Generalidades P E Cap I, Procesos Estocásticos

Introducción a los procesos estocásticos

1. Generalidades sobre Procesos Estocásticos Capítulo I

2. ¿ESTOCÁSTICO es sinónimo de ALEATORIO? En la  teoría de la probabilidad , un  proceso estocástico  es un concepto matemático que sirve para representar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de  variables aleatorias  que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo.​ Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de  distribución de probabilidad  y pueden o no estar  correlacionadas  entre sí. (Wikipedia) Un Proceso estocástico se puede definir, equivalentemente, de dos formas diferentes:

3. A. Como un conjunto de realizaciones temporales y un índice aleatorio que selecciona una de ellas. Sea  el espacio muestral del experimento . A cada resultado w de  se asocia la función real X w (t), de parámetro t ϵ T, T se llama conjunto indicador; t generalmente es el tiempo . ⁞ R X w (t )•  W X w (t) ⁞ ı T resultados t o REALIZACIÓN Variando w, el PE es una familia de realizaciones, una por cada resultado

4. B . Como un conjunto de variables aleatorias X t indexadas por un índice t ϵ T, con T Ϲ R Sea  el espacio muestral del experimento  . Consideremos el conjunto indicador T. Para cada parámetro t o de T, se define la función de  en R. Entonces es una variable aleatoria. Variando t, el PE es una familia de variables aleatorias, una por cada valor del parámetro t. EJEMPLO 1: Sea el experimento de lanzar al aire una moneda.  cara (C ) sello (S) resultados  

5. Según A , para cada resultado definimos (por ejemplo) las funciones siguientes en T = R + Entonces el proceso estocástico finito es PE = { , } X C t X S ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Según B , para cada t o de T, definimos la variable aleatoria discreta tal que = 3 t o , si w = C - 3 t o , si w = S Entonces el proceso estocástico infinito es PE = { }  

6. Si t o = 1 , = 3 , si w = C 3 + - 3 , si w = S C S  -3 + es una de las variables aleatorias del proceso estocástico EJEMPLO 2: Considere el experimento consistente en contar el número de clientes que, en cada momento, llegan a un almacén, de las 9:00 am hasta las 10:00 am, de un día. La observación arrojó el siguiente resultado:  

7. Resultado w : Número de llegadas Hora de llegada 2 9:00 am 1 9:15 am 3 9:26 am 2 9:35 am 1 9:45 am 3 9:50 am 1 9:55 am 2 10:00 am

8. Para este resultado w, se define la función (realización): N w (t) = Número de clientes que han llegado hasta el tiempo t La gráfica de esta realización : N w (t) 20 15 10 5 t 9:00 9:15 9:26 9:35 9:45 9:50 9:55 10:00

9. EJERCICIO 3 : Sea el experimento de lanzar un dado y observar la cara superior, = {1,2, …,6} Según la definición A, para cada n de , se define X n : T = {0, 1,2,…} R X n (t) = n t Determine las realizaciones del proceso estocástico que se construye, defínalo y grafique las realizaciones. Según la definición B, para cada t o de T, se define la variable aleatoria (w) = w t o Grafique la variable aleatoria y defina el proceso estocástico que se construye.  

10. Solución : Según A . Para cada n   = {1,2,…,6}, X n (t) = n t X 1 (t) = t , X 2 (t) = 2 t , X 3 (t) = 3 t , …, X 6 (t) = 6 t - 3 * 2 * PE= {X 1 , X 2 , …, X 6 } con 6 realizaciones 1 2 * 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Según B , Sea t o  N, (w) = w t o , w   = {1,2,…,6} R -  5t o -  -  -  -  PE = { X t / t  N} t o -  1 2 3 4 5 6   w 1 2 3 4 5 6 (w) t o 2 t o 3 t o 4 t o 5 t o 6 t o w 1 2 3 4 5 6 t o 2 t o 3 t o 4 t o 5 t o 6 t o

11. Proceso de tiempo continuo y de tiempo discreto Un proceso es de tiempo continuo si el conjunto indicador es un intervalo real. Un proceso es de tiempo discreto si el conjunto indicador es finito o numerable. Definición : Proceso Estacionario Un PE es estrictamente estacionario si la función de densidad conjunta para las variables X 1 , X 2 , … X k , no cambia si se traslada el origen en . O sea ( = ( NOTA: En la práctica, basta verificarlo para k=2. Lo que significa que no depende de t 1 ni de t 2 , sino que depende de t 2 - t 1  

12. Definición : Proceso de incrementos independientes Un PE es de incrementos independientes si para todo con Se cumple que las variables aleatorias , , …, son independientes.  

13. ANÁLISIS DE ALGUNOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS ¿Cuál es el espacio de estados y el espacio del parámetro para un proceso estocástico definido como el marcador durante un juego de futbol?   2. ¿Cómo se podría usar un proceso estocástico para estudiar los recursos de una compañía de seguros?   3. ¿Cuál es el espacio de estados y el espacio del parámetro para un proceso estocástico definido como la profundidad del mar en la posición x en el tiempo t? 4. Un proceso de préstamos de libros en una biblioteca . Un lector visita una biblioteca con regularidad, el mismo día de cada semana. Si ha terminado de leer el libro que siempre solicita en préstamo, lo cambia; en caso contrario, tiene que volver a pedirlo. Considérese el proceso estocástico {Z n : n = … -1, 0, 1, 2, …}, donde Z n es el número de renovaciones del préstamo del libro que actualmente tiene el lector al salir de la biblioteca en la semana n, donde las semanas se miden desde un punto de partida arbitrario. Si se acaba de cambiar un libro, entonces Z n = 0. ¿Cuál es el espacio de estados para este proceso y cuáles son las posibles transiciones de estado?

14. 5. Un proceso de almacenamiento de agua en una presa . Considérese una presa que puede contener cuando más w unidades de agua. Supóngase que durante el día n, fluyen y n unidades de agua hacia la presa, perdiéndose todo exceso. Siempre que la presa no esté seca, se deja salir una unidad de agu a al final de cada día. Supóngase que { y n } es una sucesión de enteros no negativos y que w es un entero positivo. ¿Cuál es el espacio de estados del proceso {Z n : n = 0, 1, 2, … }, donde Z n es el contenido de la presa después de haber dejado salir (si así se hizo) la unidad de agua en el día n? 6 . Una fábrica tiene dos máquinas, pero en cualquier día no se usa más que una. Esta máquina tiene una probabilidad constante p de dañarse, y si esto ocurre, el daño se presenta al final del trabajo del día. Se emplea un solo hombre para repararla. A este hombre le toma dos días reparar una máquina y solo trabaja en una máquina a la vez. Construya un proceso estocástico que describa el funcionamiento de la fábrica, considerando las condiciones para su mejor desempeño.