Geometrc3ada analc3actica-de-la-recta-ejercicios-resueltos

geometria analitica

1. EJERCICIOS DE REPASO.

EJERCICIO 1.
Si dos vértices de un triángulo equilátero son los pintos A(-3,-2) y B(1,2), encuentra el tercer vértice.

Nuestra incógnita: ),(
ccyxc ACBCAB ddd 
por ser un triángulo rectángulo.   
22
ABABAB
yyxxd 
  
22
BCBCBC
yyxxd    
22
ACACAC
yyxxd  
22
2231 
AB
d
  
22
21 
CCBC
yxd   
22
23 
CCAC
yxd 44
2

ABd

  423
22

CCAC
yxd
  421
22

CCBC
yxd

     1623423
2222

CCCC
yxyx
(I)      1621421
2222

CCCC
yxyx
(II)
Igualando (I) y (II):   
22
23
CC yx   
22
21 
CC yx

1296
22

CCCC xxxx
88 
Cx
1
Cx
Sustituyendo este valor en (I):   16231
22

Cy

 1624
2

Cy
 122
2

Cy
122
Cy
232
Cy
RESPUESTA:
Coordenadas del tercer vértice:  232;1)232;1(  yc

EJERCICIO 2.
Si la longitud del lado de un cuadrado es 6 y tiene sus lados paralelos al los ejes de coordenadas y su centro en el
origen entonces ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices?
Como estamos refiriéndonos a un cuadrado: todas las distancias entre sus vértices son iguales.
Si nombramos AB al lado superior del cuadrado, y recordamos que es paralelo al eje “x”, tenemos:

2.   
22
ABABAB
yyxxd 
0  
2
ABAB
xxd 
6
ABAB xxd

Como el centro del cuadrado se encuentra en el origen, entonces el punto medio de este lado tendrá las
siguientes coordenadas: 
MMyP;0 ; por lo tanto resulta: 0
2


BA
xx

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 6
ABxx
(I) Sustituyendo el valor de 3
Bx en (I): 0
2


BA
xx
3
Ax 




0
6
AB
AB
xx
xx

62
Bx
3
Bx
Si graficamos el planteamiento del ejercicio, nos resulta más fácil determinar su solución:
y

A 3 B

-3 3 x


C -3 D
RERSPUESTA:
)3;3(
)3;3(
)3;3(
)3;3(



D
C
B
A

EJERCICIO 3.
Si el extremo de un segmento es el punto A( 5,3) y el punto medio de dicho segmento es B ( 6,1). ¿Cuál es el otro
extremo del segmento?

Nuestra incógnita: ),(
ccyxc , el otro extremo del segmento.
Como B es el punto medio del segmento: 




 
2
;
2
CACA
M
yyxx
P 1;6
MP

3. 6
2
5


C
x
1
2
3


Cy 125 
Cx
23 
Cy
7
Cx 1
Cy

RESPUESTA:
Coordenadas del otro extremo: )1,7(c

EJERCICIO 4.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x,y) tales que la diferencia de los cuadrados de sus
distancias a dos puntos A (-2,-1) y B ( 0,3) es igual a 16.
16),(),(
22
 BpdistAPdist

22
12  yxd
PA

22
30  yxd
PB
 
016482
16961242
16312
2222
2222



yx
yyxyyxx
yxyx
02082 yx

EJERCICIO 5.
Dado el triángulo con vértices A(-3,7), B(-7,-5) y C(5,1) encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a la
recta que une los puntos medios de los lados AB y BC y que pasa por el punto medio de AC.





 
2
;
2
:
BABA
AB
yyxx
PM





 
2
;
2
:
CBCB
BC
yyxx
PM 




 
2
;
2
:
CACA
AC
yyxx
PM 




 
2
57
;
2
73
:
AB
PM





 
2
15
;
2
57
:
BC
PM 




 
2
17
;
2
53
:
ACPM 1;5:
ABPM
 2;1:
BCPM 4;1:
ACPM
Ecuación de la recta que une los puntos medios anteriores:  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 



5
51
12
1 


 xy
4
15
4
3
1  xy 0
4
11
4
3
xy 01143 yx

4. Recta perpendicular a la recta anterior:
Pendiente de la recta anterior: 4
3
m , por lo tanto la recta perpendicular tendrá pendiente: 3
4
m
Recordar rectas perpendiculares: 1
21 mm
Como la recta buscada tiene 3
4
m y pasa por el punto ( 1, 4 ):
 
11 xxmyy 
1
3
4
4  xy
0
3
4
4
3
4
xy
0834 yx

RESPUESTA: 0834 yx


EJERCICIO 6.
Los lados de un triángulo están sobre las rectas 11x – 3y – 1 = 0; 7x + 4y + 23 = 0 y 2x – 3y + 19 = 0. Encuentra sus
vértices y la longitud de sus lados.

