Giao-trinh-chuyen-de-ren-ki-nang-giai-toan-o-tieu-hoc-Trần Diên Hiển.pdf

LeThanhBinhToan 699 views 185 slides Apr 03, 2025
Slide 1
Slide 1 of 185
Slide 1
1
Slide 2
2
Slide 3
3
Slide 4
4
Slide 5
5
Slide 6
6
Slide 7
7
Slide 8
8
Slide 9
9
Slide 10
10
Slide 11
11
Slide 12
12
Slide 13
13
Slide 14
14
Slide 15
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
18
Slide 19
19
Slide 20
20
Slide 21
21
Slide 22
22
Slide 23
23
Slide 24
24
Slide 25
25
Slide 26
26
Slide 27
27
Slide 28
28
Slide 29
29
Slide 30
30
Slide 31
31
Slide 32
32
Slide 33
33
Slide 34
34
Slide 35
35
Slide 36
36
Slide 37
37
Slide 38
38
Slide 39
39
Slide 40
40
Slide 41
41
Slide 42
42
Slide 43
43
Slide 44
44
Slide 45
45
Slide 46
46
Slide 47
47
Slide 48
48
Slide 49
49
Slide 50
50
Slide 51
51
Slide 52
52
Slide 53
53
Slide 54
54
Slide 55
55
Slide 56
56
Slide 57
57
Slide 58
58
Slide 59
59
Slide 60
60
Slide 61
61
Slide 62
62
Slide 63
63
Slide 64
64
Slide 65
65
Slide 66
66
Slide 67
67
Slide 68
68
Slide 69
69
Slide 70
70
Slide 71
71
Slide 72
72
Slide 73
73
Slide 74
74
Slide 75
75
Slide 76
76
Slide 77
77
Slide 78
78
Slide 79
79
Slide 80
80
Slide 81
81
Slide 82
82
Slide 83
83
Slide 84
84
Slide 85
85
Slide 86
86
Slide 87
87
Slide 88
88
Slide 89
89
Slide 90
90
Slide 91
91
Slide 92
92
Slide 93
93
Slide 94
94
Slide 95
95
Slide 96
96
Slide 97
97
Slide 98
98
Slide 99
99
Slide 100
100
Slide 101
101
Slide 102
102
Slide 103
103
Slide 104
104
Slide 105
105
Slide 106
106
Slide 107
107
Slide 108
108
Slide 109
109
Slide 110
110
Slide 111
111
Slide 112
112
Slide 113
113
Slide 114
114
Slide 115
115
Slide 116
116
Slide 117
117
Slide 118
118
Slide 119
119
Slide 120
120
Slide 121
121
Slide 122
122
Slide 123
123
Slide 124
124
Slide 125
125
Slide 126
126
Slide 127
127
Slide 128
128
Slide 129
129
Slide 130
130
Slide 131
131
Slide 132
132
Slide 133
133
Slide 134
134
Slide 135
135
Slide 136
136
Slide 137
137
Slide 138
138
Slide 139
139
Slide 140
140
Slide 141
141
Slide 142
142
Slide 143
143
Slide 144
144
Slide 145
145
Slide 146
146
Slide 147
147
Slide 148
148
Slide 149
149
Slide 150
150
Slide 151
151
Slide 152
152
Slide 153
153
Slide 154
154
Slide 155
155
Slide 156
156
Slide 157
157
Slide 158
158
Slide 159
159
Slide 160
160
Slide 161
161
Slide 162
162
Slide 163
163
Slide 164
164
Slide 165
165
Slide 166
166
Slide 167
167
Slide 168
168
Slide 169
169
Slide 170
170
Slide 171
171
Slide 172
172
Slide 173
173
Slide 174
174
Slide 175
175
Slide 176
176
Slide 177
177
Slide 178
178
Slide 179
179
Slide 180
180
Slide 181
181
Slide 182
182
Slide 183
183
Slide 184
184
Slide 185
185

About This Presentation

Sách về rèn luyện kỹ năng giải toán ở Tiểu học

Size: 29.41 MB
Language: none
Added: Apr 03, 2025
Slides: 185 pages

Slide Content

TRẦN DIÊN HIẾN
GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỀ
RÈN Kỉ NĂNG,
GIẢI TOÁN TIỂU HỌC
' \ / '
\ § f ! / N H À XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Sư PHẠM

PGS. TS. TRẦN DIÊN HIỂN
GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỀ
RÈN Kĩ NĂNG GlẢl TOÁN TIỂU HỌC
■
(T ái bản lần thứ nhất)
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

MỤC LỤC
LỜI NÓI Đ Ẩ U ............................................................................................... 7
C hương 1. PHƯƠNG PHÁP sơ Đ ổ ĐOẠN THẲNG
.............................9
A. Nội dung bài giảng
.............................................................................. 9
1. Đại cương vê' giải toán tiểu học................................................... 9
2. Khái niệm về phương pháp SĐĐT......................................... 12
3. ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải toán đơn.................. 12
4. ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải toán hỢp..................37
5. Một sô'ứng dụng khác của phương pháp SĐĐT
....................50
B. Hướng dẫn tự học...............................................................................57
C hương II. PHƯƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐƠN VỊ VÀ TỈ s ố
.................58
A. Nội dung bài giảng.............................................................................58
1. Khái niệm về phương pháp rút về đơn vị và tỉ số
..................58
2. ứ n g dụng phương pháp RVĐV và TS để giải toán về
đại lượng tỉ lệ nghịch......................................................................62
3. Các bài toán về tỉ lệ kép
............................................................. 66
B. Hướng dẫn tự học ..............................................................................70
C hương III. PHƯƠNG PHÁP CHIA TỈ L Ệ ........................................... 71
A. Nội dung bài giảng............................................................................. 71
1. Khái niệm về phương pháp chia tỉ lệ......................................71
2. ứ ng dụng phương pháp CTL để giải các bài toán
về tìm hai sô"khi biết tổng và tỉ sô" của chúng.............................71
3. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán về tìm hai số
khi biết hiệu và tỉ sô' của chúng.....................................................76
4. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán vê' cấu tạo sô'..... 79
5. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán
có lời văn điên hình vê phân số......................................................86
6. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán
có nội dung hình học....................................................................... 90

7. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán
về chuyển động đều.........................................................................93
8. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán về tìm ba số
khi biết tổng và tỉ sô" hoặc hiệu và tỉ số của chúng
.................96
9. ứng dụng phương pháp CTL để giải toán vui và toán cổ
ở tiểu học..........................................................................................99
B. Hướng dẫn tự học ........................................................................... 101
C hương IV. PHƯƠNG PHÁP THỬ CHỌN
.........................................102
A. Nội dung bài giảng ........................................................................102
1. Khái niệm về phương pháp thử chọn.....................................102
2. ứng dụng phương pháp TC để giải toán sô'học
...................102
3. ứng dụng phương pháp TC để giải toán có lòi v ă n
............108
4. ứng dụng phương pháp TC để giải toán
có nội dung hình học
.................................................................... 111
5. ứng dụng phương pháp TC để giải toán về suy lu ận ........114
B. Hướng dẫn tự học............................................................................115
Chương V. PHƯƠNG PHÁP KHỬ....................................................... 116
A. Nội dung bài giảng..........................................................................116
1. Khái niệm về phương pháp khử.............................................116
2. ứng dụng phương pháp khử để giải to án
............................116
B. Hướng dẫn tự học............................................................................120
C hương VI. PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM
...............................121
A. Nội dung bài giảng..........................................................................121
1. Khái niệm về phương pháp giả thiết tạm .............................121
2. ứng dụng phương pháp giả thiết tạm để giải to án
............121
B. Hướng dẫn tự học............................................................................125
C hương VII. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ c u ố i
...............126
A. Nội dung bài giảng..........................................................................126
1. Khái niệm về phương pháp tính ngưbc từ cuối....................126

2. ứng dụngphương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán
số học.............................................................................................. 126
3. ứng dụngphương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán
có lời v ă n
....................................................................................... 127
4. Các bài t oán vê' tính ngưỢc từ cuô'i gộp................................130
5. ứng dụng phương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán vui
và toán cổ ỏ tiểu học.....................................................................133
B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 137
Chương VIII. PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ
......................................138
A. Nội dung bài giảng.........................................................................138
1. Khái niệm về phương pháp thay th ế
....................................138
2. ứng dụng phương pháp thay thế để giải toán.....................138
B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 142
Chương EX. PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH .........................................143
A. Nội dung bài giảng.........................................................................148
1. Khái niệm về phương pháp diện tích.................................... 143
2. ứng dụng phương pháp diện tích để giải to án ....................143
B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 148
Chương X. PHƯƠNG PHÁP Đổ THỊ.................................................. 149
A. Nội dung bài giảng......................................................................... 149
1. Khái niệm vể phương pháp đồ thị..........................................149
2. ứng dụng phương phốp đồ thị để giải toán sô' học.............149
3. ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán có văn.............150
4. ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán
vè suy luận lõgíc............................................................................152
B. Hướng dẫn tự học............................................................................156
Chương XI. PHƯƠNG PHÁP ĐẠI s ố................................................ 157
A. Nội dung bài giảng..........................................................................157
1. Khái niệm về phương pháp đại sô’.........................................157

2. ứng dụng phương pháp đại số để tìm thành phần chưa biết
của phép tín h ................................................................................157
3. ứng dụng phương pháp đại sô' để giải toán về diền chữ số
vào phép tín h ................................................................................163
4. ứng dụng phương pháp đại số để giải toán có lời văn
.......165
B. Hướng dẫn tự học........................................................................... 166
C hương XII. PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG
NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ
..................................................................... 167
A. Nội dung bài giảng.........................................................................167
1. Khái niệm về nguyên lí Đi-rích-lê........................................167
2. ứng dụng nguyên lí Đi-rích-lê để giải to á n ........................167
B. Hướng dẫn tự học...........................................................................170
TRẢ LÒI HOẶC HƯỚNG DẪN GIẢI b à i t ậ p T ự LUYỆN
...........171
Chương 1................................................................................................171
Chưdng I I ..............................................................................................173
Chương III............................................................................................ 174
Chương IV ............................................................................................ 176
Chương V
............................................................................................. 177
Chương V I............................................................................................ 177
Chương VII........................................................................................... 178
Chương V III......................................................................................... 179
Chương IX............................................................................................ 179
Chương X.............................................................................................. 180
Chương XI............................................................................................ 181
Chương XII........................................................................................... 181

LỜI NÓI ĐẦU
Giáo trình “Rèn kĩ năng giải toán tiểu học” được biên soạn theo
chương trình đào tạo Cử nhân giáo dục tiểu học hệ chính quy, vừa học
vừa làm và hệ từ xa.
Nội dung giáo trình được chia thành 12 chương :
Trong mỗi chương, tác giả trình bày một phương pháp giải toán ỏ
tiểu học. Nội dung mỗi chương được chia thành hai phần :
Phần thứ n h ấ t: Nội dung bài giảng được trình bày theo trình tự sau :
- Khái niệm về phuung pháp giải toán đuọc trình bày trong chuông đó.
- Các bước giải toán khi dùng phương pháp trình bày trong chương.
- Lần lượt nèu các ứng dụng của phương pháp đó để giải các dạng
toán thường gặp ỏ tiểu học thông qua các ví dụ minh họa.
- Giới thiệu hệ thống bài tập tự luyện để củng cố kĩ nàng giải toán
bằng phương pháp đó.
Phần thứ h a i: hướng dẫn học viên một số vấn đề về nội dung cũng
như phương pháp tự học lí thuyết và vận dụng giải quyết các dạng bài
tập điển hình trong chương.
Phần cuối của giáo trình là hướng dẫn giải các bài tập tự luyện.
Vì giáo trình được biên soạn để dùng chung cho cả ba hệ đào tạo:
chính quy, vừa học vừa làín và hệ từ xa nôn khi sử dụng cho mõl đốl
tượng cần lựa chọn những nội dung và hình thức tổ chức dạy học phù
hợp cho từng loại dối tượng đã được xác định trong chương trình đào tạo
của hệ đó.
Tác giả chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc để nội
dung và hình thức của giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn.
Tác giả

Chương 1
PHƯƠNG PHÁP S ơ ĐỔ ĐOẠN ThẲnG
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Đại cương về giải toán tiểu học
1.1. Vai trò, vị tri vá tầm qu a n trong của hoat dộng g iả i
toán trong dạy và học toán ở tiểu học
Trong dạy học toán nói chung, ở tiểu học nói riêng, giải toán có vị
trí đặc biệt quan trọng. Trong giải toán, học sinh phải tư duy một
cách tích cực và linh hoạt, phải biết suy nghĩ năng động, sáng tạo. Vì
vậy có thể coi giải toán là một trong những biểu hiện nămg động nhất
của hoạt động trí tuệ của học sinh.
Thông qua hoạt động giải toán, học sinh biết cách vận dụng các
khái niệm, quy tắc, công thức đã được học trong sách giáo khoa để xử
lí những tình huống đặt ra trong môn Toán, trong các môn học khác
và trong thực tê đời sống lao động sản xuất. Đồng thòi thông qua hoạt
động giải toán, giáo viên có thể phát hiện những ưu điểm cũng như
thiếu sót của học sinh về kiến thức, kĩ năng và tư duy để có biện pháp
kịp thòi giúp các em phát huy hoặc khăc phục. Mặt khác, cũng thông
qua hoạt động giải toán, học sinh tự rút ra những ưu điểm và hạn chế
của bản thân để có cách khắc phục, góp phần nâng cao chất lượng dạy
và học toán.
Qua hoạt động giải toán, học sinh rèn luyện những đức tính và
phong cách làm việc trong khoa học như ý chí khắc phục và vượt qua
khó khăn, lòng say mê và tìm tòi, sáng tạo trong học tập. Đồng thời,
thông qua hoạt động giải toán hình thành cho học sinh thói quen xét
đoán vấn đề có căn cứ, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuôì
cùng, từng bưóc hình thành và rèn cho học sinh thói quen suy nghĩ
độc lập, linh hoạt. Từ đó hình thành khả năng trình bày, diễn đạt
một vấn đề một cách chặt chẽ và mạch lạc.
Qua hoạt động giải toán, học sinh được củng cố kiến thức và rèn kĩ
năng sử dụng Tiếng Việt, tự nhiên và xã hội, giáo dục môi trường,...

Khi giải toán, ta quan tâm đến hai vấn đề lớn : nhận dạng bài
toán và lựa chọn phương pháp thích hỢp d ể giải. Thực hành giải toán
là rèn kĩ năng cho hai hoạt động trên đây.
1.2. P h ả n d ạ n g các bài toán ở tiểu học
Các bài toán ở tiểu học có thể chia thành hai loại : các bài toán 3ố
học và các bài toán có lời văn.
Các bài toán có lòi văn có thể phân thành ba nhóm :
Nhóm thứ nhất gồm bốn dạng toán đơn :
1. Các bài toán đơn với một phép tính cộng
2. Các bài toán đơn vói một phép tính trừ
3. Các bài toán đơn với một phép tính nhân
4. Các bài toán đơn vói một phép tính chia
Nhóm thứ hai gồm các bài toán hỢp :
Các bài toán hỢp đưỢc phân chia thành các mẫu, chẳng hạn
o a + (a + b)
o a + (a - b)
o (a + b) + c
o a + a X n
o a + a : n
o (a + b) X n
o (a + b) : n
o
Nhóm thứ ba gồm 8 dạng toán có lời văn điển hình :
1. Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng
2. Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng
3. Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng
4. Tìm sô' trung bình cộng
5. Toán về đại lượng tỉ lệ thuận
6. Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
7. Toán về chuyển động đều
8. Toán vể tỉ số phần trăm
10

Ngoài ra, trong nhóm thứ ba gồm một sô'dạng toán khác
1. Tìm giá trị phân sô’ của một sô
2. Toán về tỉ lệ bản đồ
1.3. Các p h ư ơ n g p h á p g iả i toán ở tiêu học
Về sô' lượng các phương pháp giải toán ỏ tiểu học cũng có những ý
kiến rất khác nhau (tuỳ theo quan điểm của tác giả).
Đa sô' các tác giả cho rằng để giải các bài toán đại trà trong sách
giáo khoa toán tiểu học chỉ cần 5 - 6 phương pháp là đủ.
Đê giải các bài toán phát triển, toán nâng cao ỏ tiểu học thì ngoài
5 - 6 phương pháp nêu trên ta cần bổ sung thêm các phương pháp
khác nữa. Đương nhiên, tuỳ mức độ và phạm vi các bài toán nâng cao
đưỢc đề cập tới mà số lượng phương pháp được bổ sung nhiều hay ít.
Trong tài liệu này, chúng ta đề cập tối 16 phưdng pháp giải toán
sau đây :
1. Phương pháp sơ dồ đoạn thẳng (SĐĐT)
2. Phương pháp rút về dơn vị và tỉ sô'
3. Phương chia tỉ lệ
4. Phương pháp thử chọn
5. Phương pháp khử
6. Phương pháp giả thiết tạm
7. Phương pháp tinh ngược từ cuối
8. Phương pháp thay th ế
9. Phương pháp diện tích
10. Phương pháp đồ thị
11. Phương pháp đại sô'
12. Phương pháp ứng dụng nguyên lí Đi-rích-Lê
13. Phương pháp biêu đồ Ven
14. Phương pháp lập bảng
15. Phương pháp suy luận đơn giản
16. Phương pháp lựa chọn tinh huống
11

2. K hái niệm về phương p háp SĐĐT
Phương pháp SĐĐT là một phương pháp giải toán ở tiểu học,
trong đó, môì quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm
trong bài toán được biểu diễn bởi các đoạn thẳng.
Việc lựa chọn độ dài của các đoạn thẳng đề’ biểu diễn các đại
lượng và sắp xếp thứ tự các đoạn thẳng trong sơ đồ một cách hỢp lí sẽ
giúp học sinh đi đến lòi giải một cách tường minh.
Phương pháp SĐĐT được dùng thường xuyên và rộng rãi trong
môn Toán ở tiểu học. Nó được ứng dụng để giải các bài toán đơn, các
bài toán hỢp, một số dạng toán có văn điển hình, dạy hình thành khái
niệm vê' sô' trung bình cộng và xây dựng công thức tìm số trung bình
cộng của hai hay nhiều số.
3. ứ n g d ụ n g phương p h áp SĐĐT đ ể giải to á n đơn
3.1. G iải toán đơn với m ột p h ép tin h cộng
Bài toán đơn vối một phép tính cộng xuất hiện trong tất cả các lóp
ở bậc tiểu học (ở các lớp khác nhau được phân biệt bởi các vòng số
khác nhau). Sau khi được trang bị những kĩ năng cần thiết về thực
hành phép cộng trong một vòng số mối, học sinh thực hành vận dụng
kĩ năng vừa học để giải toán đơn trong vòng sô” này.
Càn cứ vào cấu trúc của sơ đổ đoạn thẳng dùng trong lòi giải của
bài toán, ta có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu
dưới đây :
M ẩu 1.1. Sơ đồ có dạng :
H
Hoặc V c""
12

Ví dụ 1.1. Nhà An nuôi được 15 con gà trông và 28 con gà mái.
Hỏi nhà An nuôi được tất cả bao nhiêu con gà?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
. 15 con
Gà trong : I
-----------------1
28 con
Gà mái ; I---------------------
>■ ? con gà
Sô’ gà nhà An nuôi được là :
15 + 28 = 43 (con)
Đáp sô' : 43 con gà
Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này, thay cho SĐĐT, ta có thể
tóm tắt đê toán như sau :
Gà trống ; 15 con
Gà mái : 28 con
Tất cả có : ... con gà?
Ví dụ 1.2. Lớp 2A tuần trước đạt được 24 điểm 10, tuần này đạt
đưỢc 18 điểm 10. Hỏi cả hai tuần lớp đó đạt được bao nhiêu điểm 10?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
24 điểm 18 điểm
? điểm
Số điểm 10 lớp 2A đạt được trong hai tuần là :
24 + 18 = 42 (điểm)
Đáp số : 42 điểm
Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể tóm tắt để toán
như trong ví dụ 1.1.
13

Ví dụ 1.3. Đặt thành đê toán theo sơ đồ sau rồi giải;
a)
Gạo nếp :
Gạo tẻ :
48kg
85kg
?kg
b)
76 cây chanh 33 cây cam
H ::::;; -1^
? cây
H ưởng d ẫ n : Bằng hệ thông câu hỏi phát vấn, giáo viên có thể
dẫn dắt học sinh đặt đề toán theo những văn cảnh khác nhau.
Mau 1.2. Sơ đồ có dạng :
h
Hoặc
Ví dụ 1.4. Lan hái đưỢc 12 bông hoa, Cúc hái được nhiều hơn Lan
5 bông hoa. Hỏi Cúc hái được bao nhiêu bông hoa?
Giải.
Ta có sơ đồ sau:
12 bông
Lan ị-' -
.............
Cúc
5 bông
? bông
14

Sô’ bông hoa Cúc hái được là :
12 + 5 = 1 7 (bông)
Đáp số : 17 bông hoa
Ví dụ 1.5. Hà cao 102cm, Hùng cao hơn Hà 8cm. Hỏi Hùng cao
bao nhiêu xăng-ti-mét?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
102cm
Hà I- — "
.....................
8cm
Hùng
?cm
Hùng cao là :
102 + 8 = 110 (cm)
Đáp sô : llOcm
Ví dụ 1.6. Hà cao 102cm và thấp hơn Hùng 8cm. Hỏi Hùng cao
bao nhiêu xăng-ti-mét?
Giải. Ta có sơ đồ sau ;
Hà I
-----
Hùng Ị—
1 0 2 c m 8om
Hùng cao là :
102 + 8 = 110 (cm)
Đáp số : llOcm
Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này ta có thể tóm tắt đề toán
như sau :
Hà cao : 102cm
Hùng cao hơn Hà : 8cm
Hùng cao : ...cm?
15

H oặc: Hà ca o : 102cm
Hà thấp hơn Hùng : 8cm
\
Hùng cao :
Ví dụ 1.7. Đặt đề toán theo sd đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
a)
98cm
Bích : h' -............................
Phượng:
13cm
b) Hoặc
.... h
H ướng d ẫ n :
- Đề toán dạng này nkằm nâriK cao một bước năng lực của sinh
viên trong hoạt động giải toán.
- Bằng hệ thông câu hỏi phát vấn, dẫn dắt học sinh đến vối đề toán ;
+ Theo sơ đồ trên thì bài toán giải bằng phép tính gì?
+ Trong để toán giải bằng phép tính cộng ta có thể dùng những
cách diễn đạt nào?
+ Một số học sinh đặt đề toán với nhiều hơn và một số học sinh
đặt đề toán vổi ít hơn;
+ Học sinh thảo luận và giáo viên tổng kết.
Chú ý. ở lớp dưới, SĐĐT được coi là phương tiện cần thiết để dẫn
dắt học sinh đi đến lời giải của bài toán. Song ở các lớp trên (lớp 4 và
lốp 5) khi giải bài toán bằng phép tính cộng, ta có thế bỏ qua bước
tóm tắt bằng SĐĐT.
16

M au 1.3. Sơ đồ có dạng :
Ví d ụ 1.8. Một ô tô khỏi hành từ A đi về phía B. Giò thứ nhất đi
2 3
được - quãng đưòng, giờ thứ hai đi đưỢc — quãng đường. Hỏi sau 2
7 8
giờ ô tô đó đi đưỢc mấy phần quãng đường?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
2 ^ 3 ^
— qđ — qđ
7 8
? qđ
Sau hai giờ ô tô đi được ;
2 3 37
— + — = — (quãng đưòng)
7 8 50
37
Đáp sô' : — quãng đường
56
Ví dụ 1.9. Hai vòi nưóc cùng chảy vào một bể. Mỗi giò vòi thứ
1 2 T
nhất chảy đươc — bể, vòi thứ hai chảy đươc — bê. Hỏi sau giò đầu cả
6 11
hai vòi chảy đưỢc bao nhiêu phần bể nước?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
1 2 .
- bễ — bể
6 11
? b ể
17

Sau giờ đầu hai vòi chảy được ;
i . A = ^ (bể)
6 11 66
Đáp so : —— bê.
66
B ài tập tự lu yện
1.1. Trên cây có một đàn cò đang đậu. Nghe tiếng động, 8 con bay
đi và trên cây còn lại 3 con. Hỏi đàn cò có tất cả bao nhiêu con?
1.2. Lớp 3A có 18 học sinh nữ và 22 học sinh nam. Hỏi lóp 3A có
tất cả bao nhiêu học sinh?
1.3. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
a)
Lan :
Huệ:
12 cái
8 cái
H
>- ? cái
b) 214 cây 148 cây
? cây
1.4. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
a)
b)
18

1.5. Hồng có 6 cái nhãn vở, chị có nhiều hơn Hồng 2 cái nhãn vỏ.
Hỏi chị có mấy cái nhãn vỏ?
1.6. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc một tá khăn mặt, buổi
sáng bán được ít hơn buổi chiều 7 cái. Hỏi buổi chiều cửa hàng đó bán
đưỢc bao nhiêu cái khăn mặt?
1.7. Quãng đường từ nhà Quang sang nhà Cưòng dài 350m và
gần hơn quãng đưòng sang nhà Bắc 120m. Hỏi quãng đưòng từ nhà
Quang sang nhà Bắc dài bao nhiêu mét?
1.8. Khoảng cách từ lớp 2A tới văn phòng nhà trường đo được
48m, từ Iđp 3A tới văn phòng dài hơn khoảng cách từ lớp 2A tới văn
phòng 15m. Tính khoảng cách từ lóp 3A tối văn phòng.
1.9. Hương năm nay 9 tuổi, Hương kém chị 4 tuổi. Hỏi chị của
Hương năm nay bao nhiêu tuổi?
1.10. Ngân năm nay 8 tuổi, mẹ hơn Ngân 24 tuổi. Tính tuổi hiện
nay của mẹ.
1.11. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
a)
275 tấn
Đội 1 : h' ' —
----—.................I
54 tấn
Đội 2 :
? tấn
„ 17 pnn ß con
Trâu : I
---------------LL£9n-------
b)
Bò: Ị
_____________________I_I
? con
1.12. Đặt đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó ;
54....
.... : Ị.,
.................................
13„.
9
19

b)
...... I-----------------
1.13. Một đội công nhân được giao đắp một đoạn đưòng, ngày đầu
2 ' 1
đắp đưỢc — đoạn đường và ngày thứ hai đăp được — đoạn đường.
15 9
Hỏi cả hai ngày đội đó đắp được bao nhiêu phần đoạn đường?
1.14. Ba vòi cùng chảy vào một bể nước. Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy
1 2 1
đươc — bể, vòi thứ hai chảy đưỢc — và vòi thứ ba chảy được — bể
6 ' 7 5
nước. Hỏi sau một giờ ba vòi chảy đưỢc bao nhiêu phần bể nước?
1.15. Đ ặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
- qđ ệ qđ
4 7
o
_ _ -r_ _ __ _ _ _ _ _ _
? quãng đường
b)
c)
3.2. Giải các bài toán đơn với một phép tính trừ
Bài toán đơn vối một phép tính trừ xuất hiện trong tất cả các lóp
ở cấp Tiểu học (ở các lớp khác nhau đưỢc phân biệt bởi các vòng số
20

khác nhau). Sau khi được trang bị những kĩ năng cần thiết vể thực
hành phép trừ trong một vòng sô' mói, học sinh thực hành vận dụng
kĩ năng vừa học để giải toán đơn trong vòng số này.
Căn cứ vào cấu trúc của SĐĐT dùng trong lời giải của bài toán, ta
có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu dưói đây :
M ẩu 2.1. Sơ đồ có dạng :
Vi dụ 1.10. Nhà An nuôi đưỢc 43 con gà, trong đó có 28 con gà
mái, còn lại là gà trông. Hỏi nhà An nuôi đưỢc bao nhiêu con gà
trông?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
28 ? con
43 con
Sô' gà trống nhà An nuôi đưỢc là :
43 - 28 = 15 (con)
Đáp sô' : 15 con
Chú ý. Bài toán có thể tóm tắt như sau :
Tất cả : 43 con
Số gà mái : 28 con
Số gà trông: ...con?
Ví d ụ 1.11. Đặt để toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
572... ?...
896...
21

H ướng d ẫ n ;
1. Trước hết chọn vàn cảnh cho bài toán;
2. Đặt thành đề toán theo văn cảnh đã chọn;
3. Giải bài toán vừa thiết lập.
Ví dụ 1.12. Đặt để toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó :
H ướng d ẫ n :
1. Chọn văn cảnh cho bài toán;
2. Chọn số liệu phù hỢp vổi văn cảnh đã chọn;
3. Đặt thành đề toán theo văn cảnh đã chọn;
4. Giải bài toán đó.
M ẩu 2.2. Sơ đồ có dạng :
9
Hoặc
7
...........
....^ I------------------=--------------
22

Ví dụ 1.13. Lan gấp được 17 cái thuyền, Cúc gấp đưỢc ít hơn Lan
5 cái thuyền. Hỏi Cúc gấp được bao nhiêu cái thuyền?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
17 cái
Lan f- —
--------------------1
5 cái
Cúc
? cái
Số thuyền Cúc gấp đưỢc là :
17 - 5 = 12 (cái)
Đáp sô' : 12 cái thuyền
Ví dụ 1.14. Hà cao 122cm, Hà cao hơn Hùng 8cm. Hỏi Hùng cao
bao nhiêu xăng-ti-mét?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
122cm
Hà : h- - " -
.............
8cm
Hùng h*--—
----------------
?cm
Hùng cao là ;
1 2 2 - 8 = 114(cm)
Đáp sô' : 114cm
Ví dụ 1.15. Hoan cao 120cm và Cường thấp hơn Hoan 8cm. Hỏi
Cường cao bao nhiêu xăng-ti-mét?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
'cm
Cường : I---------------------
Hoan : I .
-----------------
120cm
8cm
23

Cường cao là ;
1 2 0 - 8 = 110 (cm)
Đáp sô’ : 110cm
Chú ý. Khi giải các bài toán dạng này ta có thể tóm tắt đề toán
như sau :
Hà cao : 122cm
Hà cao hơn Hùng : 8cm
Hùng cao: ...cm?
Hoặc :
Hoan cao : 120cm
Cưòng thấp hơn Hoan : 8cm
Cường cao : ...cm?
Ví d ụ 1.16. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
a) ?cm
Bích : |->............
.........................~-|
13cm
Phượng :
lllc m
?
........
.... I-------------= ----------
I ■....................................................I
H ướng d ẫ n :
- Đề toán dạng này nhằm nâng cao một bước năng lực của học
sinh trong hoạt động giải toán.
- Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, dẫn dắt học smh đến với đề tx)án :
+ Theo sơ đồ trên thì bài toán giải bằng phép tính gì?
+ Trong đề toán giải bằng phép tính trừ ta có thể dùng nhủng
cách diễn đạt nào?
+ Một số học sinh đặt đê' toán với ít hơn và một số học sinh đặt đê
toán vói nhiều hơn;
24

+ Học sinh thảo luận và giáo viên tổng kết.
Chú ý. ở lớp dưới, SĐĐT được coi là phương tiện cần thiết để’ dẫn
dắt học sinh đi đến lời giải của bài toán. Song ở các lớp trên (lóp 4 và
lớp 5) khi giải bài toán bằng phép tính trừ, ta có thể bỏ qua bước tóm
tắt bằng SĐĐT.
M ẩu 2.3. Sơ đồ có dạng :
Ví dụ 1.17. Tuần trước Lan đọc được 210 trang sách. Tuần này
Lan đọc được 178 trang. Hỏi tuần này Lan đọc đưỢc ít hơn tuần trước
bao nhiêu trang sách?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
210 trang
Tuần trưóc :
178 trang • trang
Tuần này : Ị_____________________________________________
____________- |
Số trang sách tuần này đọc được ít hơn tuần trước là :
2 1 0 - 178 = 32 (trang)
Đáp s ố : 32 trang sách
Ví dụ 1.18. Trong phong trào thi đua lập thành tích chào mừng
ngày Nhà giáo Việt Nam, lớp 3A đạt đưỢc 125 điểm giỏi, lớp 3B đạt
đưỢc 94 điểm giỏi. Hỏi lớp 3A đạt đưỢc nhiều hơn lớp 3B bao nhiêu
điểm giỏi?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
125 điểm
Lốp 3A :
?điểm
94 điêm
Lớp 3B : Ị - —
.................................---------------------------------------1
25

Sô’ điểm giỏi lốp 3A đạt được nhiều hơn lớp 3B là :
1 2 5 -9 4 = 31 (điểm)
Đáp số : 31 điểm giỏi
Ví dụ 1.18’. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
a)
124...
Sdn:
116... ?■•••■
Mạnh : h*
----------------------
b)
h
H ướng dẫn ;
1. Chọn văn cảnh cho bài toán;
2. Chọn sô' liệu phù hỢp với văn cảnh đã chọn;
3. Đặt thành đế toán theo văn cảnh đã chọn;
4. Giải bài toán đó.
Mau 2.4. Sơ đồ có dạng :
Ví dụ 1.19. Một máy bơm vào một bể chứa nước trong hai giò
4
Je — bê nưóc. Giò thứ nhấ
bơm được mấy phần bể nưóc?
đưỢc — bể nưóc. Giò thứ nhất bơm được — bể nưóc. Hỏi giò thứ hai
7 9
26

Giải. Ta có sơ đồ sau
9
- bể
? bể
- bề’
7
Giò thứ hai máy bơm được :
4 2 _ 22 _ ,
_ - _ = ^ (bê nưóc)
7 9 63
22
Đáp số : — bê nưóc
63
Bài tập tự luyện
1.16. Cành trên có 7 con chim đang đậu. Số chim ỏ cành trên
nhiều hơn số chim ỏ cành dưói 2 con. Hỏi cành dưói có bao nhiêu con
chim đang đậu?
1.17. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc 56 tạ gạo, buổi chiều bán
được ít hơn buổi sáng 9 tạ gạo. Hỏi buổi chiểu cửa hàng đó bán được
bao nhiêu tạ gạo?
1.18. Tấm vải hoa dài 30m, Cô bán hàng đã bán 24m. Hỏi tấm vải
còn lại bao nhiêu mét?
1.19. Chị năm nay 15 tuổi, Hải kém chị 6 tuổi. Tính tuổi của Hải
hiện nay.
1.20. Mẹ năm nay 33 tuổi và hơn Thuỷ 26 tuổi. Tính tuổi Thuỷ
hiện nay.
1.21. Một người đi xe máy từ A về B. Lúc 10 giờ ngưòi ấy dừng lại
4
nghỉ giải lao và nhâm tính đã đi đưỢc — quãng đường. Hỏi sau khi
0
giải lao ngưòi ấy phải đi mấy phần quãng đường nữa đế đến B?
1.22. Đặt thành để toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
180 con ? con
350 con
27

b)
c)
Đội 2:
d)
e)
Tuần 2:
28... 9
---------------------------
..............................
T
50...
?m
---------III--------^
85m
1-=^:^
---------------------------
300m
?đ
^ ^
ị
... đ
---------------------------
đ
1250m
915m
?m
ị-‘ ^
--------------------------
h)
1
6
28

