Geometria elemental

1. Geometría ElementalGeometría Elemental
PolígonosPolígonos
Integrantes:Integrantes:
Ariana Aguilera.Ariana Aguilera.
Carolina Andrade.Carolina Andrade.
Katherine Aravena.Katherine Aravena.
Francisco arias.Francisco arias.
Constanza barraza.Constanza barraza.
Gabriel bustos.Gabriel bustos.
Mauricio Cáceres.Mauricio Cáceres.
Laura caneo.Laura caneo.
Kareen NorambuenaKareen Norambuena..
Colegio Tierra del Fuego
Quillota

2. Polígono es una superficie plana, formada por trazos
unidos en sus extremos. El número de lados, debe ser
mayor o igual a 3.

Vértice.
Lados.
Diagonal.
Polígonos

3. Tipos de polígonosTipos de polígonos
 a. Convexo: a. Convexo: todos sus ángulos son menores a 180º, y todas todos sus ángulos son menores a 180º, y todas
sus diagonales son interiores.sus diagonales son interiores.
 b. Cóncavo: b. Cóncavo: un ángulo mide mas de 180º, y una de sus un ángulo mide mas de 180º, y una de sus
diagonales es externa. diagonales es externa.
 c. Regulares:c. Regulares: Sus ángulos y sus lados son congruentes Sus ángulos y sus lados son congruentes
 d. Irregulares:d. Irregulares: Sus ángulos y lados son diferentes. Sus ángulos y lados son diferentes.
a. b. c. d.a. b. c. d.

4. Altura,Altura, es una recta perpendicular, trazada desde un es una recta perpendicular, trazada desde un
vértice al lado opuesto. vértice al lado opuesto.
Altura de polígonos
Altura del triángulo equilátero

5. Ejemplo:
Calcular altura de un triángulo equilátero de 10 cm
de lado.

Diagonales de un polígono
Diagonal, es un segmento que une dos vértices opuestos.
Nº de diagonales de un polígono

8.66 cm

6. 4 · (4 − 3) : 2 = 2
Diagonal del cuadrado




Diagonal del rectángulo



5 · (5 − 3) : 2 =5

7. Ejercicios: Completa la tabla. Ejercicios: Completa la tabla.
3
4







5
6 6
8
Regular
Irregular
Irregular
10

8. Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm
de lado. de lado.
50
Calcular la diagonal de un rectángulo de 10 cm de
base y 6 cm de altura.
136

9. Calcular número de diagonales. Calcular número de diagonales.
6 · (6 − 3) : 2 = 9 : 2 = 9

10. CuadriláterosCuadriláteros
Los cuadriláteros son figuras geométricas que Los cuadriláteros son figuras geométricas que
tienen cuatro lados y cuatro ángulos.tienen cuatro lados y cuatro ángulos.
•Se clasifican en: Paralelógramos, Trapecios y Se clasifican en: Paralelógramos, Trapecios y
Trapezoides.Trapezoides.
•Paralelógramos: Cuadrilátero que tiene dos pares Paralelógramos: Cuadrilátero que tiene dos pares
de lados paralelos. Los paralelogramos son: el de lados paralelos. Los paralelogramos son: el
cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

11. a) Cuadrado: Todos sus lados son de igual medida. Todos sus ángulos
miden 90º.
b) Rectángulo: Tiene dos pares de igual medida. Todos sus ángulos son
rectos.
P = 4 · l
P= 2 (a+b)

12. c) Rombo: Todos sus lados son de igual medida. Sus ángulos no son
rectos; dos son agudos y dos son obtusos (los ángulos opuestos).
d) Romboide: Tiene dos pares de lados de igual medida. Dos
pares de sus ángulos son agudos y dos pares son obtusos
P = 4 · l
P = 2b + 2a

13. • Trapecios: Son cuadriláteros que tiene solamente un par de lados
paralelos.
•Los trapecios son: trapecio isósceles, trapecio rectángulo,
trapecio trisolátero y trapecio escaleno.
a) Trapecio isósceles: tiene un par de lados paralelos de igual medida.