Vértice A: 




02347
01311
yx
yx Vértice B: 




01932
01311
yx
yx Vértice C: 




01932
02347
yx
yx 3/2347
4/1311


yx
yx
1/1932
1311


yx
yx 4/1932
3/2347


yx
yx 691221
41244


yx
yx
1932
1311


yx
yx 76128
691221


yx
yx 6565x
209x 14529x 1x
9/20x 5x
1311
13)1(11


y
y
9
211
3
193
9
20
2







y
y 93
193)5(2


y
y 4y
27
211
y 3y

A ( -1, -4) B ( 20/9, 211/27) C ( -5, 3)

5.   
22
ABABAB
yyxxd  729
101761
81
841
27
319
9
29
4
27
211
1
9
20
2222

























ABd
25.12
ABd

  
22
BCBCBC
yyxxd 
729
24649
81
4225
27
130
9
65
3
27
211
5
9
20
2222

























BCd
27.9
BCd

  
22
ACACAC
yyxxd 
  6549164315
22

AC
d
06.8
ACd


EJERCICIO 7.
Dadas las rectas 8x – 6y + 6 = 0 y 24x – 7y – 20 = 0 encuentra la ecuación de la recta bisectriz del ángulo agudo.
La bisectriz pasa por el punto de intercepción entre ambas rectas y su pendiente será igual a la tangente del
ángulo formado por la suma del ángulo que forma la recta 8x - 6y + 6 = 0( que es el ángulo menor de las dos
rectas) y la mitad del ángulo agudo entre las dos rectas dadas.

Ángulo agudo entre las dos rectas dadas:
12
12
1
tan
mm
mm




m₂: es la pendiente de la recta que forma el mayor ángulo con el eje x ( 24x – 7y – 20 = 0) 7
24
2m

m₁: es la pendiente de la recta que forma el menor ángulo con el eje x 3
4
1m







117
44
3
4
7
24
1
3
4
7
24
1
tan
12
12
mm
mm
 61.20

Pendiente de la bisectriz: Bmtan
2/
1 
B 3
4
arctan
1 13.53
1
 44.5431.1013.53
B 5
7
4.144.54tan m

6. Punto de intercepción entre las rectas dadas: 




020724
0668
yx
yx
6
11
38
68 





x 20724
3/668


yx
yx
44
81
x 20724
181824


yx
yx

3811y
11
38
y
Ecuación de la bisectriz conociendo que pasa por el punto anterior y tiene pendiente igual a 7/5.  
11 xxmyy 







44
81
5
7
11
38
xy
220
567
5
7
11
38
 xy 0
220
193
5
7
xy 0193220308 yx


EJERCICIO 8.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto donde se cortan las rectas 4x + 9y + 7 = 0 y x – 6y – 23 = 0
y el punto P ( 2, 7).

Punto donde se cortan las rectas: 




4/236
794
yx
yx
23)3(6x 92244
794


yx
yx
5x 9933y
3y


Recta que pasa por los puntos P( 2, 7) y ( 5, -3):  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 



5
52
37
3 


 xy
3
50
3
10
3  xy 0
3
41
3
10
xy 041310 yx

7. EJERCICIO 9.
Demuestra que la longitud de cualquier lado del triángulo cuyos vértices son A ( 5, -2) B ( 2, -2) y C ( 5, -6) es
menor que la suma de los otros dos.   
22
ABABAB
yyxxd 
 
22
2225 
AB
d
3
ABd

  
22
BCBCBC
yyxxd 
 
22
6255 
BC
d
4
BCd

  
22
ACACAC
yyxxd 
 
22
6252 
AC
d
5
ACd

ABd
<BCd +ACd BCd <ABd +ACd ACd <ABd +BCd
3 < 4 + 5 4 < 3 + 5 5 < 3 + 4
3 < 9 4 < 8 5 < 7

EJERCICIO 10.
Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a la recta determinada por los puntos A ( -3, -5) y B ( 2, -2) y que
pasa por el punto C (-3, 0).

