Geometria projetiva

História da Matemática;

1. O QUE É A GEOMETRIA PROJETIVA A Geometria Projetiva é o campo da matemática que estuda as relações que se estabelecem entre o objeto real e sua imagem projetada, sendo assim, podemos dizer que é a geometria do que vemos e, como tal, compartilha o caráter não-euclidiano das geometrias que se propõem a descrever o mundo físico.

2. EUCLIDIANA X PROJETIVA “Enquanto na Geometria Euclidiana pode haver retas que não se interceptam, na Geometria Projetiva isto nunca ocorre. Imagine uma estrada de ferro retilínea, os trilhos nunca se cruzam. Na prática, os trilhos de trem são retas paralelas, mas retas que se encontram no horizonte, no infinito. “Essa é uma das características marcantes da geometria projetiva, duas retas quaisquer sempre se interceptam ” ( AUFFINGER;VALENTIM, 2003)

3. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA A história da geometria projetiva começa na Itália do século XV, junto com o Renascimento. As pinturas eram, na sua maioria, planas e chapadas, sem conexão com o mundo real. Os temas tratados eram religiosos e simbólicos. Os artistas passaram a necessitar de técnicas e conceitos novos para que a sua obra se tornasse uma boa representação da realidade, logo, introduziram os conceitos de ponto de fuga e perspectividade. Curved Throne

4. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA A Geometria Euclidiana com suas noções de semelhança e de equivalência de figuras mediante as congruências, não era capaz de atender ás novas necessidades. Foi então surgindo, de modo intuitivo, a noção de Perspectiva nos trabalhos dos pintores. Duccio di Buoninsegna (1255-1319) e Giotto di Bondone (1267-1337), dois pintores em cujas pinturas já começavam a aparecer a relação dos objetos pintados com o tridimensional, desenvolveram uma teoria intuitiva da perspectiva que influenciou outros pintores.

5. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA Duccio,The Annunciation Giotto , L’ultima cena

6. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA Duccio,The Annunciation Giotto , L’ultima cena

7. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA Em 1435 apareceu o primeiro texto sobre perspectiva, De Pictura , escrito por Leon Battista Alberti(1404-1472). Seu trabalho foi aprimorado e estendido pelo pintor e matemático Piero della Francesca (1418 - 1492 ), autor de De prospectiva pingendi . No auge da Renascença, Leonardo da Vinci (1452-1519) e Albrecht Durer (1471-1528) escreveram tratados sobre perspectiva em que apresentavam a Teoria Matemática da Perspectiva e colocavam a sua importância para a pintura .

8. HISTÓRIA DA GEOMETRIA PROJETIVA Demorou cerca de dois séculos para que essas ideias pudessem ser formuladas matematicamente. Foi apenas em 1639, século XVII, com o célebre e pioneiro trabalho sobre a teoria geométrica das cônicas, o Broullion Projet , que Girard Desargues (1591-1661) formalizou esses conceitos. É importante também salientar que, durante este período, o astrônomo Johann Kepler fez várias contribuições à Geometria Projetiva, sendo atribuído a ele a invenção do Ponto Ideal. No século XVIII, Gaspard Monge, motivado por aplicações à engenharia, escreveu um texto de introdução à Perspectiva e à Geometria Projetiva .

9. GEOMETRIA PROJETIVA E A ATUALIDADE A relevância da geometria projetiva para obter as representações realistas planas de objetos tridimensionais está atualmente fazendo o estudo da geometria projetiva um pré-requisito para o estudo da computação gráfica. O valor desse pré-requisito está se aprimorando, uma vez que a computação gráfica usa a representação analítica de pontos e retas por coordenadas homogêneas e a representação de transformações de matrizes desenvolvidas na geometria projetiva.

10. GIRARD DESARGUES Desargues era Matemático, engenheiro militar e arquiteto francês de Lyon, considerado um da fundadores de  moderna geometria  com sua conceituação de  Geometria Projetiva . Participou do círculo dos mais importantes matemáticos de sua era, como  Marin Mersenne (1588-1648) ,  Rene Descartes (1597-1650) ,  Étienne Pascal (1588-1651)  o filho e seu discípulo  Blaise Pascal (1623-1662) ,  Abraham Bosse (1602-1676)  entre outros. Sua principal obra foi  Brouillon projet d'une atteinteaux événements des rencontres dún cone avec un plan  ( 1639).

11. PLANO PROJETIVO REAL Seja dado um centro de proje çã o O . Do ponto de vista projetivo , s ã o equivalentes todos os pontos, distintos de 0, que est ã o sobre um mesmo raio passante por 0 . Isto estabelece uma parti çã o do espa ç o tridimensional real, menos o ponto 0, em classes de equival ê ncia . O Plano Projetivo Real é o conjunto destas clas ses .

12. PLANO PROJETIVO REAL O plano projetivo real pode ser imaginado como sendo o plano Euclideano acrescido de uma reta e um ponto . O ponto é considerado po n to no infinito da reta e a reta, como reta no infinito do plano.

13. PLANO PROJETIVO REAL Cada reta passante por 0 e paralela a π , exceto uma, tem um representante na reta H . Porta n to, o plano projetivo real pode ser imaginado como sendo o plano Euclideano acrescido de uma reta e um ponto . O ponto é considerado po n to no infinito da reta e a reta, como reta no infinito do plano. É f á cil ver que, no plano projetivo, duas retas distintas se intersectam sempre num ponto. Com isto, as relapoes de incidencia entre retas e pontos na Geometria Projetiva tornam-se mais simetricas do que na Geometria Euclidian a.

14. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA GEOMETRIA EUCLIDIANA Dois pontos distintos determinam uma reta com a qual s ã o incidentes. Duas retas distintas tem no m á ximo um ponto com o qual são incidentes . GEOMETRIA PROJETIVA Dois pontos distintos determinam uma e somente uma reta com a qual são incidentes. Duas retas distintas determinam um e somente um ponto com o qual s ã o incidentes.

15. TEOREMAS DOIS TRIÂNGULOS E UMA PERSPECTIVA Teorema (Desargues). Dois tri â ngulos ABC e A'B'C 1 estăo em perspectiva central se, e somente se, os prolongamentos de AB e A ’ B ' , BC e B'C ’ , AC e A'C, determinam tr ê s pontos colineares.

16. TEOREMAS Teorema (Pascal). Se os seis v é rtices de um hex á gono est ã o sobre u m a c ô nica , ent ã o os tr ê s pontos de interse cção dos pares de lados opo s tos s ã o colineares.

17. Jean Victor Poncelet (1788-1867 ) No final do s é culo 18, início do século 19, floresceu na Ecole Polytechn i que de Paris , uma escola de geometria cujo inventor era Gaspard Monge e a qual pertenceram entre outros, Poncelet, Carnot e Brianchon. Poncelet enquanto prisioneiro na R ú ssia em 1813-14 ap ó s a dram á tica retirada Napole ô nica , na tentativa de reconstituir o que havia aprendido de geometria com Monge, redescobriu a Geometria Projetiva . Poncelet foi o primeiro a reconhecer a Geometria Projetiva como um novo ramo da matematica e se prop ô s a achar todas as propriedades geometr i cas das figuras que s ã o invariantes por proje çõ es e se çõ es. O trabalho de Poncelet baseia-se sobre tr ê s id é ias b á sicas .

18. FIGURAS HOMOLÓGAS Poncelet define duas figuras como sendo hom ó logas , quando uma pode ser obtida da outra, mediante uma sequ ê ncia de proje çõ es e se çõ es . A id é ia , uma redescoberta do m é todo de Desargues e Pascal, consiste em encontrar uma figura mais simples do que a original e hom ól oga a ela, estudar as suas propriedades que s ã o invariantes por proje çõ es e se çõ es e ass i m obter propriedades da figura mais co m plexa . Um exemplo disto, e a redu çã o que Pascal fez de um teorema sobre c ô nicas a um teorema sobre o c í rculo .

19. PRINCÍPIO DE CONTINUIDADE " Se uma figura e obtida de uma outra por mudanga continua, e a ultima e t ã o geral quanto a primeira, entâo qualquer propriedade da primeira pode ser enunciada imediatamente para a segunda figura ". Obs.: As obje çõ es ao princ í pio s ã o a de que o conceito de genera li dade de figuras é vago e de que n ã o é fornecida nenhuma demonstração deste princípio .

20. PRINCÍPIO DE CONTINUIDADE Uma poss í vel aplica çã o do princ í pio é a " obten çã o " do teorema de Pappus a partir do Teorema de Pascal ; Para que o princ í pio func i one em v á rias situa çõ es , Poncelet teve que introduzir, al é m dos pontos no infinito do espa ç o projetivo , a no çã o de pontos imagin á rios . Do ponto de vista geom é trico , estes pontos est ã o envolvidos por uma aur é ola de mist ério .

21. PRINCÍPIO DE CONTINUIDADE Por exemplo : D adas duas c ô nicas no plano real que se intersetam em 4 pontos distintos. Dois c í rculos distintos tem no m á ximo dois pontos em comu m . Como os c í rculos podem ser obtidos por deforma çõ es cont í nuas das c ô nicas, dois pontos de intersecção das c ô nicas simplesmente desapareceriam nas figuras transformadas. Estes dois pontos na geometria de Poncelet s ã o cons i derados imagin á rios e chamados de Pontos Circulares no Infinito.

22. RECIPROCAÇÃO POLAR Havia sido notado que v á rios teoremas de geometria continuavam v á lidos quando se intercambiavam retas e pontos nos enunciados . I sto é a base do Princípio de Dualidade , u m dos objetivos de Poncelet ao estudar a reciproca ção polar, foi o de tentar dar uma prova do princ í pio de dualidade. O caso mais simples de reciproca ção polar, é o de reciproca ção em rela çã o a um c í rculo. A reciproca ção polar respeita as rela çõ es de incid ê ncia .

23. BIBLIOGRAFIA http:// www.dec.ufcg.edu.br/biografias/GerardDs.html - História de Girard Desargues; Boyer , Carl B. História da Matemática . Editora Edgard Blucher Ltda , 1991 . ANTÔNIO CARLOS AUFFINGER E FÁBIO JÚLIO DA SILVA: INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PROJETIVA PELO DMAT NA UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO (2003 ). Boyer , Carl B.História da Matemática. Editor Edgard Blucher Ltda , 1991 . A TEORIA DA PERSPECTIVA FUNDAMENTADA PELA GEOMETRIA PROJETIVA-MARIA MADALENA SANTOS E NADJA LISBOA.