Hallar el término general de una sucesión

Averiguar el término general de una sucesión, no es una tarea nada sencilla, y en función de la sucesión que estemos tratando, puede traernos verdaderos dolores de cabeza.

En algunas ocasiones, no habrá más remedio que abandonar. No es que no se pueda hallar o averiguar, sino que no dispondremos de las herramientas más adecuadas para ello. Probablemente porque necesitemos conocimientos matemáticos que por el nivel que estemos estudiando, aún no hemos adquirido.

1. Sucesiones
MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, …
http://profeblog.es/blog/luismiglesias

Profesor: Luis Miguel Iglesias Albarrán

2. MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, … http://profeblog.es/blog/luismiglesias
Ejercicio
Averigua el término general de las siguientes
sucesiones:
a) 4, 7, 12, 19, 28, …
b)
4
2
,
7
8
,
10
26
,
13
80
,
16
242
,...

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a) 4, 7, 12, 19, 28, …
A primera vista parece claro que le sumamos 3, luego 5, más tarde 7, ...
Pero, esto que parece tan simple, es difícil de formalizar, al no tratarse de
un crecimiento constante, es decir, al no aumentar una cantidad fija.
Hay que buscar otra alternativa ...
Si seguimos observando la sucesión, también podemos darnos cuenta de
que: “Cada elemento se obtiene elevando al cuadrado la posición que ocupa y,
posteriormente, sumándole 3 unidades”

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Así que “SÓLO” nos queda encontrar, una expresión, que nos permita,
simplemente sustituyendo “n” por “un número”, encontrar el elemento de la
sucesión que ocupe el lugar indicado por este número.
a) 4, 7, 12, 19, 28, …
Basta traducir el “lenguaje verbal” al “lenguaje matemático”
a
n
=n
2
3
El elemento que ocupa la posición “n”en la sucesión se obtendrá de la
siguiente manera: “elevando n al cuadrado” y posteriormente “sumándole 3”
Así, el término general de la sucesión es:
Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dándole valores a “n”
Para n=1 obtenemos 1+3=4 Para n=2 obtenemos 4+3=7
Para n=3 obtenemos 9+3=12 Para n=4 obtenemos 16+3=19
Para n=5 obtenemos 25+3=28 Para n=6 obtenemos 36+3=39

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a) 4, 7, 12, 19, 28, …
¡ Hemos triunfado !
Hemos encontrado el término general de la sucesión:
a
n=n
2
3

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A primera vista parece claro que:
4
2
,
7
8
,
10
26
,
13
80
,
16
242
,...b)
(1) Al numerador le sumamos 3, de modo constante.
Luego, el numerador está formado por una progresión aritmética de diferencia 3.
(2) El denominador lo multiplicamos por 3 y luego le sumamos 2.
Pero, esto que por separado parece tan simple, es bastante difícil de
formalizar, ya que obtener el término general debemos ser capaces de obtener
la fracción completa con una única expresión.

7. MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, … http://profeblog.es/blog/luismiglesias
Así que “SÓLO” nos queda encontrar, una expresión, que nos permita,
simplemente sustituyendo “n” por “un número”, encontrar el elemento de la
sucesión que ocupe el lugar indicado por este número.
Basta traducir el “lenguaje verbal” al “lenguaje matemático”
Vayamos por partes. Recuerda: “Divide y Vencerás”
NUMERADOR: El término general del numerador, al ser una progresión
aritmética viene dado por la expresión:
4
2
,
7
8
,
10
26
,
13
80
,
16
242
,...b)
a
n=a
1n−1⋅d
En nuestro caso:
Luego el término general de la sucesión del numerador viene dado por:
a
1=4yd=3
a
n=4n−1⋅3

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Vayamos ahora con el denominador.
DENOMINADOR: Ya hemos visto que para calcular el denominador de un
término, necesitamos “multiplicar por 3 el denominador del término anterior y,
luego, sumarle 2”.
Bien, ¿y cómo obtenemos el denominador del término anterior?
4
2
,
7
8
,
10
26
,
13
80
,
16
242
,...b)
Para obtener el denominador de una fracción cualquiera, basta con “dividir el
numerador de la fracción entre la propia fracción”. Veamos un ejemplo:
Dadalafracción,
7
8
paraobtenereldenominador,dividimos7÷
7
8
=7

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En nuestro caso, cuando queramos calcular el denominador del término
necesitamos el denominador del término
El denominador del término se obtiene dividiendo el numerador de dicho
término, entre el propio término.
Ahora bien, el numerador del término viene dado por:
4
2
,
7
8
,
10
26
,
13
80
,
16
242
,...b)
Por tanto, para obtener el denominador de la fracción, realizamos la siguiente
operación:
a
n
a
n−1
4n−2⋅3
a
n−1
a
n−1
4n−2⋅3÷a
n−1
Finalmente, “basta” con “multiplicar la expresión anterior por 3 y luego
sumarle 2”, obteniendo la expresión del término general del denominador:
3⋅[4n−2⋅3÷a
n−1]2

10. MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, … http://profeblog.es/blog/luismiglesias
Llegados a este punto, nos queda colocar en el NUMERADOR y en el
DENOMINADOR, las expresiones correspondientes a ellos, así, “por fin”,
habremos conseguido encontrar el término general de una sucesión, que
aparentemente, a primera vista, no parecía nada del otro mundo.
4
2
,
7
8
,
10
26
,
13
80
,
16
242
,...b)
Corolario: Las apariencias engañan (y en Matemáticas, aún más)
a
1=
4
2
Así, el término general de la sucesión es:
a
n
=
4n−1⋅3
3⋅[4n−2⋅3÷a
n−1]2
sin2

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¡ Hemos triunfado !
… pero después de esto no me quedan fuerzas, y me voy a la cama.
Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dándole valores a “n”
- Debes obtener al menos, los 5 primeros términos. Para n=2 obtenemos:

4
2
,
7
8
,
10
26
,
13
80
,
16
242
,...b)
a
2
=
42−1⋅3
3⋅[42−2⋅3÷a
2−1]2
=
43
3⋅[4÷
4
2
]2
=
7
8