Historia del cálculo

Una reseña del desarrollo del Cálculo.
Trabajo escolar para 5to Semestre de Bachillerato

1. "Si he llegado a ver más lejos que otros, es por que
me subí a hombros de gigantes".
Sir. I. Newton

2. Dellegadodelasmatemáticas,elcálculoinfinitesimales,
sinduda,laherramientamáspotenteyeficazparael
estudiodelanaturaleza.Elcálculoinfinitesimaltienedos
caras:diferencialeintegraldondemoranlosinfinitos:
grandesypequeños.
Losorígenesdelcálculointegralseremontan,almundo
griego;concretamentealoscálculosdeáreasyvolúmenes
queArquímedesrealizóenelsigloIIIa.C.
"La matemáticaes la ciencia del orden y la
medida, de bellas cadenas de razonamientos,
todos sencillos y fáciles."
René Descartes

3. AunquehuboqueesperarhastaelsigloXVII¡2000años!
paraquesedescubrieraydesarrollara.
Lascausasdesemejanteretrasoson:
Lainexistenciadeunsistemadenumeración
adecuado.
Nosehabíandesarrolladoaúnelálgebrasimbólicay
lageometríaanalítica,quepermitieroneltratamiento
algebraico-ynogeométrico-delascurvas,
posibilitandoenormementeloscálculosdetangentes,
cuadraturas,máximosymínimos,entreotros.
"LasMatemáticassonunagimnasiadel
espírituyunapreparaciónparala
Filosofía.“
Isócrates

4. Ensuscomienzoselcálculofuedesarrolladoparaestudiar
cuatroproblemascientíficosymatemáticos:
Encontrarlatangenteaunacurvaenunpunto.
Encontrarelvalormáximoomínimodeunacantidad.
Encontrarlalongituddeunacurva,eláreadeunaregión
yelvolumendeunsólido.
Sólodoscosassoninfinitas,eluniversoylaestupidez
humana…ynoestoysegurodeloprimero.
AlbertEinstein

5. Dadaunafórmuladeladistanciarecorridaporun
cuerpoencualquiertiempoconocido,encontrarla
velocidadylaaceleracióndelcuerpoencualquier
instante.Recíprocamente,dadaunafórmulaenlaquese
especifiquelaaceleraciónolavelocidadencualquier
instante,encontrarladistanciarecorridaporelcuerpoen
unperíododetiempoconocido.
Enparteestosproblemasfueronanalizadosporlas
mentesmásbrillantesdeestesiglo.
Invertirenconocimientosproduce
siemprelosmejoresbeneficios.
BenjamínFranklin

6. Elcálculosederivadelaantiguageometríagriega.
EudoxoyArquímedesquisieronencontrareláreadel
círculo.
EnelsigloXVIIDescartesyFermatutilizaronelálgebra
paraencontrareláreaylastangentes.
Daría todo lo que sé, por la mitad de lo
que ignoro.
René Descartes

7. FuedesarrolladoporNewtonalrededorde1669.
Leibniztrabajóenelmismotemaapartirdelaño1684.
Bernoulli,EuleryLagrangelodesarrollaron
ampliamenteenelsigloXVII.
Dirichlet,CauchyyWeierstrassfueronquienespusieron
susfundamentossobreunabasefirmeenelsigloXIX.
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios
ha escrito el Universo.
Galileo Galilei

8. ParaTales...lacuestiónprimarianoeraquésabemos,
sinocómolosabemos.
Aristóteles
Aristóteles.Yalosgriegossehabíanpreocupadode
comotratareseentetancurioso-comodifícil-queesel
infinito.Paralosgriegoselinfinitoaparecededos
manerasdistintas:loinfinitamentepequeñoylo
infinitamentegrande.
Laregulaciónaristotélicadelinfinitonopermite
considerarunsegmentocomounacoleccióndepuntos
alineadosperosípermitedividirestesegmentoporla
mitadtantasvecescomoqueramos.