3.3. G iải các bài toán đơn với m ột p h ép tín h n h ả n
Bài toán đơn với một phép tính nhân xuất hiện từ lớp 2 tói lốp 5.
Sau khi được trang bị những kĩ năng cần thiết về thực hành phép
nhân trong một vòng số mới, học sinh thực hành vận dụng kĩ năng
vừa học để giải toán đơn trong vòng số này.
Căn cứ vào cấu trúc của SĐĐT dùng trong lời giải của bài toán, ta
có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu dưói đây ;
Mẩu 3.1. Sơ đồ có dạng :
9
Ví d ụ 1.20. Tùng hái đưỢc 6 bông hoa. An hái đưỢc gấp 3 lần sô'
bông hoa của Tùng. Hỏi An hái đưỢc mấy bông hoa?
Giải. Ta có sơ đô sau :
_ 6 bông
Tùng : I
----- ----------1
? bông
An:
......T.....................
Số bông hoa An hái đưỢc là :
6x3=18 (bông)
Đáp sô' : 18 bông'
Ví dụ 1.21. Đội văn nghệ lóp 2A có 5 bạn nam, sô' bạn nam kém
số bạn nũ 4 lần. Hỏi đội văn nghệ của lớp 2A có bao nhiêu bạn nữ?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
29

5 bạn
Nam : I— —— I
? bạn
N ữ: k " " I
----------1----------í
Số bạn nữ trong đội văn nghệ của lóp 2A là ;
5 X 4 = 20 (bạn)
Đáp sô' : 20 bạn
Ví d ụ 1.22. Gia đình bác Năm có hai thửa ruộng. Thửa thứ nhất
thu hoạch được 360kg thóc và bằng — số thóc thu hoạch đưỢc trên
5
thửa thứ hai. Hỏi gia đình bác Năm thu hoạch đưỢc bao nhiêu tấn
thóc trên thửa ruộng thứ hai?
G iải. Ta có sơ đồ sau ;
360kg
Thửa 1 : Ị---------1
?kg
Thửa 2 :
............ ĩ ĩ~ .......T~— 'H
Số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng thứ 2 là :
3 6 0 X 5 = 1800 (kg)
1800kg = 1,8 tấn
Đáp sô' : 1,8 tấn thóc
Nhận xét :
1. Qua các ví dụ 2.20 - 2.22 ta rút ra nhận xét : cả ba bài đều giải
bằng một phép tính nhân. Cấu tạo SĐĐT giống nhau, nhưng diễn dạt
theo ba cách khác nhau :
- Sô'bông hoa của An gấp 3 lần sô'bông hoa của Tùng;
- Sô'hạn nam kém số bạn nữ 4 lần;
- Sô'thóc thu hoach trên thửa ruông thứ nhất bằng ỉ thủa ruông
5
thứ hai.
Từ đó rút ra cách nhận dạng bài toán để đi đến lời giải.
30

2. Khi giải bài toán bằng một phép tính nhân, SĐĐT dưỢc biểu
diễn bằng sô phần bang nhau tương ứng với mỗi đại lượng trong bài
toán (hãy so sánh với SĐĐT dừng trong khi giải toán dơn với một
phép tính cộng hoặc phép trừ).
M au 3.2. Sơ đồ có dạng:
-------------h.................................■ I
9
Ví dụ 1.23. Trong ngày chủ nhật, một cửa hàng bán đưỢc 32 tạ
gạo. Hỏi trong tuần lễ đó, cửa hàng bán được bao nhiêu tạ gạo? Biết
rằng số gạo bán đưỢc trong cả tuần gấp 5 lần sô gạo bán đưỢc trong
ngày chủ nhật.
G iải. Ta có sơ đồ sau :
Số gạo bán được trong cả tuần lễ đó là :
32 X 5 = 160 (tạ)
160 tạ = 16 tấn
Đáp sô' : 16 tấn gạo
Ví dụ 1.24. Một người đi xe máy từ nhà lên tỉnh. Trong giờ đầu đi
đ ư ơ c 3 5 k m v à b ằ n g ^ q u ă n g đ ư ờ n g p h ả i đ i. T í n h q u ã n g đ ư ò n g t ừ
3
nhà lên tỉnh.
Giải. Ta có sơ đồ sau :
35km
^
.........I
?km
Quãng đường từ nhà lên tỉnh dài là :
35 X 3 = 105 (km)
Đáp số : 105km
Chú ý. Hãy rút ra nhận xét về các cách diễn đạt khác nhau trong
đê toán giải bằng mẫu 3.2.
31

Ví dụ 1.25. Đặt thành đê' toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài
toán đó :
13 con
a ) ^----------------i
--------------J . . — - I
? con
----------1-............................I
?"
B ài tập tự luyện
1.23. Vườn nhà Mạnh có 7 cây cam, sô' cây ổi gấp 6 lần số cây
cam. Hỏi vưòn nhà Mạnh có bao nhiêu cây ổi?
1.24. Một cửa hàng có 8 cuộn vải xanh và một số cuộn vải hoa. số
cuộn vải xanh kém số cuộn vải hoa 4 lần. Tính số cuộn vải hoa của
cửa hàng đó.
1.25. Năm nay con lên 6 tuổi và kém tuổi mẹ 6 lần. Hỏi mẹ nàm
nay bao nhiêu tuổi?
1.26. Năm nay tuổi chị gấp 3 lần tuổi Cúc. Tìm tuổi chị, biết rằng
Cúc năm nay lên 5 tuổi.
1.27. Tàu đánh cá Thắng lợi trong quý 1 đánh bắt được 125 tấn cá
và bằng — số cá đánh bắt đươc trong quý III. Hỏi quý III năm đó tàu
4
đánh bắt đưỢc bao nhiêu tấn cá?
1.28. Hưởng ứng tết trồng cây gây rừng, lớp 5A trồng đưỢc 30 cây
và bằng — số cây của toàn trường trồng đươc. Hỏi toàn trường trồng
8
được bao nhiêu cây?
1.29. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó :
a)
15 con
Gà ; I
---------1
9
con
V ịt: \.r
........í '-------^ ^-------I p
32

b)
540...
I
---------1
9
c) 65 trang
----------\-----------1----------h— 1
d)
? trang
K-'-V.V:l
----------^----------1........--I
9
3.4. G iải các bài toán đơn với m ột p h ép tin h ch ia
Bài toán đơn vói một phép tính chia xuất hiện từ lớp 2 tđi lớp 5.
Sau khi đưỢc trang bị những kĩ năng cần thiết về thực hành phép
chia trong một vòng sô' mới, học sinh thực hành vận dụng kĩ năng vừa
học để giải toán đơn trong vòng sô' này.
Căn cứ vào cấu trúc của SĐĐT dùng trong lời giải của bài toán, ta
có thể phân chia các bài toán dạng này thành các mẫu dưới đây :
M a u 4 .1 . S d đ ồ c ó d ụ n g ;
I
------1
Ví d ụ 1.26. Tùng hái đưỢc 24 bông hoa. Số hoa An hái đưỢc bằng
— sô' bông hoa của Tùng. Hỏi An hái được mấy bông hca?
O
G iải. Ta có sơ đồ sau :
24 bông
Tùng :
---------h
33

Sô' bông hoa An hái được là :
24 : 3 = 8 (bông)
Đáp số : 8 bông hoa
Ví dụ 1.27. Lốp 3A có 24 bạn nam. Số bạn nam gấp hai lần sô’
bạn nữ. Hỏi lóp 3A có bao nhiêu bạn nữ?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
24 bạn
N am : Y ' - " "— -j-----H
? bạn
Nữ: I
-----—^
Sô’ bạn nữ lớp 3A là ;
24 : 2 = 12 (bạn)
Đáp sô' ; 12 bạn nữ
Ví dụ 1.28. Nhà Lan nuôi đưỢc 40 con vịt và một số gà. Sô' gà
kém sô' vịt 5 lần. Hỏi nhà Lan nuôi được bao nhiêu con gà?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
40 con
Số vịt :
.........................ĩ ' Ị--h
? con
Số gà : I
---------1
Số gà nhà Lan nuôi được là :
40 : 5 = 8 (con)
Đáp số : 8 con gà
Ví dụ 1.29. Phòng khách nhà Tâm lát hết 420 viên gạch. Số gạch
lát phòng ăn bằng — sô' gach lát phòng khách. Hỏi phòng ăn nhà
4
Tâm lát hết bao nhiêu viên gạch?
34

Giải. Ta có sơ đồ sau ;
420 viên
Phòng khách :
----1----------1----------1—
^ ? viên
Phòng ăn : I
------------1
Số viên gạch lát phòng ăn là ;
420 : 4 = 105 (viên)
Đáp số : 105 viên gạch
Chú ý. Từ bốn ví dụ trên hãy rút ra nhận xét về các cách diễn dạt
khác nhau (bằng, gấp, kém) trong các đề toán loại này.
Mau 4.2. Sơ đồ có dạng :
Ví dụ 1.30. Đường bộ từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Bạc Liêu
dài 280km, gấp 4 lần từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Mỹ Tho. Tính
q u ã n g đ ư ờ n g t ừ T h à n h p h ô ’ n ồ C h í M i n h đ i M ỹ T h o .
Giải. Ta có sơ đồ sau :
280km
TP.
------------■+--------~~7 ........IBạc Liêu
Quãng đưòng từ Thành phô' Kồ Chí Minh đến Mỹ Tho dài là :
280 : 4 = 70 (km)
Đáp sô' : 70km
Ví d ụ 1.31. Một cửa hàng lương thực trong tháng 3 bán đưỢc
260 tấn gạo. Số gạo bán được trong tuần đầu bằng — sô' gạo bán
5
35

được trong tháng đó. Hỏi tuần đầu cửa hàng đó bán đưỢc bao nhiêu
tấn gạo?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
260 tấn
Tháng 3 : " ĩ
.......................I-------h
? tấn
Tuần đầu : I------------1
Sô' gạo cửa hàng bán đưỢc trong tuần đầu là :
260 : 5 = 52 (tấn)
Đáp s ố : 52 tấn gạo
Bài tậ p tự lu yện
1.30. Vườn nhà Mạnh có 30 cây chanh, sô' cây chanh gấp 5 lần sô'
cây cam. Hỏi vườn nhà Mạnh có bao nhiêu cây cam?
1.31. Một cửa hàng có 28 cuộn vải hoa. Sô' cuộn vải trắng kém vải
hoa 4 lần. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu cuộn vải trắng?
1.32. Năm nay bà 66 tuổi và gấp 11 lần tuổi cháu. Tìm tuổi cháu
hiện nay.
1.33. Trong quý III tàu đánh cá Thắng Lợi đánh bắt được 34 tấn
cá. Sô' cá đánh bắt đươc trong quý I bằng — quý III. Hỏi quý I tàu
4
đánh bắt được bao nhiêu tạ cá?
1.34. Hưỏng ứng Tết trồng cây, khôi Năm trồng đưỢc 120 cây. số
cây lớp 5A trồng đưỢc bằng — sô' cây của cả khối. Hỏi lóp 5A trồng
5
được bao nhiêu cây?
1.35. Đặt để toán theo sơ đồ dưổi đây rồi giải bài toán đó :
a)
... cây
C hanh:
..............ĩ I I 1 .........H
?cây
B ưỏi: I
--------1
36

b)
c)
d)
9
í I
620.
4. ứ n g dụng phương pháp SĐĐT đ ể giải toán hỢp
Bài toán hỢp là những bài toán khi giải phải sử dụng từ hai phép
tính trở lên.
ở tiểu học, người ta phân chia các bài toán hỢp thành những
mẫu tiêu biểu. Dưói đây ta lần lượt nghiên cứu những mẫu giải được
bằng SĐĐT.
4.1. G iải các bài toán hỢp vôi h a i p h é p tin h cộng hoặc trừ
M au 1.1. a + (a - b)
Sơ đồ có dạng :
a
h
Ví dụ 1.32. Nhà Hải nuôi đưỢc 24 con gà mái. Số gà trống ít hơn
gà mái 5 con. Hỏi nhà Hải nuôi được mấy con gà?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
24 con
Gà mái : h
Gà trông : h
5 con
37

Số gà trống là :
24 - 5 = 19 (con)
Sô' gà nhà Hải nuôi đưỢc là :
24 + 19 = 43 (con)
Đáp s ố : 43 con gà
Ví dụ 1.33. Một cửa hàng lương thực buổi sáng bán đưỢc 950kg
gạo, buổi sáng bán được nhiều hơn buổi chiều 2 tạ gạo. Hỏi cả ngày
cửa hàng đó bán được bao nhiêu tạ gạo?
Giải. Đổi 2 tạ = 200kg
Ta có sơ đồ sau ;
950kg
Buổi sá n g : h
Buổi chiểu : h
2ÕÕkg ?kg
Số gạo buổi chiểu bán đưỢc là :
950 - 200 = 750 (kg)
Sô’ gạo cả ngày cửa hàng đó bán được là :
950 + 750 = 1700 (kg)
1700kg= 17 tạ
Đáp sô': 17 tạ gạo
Chú ý. Trong lời giải ví dụ 2.32 ta có thể ghép lại như sau :
24 + (24 - 5) = 43 (con)
Tương tự trong ví dụ 2.33 :
950 + (950 - 200) = 1700 (kg)
Ví dụ 1.34. Tấm vải trắng dài 35m. Tấm vải trắng dài hơn tấm
vải xanh 7m. Hỏi cả hai tấm dài bao nhiêu mét?
Giải. Ta có sơ đồ sau ;
35m
Vải trắng :
7m
Vải xanh : h H
38

cả hai tấm vải dài là :
35 + (35 - 7) = 63 (m)
Đáp s ố : 63 mét vải
Ví dụ 1.35. Đặt đề toán theo sơ đồ dưói đây, rồi giải bài toán đó :
45 chiếc
Xe t ả i :
Xe khách : h
? chiếc
7 chiếc
H
? chiếc
H ướng dẫn :
a) Theo sơ đồ thì bài toán có hai câu hỏi, vì vậy lòi giải phải chia
thành hai bưóc.
b) Từ sơ đồ trên, có thể đặt thành đề toán vói hai cách diễn đạt :
nhiều hơn và ít hơn.
Ví d ụ 2.35’. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài
toán đó :
248...
53...
H
H ướng dẫn : Xem hưóng dẫn trong tiểu chủ đề 1.
M ẩu 1.2. a + (a + b)
Sd đồ có dạng :
H
l-T-
39

Hoặc :
h H
Ví dụ 1.36. Lớp 3A có 18 học sinh nữ. Sô' học sinh nam nhiều hơn
học sinh nữ 4 em. H ỏ i:
a) Lóp 3A có bao nhiêu học sinh nam?
b) Lớp 3A có tất cả bao nhiêu học sinh?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
18 học sinh
Học sinh nữ :
__II—
4 học sinh
Học sinh nam : [-c;:
----------------------
? học sinh
>■ ? học sinh
a) Sô' học sinh nam của lớp 3A là :
18 + 4 = 22 (học sinh)
b) Sô’ học sinh của lớp 3A là :
18 + 22 = 40 (học sinh)
Đáp sô': a) 22 học sinh
b) 40 học sinh
Ví dụ 1.37. Một đội tàu đánh cá trong tháng giêng đánh được
1750kg. Tháng giêng đánh được ít hơn tháng hai 500kg. Hỏi cả hai
tháng đội tàu đánh được bao nhiêu tấn cá?
1750kg
Tháng giêng : Ị.- ' - ''
-----
500kg ^ ?kg
Tháng h a i : I
-------------------------
Sô' cá đánh được trong tháng hai là :
1750 + 500 = 2250 (kg)
40

Sô cá đội tàu đó đánh bắt đưỢc trong hai tháng là :
1750 + 2250 = 4000 (kg)
4000kg = 4 tấn
Đáp sô : 4 tấn cá
Chú ý. Trong lời giải bài toán trên có thể kết hỢp như sau :
1750 + (1750 + 500) = 4000 (kg)
Ví dụ 1.38. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài
toán đó :
350 tấn
Tuần 1 :
----II—
115 tấn
Tuần 2 : 1-^;^
----------------------1 ^
? tấn
32....
14...
H ướng d ẫ n : Xem hưóng dẫn trong tiểu chủ đề 2.1.
Bài tập tự luyện
1.36. Cành trên có 7 con chim đang đậu. Số chim ở cành trên
nhiều hơn sô' chim ở cành dưới 2 con. Hỏi cả hai cành có bao nhiêu
con chim đang đậu?
41

1.37. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc 56 tạ gạo, buổi chiểu bán
đưỢc ít hơn buổi sáng 9 tạ gạo. Hỏi cả ngày cửa hàng đó bán được bao
nhiêu tạ gạo?
1.38. Tấm vải hoa dài 30m. Tấm vải trắng ngắn hơn tấm vải hoa
4m. Hỏi cả hai tấm vải dài bao nhiêu mét?
1.39. Lớp 3B có 20 học sinh nam, sô' học sinh nữ ít hơn học sinh
nam 5 em. Hỏi lớp 3B có bao nhiêu học sinh?
1.40. Quãng đường từ nhà đến trường dài 3km và dài hơn quãng
đường từ trường đến chợ 500m. Hỏi quãng đường từ nhà đến chợ (qua
trường) dài bao nhiêu ki-lô-mét?
1.41. Đặt đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó :
a)
Đội 1 :
Đội 2 ;
b)
?m >
h- " ' " " H
85m
-
3Õ'o'm
?đ >
rm
...đ
c)
Tuần 1 : h
Tuần 2 : h
1250m
250m
► ?m
d)
42

1.42. Hồng có 6 cái nhãn vở, chị có nhiều hơn Hồng 2 cái nhãn vở.
Hỏi cả hai chị em có mấy cái nhãn vở?
1.43. Một cửa hàng buổi sáng bán đưỢc một tá khăn mặt, buổi
sáng bán đưỢc ít hơn buổi chiều 7 cái. Hỏi cả ngày cửa hàng đó bán
được bao nhiêu cái khăn mặt?
1.44. Quãng đường từ nhà Quang sang nhà Cường dài 350m và
gần hơn quãng đường sang nhà Bắc 120m. Hỏi quãng đưòng từ nhà
Cường sang nhà Bắc dài bao nhiêu mét? Biết rằng từ nhà Cường sang
nhà Bắc phải qua nhà Quang.
1.45. Khoảng cách từ lóp 2A tối văn phòng nhà trường đo đưỢc
48m, khoảng cách từ lớp 3A tới vàn phòng dài hơn khoảng cách từ lớp
2A tới văn phòng là 15m. Tính tổng khoảng cách từ văn phòng nhà
trường tói hai lóp 3A và 2A.
1.46. Hương năm nay 9 tuổi, Hương kém chị 4 tuổi. Tìm tổng số
tuổi của hai chị em.
1.47. Hưởng ứng tết trồng cây, các bạn khôi Ba trồng được 135
cây, các bạn khối Bốn trồng được nhiêu hơn khối Ba 36 cây. Hỏi cả
hai khối trồng đưỢc bao nhiêu cây?
1.48. Đặt đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó ;
a)
275 tấn
Đội 1 1 ^
Đôi 2 : (.=—
H
54 tấn ► ? tấn
b)
Trâu : ị.
? tấn
17 con
6 con
BÒ :
: con
43

1.49. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưói đây rồi giải bài toán đó :
a)
54....
k r -
13...
b)
+
4.2. G iải toán hợp với h a i p h ép tin h cộng và n h â n hoặc
cộng và chia
Mẩu 2. 1. a + a X n
Sơ đồ có dạng ;
h-" 1 I
------^------
Hoặc
H
------h H
Ví dụ 1.39. Tùng hái được 6 bông hoa. An hái đưỢc gấp 3 lần sô'
bông hoa của Tùng. H ỏi:
44

a) An hái đưỢc mấy bông hoa?
b) Cả hai bạn hái được mấy bông hoa?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
6 bông
Tùng : I 1
? bông
An : 1^ +
? bông
a) Số bông hoa An hái đưỢc là :
6 X 3 = 18 (bông)
b) Số bông hoa cả hai bạn hái được là :
6 + 18 = 24 (bông)
Đáp sô': a)18 bông hoa
b)24 bông hoa
Ví d ụ 1.40. Đội văn nghệ lơp 2A có 5 bạn nam, số bạn nam kém
số bạn nữ 4 lần. Hỏi đội văn nghệ của lớp 2A có tất cn bao nhiêu bạn?
G iải. Ta có sơ đồ sau :
Nam :
Nữ :
5 bạn
I — H
? hạn
Số bạn nữ trong đội văn nghệ của lớp 2A là :
5 X 4 = 20 (bạn)
Số bạn nam và nữ trong đội vàn nghệ là :
20 + 5 = 25
Đap so : 25 bạn
Ví dụ 1.41. Gia đình bác Năm có hai thửa ruộng. Thửa thứ nhất
thu hoach đươc 450kg thóc và bằng — sô' thóc thu hoach đươc trên
4
thủa thứ hai. Hỏi gia đình bác Năm thu hoạch được bao nhiêu tấn
thóc trên cả hai thửa ruộng đó?
45

Giải. Ta có sơ đồ sau :
450kg
Thửa 1 : I
-----------1
Thửa 2 : |- + + + H
?kg
Số thóc thu hoạch được trên thửa ruộng thứ 2 là :
450 X 4 = 1800 (kg)
Số thóc thu hoach trên cả hai thửa ruộng đó là
450 + 1800 = 2250(kg)
2250kg = 2,25 tấn
Đáp s ố : 2,25 tấn thóc
Chú ý. Khi giải các bài toán hợp dạng này, ta có th ể kết hỢp các
bước tính như sau
450 + 450 X 4 = 2250 (kg)
Mau 2.2. a a : n
Sơ đồ có dạng :
..... h " T I-------h ---------'-'-P -H Ị, ?,
9
.... I—H
Hoặc
I h
-------
>■
Ví dụ 1.42. Tùng hái được 24 bông hoa. Sô' hoa An hái được bằng
— số bông hoa của Tùng. H ỏ i:
3
a) An hái được mây bông hoa?
b) Cả hai bạn hái đưỢc bao nhiêu bông hoa?
46

Giải. Ta có sơ đồ sau :
24 bông
Tùng ;
An :
? bông
bông
a) Số bông hoa An hái được là ;
24 : 3 = 8 (bông)
b) Số bông hoa cả hai bạn hái được là :
24 + 8 = 32 (bông)
Đáp s ố : a) 8 bông hoa
b) 32 bông hoa
Vi dụ 1.43. Lổp 3A có 24 bạn nam. Số bạn nam gấp hai lần số
bạn nữ. Hỏi lớp 3A có bao nhiêu học sinh?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
Nam :
Nữ :
24 HS
h
? HS
H
? HS
Số học sinh nữ lớp 3A là ;
24 : 2 = 12 (bạn)
Số học sinh lớp 3A là :
12 + 24 = 36 (học sinh)
Đáp s ố : 36 học sinh
Ví dụ 1.44. Nhà Lan nuôi đưỢc 40 con vịt và một sô' gà. Số gà kém
sô’ vịt 5 lần. Hỏi nhà Lan nuôi được tất cả bao nhiêu con gà và vịt?
Giải, ta có sơ đồ sau :
40 con
Số vịt :
-1--------h
Số gà : I
----------1
H
47

Số gà và vịt nhà Lan nuôi được là :
40 + 40 : 5 = 48 (con)
Đáp sô”: 48 con gà và vịt
Ví dụ 1.45. Phòng khách nhà Tâm lát hết 420 viên gạch. Số gạch
lát phòng ăn bằng ỉ số gach lát phòng khách. Hỏi nhà Tâm lát cả
4
hai phòng hết tấ t cả bao nhiêu viên gạch?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
420 viên
Phòng khách; Y" " " I
----------1----------1 — --I
Phòng ăn;
? viên
Số viên gạch lát phòng ăn là :
420 : 4 = 105 (viên)
Số viên gạch dùng để lát hai phòng là :
420+ 105 = 525 (viên)
Đáp s ố : 525 viên gạch
Bài tập tự lu y ện
1.50. Vườn nhà Mạnh có 7 cáy cam, sô' cây ổi gấp 6 lần số cây
cam. Hỏi vườn nhà Mạnh có tất cả bao nhiêu cây cam và ổi?
1.51. Một cửa hàng có 8 cuộn vải xanh và một sô' cuộn vải hoa. Số
cuộn vải xanh kém sô" cuộn vải hoa 4 lần. Tính sô" cuộn vải xanh và
vải hoa của cửa hàng đó.
1.52. Tùng đạt được 8 điểm 9, số điểm 10 gấp 3 lần sô' điểm 9. Hỏi
Tùng đạt được bao nhiêu điểm giỏi?
1.53. Mỗi ngày Quân học ỏ trường 4 giò và thòi gian ngủ gấp 2
lần thời gian học ở trường. Hỏi mỗi ngày Quân dành bao nhiêu thời
gian để ngủ và học ở trường?
1.54. Tàu đánh cá Thắng Lợi trong quý I đánh bắt đưỢc 125 tấn
cá và bằng i số cá đánh bắt đươc trong quý III. Hỏi trong quý I và
4
quý III năm đó tàu đánh bắt đưỢc tất cả bao nhiêu tấn cá?
48

1.55. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưối đây rồi giải bài toán đó :
a)
15 con
G à : Ị . I
? con
b)
540...
+ +
1.56. Vườn nhà Mạnh có 30 cây chanh, số‘cây chanh gấp 5 lần số
cây cam. Hỏi vườn nhà Mạnh có tâ't cả bao nhiêu cây chanh và cam?
1.57. Một cửa hàng có 28 cuộn vải hoa. Sô' cuộn vải trắng kém vải
hoa 4 lần. Hỏi cửa hàng đó có tấ t cả bao nhiêu cuộn vải hoa và trắng?
1.58. Lóp 4A thu gom được 28kg giấy vụn. Sô' giấy vụn lóp lA thu
g o m ctưdc b ằ n g ^ lớ p 4 A , H ỏ i c ả h a i lớ p t h u g o m đ ư ơ c t ấ t c ả b a o
4
nhiêu ki-lô-gam giấy vụn?
1.59. Trong quý III tàu đánh cá Thắng Lợi đánh bắt được 11 tấn
cá. Số cá đánh bắt đưỢc trong quý I bằng — quý III. Hỏi trong quý I
và quý III tàu đánh bắt đưỢc tất cả bao nhiêu tạ cá?
1.60. Đặt thành đề toán theo sơ đồ dưới đây rồi giải bài toán đó :
Chanh :
Bưởi :
... cây
H
----------h +
? cây
? cây
49

b)
.......: h- " " " r..........I---------^
9
Ị
?...
5. M ột số ứng d ụ n g k h ác củ a phương p h áp SĐĐT
5.1. ứ n g d ụ n g SĐ Đ T đ ể h ìn h th à n h k h á i niêm s ố tru n g
b ình cộng và xây dự ng quy tắc tìm s ố tru n g b ìn h cộng
Người ta dùng SĐĐT đế dạy hình thành khái niệm số trung bình
cộng và xây dựng quy tắc tìm số trung bình cộng của hai hay nhiều số
cho học sinh.
Khi giải toán về tìm số trung bình cộng, ta áp dụng công thức chứ
không dùng SĐĐT nữa!
Ví dụ 1.46. (Bài toán 1-SGK Toán 4). Rót vào can thứ nhất &l
dầu, rót vào can thứ hai Al dầu. Hỏi nếu số lít dầu đó đưỢc rót đều vào
hai can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu?
B à i g iải.
^ - . . Ị
-------1--------^-------1-------I------------------------1------1— ^
' " ẽ ĩ " " 4Ỉ
Sô' lít dầu có trong hai can là :
6 + 4 = 10 (0
Số lít dầu rót đểu vào mỗi can là :
10 : 2 = 5 (/)
Đáp sô' : 5 lít dầu
Qua ví dụ này, ta hình thành cho học sinh khái niệm số trung
bình cộng của hai số :
- Ta gọi sô'5 là sô'trung binh cộng của hai s ố 6 và 4.
- Ta nói : trung bình mỗi can có 51 dầu.
-Tacó :5= (6 + 4): 2.
50

Ví dụ 1.47. (Bài toán 2-SGK Toán 4). Số học sinh của 3 lớp lần
lượt là 25 học sinh, 27 học sinh, 32 học sinh. Hỏi trung bình mỗi lóp
có bao nhiêu học sinh?
B ái giải.
25 học sinh 27 học sinh 32 học sinh
i-rrr:
--------
? học sinh ? học sinh ? học sinh
Tổng số học sinh của ba lớp là :
25 + 27 + 32 = 84 (học sinh)
Trung bình mỗi lớp có :
84 : 3 = 28 (học sinh)
Đáp số : 28 học sinh
Qua ví dụ này ta hình thành khái niệm trung bình cộng của ba sô' ;
- Sô'28 là trung bình cộng của ba sô'25, 27, 32;
- Ta có : 28 = (25 + 27 + 32)-.3
Từ đây ta rút ra quy tắc : Muốn tim số trung bình cộng của nhiều
sô' lu tìm Cổng cúc s ổ dú, rỏi chia chu sô' các s ố hạng.
Bài tập tự luyện
1.61. Một đội xe vận tải huy động 2 xe mỗi xe chỏ đưỢc 5 tấn và 3
xe mỗi xe chở được 4 tấn để chỏ một lô hàng. Hỏi trung bình mỗi xe
chở đưỢc bao nhiêu tạ hàng?
1.62. Trên cây có 10 con chim đậu. Sau khi cành dưới có 2 con bay
đi và 1 con ở cành trên bay xuông đậu ở cành dưói thì số chim đang
đậu ỏ cành trên gấp 3 lần sô' chim đậu ỏ cành dưói. Hỏi lúc đầu mỗi
cành có bao nhiêu con chim đậu?
1.63. Trung bình cộng của 5 số tự nhiên liên tiếp bằng 20. Tìm 5
số đó.
1.64. Trung bình cộng của 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp bàng 41. Tìm
ba số đó.
51

5.2. ứ n g d ụ n g SĐ Đ T đ ể g iả i toán về tìm h a i số, k h i biết
tổng và h iệu của chúng
Người ta dùng SĐĐT để xây dựng công thức tìm sô' lớn (hoặc số
bé) khi giải toán về tìm hai số, biết tổng và hiệu của chúng.
Khi giải toán về tìm hai số, biết tổng và hiệu của chúng, ta áp
dụng công thức chứ không dùng SĐĐT nữa!
Ví dụ 1.48. (Bài toán mẫu trang 47-SGK Toán 4). Tổng của hai
sô' là 70, hiệu của hai sô' đó là 10. Tìm hai sô' đó.
G iải :
Cách thứ nhất :
SỐ lổn: h
SỐ bé :
10 70
Hai lần số bé là :
70 - 10 = 60
Số bé là:
60 : 2 = 30
SỐ lớn là:
30 + 10 = 40
Hai sô' cần tìm là : 30 và 40.
Từ đây rút ra công thức :
Số bé = (Tổng-Hiệu) : 2
Cách thứ hai :
Số Iđn : H
ĩ ố
SỐ b é: h
52

Hai lần số lớn là ;
70 + 10 = 80
SỐ lớn là :
80 : 2 = 40
SỐ bé là :
40 - 10 = 40
Hai số cần tìm là : 30 và 40.
Từ đây rú t ra công thức :
Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2
5.3. ứ n g d ụ n g SĐ Đ T đ ể g iả i toán n ă n g cao
Ví dụ 1.49. Đi từ xã A đến xã B phải qua xã c và xã D. Quãng
đường AC dài 900m, quãng đường CD dài gấp đôi quãng đưòng AC và
quãng đường DB ngắn hơn quãng đưòng CD 500m. Tính chiều dài
quãng đường AB.
G iải. Ta có thể mô tả bài toán bằng sơ đồ sau :
+
c D B
CD h
DB H
900m
500m
H
----ì
H
Quãng đường CD dài là :
900 X 2 = 1800 (m)
Quãng đường DB dài là :
1800 - 500 = 1300 (m)
53

Quãng đường AB dài là ;
900 + 1800 + 1300 = 4000 (m)
4000iĩi = 4km
Đáp số : 4km
Ví dụ 1.50. Trong rổ có 22 quả vừa cam, vừa quýt, vừa chanh.
Nếu tăng số cam gấp hai lẩn thì tấ t cả có 27 quả; nếu tăng sô' quýt
gấp hai lần thì tất cả có 29 quả. Hỏi trong rổ lúc đầu có bao nhiêu quả
mỗi loại?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
22 quả
Cajoir'''' Quýt CĩTđTih.,
" + "
............
27 quả
Cam
.........
Quýt
29 quả
Sô" cam lúc đầu là :
2 7 - 2 2 = 5 (q u ả )
Sô' quýt lúc đầu là ;
29 - 22 = 7 (quả)
Số chanh là :
22 - 5 - 7 10 (quả)
Đáp sô' : 5 quả cam; 7 quả quýt và 10 quả chanh
Ví dụ 1.51. Sáu năm về trước tuổi của ba cha con cộng lại bằng
45. Sáu năm sau cha hơn con lân 26 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi. Tìm
tuổi mỗi ngưòi hiện nay.
Giải. Vì hiệu số tuổi của hai người không thay đổi theo thời gian
nên hiện nay cha hơn con Iđn 26 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi.
Sáu năm trước tuổi của ba cha con cộng lại bằng 45. Như vậy cho
đến nay, mỗi ngưòi thêm 6 tuổi.
54

Tổng số tuổi của ba cha con hiện nay là :
45 + 6 X 3 = 63 (tuổi)
Ta có sơ đồ sau :
Con nhỏ : I—
Cha ; h
34 tuổi
Conlón:
26 tuổi
? tuổi
63 tuổi
Tuổi cha hiện nay là :
(63 + 34 + 26) : 3 = 41 (tuổi)
Tuổi con Iđn hiện nay là ;
4 1 - 2 6 = 15 (tuổi)
Tuổi con nhỏ hiện nay là :
41 - 34 = 7 (tuổi)
Đáp s ố : Cha 41 tuổi, Con lớn 15 tuổi, Con nhỏ 7 tuổi.
Ví d ụ 1.52. Giá một con gà và một con vịt là 45 000 đồng, giá một
con vịt và một con ngỗng là 65 000 đồng, giá một con ngỗng và một
con gà là 70 000 đồng. Tính giá tiền một con mỗi loại.
Giải. Ta có sơ đồ sau :
45 OOOđ
' ” Gà 'v ị t
65 OOOđ
Vịt Ngỗng
_____7(l£)0Ọđ____
NgỗngGà
55

