História da Matemática: Fibonacci

Apresentação sobre Fibonacci 2º Bimestre História da Matemática
Prof. Eduardo Cursino
Nome do Arquivo: E cursino 24_05_fibonacci

1. Universidade de Taubaté
Departamento de Matemática e Física
Eduardo d. Cursino Taubaté - SP 2010

2. Leonardo Pisano
Fibonacci

3. Levando em consideração a pesquisa realizada,
será demonstrado à biografia e um dos trabalhos deste
grande matemático que foi Leonardo Fibonacci,
considerando varias contextualizações de suas
descobertas, com a pratica do que já existia, e também
as que começaram com ele.
Introdução

4. Fibonacci
Leonardo de Pisa também conhecido como
Fibonacci (filho de Bonaccio), nasceu em Pisa,
centro comercial importante na Itália. Seu pai era
comerciante e tinha negócios no norte da África.
Assim Leonardo estudou com um professor
muçulmano e viajou pelo Egito, Síria e Grécia,
onde entrou em contato com os procedimentos
matemáticos orientais, como os métodos
algébricos árabes e os numerais indo-arábico.
Ao retornar a sua terra natal, publicou sua obra
mais famosa intitulada Líber Abacci (ou livro do
Ábaco).

5. Líber Abacci
Este livro foi publicado em 1202 e chegou até
nós, graças à sua segunda edição de 1228.
Este livro contém uma grande quantidade de
assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra
da época e realizou um papel importante no
desenvolvimento matemático na Europa nos
séculos seguintes, pois por este livro os europeus
vieram a conhecer os algarismos hindus, também
denominados arábicos. A teoria contida no livro
Líber Abacci é ilustrada com muitos problemas que
representam uma grande parte do livro.

6. Líber Abacci
Um dos problemas que está nas páginas 123 e
124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos
(paria coniculorum):
Quantos pares de coelhos podem ser gerados
de um par de coelhos em um ano?
Um homem tem um par de coelhos em um
ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber
quantos pares de coelhos podem ser gerados
deste par em um ano, se de um modo natural a
cada mês ocorre à produção de um par e um par
começa a produzir coelhos quando completa dois
meses de vida.

7. Líber Abacci
Como o par adulto produz um par novo a
cada 30 dias, no início do segundo mês
existirão dois pares de coelhos, sendo um
par de adultos e outro de coelhos jovens,
assim no início do 2º mês existirão 2 pares:
1 par adulto + 1 par recém nascido.

8. Líber Abacci
No início do 3º mês o par adulto
produzirá de novo mais um par enquanto
que o par jovem terá completado 1 mês de
vida e ainda não estará apto a produzir,
assim no início do terceiro mês existirão três
pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1
par com 1 mês de idade + 1 par recém
nascido.

9. Líber Abacci
No início do 4º mês, existirão dois pares
adultos sendo que cada um já produziu um
novo par e um par novo que completou 1
mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos
+ 1 par com 1 mês + 2 pares recém
nascidos.
No início do 5º mês, existirão três pares
adultos sendo que cada um já produziu um
novo par e dois pares novos que
completaram 1 mês de vida, assim teremos
8 pares: 3 pares adultos + 2 pares (1 mês) +
3 pares recém nascidos.

10. Líber Abacci
No início do 6º mês, existirão cinco pares
adultos sendo que cada um já produziu um
novo par e três pares novos que
completaram 1 mês, assim existirão 13
pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês +
5 pares recém nascidos.
Tal processo continua através dos
diversos meses até completar um ano.

11. Líber Abacci
0
2
3
4
5
1
Coelho Jovem
Coelho Adulto

12. Líber Abacci
Observa-se esta formação no gráfico com
círculos, mas também se pode perceber que
a sequência numérica, conhecida como a
sequência de Fibonacci, indica o número de
pares ao final de cada mês: {1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34,...}
Esta sequência de números tem uma
característica especial denominada
recursividade:

13. Líber Abacci
1º.termo somado com o 2º.termo gera o 3º.termo
2º.termo somado com o 3º.termo gera o 4º.termo
3º.termo somado com o 4º.termo gera o 5º.termo
Continua...

14. Líber Abacci
Denotando a sequência por u=u(n) como
o número de pares de coelhos ao final do
mês n, poderemos escrever: u (1) + u (2) = u
(3) u (2) + u (3) = u (4) u (3) + u (4) = u (5) u
(4) + u (5) = u (6) que é uma propriedade
recursiva, isto é, que cada termo pode ser
obtido em função dos termos anteriores. No
final do mês 12, o número de pares de
coelhos deverá ser 144. Em geral, temos: u
(n+1) = u (n-1) + u(n)

15. Aplicações
Pergunta:
Será que esta sequência numérica
aparece em outras situações da vida?
A resposta é positiva e pode-se
apresentar uma grande quantidade de
situações onde ela ocorre, abaixo veremos
algumas.

16. Aplicações
•Estudo genealógico de coelhos (Visto na
simulação)
•Estudo genealógico de abelhas
•Comportamento da luz
•Comportamento de átomos
•Crescimento de plantas
•Ascensão e queda em bolsas de valores
•Probabilidade e Estatística

17. Aplicações
Curvas com a forma espiralada como:
Nautilus (marinho), galáxias, chifres de
cabras da montanha, marfins de elefantes,
filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no
oceano, furacão, etc.

18. Conclusão
Fundamentando-se na seqüência
apresentada e nas aplicações que são
possíveis de se realizar com tal conceito, vê
– se a praticidade e a evolução que foi
possível após tal descoberta, tornado a vida
mais pratica em muitos sentidos.

19. Referencias Bibliográfica
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm

20. Visitem
http://eduardocursino.blogspot.com/