inteiros positivos menores que 30 satisfazem a condigño.
392. Ix-21<4 = -2<x<6e
IK-1<2 = 5<x<9
à a $
À ; Pe
8 + dm x
H 7s i)
Ans i band A
-2 5 6 9 *
© intervalo 15, 6] tem comprimento igual a 1.
Ix-31>1 = @<2 ou x >4
393.1<Ix-31<4 e | e
K-31<4 = -1<x<7
Vege’
s= from! —bex< Sexe
A A
= (xl <1 ou Ixl>3) = C1<x<1 où x < -3 où x > 3)
S= {xeRIx< -3 où -1<x<1 où x>31
390.|2-4] <5 à 502-1405 15 e302
x
1 ,
besroctorco)>
<i> k<-t ont)
Todos os mimeros inteiros positivos menores que 30 satisfazem a condigño.
392. Ix-21<4 = -2<x<6e
IK-1<2 = 5<x<9
à a $
À ; Pe
8 + dm x
H 7s i)
Ans i band A
-2 5 6 9 *
© intervalo 15, 6] tem comprimento igual a 1.
Ix-31>1 = @<2 ou x >4
393.1<Ix-31<4 e | e
K-31<4 = -1<x<7
S=(xeRI-1<x<2ou4<x<7}
395. Ix-21<1 > 1<x<3 ©
MAINS 4-N<X<4+N > VIIN<< ENO
Considerando que @)deve estar contido em (D) o maior valor possvel para NE 3.
-4> -3 = 43 4>00)
400. I= 41< 3x o xao |" e
Laso e -4<00)
Ox<- 4 ou x > m —
@ -1<x<s ean
i |
one RER ES
S= ERI 1 <x<4}
404, 1) 3[Ix + 11 IK 11] < 2x8 — 4x
+ Lx = 1x>1
TS ow TS
hr xthxct
went x+Lo el
b+ MAA RÁ x
forth oe pl
i x
2 jm 42
Ik td) = y= 1 — x
7 1
6x<-1
Endo: 3{Ix + 11 lx 11) = | 6, -1<x<1
6x21
19) se x < =, ~6 < 2t dx 2 ax + 6 > 0 VA, KER
S = (KER Ix < = INR= [xeRIx< -1)
395. Ix-21<1 > 1<x<3 ©
MAINS 4-N<X<4+N > VIIN<< ENO
Considerando que @)deve estar contido em (D) o maior valor possvel para NE 3.
-4> -3 = 43 4>00)
400. I= 41< 3x o xao |" e
Laso e -4<00)
Ox<- 4 ou x > m —
@ -1<x<s ean
i |
one RER ES
S= ERI 1 <x<4}
404, 1) 3[Ix + 11 IK 11] < 2x8 — 4x
+ Lx = 1x>1
TS ow TS
hr xthxct
went x+Lo el
b+ MAA RÁ x
forth oe pl
i x
2 jm 42
Ik td) = y= 1 — x
7 1
6x<-1
Endo: 3{Ix + 11 lx 11) = | 6, -1<x<1
6x21
19) se x < =, ~6 < 2t dx 2 ax + 6 > 0 VA, KER
S = (KER Ix < = INR= [xeRIx< -1)
De “1 Cx < 16x < 2x ~ 4x = RO = LEÜQUXZS
S,= RERI 1 exci NixeRIx<o où x > 5} =
= [kER I -1<x <0}
3) sex > 1,6 < 2x8 - 4x = 370 = x< =] ux D3
Sy = fxER1x > 1) A {xeIRI x < 1 ou x > 3] =
ixeR Ix > 3)
S = SUSUS, = Ix€IRIx <0 où x > 3]
Capítulo IX — Outras funcóes elementares
413.
A = ne
Ara do ago = + Dh
As tases Bb soos segmentos contids nas as x = de x
+, care ono Oren cura 2, À lu soos intros nn ao Os
2x=3e
entre essas retas.
EE
AE =;
5
+ Je A=A Hs AHA
Suse
Teta 7
a
S,= RERI 1 exci NixeRIx<o où x > 5} =
= [kER I -1<x <0}
3) sex > 1,6 < 2x8 - 4x = 370 = x< =] ux D3
Sy = fxER1x > 1) A {xeIRI x < 1 ou x > 3] =
ixeR Ix > 3)
S = SUSUS, = Ix€IRIx <0 où x > 3]
Capítulo IX — Outras funcóes elementares
413.
A = ne
Ara do ago = + Dh
As tases Bb soos segmentos contids nas as x = de x
+, care ono Oren cura 2, À lu soos intros nn ao Os
2x=3e
entre essas retas.
EE
AE =;
5
+ Je A=A Hs AHA
Suse
Teta 7
a
415.
S= (0, DCL DI.
417.0 <xy <1 =
20h
1
# + < 2éocirculo
de centro (0, 0)
eraio V2.
A intersegdo que soluciona o sistema €:
S= (0, DCL DI.
417.0 <xy <1 =
20h
1
# + < 2éocirculo
de centro (0, 0)
eraio V2.
A intersegdo que soluciona o sistema €:
Capitulo X — Fungäo composta — Funcáo inversa
425. a) (O9) = EI) = (x = 3 4 2= OF — 6x + 9) 4 2 = x — 6x + 11
D GONG) = sd) = + D — 3 = 8-1
ION) = GO) = & + D + 2 = OH HAE + 4) + 2 2 xt + Ae à 6
DEM) = gig) = &- D -3=x-
Rt
=x) = KEN + (=) -
B-Boy oe
426. 1)
fx — 1) = & — WP 3 - P+D 1
e304 3x- E
= 0-68 + Ik 7
427. (Cope) = fc)
(oD) = sf)
(og) = Gof = 6x +3a+2= 64+ 4+a- Bet 2=44a sal
429. (von)
fig) = (2 + ax + D + 262 + ax à D) 4 3 =
= xt + Jax? + (al + 2b + 2)x + (2ab + 2a)x + D? + 2b + 3
MCD = GE + 2x + D + a? + 2 + 3) + D =
4 ax? + (10 + a)x + (12 + 2a)x + Ja + b + 9
a2=40
Prb+2=10+a
(oe) = ON | oxy + 20 = 12 + 2a DA
P+br3=da+b+90
A solugäo desse sistema $ a = 2e b = 3e, entäo: f = 8.
Eon
492. ope) - IH
Dog = [remix
one - A+)
Dígof) = (x€ IR 1x2)
433. (108) = MEW) = 307 — 1) + 2=38 1
[Mog)o (10) = [hog] = 32x + IP — 1 = 12 + 12542
434. (201) = 20)
In ot 0 DIE) =
UR (D +220 x 42
ON) = A -x+2D+32 2 KET
”
425. a) (O9) = EI) = (x = 3 4 2= OF — 6x + 9) 4 2 = x — 6x + 11
D GONG) = sd) = + D — 3 = 8-1
ION) = GO) = & + D + 2 = OH HAE + 4) + 2 2 xt + Ae à 6
DEM) = gig) = &- D -3=x-
Rt
=x) = KEN + (=) -
B-Boy oe
426. 1)
fx — 1) = & — WP 3 - P+D 1
e304 3x- E
= 0-68 + Ik 7
427. (Cope) = fc)
(oD) = sf)
(og) = Gof = 6x +3a+2= 64+ 4+a- Bet 2=44a sal
429. (von)
fig) = (2 + ax + D + 262 + ax à D) 4 3 =
= xt + Jax? + (al + 2b + 2)x + (2ab + 2a)x + D? + 2b + 3
MCD = GE + 2x + D + a? + 2 + 3) + D =
4 ax? + (10 + a)x + (12 + 2a)x + Ja + b + 9
a2=40
Prb+2=10+a
(oe) = ON | oxy + 20 = 12 + 2a DA
P+br3=da+b+90
A solugäo desse sistema $ a = 2e b = 3e, entäo: f = 8.
Eon
492. ope) - IH
Dog = [remix
one - A+)
Dígof) = (x€ IR 1x2)
433. (108) = MEW) = 307 — 1) + 2=38 1
[Mog)o (10) = [hog] = 32x + IP — 1 = 12 + 12542
434. (201) = 20)
In ot 0 DIE) =
UR (D +220 x 42
ON) = A -x+2D+32 2 KET
”
435. (Fo 8x0) = Na) = VI = Fsen* 20
(Comte) = 0 @ 1 ~ seen 20 = 0» sen 29 = 140, endo, temo:
Zt tke = 0 Bake
: see oe Ir
Portanto: (fo g) se anula para $ = #5 +kx,0 7 + krouß at kx.