Giá tiền hai con gà, hai con vịt và hai con ngỗng là :
45 + 65 + 70 = 180000 (đ)
Giá tiền một con gà, một con vịt và một con ngỗng là :
180000 : 2 = 90000 (đ)
Giá tiền một con ngỗng là ;
90000 - 45000 = 45000(d)
Giá tiền một con gà là :
90000 - 65000 = 25000(d)
Giá tiền một con vịt là :
45000 - 25000 = 20000(d)
Đáp sô' : Gà : 25000đ một con
Vịt : 20000đ một con
Ngỗng : 45000đ một con.
Bài tập tự luyện
1.65. Một ôtô chỏ khách từ A đến E phải qua ba bến đỗ B, c, D.
Biết quãng đường AB dài 40km và gấp bốn lần quãng đường BC.
Quãng đường CD dài hđn quãng đưòng BC 12km và bằng nửa quãng
đường DE. Tính chiều dài quãng đường từ A đến E.
1.66. Trong đợt thi đua chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam 20
tháng 11, lớp 4A đạt được 105 điểm 8, 9 và 10. Nếu tâng sô' điểm 8
gấp 2 lần thì tổng số sẽ là 125 điểm; nếu tăng số điểm 9 gấp 3 lần thì
tổng sô' sẽ là 165 điểm. Hỏi lớp 4A đã đạt mỗi loại bao nhiêu điểm?
1.67. Ba năm trưđc, cha hơn con lớn 28 tuổi và hơn con nhỏ 34
tuổi. Năm năm sau, tuổi ba cha con cộng lại bằng 76. Tìm tuổi mỗi
ngưòi hiện nay.
56

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về lí th u yết :
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc :
- Các dạng toán có lời văn trong chương trình môn Toán tiểu học;
- Các phương pháp giải toán thường dùng để giải toán ở tiểu học;
- Khái niệm về phương pháp SĐĐT và các dạng toán tiểu học có
thể giải bằng phương pháp SĐĐT;
- Các bước giải toán khi dùng SĐĐT,
2. Yêu cầu về b ài tậ p :
Về phưđng diện bài tập, học viên cần nắm được :
- ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải 4 dạng toán đơn :
+ Cách nhận dạng bài toán;
+ Mẫu SĐĐT tiêu biểu cho từng dạng;
+ Cách trình bày lời giải chuẩn cho từng mẫu sơ đồ;
+ Có kĩ năng thiết kê đê toán đơn dựa theo một mẫu SĐĐT đã cho.
- ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải 4 mẫu toán hỢp :
+ Cách nhận dạng bài toán;
+ Mẫu SĐĐT tiêu biểu cho từng dạng;
+ Cách trình bày lời KÌải chuẩn cho từriE mẫu Sri đồ:
+ Có kĩ năng thiết kế đê' toán hỢp dựa theo một mẫu SĐĐT đã cho.
- Một số ứng dụng khác của phương pháp SĐĐT :
+ ứng dụng phương pháp SĐĐT để hình thành khái niệm về
trung bình cộng và xây dựng quy tắc tìm số trung bình cộng của hai
hay nhiều số;
+ ứng dụng phương pháp SĐĐT để xây dựng công thức tìm số lớn
(hoặc số bé) khi giải toán về tìm hai số biết tổng và hiệu của chúng;
+ ứng dụng phưdng pháp SĐĐT để giải toán nâng cao ỏ tiểu học;
Dành thời gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
57

Chương II
PHƯƠNG PHÁP RÚT VỀ ĐƠN VỊ VÀ TỈ s ố
A. NỘI DUNG BÀI GẢNG
1. Khái niệm về phương pháp rút về đơn vị và tỉ số
Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số (RVĐV-TS) là
hai phương pháp giải toán, dùng để giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ
thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch.
Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thường
xuất hiện ba đại lượng, trong đó có một đại lượng không đổi, hai đại
lượng còn lại biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ
nghịch). Trong hai đại lượng biến thiên, người ta thường cho biết hai
giá trị của đại lượng này và một giá trị của đại lượng kia và yêu cầu
tìm giá trị còn lại của đại lượng thứ hai.
Khi giải bài toán bằng phương pháp rút về đơn vị, ta thưòng tiến
hành theo các bước dưói đây :
Bước 1 : Rút về đơn vị. Trong bưóc này, ta tính một đơn vị của đại
lượng này tương ứng với bao nhiêu đơn vị của đại lượng kia.
Bước 2 : Tim g iá trị chưa biết của d ạ i lượng ih ứ hai.
Khi giải bài toán bằng phương pháp tỉ sô', ta thường tiến hành
theo các bước dưới đây :
Bước 1 : Tim tỉ số. Trong bưóc này, ta xác định trong hai giá trị
đã biết của đại lượng thứ nhất, giá trị này gâ'p hoặc kém mấy lần giá
trị kia.
Bước 2 : Tim giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai
2
. ứng dụng phương pháp RVĐV và phương pháp TS để giải
toán về đại lượng tỉ lệ thuận
Ví dụ 2.1. Bốn bao gạo như nhau cân nặng 200kg. Hỏi 30 bao gạo
như thế cân nặng bao nhiêu tạ?
Phãn tích : Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng :
- Khối lượng gạo đựng trong mỗi bao là đại lượng không đổi;
58

- Sô bao gạo và tổng khổi lượng của các bao gạo là hai đại lượng
biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận.
Ta thấy :
- 4 bao gạo cân nặng : 200kg
- 1 bao gạo cân nặng : ...kg?
- 30 bao gạo cân nặng: ...kg?
Từ phân tích trên đây ta đi đến lời giải sau :
SỐ lượng gạo có trong một bao là :
200 : 4 = 50 (kg)
Số lượng gạo có trong 30 bao là :
50 X 30 = 1500 (kg)
1500kg = 15 tạ gạo
Đáp sô' ; 15 tạ gạo
Ví d ụ 2.2. Lát nền nhà hết 100 viên gạch. Hỏi lát 36m'^ nền
nhà cùng loại gạch đó thì hết bao nhiêu viên?
Phân tích : Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng :
- Một đại lượng không đổi là sô' viên gạch dùng để lát Im^nền nhà.
- Hai đại lượng còn lại là diện tích nền nhà và sô’ viên gạch cần
dùng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận.
T a t h ấ y ; D i ệ n Lích 3 6 m ’ g ấ p 4 l á n d i ệ n Lích 9 iii’ , vì v ộ y a ố g ạ c h
cần dùng để lát 36m^ gấp 4 lần sô' gạch cần dùng để lát 9m^.
Từ phân tích trên đây ta đi đến lòi giải của bài toán như sau :
Diện tích 36m^ gấp 9m^ số lần là :
36 : 9 = 4 (lần)
Sô' gạch cần để lát 36m'^ nền nhà là :
100 X 4 = 400 (viên)
Đáp sô : 400 viên
Ví dụ 2.3. Dùng 16m vải may được 4 bộ quần áo như nhau. Hỏi
có 200m vải cùng loại thì may đưỢc bao nhiêu bộ quần áo như thế?
Giải.
Sô' mét vải cần để may một bộ quần áo là :
16 : 4 = 4 (m)
59

Dùng 200m vải may được sô’ bộ quần áo là :
200 : 4 = 50 (bộ)
Đáp số : 50 bộ quần áo
Ví dụ 2.4. Một đơn vị bộ đội chuẩn bị đưỢc 5 tạ gạo để ăn trong
15 ngày. Sau khi ăn hết 3 tạ thì đơn vị mua bổ sung thêm 8 tạ nữa.
Hỏi sau khi mua bổ sung, đơn vị đó ăn bao nhiêu ngày nữa thì hết
gạo? Biết rằng mức ăn của mọi người trong một ngày là như nhau.
Giải. Cách 1 :
Thòi gian để đơn vị đó ăn hết một tạ gạo là ;
1 5 :5 = 3 (ngày)
Số gạo đơn vị hiện có là :
(5 - 3) + 8 = 10 (tạ)
Thòi gian để đơn vỊ ăn hết sô' gạo hiện có là ;
3 X 10 = 30 (ngày)
Cách 2 :
Sô' gạo đơn vị hiện có là :
(5 - 3) + 8 = 10 (tạ)
10 tạ gấp 5 tạ số lần là :
1 0 :5 = 2 (lần)
Thời gian để đơn vị đó ăn hết sô' gạo hiện có là ;
15 X 2 = 30 (ngày)
Cách 3 :
Thòi gian để đơn vị ăn hết 1 tạ gạo là :
15 : 5 3 (ngày)
Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo còn lại là :
(5 - 3) X 3 = 6 (ngày)
Thòi gian để đơn vị ăn hết sô’ gạo mối bổ sung là :
3 X 8 = 24 (ngày)
Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo hiện có là :
6 + 24 = 30 (ngày)
Đáp số' : 30 ngày
60

Nhận xét. Qua 4 ví dụ trên ta thấy ;
1. Bài toán trong ví dụ 2.1 và 2.3 chỉ giải được bằng phương pháp
RVĐV mà không giải đưỢc bằng phương pháp TS.
2. Bài toán trong ví dụ 2.2 chỉ giải đưỢc bằng phương pháp TS
mà không giải đưỢc bằng phương pháp RVĐV.
3. Bài toán trong ví dụ 2.4 có thể giải đưỢc bằng cả hai phương
pháp : RVĐV và TS.
4. Ngoài hai phương pháp RVĐV và TS nêu trên, ta còn có thể
giải bằng "Quy tắc tam suất thuận "như sau, chẳng hạn :
Cách 2 của ví dụ 2.1 :
4 bao gạo cân nặng : 200kg
30 bao gạo cân nặng : ...kg?
Sô' lượng gạo có trong 30 bao là :
200 X 30 : 4 = 1500 (kg)
5. Hãy nhận xét cách diễn đạt đại lượng không đổi trong mỗi ví
dụ trên.
B ài tập tự luyện
2.1. Một người mua 7 gói bánh hết 28 OOOđ. Hỏi mua 30 gói bánh
cùng loại thì hết bao nhiêu tiền?
2.2. Các bạn học sinh khối BôVi được giao nhiệm vụ trổng cây trên
một đoạn đường dài 1440m, các bạn trồng hết 361 cây. Hỏi các bạn
khối Năm được giao nhiệm vụ trồng cây trên một đoạn đưòng dài
2100m thì hết bao nhiêu cây? Biết rằng khoảng cách giữa hai cây là
như nhau.
2.3. Một người rào xung quanh một khu vưòn hình chữ nhật có
chiều dài 28m, chiều rộng 20m hết 192 chiếc cọc. Hỏi người đó rào
xung quanh một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 56m và chiều
rộng 40m thì hết bao nhiêu chiếc cọc? Biết rằng khoảng cách giữa hai
cọc là như nhau.
2.4. Dùng 50m vải may được 25 chiếc áo như nhau. Hỏi dùng
lOOOm vải cùng loại thì may đưỢc bao nhiêu chiếc áo như thế?
2.5. Trung bình một ca làm việc 8 giờ một công nhân may đưỢc 24
bộ quần áo. Hỏi vói cùng năng suất làm việc như nhau thì một đội
61

công nhân gồm 18 ngưòi trong 10 giò sẽ may được bao nhiêu bộ quần
áo cùng loại?
2.6. Xây 15m^ tường nhà hết 1000 viên gạch. Hỏi xây 180m^
tưòng nhà bằng cùng loại gạch đó thì hết bao nhiêu viên?
2.7. Một người đi xe máy trên quãng đường 60km hết 2 giò. Hỏi
cùng vận tốc như trên thì người đó đi hết quãng đường dài 180km hết
bao nhiêu thòi gian?
2.8. Trong đợt tham gia trồng cây hai bên đường làng, các bạn
khối Bốn trồng trên đoạn đưòng dài 402m thì hết 404 cây. Hỏi các
bạn khối Năm được giao 806 cây thì trồng trên đoạn đường dài bao
nhiêu mét? Biết rằng khoảng cách giữa hai cây là như nhau.
2.9. Trong chiến dịch chuyển hàng cứu trỢ ủng hộ đồng bào bị bão
lụt, một đơn vị vận tải huy động 14 xe chuyển đưỢc 210 tấn hàng. Hỏi
nếu đơn vỊ được giao vận chuyển 840 tấn hàng thì phải huy động bao
nhiêu xe? Biết rằng trọng tải các xe là như nhau.
2. ứ ng dụng phương pháp RVĐV và TS để giải toán về đại
Iượng tỉ lệ nghịch
Ví dụ 2.5. Hai bạn An và Cường đưỢc lớp phân công đi mua kẹo
về liên hoan. Hai bạn nhẩm tính nếu mua loại kẹo 4000 đồng một gói
thì mua đưỢc 21 gói. Hỏi cùng số tiền đó, hai bạn mua loại kẹo 7000
đồng một gói thì mua được bao nhiêu gói?
Phân tích. Trong bài toán này có 3 đại lượng ;
- Một đại lượng không đổi là số tiền mua kẹo;
- Sô' tiền mua kẹo và giá tiền một gói kẹo là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải bài toán như sau :
Cách 1 :
Nếu giá lOOOđ một gói thì số gói kẹo mua được là ;
21 X 4 = 84 (gói)
Nếu giá tiền 7000 đồng một gói thì sô’ gói kẹo mua đưỢc là :
84 : 7 = 12 (gói)
Cách 2 :
Nếu giá tiền 1 đồng một gói thì sô' gói kẹo mua đưỢc là :
21 X 1000 = 84000 (gói)
62

Nếu giá tiền 7000 đồng một gói thì số gói kẹo mua đưỢc là :
84000 : 7000= 12 (gói)
Cách 3 :
Số tiền hai bạn mang đi mua kẹo là :
4000 X 21 = 84000 (đ)
Số gói kẹo loại 7000 đồng mua đưỢc là :
84000 : 7000 = 12 (gói)
Đáp số : 12 gói kẹo
Ví dụ 2.6. Một đội công nhân chuẩn bị đủ gạo cho 40 người ăn
trong 15 ngày. Sau 3 ngày có 20 ngưòi được điều đi làm việc ở nơi
khác. Hỏi số công nhân còn lại ăn hết sô' gạo trong bao nhiêu ngày?
Biết rằng mức ăn của mọi ngưòi trong một ngày là như nhau.
Phân tích, trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng :
- Một đại lượng không đổi là số gạo cho một người ăn trong một ngày.
- Số người ăn và số ngày ăn hết số gạo là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Sau khi ăn 3 ngày thì sô' gạo còn lại đủ cho 40 người ăn trong 12
ngày. Do có 20 người chuyển đi nên chỉ còn 20 ngưòi ăn số gạo còn lại.
Vậy bài toán có thể đưa về dạng :
40 ngưòi ăn trong: 12 ngày
20 ngưòi ăn trong: ? ngày
Giải. Cách 1 :
Số gạo còn lại đủ cho 40 ngưòi ăn trong số ngày là :
1 5 - 3 = 12 (ngày)
Sô công nhân còn ở lại là :
40 - 20 = 20 (người)
Một ngưòi ăn hết sô' gạo còn lại trong số ngày là ;
12 X 40 = 480 (ngày)
Thòi gian để số công nhân còn lại ăn hết số gạo là :
480 : 20 = 24 (ngày)
Cách 2 :
Câu trả lời 1 và 2 giông như cách 1.
40 người gấp 20 người số lần là :
40 : 20 = 2 (lần)
63

Thời gian để số công nhân còn lại ăn hết số gạo là :
480 : 20 = 24 (ngày)
Đáp số : 24 ngày
Ví dụ 2.7. Lúc 7 giò kém 10 phút sáng, một người đi xe máy từ A
vói vận tốc 36km/giò và đến B lúc 10 giò sáng. Hỏi người đi ôtô vối
vận tốc 72km/giờ phải xuất phát từ A lúc mấy giò để tới B cùng lúc
vói người đi xe máy?
Giải. Cách 1 : '
Đổi 7 giò kém 10 phút = 6 giờ 50 phút
Thòi gian người đi xe máy từ A đến B là :
10 giờ - 6 giờ 50 phút = 3 giò 10 phút
Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 36km/giò là :
19
3 giò 10 phút = — giò
6
Quãng đưòng đi từ A đến B là :
19
— X 3 6 = 114 (km)
6
Thời gian ôtô đi từ A đến B là :
1Ç)
114: 72= — (giờ)
X2
— giò = 1 giờ 35 phút
Thòi điểm người đi ôtô xuất phát từ A là :
10 giò - 1 giờ 35 phút = 8 giò 25 phút
Đáp sô' : 8 giờ 25 phút
Cách 2 :
Tương tự như cách 1, riêng bưốc 1 và 2 thay bằng các câu trả lòi sau:
Vận tổc ngưòi đi ôtô gấp vận toc người đi xe máy số lần là:
72 : 36 = 2 (lần)
Thòi gian để ngưòi đi ôtô từ A đến B là :
3 giò 10 phút : 2 = 1 giò 35 phút
Cách 3 :
Tương tự như cách 1, riêng bước thay bằng câu trả lòi sau :
64

Quãng đường AB dài là :
1 í)
36 X — 114 (km )
6
Nhận xét : Qua các ví dụ trên ta thấy :
1. Các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch đều có thể giải bằng
phương pháp RVĐV.
2. Bài toán trong ví dụ 3.5 chỉ giải được bằng phương pháp
RVĐV.
3. Bài toán trong ví dụ 3.6 và 3.7 có thể giải được bằng cả hai
phương pháp : RVĐV và TS.
4. Ngoài hai phương pháp RVĐV và TS nêu trên, ta còn có thể
giải bằng “quy tắc tam suất nghịch " như sau :
Chẳng hạn, lời giải của ví dụ 3.5 :
Giá 4000đ một gói thì mua đưỢc: 21 gói
Giá 7000 đ một gói thì mua được: ? gói
Số gói kẹo loại 7000đ một gói mua được là :
21 X 4000 : 7 0 0 0 = 12 (gói)
5. Hãy nhận xét cách diễn đạt đại lượng không đổi trong các bài
toán trên.
Bài tập tự luyện
2.10. Một đơn vị vận tải vận chuyển một lô hàng, ban chỉ huy đội
tính rằng nếu huy động loại xe chỏ đưỢc 4 tấn một chuyên thì cần 21
xe. Hỏi nếu huy động loại xe chở đưỢc 7 tấn một chuyến thì cần bao
nhiêu xe để chở hết lô hàng đó?
2.11. Cô giáo chủ nhiệm lớp 5A mua một sô' vở vê' phát thưỏng cho
học sinh. Cô nhẩm tính nếu cô mua loại 3000đ một quyển thì sẽ mua
đưỢc 15 cuốn. Hỏi nếu cô mua loại 5000đ một cuôn thì sẽ được bao
nhiêu cuôn?
2.12. Một đơn vỊ bộ đội chuẩn bị đủ gạo cho 70 người ăn trong 30
ngày. Sau khi ăn được 6 ngày, có 10 người đưỢc điều đi nơi khác. Hỏi
số gạo còn lại đủ cho đơn vị đó ăn trong bao nhiêu ngày nũa? Biết
ràng mức ăn của mỗi người trong một ngày là như nhau.
65

2.13. Cô Nhật đi xe đạp từ nhà đến trường với vận tốc 12km/giờ
thì hết 15 phút. Hỏi nếu cô đi bằng xe máy với vận tốc 36km/giờ thì
hết bao nhiêu thòi gian?
2.14. Lúc 7 giò kém 18 phút, một ngưòi đi xe đạp từ trường vói
vận tốc 12km/giò để tới huyện lúc 8 giò 30 phút. Hỏi người đi xe máy
vói vận tốc 36km/giờ thì phải xuất phát từ trường lúc mấy giò để tới
huyện cùng lúc vói người đi xe đạp?
2.15. Một đội công nhân được giao nhiệm vụ chôn cột để kéo
đường dây điện từ tỉnh về xã. Ban chỉ huy đội tính rằng, nếu khoảng
cách giữa hai cột là 50m thì hết 201 cột. Hỏi nếu khoảng cách giữa
hai cột là 25m thì cần bao nhiêu cột?
2.16. Bác Hoan dự định chôn cọc rào xung quanh một khu vưòn
hình chữ nhật. Bác nhẩm tính nếu khoảng cách giữa hai cọc là 3,6m
thì hết 120 chiếc cọc. Hỏi nếu khoảng cách giữa hai cọc là l,2m thì
cần bao nhiêu cọc?
3. Các bài toán vể tì lệ kép
Toán về tỉ lệ kép là những bài toán có thể phân tích thành hai bài
toán về đại lượng tỉ lệ (thuận hoặc nghịch).
Ví dụ 3.8. Một công ti thuê 24 xe vận chuyển trên quãng đưòng
dài lOOkm phải trả 3 200 000 đồng tiền cước phí vận chuyển. Hỏi với
cùng giá cước vận chuyển như trên thì một đơn vỊ thuê 36 xe vận
chuyển trên quãng đường dài 80km phải trả bao nhiêu tiền?
Phân tích. Trong bài toán trên xuất hiện 4 đại lượng :
- Sô' tiền phải trả cho 1 xe vận chuyển trên quãng đưòng Ikm (là
đại lượng không đổi).
- Sô' ô tô tham gia vận chuyển.
- Quãng đường phải vận chuyển.
- Sô' tiền phải trả.
Ta có thể phân tích bài toán trên thành hai bài toán về đại lượng
tỉ lệ thuận như sau :
24 xe chỏ trên quãng đường dài lOOkm hết : 3 200 000 đồng
24 xe chỏ trên quãng đưòng dài 80km hết : ? đồng (giải ra ta
đưỢc A đồng)
66

Và :
24 xe chỏ trên quãng đường dài 80km hết ; A đồng
36 xe chở trên quãng đường dài 80km hết : ? đồng
Hoặc :
24 xe chỏ trên quãng đường dài lOOkm hết : 3 200 000 đồng
36 xe chở trên quãng đường dài lOOkm hết ; ? đồng (giải ra ta
đưỢc B đồng)
Và :
36 xe chở trên quăng đưòng dài lOOkm hết : B đồng
36 xe chở trên quãng đưòng dài 80km hết ; ? đồng
Giải.
Cách 1 :
Sô' tiền phải trả cho 24 xe vận chuyển trên quãng đường 80km là:
3200000 X 80 : 100 = 2560000 (đ)
Số tiền phải trả cho 36 xe vận chuyển trên quãng đường 80km là:
2560000 X 36 : 24 = 3840000 (đ)
Cách 2 :
Số tiền phải trả cho 36 xe vận chuyển trên quãng đưòng lOOkm là:
3200000 X 36 : 24 = 4800000 (đ)
Sô tiễn phải trả cho 36 xe vận chuyên trên quãng đưòng 80km là;
4800000 X 80 ; 100 = 3840000 (đ)
Đáp số : 3840000 đồng
Chú ý. Ta thường gọi dạng toán trên là tỉ lệ thuận kép
Ví dụ 2.9. Một đội vận tải được giao vận chuyển một lô hàng.
Nêu huy động 12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn thì sẽ chở
xong lô hàng trong 24 giò. Hỏi nếu huy động 18 xe, mỗi xe chỏ một
chuyến được 8 tấn thì cần thòi gian bao lâu sẽ chỏ hết lô hàng đó?
Phân tích. Trong bài toán trên xuất hiện 4 đại lượng :
- Khôi lượng hàng phải chỏ (là đại lượng không đổi).
- Sô' ô tô tham gia vận chuyển.
- Sô' hàng mỗi xe chỏ đưỢc trong một chuyến.
- Thời gian chở xong lô hàng.
67

Ta có thể phân tích bài toán trên thành hai bài toán về đại lượng
tỉ lệ nghịch như sau :
12 xe, mỗi xe chở một chuyên đưỢc 5 tấn : chở xong trong 24 giò
12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 8 tấn : chỏ xong trong ? giò
(giải ra ta được A giò)
Và :
12 xe, mỗi xe chỏ một chuyên được 8 tấn : chở xong trong A giờ
18 xe, mỗi xe chỏ iriột chuyến đưỢc 8 tấn : chỏ xong trong ? giờ
Hoặc ;
12 xe, mỗi xe chở một chuyến được 5 tấn : chỏ xong trong 24 giò
18 xe, mỗi xe chở một chuyên đưỢc 5 tấn : chỏ xong trong ? giò
(giải ra ta đưỢc B giò)
V à:
18 xe, mỗi xe chở một chuyến đưỢc 5 tấn : chở xong trong B giò
18 xe, mỗi xe chỏ một chuyên đưỢc 8 tấn : chở xong trong ? giò
G iải. Cách 1 :
Thời gian để 12 xe loại 8 tấn/chuyến chồ xong lô hàng là:
24 X 5 : 8 = 15 (giờ)
Thời gian để 18 xe loại 8 tấn/chuyến chở xong lô hàng là:
15 X 12 : 18 = 10 (giò)
Cách 2 :
Thời gian để 18 xe loại 5 tấn/chuyến chỏ xong lô hàng là:
24 X 12 : 18 = 16 (giò)
Thời gian để 18 xe loại 8 tấn/chuyến chở xong lô hàng là :
16 X 5 : 8 = 10 (giờ)
Đáp sô' : 10 giờ
Chú ý. Ta thường gọi dạng toán trên là tỉ lệ nghịch kép
Ví d ụ 2.10. Một đội công nhân gồm 20 ngưòi được giao nhiệm vụ
đắp một con đường dài 800m trong 10 ngày. Hỏi với cùng năng suất
làm việc như nhau thì một đội công nhân gồm 50 ngưòi đắp xong
đoạn đưòng dài 1200m trong bao nhiêu ngày?
Giải.
Thời gian để 20 người đắp xong đoạn đường dài 1200m là:
10 X 1200 : 800 = 15 (ngày)
68

Thời gian để 50 ngvíòi đắp xong đoạn đường dài 1200m là:
15 X 20 : 50 = 6 (ngày)
Đáp sô'; 6 ngày
Chú ý. Ta thường dạng toán trên là tỉ lệ thuận-nghịch
Nhận xét. Qua các ví dụ trên ta thấy, để giải bài toán tỉ lệ kép ta
thường phân chia thành hai bài toán về tỉ lệ đơn, bằng cách tạm giả
thiết một trong hai đại lượng biến thiên không dổi.
B ài tập tự lu yện
2.17. Một tốp gồm 8 ngưòi thợ mộc trong 6 ngày đã đóng đưỢc 120
bộ bàn ghế. Hỏi một tốp thợ gồm 12 người đóng xong 360 bộ bàn ghế
cùng loại trong thòi gian bao lâu? Biết rằng năng suất làm việc của
mọi người là như nhau.
2.18. Một phân xưỏng may có 30 người được giao nhiệm vụ may
một lô hàng trong 8 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giò. Sau khi làm việc
đưỢc 2 ngày thì có 18 ngưòi được điều đi làm việc ở nơi khác và số còn
lại tăng thòi gian làm việc mỗi ngày thêm 2 giò. Hỏi phân xưởng đó
hoàn thành khôi lượng công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng
năng suất làm việc của mọi ngưòi là như nhau.
2.19. Một công ti thuê 15 tàu thuỷ vận chuyển một lô hàng trên
quãng đưòng dài 120km, phải trả 18 000 000 đồng tiền cưổc vận
chuyển. Hỏi vói cùng giá cước vận chuyển như trên, công ti đó thuê 25
tàu vận chuyển hàng trên quãng 50km thì phải trả bao nhiêu tiền?
2.20. Một đội công nhân có 120 ngưòi được giao nhiệm vụ đắp một
đoạn đường dài 4km. Ban chỉ huy đội tính rằng để hoàn thành đúng
kế hoạch thì mỗi ngày phải làm việc 8 giò. Trước khi khởi công, đội
đưỢc điều thêm 30 ngưòi vê cùng làm và được giao đắp thêm Ikm
đường. Hỏi để hoàn thành đúng kế hoạch thì mỗi ngày phải làm việc
mấy giò? Biết rằng năng suất làm việc của mọi người là như nhau.
2.21. Một đội công nhân có 30 ngưòi được giao đắp một đoạn
đường trong 20 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giò. Sau khi làm việc đưỢc
5 ngày thì được bổ sung thêm 10 ngưòi và ban chỉ huy đội quyết định
tăng thòi gian làm việc lên 10 giò một ngày. Hỏi đội công nhân đắp
xong đoạn đường đó trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm
việc trong một giò của mọi người là như nhau.
69

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về li th u yết :
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc :
- Khái niệm về tương quan tỉ lệ thuận và tương quan tỉ lệ nghịch,
- Khái niệm về phương pháp rú t vể đơn vị, phương pháp tỉ số và
các dạng toán tiểu học có thể giải bằng hai phương pháp này.
- Các bưóc giải toán khi dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc
phương pháp tì số.
- Khái niệm về quy tắc tam suất (thuận và nghịch).
2. Yêu cầu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm được :
- ứ n g dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số để
giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận (chú ý phân biệt các trường hỢp
khác nhau) :
+ Cách nhận dạng bài toán.
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp.
+ Biết vận dụng quy tắc tam suất thuận để giải toán nâng cao.
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán về đại lượng tỉ lệ thuận theo từng
trưòng hỢp.
- ứ n g d ụ n g p h ư ơ n g p h á p r ú t v ể đ ơ n v ị v à t ỉ R ố đ ể g i ả i t o á n v ề đ ạ i
lượng tỉ lệ nghịch :
+ Cách nhận dạng bài toán.
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp.
+ Biết vận dụng quy tắc tam suất nghịch để giải toán nâng cao.
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán về đại lượng tỉ lệ nghịch theo từng
trường hỢp.
- Biết giải 3 dạng toán vê' tỉ lệ kép :
+ Biết phân tích cấu trúc một để toán về tỉ lệ kép (tì lệ thuận kép,
tỉ lệ nghịch kép và tỉ lệ thuận nghịch).
+ Biết vận dụng quy tắc tam suất để giải toán về tỉ lệ kép.
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán về tỉ lệ kép.
Dành thời gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
70

Chương III
PHƯƠNG PHÁP CHIA TỈ LỆ
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm về phương pháp chia tỉ lệ
Phương pháp chia tỉ lệ (phương pháp CTL) là một phương pháp
giải toán, dùng để giải các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ sô
hoặc hiệu và tỉ sô' của chúng.
Phương pháp chia tỉ lệ đưỢc dùng để giải các bài toán về cấu tạo
số tự nhiên, cấu tạo phân số, cấu tạo số thập phân, các bài toán có nội
dung hình học, các bài toán về chuyển động đều,...
Khi giải các bài toán về tìm ba sô', biết tổng và tỉ số hoặc hiệu và
tỉ số của chúng, người ta cũng dùng phương pháp CTL.
Khi giải bài toán bằng phương pháp CTL, người ta thường tiến
hành theo các bưốc dưới đây :
1. Tóm tắt đề toán bằng SĐĐT : dùng các đoạn thẳng để biểu thị
mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm. Sô' phần
bằng nhau của các đoạn thẳng trên sd đồ tương ứng với tỉ sô' của các
số cần tìm.
2. Tìm tổng hoặc hiệu sô' phần bằng nhau trên sơ đồ.
3. Tìm giá trị của một phần.
4. Xác định mồi sô' cần tìm.
Để cho lời giải được ngắn gọn, người ta thường kết hớp các bưốc 2,
3 và 4 (xem các ví dụ ở phần sau).
2. ứ n g dụng phương pháp CTL để giải các bài toán về tìm
hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng
Ví d ụ 3.1. Trong vườn nhà Nam có 68 cây chanh và cam. Sô'cây
chanh gấp 3 lần sô' cây cam. Hỏi vườn nhà Nam có bao nhiêu cây
mỗi loại?
71

Giải. Ta có sd đồ sau :
0-' - ? cây
Số cây cam : I
Sô' cây chanh ; I-
? cây
'l p
68 cây
Tổng số phần bằng nhau là :
1 + 3 = 4 (phần)
Số cây cam là :
68 : 4 = 17 (cây)
Số cây chanh là ;
17 X 3 = 51 (cây)
Đáp sô' : 17 cây cam
51 cây chanh
Ví d ụ 3.2. Một cửa hàng bán được 252m vải trắng và vải hoa. số
mét vải trắng bằng — số mét vải hoa. Hỏi cửa hàng đó bán được bao
6
nhiêu mét vải mỗi loại?
G iải. Ta có sơ đồ sau :
ỉm
Số vải hoa :
Sô' vải trắn g : hH
>■ 252m
Sô' mét vải trắng là :
252 : (6 + 1) = 36 (m)
Sô' mét vải hoa là :
36 X 6 = 216 (m)
Đáp số ; 36m vải trắng
216m vải hoa
3
Ví d u 3.3. Lóp lA có 35 hoc sinh, sô' hoc sinh nữ bằng — số hoc
4
sinh nam. Tính số học sinh nam, học sinh nữ của lớp đó.
72

Giải. Nếu chia số học sinh nam thành 4 phần bằng nhau thì sô'
học sinh nữ chiếm 3 phần như thế. Ta có sơ đồ sau :
? HS
Sô' học sinh nam : y- " " — I
-----------1------------1— H
> 35 HS
Số học sinh nữ : I-
? HS
Sô' học sinh nữ là :
35 : (4 + 3) X 3 = 15 (học sinh)
Số học sinh nam là :
35 - 15 = 20 (học sinh)
Đáp s ố : 20 học sinh nam
15 học sinh nữ
Ví d ụ 3.4. Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay bằng 22. Khi
tuổi anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp 4 lần tuổi em. Tính
tuổi mỗi người hiện nay.
G iải. Vì hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời
gian nên ta có sơ đồ sau :
Tuổi em trước đây : I
-------1
Tuổi anh trưóc đây : I
-------\----1-------1------1
Tuổi em hiện nay ;
? tuổi
H
Tuổi anh hiện nay : Y" - \
-----1-
? tuổi
I I
)■ 22 tuổi
Tuổi em hiện nay là
22 : (4 + 7) X 4 = 8 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là :
22 - 8 = 14 (tuổi)
Đáp sô': anh : 14 tuổi
em : 8 tuổi
73

Ví d ụ 3.5. Năm nay tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi. Đến khi
tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi hai cha con cộng lại bằng
109. Tìm tuổi mỗi người hiện nay.
Giải. Vì tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi, nên nếu ta biểu thị
tuổi con là 1 phần thì tuổi cha sẽ là 7 phần như thế và thêm một đoạn
ứng vđi 3 tuổi. Đồng thời hiệu sô' tuổi của cha và con không thay đổi
theo thời gian.
Ta có sơ đồ sau :
Tuổi con hiện nay : I— I
Tuổi cha hiện nay : Y ''\' I— I— I— |—^
3 tuổi
Tuổi con sau này : I— I— I— I— I— I— I—
Tuổi cha sau này : I— I— I— I— I— I— I— I— h I I
109t
Tuổi con hiện nay là :
(109 - 3 X 3) : (7 + 7 + 6) = 5 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là :
5 X 7 + 3 = 38 (tuổi)
Đáp sô': con 5 tuổi
cha 38 tuổi
Ví d ụ 3.6. Năm nay tổng số tuổi của hai mẹ con bằng 45. Biết rằng
hai lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con. Tìm tuổi mỗi ngưòi hiện nay.
G iải. Ta nhận xét : hai lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con suy ra tỉ
, , , , .7
sô của tuôi me và tuôi con bằng —.
2
Ta có sơ đồ sau :
? tuổi
TuổiII m ẹ :
Tuổi con :
? tuổi
>- 45 tuổi
74