Recta que pasa por los puntos A y B:  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 



3
52
52
5 


 xy
7
9
7
3
5  xy 0
7
26
7
3
xy 02673 yx

La recta paralela a la anterior tiene la misma pendiente: 7
3
m
Recta que tiene pendiente 7
3
m y pasa por el punto P ( -3, 0 ):  
11 xxmyy 
3
7
3
0  xy
7
9
7
3
xy 0
7
9
7
3
xy 0973 yx

8. EJERCICIO 11.
Dibuja la región que se encuentra arriba de la recta 2x – 9y + 5 = 0, debajo de la recta 2x – y + 10 = 0, debajo de la
recta 2x – y + 10 = 0 y debajo de la recta 2x + 7y – 22 = 0. Escribe las desigualdades que describen la región.

y

10








3
3

1
-5 2 11 x







EJERCICIO 12.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto donde se cortan las rectas x + 4y = 0 y x - 3y – 7 = 0 y
que tiene pendiente - 6.

Punto donde se cortan las rectas x + 4y = 0 y x – 3y – 7 = 0 




1/73
04
yx
yx
x + 3 = 7-------------- x = 4
73
04


yx
yx

7y
1y

Recta que pasa por el punto ( 4, -1) y tiene pendiente m= -6.  
11 xxmyy 
461  xy
2461  xy
0236 yx

9. EJERCICIO 13.
Encuentra la distancia entre las rectas 5x - 3y + 6 = 0 y 5x - 3y – 24 = 0.

Las rectas anteriores son paralelas, dado que tienen la misma pendiente. Por lo tanto determinamos un punto
cualquiera de una de las rectas y calculamos luego la distancia de ese punto a la otra recta.
En la primera recta, un punto perteneciente a la misma sería ( 0, 2 )
Distancia del punto anterior a la segunda recta: 
22
00
2,
BA
CByAx
lPd





5
6
30
35
242305
,
22
2 


lPd

RESPUESTA: La distancia entre las rectas es de 5 unidades.


EJERCICIO 14.
Encuentra la distancia entre la recta 5x - 8y + 16 = 0 y el punto P ( 5,-2 ). 
22
00
,
BA
CByAx
lPd





89
8957
89
89
89
57
89
161625
85
162855
,
22





lPd

89
8957
,lPd


EJERCICIO 15.
Dado el triangulo con vértice A (1,7), B (-3,0) y C (6,-2), encuentra la distancia de cada uno de los vértices al lado
opuesto del triangulo.
Lado AB Lado AC Lado BC  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 



 
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 


  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 


 1
13
70
7 


 xy
1
16
72
7 


 xy 3
36
02
0 


 xy 1
4
7
7  xy
1
5
9
7 

 xy 3
3
2


 xy 02147 yx
04459 yx 0632 yx
Distancia del lado AB al vértice C: 22
00
BA
CByAx
d


 
65
6571
65
21842
47
212467
22






d 65
6571

Distancia del lado AC al vértice B:

10. 22
00
BA
CByAx
d


 
106
10671
106
4427
59
440539
22





 d 65
6571

Distancia del lado BC al vértice A: 22
00
BA
CByAx
d


 
13
1329
13
6212
32
67312
22








EJERCICIO 16.
Considera el triangulo con vértices A ( 0,4), B (-2,0) y C ( 2,0), encuentra los tres ángulos del triángulo. ¿Es un
triángulo isósceles?
Lado AB Lado BC Lado AC  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 



 
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 


  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 


 0
02
40
4 


 xy
0
02
40
4 


 xy 2
22
0
0 

 xy xy 24
xy 24 0y 042 yx
042 yx 0y
Ángulo agudo entre los lados AB y BC:
12
12
1
tan
mm
mm



 3
4
41
4
221
22
tan 






13.53

Ángulo agudo entre los lados AB y AC:
12
12
1
tan
mm
mm



2
1
02
tan 


435.63
Ángulo agudo entre los lados AC y BC:
12
12
1
tan
mm
mm



2
1
20
tan 


435.63

RESPUESTA: El triángulo es isósceles, tiene dos ángulos iguales.