9. FueEudoxo,discípulodePlatónycontemporáneode
Aristótelesquienhizoelprimeruso"racional"delinfinitoen
lasmatemáticas.Eudoxopostulóque«todamagnitudfinita
puedeseragotadamediantelasubstraccióndeunacantidad
determinada».
ÉsteeselfamosoprincipiodeArquímedesquienlotoma
prestadoaEudoxoyquesirvióaaquelparasuperarlaprimera
crisisdelasMatemáticas-debidaaldescubrimientodelos
irracionales-.
Comprenderlascosasquenosrodeanesla
mejorpreparaciónparacomprenderlascosasque
haymasallá.
Hipatia

10. Fuelanecesidaddeentenderobrasgriegasdifíciles
comolasdeArquímedes–queyaenelsigloXVIIse
habíanrecuperado-.Dondeéstedasufamosa
estimacióndePiusandopolígonosregularesinscritosy
circunscritosalacircunferencia-quedesembocóenel
nacimientodelcálculo-.
LaprimerapartedelsigloXVIIvioelnacimientodela
geometríaanalíticadeFermatyDescartes.La
importanciadeestedescubrimientoconsisteenquela
geometríaanalíticapermiteeltratamientoalgebraicode
problemasgeométricos.
Cadacurvamatemáticatieneunanaturalezapropia,la
exactituddeunaley,laexpresióndeunaidea,laevidencia
deunavirtud.
Eduardo Torroja

11. Alasignaralascurvas,superficies,etc.fórmulas
algebraicasquelasdescribenypermitensu
manipulaciónanalítica.Deestaformaencontrar
tangentes,porejemplo,sehacíaextremadamente
sencillo.
RenéDescartesfueconocidocomofilósofoyfuequien
presentósuobra“geometría”juntoconotrosdos
tratadoscientíficos:ladióptricaylosmeteorosyles
preparóunprólogoqueseconvertiríadespuésenuno
deloslibrosdefilosofíamásconocidosdelahistoria:El
discursodelmétodo.
Silagentenopiensaquelasmatemáticassonsimples,essolo
porquenosedancuentadelocomplicadaqueeslavida.
Von Neumann

12. PierredeFermat,fuejuristayaficionadoalas
matemáticas:probablementeelmejoraficionadoqueha
vistolahistoria,sindudasuperioramuchosprofesionales.
Fermatnopublicó,sinembargo,casinada:susobras
aparecieronañosdespuésdesumuerteeditadasporsu
hijo.
EnelsigloXVIIlosmatemáticosperdieronelmiedoalos
infinitosque,losgriegosleshabíantenido:Keplery
Cavalieri–discípulodeGalileo-,fueronlosprimerosen
usarlos,empezaronaandaruncaminoquellevaríaen
mediosigloaldescubrimientodelcálculoinfinitesimal.El
primerpasoimportanteestabadado.
Sinmatemáticasnosepenetrahastaelfondodelafilosofía;sin
filosofíanosellegaalfondodelasmatemáticas;sinlasdosnose
veelfondodenada.
Bordas-Desmoulin

13. Otrosdelosprotagonistasdenuestrahistoriason:
GrégoiredeSaint-Vicent,jesuitadiscípulodeClavius,
quienpublicósusprincipalesaportacionesensuOpus
geometricum.
JohnWallis,miembrofundadordelaRoyalSocietyde
LondresyeditordeobrasdeArquímedes.
WallisaritmetizólosindivisiblesdeCavalieriasignándoles
valoresnuméricosconvirtiendodeestaformaelcálculode
áreas-hastaelmomentoalgomeramentegeométrico-en
cálculosaritméticosmásunprimitivoprocesoallímite
haciendoademásunusodescaradodelinfinito(∞).
Darejemplonoeslaprincipalmaneradeinfluir
sobrelosdemás;eslaúnicamanera.
AlbertEinstein

14. EltrabajodeWallisinfluyóenormementeenNewton
quienaseguróqueeldesarrollodelbinomioyotrasideas
inicialessobreelcálculotuvieronlosorígenesenel
estudioquerealizódellibrodeWallisensuépocade
estudianteenCambridge.ElmismoWallisproponeuna
genealogíadelcálculo:
MétododeExhausción(Arquímedes)
Métododelosindivisibles(Cavalieri)
Aritméticadelosinfinitos(Wallis)
Métodosdelasseriesinfinitas(Newton)
Educaciónesloquequedadespuésdeolvidarloqueseha
aprendidoenlaescuela. AlbertEinstein

