Gere &amp; timoshenko mecánica de materiales

WEC/AN!CA DE
MATERIALES

ción

x de unidades USCS a unidades SI

Iguala unidad Sy

kilogram
o cúbico

joule
czajoule

kilonewto

newton por m
kilonewton por

milimetro
Kilómetro

Kilogramo

Kilonewton metro
Kilonewton metro

kilogramo metro
cuadrado.

milimetro a la >
cuarta potencia mm“
0416 x 10°* | metro ala ua

an si |
MECANICA DE
MATERIALES

Segunda edicion

James M. Gere

Stephen P. Ti

M. en 1. JOSÉ GARCIA GONZALEZ
Facultad de Ingenieria
Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)

Revisor Técnico:
M. en ©. CARLOS MAGDALENO DOMINGUEZ
Escuela Superior de

Ingenieria y Arquitectura (ES.1A)
Instituto Politécnico Nacional (.P-N.)

Grupo Editorial Ib Re

Rib Aina op Moa DE Tait

MECANICA DE MATERIALES — Segunda edicion

Versión en español de la

obra Mechanics of Materials
por James M. Gere & Stephen P.

Second Editios
Timoshenko

Edición original en inglés publicada por PWS Publishers

Copyright © 1984, en Estados Unidos de América.

ISBN 0-534-03099-8

D. R. © 1986 por Grupo Editorial Iberoamérica, S.A, de C.V
Wadsworth Internacional/ Iberoamérica, Belmont
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida

en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electró,
de fotorreproducción, de

California 94002

nico, mecánico,
almacenamiento en memoria 0 cualquier otro,
Ain previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica
‘Wadsworth Internacional/Iberoamér

division de Wadsworth, Inc

ISBN 968-7270-16-0
Impreso en México

Editor: Nicolás Grepe P.
Productor: Oswaldo Ortiz R.
Cubierta: Jamie Sue Brooks

Car
Re Atoyac No, 32 Cal an de C.y
hie nn ‚Col. Cuauhtémoc - 06500 México, D.F.

Tels. 211312 76
Reg. CNIEM 1382 oe

en forma didáctica y na lectura, tratac forma am eros

ria, Además, se incluye abundante material de indole especializada

anto, este libro puede utilizarse como texto y como referencia permas

revision del contenido revelará los temas tratados y la forma en que se e
iron. Los temas incluyen el análisis y diseño de miembros estructurales some.
os a cargas axiales, torsión y flexion, además de conceptos fundamentales como so
portamiento elástico 6 inelistico, y energía de deforma.

on las transformaciones de esfuerzos y de de

estuerzo, deformación, co
ción. Otros temas de interés genera
formaciones, deflexiones de vigas, comportamiento de colur
ticos. Algunos aspectos más especializados son efectos térmicos y deformaciones

previas, recipientes a presión, miembros no prismáticos, Nexión asimétrica, cent

¿e cortante, flexion inelästica y funciones de discontinuidad.

"duración normal, por lo que los maestros tienen La opción de sees

{que consideren fundamentales y más relevantes. Los maestros advertida

los numerosos problemas nuevos (más de 1000 cn total), disponibles para tareas fe
ra de clases y ejeciclos en el aula

En los ejemplos numéricos y proble
de Unidades (SI) como el Sistema Inglés (U.S. Customary Syste
¡caciones de ambos sitemas y una abl

m, USCS). En

apéndice se proporcionan exp

En la parte
ellas se incluyen las fuentes originale del material tem
ca de los ingenieros, cientificos y matemáticos pioneros quienes

ents lo) temas

ias. En

nal del bros han recopilado referencias y notas Mer

Ee libro es nuevo ee bstante, en o1ro sentid E
ic a ren P. Timoshenko (1878-1972).

ket Anica de materiales fue publica
iyo de Timoshenko sobres ma fue publicado en dos volar y
Su pri e Company con el titulo Strength of Materials (Resistencia d
por D, Van Nostrand ción de éstos fue publicada en 1940 y 1941 respect

erat ción en 1955 el volumen 1 y 1956 el IL. La primera edición

Bi (Mecánica de Materiales), preparada por mí, pero ba

discontinuidad y
indudable que una

ables, Si usted logra detectar al
de inmediato en la siguiente impresión

er la contribución de cada una d

zación de este libro es evidentemente imposible, pero debo reconocer en gran me
dida a mis maestros de Stanford (aquellos gigantes de la mecánica, incluyendo el
mismo Timoshenk: n Goodier, Miklos Hetényi, Ni
J. Hoff y Donovan H, Young), de quienes aprendí mucho, ¢ igualmente a n
mente Ed Kavazanjian, Tom Kane, Anne Kiremidjían,
Helmut Krawinkler, Jean Mayers, Cedric Richards, Haresh Shah y Bill Weaver)
quienes aportaron sugerencias para el libro e hicieron contribuciones durante su ela
nston, Hugh
Keedy y Aron Zaslavsky) proporcionaron valiosos comentarios, y dedicados estu
antes graduados (Thalia Anagnos, Jodo Azevedo, Fouad Bendimerad y Hassan
Hadidi-Tamjed), corrigieron las pruebas. El manuscrito fue cuidadosamente meca.
pografiado por Susan Gere Durham, Janice Gere, Lu Ann Hall y Laurie Yadon. La
pov ign 3 Producción fueron manejadas con gran esmero y espiitu de cooperación
Ale Ay Kingman de Brooks/Cole y Mary Forkner de Publication Alternatives, Palo
Alto; Mi esposa Janice me alentó permanentemente con gran paciencia durante iodo
Pete. Asimismo lo hicieron otros miembros de la familia —Susan y Dala
rea Bil Gere y David Gere. A toda esta gente maravilloga me compares tc

Wilhelm Flügge, James Norma

ford (espec

boraciön. Varios revisores y amigos (incluyendo a Jim Harp, lan Joh

expresar mi gratitud.

James M. Gere

Contenido

Alestudiante 째
Lista de simbolos se

carituLo 1
Tensión, compresión y cortante 1
11 Antroguccin 1
Dm |
14 Elastcdad y plasticidad 8
15. Elasicidad lineal y ley de Hooke a
17 Esfuerzs permisibles y cargas permisibl 0
Problemas %6

capiruLo 2
Miembros cargados axialmente ”
21 Introducción Bid
22 Deflexiones de miembros cargados alimente 50
23 Diagrama de desplazamiento. 56
(método de flexibilidades) 2
(método de rigideces) Eos
26 del tempe 주

27 Esfuerzos sobre secciones inclinadas

Torsion
32 Tor uta circula
34 Conan pur
35 Relació 2
28 Transmisión de potencia p de Mechas 0
38 Ene de deform I Mi a
39 T ared delgad: 개
3.10 Torsion real ar 7

Problema

cApiruro

Fuerza cortante y momento flexionante 199
41 Tipos de vigas 193
43 Relaciones ente carga, fuerza coran
44 Diagramas de fuerza cortante y de flxionant

Problemas

eaPituLo 5

Esfu a ーー

sfuerzos en vigas 219
5 Inroduc 219
52 Defo maciones normales en vigas. 2
8° Esfuerzos normale en ion
54 Forma de cclôn anse de vans
58 Esfuerzos cortantes en el alma a
“At cyt TAME En aa de Vis os pme 20
54 Vigas armadas o ai =

"5.9 Esfuerzos en vigas no prismática:
"5.10. Vigas compuesta:
6.11. Vigas con cargas axiale
Problemas
capituco 6

Análisis de esfuerzo y deformación

84 Introducción

82. Esfuerzo plano

63. Esfuerzos principales y esfuerzo tes mixin
8.4. Circulo de Mohr para esfu

65 Ley de Hooke para esfuerzo

5 Recipientes csfericos y cilíndricos sometidos a presión
(esfuerzo biaxial)

67 Cargas combinadas (esfuerzo plano)

9 Esfuerzos principales en vigas

69 Esfuerzo triaxial

"6.10 Esfuerzo tridimensional

6.11. Deformación plana
Problemas.

capituro 7

Deflexiones de vigas

74 Introducción
7.2 Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexion

7.3 Deflexiones mediante integración de 1

la ecuación del
momento flexiona

7.4 Deflexiones mediante integración de las ecuaciones

le fuerza cortante y de carga.

75. Método del área de momentos

7.8 Método de superposición

77 Vigas no prismáticas

7.8 Energia de deformación en flexión

+78 Funciones de discontinuidad
Utilización de funciones de discontinuidad para
obtener deflesiones de vi
Efectos de la temperatura.
Efectos de las deformaciones angulares
Deflexiones grandes de vigas
Problemas

s estaticamente indeterminadas

Viga

CAPITULO

Flexion asimétrica
머

95
se

97
"98 Teoria general y
Problemas

cApiruro 10

Flexión inelástica

104 Introducción

40:2 Ecuaciones de flexion inelistica
102 Flexión plastica

104 Articulaciones plásticas

108 Análisis pls
or

100 de vigas
Deftexiones
Flexion inelastica

Estuerzos residual
Problemas

cariruro M1

Columnas

Imperfeesione

Comportamiento e

Pandeo inclasti

Problema
CAPITULO

Métodos energéticos

121 Introducción
122 Principio de

123 lo dela carga uni

12.4 Teoremas de

125 Energla de defor ergia complementa
126 Mérodos de e leformacion

127 Métodos de energia complementaria

12.8 Segundo teorema de Castiglian

123 _ Deflexiones por cortante en viga:

Referencias y notas biogr

APENDICE A Sistemas de unidades
Az Unidades Sl

A3 Unidades de Sistema Ingles

Arenoice B Digitos significativos

B Digits significativos
B2 Redondeo de números

1010 de Areas planas

Propiedades de áreas planas

Propiedades de algunos perfiles estructurales de acero
APÉNDICE F Propiedades de sección de madera estructural
APENDICE G Dellexiones y pendientes de vigas

APÉNDICE H Propiedades mecánicas delos materiales

Respuestas a problemas seleccionados
Indice onomástico

indice de materias

Al estudiante

Grupo Editorial Iberoamérica en su esfuerzo perma
nente de producir cada vez mejores textos, pone en tus manos
esta nueva obra en la que se ha puesto la más alta calidad
en los aspectos teórico y didáctico, así como en diseño y
presentación, con el objetivo de proporcionarte la mejor
herramienta, no sólo para facilitarte el aprendizaje sino
también para hacerlo más estimulante,

Éste, como cualquiera de nuestros libros, ha sido cu
dadosamente seleccionado para que encuentres en él un pilar
de tu preparación y un complemento ideal a la enseñanza del
maestro. Lo didáctico de la presentación de sus temas hace
que lo consideres el mejor auxilia, que llevas a todas partes.

Lo anterior es parte de nuestro propósito de ser partí
cipes en una mejor preparación de profesionales, contribu
yendo asi a la urgente necesidad de un mayor desarrollo de
nuestros países hispanohablantes.

Sabemos que esta obra será fundamental en tu biblio:
7000 y, tal vez, la más inmediata y permanente fuente de

Como uno de nuestros intereses principales es hacer
mejores libros en equipo con profesores y estudiantes
agradeceremos tus comentarios y sugerencias 0 cualquier.
observación que contribuya al enriquecimiento de nuestras
publicaciones

Grupo Editorial Iberoamérica
presente en tu formación profesional

A
abe

M,

Lista de simbolos

Area, acción (fuerza o momento), constante

dimensiones, distancias, constantes

centroide, constante de integración, fuerza de compresión
distancia desde el eje neutro hasta la superficie externa de una viga
desplazamiento (traslación 0 rota

미

diámetro, dimensión, distancia

módulo de elasticidad, integral elíptica de segunda clase
módulo de elasticidad reducido

módulo de elasticidad tangencial

excentricidad, dimensión, distancia, cambio unitario de volumen
(dilatación, deformación volumétrica)

fuerza, función de discontinuidad, integral elíptica de primera clase,
flexibilidad

flujo de cortante, factor de forma para flexión plástica,
flexibilidad, frecuencia (H2)

factor de forma en cortante

modulo de elasticidad en cortante

aceleración de la gravedad

distancia, fuerza, reacción, caballos de potencia

altura, dimensión

‘momento de inercia (o segundo momento) de un área plana
momentos de inercia con respecto a los ejes x, YY 3

producto de inercia con respecto a los ejes y y

momento polar de inercia

‘momentos de inercia principales

constante torsional

modulo de elasticidad volumétrica, factor de longitud efectiva PA
una columna

constante de resorte, rigideces, simbolo para PTET

longitud, distancia, longitud del claro

longitud efectiva de una columna

‘momento flexionante, momento, masa:

momento plástico para una visa
x

intensidad de carga distribuida (ca de distancia
intensidad de torsión distribuida (orsiós idad de distancia)
intensidad de carga última

adio, distancia, radio de giro fr = TTA)

módulo de sección de la sección transversal de una viga, centro de

cortante, rigidez, fuerza
distancia, longitud de una linea curva
momento torsionante o torque, temperatura, fuerza de tensión

densidad de energía de deformación (energía de deformacion
por unidad de volumen)

módulo de resiliencia

módulo de tenacidad!

energia complementaria

nsidad de energia complement
Por unidad de volumen)

aria (energia complementaria

e, volumen
exión de una vig
dv/dx, a

“ a, velocidad

Lista de simbolos xvii

trabajo complementario
redundante estática

coordenadas rectangulares, dista

coordenadas del centroide
módulo plástico de la sección transversal de una viga

ángulo, coeficiente de dilatación térmica, relación adimensional,
constante de resorte, rigideces

gulo, relación adimensional, constante de resorte, rigideces
deformación angular, peso específico (peso por unidad. de volumen)

«deformaciones angulares en los planos xy,

deformación angular para ejes inclinados

deformación angular en el plano xy,

deflexiôn, desplazamiento, alargamiento
deformación normal

deformaciones normales en las direcciones x, y y =
deformación normal para ejes incl

deformaciones normales en las direcciones x; y y

deformaciones normales principales

deformación de fluencia

ángulo, ángulo de torsión por unidad de longitud, ángulo

de rotación del eje de una viga.

“ángulo a un plano principal o a un eje principal

ángulo a un plano de esfuerzo cortante máximo

curvatura (x = 1/8)

curvatura de fluencia

distancia

radio, radio de curvatura, distancia radial en coordenadas polares,
densidad de masa (masa por unidad de vol
relación de Poisson o módulo de Poisson

esfuerzo normal
esfuerzos normales sobre planos perpendiculares a los ejes % #9 &
esfuerzo normal sobre secciones inclinadas

esfuerzos normales sobre planos perpendiculares a Jos ejes
sirados xy,

esfuerzos principales

esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo)

esfuerzo crítico para una columna (ay = Py/A)

esfuerzo para el Iimite de proporcionalidad

esfuerzo residual

esfuerzo último

esfuerzo de fluencia

xvii

es sobre planos perpe
elos a fos ejes 2
oe jones inclinada:
Muerto cortante sobre un plano perpend
al o) en corta:
Muerto permisible (0 esfuerzo de rabaj

esfuerzo último en cortante

esfuerzo de fluencia en corta

ángulo, ángulo de torsión

relación adimensional

velocidad angular, frecuencia angular (u

+ El asterisco indica una sección, ejemplo o problema dificil

complicado.

Alfabeto griego

A continuación se representa la escritura de cada una de
las letras griegas, En la primera columna aparecen las
mayúsculas; en la segunda y tercera aparecen dos mane
ras de escribir las minúsculas: la segunda de elas es usada
generalmente dentro del texto corrido, mientras que la
otra se emplea en las fórmulas que están fuera del mismo,

A aa Alpha

a vo Nu
BB Bea ce xi
Ey 7 Gams 900 Omicron
A 05 Da Dax Pi
© © Epsilon P pe Rh
z Zeta z ao
H nn Ea + eee
9 66 Thea Y で a
MI vo Upsilon
© 46 mi
Ke Kappa x 5
AN Lambda en
~ Yee pa

Omega

CAPITULO

Tensión, compresión
y cortante

1.1 ¡NTRODUCCIÓN

La mecánica de materiales constituye una rama de la mecánica aplicada que es-
tudia el comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a varios tipos de carga. Este
‘campo del conocimiento tiene varias denominaciones, entre las que se incluyen “re-
Sistencia de materiales” y “mecänica de cuerpos deformables”. Los cuerpos sólidos
considerados en este texto comprenden miembros cargados axialmente, fechas (0
ejes) sujetas a torsión, cascarones delgados, vigas y columnas, así como estructuras
ue forman parte de tales componentes. En general, los objetivos de este análisis se-
Tän la determinación de los esfuerzos, deformaciones y deflexiones producidos por
las cargas. Si estas magnitudes pueden determinarse para todos los valores de carga,
incluso hasta la carga de falla, entonces se tendrá un panorama completo del com:
portamiento mecánico del cuerpo.

‘Un conocimiento profundo del comportamiento mecánico es fundamental para,
el diseño confiable de cualquier estructura, como edificios y puentes, maquinaria y
"motores, submarinos y barcos o aviones y antenas. Por tanto, la mecánica de mate.
ales constituye un tema básico en muchos campos de la ingeniería. Desde luego que
{a estitica y la dinámica también son esenciales, pero tratan principalmente «on
Heras y movimientos relacionados con partículas y cuerpos riidos. En mecánica
de materiales es conveniente considerar los esfuerzos y deformaciones que Press
Tos cuerpos reales cuando se deforman bajo cargas. Se utilizan las :
He DS. materales(determinadas experimentalmente) asi como numeros e.
ea conceptos técnicos, Jos cuales se explican en las siguentes secciones EU
libro.

Los análisis teóricos y los resultados experimentales tenen funciones ils
de imp es e el estudio dela mecánica de materiales, À veces APE
a gicas para establecer fórmulas y ecuaciones que predicen el comportamiento,

forma.
mecánico, pero se debe reconocer que tales fórmulas no pueden emplearse en
nen a edades de los materials. Estas pro:

Tealista a menos que se conozcan ciertas prop
encon de experimentos adecuados end
ps prt dea ine

piedades son accesibles solo mediante la rei
Iaboratorio. Asimismo, debido a que muchos problemas

requieren nec
rollo histor à o
" ación; 1
+ os. Hor

tras que la

Galilei (1564-164;
2-1519) y Galileo Gali )

tadosvaliosos, m
ie 1 de alambres, barras y vigas
os para determinar la resistencia d vgs a

ados de sus pruebas. Tales teorías aparecieron mucho después, €

do matemático Leonhard Euler (1707-1783) di 116 I

6 mM or de una colui

exisiera alguna evidencia experimental que demo

s resultados. Ask, a falta de pruebas apropiadas, los resul
sieron sin utilizarse durante muchos años, aunque actualmente c

Al estudiar mecánica de materiales en este libro se apreciará que la atención

tra de modo natural en dos partes: primero, en compr rdenamien

co de los conceptos, y segundo, en aplicar tales conceptos a situaciones prác
ticas. Lo primero se logra mediante el estudio de las deducciones, discusiones
ejemplos, y lo segundo por medio de

resolución de problemas. Algunos de
los ejempl

problemas son de carácter numérico, y otros, algebraicos (o simboli.
cos), Una ventaja de los problemas num os valores de todas las magni.

la etapa de los cálculos. Algunas veces 1a
ar que no se rebasen los límites prácticos

des son evidentes en cad s valores son

ose (como los esfuerzos
konn &ebricas poscen también ciertas ventajas. Puesto que
Fema ones algebraicas destacan las variables que afectan ele
jemplo, cierta magnitud podría cancel

Por e larse en la solución, hecho
También en I
variables ate

dor y otra en

nie en un problema numérico
as se pone de manif
mo la ap

iciôn de un

las soluciones al
tan los resultados,
n el denominador
5 magnitudes en cualquier ci
alquier etapa
1 para lograr una solución ul
a programars
fetes. Como contrast
único de situaciones,
porle

0 a variable en el nue
¡ción simbölica permite verificar la
Final te
ón más important
general que pu
blemas difen

Desde luego, se deben

€ encontrará una com

baje con unidades es

Pecificas de
lades (SI)

los ciemplos de este

al de tres cif
Fas signifi

nt oe ohare y Gain

12. Estuerze normal y detormacion 3

1.2 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACION

Los conceptos fundamentales de esfuerzo y deformación pueden ejemplifcarse
:onsidera una barra prismática cargada con fuerzas axiales P en los extrem
como se muestra en la Fig. 1-1, Una barra prismätica es un miembro estructural ree

o con sección transversal constante en toda su longitud. En este ejemplo, las fuerzas

me de la barra, por lo que se dice que se en-

axiales producen un alargamiento uni

Fig. 1.1 Barra prismátca sujeta tensión

Para analizar los esf

rzo internos de la barra originados por las fuerzas
axiales, se requiere efectuar un corte imaginario en la sección mn (Fig. 1-13). Esta

¡ón se toma perpendicularmenteal eje longitudinal de ia barra, por lo que se co-
oce como sección transversal. Enseguida se separa la porción de la barra a la de-
fecha del corte como un cuerpo libre (Fig. 1-10). La carga de tensión Pactúa sobre el
extremo derecho del cuerpo libre; en el otro extremo ocurren fuerzas que represen
tan la acción de la parte izquierda de la barra sobre la parte aislada restante, Tales
fuerzas se distribuyen de modo continuo sobre la sección transversal, en forma ane
loga a la distribución continua de la presión hidrostática sobre una superficie hori
zontal sumergida. La intensidad de la fuerza (sto es, la fuerza por unidad de área)
se denomina esfuerzo y se denota comúnmente por la letra griega o (sigma). Sise su
pone que el esfuerzo tiene una distribución uniforme sobre la sección transversal
(véase Fig. 1-10), podemos apreciar fácilmente que su resultante es iguala la intens-
¡dado multiplicada por el âtea de sección transversal 4 de la barra. Mas aún, a partir
del cuerpo en equilibrio mostrado en la Fig, 1-1b es tambien evidente que esta resul:
tante debe ser de igual magnitud y de dirección opuesta a la carga aplicada P. De
donde se obtiene

como la ecuación para el esfuerzo uniforme en una barra prismática de sección
transversal de forma cualquiera, cargada axialmente. Cuando la barra se tensa por

3 muestra la figura, los eters
es ‚sion. Dado que el esfuerzo 0 ac-
de compre
ge ‚ce como esfuerzo
cie del corte, sel

5 20, llamado esfuer-

os resultante
rs cons 1 mue sl
fon perpendieul

los esfuerzo es

normal. P
sión. 1

fara la super
or 삐 remos otro tipo de este
seta parallo a

sr efit como POS
cormal ose determina al dividir la fuerza axial entre el
ero detenta unidades de fuerza por unidad de área. Cuan

“del SI, la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en

A a lalo, a pascal ul wat |
e hacer notar que se requieren casi 7000 Pa para obtener 1 psi.* Por ejemplo,
© = P/A puede emplearse con basta

me se aleja de los
gradualmente a la distribución.
or lo común es válido suponer que la fórmula
CS te exactitud en cualquier punto que esté al me
tuna distancia dde los extremos, donde d es la dimensión transversal mayor de

Ya Tabla A del Apéndice A para los factors de
nz rn factors de conversion entre Sistema Inglés (USCS) y

"Un Mo, o iopoand vu igual a 1000 Ib. Se simboliza pork

mro morral y 00008 HB

la barra (véase Fig. 1-14). Desde luego, cuando el esfuerzo no es uniforme, la ecua
„ ción o = P/A determina el esfuerzo normal medio.
Una barra axialmente cargada sufre una variación en longitud: se alarga s esta
a tensión y se acorta si está a compresión, La variación total en longitud se deno-
ta por la letra griega 6 (delta), y se muestra en la Fig. 1-1a para una barra sujeta a
tensión, Este alargamiento constituye el resultado acumulativo del estiramiento del
material sobre la longitud L de la barra. Supongamos que el material e el mismo en
cualquier lugar de la barra. Entonces, si se considera la mitad de la misma, esta ülti
ma sufrirá un alargamiento igual a 3/2; asimismo, si se considera una longitud unit.
ria de la barra, sufrirá un alargamiento igual a 1/L veces el alargamiento total 8. De
esta forma, hemos llegado al concepto de alargamiento por unidad de longitud, o
deformación unitaria, denotada por la letra griega e (epsilon) y determinada por la

(1-2)

Si la barra está sujeta a tensión la deformación unitaria se denomina deformación
unitaria a tensión, y representa un alargamiento relativo del material, Sila barra está
sujeta a compresión, la deformación corresponde a una deformación unitaria a
compresión y la barra se acorta. La deformación unitaria a tensión se toma como
positiva y la deformación unitaria a compresión como negativa. La deformación
unitaria e se denomina deformación unitaria normal porque se refiere a esfuerzos
normales.

Debido a que la deformación unitaria normal « es el cociente de dos longitudes,
constituye una cantidad adimensional; esto e, no posee unidades. Por ello, la defor-
mación unitaria se expresa como número absoluto, independiente de cualquier siste-
ma de unidades. Los valores numéricos de la deformación unitaria suelen ser muy
pequeños, especialmente para materiales estructurales, los cuales por lo general sólo
sufren cambios pequeños en sus dimensiones. Como ejemplo, considérese una barra
de acero con una longitud L de 2.0 m. Cuando se carga a tensión, la barra se alarga
una cantidad 6 igual a 1.4 mm. La deformación unitaria correspondiente es

8 _ 14% 10m

ーーっ om = 00007 = 700 x 10°

En la práctica, las unidades originales de 3 y L suelen vincularse a la deformación
unitaria misma y entonces la deformación unitaria se denota en formas tales como
mm/m, um/m y plg/plg, Por ejemplo, la deformación unitaria een el caso anterior
pudo denotarse como 700 um/m o 700 x 10 plg/plg.

Las definiciones de los esfuerzos normales y deformaciones unitarias se basan
únicamente en consideraciones estáticas y geométricas, por lo que las Bes. (1-1) y
(1-2) pueden utilizarse para cargas de cualquier magnitud y para cualquier material.
El requerimiento principal es que la deformación de la barra sea uniforme, lo cual a
Su vez requiere que la barra sea prismática, que las cargas actúen en los centroides de
las secciones transversales y que el material sea homogéneo (esto e, el mismo en IO
das las partes de la barra). El estado resultante de esfuerzos y deformaciones unit
rias se denomina esfuerzo y deformación unitaria umlaxiales。 Posteriormente se

5 que la ansversal tiene el perfil cualqui ado en la Fig, 12
a tomemos cualquier conjunto de ejes coordenados xy en el pla
o Luego, el eje z será paralelo al eje longitudinal de 18 barra (F
12). S str en la Fig, 1-2b, suponemos que la distribución de esfuerzo sob
sal es un esfuerzo uniforme de tensión o = P/A. La resultante de esta d
ordenadas xy y de e acción dela fuerza P se denotan por E y Fen laf
Para de es 2 aprecia que los momentos M, y M, dela fuerza P
mn on los ees x yy, respectivamente, deben ser iguales a los momentos correspon
e erzos uniformemente distribuidos. Los momentos dela fuerza P son
Mer MM ニーが 9
donde un momento se considera positive cuando su vector (de acuerdo con la resla de la mano
acta en la dirección positiva del eje. Para determinar los momentos de los esfuerzos
ribuidos e considera un elemento de area dA en la sección transversal (Fig. 1-24) y seat
Pera e ial Pue act de
Verte que

Toca tones a saca que act sobre ee elemento cs da
‘enotan las coordenadas de cements aan 44 >

= a m A 7 aan donde à
rentosrespeto a ses y»

Mym=faxda

2 Estuerzo normal y delormación 7.

Si se advierte que a fuerza P es igual a aA y que el esfuerzo 6 es una constant, a partir de la

a sección transversal, dividido
e el rea misma. Por lo que estas ceuaciones son idénticas a as que define la coordena
s del centroide del rca.”

centroide del área de la sección transversal. O

Ejemplo 2

Una barra prismática con sección transversal rectangular (20 x 40 mm
está sometida a una fuerza de tensión axial de 70 kN (Fig. 1-3). El alarga

y longitud L = 2.8m
nto medido de la

barra es 6 = 1.2 mm, Calcular ls esteros de tension yl deformacionuntria en a barr
kN < 一 | ET ES
Bi
E ——— nm

Fig. 1.3. Ejemplo 2. Bara prima de schon transversal rectangular

uerzasaxilesactáam en los centres de las secciones transversales de

Se supone que las
los extremos, yes posible emplear la Ec. (1-1) para calcular el esfuerzo:

P 20kN
o MPa
À © D mm mm)
Asimismo, la deformación unitaria (de la Ec. 1-2) <8
0
17 28m

Las magnitudes» y e representan 01 esfuerzo tensión yla deformación unitaria, respeta

‘mente, en la dirección longitudinal dela barra

Ejemplo 3
un pisón hacia ar!

Una bomba de pozo profundo es opera por un cigtetalque ach
EN in 0.6 pig y una longitud L =

hacia abajo (Fig, 1-4). La biela de la bomb tiene un dentro d

+ Los cemride de un aca se explican en la Sesion €, det Api C

Fig. 14 Ejemplo 3. Bila de

Durante la carrera descendente l resistencia del pistón genera una fuerza de compresión
200 Ib ao largo de la biela, y durante la care
T = 20001

ascendente origina una fuerza de tensión
El peso dea bela produce una fuerza de tension que varia desde cero cn el exe
eior hasta un máximo en el extremo superior, La fuerza máxima debida al peso es igual
al peso total de la bela, determinado por la expresión

donde y es el peso especifico del material, es la longitud de la bila y A es el are

a dela sec
ción transversal. Al usttuir en eta ecuación, se obtiene

pondiente esfuerzo

ala 了 + W, 0 sea 2908 lb. El corres

P_ 2x1
$160 pri
De modo semejante, te puede calcula el esfucrzo máximo

a compresión, quese presenta en el
‘remo inferior durante la carrera deacendente

12 bombay efectos dinámicos, no se toma, a há

DIAGRAMAS ESFUERZO-DEFORMACIÓN

1
as propiedades mecánic

de los materiales usuales en ingeniería

nan medi
lante pruebas efectuadas sobre mues se determi
se realizan en labor muestras pequeñas del material. Las pr
laboratorios de prueba de materiales tados con equipo de prat ce

paz de cargar los especimenes
es de diversas maneras, incluso

a tensión y compresión. Uno de tales apa Site ETES

en la Fig, 1-5. Abi
a y, a la izquierda, se en

pécimen de prueba se coloca en medio del marco de
|

Fg. 9 Equipo de prucba para ensyos
generals. (Cota de MTS
Systems Corporation)

(Con el fin de que los resultados delas pruebas se comparen fácilmente, l tama:
tho de las muestra y los métodos de aplicación dela cargas se tendrán que uniform,
Una de las principales organizaciones de estandarización es la Sociedad met
e Pruebas y Materiales (ASTM, por sus siglas en inglés: American Soc Pr
eg and Materials), sociedad técnica que publica especiicaionss 95°08 2
E a y pruebas. Otras organizaciones normativas son la Sociedad ART
an por ou sels en inglés: American Standard Assia) Y DE
Dantamento Nacional de Normas (NBS: National Bursa of Standards).

Ode materiales más común es la prueba de tensión. mL la cuaise
aplican caras de tensión a una muestra clinica como la mosiida la Fig. 16

conos dela muestra, con mayor diámetro, se ian en at del mon

región central de diámetro
아아아 de que la ruptura de a muestra se presente en EP EE pe

o caer el esfuerzo, en luar de ONE
> done nee ge plicada, La figura muestra

‘extremos, donde la distribución de esfuerzo es más com

Fig. 1.8 Espácimen caracteritio para pr

sud calibrada

da de la ASTM 1

n diámetro de 0.5 plg y una longi

las marcas de calibración, que son los puntos donde

extensómetro se sujetan a la muestra, como se ve en la Fig. 1-6. Con
me se tensiona la muestra, se mide y registra la carga de tensión P, ya sea de
automática o 1 lectura de un medidor, El alargamiento sobre la lon-
situd cal mide en forma simultánea con las lecturas de carga, por lo común
nediante calibradores mecánicos similares al mostrado en la Fig. 1-6, aunque tam
bién se utilizan calibradores eléctricos de resistencia variable (strain gages), En una
Prueba estática la carga se aplica lentamente; sin embargo, en una prueba dinámica
la variación de carga puede ser muy ele

medirse ya que afecta las

propiedades de los materiale
Are el área de

ia seccion transversal A (véase Ec, 1-1), C
ela barra, ele

vidiendo la carga Pen.

ido.en estecálculo se emplea
denomina esfuerzo nominal (tam

fuerzo de ingenierta), Se puede
axial, conoció

arra que puede vo
ra en a Fig. 1-6)

bién conocido como esjuerzo convencí
Calcular un valor más exacto del cafuerzo

dante el

nal o

como esfuerzo real me

verse mucho menor que el área
n algunos materiale al

Eles{uerzo

lormación 11

dido à entre las marcas de calibración, al dh re la longitud cal
< <. 12). Si se emplea h longitud caliprada incil por ejemplo, 2.0 pi nen
= ce la deformación (unitaria) nominal. Por supuesto, la distancia en + pr x

menta según se aplica la carga de tensión. Sie emplea la longitud stars

para el cálculo de la deformación, se obtiene Ia defor

Las pruebas de compresión à
mpresión de metales se acostumbra. realizalas sobre

especimenes en forma de cubos 0 cilindros circulares, Los cubos suelen medir 2 0 pl

or lado y los cilindros en
P lindros en general tienen diámetros de alreded

y de 1 lg, con long
irse tanto la carga aplicada por la máquina como el

ud calibra
estra, a fin de eliminar los efectos de fos

de 1 a 12 plg, Deben n

¡cortamiento del espécimen. El acortamiento debe medirse en una lo
da menor que la longitud total de la

ASTM establece un espécimen pe ee:
<imen para concreto de 6 lg de diámetro, 12 pi de long

¢ importante ya que éste adquiere resi

tud y28 días de edad, (La edad del

tencia según se “cura )
Después de realizar una prueba de tensión o de compresión y de establecer el es
s de la carga, se puede trazar un

Tuerzo y la deformación para varias magnitu
diagrama de esfuerzo contra deformación. Tal diagrama esfuerzo-deformación es
característico del material y proporciona información importante acerca de las pro-
piedades mecánicas y el comportamiento tipico del materal.* El primer material que

mbién conocido como acero dulce o acero de
ales de más amplio uso, siendo.

se analizará es el acero estructural,
4, torres y muchos otros tipos de construc

bajo carbonogEl acero e

el que más se utiliza en edificios, puen
ciones. Un diagrama esfuerzo-deformación representativo del acero estructural a

a) La deformación se representa en
El diagrama empieza con una tinea

tensión se muestra en la Fig, 1-7 (fuera de esca
el eje vertic

el eje horizontal y el esfuerzo en
recta desde O hasta A. En esta región, el esfuerzo y la deformación son directamente
Después del

proporcionales, y se dice que el comportamiento del material e linea.
punto A ya no existe una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación, por lo
Que el esfuerzo en el punto A se denomina límite de proporcionalidad #Para aceros

en el intervalo de 30 a 40 ksi, pero los aceros de
(ox de aleación)

de bajo carbono este limite se encues
(on mayor contenido de carbono y otros een

alta resistenc
limites de proporcionalidad de 80 ksi 0 más
‘del limite de proporcionalidad, la deformación

ra cada incremento en esfuerzo, La curva
más pequeña, hasta

pueden tene
‘Al acrecentar la can

y ormación asume lucgo una pendiente cada vez n

ja se vuelve horizontal. A partir de este punto se presenta
Un alargamiento considerable, con un incremento Price Impr E
va (desde B hasta Cen el diagrama), Este fenómeno se conose som
ll. y el esfuerzo en el punto À se denomioa tuer)
Fo bien, esfuerzo de Mluencia 0 punto de encia)

¡ente plástico loque 8

materials vuelve perfect
vel mae aa El alarga

de esfuerzo:
que en el punto B la curv

fuerza de ten
cedencia o Mu
20 de cedencia op
En la región desde B hasta €
nifica que puede deformarse sin u

setrnaci ruso sels por ey Bacal DISET Eis

5

Fig. 1-7 Diagrama uo deformacin del acero es

a futuras deforma:
o, un alargamiento adicional requiere de un incremento en la carga
de tensión, y el diagrama esfuerzo-deformación toma una pendiente positiva desde
hasta D. Finalmente, la carga alcanza su valor máximo y el esfuerzo correspon
{Eine (en punto D) se denomina esfuerzo último. De hecho, el alargamiento pos-
e ac parra se acompaña de una reducción en la carga y finalmente se presenta
la fractura en un punto £, tal como se indica en el diagrama.

