Geometria Espacial - Questões resolvidas sobre cubo e paralelepípedo - Fundamentos de Matemática Elementar, Volume 10

Questões resolvidas sobre cubo e paralelepípedo

1. CUBO E PARALELEPÍPEDO
Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10

2. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

1

(148) Dado um cubo de aresta “a”, calcular sua diagonal “d” e sua área total “S”.

Solução





(a) Cálculo de d:

Inicialmente calculemos a medida f de uma diagonal de face:




(b) Cálculo de S

A superfície total de um cubo é a reunião de seis quadrados congruentes de lado a. A área de cada um
é a². Então, a área total do cubo é:




149. Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, calcular as diagonais �
�,�
� � �
� das faces,
a diagonal do paralelepípedo e sua área total S.

Solução

3. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

2

4. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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3

(228) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estão
indicadas abaixo:

Solução

(a)



(i) Diagonal

d=a√3→d=2,5√3 →d=
25√3
10
:
5
5
→�=
�√�
�
��

(ii) Área total

S
T=6a
2
→S
T=6.(2,5)
2
→S
T=6.6,25→�
�=��,� ��²

(iii) Volume

V
cubo=a
3
→V
cubo=(2,5)
3
→??????
����=��,�����³

(b)

5. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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4



Como a base do sólido é um quadrado, a
diagonal da base (d) vale:

�=�√�

(i) Diagonal (D)

No triângulo retângulo destacado em amarelo, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

D
2
=d
2
+(2,5)
2
→D
2
=(2√2)
2
+6,25→D
2
=8+6,25→D
2
=14,25→D=√14,25→
D=√
1425
100
:
25
25
→D=
√57
√4
→�=
√��
�
��

(ii) Área total

Áreas das bases:

S
b=2.2
2
→�
�=� ��²

Área lateral:

S
L=4.(2.2,5)→S
L=4.5→�
�=����²

Área total:

S
T=S
b+S
L→S
T=8+20→�
�=�� ��²

(iv) Volume

V=�
�.h →V=4.2,5→??????=�� ��³

(c)



No triângulo retângulo da base,
temos:

d
2
=(1,5)
2
+3
3
→

d
2
=2,25+9

d
2
=11,25


(i) Diagonal (D)

6. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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5


No triângulo retângulo amarelo, temos:

D
2
=d
2
+2
2
→D
2
=11,25+4→D
2
=15,25→D=√15,25→D=√
1525
100
:
25
25
→D=√
61
4
→
�=
√��
�
��
(ii) Área total

Áreas das bases:

S
b=2(3.1,5)→S
b=2.4,5→�
�=� ��²

Área lateral:

S
L=2(1,5.2)+2(3.2)→S
L=2.3+2.6→S
L=6+12→�
�=�� ��²

Área total:

S
T=S
b+S
L→S
T=9+18→�
�=�� ��²

(iii) Volume

V=S
b.h →V=3.1,5.2→??????= � ��²

(229) Represente através de expressões algébricas a medida da diagonal e a área total dos
paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo:


(i) Diagonal

d=a√3→�=�√�

(ii) Área total

S
T=6a²→�
�=��²

7. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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6


(i) Diagonal

d=√a
2
+b
2
+c
2
→d=√a
2
+(3a)
2
+(2a)
2
→

d=√a
2
+9a
2
+4a
2
→d=√14a²→→�=�√��

(ii) Área total

S
T=2(ab+bc+ac)→S
T=2[(3a.a)+(3a.2a)+(a.2a)]→

S
T=2.[3a
2
+6a
2
+2a
2
]→S
T=2.11a²→�
�=���²



(i) Diagonal

d=√a
2
+b
2
+c
2
→d=√x
2
+(x+1)
2
+(x+2)
2
→

d=√x
2
+x
2
+2x+1+x
2
+4x+4→�=√��
�
+��+�

(ii) Área total

S
T=2(ab+bc+ac)→

S
T=2[(x(x+1)+(x+1)(x+2)+x(x+2)→

S
T=2[x
2
+x+x
2
+2x+x+2+x
2
+2x]→

S
T=2[3x
2
+6x+2]→�
�=��
�
+���+�

(230) Calcule a medida da aresta de um cubo de 36 m² de área total.

Solução

Área total do cubo

S
T=6a
2
→36=6a
2
→a
2
=
36
6
→a
2
=6→�=√� �

(231) Calcule a diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões y, (y + 1) e (y - 1).

Solução

A diagonal do paralelepípedo é dada por:
d=√a
2
+b
2
+c
2
→d=√y
2
+(y+1)
2
+(y−1)
2
→d=√y
2
+y
2
+2y+1+y
2
−2y+1→
�=√��
�
++�

8. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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7

(232) Calcule a medida da diagonal de um cubo, sabendo que a sua área total mede 37,5 cm².
Solução
(i) A área total do cubo é dada por:
S
T=6a
2
→6a
2
=37,5→a
2
=
37,5
6
→�
2
=6,25→�=√6,25→�=2,5 ��
(ii) A diagonal do cubo é dada por:
d=a√3→d=2,5√3 →d=
25√3
10
:
5
5
→�=
�√�
�
��

(233) Calcule a medida da terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4
cm e 7 cm e que sua diagonal mede �√�� cm.
Solução
(i) A diagonal do paralelepípedo é dada por:
d=√a
2
+b
2
+c
2
→(3√10)
2
=(√4
2
+7
2
+c
2
)
2
→9.10=16+49+c
2
→90=65+c
2
→
c
2
=90−65→c
2
=25→c=√25→�=� ��
(234) Calcule a medida da aresta de um cubo, sabendo que a diagonal do cubo excede em 2 cm a diagonal
da face.
Solução
D
cubo = d
base+2→a√3=a√2+2→a√3−a√2=2→a(√3−√2)=2→
a=
2
(√3−√2)
.
(√3+√2)
(√3+√2)
→a=
2(√3+√2)
(√3)²−(√2)²
→a=
2(√3+√2)
3−2
→�=�(√�+√�)
(235) Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5 cm. Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubo
para que sua diagonal passe a medir 5,5 cm?
Solução
d=a√3→2,5=a√3→�=
2,5
√3
.
√3
√3
→�=
2,5√3
3
→�=
25√3
10
3
→�=
25√3
10
.
1
3
→�=
25√3
30
:
5
5
→
�=
�√�
�

Vamos supor que a aresta do cubo seja aumentada em “x” cm). Logo:
d=a√3→5,5=(
5√3
6
+�)√3→
55
10
=(
5√3+6�
6
)√3→
55
10
=
15+6�√3
6
→
10(15+6x√3)=330:(10)→15+6x√3=33→6x√3=33−15→6x√3=18∶(6)→x√3=3→

9. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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8

x=
3
√3
.
√3
√3
→x=
3√3
3
→�=√�
Resposta: A aresta deve ser aumentada em √� ��.
(236) A aresta de um cubo mede 2 cm. Em quanto se deve aumentar a diagonal desse cubo de modo que
a aresta do novo cubo seja igual a 3 cm?
Solução
d=a√3→�=�√� ��
Vamos supor que a diagonal do cubo seja aumentada em “x” cm). Logo:
d+x=a√3→2√3+x=3√3→x=3√3−2√3→�=√� ��
Resposta: A diagonal deve ser aumentada em √� ��.
(237) Em quanto diminui a aresta de um cubo quando a diagonal diminui em 3√� cm?
Solução
d=a√3→a√3−3√3=(a−x)√3→√3(a−3)=(a−x)√3→a−3=a−x→−x=−3(−1)→
�=� ��
(238) A diferença entre as áreas totais de dois cubos é 164,64 cm². Calcule a diferença entre as suas
diagonais, sabendo que a aresta do menor mede 3,5 cm.
Solução
S
1−S
2=164,64→6a
1
2
−6a
2
2
=164,64→6(a
1
2
−3,5²)=164,64→a
1
2
−12,25=
164,64
6
→
a
1
2
−12,25=27,44→a
1
2
=27,44+12,25→a
1
2
=39,69→a
1=√39,69→�
�=�,�
(i) Diagonal do cubo 1
D
1=a
1√3→�
�=�,�√� ��
(ii) Diagonal do cubo 2
D
2=a
2√3→�
�=�,�√� ��
(iii) Diferença entre as diagonais
D
1−D
2=�,�√�−�,�√�→
�
�−�
�=�,� √� ��
(239) Calcule a aresta de um cubo, sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas com todas
as diagonais e com as diagonais das seis faces vale 32 cm.
Solução
Sendo a aresta “a”, devemos ter o seguinte:
12 arestas = 12a

10. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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9

12 diagonais das faces = 12a√2
4 diagonais do cubo = 4a√3
Somando todos os valores relacionados acima, temos:
12a+12a√2+4�√3=32→4�(3+3√2+√3)=32÷4→�(3+3√2+√3)=8→
�=
�
�+�√�+√�

(240) Determine a área total de um paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede ��√� cm, sendo a
soma de suas dimensões igual a 60 cm.
Solução

(i) Vamos considerar “a”, “b” e “c” como as dimensões do
paralelepípedo e a diagonal que é igual a d=25√2 cm. Logo:

d
2
=a
2
+b
2
+c
2
→(25√2)
2
=a
2
+b
2
+c
2
→

�
�
+�
�
+�
�
=����→�
�
=����

(ii) Pelo enunciado da questão, temos:

�+�+�=60→(�+�+�)
2
=(60)²→



d
2
+S=60
2
→1250+S=3600→S=3600−1250→

�=���� ��²

Resposta: A área total do paralelepípedo é 2350 cm².


