Geometria Analítica: Estudo da reta e suas equações

Estudo da reta e suas equações na geometria analítica

1. Geometria Analítica Estudo da Reta Prof° Carlos Walkyson

2. Reta Considere um ponto 𝐴(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) e um vetor não-nulo 𝑣 = 𝑎 , 𝑏, 𝑐 . Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de 𝑣 . Um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃 é paralelo a 𝑣 .

3. Reta Logo, se o vetor 𝐴𝑃 é paralelo a 𝑣 , temos que 𝐴𝑃 = 𝑡 𝑣 para algum número real t. Reescrevendo, 𝑃 = 𝐴 + 𝑡 𝑣 Ou 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 + 𝑡 𝑎, 𝑏, 𝑐 que denominamos equação vetorial de r, onde 𝑣 é o vetor diretor e t é o parâmetro.

4. E x emplo Obtenha a equação vetorial da reta r que passa por A(1,- 1,4) e tem direção 𝑣 =(2,3,2). Sugira valores para t.

5. Equações Paramétrica da Reta Da equação vetorial da reta tem-se 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 1 + 𝑎𝑡, 𝑦 1 + 𝑏𝑡, 𝑧 1 + 𝑐𝑡 Pela igualdade de vetores temos, 𝑥 = 𝑥 1 + 𝑎 𝑡 𝑦 = 𝑦 1 + 𝑏 𝑡 𝑧 = 𝑧 1 + 𝑐 𝑡 Estas equações são chamadas de equações paramétricas da reta.

6. E x emplo Uma reta r que passa pelo ponto A(-1,2,4) é paralela ao plano xOy e tem vetor diretor 𝑣 = (2,3,0) . Quais são as equações paramétricas?

7. E x emplo

8. Reta definida por dois pontos A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor 𝑣 = 𝐴𝐵. Exemplo: escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A(3,-1,-2) e B(1,2,4).

9. Equações Paramétricas do Segmento As equações paramétricas são as mesmas que para a reta r, porém ≤ 𝑡 ≤ 1,

10. Equações Paramétricas do Segmento Observação: As equações vetoriais dos segmentos 𝑨𝑩 e 𝑩𝑨 com 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 , são 𝑷 = 𝑨 + 𝒕 𝑩 − 𝑨 e 𝑷 = 𝑩 + 𝒕(𝑨 − 𝑩)

11. Equações Reduzida da Reta Das equações paramétricas da reta, supondo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ , temos, 𝑥 − 𝑥 1 𝑦 − 𝑦 1 𝑧 − 𝑧 1 𝑡 = , 𝑡 = , 𝑡 = 𝑎 𝑏 𝑐 ou seja, 𝑥 − 𝑥 1 = 𝑦 − 𝑦 1 = 𝑧 − 𝑧 1 𝑎 𝑏 𝑐 Escrevendo duas variáveis em função da terceira temos as equações reduzidas.

12. Equações Reduzida da Reta Para a variável x, temos as equações reduzidas da reta, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 𝑧 = 𝑝𝑥 + 𝑞 O vetor direção para a variável x é dado por 𝑣 = 1, m, p . Exemplo: seja a reta definida pelo ponto A(2,-4,-3) e pelo vetor 𝑣 = (1,2, −3) , encontre as equações reduzidas da reta em função da variável x.

13. Exercício 1) Encontre as equações reduzidas da reta que passa por B(4,0,-2) e tem direção 𝑣 = 2, −1,1 . 2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1,0,9) e B(4,8,9) 3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0,3,-2) e tem a direção do vetor 𝑣 = 2i .

14. Ângulo de duas retas Chama-se o ângulo de duas retas 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 o menor ângulo de um vetor diretor de 𝑟 1 e de um vetor diretor 𝑟 2 . Logo, sendo 𝜃 o ângulo, tem-se

15. Ângulo de duas retas

16. Retas Ortogonais A condição de ortogonalidade de duas retas 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 (retas perpendiculares), é a mesma de dois vetores 𝑣 1 = x 1 ,y 1 , z 1 e 𝑣 2 = x 2 ,y 2 , z 2 , segue 𝑟 ⊥ 𝑟 2 ⇔ 𝑣 ⋅ 𝑣 2 =

17. Retas Ortogonais Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não, na figura do slide anterior temos um exemplo onde as retas são concorrentes.

18. Retas Ortogonais a duas retas Sejam 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 não paralelas, com direções de 𝑣 1 e 𝑣 2 , respectivamente. Toda reta s ao mesmo tempo ortogonal a 𝑟 1 𝑒 𝑟 2 terá a direção de um vetor 𝑢 tal que, 𝑣 1 ⋅ 𝑢 = 𝑣 2 ⋅ 𝑢 = Ou 𝑢 = 𝑣 1 × 𝑣 2

19. Retas Ortogonais a duas retas

20. Interseção de Duas Retas

21. Interseção de Duas Retas Conclusão de cada caso: 1) O ponto de interseção é I(2,-1,3). Logo são coplanares.

22. Interseção de Duas Retas 2) Não existe ponto de interseção, ou seja, retas não concorrentes. Neste caso também não são paralelas, logo são reversas (não-coplanares).

23. Interseção de Duas Retas

24. Ponto Médio de um segmento de reta

25. Retas Coplanares Exemplo: Mostre que as seguintes retas são coplanares.

26. R e sumo Estudo de retas: A. Coplanares: Concorrentes: calcula-se interseção; Paralelas: ver se são coincidentes; B. Reversas: verifica-se através do produto misto ou através de um absurdo.

27. Exercícios Estude a posição relativa as retas. 1) 2)

28. Exercícios Estude a posição relativa as retas. 3) 4)

29. Distância entre duas retas Dadas as retas 𝑟 1 e 𝑟 2 , podemos ter os seguintes casos: Caso 1) Retas concorrentes. Neste caso: d( 𝑟 1 , 𝑟 2 )=0

30. Distância entre duas retas Caso 2) Retas paralelas. Neste caso: d( 𝑟 1 , 𝑟 2 ) = d( 𝑟 1 , 𝑃 1 ) ou d( 𝑟 1 , 𝑟 2 ) = d( 𝑃 2 , 𝑟 2 ) Neste caso, se reduz ao cálculo da distância entre ponto e reta.

31. Distância entre duas retas Caso 3) Retas reversas. Neste caso, as retas não são coplanares, e determinam um paralelepípedo cuja altura é a distância d( 𝑟 1 , 𝑟 2 ).

32. E x emplo

33. Exercícios Achar a distância entre as retas, nos casos: 1) 2)