Tuổi mẹ hiện nay là :
45 : (7 + 2) X 7 = 35 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là :
45 - 35 = 10 (tuổi)
Đáp số ; mẹ 35 tuổi
con 10 tuổi
Ví dụ 3.7. Hai đội vận tải vận chuyển đưỢc 680 tấn hàng. Biết
2 - 4
rằng — số hàng của đôi 1 bằng — sô' hàng của đôi 2. Hỏi mỗi đội đã
5 7
vận chuyển đưỢc bao nhiêu tấn hàng?
Giải.
Tỉ số hàng của đội 1 và đội 2 vận chuyển đưỢc là :
4 _2 ^10
7 '5 7
Ta có sơ đồ sau :
? tấn
Đội 1 :
------------------—______________- I
Đội 2 ; I-
10 phần
? tấn
7 phần
SỐ hàng đội 1 vận chuyển đưỢc là ;
680 : (10 + 7) X 10 = 400 (tấn)
Sô' hàng đội 2 vận chuyển đưỢc là :
680 - 400 = 280 (tấn)
Đáp số : Đội 1 : 400 tấn
Đội 2 : 280 tấn
680 tấn
Bài tập tự luyện
3.1. Một cửa hàng vật liệu xây dựng trong một ngày đã bán đưỢc
280 bao xi măng, trong đó sô' xi măng bán đưỢc trong buổi sáng bằng
3
— số xi măng bán được trong buổi chiều. Tính số xi măng cửa hàng
5
đã bán đưỢc trong mỗi buổi.
75

3.2. Nhân dịp khai giảng đầu năm học, mẹ đưa Hà đi mua sách
2
và vở hết 147000 đồng, trong đó sô" tiền mua vở bằng — sô" tiền mua
5
sách. Hỏi Hà đã mua mỗi loại hết bao nhiêu tiền?
3.3. Tuổi hai anh em năm nay cộng lại bằng 16. Đến khi tuổi em
bằng tuổi anh hiện nay thì tuổi anh bằng — tuổi em. Tìm tuổi mỗi
3
người hiện nay.
3.4. Năin nay tuổi cô gấp 6 lần tuổi cháu. Đến khi tuổi cháu bằng
tuổi cô hiện nay thì tuổi hai cô cháu cộng lại bằng 68. Tính tuổi mỗi
người hiện nay.
3.5. Năm nay tuổi chị hơn 3 lần tuổi em là 3 tuổi. Đến khi tuổi em
bằng tuổi chị hiện nay thì tuổi của hai chị em cộng lại bằng 49. Hỏi
năm nay chị bao nhiêu tuổi?
3.6. Năm nay mẹ 73 tuổi. Khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện nay thì
tuổi mẹ hơn 7 lần tuổi con lúc đó là 4 tuổi. Tính tuổi con hiện nay.
3. ư n g dụng phương pháp CTL để giải toán về tim hai số
khi biết hiệu và tỉ số của chúng
Ví d ụ 3.8. Số cây đào trong vưòn nhà Lan gấp 4 lần số cây mận
v à n h i ề u h ơ n s ố c â y m ậ n 12 c â y , H ỏ i v ư ờ n n h à L a n c ó b a o n h i ê u c â y
mỗi loại?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
? cây
Đ ào:
........
12 cây
Mận : | - - . ! ỵ I
Số cây mận là :
12 : (4 - 1) = 3 (cây)
Số cây đào là :
12 + 3 = 15 (cây)
Đáp sô': 15 cây đào; 3 cây mận.
76

Ví dụ 3.9. Hai đội vận tải được huy động vận chuyển xi măng phục
vụ một công trình thuỷ lợi. Đội thứ nhất chỏ nhiều hơn đội thứ hai 124
9
tấn và số xi mảng đôi thứ nhất chở đưỢc bằng — sô' xi măng của đội
5
thứ hai đã chở. Hỏi mỗi đội đã chở được bao nhiêu tấn xi măng?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
? tấn
Đội thứ nhất :
-----1------1------1--------------------1 r.V-H
124 tan
? tấn
Đội thứ hai : I
------1------1------1------1------1
Số xi măng đội thứ hai chở được là :
124 : (9 - 5) X 5 = 155 (tấn)
Số xi măng đội thứ nhất chồ được là :
155 + 124 = 279 (tấn)
Đáp sô' ; Đội thứ nhất : 279 tấn
Đội thứ hai : 155 tấn
Vi d ụ 3.10. Mẹ sinh con năm 32 tuổi. Hỏi năm mẹ bao nhiêu tuổi
thì ba lần tuổi mẹ bằng bảy lần tuổi con?
Oiải. Ba lần tuổi mẹ bàng bảy lần tuổi con cỏ nghla là tuổi C O I I
3 ^
bằng — tuổi mẹ. Ta có sđ đồ sau :
? tuổi
Tuổi mẹ ; Ị- - " 'f
-WzTit
-----1----
Á*-
32 tuổi
Tuổi con : I
------1------1------1
Tuổi mẹ khi ba lần tuổi mẹ bằng bảy lần tuổi con là :
32 : (7 - 3) X 7 = 56 (tuổi)
Đáp số’: 56 tuổi
Ví d ụ 3.11. Sáu năm trước, con lên 6 tuổi và kém cha 35 tuổi. Hỏi
sau mấy năm nữa thì tuổi cha hơn ba lần tuổi con là 3 tuổi?
77

Giải. Vì hiệu sô' tuổi của cha và con không thay đổi theo thòi gian
nên ta có sơ đồ sau biểu diễn tuổi của hai cha con khi tuổi cha hơn 3
lần tuổi con là 3 tuổi :
3 tuổi
Cha: I
---------k z:-----^
35 tuổi
? tuổi
Con : I
---------1
Tuổi con lúc đó là :
(35 - 3) : (3 - 1) = 16 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là :
6 + 6 = 12 (tuổi)
Thòi gian từ nay cho đến khi tuổi cha hơn 3 lần tuổi con
3 tuổi là : )
16 - 12 = 4 (năm)
Đáp số : 4 năm
Ví dụ 3.12. Một cửa hàng đồ sắt có hai loại đinh 3 phân và 5
phân. Sô' đinh 3 phân nhiều hơn sô' đinh 5 phân 45kg. Hỏi cửa hàng
3
đó có bao nhiêu ki-lô-gam đinh mỗi loại? Biết rằng — số đinh 3 phân
8
bằng — số đinh 5 phân.
Giải.
Tỉ số giữa số đinh 3 phân và số đinh 5 phân là :
6 . 3 ^ 16
7 ■ 8 7
Ta có sơ đồ sau :
16 phần
Đinh 3 phân : h
...........
45kg
'ke
Đinh 5 phân :
7 phần
?kg
k " °
78

Số đinh 5 phân là :
45 : (16 - 7) X 7 = 35 (kg)
Sô' đinh 3 phân là :
35 + 45 = 80 (kg)
Đáp số : 35kg đinh 5 phân
80kg đinh 3 phân
Bài tập tự luyện
3.7. Sô' bạn nam của lớp lA nhiều gấp ba lần số bạn nữ và nhiều
hơn số bạn nữ là 18 bạn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh nam, bao
nhiêu học sinh nữ?
3.8. Trong hai tuần đầu tháng 5, một cửa hàng bán được sô' mét
7 - , -
vải hoa bằng — sô mét vải trắng và hơn vải trắng 216m. Hỏi cửa
4
hàng đó đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi loại?
3.9. Ba năm trước cha hơn con 36 tuổi. Hỏi năm cha bao nhiêu
tuổi thì 3 lần tuổi cha bằng 7 lần tuổi con?
3.10. Ba năm trước em 6 tuổi và kém chị 6 tuổi. Hỏi sau mấy năm
nữa thì 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em?
3.11. Năm nay cháu lên 8 tuổi và kém chú 12 tuổi. Hỏi cách đây
mft”y n ă m t h ì t u ô i c h ú hcln 3 l ổ n t u ô i r h á i i lồ 2 tiiô i?
3.12. Ba năm trước mẹ 70 tuổi. Khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện
nay thì tuổi mẹ hơn 7 lần tuổi con lúc đó là 4 tuổi. Tìm tuổi con
hiện nay.
4. ứ n g dụng phương pháp CTL để giải toán về cấu tạo số
4.1. C ấu tạo s ố tự n h iên
Ví d ụ 3.13. Khi viết thêm sô' 12 vào bên trái một số tự nhiên có
hai chữ số thì sô' đó tăng gấp 26 lần. Tìm sô' có hai chữ sô đó.
Giải.
Cách 1. Gọi sô' cần tìm là ab . Khi viết thêm số 12 vào bên trái, ta
đưỢc sô' cần tìm là 12ab . Theo để bài ta có :
Ĩ ^ = 1200 + ăb = ib x 2 6 (1)
79

Ta có sơ đồ sau :
ãĩ,:
1 phần 1200
12ab: Y" "---------------------------
26 phần
Sô" cần tìm là :
1200: ( 2 6 - 1) = 48
Cách 2. Từ (1) ta suy ra ;
ab X 26 = 1200 + ab
ab X 2 6 - a b = 1200
ãbx (2 6 -1 ) = 1200
ab X 25 = 1200
ab = 1200:25
ab = 48.
Thử lại : 1248 : 48 = 26 (chọn)
Trả lòi ; số cần tìm là 48.
Ví du 3.14. K h i v i ố t t h ô m c h ữ 8Ô’ 1 v à o b ô n p h ả i m ộ t sô’ t ự n h i ê n
CÓ ba chữ số th ì số đó tăng thêm 3889 đơn vỊ. Tìm sô’ có ba chữ sô" đó.
Giải.
Gọi số cần tìm là a b c . Khi viết thêm chữ sô' 1 vào bên phải ta
đưỢc số a b c l. Theo đề bài ta có :
abcl = 3889 + abc = abc X10 +1
Ta có sơ đồ sau :
9
abc : I-
1 phần
3889
i b S :
............."
10 phần ^
80

Số cần tìm là
(3 8 8 9 - 1) : (1 0 - 1) = 432
Chú ý. Bài toán trên có thể giải bằng cách khác.
4.2. Cấu tao p h â n s ố
Khi giải các bài toán về cấu tạo phân sô' bằng phương pháp chia tỉ
lệ, ta thường sử dụng các tính chất dưới đây :
Tính chất 1. Khi cộng thêm vào cả tử sô' và mẫu sô' của một phân
sô' với cùng một sô' tự nhiên thì hiệu giữa tử sô' và mẫu sô' của phân số
đó không thay đổi.
Tính chất 2. Khi bớt cả tử sô' và mẫu sô' của một phân số vói cùng
một số tự nhiên thì hiệu giữa tử sô' và mẫu số của phân sô' đó không
thay đổi.
Tinh chất 3. Khi cộng thêm vào tử sô', đồng thòi bót đi ỏ mẫu số
của một phân số với cùng một sô' tự nhiên thì tổng của tử sô' và mẫu
số của phân sô' đó không thay đổi.
Tinh chất 4. Khi bót tử sô' đồng thòi thêm vào mẫu sô" của một
phân sô' vói cùng một sô' tự nhiên thì tổng của tử sô' và mẫu số’ của
phân số đó không thay đổi.
Dưói đây ta xét một sô' ví dụ về vận dụng các tính chất nói trên ;
13
Ví du 3.15. Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu số của phân sô' —
31
1999
vói cùng một sô' tự nhiên ta được một phân sô' mới bằng _ . Tìm số
e 2005
tụ nhiên đó.
Giải.
Hiệu giữa tử sô' và mẫu sô' của phân sô' đã cho là :
31 - 13 = 18
Theo tính chất 1 ta có sơ đồ sau :
1999 phần
Tử số mới : ^
18 đơn vị
Mẫu sô' mới : 1-,^^
---------------------------------
2005 phần
81

Tử số mới là :
18 : (2005 - 1999) X 1999 = 5997
Sô' tự nhiên cần tìm là :
5 9 9 7 - 13 = 5984
Đáp số : sô’ cần tìm là 5984
173
Ví du 3.16. Khi bót đi cả tử và mẫu sô' của phân sô' —— cùng
293
2
một sô' tự nhiên ta đưỢc một phân sô' mới bằng —. Tìm số tự nhiên đó.
Giải.
Hiệu giữa tử số và mẫu sô' của phân số đã cho là :
2 9 3 - 173= 120
Theo tính chất 2 ta có sơ đồ sau :
9
Tử số mới ;
120
Mâu số mới : I
------1------¡“ ’ ■' " V - —-| --------1-----~ĩ 'H
Tử số mới là :
120 : (7 - 2) X 2 = 48
Sô" tự nhiên cần tìm là :
1 7 3 - 4 8 = 125
Đáp số ; số cần tìm là 125
Ví dụ 3.17. Khi cộng thêm vào tử sô' đồng thời bốt đi ở mẫu số
của phân số cùng một số tự nhiên ta đưỢc một phân số mới
3 _
bằng —. Tìm sô’ tự nhiên đó.
5
Giải.
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là :
143 + 57 = 200
82

Theo tính chất 3 ta có sơ đồ sau :
9
Tử số mói ; h" ' ' ' \
Mẫu sô' mới : h-I
------h ------1
200
Tử sô’ mới là :
200 : (3 + 5) X 3 = 75
Số tự nhiên cần tìm là :
1 4 3 - 7 5 = 68
Đáp sô' ; số tự nhiên cần tìm là 68
Ví d ụ 3.18. Tìm một phân số, biết rằng tổng của tử sô' và mẫu số
của phân số đó bằng 180 và sau khi rút gọn ta đưỢc một phân số
bằng —.
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
Tử số : h
Mẫu số : h
4-
9
I I
y 180
Tử sô' của phân sô' cần tìm là :
180 : (7 + 5) X 5 = 75
Mẫu số của phân số cần tìm là ;
180 - 75 = 105
75
Trả lời : Vậy phân sô" cần tìm là
105
4.3. Cấu tạo s ố th ậ p p h ả n
Khi giải các bài toán về cấu tạo số thập phân bằng phương pháp
chia tỉ lệ, ta thường vận dụng các tính chất sau đây :
Tinh chất 1. Khi dòi dấu phảy của một sô’ thập phân sang bên
trái một; hai hoặc ba hàng thì sô' đó giảm đi 10; 100 hoặc 1000 lần.
83

Tính chất 2. Khi dòi dấu phảy của một sô' thập phân sang bên
phải một; hai hoặc ba hàng thì số đó tăng lên 10; 100 hoặc 1000 lần.
Ví dụ 3.19. Khi dời dấu phảy của một số thập phân sang bên trái
một hàng thì số đó giảm đi 48,87 đơn vị. Tìm sô' thập phân đó.
Giải. Khi dòi dấu phảy của một sô' thập phân sang bên trái một
hàng thì sô' đó giảm đi 10 lần. Ta có sơ đồ sau :
•}
Số cần tìm : H'"~~F-irrL
48,87
Số mới : I
------1
Sô' thập phân cần tìm là :
48,87 ; ( 1 0 - 1 ) X 10 = 54,3
Ví dụ 3.20. Khi bỏ quên dấu phảy của một sô' thập phân có hai
chữ số ở phần thập phân thì sô' đó tăng thêm 1221,66 đơn vỊ. Tìm số
thập phân đó.
Giải. Khi bỏ quên dấu phảy của một số thập phân có hai chữ số ở
phần thập phân thì sô' đó tăng gấp 100 lần. Ta có sơ đồ sau :
100 phần
Sô’ m ó i : [ — I ■ I ■ I
-------1--------ĩ ; r » H
1 2 2 ĩ , 6 6
Số cần tìm :|—í—I
Số thập phân cần tìm là :
1221,66: (1 0 0 -1 ) = 12,34
Ví d ụ 3.21. Khi cộng một số thập phân có hai chữ số ỏ phần
thập phân với một số tự nhiên, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên
dấu phảy của số thập phân và đặt phép tính như cộng hai số tự
nhiên nên kết quả của phép tính tăng thêm 1221,66 đơn vị. Tìm số
thập phân đó.
Giải.
Khi bỏ quên dấu phảy của một số thập phân có hai chữ sô' ỏ phần
thập phân thì số đó tăng gấp 100 lần. Ta có sơ đồ sau :
84

STN
Phép tính nhầm : Ị- „ i _ I
-----1---------------1---------1-1-Ị --------1-1
1221,66 grpp
Phép tín h đúng ; I
___\______I
Số thập phân cần tìm là :
1221,66 ;(1 Ọ 0 -1 )= 12,34
B ài tậ p tự luyện
3.13. Khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái một sô" tự nhiên có hai
chữ sô', ta nhận được một sô' lớn gấp 37 lần số ban đầu. Tìm sô' có hai
chữ số đó.
3.14. Tìm một sô' tự nhiên c6 ba chũ sô', biết rằng khi viết thêm số
13 vào bên trái số đó thì nó tăng gấp 26 lần.
3.15. Tìm một sô" tự nhiên có hai chữ sô’, biết rằng khi viết thêm
chữ số 7 vào bên phải sô" đó thì nó tăng thêm 1789 đơn vị.
3.16. Chữ số hàng đơn vị của một sô' tự nhiên có 4 chữ sô’ bằng 9.
Khi xoá đi chữ số hàng đơn vỊ của sô’ đó thì nó giảm đi 4896 đơn vị.
Tìm số tự nhiên đó.
3.17. Viết thêm sô' 12 vào bên phải một số tự nhiên có hai chữ sô'
thì sô” đó tăng thêm 4467 đơn vị. Tìm số đó.
3.18. Khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái và chữ số 5 vào bên phải
một số tự nhiên có hai chữ sô" thì nó tăng thêm 1788 đơn vị. Tìm số có
hai chữ sô' đó.
25
3.19. Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân sô' — vói cùng
môt số tư nhiên ta đươc môt phân số bằng — . Tìm sô' tư nhiên đó.
64
3.20. Khi bớt cả tử và mẫu của phản số vối cùng môt sô' tự
91
nhiên, ta đưỢc một phân số bằng —. Tìm sô' tự nhiên đó.
3
5
3.21. Tìm một phân sô' bằng — , biết rằng hiệu giữa tử sô' và mẫu
8
sô'của phân sô' đó bằng 42.
85

3.22. Một phân sô" có tổng của tử số và mẫu số bàng 189. Sau khi
g
rú t gon ta đươc phân sô' — . Tìm phân số đó.
4
3.23. Khi viết thêm vào bên trái của tử số và mẫu số của phân số
11 ' 37 _
— cùng một số tự nhiên ta đưỢc phân số bằng — . Tìm sô’ tự nhiên đó.
3.24. Khi lùi dấu phảy của một sô' thập phân sang bên phải một
hàng thì số đó tăng thêm 588,87 đơn vị. Tìm số đó.
3.25. Khi rời dấu phảy của một sô' thập phân sang bên trái hai
hàng thì sô' đó giảm đi 12,177 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
3.26. a) Khi cộng một số thập phân có ba chữ sô' ỏ phần thập phân
với một số tự nhiên, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên dấu phảy của
8Ô' thập phân và đặt phép tính như cộng hai sô' tự nhiên. Vì vậy kết
quả của phép tính tăng thêm 1232,766 đơn vỊ. Tìm sô' thập phân đó.
b) Khi trừ một sô" tự nhiên cho một sô" thập phân có một chữ sô' ỏ
phần thập phân, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên dấu phảy của số
thập phân và đặt phép tính như trừ hai sô' tự nhiên. Vì vậy kết quả
của phép tính đã giảm đi 388,8 đơn vị. Tìm sô' thập phân đó.
5. ứ ng dụng phương pháp CTL đ ể giải toán có lời văn điển
hình về phân số
Ví dụ 3.22. Hai bà đi chợ bán ổi, sau khi nhẩm tính, một bà bảo :
3 5 3 5
sô' ổi của tôi gấp 1,5 lần — sô' ổi của bà và - số ổi của tôi ít hơn —
5 8 5 8
sô' ổi của bà 15 quả”. Hỏi mỗi bà đã mang bao nhiêu ổi ra chợ bán?
Phân tích.
3 5
- Nếu ta coi — sô' ổi của bà thứ nhất như môt đai lương A và —
5 ■ ■ 8
số ổi của bà thứ hai như một đại lượng B thì :
3
+ Tỉ sô' của hai đại lượng này bằng 1,5 = —
2
+ Hiệu sô' của A và B là 15 quả
Bài toán trên đây thuộc dạng tìm hai sô' khi biết hiệu và tỉ số
của chúng.
8 6

Giải bài toán trên ta tìm đưỢc A và B. Từ đó ta tìm được số ổi của
mỗi bà.
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải của bài toán như sau :
Đổi 1,5 = —
2
Ta có sơ đồ sau :
3 ,
— sô' ổi của bà thứ nhất : I---------1
---------!<-------^
15 quả
5 ,
— số ổi của bà thứ hai : I
---------1----------1
8
Ba phần năm sô ổi của bà thứ nhất là :
15 ; ( 3 - 2 ) X 3 = 45 (quả)
Năm phần tám số ổi của bà thứ hai là :
45 - 15 = 30 (quả)
Số ổi của bà thứ nhất là ;
45 : 3 X 5 = 75 (quả)
Số ổi của bà thứ hai là :
3 0 ; i5 X 8 = 4 8 ( q u ả )
Đáp số ; 75 quả và 48 quả
Ví d ụ 3.23. Một cửa hàng rau quả có hai rổ đựng cam và chanh.
4 5
Sau khi bán được — số cam và — sô chanh thì người bán hàng thấy
Y 9
3
hai loại còn lại 160 quả, trong đó sô’ cam bằng — số chanh. Hỏi lúc
ỗ
đầu cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại?
Phân tích. Theo đề bài ta dễ dàng tính đưỢc phân sô' chỉ sô' cam
còn lại là ậ và phân số chỉ số chanh còn lại là — .
• 7 9
Từ đây ta đưa về bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng.
Dựa vào kết quả của bài toán hày ta tìm đưỢc đáp sô’ của bài toán
đã cho.
87

Từ phân tích trên đây ta đi đến lòi giải của bài toán như sau :
Cách 1.
Phân số chỉ số cam còn lại là :
4 3
1 - ^ (tổng số cam)
7 7
Phân số chỉ sô' chanh còn lại là :
1 - — = — (tổng số chanh)
9 9
Ta có sơ đồ sau :
? quả
" l r ~ H
— số chanh : K
9
+
? quả
I ' - f-
Ba phần bảy số cam là :
160 : (3 + 5) X 3 = 60 (quả)
Bốn phần chín số chanh là :
1 6 0 -6 0 = 100 (quả)
Số cam lúc đầu của cửa hàng là :
60 : 3 X 7 = 140 (quả)
Số chanh lúc đầu của cửa hàng là :
100 : 4 X 9 = 225 (quả)
Cách 2 ;
Ta có sơ đồ sau :
? quả
Số cam còn lại : h 4-H
Số chanh còn lại : h
? quả
I -
160 quả
■- 160 quả
88

Số cam còn lại là :
160 : (3 + 5) X 3 = 60 (quả)
Số chanh còn lại là :
160 - 60 = 100(quả)
Sô cam lúc đầu của cửa hàng là :
------1-----1 . - - +' " I-------
Bán còn 60 quả
60 : 3 X 7 = 140 (quả)
Số chanh lúc đầu của cửa hàng là :
-----1-----1-----. J - — K " J-------1----
Bán còn 100 quả
100 ; 4 X 9 = 225 (quả)
Đáp số : 140 quả cam
225 quả chanh
Bài tập tự luyện
2
3.27. Một bà mang trứng ra chợ bán. Sau khi bán đưỢc — sô'
3
3 V 2
trứng gà và — sô' trứng vịt, bà nhẩm tính số trứng vịt còn lại bằng —
8 3
số trứng gà còn lại và ít hơn số trứng gà 30 quả. Hỏi bà đã mang tất
cả bao nhiêu trứng ra chợ bán?
3.28. Hai đội học sinh khô'i Bốn và khối Năm của trường tiểu học
Kim Liên tham gia xây dựng vườn trường. Sau khi làm việc đưỢc
1 giò thì cô giáo phụ trách lao động điều — sô' học sinh của khối Bốn
3
và — sô' hoc sinh của khối Nám đi làm việc khác, còn lại 36 em làm
8
4 -
việc trong vườn trưòng, trong đó sô' học sinh của khối Bốn bằng — số
Ö
học sinh của khối Năm. Hỏi lúc đầu mỗi khôi có bao nhiêu học sinh
tham gia lao động?
89

3.29. Hai đội vận tải được giao nhiệm vụ vận chuyển một sô" hàng
3 ' 3 5
hoá. Biết rằng — số hàng của đội thứ nhất bằng — của số hàng
8 5 11
3
của đội thứ hai đưỢc giao vận chuyển và — số hàng của đội thứ nhất
8
ít hơn — số hàng của đội thứ hai là 24 tấn. Hỏi nếu mỗi xe chỏ được
5 tấn thì mỗi đội phải huy động bao nhiêu xe để chở hết lô hàng đó?
6. ứ n g d ụ n g phương p h áp CTL đ ể g iải to á n có nội d u n g
h ìn h học
Ví d ụ 3.24. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 168m, trong
đó chiều rộng bằng — chiều dài. Tìm diện tích của thửa ruộng đó.
Giải.
Nủa chu vi của thửa ruộng đó là ;
168 : 2 = 84 (m)
Ta có sơ đồ sau :
?m
Chiều rộng :
---1--1-----r~~H
Chiều dài : H I------1-
8 4 m
Chiều rộng của thửa ruộng là :
84 ; (5 + 7) X 5 = 35 (m)
Chiều dài của thửa ruộng là :
84 - 35 = 49 (m)
Diện tích thửa ruộng là :
35 x 4 9 = 1715 (m")
Đáp sô'; 1715m^
Ví dụ 3.25. Người ta mỏ rộng một cái ao hình vuông về bô"n phía
như hình vẽ. Sau khi mở rộng, diện tích ao tăng thêm 300m^ và như
th ế diện tích ao mới gấp 4 lần ao cũ. Hỏi ngưòi ta cần bao nhiêu chiếc
cọc để đủ rào xung ao mđi? Biết cọc nọ cách cọc kia Im.
90

Giải.
Ta có sơ đồ sau :
Diện tích ao cũ : |-
Diện tích ao mói : I-
- k r :
----1---------
3ÕÕm*"
Diện tích ao mói là :
' 300 : (4 - 1) X 4 = 400(m')
Suy ra cạnh của ao mối là 20m, vì 20 X 20 = 400.
Chu vi của ao mới là :
20 X 4 = 80 (m)
Số cọc cần để rào xung quanh ao mổi là :
80 : 1 = 80 (chiếc)
Đáp s ố : 80 chiếc cọc
Ví d ụ 3.26. Có hai mảnh bìa hình vuông mà cạnh của mảnh lớn
gấp đôi mảnh nhỏ. Người ta cắt hai mảnh đó thành các mảnh nhỏ để
ghép lại ta được một mảnh bìa hình vuông có diện tích 20cm^. Tìm
cạnh của mỗi mảnh bìa hình vuông đó.
Giải.
91

Nhìn hình vẽ trên ta thấy diện tích hình vuông lớn gấp 4 lần diện
tích hình vuông nhỏ. Ta có sơ đồ sau :
Diện tích m ảnh nhỏ : I———I
Diện tích mảnh lớn : I
------------1-------------------------------------1 -----------1--------------1
>• 20cm’'
Diện tích mảnh bìa nhỏ là :
20 : (4 + 1) = 4 (em')
Suy ra cạnh của mảnh nhỏ là 2cm, vì 2 X 2 = 4
Cạnh của mảnh lớn là ;
2 x 2 = 4 (cm)
Đáp s ố : 4cm
B ài tập tự lu y ện
3.30. Người ta cần viền nhôm xung quanh một chiếc gương hình
chữ nhật có diện tích 48dm^ và chiều rộng bằng — chiều dài. Tính số
3
mét nhôm cần dùng.
3.31. Ngưòi ta trồng phi lao xung quanh một khu đất hình chữ
2
nhật có chiều rộng bằng — chiều dài hết 1000 cây. Tìm diện tích của
3
khu đất đó, biết rằng cây nọ cách cây kia 2m.
3.32. ở giữa một khu đất hình vuông người ta đào một cái ao
hình bán nguyệt. Phần diện tích còn lại để trồng hoa và cây cảnh.
Diện tích ao bằng — diện tích trồng hoa và hẹp hơn diện tích trồng
hoa 280m^. Xung quanh vườn người ta trồng cau, cây nọ cách cây kia
2m. Hỏi trồng đưỢc bao nhiêu cây cau?
3.33. Có hai m ảnh bìa hình vuông mà cạnh của mảnh này gấp ba
lần mảnh kia. Người ta cắt hai mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ rồi
ghép lại đưỢc một hình vuông có diện tích lOdm^. Tìm cạnh của mỗi
mảnh bìa hình vuông đó.
92

7. ứ n g dụng phương pháp CTL đ ể giải toán về chuyển
động đều
Khi giải toán về chuyển động đều bằng phương pháp chia tỉ lệ, ta
thường sử dụng các tính chất sau của chuyển động đều :
1. Trên cùng một quãng đường, khi vận tốic tăng bao nhiêu lần thì
thòi gian giảm đi bấy nhiêu lần.
2. Trong cùng một thời gian, khi vận tốc tàng gấp bao nhiêu lần
thì quãng đường cũng tăng lên bấy nhiêu lần.
3. Vói cùng một vận tốc, khi thòi gian tăng gấp bao nhiêu lần thì
quãng đưòng cũng tăng lên bấy nhiêu lần.
Ví d ụ 3.27. Một người dự kiến đi xe đạp từ nhà với tốc độ
14km/giò để đến huyện lúc 10 giờ. Do tròi trở gió nên mỗi giò người ấy
chỉ đi được lOkm và đến huyện lúc 10 giò 36 phút. Tính quãng đưòng
từ nhà đến huyện.
Giải.
Thòi gian người ấy đi lâu hơn dự kiến là :
10 giò 36 phút - 10 giò = 36 phút
Tỉ số giữa vận tốc thực đi và vận tốc định đi là :
10: 14= -
7
(Theo tính chất 1 ta suy ra tỉ sô' giữa thòi gian định đi
và thòi gian thực đi bằng — ).
Ta có sơ đồ sau ;
? phút
T h ò i g i a n đ ị n h đ i ;
---------1---------1---------r ~ ~ ~ ~l
36 phút
Thòi gian thực đi : I
------1------1------1------1------\ ' ' ' I
Thòi gian người ấy dự định đi là :
36 : (7 - 5) X 5 = 90 (phút)
93

Quãng đưòng từ nhà lên huyện là :
90 phút = 1,5 giò
14 X l,5 = 21(km)
Đáp số : 21kin
Ví dụ 3.28. Lúc 7 giờ sáng, một ôtô xuất phát từ A vói vận tốc
45km/giò đi về phía B. Cùng lúc đó một người đi xe máy xuất phát từ B
với vận tốc 35km/giờ đi về phía A. Hỏi lúc mấy giờ thì hai xe gặp nhau
và chỗ gặp nhau cách A bao xa? Biết rằng quãng đường AB dài 160km.
Giải.
Tỉ sô' vận tốc của ôtô và xe máy là :
45 : 35 = -
7
Suy ra tỉ sô' giữa quãng đường ôtô và quãng đường xe máy đi đến
g
chỗ gặp nhau là —. Ta có sơ đồ sau :
?km
Xe m áy:
-ị----1-----r~ ~ ~ r--.|
?km
Ôtô ;
l e o k m
Quãng đường ôtô đi đưỢc hay khoảng cách từ A đến chỗ
gặp nhau :
160 : (7 + 9) X 9 = 90 (km)
Thời gian hai xe đi đến chỗ gặp nhau là :
90 : 45 = 2 (giờ)
Hai xe gặp nhau lúc :
7 + 2 = 9 (giò)
Đáp số : 9 giò; 90km.
Chú ý. Bài toán có thể giải bằng cách áp dụng công thức về hai
chuyển động ngưỢc chiều.
Ví dụ 3.29. Lúc 8 giò sáng một xe khách khỏi hành từ Hà Nội đi
về đến Nam Định nghỉ lại 2 giò để trả và đón khách, sau đó lại trở về
đến Hà Nội lúc 2 giò 30 phút chiều cùng ngày. Lúc trở về do đường
94

ngược gió nên mỗi giò xe đi chậm hơn lúc đi 9km. Tính quãng đưòng
từ Hà Nội đến Nam Định, biết rằng thời gian đi nhanh hơn thòi gian
vê 30 phút.
Giải.
2 giò 30 phút chiểu = 14 giò 30 phút
Thời gian ôtô đi và về là :
14 giò 30 phút - 8 giờ - 2 giò = 4 giờ 30 phút
Thời gian xe đi từ Hà Nội đến Nam Định là :
(4 giò 30 phút - 30 phút) : 2 = 2 giờ
Thòi gian xe đi từ Nam Định vể Hà Nội là :
4 giò 30 phút - 2 giờ = 2 giò 30 phút
Tỉ sô' giữa thòi gian lúc đi và lúc về là ;
2 giò = 120 phút; 2 giò 30 phút = 150 phút
Vì 120 : 150 = — . Suy ra tỉ số giữa vận tổc đi và vận tốc về là —
5 4
Ta có sơ đồ sau :
?km/giờ
Vận tốc đi :
V ậ ii Lốc v ể : -'"~r
----------1-----------1-------
9km/giờ
Vận tô'c của ôtô lúc về là :
9 : (5 - 4) X 5 = 45 (km/giờ)
Quãng đưòng từ Hà Nội đến Nam Định dài là :
45 X 2 = 90 (km)
Đáp sô’ : 90km.
Bài tập tự luyện
3.34. Lúc 6 giò sáng một người đi xe máy từ Hà Nội với vận tổc
45km/giò về thăm quê. Hôm sau người đó từ quê trở về Hà Nội. Do
tròi trở gió, mỗi giò chỉ đi đưỢc 35km cho nên thòi gian lúc về lâu hơn
lúc đi 40 phút. Tính quãng đưòng từ Hà Nội về quê người đó.
95

3.35. Lúc 11 giò An đi bộ từ nhà đến trường vối vận tốc
4km/giờ. Cùng lúc đó em An tan học và đi xe đạp từ trường về nhà
vối vận tốc 12km/giờ. Hỏi lúc mấy giò họ gặp nhau và chỗ gặp nhau
cách nhà An bao nhiêu mét? Biết rằng quãng đường từ nhà An đến
trường dài 1600m.
3.36. Lúc 6 giò sáng một tàu thuỷ chỏ khách xuôi dòng từ A về
đến B nghỉ lại 2 giò để trả và đón khách, sau đó lại ngưỢc dòng và trỏ
về đến A lúc 3 giờ 20 phút chiều cùng ngày. Tính quãng đường từ A
đến B, biết rằng thòi gian xuôi dòng nhanh hơn thời gian ngưỢc dòng
40 phút và vận tốc của dòng nưổc là 50 m/phút.
3.37. Hãy ra một đề toán về chuyển động đểu giải bằng phương
pháp chia tỉ lệ, sau đó giải bài toán đó.
8. ứ n g dụng phương pháp CTL đ ể giải toán về tìm ba số
khi biết tổn g và tì số hoặc hiệu và tỉ sấ của chúng
Ví d ụ 3.30. Tổng của ba sô' bằng 225. Tỉ sô' của sô' thứ nhất với số
2 V 3
thứ hai bằng —, của số thứ hai vđi sô’ thứ ba bằng — . Tìm ba sô' đó.
3 4
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
Sô' thứ nhất : y' ' ' ' — I
----
7
Sô' thứ hai : I
-----------1_
9
Sô'thứ ba :
---1------
Số thứ nhất là :
225 : (2 + 3 + 4) X 2 = 50
Sô' thứ hai là ;
50 : 2 X 3 = 75
Số thứ ba là :
2 2 5 - 5 0 - 7 5 = 100
Ba số cần tìm là: 50, 75 và 125.
96