(241) Determine a diagonal de um paralelepípedo, sendo 62 cm² sua área total e 10 cm a soma de suas
dimensões.
Solução

11. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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10

(i) A área total do paralelepípedo é dada por:
S=2(ab+ac+bc)→2(ab+ac+bc)=62 ÷2→��+��+��=�� (i)
(ii) De acordo com o enunciado da questão, temos:
a+b+c=10→(a+b+c)
2
=(10)
2
→a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+ac+bc)=100→
d
2
+S=100→d
2
+62=100→d
2
=100−62→d
2
=38→�=√�� ��



(242) Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual à
soma dos quadrados das doze arestas.
Solução
Pelo enunciado da questão, devemos provar que:
4d
2
=4a
2
+4b
2
+4c
2
→
4�
2
=4(�
2
+�
2
+�
2
) ÷ 4→
�
�
=�
�
+�
�
+�² (c.q.d.)
(243) Dois paralelepípedos retângulos têm diagonais iguais, e a soma das três dimensões de um é igual
à soma das três do outro. Prove que as áreas totais de ambos são iguais.
Solução
Sejam a
1,b
1 e c
1 as dimensões de um paralelepípedo e a
2,b
2 e c
2 as dimensões do outro. Temos:
Diagonais iguais:
a
1
2
,b
1
2
e c
1
2
=a
2
2
,b
2
2
e c
2
2
(??????)
Temos, também:
a
1+ b
1+c
1=a
2+ b
2+ c
2 (????????????)
(a
1+ b
1+c
1)
2
=a
1
2
+b
1
2
+c
1
2
+2(�
1�
1+�
1�
1+�
1�
1)
(a
2+ b
2+c
2)
2
=a
2
2
+b
2
2
+c
2
2
+2(�
2�
2+�
2�
2+�
2�
2)
De (i) e (ii), temos:
�(�
��
�+�
��
�+�
��
�)=�(�
��
�+�
��
�+�
��
�) (c.q.d.).
(244) Determine as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos
números 1, 2, 3 e que a área total do paralelepípedo é 352 cm².
Solução
Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos:
a
1
=
b
2
=
c
3
=k→(a=k;b=2k;c=3k)(i)

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11

De acordo com o enunciado:
S=352 cm
2
→2(ab+ac+bc)=352 ÷2→ab+ac+bc=176 (ii)
Substituindo (i) em (ii), temos:
k.2k+k.3k+2k.3k=176→2k
2
+3k
2
+6k
2
=176→11k
2
=176 ÷11→k
2
=16→k=4
a=k→a=� ��
b=2k→b=2.4→b=� ��
c=3k→c=3.4→c=�� ��
Resposta: As dimensões do paralelepípedo são: 4 cm, 8 cm e 12 cm.
(245) Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que são proporcionais aos
números 5, 8, 10 e que a diagonal mede 63 cm.
Solução
Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos:
a
5
=
b
8
=
c
10
=k→(a=5k;b=8k;c=10k)(i)
De acordo com o enunciado:
d
2
=a
2
+b
2
+c
2
→a
2
+b
2
+c
2
=(63)
2
→a
2
+b
2
+c
2
=3969 (ii)
Substituindo (i) em (ii), temos:
(5k)
2
+(8k)
2
+(10k)
2
=3969→25k
2
+64k
2
+100k
2
=3969→189k
2
=3969÷189→k
2
=21
�=√����
a=5k→�=�√�� ��
b=8k→�=�√�� ��
c=10k→�=��√�� ��
(246) As dimensões de um paralelepípedo são inversamente proporcionais aos números 6, 4 e 3.
Determine-as, sabendo que a área total desse paralelepípedo é 208 m².
Solução
Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Temos:
6a=4b=3c=k→
6a=k→a=
k
6

4b=k→b=
k
4

3c=k→c=
k
3

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12

De acordo com o enunciado:
S=208→2(ab+ac+bc)=208 ÷2→
ab+ac+bc=104
Substituindo os valores de “a”, “b” e “c”, nesta equação, temos:
k
6
.
k
4
+
k
6
.
k
3
+
k
4
.
k
3
=104→
k
2
24
+
k
2
18
+
k
2
12
=104→mmc=72→
3k
2
+4k
2
+6k
2
72
=
7488
72
→
3k
2
+4k
2
+6k
2
=7488→13k
2
=7488 ÷13→k
2
=576→k=√576→�=�� �
a=
k
6
→a=
24
6
→�=� �
b=
k
4
→b=
24
4
→�=� �
c=
k
3
→c=
24
3
→�=� �
Resposta: As dimensões do paralelepípedo são: 4m, 6m e 8 m.
(247) As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a “a”, “b” e “c”. Dada a
diagonal d, calcule essas dimensões.
Solução
Devemos ter o seguinte:
x
a
=
�
�
=
�
�
=�→(�=��;�=��;�=��)
De acordo com o enunciado:
d
2
=x
2
+y
2
+z
2
→d
2
=(ak)
2
+(bk)
2
+(ck)
2
→d
2
=a
2
k
2
+b
2
k
2
+c
2
k
2
→d
2
=k
2
(a
2
+b
2
+c
2
)
k
2
=
d²
(a
2
+b
2
+c
2
)
→k=
√d²
√a
2
+b
2
+c
2
→�=
�
√�
�
+�
�
+�
�

�=��→x=a.
d
√a
2
+b
2
+c
2
→�=
��
√�
�
+�
�
+�
�

�=��→y=b.
d
√a
2
+b
2
+c
2
→�=
��
√�
�
+�
�
+�
�

�=��→z=c.
d
√a
2
+b
2
+c
2
→�=
��
√�
�
+�
�
+�
�

(248) Com uma corda disposta em cruz, deseja-se amarrar um pacote em forma de ortoedro, cujas
dimensões são 1,40 m, 0,60 m e 0,20 m. Se para fazer os nós gastam-se 20 cm, responda: Quantos metros
de corda serão necessários para amarrar o pacote?
Solução

14. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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13


(249) As dimensões de um ortoedro são inversamente proporcionais a r, s e t. Calcule essas dimensões,
dada a diagonal d.
Solução


(250) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais a “r”, “s”, “t”.
Calcule essas dimensões, sabendo que a área é S.
Solução

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14


(251) As áreas de três faces adjacentes de um ortoedro estão entre si como p, q e r. A área total é 2,2.
Determine as três dimensões.
Solução

(252) Se a aresta de um cubo mede 100 cm, encontre a distância de um vértice do cubo à sua diagonal.
Solução
Devemos ter o seguinte:

Note que o triângulo ABC é retângulo em B.
D = Diagonal do cubo
d = diagonal de uma face

Sabemos que:

d=a√2 →�=���√�

D=a√3→�=���√�


Assinalando os valores conhecidos, no triângulo retângulo ABC, temos:

Usando a relação métrica: a.h = bc, temos:


�.√3=100.√2 �=
100√2
√3
.
√3
√3
→
??????=
���√�
�
��

253. Calcule a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo.

16. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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15


Solução

(i) S
T=6a
2
→S
T=6(2)
2
→S
T=6.4→�
�=�� ��
�


(ii) V=a
3
→V=2
3
→??????=� ��³



(i) S
T=2(ab+ac+bc)

S
T=2(3,5 x 1,5+3,5 x 2+1,5 x 2)

S
T=2(5,25+7+3)

�
�=��,�� ��²

(ii) V = a.b.c

V=3,5 x 1,5 x 2

??????=��,� ��³

17. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

16


(i) S
T=6a
2
→S
T=6(1,5)
2
→S
T=6.2,25→�
�=��,�� ��²

(ii) V = a³ →V=(1,5)
3
→??????=�,��� ��³





(254) Represente através de expressões algébricas a área total e o volume dos paralelepípedos, cujas
medidas estão indicadas abaixo.

Solução

18. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

17


(i) S
T=2(ab+ac+bc) → S
T=2(a.a+a.
a
2
+�.
�
2
)→

S
T=2(a
2
+
a
2
2
+
�
2
2
)→ S
T=2(
2a
2
+a
2
+a
2
2
)

→ S
T=2(
4a
2
2
)→ �
�=��²



(ii) V=a.b.c→V=a.a.
a
2
→??????=
�
�
�


(i) S
T=6a
2
→�
�=�.�²

(ii) V=a
3
→??????=�³



(i) S
T=2(ab+ac+bc) →

S
T=2[(2x(2x+1)+2x.x+(2x+1).x]→

S
T=2(4x
2
+2x+2x
2
+2x
2
+x)→

S
T=2(8x
2
+3x)→

�
�=���
�
+��

V= a.b.c→V=2x.(2x+1).x→V=2x
2
(2x+1)→??????=��
�
+��²

(255) Calcule a medida da aresta de um cubo de 27 m³ de volume.

19. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

18

Solução
V=a
3
→27=a
3
→a=√27
3
→�=� �
(256) Calcule a diagonal, a área total e o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que as suas
dimensões são 5 cm, 7 cm e 9 cm.
Solução
a = 5 cm; b = 7 cm e c = 9 cm
(i) Diagonal:
D=√a
2
+b
2
+c²→D=√5
2
+7
2
+9²→D=√25+49+81→D=√��� ��
(ii) Área total:
S
T=2(ab+ac+bc) → S
T=2(5.7+5.9+7.9)→ S
T=2(35+45+63)→ S
T=2.143→
�
�=��� ��²
(iii) Volume:
V= a.b.c→V=5.7.9→??????=��� ��³
(257) Determine as medidas da aresta e da diagonal de um cubo cujo volume é 1728 cm³.
Solução
(i) Aresta:
V=1728→a
3
=1728→a=√1728
3
→a=√2
3
.2
3
.3³
3
→a=2.2.3→�=�� ��
(ii) Diagonal:
D=a√3→�=��√� ��

(258) Calcule o volume de um cubo cuja área total mede 600 cm².
Solução
S
T=6a
2
→6a
2
=600 ÷6→a
2
=100→a=√100→�=�� ��
Volume:
V=a
3
→V=(10)
3
→??????=���� ��³
(259) Determine o volume de um cubo de área total 96 cm².
Solução
S
T=6a
2
→6a
2
=96 ÷6→a
2
=16→a=√16→�=� ��
V=a
3
→V=4
3
→??????=�� ��³
(260) Quer-se confeccionar um cubo por meio de uma folha de zinco de 8,64 m². Qual será o
comprimento da aresta do cubo? Qual será o volume do cubo?

20. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

19

Solução
(i) Aresta do cubo:
S
T=6a
2
→6a
2
=8,64 ÷6→a
2
=1,44→a=√1,44→�=�,� �
(ii) Volume do cubo:
V=a
3
→V=(1,2)
3
→??????=�,��� �³
(261) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, cuja soma das medidas das
arestas vale 30 cm.
Solução
(i) Um cubo possui 12 arestas, logo:
12a=30→a=
30
12
→a=�,� ��
(ii) Diagonal do cubo:
D=a√3→�=�,�√� ��
(iii) Área total do cubo:
S=6a
2
→S=6.(2,5)
2
→S=6,6,25→�=��,� ��²
(iv) Volume do cubo:
V=a
3
→V=(2,5)
3
→??????=��,��� ��³



(262) Calcule a medida da diagonal, a área total e o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma
face mede 5√� cm.
Solução

(i) No triângulo retângulo ABC, destacado na figura ao lado,
temos:

d
2
=a
2
+a
2
→(5√2)
2
=2a
2
→50=2a
2
→a
2
=
50
2
→
a
2
=25→a=√25→�=� ��

(ii) Diagonal:

21. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

20

D=a√3→�=�√� ��
(iii) Área total:
S=6a
2
→S=6.5
2
→S=6.25→�=��� ��²
(iv) Volume:
V=a
3
→V=5
3
→??????=��� ��³
(263) Expresse a área total e o volume de um cubo:
(a) em função da medida da diagonal da face (f );
(b) em função da medida da sua diagonal (d).
Solução


Vamos supor que “f” seja a medida da diagonal de uma face. No
triângulo retângulo ABC, destacado ao lado, temos:

f
2
=a
2
+a
2
→f
2
=2a
2
→a
2
=
f
2
2
→a=√
f
2
2
→�=
�
√�

(a)

(i) Área total em função da medida da diagonal de face:

S=6a
2
→S=6.(
f
√2
)
2
→S=6(
f
2
2
)→�=��²

(ii) Volume em função da medida da diagonal de face:
V=a
3
→V=(
f
√2
)
3
→V=
f³
(√2)².√2
→V=
f
3
2√2
.
√2
√2
→??????=
�³√�
�

(b)
(i) Área total em função da medida da diagonal (d):
d=a√3→a=
d
√3
.
√3
√3
→�=
�√�
�

S=6a
2
→S=6(
d√3
3
)
2
→S=6(
3d
2
9
)→S=6(
d
2
3
)→�=��²
(ii) Volume em função da medida da diagonal d:
V=a
3
→V=(
d√3
3
)
3
→V=
d
3
.(√3)².√3
27
→V=
3d³√3
27
→??????=
�³√�
�

22. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

21

264. Calcule as medidas da aresta e da diagonal de um cubo, sabendo que seu volume é oito vezes o
volume de um outro cubo que tem 2 cm de aresta.
Solução
(i) Vamos supor que ??????
1 � ??????
2 sejam os volumes dos dois cubos e �
1 � �
2 , suas arestas Logo:
??????
�=�.??????
� (i)
V
2=a
2³→V
2=2³→??????
�=� ��³ (ii)
(ii) Substituindo (ii) em (i), temos:
V
1=8.V
2→V
1=8.8→??????
�=�� ��³
Aresta:
V
1=a
1
3
→64=a
1
3
→�
1=√64
3
→�
�=� ��
Diagonal:
D=a
1√3→�=�√� ��
(265) Se aumentamos a aresta de um cubo em 2√� cm , obtemos um outro cubo cuja diagonal mede 30
cm. Determine a área total e o volume do cubo primitivo.
Solução
Observação
Tudo indica que houve um erro no enunciado da questão, pois, o certo seria aumentar a aresta em:
2√� cm, logo, teríamos:
Aresta original = a
Aumento da aresta = (a + 2√�)
Diagonal:
D=a√3→30=(a+2√3)√3→30=a√3+2.3→30=a√3+6→a√3=24→a=
24
√3
.
√3
√3
→
a=
24√3
3
→�=�√�
(i) Área total:
S=6a
2
→S=6.(8√3)
2
→S=6.64.3→�=���� ��²
(ii) Volume:
V=a
3
→V=(8√3)
3
→V=512.(√3)
2
.√3→V=512.3.√3→??????=����√� ��³

(266) Em quanto aumenta o volume de um cubo, em cm³, se a aresta de 1 metro aumenta em 1 cm?
Solução

23. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

22

Aresta 1m (100cm) => v=100³ cm³
aresta (101cm)=> V= 101³ cm³
d= V - v
d= 101³ - 100³
d= 30301 cm³
d= 30301/100³ = 0,030301 m³

(267) O que ocorre com a área total e com o volume de um cubo quando:
(a) A aresta dobra
(b) A aresta é reduzida a 1/3
(c) A aresta é reduzida à metade
(d) sua aresta é multiplicada por k.
Solução
(a) A ARESTA DOBRA
Aresta original = a
(i) Área original:
�
��������=��
�

� ����� �� ������ ��������=��
(ii) Área final:
�
′
=�(��)
�
→�
′
=�.�,�
�
→�
′
=�(��
�
)→�
′
=�.�
��������
Resposta: A área do cubo origial é quadruplicada.
(iii) Cálculo do volume:
Aresta original = a
(i) Volume original:
??????
��������=�³
� ����� �� ������ ��������=��
(ii) Volume final:
??????
′
=(��)
�
→??????
′
=��
�
→??????
′
=�.??????
��������
Resposta: O volume do cubo original é multiplkicado por 8.
(b) A ARESTA É REDUZIDA A 1/3
Aresta original = a

24. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

23

(i) Área original:
�
��������=��
�

� ������ é �������� �
�
�
=
�
�

(ii) Área final:
�
′
=�.(
�
�
)
�
→
�
′
=�.(
�
�
�
)→
�
′
=
�
�
.��
�
→
�
′
=
�
�
.�
��������
Resposta: A área do cubo original é reduzida a 1/9 .
(iii) Cálculo do volume:
Aresta original = a
(i) Volume original:
??????
��������=�³
� ������ é �������� �
�
�
=
�
�

(ii) Volume final:
??????
′
=(
�
�
)
�
→
??????
′
=
�
�
��
→
??????
′
=
�
��
.??????
��������
Resposta: O volume original é reduzido a 1/27.

(c) A ARESTA É REDUZIDA À METADE
Aresta original = a
(i) Área original:
�
��������=��
�

� ������ é �������� à ������=
�
�

25. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

24

(ii) Área final:
�
′
=�.(
�
�
)
�
→
�
′
=�.(
�
�
�
)→
�
′
=
�
�
.��
�
→
�
′
=
�
�
.�
��������
Resposta: A área do cubo original é reduzida a 1/4 .
(iii) Cálculo do volume:
Aresta original = a
(i) Volume original:
??????
��������=�³
� ������ é �������� à ������=
�
�

(ii) Volume final:
??????
′
=(
�
�
)
�
→
??????
′
=
�
�
�
→
??????
′
=
�
�
.??????
��������
Resposta: O volume original é reduzido a 1/8.

(d) SUA ARESTA É MULTIPLICADA POR k.
Aresta original = a
(i) Área original:
�
��������=��
�

Aresta multiplicada por k: ak
(ii) Área final:
�
′
=�(��)
�
→�
′
=�.�
�
.�²→�
′
=�².�
��������
Resposta: A área do cubo origial é multiplicada por k²
(iii) Cálculo do volume:

26. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

25

Aresta original = a

(i) Volume original:
??????
��������=�³
Aresta multiplicada por k: ak
(ii) Volume final:
??????
′
=(��)
�
→??????
′
=�
�
.�
�
→??????
′
=�
�
.??????
��������
Resposta: O volume do cubo original é multiplkicado por k³.
(268) Enche-se um recipiente cúbico de metal com água. Dado que um galão do líquido tem um volume
de 21600 cm³ e sendo 120 cm a aresta do recipiente, calcule o número de galões que o recipiente pode
conter.
Solução
N° de galões=
V
recipiente
V
galão
→
N° de galões=
(120 cm)
3
21600 cm
3

→N° de galões=
1728000
21600

�° �� ���õ��=�� ���õ��

(269) Calcule o volume de um cubo, sabendo que a distância entre os centros de duas faces contíguas é
de 5 cm.
Solução


Sejam A e B os centros das duas faces
contíguas e C ponto médio da aresta comum
às faces consideradas.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo ABC destacado ao lado, vem:

27. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

26


(270) O segmento de reta que liga um dos vértices de um cubo ao centro de uma das faces opostas mede
60 cm. Calcule o volume desse cubo.
Solução

(i) No triângulo retângulo amarelo, destacado ao lado, devemos
ter o seguinte:

x
2
+(
a
2
)
2
=(60)
2
→�
2
+
�
2
4
=3600→�
�
=����−
�
�
�





(ii) Observe o triângulo retângulo azul, destacado na figura ao
lado:

x
2
=a
2
+(
a
2
)
2
→3600−
�
2
4
=�
2
+
�
2
4
→

3600−
�
2
4
=
4�
2
+�
2
4
→3600=
5�
2
4
+
�
2
4
→3600=
6�
2
4
→

600=
�
2
4
→2400=�
2
→�=√2400→�=√2
2
.6.10²→

�=��√� ��

(iii) Cálculo do volume:
V=a
3
→V=(20√6)
3
→V=(20√6)
2
.(20√6)→2400.20.√6→??????=��.���√� ��³
(271) Calcule o volume de um cubo, sabendo que, quando se aumenta sua aresta em 1 metro, a área
lateral do cubo cresce 164 m².
Solução
(i) Cubo original:
Aresta = a
Área lateral = 4a²
(ii) Cubo final:
Aresta = a + 1
S
L=4a
2
→4a
2
+164=4(a+1)
2
→4a
2
+164=4(a
2
+2a+1)→4a
2
+164=4a
2
+8a+4→

28. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

27

164=8a+4→8a=164−4→8a=160→a=
160
8
→�=�� �
Cálculo do volume:
V=a
3
→V=(20)
3
→??????=�����³
272. A medida da superfície total de um cubo é 726 cm². Quanto devemos aumentar sua diagonal para
que o volume aumente 1.413 cm³?
Solução
(i) Área total do cubo:
S=6a
2
→6a
2
=726→a
2
=
726
6
→a
2
=121→a=√121→�=�� ��
Volume do cubo:
V=a
3
→V=(11)
3
→??????=���� ��³
O volume deve aumentar 1413 cm³. Logo:
V’ = 1331+1413
V
′
=2744
Valor da nova aresta:
a′
3
=2744→a′=√2744
3
→�′=√2
3
.7
3
3
→�′=�� ��
Note que a aresta do cubo original sofreu um aumento de: 14 cm – 11 cm = 3 cm. Logo.
Diagonal
final −Diagonal
original→�
′
.√3−�.√3→14√3−11√3→3√3 cm
(273) Calcule a aresta e a área total de um cubo de volume igual ao do ortoedro cujas dimensões são 8
cm, 27 cm e 125 cm.
Solução
Um ortoedro é um tipo de paralelepípedo ortogonal com faces que formam entre si ângulos retos. Os ortoedro
são prismas retangulares retos, e também são chamados paralelepípedos retangulares.
De acordo com o enunciado:
V
cubo =V
orotoedro→
a
3
=a.b.c
(i) Aresta do cubo
a
3
=8.27.125→a
3
=27000→a=√27000
3
→�=�� ��
(ii) Área total do cubo:
S=6a
2
→S=6(30)
2
→S=6.900→�=���� ��²
(274) Calcule o comprimento da aresta e a área total de um cubo equivalente a um paralelepípedo
retângulo, cujas dimensões são 8 cm, 64 cm e 216 cm.

29. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

28

Solução
V
cubo =V
orotoedro
(i) Aresta do cubo:
a
3
=a.b.c→�
3
=8.64.216→�
3
=110.592→�=√110592
3
→�=�� ��
(ii) Área total do cubo:
S=6a
2
→S=6(48)
2
→S=6.2304→�=����� ��²
(275) O volume de um paralelepípedo retângulo vale 270 dm³. Uma de suas arestas mede 5 dm e a razão
entre as outras duas é
�
�
. Determine a área total desse paralelepípedo.
Solução
Vamos supor que:
c = 5 dm
V
paralelepípedo=a.b.c
(�) ??????
������������=��� ��
�
→a.b.5=270→a.b=
270
5
→�.�=�� (�)
(ii) razão entre duas dimensões:
a
b
=
2
3
→3a=2b→�=
��
�
(��)
(ii) Substituindo (ii) em (i), temos:
a.b=54→
2b
3
.b=54→
b
2
3
=27→b
2
=81→b=√81→�=� ��
Como:
a=
2b
3
→a=
2.9
3
→�=� ��
(iii) Área total:
S=2(ab+bc+ac)→S=2(6.9+9.5+6.5)→S=2(54+45+30)→S=2(129)→
�=��� ��²
(276) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 3, 6 e 9. Calcule
essas dimensões, a área total e o volume do paralelepípedo, sabendo que a diagonal mede 63 cm.
Solução
(i) Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Então:
a
3
=
b
6
=
c
9
=k→a=3k;b=6k e c=9k
(ii) Diagonal = 63
??????
2
=�
2
+�
2
+�
2
→�
2
+�
2
+�
2
=(63)
2
→(3�)
2
+(6�)
2
+(9�)
2
=3969→

30. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

29

9k
2
+36k
2
+81k
2
=3969→126k
2
=3969→k
2
=
3969
126
→k
2
=31,5→k=√31,5→
k=√
315
10
→k=
√315
√10
→k=
√3
2
.35
√10
→k=
3√35
√10
.
√10
√10
→k=
3√350
10
→k=
3√5
2
.14
10
→
k=
15√14
10
÷
5
5
→�=
�√��
�

a=3.k→a=3.
3√14
2
→ �=
� √��
�
��
b=6k→b=6.
3√14
2
→�=�√�� ��
c=9k→c=9.
3√14
2
→�=
��√��
�
��
Área total:
S=2(ab+bc+ac)→S=2(
9 √14
2
.9√14+9√14.
27√14
2
+
9 √14
2
.
27√14
2
)→
S=2(
81.14
2
+
243.14
2
+
243.14
4
)→S=2(81.7+243.7+
243.7
2
)→
S=2(567+1701+
1701
2
)→S=2(
1134+3402+1701
2
)→�=���� ��²
Volume:
V=a.b.c→V=
9 √14
2
.9√14.
27√14
2
→V=
2187.14.√14
4
→??????=
�����√��
�
��³
Observação: Na resposta do livro aparece: ���√�� ��³
(277) As dimensões a, b e c de um ortoedro são proporcionais a 6, 3 e 2. Sabendo que a área total é 288
cm², calcule as dimensões, a diagonal e o volume do paralelepípedo.
Solução
(i) Sejam “a”, “b” e “c” as dimensões do paralelepípedo. Então:
a
6
=
b
3
=
c
2
=k→a=6k;b=3k e c=2k
Área total = 288
S=2(ab+bc+ac)→2(ab+bc+ac)=288÷2→ab+bc+ac=144→
6k.3k+3k.2k+6k.2k=144→18k
2
+6k
2
+12k
2
=144→36k
2
=144→k
2
=
144
36
→k
2
=4
k=√4→�=�
a=6k→�=�� ��

31. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

30

b=3k→�=� ��
c=2k→�=� ��
Diagonal:
D= √a
2
+b
2
+c²→D=√12
2
+6
2
+4²→D=√144+36+16→D=√196→�=�� ��
Volume:
V=a.b.c→V=12.6.4→??????=��� ��³
(278) A altura de um ortoedro mede 10 cm e as bases são quadrados de diagonal �√� cm. Calcule a
área da superfície lateral e o volume.
Solução

Diagonal do quadrado = L√�

L√2=5√2→�=� ��

A superfície lateral é composta por 4 retângulos de dimensões:
5 x 10. Logo:

S
L=4(5.10)→S
L=4.50→�
�=��� ��²

Volume:

V=a.b.c →V=5.5.10→??????=��� ��³




(279) Determine a área de uma placa de metal necessária para a construção de um depósito em forma
de ortoedro (aberto em cima), sabendo que o depósito tem 2 m de largura, 1,50 m de altura e 1,20 m de
comprimento.
Solução

Área da placa:

S=2.Area A+2.Área B+1.Área C

S=2(2.1,5+(1,20.1,5)+2.1,20→

S=2(3+1,8)+2,40→

S=2.4,8+2,40→

S=9,6+2,40→

�=�� �²

32. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

31

(280) A área de um paralelepípedo reto-retângulo é 720 cm². Determine seu volume, sabendo que a soma
de suas dimensões vale 34 cm e que a diagonal de uma das faces vale 20 cm.
Solução


(281) Determine as dimensões e o volume de um ortoedro, sendo a soma de suas dimensões igual a 45
cm, a diagonal da base igual a 25 cm e a área total igual a 1 300 cm².
Solução

(282) Determine o volume e a área total de um paralelepípedo retângulo, dada a soma de suas dimensões
43a, a diagonal 25a e a área de uma face 180a².
Solução

33. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

32


(283) Calcule as dimensões de um ortoedro cuja diagonal mede 13 cm, de área total 192 cm², e sabendo
que a área da seção por um plano que contém duas arestas opostas é 60 cm².
Solução
A área da secção que ele descreve é a da figura abaixo.

Seja x a largura, y o comprimento e z a altura desse sólido.

Temos:

34. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

33


(284) Determine o volume de um ortoedro de 90 cm² de superfície, supondo que quatro faces do ortoedro
são retângulos congruentes e que cada uma das outras é um quadrado de área igual à metade da área
do retângulo.
Solução

(i) De acordo com o enunciado:

a
2
=
ab
2
→a=
b
2
→�=��

(ii) Área do ortordro = 90 cm²

S=2a
2
+4a.b→2a
2
+4a.b=90 ÷2→a
2
+2ab=45→

a
2
+2a.2a=45→a
2
+4a
2
=45→5a
2
=45→a
2
=
45
5
→a
2
=9→
�=� ��


b=2a→b=2.3→�=� ��
Volume:
V=S
b.h→V=a
2
.b→V=3
2
.6→V=9.6→??????=�� ��³
(285) Um cubo e um ortoedro têm ambos soma das arestas igual a 72 cm. A dimensão menor do ortoedro
é
�
�
da aresta do cubo e a dimensão maior do ortoedro é
�
�
da dimensão menor do ortoedro. Determine a
relação entre os volumes de ambos os sólidos.
Solução

35. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

34

(286) Uma banheira tem a forma de um ortoedro cujas dimensões são 1,20 m de comprimento, 0,90 m
de largura e 0,50 m de altura. Quantos litros de água pode conter? Se toda a água da banheira for
colocada em um depósito em forma de cubo de 3 m de aresta, que altura alcançará a água?
Solução

(i) Capacidade em Litros:

V=a.b.c →V=1,20 x 0,90 x 0,50 →??????=�,�� �³

Para transformar de m³ para dm³ devemos multiplicar por
1000. Logo:

V=0,54 x 1000→V=540 dm
3
→??????=��� ������
(ii) Altura da água em um cubo de aresta de 3m de aresta
V
cubo=a.a.h→0,54=3.3.h→9h=0,54→h=
0,54
9
→�=�,�� �
(287) A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60 cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal
do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo
retângulo.
Solução




(288) Calcule a área total S de um paralelepípedo retângulo em função de seu volume V e do lado L, de
sua base, sabendo que a base é um quadrado.
Solução
(i) Volume
V=a.b.c→V=L.L.c→V=L
2
.c →�
�
=
??????
�
�� �=
??????
�²

