Geometria plana - Círculos

Questões selecionadas dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
CÍRCULOS

2. CÍRCULOS
1



01. (Fac. Albert Einstein 2018) Uma circunferência tangencia o lado BC de um triângulo ABC no ponto F e intersecta
os lados AB e AC desse triângulo, nos pontos E e D respectivamente, conforme mostra a figura.


Sabendo que essa circunferência passa pelo ponto
A, a distância entre os pontos D e E, em cm, é igual a
a)
10,5.
b) 10,9.
c) 11,3.
d) 11,7.

02. (Fgv 2017) Suponha que fosse possível dar uma volta completa em torno da linha do Equador caminhando e que
essa linha fosse uma circunferência perfeita na esfera terrestre. Nesse caso, se uma pessoa de 2m de altura desse
uma volta completa na Terra pela linha do Equador, o topo de sua cabeça, ao completar a viagem, teria percorrido uma distância maior que a sola dos seus pés em, aproximadamente,

a)
63 cm.
b) 12, 6 m.
c) 6,3 km.
d) 12, 6 km.
e) 63 km.

03. (Fac. Albert Einstein 2016) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo tal que BC 6 cm= e M é ponto médio do lado
AB.



Se os semicírculos no interior do retângulo são dois a dois tangentes entre si, nos pontos M, P e R, então a área de
ABCD, em centímetros quadrados, é

a) 36 3 b) 36 2 c) 18 3 d) 18 2

3. CÍRCULOS
2



04. (Fgv 2016) As cordas AB e CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos
regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas AD e BC se intersectam
no ponto P, conforme indica a figura a seguir.



A medida do ângulo

BPD, indicado na figura por ,α é igual a

a) 120 .°
b) 124 .°
c) 128 .°
d) 130 .°
e) 132 .°

05. (Fgv 2016) Um triângulo isósceles tem a base medindo 10 e um dos ângulos da base medindo 45 .° A medida do
raio da circunferência inscrita nesse triângulo é

a) 52 4−
b) 52 6−
c) 52 3−
d) 52 5−
e) 52 2−

06. (Insper 2016) A linha curva indicada na figura tem extremidades em A e B e é formada apenas por
semicircunferências.



Se o comprimento de AB é igual a x, então o comprimento da linha curva será igual a

a)
8x
π

b)
16
x
π

c)
x
2
π

d)
x
4
π

e)
4x
π

4. CÍRCULOS
3



07. (Insper 2013) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que seria responsável
pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam:

“É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual acoplaremos uma câmera de controle remoto. Para que a
câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera
captura as imagens do palco deve ser sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo.
Por exemplo, dos pontos P
1 e P2 a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura
α para o palco.”


Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é


a) b) c) d) e)


08. (Fgv 2013) Na figura,
AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E, respectivamente, e
ˆ
BAE 60 .= °



Se os arcos

BPC, CQD e

DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo
ˆ
BEC, indicada na figura por ,α é igual a

a) 20°
b) 40°
c) 45°
d) 60°
e) 80°

5. CÍRCULOS
4



09. (Ifsp 2013) Uma pista de atletismo é formada por duas raias cujo percurso é formado por duas partes retas
intercaladas com duas semicircunferências, conforme a figura.



Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro na raia II, quando pararam para descansar. O atleta da raia II disse
que dera 10 voltas na pista e correra mais, pois sua raia é maior; já, o outro atleta discordou, pois ele acreditava ter
dado mais voltas. Se a semicircunferência tracejada da raia I tem raio igual a 10 metros, a da raia II tem raio de 12
metros, e as partes retas têm 100 metros de comprimento, então o número mínimo de voltas que o atleta da raia I
deve completar para correr mais que o outro é

a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15

10. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão entre as medidas dos
ângulos
AÔDe CÔB é


a)
5
2

b)
3
2

c) 2
d)
4
3

e) 3

11. (Ifsp 2012) Uma mangueira de jardim enrolada forma uma pilha circular medindo cerca de 100 cm de um lado a
outro. Se há seis voltas completas, o comprimento da mangueira é de, aproximadamente
a) 9 m
b) 15 m
c) 19 m
d) 35 m
e) 39 m

6. CÍRCULOS
5



12. (Ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco é 100º e a do
arco é 194º. O valor de x, em graus, é


a) 53
b) 57
c) 61
d) 64
e) 66

13. (Unesp 2010) O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de três folhas de papel, coladas
uma nas outras, sendo que as duas folhas das faces são “lisas” e a folha que se intercala entre elas é “sanfonada”,
conforme mostrado na figura.



O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de comprimento variável. Supondo que a folha “sanfonada”
descreva uma curva composta por uma sequência de semicircunferências, com concavidades alternadas e de raio
externo (R
Ext) de 1,5 mm, determine qual deve ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”,
com precisão de centímetros, para que, no processo de fabricação do papelão, esta se esgote no mesmo instante das
outras duas bobinas de 102 m de comprimento de papel, que produzirão as faces “lisas”.

Dado: π ≈ 3,14.

a) 160 m e 07 cm
b) 160 m e 14 cm
c) 160 m e 21 cm
d) 160 m e 28 cm
e) 160 m e 35 cm

7. CÍRCULOS
6



14. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela.
Além disso,

(1) A, B, C, e A, O, D, são colineares;
(2) AB = OB;
(3) CÔD mede α radianos.


Nessas condições, a medida de A
ˆ
BO, em radianos, é igual a

a) π - (α/4) b) π - (α/2) c) π - (2α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/2)

15. (Unifesp 2009) A figura exibe cinco configurações que pretendem representar uma circunferência de centro O
1 e
perímetro 2π cm e um quadrado de centro O
2 e perímetro 4 cm. Aponte a alternativa que corresponde à configuração
descrita.

a) b) c) d) e)


16. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular
ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente.



A medida do menor arco BE na circunferência construída é
a)
72 .° b) 108 .° c) 120 .° d) 135 .° e) 144 .°

8. CÍRCULOS
7



17. (Unifesp 2007) A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 12 cm,
gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não
escorregue.

Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, o seu raio, em centímetros, deve ser

a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4

18. (Ufscar 2007) Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que
cada satélite fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da órbita seja
igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na Terra, separadas pela maior distância
possível em que um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite.



Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância
de

a) 6(
3)R
b) 7(3)R
c) 8(3)R
d) 10(2)R
e) 11(2)R

9. CÍRCULOS
8



19. (Unifesp 2004) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um
ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura.

O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a

a)
2m
π

b) π m
c)
3
2m
π

d) 2π m
e) 3π m

20. (Mackenzie 1997) O trapézio isósceles da figura tem um ângulo agudo de 60° e área
()83
3
. Então o comprimento
da circunferência inscrita no trapézio é:


a) 2π
b) π
c)
2
π

d) 3π
e) 4π



GABARITO

1 - A 2 - B 3 - B 4 - E 5 - D
6 - C 7 - E 8 - B 9 - A 10 - E
11 - C 12 - D 13 - B 14 - C 15 - D
16 - E 17 - A 18 - C 19 - A 20 - A