¡presenta una contracción lateral dela muestra cuando se ala
a una reducción en el área de la sece!

ls: La reducción en el ârea es muy pequ
a culados ant
ficar el perfi

a, lo que origi-
transversal, como se mencionó previamen-
ueña como para tener un efecto apreciable en

es del punto C, pero más allá de este punto la
il del diagrama. Des

valor de los esfuerzos ca
reducción comienza a modi

sde luego, el esfuerzo real

Amo (ua DE), per sa disinución sedebe al decremenoen ra del bar
no au pride de la resistencia mima dl material En ended, eine ma
ta un aumento de fer hasta el punto de fala (puna) Sica OS
pros la curva estuco dfomacioncomencinal OABCDE Do A
transversal original de a muera y que, po o tao, ola Khan Ba
vista informacion sation par emir en! deta

El diagrama d la Fg, 17 muestra ls arco general de a ur
esturaodetormación pra eo dle, pero sus proporciona no son alee ya
¿ue como se menciono la deformación que cure desde B hast Oma an pn
ces mayor quel deformación que cte dede O hasta A. Aden at
sions desde 0 hasta E an mucho mayores qu ls spams a tga
entre By 0. La Fig. 13 muesra un dsgrama fuera deformación auadonsoela
para acero dole En ea fir, ls deformaciones dede O ha om ln pn
Aulas comparadas con ls deformaciones desde asta que pose prado DÍA
parte nal dl agrama arena stu

90% 00 og as 09 00

Fig. 1.9 Diagrama efers-deformacioncaracerltin del aero
structural en tensión (dibujado a sal)

La presencia de un pronunciado punto de fluencia seguido de grandes deforma:
ciones plásticas constituye una caracteristica importante del acero dulce, que en oca-
siones se utiliza en el diseño práctico (vease por ejemplo, el estudio de la flexión plás-
tica en el Capitulo 10). Los materiales que soportan grandes deformaciones plásticas
antes de su falla se clasifican como düctiles. Una ventaja de la ductilidad es que
pueden presentarse distorsiones visibles si las cargas se vuelven muy grandes, lo
‘que permite tomar una acción correctiva antes de que ocurra la fractura. Asimismo,
los materiales dúctiles son capaces de absorber grandes cantidades de energía antes
de que acontezca la fractura, según se explica en las secciones 2.8 y 2.9. Los mate-
riales düctiles incluyen al acero dulce, aluminio y algunas de sus aleaciones, cobre,

magnesio, plomo, molibdeno, niquel, latón, bronce, metal monel, nilón, telón y
muchos otros,

El acero estructural contiene alrededor de 0.2% de carbono en su aleación y se
clasifica como acero de bajo carbono. Conforme se incrementa el contenido de

14 !
el acero se vuelve menos dúctil, pero aumentan su esfuerzo de fluen:

mo, Las propiedades fisicas del acero 4

ratamientos térmicos, la pres
¡ón como el rolado o laminado,

esos de fabric
proce

Muchas aleaciones de aluminio poseen considerable ductilidad, aunque carecen
¿e un punto de fluencia claramente definido. En su lugar, muestran una transición
adual entre las regiones lineal y no lineal, como se indica en el diagrama esfuerzo-
deformación de la Fig. 1-10. Las aleaciones de aluminio adecuadas para propósitos

están disponibles con límites de proporcionalidad en el intervalo de 10

a 60k:

y esfuerzos últimos en el intervalo de 20 a 80 ksi.

Fig. 110 Diagrama esfuer-deformaciin

Cuando un mat

ial como el aluminio no tie
a pesar de ello soporta grandes deformaciones des
porcionalidad, puede determinarse un esfuerzo
método del corrimiento. Se traza una recta

un punto de fluencia definido y
pués de rebasarse el limite di

psd ite de pro-
de fluencia arbitrario. mediante el

paraa a porción In
dela cana (ase Fi) per se correo desp enn oo tie

RA Estuco de
Yet

13 Diagramas estuersodetormacion 15

curva esfuerzo deformación (punto A en la figura) deine el ste de MURS
superior al imite de proporcionalidad. En el caso del aceo estructural, con yo

transicién repentina desde la región lineal hasta la región de
sansa re lineal hasta la región de alargamiento plastco,

limite de proporcionalidad, de #8 gi

Ei suche (de) male una rl 001 ete efron y re 1 빠
sa deformaciones (unianay er 1 0 02, Su componamient despu de she
Hit de proporcionalidad depende de po de material ase Fi, 1.12, Alan

zn

5 eeeee

Fig. 142 Diagramas «uen deformación para
1 hue) cn Lenin.

clases de caucho suave soportan grandes deformaciones sin fallar, Finalmente, el
material presenta un incremento en resistencia a la carga yla curva esfuerzo- deforma:
e vuelve marcadamente ascendente antes dela fall. Se puede apreciar äcilmen-
Comportamiento característico cuando se estia una liga de goma.

a duetilidad de un material a tensión puede caracterizarse por su alargamiento
total y por la disminución de área en la sección transversal donde ocurre la fractura.
La elongación (porcentual) se define como sigue

ケー

be 131
10) fa

Elongación =

donde L, es a longitud calibrada original y Les la distancia entre las marcas de
oracion at ocurrir la fractura. Debido a que el alargamiento no es uniformea lol"
espécimen sino que se concentra enla región donde se presenta lie Dee
如区 io (porcentual) depende de la longitud calibrada. Por elo, cuerdo $
Ie la elongacion, también debe indicarse la longitud de calibración, Fara att
ud clirada de 2 pls el acero puede tener una elongación del orden AS
ove lo que depende de au composición; para cero estructural son comm M AAT
de 239 0 300%. En el caso de alcacione de aluminio, a elongación varia desis

hasta 45%, dependiendo de su composición y tratamiento,

f ge el valor de la estricción quese
2 ón de area 1

irededor del 50%
vamente bajos de deforma

dics a valores rela e
an en tcnsiales frágiles, Algunos ejemplos son: cones!
no materiales Mramicos y muchas alcaciones metálica

a, Mero fundió «fallan con solo pequeñas cl i
Esos atrae Fa ig. 1-139 esfuerzo de fractura (punto 9

0 À enla Fig, lo carbono se comportan en forma
mo que el esfuerzo último. uencia elevados (más de 100 ksi en algunos
ee pela na elongación de bajo valor porcentual

ML presenta con una elong o

ro! longaciones después del límite

PE

Fig. 113. Diagrama

on muy cercana a un material frágil, dado que

presenta ductlidad. El diagrama esfuerzo-deformación para vidrio sujeto a ten
sion es esencialmente una linea resta, y la fala ocurre antes de que se presente fluen-
cia, El esfuerzo último es alrededor de 10,000 psi para ciertas clases de vidrio lami
nado, aunque existe gran variación, lo que depende del tipo de vidrio, el tamaño del
espécimen y la presencia de defectos microscópicos. Las fibras de vidrio pueden de

sarrollar enormes resistencias y se han alcanzado esfuerzos últimos superiores à
1,000,000 ps

Los diagramas esfuerzo-deformación para compresión tienen formas diferentes
alos de tensión. Los metales düctiles como el acero, el aluminio y el cobre poseen

limites de proporcionalidad en compresión muy cercanos a los que tienen en tensión,
por lo cual las regiones iniciales de sus diagramas esfuerzo-deformación a compre-
sión son muy similares a ls diagramas a tensión. Sin embargo, cuando se inicia la
fluencia, los diagramas son completamente diferentes. En una prueba a tensión,
and el espécimen se alarga, puede ocurrir una estrición y finalmente se presenta

fractura. Cuando se comprime un pequeño espécimen de material dúctil, sus lados.
Empiezan à abultarse y adopta la forma de un barril. Al incrementar la carga, Le

13 Disgramas ostuerzo-dolormación 17

Fig. 1:14 Diagrama sfuera-deformación a compresióndel cobre

pécimen se aplasta, ofreciendo una resistencia adicional al acortamiento adicional
lo que significa que la curva esfuerzo-deformación se vuelve ascendente)? Estas
Caracteristicas se ejemplifican en la Fig. 1-14, que muestra un diagrama esfuerzos
deformación para cobre,

De modo característico, los materiales frágiles en compresión tienen una región
tinal inicial, seguida de una región en la cual se incrementa el acortamiento aun it
mo mayor que el de la carga. Entonces, el diagrama esfuerzo deformación 4

“diagrama a tensión. Sin embargo, los mate-
O rägiles suelen alcanzar esfuerzos últimos más elevados a compresión Que 8
e mien a diferencia de los materials dóciles en compresión (sa Ti:
tenon mateiles frágiles se fracturan o rompen bajo la 0080 mini ES
diagramas esfuerzo-deformacién para un tipo particular de 0600 fundido se pre-
ne orig, 115. Las curvas para otros materiales frágiles, gi
ie piedra, tienen forma similar pero valores numérica diferente

compresión tiene un perfil similar al det

Fig
0 fundido sjao a en y

a =

A tantes pal

1" Apéndice H. No obstante, |

x apropiada para una aplicac

lento de diversos mater
ón. Consideremos ahora qué sucede la carga se
« descarga. Suponga, por ejemplo, que se aplica una で

letal modo que el esfuerzo y la deformación varían desde O hasta
la curva esfuerzo-deformación de la Fig. 1-16a. Supóngase también que cuan:
serial sigue exactamente la misma curva al regresar a O,
al mediante la cual recupera sus dimensiones originales
e, se llama elasticidad, y el material se dice que es elástico. Nótese que
la curva esfuerzo-deformación desde O hasta A no requiere ser lineal para que el ma

Fos o

we ao
ine à qu

ae x alcanzs el punto 4 lala un nivel

14 Elasticiéad ypinstieitas 19

mación OC persiste como deformación permanente, Asi, durante la descarga la
barra recupera parcialmente su forma original; en consecuencia, se dice que el mate-
rial es parcialmente elástico,

Cuando se prueba una barra, la carga se incrementa desde cero hasta algún va-
lor pequeño seleccionado y luego se retira, Si no existe alargamiento permanente (es
toes, Siesta alteración de la barra regresa acero) entonces el materiales elático has
ta el esfuerzo representado por el valor seleccionado de la carga. Este proceso de
carga y descarga puede repetirse para valores cada vez mayores de la carga, Final-
mente, se alcanzará un esfuerzo tal que no se recobra toda la deformación durante la
descarga. Mediante este procedimiento es posible determinar el esfuerzo en el limite
superior de la región elástica; por ejemplo, podria ser el del punto £ de las Figs.
1-16a y 1-16b. Este esfuerzo se conoce como I

Muchos materiales, incluyendo la mayoria de los metales, tienen regiones linea:
les al principio de sus diagramas esfuerzo-deformación (véanse Figs. 1-7 y 1-10), Ser
sin se explicó en la Sección 1.3, el límite superior de esta región lineal se define eg
mo el limite de proporcionalidad. El limite elástico suele ser ligeramente superior ©
muy cercano al limite de proporcionalidad. Por lo que para muchos materiales se
asigna el mismo valor numérico a ambos limites. En el caso del acero dulee, el es
fuerzo de fluencia también está muy próximo al límite proporcional, de modo que
para fines prácticos el esfuerzo de fluencia, el limite elático y el limite de propos
cionalidad se consideran iguales. Es evidente que esta situación no se cumple para
todos los materiales. El caucho representa un ejemplo notorio de un material que es
elástico más alla del limite de proporcionalidad, Be

La caracteristica de un material que le permite soportar deformaciones inlásti
cas superiores limite lstco se conoce somo plasticidad. Es asl que sobre laura
esfuerzo-deformación de la Fig. 1-16a, se presenta una región elástica 58
una región plástica. Cuando ocurren grandes deformaciones en un material
cargado en la región plástica, se dice que el material experimenta un flajo

Si el material permanece dentro del margen elástico puede ser cargado,
gado y cargado nuevamente sin un cambio a 0
Embargo, cuando se carga en el margen plástico, la estructura
modifica y sus propiedades cambian. Por ejemplo, ya se ha
tuna deformación permanente en el espécimen después de
plastica (Fig. 1-16b), Supongamos ahora que el material 96 carga nue
pués de la descarga (Fig. 1-17). El nuevo ciclo de E cirio

liagrama y continúa en ascenso hasta B, principi |
el ciclo de carga inicial. El material sigue entonces el diagras
Original hacia el punto F. Durante el segundo ciclo de carga
‘en forma lineal desde C hasta B, por lo que el material
cionalidad y un esfuerzo de Mluencia mayores que antes

Fig. 118 Flo plsico en una ba

áticos de carga de los especimenes; por tanto, en el análisis no se consideró el tiem.
ee walk deformaciones adicionales du:
rante largos periodos y se dice que fluyen 0 escurren plásticamente, Este fenómeno.
(en inglés, creep) puede manifestarse en diversas formas. Por ejemplo, supongamos
{que una barra vertical (Fig. 1-18a) está cargada con una fuerza constante P. Cuando
la carga se aplica inicialmente la barra se alarga una cantidad 6。 Supongamos que
esta carga y su alargamiento correspondiente se llevan a cabo durante un intervalo
de tiempo de duración 1, (Fig. 1-180). Subsecuentemente al tiempo 1, la carga per
¡anece constante. Sin embargo, debido al flujo plástico, la barra puede aumentar
gradualmente su longitud como se muestra en la Fig. 1-18b, aunque la carga no
cambie. Este comportamiento se presenta en muchos materiales aunque algunas ve
ces el cambio es muy pequeño para ser tomado en cuenta,
Como un segundo ejemplo de flujo plástico considere un alambre que se estira
re dos apoyos fijos, detal forma que tiene un esfuerzo inicial a tensión 99 (Fig
1-192). Nuevamente denotaremos el tiempo durante el cual cl alambre se carga ini
cialmente como 1, (Fig. 1-196). Con el transcurso del tiempo el esfuerzo en el
alambre disminuye gradualmente, y finalmente alcanza un valor constante aunque
los apoyo en os extremos del alambre no se desplacen, Est proceso, que es una
io plástico, se denomina relajación material
EI flujo plástico es en general más importante aa
turas comunes; por tanto, debe consider
‘otras estructuras que operarán a elevadas

as temperaturas que a tem
use en el diseño de motores, hornos y
'emperaturas durante largos periodos. Sin

FIR Relación de e

15 Elasticidad tinea! y ley de Hooke 21

embargo, materiales como el acero, el concreto yla madera fluyen ligea

Por lo tanto, en ocasiones es necesario compensar efe

tos de flujo plastico en estructuras comunes, Por ejemplo, el flujo de concreto puede
crear “olas” u ondulaciones en las calzadas de puentes debido al colgamiento entre
los apoyos. Una solución es construir la cubierta con una curvatura hacia ariba
(contraflecha) que constituye una deflexión inicial sobre la horizontal, detal forma

Que ctndo el jo plástico ocur, ls cars o ramos desiendan a su ponción de

«5 ELASTICIDAD LINEAL Y LEY DE HOOKE

La mayoría de materials estructurales tiene una región inca sobre agra
ma esfuerzo-deformación en la que el materia se comporta tanto en forma elses
00000 lineal. Un ejemplo esla región desde e origen O hasta et mie de propor
«ionalidd en punto sobre a cua slo tornade
ec Fig. 1-7), Ouos ejemplos son ls regions bajo os its de proporcionalidad
y los limites elásticos en los digramas de ls Figs 1-10 à 1-15, Cuando un material
se comporta clisticament y también present una ración nel entre el gs9 y
la deformación, se die que e linealmente litio. Pee po decomportamiéno 6
sumamente importante en ingeniería a que muchas csruturas y máquinas se dise
fan para funcionar abajo nivels deesuero, a finde ciar deformations perma:
menes debidas a lucnc oa flujo plástico La clastldad nea es un propiedad de
"muchos mateíls sólidos, incluso metales, madera, corto, plástico y cerámicas

La relación inal e el esfuerzo y la deformación para un barra sometida
tensión 0 compresión simple pude expresarse media la ecuación

3 us

donde Es una constante de proporcionalidad conocida como módulo de las:
Gad dei materia El módulo de Casiiad es la pendiente del diagram sueo
Cormación enla region Inalmee caca y u valor depende del material puta
cee ule Las undade e Eon ls mismas que ls unidades de esfuro, ya ge
ocación es dimensional. Por tanto, ls unidades de Eson ps oki en Site
ts Inge y pascal (0 sus múliplo) en Sistema Internacional

aci = Bz se conoce cominmente como ley de Hook, desinada a
en honor al tobe Gentiieoingls Robert Hooks (6351703); Hooke fu prie
ue veis as propiedaes elasticas dos materiales az pruebas de male
ln dios como metals, madera pira, hs y tendones, Deirminß
aroumiento de alambres de longitud apreciable que soportaban pesos, y 00000

eat cambios de lonpiud sempre mantienen ls mismas proporciones ung

AU at que los pesos que ls ocasionan (Reh. 1:5 1:0) As Hooke sable
Siac nal eve cra apcada y eabrgmien evil

on CS se plc únicamente a tension y compresión simples pa
ados o edo complicados, se requiere una generalización dela ey de Heat
(ns Espia). Para ns de 60640. os sueros y deformaciones Ein e
dean some posos, y os suert y deformacines a COMPESiÓn COMO BE
Po

vele denominarse ta
homas Young (1773-1829). En 1

Relacion de Poisson. Cua aren e ico
lo de una contracción lateral (perpendicular a la di

argamiento axial y nión atera rendir
ón dela carga apl variación enla forma se muestra enla Fi. 1
linea continua indica la forma después de aplicarla carga. La contracción lateral se

eek dis ara apreciarse. No

medición

aciones en las dimensiones laterales suelen se

obstante, se pueden detect

La deformación (unitaria) lateral es proporcional a la deformación axial e

Fácilmente con aparatos di

el
al sea homogéneo e isótropo/ Un
misma composición en todos los puntos del cuer

que las propiedades clásicas son las mismas en cua

smpre y cuando el mate
material es homogéneo si tiene
po; por |

alquier punto del cuerpos
lades no necesariamente son las mismas en todas
material sea homogéneo. Por ejemplo, el módulo de elastici-

Sin embargo, nótese que las propied

dad podria ser diferente en las direcciones axial y transversal. Los materiales isôtro-
bos tienen las mismas propiedades elásticas en todas direcciones; En consecuencia,
An trial debe ser homogéneo e isótropo para que las deformaciones laterales de

tensión (Fig. 1-20) sean las mismas en cual

una b Iquier puntof Muchos mate-

El cociente dela deformación en di cci6n lateral entre la deformación en direc-
none: "* 00006 como relación de Poisson y se denota por la een griega » (nu);
y= — deformación lateral

deformación axial G9

cidad neal y lay de Hooke 23

Fig. 121 Cambio

teoria molecular de los materiales (Ref. 1-9). Para materiales isotropo Poisson de
terminó » = 1/4. Sin embargo, cálculos más recientes basados en un modelo de
estructura atómica dan » = 1/3, Ambos valores son cercanos a los valores reales
obtenidos los cuales se encuentran en el margen de 0.25 a 0.35 para muchos metales
velos materiales con valores extremadamente bajos del mö-
dulo de Poisson se encuentra el corcho, para el cual » es prácticamente cero,? y el
, para el cual » oscil entre 0.1 ÿ 0.2. Un limite superior teórico para la rela
«ión de Poisson es 0.5, como se explica en la subsección siguiente sobre cambios de
volumen. El caucho se aproxima a este valor limite. Una tabla de valores det mb
de Poisson para diferentes materiales en el margen elástico se proporciona en el
“Apéndice H (véase Tabla H-2). Para muchos fines prácticos, el valor de puede con:
siderarse el mismo, tanto para tensión como para compresión.

jon lateral de una barra en tensión, o la expansión de una barra en
un ejemplo de deformación sin el esfuerzo correspondiente
‘Aunque no existe esfuerzo normal en dirección transversal para una barra cargada
axlalmente, ocurre deformación debido al efecto Poisson. Otro ejemplo cominde
deformacién sin esfuerzo es la deformación térmica, la cual es producida por und
emperatura (véase Sección 2.6)

y otros materiales, En

La contra

compresión, constituy

variación de

Ya que las dimensiones de una barra a tensión 0/2
Fig, 1-20) el volumen dela barra
‘de las deformaciones axial

Cambio de volumer
compresión varian cuando se aplica la carga (véase
también cambiay El cambio de volumen se calcula a par
Ÿ lateral, Consideramos un pequeño elemento de material extraido de una bates
orops sometida a tension (Fe、 1:21). La forma original del elemento AUS
"mediante el paralelepipeda rectangular abede/20,con lados que miden as 043 EHE
respectivamente. ** E 1 eje x se considera en la dirección long

las direcciones x, yy

+ De ah su apcaidad como material ara tapon

a come a ays pues on pales por as EEE
O oe crono Ln ops aac
en caro oa de

lore Hen». Un pwrisipedo rectangular ene

a mn la figura al represen

que también se indica sales. La forma TOO

tudinal dela e ales producidos por las fuerza to del elemento en la dirección
os esfuerzos norm ps ntinuas. El alargamiento ts deformaciones la.
muestra con nas co ón axial, Puesto que a deforma ke
RE 76 SP ARE Et

las direcciones 5 9 y ex(l - ro, y el vo

ue contienen e elevada al
rola la expresión anteriors obtienen terminos que contienen « elevada al

por lo que pueden eliminar

Al des
adrado yal cubo. Co sua compar
E Aue en Por lo tanto, el volumen final del elemento es

y pequeña comparat

AV = V,~¥, = a,bjeye(l — 20

endonde P cs el volumen original a,b,¢,. El cambio unitario de volumen e se define

mo el cambio en volumen dividido entre el vol
av a

ell 20 = 2 12) 1-7

= = a

La magnitude se conose como deformacion volumétrica. La Ec. (1-7) puede utilizarse

para calcu
qu

$1 incremento en volumen de una barra en tensión, bajo el supuesto de
À gp la deformación unitaria axial e (0 el esfuerzo) y el modulo de Pols,

tana eo on ambien puede emplearse para compresión, en cuyo caso erg
una deformación negativa y disminuye el volumen de la barns
pe it Ee: (17) se aprecia que el máximo valor posible dey pa

a materiales co-
ndo 05: ya que cualquier valor mayor signifies que volumen disminuye

Suando el material es tensado, lo que parece ni e

: dos au icamente imposible. Como ya se indi
Ss materiales y cs alrededor de 1/4 0 un 13 la región elástica lineal,
que signi ota ari de volumen est en el margen de 0.3 a 0.5e

la retación de Poisson arse como 0.5. ga in

có, para

a que el cambi

Pucde consider

Un bara primi de secion tr

u vel car se carga co

(tate Fig. 1-20). La bay "a tiene una longitud / Ky pr td ee
echa de aluminio con un. módulo de ela ran deco +
ns ta Giga mt idad E ~ 70 Gp, Y UN módulo de Pi er
a la disminución. ain

0 cortante y detormacion angulos 26,

nene cs menor que el mie de pro ta
0 suponemos ue l aaa compara nfo ll
ile comporta en or ca y oia,

Este esfuerzo probable
Apéndice H), por lo

La deformación axial se determina mediante la ky de Hooke
¿2 MPa
77006, 70920
El alargamiento tota es
5 Los (0.00171)3.0 m) = $14 mm

La deformación lateral se obtiene dela relación de Poison:

1
Ga = € = — (000171) = ~0.000570

La reducción de diámetro es numéricamente igual al producto

ps igual al producto de a deformación lateral y el

Ad = uni = 0000870350 mm) = 0.0171 mm

Finalmente, el cambio en volumen se calcula con la Ee. (17)

av-

(2)oonmreeanonn( 1-2)

Puesto que ls barra est sujeta a tension, AV representa un incremento de volumen.

ai — 20)

1210 mm

1.6 ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIÓN ANGULAR

En ls secciones anteriores se trató fundamentalmente con los efectos de iee
20s normales producidos por fuerzas axiales. Ahora se considerará un io diferente
de esfuerzo, conocido como esfuerzo cortante que actúa paralelo o tangencial ala
superficie.

Como ejemplo de una situación práctica en la que se presentan esfuerzos or:
tants, considere la junta atornillada que se muestra enla Fig, 1228. Esta junta con.
Site en una barra plana A, una horquilla C y un tornillo B que pasa a trav de
barrenos en la barra y en la horquilla. Bajo la acción de las cargas de tensión Pa la.
barra y la horquilla presionan al tonill y generan esfuerzos de contacto, os ales
idos por el tornillo. Un diagrama de cuerpo libre | del tornillo (Fig.
1.220) muestra tales esfuerzos de contacto. La distribución rel de estos 00000 |
Sobre el perno e dificil de determinar, as que por sencillos efuerzasse ME
o o distribución Tuese uniforme. Basados en la suposición de una RU
ción uniforme, podemos calcular un esfuerzo de contacto medio, al dividir la! に
total entre l área de contacto, Esta area se considera como el dre
kie curva de apoyo, que en ese cas es un rectángulo.

que el perno experimente un corte según las secciones transversales MY
un diagrama de cuerpo libre de la porción mpg del tornillo (tase Fi

fuerzas cortantes V sobre las superficies cortadas del tornillo, E

uerza cortante Ves igual a P/2. Estas fuerzas de cort

5 esfuerzos cortantes distribuidos

: equefias flechas en la Fig. 1-22d. Se desconoce la distribución
i rzos, pero son más elevados cerca del centro y se vuelven nul
i uerza cortante total Y entre el árca A sobre la que actúa
8 Ê (1-8)
=;
En e ejemplo mostrado enla Fi, 1-22, a fuerza cortante es P/2 y el ârea A es el
ea de la sección transversal del tornillo; Dela Ee. (1-8) e aprecia que los esfuerzos

que los esfuerzos normales, representan intensidad de fuerza, 0
or unidad de área. Por
mismas que para es

lo que, las unidades de esfuerzo cortante son las

normal, a saber, psi o ksi en unidades del Sistema Inglés
inidades del Sistema Internacional

Elan carga mostrad
cortante simple, nc

en la Fig. 1-22a es un ejemplo de

ucrzos cortantes son gener:

tante directo
los por una acción di-

sus a cortar el material, El cortante directo se presenta
re tornilon peros, remaches, cuñas, soldaduras y juntas pegado fee
eso: cortantes ambien aparecen de manera indicas

“te a en miembros sujetos a

oe leia! e forma de un parate reat
sar 32 As Fa 123), scr oo y SA
nes de cnc curs. Amor supe Bere

ante de igual et en equilibrio en la dirección Pa

¡tud y sentido contrar Pe

ie = aa cortante total en la e. a pd dot ee aac aur
quilibrada por la fuerza de iy eng ga

“erza de igual magnitud y senti uae

yendo contrarian gt

Para obtener una idea cabal de la

Fig. 123. bs

que se establecen las siguientes conclusiones: hs 2

1. Los esfuerzos cortantes en caras opuestas de un elemento son de igual magnitud
y sentido contrario.

2. Los esfuerzos cortantes en ceras perpendiculares de un elemento son iguales en
magnitud y tienen sentidos tales que ambos esfuerzos apuntan hacia la linea de
intersección de las caras sobre las que actúan, o en sentido opuesto.

Estas conclusiones referentes a esfuerzo cortante son válidas aun cuando 00008
también esfuerzos normales sobre las caras del elemento.

Un elemento sometido únicamente a esfuerzos cortantes, como se ilustra. la
Fig, 1-23a, se dice que está sujeto a cortante puro. Bajo la acción de estos esfuerzos
cortantes 이 material se deforma, lo que origina deformaciones angulares o deforma”
iones por cortante. A fin de visualizar dichas deformaciones, se advierte en primer
lugar que los esfuerzos cortantes no tienden a alargar o acortar el elemento en SG
jones x, » y ci en otras palabras, las longitudes de los lados del elemento 00
Tinian, En vez de ello, los esfuerzos cortantes provocan un cambio de forma delle
Wento, como se muestra en la Fig. 1-23b. El elemento original adquiere la forma de
un paralelepipedo oblicuo** y la cara frontal abed del elemento se convierte SAN
Fomboide.Y Los ángulos entre caras en los puntos yd, que eran recosigualesa 7/2)
‘eine de la deformación, se reducen en un pequeño ángulo y a 1/2 —y (ese E

72 + y: Ekanguloy

23b). Al mismo tiempo, los ángulos en a y ee incrementan a 자

+ El conan pur se explica con más deal enla Sesión 3 2
기 Un Ange ee puede sr agudo omor 0 no 1050.
grano cn ngaa oa ya do na a oda els

tas Ay el on al mona cs den un rombo St on

Agios bu y sus 04010 laos Igual)

na metida de la ii Las unkiades de la deformación ang ra
ss Hexer lor signos convencionales pars esfaer
wm acta en I dirección post
la dirección negat
"Logos convencionales para deformacones angulares se relacionan con os
cos efes. La deformación angular de un elemento e ositva cuando se rd
angulo entre dos caras positivas (o entre dos caras negativas). La deformac

ta cuando el ángulo entre dos caras positivas (0 dos caras negat:
e incrementa. Por lo que as deformaciones mostradas ena Fig. 123b son po
sis y fueros cortantes positives producen deformaciones
pr

res positivas
Las propiedades de un material en cortante se determinan experimentalmente

que los

ie ruebas de torsión se reali-
por pruebas de cortante directo o pruebas de torsion, Las pruebas de
do tubos huevos de sección circular, con el fin de producir un estado de

esfuerzo cortante puro, como se explica en el Capit

23. De los resultados de dichas
as pueden trazarse diagramas esfuerzo-delormación en cortante. Estos dia:
mira y tienen forma similar a los diagramas para pruebas a tensión

los mismos materiales. De los diagramas de cortante se pueden ob-

ropiedades en cortante tales como el limite de proporcionalidad, el esfuerzo

(o contrae) par

sl esfuerzo último. Estas propiedades en cortante suelen ser del orden de
la mitad que las correspondientes en tensión. Por ejemplo, el esfuerzo de fluencia a
“rate para acero estructural es 0.5 a 0.6 veces el esfuerzo de fluencia a tensión.

La porción inicial del diagrama esfuerzo-deformación a cortante es una linea
Iacianáloa al de tensión. Para esta repinelistica lineal, el esfuerzo cortante y

gular son directamente proporcionales y se cuenta con la siguiente
‘vein para la ley de Hooke en cortante の

Se a
Gone O ea mao: de aces

Du © cid «srs Games re

orzo conan 개

de clasticidad a tensión y cortante (£ y G) se relacionan mediante
la siguiente ecuación

Los módu!

ET) (110)

es el módulo de Poisson. Esta relación

donde a obtención se detalla en la Sec
ción 3.5, muestra que E, G y » no constituyen propiedades elásticas independientes
del material. Ya que el valor del módulo de Poisson para materiales comunes se en
cuentra entre cero y un medio (0 < < 1/2), se aprecia dela Ec. (1-10) que G debe
estar entre un tercio y un medio de E (E/3 < 0 < E/2)

Un punzön con un diámetro de 0.75 plg se usa para troquela un agujero en una placa de aero
de 1/4 plg (Fig. 1-24, Para ello, se requiere una fuerza P = 26,000 1. ¿Cuál e el esfuerzo
‘ortante medio en la placa y cull cs el esfuerzo de compresión medio en el punzbat?

Placa de1/4 pis

Fig. 124 Ejemplo

ad
El esfuerzo cortante medio se determina al dividir a fuerza P entree Are que cor
punzbn, Esta Are es igual al producto de a circunferencia del aguero el espesor dela placa

A, = rt075 plg(0.25 pl) = 0.589 ple!
Por tanto, el esfuerzo cortante medio es

> 260001
yo 44,100 po
et AOS pla? ”

También, el esfuerzo de compresion medio en 01 punzön es

26.0015
"0.78 pie) 74

= 58,900 pui

en donde A, & el área de la sección transversal del punzón.

30 à

¡+
en,
ado dead conan dl uta. Fame, dope int
ee

1.7 ESFUERZOS PERMISIBLES
Y CARGAS PERMISIBLES

te consideración en el diseño de ingenieria es la
a para res mitt cargas. Entre los o
* incluyen estructuras de edificio, maquis

acidad del ob-
objetos que deben s0-

ia, aeronaves, vehiculos,
de otras

er interninabl
sferitemos a tales objetos

iquier objeto que debe es

por ei
Jos como estructuras: por tanto,

la de una estructura, fas cargas
er ai e ra tr ue SATE que la misma puede rel
PT pd duns es querer sone DOS el
de una estructura para sopor

tencia, por lo que el criterio precedente puede replantearse como sigue: la resisten-
real de una estructura debe rebasar la resistencia requerida. La relación entre la
resistencia real y la resistencia requerida se denomina factor de seguridad n:

resistencia real
resistencia requerida

008

Desde luego, el factor de seguridad n debe ser mayor que 1.0 si se desea impedir la
Talla del material. De acuerdo con las circunstancias, se emplean factores de segur
dad desde un poco más de 1.0 hasta 10.

La inclusión de factores de seguridad en el diseno no es un asunto sencillo ya
que la resistencia y la falla del materíal denotan conceptos diferentes. La falla del
material, o simplemente la falla, significa la ruptura 0 el colapso completo de una
estructura, o bien que las deformaciones rebasan algún valor limitante, detal modo
que la estructura se vuelve incapaz de realizar sus funciones. Esta última clase de
falla puede ocurrir con cargas mucho menores que aquellas que ocasionan el colap-
so, Para la determinación de un factor de seguridad se deben tomar en cuenta concep»
105 como los siguientes: probabilidad de sobrecarga accidental de la estructura; los
tipos de cargas (estática, dinámica o repetitiva) y con qué precisión se conocen; la
posibilidad de falla por fatiga; inexactitudes de construcción; calidad de fabrica-
ción; variaciones en propiedades de los materiales; deterioro debido a corrosión 0
a otros efectos ambientales; precisión de los métodos de análisis; si la falla es gra-
dual (con amplias señales de peligro) 0 súbita (sin señales de peligro); consecuencias
de la falla (daño menor 0 catástrofe) y otras consideraciones más. S el factor de se
guridad es muy bajo, el riesgo de fala será clevado y por tanto la estructura será
inaceptable; si el factor es muy grande, la estructura desperdiciara material y puede
volverse inadecuada para su función (por ejemplo, puede ser muy pesada). Debido a.
estas complejidades, se requiere el buen juicio y criterio del ingeniero al establecer.
los factores de seguridad. Estos factores suelen determinarlos grupos de ingenieros ex
pertos que formulan los códigos y especificaciones utilizadas por otros >

En la práctica, los factores de seguridad se definen e implantan en muchas fo
mas, Para muchas estructuras es importante que el material permanezca en el ma
zen clásico lineal a fin de evitar deformaciones permanentes cuando se 00000
cargas. Por lo que un método común de diseño consiste en emplear un factor
guridad respecto de la fluencia de la estructura. La estructura alcanza la |
cuando algún punto de la misma alcanza su esfuerzo de fluencia. Mediante
ción de un factor de seguridad respecto del esfuerzo de Muencia, se obt
fuerzo permisible o esfuerzo de trabajo, que no debe rebasarse en ninguna:
la estructura. Asi,

esfuerzo de fluencia

Estucrzo permisible — agro de seguridad MN

en m
donde se introduce la notación 0, Y 9, para los esfuerzos

respextivamente. En el diseno de edificios un factor de:
pesto de la fluencia es 1.67; así, un acero dulce que t

de 36 ksi tendrá un esfuerzo permisible oem 에

misible al aplicar un factor

99 smn e eto cis oe de Mac Ese
J seguridad espeso del fun 00010, y también s utiliza pa
am = +
«20 último. El factor de seguridad normalmente es mucho mayor

o al esfuerzo de fluencia, En el caso
20 último que con respecto 4
on respecto al 00140 a

ro ult sximadamente a un factor de 2.8 con respecto
Rene ne nde la aplicación de factores de se

le seguridad de 1.67 respecto al esfuerzo de fluencia

esfuerzo último.

escribiremos compr
El último método que desc

gas en vez de a esfuerzos. Utilizaremos el término cargas últimas para de
ns cnt que provocan el colapso o falla dela estructura. Las cargas que debe
ta estructura en operación se denominan cargas de servicio o cargas de tra
bajo. El factor de seguridad es el cociente de las primeras entre las segundas:
Factor de seguridad n = „EHER Última (1-14)
motor de seguride carga de servicio
Dado que las cargas de servicio son cantidades conocidas, el procedimiento común

e diseño es multiplicarlas por el factor de seguridad para det
Luego, la estructura sedi

minar las cargas últimas.
tm forma tal que pueda soportar las cargas últimas de
le diseño se conoce como diseño por resistencia o diseño por car-
ctor de seguridad se denomina factor de carga ya que es un multipl
gas de servicio:

falla. Este método
ga última, y el

ador de las

Carga última = (car

de servicio) factor de carga) (1-15)

Factores de carga caractersticos utilizados en el diseno de estructuras de concreto

reforzado son 1,4 para cargas muertas, que constituye el peso mismo de la estructu,
‘a, 1.7 para cargas vivas, que son las cargas aplicadas ala estructura. Los métodos
de

No por resistencia se empl

lean comúnmente para estructuras de concreto re
forrado ya vecs para estructuras de acero. En la Sección 2.10 y enel Capitulo 0

og todos para determinar cargas últimas de algunas estructuras Simples
aa astho aeronáutico, se acostumbra hablar del margen de seguridad qu lugar

del actor de seguridad. El margen de seguridad se define como de 이
ator dese gen de seguridad se def el factor de seguri

Margen de seguridad = カー
a dad 1 (50)
requerida tiene un factor
Cuando el 때

de seguridad de 2.0 y un margen e
"Ben de seguridad se rec oe cae Sed

duce a cero o menos, la es
fa estructura (supuesta:

Un cmd circa de
lero fundido, corto
sompreain P= BOL. i

50 (FI. 1.26), debe en
moron pra 959 10811 una carga de

이. = 35,000 pai,

108 peminibles y cargas parmis 38

Paine

t= laf /

Fig. 1.26. Ejemplo 1

Se decide diseñar el cilindro con un espesor de pared de 1 pla y un factor de seguridad de 3.0
‘con respecto de a resistencia última. Calcular el diámetro exterior minimo requerido del eb
Hindro,

El esfuerzo permisible de compresión es igual al esfuerzo último dividido entree factor
de seguridad (Ec. 1-13);

70 psi

El área de la secclôn transversal requerida puede determinarse ahor

P__ 12090018
ALLIE
Ai

Ei ren rel de La sección transversal es

CNE >
een,
E a

donde des el diámetro exteriory d — 2 el diámetro interior. Se despeja y luego se suite
1 = 1 plg y A = 11.14 pigs, de lo que se obtiene

Ejemplo 2

Una barra de acero de seción transversal rectangular (10 % 40 ma)
sión P y est ariculada a un soporte por medio de un perno redondo,
(Fig. 1-27), Los esfuerzos permisibles a

basada en 18 tension de la barra es
4 = (120 MP2}(250 mm!) = 30 kN
to dees

seguida xc

ualquier concentración de esfuerzos debida ala presencia del barreno,
ula la carga permisible basada cn el cortante del perno. El perno tiende

s secciones transversales, por lo que la fuerza total que puede resistir es

Pi = Sym A)

A ese área de la sección transversal del perno

Al sustituir valores numéricos se ob»
(60 MPay2)(7 (5 mm)

anteriores de P, se apreca que rige el cortante en el perno y que

Pegg = 212 KN

sion Pe

uniforme y altura hy a
‘una carga de compre

tae a) Sea, el esfuerzo permite

ransversal requerida A y el ra

Porción deta couse ga sia, à que debe soport
cima de sas altura. Para es el peso de la

17, Estuerzos porminivios y cargas parmisities 36.