(ii) Área da base

36. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

35

Sb=L
2
(????????????)
Igualando (i) em (ii), temos:

V
c
=L
2
→??????=�
�
.�→V=L.L.c→�=
??????
��

Área total
S=2(ab+ac+bc)→S=2(L.L+Lc+Lc)→S=2(L
2
+2Lc)→S=2(
V
c
+2.
V
Lc
.c)→
S=2(
V
c
+
2V
L
)→S=2(
V
V
L
2
+
2V
L
)→S=2(V.
L
2
V
+
2V
L
)→S=2(L
2
+
2V
L
) →�=��
�
+
�??????
�

289. Calcule as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que a soma de duas delas é 25 m, o
volume 900 m³ e a área total 600 m².
Solução
(i) Vamos supor que as dimensões sejam: “a”, “b” e “c”. Logo:
a+b=25
V=900→abc=900→��=
���
�
(i)
St=600→2(ab+ac+bc)=600 ÷2→ab+ac+bc=300→ab+c(a+b)=300→
900
c
+25�=300→900+25�
2
=300�→25�
2
−300�+900=0 ÷25→�
�
−���+��=�
∆=12
2
−4.1.36→∆=144−144→∆=0 c=
12±0
2
→�=� �
Substituindo o valor de c = 6 m em (i), temos:
ab=
900
c
ab=
900
6
→ab=150→�=
���
�
(��)
Sabemos que:
a+b=25→a+
150
a
=25→�
2
+150=25�→�
�
−���+���=�
∆=625−600→∆=25 �=
25±5
2
→�
′
=�� � � �
′′
=�� �
Quando a = 15
b=
150
a
→b=
150
15
→�=�� �
Quando a = 10
b=
150
a
→b=
150
10
→�=�� �
Logo:

37. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

36

As dimensões do paralelepípedo são: 10 m, 15 m e 6 m
(290) Determine o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que duas dimensões têm igual
medida e que a diagonal mede 9 cm, sendo 144 cm² sua área total.
Solução

(291) A área da superfície total de um cubo é igual à de um ortoedro de área 216 cm². A altura do
ortoedro é de 3 cm e uma das dimensões da base é 1/3 da outra. Determine a relação entre os volumes
de ambos os sólidos.
Solução

(292) Calcule a área total de um paralelepípedo retângulo, com 192 cm³ de volume, diagonal medindo
o triplo da diagonal de uma das faces de menor área, que é o triplo da menor dimensão do
paralelepípedo.
Solução

38. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

37


(293) Cinco cubos podem ser dispostos um sobre o outro, formando um ortoedro. Também podemos
dispor 6 cubos iguais aos anteriores, pondo 3 sobre 3, obtendo um outro ortoedro. Determine a razão
entre os volumes e a razão entre as áreas dos ortoedros obtidos.
Solução

(i) Note que quando os cubos são empilhados resultam num ortoedro de base
quadrada com aresta “a” e altura igual a 5a.

O volume desse ortoedro é:

V
1=a.a.5a→??????
�=��³

Area total:

S
1=5S
L+2S
b→S
1=5.(4a
2
)+2.a
2
→S
1=20a
2
+2a²→�
�=���²

39. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

38


(ii) Note que quando os cubos são
empilhados resultam num ortoedro de
base retangular igaul a 3a.a e altura 2a.
Logo:

Volume

V
2=3a.a.2a→V
2=6a³

Área total

S
2=2.a.3a+2.2a.2a+2.2a.2a→

S
2=6a
2
+8a
2
+4a²→�
�=���²


Razão entre os volumes:
V
2
??????
1
=
��
�
��³
→
V
2
??????
1
=
�
�

Razão entre as áreas:
S
2
S
1
=
22a
2
22a²
→
�
�
�
�
=�
(294) Com seis cubos iguais, construímos um ortoedro, dispondo os cubos um sobre o outro de maneira
que suas faces estejam exatamente superpostas. Determine a relação entre as áreas do ortoedro e de um
cubo, sendo os volumes dos cubos os mesmos.
(Resposta:
��
�
)
(295) Dos ortoedros que podemos formar dispondo de oito cubos iguais, determine o ortoedro de menor
superfície.
(Resposta: O ortoedro de menor superfície é o cubo).
296. Sobre a base quadrada de um ortoedro, constrói-se exteriormente a ele um cubo que tem por base
o quadrado cujos vértices são os pontos médios da base do ortoedro. Determine o volume e a área da
superfície do sólido assim obtido, sabendo que a altura do ortoedro mede 2/3 do lado da base e a soma
de suas dimensões é de 16 cm.
Solução

40. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

39


(297) Calcule as medidas x e y das arestas de dois cubos, conhecendo a soma x + y = L , (L, é dado) e a
soma dos volumes v³ (v é dado). Discuta.
Solução

(298) Demonstre que:
(a) em um cubo as arestas são igualmente inclinadas em relação a uma diagonal qualquer.
(b) em um cubo as projeções das arestas sobre qualquer das diagonais são iguais à terça parte da
diagonal.
Solução

41. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

40


(299) Sabendo que as faces de um cubo são inscritíveis em círculos de 7,29?????? cm² de área, calcule:
(a) a medida da sua diagonal;
(b) a medida da sua área total;
(c) a medida do seu volume.

Solução

300. Demonstre que, em todo paralelepípedo, a soma dos quadrados das áreas das seções, determinadas
pelos seis planos diagonais, é igual ao dobro da soma dos quadrados das áreas das seis faces.
Solução

42. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

41


(301)
(a) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesmo volume, qual o de menor superfície?
(b) Entre todos os paralelepípedos retângulos de mesma superfície, qual o de maior volume?

Respostas:


(746) Determine a aresta de um cubo, sabendo que seu volume é o dobro do volume de um outro cubo
de aresta A.

Solução

Seja “�
1” a aresta do cubo 1. De acordo com o enunciado, o volume do cubo 1 é o dobro do volume do cubo
2. Logo:

V
1=2.V
2

(a
1)
3
=(2.A
3
)

a
1=√2A
3
3


�
�=�√�
�




----------------------------------------------

INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS – ESFERA E CUBO

43. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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42







(880) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta.

Solução

44. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

43




(881) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.

Solução


Pela figura, temos que a Diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Logo:


Em um cubo inscrito em uma esfera, temos:

(i) Diagonal
Cubo= Diagonal
esfera

a√3=2R

45. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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44


(ii) Como o raio da esfera vale 3, temos
a√3=2.3→a=
6
√3
.
√3
√3

→�=
�√�
�


(iii) Volume do cubo

V=a
3
→V=(
6√3
3
)
3
→V=
216.√3
2
.3
27

→V=8.3√3→??????=��√� cm³

(882) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera de 8 cm de raio.

Solução

Solução

Observação: Trata-se do mesmo caso anterior, sendo que a esfera está circunscrita ao cubo. Logo:

Diagonal
cubo=Diâmetro
esfera

a√3=2r
a=
2r
√3

a=
2r
√3
.
√3
√3

a=
2r√3
3

V
cubo=a
3

V
cubo=(
2.8√3
3
)
3

V
cubo=(
16√3
3
)
3

V
cubo=
4096.3√3
27


??????
����=
����√�
�
��³


(883) Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25?????? cm² de
superfície.

Solução

46. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

45


Á��� �� ������
S
esfera=4πr
2

25π=4πr
2

4r
2
=25
r
2
=
25
4

r=
5
2

a=2r
a=2.
5
2

a=5 cm


Á��� ������� �� ����
S
L=4a
2

S
L=4.5
2

S
L=4.25

�
�=��� ��²

??????����� �� ����

V=a
3

V=5
3


??????=��� ��³





(884) Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 cm².

Solução





S
T=6a
2

6a
2
=54
a
2
=
54
6

a
2
=9
�=�

Diagonal
cubo=Diâmetro
esfera
a√3=2r
r=
a√3
2

�=
�√�
�


Volume da esfera
V=
4
3
πr
3

V=
4
3
π(
3√3
2
)
3

V=
4
3
.
27.3√3
8
π
??????=
��√�
�
?????? ��³

47. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

46




(885) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo volume mede 2,304?????? cm³.

Solução

Volume da esfera

V
esfera=2,304π
2,304π=
4
3
πr
3

4r
3
=6,912
r
3
=
6,912
4

r
3
=1,728
r=√
1728
1000
3

r=
12
10


�=�,�
��������
����
=������
������
a√3=2r
a=
2r
√3

a=
2.1,2
√3

a=
2,4
√3

??????����� �� ����
V=a
3

V=(
2,4
√3
)
3

V=
13,824
3√3

??????=
�,���
√�
��³



(886) Determine a razão entre a área da esfera e a do cubo inscrito nessa esfera.

Solução

��������
����=������
������
a√3=2r
a=
2r
√3
.
√3
√3

a=
2r√3
3

S
cubo=6a
2
→ S
cubo=6 (
2r√3
3
)
2
→ S
cubo=6(
4r
2
.3
9
)→S
cubo=
72r²
9
→�
����=��²

S
esfera
S
cubo
=
4πr
2
8r
2
→

�
������
�
����
=
??????
�


(887) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a uma
mesma esfera.

Solução:

48. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

47


cubo
inscrito
cubo
circunscrito
=?

De acordo com o exercício anterior (07), a aresta de um cubo inscrito em uma esfera é dada por:

a=
2r√3
3
→
V cubo
inscrito=a
3
→
V cubo
inscrito=(
2r√3
3
)
3
→V cubo
inscrito=
8r³3√3
27

V cubo
inscrito=
8r³√3
9
→?????? ����
��������=
��
�
√�
�


Em um cubo de aresta a circunscrito a uma esfera, temos:

a = 2r

V cubo
circunscrito=a
3
→V cubo
circunscrito=(2r)
3
→?????? ����
������������=��³


cubo
inscrito
cubo
circunscrito
=
��
�
√�
�
��
�
→

cubo
inscrito
cubo
circunscrito
=
√�
�



(888) Determine a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera circunscrita a um cubo de aresta
a.