15. Veamosahoraalgodelosmétodosinfinitesimales
relacionadosconelcálculodetangentes,quejuntoalde
áreasconstituyeronlabasedelcálculo.
EnlapartecentraldelsigloXVII,lascantidades
infinitesimales,losfantasmasdecantidades
desaparecidas,comoalguienlasllamóenelsigloXVIII,
fueroncadavezmásusadaspararesolverproblemasde
cálculodetangentes,áreas,volúmenes,etc.;losprimeros
daríanorigenalcálculodiferencial,losotrosalintegral.
Hayunafuerzamotrizmáspoderosaqueelvapor,laelectricidady
laenergíaatómica:lavoluntad.
AlbertEinstein

16. SaintVincent,Pascal,Wallis,...siguieronlospasosde
KepleryCavalieri;ademásdelosinfinitésimoscadavez
usabanmásfórmulasymenosdibujos:lageometría
analíticacumplíasufuncióndepuenteentrelageometría
yelanálisis.
SiIsaacBarrow,elmaestrodeNewtonenCambridgela
hubieraestudiadobien,podríahaberarrebatadoasu
discípuloeldescubrimientodelcálculo.
Laformulacióndeunproblema,esmásimportante
quesusolución.
AlbertEinstein

17. Lageometríaanalíticaamplióconsiderablementeel
horizontedelascurvasgeométricas.Unejemploclaro
fueronloslogaritmos.
Surgidosdelanecesidaddeahorrartiempoyevitar
erroresenlosengorrososcálculosusadosporlos
astrónomosqueteníanquerealizarunaingentecantidad
demultiplicaciones,divisionesyextraccionesderaíces.
FuerondescubiertosindependientementeporNapiery
Bürgi.
Pienso,luegoexisto.
RenéDescartes.

18. LasegundaedicióndelaobradeNapierLogaritmorum
canonisdescriptio...de1619queincluíaunaexplicación
detalladadecomosehadeelaborarunatablade
logaritmosnoincluidaenaprimeraediciónde1614.
Esteincrementodenuevascurvashizoimprescindibleel
desarrollodenuevosmétodosparacalcular
tangentes.Unodeellosfueelmétododeadigualdadesde
PierreFermat(conocidotambiéncomoelMétododelas
RaícesIguales),queservíaademásparacalcularmáximos
ymínimos.
Elhombreesmortalporsustemorese
inmortalporsusdeseos.
Pitágoras

19. LostrabajosdeFermatsobrecuadraturaslehacen
merecedordeunpuestodehonorcomoprecursordel
cálculo.
Newtonenunacartadescubiertaen1934escribióen
relaciónconsusideasparaeldesarrollodelcálculo:«La
indicaciónmeladioelmétododeFermatparalas
tangentes.Aplicándoloalasecuacionesabstractas
directaseinversamente,yolohicegeneral».Sinduda
FermatfueunodelosmejoresmatemáticosdelsigloXVII
Piensacomopiensanlossabios,mashablacomo
hablalagentesencilla.
Aristóteles

20. Relacionadoconlosproblemasdetangentessurgióa
mediadosdelXVIIelllamadoproblemainversode
tangentes,esdecir,deducirunacurvaapartirdelas
propiedadesdesustangentes.Elprimeroenplantearun
problemadeestetipofueFlorimonddeBeaune,discípulo
deDescartes,quienplanteó,entreotros,elproblemade
encontrarlacurvaconsubtangenteconstante.
ElpropioDescarteslointentóresolversinéxito,siendo
Leibnizelprimeroenresolverloenlaprimerapublicación
delahistoriasobreelcálculoinfinitesimal.
Loqueoyesloolvidas,loqueveslorecuerdas,loquehaces
loaprendes.
Proverbiochino