Fig. 128. Ejemplo 3. Columna de volumen minimo.

parte superior de la columna, el área requerida As es
LEÑA

Conde 1, es el peso dela columna entre secciones transversales en x = Oy x= E- El

Ar

pequeno elemento quese indica rayado en a Fig, 1280:
P+M rade

An = Ac + dem

‘Asi, el incremento dA, en el area es

Age

=
os

ean
Esta última expresión puede integrarse entre las secciones transversales para & =
Por tato, los limites de € on 0 x, os limites correspondientes a. On)
se obtiene que

36

u
o bien

나오 i Pe fanción dela distancia x desde la parte
rea requerida A, con on dead
a ccunción expresa el rca req

olumna, el area
A, es igual a Ay. En a base dela
a. Note que six = 0, A, 6 igual

superior de I ae
requerida es ae

os correspondientes son
Los md po aie FR

Esas cucons expresa las dimensiones de una columna óptima de al
consecuencia, también peso mínimo), ya queen cada sección transvers
és justo I suficiente para soportar la carga aplicada.

el área dela columna.

EI volumen de la columna óptima puede calcularse si se desea
Vm [Ad =" Ae exporx/odde
= 4%: ep) -1) = [expiphie,) =1 a2)
Otra forma de eta ecuación es
Vak, — 4) (1-22)

que expresa el volumen en función del área en los extremos,
Este ejemplo ilustra el concepto de estructura Optima, la cual constituye una estructura
hipotética que satisface un certo crteio, tal como volumen mínimo o peso minimo. En la
prctica, suele no se factible construir una estructura que posea las propiedades de la estruc:
tura óptima “ideal”. No obstante, el conocimiento elas propiedades de una estructura Optima
sde desempeñar un papel importante en diseño, al comparar las propiedades de una ee
real on as de una estructura ideal, fin de determinar el grado de eficiencia de a cata
real. Por ejemplo, las fórmulas obtenidas en cte ejemplo indican que la cstustura onion a
fee muy poco de una estructura prsmática. En un caso pico, el rea requrida ty ie Bo
50 un pequeño porcenaje mayor que el ren A, en la pare uperiar (Ad hear,
ia en a Fig 1-28 muestra una variación cagada cn radio desde la part pee
ta bse.) Hemos aprendi de me ejemplo que un estructura prisme etd py ne

ais esructra Optima paa stas cractrines de cara, por lo que ao ak ln nn
rarla con sección variable (vase Prob. 1.7.10) :

PROBLEMAS /CAPÍTULO 1

Una barra ABC que tiene dos secciones
transversales de Aras diferentes está cargada por on,

4025 pig,

"pecan Car a
20 normales 0, one

You en cade porción de la bara, prob. 4.24

Una barra horizontal CBD que tiene una
longitud de 2.4 m, se sostiene y carga como se
muestra enla figura. El miembro vertical AB ene un
Area de sección transversal de $50 mm Determinar
la magnitud de la carga P tal que produzca un esfuer
zo normal iguala 40 MPa en el miembro AB.

122

123 de aluminio de 80 m de longitud.

cuelga libremente bajo su propio peso (véase figura)

Determinar el esfuerzo normal máximo 0, en el

alambre, si se supone que d aluminio tiene un peso.
6 ANVm

Unalamt

1.24 Un tubo hueso de diámatro interior d, = 4.0
ple y diámetro exterior d = 4.5 plg se comprime por
una fuerza axial P = 55 kip (véase figura), Calcular
dl esfuerzo de compresión medio o, en el tubo.

1.25 Una columna ABC para un edificio de dos
pisos se construye con un perfil cuadrado hueco (véa
se figura). Las dimensiones exteriores son 8 ple x &
pla, y el espesor de pared es $/8 plg. La carga del
echo en la parte superior de la columna es Py = 80k
y la carga del piso la mitad dela columna es P, = 100
k. Determinar los esfuerzos de compresión au Y ou
en ambas porciones de la columna debido a esas cargas.
1.26 La figura muestra la sección transversal de un
pedestal de concreto cargado a compresión. (a) De
terminar las coordenadas X y del punto donde debe
aplicarse la carga a fin de producir una distribución
uniforme de esfuerzos. (0) ¿Cuál esla magnitud del
esfuerzo de compresión, sil carga es igual a 20 MN?
4.27 Un alambre de acero de alta resistencia, em-
pleado para presforzar una viga de concreto, llene
una longitud de 80 pie y se estra 3.0 plg. ¿Cuál ela
deformación unitaria del alambre?

4.28 Una barra redonda de longitud L = 1.5 mse
carga à tension como se muestra en la figura, Una de

Prob. 1.2-6

ar

1
4
prob 122
~ r
= pa
prob 1.2.3 ee
js
la]
Ma
dela. Bole
À Il
as
sesionar
A
Prob 12

ormaciôn unitaria normal e = 2% 10? se mide por
medio de un medidor de deformación (0708 gate)
colocado en ¿Qué alargamiento & de la

‘bare
Barra completa puede preverse bajo eta carga?

Medidor de deformación

able ABC (ease
ansversal efectiva de 120

260 mm. (a) Calcular los

le peso espciicoy cuelga

su propio peso. Obtener una formu:

In 0, e el alambre como
desde el extremo

da ACB cuya longitud to
meje que pasa através de
idad anguía constante us
material de la barra tene

er una fórmula para ls

fuerzo de tensión o, en a barra como una función de

1232

134 Unalambre

U propio peso, ¿Cuáles may

¡alcanza sin Muencia s eee hucha
un esfuerzo de lencia de 36000 y
Son un esfuerzo de uenci de 1h

longitud que puede
Py 0 alin
40 /pie ya

Prob, 1210

Datos de la prueba de
tension para el
Problema 1.33

7,000 00002

2.000 0.0006

6,000 0.0019

10,000 0.0033

12.000 0000

12,900 0.0083

13,400 0.0087

13,600 0.0054

13800 0.0063,

14,000 0.0050

| 400, 00118
L 200 0.0167
16800 0.0263

16400 0.0380

00 0.1108

Prob.1.2-11

132 Tres
ipo estándar e
calibradas de
especimenes

materiales diferentes A, B y Ce prue:
"mediante el empleo de especímenes de
Son diämerros de 0.505 plg y longitudes
20 ple. Después de que se fracturan 108

Seen as 00015 etre macs de ale
iban 2 0,248) 27050 Ree
TO son 0.44, 0.39 y 0238
du sfm, en ls cos DN
SE fla. Determina 1 donación Cota VA

reduccién (porcentual de Area de cada espécimen
También, clasifique los materiales como frgils 0
10110

4.33 Los datos mostrados en la tabla se ob

jeron de una prueba a tensión de un acer de alta re
sisencia. EI espécimen de prueba tenia un diämetr
de 0.505 plg y se utiliza una longitud calibrada de
2.00 ple. El alargamiento total entre ls marcas de ca
ración en a 11

ura fue 0.42 pla y el diámetro
fue 0.370 ple
esfuerzo deformación pi
limite de proporci

Trazar el diagrama nominal
a, el acero y determinar el
1, el esfuerzo de Muencia

para una desvación de 0.1%, ser último, la

iongación porcentual en 2.0 pl la redución or
tual de área. y

1.54 Sereaiza una prueb de tension sobre uns

pécimen de latón de 10 mm de diámetro y se utiliza
una longitud calibrada de 30 mm (véase figura). Al
aplicar una carga P = 25 KN se aprecia que la distan
cia entre marcas de calibración se incrementa en
0.152 mm. Calcular el módulo de elasticidad de latón

Prob-1.51

4.52 Determinar la Fuerza de tension P near pa
va producir una deformación unitaía ale = 0.007 en
tina barra de acero (E = 30x 10 ps) de sección
transversal circular cuyo ditmetr es igual a 1 pls.

1.53 Los datos de a tabla anexa se obtwiren de
Una proche a tension de un spécimen de alación de ao
mine, Oralique los datos y luego determine el mod
de dasticidad E y el limite de proporcionalidad a,
para la aleación

1:54 Una muestra de aleación de aluminio se
prueba a tensión. La carga s incrementa hast alcan
Dr una deformación uniaria de 0.0075; el esfuerzo
Correspondiente en el material es 443 MPa. Luego se
tetra la carga y se presenta una deformación perma
Fene de 0.0013. ¿Cuál es el módulo de elasticidad E
para el aluminio? Sugerencia: véase Fig. 1-160.)

Prob. 1-5-6

Problemasicepiuie 39

Datos de osfuerzo-
deformación para
ol Problema 1.53

> 00040
内 000

“ 00002
és 0006
e 0001

rza-

Prob. 3-5-8

1.55 Dos barras una de aluminio y otra de aero,
se someten a fuerzas de tension que producen esfuer-
208 normales o = 24 ksi en ambas barras. ¿Cuáles
son las deformaciones laterales e yw las barras de
Aluminio y acero, respectivamente, E = 10.6 10%
aly » = 0.33 para el aluminio, yE = 30% 10 paty
4.5% Una barraredonda de 1. pl de diámetro se
carga en tension com una fuerza P (vase figura
Se mide la variación en el diámeto y resalta 00031
pl. Se supone E = 400,000 pi y » = 0.4 00004:
Far la fuerza axial P en la barra.
Un miembro compresibleconstrudo de tie
00 GPa, » = 0.30) tene un
diametre exterior de 90 men y un. hea de sección
transversal de 1880 mat ¿Qué fuerza axial PO
Nonaré un incremento del dikmetro exterior il
2.0.0094 mm

! ceo de a riencia = 2
158. Una tarde de reia SO
GPa, » = 0.3) se comprime
(Cae figura, Cuando no acta carga 000 은
metro de I barra es 50 mm, A fin de anion
o holgura, l dicto de La burra no debe SS
520.2 mm. ¿Cul es el mayor valor

ta carga PT

157
bo de acero (£

40 a un cilindro 0

“acero de 6 pie de longitud, dit
rero exterior d espesor de pared 1 = 0.3
te una carga axial de compresión P = 40
me que E = 30% 10 psi y

miento à del tubo,

= 03, determinar (

() el incremento del diámetro exterior Ad y (6) el

ncremento de espesor de pared Ar

1.513
Œ = 12.5 10 ksi, »
y 15 plg de longitud, se com

Una barra sólida circular de hierro

0.30) de 2.25 pig de

axial P = 45,000 lb (véase figura). (a) Deter:
minar el incremento Ad en el didmetro de la barra

la barra
*1.5-14 ㅣ Determinar la fórmula para el incremento
de volumen 4 de una barra prismática de longitud
L colgada verticalmente bajo su propio peso (W
peso total de ia barra)

1.64

la reducción de volumen AV de

Un bloque de madera se prueba en cortante
diante el espécimen de prueba mostrado en
la figura. La carga P produce un corte en el espée

0mm 190mm

=

Prob, 1.5-12

Prob. 1.5.10

1511 Une plc mea de longed y acia
bi me à ec are a
Extremos (véase fi ela pa
gua). Ants e cagarse
nte ¿de la linea diagonal OA era by De
pende cuando ct à to
$542 Una tara de

la pen.
¿Cuál es

reo de 2.5 m de longitud
ansversalcundrad de 100 mun por
8 caras de tensión axial de 1300 Ly

PONE que Em 200 GPaÿ y = a,

men según el plano AB, El ancho del espécimen (per

:ndicular al plano del papel) es 2 pl ylaaltura A dl
plano AB es 2 plg. Para una carga P = 1700 1b, ¿cuál
es el esfuerzo cortante medio rw en la madera?

Marco de prueba

Prob. 1

1.62 Una ménsula de perfil estructural est 88080.
a una columna mediante dos tornillos de 16 mm de
diámetro, como se muestra en la figura. La ménsula

35 KN, Calcular el esfuerzo
en los tornillos, cuando se
desprecia la fricción entre la ménsula yla columna,

2

41

LZ

I a
Ass Sas
DÉS"
CL ZA
Prob. 1.63

Prob. 1.62

4163 Una barra circular maciza de aluminio 이바
ta holgadamente dentro de un tubo de cobre (vtase
figura). La barra y à tubo están unidos mediante un
tomnilo de 0.25 pig de ditmetro. Calcular el esfuerzo
Cortante medio Ys enel tornillo si as barras se car

an por fuerzas P= 400 Ib.

184 Unpunzbn con diámetro d = 20 mm se ut

liza para perforar una placa de aluminio de espesor
1 ~ 4 mm (stas figura). Sil esfuerzo cortante último.
para el aluminio es 275 MPa, ¿qué fuerza P se re
Quiere para perforar la placa?

1900

Bud

prob.1.6:5

Tres peras de madera están aber ei
si y sometidas a una

muestra em la figure
miembro es 1.8 x
ces es 6 pi, ¿Cuil + el
Fun en ls uniones?

= Tuerza P = 3000 Ib, como se
La sección transversal de cada.
3. pls yla longitud delas super
"esfuerzo coranie medio

08 de contacto, Cada
Di (im:
carga P = 2400 Ib
lante una placa de

mm y el esfuerzo cortan
se requiere para ocasionar la falla por cortante de dí

168 Dos pie aterial se unen como se
muestra en la figura, y e tensionan con fuerzas お
el esfuerzo cortante último para el material ex 38
MPa, ¿qué fuerza P se requiere para fracturar à cor

1:89 La adherencia entre barras de refuerzo y el
Soncreto se prueba mediante una “prueba de adhe
encia” de una barra empotrada en concreto (ee
figura), Se aplica una fuerza de tensión Pal extremo
de barra, la cual jene un diámetro dy una longitu
empotrada L. Si P = 4000 Ib, d = 0.5 pigy = 12
Dis, ¿qUE esfuerzo cortante medio ru se pronta

1810 Una viga hue

tipo cajón ABC se apoya:
에 A mediante

ch!

Prob. 1.612

ProblemanCaghuts + 43

7, de 10 kNme
de enredo js (o leche) on bridas, por
medio de cuatro tons de 20 mm (se figura,
¿Cul el sueo cortan modo en cada 0080
Sel mat dde 06080 de toren e 10 mn?
18-13 Un nudo entr dos losas de concreto 4 y
B se Mena con un epéxio Heike que se adhere en
1009 ser al anno (ese fue. EI 000
de sudo = 4.0 pl, 10086 perpendicular al
to del pape L'a py a ep ef = 0
Fit: Bajo la conde fuerzas cortants Vas logs se

OO el

= Altona de goma

Prob. 1.613

10m

Prob. 1.6-14

esplazan relaivamente entre una distancia d = 0.002
ple. (a) ¿Cuál es la deformación angular media?
en el epbxico? (D) ¿Cuál e la magnitud de las fuerzas
Vs G = 140,00 psi para el epoxico?
1.614 Una conexión flexible consistente en ab
johadilas de goma (espesor 7 = 10 mm) unidas a
placas de acero se muestra en la figura (a) Deter
ar la deformación angular media y enel caucho o hule
si la fuerza P = 16 AN y el mödulo de elastic a
cortante para el ble es G = 800 kPa, (0) Determinar
« desplazamiento horizontal relativo 6 etre la placa,

ion (vas i
un). E Dye
vero permisible a tensión de los mismos es 0.000
x D del cilindro es 10 pl yla
ierminar el número de to

Prob.1.7-5

arra maciza de sección transversal dr
iametro d = 1.5 pla) tiene un pequeño
dirigido lateralmente a través del centro de
ra (véase figura). El diámetro del barreno es
pone que el esfuerzo de tensión medio

sección transversal neta de la
ción es a_n = 10,000 ps, deter

sible が lc puede soportar la

Prob. 1.7.6
177 Una barra de aluminio AB está fijada a su
1 mediante un perno de 16 mm de diámetro en A
(véase figura). El espesor dela barra es IS mm y su

lema Cala 」 45
ancho bs 40 mi. Sl estara deo
ble enla bura ex 150 May 고 헤더
imisible en el perno es 83 My
permisible P
178

de tensión P están emp

な 3
rn
en

Prob. 1.7.8

maches de 15 mm de diämetro (vege figura. Las
barra tienen un ancho à = 20 mm an apeee 10
mm. Las barra están hechas de aer con um ee
último iguala 400 MPa, El esfuerzo cortante tiny
para el acero de los remaches es 180 MPa. Deer
ar la carga admisible Ps se desea un factor de seg
ridad de 3.0 con respecto ala cara Última que puede

soportar la conexión. (Suponga que las haras no fa
lana tensión cn las secciones transverse a trans de
los remaches y despreie la fricción entre las placas)

1.79 Una bara plan dele Län
de espesor se somete a una carga P (ose figura. Un
agujero de dämero de pr san de ra
para insertar un perno para soporte El fuer

misiblea tension sobre la seciön transyeal psa de
la barra es 21 kl y el esfuezo cortante permi en
el perno es 12 ks, Determinar e diámetro ler.

para el cual la carga P es máxima.

Prob. 1718

Prob. 17-14

um u
na mas Ms
or de un pot ert

ra à Formula paral area de
traversa requerida A dl bras, lc

se diseña para sopor
4,000 k además de su

10801 una carga

eso eee figura) La

es prismatica y que el peso especifico del

> es 150 1b/pie. (0) Comparar el volumen Y,

el volumen Y de una pila óptima
3, Ec. 1-21),

uelga de un soporte y sostiene una carga P

EI espesor

además de su propio peso

largo. La longitud dela
Ly el material tiene un peso especifico y
inar la fórmula para el ancho b, de una sec

sversal a una distancia x del extremo infe
afin de tener esfuerzo de
la barra. Tambiér

determinar las anchuras 2 y

1917

by en os extremos inferior y superior de la bara, re
pectivamente, y determinar el volumen Y de smi

CAPITULO 2

Miembros cargados
axialmente

2.1 INTRODUCCIÓN

Este capitulo se ocupa del comportamiento de elementos cargados axialmente,
ue son miembros estructurales que tienen ee longitudinal reto y soportan única:
mente fuerzas axiales (de tensión o de compresión). Los elementos de este tipo se
presentan en formas diversas como diagonales en armaduras, bielas de motores,
cables de puentes, columnas de edificios y puntales en montaje de motores de
aviación, Sus secciones transversales pueden ser macizas, huecas o de pared delgada
y abietas (Fig. 2-1). Cuando se diseña un elemento para una estructura propuesta
‘cuando se analiza una estructura ya existente, a menudo se requiere determinar no
sólo los esfuerzos máximos en el elemento (como se explicó en el Capit 1), sino tam
bién las deflexiones. Por ejemplo, las deflesiones pueden requerir conservarse
dentro de ciertos limites, a in de mantener cintas holguras El conocimiento de as de-
Nexiones es necesario también en el anáisis de estructuras estáticamente indetermi-
nadas, un amplio tema que se tratará enla Sección 2.4, Otros temas de este capitulo
incluyen efectos de temperatura, esfuerzos en secciones oblicuas 0 inclinadas,
energía de deformación, cargas dinámicas y comportamiento no lineal. Aunque en
‚Ste capítulo consideraremos únicamente miembros con cargas axiales, posterior;
mente apreciaremos que estos temas son importantes para todo tipo de elementos
Estructurales. Cuando se traten tales temas se utilizará el material referente a ten-
sión, compresión y cortante que se analizó en el Capitulo 1.

En lo que resta de ese libro, las expresiones análisis y diseño aparecen frecuen
temente. El término análisis se suele utilizar en mecánica para denotar el cálculo de
magnitudes tales como esfuerzos, deformaciones, deflexiones y capacidad de carga.
Cuando se analiza una estructura, o una parte de la misma, se supone que se !
las dimensiones de la estructura y el material que la constituye. Por lo que se
na estructura a fin de determinar su comportamiento bajo cargas conocidas.

tarea más ardua es la del diseño, que consiste en determinar la 1
Lrica de una estructura,

a vez. Otro término común es optimización, que constituye parte del
diseño. 0;

ización es la tarea de diseñar la “mejor” estructura para

r ejemplo una estructura de peso minimo. Desde luego, ta
ia ee
¡tura de peso minimo pero la deflexión no debe rebasar un valor es-
análisis, diseño y optimización están intimamente relacionados, co
ect en os ejemplos y problemas que aparecen en este capítulo y los

do. Asi

2.2 DEFLEXIONES DE MIEMBROS CARGADOS AXIALMENTE

Una barra prismática de longitud / cargada a
muestra enla Fig

¡ón por fuerzas axiales P se
ide dela sección transversal,
as de los extremos se determin
mediante la fórmula o = P/A, donde A es el brea dela sección on

1-1). Además, 의 la barra está constituida de mat

(unitaria) axial es e = 8/L, donde des el alar

2. Silas fuerzas P aciúan en el centroi

barra para secciones alejad

ransversal (véase
erial homogéneo, la deformación
amiento total producido por las fuerzas

22 Dellexiones de miembros cargados ausimanie 59
axiales (véase Esc. 1-2. Ahora, supongamos que el material es linealmente elástico de
{al modo que se cumple la ley de Hooke (o = Eu), Entonces las expresiones ante

riores para # y « pueden combinarse para establecer ia siguiente ecuación del algae
miento de la barra:

en

Esta ecuación señala que el alargamiento de una barra homogénea, constituida de
material linealmente elástico, es directamente proporcional ala carga P y ala longi
tud L, e inversamente proporcional al módulo de elasticidad £ y al rea de la sección
transversal A. El producto EA se conoce como rigidez axial dela barra. Por supuesto,
la Ec. (2-1) también puede emplearse para un miembro en compresión, en cuyo caso
6 representa el acortamiento de la barra. Cuando se precisan los signos convenciona:
les, el alargamiento se considera positivo y el acortamiento se considera negativo.

De la Ec. (2-1) se aprecia que una barra en tensión es análoga a un resorte cargado
axialmente (Fig. 2-3). Bajo la acción de la fuerza P, el resorte se alarga una cantidad.
5, en forma tal que su longitud final resulta L + 6, en donde L esla longitud original.
La constante del resorte & se define como la fuerza requerida para producir un alar-
gamiento unitario del resorte, esto es, k = P/8, La deformabilidad del resorte es el
recíproco de la constante del resorte, o sea la deflexiön producida por una carga de
valor unitario. En el caso de una barra a tensión (Fig. 2-2) o cualquier otro miembro.
estructural, tal como una viga, es común aludir a rigideces y flexibilidades en lugar
de constantes de resorte y deformabilidades.

INI
Fi He

Fig. 23 Resorte lati lineal en
tension

fuerza requerida.
La rigidez & de una barra cargada axialmente se define como la
para producir una deflexión unitaria, por lo que de la Ec. (2-1) se aprecia que la risk

dez de la barra de la Fig. 2-2 es le
FE

L

En forma análoga, la flexibilidad / se define como la deflexión prods
carga unitaria. Asi, la flexibilidad de una barra cargada axialmente es

E

?

s tipos de estructuras. Advierta que un incremento

tud de una barra argada Únicamente en sus ex
erminarse sin dificultad mediante la Ec. (2-1). No obstante, la

es más generales, Suponga, por

con una o más fuerzas axiales intermedias (Fig. 2-4),
inar la fuerza axial en cada parte de la barra (esto es, en

yy calcular el alargamiento 0 acortamient

estos cambios en longitudes pueden sumarse al

e + el cambio de longitud total de la barra completa. El mis.
le uilizane cuando lab

odo puede utilizarse cuando la ba

de cada parte

cas de dife
rentes áreas transversales (Fig. 25).

En general, el alargamiento total de una barra consiste
diferentes fuerzas axiales y secciones transversales de distin

teen varias pas

s areas, puede determi:

Ara e

donde el subindice es un indice que

igna las diferentes p la barra y nes el
lámero de partes. El empleo de esta ecuación ae
nme de pai. E my a ecuación se representa en el Ejemplo 1 al final

alo rg el dela ara mi a
ua au y

Ltansversal varia en forma conti
(2-4) no se cumple, En su lugar, el
un elemento difen
iento e integrar posterior

en la Fig, 2-6, que
la en forma coat
duce una fuerza

encial de la barra y
lente sobre la longi
muestra una barra

inua (tal como el peso
axial var

ble sobre la

2. Dellexiones de miembros cargados animent 63

Fig. 28 Barra

ra Pue
del extremo izquierdo de
te (Fig. 2-6b) como el rea
somo funciones de x. Por lo que, la
ento resulta

separarse de ésta un elemento de longitud dx, situado a una distancia x
la misma. Tanto la fuerza axial P que actúa en la sección del

de la sección transversal del elemento A., pueden expre-

n para el alargamiento 08 del ele

Si las expresiones para P, y A, no son muy complicadas, la integral puede evaluarse,
analiticamente y establecerse una fórmula para à (véase Ejemplo 2). Sin embargo, si
la integración es dificil o imposible, entonces puede emplearse un método numérico

evaluar la integral
Debido a que la Ec. (2-5 se obtuvo a partir dela fórmula o = P/A para barras
prismaticas, presentará resultados precisos para barras ahusadas sólo si el ángulo
entres lados de la barra es pequeño. Por ejemplo, si el ángulo entre dichos lados es
„el error máximo en el esfuerzo normal calculado con la expresión g = P/A
es 3%, comparado con el esfuerzo exacto. Para ángulos más pequeños el error es
menor. Si el ahusamiento de la barra es grande, será necesario emplear métodos de

análisis más exactos (véase Ref. 2-1),

Ejemplo1
a venical de acero ABC tiene una longitud L, y un área de sección transversal Av

Una ba

desde A hasta 8, y longitud L, y Aree A, desde B hasta C (Fig. 278). En e punto Cacila una.
carga P,. Un brazo horizontal BD ath articulado en B con la barra vertical y SOport UnA Gt
sa P, en D. Calcular la deflexion vertical den el punto Csi Py = 10KN, Py = 26k

=o

lo que la deflexion del punto Ces

. - 정
El diámenso d de a barra a una lancia origen (Fig. 240)
e
a
Alora se sustituye en I E. (2) para y se obre
gu [Pudo _ paras) PL ode
a er ES
Al efectuar la negación y sur os 1110. s 05604
„af ie an à
loa, cet (iu)
Esa expresión pars puede simplicare 8 e considera que
ASA o
도 an
APL (La
¿ma (a)
Finalmente, se sustituye L/La = dd, tse Bea) y se bene
es

nula requerida para d alargamiento dela barra ahusada. Como
“dela Ec. (-6)sesimplifcn a)

Esta ecuación representa lf

un caso especial, note que sla barra es prismática con dy = de
ar „Pl.
¿aa BA

en ln cual À ーェ人

DIAG

RAMAS DE DESPLAZAMIENTO

argados axialmente que tiene
mple de tales estructuras es
erminar los desplazamientos (

'ominan diagramas de desplazamientos. Estos

después de que se han calculado los cam.
ale
o ara determinar desplazamientos,
a una armadura formada por una barra hor
Nuestro objetivo es determinar la d
finalmente el desplaza
mbros AB y BC, respectivamente, se de
do B

EA, (2-72, 6)
mento para el

al son apli
aplicables las

0 B, inicialmente se consi
que

PONE que el AB se alarg
; alarga
desde £ hasta B, (Fig.
describe un arco con
*! desplazamiento real de

Fig. 28

23 Diagramas de desplazamianto 57

5

o

Deflexiones de una armadura de dos barras

la junta B es muy pequeño, el arco puede reemplazarse por una lnea recta que
por B, y sa perpendicular al je del miembro AB. La localización final del mudo B
debe estar en algún punto de esta perpendicular (BB en la Fig, 290).

En forma similar, el miembro BC se acorta en una cantidad dla cual traslada
su extremo desde B hasta By. Después, el miembro BC gia alrededor de Ci por ello
describe otro arco, con centro en C y radio igual a la distancia CB;. Este arco se reem-
plaza por una línea resta através de B, y perpendicular a BC; la localización final dl
nudo B debe estar en algún punto de esta linea (2,8), La intersección de las dos per-
pendiculares (o delos dos arcos) esla localización final del nudo B. Este punto sede-
signa B’ en la figura. Asi el vector de 8 a B' representa el desplazamiento, del ne
do B de la armadura

El desplazamiento, puede calcularse geométricamente de la Fig. 2-90. Noobs
tante, la tarea se facilita s se elabora un diagrama separado que muestre ümicamen-
te los desplazamientos, tal como se muestra enla Fig. 29%; La linea BB, representa
el alargamiento by BB; representa el acortamiento du, Las líneas perpendiculares
son B,B’ y 8,8", que se cortan en 8”. Dado que estas lineas son perpendiculares a
AB y BC, respectivamente, el ángulo entre dlas es iguala 0. Por lo que, el diagrama.
“de desplazamientos de la Fig. 2:9 es idéntico (excepto por la escala) ala porción de
la Fig, 2-9 que indica los desplazamientos. Del diagrama de desplazamientos Se Cale
Cula (0 se mide, sel diagrama est dibujado a escala) el desplazamiento resultante da
¿e la junta B, y las componentes horizontal > vertical de tal desplazamiento. En esta
ilusıraciön, la componente horizontal by es igual a 3, y se dirige hacia la derechas

고 aca 4 es
La componente vertical 5. es descendente y consta de dos partes en la figura (8,8%
B,8'). La distancia B,By, que equivale a la distancia A, es igual ad sen 8. La Gis
tancia 8,8" puede determinarse a parti del triángulo 8148", cuyo lado Bath ES
iguala 8. cos # + B.,. Por lo tanto, la componente vertical de 4, &

6, = BE = à. sen à + (ye 005 0 + By) COLO
u 0 + da 0010

en

nas de Williot, porque fue
2.2). Estos diagramas

diagram
à Fig. 2-9; para armaduras
1 método de 0

deftexibn 5 del nudo B de la armadura simétrica mostrada en

determinar las fuerza de tensión F en los miembros:

come lo establece el equilibrio de fuerzas en el nudo 有 Advierta que la longitud L de cada.
miembro es Ly = H/cos 8, enseguida se determina el alargamiento 6, de cada barra:

FL, PH
EA “TEA cop

Fig 210. Ena

Poss nal in

Para se separasen, Una 1 ee

een més de Bi y perpendicy er
5 cd ro Gebe

que representa la
hasta 5, las dos

nina

Uméiodo de Heibidades) 659
a B, conforme se alarga BC en una cantidad 4 una perpen
1 a 88, determina entonces la posición final de la junta 6, 01 が

La deflexión vertical &, de la junta A es

기 en

6 EA com? om

según se determina

or trigonometria del diagrama de desplazamientos

2.4 ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
(MÉTODO DE FLEXIBILIDADES)

En las explicaciones anteriores nos ocupamos de barras cargadas axialmente y
‘otras estructuras simples que podían analizarse por equilibrio estático, En todos los ejem-
plos fue posible determinar las fuerzas axiales en los miembros y las reacciones en
los soportes, mediante diagramas de cuerpo libre y la resolución de las ecuaciones de
equilibrio. Tales estructuras se clasifican como estáticamente determinadas. Sin em-
bargo, para muchas estructuras las ecuaciones del equilibrio estático no bastan para:
el cálculo de las fuerzas axiales y las reacciones; estas estructuras se denominan estás
ticamente indeterminadas. Las estructuras de este tipo pueden analizarse al comple
mentar las ecuaciones de equilibrio estático con ecuaciones adicionales relativas a los
desplazamientos de la estructura.

Los dos métodos generales para el análisis de estructuras estäticamente indeter-
minadas son el método de las flexibilidades y el método de las rigideces, descritos en
esta sección y en la siguiente, respectivamente. Estos métodos son complementarios
uno del otro, y cada uno tiene sus ventajas. Son adecuados para muchas clases de
estructuras, siempre y cuando el material permanezca en el margen elástico lineal.

Para explicar el método de las Nexibilidades, considere el análisis de la barra es,
täticamente indeterminada mostrada en la Fig. 2-11. La barra prismática AB está
empotrada en sus dos extremos y cargada axialmente por la fuerza P en un punto in-
termedio C. Como consecuencia, se desarrollan reacciones R y Ra en los extremos.
de la barra.* Estas reacciones no pueden determinarse por estática únicamente, ya
que sólo existe una ecuación independiente de equilibrio estático, como se indica &

RAR =P 加

‘Como esta ecuación contiene ambas reacciones desconocidas, no basta para su cálcu=
lo. Debe establecerse una segunda ecuación para las deflexiones de la barra,

Para iniciar cl análisis, se designa una de las reacciones desconocidas como la
redundante estática, o sea la fuerza que sobra de las que pueden determinarse por es-
tätica únicamente. Se elige A, como la reacción redundante en este ejemplo. Si A
puede determinarse, entonces la otra reacción R, se puede obtener por equilibrio está.
tico de la Ec. (a), Cuando la reacción desconocida R, se retira de la estructura, el
efecto equivalente es liberar el apoyo en el extremo A, lo que origina la estructura es-

・ Para dtnguir entre eaciones y cargas Las fuerzas recivs se indica diane una pequeña
raya locinada diagonal sobre las echa, somo e tra en la Pg 211,

|
|

mostrad 116. Asi, desde el pun
ra capaz de soportar cargas, la reacción en el extre
o es, es redundante, La estructura que resulta al retirarla
estructura liberada o estructura primaria.
dela carga P sobre el desplazamiento del punto A en
110). Este desplazamiento es

descendente. Enseguida, co f acción redundante R. sobre
desplazamiento del punto A (Fig. 2-11c). Advierta que, aunque es una cantidad
sconocida, . se visualiza ahora como una carga que actúa sobre la estructura li
ada. El desplazamiento as junto A debido a R, es

RL
EA

Punto A debido ala acción simultánca de ambas cargas

Dinar dr y Ba. Así, al considerar positivos los desplasa.

a A es igual a cero (Fig. 2-118), la

©

24 Estructuras estilicamente indeterminades (mbtodo de ¡ubicados 808
de la cual
Pb
eT a)
Asi, la reacción redundante se ha calculado mediante una ecuación relativa a log
desplazami

"os de a barra (Ec. D). Ahora que la redundante se ha determinnde a
puede evaluar R, por equilibrio al emplear la Ec. (a): à

R= em

De esta manera, se determinan ambas reacciones para la barra.

El método antes mencionado para analizarla barra estáticamente indeterminada.
de la Fig. 2-11a puede resumirse como sigue. Primero, se selecciona como redundan-
te una de las reacciones desconocidas, y luego se libera de la estructura cortando alo
largo de la barra y retirando el soporte. La estructura liberada, que es estable y está
ticamente determinada, se carga entonces en forma separada por la carga real P'y por
la redundante misma. Se calculan los desplazamientos ocasionados por estas dos mag
nitudes y se combinan en una ecuación de compatibilidad de desplazamientos (Ec. ),
Esta ecuación de compatibilidad expresa una condición relativa a la deflexión de la
estructura original, es decir, que la deflexiôn 6 en el extremo A es cero, Cuando se suse
tituyen las expresiones de los desplazamientos, la ecuación de compatibilidad toma la
forma de la Ec. (c), la cual puede resolverse para determinar la fuerza redundante R,
(Ee. 2-11). Finalmente, la fuerza desconocida restante se determina por estática.

Este método de análisis se denomina método de las flexibilidades, porque las
Nexibilidades aparecen en la ccuación de compatibilidad. En este ejemplo, la
ecuación de compatibilidad (Ec. <) contiene la flexibilidad L/EA (véase Ec. 2-3) co»
mo el coeficiente de la redundante desconocida R.. Otra designación es método de
las fuerzas, ya que las magnitudes desconocidas constituyen fuerzas. El método
puede emplearse para diferentes tipos estructurales y para estructuras que contengan:
varias fuerzas redundantes. Sin embargo, en esta sección se considerarán inicamen:
te estructuras indeterminadas elementales con una sola fuerza redundante. Como el
método requiere de la suma de deflexiones ocasionadas por fuerzas diferentes, es vr
lido únicamente cuando el material se comporta en forma elástica lineal.