Solução

(i) Podemos dizer que, se a esfera está inscrita a um cubo de aresta a, então o cubo está circunscrito a
uma esfera. Logo:

Em um cubo de aresta a circunscrito a uma esfera, temos:

??????=
�
2


Volume da esfera inscrita:

V
inscrita=
4
3
????????????
3
→V
inscrita=
4
3
??????(
�
2
)
3
→V
inscrita=
4
3
??????.
�³
8
→??????
��������=
�³??????
�


(ii) Podemos dizer que, se a esfera está circunscrita a um cubo de aresta a, então o cubo está inscrito a
uma esfera. Logo:

49. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

48


Raio da esfera:

�=
� √�
�


(iii) Volume da esfera circunscrita:

??????
������������=
4
3
πr
3
→V
inscrita=
4
3
π(
a√3
2
)
3
→V
inscrita=
4
3
π.
a
3
3√3
8
→??????
��������=
�³??????√�
�


(iv) Razão

V
inscrita
V
circunscrita
=
a³π
6
a³π√3
2
→
a
3
π
3
a³π√3
→
a
3
π
3
.
1
a³π√3
→
1
3√3
.
√3
√3
→
??????
��������
??????
������������
=
√�
�




(889) Calcule o volume de um cubo inscrito em uma esfera cujo raio mede r.

Solução

(i) Se o cubo está inscrito, então, a esfera está circunscrita ao cubo. Logo:

r=
a√3
2
→a√3=2r→a=
2r
√3
.
√3
√3
→�=
��√�
�


(ii) Volume do cubo:

V=a
3
→V=(
2r√3
3
)
3
→V=
8r
3
.3.√3
27
→??????=
��³√�
�


(890) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida A da superfície da
esfera.

Solução

(i) A área da esfera é dada por:

A=4πr
2
→r
2
=
A
4π
→r=√
A
4π
→�=
√�
�√??????
(??????)

50. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

49


(ii) Note, pela figura ao lado que diagonal do cubo é igual ao diâmetro da
esfera. Logo:

a√3=2r→�=
��
√�
(????????????)

(iii) Substituindo (i) em (ii), temos:

�=
2r
√3
→a=
2.(
√A
2√π
)
√3
→�=
√�
√�.√??????



(iv) Volume do cubo:

V=a
3
→V=(
√A
√3.√π
)
3
→V=
(√A)
2
.√A
(√3)
2
.√3.(√π)
2
.√??????
→??????=
A√A
3√3.π√π
→??????=
�√�
�??????√�??????






(891) Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da medida V do volume da
esfera.

Solução

(i) Para o cubo inscrito na esfera, temos a seguinte equação:

2R=a√3→�=
��
√�
(??????)

(ii) Volume da esfera:

V=
4
3
πR
3
→R
3
=
V
4
3
π
→R
3
=
V.3
4π
→�=√
??????.�
�??????
�
(????????????)

(iii) Substituindo (ii) em (i), temos:

a=
2R
√3
→�=
� (√
??????.�
�??????
�
)
√�


(iv) Volume do cubo:

51. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

50

V=a
3
→V=
[



2 (√
V.3
4π
3
)
√3
]




3
→V=
8(
V.3
4π
)
3√3
→V=
6V
π
3√3
→V=
6V
3π√3
→??????=
�??????
??????√�

(892) Determine a área da superfície esférica circunscrita a um cubo, em função da medida A da área
total do cubo.

Solução

(i) Para o cubo inscrito na esfera, temos a seguinte equação:

2R=a√3→�=
��
√�
(??????)

(ii) Área total do cubo:

A=6a
2
→a
2
=
A
6
→a=√
A
6
(????????????)



(iii) Igualando (i) com (ii), temos:

2R
√3
=√
A
6
→2R=√3.√
A
6
→2R=√
3A
6
→�=
√
�
�
�


(iv) Área da esfera:

S=4πR
2
→S=4π
(

√
A
2
2
)

2
→S=4π(
A
2
4
)→S=π(
A
2
)→�=
??????�
�


(893) Determine a distância do centro de uma esfera inscrita em um cubo a um dos vértices do cubo,
sabendo que a superfície da esfera mede 54,76?????? cm².

Solução

(i) Vamos supor que “r” seja o raio da esfera e “d” a distância que queremos calcular. Logo:

(ii) Área da esfera:

S=4πr
2
→54,76π=4πr
2
→4r
2
=54,76→r
2
=
54,76
4
→??????
2
=13,69

52. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

51

(iii) Sabemos que em uma esfera inscrita no cubo, a aresta do cubo vale 2 vezes o valor do raio da esfera.
Logo:

a=2r


(iv) Note que no triângulo retângulo AOC, o lado AO vale metade da
diagonal da base, ou seja:

AO=
2r√2
2
→AO=r√2

OC = r

(v) Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo AOC, temos:

�
2
=(�??????)
2
+??????
2
→�
2
=(??????√2 )²

+??????
2
→�
2
=2r
2
+r
2
→d
2
=3r
2
→d
2
=3.13,69→

d=√3.(
1369
100
)→d=√
4107
100
→�=√��,�� ��

(894) Determine a diagonal de um cubo circunscrito a uma esfera na qual uma cunha de 60° tem área
total igual a 60?????? cm².

Solução

(i) A área da cunha é dada por:

S
cunha=�
��?????????????????? + �
????????????�??????

60π=πr
2
+
????????????
2
??????
90


60??????=
90????????????
2
+????????????
2
.60
90





r
2
=36

�=� ��

(ii) No cubo circunscrito a uma esfera, temos:

53. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

52

2r=a

2.6=a

�=�� ��

(iii) Diagonal do cubo

D=a√3

�=��√� ��

(895) Uma esfera está inscrita em um cubo. Calcule o volume do espaço compreendido entre a esfera e
o cubo, sabendo que a área lateral do cubo mede 144?????? cm².

Solução

(i) Área lateral do cubo = 144?????? cm².

S
L=144π → 4a
2
=144π → a
2
=
144π
4
→ a
2
=36π → a=√36π → �=�√?????? �??????

(ii) Volume do cubo

V
cubo=�
3
→V
cubo=(6√??????)
3
→??????
����=���??????√?????? �??????³

(iii) Em uma esfera inscrita em um cubo, temos:

a=2r→r=
a
2
→??????=
6√??????
2
→�=�√?????? ��

(iv) Volume da esfera

V
esfera=
4
3
????????????
3
→V
esfera=
4
3
??????(3√??????)
3
→V
esfera=
4
3
??????(27??????√??????)→??????
������=��??????
�
.√?????? ��³

(v) Espaço entre a esfera e o cubo

Espaço=V
cubo−V
esfera →Espaço=216π√π−36π
2
√π→����ç�=��??????√?????? (�−??????) cm³

(896) Cada vértice de um cubo é centro de uma esfera de raio igual a 4 cm; sendo 8 cm a medida da
aresta do cubo, calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

Solução

Raio da esfera = 4 cm
Aresta do cubo = 8 cm

54. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

53


Devemos ter o seguinte:

V
externo=V
cubo −V
esfera

V=8
3
−
4
3
π.4
3
→V=512−
4π
3
.64→??????=���−
���??????
�


Obs: O gabarito do livro tem a seguinte resposta:
??????=���−
���??????
�



-------------------------------------------------------

QUESTÕES DE VESTIBULARES


(UFSC) Na figura a seguir, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1+√�)
cm. Calcule o volume do cubo em cm³.



Solução


(i) De acordo com o enunciado da questão, o perímetro (P)
do quadrilátero ABCD vale: 8(1+√2) cm.
Sabemos que o perímetro é a soma dos lados. Na figura, “d”
equivale à diagonal da base e “a” a medida do lado.
A diagonal da base é dada por:

d=a√2

P=8(1+√2)→2�+2�=8(1+√2) →

2(�√2)+2�=8(1+√2) ÷2→�√2+�=4(1+√2)

(ii) Colocando o “a” em evidência no 1° membro da equação, temos:

55. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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54


a(1+√2)=4(1+√2)→a=
4(1+√2)
(1+√2)
→�=� ��

(iii) Volume do cubo

V=a
3
→V=4
3
→??????=�� ��³

(ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o
mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura,
18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que
têm o formato de cubo é igual a

(a) 5 cm.
(b) 6 cm.
(c) 12 cm.
(d) 24 cm.
(e) 25 cm.

Solução

Sendo VP e VC os volumes das barras de chocolate de formato “paralelepípedo” e “cubo”, respectivamente,
e sendo a a medida da aresta do cubo, temos:

(i) Volume do paralelepípedo:

V= abc.
VP = 3 cm x 18 cm x 4 cm = 216 cm³

(ii) Volume do cubo:

VC = a³
Como os dois volumes são iguais:

VP = VC

a³ = 216 cm³ ⇒a = √216
3
→ a = 6 cm

Resposta: B

Um deslizamento ocorrido em uma encosta de estrada deslocou 262,5 m³ de terra sobre a pista. Para a
limpeza dessa área, a prefeitura destinou caminhões com as dimensões indicadas na figura abaixo.
Quantas viagens o caminhão deve fazer para transportar o volume total de terra que deslizou?

56. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

55




(a) 10
(b) 13
(c) 15
(d) 18
(e) 21

Solução

Volume de cada caminhão:

V
caminhão=a.b.c→V
caminhão=4.1,75.2,5→??????
������ã�=��,� �³

Quantidade de viagens (Q):

Q=
V
terra
V
caminhão
→Q=
262,5
17,5
→�=�� �������



(FGV-SP) O volume de um cubo, em m³, é numericamente igual a sua área total, em cm². Assim, a aresta
desse cubo, em cm, é igual a:

Solução
(i) O Volume do cubo está em m³, logo, a aresta também está em metros. Mas, precisamos transformar para
cm, porque o enunciado da questão pede a resposta em cm. Assim sendo:
a.
1
100
=�.10
−2

(ii) Conforme o enunciado:
V
cubo=S
cubo→(a.10
−2
)
3
=6a
2
→a
3
.10
−6
=6a
2
÷a
2
→a.10
−6
=6→a=
6
10
−6
→�=�.��
�

57. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

56





(UFRS) Considere um cubo de aresta 10 e um segmento que une o ponto P,
centro de uma das faces do cubo, ao ponto Q, vértice do cubo, como indicado
na figura ao lado. A medida do segmento PQ é:




Solução





(Resposta: B)



(PUCRS) No cubo representado na figura a área do triângulo ABC é:



Solução
Pela figura fornecida, temos:
(i) AB = Aresta do cubo = AB = 4
(ii) AC=Diagonal do cubo →AC=a√3→��=�√�
(iii) BC=Diagonal de uma face→BC=a√2→��=�√�

58. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

57

Note que o triângulo ABC é retângulo em B. Os lados AB e BC são os catetos. Logo, sua área é:
S=
AB.BC
2
→
S=
4.4√2
2
→
�=�√�
(Resposta: B)
(U.F. São Carlos - SP) A figura indica um paralelepípedo reto retângulo
de dimensões √� � √� � √�, sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.
A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a:



Solução

Vamos marcar o ponto médio de CD. Ele será chamado de M. Podemos
observar que o segmento de reta BM corresponderá à metade da diagonal da
base BE, logo:

�M=
√2.√2
2
→BM=
2
2
→��=�

59. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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58

Note também que existe um triângulo (vermelho) que é retângulo em B. Logo,
pelo Teorema de Pitágoras, temos:

(AM)
2
=(MB)
2
+(AB)
2
→(AM)
2
=1
2
+(√7)
2
→(AM)
2
=1+7→

(AM)
2
=8→AM=√8→��=�√�



(UNESP - SP) A figura mostra um paralelepípedo reto retângulo
ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em
centímetros. A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH
vale:




Solução

(i) No triângulo retângulo AEH, temos:

(AH)
2
=(AE)
2
+(EH)
2


(AH)
2
=(2�)
2
+�
2


(AH)
2
=4�
2
+�
2


(AH)
2
= 5�
2


��=�√�
(ii) No triângulo AHB, temos:

(HB)
2
=(AH)
2
+(AB)²

(HB)
2
=5a
2
+a
2


(HB)
2
=6a
2


??????B=√6a
2


��=�√�

60. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

59

(iii) Ainda no triângulo AHB, temos:
HB.AL=AB.AH
a√6.�??????=�.�√5
AL=
a√5
√6
.
√6
√6
→��=
�√��
�

(Resposta: E)



(UE-MG) O desenho, abaixo, representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de espessura e
dimensões externas iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações. Nela será colocada uma mistura
líquida de água com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de
um certo período, 1.200 cm³ do líquido evaporaram. Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da
mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo de:



Solução
Dimensões internas do recipiente = 59 x 39 x 9

Volume original da mistura: Vo = 59.39.8 ---> Vo = 18 408 cm³

Volume restante após evaporação: V = 18 408 - 1 200 ---> V = 17 208 cm³

59.39.h = 17 208 ---> 2301.h=17208 ---->
h=
17208
2301
→�≅�,��
Resposta: C
(FUVEST - SP) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a.
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta ��̅̅̅̅, então a distância do ponto M ao centro do quadrado
ABCD é igual a:

61. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

60




Vamos apresentar duas soluções diferentes para este problema:

Solução 1

(i) Note que BN é metade da diagonal da base do cubo. Logo:

��=
�√�
�


(ii) ��=
�
�


(iii) ��=�
(iv) No triângulo retângulo ABM, temos:
(MB)
2
=(AM)
2
+(AB)
2
→(MB)
2
=(
a
2
)
2
+a
2
→(MB)
2
=
a
2
4
+a
2
→(MB)
2
=
5a
2
4

(v) No triângulo MBN, retângulo em N, temos:
(MB)
2
=(MN)
2
+(BN)
2
→
5a
2
4
=(MN)
2
+(
a√2
2
)
2
→
5a
2
4
=(MN)
2
+
2a²
4
→(MN)
2
=
5a
2
4
−
2a²
4

(MN)
2
=
3a²
4
→MN=√
3a²
4
→��=
�√�
�

Resposta: C
Solução 2

62. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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61


Vamos usar o triângulo retângulo ABC do quadrado ABCD.

No cubo temos também um triângulo retângulo:

Considere o cubo ABCDEFGH representado na figura abaixo, cuja aresta mede 4 e M é o ponto
médio da aresta AB.

A área do triângulo MHG é:
(�) �√�
(�) �√�
(�) �√�
(�)�� √�
(�) ��√�

63. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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62


Solução

(i) Note que o triângulo PMN é retângulo em N. Logo, pelo
Teorema de Pitágoras, temos:
(��)
�
=(��)
�
+(��)
�
→(��)
�
=�
�
+�
�
→
(��)
�
=��+��→(��)
�
=��→(��)=√��→
��=√�.��→��=�√�
(ii) Área do triângulo MHG:

(ii) Área do triângulo MHG:
�=
��.��
�
→�=
�.�√�
�
→�=�√�
Resposta: Letra C
Observação: Note que PM é igual à diagonal de um quadrado de lado 4, assim sendo poderia ser
rapidamente calculada pela fórmula:
PM=L√2→��=�√�
(ENEM) O recinto das provas de natação olímpica utiliza a mais avançada tecnologia para
proporcionar aos nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o impacto da ondulação e das
correntes provocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a piscina de
competição tem uma profundidade uniforme de 3 m que ajuda a diminuir a “reflexão” da água (o
movimento contra uma superfície e o regresso no sentido contrário atingindo os nadadores), além dos
já tradicionais 50 m de comprimento e 25 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50
m de comprimento, 20 m de largura e 2 m de profundidade de forma que passe a ter as mesmas
dimensões das piscinas olímpicas.
Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor
mais próximo de:
a) 20%.
b) 25%.
c) 47%.
d) 50%.
e) 88%.
Solução
1) A capacidade da piscina original, em m³, é 50 . 20 . 2 = 2000
2) A capacidade da nova piscina, também em m³, é: 50 . 25 . 3 = 3750
3) 3750/2000 = 1,875 = 187,5%

64. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

63

4) A capacidade da nova piscina é 187,5% da capa - cidade da piscina original. O aumento foi, portanto, de
87,5% ≅ 88%.
(UFABC) O cereal da marca Saúde é comercializado em dois tipos de embalagem, pelo mesmo preço.
A embalagem I tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e a embalagem II tem forma de um
cilindro reto. Ambas têm a mesma altura.

Supondo que as duas embalagens estejam
completamente preenchidas pelo cereal, pode-se
afirmar que quem compra Saúde na
embalagem II em vez da embalagem I compra,
aproximadamente:
a) 10% a mais de cereal.
b) 30% a mais de cereal.
c) 45% a mais de cereal.
d) 8% a menos de cereal.
e) 25% a menos de cereal


Solução
Sendo h a altura de ambas as embalagens e VP e VC os volumes das embalagens I e II, respectivamente,
temos:
I) VP = 10 . 6h = 60h cm³
II) VC = π . 5² . h = 25 . π . h cm³ ≅ 78,53h cm³
Como VC/VP = 78,53h/60h ≅ 1,30, quem compra Saúde na embalagem II em vez da embalagem I, compra
aproximadamente 30% a mais de cereal.
(ENEM) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento
da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada
1.000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base
retangular, de profundidade constante igual a 1,7m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m,
respectivamente. O nível da lâmina d'água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.
A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às
suas especificações técnicas é

a) 11,25.
b) 27,00.
c) 28,80.
d) 32,25.
e) 49,50.
Solução

65. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

64

Do enunciado, o volume V de água na piscina é:
V = 5.3.1,2 = 18m³ ⟹ V = 18.000L
Assim, a quantidade desse produto que deve ser adicionada é obtida por:
18.000.1,5/1000 = 27mL
(UNESP) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as
diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da
divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão,
houve um aumento aproximado de
a) 42%
b) 36%
c) 32%
d) 26%
e) 28%
Solução

66. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

65

(PUCRJ) Uma caixa de chocolate, com a forma de um paralelepípedo, tem dimensões 4 cm x 4 cm x
16 cm. Quantos cm² de papel são necessários para cobrir completamente essa caixa?
a) 256
b) 272
c) 288
d) 304
e) 320
Solução
Área total: 2 x 4 x 4 + 4 x 4 x 16 = 288
(UNICAMP) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 2cm² , 3cm² e 4cm². O volume desse
paralelepípedo é igual a

a) 2√3cm³
b) 2√6cm³
c) 24 cm³
d) 12 cm³
Solução
Sendo a, b e c as medidas das dimensões do paralelepípedo, tem-se:
ab = 2
ac = 3
bc = 4
Multiplicando-se, membro a membro, as equações acima, tem-se:

Como o volume V do paralelepípedo é dado por abc, tem-se:
.
(UFPR) A piscina usada nas competições de natação das Olimpíadas Rio 2016 possui as medidas
oficiais recomendadas: 50 metros de extensão, 25 metros de largura e 3 metros de profundidade.
Supondo que essa piscina tenha o formato de um paralelepípedo retângulo, qual dos valores abaixo
mais se aproxima da capacidade máxima de água que essa piscina pode conter?
a) 37.500 litros.
b) 375.000 litros.

67. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
Celso do Rozário Brasil

66

c) 3.750.000 litros.
d) 37.500.000 litros.
e) 375.000.000 litros.
Solução

(ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de
resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na
figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2
400 cm³?

A) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
B) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
C) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
D) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
E) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.

Solução

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70

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71


(FUVEST) O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos
lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.


