Gram schmidt

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN

S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T.
MINATITLÁN, VER. 27 DE NOVIEMBRE DEL 2006
MATEMATICAS IV
GRUPO: C242
ESPECIALIDAD:
INGENIERIA INDUSTRIAL
EQUIPO:
LAS ESTRELLAS
4.6 CAMBIO DE BASE, BASE ORTONORMAL, PROCESO DE
ORTONORMALIZACION DE GRAM SCHMIDT
PRESENTAN:
ABURTO GARCIA OFELIA
MAZARIEGOS LOPEZ CANDY ADRIANA
CATEDRATICO:
ING. BELINDA PASTRANA

2. * Cambio de base
* Base ortonormal
* Proceso de ortonormalización Gram-Schmidt
MATEMATICAS IV
4.6
UNIDAD 4

3. Existe un número infinito
de bases para tener un
espacio vectorial de
dimensión n cualquiera y n
vectores linealmente
independientes.
Cambio de base
Se cambia de base mediante el cálculo de una matriz.
MATEMATICAS IV
UNIDAD 4

4. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4Ejemplo 4.6.1
1
0
æ ö
ç ¸
è ø
0
1
æ ö
ç ¸
è ø
Sean U
1
= U
2
=
Entonces B
1
={ }
1 2
,U U es la base canónica en R
2

1
3
æ ö
ç ¸
è ø
Sean V
1
= V
2
=

1
2
-æ ö
ç ¸
è ø
Como V
1
y V
2
son linealmente independientes, V
1
no es múltiplo de V
2
.
B
2
= { }
1 2
,V V es una segunda base en R
2

Sea X = 1
2
x
x
æ ö
ç ¸
è ø
un vector en R
2

5. 1
2
x
x
æ ö
ç ¸
è ø
1 2 1 1 2 2
1 0
0 1
x x xu xu
æ ö æ ö
+ = +
ç ¸ ç ¸
è ø è ø
Esta notación significa que:
=

MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
X =
Es decir X esta en términos de B, entonces:
()
1
1
2
x
X B
x
æ ö
=ç ¸
è ø

6. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares:
< V
i
V
j
> = 0 (producto punto).
Base ortonormal
Si además cada elemento de la base tiene de norma = 1,
la base se llama ortonormal.
Base ORTOGONAL x ^ y  
Base ORTONORMAL x ^ y   ;  |x| = 1; |y| = 1

7. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
Los vectores unitarios canónicos E
1
…E
n
en R
n
forman una base
ortonormal de R
n
y además cada uno de ellos tiene norma = 1,
por lo tanto:
Ei . Ej = 0 ( 1, 0 )( 0, 1 )
Ejemplo 4.6.2
Producto escalar = producto interno de las coordenadas de los vectores.

8. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
Proceso de ortonormalización gram schmidt
Paso 1. A
1
= B
1
Pasos para aplicar el proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt:
Paso 2. Se toma A
2
y se resta su proyección a lo largo de A
1

para tener B
2
.
Paso 3. Se toma A
3
y se resta sus proyecciones a lo largo de B
1

y B
2
para obtener B
3
.
Paso 4. Se toma A
4
y se restan sus proyecciones a lo largo de B
1
,
B
2
y B
3
para obtener B
4
Paso 5. Se continúa hasta que se genere una base ortogonal de W.

9. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
Método de Gram–Schmidt
Los dos primeros pasos del método de Gram–Schmidt
Definimos el operador proyección con
proyecta el vector V ortogonalmente en el vector U.

10. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
El método de Gram–Schmidt entonces funciona como sigue:

11. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
Ejemplo 4.6.3
Considera el siguiente conjunto de vectores en R
n

(con el convencional producto interno)
Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto
de vectores ortogonales:

12. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4
Verificamos que los vectores U
1
y U
2
son de hecho ortogonales:
Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su
tamaño como hemos mostrado anteriormente:

13. MATEMATICAS IV
UNIDAD 4