Ví dụ 3.31. Ba xe vận tải đưỢc giao nhiệm vụ chỏ 480 tấn hàng.
4
Sô hàng của xe thứ hai chở được bằng — sô' hàng xe thứ nhất và bằng
5
— số hàng xe thứ ba. Hỏi mỗi xe chỏ đưỢc bao nhiêu tấh hàng?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
? tấn
Xe thứ hai : K- ' " | " I
-------p
Xe thứ nhất :
Xe thứ ba : ^
+
? tấn
4-H
? tấn
I '~~'l
480 tấn
Sô' hàng xe thứ nhất chỏ được là :
480 : (5 + 4 + 7) X 5 = 150 (tấn)
Số hàng xe thứ hai chở đưỢc là :
150 : 5 X 4 = 120 (tấn)
Sô' hàng xe thứ ba chở đưỢc là :
48U - 15U - 12U = liiu (tấn)
Đáp số; 150 tấn; 120 tấn; 210 tấn.
V 3
Ví du 3.32. Tìm ba sô', biết rằng sô' thứ nhất bằng - sô' thứ hai,
5
4
bàng — sô thứ ba và kém sô thứ ba 108 đơn vị.
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
Số thứ nhất :
Số thứ ba :
------r"' I------1------k' í T~~,ĩ
ĨÕ8
97

Sô’ thứ nhất là :
108 : (7 - 4) X 4 = 144
Số thứ ba là :
144 + 108 = 252
Số thứ hai là :
144 : 3 X 5 = 240
Ba sốcần tìm là 144, 240 và 252.
Chú ý. Khi giải bài toán về tìm ba số khi biết hiệu và tỉ số của
chúng, trước tiên ta giải bài toán về tìm hai sô' khi biết hiệu và tỉ số.
Sau đó ta tìm số còn lại.
B ài tập tự luyện
3.38. Tổng của ba sô' bằng 200. Số thứ nhất gấp hai lần sô' thứ hai
và gấp sáu lần số thứ ba. Tìm ba số đó.
3.39. Hưỏng ứng phong trào “Trồng cây gây rừng”, học sinh khối
năm của trường tiểu học Nghĩa Tân đã trồng đưỢc 240 cây. Sô' cây của
4 ' 4
lóp 5A trồng được bằng — số cây của lớp 5B, bằng — số cây của lớp
3 õ
5C. Hỏi mỗi lóp trồng đưỢc bao nhiêu cây?
3.40. Tổng kết năm học 2005 - 2006, ba lóp khôì Một của trường
tiểu học Trưng Vương có 72 bạn đạt danh hiệu học sinh giỏi. Sô' học
3
sinh giỏi của lớp lA gấp 3 lần lổp IC và bằng — sô’ học sinh giỏi của
2
lóp IB. Hỏi mỗi lốp có bao nhiêu học sinh giỏi?
3.41. Ba người đang chăn vịt trên cánh đồng. Sau khi nhẩm tính,
bác Hùng bảo : “Sô' vit của tôi bằng — số vit của bác Hà, bằng — số
5 11
vịt của bác Nga và kém sô' vịt của bác Nga 80 con”. Bạn hãy cho biết
mỗi đàn có bao nhiêu con vịt.
3.42. Trong tháng 10 vừa qua, bạn Tú đạt đưỢc số điểm khá
nhiều hơn sô' điểm trung bình 6 điểm và ít hơn số điểm giỏi 6 điểm.
Sô' điểm giỏi gấp 4 lần số điểm trung bình. Hỏi tháng đó bạn Tú đạt
đưỢc bao nhiêu điểm mỗi loại?
98

3.43. Hãy ra một đề toán sô' học và một đề toán có lòi văn về tìm
ba sô khi biêĩ tông và tỉ sô của chúng, sau đó giải các bài toán đó.
3.44. Hãy ra một đê toán sô học và một đê toán có lời văn vê tìm
ba số khi biết hiệu và tỉ sô' của chúng, sau đó giải các bài toán đó.
9. ư n g dụng phương pháp CTL đ ể giải toán vui và toán cổ
ở tiểu học
Ví d ụ 3.33. Một đàn trẻ đang chăn trâu trên cánh đồng. Một em
trong bọn hô : “Lên ngựa, mỗi vỊ một con”. Thế là một em không có
trâu cưỡi. Phi đưỢc một đoạn, một em khác trong bọn lại hô : “Sang
ngựa, hai vị một con”. Thê là một trâu không có người cưỡi. Hỏi có
mấy trẻ, mấy trâu?
Giải.
Sau khi thực hiện lệnh của em thứ hai : “Sang ngựa, hai vị một
con” thì sô' trâu có người cưỡi bằng một nửa tổng sô' trâu. Mặt khác
theo đề bài thì lúc này có một trâu không có người cưỡi.
Ta có sơ đồ sau ;
? con
Tổng số trâu :
----hr:— ~~:»l
1 con
tíô trâu có người cưõi : ^
Số trâu là :
1 x 2 = 2 (con)
Sau khi thực hiện lệnh của em thứ nhất thì một em không có
trâu cưỡi. Vậy sô' trẻ hơn số trâu là 1.
Sô' trẻ là ;
2 + 1 = 3 (em)
Đáp sô' : 3 trẻ và 2 trâu
Ví d ụ 3.34. Một con cò đang bay, gặp một đàn vịt trời bay ngang
qua bèn cất tiếng chào : “Chào trăm bạn!” Con vịt đầu đàn bèn trả lòi ;
“Bạn nhầm rồi! Chúng tôi, thêm một nửa chúng tôi, thêm một phần ba
chúng tôi và thêm cả anh nữa mđi đủ một trăm”. Hỏi đàn vịt trời có
bao nhiêu con?
99

Giải.
Ta có sơ đồ sau :
h
I
------1-
1 con
H ------h
>- 100 con
y
Số vịt của cả đàn là :
(100 - 1) : (2 + 3 + 6) X 6 = 54 (con)
Đáp sô' : 54 con
Bài tập tự luyện
3.45. Một đàn cò bay đến đậu ỏ một vườn cây. Nếu mỗi cò đậu
một cây thì 3 con không có cây đậu. Nếu mỗi cây 3 cò đậu thì 3 cây
không có cò đậu. Hỏi có mấy cây? Mấy cò?
3.46. Một nhóm trẻ chò chia bánh Trung thu. Nếu mỗi em một
bánh thì thiếu một bánh. Nếu hai em một bánh thì thừa một bánh.
H ỏ i c ó m ấ y b á n h ? M ấ y t r ẻ ?
3.47. ‘Tang tảng tròi vừa lúc rạng đông,
Rủ nhau đi hái mấy quả bòng
Bốn người một quả, thừa năm quả
Mỗi ngưòi một quả, bốn người không”
Hỏi có bao nhiêu người, bao nhiêu bòng?
100

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu vể lí th u y ế t :
v ể phương diện lí tliuyết, học viên cần nắm đưỢc :
- Khái niệm về phương pháp chia tỉ lệ và các dạng toán tiểu học
có thể giải bằng phương pháp chia tỉ lệ
- Các bước giải toán khi dùng phương pháp chia tỉ lệ
2. Yêu cầu về b ài tậ p :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm được :
- ứng dụng phương pháp chia tỉ lệ để giải 8 dạng toán ở tiểu học :
+ Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng
+ Tìm hai số biết hiệu và tỉ sô' của chúng
+ Các bài toán về cấu tạo sô' tự nhiên, phân số và số thập phân
+ Các bài toán có nội dung hình học
+ Các bài toán về chuyển động đều
+ Các bài toán có lời văn điển hình trên tập phân sô’
+ Các bài toán về tìm ba số, biết tổng và tỉ số hoặc hiệu và tỉ số
của chúng
+ Các bài toán vui và toán cổ.
- Đối vói mỗi dạng cần nắm được :
+ Cách nhận dạng bài toán
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán giải bằng phương pháp chia tỉ lệ
theo từng dạng.
Dành thòi gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
101

Chương IV
PHƯƠNG PHÁP THỬ CHỌN
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm về phương pháp thử chọn
Phương pháp thử chọn (PPTC) dùng để giải các bài toán về tìm
một số, khi số đó đồng thời phải thoả mãn một sô' điều kiện cho trước.
PPTC có thể dùng để giải các bài toán về cấu tạo số tự nhiên, cấu
tạo phân số’, cấu tạo số thập phân, các bài toán có lòi văn, toán có nội
dung hình học toán về chuyển động đều,...
Khi giải các bài toán bằng PPTC, ta thường tiến hành theo hai
bước như s a u :
Bước 1. Liệt kê. Trưổc hết ta xác định các số thoả mãn một sô'
trong số các điểu kiện mà đề bài yêu cầu (tạm bỏ qua các điều kiện
còn lại). Để lời giải được ngắn gọn, ta cần lựa chọn các điều kiện để
liệt kê, sao cho số các số liệt kê đưỢc là ít nhất.
Bước 2. Kiểm tra và kết luận. Lần lượt kiểm tra mỗi sô' vừa liệt kê
ỏ bưđc một có thoả mãn các điều kiện còn lại mà đề bài yêu cầu hay
không? Số nào thoả mãn, sẽ là sô’ cần tìm. Sô’ nào không thoả mãn
một trong số các điều kiện còn lại thì ta loại bỏ.
Bước kiểm tra và kết luận thường đưỢc thể hiện trong một bảng.
2. ứ ng dụng PPTC để giải toán số học
Ví d ụ 4.1. Tổng các chữ số của một số tự nhiên chẵn có hai chữ số
bằng 11. Nếu thêm vào số đó 3 đơn vỊ ta đưỢc sô' có hai chữ số giông
nhau. Tìm số có hai chữ số đó.
Phân tích :
Số cần tìm phải thoả mãn ba điều kiện :
- Là số chẵn có hai chữ số
- Tổng các chữ số bằng 11
- Số đó cộng vói 3 đưỢc một số có hai chữ số giông nhau.
102

Trong bưốc thứ nhất ta có thể liệt kê các số thoả mãn điều kiện
thứ nhất và thứ hai hoặc các số có hai chữ sô' giông nhau.
Nếu chọn cách 1 ta được các s ố : 92, 38, 74, 56.
Nếu chọn cách 2 ta được các s ố ; 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
Trong bưđc hai, ta lần lượt kiểm tra từng số vừa liệt kê với điều
kiện còn lại sau đó rút ra kết luận.
Giải.
Cách 1 : Các sô' chẵn có hai chữ sô' mà tổng các chữ số của nó bằng
11 là : 38, 56, 74, 92. Ta có bảng sau :
ab ab + 3 Kết luận
38 38 + 3 = 41 Loại
56 56 + 3 = 59 Loại
74 74 + 3 = 77 Chọn
92 92 + 3 = 95 Loại
Sô cần tìm là 74.
Cách 2 : Các sô' có hai chữ sô' khi thêm vào 3 đơn vị ta được số có hai
chữ sô' giông nhau là : 22 - 3 = 19, 33 - 3 = 30, 44 - 3 = 41, 55 - 3 = 52,
66 - 3 - 63, 77 - 3 = 74, 88 - 3 = 85, 99 - 3 96.
Ta có bảng sau :
ab a +b Kết luận
19 10 < 11 Loại
30 3 < 11 Loại
41 5 < 11 Loại
52 7 < 11 Loại
63 9< 11 Loại
74 11 = 11 Chọn
85 13> 11 Loại
96 15> 11 Loại
Vậy số cần tìm là 74.
103

Ví dụ 4.2. Tích của tử số và mẫu sô” của một phân sô’ nhỏ hơn 1
bằng 315. Nếu thêm vào tử số, đồng thòi bốt đi ỏ mẫu số 3 đơn vị thì
ta nhận đưỢc một phân số bằng —. Tìm phân sô' đó.
Giải.
Số 315 có thể là tích của các cặp sô' sau : 1 và 315; 3 và 105; 5 và
63; 7 và 45; 9 và 35; 15 và 21.
Các phân số nhỏ hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 315 là ;
_L
___3_ ^
315’105’63 ’4 5 ’35 ’21 ’
Ta có bảng sau :
a
b
a - 3
b + 3
Kết luận
1
315
1 -3
315 + 3
Loại
3 3 - 3
Loại
105 105 + 3
5 5 - 3 1
--------< — Loại
63 63 + 3 2
7 7 - 3 1
------— < — Loại
45 45 + 3 2
9 9 - 3 1
Loại
-------< —
35 35 + 3 2
15 1 5 -3 1
Chọn
21 + 3 2
Phân số cần tìm là .
21
Ví dụ 4.3. Tích của tử số và mẫu số của một phân số làn hơn 1
bằng 490. Khi chia cả tử và mẫu của phân số đó cho 7 ta đưỢc một
phân số tối giản. Tìm phân sô' đó.
Giải.
Số 490 có thể là tích của các cặp sô' sau : 1 và 490; 2 và 245; 5 và
98; 7 và 70; 10 và 49; 14 và 35.
104

Các phân sô' lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 490 là
490 245 98 70 49 35
1 ’ 2 ’ 5 ’ 7 '1 0 ’ 14'
Ta có bảng sau :
a
b
a :7
b:7
Kết luận
490 490:7
Loại
1 1:7
245 245:7
Loại
2 2:7
98 98:7
Loại
5 5:7
70 70:7 10
Chọn
7 7:7 1
49 49:7
Loại
10 10:7
35 35:7 5
Chọn
14 14:7 2
70 35
Các phân số cần tìm là 4 ^ ,— .
7 14
Ví dụ 4.4. Phần nguyên của một số thập phân là một số tự nhiên
có hai chữ số mà tích các chữ số của nó bằng 24. Nếu sô" đó thêm 2
đơn vị ta được một số có hai chữ số giống nhau. Viết các chữ số của số
thập phân đó theo thứ tự từ phải sang trái thì số đó không thay đổi.
Tìm số thập phân đó.
Giải.
Số 24 có thể là tích của các cặp chữ số sau : 3 và 8; 4 và 6.
Phần nguyên của số thập phân có thể là : 38, 83, 46, 64.
Ta có bảng sau :
105

ab ãb+ 2 Kết luận
38 38 + 2 = 40 Loại
83 83 + 2 = 85 Loại
46 46 + 2 = 48 ĨX)ại
64 64 + 2 = 66 Chọn
Vậy phần nguyên của sô' thập phân cần tìm là 64. Theo đề bài thì
số thập phân cần tìm có dạng ab,ba. Vậy sô' thập phân cần tìm là
64,46.
Ví dụ 4.5. Các chữ số phần mười, phần trăm và phần nghìn của
số thập phân có ba chữ sô' ở phần thập phân là ba sô' chẵn liên tiếp.
Tích các chữ sô' ỏ phân thập phân bằng phần nguyên của sô’ đó. Các
chữ số ỏ phần thập phân và phần nguyên đều khác nhau. Tìm số
thập phân đó.
Giải.
Các chữ số ở phần thập phân của số thập phân cần tìm có thể là :
024; 246; 468; 420; 642; 864.
Ta có bảng sau :
Phần thập
phân
Phần
nguyên
Sô’ thập phânKết luận
024 0 0,024 Loại
246 48 48,246 Loại
468 192 192,468 Chọn
420 0 0,420 Loại
642 48 48,642 Loại
864 192 192,864 Chọn
Vậy số thập phân cần tìm là : 192,468 và 192,864.
B ài tậ p tự lu y ệ n
4.1. Tìm một số chẵn có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của
nó bằng 9 và tích các chữ số của nó là số tròn chục có hai chữ sô".
106

4.2. Tổng các chữ số của một sô' có hai chữ sô' bằng 13, nếu bót sô'
đó đi 3 đơn vị ta đưỢc một sô' có hai chữ số giống nhau. Tìm sô' có hai
chữ số đó.
4.3. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ sô' hàng chục gấp hai
lần chữ số hàng đơn vỊ và tổng các chữ số của nó là số có hai chữ số.
4.4. Tìm một sô có hai chữ số, biết rằng chữ sô’ hàng chục lón hơn
chữ số hàng đơn vị hai đơn vị và tổng của số đó vói sô’ nhận đưỢc do
viết các chữ số của nó theo thứ tự ngưỢc lại là một số tròn chục có ba
chữ số.
4.5. Tìm sô' lẻ có hai chữ số, biết rằng hiệu giữa chữ sô' hàng chục
và hàng đơn vị của sô đó bằng 3 và tích các chữ số của nó là số có một
chữ số.
4.6. Tìm một số có ba chữ số, biết rằng tích các chữ sô' của sô' đó là
sô' tròn chục có hai chũ số và nếu thêm vào sô' đó 12 đơn vỊ thì ta được
sô' có ba chữ số giống nhau.
4.7. Tìm một sô' có ba chữ sô", biết rằng tích các chữ số của sô' đó là
số tròn chục có ba chữ số và nếu thêm vào số đó 12 đơn vị thì ta đưỢc
số có ba chũ sô’ giông nhau.
4.8. Các chữ số hàng trăm , hàng chục và hàng đơn vị của nó theo
thứ tự là ba số lẻ liên tiếp. Nếu bớt sô' đó 24 đơn vị thì ta được số có ba
chữ sô giông nhau. Tìm sô đó.
4.9. Tìm một sô' có ba chủ số, biết rằng chữ số hàng chục của số đó
gấp 2 lần chữ sô' hàng đơn vị và nếu lấy tích của chữ số hàng đơn vị
và hàng chục chia cho chữ sô' hàng trăm ta đưỢc thương bằng 8.
4.10. Tìm một số có ba chữ số, biết rằng các chữ sô' hàng chục và
hàng đơn vị của sô' đó là hai sô' tự nhiên liên tiếp viết theo thứ tự tăng
dần và nếu lấy tích của chữ số hàng chục và hàng đơn vỊ chia cho chữ
sô hàng trăm ta đưỢc số nhỏ nhất có hai chữ sô.
4.11. Tìm một số có ba chữ số khác nhau, biết rằng tổng của chữ
sô' hàng trăm vói chữ sô' hàng đơn vị bằng 9, tích của chữ sô' hàng
chục và hàng đơn vị bằng chữ sô' hàng trăm của sô' đó.
4.12. Tổng các chữ sô' của một số chẵn có bôn chữ số bằng 18 và
các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị của sô' đó là ba số tự
nhiên liên tiếp. Tìm sô' đó.
107

4.13. Tích của tử số và mẫu số của một phân số bằng 200. Nếu
chia cả tử và mẫu của phân số đó cho 5 ta đưỢc một phân sô' tối giản.
Tìm phân số đó.
4.14. Tử sô' của một phân số là một số có bốn chữ số chia hết cho 6.
Các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vỊ của sô' đó
là bốn sô' tự nhiên liên tiếp. Viết các chữ số của tử số theo thứ tự ngirợc
lại ta được mẫu sô'. Tìm phân số đó.
4.15. Các chữ số phần mười, phần trăm và phần nghìn của một số
thập phân có ba chữ số ở phần thập phân theo thứ tự là ba số lẻ liên
tiếp. Tổng các chữ số của phần thập phân bằng phần nguyên của sô' đó.
Các chữ số của số thập phân đó đều khác nhau. Tìm số thập phân đó.
4.16. Hãy ra ba đề toán về cấu tạo sô' tự nhiên giải bằng PPT(L
4.17. Hãy ra ba đề toán vể cấu tạo phân sô' giải bằng PPTC.
4.18. Hãy ra ba đề toán vể cấu tạo số thập phân giải bàng PPTC.
3. ứ n g dụng PPTC đ ể giải toán có lời văn
Ví d ụ 4.6. Một tôp thợ dùng 11 đoạn ông nước gồm hai loại : dài
6m và 8m để lắp đặt một đoạn đường ống dài 72m. Hỏi tốp thợ đó
phải dùng mỗi loại bao nhiêu ống để khi lắp đặt họ không phải cắt
một ống nào?
Giải.
Ta có bảng sau :
Loại 8m
(ống)
Loại 6m
(ống)
Tổng chiều dài (m)Kết luận
1 10 68< 72 Loại
2 9 70< 72 Loại
3 8 72 = 72 Chọn
Mỗi khi tăng một ông loại 8m và giảm một ông loại 6m thì chiều
dài đường ông tăng thêm 2m. Vì vậy nếu số ống loại 8m nhiều hơn 3
thì tổng chiểu dài đường ông lớn hơn 72m.
Vậy người thợ phải dùng 3 ống loại 8m và 8 ống loại 6m.
Chú ý. Bài toán có th ể giải bằng phương pháp giả thiết tạm. (Xem
chủ đề phương pháp giả thiết tạm).
108

Ví dụ 4.7.
"Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Có mười sáu con
Bôn mươi chân chẵn”
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Giải.
Ta có bảng sau :
Số chó
1
Sô' gà
15
14
13
12
Tổng sô' chân
34 < 40
36< 40
38< 40
40 = 40
Kết luận
Loại
Loại
Loại
Chọn
Mỗi khi tàng 1 con chó, giảm một con gà thì tổng số chân tăng
thêm 2. Vì vậy, nếu số chó nhiều hơn 4 con thì tổng số chân lón hơn 40.
Vậy có 4 con chó và 12 con gà.
Chú ý. Bài toán có thể giải bằng phương pháp giả thiết tạm. (Xem
chủ dề phương pháp giả thiết tạm).
Ví dụ 4.8. Tuổi bà năm nay gấp 3,2 lần tuổi cháu. Mưòi năm
trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu. Bà thường nói : “Bà ước gì sông
đưỢc 100 tuổi để thấy cháu mình thành đạt”. Tìm tuổi bà và tuổi cháu
hện nay.
Giải.
Ta nhận x é t;
- Tuổi bà hiện nay gấp 3,2 lần tuổi cháu nên để tuổi bà là số tự
nhiên ihì tuổi cháu phải có tậii cùng bằng 0 hoặc 5.
- Mười năm về trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu chứng tỏ tuổi
cháu hiện nay lớn hơn 10;
- Bà thường ưóc sống đến 100, chứng tỏ tuổi bà chưa đến 100. Như
vậy 3,2 lần tuổi cháu phải nhỏ hơn 100, tức là tuổi cháu nhỏ hơn 35.
Vậy tuổi cháu có thể là 15, 20, 25 hoặc 30.
109

Ta có bảng sau :
Tuổi
cháu
hiện nay
Tuổi bà
hiện nay
Tuổi
cháu 10
năm
trước
Tuổi bà
10 năm
trước
Tỉ số
tuổi 10
năm
trước
Kết luận
15 48 38 7,6 Loại
20 64 10 54 5,4 Chọn
25 80 15 70
14
3
Loại
30 96 20 86 4,3 Loại
Vậy năm nay bà 64 tuổi và cháu 20 tuổi.
Bài tập tự luyện
4.19. Cô giáo chủ nhiệm mua 35 quyển vở để phát thưởng cho 9
em học sinh giỏi và học sinh tiên tiến của tổ Một lóp 5A. Mỗi em học
sinh giỏi đưỢc thưỏng 5 quyển, mỗi em học sinh tiên tiến được thưởng
3 quyển vở. Hỏi có bao nhiêu em học sinh giỏi, bao nhiêu em học sinh
tiên tiến đưỢc phát thưỏng?
4.20. Một ngưòi mua 20 gói bánh và kẹo hết 80 000 đồng. Giá một
gói bánh là 13 000 đồng, một gói kẹo là 3000 đồng. Hỏi người ấy mua
được bao nhiêu gói mỗi loại?
4.21. Một người dùng 50 chiếc can loại 40 lít và 5 lít để đựng 460
lít xăng. Hỏi mỗi loại can có bao nhiêu chiếc?
4.22. Tuổi ông năm nay gấp 4,2 lần tuổi cháu. Mười năm trưóc,
tuổi ông gấp 10,6 lần tuổi cháu. Tuần trước báo vừa đăng tin : “Cụ già
cao tuổi nhất nước ta hiện nay thọ 132 tuổi”. Tìm tuổi ông và tuổi
cháu hiện nay.
4.23.
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Hai mươi sáu con
Sáu mươi chân chẵn”
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
110

4.24.
“Yêu nhau cau sáu bổ ba
Ghét nhau cau sáu bổ ra làm mười
Số ngưòi tính đã tám mươi
Cau mưòi làm quả, hỏi người ghét yêu?”
4.25. Hãy ra hai đề toán có văn giải bằng PPTC.
4. ứ n g dụng PPTC đ ể giải toán có nội dung hình học
Ví dụ 4.9. Một tấm biển quảng cáo hình chữ nhật có diện tích
180dm^ và chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Hỏi người thợ dùng bao
nhiêu mét nhôm để đủ viền xung quanh tấm biển đó? Biết rằng số đo
các cạnh đều là sô' tự nhiên.
Giải.
Phân tích. Để tính đưỢc số mét nhôm cần sử dụng, ta phải tính
đưỢc kích thước của tấm biển đó. Có hai cách xác định :
- Liệt kê kích thưóc của những hình chữ nhật có chiều dài gấp 5
lần chiều rộng rồi lần lượt kiểm tra và đô'i chiếu với diện tích của tấm
biển để rút ra kết luận.
- Ta liệt kê kích thước của các tấm biển có diện tích bằng
180dm^. Sau đó kiểm tra tỉ số của chiều dài và chiều rộng để rút ra
kết luận.
Từ phân tích trên ta đi đến lòi giải của bài toán như sau
Cách 1 : Ta có bảng sau ;
Chiều rộng
(dm)
Chiểu dài
(dm)
Diện tích
(dm^)
Kết luận
1 5 5 < 180 Loại
2 10 20 < 180 Loại
3 15 45 < 180 Loại
4 20 80 < 180 Loại
5 25 125<180 Loại
6 30 180= 180 Chọn
111

Vậy chiều rộng của tấm biển là 6dm, chiều dài là 30dm.
Chu vi của tấm biển hay số mét nhôm cần để viền xung
quanh tấm biển đó là:
(6 + 30) X 2 = 72 (dm)
72dm = 7,2m
Cách 2 : Ta có bảng sau :
Chiều rộng
(dm)
1
Chiểu dài
(dm)
180
90
60
45
36
30
tỉ số
180; 1 > 5
90 : 2 > 5
60 : 3 > 5
4 5 :4 > 5
36 ; 5 > 5
30 : 6 = 5
Kết luận
Loại
Loại
Loại
Loại
Loại
Chọn
Khi chiểu rộng lớn hơn 6 thì chiều dài nhỏ hdn 30 nên tỉ sô" nhỏ
hơn 5.
Vậy chiều rộng của tấm biển là 6dm, chiều dài là 30dm.
Phần còn lại như cách giải 1.
Cách 3 : Ta chia tấm biển thành 5 hình vuông bằng nhau như
hình vẽ :
Diện tích của một hình vuông là :
180 : 5 = 36 (dm")
Suy ra cạnh của hình vuông hay chiểu rộng của hình chữ nhật là
6dm, vì 6 X 6 = 36.
Chiều dài của hình chữ nhật là :
6 X 5 = 30 (dm)
112

Ví dụ 4.10. Người ta trồng cây xung quanh một khu đất hình chữ
nhật có diện tích bằng 315m'^. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và giảm
chiều dài 3m thì ta được một khu đất hình vuông. Hỏi phải dùng bao
nhiêu cây để đủ trồng xung quanh khu đất đó? Biết rằng cây nọ cách
cây kia 2m và sô’ đo của các cạnh đểu là số tự nhiên.
Giải.
Các cặp số có tích bằng 315 là : 1 và 315; 3 và 105; 5 và 63; 7 và
45; 9 và 35; 15 và 21. Ta có bảng sau :
Chiều rộng
(m)
1
15
Chiểu dài
(m)
315
105
63
45
35
21
R + 3 so với
D - 3
l + 3 < 3 1 5 -3
3 + 3 < 1 0 5 -3
5 + 3 < 63 - 3
7 + 3<45-3
9 + 3<35-3
15 + 3 = 21-3
Kết luận
Loại
Loại
Loại
Loại
Loại
Chọn
Vậy chiều rộng của mảnh đất bằng lõm, chiều dài bằng 21m.
Chu vi của khu đất là :
(15 + 21) X 2 = 72 (m)
Số cây cần đế trồng xung quanh khu đất đó là :
72 : 2 =: 36 (cây)
Đáp số; 36 cây
Bài tập tự luyện
4.26. Người ta dùng 300 miếng bê tông hình vuông có cạnh 0,5m
để lát một cái sân hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng.
Sau đó người ta đóng cọc rào xung quanh sân đó và ở một góc để lại
một lối ra vào rộng 2m. Hỏi phải dùng bao nhiêu chiếc cọc? Biết rằng
khoảng cách giữa hai cọc là Im và số đo các cạnh đều là số tự nhiên.
4.27. Một cái ao hình chữ nhật có diện tích 120m^. Nếu kéo dài
chiều rộng thêm 2m ta đưỢc một cái ao hình vuông. Tìm chu vi của
cái ao đó, biết rằng số đo các cạnh đều là số tự nhiên.
4.28. Hãy ra hai đề toán có nội dung hình học giải bằng PPTC.
113

5. ứ n g d ụ n g PPT C đ ể g iải to á n về suy lu ậ n
Ví dụ 4.11. Trong ba tuần thi đua lập thành tích chào mừng
ngày Nhà giáo Việt Nam, các bạn học sinh tổ Một lớp 5A đạt được 28
điểm 10. Biết rằng sô' điểm 10 của tuần sau nhiều hơn tuần trưốc và
sô' điểm 10 của tuần thứ ba gấp ba lần tuần đầu. Hỏi mỗi tuần tổ Một
đạt đưỢc bao nhiêu điểm 10?
Giải.
Cách 1 : Trước hết ta xác định sô' điểm 10 của tuần thứ nhất. Nếu
tuần đầu đạt được 7 điểm 10 thì tuần thứ ba đạt được 21 điểm 10.
Như vậy tuần thứ hai không đạt đưỢc điểm 10 nào. Vậy số điểm 10
của tuần đầu phải nhỏ hơn 7.
Ta có bảng sau :
Tuần 1
1
Tuần 3
12
15
18
Tuần 2
24 > 3
20 >6
16 > 9
12 = 12
5 < 8< 15
4 < 6
Kết luận
Loại
Loại
Loại
Loại
Chọn
líOại
Vậy sô' điểm 10 của tuần đầu là 6, tuần thứ hai là 8 và tuần thứ
ba là 15.
Cách 2 :
Trước hết ta xác định sô' điểm 10 của tuần thứ ba. Số đó phải thoả
mãn các điều kiện sau đây :
- Là sô' chia hết cho 3;
- Lớn hơn 9, vì nếu tuần thứ ba đạt đưỢc 9 điểm thì tuần đầu đạt
đưỢc 3 điểm và tuần thứ hai đạt đưỢc 16 điểm (> 9);
- Nhỏ hơn 21, vì nếu tuần thứ ba đạt được 21 điểm thì tuần đầu
đạt 7 điểm, như vậy tuần thứ hai không đạt đưỢc điểm nào.
Vậy số điểm 10 của tuần thứ ba có thể là 12, 15 hoặc 18.
Lập bảng thử chọn như cách 1 ta đưỢc kết quả.
114

Bài tập tự lu yện
4.29. Ba khôi Ba, Bốn, Năm của một trường tiểu học trồng được
36 cây. Biết rằng khoi lớp trên trồng đưỢc nhiều cây hơn khối lóp dưói
và sô' cây khô'i Năm trồng gấp 4 lần khô'i Ba. Hỏi mỗi khô'i trồng được
bao nhiêu cây?
4.30. Trong 5 năm học ỏ tiểu học, bạn Lan đã sưu tầm đưỢc 62
bức bưu ảnh về phong cảnh. Số bưu ảnh năm sau sưu tầm đưỢc nhiều
gấp đôi năm trưóc. Hỏi mỗi năm bạn Lan đã sưu tầm được bao nhiêu
bức ảnh?
4.31. Hãy ra một đề toán về suy luận giải bằng PPTC.
B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về lí th u y ế t :
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc :
- Khái niệm về phương pháp thử chọn;
- Các bưóc giải toán khi dùng phương pháp thử chọn
2. Yêu cầu vể b ài tậ p :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm đưỢc :
- ứ n g dụng phương pháp thử chọn để giải 4 dạng toán ỏ tiểu học ;
+ Các bài toán về cấu tạo sô' tự nhiên, cấu tạo phân số và cấu tạo
số thập phân;
+ Các bài toán có văn giải bằng phương pháp thử chọn;
+ Các bài toán có nội dung hình học;
+ Các bài toán về suy luận.
- Đối với mỗi dạng cần nắm đưỢc :
+ Cách nhận dạng bài toán;
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp;
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán giải bằng phương pháp thử chọn
theo từng dạng.
Dành thời gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
115

Chương V
PHƯƠNG PHÁP KHỬ
A. NỘI DƯNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm về phương pháp khử
Trong nhiều bài toán, người ta cho biết kết quả sau khi thực hiện
các phép tính trên các cặp số liệu của hai đại lượng. Ta phải tìm giá
trị ứng với một đơn vỊ của mỗi đại lượng đó.
Để giải các bài toán dạng này, ta dùng phương pháp khử.
Khi giải các bài toán bằng phương pháp khử, ta điều chỉnh cho
hai giá trị của một đại lượng trong hai cặp là như nhau. Dựa vào
chênh lệch giữa hai giá trị của đại lượng còn lại, ta tìm được giá trị
tương ứng với một đơn vị của đại lượng này. Từ đó tìm giá trị tương
ứng với một đơn vị của đại lượng thứ hai.
2. ứ n g dụng phương pháp khử để giải toán
Ví dụ 5.1. Một người mua 2 gói kẹo và 5 gói bánh hết 26 000
đồng. Một lần khác, người ấy mua 2 gói kẹo và 9 gói bánh cùng loại
h ế t 4 2 0 0 0 đ ồ n g . T í n h g i á t i ề n m ộ t g ó i m ỗ i lo ạ i.
Giải.
Ta có thể tóm tắt bài toán như sau ;
Lần 1 : 2 gói kẹo và 5 gói bánh hết 26 000 đ
Lần 2 : 2 gói kẹo và 9 gói bánh hết 42 000 đ
Từ đây ta đi đến lòi giải của bài toán như sau :
Số gói bánh lần 2 mua nhiều hơn lần 1 là :
9 - 5 = 4 (gói)
Sô" tiền lần 2 mua nhiều hơn lần 1 là ;
42000 - 26000 = 16000 (đ)
Vì số gói kẹo hai lần mua như nhau, nên 16 000 đ lần 2 mua
nhiều hơn lần 1 là giá tiền của 4 gói bánh.
Giá tiền một gói bánh là :
16000 : 4 = 4000 (đ)
116