O seno do ângulo ????????????̂?????? é igual a:
(�)
�
�√�


(�)
�
√�


(�)
�
√��


(�)
�
√�


(�)
�
√��



Solução

Devemos ter o seguinte:

(i) No triângulo retângulo ABF, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

(AF)
2
=2
2
+4
2
→(AF)
2
=4+16→(AF)
2
=20→AF=√20

AF= √4.5→��=�√�

(ii) Note que os triângulos ABF e GHF são semelhantes, logo:
HF=AF→��=�√�

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(iii) No triângulo retângulo, ADH, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

(AH)
2
=2
2
+2
2
→(AH)
2
=4+4→(AH)
2
=8→AH=√8→��=�√�

Logo, temos, no triângulo AFH os seguintes valores:


(iv) Observe que o triângulo AHF é isósceles, de base AH=2√2.
Logo: HM = AM =√2
Novamente, pelo Teorem de Pitágoras, aplicado no triângulo
retângulo AMF, destacado ao lado, temos:

(√2)
2
+h
2
=(2√5)
2
→2+h
2
=20→h
2
=18→h=√18→

�=�√�

(v) O seno do ângulo â, é dado por:

sen â=
h
2√5
→sen â=
3√2
2√5
→sen â=
3√2
2√5
.
√2
√2
→sen â=
3,2
2√10
→sen â=
6
2√10
→��� â=
�
√��


Resposta: E



Solução

Primeira caixa:

V’ = 1 x 2 x 3
V’ = 6 m³

Segunda caixa:

V’ = V”
6 = (x+1)(x+2)(3-x)
(x² +2x + x + 2)(3-x) = 6
(x² + 3x + 2)(3-x) = 6
3x² + 9x + 6 – x³ -3x² - 2x = 6
-x³ + 7x = 0 (-1)
x³ - 7x = 0
x(x² - 7) = 0
x = 0 (Não convém)
x² - 7 = 0

74. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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73

x = √�

Resposta: E


Solução

(i) Volume do cubo de aresta 5 cm:

V = a³
V = 5³
V = 125 cm³
V = 0,125 dm³

75. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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74

Sendo: 1 dm³ = 1 Litro:
V = 0,125 Litros

Resposta: B




Solução



Devemos ter:

V = 34 x 14 x 8

V = 3808

Resposta: D


(SAP SP – VUNESP 2011). Os produtos de uma empresa são embalados em caixas cúbicas, com 20 cm
de aresta. Para transporte, essas embalagens são agrupadas, formando um bloco retangular, conforme
mostrado na figura. Sabe-se que 60 desses blocos preenchem totalmente o compartimento de carga do
veículo utilizado para o seu transporte. Pode-se concluir, então, que o volume máximo, em metros
cúbicos, transportado por esse veículo é

a) 4,96.
b) 5,76.
c) 7,25.
d) 8,76.
e) 9,60.

Solução

76. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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75

O primeiro passo é calcular o volume de cada caixa. Como as respostas estão apresentadas em metros
cúbicos, vamos considerar que cada aresta mede 0,2 m (20 cm).
Vc = a³
Vc = 0,2³
Vc = 0,008 m³
Pela figura, percebe-se que um bloco retangular contém 12 caixas. Vamos calcular o volume de cada bloco:
Vb = 12 . 0,008 = 0,096 m³
Para finalizar, cabem 60 blocos no caminhão. Calculando o volume total:
Vt = 60 . 0,096 = 5,76 m³

Resposta: B

(PM - ES). Um estoquista, ao conferir a quantidade de determinado produto embalado em caixas
cúbicas de arestas medindo 40 cm, verificou que o estoque do produto estava empilhado de acordo
com a figura que segue:



Ao realizar corretamente os cálculos do volume dessa pilha de caixas, o resultado obtido foi:
a) 0,64 m³
b) 1,6 m³
c) 6,4 m³
d) 16 m³
e) 64 m³

Resolução:

Pela figura, é possível observar que existem 10 caixas empilhadas.
Vamos calcular o volume de cada caixa, sabendo que cada aresta mede 0,4 m (40 cm):
V = a³
V = 0,4³
V = 0, 0,064 m³
Como existem 10 caixas:
Vt = 10 . 0,064 = 0,64 m³

Resposta: A

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(SES DF – IADES). Sabe–se que o volume de um cubo de aresta α é dado por α³ .
Considerando que a aresta de um cubo seja multiplicada por 2, em quantas vezes seu volume
aumentará?
a) Duas.
b) Três.
c) Quatro.
d) Seis.
e) Oito.

Solução

Como foi informado, o volume de um cubo de aresta α é igual a α³. Vamos calcular o volume de um cubo de
aresta 2α:
V = (2α)³
V = 2³.α³
V = 8.α³
Daí, quando multiplicamos a aresta do cubo por 2, o volume para a ser 8 vezes maior.

Resposta: E

(SEDUC - RJ). A figura abaixo representa uma caixa cúbica onde a distância do ponto A até o ponto
B mede 3√5 decímetros:








Os pontos A e B são, respectivamente, o centro de uma face e o ponto médio de uma aresta da face
oposta. O volume dessa caixa, em dm³ , é igual a:
a) 125
b) 216
c) 343
d) 512
e) 729

Solução

Precisamos calcular o volume do cubo representado na figura. Nosso primeiro objetivo é calcular a medida
da aresta desse cubo, que representaremos inicialmente por x.
Vamos analisar o triângulo retângulo formado pela semirreta AB e pelas semirretas que dividem as faces ao
meio. Veja a figura:

78. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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77


Pelo Teorema de Pitágoras temos:
(3√5)² = x² + (x/2)²
45 = x² + x²/4
45 = 5x²/4
5x² = 4.45
5x² = 180
x² = 180/5
x² = 36
x = 6 dm
Calculando o volume do cubo:
V = x³
V = 6³
V = 216 dm³

Resposta: B

A soma das áreas totais de dois cubos e 150 cm². Se a aresta do menor mede 3 cm, calcule o valor da
soma das diagonais destes cubos.

Solução

79. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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78

Um cubo tem 3 cm de altura, e um paralelepípedo retângulo tem dimensões 1 cm, 2 cm e 3 cm. A razão
entre os volumes do cubo e do paralelepípedo é

(a) 3/2.
(b) 4/3.
(c) 9/2.
(d) 8/3.
(e) 1/3

Solução


Cubo


Paralelepípedo

????????????�??????�� �?????? �??????�??????:
??????
�??????�??????=�
3

??????
�??????�??????=3
3

??????
�??????�??????=�� �??????³


Volume do paralelepípedo:
V
paralelepípedo=a.b.c
V=3.2.1
??????=���³


Razão=
V
cubo
V
paralelepípedo



���ã�=
��
�
:
�
�
→ ���ã�=
�
�


(MACKENZIE) Um cubo está inscrito numa esfera. Se a área total do cubo é 8, o volume da esfera é:
(a) �??????/� (�) �??????/� (�) ��??????/� (�) ��?????? (�) �??????
Solução
(i) De acordo com o enunciado da questão, “a área total do cubo é 8”, logo:
S
T=6a
2
→6a
2
=8→a
2
=
8
6
→a
2
=
4
3
→a=
√4
√3
.
√3
√3
→�=
�√�
�

(ii) Num cubo inscrito em uma esfera, a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera.
Diagonal do cubo = Diâmetro da esfera
Observe:


D = 2R

A diagonal do cubo é dada por:

D=a√3→2R=
2√3
3
.√3→R=
√3.√3
3
→�=�

80. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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(iii) O Volume da esfera é: V=
4
3
πR
3
→V=
4
3
??????(1)
3
→??????=
�
�
??????
Resposta: B

(PUC – SP) O volume do cubo inscrito numa esfera de raio 3 é:
(�) ��√� (�)��√� (�)� √� (�) �√� (�)�√�
Solução
Em um cubo inscrito em uma esfera, temos:


Note que em um cubo inscrito na esfera, temos:

(i) Diagonal
Cubo= Diagonal
esfera

Logo:

�√3=2�

(ii) Como o raio da esfera vale 3, temos
�√3=2.3→�=
6
√3
.
√3
√3

→�=
�√�
�



(iii) Volume do cubo

??????=�
3
→??????=(
6√3
3
)
3
→??????=
216.√3
2
.3
27

→??????=8.3√3→??????=��√�

(UFMG) A razão entre os volumes dos cubos circunscritos e inscritos em uma esfera de raio R é:
(�) √� (�) � (�) � (�) �√� (�)√�
Solução
(i) Volume do cubo circunscrito a uma esfera:

8

81. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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80





(i) Volume do cubo circunscrito a esfera:
V = a³
V = (2R)³
V = 8R³
(ii) Volume do cubo inscrito a uma esfera:

Volume do cubo inscrito em uma esfera:
??????=a
3
→
V=(
2R√3
3
)
3
→
V=
8R
3
.3√3
27
→
V=
24R
3
√3
9
→
??????=
��
�
�√�
�

82. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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(iii)
���ã� =
??????
���� ������������
??????
���� ��������
→���ã�=
��
�
��
�
√�
�

→���ã�=��
�
.
�
��³√�
→���ã�=
�
√�
.
√�
√�

→���ã�=
�√�
�
→���ã�=√�
Resposta: A

(Bombeiros MG – IGETEC). O hexaedro regular que inscreve uma esfera de volume 9π/2 cm³, tem a
medida da diagonal, em centímetros, igual a:

(a) 2,7 (b) √3 (c) 3√3 (d) 3 (e) 3/2

Solução

Observação: O hexaedro e o cubo são os mesmos sólidos com nomes diferentes.



Podemos calcular o raio R da esfera pela fórmula pois sabemos seu volume:

V
esfera=
4
3
πR
3
→
9π
2
=
4
3
πR
3
→8R
3
=27→R
3
=
27
8
→R=√
27
8
3
→�=
�
�

Como a diagonal do hexaedro vale o dobro do raio da esfera circunscrita a ele, temos:

D
cubo=2R
esfera→D
cubo=2.(
3
2
) →�
����=�
Resposta (d)

83. Cubo e Paralelepípedo – Livro: Fundamentos de Matemática Elementar – Volume 10
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