436. (og) = Max + D) + 3 = 2ax + 243
(go fx) = a(2x + 3) + 2ax + 3a+b
fos) = Go à D+ 3=3a4 b= b= 38
Portanto: C = ((a, b) € IR? Ib = 3a - 3).
1 1
=
440. (Fos) =
(ofre =
448. g(x) = 2x +3 = x=
fats) = ESS fete =
ES
TE TE
CONTES x=
450. (0 (x) = Ei) = (2x + bY = 40 + dbx + OF
= dba -12 = b=-300=9
451.
(Comte) = 0 @ 1 ~ seen 20 = 0» sen 29 = 140, endo, temo:
Zt tke = 0 Bake
: see oe Ir
Portanto: (fo g) se anula para $ = #5 +kx,0 7 + krouß at kx.
436. (og) = Max + D) + 3 = 2ax + 243
(go fx) = a(2x + 3) + 2ax + 3a+b
fos) = Go à D+ 3=3a4 b= b= 38
Portanto: C = ((a, b) € IR? Ib = 3a - 3).
1 1
=
440. (Fos) =
(ofre =
448. g(x) = 2x +3 = x=
fats) = ESS fete =
ES
TE TE
CONTES x=
450. (0 (x) = Ei) = (2x + bY = 40 + dbx + OF
= dba -12 = b=-300=9
451.
452. 80) = 2x +3
Trocando x por f(x), vem: g(fla)) = 2.0) + 3.
Mas sg = Et
Entio: 2) + 3 = PS = 1) = zit.
t+2
Entáo:
nr ES)
453. 800 = -x
Trocando x por f(x) vem: (1%) = LUE — No)
Mas g(flx)) = à + [Bx + 42
Entäo: [EP — f(x) = x + 13x + 42
IP — 169 — G2 + 13x + 42) = 0
A= 1+ 4x 4 52x + 168 = 4 4 52K + 169 = (x + 19)
+,
an | 2 © aa
da MEET
A
Com coeficientes positivos: f(x) = x + 7, cujo termo independente de x é 7.
454. 2) (0) = 208 +k) +k = 4x + Mm 3 Ke Hd
Entao, fix) = 2x — I.
fig) = A-x +) - 1 = -2 42-1) |
af) = -Qx- tts -we+t+2 )
Entèo, 80) = —x + 3.
si
Trocando x por f(x), vem: g(fla)) = 2.0) + 3.
Mas sg = Et
Entio: 2) + 3 = PS = 1) = zit.
t+2
Entáo:
nr ES)
453. 800 = -x
Trocando x por f(x) vem: (1%) = LUE — No)
Mas g(flx)) = à + [Bx + 42
Entäo: [EP — f(x) = x + 13x + 42
IP — 169 — G2 + 13x + 42) = 0
A= 1+ 4x 4 52x + 168 = 4 4 52K + 169 = (x + 19)
+,
an | 2 © aa
da MEET
A
Com coeficientes positivos: f(x) = x + 7, cujo termo independente de x é 7.
454. 2) (0) = 208 +k) +k = 4x + Mm 3 Ke Hd
Entao, fix) = 2x — I.
fig) = A-x +) - 1 = -2 42-1) |
af) = -Qx- tts -we+t+2 )
Entèo, 80) = —x + 3.
si
456. Fazendo g(x) = y, le) = JU):
yy 22s 8922 0 w4+3222 x95
fy) =$ 45 +3 = HER) = [GP ~ 480) + 3 =
(2x + 3) ~ 4(2x + 3) + 3 = 4x7 + 4x
My<2 = 89 <2 e MAIZ = KG
f(y) = 2y - 3 = feo) = 4x + 6 — 3 = 4x + 3
a + du se x> SE
Portanto: (Fo gx) =
ms x<
remos, agora, a lei (g 0.)
262 dx 4 3) 4 3 = 247 Bx + 9,5e x > 2
BG) = 20x — 3) + 3 = dx — 3,50 x < 2
to: gone (ER?
a {ae 3x30 [st hx>2
88.100 [ee axa A [12
a) (fox) = (gx) =
d+ D-Ax+1>00x>20
erde lea Dx + 1<00x>20)
* Va - 2) 41 -x)-3,1-r200ex<2@)
AD 421-8 Oe x <2@
Simplificando essas expressdes, temos:
O fie) = 4x + 1 se x > 2
€ impossivel
NE) = 1 AR se -1<X< I
Hg) = x + x se x € 1 où 1 < x < 2
4x4 1x >2
I<x<l
x4 xx < Lou 1<x<2
Entáo: (Fog)
9D) = zii) =
(ax 3) [AD E A 1320200
ni “(1 - Gx - 34x -3<2ex200 8
ea yo (MO RED+LV- H+ 2 >Zex<0
a o
Simplificando essas expressdes, temos:
2
yy 22s 8922 0 w4+3222 x95
fy) =$ 45 +3 = HER) = [GP ~ 480) + 3 =
(2x + 3) ~ 4(2x + 3) + 3 = 4x7 + 4x
My<2 = 89 <2 e MAIZ = KG
f(y) = 2y - 3 = feo) = 4x + 6 — 3 = 4x + 3
a + du se x> SE
Portanto: (Fo gx) =
ms x<
remos, agora, a lei (g 0.)
262 dx 4 3) 4 3 = 247 Bx + 9,5e x > 2
BG) = 20x — 3) + 3 = dx — 3,50 x < 2
to: gone (ER?
a {ae 3x30 [st hx>2
88.100 [ee axa A [12
a) (fox) = (gx) =
d+ D-Ax+1>00x>20
erde lea Dx + 1<00x>20)
* Va - 2) 41 -x)-3,1-r200ex<2@)
AD 421-8 Oe x <2@
Simplificando essas expressdes, temos:
O fie) = 4x + 1 se x > 2
€ impossivel
NE) = 1 AR se -1<X< I
Hg) = x + x se x € 1 où 1 < x < 2
4x4 1x >2
I<x<l
x4 xx < Lou 1<x<2
Entáo: (Fog)
9D) = zii) =
(ax 3) [AD E A 1320200
ni “(1 - Gx - 34x -3<2ex200 8
ea yo (MO RED+LV- H+ 2 >Zex<0
a o
Simplificando essas expressdes, temos:
2
D ets) = 4x2 se x > +
© sf = U + 2 = 8 se OK +
DM ee
€ impossivel
Portanto:
axxo À
ae
won) =
DRE
459. op E
4x+3x<1
Como si) = 20-3 = x = SALÉE 6 para x > 1,800 >
3 3
(222 A
At) = fat te =1
Simplificando, encontramos:
[OP + 3+ 26) — 1, 800 > -1
MOD) = À 2 6) + 9, 260 < —1
V+ 31,12 -1
Pontanto: 10) = [oo ey
463. condiçäo: f(x) = x? — 4x + 6 > b, vx € IR (ou seja, b é o valor mínimo de /)
N
O Ze
464. fx) = 2 - 3x + 4, injetora.
Seja fla) = 20° - 3a + 4.
Entáo: 2x? — 3x 4 4 = 2a? - 3a + 4.
AR) A RO + xta=
Mas, como fé injetora, fix) = fla) = x =a.
3
: 3 E
Entio: 2a = + + a=.
x+@-9
EE)
475. Notemos que fix) =
© sf = U + 2 = 8 se OK +
DM ee
€ impossivel
Portanto:
axxo À
ae
won) =
DRE
459. op E
4x+3x<1
Como si) = 20-3 = x = SALÉE 6 para x > 1,800 >
3 3
(222 A
At) = fat te =1
Simplificando, encontramos:
[OP + 3+ 26) — 1, 800 > -1
MOD) = À 2 6) + 9, 260 < —1
V+ 31,12 -1
Pontanto: 10) = [oo ey
463. condiçäo: f(x) = x? — 4x + 6 > b, vx € IR (ou seja, b é o valor mínimo de /)
N
O Ze
464. fx) = 2 - 3x + 4, injetora.
Seja fla) = 20° - 3a + 4.
Entáo: 2x? — 3x 4 4 = 2a? - 3a + 4.
AR) A RO + xta=
Mas, como fé injetora, fix) = fla) = x =a.
