Geometria sólida - Pirâmides

Questões de matemática dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
PIRÂMIDES

2. PIRÂMIDES
1


01. (Unicamp 2020) A figura abaixo exibe a planificação de um poliedro convexo, com faces triangulares congruentes
e faces retangulares, em que são indicados os comprimentos a, b e c.



A soma do número de vértices e de arestas desse poliedro é

a) 28
b) 25
c) 20
d) 16
e) 15

02. (Unicamp 2020) Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento
das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a

a) 2 3.
b)
4
2 3.
c)
4
2 3.
d)
44
2 3.

03. (Famerp 2018) A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A altura desses
sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras.



Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a

a)
43
3

b)
33
2

c) 3
d) 33
e)
63
5

3. PIRÂMIDES
2



04. (Fac. Albert Einstein - 2018) Uma peça tem a forma de uma pirâmide reta, de base quadrada, com 15 cm de altura
e é feita de madeira maciça. A partir da base dessa peça, foi escavado um orifício na forma de um prisma de base
quadrada. A figura mostra a visão inferior da base da peça (base da pirâmide).



Esse orifício tem a maior profundidade possível, isto é, sem atravessar as faces laterais da pirâmide. O volume de
madeira, em
3
cm , que essa peça contém é

a) 560.
b) 590.
c) 620.
d) 640.

05. (Insper 2018) A fabricação de uma peça triangular de vértices A, B e C, a partir da qual será construída uma
pirâmide aberta (sem a face APC), exige as seguintes especificações:

I. AP e CQ são cevianas, perpendiculares em R, do triângulo ABC, com AP CQ 4 cm;= =
II. AQ CP.=



Se AC 2 cm,= então a pirâmide que será construída terá volume, em
3
cm , igual a

a)
1
4

b)
1
2

c)
2
3

d)
3
4

e)
1
3

4. PIRÂMIDES
3



06. (Mackenzie 2017) A altura, em cm, de um tetraedro regular cuja área total mede
2
48 3 cm é

a) 22
b) 42
c) 23
d) 43
e) 6

07. (Fac. Albert Einstein - 2017) Para a feira cultural da escola, um grupo de alunos irá construir uma pirâmide reta de
base quadrada. A pirâmide terá 3m de altura e cada aresta da base medirá 2 m. A lateral da pirâmide será coberta
com folhas quadradas de papel, que poderão ser cortadas para um melhor acabamento. Se a medida do lado de cada
folha é igual a 20 cm, o número mínimo dessas folhas necessárias à execução do trabalho será

Utilize 10 3,2≅

a) 285
b) 301
c) 320
d) 333

08. (Fgv 2016) Em uma folha de papel, desenha-se um hexágono regular ABCDEF de lado 3 cm e inscrito em uma
circunferência de centro O. O hexágono é recortado, e, em seguida, faz-se um recorte no raio OB. A partir do recorte
no raio, o pedaço de papel será usado para formar uma pirâmide de base quadrangular e centro O. Tal pirâmide será
feita com a sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e OCD, e dos triângulos OAF e OBC.



O volume da pirâmide formada após as sobreposições e colagens, em
3
cm , é igual a

a) 32
b) 33
c) 42
d)
92
2

e)
93
2

5. PIRÂMIDES
4



09. (Fuvest 2016) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC, passa o plano
α paralelo às arestas AB e CD. Dado que AP 3,= o quadrilátero determinado pelas interseções de α com as arestas
do tetraedro tem área igual a

a) 21
b)
21 2
2

c) 30
d)
30
2

e)
30 3
2


10. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-
se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE 2cm,= AD 4cm= e AB 5cm.=



A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a
4
3
do volume da pirâmide SEFGH é
a) 2 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 10 cm

6. PIRÂMIDES
5



11. (Insper 2015) Uma artista plástica está criando uma nova obra, que será um quadro com alto relevo de formas
geométricas. Para iniciar o projeto, ela desenhou o quadrado base da obra, mostrada abaixo.



Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi posicionado 8 cm para a direita e 8 cm para baixo do ponto A.
Traçando a diagonal do quadrado e tomando o ponto P como vértice, ela construiu o triângulo em preto e, usando a
simetria em relação à diagonal, ela construiu o triângulo em branco, com vértice no ponto Q. Em seguida,
reproduzindo esse quadrado base 16 vezes, ela construiu o quadro em relevo mostrado abaixo, elevando 2 tetraedros
sobre cada quadrado base, cada um com altura de 6 cm em relação ao plano do quadrado base, conforme ilustra a
figura a seguir.


Para garantir o efeito visual que desejava, a artista plástica fez as faces dos tetraedros de material transparente e
encheu com um líquido contendo material reflexivo. O volume de líquido necessário para encher todo o quadro é de,
aproximadamente,

a)
45 litros
b) 47 litros
c) 49 litros
d) 51 litros
e) 53 litros

7. PIRÂMIDES
6



12. (Insper 2014) Uma empresa fabrica porta -joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma tampa no
formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.