11. EJERCICIO 17.
Prueba que las rectas 2x + y – 11 = 0 y 4x + 2y – 3 = 0 son paralelas y encuentra la distancia entre ellas.
mtan
La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo de inclinación respecto al eje “x” , en este caso ambas
rectas tienen la misma pendiente, ( -2) por lo tanto tienen el mismo ángulo de inclinación y serán paralelas.
De igual forma dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas se mantienen constante. A continuación
determinamos la distancia entre dos puntos diferentes pertenecientes a la primera recta
Distancias entre las rectas dadas:
En la primera recta, un punto perteneciente a la misma sería ( 0, 11 )
Distancia del punto anterior a la segunda recta: 
22
00
2,
BA
CByAx
lPd





10
519
20
538
20
19
24
311204
,
22
2 


lPd
d 10
519

En la primera recta, otro punto perteneciente a la misma sería ( 1, 9 )

22
00
2,
BA
CByAx
lPd





10
519
20
538
20
19
24
39214
,
22
2 


lPd
d 10
519

Por lo tanto queda demostrado que al no variar la distancia las rectas son paralelas.

EJERCICIO 18.
Sean A (-2,6), B (1,6) y C (-2,3) los vértices de un triangulo isósceles. Prueba que el punto P (-1,4) está sobre la
recta que une a B y a C. Prueba que la suma de las distancias de P a los lados del triangulo es igual a la distancia de
C a la recta AB.

Recta que une a B y C:  
1
12
12
1
xx
xx
yy
yy 



1
12
63
6 


 xy
16 xy
05yx

Sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación: 000541 

Por lo tanto el punto pertenece a la recta.

12. Recta AB: Como en los puntos dados la coordenada “y” permanece constante, la ecuación de la recta que pasa
por esos puntos será: 06y

Distancia de C a la recta AB: 
22
00
2
,
BA
CByAx
lPd



 3
1
63
,
2


lPd
d 3

Recta que une a A y C: Como en los puntos dados la coordenada “x” permanece constante, la ecuación de la recta
que pasa por esos puntos será: 02x

Distancia de P a la recta AB: 
1d 2

Distancia de P a la recta AC: 
2d 1

1d dd 3
2

EJERCICIO 19.
Repite el problema 18, pero ahora con P (0,5) ¿Podrías encontrar otro punto para el cual se obtenga el mismo
resultado?

Recta que une a B y C: 05yx

Sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación: 000550 

Por lo tanto el punto pertenece a la recta
Recta AB: 06y

Distancia de P a la recta AB: 
1d 1
Recta AC: 02x

Distancia de P a la recta AC: 2
2d

1d dd 3
2
Todos los puntos sobre la recta BC cumplen que la suma de sus distancias a las rectas AB y AC es igual a 3.
Ejemplo: P ( 1/2; 11/2)

13. 05
2
11
2
1

Distancia de P a la recta AB:


1d 2
1
Distancia de P a la recta AC: 2
5
2d

1d dd 3
2



EJERCICIO 20.
Encuentra la ecuación de la recta que cumpla que el área del paralelogramo formado por las rectas x – y – 2 = 0,
3x - 3y – 1 = 0 y el eje X sea 2. Recuerda que el área del paralelogramo se obtiene multiplicando la base por la
altura. La solución no es única.

l₁: x – y – 2 = 0 l₂:3x - 3y – 1 = 0
Las rectas anteriores son paralelas, tienen la misma pendiente m = 1.
Ecuación recta que coincide con el eje “x”: y = 0
Vértice A: Vértice B: 




0
133
y
yx





0
2
y
yx 013x
2x
3
1
x
0y 0y

Distancia AB:   
22
ABABAB
yyxxd 
 
3
5
3
1
2
2
2







ABAB xxd

Área del paralelogramo: HdA
AB

La altura H del paralelogramo es la distancia que separa a la recta CD, que forma el cuarto lado del paralelogramo
y es paralela al eje x, por lo tanto la ecuación de esa recta tienen las formas: y – H = 0 y + H = 0 5
6
3/5
2

AB
d
A
H

RESPUESTA: 0
5
6
y
0
5
6
y