3
: 3 E
Entio: 2a = + + a=.
x+@-9
EE)
475. Notemos que fix) =
476.
471.
480.
481.
483.
s
1. Para todo y ER, sey = ¿E
yQs - x) = 2k 5 © yk JA
Fazendo g(x) = yx? + (2 ~ys)x = 5, vem:
2 280) = (9)
2-25) = 16) i =
= existe um Fial que g@) = 060 <¥<s =
Rs
26-9
resultat
= ag(0) e ag(s) tém sinais opostos =
= existe Fal que y =
entäo f € sobrejetora.
2. Dados x; ex; tais que 0 < x, < $€ 0 < x; < 8, se ix) = JU, temos:
Ds _ 30-5
RER) RC
> Su x) + Su + O x) + 2 — AD)
RER
entäo € injeora,
= a NDR — sus xD =
Seja 1,0 conjunto imagem da funçao f IN — IN.
Entao, , C IN ()
Pelo enunciado m € IN e an, n € IN tal que An) > m.
Entdo, m € IN € m < fin), ou seja:
A, = [me IN Im < fín) C Ice, portanto, m € I,
Como m € IN, INCI. ©
De © e O), conclui-se que I, = IN, ou seja, que f: IN > IN € uma fungáo
sobrejetora.
100 = y, 146) = x e Ils) = x
OL) = FLACO) = I
(0 60 = 15100) = 1469) = y = 10)
Ao escolher a imagem de a temos 4 possibilidades.
Escolhida a imagem de a, ao escolher a imagem de b temos 3 possibilidades.
Entäo, o total é 4-3 = 12 possibilidades.
La, 9), @, 9), (6, 9) f= ta, 9), @, @ €, 9)
La, d), (b, 0), €, 0) 5 = {Ga 0), (0, d), (0, 9)
f, = (6,0), (0,9), (6,0) fe = ((a,0), (0, 0), DI
a) Sejam x; e x, em IR tais que fx) = JU).
Temos:
471.
480.
481.
483.
s
1. Para todo y ER, sey = ¿E
yQs - x) = 2k 5 © yk JA
Fazendo g(x) = yx? + (2 ~ys)x = 5, vem:
2 280) = (9)
2-25) = 16) i =
= existe um Fial que g@) = 060 <¥<s =
Rs
26-9
resultat
= ag(0) e ag(s) tém sinais opostos =
= existe Fal que y =
entäo f € sobrejetora.
2. Dados x; ex; tais que 0 < x, < $€ 0 < x; < 8, se ix) = JU, temos:
Ds _ 30-5
RER) RC
> Su x) + Su + O x) + 2 — AD)
RER
entäo € injeora,
= a NDR — sus xD =
Seja 1,0 conjunto imagem da funçao f IN — IN.
Entao, , C IN ()
Pelo enunciado m € IN e an, n € IN tal que An) > m.
Entdo, m € IN € m < fin), ou seja:
A, = [me IN Im < fín) C Ice, portanto, m € I,
Como m € IN, INCI. ©
De © e O), conclui-se que I, = IN, ou seja, que f: IN > IN € uma fungáo
sobrejetora.
100 = y, 146) = x e Ils) = x
OL) = FLACO) = I
(0 60 = 15100) = 1469) = y = 10)
Ao escolher a imagem de a temos 4 possibilidades.
Escolhida a imagem de a, ao escolher a imagem de b temos 3 possibilidades.
Entäo, o total é 4-3 = 12 possibilidades.
La, 9), @, 9), (6, 9) f= ta, 9), @, @ €, 9)
La, d), (b, 0), €, 0) 5 = {Ga 0), (0, d), (0, 9)
f, = (6,0), (0,9), (6,0) fe = ((a,0), (0, 0), DI
a) Sejam x; e x, em IR tais que fx) = JU).
Temos:
105) = 10) = ED) = RD) > (ON) = (6000) =
entdo f€injetora.
b) Dado um y em IR, existe um x em IR tal que y = (20/4) = 800) = a’)
em que x’ = 6), Entdo, g &sobrejetora.
484. 0) fix) = 2x = 5
19) fu) = flu) > 2x) = 5 = 2% 5 = x = x, €injetora
1, = IR => f Esobrejetora
Portanto, [€ bijetora.
ay = RS
Permutando as variáveis x, y, vem:
=Y-5> FRS. Hig) S
pese y lerne
bat = 244
m+i x+i
19) 600) = 86) = TE oe”
= Gi + Din = 4) = & + Du = 4) =
= xx =x% = gE injetora
Verifica-se que para todo
VER tl,
3x, x EIR ~ (4) | 8)
Portanto, g é sobrejetora.
Entáo, g € bijetora,
y
ss
entdo f€injetora.
b) Dado um y em IR, existe um x em IR tal que y = (20/4) = 800) = a’)
em que x’ = 6), Entdo, g &sobrejetora.
484. 0) fix) = 2x = 5
19) fu) = flu) > 2x) = 5 = 2% 5 = x = x, €injetora
1, = IR => f Esobrejetora
Portanto, [€ bijetora.
ay = RS
Permutando as variáveis x, y, vem:
=Y-5> FRS. Hig) S
pese y lerne
bat = 244
m+i x+i
19) 600) = 86) = TE oe”
= Gi + Din = 4) = & + Du = 4) =
= xx =x% = gE injetora
Verifica-se que para todo
VER tl,
3x, x EIR ~ (4) | 8)
Portanto, g é sobrejetora.
Entáo, g € bijetora,
y
ss
xed
2) y
ia
Permutando as vardves, vem
yet wy ype ye bts
xe LE = -Orye1 = ye LS
‘
= ew = tte
Ih) = x
19) ha) = ha) = x} = x» x1=x% => Einjetora
I, = IR => hé sobrejetora.
Portanto, h € bijetora,
wy =x
Permutando as variäveis, vem:
x=y > y=% = holy =i
487. Determinemos A) = ax + bi
darb=4 |
dat b=0 3
eb=2= f=
Permutando as variáveis em y x + 2, vem:
Er
+32 00)
494. f(x) = 34 2-!
De=fPliAIR = (IR A = Aél (sim)
b) Verifiquemos se existem valores para x quando y < 4:
Bang Rl = x-1<0 Rx 1.
‘Como existem valores x para y < 4, entä a resposta é nao.
e) Determinemos a inversa de f:
eat
Permutando as variáves: x = 34 9-1 = x 3201 =
= DP = y log 26 — 3) = 80) = lon, 2 — 3)
Eos oH) = tgs 22 à] = 165. my
d) Determinemos A(x):
QD = 3+ 2-1 = Ahoy) = 3 + 2-1,
Mas AH) = 3 + 2x.
Entdo: 3 + 260 - !
Eno: i(5) = 0. cómo
32x = 2) = 4x = h(x) = log, 4x
2) y
ia
Permutando as vardves, vem
yet wy ype ye bts
xe LE = -Orye1 = ye LS
‘
= ew = tte
Ih) = x
19) ha) = ha) = x} = x» x1=x% => Einjetora
I, = IR => hé sobrejetora.
Portanto, h € bijetora,
wy =x
Permutando as variäveis, vem:
x=y > y=% = holy =i
487. Determinemos A) = ax + bi
darb=4 |
dat b=0 3
eb=2= f=
Permutando as variáveis em y x + 2, vem:
Er
+32 00)
494. f(x) = 34 2-!
De=fPliAIR = (IR A = Aél (sim)
b) Verifiquemos se existem valores para x quando y < 4:
Bang Rl = x-1<0 Rx 1.
‘Como existem valores x para y < 4, entä a resposta é nao.
e) Determinemos a inversa de f:
eat
Permutando as variáves: x = 34 9-1 = x 3201 =
= DP = y log 26 — 3) = 80) = lon, 2 — 3)
Eos oH) = tgs 22 à] = 165. my
d) Determinemos A(x):
QD = 3+ 2-1 = Ahoy) = 3 + 2-1,
Mas AH) = 3 + 2x.
Entdo: 3 + 260 - !