Giá tiền 5 gói bánh là :
4000 X 5 = 20 000 (đ)
Giá tiền một gói kẹo là :
(26000 - 20000) : 2 = 3000 (đ)
Đáp sô : 4000đ một gói bánh
3000đ một gói kẹo
Ví dụ 5.2. Một tốp thợ buổi sáng lắp đặt một đoạn đường ông
nước dài 44 m hết 4 ôVig loại 1 và 3 ống loại 2. Buổi chiều tốp thợ đó
lắp đặt đoạn đưòng ông dài 73m hết 5 ống loại 1 và 6 ông loại 2. Tính
độ dài một ốhg mỗi loại.
Phân tích. Giả sử sô' ống mỗi loại buổi sáng dùng tăng gấp đôi.
Vậy ta có :
Buổi sáng : 8 ốhg loại 1 và 6 ống loại 2 dài 88m
Buổi chiều : 5 ông loại 1 và 6 ông loại 2 dài 73m
Như vậy bài toán đã đưa về dạng ví dụ 5.1.
Từ phân tích trên ta đi đến lòi giải của bài toán như sau :
Giả sử sô" ống mỗi loại tốp thợ dùng trong buổi sáng tăng gấp đôi, thì:
Số ông loại 1 dùng trong buổi sáng là :
4 x 2 = 8 (ông)
Số ông loại 2 dùng trong buổi sáng là :
3 X 2 = G (ố n g )
Chiều dài đường ông lắp đặt trong buổi sáng là :
44 X 2 = 88 (ống)
Số ống loại 1 buổi sáng dùng nhiều hơn buổi chiều là :
8 - 5 = 3 (ống)
Chiều dài đường ốhg lắp đặt buổi sáng hơn buổi chiều là:
88 - 73 = 15 (ống)
Chiều dài 1 ông loại 1 là :
15 : 3 = 5 (m)
Chiều dài 4 ống loại 1 là :
4 X 4 = 20 (m)
Chiều dài 1 ống loại 2 là :
(44 - 20) : 3 = 8 (m)
Đáp số : loại 1 dài 5m; loại 2 dài 8m
117

Ví dụ 5.3. Một cửa hàng may 12 bộ quần áo người lốn và 20 bộ
quần áo trẻ em hết 108m vải. Lần khác, cửa hàng độ may 18 bộ quần
áo người lón và 15 bộ quần áo trẻ em cùng loại hết 117m vải, Tính số
mét vải cần để may một bộ quần áo mỗi loại.
Phân tích. Bài toán có thể tóm tắt như sau ;
12 bộ quần áo ngưòi lớn và 20 bộ quần áo trẻ em hết 108m vải
18 bộ quần áo người lớn và 15 bộ quần áo trẻ em hết 117m vải
Bây giò ta giả sử số bộ quần áo lần đầu may tăng gấp ba, lần sau
may tăng gấp đôi thì bài toán có thể tóm tắt như sau :
36 bộ quần áo người lổn và 60 bộ quần áo trẻ em hết 324m vải
36 bộ quần áo người lón và 30 bộ quần áo trẻ em hết 234m vải
Như vậy bài toán đưa về dạng đã biết trong ví dụ 5.1.
Giải.
Giả sử sô' bộ quần áo lần đầu may tăng gấp ba và lần sau may
tăng gấp đôi, thì :
Sô’ bộ quần áo người lón lần đầu may là ;
12 X 3 = 36 (bộ)
Số bộ quần áo trẻ em lần đầu may là :
20 X 3 = 60 (bộ)
Sô’ mét vải lần đầu may là ;
108 X 3 = 324 (m)
Số bộ quần áo người lớn lần sau may là ;
18 X 2 = 36 (bộ)
Số bộ quần áo trẻ em lần sau may là :
15 X 2 = 30 (bộ)
Số mét vải lần sau may là :
117 x 2 = 234 (m)
Số bộ quần áo trẻ em lần đầu may nhiều hơn lần sau là:
60 - 30 = 30 (bộ)
Số mét vải lần đầu may nhiều hơn lần sau là ;
324 - 234 = 90 (m)
Số mét vải dùng để may một bộ quần áo trẻ em là :
90 : 30 = 3 (m)
118

Số mét vải dùng để may 20 bộ quần áo trẻ em là :
3 X 20 = 60 (m)
Sô' mét vải dùng để may một bộ quần áo người lón là :
(1 0 8 -6 0 ): 12 = 4 (m)
Đáp sô' : 1 bộ quần áo người lón 4m
1 bộ quần áo trẻ em 3m
Ví d ụ 5.4. Giá tiền một gói bánh và Ikg đường là 14 000 đồng,
Ikg đưòng và một hộp sữa là 13 000 đồng, một hộp sữa và một gói
bánh là 11000 đồng. Tính giá tiền 1 gói bánh, giá tiền 1 hộp sữa và
giá tiền Ikg đưòng.
Phân tích. Ta có thể tóm tắt bài toán như sau :
1 gói bánh và Ikg đưòng giá 14 000 đ
Ikg đưòng và 1 hộp sữa giá 13 000 đ
1 hộp sữa và 1 gói bánh giá 11 000 đ
Nhìn vào đây ta tính đưỢc giá tiền 2 gói bánh, 2 hộp sữa và 2kg
đường. Từ đó ta tính được giá tiền 1 gói bánh, 1 hộp sữa và Ikg đường.
Từ phân tích trên ta đi đến lòi giải của bài toán như sau :
Giá tiền 1 gói bánh, Ikg đường và 1 hộp sữa là :
(14000 + 13000 + 11000) : 2 = 19000 (đ)
Giá tiền 1 hộp sữa là :
1 9 0 0 0 - 1 4 0 0 0 - 5 0 0 0 (đ)
Giá tiền 1 gói bánh là :
19000 - 13000 = 6000 (đ)
Giá tiền Ikg đường là :
1 9 0 0 0 - 11000 = 8000 (đ)
Đáp số : 5000đ; 6000đ; 8000đ.
Bài tập tự luyện
5.1. Cô Lan mua 5kg gạo tẻ và 3kg gạo nếp hết 38 000 đồng. Cô
Hoà mua 5kg gạo tẻ và 7kg gạo nếp cùng loại hết 62 000 đồng. Tính
giá tiền một ki-lô-gam gạo mỗi loại.
5.2. Một cửa hàng bán trong tuần đầu 45 lít nưốc mắm loại 1 và
25 lít nưỏc mắm loại 2 đưỢc 740 000 đồng, tuần sau bán 15 lít loại 1
và 45 lít loại 2 đưỢc 540 000 đồng. Tính giá tiền một lít mỗi loại.
119

5.3. Một tốp thợ ngày đầu lắp đặt được 167m đường ông nước hết
13 ống loại 1 và 10 ống loại 2. Ngày hôm sau lắp đưỢc 133m hết 12
ống loại 1 và 5 ông loại 2. Tìm độ dài một đoạn ống mỗi loại.
5.4. Một người mua 3 hộp sữa và 7kg đường hết 71 000 đồng. Lần
khác người ấy mua 7 hộp sữa và 3kg đường cùng loại hết 59 000
đồng. Tính giá tiền một hộp sữa, giá tiền một ki-lô-gam đường.
5.5. Sáu bao gạo và 10 bao ngô cân nặng 5 tạ, 4 bao gạo và 15 bao
ngô cũng nặng 5 tạ. Hỏi mỗi bao nặng bao nhiêu ki-lô-gam?
5.6. Một bể có dung tích 4000 lít chứa đầy nưóc. Nếu mỏ đồng
thòi 10 vòi loại 1 và 4 vòi loại 2 chảy liên tục trong 1 giò thì cạn bể.
Nếu mỏ 5 vòi loại 1 và 6 vòi loại 2 chảy liên tục trong 1 giò cũng cạn
bể nước. Hỏi nếu chỉ mở 1 vòi loại 1 và 1 vòi loại 2 chảy liên tục thì
sau mấy giò sẽ cạn bể nưóc? Nếu chỉ mỏ 1 vòi loại 2 thì sau mấy giò
sẽ cạn bể nước?
5.7. Năm hộp đinh 5 phân và 7 hộp đinh 10 phân cân nặng
335kg. Bảy hộp đinh 5 phân và 4 hộp đinh 10 phân cân nặng 295kg.
Hỏi một hộp đinh mỗi loại cân nặng bao nhiêu ki-lô-gam?
5.8. Giá tiền 1 con gà, 2 con vịt và 2 con ngỗng là 210 000 đồng.
Giá tiền 2 con gà, 1 con vịt và 2 con ngỗng là 200 000 đồng. Giá tiền 2
con gà, 2 con vịt và 1 con ngỗng là 190 000 đồng. Tính giá tiền một
con mỗi loại.
5 .9 . H ã y r a h a i đô' t o á n g i ả i b ằ n g p h ư ớ n g p h á p k h ử .
B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về lí thuyết :
v ể phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc ;
- Khái niệm về phương pháp khử
- Các bưóc giải toán khi dùng phương pháp khử
- Cơ sỏ toán học của phương pháp khử.
2. Yêu cầu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm đưỢc : phương pháp
trình bày lời giải bài toán bằng phương pháp khử.
Dành thòi gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
120

Chương VI
PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm về phương pháp giả thiết tạm
Phương pháp giả thiết tạm (PPGTT) dùng để giải các bài toán về
tìm hai sô', khi biết tổng của hai số đó và kết quả của phép tính thực
hiện trên một cặp số liệu của hai số cần tìm.
Khi giải các bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm, ta thường
tạm bỏ qua sự xuất hiện của một đại lượng, rồi dựa vào tình huông đó
ta tìm được đại lượng thứ hai. Sau đó tính đại lượng còn lại.
2. ứ n g dụng phương pháp giả thiết tạm dể giải toán
Ví dụ 6.1. Một tốp thợ dùng 11 đoạn ống nước gồm hai loại : dài
8m và 6m để lắp đặt một đoạn đường ông dài 74m. Hỏi tốp thợ đó
phải dùng mỗi loại bao nhiêu ống để khi lắp đặt không phải cắt một
ống nào?
Phản tích. Ta có thể giả thiết cả 11 ống đều dài 8m. Như vậy ta
tính được chiều dài đường ông lắp đặt đưỢc theo giả thiết này và độ
dài chênh lệch so vói thực tế. Mặt khác, môi ống loại 8m dài hơn một
ông loại 6m là 2m. Dựa vào sô'chênh lệch ở phần trên, ta tính đưỢc số
ông loại 6m và từ đó tính được số ông loại 8m.
Giải.
Nếu cả 11 ống đều dài 8m thì chiều dài đường ống lắp
đặt đưỢc là:
8x 11 (m)
Chiều dài đường ông tăng thêm là ;
88 - 74 = 14 (m)
Mỗi ông loại 8m dài hơn một ống loại 6m là :
8 - 6 = 2 (m)
Số ống loại 6m là :
1 4 :2 = 7 (ông)
121

Số ống loại 8 m là :
1 1 - 7 = 4 (Ống)
Đáp sô' : 7 ông loại 6m và 4 ông loại 8m
Chú ý.
1. Tương tự, ta giả thiết cả 11 ông dài 6m ta có cách giải thứ hai.
2. Bài này có thể giải bằng phương pháp thử chọn.
Ví dụ 6.2.
“Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Có mười sáu con
Bốn mươi chân chẵn”
Hỏi có bao nhiêu con gà? Bao nhiêu con chó?
Giải.
Nếu 16 con đểu là gà thì sô' chân đếm được là :
2 X 16 = 32 (chân)
Sô' chân hụt đi là :
40 - 32 = 8 (chân)
Mỗi con gà hơn một con chó sô’ chân là :
4 - 2 = 2 (chân)
SỐ chó là ;
8 : 2 = 4 (con)
Sô' gà là :
16 - 4 = 12 (con)
Đáp sô' : 12 con gà và 4 con chó
Chú ý.
1. Bài toán có thể thể giải bằng hai cách như nêu trong chú ý của
ví dụ 6.1.
2. Ngoài ba cách giải nêu trên, bài toán có thể giải cách như sau :
Giả sử mỗi con chó đều co 2 chân lên, mỗi con gà co một chân lên.
Như vậy số chân đếm đưỢc là :
40 ; 2 = 20 (chân)
Bây giò ta giả sử mỗi con chó co thêm 1 chân nữa. Như vậy ta chỉ
đếm đưỢc 16 chân (vì mỗi con chỉ còn 1 chân)
122

Số chó là :
18 - 1 6 = 4 (chân)
Số gà là :
1 6 - 4 = 1 2 (con)
Ví dụ 6.3. Một bể nước có thể tích 15m^. Nếu cho vòi thứ nhất
chảy liên tục trong 5 giờ, vòi thứ hai chảy liên tục trong 6 giờ thì đầy
bể. Biết ràng cả hai vòi cùng chảy trong một giờ được 2700 lít. Hỏi
mỗi vòi chảy một mình liên tục trong mấy giò thì đầy bể?
Giải.
15m"= 15 000 lít
Hai vòi cùng chảy liên tục trong 5 giò đưỢc khô'i lượng
nước là :
2700 x 5 = 13500 (Z)
Một giờ vòi thứ hai chảy đưỢc là :
15000- 13500= 1500 (Z)
Một giò vòi thứ hai chảy được là :
2 7 0 0 - 1500 = 1200 ự)
Thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là :
15000 : 1200= 12,5 (giò)
12,5 giò = 12 giò 30 phút
Thòi gian đê một mình vòi thứ hai chảy đầy bê là :
15000 : 1500 = 10 (giò)
Đáp sô' : 12 giò 30 phút và 10 giờ
BàỊ tập tự lu yện
6.1. Một cửa hàng có 41 lít dầu đựng trong 11 chiếc can gồm hai
loại 3 lít và 5 lít. Hỏi mỗi loại có mấy chiếc can?
6.2.
“Thuyền to chỏ đưỢc sáu người,
Thuyền nhỏ chở đưỢc bốn người là đông,
Một đoàn trai gái sang sông,
Mười thuyền to nhỏ giữa dòng đang trôi,
Toàn đoàn có cả trăm người,
123

Trên bờ còn bốn tám người đợi sang”
Hỏi trên sông có bao nhiêu thuyền mỗi loại?
6.3
“Quýt ngon một quả chia ba,
Cam ngon mỗi quả bổ ra làm mưòi.
Mỗi ngưòi một miếng chia đều,
Bổ mười bảy quả, trăm người đủ chia”
Hỏi có bao nhiêu cam? Bao nhiêu quýt?
6.4
“Yêu nhau cau sáu bổ ba,
Ghét nhau cau sáu bô ra làm mưòi.
Sô ngưòi tính đã tám mươi,
Cau mười lăm quả hỏi người ghét, yêu?”
6.5
“Vừa gà vừa chó,
Bó lại cho tròn,
Ba mươi sáu con,
Một trăm chân chẵn”.
Hỏi có bao nhiêu con gà? Bao nhiêu con chó?
6.6. Hai cha œ n bác Ba Phi gánh tấ t cả 25 chuyến âiiợc 570 viôn
gạch để xây nhà. Hỏi mỗi người đã gánh đưỢc bao nhiêu chuyên? Biết
rằng mỗi chuyến bác Ba Phi gánh được 30 viên, còn con bác gánh
được 12 viên.
6.7. Một người thợ dùng 27 đoạn ông công gồm hai loại : dài l,2m
và l,5m để lắp một đoạn cống ngầm dài 36m. Hỏi người thợ đó đã
dùng mỗi loại bao nhiêu ống?
6.8. Lúc 6 giò sáng một ngưòi đi xe máy từ Hà Nội về quê vói vận
tốc 45km một giò. Đi được một thời gian, người ấy nghỉ lại 40 phút để
uống nước rồi lại tiếp tục đi vói vận tốc 35km một giò và về đến quê
lúc 1 giò kém 20 phút chiểu cùng ngày. Hỏi người ấy dừng lại nghỉ lúc
mấy giò? Biết rằng quãng đường từ Hà Nội về quê dài 230km.
6.9. Một rạp hát bán được 400 vé gồm hai loại : lõOOOđ và 20 OOOđ.
Sô' tiền thu được là 7 100 OOOđ. Hỏi rạp đó đã bán dưỢc bao nhiêu vé
mỗi loại?
124

6.10. Một tô’p thợ dùng 325 viên gạch lát nền hình vuông gồm hai
loại cạnh 20cm và cạnh 30cm để lát một căn phòng rộng 23m'^. Hỏi
tốp thợ đó đã dùng mỗi loại bao nhiêu viên?
6.11. Hãy ra hai đề toán có lòi văn giải bằng PPGTT.
B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về lí t h u y ế t:
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm được :
- Khái niệm về phương pháp giả thiết tạm
- Các bước giải toán khi dùng phương pháp giả thiết tạm
- Cơ sỏ toán học của phương pháp giả thiết tạm.
2. Yêu cầu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm đưỢc : phương pháp
trình bày lòi giải bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm.
Dành thời gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
125

Chương VII
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm về phương pháp tinh ngưỢc từ cuối
Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên tiếp
một số phép tính đôì vói sô' phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này
bằng phương pháp tính ngược từ cuối (PPTNTC), ta thực hiện liên
tiếp các phép tính ngưỢc với các phép tính đã cho trong để bài. Kết
quả tìm đưỢc trong bước trưốc chính là thành phần đã biết của phép
tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với
các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm.
Những bài toán giải được bằng phương pháp tính ngưỢc từ cuôì
thường giải đưỢc bằng phương pháp đại sô' hay phương pháp ứng
dụng đồ thị.
2. ứ ng dụng phương pháp tính ngưỢc từ cuối đ ể giải toán
số học
Vi d ụ 7.1. Tìm một sô', biết ràng khi nhăn sô' đó vđi 5, rổi bđt đi 3
sau đó cộng với 4,5, CUÔ1 cùng chia cho 3 ta được kết quả bằng 6.
Phân tích. Theo đề bài, ta đã thực hiện liên tiếp các phép tính sau
đây với số cần tìm :
X 5; - 3; + 4,5; ; 3 cho kết quả cuối cùng bằng 6.
Như vậy :
Bưóc 1: Ta có thể xác định đưỢc sô' trưóc khi chia cho 3 đưỢc kết
quả là 6;
Bước 2: Dựa vào số tìm được ỏ bưóc 1, ta tìm được sô' trưóc khi
cộng vói 4,5;
Bước 3: Dựa vào số tìm đưỢc ở bưóc 2, ta tìm đưỢc sô' trước khi bớt
đi 3;
Bước 4: Dựa vào kết quả ở bưóc 3, ta xác định được sô' cần tìm
126

Từ phân tích trên, ta đi đến lòi giải của bài toán như sau :
Sô trước khi chia cho 3 là ;
6 X 3 = 18
Số trưóc khi cộng với 4,5 là :
1 8 -4 ,5 = 13,5
Số trưóc khi trừ đi 3 là :
13.5 + 3 = 16,5
Số cần tìm là :
16.5 : 5 = 3,3
Chú ý. Cơ sở toán học để giải các bài toán về tính ngưỢc từ cuối là
các quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính. Vì vậy các bài
toán dạng này có thể ra cho học sinh từ lớp 2. Chú ý rằng, vòng số và
phép tính phải phù hỢp vối trình độ của mỗi lớp.
Bài tập tự lu yện
7.1. Hồng nghĩ ra một số. Nếu nhân số đó vói 3, rồi cộng với 22,
sau đó chia cho 5 được kết quả bằng 8. Hỏi Hồng đã nghĩ ra số nào?
Bài toán có thể cho học sinh lóp mấy?
7.2. Tìm một số, biết rằng nhân sô' đó với 4 rồi cộng với 5 sau đó
bớt đi 25 và cuối cùng chia cho 8 thì được một số nhỏ nhất có hai chữ
số E riố n B n h a n .
Bài toán phù hỢp vói lóp mấy?
7.3. Tìm một số, biết rằng giảm sô' đó đi 3 lần, sau đó cộng vối 5
rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 đưỢc kết quả bàng 2,5.
7.4. Hãy ra một đề toán số học giải bằng phương pháp tính ngưỢc
từ cuối cho mỗi lớp 2, 3, 4 và 5.
3. ứ ng dụng phương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán
có lời văn
Ví du 7.2. Nhà Hương nuôi môt đàn gà. Tuần trước, me bán —
4
đàn gà. Tuần này me lai bán — số gà còn lai thì còn 9 đôi gà. Hỏi đàn
4
gà nhà Hương lúc đầu có bao nhiêu con?
127

Giải.
9 đôi = 18 con
Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là :
Lần 2 I
------------ ------------1---------------1----i r r - l
18 con
18 : 3 X 4 = 24 (con)
Số gà nhà Hương lúc đầu là :
Lần 1 I
-----------------------------ị ----------1-----------
24 con
24 : 3 X 4 = 32 (con)
Đáp sô' : 32 con gà
Ví dụ 7.3. Dì ú t đi chợ bán trứng, lần thứ nhất bán một nửa sô'
trứng thêm nửa quả. Lần thứ hai bán một nửa sô' trứng còn lại thêm
nửa quả. Lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại thêm nửa quả thì
vừa hết sô' trứng. Hỏi dì út đã mang bao nhiêu trứng ra chợ bán?
Giải.
S ô t r ứ n g c ò n l ạ i s a u h a i l ầ n b á n lù :
I q u ả
ị X 2 = 1 (quả)
Sô' trứng còn lại sau lần bán thứ nhất là :
— quả 1 quả
2
(1 + - ) X 2 = 3 (quả)
2
128

Số trứng lúc đầu là :
I
------------------------------ 1 :7 7 ^
— quả 3quả
(3 + i ) X 2 = 7 (quả)
Đáp số : 7 quả
Bài tập tự luyện
7.5. Nhà Cúc nuôi một đàn gà. Lần đầu mẹ Cúc bán một nửa số
gà, lần thứ hai bán môt nửa số gà còn lai và lần thứ ba bán — số gà
4
còn lại sau hai lần bán. Cuối cùng nhà Cúc còn lại 3 đôi gà. Hỏi đàn
gà nhà Cúc lúc đầu có bao nhiêu con?
2
7.6. Bình có một số nhãn vở. Bình cho An — số nhãn vở, cho Lan
3
Ị số nhãn vở còn lại thì còn 10 cái nhãn vở. Hỏi lúc đầu Bình có bao
3
nhiêu nhãn vỏ?
7.7. Một cửa hàng bán một tấm vải làm ba lần. Lần thứ nhất bán
1 3
— tâ 'm v ả i t h p m Bm I .ổ n t h ứ h a i b á n — số^ v ả i c ò n In i t h ô iĩ i 2 ,5 m .
Lần thứ ba bán được 17,5m thì vừa hết tấm vải. Hỏi tấm vải dài bao
nhiêu mét?
7.8. Đàn thỏ nhà Quang cứ sau mỗi quý lại tăng gấp đôi. Đến quý
thứ tư thì đàn thỏ có 32 con. Hỏi tháng đầu năm đó đàn thỏ có bao
nhiêu con?
7.9. Mẹ đi chợ mua một rổ mận về để ỏ trên bàn và viết giấy dặn
lại ba con : “Mẹ cho mỗi con — sô' m ận” rồi đi làm. Đào đi học về lấy
3
— sô' mận bỏ túi rồi ra vườn nhổ cỏ. Hà về sau tưởng mình là người
3
đầu tiên nên cũng lấy — số mận còn lại bỏ túi rồi sang nhà bạn xem
3
cá cảnh. Cuối cùng, Hùng đi học về tưỏng hai chị mình chưa về nên
129

cũng lấy - số mận còn lại rồi đi chơi. Mẹ đi làm về thấy trên bàn còn
3
8 quả mận. Hỏi mẹ đã mua tất cả bao nhiêu quả mận?
7.10. Hãy thiết kế hai đê' toán có văn giải bằng PPTNTC.
4. Các bài toán về tính ngược từ cuối gộp
Ví d ụ 7.4. Tìm ba số, biết rằng sau khi chuyển từ sô' thứ nhất
sang số thứ hai 14 đơn vị, chuyển từ số thứ hai sang số thứ ba 17 đơn
vị và chuyển từ sô’ thứ ba sang số thứ nhất 21 đơn vị thì ta được ba số
đều bằng 100.
Phân tích. Ta có thể tóm tắt 3 bưóc chuyển đổi nói trong đề bài
như sau :
-14 -17
21
Số thứ n h ấ t: - 14; + 21 đưỢc kết quả bằng 100
Số thứ h a i: + 14; - 17 được kết quả bằng 100
Sô' t h ứ n h â 't : + 17; — 2 1 đưỢ c k ố t q u ả b ằ n g 1 0 0
Từ phân tích trên đây ta đi đến lời giải như sau :
Sô' thứ nhất cần tìm là :
1 0 0 -2 1 + 14 = 93
Số thứ hai cần tìm là :
100+ 1 7 -1 4 = 103
Số thứ ba cần tìm là :
100 + 21 - 17 = 104
Vậy ba số cần tìm là 93; 103; 104.
Chú ý. Bài toán có thể giải bằng cách lập bảng như sau:
Lần chuyển Số thứ nhất Sô' thứ hai Số thứ ba
Cuôi 100 100 100
130

Sau lần 2 1 0 0 -2 1 = 79 100 100 + 21 = 121
Sau lần 1 79 100+ 17= 117 1 2 1 -1 7 = 104
Lúc đầu 79 + 14 = 93 1 1 7 - 14= 103 104
Vậy ba sô’ cần tìm là 93; 103; 104.
Ví d ụ 7.5. Lớp 4A có 42 học sinh. Nếu chuyển 2 em của tổ Hai
sang tổ Một, chuyển 3 em của tổ Hai sang tổ Ba và cuối cùng chuyển
8 em của tổ Một sang tổ Ba thì sô' học sinh còn lại của tổ Hai gấp đôi
tổ Một và bằng nửa tổ Ba. Hỏi mỗi tổ lúc đầu có bao nhiêu học sinh?
Giải. Ta có thể tóm tắ t bài toán như sau :
-2 -3
0 1 2 5 2 ::)
-8
Ta có sơ đồ sau biểu diễn sô” học sinh của ba tổ sau khi chuyển :
? hs
Tổ Một :
? hs
Tổ Hai : f- > 42 hs
TỔ Ba : h +
? hs
H
Số học sinh của tổ Một sau khi chuyển là :
42 : (1 + 2 + 4) = 6 (hs)
Sô’ học sinh của tổ Hai sau khi chuyển là :
6 X 2 = 12 (hs)
Sô' học sinh của tổ Ba sau khi chuyển là :
12 X 2 = 24 (hs)
Số học sinh của tô Một lúc đầu là ;
6 + 8 - 2 = 12 (hs)
131

Số học sinh của tổ Hai lúc đầu là :
12 + 2 + 3 = 17 (hs)
Số học sinh của tổ Ba lúc đầu là :
24 - 8 - 3 = 13 (hs)
Đáp s ố ; Tổ Một có 12 hs; tổ Hai có 17 hs;
tổ Ba có 13 hs.
Chú ý. Bài toán có thể giải bằng cách lập bảng (xem ví dụ trên).
Ví dụ 7.6. Một cửa hàng có 2 chiếc can đựng 80 lít dầu. Sau khi
đổ từ can thứ nhất sang can thứ hai số dầu bằng sô' dầu có trong can
thứ hai, rồi lại đổ từ can thứ hai sang can thứ nhất số dầu bằng số
dầu còn lại trong can thứ nhất thì sô' dầu trong hai can bằng nhau.
Hỏi lúc đầu mỗi can có bao nhiêu lít dầu?
Giải.
Số dầu có trong mỗi can sau khi chuyển là :
80 : 2 = 40 (lít)
Ta có bảng sau ;
Lần chuyển Can 1 (lít) Can 2 (lít)
Sau lần cuối 40 40
Sau lần thứ nhất 40 : 2 = 20 40 + 20 = 60
Lúc đầu 20 + 30 = 50 60 : 2 = 30
Trả lời: lúc đầu can thứ nhất có 50 U't dầu; can thứ hai có 30 Ut dầu.
B ài tập tự luyện
7.11. Tìm ba số, biết rằng nếu chuyển 4 đơn vị từ số thứ nhất
sang sô' thứ hai, 7 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba và chuyển 6 đơn
vỊ từ số thứ ba sang sô' thứ nhất ta được ba sô’ đều bằng 10.
7.12. Tổng của 4 sô' bằng 480. Nếu chuyển từ số thứ nhất sang sô'
thứ hai 30 đơn vị sang sô” thứ ba 18 đơn vị rồi lại chuyển từ sô’ thứ tư
sang số thứ nhất 35 đơn vị ta nhận được bôn số bằng nhau. Tìm bốn
sô' đó.
7.13. Trên bàn có hai bó que tính. Nếu chuyển từ bó thứ nhất
sang bó thứ hai sô' que tính gấp hai lần số que tính của bó thứ hai.
132

Sau đó chuyển từ bó thứ hai sang bó thứ nhất số que tính gấp ba lần
số que tính còn lại của bó thứ nhất thì mỗi bó đều có 24 que tính. Hỏi
lúc đầu mỗi bó có bao nhiêu que tính?
7.14. Có hai can đựng tấ t cả 40 lít dầu. Nếu chuyển từ can thứ
nhất sang can thứ hai số dầu gấp ba lần số dầu đang có trong can thứ
hai rồi lại chuyển từ can thứ hai sang can thứ nhất số dầu bằng số
dầu còn lại trong can thứ nhất thì số dầu trong can thứ hai gấp 4 lần
sô' dầu trong can thứ nhất. Hỏi lúc đầu mỗi can có bao nhiêu lít dầu?
7.15. Có ba hộp đựng bút chì. Bạn An lấy 6 cái bút chì từ hộp thứ
nhất chuyển sang hộp thứ hai, chuyển 4 cái từ hộp thứ hai sang hộp
thứ ba, cuối cùng chuyển 2 cái từ hộp thứ ba sang hộp thứ nhất. Bây
giò mỗi hộp đều có 1 tá bút chì. Hỏi lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu cái
bút chì?
7.16. Một cửa hàng dầu hoả có hai chiếc can loại 7 lít và loại 5 lít.
Hỏi người bán hàng làm thế nào để bằng hai chiếc can đó có thể đong
đưỢc 4 lít dầu bán cho khách?
7.17. Có 12 lít xăng đựng trong một cái thùng. Hãy dùng một
chiếc can 5 lít và một chiếc 8 lít để chia số xăng đó thành hai phần
bằng nhau.
7.18. Trong một bể chứa không ít hơn 150 lít nước mắm. Bằng
một thùng loại 50 lít và một thùng loại 90 lít hãy lấy ra 80 lít nước
măm từ bể chứa nói trên.
7.19. Ba bạn Tùng, Cúc và Huệ mỗi ngưòi có một số kẹo. Sau khi
Tùng cho Cúc sô' kẹo bằng số kẹo Cúc có, Cúc cho Huệ số kẹo bằng số
kẹo Huệ có và Huệ lại cho Tùng sô' kẹo bằng số kẹo còn lại của Tùng
thì mỗi người đều có 8 chiếc kẹo. Hỏi lúc đầu mỗi người có mấy cái kẹo?
7.20. Thiết kế hai để toán về tính ngưỢc từ cuối gộp.
5. ứ n g dụng phương pháp tính ngưỢc từ cuối để giải toán
vui và toán cổ ở tiểu học
Ví d ụ 7.6. Một ngưòi qua đưòng hỏi ông lão chăn vịt : “Đàn vịt
của cụ có bao nhiêu con?” và được trả lời như sau :
- Một nửa số vịt của tôi thêm một nửa con nữa đang tắm mát ở
dưới sông
133

- Ba phần t ư sô' vịt còn lại thêm một phần t ư con nữa đang kiếm
ăn ỏ d ư ớ i h ồ
- Bốn phần năm sô’ vịt còn lại thêm một phần năm con nữa đang
nằm nghỉ ỏ trên bò
- Và cuối cùng còn 3 đôi vịt què tôi đang nhốt ở trong lồng kia.
Bạn hãy cho biết đàn vịt của ông lão có bao nhiêu con?
Giải.
Đổi 3 đôi = 6 con
Số vịt đang nằm nghỉ và vịt què là ;
6 con
h
..........'-Ĩ----------^----------1 ~
5
( 6 + i ) X 5 = 3 1 ( c o n )
5
Sô’ vịt không đi tắm mát là :
Kiếm ăn ỉ
..............- - - 1 . . . . . . 5
---------1---------------p —.......H
3 1 c ó n
( 3 1 + ỉ ) X 4 = 1 2 5 ( c o n )
5
Số vịt của cả đàn là :
Tắm mát
..........................................................................'
— 1 2 5 c o n
( 1 2 5 + ỉ ) x 2 = 2 5 1 ( c o n )
2
Đáp số : 251 con vịt
134

Vi dụ 7.7. Có một giông bèo, cứ sau mỗi ngàv lại nở tăng gấp đôi.
Nếu ngày đầu thả vào mặt hồ 1 cây bèo thì 10 ngày sau bèo phủ kín
mặt hồ. Hỏi :
a) Nếu ngày đầu thả vào mặt hồ 16 cây bèo thì mấy ngày sau bèo
sẽ phủ kín mặt hồ?
b) Nếu ngày đầu thả vào mặt hồ 30 cây bèo thì mấy ngày sau bèo
sẽ phủ kín mặt hồ?
Giải.
Ta có bảng sau :
Ngày thứ Sô' cây bèo
1 1
2 2
3 4
4 8
5(1) 16
6(2) 32
7(3) 64
8(4) 128
9(5) 256
10(6) 512
11(7) 1024
vào bảng trên ta thấy nếu ngày đầu thả vàc
3 ngày sau bèo sẽ phủ kín m ặt hồ.
b) Nếu ngày đầu thả vào mặt hồ 30 cây bèo thì 6 ngày sau bèo
phủ kín mặt hồ;
Nếu ngày đầu thả vào m ặt hồ 32 cây bèo thì 5 ngày sau bèo sẽ
phủ kín mặt hồ. Nếu ngày đầu thả vào m ặt hồ 30 cây bèo thì 5 ngày
sau bèo sẽ phủ kín mặt hồ (vì 30 < 32).
Vậy nếu ngày đầu thả vào mặt hồ 30 cây bèo thì 6 ngày sau bèo
phủ kín mặt hồ.
135

B ài tập tự luyện
7.21. Một người qua đường h ỏ i ông lão chăn ngựa : “ông ơi! Làm
sao trông ông buồn phiền vậy?” ông lão trả lòi : “Làm sao tôi không
buồn phiền đưỢc? Một nửa đàn ngựa của tôi, thêm một nửa con nữa
bị lạc về phía đông. Hai phần ba sô' ngựa còn lại thêm một phần ba
con nữa bị lạc vể phía tây. Ba phần tư số ngựa còn lại sau hai lần lạc
đó thêm một phần tư con nữa vừa bị mất trộm tối qua. chỉ còn lại con
ngựa cuối cùng tôi đang cưõi đây”.
Hỏi đàn ngựa của ông lão có bao nhiêu con?
7.22. Một hồ chứa đầy nước. Do bị dò ri nên cứ sau mỗi ngay lại
giảm đi một nửa. Sau ngày thứ bảy thì trong hồ chỉ còn lại lOOOm^
nưóc. Hỏi nếu lúc đầu trong hồ chỉ có 8000m^ nưóc thì sau mấy ngày
trong hồ chỉ còn lại 500m®?
7.23. Chàng Ngố mang 1 đồng tiền vôn đi buôn. Chàng gặp may,
cứ sau mỗi ngày sô' tiền lại tăng gấp 5 lần. Sau một tuần thì chàng đủ
tiền xây nhà. Hỏi :
a) Nếu lúc đầu chàng có 125 đồng tiền vô'n thì mấy ngày sau
chàng đủ tiền xây nhà?
b) Nếu lúc đầu chàng có 500 đồng tiền vô’n thì mấy ngày sau
chàng đủ tiền xây nhà?
7.24. Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và đưỢc vua ban
thưỏng cho một quả cam trong vườn thượng uyển nhưng phải tự đi
hái. Đưòng vào vườn thượng uyển phải qua ba lần cổng có lính canh.
Viên quan đến cổng thứ nhất, ngưòi lính canh giao hẹn : Ta cho ông
vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam cộng thêm nửa
quả. “Qua cổng thứ hai, thứ ba lính canh đều giao hẹn như vậy.
Hỏi để có một quả cam mang vể thì viên quan nọ phải hái bao
nhiêu cam trong vườn thượng uyển?
136