Como ejemplificación adicional del método de las Nexibilidades, analicemos
la armadura plana de la Fig. 2-12a. Esta armadura consta de tres miembros sujetos
a soportes articulados en A, B y C, y unidos entre si por un perno en el nudo D, don
de actúa una carga P con dirección vertical. Se supone que todas las barras tienen la
misma rigidez axial EA. La armadura es estäticamente indeterminada porque exis-
ten tres fuerzas desconocidas en los miembros, pero sólo dos ecuaciones de)
equilibrio estático. Al sumar fuerzas con dirección horizontal, o al observar que la
armadura es simétrica, se reconoce que las fuerzas de tensión en las dos barras exter-
nas son iguales. Luego, del equilibrio de fuerzas en dirección vertical se obtiene,

2F, cos B+ Fy =P “

donde 8 es cl ángulo entre las barras vertical e inclinada. Esta ecuación contiene dos
fuerzas desconocidas (Fi y Fs); en consecuencia, es necesaria una ecuación adicional.
Esta ecuación se obtiene por compatibilidad de desplazamientos en el mudo の

162 comes * memes ea”

@9

Fig. 242 Armadura estáicamente indeterminada (análisis por cl método de flexbilidades)

En este ejemplo, seleccionamos arbitrariamente a la fuerza axial F en el
miembro BD como la fuerza redundante; por lo tanto, se corta el miembro BD en su
‘xtremo inferior a fin de reirar esta fuerza (Fig. 2-12b). Si se desea, la barra puede
cortarse en otra sección transversal y los cálculos serán similares a los presentados
‘aqui. Cuando la carga P actúa sobre la estructura liberada (Fig. 2-120), el desplaza-
miento descendente del nudo D (determinado de la Ec. 2-10 de la sección anterior) es

PL

2EAcos ÿ S
donde Les la longitud de la bara vertical. Cuando la fuerza n actúa
sobre la carutur iberada (Fig. 2-12), men

dp il
TEA cos B ©
(compare
con la Ec. €), El desplazamient

camente ind

rminadas (método de Hoxitinaades) 63
AI sustitul las Es. (e) y 0 en esta ccuación y despejar Fi,

se obtiene
‘ee
"Teeth oy
Finalmente, de ls ccuación de equilibrio (Ec. 4), se obtiene
F P cos? p
12007 en

En et empl, la fc aa en abra cnr es mayor qe fs sa
arras exteriores. También, como un as inte, podemos aga] = DY mn

시 = F = P/3 como era de esperar. = za

Est ejemplo representa el metodo general de solución desert previamente
ra el método de as lexfblidades, La fuerza desconodia P, tome coma a nike
dante, lo que present la estructraiberad de lai. 2128 Luego, mn.
berada s somete primero ala carga Py después aa fore edundane misma Los
desplazamientos del nude の ocasionados por esas fuerza se termina y comb
nan en una ecuación de compatioida, Se conoce el despazamieno debido a,
mientras que la fuerza redundant y el desplazamiento que produce son desonon
dos. Por supuesto, al resolver la ecuación de compaiblidad se obdene el valor ela
redundante. Posteriormente, aor fuera dea bara desconocida puede oben
por estática

Como un paso adicional en el ands del armadura de la Fig. 2:2, se puede de
terminar ahora la defexión vertical , del nudo D. Simplemente notanos que ca
deflexin es al al alargamiento de a bara BD:

E rt
TEA EA +260 の
Obviamente, I deexón horizontal dl nudo D es ceo debid a que a armadura y
ze ‘

‘ios os ejemplos previo del método de as Meiblidade, a ido til dete
fiat una aca redondantey lego deerminar las deiones dela eunucura ib,
fade (oben a eimina la Yedundant) En algunos tipo de problemas, est pao
‘Simmer En su gar basa conar la sutura ue rs aca deso
das y luego obtener un ecuación de Compatblidad con bo examina a con-
ae cin Los des ejemplos siguentes representa ee procedimiento,

& で 9

e 5 5 5 1

Ejemplo 1

ña je sostenida por dos
Una barra horizontal AB, que se supone perfectamente rigida, eth
“alambres iónicos CE y DF (Pig. 2138). Si cada alambre ine un ren de sección trasera

de la barra
‘ica las fuerzas en los alambres. Por ejemplo, un diagrama de cuerpo bre :
(ir. 2130) conduce ala siguiente ecuación de eduilbrio de momentos respeto del punto 4

A 0 Fr +2F:=3P af

A £ E
219 am sttcamenteindeterminada (análisis por 01 m teibilidade

19-213 <
‚on las fuerzas desconocidas en los alambres, La ecuación de

ción À como una nueva incógnita; por tanto, eta ecuación
Fy, Se rea ligue las deformaciones de

AB gira alrededor del sopor
a egin

y se alargan ambos
sra enla Fig. 2-13c, enla cual 8,
nto} delos alambres CE y DF, respectivamente, La condición de

lazamientos. Los alargamientos de los alambres.
ior dí las fuerzas desconocidas

BEE
ze Az
er

EA la rigidez axial de Los alambres. Ahora al sust
y den la ecuación de compatibilidad, se obtiene

Fear, à

miis es Es. (8) > (hy par representar ls fuerzas en os alambres:

rin ne
Lot stereo de en

Ear
을

la he Fur

"ostra stacomentendoarninadas (nodo de nasa 88

ki.

+

w em

Fig.244 Ejemplo 2. Earactura einen
indeterminada nMiei por cl 01000 de exiliado)

Ejempto2

Un cilindro circular macizo de acero y un tubo hueco de cobre (representados por À y Cen la
Fig. 2-140) se comprimen entre ls cabezas de una máquina de pruebas. Determina los estate
zos medios enel acero yen el cobre yla deformación unitaria de compresión media enla dire.
ción vertical debida a la carga axial P.

Al emplear el método de exiblidades, se retira la placa superior y obtenemos la estra»
tura mostrada en la Fig. 2-14b. Las fuerzas desconocidas P, y P, representan las fuerzas
axiales en el acero y el obre, respectivamente, y se relacionan mediante la siguiente ecuación
de equilibrio:

ちょあーか o

El acortamiento del cilindro de acero se expresa mediante P.L/E-A., enla cual L/EA, cons
tituye la Nexibiidad del cilindro de acero. Además, el acortamiento del tubo de cobre =
PLIEA,, en donde L/EA, constituye la fxibilidad del tubo, La ecuación de compatibilidad se
biene a partir de qu el cilindro de acero y el tubo de cobre se acortan la misma cantidad; as

NGS ty

EA BA

Al resolver simulténeamente las ecuaciones (D y (0), se obtienen ls dos fuerzas desconocidas:
EA.

EA,
np

EA + EA, BA + EA,
Estas ecuaciones señalan que las fuerzas en el acero y el cobre estan en proporción a as rigid
ces axiaes,

El esfuerzo de compresión , en el acero puede obtenerse al dividir Pentre A Yale
Tuerzo o, puede determinarse en forma similar. La deformación unitaria por Compresión 1,
que debe sea misma para ambos materiales, puede entonces determinarse a partir dela ley de
Hooke; el resultado es

# 2-166)

em

66

y la carga total dividida entre fa suma delas

Races mieles de ls partes de acero y oa

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
(MÉTODO DE RIGIDECES)
El método de rigideces para el análisis de estructuras estáticament

dt método de flexibilidades en que se consideran los desplazz
udes desconocidas (en lugar de las fuerzas), por lo que el método

Sen se denomina método de desplazamientos. Los desplazamientos desconocí

or se obtienen al resolver ecuaciones de equilibrio (en lugar de ecuaciones de com:
patiblidad) que contienen coeficientes en la forma de rigideces (véase Ec. 2-2). E
método de rigideces es completamente general y puede emplearse para una gran di
ersidad de estructuras. Sin embargo, está limitado al igual que el método de flexibi-
lidades a estructuras que se comportan en forma

À fin de explicar el método de rigideces, analicemos nuevamente una barra pris-
ica AB doblemente empotrada y en posición vertical (Fig. 2-15a). Las reacciones
en los soportes se denotan por R, y Rı, como antes. En esta nueva solución, el
desplazamiento vertical à, del punto C, que es el empalme de las dos porciones de la ba-

se toma como la cantidad desconocida, Las fuerzas axiales R, y Ry en las por:
iones superior e inferior dela barra pueden expresarse en términos de 6,, como sigue:

Es

EA
de @

R

Al formular estas ecuaciones se ha supuesto que à, es descendente posit

y a supuesto que 6, es descendente positivo, por lo que

Prode tendón en la parte superior dela barra y compresión en ja parte inferior.
El siguiente paso es aislar el punto C de la barra como un cuen

ae punto C de la be cuerpo libre (Fig.

+ Ry de
아문,
a 7

lo cual conduce a

Pab
FAL

(puesto que + b =
Ta Ry Ra de las Ec

“

L). Si se conoc Bi mi
noce el desplaza
i Plazamiento 3, se puede determinar aho-

©

ta

Fig. 216 Armadura elemente indeerminada
(análisis porel método de idee)

méode de rider)

Los resultados son, por supuesto, los mismos que los obtenidos en la Sección 2.4
(véanse Es, 2-11 y 2-12)

Resumamos ahora el procedimiento para el método de análisis por rigideces. El
primer paso es seleccionar un desplazamiento conveniente como la cantidad desco-
nocida. Un desplazamiento será conveniente si las fuerzas en las partes individuales.
de la estructura pueden expresarse en términos de tal desplazamiento (véanse Ess. a).
Luego se relacionan las fuerzas mediante una ecuación de equilibrio, tal como la Ec.
(©) en el ejemplo anterior. Enseguida, se sustituyen en la ecuación de equilibrio las
expresiones que representan las fuerzas en términos del desplazamiento desconoci-
do, lo que conduce a una ecuación con el desplazamiento seleccionado como única.
incógnita (Ec. c). Advierta que los coeficientes de , en esta ecuación representan nk
ideces. Esta ecuación se resuelve para el desplazamiento desconocido (Ec. d) y, f
nalmente, se determinan las fuerzas a partir del desplazamiento (Ecs. e). Asi, el més
todo de rigideces proporciona todos los resultados deseados.

‘Como un segundo ejemplo del método de rigideces, considere el análisis dela t=
madura plana mostrada en la Fig. 2-16a (esta misma estructura se analizó en
anterior). La barra vertical tiene longitud Z, las barras inclinadas tienen
‘L/cos 8 y las tres barras tienen la misma rigidez axial EA. Una carga vertical
en el nudo D. Asi, la armadura y sus cargas son simétricas y no ocurre
miento horizontal del nudo D. El desplazamiento vertical à de dicho mudo D esla:
tancia DD’ enla figura. Las lineas punteadas AD’ y CD’ muestran la:
desplazada de la armadura.

68

y vertical à de
: vey las barras inclinadas son

sp, 2-16b (vtase la

De tiene enla
azamiento). Las linea:

wo paral
de ación de los diagramas de de

espectivamente, y
pe de las barras CD y AD, 1051
| nudo D. Del disgrama, se

DD, y DD, represen
tinea DD represent

DD, = DD, =6¢
ja fuerza Fi en cualquiera de las barras inclinadas €
Por lo tanto, la fuerza Fi
BAG cos D) _ BAS cos? À i
à L/cos ß a
170 内
E

guiente paso en el análisis es obtener la ecuación de equilibrio. De un
diagrama de cuerpo libre del nudo D (Fig. 2.169 se aprecia que

zas en las barras en función de una sola incógnita,

2F, cos P+F, =P (a)

Al sustituir las expresiones de F y Fi (véanse Ecs. fy g) en esta ecuación, se obtiene

2EA6 cos’ , EAS
cost 8 6
L E 6
Esta cación cotene como incógnita aa deflesin , por lo que al despejar ésta se
poa
pad
EA 1+ 2cos? B u
El último paso en el análisis es determinar las fuerzas en las barras F y. Fa, sustitu-
yendo esta expresión para 5 en las Ecs. (1) y (8); así, se obtiene
20000 a
T+ Te f 1+200078 @

F,

Estos resultados son 1
1 os mismos que los obtenidos previamente por el med
Bildades (véanse Ecs, 2.13, 2-14 y 2 15), x aes)

Ejemplo

"pude ecos refozag
Io) onu on ae ay ón transversal
ent ao 05m pars cada

mm. Ei pede 20 de acero (Figs. 2-17
de una paca de apoyo jan. pedestal sopora una y). Cada varilla

= carga de compresión p
sino permite de A, Sis supone un compare nee “aplicada através
Pre 10% fern permis ciento elástico linea,

adn para scene «Par dd peeo pronto
~ 2000 coa Son 9

o

©

Fig. 217 Ejemplo. Plea de const read (sa
四 0 9 반수 or

Para analiza esta estructura mediante el método de igidece, se ret
reemplaza su acción sobre el pedestal por dos fuerzas P, y P., que representan
portadas por el acero y el concreto, respectivamente (Fig, 2-17). El pedestal
indeterminado, porque no podemos calcular dichas fuerzas a partir del
camente (véase el diagrama de cuerpo libre de la placa rígida enla Fig,
ige como desplazamiento desconocido la deflexión vertical del extremo supe
‘Como esta deflexión esla misma que el acortamiento del pedestal, se puedes.
zas P, y P, en términos de 6 como sigue: 1
EAS EAS

0

Ko: 7

vamente. La ecuación de equilibrio (de la Fig. 2174) es
P+P=P
9, cuando se sustituyen las Es. (D,

" mies y oye ane por a mind dey

de resolverse para halla la carga P en términos del esfuerzo,

Te ve
( 사 픔 시

7 P, jos en los esfuerzos

seminare rs perms P bso elo ar

lene pata de as dos cargas one

ens los cálculos para la carga P se realizan como sigue.

에 ( 사 음 시

De sas cuciont pueden e
para el acero y el
rmisible P sobre el pedestal. As,
barras o varillas) y el concreto son

5 mm = 5890 mm?

4, = 5" — A, (0.5 m}(L000 — 5890 = 244,100 mm?

También, el cociente de los módulos de elasticidad es

Alsustnuir estos valores, ad como los esfuerzos permisibles, en las Ecs. (2204 yb) se obtienen
dos valores de la carga た

A mer) 00 MPa)
y

E

P=(a+

255 MN
UE 2

P= (A424) 0.=04,10 mm? + 8 x 5490 mm’ys MPa)
=233 MN

다 0006 restado se basa en cl esfuerzo permisible del acero, y el segundo se basa en el del
PO La carga permisible P consiuye el más pequeño de los des valance

Pram = 233 MN

(Con oa carga, afueras en dl . fuerzo en el
06920 60 el concreto es 8 MPa (el esfuerzo permisible) y e ef
‘0, GUE et por debaj de au alo tae
332 500 아바 Ml permi porque prevalece el sf ws das

3 이 0030 de estructur
matin va dental esca
Em ae indir
made dl tipo
fondest e ermino de a cee las diferencias que hay entre los dos mb
Si men a Code gs ott Modo

SR érminos
"minos de los pr lentos y puntos de vista.)

métrica mostrada en las Figs. 2-12 y 2-16 es más comple) He ho
a la adición de varias barras (Fig. 2-18). La solu ope itn simétrica) debido
ias,
aliza en la forma descrita y es muy simple, mientras que una nr
de de Mexiilidades s vuelve mucho más compleja yen M por el má
flexibilidades aporta la solución más sencilla.* Te Po ta
quie en 162 pun quel raciones eam ea E
Tocina aan e css ace ae

fue el primero en
blema de una me

+

Fig. 248 Armadoraeticamente indeterminada

EFECTOS DE LA TEMPERATURA Y
DEFORMACIONES PREVIAS

Un cambio en a temperatura de un objeto tend a producir una aio e
sus dimensions. Un representación simple de ete efectos presenta nl 219,
que muestra un bloque de material isótropo y homogéneo que puede expandirse Ik
bremente en todas direcciones. Si el material se calienta uniformemente, becas,
del bloque incrementarán su longitu Por lo que al considerar la equina

punto de referencia, e bloque adeparela configuración mostrada por las near PR
Fes. El material experiment una deformación termes uniforme

Der la expresión

72

Fig. 219. Bloque con incremento de temp

a fine de datación trie A sel incremento en em
ae eres una propiedad del material* y tiene unidades iguales
nr Por lo que, en unidades del Sistema Interna:
Ta dimension de 1/4 mo 1/2C (el
es palos add temperatura es numéricamente el mis-

Spies Cd ya qe om semper mamie dni
lio a ‚ciön térmica e, es una cantidad

perarura. El cocfide
n ambio de tempera!

be 時 dos Fahrenheit).** La deforma

Pi maria comunes e expanden al calentarse y se contraen cuando se
ss ER un incremento en temperatura produce una deformación térmica

po, Las dl "ermicas sue ser reversible, en el sentido de que el
elemento recobra su forma original cuando la temperatura regresa a su valor origi-
I Sin embargo, algunos meals especiales que se han producido recientemente no

se compocanenla forma usual. En vez de ello, por arriba de ciertos márgenes de
cuando nan. Eos metales también difieren de los materiales comunes en que
las deomacine no son dietamente proporcionales la temperatura y en oom
Sons son reverb, aque la cstuczura interna del material se altra. (Otro ma

cial que no cumple con el comportamiento usual es el agua, que se dilata al calen.
tarse a temperaturas arriba de 4°C, pero también se
inferiores a 4°C, P

dilata al enfriarse a temperaturas
as: 24°C: Por lo que el agua alcanza su densidad máxima a 4°C:)

pueden clean a dimensiones del bloque de material mostrado enla Fig. 219
mica Si, por en Pa las dimensiones originales por la deformación ter
then una cantidad an’ de ls dimensiones es L, entonces tal dimensión aumenta.

bel
de = dan 2-22)
E MEI à alrgamiento debido

트 02)

se emplea pars cot

"olmo le barra mostra oo 1g mbios €
ae a Fig, 220, y

mr al incremento de temperatura A7. La
© Puede desplazar:

€ longitu de miembros cruciales
val está empotrada en ac
vn 'se libremente, Las di a

ero Y su otro extreme

lore
picos dl coe
ee sented expansion 9
시미 니이. a
Perra, vane ls sec
Ma sesiones À y À 3

Le .

개 ao oe tompaaer tres Joa E
I [3
にーーニー月

Fig. 220. Alagamíento de una barra
debid 0 un aumento en a temperatura
(B22)

sales de la barra también cambian, pero como tales cambios no suelen tener efecto
sobre las fuerzas que transmite el elemento, no se muestran en la figura.

En general, los cambios de longitud debidos a deformaciones térmicas pueden
caleularse con la Ee. (2-22), siempre y cuando los miembros estructurales puedan exe
panderse o contraerse libremente, situación que ocurre en estructuras esáticamente
determinadas. En consecuencia, no se generan esfuerzos en una estructura estática.
mente determinada cuando uno 0 más miembros experimentan un cambio de tem-
peratura. Por otro lado, un cambio de temperatura en una estructura estéticamente
indeterminada en general producirá esfuerzos en los miembros, denominados es-
fuerzos térmicos. Tales esfuerzos también pueden ocurrir cuando un miembro se ca-
lienta de manera no uniforme, independientemente de que la estructura sea determi-
nada o indeterminada.

Para ejemplificar algunas de estas ideas acerca de los esfuerzos térmicos, consi-
dere la armadura simétrica de dos barras ABC de la Fig. 2-21a y suponga que

Fig. 221. Incremento uniforme de temperatura AT, en los miembros
de una armadara

이 tiie ri
ep np pe
TYP 0
Sei mane na en Ben
eee ee ee

ann
a= b=
sos $

la deflexión del nudo 8.

fl de cada una. Para determinar Hana fo
os elonB de ebidos a cambios de temperatura e 0% 了
donde Hos oy cambios de toni debia a para sons
ra qe rn ea yo ‚ultante para el a ae m wore en Fe, Do
un ed irse a partir de un diagram
ta ef "ión vertical 6, puede medi
ae directamente de la figura:

«ATH R
Ts poste calentamiento) y descendente es near

te tudo B experimenta un desplazamiento, no existen

En ‘en los apoyos. Por lo que se advierte

WP サー

mre determinada sin producir esfuerzos ©

8 R

Fla. 222 Barra ekticamentendeterminad con

Si una estructura es estáticamente indeterminada, no es posible tener dilata-

Sons 0 contracciones libres. Un ejemplo lo constituye una barra AB sostenida entre
Feos fos, como se muestra en la Fig. 2220. Sila temperatura aumenta unio.
fuera puedes e producirá en la barra una fuerza axial de compresión R. Esta
2.3 a as cleulare por cualquiera delos métodos descritos on ar so pa y
그: 시 00490 el método de Nexibilidades, se corta la Dana

25. Alen a a través de su extremo.
an reta el soporte (Fig. 2-226), El cambio de

20 Etecton delatemparauray dotormaciones prion 75
De esta ecuación, se obtiene la reacción R: ト

R= EAMAT) em

Note que no depende de la longitud dela barra. Enseguida, se obtiene el esfuerzo
de compresión en la barra:

R
o= = euer)

el cual no depende del área de la sección transversal.
El ejemplo anterior muestra cómo los cambios de temperatura pueden producir
esfuerzos en un sistema estáticamente indeterminado aun cuando no existan cargas.
Además, la barra de este ejemplo tiene desplazamiento longitudinal nulo, no sólo en
los extremos fijos sino en cualquier sección transversal. Entonces, no ocurren defor =
maciones axiales en esta barra y se presenta una situación que implica esfuerzos sin 0
deformaciones. En un caso más general, tal como una barra que conste de dos por-
«ciones de diferente área de sección transversal, habrá simultáneamente esfuerzos y
deformaciones axiales debidos a un cambio de temperatura (véanse Probs. 26-12
2613).

Ejemptot

Considérese una armadura simétrica de tres barras, como la mostrada en la Fig.
ponga que se incrementa uniformemente la temperatura en 47, Suponga tambien que E,

peratra en las dos barras exerire, es
4 67006
a
(clase Be. 229). El alargamiento de labura veil es
6, = ATL
Enseguida, se considera a estructura bed ometda si
ta en a scion cortada dela barra BD (ig 2-23) Eta
ascendente dl mudo D igual a
AL
ET
(vease Ec. 2-10) y un alargamiento de BD igual a

7

Esta ecuación se resuelve (clmente para ln fuerza Fen a barra vertical

BEAT) sent 8 cos 8

12007 Pa

Esta fuerza es de tensión si AT es positiva (eo es, lla temperatura se increment

La fuer Fn as bare incida e dein dl gl de ese a
sobre la armadura (Fig. 2-23a): ii

Ar cos P+ Fy =0 “

EAT) sent

나 12007

em

El signo negativo indica que Fes una fuerza de compresión cuando a temperatura se 1004
El desplazamiento descendente 8, del nudo D se obtene al sustuir I expresión para A,
de la Ec. (226) en cada miembro dela ecuación de compatibilidad (Es. bj; por lo que

(67711 + 2008
er a em

aa 208
12008

mt

Esta expresión muestra que 8, e descendente (positivo) siempre y cuando AT sea positivo.

Un tornillo se coloca dentro de un casquillo en forma de un tubo de longlud L y se asegura
mediante una tuerca que se apreta de modo que no presione en exceso (Fig. 2248). El ca
Gullo y el torillo están hechos de diferentes materials, Sila temperatura del ensamble se de
una cantidad AT, ¿qué fuerzas se originan en el casquillo yen el tornillo?

Puesto que el casquillo y el tornillo son de diferentes materiales, sus largamientos serían
diferentes s se dlataran libremente. Sin embargo se mantienen unidos por el ensamble, por
lo que se producen esfuerzos térmicos. El sitema es etticamente indeterminado ya que los
esfuerzos no pueden evaluarse mediante el equiirio estático únicamente, Como ejemplo, e
‘determinaria los esfuerzos por los dos métodos: el de Mexibilidads y el de rigidecs.

En el método de Mexibilidades se principia por cortar el ensamble en forma al que se ob-
tenga una estructura liberadaestticamente determinada. Una forma sencilla de lograr estos
Guitar la cabeza del tornillo, como se muestra en a Fig. 2240. Luego se supone que ocureel
cambio de temperatura 47, lo que produce alargamientos 3, y del casquillo y el tornillo rs

DE dy 06274

onde a, y, son los coeficientes de dilatación térmica. Al trazar la figura, se considera ar-
bitrariamente que 6, e mayor que bz (eso es, a, > 08:

Las fuerzas existentes en cl casquillo y el tornillo en el ensamble original deben ser tales
que acoren el casquillo > alarguen al tori, a finde que los alargamientos finales del casquillo
y el tornillo scan las mismas. Estas fuerzas se muestran en la Fig. 2-24, donde P, denota la

m = - 5

Fig. 224, Ejemplo

Ensamble de casquillo y tornill con

a de compresión enel casquillo y P, denota la fuerza de tensión en el tornillo, El acorta
miento correspondiente da del casquillo y el alargamiento 6, del tornillo son

donde EA. y EA

yen ls riideces anales respectivas.
‘Ahora podemos expres a

una ecuación de compatibilidad qu
omo e

ve pres hecho de que
Para ambas barras. El alargamient Y ee

o del casquillo es à, — 3, y el del

@

y detormacanas penas 70

Esto es, a fuerza de compresión e d casquillo es igual aa fuerza de tena ene oro, 시
ombinar ls Ec. () (0 w oben ls fuerza enel ensamble orginal (Mg, 724) mad
al cambio de temperatura

ror em
BA,

Si a, es mayor que a, la fuerza / es de compresión y, ede tensión. Avira tambi gue
las fuerzas son independientes de la longitud L ä
El alargamiento final de sistema se determina al sushi la Ee. (229) en a Ec (0, ho

5 CEA + a EANADL
ss EA. + EA, rm

{Un caso especial se presenta cuando ambas barras son del mismo material ya, = a; entonces
Pi = P, = 07 8 = afAT)L, como era de esperarse

‘Ahora considere el análisis de este ensamble por el método derigidecs, En este caso, se
considera como incógnita el desplazamiento 6 de la cabeza del tornillo y se representan las
fuerzas en ambas partes en términos de al desplazamiento. Luego se formula una cas de
equilibrio para las fuerzas y se despeja el desplazamiento 5.

Dado que las barras se alargan una cantidad igual al desplazamiento final 8, parte dl
cual se origina por el cambio de temperatura y parte por la fuerza enla bara, se pueden for
mular las ecuaciones siguientes que relacionan las fuerzas con el desplazamiento

EA

6 -eG7 ロ w

EA,

= e-wan P=
En estas ecuaciones ls términos entre corchetes representan sólo los cambios en longitud pro
ducidos por ls fuerza P, y P, El signo negativo se coloca enla primera ecuación porque se
supone que P, es positiva a compresión. Estas expresiones para P, y P, se susituyen en la
ecuación de equilibrio, P, = P,, para obtener

E

A Ea
ZB alan = y P- sana

de donde se obtiene el desplazamiento

CEA + aEANADL
"EA + EA,

Este resultado es el mismo que el determinado mediante el método de lexibiidades(E. 220)
A sustituir esta expresión para en Jas Ecs (g) e obtienen las fuerzas P, y Ps muevament, los
resultados son los mismos que los obtenidos por el método de Nexiblidades (Ec. 22)

Detormaciones previas. Suponga que accidentalmente se construye un
ie de una estructura cn una longed que re de unge EGO
Similar al de un cambio de temperatura, aunque la caus dd cambio en ong sl
rente. Por tanto, el efecto sobre una estructura enáticamente determinada sá una
desviación dela conSiguración fria, aungue no se generen deformaciones als

amb de Toni en un miembro, Estes de
Sonstruye la estructura y antes de aplicar alguna

¿deformaciones previas. Tales deformaciones 7
en la estructura. Algunas veces las estructura

ome 16 en ruedas

se si no se presforzaran).
El análisis

ejemplificar esto, considere nuevamente una ar

nla Fig, 2253, y suponga que la lon

gar de L. Luego, las barras pueden ensamblarse en la armadura sól
primir la barra vertical y de estirar las barras inclinadas. F denota la fuerza de
compresión enla barra vertical (Fig. 2-28b). Esta f ce un desplazamiento

descendente 3, del nudo D (véase Ec. 2-10)

EL

AOS

se supone que L es la longitud del miembro vertical y que todas las barras tienen la
misma rigidez axial EA. El acortamiento del miembro vertical debido a la fuerza た

FL

a
La condición de compatibilidad del nudo D establece que el
dente del nudo D es igual al incremento de longitud Inicial
'amiento debido a F, Por lo tant

desplazamiento descen
AL de la barra vertical,
, la ecuación de compatibilidad es

AL

o bien

EA 四

gi

AA resolver esta ecuación para la fuerza F se obtiene

26460 0007

Ti +2008)

1230

Esta fuerza es de compresión cuando AL es positiva (esto es, cuando AL representa
lun incremento en longitud). Si se conoce ja fuerza Fen la barra vertical, se pueden de
terminar fácilmente las fuerzas en las barras inclinadas a partir del equilibrio eto,

Este ejemplo demuestra que el análisis de deformaciones previas de una estruc
tura estáticamente indeterminada, esencialmente es el mismo que para cambios de
temperatura. Los resultados de tales análisis pueden convertirse fácilmente dew
50 al otro. Por ejemplo, suponga que la armadura de la Fig. 2-25a se somete a un
cambio de temperatura AT en la barra vertical, pero las barras inclinadas permane
cen a temperatura constante. El efecto resultante sobre las fuerzas en las barras es el
mismo que si la barra vertical tuviera un exceso de longitud AL, cuando se iguala AL
al alargamiento térmico que ocurriría si la barra pudiera dilatarse libremente, Por lo
tanto, en la Ec. (2-31) se reemplaza AL por a(A7)L a fin de obtenerla fuerza Fen la
barra vertical debida al cambio de temperatura.

ESFUERZOS SOBRE SECCIONES INCLINADAS

Em oa de a barra AD mostrada cule. 22. Revie
mos ahor os esfueaos que scan en eines como pg (Pe 226), que sá inc
nada rapeoo al je

Far nas el culo cabo recordar que los efurzos normales que actúan
Os Ken poden exce a pre dela race = D/A, su ape
Un distribución de claro uniforme e toda el rc dl scion astral Se
se pli previamente, eta oon care ila bara prä, material
la seco raser exh alejada de los extremos dea barra donde pueda pres
tase grandes sfueosconemrados. Suponga que barr del Fig. 2248 cumple
todas cas condiciones, de forma al que a sición els suc normale
Gila cen wanna es nifrme, Pr spt, en cación o aan cu
504 orante ya qu a sido cortada en ángulos rss ropa loc lud
ueno clement el material, came elemente Cd Fig. 2-204, eu nica
ib esteros que atan sobre todos os dos de le clememo, Nos remos
sil clement como slemenoestorado Elemento orodo dl punto Cen
forma de un paraclerpedo recanguar su cra ders ( el cra x posa) e
tne sesión ansveral mn. Dese luego, supone que ls dimensions de un
tients efoea so nose pass, pero po idad dbuaren
cemento ampliado, como enla PR. 27a. Ls arias dl cement son pars
ROH 2 os ús eteror ae can en lent son sens
Formales sobres aras ind pro Por omnes, a menda fe

<a a Fig. 2-260: (a) vit tridimensional del elemento y
(9) retaoen bidimensional del elemento

La sección inclinada pq se corta a través de la barra a un ángulo 0 entre dl eje x yla

normal al plano (Fig. 2-26a), Así, la sección transversal mn tiene un ángulo 9 igual
a cero, y una sección longitudinal tendría un ángulo @ igual a 90° o x/2 radianes.
Ya que todas las partes de la bara tienen las mismas deformaciones axiales, los esfuer-
205 que actúan sobre la sección pq deben ser uniformemente distribuidos (Fig. 2266).
La resultante de estos esfuerzos debe ser una fuerza de igual magnitud que la fuerza
Pa fin de mantener el equilibrio de la porción izquierda de la barra. Esta resultante
puede resolverse en dos componentes, una fuerza normal N y una fuerza cortante Y
(Fig. 2-26), que son normal y tangencial, respectivamente, al plano inclinado pg,
Estas componentes son

N=Pcos0 V=Psend (2-328, b)
(Con las fuerzas N y Y se relacionan los esfuerzos normales 0, y los esfuerzos cortan-
16% ru respectivamente (véase Fig. 2-264), que se distribuyen uniformemente sobre la

27 Estueros sobre secciones ictondae 83

sección inclinada. Estos esfuerzos se muestran cuando actúan en sus direcciones po-
sitivas; esto es, o, es positivo en tensión, y7, es positivo cuando tiende a producir un
giro del material en sentido contrario al delas manecillas del reo). Como el área 4,
de la sección inclinada es A/cos 0, donde A es el área de la sección transversal, se
aprecia que los esfuerzos 00 y 1, se representan por las siguientes ecuaciones:

N_P ，
ano = 0, cos" 8 (2330

内
= — sen 0.6050 = -an sen cos O (2330)

re
donde o, = P/A es el esfuerzo normal sobre una sección transversal

Las ecuaciones anteriores para 0, y 1s pueden obtenerse también al considerar el
equilibrio de un elemento esforzado en el punto D de la barra dela Fig. 2268. En e
te ejemplo el elemento tiene forma de cuña con una de sus caras a lo largo de a sec-
ción inclinada pg. El elemento se muestra nuevamente en la Fig. 2-28a, con los es-
fuerzos a y rs que actúan sobre la cara inclinada y el esfuerzo o, actuando en a cara
del lado izquierdo. No ocurren esfuerzos en las otras caras del elemento, De nuevo,
‘un esquema bidimensional del elemento es útil para muchos propósitos (Fig. 2280).
Para obtener oy y To se considera el equilibrio del elemento. Las fuerzas que actúan

@

0.228 Elemento cforado enel punto D de a bara monta en I Fü. 2268

Ma acia en la dirección

apie izquierda puede

ee es..A_ en. Aho:
y rponente paralela es 8:49

Poo estáico para el elemento, una
1 ión se obtiene su:

een componentes que son 060
eden formular dos ecuaciones de eu

nad
ndiculares ala cara inelin

din (eto es, en la dirección 0000:

aha sec 8 — 8,40 008 0 = 0

que es la misma que la Ec. (2-338). La segunda ecuación se obtiene al sumar fuerzas

que cs a misma que la Ec. 2-336), Este método para determinar esfuerzos en planos
inclinados, y que se basa en el equilibrio de un elemento esforzado, se utilizará en es
dios de cortante puro (Sección 3.4) y estados de esfuerzo más generales (Capitulo 6).

Las Ecs. (2-338 yb) representan los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre
cualquier sección inclinada. La Fig. 229 muestra la forma en que varian los esfuerzos.
según el ángulo de cone de la sección, que va desde 9 = —90° hasta 9 = +90°. Note
que el ángulo 9 se mide positivo en sentido contrario al de las manecilas del relo, a
partir del ee x, y negativo en el sentido de las manccilas (Figs. 2-26 y 2-28). Cuando
à = 0, el plano pq se convierte en una sección transversal y la gráfica indica 이
como era de esperarse. Seg se incrementa o di
hasta que para 0 = 4 90° se vuelve cero,
normales en un plano cortado par
El esfuerzo normal máximo se pre

muye 9, el esfuerzo 0, disminuye
10 cual india que no ocurren esfuerzos

elo al je longitudinal (como era de esperarse).

es9
Para = 448%, sur normal sa mitad dd valor máximo,

longitudinale = 450) Eure stos extremos, cesses ul
enla Fig, 229 y alcanza su valor máximo postivo cuado nn ue

Y se presentan en planos a 45° el ej,

85

Fig.229 Grit el ateex normale, yl sor cora
a versus el ángulo 9 de la sección inclinada pq (véase Fig. 그 2

19.230. Elemento estoredo para 6 = 45
de una bara en tension

El estado de esfuerzo total para secciones cortadas a 45° del eje se representa
por el elemento esforzado mostrado en la Fig. 2-30. Sobre la cara ab (0 = 45") los
esfuerzos normal y cortante (de las Ecs. 2-33a y b) son 0./2 y ~0,/2, respectivamente
Por tanto, el esfuerzo normal es de tensión y el esfuerzo cortante actúa en el sentido
de las manecillas del reloj sobre el elemento, como se muestra en la figura. Las =
fuerzos en las caras restantes Be, cd y ad se obtienen en forma similar al susu
459, 135° y 135°, respectivamente, en las Ecs, (2-38 y b). Advierta que eh
este caso especial los esfuerzos normales son los mismos en las cuatro caras del ee:
mento y que los esfuerzos cortantes tienen el valor máximo. Además, os esfuerent
Cortantes que actúan en planos perpendiculares son iguales en magnitud y tienen e
Ficciones hacia o desde la linea de intersección delos planos, segun se ICO en 8
Sección 1.6.

Si una barra se carga a compresión en vez de U
valor negativo y los esfuerzos que actúan sobre el

tension, el esfuerzo 9, tendrá un
elemento tendrán diresciones

Fig. 292. Bandas de
drtizamiento ( Bandas de

Fig. 231. Falla lo ro de dei ag 4 |

ll de ac somo a tension axa

‘opuestas a las de una barra en tensión. Por supuesto, las 605. (2-33a y b) pueden
usarse para cálculos numéricos al sustituir o, como una cantidad negativa.