Eno: i(5) = 0. cómo
32x = 2) = 4x = h(x) = log, 4x
DN + S143. SH ML EIR =
= RM-3.242<0 = 0<x<1 e 1,1 (sim)
497. y = logs @ = 1)
Permutando as variáveis, temos:
zeug) = eye yest geet
Log) = fig") = 341 = 1
Entáo: (fog-'0) = 3+ 1-1 = FP -
498. ER — (2) + IR — (a)
qt
EE
Aplicando a regra prática, vem:
2+y a2
Fie = a ty LA Y BER
Dominio: x + 1% 0 = x# -1 = a= I,
447 sex>2
504. 1) f(x) = [2x1 se -1<x<2
-x-4sex<-i
19) x > 2, entio y = x ~ 4x + 75 logo, y > 3.
25) 1 < x < 2, ento y = 2x ~ I; logo, -3 < y < 3.
30) x < —1, entdo y = ~x? — 2x ~ # logo, y < ~3.
Aplicando a regra prática, vem:
1)y>2ex>3 > x=y9-4 47 = ody t-N=0%
> y=24 8-3
2)l<y<ze3ex<iox= yor ye IH
a
My<-iexg-Iox- Py AO =
sex>3
se -3<x<3
sex<-3
506. f(x) =2x + Ix + 11 ~ 120 - ll
x41 sex>-1 2-4 se xD?
re xo tex x “x44 sex <2
El
= RM-3.242<0 = 0<x<1 e 1,1 (sim)
497. y = logs @ = 1)
Permutando as variáveis, temos:
zeug) = eye yest geet
Log) = fig") = 341 = 1
Entáo: (fog-'0) = 3+ 1-1 = FP -
498. ER — (2) + IR — (a)
qt
EE
Aplicando a regra prática, vem:
2+y a2
Fie = a ty LA Y BER
Dominio: x + 1% 0 = x# -1 = a= I,
447 sex>2
504. 1) f(x) = [2x1 se -1<x<2
-x-4sex<-i
19) x > 2, entio y = x ~ 4x + 75 logo, y > 3.
25) 1 < x < 2, ento y = 2x ~ I; logo, -3 < y < 3.
30) x < —1, entdo y = ~x? — 2x ~ # logo, y < ~3.
Aplicando a regra prática, vem:
1)y>2ex>3 > x=y9-4 47 = ody t-N=0%
> y=24 8-3
2)l<y<ze3ex<iox= yor ye IH
a
My<-iexg-Iox- Py AO =
sex>3
se -3<x<3
sex<-3
506. f(x) =2x + Ix + 11 ~ 120 - ll
x41 sex>-1 2-4 se xD?
re xo tex x “x44 sex <2
El
3x-S sex<-1
16) = | 5x - 3 se -15x<2
x+5sx2>2
Entao, temos:
1x < —1,y = 3x - 5; logo, y < —8.
2-1 € x < 2,7 = Sx = 1090, -8 € y < 7.
39x > 2,9 =x + 5 logo, y > 7.
Aplicando a regra prática, vem:
1)x< -8Bey<-=1,x=3y-5 = y ir
Mb ence -1<ycaxesy-3 y Ftd
Mx>TEY>AXEYHS > y=x
x45
3
Portanto, f(x) = | x + 3
3
sex<-8
se -8<x<7
x-5 sex>7
Assim: 17142) = 42 — 5 = 37.
510. d)(goN:A= IR;
E00) = e) =
Aplicando a regra pré
Ry +9 = ay - My+ 0-9 =0= y
402 = 3x) 4 9 = — 12 + 9
ica para obter a inversa, vem:
Como wot IR, = A = [xem 1x > +], ento y =
go: A+C
Gon = MITTE = EES = y
Aplicando a regra prática, vem:
PE Say td y TS.
Como (gof)!:C +A = [x€ IR | x > 1), entäo y = VP 3
16) = | 5x - 3 se -15x<2
x+5sx2>2
Entao, temos:
1x < —1,y = 3x - 5; logo, y < —8.
2-1 € x < 2,7 = Sx = 1090, -8 € y < 7.
39x > 2,9 =x + 5 logo, y > 7.
Aplicando a regra prática, vem:
1)x< -8Bey<-=1,x=3y-5 = y ir
Mb ence -1<ycaxesy-3 y Ftd
Mx>TEY>AXEYHS > y=x
x45
3
Portanto, f(x) = | x + 3
3
sex<-8
se -8<x<7
x-5 sex>7
Assim: 17142) = 42 — 5 = 37.
510. d)(goN:A= IR;
E00) = e) =
Aplicando a regra pré
Ry +9 = ay - My+ 0-9 =0= y
402 = 3x) 4 9 = — 12 + 9
ica para obter a inversa, vem:
Como wot IR, = A = [xem 1x > +], ento y =
go: A+C
Gon = MITTE = EES = y
Aplicando a regra prática, vem:
PE Say td y TS.
Como (gof)!:C +A = [x€ IR | x > 1), entäo y = VP 3
A IR EUR + R hiR, > B
f(x) = 2x - 1 g(x) = x h(x) = 4x — 1
tho@on}:A +B
Determinemos ho (of):
12) @o = (x - DP = 4x? — 4x 4 1
22) {ho(@o IQ) = 44x? ~ 4x + 1) 1 = 1
Entáo: (ho (go DJ) = y = 16x? ~ 16x + 3.
Aplicando a regra prática para determinar a inversa, temos:
= 16x +3
16)? — 16y +3 = IE y+ @~x=04%y
Como (oem 00:84 = [remix € 4] emo» -
Apéndice I — Equaçôes irracionais
516. NT X] = x, entáo devemos ter x > 0.
x=2
ou
=
2exo8er—-x-2-08
1 (rejeitado)
a
43-94 pe
marras
E)
517.
W238... = 2 + 03 + 003 4 = 25 (0)
q pring; La
porque 0,3 + 0,03... ¿uma P.G. infinita de primeiro termo 75 razáo 75
To
> $
VR =2-x > x=4-4x 4x2 = xi 5x + 4 = 0, que tem duas
raizes reais e positivas. (V)
dial la +11 <0 < lal < la + 11 é falso, porque, por exemplo, se
a= ~2,vem: 1-21 < 1-24 11 = 2<1.
s
f(x) = 2x - 1 g(x) = x h(x) = 4x — 1
tho@on}:A +B
Determinemos ho (of):
12) @o = (x - DP = 4x? — 4x 4 1
22) {ho(@o IQ) = 44x? ~ 4x + 1) 1 = 1
Entáo: (ho (go DJ) = y = 16x? ~ 16x + 3.
Aplicando a regra prática para determinar a inversa, temos:
= 16x +3
16)? — 16y +3 = IE y+ @~x=04%y
Como (oem 00:84 = [remix € 4] emo» -
Apéndice I — Equaçôes irracionais
516. NT X] = x, entáo devemos ter x > 0.
x=2
ou
=
2exo8er—-x-2-08
1 (rejeitado)
a
43-94 pe
marras
E)
517.
W238... = 2 + 03 + 003 4 = 25 (0)
q pring; La
porque 0,3 + 0,03... ¿uma P.G. infinita de primeiro termo 75 razáo 75
To
> $
VR =2-x > x=4-4x 4x2 = xi 5x + 4 = 0, que tem duas
raizes reais e positivas. (V)
dial la +11 <0 < lal < la + 11 é falso, porque, por exemplo, se
a= ~2,vem: 1-21 < 1-24 11 = 2<1.
s
= arb+re+d- (Y
Dix = Na+ DE = 2 < 0
Como Ix ~ I1 > 0, sempre, entäo (x + De - 7 < 0 = —1 < x < 2.
Portanto, f) é verdadeiro.
be Pr, VEA
Va) CES b- va |
= (b + Va)? + a) = b + bia? + ab + a? e, entäo, g) € falso.
9
523. Devemos, inicialmente, verificar se 0 ou / sto solugdes da equaçäo:
0-0
xele Mev Wy
Resolvendo, vem: xA = VRE
wT axe N Se = kat =
x=0
= 8-405 | ow
x=4
S=(0,1,4).
526. ) EFT ~ 1 = AX FE =
=x+1-2Vx 7141 IS =
= WetT-2=vKF8 =
2464 D) - Weed +4
> Wx FT = 3x = 64K + 1)
Dix = Na+ DE = 2 < 0
Como Ix ~ I1 > 0, sempre, entäo (x + De - 7 < 0 = —1 < x < 2.
Portanto, f) é verdadeiro.
be Pr, VEA
Va) CES b- va |
= (b + Va)? + a) = b + bia? + ab + a? e, entäo, g) € falso.
