Guía función racional

1. 5 año MATEMÁTICA prof. Sara Petricorena

FUNCIÓN RACIONAL - GUÍA TEÓRICA CON EJEMPLO
 Una función racional es una función de la forma f(x)= donde p(x) y q(x)
son polinomios y q(x)0. Recordemos que la división por cero no está
definida.

 Por tanto,el dominio de una función racional estará definido por el
conjunto de los números reales a excepción de las raíces del
denominador.

 Cálculo del dominio: se hallan los ceros o raíces del denominador
quedando la siguiente notación
Dom f(x)= R-


 Ordenada al origen de la función, es el valor “b” donde la gráfica
interseca al eje “y” (en símbolos: ), por ende, corresponde a un valor
cero del dominio cuya expresión completa del punto es P=(0;b).
 Cálculo de la ordenada al origen: como x=0 entonces se hace
f(0) (especializar la función en x=0).


 Ceros o raíces de la función: sabemos que gráficamente, los ceros o
raíces son los valores por donde la gráfica interseca al eje “x” ().
Analíticamente es el o los valores de “x” para los cuales la función se
anula.
 Cálculo de los ceros:
 igualamos la función a cero
 resolvemos la ecuación para hallar el o los valores de “x”
 Verificamos que estos valores no estén excluidos del dominio.


Suponiendo que las raíces o ceros del
numerador coinciden con los excluidos del
dominio, ¿la función, tiene ceros?¿porqué?
¿Todas las funciones racionales tendrán
corte con el eje “y”?¿cuándo si y cuándo
no?

¿Es posible que el dominio de una función
racional se defina como todos los números
reales sin excluir ningún valor?¿cuándo?

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 Huecos o lagunas:
 Son los ceros del numerador que NO son ceros de la función.
 Gráficamente las funciones presentan discontinuidades
 Se representan con un con una circunferencia pequeña sobre el
punto correspondiente.
 Se pueden calcular:
1. Se factorizan numerador y denominador.
2. Se simplifican los factores
3. El valor correspondiente al hueco o laguna es el valor
contrario al del factor que se cancela.
4. La notación es hueco o laguna en x= -a
5. Cálculo de las coordenadas del hueco: se reemplaza el
valor “x” obtenido del hueco en la función para obtener la
coordenada en “y”. La notación correspondiente es: H=(x;y)

 Las asíntotas son líneas imaginarias correspondientes a rectas paralelas
a los ejes “x” e “”y”. Gráficamente, la curva de la función se acerca
infinitamente a ella sin llegar a tocarla nunca.
 Las asíntotas horizontales son rectas paralelas al . Se pueden
calcular comparando el valor entre los grados del numerador y
denominador.
 Si el grado del polinomio numerador es menor que el grado del
polinomio denominador, existe A.H en y=0 (es el mismo )
 Si el grado del polinomio numerador es igual al del polinomio
denominador, la A.H es el cociente entre los coeficientes
principales.
 Si el grado del polinomio numerador es mayor que el grado del
polinomio denominador, no existe A.H
 Las asíntotas verticales son rectas paralelas al .
 Todos los valores excluidos del domino son posibles asíntotas
verticales.
 Si x=a es un valor excluido del dominio será una A.V únicamente
cuando NO anule al numerador.
 Asíntota oblícua es una recta de la forma y=ax+b.
 Existe A.O cuando la diferencia entre los grados de los polinomios
p(x) y q(x) es 1.
 Se puede calcular hallando el cociente de la división entre los
polinomios.
 Gráfica aproximada de una función racional: una vez que se han
hallado todos los elementos mencionados anteriormente se procede a
graficar.
 en primer lugar se halla el dominio; de esta manera ya tenemos
idea si el cero está o no está en él, las posibles asíntotas y lagunas.

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 Luego se ubican los elementos (ceros, ordenada al origen,
asíntotas, lagunas).
 Por último, se traza la gráfica aproximadamente.
“Recordemos que podemos graficar en el software “geogebra” para tener idea
exacta de la función. Este software permite mover la gráfica y así poder analizar
distintos comportamientos”.

EJEMPLOS:
F(x) =
DOMINIO:
x
2
-4x=0 igualo a cero el polinomio denominador
x(x-4) factor común
x=0 cada uno de los factores los igualo a cero y despejo x
x-4=0  x=4
dom f(x): R-
1. ORDENADA AL ORIGEN O
Como el cero está excluido del dominio, la función no tiene ordenada al
origen, (recordemos que es el valor para cuando x=0)
2. CEROS O RAÍCES DE LA FUNCIÓN
igualamos la función a cero
el denominador pasa al segundo miembro
al multiplicar por cero el 2° miembro, queda cero
sacamos factor común x
cada factor lo igualamos a cero y obtenemos la raíz

Ahora verificamos si estos valores están o no están excluidos del dominio
Nos hacemos las preguntas :

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 ¿x=0 pertenece al dominio? NO,por lo tanto x=0 no puede ser cero de
la función.
 ¿x=-3 pertenece al dominio? SI, por lo tanto, x=-3 es cero o raíz de la
función
 X=-3 es el cero o raíz de la función

3. ASÍNTOTA VERTICAL
Recordamos el dominio dom f(x): R- por lo tanto x=0 y x= 4 son
posibles asíntotas.
Verificamos reemplazando estos valores en el numerador:
x
2
+3x= reemplazamos el cero en la x
0
2
+3.0 =0 Al reemplazar el valor cero, el numerador se anula, esto implica
que x=0 NO es A.V
x
2
+3x= reemplazamos el 4 en la x
4
2
+3.4= calculamos
16+12=28 Al reemplazar el valor 4, el numerador NO se anula, esto implica
que x=4 SI es A.V

4. HUECOS O LAGUNAS
Como x=0 no es cero de la función y además está excluido del
domino; resulta que x=0 es hueco o laguna.
Además, siguiente los pasos mencionados en la parte teórica:
tomamos la función
se factorizan los dos polinomios
se simplifica x; por lo tanto x=0 es el valor correspondiente al factor
simplificado, podemos decir que x=0 es un hueco o laguna en la función
Coordenadas del hueco:
entonces H=(0; - 0,75)
¿qué sucede con la función si el numerador
se anula?
¿estaríamos hablando de otra función?¿cuál?

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5. ASÍNTOTA HORIZONTAL
Los grados de ambos polinomios son iguales
A.H= cociente entre coeficientes principales
A.H= 1