‘Aunque el esfuerzo cortante maximo en una barra cargada axialmente es igual a
la mitad del esfuerzo normal máximo (Ec. 2-35), el esfuerzo cortante puede ser el i-
mitanto si el material es más débil en cortante que cn tensión. Un ejemplo de falla
por cortante se ilustra en la Fig. 2-31, que muestra un bloque corto de madera que se
‘carga en compresión axial y que falló por cortante a lo largo de un plano a 45°. Un
tipo de comportamiento similar ocurre en acero dulce cargado a tensión. Durante
una prueba a tensión de una barra plana de acero al bajo carbón con superficies pu
lida, aparecen bandas de deslizamiento visibles en las cara de la barra aproximada.
mente a 45* del eje (Fig. 2-32). Estas bandas indican que el material falla a cortante
‘Jo largo de planos en los que el esfuerzo cortante es máximo. Tales bandas fueron
Observadas inicialmente por G. Piober en 1342 y W. Lilders en 1860 (véanse Role 27

Er
EI do de seas desto en ca eins e
ón desen ester una, por
mesma nen nnd os compton a ca po
sere 40140 rende con el ee de ln bare eat en cu
Dor es tna oe 908 이하

correspondientes pa
inte ejemplo, El
‘mera conocido como 의

D como eme
un de dent
vaca in ga os md

Una barra prismática en compresión tiene un área de sección transversal A
porta una carga P = 90 KN (Fig, 2330). Determinar los efuer
de core a través del barra ad = 25°

1200 mun y 5
205 que actan sobre un plano
Luego indique e estado de esfuerzos total parad = 25
al determinar los esfuerzos en todas las caras de un elemento esforzado,

Los esfuerzos a = 25° se calculan rápidamente al sustiuir
P__ SON

047 mm

. ーー75 MPa. (compresión)

en las Eee (2-33a y b). De esta manera, se obtiene

= 0, cost 0 =(-75MPa)(cos 259? = —61.6 MPa
~a.sen8 cos8 = (75 MPal(sen 25)(cos 25) = 287 MPa

NT

Per233 Ejemplo

en sus direcciones
La Fig. 2330 muestra estos esfuerzos que actúan sobre el plano inclinado,
verdaderas.

We dl plano inclinado mostra
fon af verzos sobre la cara cd 300

patent seed = 25° + 180° = 208
nenne sol = 2" ai

Jos valores de ay y rason los
ados opuesto

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

de minar la respuesta de maquinaria y estructuras a cargas estáticas y dinämi
a ‚ta el tema en la forma mäs sencilla, utilizando como ejemplos
jente de la barra. Por supuesto, la configuración del diagrama depende del material
de la barra particular que se analiza. Mediante P, se denota cualquier valor de la car-

6 Ps dy, representado enla figura porel red dela franja sombreada, El traba
1a reo por a cara conforme varia su valor P desde cero hasta el valor AM
todas las franjas elementales: F messe

2 apl

det
para d
cas. Esta

wel Pa, (2-36)

En otras palabras, el trabajo realizado a
En os ala 9 ‘do por la carga es igual al Area bajo la curva
La aplicación de la car

Ba produce deformaciones en la barra
en la barra. El efecto de esas

nueva cantidad, llamada energía de en
da pos bara durant eee

deformaciones es increment

e commación, se define como la energia absorb
a. Esta energía de deformación, denotada

Fig. 235 Diagrama car dein

por la letra Ue igual al trabajo 01001106
pierde energía en forma de calor. Por lo tanto, iy i NE

りータートド 1237

guirla del trabajo externo W. 7 “se

PDO representa la energía que s pierde durante proce de deformación PT
oce como energía de deformación inelisticn.

ite de la barra; esta energía se cono
e arenga que la carga P que actúa sobre la barra se mantiene por debajo

de 1 ae fmt elástica (esto es, por debajo de la carga a la cual el aco en}
de E canza el limite elástico). Eta carga se representa por la ordenada de pu
In ciagrama de la Fig. 2-36. Mientras la carga permanczca por debajo de ee
cda la energia de deformación se recupera durante la descarga y no PEAR
para. Por Yo que, la barra actúa como un resorte elástico que almacena Y
libera energia según se aplique o retire la carga.

e cal dela barra es clásico y cumple con la ly de Hooke, entonces el
diagrna earga-deflexon conforma una linea recta (Fig, 2:37). En est a0, la

En a Tabla A3 del Apéndice As ncn foaors de comer para abajo y eos

Fig. 257 Dieta

ta barra (igual al trabajo total W realizado
mación U almacenada en la ba

38)

; <= ra prismáti a podemos sustituir en la Ec. (2-38) y repre-

EAS
2-39a, b
v= € )

La primera de estas ecuaciones expresa la energía de deformación de la barra como
una función de la carga P y la segunda la expresa como una función del alargamiento
s mismas ecuaciones son aplicables a un resorte elástico lineal si la rigidez EA/L
para una barra prismática se reemplaza por la rigidez k del resorte (véase Ec. 2-2)
La energia de deformación de una barra no prismática o de una barra con una

fuerza axial variable (Fig. 2-38) puede obtenerse al aplicar la Ec. (2-39a) al elemento.
diferencial (mostrado sombreado) e integrar posteriormente:

verra (2-40)
lo 254,
En esta expresion P, y A, son la fuerza axial y el à
Pen 人 on ne 1 árca de a sección transversal a una!
A menudo es conveniente utilizar una cant
cmp a e ene i idad conocida como la densidad de
세 la cual esla energia de deformación por unidad de vola:

le tas ceras e gal la energía de deform
TOs como term de Capo te ia rancia BP

==

Fig. 298 Bara no prima con
fuerza axial variable

men del material. Las epresione
| para rm el aso listo nal pu
al dividir a energía total de deformación U sta Es. 230831 luca tence

AL de la barra, ya que la densidad de en.
iergia de deformación es uni
ia gía de deformación es uniforme en todo el

の Ee
un. = (41a, b)

donde o = P/A ye = 8/L son el esfuerzo y la deformación normales, respectivamen-
te. La densidad de energia de deformación es igual al área bajo la curva esfuerzo-
deformación desde l origen hat el punto de curva que representa esfuerzo ay
la deformación e

La densidad de energía de deformación tiene unidades de energía divididas
entre volumen. De esta manera, las unidades de u en el Sistema Internacional son
joules por metro cúbico (J/m?) y en el Sistema Inglés son pie-libras por pie cúbico,
pulgada-libras por pulgada cúbica u otras unidades similares. Todas estas unidades.
equivalen a las unidades de esfuerzo; en consecuencia, se pueden emplear tam!
pascals o psi como unidades de u (véanse Ecs. 2-41a y b).

‘Cuando el material se esfuerza hasta el límite de proporcionalidad, la densidad
de energia de deformación correspondiente se denomina módulo de resiliencia ん. Se de
termina mediante la sustitución del esfuerzo limite de proporcionalidad gu en la
Ec. (2-41a):

LA

ue (2-42)
Como ejemplo, un acero dulce que tiene ww = 30,000 psi y = 30x 10f psi tiene un
‘modulo de resiliencia u, = 15 psi (o sea 103 kPa), Advierta que el módulo de resi-
liencia es igual al área bajo la curva esfuerzo-deformación hasta el límite de propor-
cionalidad. La resiliencia representa la capacidad del material para absorber energía
en el margen elástico. Otra cantidad llamada tenacidad se refiere a la capacidad del
material para absorber energía sin fracturarse. En consecuencia, el módulo de t
cidad u, es la densidad de energid de deformación cuando el material se esfuerza has-
ta el punto de falla, Es igual al área bajo toda la curva del diagrama esfuerzo-
deformación.

Las explicaciones anteriores de la energía de deformación para un miembro a

tension son aplicables también para un miembro en compresión. Como el trabajo

ar si la fuerza produce tensión

be one a es una cantidad positiva

5 nergia dc deforn o

ue son todas positivas ya que los termi

do por la fuer

Le omprende que

o compresión, sec
mación (Pc

empre 239 a 2-41), 6

20810 de defor

n cuadrát
fos algebraicos son

se sesión circular que tenen la misma longitud L pero formas diferentes se

ee a primera tara iene un diámetro da lo largo de toda su longitud

a a amero enla cuarta parte de su ongiud y la tercera en un octavo des

Mtro Bara e someten a la misma carga P. Comparar las cantidades de energía
oración almacenada en ls barras, se supone comportamiento elástico lineal

4230 mm

La energia de deformación de
® primera barra (de a Ec. 2.390) es

264

u

er que 18 ditribucbn de es

amos que la energía de deformation

de la segunda barra es i

Pays,
ve POLA .
251 * 2004 “954

Energía de delormación 93
ltados muestra que I energía de defor
men de la barra, aunque las tres arras detentan e mim
00000 barra 1000 menor Capacidad de absorcion 인
blo require una pequeña cantidad
‘mayor en una barra con una garganta, y mientras más entes
Situación. Cuando las cargas son de carter dla
© significativa, la presencia de gargantas oran
Sorber energia

La comparación de ests reso
ncrementa si vo
Asl, la tercera by

le encrpa que ls otras don Por
de trabajo elevar el estucr de

la capacidad para absorber ener
に muy perjudicial, Pe
antes en diseno lo esfuerzos nami

or supuesto, para aw

Determinar la energía de deformación almacenada en una barra prismiticasspendida de uno
de sus extremos (Fig. 2-40) debido a su propio pes, ss supone comportamiento clásico Ine

Empezamos por considerar un elemento de a barra de longitud dr (mosrado sombreado
en a figura). La fuerza axial P, que acta sobre st elemento es igual al peso ela porción e
la barra que queda por debajo del mismo:

00060 四

onde y es el peso específico del material y À es el área del sección transversal de la barra. A
sustituir em la Ec. (2-40) e integrar se tiene que la energía de deformación total es

[rat pd PAL

Un 8 5 a)
, 4 sE
S Este mismo resultado puede obtenerse al integrar la densidad de energía de
T 1 deformación. A cualquier distancia x del soporte, el esfuerzo es
| 8
ee)
fox

y, por lo tanto, la densidad de energía de deformación (vtase Es. 241a) es

T er

z =
La energía de deformación total se determina ahora al integrar u sobre el ol
men de la barra:

Fig 240 Ejemplo 2, Barra

u= juar = |" maan= |

Este resultado concuerda con la Ec. 243).

Ejemplo 3

omación en una bara prsmátic suspend de un extremos
o e pope pao, sine una crea Pe su 0000 Rior (ie 240

9

Ja fucza anal que area sob

mismo que el indicado en la
Des Ign bajo su propio peso, Tam:

ud de la carga aplicada

La conclusión importante del ejemplo a

que no se puede obtener la
energia de deformación de una estructura, debi

a a más de una carga, simplemente
individuales que actúan separada-

ue la energía de deformación
as cargas (véase Ec. 2-40), no

on sumar las energías de deformación delas ca
ente, La explicación es

una función cuadrática de
a función lineal

Deflexiones ocasionadas por una carga única.
ra linealmente elstica sometida

Considere una estruc

ida P. Entonces, el trabajo
de deformación U a

se representa por la Ec, (238):

donde 8 es la deflexión a través d

Ja cual se desplaza la fuerza P, Esta ecuación sur
din poole conse Para encontrar la defenon Bi cera Gene ea
' en cuenta las imitaciones del
structura, y (2) la única deflexión que

は defexin en d punto de aplicación d a
Le ejemplo representa el Procedimiento, と

carga misma. El siguien

ann dió veria, dl ndo à den amicus de ja
Cara que sc enla armadura cs una Carga venia

= 2-42. Note que sn
ide axial EA, ea

Suponça que ambos

1
Re |

Fig. 242, Ejemplo

En este ejemplo la defiexibn se determina al gu

de deformación almacenada en Js miembros, La fuera Pa be: ten na

Pel une bares
6
2007
ne
à Tan, odo cad ME DAS

As, al cmpkar I Ee, (2-29), obtene la cera de deormacón dee tor kume >

Ah, PR

264 "EA
Tinie ar Fa

2

we

Al igualar U y W, se obtiene la delexión del nudo 2:
PH
EA corp

Este resultado es el mismo que el obtenido previamente de un diagrama de desplazamiento
Case Ec. 2-10),

*2.9 CARGA DINÁMICA

Las cargas dinámicas difieren de las cargas estáticas en que las primeras varían
con el tiempo. Una carga estática se aplica lentamente, se incrementa en forma gra-
dual desde cero hasta su valor máximo; posteriormente, la carga permanece cons-
tante. Sin embargo, las cargas dinámicas pueden aplicarse de modo súbito, lo que
provoca vibraciones en la estructura, o pueden cambiar de magnitud conforme,
transcurre el tiempo. Algunos ejemplos son las cargas de impacto, como cuando dos ob-
jetos chocan o cuando un objeto que eae golpea una estructura, y las cargas cilicas
originadas por maquinaria rotatoria. Otros ejemplos son las cargas provocadas por
tráfico urbano, ráfagas de viento, agua, olas, temblores (sismos) y procesos de ma:
nufactura, todas las cuales son de carácter dinámico. Para auxiliar en la compren
sión de la naturaleza de tales cargas, consideramos en esta sección el tipo más básico
de carga dinámica, a saber, una carga de impacto.

Fig. 249. Cara de impacto sobre una bara prism

ee LS
Rens nda en remo fro: de a barra AB. Cuando el cola soon a
ba atar mps largas, que rin esfuerzos y eformacone xia
de marina dele, Lugo, 4 ura epi nmedatament a eared
reposo con la masa M sosienda sobe la brida. El comportamiento de ese sistema

:ompleto requiere del empleo de avanzadas técnicas matemáticas. No obstante, se

de realiza un análisis aproximado mediante el concepto de energia de deforma:

ción y de efectuar algunas suposiciones simplificativas,

energia potencial de la masa M con respecto al nivel dela brida es Meh, donde
eieraciön dela gravedad.* Esta e

nética conforme ca la masa, Enel
cial con regen

rope nera potencial se transforma en enerla 더

instante que la masa golpea la brida, su energia po

so al nivel de La brida) se ha vue ero y su energa cineca es MEA,

esa velocidad dc a masa. La energa cinética de toa on desc

once en tras formas de energia Pare de ella eva ok

de deformación de la barra estrada, Perc de

o. Par e dica al ocasionar deformaciones plc PT

bar, Yoo pamane: om cera dic dela mas a, at
oa hacia ariba), Suponga que la masa Me ales

sella. Esa suposición es valida ola a ne

ande comparada con lama

29 Cama dinkmice 97

Es pi de la barra. E char drama de
produciri :

Var, Eta segunda spain es comedo
de sra manera. Adicionalmente, e desprecia ciu como y

energía potencial en la barra misma. Fin
coer polea a. Finalmente, se supone que los esfuerzos en la

ade en el marge clásico lineal y que 18 disiució de eu

she de y el alargamiento mximo de la barr debidos a
El alargamiento máximo de lab
og e a barr (Fie 2430) puede obtenere a
dia e energia potencial de a mas en descenso cn la nen 1 3 me
ad capa la por la barra. La energía potencial perdida es W (h + 5), donde W = Ms
esl peso del collar y À + Bs la distancia que recorrió ése. La energla de deforma:
ción de la barra es EADY/2L, donde EA es la rigidez anal y Les a longitud dela

barra (vase Ec. 2398). As, obtenemos la guiente union el pr
servación de energía: = SES

e49

“FA” EA

Note que el alargamiento de la barra se incrementa sila masa o la altura de caida se
Inerenienta y disminuye sil rigidez EA/L se incrementa. La ecuación anterior 046
de formularse en forma más sencilla mediante la notación.

WL
EA

の

para la defexiór estática de la barra debida al peso 00. Entonces, la Ee. 0:46) se
convierte en

8)

5 = buat (Obst 280

Sila deflexión estática es muy pequeña comparada con la altura, podemos sim
ccuacion anterior a lo siguiente

ficar adicionalmente
2-49)

8 = VIE

Esta ecuación aproximada determina deflexiones que siempre son menores que les
es de la Be. (2-48). Por ejemplo, sit = Ai. la ecuación aproximada dect.
이 nr que es 0:89 veses la delexión de 106, obtenida de la Es. UM)
A quere maximo en la barra puede calcularse a partir del alargamiento más
mo none que la distribución de esfuerzo es uniforme alo largo dele barra
o Supo, eta condición es solo una aproximación porque, en realidad OUEN
e dinales de estuerzo enla barra (véanse Refs.2:12y 2:13) Sinembarlion

ne rede una distribución sim (vtase Ec. 2-46)
unions Ww)? , 2WE (2-50)
机全 [的 |
Nel (a) + Az
o ME 2-51)
on)
(er

pra es el esfuerzo cuando la carga actún estáicanen ‘Al considerar

1" comparada con el alargamiento (véa-
best aso en que la alt ‘hes grande compara
ramen so en que on = WA YM = W/E, se Obes
に EZ 2-53)
= [Pe JG) esa)
V5 2

nde y = VIF 1 velocidad dela masa M cuando golpea la barra. De este rel
onde» dae un incremento en 18 energa cinética Mu /2 de la masa en des
so cas ent en el esfuerzo, mientras que un incremento en el
volumen AL d Ciura el esfuerzo. Esta situación es completamente dife-
a tensión estática de la barra, en cuyo caso el esfuerzo es independiente de

1 longitud / y del módulo de elasticidad E
La Ss anteriores para la elongación máxima 6 y el esfuerzo máximo g
obtuvieron para una barra prismática. Si la barra no es prismática, los procedi
inar y o deben modificarse ligeramente. El procedimiento más,
le implica la determinación de una rigidez equivalente dela barra k, mediante el
alo de a relación entre una carga P, que atún sobre la barra yla defexión estática
correspondiente 3, (note que k = P,/6,). Esta rigidez se emplea entonces en la Ec.
46) en lugar de EA/L, que es la rigidez de una barra prismática. Después de caleu-
lar la deflexion dinámica 8, la carga estática P que producirá la misma deflexién
puede obtenerse dela ecuacion P = kB. Finalmente, el esfuerzo máximo puede obte-

nes ali Pene ca minima de ec transversal de a bara, Esta teen
ic representa en el Ejemplo 2.

ntos para dete

aie E
\
| y
(ee

que e desplaza con velocidad y

Otro ejemplo de una carga de im
ga de impacto es cuando un objeto que se desplaza ho-

rizontalmente golpea el extremo de una barra o res
masa M cs muy grande comparada on la masa dela bar, pan EN

aproximaciones que para una mas nn
PCPS que ar una masa que cae Enel instante del Impacto energia
2. Sitoda esta energía se transforma en energia de der

99

ecuación de conservación

pr se puede Formular la sigui

Mo _ EAS
Ro:

donde 8 es la deflexion máxima del extremo de la barra. Por lo tanto,

10020

y EA

El esfuerzo de compresión máximo 6

Pe spondiente, supuesto uniforme lo lago

后 [ME

Ly Al

nismo esfuerzo que la Ec

E (2-52) y señala que, para una
arra prismática,

el esfuerzo se reduce al incrementar el volumen de la barra

Carga aplicada súbitamente. Un caso particular del impacto ocurre cuan
se aplica súbitamente a una barra, pero sin una velocidad inicial, Para
explicar este tipo de carga considere nuevamente la barra prismética vertical mostra
da en la Fig. 2-43 y suponga que el collar deslizante se coloca suavemente sobre la
brida y luego se suelta. Aunque en este caso no se presenta energía cinética al inicio
de la extensión de la barra, el problema es completamente diferente del de carga cs
ática de la barra. Para tensión estática, hemos supuesto que la carga se aplica gra
dualmente; consecuentemente, siempre existe equilibrio entre la carga aplicada yla
za de resistencia de la barra. El caso de la energia cinética dela barra nose aplica en
cl problema bajo tales condiciones. Sin embargo, en una aplicación súbita dela car
y alargamiento de la barra y el esfuerzo en la barra son inicialmente cero, pero
noes la carga aplicada de modo súbito empieza a descender bajo la ación de su
do la barra conforme cac. Durante este desplazamiento la fuer
a se incrementa gradualmente hasta igualar a W, el peso del
esplazamiento dela barra es

a resistente de la barr
collar, en algún momento. En este mismo instante el di
Pero la masa tiene ahora una cierta energía cinética, adquirida durante el despla-
en descenso hasta que su velocidad se vuelve cero
to máximo para esta cond

zamiento 5m, por lo que contin
debido a la fuerza resistente en la barra. El alargamient
48) al igualar h a cero; as,

ción se obtiene de la Ec. (2
ess

Por lo tanto, concluimos que una carga aplicada súbitamente produce el doble de
Echesion que la ocasionada por una carga estática. Después de que la carga sepia
de ue se origina In deflexiön 2, la bara vbrará hacia ariba y hacía abajo y
ee copies al reposo en deficxión estática, ya que La brida continúa con el eso

del collar.*

(259) oben naine a mai y ee rancia. Pos (BE

i de
Efectos inolásticos y causas dí

falla. La
ón de au

se i
tonal
prope i

la prueba a te durante) la Fig. 2-45. Pi
pondiente O ABE

ormación almacenada €

la energía poten
2-43). Por lo tanto, cua

so W cuando cae al
da por el pe

F ndo HU + 8) esigual
MOABCD del diagrama carga-deflexiön, el cuerpo que ca
(En algunos materials, incluso el acero düctil, el punt

Fig. 245 Diagrama caga delión de

De esta consideración se

que disminu feat Pals

= ma de la barra, tal
al OABCD del diagrama carga-deflexiôn (Fig. 2-45), tain
sal impacto del barra, En los especimenes con gargantas

bye, por ejemplo, el Mujo plas
ere xo plástico de metal se concentra

In transversal son de mod Br

impacto que los mate

ou rán mucho menores en las b
cilíndrica mostrada en la Fig. 2-39a, Tal

al impacto. Un choque ligero

a düctl, Los element

el material en
similar débiles al impactos Pa Se Pet ae

ales dictiles ofrecen mu

tal frágil tend un arca bajo

icha mayor res
istencia a cargas de

-arga-deflexion de una b;
misma mucho menor que
s últimos para los do

rra de mate-
la curva de una barra de
os materiales puedan ser

rial dúctil, aun cuendo los
Proximadamente iguales

Jura en la region AB del diagrama varia linealmente, ya quela
ante y la fuerza F, es una Función lineal de P, como se muestra en
iagrama carga-deflexion es menor en la re

aclinadas per

da P.

pendiente del
argo, la pendie
jon clasica (lnea OA), porque sólo las barras

5 y son las que resisten en forma eficaz la carga increme

3, sc aprecia que el cálculo de la carga última P de una
‘minada requiere únicamente emplear la estática, porque todos

alcanzado la fluencia y, en consecuencia, se sabe que sus fuerzas

2A. En contraste, el cálculo de P, implica un análisis indetermí
quiere se satisfagan el equilibrio estático y la compatibilidad de de

pués de alcanzarse la carga última, la estructura continúa en deformación

¡ete se presenta endurecimiento por deformación y entonces la estructura es

de soportar una carga adicional. Por supuesto, la presencia de deflexiones muy

ndes significa que la estructura ha fallado en sentido utilitario. En consecuencia,

la carga P, efectivamente esla carga última para muchos fines y su determinación es
siderable interés para los ingenieros diseñadores

se ha ocupado del comportamiento, de estructuras para las

aplica por vez primera. Sila carga se relira a sea

cs de alcanzar I
de Muencia P,, la estructura s
€ «e comportará el

ticamente y regresará a su condi
Sin embargo, si se rebasa la carga P de

una porción de
mación permanente al retirarse lu carga, Consecuen:
temen uctura estticamente indete

an cargas externas, Majo i da aplicación de

la carga, la estructura
ve comportará de manera diferent

mm

Determinar la carga de nends P,

233s daa hora AB ee

ty los dos alambres ven

emia str mona ea JA
permi pe Neh de un male

240 Comporemiento no lines 109

Fig. 253. Ejemplo

factor de crea de 18. (Suponga que ambos alambres nen a mima Ara de in ra

Del equilibrio, al considerar momentos alrededor del extremo A dela barra, puede obte
perse una relación entre las fuerzas Fy F, en los alambres yla carga P:

3P=F+2l 0
‘Como esta ecuación se basa únicamente en Jaesthtca, es válida para cualquier valor def car.
a P desde cero hasta la carga Última. También, puede apreciarse de la figura que el alarga-
miento del alambre al lado derecho es siempre el doble que la del alambre al lado izquierdo,
Por lo tanto, bajo condiciones elásticas tenemos F, = 2f y se aprecia que la fuerza y será la
primera en alcanzar el valor de fluencia oA. En ese momento, la fuerza F será igual a0,A/2,
Por lo tanto, la carga de fluencia P, determinada de la Ec. 0) es

A
@

El alargamiento correspondiente del alambre derecho es x = の /5, en donde L esla longitu

de los alambres. La deflexiön en el punto な

30 30 @
EAN

dorama sti 2 ga A
wae

Pa aA m

lineal de sistemas estäticamente indeterminados. 의

an ora en forma Lo puede representarse co
4 nces es m zar el análisis. En el caso

eno de ensayo Para ejemplificar el méto-

mermada simétrica dela Fig. 2-51, pero ahora

un valor de prueba

2-492, Poden análisis al sup
x 318 del mudo D. Entonces, a partir de un diagrama de despla-
tes alargamientos de las

do. En-

es en las

de compatibilidad d
erzas en e Las deforms
largamientos y los esfuerzos pueden de-
en los esfuerzos en las.

“ama esfuerzo-deformacion. Si se cono
ular las fuerzas en las mismas y verificar si se satisface el
Si se consideró inicialmente el valor verdadero de6 se apre-
ará que se satisface cl equilibrio de fuerzas en el nudo D. De lo contrario, se vera

en equilibrio y por lo tanto debe seleccionarse un nuevo Var
7 de pr y repetir el proceso. Finalmente, llegaremos a un valor de 6 tal
amente la compatibilidad y el equilibrio en el nudo D:

arras, asi como la deflexión

endrän sus valo-

ativo de ensayo y error se inicia con nuestra suposición de
na delas fuerzas en las barras, por decir, la fuerza F; en la barra Vers
0 de fuerzas en el nudo D, podemos calcular las

Enseguida podemos determinar los esfuerzos (a parir

10980 (del diagrama estuerzo-deformacién) y

Jos lrzamientos(a part de ls deformaciones) Finalmente, de apr

4 Jos alagamientos de ls tes

mes el valor de prucba de 7 era el

J als, Del contrario, debe teeine un muero lor ds
y repetir el proceso hasta que se is

ye: q satisfagan simultäneamente el

3 nudo D podemos determi
prueba para Fy y reparo.

si. Silo son, e

args dinamica. 101

Una barra redonda de acero prismátca, de logia 2

M Mn ar Soe cl dd

on aplicables ümicamente si la masa del collar

ansversal y L es la longitud, Asi que, 4
My = pAL = (7850 kg/m°){ © ) 11
ul: u

Esta masa es

ho menor que la de collar deslizante, y en consecvenia,
podemos utilizarla fórmulas obtenias en esta sección.

La deflexiön máxima 6 producida por la masa M que cue pued cal
«ulrse directamente de a Ec. (249. Empezamos por determinar ladefición
estática de la barra debida ala masa (a cual ene un peso W = Me):

WL _ Mol _ 20012193! mA 20 m) _ y y
oo En” ER” (000 GPS mme Tom

Esta deflexiön se sustituye en 12 Be. (2-4):

L-200 Bb + (E Dh)

= 00111 mm + [00111 mm) + 260 mmX00Hl mm]? = 106 mm

7 En este ejemplo podemos calcular ambito la defini 8 de la Fórmula
aproximada (Ec. 2-49), porque, es pequena comparada con la altura

Asi que
à = hd [260 mmy0.0111 mm = 105 mm

La relación de a By llamada factor de Impacto, es 1.06/0.0111 = 95.
A esfucrzo maximo enla bara puede obenerse de la Ec. (250), 60

50.246. Ejemplo 1 ES _ (200 GPaK106 mm)

« 106 Mi

5 20m

Este esfuerzo dinámico puede compararse con cl esfuerzo etico:

W_ Ma GOkgORLmg

474 7 las ma
5, la cual es la misma que la relación corespondiente a

1.1 MPA

LÉ
ad

下 -mm

Fig. 247 Ejemplos

mp da que e esfuerzo en la bara no prismáica
bara prismárica. Concluimos entonces, que el ensanchar
imo de resistencia del ba-
dde absorción de energia de Ja ba
in 2.3. En general ls barras que Se

we 103

ben resistir caras dinámicas deben se pri

cas a fin de que a distil

mpto 3

Una cabina de elevador de peso.

ae sostiene medi
me diante un cable que de

te y (Fiz. 248), ¿Qué esfuerzo máximo se
gora súbitamente

Este ejemplo difiere significativamente de los anteriores. En

s impactadas no estaban esforzadas antes ee daa bs

delimpacto, en consecuencia no tenan energie
de deformación antes del choque, Sin embargo, el able de ste ejemplo sostiene el peso 1

«pongamos que no en peda de enr cuado e tambor se sera; come

Sn sua a ner tale nao ue cate ca line mine

Antes del denn, a enla cca el clear mon 112/27. Dessert
tse ejemplo 14 enerl ncn del cable y que es demand 94008 comparada con la
coer cnc dl dead, La oe polen de puso open e osa ml baja
Wan donde es dani que ce hc bajo po dep Gu d'a epi
Ea ea gala 35 don alan al cb dare dl
somo a cata 1. Fo supuso, dal eau cl anon
ante de tambo: pol qe cer de dformacion de ales dl din
AL (ue Ex 2390) eden A/L la ere, Desp ela den yen
ua age más samo, sents de domain © AVAL En

éste instante no existe energia cinética ya que la velocidad es cero.
De acuerdo con el principio de conservación de a energía yal iguala las energías antes y
pués del aseguramiento del tambor, obtenemos.

wes we

Tambor para abe suede resolverse para determinar el alargamiento maximo

Esta ecuación p ri izo
e de la manera siguiente, Primer, se aprecia que la dei
9 o

[ni Jat ee
|

Ent
=

(o

E
a+

ción susituimos esta expresión
de la cual W = EAB2/L. A continuación, on

1 Gira Wen el segundo término de I Ec. (a) y se ene

> Bas, EA
Jr vus We, bb bay 0
4° L 2

o, alreacomodar términos,

| | We Bg à
—

Fig. 248 Ejemplo

he pa ehr largamiento máximo
2 fl Pe:
bn + GBA
rinamene, obtenemos el esfuerzo máximo en l abi i
2m 기
Be none pune ch mayor us e ROCA

ques si = 0, la. (2) expresa cl esfue
co W/A. Note que, si ¥

* COMPORTAMIENTO NO LINEAL

En las secciones anteriores hemos analizado estructuras estáticamente determi
adas y estructuras estáticamente indeterminadas mediante la suposición de que el
material cumplia con la ley de Hooke. Consideremos ahora el comportamiento de
an el limite de propor-

Sstructuras cargadas axialmente cuando los esfuerzos re
Glonalidad, En tales casos, es necesario utilizar el diagrama esfuerzo-deformación
del material. A veces, el díagrama se obtiene a partir de una prueba real del material,
3 se emplea más a menudo un diagrama esfuerzo-deformación ideal. La ley de

plo de tales diagramas ideales. Otros ejemplos se muestran en

Hooke es un

498 muestra un di

mente bajo ante; este último comportar ae 대

1,31, scpectivamente, La region perfectamente psi

las veces mayores que la deformacı
son un diagrama de ca case se denomina materia |
formacion se incrementa al máximo, e
forma la curva esfuerzo-deforn

periores al esfuerzo de fluencia debido a e portación alenza valores

ión, as deflexiones son
uilidad, P

4
| à

Elástico lineal

w o

0.248, 190 de ganas Hnos ur
al; (b) diagrama elastoplástico; y (c) diagrama | deformación no lineales: (a) diagrama do no

o ©

Fig. 2:50 Armadura estiticamente deter mi da y diagrama esfuer
deformación no lineal Poo ンー

realizado con estas suposiciones usualmente se denomina análisis plástico, aunque el
término análisis elastoplästico es más preciso.

La Fig. 249: muestra un diagrama constituido por do lineas de pendiente dife
vente, amado diagrama bilincal. Este diagrama a veces se emplea para representar
ea con endurecimiento por deformación, o puede utilizarse como una APP
mación a un diagrama del perfil general mostrado en la Fig, 2-493,

remos ahora el análisis de un sistema estáticamente dterminado cargado
en el margen no lineal. Suponga por ejemplo, quese desea conocerla ‚deflexiön delnu-
nos en Fig. 2.508 ye st ce Ree DEE
ena esfuerzo-deformacien mosirado en 12 Fig. 2b. Como eric E está
Dn e nada, podemos determinar las fuerzas axiales a 내 LE EU
nr del equilibrio sn considerar ls propiedades del ais ht ‘bajo la suposición.
Jos alatgamientos de dichos elementos son pequeños, Poleras obtener entonces
e ea alidi las fuerza ales etre las áreas de sección transversal. Ense-
da determinamos ls deformaciones mediante el digracia esfuerzo-deformación, y
Marti de las deformaciones se determinan los Alia enis ‘de ambas barras, Fi
arre, delerminamos la defleiön del nudo どす parir de Ds ‘cambios en longitud de

namen demie eno debe modificarse Jos cambios e ose

grandes, de forma tal que al
análisis debe realizarse paso a paso, o sea EUR 이
FA Las nuevas dimensiones de la armadura a cada paso.

106 capo? * ya

meme indeterminada

Fig 251 시 비 내

istemas estäticamente indeterminados. Si
A ke ndcerminode, lands se vuche micho mäs complica
mma determinado, En un sistema indeterminado, las fuerzas no se
determinar sin conocer primero los desplazamientos, pero los desplazamien-
Pi dependen de ls fueras y del diagrama esfuerzo-deformación. En consecuencia
land completo suele requerir de un método de ensayo y error o un método de
aproximaciones sucesivas (descrito al final de esta sección). Sin embargo, para un
material como el acero dulce que tiene un diagrama clastoplástico (Fig. 2-49b), el
miento dela estructura se simplifica bastante y puede usualmente realizar-

ic un análisis plástico sin dificultad.

a ejemplificar ls técnicas del anáiis plástico, consideremos nuevamente una
ra simétrica de tres barras, como la mostrada en la Fig. 2-51a. Suponga que las
barras están hechas de acero estructural y tienen un diagrama esfuerzo-deformación.
clastoplatco (Fig. 2-510). Cuando la carga P es pequeña, los esfuerzos en las tres
barras serán menores que el esfuerzo de fluencia o,; en consecuencia, las fuerzas en
las barras pueden determinarse por un análisis elástico mediante el método de flexi=
bilidades o el de rigideces (secciones 2.4 y 2.5). Conforme se incrementa gradual
mente la carga P, los esfuerzos en las barras aumentan hasta que finalmente ana の
mis barras alcanzan el esfuerzo de fluencia 9,. Si suponemos que las barras tienen

seus de secón transversal igual A, enton ls eat
Condiciones elásticas se obtienen de las Ecs, (2-14) y (2-13); > =

Análisis pl

do que para un si

ß

ne, P
Zoos PTS @

Ci mayor que Fa barr central alcanzará primero el fran
ares P se denomina carga de fluencia P. Poder alor correspondiente de la

cla Pr, Podemos obtener E ke
{anse Ecs. a) igual a 9,4 y resolver Para la carga: de ue ah

内

AU + 2 605? fy
As, mientras Pea m

Zas en las barras se po al

(0)
la estructura se, camente y las fuer
SR

de fluencia se obtiene Malaga de Le

al considerar que

Sane Ree ue esta deflexión cs igual al alargamiento dei
이
개 ©

El comportamieı

to de la armadurs
es) la armadura por debajo de

daa la carga de fluencia se representa

Carga-deflexión de la Fig. 2-52

Fig. 252 Diagrams cr
on dea srmadira mostrada
cola Fig. 21

Con un incremento posterior en la carga P, también se incrementan las fuerzas
F en las barras inclinadas, pero la fuerza Fy permanece constante e iguala oA, de-
bido a que la barra central se ha vuelto perfectamente plástica (véase Fig. 2510). F-
nalmente, las fuerzas Fı alcanzan el Yalor 9,4 y las barras inclinadas también se
vuelven plásticas. En ese momento la estructura no podrá cargar fuerza adicional.
En lugar de ello, las tres barras continúan deformändose con este alor constante (y
máximo) de la carga, que se denomina carga última P., Esta carga se representa por
ei punto B del diagrama carga-deflexiön; la linea horizontal BC representa la región
de deformación plástica continua de la estructura,

La carga última P, puede calcularse a partir del equiirio de fuerza enel mudo,
D. Las fuerzas en las barras para la carga última son

시자 eit

En consecuencia, del equilibrio obtenemos
Pa A +2008) ©
var que ls barras inclinadas se

La deflexign correspondiente à, se determina al observar a
han alargado una calidad à, = 6 donde 41/6088 ale PRES RSS
na Canoe a /E. el alargamiento de cada barra incinada な
siargamies erminar la deflexión vertical de la junta

A pamir de este alargamiento, se puede det a
or medio de un diagrama de desplazamientos (véase Fig. 2-106); el resullado ey
0

sao BLEMAS / CAPITULO 2

villa de acero de 1 plg de diámetro
be soportar una carga en tensión

figura), Sia longitud inicial de la

Ta varila es 21.750 pg, ¿cuáles

barra redonda de aluminio de 8 m de
70 GPa) soporta una carga de tensión
iämetro minimo requerido d

‘1 máximo alargamiento permisibl es

à uniforme AB de longitud se
300 horizontal bajo su propio
nbres verticales jos à sus
Ambos. alambres están

figura),
material y tienen la misma drca de
sversal, pero las longitudes son La y La
mula para la distancia x (desde el
bre la barra donde debe apli

3 P, para que la barra permanezca ho

rob. 223

y
224 Dos barras igidas horizontales AB y CD €

wen mediante alambres como se muestra enla (gu
Lon alambres enen longitud 2, módulo de elas
dad Ey dimetros dy y ds, En los puntos medios de

bare E y Facttan cargas verticales P. sCubl 68

Prob.22-4

228 Un edifico de dos niveles tene columns
AB en e primer nivel y BC on el segundo (vase fig
Fa). Las columnas se cargan como se muesra en la
figura, con la carga del echo Pi = 100 k y la carga
Pz aplicada enel segundo nivel iguala 180k Las re
a de sección transversal de las columnas superior €
jr son 5.9 ple y 1.1 pe, respesivament, ya
tiene una longitud a = 12 pe. Ssesupo-
neque E = 30 x 10 pd, determinar el acortamiento
‘Ge cada columna debido alas cagas aplicadas.