9
523. Devemos, inicialmente, verificar se 0 ou / sto solugdes da equaçäo:
0-0
xele Mev Wy
Resolvendo, vem: xA = VRE
wT axe N Se = kat =
x=0
= 8-405 | ow
x=4
S=(0,1,4).
526. ) EFT ~ 1 = AX FE =
=x+1-2Vx 7141 IS =
= WetT-2=vKF8 =
2464 D) - Weed +4
> Wx FT = 3x = 64K + 1)
> 9x — Gtx - 64 = 0 = | OH
Fazendo a verificaçäo, temos:
para x =8:VEF 11
it
[
para x = Zn
i [2
en
S = 18.
VE Vez = 3-
530. a) x + VP +76 =
Vi 16
= WEFT + x +16 = 40
> WE FTG = 424 >
= (8 +16) = xt ARE 4 576 © GE = 576 = I = x= +3
Verificando:
40 40
ax = 3:34 VOTE = 23452 q
para +57 peg 7 tse om
ara x + WR 8 = 345-2 @
p nn + ©
Entáo: S = (3).
bVKWKF2)4+x4+2=4 >
> ET 4d ram x = À
Verificando:
mr EN
Portanto: 5 = {2
DAT OX = (4 — VEYA + VE) = NT IR = 16 x >
= 4x + 20x = 256 - 32x 4k =
x=4
= 3x + 52x 256-0 = | où
= (ccjetado)
a
Fazendo a verificaçäo, temos:
para x =8:VEF 11
it
[
para x = Zn
i [2
en
S = 18.
VE Vez = 3-
530. a) x + VP +76 =
Vi 16
= WEFT + x +16 = 40
> WE FTG = 424 >
= (8 +16) = xt ARE 4 576 © GE = 576 = I = x= +3
Verificando:
40 40
ax = 3:34 VOTE = 23452 q
para +57 peg 7 tse om
ara x + WR 8 = 345-2 @
p nn + ©
Entáo: S = (3).
bVKWKF2)4+x4+2=4 >
> ET 4d ram x = À
Verificando:
mr EN
Portanto: 5 = {2
DAT OX = (4 — VEYA + VE) = NT IR = 16 x >
= 4x + 20x = 256 - 32x 4k =
x=4
= 3x + 52x 256-0 = | où
= (ccjetado)
a
Verificando para x = 4
MER _ 4- V4 | 6
KERN 6
Portanto:
AR D
AAA + Ve
VTT >
> VTT NEO ROD TR =
x = 0 (rejeitado)
2x42= 6+ 1) = x2=x > fou
x=1
Verificando para x
+ NEO» 120
NERO
S= (i.
xt PER
a er
x30
Devemos considerar x 4 YI 30 > x > NT
x- 50
RA A Le
(ic + Ve + Y3
HD Ward
+ VX
x + VENT),
NT
y Ga NI) + > VID EN EN
vr
A, OTT EN, O ee
ra GA A ave
A VV VE
VF va
Va VIP + VO VIP = ix =
(x + V3) + ec VD + VIR ENDE VW = 27x =
NEN = -W + 9x =
AGE = 3) = 4x6 — 36x4 + BD =
....
a
MER _ 4- V4 | 6
KERN 6
Portanto:
AR D
AAA + Ve
VTT >
> VTT NEO ROD TR =
x = 0 (rejeitado)
2x42= 6+ 1) = x2=x > fou
x=1
Verificando para x
+ NEO» 120
NERO
S= (i.
xt PER
a er
x30
Devemos considerar x 4 YI 30 > x > NT
x- 50
RA A Le
(ic + Ve + Y3
HD Ward
+ VX
x + VENT),
NT
y Ga NI) + > VID EN EN
vr
A, OTT EN, O ee
ra GA A ave
A VV VE
VF va
Va VIP + VO VIP = ix =
(x + V3) + ec VD + VIR ENDE VW = 27x =
NEN = -W + 9x =
AGE = 3) = 4x6 — 36x4 + BD =
....
a
x= —2 (rejeitado)
= 72108 = #24 Jou
x=2
A verificaçäo para x = 2 segue os mesmos passos utilizados na resoluäo e
chega-se a um resultado verdadeiro.
Portanto: S = {2}
533. b) Inicialmente, para existéncia das raizes, devemos ter x > 0, x + Ve > 0e
x = Vx > 0, ou seja, x > 1.
ATAR
Mn
= TN TE
©) Notemos inicialmente que a condiçäo para existéncia das raizes é x > 0.
Temos:
Lex Vege VET
Tex VR VA VK
ER Vox EVD + x VE) = EE VRE)
wm EEE - VE WEES N 4 WES WEEE
= VEER + Ve + EER + VK + + WH + VD A =
= Wk + 2x + WK + 2) = 0 =
= 72108 = #24 Jou
x=2
A verificaçäo para x = 2 segue os mesmos passos utilizados na resoluäo e
chega-se a um resultado verdadeiro.
Portanto: S = {2}
533. b) Inicialmente, para existéncia das raizes, devemos ter x > 0, x + Ve > 0e
x = Vx > 0, ou seja, x > 1.
ATAR
Mn
= TN TE
©) Notemos inicialmente que a condiçäo para existéncia das raizes é x > 0.
Temos:
Lex Vege VET
Tex VR VA VK
ER Vox EVD + x VE) = EE VRE)
wm EEE - VE WEES N 4 WES WEEE
= VEER + Ve + EER + VK + + WH + VD A =
= Wk + 2x + WK + 2) = 0 =
x=0
5 Vex +3202 |
= reja
x= = (rejeitada)
Verificacao:
L+0-W _ +0 w
140490 V2-0
10)
534. Vax + VES Var à
Da-x>0=x<a
b=x>0=x<b
atb-x>05xc8t?
2
Entáo, sea < b, temos x < a < be, sea > b, temos x < b < a.
@ a-x+b-x+W@= O =a+b-2x =
x=
= Na-96-9=0 > | ow
x
Portanto, de De @, vem:
sea <b,S = {a} e,sea>0,5= ib}.
535. 2x + Wah FR =
O @ + 2 > 0, quaisquer que sejam x e a reais.
@ 2a + x + 2G? + x) = Sa! = Axa TXT
> AGE + À) = Sat — 12ER 4 det = Tal
Bat — 2x?
Qui =
3
para x = 3, vem: 42. = 4a = HB = da (M
EN
Portanto: 5 = [À]
5 Vex +3202 |
= reja
x= = (rejeitada)
Verificacao:
L+0-W _ +0 w
140490 V2-0
10)
534. Vax + VES Var à
Da-x>0=x<a
b=x>0=x<b
atb-x>05xc8t?
2
Entáo, sea < b, temos x < a < be, sea > b, temos x < b < a.
@ a-x+b-x+W@= O =a+b-2x =
x=
= Na-96-9=0 > | ow
x
Portanto, de De @, vem:
sea <b,S = {a} e,sea>0,5= ib}.
535. 2x + Wah FR =
O @ + 2 > 0, quaisquer que sejam x e a reais.
@ 2a + x + 2G? + x) = Sa! = Axa TXT
> AGE + À) = Sat — 12ER 4 det = Tal
Bat — 2x?