Sus ángulos basales son iguales
AD = BC
< DAB = < ABC
e no es perpendicular con f
e = f
Las diagonales no son bisectrices.
α + β = 180 º
AE = EB, ED = EC, EG = 2EF
El trazo FG (perpendicular a las bases divide
a cada base en la mitad)
P= a + b + c +d

14. b) Trapecio trisolátero: Es el que tiene tres lados de igual medida. Sus
ángulos basales son de igual medida, respectivamente
c) Trapecio rectángulo: Es el que tiene dos ángulos rectos, es
decir, un ángulo de 90º.
P= a + b + c +d
P= a + b + c +d

15. d) Trapecio escaleno: Tiene todos sus lados de distinta
medida. Sus ángulos basales también son diferentes.
• Trapezoides: Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados
paralelos. Ellos son el trapezoide simétrico y el trapezoide
asimétrico.
P= a + b + c +d

16. a) trapezoide simétrico: Tiene dos pares de lados de igual medida.
b) Trapezoide asimétrico: Puede tener dos lados de igual
medida, tres lados de igual medida o bien ninguno.

17. EjerciciosEjercicios
Calcular el perímetro de un rectángulo de 10 cm de
base y 6 cm de altura.
P = 2 · (10 + 6) = 32 cm

18. EjerciciosEjercicios
Calcular elCalcular el perímetroperímetro de unde un cuadradocuadrado de 5 cm de 5 cm
de lado.de lado.
P = 4 · 5 = 20 cmP = 4 · 5 = 20 cm

19. TRIÁNGULOTRIÁNGULO
Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de
plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos,
por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el
triángulo se denominan triángulo se denominan ladoslados, y los extremos de los , y los extremos de los
lados, lados, vérticesvértices. .

20. Clasificación de los triángulos Clasificación de los triángulos
según sus lados :según sus lados :
EquiláterosEquiláteros (sus tres lados (sus tres lados
iguales)iguales)
Isósceles (dos lados iguales y
uno desigual)
Escaleno (tres lados desiguales)

21. Según sus ángulos:Según sus ángulos:
Rectángulos (un ángulo
recto)
Acutángulos (tres
ángulos agudos)
Obtusángulos (un ángulo
obtuso)

22. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSTRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un Un triángulo rectángulotriángulo rectángulo tiene un tiene un
ángulo recto y dos agudosángulo recto y dos agudos..
Hipotenusa :
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo
recto, y es lado mayor del triángulo.
Catetos :
Los catetos son los lados opuestos a los
ángulos agudos, y son los lados menores del
triángulo

23. Área de un triángulo rectángulo:
El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos
partido por 2.
Del cateto :
En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre
la hipotenusa y su proyección sobre ella.

24. CongruenciaCongruencia
Dos figuras son congruentes si tienen el Dos figuras son congruentes si tienen el
mismo tamaño y la misma forma.mismo tamaño y la misma forma.
Existen diferentes formas de mover una Existen diferentes formas de mover una
figura plana, estas son:figura plana, estas son:
- Trasladar- Trasladar
- Invertir- Invertir
- Girar o rotar- Girar o rotar

25. a) trasladar: existe traslación si dos a) trasladar: existe traslación si dos
figuras son de igual tamaño, de igual figuras son de igual tamaño, de igual
forma e igual posición (una delante de la forma e igual posición (una delante de la
otra)otra)

26. b) invertir: existe inversión cuando dos b) invertir: existe inversión cuando dos
figuras tienen el mismo tamaño, la misma figuras tienen el mismo tamaño, la misma
forma y están en posición inversa o forma y están en posición inversa o
enfrentada.enfrentada.

27. c) rotación o giro: existe rotación cuando c) rotación o giro: existe rotación cuando
una figura tiene el mismo tamaño, misma una figura tiene el mismo tamaño, misma
forma y ha girado sobre uno de sus forma y ha girado sobre uno de sus
puntos.puntos.

28. SemejanzasSemejanzas
figuras que son idénticas, excepto en sus figuras que son idénticas, excepto en sus
dimensiones.dimensiones.
Dos triángulos son semejantes siempre que sus Dos triángulos son semejantes siempre que sus
ángulos sean congruentes y si sus lados ángulos sean congruentes y si sus lados
homólogos (ángulos opuestos a los ángulos homólogos (ángulos opuestos a los ángulos
iguales)son proporcionalesiguales)son proporcionales..

