Hiperestáticos - Método de las fuerzas - Ejercicio N° 2b de la Guía de Problemas Propuestos

Resolución del Ejercicio N° 2b de la Guía de Problemas Propuestos

1. Hiperestáticos
Método de las Fuerzas
Ejercicio N°2b de la Guía de
Problemas Propuestos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Resolver por el método de las fuerzas la
barra estudiada en el Ejercicio Nº 1 del
Trabajo Práctico Nº 8…
Enunciado
…para las condiciones de vínculo que se muestran
en la figura, cargado con una carga distribuida de
valor “q” y una fuerza concentrada “P”actuando
en el punto “C”en la mitad de la luz (L/2)entre
apoyos “A”y “B”…
…adoptar dos Sistemas Fundamentales distintos. Comparar resultados. Dibujar el diagrama
de cuerpo libre, trazar los diagramas de características y calcular los efectos de un descenso
del vínculo Bde valor junto con una rotación de valor .
Datos:Perfil“dobleT”(DIN1025);L=7,4m;P=4,5t;q=1,8t/m;
adm=1400Kg/cm
2
;

adm=800Kg/cm
2
;E=2,1x106Kg/cm
2
.
A BC
P
q

3. Encararemos la solución del problema
adoptando los siguientes sistemas
fundamentales…
Resolución
Caso A
Caso B
P
q
X
1
X
2
X
3
P
q
X
1
X
2
X
3

4. Veamos el Caso A…
Resolución
En este caso, el sistema que tiene un grado de
hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en
isostático mediante la supresión del vínculo
(empotramiento) “B”… P
q
A BC
…y agregando las acciones “X
1”,“X
2” y“X
3”, así
será:
X
3
X
1
X
2
…y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será:









0
0
00
22221122
12211111
3
aXaXaa
aXaXaa
XP
qP
qP
H
donde:
X
i-verdadero valor de la incógnita
hiperestática “i”(adimensional).
a
ij-desplazamiento que sufre el punto
de aplicación de la incógnita X
ien la
estructura fundamental en la dirección y
sentido de esta fuerza, originado por un
valor unitario de X
j.

5. Resolución
P
q
A BC
…y agregando las acciones “X
1”,“X
2” y“X
3”, así
será:
X
3
X
1
X
2
…y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será:









0
0
00
22221122
12211111
3
aXaXaa
aXaXaa
XP
qP
qP
H
donde:
a
iP-desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
X
ien la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “P”,
por acción de X
i= 1
Veamos el Caso A…
En este caso, el sistema que tiene un grado de
hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en
isostático mediante la supresión del vínculo
(empotramiento) “B”…

6. Resolución
P
q
A BC
…y agregando las acciones “X
1”,“X
2” y“X
3”, así
será:
X
3
X
1
X
2
…y planteando de la ecuaciones de compatibilidad será:









0
0
00
22221122
12211111
3
aXaXaa
aXaXaa
XP
qP
qP
H
donde:
a
iq-desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
X
ien la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “q”,
por acción de X
i= 1
Veamos el Caso A…
En este caso, el sistema que tiene un grado de
hiperestaticidad igual a 3, lo convertimos en
isostático mediante la supresión del vínculo
(empotramiento) “B”…

7. Los coeficientes a
ijlos obtenemos
aplicando el Principio de los Trabajos
Virtuales…
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
P
PL/2
1
L
Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X
1
a
1P

8. Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
P
PL/2
1
LJE
a
P


94875,189
1 JE
LPLL
L
LP
JE
dsMM
JE
a
L
PP















3
2
0
11
48
5
22
2
26
111  
Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X
1
a
1P

9. qL
2
/2
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
1
L  JE
Lq
LL
Lq
JE
dsMM
JE
a
S
qq









42
11
8
1
24
111 JE
a
q


69796,674
1
Carga distribuida q
Incógnita hiperestática X
1
a
1q

10. JE
L
LL
JE
dsMM
JE
aa
S





 
2
212112
2
1
1
2
111 Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
1
L 
Incógnita hiperestática X
2
Incógnita hiperestática X
1
1JE
aa