Qui =
3
para x = 3, vem: 42. = 4a = HB = da (M
EN
Portanto: 5 = [À]
536. Vx Fa = Ve + Vb
Ox+a>0=x>-a
x20
b>0
@xr+a-x+ Nit4b > Woe-a-b
-b>0 = a >b > 0 (ha soluçäo)
-b<0 = a < b (nao há soluçäo)
Elevando ambos os membros da equaçäo ao quadrado, vem:
Como Ex > 0, eno | à
tox = @ — bt = x= DE se & 0 (rio ha soluçao)
Portanto:
a<boub=0 5 S=9
fa = bi
a>b>0=S ea |
a=b=0 4 Vravi = S=R,
EEES
© Condides inicias
Narr VAR #0» Var RE VAUX >
Ss abxza-x = Re x20
a+x>0e x>-a
a-x>0 = x<a
b>0
> -a<x<a
Wa tx + va faxes + VO) EN
© Gar aan)
„ Ware REY ga
a Es
> do a NO = an 2avdx + bx? =
4
(b + Dx 2avbx = 0 =
x = 0 (rejeitada)
sl + Dx - 2avb] = 0 = [o
2avb
Tre
Assim, como -a < x < a, vem:
avd 26
IE UN
6
Ox+a>0=x>-a
x20
b>0
@xr+a-x+ Nit4b > Woe-a-b
-b>0 = a >b > 0 (ha soluçäo)
-b<0 = a < b (nao há soluçäo)
Elevando ambos os membros da equaçäo ao quadrado, vem:
Como Ex > 0, eno | à
tox = @ — bt = x= DE se & 0 (rio ha soluçao)
Portanto:
a<boub=0 5 S=9
fa = bi
a>b>0=S ea |
a=b=0 4 Vravi = S=R,
EEES
© Condides inicias
Narr VAR #0» Var RE VAUX >
Ss abxza-x = Re x20
a+x>0e x>-a
a-x>0 = x<a
b>0
> -a<x<a
Wa tx + va faxes + VO) EN
© Gar aan)
„ Ware REY ga
a Es
> do a NO = an 2avdx + bx? =
4
(b + Dx 2avbx = 0 =
x = 0 (rejeitada)
sl + Dx - 2avb] = 0 = [o
2avb
Tre
Assim, como -a < x < a, vem:
avd 26
IE UN
6
rc
Aa YO
O Condigdes iniciais
azo
b>0
x-b>0=x>b
x-a>b=x>a
a
4>0 = a>b
Entáo:x>a>b>0.
© Vab + via — 5) = Vab + Vale a) >
= b(x— b) = a(x — a) = (b- ax =F
Sea = b, entäo x > a > 0.
Portanto: sea = b,S = [x€IR, 1x > a).
sea #b,S a + bj.
VITRA NTE Lb
Var Var a
© Condigoes inicinis
a+x>0 = x>-a
a-x30 =x<a
AFx- Va x #0 = Va
bso boa
a
Ya + yx D
b)
= x=a#b(ea sb)
9
> -a<x<a
Nas atx#a-x > x#0
atxta-x+2 CE b
ae uy a”
= atl Lb gt >
2a%bx + af
RE = @ + IR — Dax = 0 =
x = 0 (rejeitada)
= xia? + Dix - 28%] = 0 = |
2ab
x
Aa YO
O Condigdes iniciais
azo
b>0
x-b>0=x>b
x-a>b=x>a
a
4>0 = a>b
Entáo:x>a>b>0.
© Vab + via — 5) = Vab + Vale a) >
= b(x— b) = a(x — a) = (b- ax =F
Sea = b, entäo x > a > 0.
Portanto: sea = b,S = [x€IR, 1x > a).
sea #b,S a + bj.
VITRA NTE Lb
Var Var a
© Condigoes inicinis
a+x>0 = x>-a
a-x30 =x<a
AFx- Va x #0 = Va
bso boa
a
Ya + yx D
b)
= x=a#b(ea sb)
9
> -a<x<a
Nas atx#a-x > x#0
atxta-x+2 CE b
ae uy a”
= atl Lb gt >
2a%bx + af
RE = @ + IR — Dax = 0 =
x = 0 (rejeitada)
= xia? + Dix - 28%] = 0 = |
2ab
x
539. Vx — 1
Mas 2x2 5-3 22
{-a+b<0,
> ie = D) < dab < (a = la vedas,
amo Y
a
Portanto, para b > a, S = [229]
e+e
538. Dx-a>0 » x>a
Pirro >
+»
mas x? > 0, Vx, x € IR Moab 02 a > bre lal > bl
E, se lal > 1bl, entao b + 2 - a > 0e
a HN ER TE > Osex> 0.
O 2 WEE RIA = at
= xvb? + x? — a? = x(x — 2a) = sex # 0, VD? + xa = x — 2a =
A
= b+x- x
Como x > 0e lal > 101, emáo EE > 0 =
= Sa’ -b>0,va be IR e, entäo, a > 0.
us
Poranto:a > 0 e lai > tol s [SE]
x
Da-x>0=x<a
x-1>0=x>1
Ento, se a < 1, näo hä solugáo
sea=1x=
wa>Li<x<a
@ x-120- ms 2
-Qa+ix+t2+1=0-
or SENET 2)
7
oa
Mas 2x2 5-3 22
{-a+b<0,
> ie = D) < dab < (a = la vedas,
amo Y
a
Portanto, para b > a, S = [229]
e+e
538. Dx-a>0 » x>a
Pirro >
+»
mas x? > 0, Vx, x € IR Moab 02 a > bre lal > bl
E, se lal > 1bl, entao b + 2 - a > 0e
a HN ER TE > Osex> 0.
O 2 WEE RIA = at
= xvb? + x? — a? = x(x — 2a) = sex # 0, VD? + xa = x — 2a =
A
= b+x- x
Como x > 0e lal > 101, emáo EE > 0 =
= Sa’ -b>0,va be IR e, entäo, a > 0.
us
Poranto:a > 0 e lai > tol s [SE]
x
Da-x>0=x<a
x-1>0=x>1
Ento, se a < 1, näo hä solugáo
sea=1x=
wa>Li<x<a
@ x-120- ms 2
-Qa+ix+t2+1=0-
or SENET 2)
7
oa
s0.0 9,
Ven a=2a-3 as
Ja sabemos, em (D, que, se a = 7,x = 1,0 que 6 confirmado pelo gráfico e,
pela subatituigao en), verficamos que ésatisfeito parax = 440) — Var =3
Esta escolha se verifica para outros valores de a. Entdo, säo esses os pontos
de menor abscissa,
36
NR + VF = 5 (devemosterx > 0 € y > 0)
O @ xtye 3
no: (7°38 + IK 4 36- 0 = oh »
yo > y= 9 ouy=4)
Verificando: V4 + V5 »2+3=5eVI4VI=5 = 342
S = 16,9), 0, 41.
D [SEAS NE u > Da > De
x+y=20 = >
=x>y
VE VF = Wig = x - Way ty = by > WS ay - 20 =
> Viv = 10 2xy = xy = 100 — doxy + dey? m
= Ay? — diy + 100 = 0
Fazendo xy = z, temos:
42 412 + 100-0 >
ou
z=4 => xy=4
Ven a=2a-3 as
Ja sabemos, em (D, que, se a = 7,x = 1,0 que 6 confirmado pelo gráfico e,
pela subatituigao en), verficamos que ésatisfeito parax = 440) — Var =3
Esta escolha se verifica para outros valores de a. Entdo, säo esses os pontos
de menor abscissa,
36
NR + VF = 5 (devemosterx > 0 € y > 0)
O @ xtye 3
no: (7°38 + IK 4 36- 0 = oh »
yo > y= 9 ouy=4)
Verificando: V4 + V5 »2+3=5eVI4VI=5 = 342
S = 16,9), 0, 41.
D [SEAS NE u > Da > De
x+y=20 = >
=x>y
VE VF = Wig = x - Way ty = by > WS ay - 20 =
> Viv = 10 2xy = xy = 100 — doxy + dey? m
= Ay? — diy + 100 = 0
Fazendo xy = z, temos:
42 412 + 100-0 >
ou
z=4 => xy=4
para ay
a x-
= 25 (falso)
peraxy = 4 = VI NY 20 Weir
= XN ty = 16 = 20 222 = 16 Werdadeio)
Entäo, temos:
xty=0 a . u
I» O
Portanto: $ = [(10 + 4V6, 10 ~ 4v6)}.
= BE ww ast + y) = My
Sabemos que (x + y? =x + y + Ixy = xP + P= Oe + V-Day.
Entdo: 4(100 — 2xy) = Ixy = ay = 16.
Portanto, temos:
MN x=8 > y
PA = e x4 6-0 = Jou
we x $
1 x 1 Ñ
a O ta
Verificando:
5
EIER Ze
1 5445-5
O lara Fe ]+2=3 0
©
13 ©
© Devemos ter xy > 0 = x>0ey>00ux<0ey<0
@ De ©, vem: xy = 49 — 14(x + y) + (x + YP >
2 xy = 49 — 14 + y) + (04 y) + Day >
= xy = 49 — 1(x + y) + (0 + y)
De @, vem: x2 + y? = 133 - xy.
a x-
= 25 (falso)
peraxy = 4 = VI NY 20 Weir
= XN ty = 16 = 20 222 = 16 Werdadeio)
Entäo, temos:
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I» O
Portanto: $ = [(10 + 4V6, 10 ~ 4v6)}.
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Sabemos que (x + y? =x + y + Ixy = xP + P= Oe + V-Day.