29. Una de las figuras es Una de las figuras es
una ampliación de la una ampliación de la
otra. Por ejemplo, todas otra. Por ejemplo, todas
las circunferencias las circunferencias
que se muestran en la que se muestran en la
figura de la son figura de la son
semejantes.semejantes.
Entre los Entre los
rectángulos, ya no rectángulos, ya no
hay semejanza hay semejanza
general. Por general. Por
ejemplo, los ejemplo, los
rectángulos de la rectángulos de la
figura siguiente no figura siguiente no
son semejantes.son semejantes.

30. Para determinar la semejanza entre las Para determinar la semejanza entre las
figuras existen criterios que son los figuras existen criterios que son los
siguientes: siguientes:
CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE
DOS POLÍGONOS: DOS POLÍGONOS:
Para que dos polígonos (con el mismo Para que dos polígonos (con el mismo
número de lados) sean semejantes se número de lados) sean semejantes se
deben cumplir dos condiciones:deben cumplir dos condiciones:
    1. Los ángulos respectivos deben ser 1. Los ángulos respectivos deben ser
iguales:iguales:
                        A = A´ ; B = B                        A = A´ ; B = B
´ ; C = C´ ; ...´ ; C = C´ ; ...
2. Los lados respectivos deben ser 2. Los lados respectivos deben ser
proporcionales: proporcionales: 
AB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´DAB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´D
´ = constante ´ = constante

31. Dos polígonos son semejantes si y Dos polígonos son semejantes si y
solamente si los ángulos solamente si los ángulos
correspondientescorrespondientes
son congruentes y los lados son congruentes y los lados
correspondientes son proporcionales.correspondientes son proporcionales.

32. Criterios de semejanzas de Criterios de semejanzas de
triángulostriángulos
1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos 1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos
ángulos iguales.ángulos iguales.
2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales e igual el ángulo que forman.
3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son
proporcionales.

33. ejerciciosejercicios
1º1ºUna fotografía rectangular de 10 cm x 15 cm se Una fotografía rectangular de 10 cm x 15 cm se
enmarca dejando una franja de 5 cm de ancho por enmarca dejando una franja de 5 cm de ancho por
todo el borde, como muestra la figura (NO está a todo el borde, como muestra la figura (NO está a
escala). ¿Son semejantes los rectángulos que se escala). ¿Son semejantes los rectángulos que se
forman al interior y al exterior? Explica forman al interior y al exterior? Explica

34. Thales era un hombre que se destacó en varia
áreas : comerciante, hábil en ingeniería,
astrónomo, geómetra
Se destaco que en sus teoremas geométricos
aparecen los inicios del concepto de
demostración y se podría decir que son el
punto de partida en el proceso de organización
racional de las matemáticas.
Teorema de Thales

35. TeoremaTeorema
""Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos
transversales, los segmentos de las transversales determinados transversales, los segmentos de las transversales determinados
por las paralelas, son proporcionalespor las paralelas, son proporcionales
En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 T y S son transversales, los segmentos
a,b,c,d son proporcionales, es decir:
T S
L
1
L
2
L
3
a c
db
a/b=c/d

36. en la figura Len la figura L
1 1 // L// L
22 // L // L
3 , 3 , T y S son transversales, T y S son transversales,
calcula x y el trazo CDcalcula x y el trazo CD
L
1
L
2
L
3
T
S
x+4
x+1
3
2
C
D
Formamos la proporción
3/2=x+4/x+1
3(x + 1) = 2(x + 4)
3x + 3 = 2x + 8
3x - 2x= 8 - 3
X=5
Luego, como CD = x + 4
CD= 5 + 4 = 9

37. Triángulos de ThalesTriángulos de Thales
En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma
razón de semejanzarazón de semejanza
B
C
A
D
E
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED,
entonces, con los lados de los triángulos AED y
ABC ocurre:
AE/AB=ED/BC

38. Aplicaciones de esta ideaAplicaciones de esta idea
Calcula la altura del siguiente edificioCalcula la altura del siguiente edificio
x
5
3 12
Escribimos la proporción
3/5=15/x
Por que 3+12=15
Y resolvemos la proporción
3 • x = 5 • 15
x = 75

