Geometria y sistema de proyeccion

La geometría es una de las ciencias más antiguas , inicialmente constituía por un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. Desde un principio la geometría ha ejercido una fuerte atracción.
Anexos
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https://youtu.be/MYy0Vfjrocc

1. Geometría y Sistema de Proyección . República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Mérida Alumna: Fiorella Marina Simoniello Guevara C.I. V-28309886 Arquitectura-41  

2. Introducción La  geometría es una de las ciencias más antiguas , inicialmente constituía por un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. Desde un principio la geometría ha ejercido una fuerte atracción. Debido a la capacidad de abstracción que hay que manejar para comprender sus reglas y su lógica hace de la geometría una potente herramienta de análisis, tanto por sus posibilidades para la especulación como por el sentido práctico que aporta a disciplinas del campo de la construcción. Ya que engloban un conjunto de técnicas y modelos de proyección que permiten visualizar elementos de un espacio tridimensional.

3. Geometría La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

4. Geometría Analítica Es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación Característica Fundamental P ermite la representación de las figuras geométricas a través de fórmulas . Fórmulas de la geometría analítica La geometría estudia las figuras geométricas y obtiene sus ecuaciones básicas, como son: Las  rectas  se describen mediante la fórmula  ax + by = c . Los  círculos  se describen mediante la fórmula  x 2  + y 2  = 4 . Las  hipérbolas  se describen mediante la fórmula  xy = 1 . Las  parábolas  se describen mediante la fórmula  y = ax 2  + bx + c . Las  elipses  se describen mediante la fórmula  (x 2 /a 2 ) + (y 2 /b 2 ) = 1 .

5. Geometría Descriptiva Ciencia que busca representar los objetos tridimensionales sobre una superficie plana o sea en 2 dimensiones. La Geometría descriptiva proporciona los fundamentos, principios, artificios para resolver y comunicar gráficamente los diferentes elementos en el espacio (puntos, rectas, superficies planas o curvas, sólidos o volúmenes), en doble proyección ortogonal. Características Fundamentales Facilitar el método para representar sobre un papel que posee dos dimensiones longitud y latitud; todos los cuerpos de la naturaleza, que tienen tres dimensiones, longitud, latitud y profundidad . D ar a conocer por medio de una exacta descripción la forma de los cuerpos, y deducir todas las verdades que resultan, bien sean de sus formas, bien de sus posiciones respectivas.

6. Geometría Plana . E s una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano, y estos elementos geométricos son estudiados a partir de dos dimensiones E lementos básicos El punto : D eterminan una ubicación y se indican con letras mayúsculas . La recta : Se define como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin. Semirrecta :Es cada una de las dos partes en que un punto divide una recta. El punto es el origen de las dos semirrectas . Segmento : Es la parte de recta limitada entre dos puntos. Dichos puntos son los extremos del segmento

7.   Geometría métrica La geometría métrica que se aplica en el Espacio Euclídeo se basa en los teoremas de Thales y Pitágoras.  La herramientas fundamentales son P roducto escalar : E l  producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número. V ectorial : El análisis  vectorial  nos permite transfor - mar en vectores cada segmento de las figuras geométricas y así por este camino llegar al estudio más a fondo de algunos teoremas y problemas de la geometría euclidiana. Mixto de vectores: El nombre se debe a que ponemos en juego a la vez, el producto escalar y vectorial de vectores.

8. Geometría Euclidiana E studia la representación de las figuras del espacio, de tres dimensiones, sobre un plano. Del mismo modo estudia la resolución de problemas sobre dicho plano en sustitución de su resolución espacial. En definitiva, la geometría proyectiva estudia las relaciones entre las figuras tridimensionales del espacio y sus proyecciones sobre un plano. Con la geometría proyectiva se hace muy presente el concepto de infinito, y con el se deberán tener en cuenta los elementos impropios, aquellos situados en el infinito . Estos elementos son: Punto impropio : Es el punto del infinito común de un conjunto de rectas paralelas. Cualquier recta tiene un único punto impropio. Recta impropia : Es la recta del infinito común de un conjunto de planos paralelos. Cualquier plano tiene una única recta impropia. Plano impropio : Es el conjunto de todas las rectas y puntos impropios.

9. Sistema de Proyección En todos los sistemas de representación, la proyección de los objetos sobre el plano del cuadro o de proyección, se realiza mediante los rayos proyectantes, estos son líneas imaginarias, que pasando por los vértices o puntos del objeto, proporcionan en su intersección con el plano del cuadro, la proyección de dicho vértice o punto. Si el origen de los rayos proyectantes es un punto del infinito, lo que se denomina punto impropio, todos los rayos serán paralelos entre sí, dando lugar a la que se denomina, proyección cilíndrica. Si dichos rayos resultan perpendiculares al plano de proyección estaremos ante la proyección cilíndrica ortogonal, en el caso de resultar oblicuos respecto a dicho plano, estaremos ante la proyección cilíndrica oblicua.