Entdo: 4(100 — 2xy) = Ixy = ay = 16.
Portanto, temos:
MN x=8 > y
PA = e x4 6-0 = Jou
we x $
1 x 1 Ñ
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Verificando:
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EIER Ze
1 5445-5
O lara Fe ]+2=3 0
©
13 ©
© Devemos ter xy > 0 = x>0ey>00ux<0ey<0
@ De ©, vem: xy = 49 — 14(x + y) + (x + YP >
2 xy = 49 — 14 + y) + (04 y) + Day >
= xy = 49 — 1(x + y) + (0 + y)
De @, vem: x2 + y? = 133 - xy.
Ez
nr
Porno, D
="
De De © temos:
SALE .
[EGO 2 e Er EEE 9 où x = 4.
Entáo, para x = 9, y = 4e para x =4, y = 9.
Verificando: (4, 9) = 4 + 9 ~ V36
9,4) = 9+4- 136
S = (4,9, 0,4).
Te B-6=7()
Te 3-6=-7M
sat, (NEAT + Yx3 = 19
UN Lav = 1 4 nF
OX-w-1>500 > ayF1 © dy << y +1
x+6y>0 2 x> by
O (ATI ER
Wi Gy 1 - Wes y
TT + WEE = 57
= ASV = By ZT + VER + by = -5
= DIVX F6 = 52 = x+6=16 ©
Ben
E =
IET WRT = 38 |
DORE EE EE NET ES.
> BV By 1 = 39 =
xy=10@
41
temos y = À
Para x = 41emos y = Ze para x = -
Verificando: -Iy —1 € x < 3ÿ +1
Para (4, 2), vem: -7 < 4 < 7
7
nr
Porno, D
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De De © temos:
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Entáo, para x = 9, y = 4e para x =4, y = 9.
Verificando: (4, 9) = 4 + 9 ~ V36
9,4) = 9+4- 136
S = (4,9, 0,4).
Te B-6=7()
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sat, (NEAT + Yx3 = 19
UN Lav = 1 4 nF
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x+6y>0 2 x> by
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TT + WEE = 57
= ASV = By ZT + VER + by = -5
= DIVX F6 = 52 = x+6=16 ©
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Para (4, 2), vem: -7 < 4 < 7
7
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Vx E yA V2 vx E 2y = 4 + 42
-Vivx Fy + Ve + Dy = 2N2 — 2
Oxty>0=x>-y
x+2y>0> x>-2
a NI VK HY + Wx + dy = 4v2 +2
Viva y + Ve +2 = 202 - 2
= x+2=8 ©
>|
= MINT
44 VD
Vay + VE =o WEF
levy veer PA RES
»x+y=20
De De O, vem:
x= ts
Como x > —y, vem $ = [(-4, 6)}.
547. UFO = 3 + VD
x+9=27+ 270-9 + AUX TP + x - 9
Fazendo Vx = 9 = y, temos:
w+ M+ 9-02 P+W+1=0 = y=
RIG = NE TB 1:5
OURS) = (325) © x 2 eS à à
548. MX TT + T2) = NIN =
ax 143% ADV DE 2 + x
NEE Va De =F =
- JG 2) = -& — DO - FF =
pa 1K ~ 2) + & — DR Y
DDR 1 RO =
(DA 22-3) =0 >
{al
Entäo:
80.
=x-3>
vu.
E
= a2.
Lou x=2 ou x = +
n
Vx E yA V2 vx E 2y = 4 + 42
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Oxty>0=x>-y
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Viva y + Ve +2 = 202 - 2
= x+2=8 ©
>|
= MINT
44 VD
Vay + VE =o WEF
levy veer PA RES
»x+y=20
De De O, vem:
x= ts
Como x > —y, vem $ = [(-4, 6)}.
547. UFO = 3 + VD
x+9=27+ 270-9 + AUX TP + x - 9
Fazendo Vx = 9 = y, temos:
w+ M+ 9-02 P+W+1=0 = y=
RIG = NE TB 1:5
OURS) = (325) © x 2 eS à à
548. MX TT + T2) = NIN =
ax 143% ADV DE 2 + x
NEE Va De =F =
- JG 2) = -& — DO - FF =
pa 1K ~ 2) + & — DR Y
DDR 1 RO =
(DA 22-3) =0 >
{al
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vu.
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Lou x=2 ou x = +
n
HE
aT ww NES
= Wt INRA T = ax 4 = Wet NR 1) = 168 - 2x + 16 =
> 8 - Be + 32K -20=0
‘Tendo notado que / é raiz da equaçäo, vamos dividir o 1° membro por x — I:
Y 13 + 3220 | x-1
x = 12x + 20
Entáo: (x — Di — 12x + 20) = 0 = x = 10 où x = 2 ou x
Portanto: S = (1, 2, 10}.
x+y =72
ws W=6
Fazendo A = UE, B=U € A+ B=6,em
(A + BY = A? + B+ SABLA + B), vem:
216 =x + y +18 Vay = 216 = 72 + 18 Vay >
= Wye © xy= 502.
x+y=72
xy = 512
S = (08, 64), (64, 8)).
552.
CES
= #-7x+512=0 + | ou
x=8 > y= 64
Entao:
Apéndice II — Inequaçôes irracionais
554. ) IR = 2<2 > OK -xK-2<4 =
-220 (x<-loux>2
-6<0 -2<1<3
n
aT ww NES
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> 8 - Be + 32K -20=0
‘Tendo notado que / é raiz da equaçäo, vamos dividir o 1° membro por x — I:
Y 13 + 3220 | x-1
x = 12x + 20
Entáo: (x — Di — 12x + 20) = 0 = x = 10 où x = 2 ou x
Portanto: S = (1, 2, 10}.
x+y =72
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Fazendo A = UE, B=U € A+ B=6,em
(A + BY = A? + B+ SABLA + B), vem:
216 =x + y +18 Vay = 216 = 72 + 18 Vay >
= Wye © xy= 502.
x+y=72
xy = 512
S = (08, 64), (64, 8)).
552.
CES
= #-7x+512=0 + | ou
x=8 > y= 64
Entao:
Apéndice II — Inequaçôes irracionais
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n
4 - x
2 1 2 3
ERI-2<x< 1 où 2<x<3}
RFF<1 = 0citx+3<1 =
9
W+x+3>20 [IR
-| ‘ le -s-0
4x +2<0 2
S=ixemRI2<x< 31.
se x-1>0
EEES e
058-3425 (2x - 1%
1 1
27 x25
e e
Æ-3x+2>0 ” [x<ioux>2
e
e
ax
Be +x +10 te
-2<x<3 il D hen oo;
2
B
2 1 2 3
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2
B
: + + x
+ - y
1 T x
2
Se (remo > 2
_ 1-3x>0
556. VP 3K 2<1-3x 9 | e e
Oc x 3x4 2< (1 - 3x7
EN
<> -1 *<3
e e
> [8 -%+2>0 = [x<toux>2
e e =
Be + 3x+1<0 Va 3+ va
>
558. d) Va — x + T>2 Sm 1x4 7>4 = 4 BSO =
i ;
Puelma seems za
DIRA -3 = 14420 Aer +
s=fremt-aex< À
DVR TRESS 3 = PAS =
= -2xt + 5x 4 > 0,emqued = -7<0 =
5-9
s
nm
+ - y
1 T x
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5-9
s
nm
-s-ip0ex-1<0D
‘ae x 1 > +} e 2x +120@
®
S=SUS, = |xeRIx<—t ou x > 2].
_ 24 4x- 43002 -2<00
DIFF OFS we -2 + | où
N+ 4x~4> Ox-2Pe 2x -220@
ere 430 x<-2- WF on x > -2+ WE
e -| e
X-2<0 x<1
a A —— x
= = x
IN? 24,22 1
5
‘ae x 1 > +} e 2x +120@
®
S=SUS, = |xeRIx<—t ou x > 2].