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về li th u y ế t :
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm được :
- Khái niệm về PPTNTC và các dạng toán tiểu học có thể giải
bằng hai phương pháp này.
- Các bước giải toán khi dùng PPTNTC.
- Cơ sở toán học của PPTNTC.
2. Yêu cầu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm được :
- ứ ng dụng PPTNTC để giải 4 dạng toán ỏ tiểu học :
+ Các bài toán sô' học.
+ Các bài toán có văn.
+ Các bài toán giải bằng PPTNTC gộp;
+ Các bài toán vui và toán cổ.
- Đô'i vói mỗi dạng toán cần nắm được :
+ Cách nhận dạng bài toán.
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp.
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán giải bằng PPTNTC theo từng dạng.
Dành thòi gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
137

PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm về phương pháp thay thê'
Phường pháp thay th ế là một phương pháp giải toán, dùng để giải
các bài toán về tìm hai hay nhiều số', khi biết tổng và hiệu của chúng.
Khi giải bài toán bằng phương pháp thay thế, người ta tạm biểu
diễn một trong sô' các số cần tìm qua các số còn lại. Bằng cách này, ta
đưa về bài toán chì tìm một số’. Giải bài toán này ta tìm được số đó.
Dựa vào cách biểu diễn sô' phần trên ta tìm đưỢc các số còn lại.
2. ứ n g dụng phương pháp thay th ế để giải toán
Ví d ụ 8.1. Tìm hai sô', biết tổng của chúng bằng 80, số lốn hđn sô'
bé 10 đơn vỊ.
Phân tích.
- Nếu ta giả thiết sô' lớn giảm đi 10 đơn vị thì hai số sẽ bằng
nhau (đều bằng sô’ bé). Bước này thực chất là ta đã biểu diễn số bé
qua số lân;
- L ú c n à y t ổ n g c ủ a h a i 8Ô’ 8Õ g i ả m đ i 1 0 đ d n v ị. T ổ n g n à y BÕ
bằng hai lần số bé.
- Từ đây ta tìm được số bé.
- Lấy tổng trừ đi sô' bé ta tìm dưỢc số lốn.
Tương tự, nếu ta giả thiết số bé tăng thêm 10 đơn vị ta có cách
giải thứ hai.
Từ phân tích trên đây ta đi đến cách giải như sau :
Cách 1 : Ta có sơ đồ sau :
9
SỐ bé :
-------------
? I 80
Số lớn : Y' " ' --
----------------h '" -H H
ĩó
Chương VIII
138

Hai lần số bé là :
8 0 - 10 = 70
SỐ bé là :
70 ; 2 = 35
SỐ lổn là :
80 - 35 = 45
Hai số cần tìm là 35 và 45.
Từ dây ta rút ra công thức :
S ố bé = (Tổng - H iệu) : 2
Cách 2 : Ta có sơ đồ sau :
Sô bé : I-
Sô' Iđn : h
H ''" : ; ;
10 y 80
Hai lần sô' lón là ;
80 + 10 = 90
Sô' lớn là :
90 : 2 = 45
Số bp là :
80 - 45 = 35
Hai số cần tìm là 35 và 45.
Từ đây ta rút ra công thức :
S ố lớn = (Tổng + H iệu) : 2
Ví d ụ 8.2. Lớp 4A có 40 học sinh. Số học sinh nữ kém số học
sinh nam 4 bạn. Hỏi lóp đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu
học sinh nữ?
Giải.
Số học sinh nữ là :
(40 - 4) : 2 = 18 (hs)
Sô' học sinh nam là :
4 0 - 18 = 22 (hs)
Đáp số : 18 học sinh nữ và 22 học sinh nam
139

Chú ý. Trong thực hành giải toán vê tìm hai số khi biết tổng và
hiệu sô' của chúng, ta vận dụng công thức nêu trên chứ không dùng sơ
đồ đoạn thẳng nữa.
Ví dụ 8.3. Tổng của ba số lẻ liên tiếp bằng 87. Tìm ba sô' đó.
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
■?
Sô' thứ n h ất :
Sô' thứ hai ;
Sô' thứ ba ;
--------
4'"
2
............
.........
87
Sô' lớn nhất là :
(87 + 2 + 4) : 3 = 31
Sô' thứ hai là ;
3 1 - 2 = 29
Sô’ thứ ba là :
2 9 - 2 = 27
Ba số cần tìm là : 27, 29, 31.
Từ kết quả trên ta rút ra công thức :
S ố lớn = (Tổng + H iệu 1 + H iệu 2) : 3
Tương tự ta cũng có công thức :
S ố nhỏ = (Tổng - H iệu 1 - H iệu 2) : 3
Bài tập tự lu y ện
8.1. Tổng của hai sô' bằng 170, hiệu của chúng bằng 20. Tìm hai
sô' đó.
8.2. Hai lốp 5A và 5B nhặt đưỢc 127kg giấy vụn. Nếu lớp 5B nhặt
đưỢc 13kg nữa thì sô' giấy hai lóp nhặt được bằng nhau. Hỏi mỗi lớp
nhặt đưỢc bao nhiêu ki-lô-gam giấy vụn?
8.3. Một khu đất hình chữ nhật có chu vi bằng 140m. Nếu tăng
chiều rộng thêm 3m và giảm chiều dài đi 3m thì ta đưỢc một khu đất
hình vuông. Tìm diện tích khu đất hình chữ nhật đó.
140

8.4. Hai can đựng tất cả 80 lít dầu, Nếu chuyển 18 lít từ can thứ
nhất sang can thứ hai thì số dầu trong can thứ nhất sẽ kém can thứ
hai 18 lít. Hỏi lúc đầu mỗi can có bao nhiêu lít dầu?
8.5. Hưdng và Thọ có tất cả 32 cái nhân vỏ. Nếu Thọ cho Hương 5
cái thì số nhân vỏ của Hương sẽ nhiều hơn sô' nhãn vỏ của Thọ 6 cái.
Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái nhãn vở?
8.6. Tổng của ba số chẵn liên tiếp bằng 186. Tìm ba số đó.
8.7. Tám năm trưóc, cha hơn con lớn 28 tuổi, hơn con nhỏ 34 tuổi.
Năm nay tổng số tuổi của ba cha con bàng 82. Tìm tuổi của mỗi người
hiện nay.
8.8. Ba đội công nhân làm đường có tất cả 120 người. Nếu chuyển
từ đội thứ ba sang đội thứ nhất 6 người và sang đội thứ hai 9 người
thì số người còn lại của đội thứ ba kém đội thứ n hất 6 người và kém
đội thứ hai 14 ngưòi. Hỏi lúc đầu mỗi đội có bao nhiêu người?
8.9. Mẹ sinh con lón năm 25 tuổi và sinh con nhỏ năm năm 32
tuổi. Khi tổng sô' tuổi của ba mẹ con bằng 54 thì tuổi mỗi ngưòi bằng
bao nhiêu?
8.10. Một người khởi hành từ A bằng tàu thuỷ trong 3 giờ, sau đó
đi tiếp 4 giờ bằng tàu hoả. Xuống tàu người ấy đi tiếp 2 giò bằng xe
máy thì vê' đến B. Tính vận tốc tàu thuỷ, vận tốc xe máy và vận tốc
táu hoả, b iế t mõi giò xe ỉuáy đi chậm hơn tàu h o ả lOkm Iih ư n g n h a n h
hớn tàu thuỷ 17km và quãng đường AB dài 304km.
141

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về li th u yết :
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc :
- Khái niệm về phương pháp thay th ế và các dạng toán tiểu học
có thể giải bằng hai phương pháp này
- Các bước giải toán khi dùng phương pháp thay th ế
- Cơ sở toán học của phương pháp thay thế.
2. Yêu cầu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm đưỢc :
- ứ ng dụng phương pháp thay th ế để giải 2 dạng toán ở tiểu học :
+ Các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng;
+ Các bài toán về tìm ba sô' khi biết tổng và hiệu của chúng;
- Đối vối mỗi dạng toán cần nắm đưỢc :
+ Cách nhận dạng bài toán.
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trưòng hỢp.
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán giải bằng phương pháp tính ngưỢc
từ cuổỉ theo từng dạng.
Dành thòi gian giải các bài tập tự luyện để củng cố kĩ năng giải
theo mỗi dạng.
142

Chương IX
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm về phương pháp d iện tích
Phương pháp diện tích là một phương pháp giải toán, dùng để
giải các bài toán về tính diện tích mà không sử dụng trực tiếp các
công thức về diện tích các hình.
Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích, người ta thường sử
dụng các tính chất sau đây ;
1.Nếu một hình được chia ra thành các hình nhỏ, thì tổng diện
tích của các hình nhỏ bằng diện tích của hinh lớn ban đầu.
2. Nếu ta ghép các hình nhỏ lại đ ể được một hìm h lớn thi diện
tích của hình lớn thu được bằng tổng diện tích của các hình nhỏ đem
ghép lại.
3. Nếu hai hình có diện tích bằng nhau cùng bớt di một phần
chung thì hai phần còn lại củng có diện tích bằng nhau.
4. N ếu la thêm vào hai hình có diện lích bằng nhau m ột p h ầ n
chung thì ta nhận được hai hình có diện tích bằng nhau.
5. Khi sô' đo cạnh đáy không đổi thi diện tích và chiều cao của
một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
6. Khi sô'do diện tích không đổi thì sô'do cạnh đáy và chiều cao
của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
1. Khi số do chiều cao không đổi thi sô'do diện tích và sô'đo cạnh
đáy là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
2. ứ n g dụng phương pháp diện tích để giải toán
Ví d ụ 9.1. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 200cm^. Kéo dài
AB một đoạn BM bằng AB; BC một đoạn CN bằng BC và CA một đoạn
AP bằng AC. Nối các điểm M, N, p. Tìm diện tích tam giác MNP.
143

Giải.
Ta có:
Sbap ~ Sbac ~ 200cm^
(chung đường cao hạ từ đỉnh B và AC = AM);
SpBj^ SpAB ~ 200cm^
(chung đường cao hạ từ đỉnh p và AM = 2xAB
Suy ra SpAM = SpAB + SpBM = 200 + 200 = 400 (cm^
Tương tự ta cũng có SpNc = S m b n = 400cm^
Vậy diện tích tam giác PMN là :
SpMN “ SpNC + SmBN S p cN + Sa bC
= 400 + 400 + 400 + 200 = 1400 (cm^)
Ví dụ 9.2. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 200cm^. Kéo dài
AB một đoạn BM bàng AB, BC một đoạn CN bàng BC, CD một đoạn
DI bằng CD và DA một đoạn AK bằng AD. Nối M, N, I, K. Tìm diện
tích tứ giác MNIK.
Giai.
K
■M
144

SiiAK= Sbad (chung đường cao hạ từ đỉnh B và AK = AD)
Sr,\m = 2 X Sk,\b (chung đường cao KA và AM = 2 X AB)
Từ đó suy ra :
Skam= 2 X Sbad-
Tương tự ta cũng có ;
Snci — 2 X Sbdc
Từ đó suy ra ;
Sram Snci - 2 X (Sabd Sbdc) — 2 X S a b c d ~ 400(cm^)
Tương tự ta có :
Sbm n + Skdi = 400cm^
V ậ y Smnki ~ Skam"*" Snci + Sbm n Skdi + Sabcd
= 400 + 400 + 200 =1000 (cm")
Ví dụ 9.3. Cho hình thang ABCD. Hai đưòng chéo AC và BD cắt
nhau tại 0. Biết diện tích tam giác AOB bằng 4dm''^ và diện tích tam
giác COD bằng 16dm^. Tìm diện tích hình thang ABCD.
Giải.
Ta có :
Ta có :
Q ioDxCK
°OCD 2 _ ị
S o A B AqBxA H
2
. OD C K _ ,,,
ScAB = Sdab (chung đáy AB và chung đường cao của hình thang)
Suy r a :
S q a d = S o B c (hai tam giác có diện tích bằng nhau cùng bớt đ i một
phần chung).
145

Ta có :
Ì0 D x A H = Ỉ0 B x C K .
2 2
CK _ OD
Từ (1) và (2) suy ra :
OD OD
Ob’" OB
OD
= 4.
Suy ra = 2 haỵ OD = 2 X OB
OB
Từ đó suy ra
Saod = 2 X Sqab ~ 8dm^
Vậy diện tích của hình thang ABCD là :
Sabcd ~ Sq a b"*" Sqcd 2Sqad = 4+16+ 2x8 = 36 (dm^
Ví d ụ 9.4. Cho tam giác ABC có diện tích lOOcml Gọi M, N, p là
trung điểm của ba cạnh AB, AC, BC. Nốì M, N, p. Tính diện tích tam
giác MNP.
Giải.
Nối AP. Ta có :
Sabp = Sabc : 2 = 100 : 2 = 50 (cm^ (vì hai tam giác có
chung chiểu cao hạ từ đỉnh A và AB = BP X 2)
S b m p = Sa b p : 2 = 50 : 2 = 25 (cm^ (vì hai tam giác có
chung đưòng cao hạ từ đỉnh p và AB = BM X 2).
Tương tự ta cũng có diện tích tam giác AMN và CNP đểu bằng 25cm^
Diện tích tam giác MNP là :
Smnp — S a b c ~ S a m n ~ ScN p— Sbmp
= 100 - 25 X 3 = 25 (cm")
146

B ài tập tự luyện
9.1. Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho MB = 2MA;
trên AC lấy điểm N sao cho NC = 2 NA; trên BC lấy điểm I sao cho
IB = IC. Hãy so sánh diện tích tam giác MBI với diện tích tam giác
NIC và diện tích tứ giác AMIN.
9.2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 20cm; BC = 9cm. Trên AB
lấy điểm M, trên CD lấy điểm N. AN và DM cắt nhau tại I và CM cắt
BN tại H.
a) Tính diện tích các tam giác MDC và NAB;
b) So sánh diện tích tứ giác IMHN với tổng diện tích hai tam giác
lAD và HBC.
9.3. Cho một mảnh bìa hình thang có diện tích 513cm'^, đáy bé
bằng nửa đáy lớn và chiều cao bằng 18cm.
a) Tính độ dài mỗi đáy của hình thang;
b) Hãy cắt mảmh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được
một hình tam giác vuông.
9.4. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 360cm^. Trên AB lấy
điểm M sao cho AM = 2MB, trên AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC.
Tính diện tích tam giác AMN.
9 .5 . C h o h ì n h t h a n g A B C D có d iộ n t í c h b à n g 3 8 4 c m ’ , đ á y lớ ii C D
gấp ba lần đáy nhỏ AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại 0.
Tính diện tích tam giác COD.
9.6. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 400cm^. Trên cạnh AB lấy
điểm N, trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AB = BN X 4 và AM = MC.
Nôì BM và CN cắt nhau tại 0 . Tính diện tích tam giác BOC.
147

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về lí th u y ế t:
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc :
- Khái niệm về phương pháp diện tích
- Các tính chất thường dùng khi giải toán bằng phương pháp diện tích
- Cơ sồ toán học của phương pháp diện tích.
2. Yêu cầu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm được một số tình huống
tiêu biểu về ứng dụng phương pháp diện tích để giải toán vê' tính diện
tích của các hình ỏ tiểu học.
Học viên cần dành thòi gian giải các bài tập tự luyện để củng cố
kĩ năng giải theo mỗi dạng.
148

Chương X
PHƯƠNG PHÁP ĐỔ THỊ
A. NỘI DUNG BÀI GIÀNG
1. K hái niệm vể p h ư ơng p h á p đồ th ị
Trong một số bài toán ở tiểu học, ta thường gặp các đối tượng
hoặc một sô' nhóm đối tượng khác nhau mà giữa chúng có mô'i liên hệ
nào đấy. Để giải các bài toán dạng này, người ta dùng hình vẽ để biểu
diễn mô'i quan hệ giữa các đối tượng. Trong hình vẽ, mỗi đối tượng
được biểu diễn bỏi một điểm (hoặc một vòng tròn, một ô vuông,...).
Mỗi quan hệ đưỢc biểu diễn bởi một mũi tên. Hình vẽ nói trên ta gọi
là đồ thị (hoặc sơ đồ, lưu đồ, lược đồ,...) của bài toán. Mỗi điểm (hoặc
vòng tròn hoặc ô vuông,...) gọi là một đỉnh, mỗi mũi tên gọi là một
cạnh của sơ đồ.
Khi thực hiện lòi giải bằng cách sử dụng sơ đồ nói trên, ta gọi là
giải bằng phương pháp ứng dụng đồ thị (hoặc sơ đồ, lưu đồ,...).
2. ư n g d ụ n g phư ơng p h á p đồ th ị đ ể g iải to á n số học
Đồ thị của các bài toán dạng này có đỉnh là các số đã cho hoặc
phái tìm, cạnh chi các phép toán, phép toán xuôi theo điều kiện của
để bài và phép toán ngưỢc cần thực hiện để đi đến sô' cần tìm,
Ví dụ 10.1. Tìm một sô', biết rằng cộng số đó với 5 sau đó chia cho
2 rồi nhân vói 4 được kết quả bằng 100.
Giải. Theo đề bài ta có sơ đồ :
Số cần tìm là :
100 : 4 X 2-5= 45
149

Ví dụ 10.2. Tìm một sô", biết rằng bót sô’ đó đi 3, sau đó chia cho 2
rồi cộng với 1,5, cuối cùng nhân vói 2 đưỢc kết quả bằng 20.
Giải. Ta có sơ đồ sau :
- 3 :2 +1.5 x2
ôX ỈỐ X S ẳĐ
+ 3 X 2 - 1 , 5 : 2
Sô' cần tìm là :
(20 : 2 - 1,5) X 2 + 3 = 20
Chú ý. Cđ sỏ toán học của phương pháp giải toán bằng ứng dụng
đồ thị là các quy tắc tìm thành phần chưa biết của các phép tính. Vì
vậy các bài toán dạng này có thể ra cho học sinh từ lóp 2. Các lớp
khác nhau được phân biệt bởi các vòng sô' và kĩ năng thực hiện các
phép tính khác nhau.
B ài tập tự luyện
10.1. Tìm một sô', biết rằng bớt sô' đó đi 250 rồi chia cho 5 được
kết quả bằng 10.
10.2. Tìm một sô", biết rằng nhân số đó với 2 rồi cộng vổi 10, sau
đó chia cho 5 được kết quả bằng 60.
10.3. Tìm một số, biết rằng chia sô' đó cho 25 sau đó cộng vối 108
rồi nhân vói 127 được kết quả bằng 17145.
10.4. Bình nghĩ ra một số’, đem sô' đó nhân với 1,8 rồi cộng với 3,36
rồi chia cho 2,5 đưỢc kết quả bằng 10,2. Hỏi Bình đã nghĩ ra số’ nào?
10.5. Hãy ra một đề toán số học giải bằng phương pháp ứng dụng
đồ thị cho mỗi lớp 2, 3, 4 và 5.
3. ứ n g dụng phương pháp đồ thị để giải toán có lời văn
Ví dụ 10.3. Một người nông dân bán trứng. Lần thứ nhất bán
một nửa sô' trứng thêm nửa quả. Lần thứ hai bán một nửa số trứng
còn lại thêm nửa quả. Lần thứ ba bán một nửa số trứng còn lại sau
150

hai lần bán và thêm nửa quả. Cuối cùng còn lại 5 quả. Hỏi lúc đầu
người đó có bao nhiêu quả trứng?
Giải.
Ta có sơ đồ sau :
: 2 : 2
1
2
Số trứng lúc đầu người ấy có là :
(((5 + -) X 2 + - ) X 2 + ỉ ) X 2 = 47 (quả)
Đáp sô' 47 : quả trứng
Ví d ụ 10.4. Tổ Một lớp 5A có 5 bạn nam. Hỏi cô giáo chủ nhiệm
có bao nhiêu cách cử hai bạn nam của tổ Một làm trực nhật?
Giải.
Ta gọi 5 bạn nam theo thứ tự là A, B, c. D, E. Ta có sà đồ sau :
Nhìn sơ đồ trên ta thấy :
- Có 4 cách cử nhóm 2 bạn, trong đó ró hạn A;
- Có 3 cách cử nhóm 2 bạn, trong đó có ì>ạn B (mà không có bạn A)
151

- Có 2 cách cử nhóm 2 bạn, trong đó có bạn c (mà không có bạn
A và B) và một cách cử nhóm hai bạn trong đó có bạn D.
Vậy số cách cử nhóm hai bạn natĩi của tô Một là :
4 + 3 + 2 + 1 = 10 (cách)
Đáp số : 10 cách
B ài tập tự luyện
10.6. Hãy giải các bài toán trong chủ đề “Giải toán bằng phương
pháp tính ngược từ cuối” bằng phương pháp ứng dụng đồ thị.
10.7. Cho 6 điểm. Hỏi khi nô'i 6 điểm đó vối nhau ta sẽ đưỢc bao
nhiêu đoạn thẳng?
10.8. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ sô' mà các chữ sô' của nó
đều là sô' chẵn? Đều là số lẻ?
10.9. Trong phòng có 8 người khách. Họ lần lượt bắt tay nhau.
Hỏi người ta đếm đưỢc bao nhiêu cái bắt tay trong phòng khách?
4. ứ n g dụng phương pháp đồ thị đ ể giải toán về suy luận
lô-gíc
Ví dụ 10.5. Trên bàn là ba cuốh sách giáo khoa : Toán, Tiêng
Việt và Mĩ thuật đưỢc bọc ba màu khác nhau : trắng, hồng, tím. Cho
b i ố t c u ố n b ọ c m à u t í m đ ặ t g i ũ a h a i c u ố n T i ế n g V i ệ t v à M ĩ t h u ậ t .
Cuốn Mĩ thuật và cuốn màu hồng mua cùng một ngày. Bạn hãy cho
biết mỗi cuốn bọc bìa màu gì?
Giải. Ta có sơ đồ sau :
Toán hồng
Tiếng tím
Mĩ th u ật 0 - ' ' '
-------------------trắng
Theo đề bài ta có :
+) Cuốn bọc màu tím đặt giữa hai cuôn Tiếng Việt và Mĩ thuật.
Vậy hai cuốh Tiếng Việt và Mĩ thuật không bọc màu tím. Ta nối nét
đứt giữa các đỉnh tím - Tiếng Việt và tím - Mĩ thuật.
152

+) Cuốn Mĩ thuật và cuôVi màu hồng mua cùng một ngày. Vậy
cuốn Mĩ thuật không bọc màu hồng. Ta nô'i nét đứt giữa các đỉnh Mĩ
thuật - hồng.
+) Cuốn Mĩ thuật không bọc bìa màu hồng, không bọc bìa màu tím.
Vậy nó bọc bìa màu trắng. Ta nôi nét liền hai đỉnh Mĩ thuật - trắng.
+) Cuôn Tiếng Việt không bọc bìa màu tím, không bọc bìa màu
trắng. Vậy nó bọc màu hồng. Ta nối nét liền hai đỉnh Tiếng Việt - hồng.
+) Tiếng Việt bọc bìa màu hồng, Mĩ thuật bọc bìa màu trắng. Vậy
Toán bọc bìa màu tím. Ta nối nét liền hai đỉnh Toán - tím.
Trả lời : cuôn Toán bọc bìa màu tím, Tiếng Việt bọc bìa màu hồng
và Mĩ th u ật bọc bìa màu trắng.
Vi dụ 10.6. Trong Đại hội liên hoan cháu ngoan Bác Hồ có ba bạn
ngồi cạnh nhau : Một bạn người Kinh, một bạn người Ê-đê và một
bạn người Tày. Các bạn mặc áo ba màu khác nhau và đeo ba cặp sách
ba màu khác nhau. Cho biết :
(1) Bạn ngưòi Ê-đê đeo cặp màu đen;
(2) Bạn người Tày mặc áo màu chàm;
(3) Bạn người Kinh ngồi giữa hai bạn;
(4) Bạn đeo cặp đen ngồi cạnh bạn đeo cặp đỏ;
(5) Bạn mặc áo kẻ sọc không ngồi cạnh bạn đeo cặp màu nâu.
Hỏi bạn mặc áo kẻ sọc người dân tộc nào? Bạn đeo cặp đỏ người
dân tộc nào? Bạn người dân tộc nào mặc áo màu trắng?
Giải.
Theo để bài ta có :
153

+) Bạn người Ê-đê đeo cặt màu đen. Ta nối nét liền hai đỉnh Ê-đê
- cặp đen;
+) Bạn ngưòi Tày mặc áo màu chàm. Ta nối nét liền hai đỉnh Tày
- áo chàm.
+) Bạn đeo cặp đỏ ngồi cạnh bạ#! đeo cặp đen (là bạn người Ê-đê).
Mà bạn ngưòi Kinh ngồi giữa hai bạn nên bạn người Ê-đê không ngồi
cạnh bạn người Tày mà ngồi cạnh bạn người Kinh. Vậy bạn ngưòi
Kinh đeo cặp màu đỏ. Ta nôì nét liền hai đỉnh Kinh - cặp đỏ.
+) Bạn ngưòi Tày không đeo cặp màu đỏ. Ta nối hét đứt hai đỉnh
Tày - cặp đen và Tày - cặp đỏ. Vậy bạn người Tày đeo cặp màu nâu.
Ta nối nét liền hai đỉnh Tày - cặp nâu.
+) Bạn người Kinh không mặc áo kẻ sọc. Ta nối nét đứt hai đỉnh
Kinh - áo sọc. Bạn ngưòi Tày không mặc áo kẻ sọc, ta nối nét đứt hai
đỉnh Tày - áo sọc. Vậy bạn ngưòi Ẻ-đê mặc áo kẻ sọc. Ta nối nét liển
hai đỉnh Ê-đê - áo sọc.
+) Bạn người Kinh không mặc áo màu chàm, không mặc áo sọc.
Vậy mặc áo trắng. Ta nối hai đỉnh Kinh - áo trắng.
+) Nhìn sơ đồ ta có : Bạn mặc áo sọc người Ê-đê, bạn người Kinh
đeo cặp đỏ, mặc áo trắng.
Bài tập tự luyện
10.10. Ba thầy giáo tên là Toán, Lí, Hoá dạy ba môn Toán, Lí,
Hoá. Hỏi mỗi thầy đã dạy môn gì, biết rằng thầy dạy môn Lí ít tuổi
hơn thầy Toán; thầy Lí, thầy Toán và thầy dạy môn Toán cùng quê.
10.11. Điểm thi kì I môn Tiếng Việt của ba bạn Anh, Bình và Huệ
đều đạt từ khá trỏ lên. Khi hỏi điểm của ba bạn, Hà nhận đưỢc các
câu trả lời như sau :
(1) Huệ không đạt điểm 7, Anh không đạt điểm 8 còn Bình không
đạt điểm 9.
(2) Bình và Huệ không đạt điểm 8 còn Anh không đạt điểm 9.
(3) Anh và Bình không đạt điểm 7 còn Huệ không đạt điểm 9.
Bạn hãy cho biết mỗi ngưòi đã đạt điểm mấy?
10.12. Trong giò thực hành, ba bạn Lan, Cúc, Huệ làm ba bông
hoa lan, cúc, huệ. Bạn làm hoa huệ quay sang nói vối bạn Lan “Ba ta
154

làm hoa trùng với tên của ba chúng ta, nhưng không ai làm hoa
trùng với tên của mình cả”. Bạn hãy cho biết mỗi bạn đã làm hoa gì?
10.13. Ba người mang quôc tịch Việt Nam, Thái Lan và Trung
Quốc ỏ ba nhà liền nhau trên một đường phố. Mỗi nhà quét một màu
sơn khác nhau và mỗi người làm một nghề khác nhau. Cho biết :
(1) Nhà của ngưòi Thái quét ve xanh;
(2) Người Trung Quốc là nhạc sĩ;
(3) Nhà người Việt Nam ở giũa;
(4) Nhà quét ve xanh cạnh nhà quét ve vàng;
(5) Nhà văn ỏ ngôi nhà thứ nhất kể từ bên trái.
Hỏi nhà văn có quốc tịch gì? Ai ở nhà quét ve màu hồng?
10.14. Trong đợt thi giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh, ba cô Hoan, Thuý
và Thuỷ là giáo viên của ba trường Hoà Bình, Nguyễn Du và Điện
Biên dạy thi ba môn Toán, Đạo đức và Mĩ thuật, Biết rằng :
(1) Cô Hoan không phải là giáo viên của trường Hoà Bình, cô
Thuỷ không phải là giáo viên của trường Nguyễn Du.
(2) Cô giáo trường Hoà Bình không dạy thi môn Mĩ thuật;
(3) Cô giáo trường Nguyễn Du không dạy thi môn Toán;
(4) Cô Thuý dạy thi môn Đạo đức.
Hỏi mỗi cô là giáo viên của trường nào và dạy thi môn gì?
155

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về lí th u y ế t :
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc ;
- Khái niệm về phương pháp đồ thị
- Các dạng đồ thị thường dùng khi giải toán
- Mốì quan hệ giữa ba phương pháp giải toán ; ứng dụng đồ thị,
tính ngưỢc từ cuốỉ và phương pháp đại sô'
2. Yêu cầu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm đước :
- ứng dụng phương pháp đồ thị để giải 3 dạng toán ở tiểu học :
+ Các bài toán số học.
+ Các bài toán có văn.
+ Các bài toán về suy luận lôgic.
- Đô'i với mỗi dạng toán cần nắm đưỢc :
+ Cách nhận dạng bài toán.
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp.
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán giải bằng phương pháp đồ thị theo
từng dạng.
Hơn nữa, học viên cẩn dành thời gian giải các bài tập tự luyện để
củng cố kĩ năng giải Lheo mõi dạng.
156

Chương XI
PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm vể phương pháp đại số
Trong khi giải nhiều bài toán, số cần tìm đưỢc kí hiệu bỏi một
biểu tượng nào đó (có thể là ?, *, □ , hoặc các chữ a, b, c, X, y,...)- Từ
cách chọn kí hiệu nói trên, theo điều kiện của đề bài, người ta đưa vể
một phép tính hay dãy tính có chứa biểu tượng này. Dựa vào quy tắc
tìm thành phần chưa biết của phép tính, ta tính được sô" cần tìm.
Cách giải bài toán như trên, ta gọi là Phương pháp đại số hay còn gọi
là Phương pháp dùng chữ thay số.
Phương pháp đại sô' đưỢc dùng để giải nhiều dạng toán khác
nhau : tìm thành phần chưa biết trong phép tính hoặc dãy tính; tìm
chữ số chưa biết của một số tự nhiên; điền chữ sô' thay cho các chữ
trong phép tính; giải toán có lòi văn,...
Cơ sỏ toán học của phương pháp đại số là các quy tắc tìm thành
phần chưa biết của phép tính.
2. ứ n e d ụ n g phư ớ ng p h áp đại số đ ể tìm th à n h p h ần chư a
b iế t c ủ a p h ép tín h
Ví d ụ 11.1. Điền sô’ thích hỢp vào ô trôVig :
a) 214 + = 700 25 X = 650
b) - 75 = 75
Giải.
: 8 = 225
a) = 7 0 0 -2 1 4 c)= 650 : 25
= 486. = 26
b) = 75 + 75 d )= 225 X 8
= 150 = 1800
157

Ví dụ 11.2. Phải :
a) thêm vào 132 sô' nào để nhận đưỢc sô' lón nhất có ba chữ số?
b) bớt 200 đi bao nhiêu để được số nhỏ nhất có hai chữ số giốhg nhau?
c) nhân 37 vói số nào để đưỢc sô" viết bằng ba chữ số 5?
d) giảm 1750 đi bao nhiêu lần để được số 35?
Giải.
a) Sô' lớn nhất có ba chữ số là 999. Bài toán có thể mô tả như sau :
132 + ? = 999
? = 999 - 132
? = 867
Vậy sô' phải tìm là 867.
b) Số nhỏ nhất có hai chữ sô' giống nhau là 11. Bài toán có thể mô
tả như sau :
200-?= 11
? = 2 0 0 - l l
?= 189
Sô' cần tìm là 189.
c) Số viết bằng ba chữ số 5 là 555. Bài toán có thể mô tả như sau ;
3 7 X ? = 5 5 5
? = 555 : 37
?= 15
SỐ cần tìm là 15.
d) Bài toán có thể mô tả như sau :
1750 : ? = 35
? = 1750 : 35
? = 50
Số cần tìm là 50.
Ví dụ 11.3. Tìm X , biết :
a)45-x = 21 c) XX 35 = 385
b) 73 + X = I2 5 f d) 480 ; X = 12
158

Giải.
a) 45 - X = 21 c) X X 35 = 385
x = 45-21 x = 385:35
x = 24 x=ll
b) 73 + x= 125 d) 480:x= 12
x= 1 2 5 - 73 x = 480:12
X = 52 X = 40
Ví dụ 11.4. Tìm y, biết :
, 2 3 ^,21
c)-xy=- d)y:- = -
3 9 -^ 3 7
Giải.
, 2 3 2 1
"> r> '= ĩ - f - Ế
3 2 2 1
y=— 3 y=_+.
4 5 ^ 7 3
_ 7 13
^ 20 ^“ 21
c)^ xy= l d 'y :2 = l
3 9 3 7
4 2 4 2
y=— y = 4 x ^
9 3 7 3
-2 8
Ví d ụ 11.5. Tìm y, biết :
a) 2,5 xy = 0,01
b) 4,5 : y = 2,5
c) y : 0,5 = 1,2.
Giải.
a) 2,5 X y = 0,01
y = 0,01 : 2,5
y = 0,004
159

b) 4,5 :y = 2,5
y = 4,5 : 2,5
y = 1,8
c) y : 0,5 = 1,2
y = 1,2 X 0,5
y = 0,6
Ví d ụ 11.6. Tìm y, biết :
a ) y - 6 0 X 2 5 = 3 0 0 0
b ) (y - 6 0 ) X 2 5 = 3 0 0 0
c) (20 - y) X 5 = 100 - 10 X 4
d) (y + 1) + (y + 2) + ... + (y + 10) = 65
Giải.
a) y-60x 25 = 3000
y - 1500 = 3000
y = 3000 + 1500
y = 4500
b) (y - 60) X 25 = 3000
y - 60 = 3000 ; 25
y-60= 120
y = 120 + 60
y = 180
c) (20 - y) X 5 = 100 - 10 X 4
(2 0 - y ) X 5 = 1 0 0 - 4 0
(20 - y) X 5 = 60
20 - y = 60 : 5
20-y= 12
y = 2 0 -1 2
y = 8
d) (y + 1) + (y + 2) +... + (y + 10) = 65
Vi y + 1, y + 2,..., y + 10 lâp thành dãy sô'cách đều có khoảng cách
bằng 1 nên :
160