10. Proyección. El centro de proyección es un punto impropio, situado en el infinito . Las rectas proyectantes serán paralelas entre sí, perpendiculares al plano de proyección en la cilíndrica ortogonal, y oblicuas en la cilíndrica oblicua.

11. Proyección Cónica Se obtiene cuando el observador y el objeto se encuentran cerca. El dibujo proyectado es más pequeño que el objeto real. Elementos Plano auxiliar : plano donde se proyectan las imágenes como un papel, un lienzo o una pantalla . Ojo del observador : lugar desde el que se observa el plano auxiliar, también llamado centro de proyección . Punto de fuga : punto del plano auxiliar en el que concurren todas las proyecciones de las rectas paralelas

12. Perspectivas- Angulares La perspectiva angular u oblicua utiliza dos puntos de fuga localizados sobre la línea de horizonte (LH) en un ángulo de 90 con el vértice localizado en el punto de vista. Las aristas horizontales de los objetos se trazan hacia los puntos de fuga mientras que las verticales se trabajarán con líneas paralelas, logrando mayor profundidad a los objetos. Tipos de Perspectivas- Angulares Perspectiva frontal : Con un solo punto de fuga sobre el dibujo. Ocurre cuando una de las caras del cubo es paralela al plano de proyección, por tanto dos ejes del espacio son paralelos al plano de proyección. Las proyecciones de las rectas en esas direcciones se verán realmente paralelas en el dibujo. Perspectiva oblicua : Con dos puntos de fuga. Ocurre cuando el cubo está parcialmente ladeado, y solo un eje espacial es paralelo al plano de proyección. Las rectas con esa dirección se proyectan realmente paralelas en el dibujo. Perspectiva aérea : Con tres puntos de fuga. Ocurre cuando el cubo está parcialmente ladeado y volcado. Ninguna dirección ortogonal es paralela al plano de proyección.

13. Proyecciones Cilíndricas Se obtiene cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto, se puede considerar que las proyectantes son paralelas. Puede ser ortogonal u oblicua Proyección Cilíndrica Ortogonal Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano de proyección. Se obtiene cuando el plano de proyección es paralelo a una de las caras principales del objeto

14. Proyecciones Diédricas Cuando un objeto es proyectado ortogonalmente sobre dos planos perpendiculares entre sí el sistema empleado se denomina sistema diédrico . Características fundamentales C onsiste en obtener la imagen de un objeto (en planta y alzado), mediante la vista proyección de haces perpendiculares a dos planos principales de proyección, horizontal (PH) y proyección vertical (PV ).El objeto queda representado por su vista frontal (proyección en el plano vertical) y su vista superior (proyección en el plano horizontal); también se puede representar su vista lateral, como proyección auxiliar.  Si se prescinde de la línea de tierra, se denomina sistema diédrico directo

15.   V istas Múltiples E s la representación bidimensional de un objeto tridimensional mediante varias proyecciones. Las vistas múltiples suelen denominarse como vistas, siendo el sistema diédrico el que más las representa. El término vista múltiple se utiliza para diferenciarlo de aquellos que ofrecen una visión más natural de la forma del cuerpo, y que además utilizan una única vista para su representación, como es el sistema axonométrico y el cónico. Características Fundamentales Las normas de la proyección ortográfica pueden adaptarse en cuatro sistemas diversos o “cuadrantes”; primeros, segundos, terceros y cuartos sistemas cuadrantes de representación . Solo se utilizan dos estructuras, las representaciones en el primer y en los terceros cuadrantes . La norma esencial de la simbolización en el tercer cuadrante es la siguiente: toda vista es una representación de la superficie más próxima a ella en una vista adyacente.

16. Proyecciones Axonométricas Es un sistema de representación gráfica, consistente en representar elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud . Elementos del sistema de proyección Tres planos perpendiculares (denominado triedro trirrectangular ). Las rectas donde se cortan los tres planos coordenados(denominados ejes ). Corte de los tres ejes (denominado vértice).

17. Cilíndricas Oblicuas E s aquella en la que el centro de proyección de donde emanan todos los rayos proyectantes se encuentran en el infinito (punto impropio), es decir, los rayos de proyección son paralelos, y forman un ángulo no recto respecto del plano de proyección. Características fundamentales El sistema axonométrico oblicuo utiliza la proyección cilíndrica oblicua, también el cálculo de sombras en los distintos sistemas utiliza una proyección oblicua . A la proyección cilíndrica oblicua también se la denomina como cilíndrica clinogonal .

18. Proyección Oblicuas La proyección oblicua  es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al  plano de proyección , estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados . En el plano, la proyección oblicua es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son oblicuas a la recta de proyección. Así, dado un segmento, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares oblicuas, para determinar la proyección sobre la recta.