3
X = 25

39. teorema de Euclides
en un triangulo rectangulo, segun el
teorema de euclides, se cumple que:
el cuadrado de la longitud de un cateto
es igual al producto de la longitud de la
hipotenusa por la longitud de la
proyección del mismo cateto
la altura elevado al cuadrado es igual al
producto de las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa
H^2 = m x n
b^2 = a x m
c^2 = a x n

40. Ejemplo
C
BA
40 10D
Triangulo ∆ABC Rectángulo en C
Encontrar h
40 x 10 = 400
si 400 es igual que h al
cuadrado
se saca la raiz a √(400)
√(400) = 20
h = 20
h

41. El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos.
La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.
Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:
Área del triángulo = (base . altura) / 2

42. Linkografia Linkografia
Ariana Aguilera: polígonosAriana Aguilera: polígonos
http://http://matematicamatematica--educativa.blogspot.comeducativa.blogspot.com
/2007/05//2007/05/polgonos.htmlpolgonos.html
http://http://www.escolar.comwww.escolar.com//geometrgeometr/03polig.htm/03polig.htm
http://http://www.vitutor.comwww.vitutor.com//geogeo/eso/s_1./eso/s_1.htmlhtml
http://http://www.geoka.netwww.geoka.net//geometriageometria//poligonos.htmlpoligonos.html

43. Carolina Andrade: cuadriláterosCarolina Andrade: cuadriláteros
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/cuadrilateros.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/cuadrilateros.htm
http://http://puntajenacional.clpuntajenacional.cl//uploadsuploads//guiaguia
/-240355215b47465497c3e2e7d671c8b68253662cc4b0c5838./-240355215b47465497c3e2e7d671c8b68253662cc4b0c5838.
pdfpdf

44. - Katherine Aravena: triángulos
http://www.ditutor.com/geometria/
triangulo_rectangulo.html
http://www.ditutor.com/geometria/
triangulo_rectangulo.html

45. Constanza Barraza: semejanzas.Constanza Barraza: semejanzas.
http://http://www.rena.edu.vewww.rena.edu.ve//TerceraEtapaTerceraEtapa//MatematicaMatematica
/TEMA30//TEMA30/SemejanzaTriangulos.htmlSemejanzaTriangulos.html
http://http://www.sectormatematica.clwww.sectormatematica.cl//educmedia.htmeducmedia.htm
http://http://www.vitutor.comwww.vitutor.com//geogeo/eso//eso/ssss_3._3.htmlhtml
http://http://instinst--mat.utalca.clmat.utalca.cl//temtem/taller-/taller-geogeo
/interactivas/curso1//interactivas/curso1/geometriageometria//geowebgeoweb/semej3.htm/semej3.htm
http://http://www.amolasmates.eswww.amolasmates.es //pdfpdf//cideadcidead/3_eso/apuntes//3_eso/apuntes/
teoriateoria%20figuras%20planas%20propiedades%20figuras%20planas%20propiedades

46. Gabriel Bustos: teorema de Thales.Gabriel Bustos: teorema de Thales.
http://http://www.iesadpereda.netwww.iesadpereda.net//thalesthales//thales.htmthales.htm
http://http://www.geoka.netwww.geoka.net//triangulostriangulos//
triangulo_thales.htmltriangulo_thales.html
http://http://sapiens.ya.comsapiens.ya.com//adolfoyfranciscadolfoyfrancisc//thales.htmthales.htm

47. Kareen Norambuena:Kareen Norambuena:
http://80.24.129.36/mates/descartes/1y2_eso/http://80.24.129.36/mates/descartes/1y2_eso/Los_cuadrilaterosLos_cuadrilateros
/Cuadrilateros2.htm/Cuadrilateros2.htm
http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_cuadrado.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria/perimetro_cuadrado.html
http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_rombo.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria/perimetro_rombo.html
http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_romboide.htmlhttp://www.ditutor.com/geometria/perimetro_romboide.html
http://www.geoka.net/triangulos/area_triangulo.htmlhttp://www.geoka.net/triangulos/area_triangulo.html

48. Marcia Caneo:Marcia Caneo:
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/areas.htm