227

228

La barra se ca cn fe
en la figura. SÍ e supone
cular el cambio de loli de y

1 Po cagas. ¿La bazra e Aaa gp

|
29%

0625 pie
1

7
+ Hoaspie

16.228

229 Una barra de acero (E = 200 GPa) se sur

ene y carga como se muestra en la figura, El dead

cuion transversal de 18 barra es 250 mu. Asie

Una barra prismática ABCD se somete "mo, sus dimensio las siguientes: a = 0.302,

omo se mucaran la figura La = 020myc = 0,30m. Siss supone que Py = 18

naeh de sour con modulo de lastcidad kNy Py = 9 KN, determinar la fuerza Py tal quel

10 Gray Arcade sección ransveral À = 225. extremo inferior D de la barra no se mueva veria
Determinar la 0006000 5 del extremo inferior mente cuando se aplican las cargas
r alas cagas Py, 2 Y Ps. ¿La ban

Lab 1000 AD fase figura) tiene

Prob. 2.2.8

22:10 Una barra de acero de 10 pie de longa
{ee una stn avira de cinch =
vie e ds mado une de dise de A
Pe enla ota miad (ose gua 6

Alargar la barra bajo uns carga de end 2

19? (0) Si el mismo volumen de

construir una barra de di one toa
de diámetro d y longitud 10 pie,
misma carga P}

cul seth el lapamlete
oa lan
(Suponga E = 30% 108 pi) à

a 075 lg mine
al = = P= 0001

ーー*pe 一トー 5 pie

Prob. 22-10

2211 Unabarrade cobre AB sometida,
ade enion P= 300KN carga de tn pan
tio por dos pases de cra (te gue) La bn
decreta ei 0 m ra nr e
e int SN A
€ una altura de im ara tanner
Sd 750 ua! y módulo de dual =
Dacia de pes À |

Prob. 22-11 ニー

2212 El ensamble mostrado en la figura se carga
por fuerzas P, y Py Si se supone que ambas porciones
dela barr. vertical ABC están hechas del mismo mate.
rial, obten« una fórmula para la relación P,/Py tal
¿ue la defle ibn vertical del punto C sea igual acero,
(Expresar e resultado en términos de las Areas de sec
ción transversal Ay y As y las dimensiones Ly. La Ls
La mostradas en la figura.)

2243 La barra ABC está compuesta de dos mate.
Files y tiene una longitud total de 36 pl y un diámetro
de 2 pl (ota figura). La parte AB es de acero (En =
30 % 10 a) yla parte BC es de aluminio (Eu = 10%
10% sb. La barra se somete a una fuerza de tensión de
30% (a) Determinar ls lOngiudesL, y La para las pares

¿e acero y aluminio, respectivamente, a in de que ambas
partes tengan el mismo alargamiento. (0)
alargamiento total dela barra?

¿Cuál es el

Problemas pituto

113

2.214 Una berracompuesta se consruye de dos es
ones de cobre C con un área de sección transversal
A. = 2 ple? y un sección de cero A con un Área de
‘ecco transversal A, = 1 pl? (ame figura). SI
Süpone que fos módulos de elasticidad para elcobre y
iowo son E, = 16x10 pay Es = 30x 10 pa, ro
pectivamente, calcular Ja fuerza de tension P neseis-
fia para producir un alargamiento totald = 0.8 pl

22:15 Un tubo de acero de 12 pie de longitud
LE = 30% 10° ps) se carga como se muestra enla
(fora, La sección transversal del tubo es 28 Bl.
{ay Calcalar la deflexiön 8 del extremo libre. (0) De
(e minar la distancia x desde el soporte izquierdo hasta
«punto en el cual la deeión es cero.

22:16 Obtener una fórmula para el alargamiento
deal de una barra prismática de longitud Ly Area de
Sección transversal À que cuelga venicalmente ba 95
propio peso. (Suponga W = peso total dela A
Ez módulo de easicidad.)

Palo largo de sus la
fuerza de fricción

somo f por unidad de

i pote lene un área de sección
dad E y una longitud

1. Obner una fórmula para el
ai à del pilote en términos de

AyL

Prob. 22.18

2240 Una pla de conto de 0060 und

to de sci cuadrada

en 6 m de lua (ie ar) or or co

gen dee un nc de Lm cna Ones

Sl pare malo. Demis ramo de
ar Bao ua cares de compran n

(desprecie el peso propio de la een

il) Song ge
dao de cid e cones rena D

Prob. 22-19

22-20 Una barra larga ahusada AB de sesión
transversal cuadrada y longitud L se somete a ina
carga axial P (véase figura). Las dimensiones trans
sales varian desde dx d'en el extremo A hasta 2434)
tn el extremo 8. Obtener una fórmula para el alarga
miento 5 de la barra

Prob. 22-20

2221 Una barr plana de sección transis
tangular y espesor constante se somete a tensión Pa,
fuerzas P (tase figura). El ancho de la ara
realmente desde by en el extremo izquierdo asa
‘en el extremo derecho. (a) Obtener una fórmula past
alargamiento & de la barra. (0) Calcular el ABER
miento si by = 4 lg, by = 6 lg Lo OÍ!
pla, P = 8000 by = 30 x HU

TS

22 Obtener un
2222 Ob 1 fórmula para el arg

à de una barra con nin

a de sección Problema Capi
od deta aras Le po PEO eso a

にに

Bi Prob. 22.22

・22.23 La barra ACB gira alrededor de un em で
con velocidad angular constant (se figura). Ca
a mitad dela barra tiene una longitud. El material de
a barra tiene un módulo deelasticidad Ey una dens Prob. 2:84
dad p (masa por unidad de volumen). Obtener una
Srmula para el alargamiento 6 de una mitad dela
ara (oe, amino de AC 0.69) een
ern como se muestra en a figura. Los miembros
= AB y BC tienen reas de 0000 csv
PA ley An = 41 pl espectivament. EL mate
fale aluminio con E = 10000 000 pi. Demis
Indeflesi horizontal, yla een vera, de
nude か

トーェーー

Prob. 22-23

«5224 Dos bers rió AB y CO ste was
가여 incas de de y uses
Bor ri soportes arcane (bos Fu
ep as arras elabora
les y los resortes no están ‘esforzados. Determinar, la
er
ana F
234 Determinar as compone
‘ere del desplazamiento de nude
a pura devido ala ie? 7.
be de 00 (En ~
x ae eC 223 cl epa zonal eal
Pde poe 오므 32 10: pa de es ne SE
ed de 1 pl de lado. made.

tes horizontal ¥
Bde la armado

mo ©

a de esa ns

cae ire a de sición

Pom ‘mediante una va-

0 ne men nt
E OC de 25m de me y ml

stead £, = 210

Prob. 23-8

238 Determinar el desplazamiento horizontal &
Norikala。 de la junta C dela armadura montada
1 ra, debidos a la acción de la carga verkalp
{Suponer que cada bara tene una longitud La
(sección transversal A y módulo de laid)

36m

| 一 2 一 |

Prob. 23-3

234 La armadura ABC mostrada en la figura
conta de dos barras idénticas (longitud L, area de
seción transversal A y módulo de elasticidad £). Ob-
tener fórmulas para las componentes horizontal y
vertical da yb, respectivamente, de la delexión del
mudo B debida ala carga horizontal P.

Prob. 23-6 Fr

237 Una armadura ABC que consta de
as idénticas, soporta una carga vertical
se muestra en la figura. El ángulo 9 puede
mover ls puntos dc soporte (A y ©) alo largo!
recta vertical y cambiarlas longitudes de ls
adecuadamente; el nudo Bpermanesea
ll recta vertical que une los apoyos.
1 ángulo 0 tal que la defer del nudo 8

4

238 Dos bars AC y BC dl mismo ma
pa a asada, cmo e ut
figura, La barra AC tiene una longit a
na aba De en
Lay cad sección anal A, Ls arc
miembros

238 Una armadura ABC 6
anses vertical P (ase figura) medi ner
ous ABy BC: La inca ens
do puede stuart

quer pt 1 lage ea rect ea nn
es em vata tee a

san esforzadas completamente al maximo sao
mie ten, ¿Cu bes era
Ceminiiza la decxón 4 mudo og

la cana Pt pe

»
y
Ly an e
Po

pos vera sn nr
longi i

Prob. 23-8

"239 La armadura ABC mostrada en la figura so-
porta en cl nudo una fuerza P que actúa según un
Angulo # respecto a la vertical. Las áreas de sección
transversal y módulos de elasticidad de los miembros
AB y BC son los mismos. Determinar el ángulo tal que
la decaión del nudo B tenga la misma dirección que la
fuerza P.

Prob. 23.9

12240 La armadura ABC mostrada en la figura
* Sonstruye con una barra horizontal de acero BC

Los problemas dela Sección 2. deben resolverse por
el método de fledbilidades.

241 Un pedestal de concreto de esi tener
al cuadrada (6x 6 pl) se efuez con cuatro bars
de acero de 3/4 pg de dmetro (ése Miura), Clear
La maxima carga permisible P basada en que loss
20s permisibles en el acero y concret sn de 18000
ps 2,000 pol respectivamente. (Supone = 30%
10 psi y Ea = 35 x 10 psi)

-2 Una barra de acero AB que tine dos Aras
‘cn ve een) ae

soportes rigido y cargada

Pomo se muestren a figura. eerie
ciones Ry Ra en los soportes.

Prob. 241

o tiene un módulo de elasticidad
inar la máxima carga permi

silos esfuerzos permisibles

eto son 42 MPa y 5.6 MPa,

vamente. (Suponer que los esfuerzos en el
el conereto están uniformemente dist

Prob.
245 Untubo redondo de aero
or d = 20 plgy espesor de pared

de somero y comprime ee plc:

de diametro ite
0.5 pig se llena.

oe =a ie
1 uo penis pa aso
ccoo 16.00 pay 10 ae

determinar la carga máxima permisible Pu
E, = 30x10 ksi y E, = 2x10 koi)

246 Una varilla AB tiene dos áreas de sit
transversal diferentes, como se muestra el

La varillas ha fiado ngidamenie a oper

les en sus extremos y se carga con fuerzas PU
opuestas. Determina el suero al el
dela barra si se asume que A, es el ea
transversal era de los extremos y que Anl

00 mm? y b = 2a.)

247, Un 0008 0000 AB de peo MEA
le Mes alambres verticals aient O

dos de acero y uno destino ia
Alambres también sostienen una carga P
el centro del bloque. El diámetro do
10010 es 1/8 pg y «del alambre de
Pla. ¿Qué carga P puede sostenerse sel

rob 24

y os alambres de acero es 20,000 psy en el
Se de aluminio e 12,000 psi (Suponer W = 80
0 x 10° pal y Eu 10% 10" ps)

Prob. 24.7 UP

Cada barra vertical del aparato mostrado en
à hecha de acero y tiene área de sección
sveral de 1200 mm?, Determinar el esfuerzo de
entra si la placa rigida AB pesa

sin 9 en la barra
3QkN
240 u

barra rigida AB de longitud £ está at

ared en A y soportada por dos alam
be verticales unidos a los puntos € y D (vease figu-
A). Los alambres están hechos del mismo material y

enla misma área de sección transversal, pero el
alambre en D es dos veces más largo que el alambre
«a C. Determinar las fuerzas de tensión 7. y Ten los
Alambres debidas ala carga vertical P que actta en el
emo 8,

N

Prob. 24.9

2410 Unabarrarigida BD est sostenida por una
articulación en B y por dos alambres unidos en Cy D
(ase figura). Los alambre son idntics excepto en
longitud y están tensos (pero libres de eivezo0 antes
de aplicarse la carga P. Determina la fuerzas de en
sion 7. y T producidas en ls alambres por una carga
P = 3000N

24:11 Una barra compuesta de 90000 transver-
sal cuadrada se construye con dos materiales iferen-
tes que tenen módulos de elasticidad E, y Es (vase
figura). Ambas partes de la barra tenen las mismas
dimensiones en sus secciones transversale. Si se su-
pone que las placas de los extremos son rigdas, ob
fer una fórmula para a excentricdad ede la carga P
tal que cada parte de la barra se esfuerce uniformes
mente en compresión. Bajo estas condiciones, ¿qué
part de la carga P soporta cada material?

2442. Unabarradeacero ABC = 3010)
arca dessen ranenald desde A asa B
a ein anneal Ay desd Basta C
i oe) a bara scone en el ero AY
ina ag Pieala 1201beneleureno

7 lambros

A

neun re de seción
cali ea rr en B, Determinar la
de ferior de la barra, al su-

la sin holgura en B cuando

eu
transversal
son 8 en el extremo
poner que el collar ne

Prob. 24-12

no existe carga. (Asumir Ly = 2 な

10 plg, Ly = 4
ple, A, = 24, =1.6pIg y Ay

0.5 ple")

2413 La armadura ABCD mostrada en la figura
consta de tes barras de igual longitud L que susten:
tan una carga vertical P. Determinar las fuerzas F,

Fi y Fem as barras yla deflexión Vertical de qua
D, si se supone que el módulo de elasticidad Ey y
“area de sección transversal A son los mismos paraa
tres barras.

2414 Tres barras AD, BD y CD que nea y
misma rigidez axial EA forman una armadura cong
se muestra en la figura, Determinar las fuerzas e ay
tres barras y las componentes horizontal y venia e
la deflexion del nudo D debidas a la carga P. (Sue.
rencia: definir P en componentes vertical y hot.
tal y emplear las Eos. 2-13, 2-14 y 2:15)

2415 Tres alambres idénticos A, By Cr)
un bloque rígido (peso = W) al cual se aplica Me
carga 2W a una distancia x del centro, como #
‘muestra en la figura, Trazar una gráfica que 4e)
mo varian las fuerzas F, F y Fn ste Be
en función de x (Guponer que x vara desde coo MS
valores mayores que à, y notar que os

en rss fuerzas de compresión)

Los problemas de la Sección 2.5 deben!
<l método de rigideces,

Resolver el Problema 2,42 por el

Los tubos de acero
in

Prob. 24-15

ss extremos y a una placa rigida C en el otro. Dos
cargas iguales P se aplican simétricamente sobre
la placa, Determinar los esfuerzos axiales a, y a, en
los tubos de aluminio y acero, respectivamente.
(Emplear los siguientes valores numéricos. P = 48
IN, Ay

70GPa

253 La barra AB cargada axialmente y que se
muestra en la figura está empotrada en sus entrenos.
La tara tiene un ärca de sección transversal An desde
A hasta Cy 24, desde C hasta B. ‚Cu es el de9D
Zamiento 3, del punto D donde actúa la cara FF
“Cuales son las reacciones en los soportes A Y #7
254 Reoherq Problema 2.48 por el metodo de
des,

= Una armadura ABCD que er
que tienen la mina longitud L
ci transversal 4 € igual módulo de elasticidad E, $e

121
cto = zu
P
Hau
다시

Gara comuna fez veil P
Se se ar), Dir
ee IT

Prob. 25-5

258 Recher el Problema 2413 por d méado de
rides.

25-7 Una armadura ABCD que consta de tres
"arras que tienen la misma longitud と y la misma rk
sides axial EA e carga por un fuerza vertical Papi
Cada en el mudo D (véase figura). Determinar I defen
Sa mudo D y las fueras FF y À 0 las bas,

heres

y de acero À, B y C que tienen la
"EA sosienen una via horizontal
igura) Las barras y tienen longitud
ngitud 2h, Deter

ras A y Ba fin
jando se aplica una

anis x etre ls
rigida permanezca horizontal
carga Pen su punto medio.

261 Un tubo de aluminio tene una longitud de
SO ma una temperatura de 18°C. Un tubo adyacente
{de acero, ala misma temperatura, & 10 mm más largo
que el tubo de aluminio. ¿A qué temperaturas la dife

rencia en longitudes de los tubos será igual a 15 mm?
(Suponer que los coeficientes de dilatación térmica
del aluminio y del acero son 01 = 23 x104/°C y
tue = 12 K10%/°C, respectivamente)

282 Una cinta de medición de acero colocada
sobre un pavimento plano, se utiliza para medir la
distancia entre dos puntos À y B. Laectura de la cin:
tas 85.49 pie cuando la temperatura de la superficie

sacs yla fem de send
a pm o sec
sal de de alslkidad E = 20 10 pay Un coa
an mode diatacion térmica = 6.52:10%/*F Laa

Horace
a una tension de
Jad entre fos dos puntos?

CObtener una formula para el cambio unite:

263
e volumen e = AV/ dE un material someido
TS incremento uniforme de temperatura 47, Sue

ongase que el material tiens un coeficiente de lits,
ión térmica a y es capaz. de expandirse libremente.

284 El aparato mostrado en la figura está cons
uido de una barra de tungsteno AC y una barra de
magnesio BD unidas a un marcador CDP mediante
emos en C y D. Sean los coeficientes de dilatación
Eármica para el magnesio y el tungsteno aa Y cyte
pectivamente, Obtener una fórmula para el desplaza
ento vertical 5 (ascendente positivo) del punto Pen
función de un incremento uniforme de temperatura
AT las dimensiones a, by L. ¿Podria tal dispositive
emplearse como termómetro?

26-5 Una barra de acero de longitud L = 1 mae
figura) y Area de sección transversal A = 1600 mm
se calienta desde 20°C haste 80°C. Luego, sin vararla
temperatura, e aplica una fuerza de tensión P = 160
KN. Finalmente, la temperatura regresa a 20°C (pe,
permanece la carga). Trazar un diagrama cargacalr-
gamiento para la barra que indique la relación entre
la fucrza axial P y el alargamiento 8 durante todo
proceso. (Suponer que el coeficiente de dilatación
térmica para el acero es a = 12x1047/*Cy el módulo
de elasticidad es E = 200 GPa.)

aS

Ao

ET

tubo de cobre € (véase figura). El ensamble se
rs ca plc ada all
o eee
Ot ee 고
a eres a ee
i pours de ops Veale, aca ce
ee ae 이
aia aro y el cob)

y

257 Un bara mea AB done Ls
‘ene entre soportes rlgidos ys caleta en forma no
alone de el manera que el incremento de empe-
Pa 7 un inc x e emo As eee
Pera xsi AT = Am se Hn Der
eminar el afuerzo de compresión 0. en 12 barra.
Saone que el material iene un módulo de clas
dad Ey un coeficiente de dilatación térmica

E 日
|

u EN

E

wucaphloz 123

de 15 mm de ddmetroy
in holgura (pero sin er

268 Una varilla de aces
3 m de longitud se retiens
fuerzos iniciales) entre paredes fijas mediante e
Arreglo mostrado en la figura, Calcular el sume de
temperatura AT (en grados Celis) para cual els.
fuerzo cortante medio enel tornillo de IS mm de di.
metro resulta ser 60 MPa. (Para acero, emplear =
12 X 10%/*C y E, = 260 GPa),

269 Un alambre de acero AB se extra entre gn
portes rígidos (vtase figura, El presuerzo inicial en
Slalambre es 30 MPa cuando la temperatura e+ 20°C.
(@) ¿Cuál es cl esfuerzo 0 en 의 alambre cuando la
temperatura decree a 0*C? (0) A qué temperatura 7
el esfuerzo en el alambre se vuelve cero? (Suponer

4 x104/°Cy E = 200 GPa.)

トーーーーーーターs ョーー

19000 y y F
E 15 mm diámetro del torillo CE
Prob. 268
し Su DN
AE +

pa rade cobre AB de 10 moa
Ion 010
so tec ese Ay ua pl Hae
usr oso d core ma
a ener amen °C Cl
TE

Di Tesbaras de cr cts panas
(00770

u 때

a la carga.) KH nl

Prob, 2813

uno con sección transversal cuadrada de 200 may

s pls faim y longitud L = 2 m (vtase figura) Antes dep

arse la carga P el poste central es más como ge,

tros en una cantidad s = 1.0 mm, Determina ig

Carga máxima permisible P s el módulo de ae

P=250% ad del concreto es E, = 30GPa y el sfuero per
sible en compresión € 9, = 18 MPA.

A

sra de acero ACB que tiene dos see
frentes, se retine entre sopor

si 10* psi y el coeficiente de dil Y
‘ s Prob. 28-14

26-15 EI clemento térmico bimetilico mostrado.
en la figura está construdo de una bara de le
» ongitud L, = 0.78 plg y área de scsi!
a 4 = 010 ley de una barra de magnesio dan
La = 1.30 pl y ea de sección transversal Aa =
lg). Las barras se disponen de tal modo que lap
233, Ubu oprima ABC e og ración entr us extremos bre 8 00000
‘Fame ete soporte fos (tae figura) La mitad temperatura ambiente, Calcular las siguen
de barra ene un Ara de sección ran des: (a) l incremento de temperatura SCORE
ren Ap Kuna derecha tiene un Ara de secién peratur ambiente) para el cua) ls barras ese eo
etme lo de laicidad es Ey elcoe- 1, y (D) el esfuerzo a en la barra de MERE TS
«el incremento de temperatura A7 es de 300%. (UI
las siguentes propiedades de los material
10 x 1047F an = 145% JOSE, ELISA
E 68 x 10 pay

en =
ES

de concreto de alta resuena, caña

1616 Un casquillo
fail de ace

de latón se
mont sobre un

as figura) Y a tuerca se gra han
sea perfeciamentesn apreta. toral ue

“metro de 25 mm y el casquil iene Ulmen

10 MPa. (Emplea las siguientes propiedades de
y materiales: para el latón, 0, = 20% 1990 y

100 Gia; para el ceo, ay = 121090

=>

Tornillo de aero

Prob. 2.6-16

a barra circular maciza de aluminio se
en un tubo de cobre de la misma longitud

ura) El diámetro exterior del tubo de cobre es

(iämetro interior es 1.00 lg y el diámeto dela
“aluminio es 1.75 ple En cada extremo del en
«insertan, perpendicularmente al je de la ba

ox de 1/4 plg de diámetro que atraviesan

arras. Determinar el esfuerzo cortante medio

sila temperatura aumenta 40°F. (Para

0. E, = 10x 108 psi ya, = 13 x10Y°F;

ara lcobre E, = 17 x10 psi ya, = 93x10 °F.)

Tubo decobre

pare de aluminio.

Prob. 26-17

tomilo
26:48 ¿Qué esfuerzos se producirán en un toro
de acero y un tubo de cobre (véase figura) debido à
un cuarto de vueta de la tuerca sl longitud del OT,
silo L = 30 plg, el paso de a rosea sp = 1
Ble el rea dela sección transversal del toria 때
4 pla, ye rea dela sección transversal e

pie"? (Suponer 6. = 20 x 10 9 토이
16 10 pa.) (Now: el paso de la rosca sa SUS
Que avanza la tuerca algiar una vuelta como!

ProblemasiCepitulo 2

125

2.649 Las vigas de concteto pros
an alguns vecs dela siguente form
nismo de gato hie

de

do se far
En un mess
lic e era alambre de cero
sta resistencia, bajo una fuerza Q, como se repre
Senta enla pate (a) dela figura. El concreto s veda
cuela entonces alrededor de los alambres para for,
mar una vga, como se muestra en la part (0). Des
pués de que el concreto ha fraguado adesuadamente,
los gatos se sueltan y a fuerza Q desaparece (vns
última parte del figura. De eta manera, la vga
14 sometida a una condición prsforzada, con los
alambres en tension y el coneret en compresión, Six
pongamos que la carga de presfuerzo Q produce en
los alambres de aceso un esfuerzo incl y = 820
MPa. Si los módulos de lastcidad del acero y el
concreto guardan una proporción 8:1 y las areas de
seción transversal guardan una relación 130,
“cubes son los esfuerzos finales o ya, ns dos
feriales?

20

126

re D. Obiene

bar
ar ne

gttade de cada placa y, de
«cobre son, ya,
bdulos de dant

Prob. 26-20

2821 Un cable vertical AB (véase figura) se pres
fuerza a una tensión inicial de 4 KN. Subseeuente
6kNs

Dete

una altura À dela base
Pry Pren las
desde ero hasta L (Observe que el cable no
soporta fuerzas de compresión.)

2622 Una barra bimetlica que consite en un
cleo de cobre unido firmemente a doy tras de asc
10 ee figura) se calienta uniformemente ne,

fuerzas axiales y Fens

¿dela armadura simétrica mostrada enla figura
joa dela barra central se incrementa en
ras externas no experimentan cambio
ra. (Suponer que £, À y son gules

623

as las barras)

Prob. 26.23

2624 Una armadura simétrica de tes BA
ABCD (tas figura) experimenta un acres
temperatura A7; = 20°C en ls dos barra ee
aT; » 70° en la bara central Calcula ls [a
F3 Fy nla bara, e upon (ar oda a
200 GPa, à = Ax C y A 00000
¿ada barr dela armaltura mostrada cad
rs en una longi = pi y un re
gión 10010. 4 = 030 pig Las BE
netas descr con mio de edad E RE
a Ena barra 48 est integrado un (00506 EME
1 de doble efecto, son rosca de log

Prob. 26-24

(sto, paso del rose sp 1/32 pg; por lo
ensor acorta la barra en 1/16 pl.)

ramblada cone tensor ajustado en
odas las barras estan inicialmente Hbres
as vueltas n del tensor son nece
fuerza de tensión T = 4000

Prob, 26-25

2626 Las barras exteriores del bastidor cuadra

noqrado en la figura están hechas de aluminio
1009.06. = 13 × 109/%P), y ls día
fónales son alambres de acero (6 = 29 % 10° Di
m= 6.5 % 109/0F). Las Areas de sección franster
dl delas barras de aluminio y los alambres de acero
ardan una proporción 20:1. Determinar el esfuerza,
ren 105 alambres de acero, si la temperatura del

Disidor completo se incrementa 80°F

127

271 ¿Collescies

Prob. 27

27-2 Una muestra para pr
(retaper de CAS
cher oem am e
273 Uncilindr de prueba de concreto (ae f

eras de compresión axiales Pen una máquia de
prueba. Sie esfuerzo cortante máximo e el core
Lo no debe exceder 110" Pa, ¿cuál sacara al
nina permisible P?

le

Prob. 27-3

274 Determinar la carga de tensión permisible F
27% pacra de sesción transversal cuadrada de
SEK pl (ace figura) sel esfuerzo de 10000.
2 PI ble es 20,00 pa y el esfuerzo conte permi
Abe es 13,000 ps

37:5 Una barra prismática de aceo de 00008

278 al euadrada de 3 PLE pie soma una
아아아. = 13 kis (ras fur). Dam

care ferns normales y cortantes en las aro
Dun cemento prado un 00000 = 45°

(base ur),

al I temperatura de Ta bara eine

se mermas os esfuerzos en todas las caras

e indica tales esueros sobre

de os elementos. (Suponera = 0.000017/°C
GPa)

a

Prob. 27-42

2713 Una barra prismática, cuya area de sesión
ansversal es A, se somete a un esfuerzo de tensión
val 6, = P/A (vease figura). Los esfuerzos sobre
plano inclinado pg son gs = 81 MPa y yo = 2
MPa, Determinar el esfuerzo axial o, y el ángulo

As
2740 Unalambre de latón de didmetro d = 1/16
entra bajo una fuera de tensión T = 32 I (Véase
Gisminuye SO, cul eel esfuerzo cortante máxi
a para elalambre esq, = 106% 10% yelmdulo 27-14 Sobre las caras de un elemento EDR
fe eascidad es ES 15 x 100 p tuna barra en esfuerzo uniaxial, actúan Se
ls de 12,000 pq y 6,000 pi ease figura), Deere

nar el ángulo y el esfuerzo cortante u, TM

terminar el fucrzo normal máximo 6,816

Prob. 27:13

27-15 Una barra prismatia se somete a uaa

za axial, 10 que ocasiona un esfuerao dei

de 60 MPa sobre un plano con un ángulo "3
pl 0

2741 Una barra mei s ol a
aa, ara me lc nr opotes (as figs) ¿Cuts ont
ambiente (68°F) como se

‘muestra en la figura. Calcular los esft Le ae
Contant sabre I seccibe OS normal y +27:16 Un miembros Meal se constraye a
me chinada pq si la tempera: con ai m
tura se incrementa a 200°F. (Suponer a pa
o linea pq (véase figura). Por razones prie se
e limita al intervalo de 0° a 60%, El esfuerzo! F

SX DPF

macenada en la barra si se asume que £ app

en energla de deformación i
ox ener de in carga P se doplica a

ur
Prob. 27.18
cola junta unida en cortante estes cuartos del esfuer 282
permisible a tension en la junta. ¿Cuál debe ser el
lr del ángulo @ a fin de que la barra pueda sopor
pi o ee
Petmacion U almacenada enla barra mostada coa

ta pegada control 0 61080 formación J mena mona
mt o iis siete ae 더 러 QUE
junta son 2000 Pi 100 pien 5

de ase e

mn transversal de la barra es 1,5 ple”. >=
plo

E Prob. 28-3
cio de es de

284 Unacolumna de un ef

Ny somete a las cargas de pha come un
a esingenecodarieie Pa

Me Venir pandeo. Calcular la cantidad. e
vet grado a la Ok

284 Una barra prismatic de se de 108 pn LOAN, He 3A = 7300 ma? yE AGP

o on a a a 288 "cts la cera de deformación PL
=: Fen Shoe 그 지 선 ptes! dad de volumen! ai) yl energia de deformación!

racer ccs

nas de rca de deformación U ORES
cid renee corm Ursa) MP OT)

~ a de

dad Ceeee table)
proporcionalidad

Dntos para Problema 2.85
7 Limite de

beso ee Módulo de propor

rane % elasticidad nalidad gz

Mural (be) 609) 69
Tino dale 62 30000 3600
as 0.284 30000 120000
Ale Où 10300 SO
eo 000 000 20

Una barra cónica son un diámetro den el 90
porte y longitud L cuelga verticalmente bajo su propio
150 (véase figura). Obtener una fórmula para la ener
fia de deformación U de la barra. (Sea y = peso es

módulo de elasticidad del material)

286

Pestfico y E

M feat

Una barra ton
sal

Iocónica AB de sección

3 sin de deformación en la barra, 5) Da

인 slargamiento 8 de la barra,

Prob. 28-8

289 Una barra ACB gira con velocidad angular
constante alrededor de un eje que pasa por Clube
figura). Determinar la energía de deformación Ub.
macenada en la barra debida a los efectos cen.
gos. (Sea L = longitud de cada brazo de la bar,
À = area dela sección transversal, E = modulo de
clasiidad y p = densidad)

2840 La armadura ABC mostrada en la
soporta una carga horizontal Py una carga vn
Pa. Las barras tienen la misma rigidez axial
(a) ¿Cuál es la energa de deformación el
dura cuando P, = 0y s6lo acta Py? (0) 20000
ra de deformación U cuando P, = Oy sólo
Aa Py? (9 ¿Cual es la cnería de

cuando actúan simultáneamente P y Py?

2841 Una carga de compresión P sei
‘mediante un placa rigid a tres barra que:
Sas excepto en que inicialmente a barr
ramente menor que las otras dos barras (
Las dimensiones y propiedades del en
Siguientes L = 1 m,clárea de sección
cada barra es À = 3000 mun mod

E = 45 GPa yla separación $=

Si valor dela carga P necesario

(0) Evalr la deflesion tal des

ida cuando en su valor

9 Determinar la energía de deformación U almace-
da en ls tres barras cuando P tiene su máximo va.
fr. (d) Explicar por qué la energia de deformación ひ
sos iguala PA/2. (Sugerencia: dibujar un diagrama
cargardefexión.)

311

2842 Cada una de las barras AB y BC dela ar-
madura mostrada en la figura tiene un área de sección.
transversal A y un módulo de elastiidad E. (a) Deter-
minar la energia de deformación U en la armadura
debida ala carga horizontal P. (0) Determinar la de
Alexion horizontal del nudo B. x

2849 Todas las barras de la armadura plana
mostrada en la figura tienen la misma rigidez axial

Mrobemaucaphi 2 131

Prob. 2.8.13

28:14 Una armadura ABC soporta una cara ver
tical P como se muestra en 12 figura. Las ds barras
(AB y BC son idtatias con mödulo de clastiidad Ey
ren de sección transversal A. El Angulo 3 puede va:
riarse al cambiar las longitudes de las Baras pe el
nudo B debe mantenerse a una distancia Z dela pa-
red vertical. (a) Evaluar la energia de deformación U
de la armadura. (9) Determinar el ángulo 8 para el
‘ual la energía de deformación es minima. () Deter
minar la deMesion yertical correspondiente & dela
junta B.

longitud L = 6

0.5 ple! y meda
¿pone que o,
alta hd

Probs.2.9-3 y 2.94

La masa del colar deslizante mostrado enla
90 kg. La barra gula vertical tiene und
3 m, area de sección transversal A
elasticidad E = 170 GPa. La
masa se eleva hasta una altura A por encima de i
brida y luego se sueit 51 se supone que no hay BE
dias de energia, calcular la altura À requerida para
producir un esfuerzo 0 = 400 MPa en la barra

sp

Prob. 29-6

FER 285 Unamortiguador de choquetp# Ale"

pls (véase figura), Si un vagon que PRES
‘aja a $ mph cuando golpea el resorte, ¿cule

Prob. 29-7

286 La tapa plana de un recipiente ince
2 a un brida por medio de ses ori, comose
la pane () de a figura. La longitud de
mn deso la sand ao
mcs inn e deta ct
na de nión ánimo oy SUPER 토
Sain se ee con rmie ara Js ls
man e og de premia dd, cono
a par) dea gu. Qué face
nn eda ara er os ble is
2
97 Un root de 11802 6 son un Hae
oda ica AD de musa M oi LE
ts Un jo psa de ma A, am Kr
re na ura Oir (rm
Sten maxima ddl pun Bs pane
19,9 e ene durant inact (ESA
で pa a M, s mucho mayor que M4)

Prob. 28-8

ez

298 Una barra rigida AB que tine una masa
17 = 1.0 ke está aticulada en À y sustentada en 8
or una cuerda de nilôn BC que ne un re de =
Po transversal A = 30 mn y E = 2.1 GPa (use
ey Sia baraslvan astas mio aura Y
a) sueña, ¿cuál es el esfuerzo märimo 9 en 보
cuerda?

299

‘Una pequeña pelota de hule (peso W = 1
2.08 seat à una plea de madera mediante una ire

nda de caucho (vase figura) La font Hirt

ati eL = 2 pl, su area de sera wanes
sos ply su ml de sidad sE = 28)
esla velocidad y de la pelota cuando aba
{Scopus de haber sido golpeada por
‘ana longitud total

e

ps. ¿Cu
ona la palta (
gays liga de caucho se estira
Gc 48 pi) Supnase un compan
Sa dela liga, y despreciar la me

Dario de elevacion dela polla

20.40 Un collar detzante de masa if cae deste
20-10 on enero I Sa
eric (base gt LA Par MRS dela
아아 daneto de Y la pe BE ‘iene
sare Las longitudes delas de D son LY
emectyamete Eater

a nentmenie elástico con MA)

rar la drinn 0008.07 이

=>

debidos al impacto si

rob. 29-12

las dimen:

£ = 20008

10mm La = 300mm 1, = 100mm

29411 Resolverel problema anterior si las dimen:

0900 E
mática mostrada en 1
20m, didmetro の
00010 de easticidad £
rigidez = 1.2 MN/m o ln
bara. Un collar dslzame
desde una aura

200 GPa, Un resorte de
tala en el extremo de la
sa M = 20.0 kgcae
bre el resort, Detcrm
ye sfuerao de tension
“Comparar los resulta

jemplo 1 dela Sección.
an

Las tien AD y 00000
que puede mia 9, y módulo de elasticidad E. Cada
bara par la carga de uencia P ia Cara Úlima Pa
tones verticales correspondienes 8, yl del
ins deen el agama cargada,

Prob. 210-1

2402 Laarmadura ABC mostrada en la figura
diseña para soportar una carga última = 9OKN. Cie
as Areas de sección transversal minimas TS

las Avs y Au de los miembros AB y BC, respective:

nente, i el materiales elastoplästico con un esferas

de fluencia o, = 225 MPa,

Ye
Prob. 2.10-2

2103 Una armadura simétrica de dos barras ABE
que sustenta una carga P (véase figura) se construye OF
un material que tene el dlagrama es

"osado. Cada bara en un ra dec NE)
sal A = 0.4 plg Determinar la delexión vertical
nudo Bsp = 14000 1b.