38,27
2112
a
12 = a
21

11. En forma análoga calculamos los otros
coeficientes …
ResoluciónJEJE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JEJE
LqLLq
JE
dsMM
JE
a
JEJE
LP
L
LP
JE
dsMM
JE
a
JEJE
L
LL
JE
dsMM
JE
a
S
S
qq
S
PP
S










































40,7
11
11
5672,121
12
1
2
1
23
111
8025,30
4
1
1
22
111
...07466,135
3
1
3
111
2222
32
22
2
22
3
2
1111

12. Con lo que podemos armar y resolver el
siguiente sistema de ecuaciones…
Resolución




mtX
tX
3765,12
91,8
2
1  




040,738,273697,152
038,27...0746,1356459,864
21
21
XX
XX
P
q
A BC
X
1
X
2
El signo menos indica que el sentido adoptado para la incógnita x
1es el
contrario al graficado en el esquema.

13. Veamos el Caso B…
Resolución
El sistema tiene un grado de hiperestaticidad igual
a 3, lo convertimos en isostático mediante el
reemplazo del vínculo (empotramiento) “A”por
un vínculo de segunda especie (apoyo fijo)…
… agregando las acciones “X
1”,“X
2” y“X
3”, así
será:
…y planteando de la ecuaciones de
compatibilidad será:
donde:
X
i-verdadero valor de la incógnita
hiperestática “i”(adimensional).
a
ij-desplazamiento que sufre el punto
de aplicación de la incógnita X
ien la
estructura fundamental en la dirección y
sentido de esta fuerza, originado por un
valor unitario de X
j.
A BC
P
q
… y el reemplazo del vínculo (empotramiento)
“B” por un vínculo de primera especie (apoyo
móvil…
X
3
X
2
X
1











0
00
00
12211111
21
3
aXaXaa
XXM
XP
qP
H

14. Resolución
donde:
A BC
P
q
X
3
X
2
X
1











0
00
00
12211111
21
3
aXaXaa
XXM
XP
qP
H
a
iP-desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
X
ien la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “P”,
por acción de X
i= 1
a
iq-desplazamiento del punto de
aplicación de la incógnita hiperestática
X
ien la estructura fundamental, en la
dirección y sentido de la fuerza “q”,
por acción de X
i= 1
Veamos el Caso B…
El sistema tiene un grado de hiperestaticidad igual
a 3, lo convertimos en isostático mediante el
reemplazo del vínculo (empotramiento) “A”por
un vínculo de segunda especie (apoyo fijo)…
… agregando las acciones “X
1”,“X
2” y“X
3”, así
será:
…y planteando de la ecuaciones de
compatibilidad será:
… y el reemplazo del vínculo (empotramiento)
“B” por un vínculo de primera especie (apoyo
móvil…

15. Los coeficientes a
ijlos obtenemos
aplicando el Principio de los Trabajos
Virtuales…
Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X
1
P
PL/4
1
a
1P

16. JE
LP
LLP
JE
dsMM
JE
a
S
PP







2
11
16
1
1
4
1
4
111 Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
Carga concentrada P
Incógnita hiperestática X
1  JE
LP
a
P



2
1
16
1
P
PL/4
Incógnita hiperestática X
1
1
a
1P

17. L
JE
dsMM
JE
aa
S




 
11
6
111
122112 Resolución
…mientras que las integrales las resolvemos por
medio de la tabla de multiplicación de diagramas:
Incógnita hiperestática X
2
Incógnita hiperestática X
1 
1
-1JE
L
aa


6
1
2112
a
12 = a
21

18. En forma análoga calculamos los otros
coeficientes …
ResoluciónJE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JE
Lq
LLq
JE
dsMM
JE
a
S
S
qq















3
1
11
3
111
24
1
1
8
1
3
111
1111
3
2
11
Con lo que podemos armar y resolver la siguiente ecuación:mt
LqLP
XX 







 