21. Unelementoesencialparaeldescubrimientodelcálculo
eraelreconocimientodequeelproblemadelastangentes
ylascuadraturaseranproblemasinversos,dehecho,es
poresoquelarelacióninversaentreladerivaciónyla
integraciónesloquehoy,contodajusticiayrazón,
llamamosTeoremaFundamentaldelCálculo.
Newtonensucélebrefrase«Sihellegadoavermáslejos
queotrosesporquemesubíahombrosdegigantes»se
refiereentreotrosasumaestroymentorIsaacBarrow.
Elquenoseequivocanuncaesporquenuncahace
nada. Mahoma

22. Barrowfueprobablementeelcientíficoqueestuvomás
cercadedescubrirelcálculo.
EnelúltimocuartodelsigloXVII,NewtonyLeibniz,de
maneraindependiente,sintetizarondelamarañade
métodosinfinitesimalesusadosporsuspredecesoresdos
conceptos,losquehoyllamamosLaDerivadayLaIntegral,
desarrollaronreglasparamanipularladerivada-reglasde
derivación-ymostraronqueambosconceptoseran
inversos-TeoremaFundamentaldelCálculo-
EnlalecciónXdesuobraLetionesopticae&
geometricaeBarrowdemuestrasuversióngeométricade
dichoTeorema.
Mientrasmequedealgoporhacer,nohabréhechonada.
JulioCésar

23. ElprimeroendescubrirelcálculofueNewton,perosu
fobiaapublicarlehizoguardarcasiensecretosu
descubrimiento.Newtongestóelcálculoensusanni
mirabilis(1665-1666)cuandoserefugiabaensucasa
maternadelaepidemiadepestequeasolabaInglaterra.
DehechosuprimeraobrasobreelcálculoDeanalyse
peraequationesnumeroterminoruminfinitas-quele
valiólacátedralucasianaquedejósumaestroBarrow-fue
finalizadaen1669aunquesólolapublicóen1711
Loúltimoqueunosabe,espordondeempezar.
BlaisePascal

24. LasegundaobradeNewtonsobreelcálculofueescrita
dosañosmástardeen1671peroesperaríahasta1737
paraverlaluz!diezañosdespuésdesumuertey66
despuésdeescrita!SetratadeDemethodisserierumet
fluxionum.
EnellaNewtondescribesusconceptosdefluente-es
unavariableenfuncióndeltiempo-yfluxióndelafluente
-laderivadarespectoaltiempodelafluente-como
entidadespropias,conunasreglasalgorítmicasdefácil
uso.
¡Tristeépocalanuestra!Esmásfácildesintegrarunátomo
queunprejuicio.
AlbertEinstein

25. ¿PorquéNewtontardótantoenpublicarsusresultados?
Apartedesupeculiarpersonalidadylasdistintas
disputasquetuvoconmuchosdesuscontemporáneos,
Newtoneraconscientedeladébilfundamentaciónlógica
desumétododecálculodefluxiones-noobstantesiempre
hubocopiasdesustrabajoscirculandoentresusamigos-
Estetemortambiénestápatenteensuobracumbre:
LosPrincipia.
Educaraunniñonoeshacerleaprenderalgoquenosabía,sino
hacerdeélalguienquenoexistía.
JohnRuskin

26. Leibniz,másconocidocomofilósofo,fueelotroinventor
delcálculo.SudescubrimientofueposterioraldeNewton,
aunqueLeibnizfueelprimeroenpublicarelinvento.Lo
hizoademásusandounavíaciertamentenovedosaen
aquellaépoca:parafacilitarladifusióndesusresultados
lospublicóenunadelasreciéncreadasrevistascientífico
filosóficaselActaEroditorumqueelmismohabíaayudado
afundar.
Eranciertamentemomentosimportantesparalaciencia
dondeempezaronaaparecerlasrevistascientíficasque
permitiríanluegoyhastanuestrodíasladifusióndel
conocimientoylosdescubrimientoscientíficos.
Educad a los niños y no será necesario castigar a los hombres.
Pitágoras

27. DuranteunaestanciaenParís-yaqueeraunafamado
diplomático-LeibnizconoceaHuygensquienleinducea
estudiarmatemáticas.
En1673,luegodeestudiarlostratadosdePascal,Leibniz
seconvencequelosproblemasinversosdetangentesylos
decuadraturaseranequivalentes.
Leibnizcomienzaadesarrollartodaunateoríadesumasy
diferenciasinfinitesimalesqueacabaríanenlagestación
desucálculoporelaño1680
La mejor forma de librarse de un problema es resolverlo.
Brendan Francis