2104 Dos barras idénticas 4B y BC SO
una carga vertical P véase figura), La

hechas de una alaión de aluminio 0080

er deformación puede representa A
‘mente por el diagrama bilineal mostrado: El

la sesión transversal de cada barra eb =
Calcular la delenión vertical dela Juni

i A uemawcepues 195
20000,

120 ple

20000

10900

=f, = 24 1p

E = 10 10 pi

Prob, 2:10:

iagrama cagadeeión (2 vers) al emplea

gites unidado y valor ms LA = 10,
‘ces adimensional, A = 1

da uno de os siguientes valores de la cargas P = 8 ky
16%, 24 k, 32 k y 40 k, A partir de estos resultados
trazar un diagrama carga-deflcxión para la estruc
2105 Una armadura simple ABC sostiene 40
carga P = 28 k (ease figura). El material de lis alga desu extremo super de
tiaras tiene el diagrama esfuerzo-deformación bil

eal mostrado en el problema anterior; el mismo

ara el material 69” =
are para tensión y compren. 1 (Expos como uña nc
wl material y ls cons

Las Areas de sección transversal de las barras
‘cas de cien transversal delas batas APY pra, el peso am

BC son 1.5 ple y 3. pl, respectivamente. DIG
. (ey ん
ar ls, vertical 6, y. de la É e vericalmenteso-
components horizontal y ve sia rg que cui,
deflexion del mudo B de la armadura. 2008 ra remo feo te

2108 La armadura simétrica ABC mont
figura sosticne una carga vertical?

von idénticas con área de sección th
ka L Asumir que la relación entre
formación et dada por la ecuación:

ec una fórmula para la defexión
Junta 8 en términos de Py A, La D my k“

=

thi Patra
ig 290 MPa.

Prob, 2.10-11

Prob. 210-10 NN Prob.2.10-12

‘24044 Una fuerza P es cargada por una viga ho barra rigida. Cada alambre tiene un Area de sect
rizontal y a a soporta el arreglo simétrico de ansversal A y longitud L. Determinar la carga:

aro varas ques muestra enla Agur, Cada va. Mun のは do ee

la tiene un Area de verein 2, del punto B, la carga última P, yla deflexión dad:
hecha de un. punto 8 cuando la carga alcanza el valor Pas Di
fuerzo de también el diagrama carga-deflexión que

a AB eh soporiada por ere P contra la denon del AIN

Dor una fuerza Pen tu "21043 | La armadura en AGB

Hoch de un mata iC alambres idénticos da enla Mgura se conato co gM
hechos de un material elastopläsico (esfuerzo dl

ransversal À y

atrial lasoplásico que tiene un es
end o, Determinar la carga lim 及
*21012 Una barra rigid
un fulero en C y cargada

Problemas/Capitulo 2 137

de 200 mm? y cada una de las dos barras interiores un

área de 400 mm, El material es elastoplástico con
esfuerzo de fluencia 0, = 240 MPa y módulo de elas-
ticidad E

= 200 GPa. Determinar la carga de fluen-
cia P,, la deflexión correspondiente 6, del nudo E, la

carga ultima P, y la deflexión correspondiente 8
Después, construir un diagrama carga-deflexión.

Prob. 2.10-13

CAPITULO

Torsion

3.1 INTRODUCCIÓN

La torsión se refiere al torcimiento de un miembro estructural cuando se carga.
con momentos que producen rotación alrededor de su eje longitudinal. Este tipo de
carga se representa en la Fig. 3-1a, que muestra una barra recta, empotrada en un
extremo y cargada con dos pares de fuerzas. Cada pareja de fuerzas forma un par
‘que tiende a girar la barra alrededor de su eje longitudinal. El momento de un par de
fuerzas es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia entre sus líncas
de acción; así que, el primer par tiene un momento 7, = Pyd, y el segundo tiene un.
momento Tz = Peds.

Por conveniencia en la representación de pares se indicará el momento de un
par mediante un vector con doble punta de flecha (Fig. 3-10). La echa es perpendicular
A plano que contiene al par, y el sentido del par se inaica mediante la regla de lamas
tho derecha para vectores de momentos. Una representación opcionales el empleo de

Una flecha curva que indica el sentido del giro (Fig. 3-10). Los pares que producen

torcimiento de una barra, tales como 7; y 731
sionantes, pares de torsión 0 torques.

En este capitulo se plantearän fórmulas para los esfuerzos y deformaciones nd,
metidas a torsión. Constituyen ejemplos de tales
“de transmisión de maquinaria. También se consi

dc la Fig. 3-1, se denominan momentos or-

ducidos en barras circulares sos
barras los ejes y árboles (o flechas)

Tommi Tym Pas

四

po utilizado en er
ada de OT de configuraciones MA
po e ados que los presenta
ES
RAS CIRCULAR!
Son cular su torsión

3,2 TORSIÓN Di sn transversal
q. ip, 3-22). Una barra en esta forma

nos (Fis
= demuestra que

a pura. Si

id a tor idos alrededor

je longitudinal, de un
quierdo de

ejemplo, si se fija el extremo izq

10 al otro. Por

tn Pa derecho girará un pequeño ángulo ㅇ con respecto al
0 SEN EI Angulo 6 se conoce como ángulo de torsión. Ade-
más, una 11 ia supe ia barra, tal como la línea nn, girará

o jon nn”, Debido a esta rotación, un elemento infinitesi-

ela superficie de la barra, tal como el elemento de longitud de
\dquiere la forma de un romboide. Este elemento se indica
donde la porción discoide se separa del resto de la barra.
del elemento se designa por abcd. Durante la torsión la
secc a gira con respecto a la cara opuesta, y los puntos by € se
respectivamente. Las longitudes de los lados del elemento 00

otación, pero los ángulos de las esquinas ya no miden 90°.

el elemento está en un estado de cortante puro (véase Sección 1.6)

deformación por cortante es igual a la disminu

La distancia bb es la 101
Bulo do, que es el ängu
a. De esta manera, se de

[04 de un rc pate de ado sabrendio por el
mina que bb" = rd. Además, la tania ales gua

EN Ga,

Fig.32 Barra

je paras crcutres 141

a dx, ta longitud del eleme
ds a mento Al sustituir es
sas cantidades en a ecu

omo la expr ss
al, tanto $ como dé/dx son e eme

rde
== 00
de on)

zon de cambio dé/dx es constante en toda la
transversal está sometida al mismo par.
array la Ec. (0-1) 10

Enel caso ope
caso especial de torsión pura, la
ee
Por lo tanto, se obtiene! fi conte

i se obttene® = 6/L, donde Les la longitu db

62)

se basan Únicamente en

«vierta que las ecuaciones anteriores
Iquier material,

son válidas para una barr ira de Cl
Jastico, lineal o no lineal.
co Vara cccla ene los semis monada: N la Fig
3.24, Para un material lincalmente ea € cortantes se relacionan.
72% e erormaciones angulares POr 0000 de conante (E.
co or lo tanto, dela Es, EL) CUE

Gy = 010 63)

para la torsión pura. A‘
conceptos geométricos,
tanto elástico como ine

El esfuerzo cortante zei

)y 03 relacionan as

LasEs. (2
ede ta fecha, cone

iad en cortante.
en la super

donde Ges el modulo decai
donde Go og aus pr 때 아 0"
deformacions por unidad de oi

le eran tte ara pode decease
formar aa empleada PA à :

Rs adios dels

ae los ic 1 aan 6098
raion price ext à
shed de se caro cora
ior emp an Bono

eS formacion angular y el esfuerzo cortan =
jones establecen que la GR distancia radial » desde el samen Y
a cet vat pr un ia superficie externa. La distribu:
ED ra en la Fig. 3-2c me
ue

lemento de

us de la barra se ilus

4 nee triangular. ir
ne A a el plano de la sección transversal se
C que actúan en el pli

sees Este resultado proviene del hecho de que
À más frag en cortante sobre pla:

ción de

rae les de la barra (véase Fig. 3 7
ad en In Sección 1.6. Si un materi i

i que sobre planos de seciones transversal
PA le madera, las primeras fracturas debidas a la torsión apa-

Tongitudinal

tna bara circular echa de
5 ¡cie en dirección longitudinal.
«or ante puro enla superficie de la flecha (Fig. 3-2a)equi-
Sabre un elemento girado un ángulo
ion 3.4. Por lo tanto, un elemento rectangular con
dS ae respecte al eje de la 06060 estará sometido a los esfuerzos de tensión y
ao ón señalados en la Fig. 3-4. Si una barra sujeta a torsion está hecha de un
Sal que es más frágil en tensión que en cortante, la falla ocurrirá por tensión a
Tea de una hélice a 45° respecto al eje. Es fácil demostrar este tipo de fall ise
<e un pedazo de tiza o gi ordinario.
La relación entre el par aplicado T y el ángulo de torsión 6 (Fig. 3-2a) puede de-
mminarse s se parte dela condición de que el momento resultante de los esfuerzos
ortantes que actian sobre la sección transversal (Fig, 3-2) debe ser estáticamente
quvalente al par aplicado 7, La fuerza cortante que actúa sobre un elemento de
tea dA (porción sombreada en la figura) esr dA, y el momento de esta fuerza res-
pesto aleje dela barraes 1944. Mediante a Ec. (3-b) se establece que este momento,
igual a Gi! dA. El momento torsionante total 7 constituye la suma, sobre toda el
área de la seción transversal, de tales momentos elementales; as,

Elestado de esfuerzo
eas, como se explica en a Sec

T = [ce da = G0 | p* 44 = Gor, (a)

1,= [ptda 6-5)
am
vomento polar de inercia de 12 sección transversal circular, Para un
roy dima dsl monet D de rc tae Rp D 8 6680.06

ad
2

Fig. 34 Esferas detemión y
pren que aan sobre us

str onen rade a9 a
HH se

POLYS Eaters count
10989 enna bas a

De la Ee, (a) obtenemos 32 Torsion do borras ircularos 143;

7

6=
[ ar 07
la cual muestra que 9, el am
proporcional al momento
Gl,, conocido como la righ
9, igual a OL, es

le de on pr unid e longi detente
ie orsonal tal eb. E rg e 한 00006

TL
+: es

Elángulo de torsión @ se mide en radianes, Si se emplean unidades

nacional, el momento tonionane 7 debe express en ewton Se
longitud L en metros (m), el módulo de elasticidad en cortante G en pascals (Pa) y el
momento polar de inercia J, en metros a la cuarta potencia (m‘). Asimismo, si se
emplean unidades del Sistema Inglés, T debe expresarse en pulgada-libras (pig 1b), L
en pulgadas (plg), G en libras por pulgada cuadrada (ps) /, en pulgadas ala cuarta
potencia (plg%.

La cantidad GI,/L es la rigidez torsional (unitaria) de una barra circular, y
representa el momento requerido para producir un ángulo de rotación unitario de un
extremo con respecto al otro, También, la flexibilidad torsional se define como el
reciproco de la rigidez torsional, o sea L/GJ,, y es igual ala rotación producida por
un momento unitario. Las expresiones anteriores son análogas a la de rigidez axial
EA/L y de flexibilidad axial L/EA (véanse 605. 22 y 23).

La Ec (3-8) se utiliza para determinar el módulo de clasticidad en cortante
G para varios materiales. Por medio de la realización de una prueba de torsión sobre
un espécimen circular, puede determinarse el ángulo de torsion $ producido por un
momento torsionante 7 conocido. Luego puede calcularse la magnitud de G me

ant a Ee. (29) :
lane ES. D e , cn una bara cular somata a 10000

puede determinarse al sustituir la expresión para # (Es. 3-7) en la expresion para y
(Ec. 3-3); así,

69

회
mn,

E ablece que el máximo es
como trmala e torsion, sable quee máximo
por cional al ‘momento de torsion Le 5 radio r, ye
fuerza conan es Pme pola de ini ia av

xdt/32, se obtiene

Esta ecuación, que se co

sustituir r = d/2€ 4, =

167
ton 6:10

parra sid
To
as unidades del esfuerzo cor
qe dela Es- (3-40. Ls er pat y libras por pulgada cuadrada,
cl pican unidades del SIS se emplean unidades del Sistema Inglés?
ceci da coadrada (D SÍ se EM
cas. Las barras huecas son mucho más eficaces

Barras circulares hue
poser de la sección transvers

Pes tartas macizas. Como se explicó en los pärra

0 y nulos en el centro. Por lo tanto,
uerza considerablemente por de

ar enteramente sólida son

len una barra eje no hueca se es
le permisible. Si son importantes

jonseja utilizar barras huecas.
la torsion de una barra circular hueca es casi idéntico al de una
Me. Las deducciones presentadas anteriormente para una barra maciza no

ra es hueca. Por lo que pueden emplearse las mismas
mación angular y y el esfuerzo cortante 7 (véanse
incia radial p que aparece en tales expresiones.

1 margen deriam donde res el radio interior y ra es el radio exterior dela

nento aplicado 7 y el ángulo de torsión por unidad de
la Ec. (a), excepto que los limites sobre la integral para

rome cia 1, (sEase Ec. 3-5) son p= 713 p = 4. Luego Jy, que es el
omento polar de inercia del Area anular indicada en la Fig. 3-5, es
1 CET 6-12)

nes puede emplearse siguientes formulas apronimadas (ease Ca
‘en el Apéndice D}: : > pr

G13)

Fla. 35 Bara ciclo ca

M cid e tdo oy om a de ler Pre do deseos
SP von RE se

145

on la Ee. (3-13). Por supuesto,
ciente para evitar la posibilidad!

Una barra eje maciza (Mecha) de acero de 60 mm de di

5 metros diseña mediante
1 ern m MPa un ángulo de torn ade or ued e
barra, s se supone que G = 80 GPa, permisble 7 que debe aplicas la

El par permisible 7, basado ene sf
q erzo cortante permisble e obtiene dea formula d
torsión Ya, = 167/xd? (véase Ec. 310). As, obtenemos sr

Rd pr

= © (0.060 me0 MPa) = 1700 Nom
© 140 MPa) = 1700

Con base en el ángulo de torsión permisible por unidad de longitud, obtenemos el per permi-
sible 7, de la Ee. (3-7)

1, = aug = 00705 )oo%ame( 1854) (2)

El par máximo permisible de torsión es el mis pequeño de estos valores; Jugo, 7 =

‚nstruidas del mismo material tienen la misma longitud
radio interior de la primera es 0.6. Sise supone que

mento torsionante, compararlos esfuerzos cora
Comparar los pesos delas dos barras 508

Una barra hueca y una barra maciza co
y el mismo radio exterior r (Fig. 3-6) El
“ambos elementos se someten al mismo 때
tes máximos desarrollados en las flechas, También,
Angulos de rotación. N

Los esfuerzos cortantes máximos son
pares 7 y los radios r son los mismos, Para la barra

sto quels

proporcionales a 1/1, (tate Es. 3-9) pus

pos

Fig. 96 Ejanplo2

ci cate UE” Pas de rotación guardan la misma Proper

0.2, 0sea

base Ee. 33).
barra o fecha

me 1 PO a ey el peso dela hucca es propor

Pepe es proporcional
por be. peso de
- (06) = 0647

(64% del peso de la primera

samo, el peso de sa última es na 이래

la superioridad inherente
TP 9 y ángulo de rotación, pero 36% menos peso,
cs para otras relaciones entre los radios inte

Esos os muestran
jemplo la barra hueca tien 1
depuesto, esas proporciones serän diferen

TORSIÓN NO UNIFORME

Como se explicó en la secciön anterior, torsión pura se refiere a la torsión de
ma barra prismatica sometida a pares que actúan únicamente en los extremos. La
torsion no uniforme difiere de la torsión pura en que la barra no requiere ser prismä-
la y los pares aplicados pueden varia en toda la longitud, En tales situaciones, se

nalar a barra mediante la aplicación de as fórmulas de torsión pura en for-
ma especializada, como se muestra en los casos siguientes.

Un ejemplo de torsión no uniforme se representa en la Fig. 3-7, la cual muestra
ma barra constituida por dos segmentos de diferente diámetro y con pares aplicados.
en varias secciones transversales. Cada región de la barra entre cargas aplicadas ©
entre cambios en seción transversal se encuentra en torsión pura, por lo que ls fórmu-
las obtenida en la seción anterior pueden aplicarse a cada parte por separado. Para
al efecto, es necesario determinar la magnitud y sentido del par interno en cada re-
sión. Luego, a partir del par interno, el esfuerzo máximo y el ángulo de rotación pa-
racadaregión pueden calcularse con las Ecs. 0-9) y (3-8), respectivamente, El ámgu=
lo de torsión total, de ela =

le un extremo de a barra con respecto al otro, se obtiene por Si
matoria mediante a fórmula general

en

Flo. 37 Barra jeta a torsion

Fig. 38 Barra con sección sal >

variable

nes «s la cantidad total de regiones. En Las scciones donde a ibn to sam
bia bruscamente se presentan grandes esfuerz lg

mento de longitud dx (Fig. 3-80) es

4

기
Gly

de inercia dela sección transversal a una distancia x

donde J, es el momento polar

donde o de tor alent os pe dela ar
se N

ve 619

en algunos casos, pero en caso
Es. 6-14) y (0-15) pueden
vs huecas de sección

en forma analítica
métodos numéricos. Las
fo macizas como para barr

Esta integral puede evaluarse

contrario debe evaluarse POF
emplearse tanto para barras sólidas
transversal circular

00100 = 36
egy Ts da
A Cet eT De
d'A Gears eA a 따이

ero cone

RW W NMR MMA
하부

Eiemplo1
$ : que tiene on di

Una barra maciza
en una chumacera en D
Mecha está conectada a un
poral en posición fa.

JWN DELA NNW

148 :

Fig 39 上
sngulo de torsion 6 enel euremo D. (Suponer que Ly = 20 pl, L L = 2008
re os se determinan de la formula de torsion 7, 167/xd
Rental momento de torsion interno en cada parte de la flecha. El par
“Hp, donde 7 epsenia el momento de rin intro en cada parted ech, Eat
BES D porque no exis ninguna carga aplicada en D. De Ba Cel par sig
1 de Ti y Ta. ASI obtenemos

Jo À a Bet par es la su
T-Rplek Te=Ti=0pEk Ta=0

os máximos correspondientes se calculan co

16T, _ 16(32,000 pl)

2 6040 psi
d 700 le)
6T _ 16(12,000 pieb)
(re! ED) 3 260 psi
d 303.0 le)

El ángulo de torsion ¢ en el extremo D (con respecto al extremo A) se determina de la Es
6-16) como sigue

AS]

a PERO) + (12 GO pe) + 0]

00109 rad = 0627

imientos representados en ste ejemy
nos jemplo también pueden emplearse para flechas 0

ras jes que tienen porciones de diera,
de diferentes diämetros © incluso de diferentes materiales,

‘tema tacos (Fi: 3-10). E dmeo dea EMA, tuer

mula para el Any

Dado que el momento polar de incrca de a sección tra

a distancia x dede el extremo À, den
«primero que d dmere な una dnd x Sl ome 0

ento polar de inercia es

or

Inna att

También, el par 7, es constante e igual al par T aplicado en los extremos. Por l tato,
jon para el ángulo de torsión (Ec. 315) resulta
e Tax
pr
al

la barra, G el módulo de elasticidad a cortante del mat

donde L esla longitud de
mina por ls Ec. (0). Esta integral es dela forma

i
trey

Con la ayuda de una tabla de integrales, s determing

ade a

fre er
rer
són de ta integral

Ma ab yc El result

Ahora podemos concluir la evaluac
in swwituir en la Ee, (d) ls expresiones

ara (11

car)

er

ye re

sca eae ora
co one a

a Ejemplo 2 de ¡Sección 2.

seen una fo
| vértice del como
como se izo

Elanäliis anterior pudo realiza
ra orge del distancia x84
ura haci la iquieda enla Fig 3-10.

150

Una forma conven

mL (8011)

en el extremo A. Por ejemplo,
on de ana barra prismatic de
co de =

fo de rotación de
e 1 extremo B.

rd2/32 es el momento:
sel angul

TL/Gly que €
‚btenemos 6 = (729767 どに ), A
Tisider debido a un mayor diámetro en

Sif = 1, obtenemos à

À ya que se incrementa

CORTANTE PURO
1e a torsión, actúan esfuer-

o una barra circular, sólida o hueca, se somet
Cuando una bi 1 se

205 cortantes 7 sobre las secciones transversales y sobre planos longitudinales,
¿e explicó en la Sección 3.2. Por lo que, un elemento esforzado 0000, pequeño y del-
gado, ubicado entre dos secciones transversales y dos planos longitudinales (Fig.
3-11) se encuentra en un estado de cortante puro, ya que los únicos esfuerzos que
actúan sobre este elemento son los esfuerzos cortantes sobre las cuatro caras latera-
les. La dirección de estos esfuerzos depende de las direcciones de los pares aplicados
7. En esta explicación supondremos que los pares giran el extremo derecho de la
barra en el sentido de las manecillas del reloj cuando se observa desde la derecha
(Fig. 3-112), en consecuencia, los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento
tienen las direcciones indicadas en la Fig. 3-11b. El mismo estado de esfuerzo existe
para un elemento de forma similar ubicado en el interior de la barra, excepto que la
magnitud de los esfuerzos cortantes será menor ya que el radio del elemento es más
pequeño.

Los esfuerzos que actúan sobre

105 inclinados respecto al eje de la barra
Pueden determinarse si se considera el elemento esforzado 0600, el cual se indica
nuevamente en la Fig, 3-12a. La figura muestra la cara frontal del elemento, que está
libre de esfuerzos, y los esfuerzos cortantes 7 que actúan en las caras laterales. Para
Mosa de referencia, e a figura se representa un sitema de ees xy, Para obte-
ner los esfuerzos sobre un plano inclinado, se corta al elemento a lo largo del
ee emento a lo la plano
Te, 906 es perpendicular al plano de la figura y cuya normal n está inclinada un
Mento 06000 al sie x (Fig. 3-12a), Luego se separa como cuerpo rigido el ele.
clemente Pte (Fig. 3-12b), Sobre ls caras izquierda e inferior de este
© actúan los et antes 7. Sobre
‘antes r. Sobre la cara inclinada deben actuar si

(00 ;

uerzos cort

Pas a
Yo SE ae can str un 地
‘femento para una bara sujeta

u 151

to

PT
©

Fig. 9-12. Análisis de esfuerzos sobr panos inclinados
para un elemento en cortante puro

multneamente esfuerzos normales o, y esfuerzos cortantes 7,, que en la figura se
muestran actuando en sus direcciones positivas.

Los esfuerzos sobre el plano inclinado pueden determinarse partic del
equilibrio del elemento triangular (Fig. 3-12b), que está sometido a fuerzas en AR
en daras. Estas fuerzas pueden obtenerse al multiplicar Los esfuerzos por las dress

a elos que actúan. Por ejemplo, la fuerza ola cra ile SA» dond
la dirección y negativa. Al denotar por 4

Ages el area de la cara; esta fuerza actúa en
nd la cara inquierda y dado que el espesor del elemento enla re
el cara lnferiores A tan y ol brea del cara WIE SE secs.
plas los esfuerzos por las Aeas sobre las que sis APN 20 16000
아아아 아아 sobre todas las caras del elemento (PIE 12). Las fuerzas
que actúan sobre las caras izquiert icden fácilmente deli-

"da e inferior del elemento pus
aan an ponentes que actoan perpenclleres J ETES ta cara inclinada (cs
10 es, en las direcciones de 07 y To respectivane

lento). Luego podemos formular dos
“una de estas direccio-
e ccoo estático para el elemento, una en Sada d
a wer ecuación, obtenida por la ue de Mara

la dirección de an 65

au sec = vAo sen + FA lan 00050

24 sen 8 605 0 Gita)

152

Ay tan 0 send
jo cos 0

(3188
sen?)

troducir las identida
‚den expresarse en una forma opcional al introd
Estas ecuaciones pueden ex

Luego las ecuacion
en20 = reos 20 G-19a, b)

3 os esfuerzos normal y cortante que actúan sobre
ano Iccado en funcion dl esfuerzo conan au ación sobs [OSB
8. 3-12a) y en términos del ángulo 9 que define la orientación del plano
La forma en que varian os esfuerzos , y y según la orientación GR
nado se ilustra gráficamente en la Fig. 3-13. Se aprecia que para = 0°, que es lac
ra derecha, o cara x, del elemento esforzado de la Fig, 3-12, la gráfica indica o,
y % = 7, como era de esperarse. También para la parte superior, o cara y, del elemen-
© ( = 90°), obtenemos o, = Oy 1, = —r. El signo menos significa que el esfuerzo
cortante actia en la dirección 7, negativa. Estos son los máximos valores numéricos
dels esfuerzos cortante <, que actúan en cualquier plano.
El esfuerzo normal o, alcanza un valor máximo para = 45°, donde el esfuerzo
de tensión es numéricamente igual al esfuerzo cortante 7. De modo semejante, 9,
tiene su maximo valor negativo (esto es, compresión) a 0 = —45°, Para estos mist
mos ángulos, el esfuerzo cortante , es igual a cero. Así, un elemento esforzado gira:
dan Angulo de 45° esta sometido esfuerzos iguales de tensión y compresión en dir
neones perpendiculares pero no se presentan esfuerzos cortantes (Fig. 3-14). Las
ones de los esfuerzos normales señalados en la Fig. 3-14b son las correspon.

Flo. 3419 Gratca de esfuerzos

Fig. 3-14 Elementos esforzados ba

dientes un elemento anetdo a sueros
indicadas en la Fig 3.14. Silos ee
了 -Ha se presentan en sentido inverso, los eturans normals auc aan 06 0 16
nos a 45° también tendrán sends 000006 000
cn Si clemento rado 6 ra un no dede", e per
nuläneament esfuerzos normales y cortantes nas cars ter, si ls Es (199
(G-19). Estas condiciones de esfuerzo más generales se explican en el Capitulo 6. ce
Las ecuaciones obtenidas en eta sección son aplicables a cualquier elementos
forzado sometido a cortante puro, independientement de quee elemento pren
ca a una barra sometida a torsión 0 algún 0110 elemento estructural, Tambien, da

cortantes que actúan en las direcciones

do que las Ecs. (3-18) y (3-19) se obtuvieron únicamente partir del equlibrio, son

válidas para cualquier material, tanto si es linealmente elástico como si no 10 es
La presencia de esfuerzos de tensión máximos en planos a 45° respecto aleje x

explica el hecho de que los materiales frágiles que son débiles en tensión, fallan en

torsión al fracturarse a lo largo de una superficie helicoidal a 45° (Fig. 3-15). Como

se mencionó en la Sección 3.2, este tipo de fala es fácilmente perceptible sise

una tiza o gis como los utilizados en el salón de clases

à las deformaciones (unitaria) que se presentan cuando un
material se somete a cortante puro. El elemento esforzado ilustrado en la Fig, 3148
Trperimenta deformaciones angulares 7, que distorsionan al elemento, como se
Pa en la Fig, 3. 16a y según se explicó previamente en I Sei 1.6. La dais
nación por cortante y se mide como el cambio en Angulo entre dos planes die oo
if en la Pl, S16 la ted es EEE
dc la esquina inferior izquierda del elemento esla deforn
ddida en radianes. Este mismo cambio en Angulo 00406

Consideremos ahor

la por torsion de un

Fa fr por aricamieno a
D o argo de una super

fecal 45

706 316. pewmeewe m srane uo: a) lento a

た 6-20)

Para tement = 4 (Fi. 3-60), podemos emplarl relació de Poison yla
in de Sen Low es uniaxiales y asi obtener las deformaciones normales. EI
ezo detesón , = (para = 459 casona una dformacisn Pont gua
PIE Tai ro un domain neu de pen ad

a -vr/E, donde » es el módulo de Poisson. En f

ara = 135° ie Poisson. En forma semejante, el esfuerzo 9, = 一
a en reduce una deformación negativa iguala —r/£ y una deformación
positiva en direscin perpendicular igual a 7/, Por lo tanto, la deformación nor:
les ¡rección a 45° (esto es, en la direccibn del esfuerzo normal po-

Conante pure 155
'zamiento en la diresciön
Soncuerda con la forma dele

na un lan
a 845" yun acorta

lemento deformado

ortante puro (Fig
ado (Fig. 3-16b) tampoco.
Esta observación coincide
, que señala que el esfuerzo 0, = y que acta a

+ que actúa
or lo tanto, la reducción de

sor debido al esfuerzo de compresión a 135%. ae

nes y y € (Es. 3-20 y 3-21).
\odulos de elasticidad E y 0.

mplo

Una flecha circular hueca tiene un diámetro exterior de 100 mm y un diámetro interior de 80
mm (Fig. 3-17). Sila barra se somete a un par de torsión T = 12 kN-m, ¿cuinto valen lose
fuerzos máximos de tensión, compresión y cortante?

Fig. 317 Ejemplo

so valores máximos delos tes sueros on numéricamente uae, ae 2240 0
esfuerzos son num is
planos dif smo es máximos se determinan meciane la fórmula de or
iferentes. Los 내

RON 106 MPa

cian sobre la norm
Los fur conan minimos me 7 y lovee
16. como se inden en elemen

‘al eje (elemento 2).

sobre planos a 45° respecto
A

em

5 08
RELACIÓN ENTRE LOS MÓDULOS
DE ELASTICIDAD E Y G 5

la Fig. 3-18a. Se supo-

dus = Y2 he

©

gitud con la deformación normal e y el esfuerzo cortante 7.

El incremento en longitud à, ser
y ise utiliza In geometría del clone
triángulo 050 (Fig 3.18),
Fig. 3-180. El angul

sea 1/4 - 9/249
lado restante bd del tri
inicial dela diagonal

una mitad del rombo ilustrado en la
la mitad del ángulo ade del rombo,

4 longitud del
1 ala longitud

Jados ad y ob del triángulo
tga ce nl nen long 1

ni depor Lu stant spa

ci 1080.

A+au
9

Una linea ae, perpe # Relación ent ios medion
Una linea 06, perpendicular a 1a ia
diagonal en dos partes igual onl、 se traza des

de lesiona Ey G 157
de a, por lo que divide

ala
(= leg
a)
© al emplear la Ee, (6),

Mediante la identidad trigonométrica

costa —
用 = cos 2608 f + sena sen 月

sl cos cos À +sen E sen a

Al comparar las Ecs. (d) y(e), y también observando que y
consecuencia, cos y/2 = 1 y sen y/2 = 9/2), obtenemos

Adicionalmente, dado que = 1/G, obtenemos

Au = @
26

Estas ecuaciones relacionan el incremento de longitud con la deformación angular y

y el esfuerzo cortante r
Al comparar las Ecs. (a) y (0 vemos que

para un elemento en crite mars: Tete Alo o E A obte

E 623)
bee TD)

edades independientes de un material tine-
ocen dos de ellas, la tercera puede calcula

iativos de E, Gy» se enumeran,
ida por Poisson al utilizar el

Asi, evidentemente E, Gy » no son 0000!
almente elástico. En vez de ello, sise con
Je con la ecuación anterior. Algunos valores TERN

<n la Tabla H-2 del Apéndice 于 (La Ec. 323100 obteni
33)

valor 1/4 para »; véase Ref

EDIO
TRANSMISIÓN DE POTENCIA POR M

DE FLECI

HAS CIRCULARES

E empleo más importante de las

per
i lea propulsor de la hélice de u ción od
emitida depende dela magnitud

de os pedales de una bicicleta. La
camaño requeric
a una velocidad de

i tidad de potencia tr
idad de giro

Un prot omin de diseño

al que pueda

Pos permisibles para el material

2 transmisión de un motor (Fig. 3-19) 8l

+ angular a, medida en radianes por segundo (rad/5). La Techa trans.
neral, el trabajo W realizado por cualquier par de magnitu

de lo a través del cual gira dicho

Supongamos que la flecha o eje de
siante Tes igual al producto del par por
donde ación angular en radianes. La potencia esla relación con el tiempo
en el que se realiza el trabajo, 0
gr
2 dt
donde Pes el simbolo para la potencia y 1 representa el tiempo. La razón de cambio

do/dt del desplazamiento angular 6 es la velocidad angular ei por lo que

P=To (= radf) 6-24

Esa formula, que s muy conocida en fisica elemental, representa la potencia trans

sta por una fecha rotatoria. Si Ts expresa en nevion metros, entonces la Pos

tmda rea en wats (W). Un wait es igual a un newion metro por segundo (0 un

Joule por segundo). Si e expresa en pie libras,entonces la potencia resul en ple:

libras por segundo, ** =="
La velocidad angular también suele expresarse como la Frecuencia de rotación,

his mer e evoluciones por unidad de empo La unidad de frecuencia cl

na revolución por segundo (7). Por lo tanto,

rar:

Otra unidad comúnmente empl
o les empleada sel nimer eres

=a
mm

en las Ecs. (3-25) y (3-26), P: a

es, las unidades de P son watts si T esta en newt een

es T se expresa en pie-libras. een
nla práctica entre ingenieros, en Estados Unidos, la poteci

do en caballos de potencia (hp), unidad igual 50 pies. Ad ls bals de

potencia transmitidos H son los caballos de

2m7 _ 2007

2 TL W=mmT= pe
E

Un caballo de potencia es aproximadamente igual a 746 wats.*

Las ecuaciones anteriores relacionan la potencia transmitida con el par de tor
sión T'en la flecha. Por supuesto, el par se relaciona con los esfuerzos cortantes, de
formaciones angulares y ángulos de torsión a través de las fórmulas analizadas en Is
secciones 3.2 a 3.5.

¿Cul evel ikea sli ruedo pra un ne aa SE À debe transmit 40
EE 60 rpm in rebasar un esi permi なの
$00 rp cabin de potencia Hy par SL LE PIS mediante

la Ee, (227). Con tal ecuación, obtenemos

30007 33000640 bp)
Zen 200mpm

T= 350,1 pie

< ansmitirse por la Mecha
an por Ihe. par Tse obtiene de Ia fórmula denn

e maximo producido po

rie otro ela echa SU Ta POF

(Es.3.10). Al resolver al ecuación para

one

je to) t2 PLD _

A 5.35 ple?
PO e

van tric ken sede emplee ami O
à on pases pen a ea es gm se 04000 PONY
M) ape

Wait

ta) de 50 mm de diámetro es impulsada en À por un motor

10 Hz Losengranes en By C consumen
esfuerzo cortante máximo r en la flecha de

¡da transmitida entre À y Bes 50 KW, en consecuencia el p
Po soKW
af ~ 20 Hz

1 par tiene el sentido mostrado en la Fig. 3-200, El es
para la porción AB dela flecha o barra ej so

PEN) 324 MPa

0.0162 rad
Gl,” Woran

so que G = 80 GPa

Nm 479Nm HEN

de

©

eta Nes

In potencia tansmitid es 20 KW; en condec

owa
SN

a = 00078

AB. También

a UE ambas partes dela cha se teren ene mies,
tuercen en el mismo
do (i. 3.206,

MIEMBROS ESTATI
DUMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADO

Debido al tipo de ejemplos de torsión etuiados
podian obtenerse por equities. En comen ales ype ms

nte miembros estáticamente determinados. Por supuesto, los miembros

sion pueden ser estáticamente indeterminados si est :

puede or i stings por más な
necesarios para suministrar el equi esto. Los miembros or
sión de esta clase pueden analizarse al complementar las ecuacic ilibr
(Con ecuaciones pertenecientes a los desplazamientos (eto es pa

es de equilibrio
tibilidad) Los métodos de flexibilidades y de rigideces descritos en la Sección 24
ara miembros cargados axialmente, pueden emplearse también para miembros a
torsiön. Sin embargo, para los problemas tipicos de torsión que ocurren comúnmen
e sólo se requiere el método de Nexibilidad, por lo que limitaremos nuestro estudio
al método.
Para ejemplificar cómo se aplica el método de flexibilidades als baras en {os
sión. consideraremos el miembro AB señalado en las Figs, 3-21a yb. Esta barra está
fija en ambos extremos; por lo tanto es esáicamente indeterminada. El et
ne diämetros diferentes d, y den las partes AC y CB, respectivamente, SAL
viene Gon un par Ta en C. El material de la barr es el mismo en ambas PAT
lis son determinar los pares reactivos T. y T en los

Los objetivos de nuestro ani
i máximos y el ángulo de rotación 6 en la sección

extremos, los esfuerzos COrt
donde se aplica Te

Del equilibrio estático, obtenemos la
(vease Fig. 3-210):

a siguiente ecuación que relaciona los pares

1 +T=T

ec un gnc: ene ia
Santa ge ali rac 이
Sa la To Fs uo ali
ire Origin es os AC CB IN

0, Gr 6 な

Fig. 321 Barca esthticamenteindcerminada sujeta a tos

los momentos polares de inercia de las porciones izquierda y de.
ctivamente Ya que el ángulo de rotación del extremo Ben la
vación de compatibilidad es $, = 0, 0 sea

0)

cou se para hallar el par redundante 7,, el cual luego se sus

tituye en la Ec. (a) a fin de obtener 7.. Los resultados son

(3-280, b)

sección transversal constante, en forma tal que J,

2 = Ty en
se simplifican como sigue

G-29a, b)

stas ecuaciones ton análogas
Fijos (véanse Eos
Los esfuerzos c

A las de una barra cargada axialmente con extremos

1320
US isos en cad pare de abras bienn deta
ele 0
xf Near:

37 Miembros estiticamente ind
At siste ls Ec y ua terminados sujetos y torsión 163

eet,

ala + bo

Al comparar d producto ba, con pa
ene tes ae E OEY pene un

and A eden senta el mayor esfuerzo, ne

minaron los pares

la ara, se puede obtener el angus ann 9%

carga (Fig. 3218). Este Angulo es qu o e

porciones de a bara, dado que ams par at
quese present compatibilidad de rotaciones en €

Toad,
Hal + 02 (3-304, 6)

Stan en as ds porciones de
sein C cundo pea
tan dr dede
Asi, se obtiene : ion

STE Th at
0 Gin Gale +8) ea
© aprecia que si a = b = L/2 € lye = la = 1, el Angulo os

o

como se previó a partir de la simetria de la barra y de las cargas.