As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também vale 6 cm. A parte
externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um adesivo especial, sendo necessário
determinar a área total revestida para calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm
2
, é
igual a

a)
72(3 3 ).+
b) 36(6 5 ).+
c) 108(2 5).+
d) 27(8 7 ).+
e) 54(4 7 ).+

13. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que

a) a altura é igual a 3 3 m.
b) a altura é igual a 3 6 m.
c) a altura é igual a 4,5 m.
d) o volume é igual a
327 3
m.
2

e) o volume é igual a
3
18 2 m .

14. (Insper 2014) Em um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, os pontos A(3, 2, 5), B(5, 2, 5), C(5, 4, 5) e
D(3, 4, 5) são os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 8. O vértice V dessa pirâmide, que tem as três
coordenadas positivas, está localizado no ponto

a) ( 2 , 1, 5 ) .
b) (3,2,2).
c) (3,2,6).
d) (4, 3, 7).
e) (4, 3, 11).

8. PIRÂMIDES
7



15. (Fgv 2012) Um cubo de aresta 12 cm é seccionado duas vezes, formando três prismas de bases triangulares, sendo
dois deles congruentes, como mostra a figura 1. Em seguida, o cubo é novamente seccionado, como indicam as linhas
tracejadas na figura 2, de modo que os dois cortes feitos dividem o cubo original em três prismas de bases triangulares,
sendo dois deles congruentes, como no primeiro caso. Ao final de todas as secções, o cubo foi dividido em nove peças.



O volume da peça final que contém o vértice P, em
3
cm , é igual a
a) 144
b) 152
c) 288
d) 432
e) 466

16. (Insper 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, cada
face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede

a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 75°

17. (Fuvest 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não
adjacentes é igual a

a)
a3
b) a2
c)
a3
2

d)
a2
2

e)
a2
4


18. (Fgv 2012) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a
superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio
de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto
percorreu a distância, em centímetros, igual a

a) 10 3
b) 15
c) 10 2
d) 10
e) 53

9. PIRÂMIDES
8



19. (Insper 2011) Dois faraós do antigo Egito mandaram construir seus túmulos, ambos na forma de pirâmides
quadrangulares regulares, num mesmo terreno plano, com os centros de suas bases distando 120 m. As duas
pirâmides têm o mesmo volume, mas a área da base de uma delas é o dobro da área da base da outra. Se a pirâmide
mais alta tem 100 m de altura, então a distância entre os vértices das duas pirâmides, em metros, é igual a

a) 100
b) 120
c) 130
d) 150
e) 160

20. (Unesp 2011) Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria
usada como seu túmulo.
As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são:

1.ª) Sua base é um quadrado com 220 metros de lado;
2.ª) Sua altura é de 140 metros.

Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 × 10
4
m
3
, o número médio de operários utilizados
como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,2
2
× 1,4 ≅ 6,78 e 2,26 ÷ 1,88 ≅ 1,2 e mantidas estas médias,
o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente,

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

21. (Fuvest 2010) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um
triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais,
é igual a

a)
5
9

b)
4
9

c)
1
3

d)
2
9

e)
1
9

10. PIRÂMIDES
9



22. (Fatec 2009) Uma pirâmide quadrangular regular de base ABCD e vértice P tem volume igual a 363cm
3
.
Considerando que a base da pirâmide tem centro O e que M é o ponto médio da aresta BC, se a medida do ângulo
P
ˆ
MO é 60
°
, então a medida da aresta da base dessa pirâmide é, em centímetros, igual a

a)
3
216
b)
3
324
c)
3
432

d)
3
564

e)
3
648


23. (Fuvest 2005) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF 1.=



Sendo G o ponto médio da altura EF e α a medida do ângulo AGB, então cosα vale

a)
1
2

b)
1
3

c)
1
4

d)
1
5

e)
1
6

11. PIRÂMIDES
10



24. (Fuvest 2002) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e
ABV são triângulos equiláteros de lado ℓ e que E é o ponto médio do segmento AB.

Se a medida do ângulo VÊC é 60
°
, então o volume da pirâmide é

a)
3
( 3 )
4


b)
3
( 3 )
8


c)
3
( 3 )
12


d)
3
( 3 )
16


e)
3
( 3 )
18



25. (Fatec 2000) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e sua base é um quadrado cujos lados medem
18 cm. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é igual a

a) 35
b) 37
c) 25
d) 27
e) 7







GABARITO

1 - B 2 - C 3 - D 4 - A 5 - B
6 - B 7 - C 8 - D 9 - A 10 - E
11 - D 12 - E 13 - E 14 - E 15 - A
16 - D 17 - D 18 - D 19 - C 20 - A
21 - D 22 - A 23 - B 24 - D 25 - B