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IN? 24,22 1
5
us ee ee HO SE
SUS SESE CONE TETE
S=S,US, (remix -2- 02 où |
m-1306x+2<0 ©
ou
R-126+Dex+2>0®
NR -T>x+2 5
%-1>20 x>+
: "le -s-0
x+2<0 a
Le Eee wid 530
© “le 8-0
x+2>0 x+2>0
S=SUS = 9
45 it 5x + ex-
DV TT IT > x -2 = [+220 2<00
ae 5x 423-3 ex-220@
SUS SESE CONE TETE
S=S,US, (remix -2- 02 où |
m-1306x+2<0 ©
ou
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wW-h-ıpi
> S=RERIx< 2)
1-2<0 |
<2
ag = Sx 423K 4x + 4 ES
x-2>0
le -
-2>0
= fxeRIx>2}
12 possibilidade: x > 0
E 0<-N-X+AM<Kex>O >
rx+243>0 -6<x<4
e e
a | -22-2x+424<0 = |x< -4 où x>3
. .
x>0 x>0
A
-6 -4 3 4 *
S = [KERI3 <x <4}.
> S=RERIx< 2)
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<2
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x-2>0
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12 possibilidade: x > 0
E 0<-N-X+AM<Kex>O >
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e e
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. .
x>0 x>0
A
-6 -4 3 4 *
S = [KERI3 <x <4}.
<M 242430 (-6<x<4
all % | e 2S, = (xe R| -6 <x <0}
x<0 x<0
S¡US,= (KER 1-6 <x <0 où 3<x<4).
ESO
y > 1
1% possibilidade: x > 0
E A =
a+ mo6>o | ]<x<2
wl es So 3
e = 5, [remidcxc2
x>0 os z
22 possibilidade: x < 0
VOR FIR 6 <x = 05-24 M6 e x>0
Como as condigdes sobre x sio incompatíves, entdo S, = ©.
sus, = {remit exe).
2 - 5x -~ 320
563. 0) WR — 3 < V& + -| e =
2x? 5x 3. < 8x +1
x où x > 3
€
3 - VOI 6, <3 +5
S=|xeRI3<x<
en)
7
all % | e 2S, = (xe R| -6 <x <0}
x<0 x<0
S¡US,= (KER 1-6 <x <0 où 3<x<4).
ESO
y > 1
1% possibilidade: x > 0
E A =
a+ mo6>o | ]<x<2
wl es So 3
e = 5, [remidcxc2
x>0 os z
22 possibilidade: x < 0
VOR FIR 6 <x = 05-24 M6 e x>0
Como as condigdes sobre x sio incompatíves, entdo S, = ©.
sus, = {remit exe).
2 - 5x -~ 320
563. 0) WR — 3 < V& + -| e =
2x? 5x 3. < 8x +1
x où x > 3
€
3 - VOI 6, <3 +5
S=|xeRI3<x<
en)
7
— a= 2-830
UTA TIRE = =
IH lT> 4248
<x<4
HS 42x +830
sl 8 se
xt = x +930 x< où x>3
s= [remit -2<x< 3 uscxcs
Y= S44 30
av RTE en e | e -
AA SKE
WSK 4430 x<loux>4
E - 5-0
-2 + 2x-2>0 o
RT o |
-%+2>0 IR
-| A >|
-¥-3x-2<0
2-1>00
e
4-VM1=%>2-
D2-x>0 = -x>-2=x<2
Da-VT=x>2-x = NT R>-x-2 =
x+2>0
e 2
05 1-x< +2
564. a VA TER > AT »
- VT=x<x+2=
UTA TIRE = =
IH lT> 4248
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HS 42x +830
sl 8 se
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s= [remit -2<x< 3 uscxcs
Y= S44 30
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AA SKE
WSK 4430 x<loux>4
E - 5-0
-2 + 2x-2>0 o
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-%+2>0 IR
-| A >|
-¥-3x-2<0
2-1>00
e
4-VM1=%>2-
D2-x>0 = -x>-2=x<2
Da-VT=x>2-x = NT R>-x-2 =
x+2>0
e 2
05 1-x< +2
564. a VA TER > AT »
- VT=x<x+2=
c
@-ansnc
Entao, vem:
> {x2 -1 =
sx
! ! H
JS 2 5 E
ara lar =
x+8< (+2?
@-ansnc
Entao, vem:
> {x2 -1 =
sx
! ! H
JS 2 5 E
ara lar =
x+8< (+2?
= {xeRIx> 1}
566. ya + x +2<1+ VE ORT
Of +3+220 = x6 -200x3-1
Rires mren 2!) = set nx> 1
(O) Notemos que, para os valores de x que satisfazem (D) ambos os mem-
bros da inequaçäo sdo positivos e, entáo, podemos quadrá-la sem neces-
sidade de verificagäo.
A NRO NTT 9 WR ON TT =
~x41200%<0®
PRI = | ow
axel ode 2x >0 0
x+120 (RR
e > le = x<0
x<0 x<0
(E x+1>0
x20
= 0<x<— LEE
De @e ® vem x < LE VB,
Assim: ©
A à
D men ;
ODA D ed —— ee à
xEIRIx<-2 04 -1€<x<
ar
566. ya + x +2<1+ VE ORT
Of +3+220 = x6 -200x3-1
Rires mren 2!) = set nx> 1
(O) Notemos que, para os valores de x que satisfazem (D) ambos os mem-
bros da inequaçäo sdo positivos e, entáo, podemos quadrá-la sem neces-
sidade de verificagäo.
A NRO NTT 9 WR ON TT =
~x41200%<0®
PRI = | ow
axel ode 2x >0 0
x+120 (RR
e > le = x<0
x<0 x<0
(E x+1>0
x20
= 0<x<— LEE
De @e ® vem x < LE VB,
Assim: ©
A à
D men ;
ODA D ed —— ee à
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ar
-\x+1> Vix
x>-6
ws20 + E
7 > [kB Ll > xed
Disri>e A 7
5
m-5>0 [>
@ Como x + 6 > x + 1, entáo para qualquer valor de x, inclusive para os
que satistazem D VE #6 VA FT > 06, portanto, podemos quadrar
a inequaçäo sem preocupagdes com verificagao.
X+64x41-WRF ORT D>2x-5 = VE TNTO<6 >
+4620 x<-6 où x > -
se » le =
M + Tx + 6 < 36 -10<x<3
= -10<x< -6 où -15x<3
s=fremi£er<s
568. x + VE 10K + 9 > Vx + Wet = 1x + 9
-10x+9>0 O
ol”:
x + Wwe ix +9 > 0 ©
Ox ~ lx 49205 x<1 ou x>9
x*-10x+9>0e -x<0 ©
o A
-lm+9>%e -x>0 0
2
x>-6
ws20 + E
7 > [kB Ll > xed
Disri>e A 7
5
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@ Como x + 6 > x + 1, entáo para qualquer valor de x, inclusive para os
que satistazem D VE #6 VA FT > 06, portanto, podemos quadrar
a inequaçäo sem preocupagdes com verificagao.
X+64x41-WRF ORT D>2x-5 = VE TNTO<6 >
+4620 x<-6 où x > -
se » le =
M + Tx + 6 < 36 -10<x<3
= -10<x< -6 où -15x<3
s=fremi£er<s
568. x + VE 10K + 9 > Vx + Wet = 1x + 9
-10x+9>0 O
ol”:
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Ox ~ lx 49205 x<1 ou x>9
x*-10x+9>0e -x<0 ©
o A
-lm+9>%e -x>0 0
2
= 0<xéloux>9
Asim: QUO = O = x<1 ou x>9.
Endo: @ = © = ONO = rei x<1 où x >9)
O x + TT ES IF >
EZ + 9 + D TOR + D > x + NS
> D 1x +9 > (2 - 2
= @- mx + 2) > @ - FI
Sex < I, temos 20 =x) > 0e
O
cuja solugdo € S, = fvemi- cx}.
Sex > 1, temos 2U = x) € Oe recaimos em
VRR FT > x + À
3
remixes 3
2
cuja soluçao € Sy
Portanto, vem:
CR
D nent nan x
ON © AAA x
5 9
a
s=[xemt-<xci oso]
Asim: QUO = O = x<1 ou x>9.
Endo: @ = © = ONO = rei x<1 où x >9)
O x + TT ES IF >
EZ + 9 + D TOR + D > x + NS
> D 1x +9 > (2 - 2
= @- mx + 2) > @ - FI
Sex < I, temos 20 =x) > 0e
O
cuja solugdo € S, = fvemi- cx}.
Sex > 1, temos 2U = x) € Oe recaimos em
VRR FT > x + À
3
remixes 3
2
cuja soluçao € Sy
Portanto, vem:
CR
D nent nan x
ON © AAA x
5 9
a
s=[xemt-<xci oso]
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