El ejemplo anterior representa el procedimiento que debe adoptarse cuando se
analiza un sistema torsional estáticamente indeterminado por el método de flex
dad. El método es completamente general y puede emplearse en una gran variedad
de situaciones, otra de las cuales se presenta en el siguiente tema.

Barras compuestas. Una barra compuesta se constituye de barras tor
sionales circulares y concéntricas, firmemente unidas entre si para actuar como un
miembro simple, Un ejemplo se muestra en la Fig. 3-22, donde un tubo hueco BY
"núcleo À se unen integramente para actuar como una barra sólida. Silas dos par
dela barra se construyen del mismo material, entonces l barra se comporte de 4
e manera que si estuviera hecha de una sola pieza, y odas las formals EE
a ne secciones previas pueden emplearse directamente. Sin embargo, HE

pr

ay

Fig. 22 Barra composts
‘dos materiales

7

deben ser los mismos para ambas par

a que
(si y por tanto deben girar la mism

16 4

©
Ga On

resolver las Ecs. (0) y (e) se obtienen los pares

ARC
T

Gr,

Ga

(32a y bj en la Ee (6),

arra pueden obtenerse al aplicar la fórmula de
los esfuerzos cortantes máximos y, y,

Tia?)

5 (3-34, b)
A, lación del es en el contorno exterior del y

ubo al esfuerzo 7, en el

Obsérvese que esta relación p

El esfuerzo cortante en el con 5 En

0 no es el mismo que el es
‘Aunque las deformaciones am

Y TORSION

‘Cuando un objeto se somete a una e
eneraia de deformaciôn es importante en analsb ik
cou de era (tas Gas ars dnkmi y en mas aero de
lr, el trabajo Wer igual lacra e dtormacin conta clea se
ción 2.8 para el caso de una barr en tension, Est Igualad cue el ala yl
energia puede emplear también pra obiene expresiones paa aci de eo
mación almacenada en un elemento en cortante puro. Con ese fin, se cons
nuevamente un pequeño elemento de material sometido a esfuerzos cortantes
sus caras laterales (Fig. 3-23a). Por conveniencia, supondremos que la cara fr
del elemento es cuadrada y mide cada uno de sus lados una longitud 4. El espesor del
elemento (perpendicular a la página) se denota por . Bajo la acción delos esfuerzos
cortantes r, el elemento se deforma en forma tal que la cara frontal adopía la forma
romboidal mostrada en la Fig. 3-23b, en la que la deformación angular se denota
por
Las fuerzas cortantes

3.230) se determinan al multiplicar los esfuerzos por

iergia de deformación. La evaluación

。 Y que actúan en las caras laterales del clemento (Fig
las áreas obre las que stos ac

y= the 이
forma el elemento desde su forma inicial
230). Para calcular este trabajo,
Ancas relativas a través de las cuales se trasladan las

a si el elemento se gira como cuerpo rigido has
la Fig. 323. Durantela

ls fuerzas Y 0810, POr
Y opuestos, Como
“desplaza horizon
Según se incre
1 Y. El despla-

según se def

Estas fuerzas producen trabajo
y deformada (Fig. 3-

(Fig. 3-23a) a su configuración.
necesitamos determinar las di

PO je sus caras se encuentren horizontales, como en

다아 no cuerpo rigido, el trabajo neto realizado Part
le as fuerzas se presentan en parejas y formas Een
aoe ee nears en a Fig 3-23, lacara oo cr on
Pe cio largo de la distancia à (com relación a 2 202 alor inal
menta gradualmente la fuerza cortante CEE

「

ta que dos de

=

ge

Ú

119.328. Elemento en coran puro

neal (F 24), La energía de deformación U almace:
Trab y W realizado por la fuerza

< del elemento no se trasladan a lo largo de sus,
no trabajan. / sustituir las Bes. (a) y (0) en la Ec.

mento es hit, la densidad de energía de deformación (esto

¡ación por unidad de volumen) es
639

ley de Hooke en cortante (r = Gy) y obtenemos las si
ia densidad de energía de deformación:

* G-37a,b)
36

de forma similar a las obtenidas para esfuerzos uniaxiales (Bes.

24 idad de energia de deformación en cortante puro puede visual:
zus ca bajo la curva esfuerzo-deformacion para cortante. Las unidades
para wen el Sistema Internacional son joules por metro cúbico (1/m y en el Sistema
Inglés son pulgada-ibras por pulgada cúbica (u otras unidades similares). Dado que
as unidades on ls mismas que para los esfuerzos, podemos también expresar M
om Tora que hemos ob

enido las expresiones para la densidad de energía de de
de deform

{ortante puro, podemos determinar fácilmente la cantidad de energia
Sion prs ig 2100060402 en una barra circular (hueca o sólida) sometida a tor
tiende a 1

de este tubo se mue
fuerzos sorta

an e oidérese un tubo circular elemental de material, quese exo

iene un radio p y un espesor dp, Un pequeño elemen
am se nn pesor dp. Un pequeño elemento

mo
2060

Se Ay
| SL
Fig. 324 Diagrama carga- 7 ; ae
almente elástico =p

La energia de deformación dU en el tubo elemental se determina a

densidad u por el volumen del tubo: res

dU = uLdA 10

208

donde dA = 26202 es el área anular de la cara exirema del tubo elemental, Ense

sia: la energia de deformación total de la barra puede obeners al integrar la
256)

expresión anterior para dU entre los limites p = 7130 = ra (Fig

Por supuesto, la integral en esta ecuación es el momento polar de ines la Por lo
toc, encrgia de deformaciön elástica de una bara circular en (OP PSS

mE
261,

aplicado T. Una ecuación optativa

érminos del par
"angulo de torsión (9 = 11/0

para el

Esta fórmula representa U en t
puede obtenerse al sustituir de la fórmula

luego,
e 638)
ar
Sistema lm
que determina Ven términos de Las idad rar ay pe
1 mins de ras unidades similares) en SECT =
ternacional y pulgada-libras ( mu

Sa y b) para torsión y las Bes

se la analogía entre las Ecs. (3
uniaxial

y melo i
Trabajo igual al área bajo la linea del diagrama, por lo que

cuación con la ecuación 4 = TL/GI, se obtienen las mismas

ara la energía de deformación (Ecs. 3-38a y b).

Torsion no uniforme. Sila barra tiene sección transversal circular de ra
ariable 0 si el par cambia a lo largo del eje de la barra (véanse Figs. 3-7 y 3-8),
lantear formulas más generales para la energía de deformación

ar este resultado, considérese un disco elemental de longitud dy

de un extremo de la barra (Fig. 3-8). Si se considera que el par que
¡ento es Tx y que el momento polar de inercia de su sección

38a) la siguiente expresión para la energía de

(3-408)

va para U se obtiene al aplicar la Ee. (3-38b) al elemento delon-

CA hig

ie (a

idad de longitud. La energía total

do/dxescih

ee ulo de torsión @ por

(3-400)

30

Cualquiera de las Bes. (3-404 ÿ b) puede emp

torsión como funciones de x. en

Una barra circular AB de longitud L sá fia en su extremo A been B Fig. 32
ideran res condiciones de carga diferentes: (a) Un par 7 que actúen et
par Ti que actúa enel punto medio へ y(G) pares Y, que clan si

a cada caso de carga, determinar la energia de deformación U

a en el extremo I, (b) un
Itäncamenteen BC Pa
nada en 12 bara
(a) Para el par 7, que actúa en el extremo, lenerga de deformación e a
mente de la Ec. (3389). 時人かーー

TL
(b) Para par T, que actúa en el punto medi C, aplicamos la Ec. (38) ala porción AC
de la barra:
THEA) _ Tih
201, “461,

(© Cuando actúan ambas cargas, el par enla sección CB e 7, y enla sección AC 6527
の , 2704. _ ST

+31,

nación produc por La ación simultánea de

ja forma eva ación ner
a sun de ls coc la explicación radica en ees de que
à uns Casat y no una función inca

Es importante apreia que a enegi de delos

las os cargas no es igual
diente de ls cargas. Como se id ción tl
cc de deformación e una función cu

RT ‘un par distribuido de

env (F8. 3-2),

La nl arr cuando se

10y re
D unidad de distancia, ‘alo largo del eje de la

cuerda de deformación almacena

Una barra circular AB,
Intensidad constante y por unid:
‘ner una fórmula para la canta:

nera de defor
SUN mw

Fig. 228. Ejemplo 2

TUBOS DE PARED DELGADA

n descrita en las secciones anteriores es aplicable a barras

circular, sólidas o huecas. Tales formas se emplean común:
nbros sujetos torsión, especialmente en maquinaria. Sin embargo,
como aeronaves y naves espaciales, se requieren a menus

de pared delgada y de formas no circulares, para soportar
escribe el análisis de miembros estructurales de este tipo.
e fórmulas que sean aplicables a una variedad de formas de sección,
bo de pared delgada de forma de secciôn transversal arbitraria.
ss ilindrico (esto es, todas las secciones transversales tienen las
sth sometido a torsión pura por pares 7 que actitan en los
or 1 de la pared del tubo puede variar alrededor de la sección
ume que £ es pequeño comparado con el ancho total del tubo.
‘antes que actúan sobre las secciones transversales se ilustran en
das str un elemento del tubo recortado entre dos secciones trans
as desea dx. Los esfuerzos cortantes tienen direcciones par
huycn alrededor del tubo. La intensi.
‚an ligeramente a través del espesor del tubo
18400) que para muchos fines se considera que +
cena eso, a manera en que varia y alrededor
od de ane de consideraciones de equilibrio
104 cortantes, considérese un elemen
tes longitudinales wh y a

x a de la

ik. 3:29. Se supone
raslada alo largo de la
en bse denota por
tra cara de la sección

Fig. $20 Tube de pared dada on forma de 0060 iene
transversal ad, actúan esfuerzos cortantes idéntico:
cortantes idénticos, pero en dirección opuesta,

Sobre las caras longitudinales ab y cd actuarán esfuerzos cortantes de la misma
magnitud que aquéllos de ls secciones transversales, ya que los esfuerzos cortantes
Bote planos perpendiculares son de magnitudes iguales (véase Sesion 1.6) Aa los
Poe cortantes constantes sobre las caras ab y cd son iguales ay Y. respective:

"os esfuerzos cortantes que actúan sobre las cars longitudinales produces
fuer E y Fig. 3298) que pueden determinarse al multiplicar los esfuerzos Por
las Areas sobre las que éstos actúan; ash

Estada Fem tado
«alas cuales ty te representan los espesores del tubo en by epee SAE Ade
ees oducen fuerzas Fa debidas alos efucrzos que atin €9 RACHEN be y ad.
es no se inciugen en nuestro estudio, À pari el culo del ele
en la direccion x, se aprecia que Fx = Fu © a

ab y ed se seleccionó arbitra

0 a anterior que el producto del esfuerzo.

Pamente, se puede apreciar en la ccuación
er el espesor del tubo es el mismo en cada Ps
a quero se conoce como el Majo de Carat 330 全 por la letra た

en

nujo de corta Dee

pee 3. 3-30), La distan

acid Jemento de área cs/ ds, y el

acción de la fuerza. E
lemento ds. El
a lo largo de

ntes se obtiene al

ene una interpretación geométrica simple. La canti
o sombreado que se indica en la Fig
ángulo tiene una longitud de base ds y una altura.

represent nitada por la linea media

Rat
=,

jones pueden calcularse el flujo de cortante fy los esfuerzos
quier tubo de pared delgada.

49.330 sn

29 Tubos de paros tag 173

El ángulo de tori6n e puede calcularse al considerar la energía dl

del tubo. Ya que los elementos del tubo están en cortante puro
energia de deformación 04 rt

26, según la Ec. (3-378), Por Io que la energa de
mación de un pequeño elemento del tubo, con área de sección transversal 7 de (F
3-30) y longitud dx (Fig. 3-29) es 5

au = räsax
e >

Por lo tanto, la energia de deformación total del tubo es

U = fau i

donde se considera el hecho de que el Mujo cortante fes un

de los signos de integrales, También notamos que 1 puede variar con la pos
alrededor de la linea media, por lo que debe permanecer bajo el signo de integral con
“ds. La integral interior es igual a la longitud L del tubo, por lo que la ecuación para
U resulta

PL pudo

개 해:

Al sustituir el Mujo cortante de la Ec, (3-43a), obienemos

7

ER

g

«como la ecuación para la energia de deformación del tubo en términos del ar 7:

La expresión para la energía de deformación puede formularse de manera más
simple al introducir una nueva propiedad de a seción transversal que se conos
Pa constante de torsión. Para un tubo de pared delgada, la constante de tor

Ab 045
q 44 9

a ecuación para in energin de deformación (Ee, 3-4) resulta
Con esta notación, la ccuación 5 si

2% 6-46)
«a misma forma que la ecuación para la nera de deformación

La a caso peca de una 080

Esta ecuación ten

En una barr circular (eae E am

reemplasado al MOMENT ria expresion para (Es. 348) simp
aa

La

Obsérvese que J tiene unidades de longitud a la cuarta potencia

ón mos con alguna de las
i un tubo circular

s (Eis. 3-45 0 emplo, € 0
Fig. 3-31) de espesor i ía, La longitud de la

y el área que limita son

es)

(6-47). La Fig. 3-32 muestra otro ejemplo; un tubo ree

ada. El tubo tiene un espesor £, en los lados y 4 en la cima y la

1 (en la línea media de la sección transversal) son h y b, res:
esta sección transversal, tenemos.

Ee. (949),
ion $ para un tubo de pared delgad:

alzado por los pares aplicados m

à puede determinarse al
Son la energía de deforma.

79 _ ru

2 "307

$ Tubos de pared sein 175

CO mm @

Fig. 933. Sessione bir
pated delgada i HE

de donde

の

uevamente observamos que

N ervamos que la ecuación es de la

diente a una barra circular (Ec. 38). Sa
rif pee emcee eT a 0 が an

La cantidad GJ se conoce en general como a rigidez torsional de una bara. En

caso de una barra circular, la constante de torsión J es el momento pola deine
i: en el caso de un tubo de pared delgada, Jest dada por la Ec. (149). Para otras

formas de sección transversal, se requieren diferentes fórmulas para J. Por ejmpk
Srmulas de J para secciones abiertas de pared delgada (Fig. 3-33) y secciones sólidas

T/G) (compärese con la

Uiare (Fig, 3.34) pueden obtenerse por métodos de análisis más avanzados.

Tubos circulares de pared delgada. = Consideremos nuevamente ot
o .presentado en a Fig. 3-31. El Majo de cortante y los esfuerzs cortan

este tubo están dados por las fórmulas

06

ran Es: (0-00) D suis An = e Tambo

es. 3.50 y 3-48) €

E es

RG

dos de ls ecuaciones derivada ateo

nid) Sia area hues de pare dl
19 es aproximadamente

Estos resultados concuerdan con los ob:
frente para una barra circular hueca (se

ipa tet

A A

coincide a Be. a +

Si ubo ido a torsion tiene paredes muy delgadas, 390 cuál

YS Por ejemplo, un tubo circular argo construido

"i toon rm ara
a En

j 5), Por lo que, en esta sección se
de M ar el pandeo por

ede basant grande COM

O ana ento base
ne que el espe

31) calculado
un tubo circular (Fig. 3-31) ca

ante en un tubo de a

&

sion para, (Es. b) resulta

712 +

de Unicamente de a cantidad (
0 nos dea Ee (383) la

lca que la formula

exo e, dela relación 1/1. Pa

ara valores de iguales

032,095 ÿ 0.58, respectivamente.
Aproximada para los esfuerzos cortanes da resultados
menores que Sa Partir dela fórmula exacta y que la xa.
otre el tubo se vuelve de espesor de pared relat

ES nabo de scion

177

Fig. 835 Ejemplo à

y están sometidos al mismo par de
some le torsion. ¿Qué relación guardan os sf

de torsión para los tubos? (Dosprecir lo legos de conca dl 3 14
als datar Job concentraciones de ers

Para el tubo circular, el rea Ay limiad
의 rea limitada por linea medi dela secó
a = #7 donde res ll de laica meda Talk, ie de en an
bo Ac Aa = 2nrt, y su constante de torsión es J, = 20007 (Ec. 3-48), pes
ara cl tubo cuadrado, el area de seción transversales Ay = 401, donde b sla oi
de un lado, medida a lo largo de la linea media. Dado que las áreas de sección transvers a de
amb an nla mima, emo: = 12. Tann, dr min poa el
dela sección transversal € Any = 89, y su constante de torsión es J, = PS (oMenida de
a Ec. 3-49). Md
La relación r/r dl esfuerzo cortante ene tubo dtclaral esfuerzo crane en bo
cuadrado (véase Es. 3430) es

ons 9

A m4
La relación de los ángulos de torsion (véase Ec. 3-50) es

e
ah 6

0617 이

Estos resultados indican que el tubo arcuir no slo tee un esfuerzo coranıe menor qUe

tubo cuadrado sino también una rigidez mayor respecto a rotación

*3.10 TORSIÓN NO LINEAL DE BARRAS CIRCULARES

ore paa toni de aras
circulares, se aplican únicamente si a era cumple con la ley de Hooke, CoN ae
Gran plan nia ara cuando o stes SOR a a
na. Pare als bras, 1 pote A
Sims, ls sesiones M fan ana a rs
de la barra (vease Fig. 3-26) se determina pora misma formu

je 106 radios
da del ie
leaso de

torsión elástica, a saber: 650
70“

alor supuesto de, el esfuerzo cortante ren
.0-deformación del ma

uier punto d
360), En la orila externa de la sección transversal, la deformación es

obtenerse del diagrama esfuerzo:
io correspondiente 7,,, puede obt

Omen torsionante T que debe actuar sobre la bara a fin de producir el
sttica (véase Fig. 3-366);

(3-56)

3-54), obtenemos p = 4/0 y de = dy/0. Al sustituir estas relaciones en la
36) y cambiar también el limite de integración superior por Ya, obtenemos;

개사 esn
simple. Representa el monas,
JE de Area bao a curve,

va esfuerzo-deformación (Fig, : :
YA del 1. Alton

x 3-36a) entre el origen y la
yoms

ara cualquier valor supuesto de 9, podemos calcular
rrespondiente. Entonces, de la Ee, (3-57) podemos
ir este procedimiento para varios valores de @, ob:
y 9. Con tal curva, podemos

¡va que representa la el
Para cualquier valor

Son Para tiene un esfuerzo de flcenc
ice deln an Se Merci pronunciado el diagrama
nuestra en la Fig. 3-370, El diagra

lación entre 7 :
dado de 7

Fig. 3.37

ma consiste en dos líneas rectas, la primera delas cuales representa comportamie

Jástico lineal, y la segunda, comportamiento perfecamente plástico. Mutis la de,
se comporta láticament y pueden utlizar ls fórmulas obtenidas e a Secon
a Fig, 3-0. La Muencia se nich en a or externa dela bara y se desplaza ro
gresivamente hacia el centro conforme se incrementan ls deformaciones Sas de
formaciones se vuelven muy grandes, la egón de Nuenca se prosa ala mitad dela
borra y la distribucion de esfuertos se aproximará a la disuibución unifome
à la barra, y su valor (dela Ec. 356) s

2 6:59

“Cuando se alcanza este valor del par, e presentan torsiones adicionales dela bars.
Sin incremento del par, Finalmente, los efectos de endurecimiento por deformación
an apreciables y entonces ocurrrán esfuerzos más grandes aut T> nn,

sde torsion 7, para el cual principal fluencia en la barra se determi
partir de la fórmula de torsión (Ec. 3-9), al sustituir 7 por 7

TRES 6-59)

que la relación del par último al par

AI comparar las Ees. (3-58) y (3-59), Se aprect

de fluencia es アーを 3.60)

ee idad de carga

Lo en el par hasta alcanzar su capaci

De este resultado observamos que
sólo soporta un tercio de incremen
última,

aa
. zo se conocen como es a el momento torsionante Ol
Tales esfucr20s e a rra circular sólida se carga hasta | aa

diagrama esfuerzo-deformac
a ley de Hooke

s os durante la descarga pueden obtenerse a
o elástico lineal (Ecs. 3-9 a 3-11)

¡dos durante el proceso de carga

7. = 203.

3-38, Los esfuerzos ale
parte de la figura; el par correspondiente e
rama de esfuerzos de descarga mostrado

dirección opuesta y el comporta

TAX 45/3,

obtenidos al superponer los esfuerzos causados,

en la Fig. 3-38c. En el centro de la barra el es

61)

(3-62)
ón opuesta a 7,. Este mismo procedimiento pa:
m learse con otros perfiles de diagrama:

PROBLEMAS/CAPITULO3

321 Una barr wld

por medio de pares aplca

Tira). Si langue

sas) Sel aguo dere
yla de

formación angus PO 32.

arr ene
longi

222 ed ORY Oe Orta Pel esfera cortante máxima es 13,500 pal case

ln EEE oia Go el Angulo de torsion se 8.

EG de na nach ome

maciza d

かや mh 323 ¿Qué long
Pa ¿Qué longitud se requiere para una Mecha
le acero de 12 mm de diämetro de forma ta

rmte permisible de 70 Pe ce run
umir G = 80 GPa) proa

à las fibras, de 250 pi

Si el ee eno un
2.5 plg, ¿cuál es el par de torsion máx
T que puede aplicarse?

sp

diámetro y 18 ple de longitud (vase

Si el esfuerzo permisible en cortante es 9000
의 es el par máximo permisible T que puede
n la llave? ¿A qué ángulo ¢ se torcerá

la acción del par máximo? (Suponer

W ps.)

tiene un damero eier
0 해 70 mm

Una flecha hue
100 mm y un di
ae figura). Calcular los esfuerzos &

onen de

(an sobre elementos en las super

bide a un momento de
esquema a

agria a 10

interna, respectivamente
¡nión 7 = 7000 Nm Dibujar
Lomo varían los esfuerzos y 때

de una linea radial e
eos (vase
0. my 108

227 Un no metálico rear se M
on mediante pares 7 aplicados en 19 OX
ura). La barra tiene una longitud と
metros interior y exterior on 30
civamente Por medición, se dect

328 Una ara ge
de pl de dames Ein

Mol Sis um eo

328 cull ese ate
auna tara circular act

isl 10,000 ply el ángulo
Por unidad de longitude 11
G= Kid)

3240 tice macia de $0 mm de
ler y 2 m de longitude turc eo una maquis
de pruebas hasta que uno de ss extremos ge und
lo à = $° respeto al tro

lo de torsion, se mide un par = T50N m. C
«esfuerzo onante máximo 7, enla cba y
du de elasticidad a cortan

Una barra

| -mn 一
Prob. 32-6

prob. 32.7

va sunno © = 40000
na me me
SE pe o Sl Bab
nr un ng PE
oh
FT nin 6 cuando el esfuerzo © 5
sno ol or) ue aa deste

Una barra hu

321

ai) eon

182

or 3:93. Cuatro engranes están fijos a una Barra ma,

ias Tos pares mostrados en la figura, 의

nate on d mismo 03101 econ amente los efectos de toruón, de

2242, Una bara ee cular hueca y una sem mimer oe dm o as Ya

jante pe de identico material se diseñan p ee aks verzo permisible en
ir à mismo par 7 om el DO esfuerzo cora deren

3.34 Resolver el problema anterior s se supone
que la fecha o barra es hueca y que el diámetro inte

3.249 Una barra circular no hueca tiene inicia
nalmente un Gr. Obtener formulas
para (a d área porcentual extraida y (0) la reducción |. go pig! of
porcentual en la magnitud del par que puede aplicar:

ma gráfica que muestre dichos

Prob,33-2

29000 pl:
TT
ES

7400 plete
ES

Prob. 3243

334 Una bara de sección escalonada se somete Prob. 33-3
pares ind

ud deca
y los diámetros son 80 mm, 60
am. Siel material tine un módulo deelast- 3:35 Una barra maciza de sección transversal er

sidad a cortante G = 80 GPa, seul es el ángulo de cular con dos diámetros diferentes se muestra en la fk
son 6 (en grados) en el extremo libre Bura. Determinar el diámetro exterior d de una barra
332 Una barra sujeta a torsion (longitud total

ra ¿Col sl momento permisible Ts el angulo de
rebasar 0.02 radianes? (Suponer

hueca del mismo
fica 19 materia y a 1

à misma PCG
que tenga li rigidez torsional
pared de La barra Mca dee De

136 Refiriéndose a la barra shusad
3-10 y analizada en el Ejemplo
para qué relación dy

nee a una barra prismätica de diámetro 49 7

Un tubo cónico AB de sección transversal

El tubo tiene un espe
ed constante £ y longitud L. Los diámetros
los extremos son d, y 2d,. Ya que la pared
xivamente delgada, el momento polar de
seria puede aproximarse mediante la fórmula
= rd7/4 (vtase Ec. 3-13), Obtener una fórmu:
de torsión ¢ de este tubo, cuando se

pares T que actúan en sus extremos,

338 Una barra prismática AB de sección trans
ar sólida (rigidez torsional = Gf, est fr

su extremo izquierdo (Véase figura) y se somete
distribuido de intensidad constante 9 por

dad de longitud. Obtener una fórmula para el nr
emo libre B dela bara.

solver el problema anterior si la intens

ar distribuido varia linealmente desde un

abr > imo qe en el extremo A hasta cero en el
341 Una barra circular maciza de 4 plg de
somete a un par de 85 pl k (ess fig

Cuáles son os esfuerzos de tensión, compresión

ante máximos? (Mostrar estos esfuerzos en ©

342 Una barra circular maciza sometida a (or

se diseña para esfuerzos permisibles a torsión.

Prob.33-7

+ un formula

e 2

Iino requ dene

343 umn。

Pa) se torsion
See Ángulo de torio pur Pa

¿de 100 mm y un didmatroincrin de soe co

SCH es a magnitude par Tap

deformacion angular máxima.

La barra tiene radios exterior € in et es,

282 dia dans = 2000p, Dar

353

ar ucana el valor T= 12,000

10 de dasicdad a orante Gdl
Desermina el módulo de

354 Unpardeion
ular sida 0 maciza de 4
formación normal máx

dye

vin eo dy se mid la de

sec eric de la
dan. best

dd à coran

Gen función de Ti

prob. 3.

MPa ud
ln normal máxima ey 1 deforma

3 om

ar sólida de 80

ue gia a 0.75 Hz sel esfuerzo cortante no debe re

m didmetro interior de 10 ple.
aballos de potencia H pueden transmitirse

150 KW. ¿Cuál

385 Una fecha circular sólida que gira a 90
Tpm debe transmitir. 150 hp. Calcular el diámetro

で 8000 ps a

368

mit 120 KW à 1.75 Ha
la à dite

397

roulr hueca se diseña para

amero exterior, Si se supone
345 MPa, calcu
querido の

be rant 400

de 600 pa. Dan
288 Un

M à une bara ce en (O
Dae cate NP 다 아하
À ro cr perme, de la

ae ee 00 a

ei motor y el engrane Cie

el ángulo de torsión en
3 x pe

imita a 1.5". (Suponer 0 = 111
369 ABC figura seo
Puls mediante un motor en A que desarrolla 300 kW
una velocidad rotacional de 3 Hz. Los engranes en
‘By C absorben 120 y 180 KW, respectivamente, Las
longitudes de las dos porciones de ABC son Ly = 1.5
my ム = 09 m. Calcular el diámetro d requerido y
tl esfuerzo cortante permisible es SO MPa, el ángulo
de torsión permisible en la flecha entre los puntos Ay
Ces 0.02 radianes, y G = 75 GPa.

Probe.3.6-8 y 36-9

36-10 _ Un eje propulsor de sección transversal ir
cular y diámetro d'est empalmado por medio de un cas
Ho dd mismo material irmemente adherido ambas
artes dela flecha (vtase figura), ¿Cul debe ser el dime
Oo d del asquilo a fin de que el empalme pueda tase
mitir la misma potencia que la flecha sólida?

にーー

Prob. 36-10

371 Una barra circular sólida con extremos em

mor somete alos pares de torsion 7 y 7, local

‘dos como se muestra enla 1040. Obiener FO
Para lon pares reactivos Ta y Ja

oz. Una barra circular sida con extremos ei
Ema somete do pares opuestos Ty cono e
m igura. Obtener fórmulas par os pares
mdhot Ey Tas el gl en

st ángulo de torsión oy en a sección

Ne

LB + Lol 13 BER)

Una barra hueca de acero ACB con diáme-
fexetior de 2 plg y diámetro interior 1.5 pl, ex
lempotrada en los exiremos A y B (véase figura), En
earemos del brazo vertical se aplican fuerzas ho-
Minis P. Determinar el valor permisible de las
P $i el esfuerzo cortante máximo permisible

Li barra es 12,000 ps.

ara cecular sólida AB de diámetro d

¡ambos extremos (0056 figura). Un disco
do a tal barr en el ugar indicado.

tante permisible en la barra es Tyan Y

Hes el ngulo de rotación máximo PET

ot

era escalonada maciza de sección
(vase figura) esti empotrada en

le en cortante es

ie Tue

0004

y

네기

Prob. 37-4

ークウアク

am sm |

Preb.37-8

376 Una barra circular sólida de acero AB, fia
Higidamente en sus extremos, tiene dos didmetros dí
ferentes (vtase figura). Si se supone que el esfuerzo
cortante máximo permisible es 10,000 pi, determinar
el momento torionante permisible T que puede apli
carse en la junta の

100 Hpe

4 fe a
ド 3

Prob. 37-

Una barra circular sólida AB de longitud to-
ada en ambos extremos (vtase figu-
ra) La barra ene diámetros dy d als porciones
AC y CB, respectivamente. Un pa torsionante Tac-
(len la session C. ¿Cuáles deben sr las longitudes
wry b para el diseño más económico del elemento?

x una form
Obtener

196 y ua a en ambos
328) Um bare 06 0 es a
oe is. LA amet = の desde A
Fay dede Bras C

ial que

Para ci Mores
pad in a a la id
(Ems fy Los momentos polares de Ina de
ls ds porciones dela ara son € a, LA qué
ti e extremo raid debe aca un par
Ta finde que os ars eco es sparc van
igual?

Prob. 37-9 Prob. 37-10

A740 | Un tubo hueco AB de longitud y rigidez Una barra circular sólida de acero de 20

torsional Gl, se apoya riidamente en su ear At est rodeada por un tubo hueco tam
(ase figura). En su extremo 8 est soldada al na Eso, con diämetro exterior de 3.0 Pl Y

e e il 20. Dos ae ao dm pla (véase figura). Las ds

its, cda uno con una ni: cda datent empotradas y cdas
Sn part SR e ir apa ali
e OTI tells ya Le patron の
stes MÁXIMOS , y 7, ep et tubo y la barra, respect”
pfs engi tacón ©
placa, 115 x 104 pa (9 ¿Cuál

AAA
renos (véase figura). Un par de torsion dan
Heer. Obtener Fórmulas para los pues en los em
2

Prob 37.12

S79 Una barra compuesta se construye median
Tel montaje por contracción de un tubo de acero
hme eatin en forma al que ano 下
como una unidad en torsion (véase figural. El
o de riada cortante del tuo e 2
Je del núcleo es G, = 39 GPa. Los diámetros
[rs d = 25 mm para e neo y ds = 4
para el tubo, Calcular los esfuerzos cortantes
rien el acero y el latón, respecivamen-

Py y pes
aqomeot por un par torsionante de 90N

Tubo de acero

ideo de 비 0

27414 Uncasqito

latón paa consti os

92.0 lg, repezivamente: Tambien ls medal

Ge = 1100 y Gi AO reno

Liber sens à oh per? = 2800

Calcular los esfuerzos cortantes máxi s
a OC

las porciones de acero y

00 ple TD

ap

Prob. 3714

2715. Una barra maciza exh consuida por des
ases, un casquilo exterior de acero (G, = ©
RS Modeo interior de Ibn (G = 36 GP
SP e muestra enla figura. Los dikmetros 006
ome eu dos partes son mm y 60 mm Si nt
de quelo esteros contes prises nr E
Rae 30 MPa en el acero y 19400, cope
Me determinar el par máximo permisible 7 que
puede aplicarse a a bara

17.48. Un tubo de acero de alta riencia S #6
5 a or comraccón sobre un bo de Alma À
formar una bara compu, como «india e
par, Los metres son pi. 5 pay PERS
In Lor esteros cons permis en are

7060 = Wr Barra

188 cute * on 9

‘| a
=
prob 3747

Use alma

+ igual a 0.01 1

382
a a cin tan
(Os solidas de dos diámetros dife Tu
Bin, 11.8 x 10% psi.)

Prob, 37.18

bién, suponer 0

Aoksiyr. = 10s, respecte
À par de torsión permisible Tque
100, = 11,600

mente, Determina
puede aplicarse ala Mecha, supor
Kay 6. = 4,000 ks,

| 383 Obrener una fórmula para la energía de de
| formación de a barra circular mostrada en la figura.
pd La intensidad q del par distribuido varia linealmente
desde un valor máximo de 66 en el empotramiento
hasta cero en el extremo libre

トー一
Prob. 27.16

Bitud total L = 4.0 m se recubre hasta la mitad de su
longitud por un tubo de latón (G; = 40 GPa) unido
firmemente al acero (véase figura). Los diámetros de
la barra ye tubo son d, = 70mm y dy = 90mm, ren
Pestivamente a) Determinar el par permisibleT, |
nul de torsion ¢ entre Los extremos y Cre lin,
1229 = 12°. (b) Determinar el par permisible Tae
‘fuer contanteenelaton se limita ar, = 100 MPa, She
(9 Determinar el par permisible 7, sel estuero cor.

tante en elacero se limita ar, = 80MPa. (d) ¿Cuáles le for
See mite Ti deben satsfacere ls res com. me 09 hueco de pared delgada 48d
ciones anteriores? dios d, ÿ à,

ina barra circular sólida de acero (G = 80 '4 Fórmula para la energia de formación U del tuto
69000 2307 dnd a a ne me U
20 ~ Ein
are
E En

El Li

Prob. 3.8.5

ABS. Un tubo circular hueco 4 encaja sobre el
leo de una barra circular sólida 8, como se
ira enla figura. Los extremos restantes de am-
Bars est empotrados. Un agujero através de
Whar B conforma un ángulo 8 (en radianes) con
Seta que pasa a través de dos agujeros enla
Bara La bara B se tuerce hasta que los agujeros
Sean aimes y 10080 se inserta un pern através
delos barenos. Cuando el sistema regresa al
Brio eno ¿cuales la energía de deforma:
aa des dos barras? (Representar los momen
polares de inercia de las barras A y B por I たでか
ran EI módulo decidas coat
#34 mismo para ambas barras)

AH Un tubo circular hueso de 1 pe de 00000:
red y diametro interior de 9 plg (véase Figura) €

somete a un par de mai
(a oria aproximada de tubos de pared delgada
=. 3-S10) y (b) la teoria, vba ee Sa

392 Comparar el ängu
tubo circular de pared delgada (véase figura), calcul
do a part dela ecuación aproximada (Ec, 3-2) con el
Angulo de torsión da calculado con la ecuación exacia
6 = TL/GI, (Ec. 34). Expresar la relación 6/6, en
términos de la relación adimensional 8 = 1/1

Prob. 38-2

293 Un 1150 cular de pared 90027 una
hen dl mie maca, a iaa
bar naval amis tongs,
sen nel arc den nein de
imac roa bn ala ee de defor
deforma soa ones contes
dans mos en ambos so
154 Una bama tua deel de esi an
294 es igus con ume et de
이 pd .0m Si tuer
ot wee 00 poem

an ce. mine 6 1 1608
po de o pared da
a cad rn

ato neo de parc nds de cin

298, mr mac el fu, Ca
ae mbar lo de
ae par P= D Nm.

ee

Prob. 39-6

de pared

he inoxidable (G = 80 GPa) tiene Ia for

= . car o rectangular de pared delgada tiene
erate perme 6 MP es el parderor- din de la sección tr ado

ra permite Y que pode ac dice esfuerzo cortante con la relación 8 = a

rsdn permisible 7 que puede actuar sobr el en enge

ángulo de — la longitud total Le

= yelángulode GE los resultados demuestre que el esfuerzo

76GP2) quete
la figura. Eliubo 38:11 Repair el problen

lo aun de torsion à por unidad de longit
tf ingulo de torsion minimo ocurre cuando el tubo

297 Caleular el esfuerzo cortan

es mínimo cuando

298 Untubo dep

à delgada qué tiene sección mado (8: = 1)

par T = 50,000 pleib. Determinar el esfuerzo cor

で - Xp

Prob. 3.9-7 a = bi
39-9 Una barra tubular de aluminio (G = 4 x 10 |
pa de sn area nad (tae fas) L 」

on dimensiones exteriores 2 ple x2 ply debe res
052 pla x2 pl debe resists
ln par 7. = 3,000 lb, Calcular el espesor de pared
minimo requerido / 4 el esfuerzo cortante permisible

854000 py el ngulode torsion 9 por unidad delon. 39-12
Wed permisible en 0.01 rad/pie

Prob. 3.9-9

{Un tubo ahusado largo AB de pared delete

Gere &amp; timoshenko mecánica de materiales

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Gere &amp;amp; timoshenko mecánica de materiales

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Gere & timoshenko mecánica de materiales