(y + 1) + (y + 2) +... + (y + 10) = (y + 1 + y + 10) X 10 : 2
= (y X 2 + 11) X 10 : 2
= (y X 2 + 11) X 5
Vây ta được
(y X 2 + 1 1 ) X 5 = 6 5
y X 2+11 = 65: 5
y X 2 + 11 = 13
y X 2 = 1 3 - 1 1
y X 2 = 2
y = 2 : 2
y=l
Vi d ụ 11.7. Tìm một sô', biết rằng khi bổt sô' đó đi 2, sau đó chia
cho 6 rồi cộng với 2, cuối cùng nhân vói 4 được kết quả bằng 20.
Giải.
Gọi số cần tìm là a.
Khi bớt số đó đi 2 ta đưỢc số : a - 2
Khi chia cho 6 ta đưỢc sô' : (a - 2) : 6
Khi cộng với 2 ta đưỢc sô' : (a - 2) : 6 + 2
Khi nhân với 4 ta được sô’ : ((a - 2) : 6 + 2) X 4
Theo đề bài ta có ;
( (a - 2) : 6 + 2 ) X 4 = 2 0
Giải tưcing tự trong ví dụ trên ta đưỢc a = 20.
Vậy số cần tìm là 20.
B ài tập tự lu yện
11.1. Điển số thích hỢp vào ô trổhg :
a) 217 +
b)
= 405
- 2 7 = 53
c) 45 X
d)
= 180
: 12 = 25
e) 100 - _ = 12
161

11.2. Phải :
a) thêm vào 128 sô' nào để được số nhỏ nhất có bốn chữ sô' khác nhau?
b) nhân 47 với sô' nào để được sô' lẻ lớn nhất có ba chữ sô' khác nhau?
c) bớt 500 đi số nào để đưỢc số viết bằng ba chữ số 2?
d) Sô' nào chia cho 8 đưỢc kết quả bằng 145?
11.3. Tìm X trong phép tính sau :
a)140-x = 21 c) XX45 = 3285
b) 173 + X = 250 d) 1284 : X = 12
I.4. Tìm X trong phép tính sau :
, 3 11 , , 5 17
a)—+ y = — b)y-—= —-
^5 15 ^ 7 13
_4 4_7
II.5 . Tìm y trong phép tính sau ;
a) 7,5 X y = 0,0012
b) 17,5 : y = 0,35
c) y : 0,25 = 6,62.
11.6. Tìm y trong dãy tính sau :
a) y - 600 : 25 = 5200
b) ( y - 6 0 0 ) : 25 = 5200
c) (120 - y) X 45 = 130 - 10 X 4
d) y + ừ + 2) + (y + 4) + ... + (y + 10) = 63
11.7. Tìm một số, biết rằng :
a) Bđt sô' đó đi 27 sau đó chia cho 4 rồi nhân với 12 đưỢc kết quả
bằng 300.
b) Chia số đó cho 2, rồi trừ đi 2 sau đó nhân vđi 2, cuối cùng cộng
vói 2 được kết quả bằng 98.
11.8. Hây ra hai đề toán vể áp dụng phương pháp đại sô' để tìm
thành phần chưa biết của phép tính cho mỗi lớp 2, 3, 4 và 5.
11.9. Hãy ra hai đề toán về tìm thành phần chưa biết trong dãy
tính cho mỗi lớp 3, 4 và 5.
162

3. ứ n g d ụ n g phương p h áp đại số đ ể giải to á n về đ iền chữ
số vào p hép tín h
Ví d ụ 11.8. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ sô' thích
hợp để đưỢc phép tính đúng :
a) abab + ab = 8568 c) 12abc = abc X 97
b) ^bc5-6107 = ^ d )7 Íb :2 6 = ab
Giải.
a) abab + ab = 8568
Áp dụng phân tích cấu tạo sô’ ta có ;
ab X100 + ab + ab = 8568
ãbx (100 + 1 + 1) = 8568
^ = 8568:102
ãb = 84
Thử lại : 8484 + 84 = 8568 (chọn)
Vậy phép tính cần tìm là :
8484 + 84 = 8568
b) Ta viết lại phép tính như sau :
a b c 5 - a b c I 6 1 0 7
abc X10 + 5 = abc + 6107
a b c x (1 0 -l) = 6 1 6 7 -5
abc X 9 = 6102
abc = 6102:9
abc = 678
Thử lại : 6785 - 6107 = 678 (chọn)
Vậy phép tính cần tìm là: 6785 - 6107 = 678.
c) Ta viết lại phép tính như sau :
12abc = abcx97
12000 + abc = abc X 97
abc X 97 - abc = 12000
163

abc X (97-1) = 12000
abc X 96 = 12000
abc = 12000:96
abc = 125
Thử lại 125 X 97 = 12125 (chọn)
Vậy phép tính cần tìm là ; 12125 = 125 X 97
d) Ta viết lại phép tính như sau :
ab X 26 = 7ab
ab X 26 = 700 + ab
ab X 2 6 - a b = 700
ã b x ( 2 6 - 1 ) = 700
ãb X 25 = 700
ab = 700:25
ãb = 28
Thử lại : 28 X 26 = 728 (chọn)
Vậy phép tính cần tìm là :
728 : 26 = 28.
Bài tập tự luyện
11.10. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bỏi chữ sô' thích hỢp :
a) 790578 - abc = abcabc c) 12ab ; 26 = ab
b) abcdõ - abcd = 28895 d) 3abc : abc = 25
11.11. Tìm một số có hai chữ sô', biết rằng số đó lớn gấp 6 lần tổng
các chữ sô' của nó.
11.12. Nếu viết thêm sô" 23 vào bên trái một số tự nhiên có hai
chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần. Tìm sô" có hai chữ số đó.
11.13. Nếu xoá đi chữ số hàng trăm của một số tự nhiên có ba chữ
số thì sô' đó giảm đi 5 lần. Tìm sô' có ba chữ số đó.
11.14. Nếu xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vỊ của một sô' tự
nhiên có bốh chữ sô" thì số đó giảm đi 2322 đơn vị. Tìm số có bốn chữ
sô' đó.
164

4. ư n g dụng phương pháp đại số để giải toán có lời văn
Ví d ụ 11.9. Dì út đi chợ bán trứng. Lần đầu bán một nửa sô’
trứng, lần thứ hai bán một chục quả nữa thì còn lại 5 quả. Hỏi dì út
đã mang bao nhiêu trứng ra chợ bán?
Giải.
1 chục quả = 10 quả
Gọi sô' trứng dì út mang đi bán là: X
Số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất là: X : 2
Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai là; X : 2 - 10
Theo bài ra ta có ;
x : 2 - 10 = 5
X : 2 = 5 + 10
X : 2 = 15
X = 15 X 2
x = 30
Trả lời ; dì út đã mang 30 quả trứng ra chợ bán.
Bài tập tự luyện
11.15. Hoà đến chơi nhà Cúc. Hoà chỉ vào đàn eà và hỏi bạn :
“Đàn gà nhà bạn có bao nhiêu con”? và đưỢc trả lòi như sau :
3
+) — sô' gà là gà mái
4
2
+) — sô' gà còn lại là gà trống
3
+) Còn 5 con gà con mình đang nhôt trong lồng kia.
Hỏi đàn gà nhà Cúc có bao nhiêu con?
11.16. Đàn thỏ nhà An cứ sau mỗi quý lại tăng gấp đôi. Đến hết
quý IV thì đàn thỏ có 64 con. Hỏi tháng đầu năm đó đàn thỏ nhà An
có mấy đôi?
165

B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
1. Yêu cầu về lí thuyết :
Về phương diện lí thuyết, học viên cần nắm đưỢc :
- Khái niệm về phương pháp đại số và các dạng toán tiểu học có
thể giải bằng hai phưđng pháp này
- Cơ sở toán học của phương pháp đại số.
2. Yêu cẩu về bài tập :
Về phương diện bài tập, học viên cần nắm được :
- ứ ng dụng phương pháp đại số để giải 3 dạng toán ồ tiểu học :
+ Các bài toán về tìm thành phần chưa biết của phép tính
+ Các bài tx)án có văn
+ Các bài toán giải về điển sô' vào phép tính.
- Đốì vói mỗi dạng toán cần nắm được :
+ Cách nhận dạng bài toán.
+ Cách trình bày lòi giải chuẩn cho từng trường hỢp.
+ Có kĩ năng thiết kế đề toán giải bằng phương pháp tính ngược
từ cuối theo từng dạng.
Học viên cần dành thời gian giải các bài tập tự luyện để củng cô’
kĩ năng giải theo mỗi dạng.
166

Chương XII
PHƯƠNG PHÁP ỪNG DỤNG NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ
A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG
1. Khái niệm vể nguyên lí Đi-rích-lê
Nguyên lí Đi-rích-lê có hai dạng phát biểu như sau ;
- Nếu có n vật chia thành k nhóm, vói k < n, thí ít nhất có một
nhóm chứa ít nhất 2 đồ vật.
Hoặc :
- Không thể chia n vật thành k nhóm, vói k < n, mà mỗi nhóm chỉ
có 1 đồ vật.
Hai dạng phát biểu đó được minh họa bằng trường hỢp cụ thể sau:
- Nếu có 5 con thỏ nhốt vào 4 cái chuồng thì ít nhất có một
chuồng nhô't 2 con thỏ.
Hoặc :
- Không thể nhốt 5 con thỏ vào 4 cái chuồng mà mỗi chuồng chỉ có
1 con thỏ.
Nguyên lí trên được ứng dụng rộng rãi để giải các bài toán về
suy luận
2. ử n g dụng nguyên lí Đi-rích-lê để giải toán
Ví d ụ 12.1. Chứng tỏ rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tồn tại
hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 5.
Phân tích. Khi chia một sô” tự nhiên cho 5 thì sô” dư có thể là 0, 1,
2, 3 hoặc 4 (như vậy trong phép chia cho 5 có 5 số dư khác nhau). Khi
chia 6 số cho 5 ta đưỢc 6 sô' dư. Vì trong các phép chia này chỉ có 5 số
dư khác nhau nên theo nguyên lí Đi-rích-lê phải có ít nhất 2 số dư
bằng nhau. Vì vậy hai sô' tự nhiên này (là số bị chia của hai phép chia
có số dư bằng nhau) có cùng số dư khi chia cho 5 nên hiệu của chúng
chia hết cho 5.
Nguyên lí Đi-rích-lê đưỢc ứng dụng ở chỗ : Ta có 6 số dư của 6
phép chia mà chỉ có 5 sô' dư khác nhau trong các phép chia nên phải
có ít nhất hai sô' dư bằng nhau.
167

Từ phân tích trên ta đi đến :
Giải.
Trong các phép chia cho 5 chỉ có 5 số dư khác nhau là 0, 1, 2, 3 và 4.
Khi chia 6 sô' tự nhiên cho 5 phải có 2 phép chia có sô' dư bằng nhau.
Vì vậy hiệu của hai sô' tự nhiên đó (là sô” bị chia của hai phép chia
này) sẽ chia hết cho 5.
Ví dụ 12.2. Trong một cửa hàng đồ sắt có 21 thùng đựng 4 loại đinh :
2 phân, 5 phân, 7 phân và 10 phân (mỗi thùng chỉ đựng một loại đinh).
Hỏi có thể tìm đưỢc 6 thùng đựng cùng một loại đinh hay không?
Phăn tích : Nếu không có 6 thùng nào đựng cùng một loại đinh
thì có nghĩa là mỗi loại đinh chỉ có không quá 5 thùng.
Bây giò ta để riêng 1 thùng, 20 thùng còn lại ta chia thành 4
nhóm, mỗi loại đinh ta xếp vào 1 nhóm. Như vậy mỗi nhóm sẽ có 5
thùng (vì trong 20 thùng này không có 6 thùng nào đựng cùng một
loại đinh). Bây giò ta lấy thùng thứ 21 ra, nó phải cùng loại đinh vối
một trong 4 nhóm nói trên, xếp vào nhóm nào thì nhóm đó có 6 thùng
đựng cùng một loại đinh.
Nguyên lí Đi-rích-lê ở đây đưỢc ứng dụng ở chỗ ; có 21 thùng chia
thành 4 nhóm thì phải có ít nhất một nhóm có nhiều hơn 5 thùng.
Từ phân tích trên, ta đi đến lòi giải :
Giải.
Ta phân chia 21 thùng đựng đinh thành 4 nhóm ; các thùng đựng
cùng một loại đinh ta xếp vào một nhóm.
Vì 4 x 5 = 20 < 21 nên, theo nguyên lí Đi-rích-lê phải có ít nhất 1
nhóm có 6 thùng đựng cùng một loại đinh.
Ví dụ 12.3. Trong hộp kín có 2 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu
màu đỏ. Hỏi phải lấy ra ít nhất mấy quả để trong số đó chắc chắn có 2
quả cầu cùng màu.
Giải.
Nếu lấy 2 quả thì có thể cả hai quả đều khác màu.
Nếu lấy ra 3 quả ta thấy : vì chỉ có hai màu khác nhau nên phải
có ít nhất 2 quả cùng màu (theo nguyên lí Đi-rích-lê).
Vậy phải lấy ra ít nhất 3 quả để đưỢc 2 quả cùng màu.
Ví dụ 12.4. Lốp 3A có 38 học sinh. Liệu có 4 học sinh tổ chức sinh
nhật trong cùng một tháng hay không?
168

Giải.
Ta chia danh sách học sinh lớp 3A thành 12 nhóm : những bạn có
sinh nhật trong cùng một tháng thì xếp vào một nhóm.
Vì 12 X 3 = 36 < 38 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê phải có ít nhất
một nhóm có ít nhất 4 học sinh. Vậy nhóm có ít nhất 4 học sinh này
tổ chức sinh nhật trong cùng một tháng.
Ví dụ 12.5. Có 2 bút chì màu xanh, hai bút chì màu đỏ và hai bút
chì màu vàng để trong phòng tối. Phải lấy ra ít nhất mấy cái bút chì
để đưỢc ba màu khác nhau?
Giải.
Nếu lấy ra 4 cái bút chì thì có thể trong 4 cái đó chỉ có 2 màu (mỗi
màu 2 cái).
Nếu lấy ra 5 cái, ta thấy : phân chia 5 cái thành các nhóm, những
bút chì cùng màu xếp vào 1 nhóm.
Vì mỗi màu chì có 2 cái và 2 X 2 = 4 < 5 nên phải có 3 nhóm.
Vậy ta được ba màu khác nhau.
B ài tập tự lu yện
12.1. Chứng tỏ rằng :
a) Trong 7 số tự nhiên bất kì luôn tồn tại 2 số, mà hiệu của chúng
chia hết cho 6.
b) Trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tồn tại 2 sô' mà hiệu của chúng
là số có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
c) Trong 11 số tự nhiên bất kì luôn tồn tại 2 số mà hiệu của chúng
là số tròn chục.
12.2. Trong ba số tự nhiên bất kì có tìm đưỢc hai số mà tổng của
chúng là số chẵn hay không?
12.3. Trong năm sô' chẵn không tròn chục, liệu có tìm đưỢc 2 sô'
mà hiệu của chúng là số tròn chục hay không?
12.4. Có 20 chiếc can gồm 3 loại : 3 lít, 5 lít và 10 lít. Có thể tìm
đưỢc 7 chiếc can cùng loại hay không?
12.5. Có 4 hòn bi xanh, 3 hòn bi đỏ để trong hòm kín. Hỏi phải lấy
ra ít nhất mấy hòn bi để trong số bi lấy ra có ít nhất 2 bi cùng màu?
12.6. Lớp 5B có 40 học sinh. Chứng tỏ rằng có ít nhất 20 bạn
cùng giới.
169

12.7. Có 3 quả cầu màu xanh, 2 quả cầu màu đỏ và 2 quả màu
vàng để trong phòng tối. Phải lấy ra ít nhất mấy quả để trong sô" cầu
lấy ra ;
a) Có 3 màu khác nhau?
b) Có 2 màu khác nhau?
12.8. Trường tiểu học Ba Đình có 380 học sinh. Chứng tỏ rằng có
ít nhất 2 học sinh có cùng ngày sinh nhật.
12.9. Trên giá sách có 2 cuốn sách Toán, 2 cuốh Tiếng Việt, 2
cuốh Đạo đức và 2 cuốn Hát nhạc. Hỏi phải lấy ra ít nhất mấy cuốn
sách để được :
a) Hai cuốn cùng môn?
b) Sách của bôn môn khác nhau?
12.10. Chứng tỏ rằng trong 101 sô' có ba chữ số luôn tìm được 2 sô'
mà hiệu của chúng là số tròn trăm.
B. HƯỚNG DẪN T ự HỌC
Giải toán bằng nguyên lí Đi-rích-lê đòi hỏi phải lập luận rấ t chặt
chẽ sáng tạo. Các tình huống vận dụng rấ t phong phú và đa dạng.
Để có kĩ năng giải toán bằng phương pháp vận dụng nguyên lí
Đ i-rích-lê trưóc hết cần nắm đưỢc các cách phát biểu nguyên lí
Đ i-rích-lê, đặc biệt qua các tình huông vận dụng cụ thể.
170

TRẢ LỜI HOẶC HƯỚNG DẪN GIẢI
BÀI TẬP T ự LUYỆN
CHƯƠNG I
1.1. 11 con
1.2. 40 học sinh
1.3. và 1.4 : Xem hưóng dẫn sau ví dụ 1.7
1.5. 8 cái nhãn vở
1.6. 19 cái khăn mặt
1.7. 470 m
1.8. 63 m
1.9. 13 tuổi
1.10. 32 tuổi
1.11. và 1.12: Xem hướng dẫn sau ví dụ 1.7
1.13. — đoan đưòng
45
1.14. — bể nước
210
1.15. xem hướng dẫn sau ví dụ 2.7
1.16. 5 con
1.17. 47 tạ
1.18. 6m
1.19. 9 tuổi
1.20. 7 tuổi
5
1.21. — quãng đưòng
9
1.22. xem hưóng dẫn sau ví dụ 1.16 hoặc 1.18a
1.23. 42 cây ổi
1.24. 32 cuộn vải hoa
171

1.25.36 tuổi
1.26.15 tuổi
1.27.500 tấn cá
1.28.240 cây
1.29.Xem hướng dẫn i
1.30.6 cây cam
1.31.7 cuộn vải trắng
1.32.6 tuổi
1.33.85 tạ cá
1.34.24 cây
1.35.Xem hưóng dẫn 1
1.36.12 con chim
1.37.103 tạ gạo
1.38.56m
1.39.35 học sinh
1.40.5,5km
1.41,Xem hưóng dẫn 1
1.42.14 cái nhãn vở
1.43.31 cái khăn mặt
1.44.820m
1.45.lllm
1.46,22 tuổi
1.47.306 cây
1.48. và 1.49 xem hưổng dẫn sau ví dụ 1.7 hoặc 1.18a
1.50. 49 cây cam và ổi
1.51. 40 cuộn
1.52. 32 điểm giỏi
1.53. 12 giò
1.54. 625 tấn cá
1.55. Xem hưóng dẫn sau ví dụ 1.7 hoặc 1.18a
1.56. 36 cây chanh và cam
172

1.57. 35 cuộn vải hoa và trắng
1.58. 35kg giấy vụn
1.59. 165 tạ cá
1.60. Xem hướng dẫn sau ví dụ 1,7
1.61. 44 tạ hàng
1.62. Lúc đầu cành trên có 7 con, cành dưói có 3 con chim đậu
1.63. Năm sô'cần tìm là 18, 19, 20, 21, 22.
1.64. Ba số cần tìm là 39, 41 và 43
1.65. 116km
1.66. 20 điểm 8, 30 điểm 9 và 55 điểm 10
1.67. Năm nay cha 41 tuổi, con lớn 13 tuổi và con nhỏ 7 tuổi
CHƯƠNG II
2.1.120 OOOđ
2.2.526 cây
2.3.384 cây
2.4.500 cái áo
2.5.540 bộ quần áo
2.6.12 000 viên gạch
2.7.6 giờ
2.8.804m
2.9.56 xe
2.10.14 xe
2.11.9 em
2.12.28 ngày
2.13.5 phút
2.14.8 giò kém 6 phút
2.15.401 cột điện
2.16.360 cọc
2.17.12 ngày
173

2.18. 14 ngày
2.19. 12 500 OOOđ
2.20. 8 giò
2.21. 14 ngày
CH Ư Ơ N G III
3.1.Sáng bán 105 bao; chiều bán 175 bao
3.2.42 OOOđ mua vở và 105 OOOđ mua sách
3.3.anh 12 tuổi; em 4 tuổi
3.4.cô 24 tuổi, cháu 4 tuổi
3.5. chị 18 tuổi
3.6.hiện nay con 39 tuổi
3.7.27 nam và 9 nữ
3.8.504m vải hoa và 288m vải trắng
3.9.năm đó cha 63 tuổi
3.10.sau 9 năm nữa
3.11.cách đây 3 năm
3.12.liiện Iiay con 39 tuổi
3.13.số 25
3.14.số 520
3.15.số 198
3.16.-SỐ 5439
3.17.số 45
3.18.số 87
3.19.số 117
3.20.sô’ 61
3.21.
70
sô
3.22.
81
108
112
174

3.23. số 1
3.24. số 65,43
3.25. 12,3
3.26. a) số 1,234
b) số 4,32
3.27. 366 quả
3.28. 56 em khối Bốn và 32 em khối Năm
3.29. Đội I cần 20 xe, đội II cần 27 xe
3.30. 3,2m
3.31. 24ha
3.32. 40 cây cau
3.33. Idm và 3dm
3.34. 105km
3.35. Hai ngưòi gặp nhau lúc 11 giò 6 phút
Chỗ gặp nhau cách nhà An 160m.
3.36. Quãng đường AB dài lOOkm.
3.38. Ba số cần tìm là 120; 60 và 20.
3.39. Lđp 5A trồng được 80 cây
Lớp 5B trổng được 6Ü cây
Lớp 5C trồng được 100 cây
3.40. Lớp lA có 36 học sinh giỏi
Lốp 1C có 12 học sinh giỏi
Lóp IB có 24 học sinh giỏi
3.41. Đàn vịt nhà bác Hùng có 96 con
Đàn vịt nhà bác Hà có 160 con
Đàn vịt nhà bác Nga có 176 con.
3.42. 16 điểm giỏi; 10 điểm khá và 4 điểm trung bình.
3.45. Có 6 cây và 9 cò
3.46. có 4 trẻ và 3 bánh
3.47. Có 12 người và 8 trái bòng
175

4.1. sô' 54
4.2. số 58
4.3. số 84
4.4. số 64
4.5. số 41
4.6. số 543
4.7. số 654 và 765
4.8. số 3456
4.9. số 142 và 484
4.10. số 245
4.11. số 623
4.12. số 3456
4.13. Phân số — và —
5 40
nu- -- 3456
4.14. Phân sô ——
6543
4.15. Các số 9,135; 9,531; 21,579 và 21,975
4 . 1 9 . 4 h ọ c s i n h g iỏ i v à 5 h ọ c 8 Ì n h t i ê n t i ế n
4.20. 2 gói bánh và 18 gói kẹo
4.21. 6 can loại 40 lít và 44 can loại 5 lít
4.22. Năm nay ông 63 tuổi; cháu 15 tuổi
4.23. 22 con gà và 4 con chó
4.24. 10 người yêu và 5 người ghét
4.26. 39 cái cọc
4.27. chu vi của khu đất bằng 44m
4.29. Lớp Ba trồng đưỢc 5 cây, lóp Bốh trồng được 11 cây và
lớp Năm trồng đưỢc 20 cây.
4.30. Năm thứ nhất bạn sưu tầm được 2 bức ảnh, năm thứ
hai đưỢc 4, năm thứ ba đưỢc 8, năm thứ tư được 16 và
năm thứ năm đưỢc 32 bức ảnh.
CHƯƠNG IV
176

CHƯƠNG V
5.1. Gạo nếp giá 6000đ một ki-lô-gam và gạo tẻ giá 4000đ
một ki-lô-gam
5.2. Một lít nước mắm loại 1 giá 12 000 đồng và loại 2 giá
8000 đồng
5.3. Ong loại 1 dài 9m và ống loại 2 dài 5m
5.4. Giá Ikg đường 8000 đồng và 1 hộp sữa 5000 đồng
5.5. Một bao gạo nặng 50kg và một bao ngô nặng 20kg
5.6. Nếu mỏ 1 vòi loại 1 và một vòi loại 2 thì chảy trong 5—
giò sẽ cạn bể; nếu mở 1 vòi loại 2 thì chảy trong 8 giờ sẽ
cạn bể.
5.7. Một hộp đinh 5 phân nặng 25kg và một hộp đinh 10
phân nặng 30kg.
5.8. Giá một con gà là 38 OOOđ; một con vịt là 28 OOOđ và
một con ngỗng là 58 ooođ.
CHƯƠNG VI
6 . 1 . 7 c a n lo ạ i 3 líL v à 4 c a n lo ạ i 5 lít.
6.2. 6 thuyền to và 4 thuyền nhỏ.
6.3. có 10 quả quýt và 4 quả cam.
6.4. có 10 người yêu và 5 người ghét.
6.5. có 22 con gà và 14 con chó.
6.6. Bác Ba Phi gánh 15 chuyến và con bác gánh 10 chuyến
6.7. 15 ống loại l,2m và 12 ống loại l,5m.
6.8. Người ấy nghỉ lại lúc 8 giờ.
6.9. Bán được 180 vé loại 15 OOOđ và 220 vé loại 20 OOOđ
6.10. 125 viên gạch cạnh 20cm và 200 viên gạch cạnh 30cm.
177

7.1. sô' 6
7.2. số 27.
7.3. số 15.
7.5. Lúc đầu có 32 con
7.6. Đáp số 45 cái nhãn vở
7.7. Cuộn vải dài 60m
7.8. Đáp số 4 con thỏ
7.9. Đáp số 27 quả mận
7.11. Ba số cần tìm là 8,13 và 9.
7.12. Bốn số cần tìm là 133; 90; 102 và 155.
7.13. Lúc đầu bó thứ nhất có 34, bó thứ hai có 14 que tính.
7.14. Lúc đầu can thứ nhất có 34 lít và can thứ hai có 6 lít dầu.
7.15. Ba số cần tìm là 16, 10 và 10
7.16. Xem bảng dưới đây :
CHƯƠNG VII
Lần thứ Canil Can 5 l
1 7 0
2 2 5
3 2 0
4 0 2
5 7 2
6 4 5
7.17 và 8.18: Tương tự bài 8.16.
7.19. Lúc đầu Tùng có 11, Cúc có 7 và Huệ có 6 cái kẹo
7.21. Đàn ngựa có 31 con
178

8.1. Hai số cần tìm là 75 và 95.
8.2. Lớp 5A nhặt đưỢc 70kg và lớp 5B nhặt được 57kg.
8.3. 1216m'
8.4. Lúc đầu can thứ nhất có 49 lít và can thứ hai có 31 lít
8.5. Lúc đầu Hương có 18 cái nhãn vở và Thọ có 14 cái nhãn vở
8.6. Ba số cần tìm là 60; 62 và 64.
8.7. Năm nay cha 48 tuổi, con lón 20 tuổi và con nhỏ 14 tuổi
8.8. Lúc đầu đội 1 có 35 người, đội 2 có 38 ngưòi và đội 3 có
47 ngưòi
8.9. Khi đó mẹ 37 tuổi, con Iđn 12 tuổi và con nhỏ 5 tuổi.
8.10. Vận tốc của tàu thủy là 18km, tàu hỏa là 45km và xe
máy là 35km.
CHƯƠNG IX
9.1. Gợi ý :
ÖNIC ~ 3 ^ 2 ~ 3 ’
Smbi ~ Snic = — Sabc = Samin
o
9.2. Gợi ý :
Smdc “ Snab = Sabcd • 2 = 90cm^;
SlM H N - Sị a d + Sh bC
9.3. Trả lòi : Đáy nhỏ bằng 19cm và đáy lón bằng 38cm
9.4. Gợi ý :
Sbnc = 360 : 3 = 120cm‘";
Sabn= 360 - 120 = 240 (cm^
Snbm = 240 : 3 = 80 (cm^);
Samn = 360 - (120 + 80) = 160 (cm")
9.5. Gợi ý :
Trên DC lấy điểm M sao cho DM = AB. Nô'i B với M và 0 vổi M.
Trả lòi : SoDc = 216cm^
CHƯƠNG VIII
179

Nối A vói 0 . Ta có Sbam= Sbmc - 200cm'^
S q a m ~ S q m c n ê n SoAB ~ S o B c
Sqab ~ 4Sonb- Suy ra SoBc ~ 4Sqbn
Mảt khác, s onb ^OBC “ — ^ABC lOOcĩĩi^
4
Trả lòi : Sqbc = 75cm^
CHƯƠNG X
10.1. Số cần tìm là 300
10.2. Số cần tìm là 290
10.3. SỐcần tìm là 17 145
10.4. Số cần tìm là 12,3
10.7. 15 đoạn thẳng
10.8. a) có 20 số
b) có 25 số
10.9. có 28 cái bắt tay
10.10. Thầy Toán dạy môn Hóa; thầy Lí dạy môn Lí và thầy
Hóa dạy môn Toán
10.11. Cả ba bạn đều đạt điểm 10.
10.12. Lan làm hoa cúc, Cúc làm hoa huệ và Huệ làm hoa lan
10.13. Người Thái Lan là nhà văn;
Người Trung Quốc ỏ nhà quét ve màu hồng.
10.14. Cô Hoan là giáo viên dạy trường Nguyễn Du và dạy thi
môn Toán. Cô Thủy là giáo viên trường Điện Biên và dạy
thi môn Mĩ thuật; Cô Thuý là giáo viên trường Hòa Bình
và dạy thi môn Đạo đức.
9.6. Gợi ý :
180

11.2. a) SỐ 895 c) Số 278
b)Số21 d) SỐ 1160
11.3. a)x=119 c)x = 73
b) X = 77 d) X = 107
11 ^ N - 2 ^ _ 28
11.4 a)y=-^ c )y = ^
15 15
K^ - 184 .. _ 28
11.5 a) y = 0,00016 c)y=l,R55
b)y = 50
11.6. a) y = 5224 c)y=118
b) y = 130600 d) y = 5,5
11.7. a) Sốcần tìm là 127 b) Sốcần tìm là 100
11.10. Phép tính cần tìm là :
a) 790578 - 789 = 789789 c) 1248 ; 26 = 48
b) 32105 - 3210 = 28895 d) 3125 : 125 = 25
11.11. Sô'cần tìm là 54
11.12. SO'cần tìm là 92
11.13. Số cần tìm là 125
11.14. Số cần tìm là 2345
11.15. Đàn gà có tất cả 60 con
11.16. Tháng đầu năm đó đàn thỏ có 4 đôi.
CHƯƠNG XII
12.1. a) Số dư của phép chia một số tự nhiên cho 6 chỉ có thể là 0,
1, 2, 3, 4 hoặc 5. Khi chia 7 sô' tự nhiên cho 6 ta đưỢc 7 số
dư. Theo nguyên lí Đi-rích-lê thì phải có 2 sô' dư bằng nhau.
Hai sô' tự nhiên là số bị chia của hai phép chia này sẽ có
hiệu chia hết cho 6.
CHƯƠNG XI
181

b) Tương tự câu a, tồn tại hai sô' tự nhiên c6 hiệu là số chia
hết cho 5. Hiệu này có chữ sô' hàng đơn vị bằng 0 hoặc 5.
c) Trong 11 số tự nhiên sẽ có 11 chữ số tận cùng, trong đó
chỉ có 10 chữ số tận cùng khác nhau. Theo nguyên lí
Đi-rích-lê phải có hai sô' có cùng chữ sô' tận cùng. Suy ra
hiệu của hai số này là số tròn chục.
12.2. Chỉ có hai loại sô" khác nhau là sô' chẵn hoặc sô' lẻ. Theo
nguyên lí Đi-rích-lê thì trong ba sô' bất kì phải có hai số cùng
là số chẵn hoặc cùng là sô' lẻ. Tổng của hai sô' này là sô' chẵn.
12.3. Các số chẵn không tròn chục có chữ số tận cùng bằng 2, 4, 6
hoặc 8. Theo nguyên lí Đi-rích-lê thì trong 5 số chẵn không
tròn chục phải có 2 số có cùng chù số tận cùng. Hiệu giũa
hai sô' này là số tròn chục.
12.4. Xem ví dụ 12.2
12.5. 3 hòm
12.6. Xem ví dụ 12.2
12.7. Trả lòi : để đưỢc ba màu khác nhau, ta cần lấy ít nhất 6
quả. Để được 2 màu khác nhau, ta cần lấy ít nhất 4 quả.
12.8. Xem ví dụ 12.4
12.9. Để được hai cuôn sách cùng môn, ta phải lấy ra ít nhất 5
cuốn. Đe dược 4 màii khác nhau, ta cần lây ít nhất 7 cuốn
12.10. Xếp các số có 2 chữ số tận cùng giống nhau vào một nhóm.
Như vậy có nhiều nhất là 100 nhóm khác nhau (00; 01; 02;
99). Như vậy vói 101 số chia thành 100 nhóm phải có ít
nhất một nhóm có 2 số. Hiệu giữa hai số này là số tròn trăm.
182

Đ ịa c h ỉ: 136 Xuân Thuỳ. cáu Giấy. Hà Nội
Đ iệ n t h o ạ i: 0 4 . 3 7 5 4 7 7 3 5 I F a x : 0 4 . 3 7 5 4 7 9 1 1
E m a il: h a n h c h in h @ n x b d h s p .e d u .vn I W e b s i t e : WWW.nxbd hsp edu.vn
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM
GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐẾ
RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TlỂU HỌC
Trán Diên Hiển
C hịu trá c h n h iệ m x u ấ t b á n :
Giam đốc Đ IN H N G Ọ C BẢO
Tổng biên tập Đ IN H V Ă N V A N G
B ié n tậ p n ộ i d u n g :
N G U Y Ề N TIẾ N T R U N G
K ĩ th u ậ t v ì tin h :
N G U Y Ê N N A N G H Ư N G
Trìn h b à y b ia :
P H Ạ M V IỆ T Q U A N G
M ã s 6 :ũ 1 .0 ).7 0 1 /1 5 0 3 -Đ H 2 0 1 1 -1 0 9
In 1000 cuón, khd 17 X 24cm, tại Xườrg in TT NC&SX Học lièu - Trường OHSP Hâ Nôi.
Đăng kl KHXB sồ: 64-2011/CXB/701-01®HSP ngảy 11/1/2011.
In xong và nộp lưu chiểu thàng 1ũnảm2011.
Tags
Categories
General
Download
Download Slideshow Get the original presentation file
Quick Actions
Statistics
  • Views 699
  • Slides 185
  • Age 253 days
Related Slideshows
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper 22
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper
RodolfoMoralesMarcuc
37 views
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint 26
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint
chalobrido8
40 views
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf 31
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf
JaiJai148317
37 views
Fertility awareness methods for women in the society 14
Fertility awareness methods for women in the society
Isaiah47
34 views
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture 35
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture
RitikSharma297999
32 views
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx....... 5
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx.......
ourcommunity56
35 views
View More in This Category