19. Perspectiva Caballera E s un sistema de representación que utiliza la proyección paralela oblicua, en el que las dimensiones del plano proyectante frontal, como las de los elementos paralelos a él, están en verdadera magnitud Elementos Principales Líneas paralelas , van una al lado de la otra y, aunque sigan en un plano, nunca se encontrarán. Líneas oblicuas , son líneas que parten de puntos distintos una al lado de la otra, pero que en su recorrido se encontrarán en algún punto. Líneas convergentes , partes de dos partes distintas para luego encontrarse en un punto. Líneas divergentes , parten de un mismo punto a distintas direcciones. Con la unión de estos tipos de líneas podrás lograr efectos interesantes ya que la perspectiva consiste en representar las cosas como se ven.

20. Proyección de Gabinete La proyección oblicua de gabinete permite representar objetos colocando una de las caras de frente al observador y las demás caras son oblicuas al plano del cuadro. Recibe este nombre debido a que se usó considerablemente en la industria del mueble

21. Sistemas de R epresentación En geometría descriptiva, todos los sistemas de representación, tienen como objetivo representar sobre una superficie bidimensional, como es una hoja de papel, los objetos que son tridimensionales en el espacio. Objetivo S e han ideado a lo largo de la historia diferentes sistemas de representación. Pero todos ellos cumplen una condición fundamental, la reversibilidad, es decir, que si bien a partir de un objeto tridimensional, los diferentes sistemas permiten una representación bidimensional de dicho objeto, de igual forma, dada la representación bidimensional, el sistema debe permitir obtener la posición en el espacio de cada uno de los elementos de dicho objeto.

22. Sistema Diédrico El sistema diédrico es el sistema más generalizado en el dibujo de piezas o elementos de carácter industrial. Fue ideado por G. Monge (1746-1818) para representar figuras tridimensionales . Utiliza la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección perpendiculares entre sí, llamados plano horizontal (PH) y plano vertical (PV) de proyección. La intersección entre ambos planos recibe el nombre de línea de tierra (LT) y está identificada por un trazo en cada uno de sus extremos en su parte inferior. Una vez obtenidas las dos proyecciones, se abate el PH, alrededor de la LT, hasta hacerlo coincidir con el PV, que será precisamente el plano del papel o del dibujo. Se podría haber efectuado el giro con el PV en sentido contrario

23.   Cuadrantes ó Diedros Son las regiones o cuadrantes en el que se divide a los planos principales de proyección (PV) y (PH).     Por lo tanto, el plano va a estar dividido por cuatro regiones que lo rodea. Es por ello :     El primer cuadrantes está a la derecha superior y tiene coordenadas (X=+, Y=+, Z=+).     El segundo cuadrante está a la izquierda superior y tiene coordenadas (X=+, Y=-, Z=+).     El tercer cuadrante está a la izquierda inferior y tiene coordenadas (X=+, Y=-, Z=-).     El cuarto cuadrante esta a la derecha inferior y tiene coordenadas(X=+, Y=+, Z=-).

24. Sistema de representación Acotado El  sistema de planos acotados , se utiliza para representar el relieve del terreno, ya sea natural, o modificado por el hombre. Se basa en la  proyección ortogonal de los puntos significativos , al representar el terreno en  un plano horizontal Características fundamentales Proyección cilíndrica ortogonal Utiliza un solo plano de proyección La proyección se completa con las alturas cotas relevantes del volumen Este sistema no proporciona perspectivas

25. Sistema de Coordenadas E s un sistema que utiliza uno o más números ( coordenadas ) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. 1 ​ El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una  tupla  ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada- x ». El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma " numérica".

26. Aplicación de sistemas de coordenada Sistema coordenado lineal Es el conjunto de números reales representado gráficamente por una recta en el que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc. Cada punto de la recta representa un número real. el punto que representa al cero (0) es el punto de referencia principal del sistema de coordenadas, llamado punto de origen . Sistema de coordenadas cartesianas Se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional 

27. Sistema de coordenadas polares Localización de un punto en coordenadas polares El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Sistema de coordenadas log-polares Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional .

28. Sistema de coordenadas cilíndricas S e usa para representar los puntos de un espacio euclídeo  tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo , al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. Sistema de coordenadas esféricas Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

29. Coordenadas curvilíneas generales Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente  euclídeo  o variedad diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Coordenadas curvilíneas ortogonales Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales

30. Conclusión La geometría es una ciencia que sin ella no podrían haberse realizado las grandes construcciones arquitectónicas símbolos y sellos únicos de muchas de las civilizaciones antiguas ya que mediante el estudio de las figuras geométricas en el espacio y los planos como son el punto, la línea, los polígonos, las curvas , las superficies y demás elementos que componen las figuras geométricas es como se lograron realizar aquellas construcciones que son un deleite para los ojos de cualquiera que las llega a mirar

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