 3765,12
128
2
21  
0
632416
11
2





 XXLqLP 

19. A
C
B
4,5 t
1,8 t/m
Graficamos el diagrama del cuerpo
libre…
Resolución
12,38 t.m 12,38 t.m
8,91 t8,91 t

20. Graficamos los diagramas de momento
flexory corte…
Resolución
Q M
8,91 t
8,91 t
2,25 t
2,25 t
12,38 t.m
12,38 t.m
8,27 t.m

21. Calculemos ahora los efectos de un
descenso del vínculo B (de valor )…
Resolución
X
3
X
1
X
2
A B
…y agregamos las acciones “X
1”,“X
2” y“X
3”, así
será:
…si planteamos ahora, las ecuaciones de
compatibilidad tendremos:









0
00
2222112
1221111
3
aXaXa
aXaXa
XP
P
P
H

Adoptamos el sistema fundamental del Caso A…
…los coeficiente a
ijson los ya calculados
considerando, en este caso, la no existencia
de cargas exteriores: 
 
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JE
L
LL
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
S
P
S
PP
S
S
P
S
PP





























11
11
00
1
2
1
1
2
111
3
1
3
111
00
1
2222
22
2
2
2112
3
2
1111
11

22. Calculemos ahora los efectos de un
descenso del vínculo B (de valor )…
Resolución
X
1
X
2
A B
…y reemplazando se tiene:
















0
2
1
2
1
3
1
2
2
1
2
2
3
1
JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X 
…despejando de la segunda
ecuación X
2resulta:2
12
L
XX 
…reemplazando ahora X
2en la
primera y operando, se tiene:BR
L
EJ
X 


31
12 BM
L
EJ
X 


22
6
Calculemos ahora las reacciones
de vínculo en A:




















2
3
6
0
12
0
0
0
L
EJ
MLRMM
L
EJ
RRR
M
F
ABBA
ABA
A
V


R
A
M
A
= R
B
= M
B

23. Calculemos ahora los efectos de una
rotación del vínculo B (de valor )…
Resolución
X
3
X
1
X
2
A B
…y agregamos las acciones “X
1”,“X
2” y“X
3”, así
será:
…si planteamos ahora, las ecuaciones de
compatibilidad tendremos:









0
00
2222112
1221111
3
aXaXa
aXaXa
XP
P
P
H

Adoptamos el sistema fundamental del Caso A…
…los coeficiente a
ijson los ya calculados
considerando, en este caso, la no existencia
de cargas exteriores: 
 
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
JE
L
L
JE
dsMM
JE
a
JE
L
LL
JE
dsMM
JE
a
MdsMM
JE
a
S
P
S
PP
S
S
P
S
PP





























11
11
00
1
2
1
1
2
111
3
1
3
111
00
1
2222
22
2
2
2112
3
2
1111
11

24. Calculemos ahora los efectos de un
descenso del vínculo B (de valor )…
Resolución
X
1
X
2
A B
…y reemplazando se tiene:

















JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X
JE
L
X
2
2
1
2
2
3
1
2
1
0
2
1
3
1
…despejando de la primer
ecuación X
2resulta:LXX 
12
3
2
…reemplazando ahora X
2en la
segunda y operando, se tiene:BR
L
EJ
X 


21
6 BM
L
EJ
X 


4
2
Calculemos ahora las reacciones
de vínculo en A:




















L
EJ
MLRMM
L
EJ
RRR
M
F
ABBA
ABA
A
V


2
0
6
0
0
0 2
R
A
M
A
= R
B
= M
B

25. Bibliografía
EstabilidadII-E.Fliess
Introducciónalaestáticayresistenciademateriales-C.Raffo
Mecánicademateriales-F.Beeryotros
Resistenciademateriales-R.Abril/C.Benítez
Resistenciademateriales-LuisDelgadoLallemad/JoséM.QuintanaSantana
Resistenciademateriales-V.Feodosiev
Resistenciademateriales-A.Pytel/F.Singer
Resistenciademateriales-S.Timoshenko

26. Muchas Gracias