28. AdiferenciadeNewton,Leibnizsipublicasus
investigacionesenlasmencionadasActasconeltítulo
"Unnuevométodoparalosmáximosylosmínimos,así
comoparalastangentes,quenosedetieneante
cantidadesfraccionariasoirracionales,yesunsingular
génerodecálculoparaestosproblemas“
TambiénresuelveelyamencionadoproblemadeDe
Beaune,encontrandoquelasolucióneraellogaritmo.
Lamecánicaeselparaísodelascienciasmatemáticas,
porqueconellasealcanzaelfrutomatemático.
LeonardoDaVinci

29. ElsiguienteartículodeLeibnizsellamó:
"Sobreunageometríaaltamenteocultayelanálisisdelos
indivisibleseinfinitos“.
TambiénpublicadoenlasActasEroditorumen1686.En
élapareceporprimeravezlanotaciónparalaintegralque
todavíahoyusamos(∫).Enelprimerointroducela
notación"dx"paraeldiferencial.
Las matemáticas parecen dotar a uno de un nuevo sentido.
Charles Darwin

30. La mayor de todas las disputas que ha
conocido la ciencia.
Laprioridaddelainvencióndelcálculo.
LassuspicaciasentreNewtonyLeibnitzysus
respectivosseguidores:
Primerosobrequiénhabíadescubiertoanteselcálculo.
Después,sobresiunolohabíacopiadodelotro.
Acabaronestallandoenunconflictodeprioridadque
amargólosúltimosañosdeambosgenios.
No puedo imaginar a las matemáticas como algo
difícil y aburrido.
William Thomson Kelvin

31. Primeramenteladisputasepudoevitarpues,los
métodosdeambosgeniostienenimportantesdiferencias
conceptualesqueindicanclaramentelagénesis
independientedelosmismos.
Newtonconsiderabalascurvasgeneradasporel
movimientocontinuodeunpunto,basándosesucálculo
diferencialenlamedidadelavariacióndelamisma-desu
fluir-.
Leibnitzconsiderabaunacurvaqueseformapor
segmentosdelongitudinfinitesimalcuyaprolongación
generabalatangenteencadapuntoydecuyageometríase
obtienelacorrespondienterelaciónentrelasdiferenciales.
Hay que tratar de unir lentamente en la instrucción del niño el saber y el poder. Las
matemáticas parecen ser, entre todas las ciencias, el único medio de satisfacer este
fin. Immanuel Kant

32. Inclusolafundamentacióndeambosmétodoses
totalmentedistinta.
EldeNewtonfueresueltototalmentemedianteel
conceptodelímite.
EldeLeibniztuvoqueesperarhastaladécada1960-70
cuandoapareceelAnálisisnoestándardeAbrahan
Robinson.
LapolémicaencuestiónsefraguóafinalesdelsigloXVII:
porunladoLeibniznohabíahechoningunaalusiónal
cálculoinfinitesimaldeNewton-queelmismoNewtonle
habíaindicadoqueexistíanensusEpistolae-ademásque
enHolanda-comoleaseguróWallis-seatribuíaelcálculo
aLeibniz.
Matemática es la reina de las ciencias.
Carl Friedrich Gauss

33. LosdiscípulosdeLeibnizpublicanelprimerlibrosobre
elcálculo:elAnalysedesinfinimentpetitsqueredactóel
MarquézdeL'Hospitalapartirdelasclasesparticulares
queledioJuanBernoulli.
PrimeroelpropioNewtonhacepublicareneltercer
volumendelasobrasmatemáticasdeWallisla
correspondenciacursadaconLeibnizlasEpistolaeprior&
posteriordondeestepedíaaNewtonleenviaseresultados
sobreseries.
Nadapuedesenseñaraunhombre;sóloayudarlea
encontrarloporsímismo.
GalileoGalilei

34. DespuésFatiodeDuillier,amigodeNewton,acusaa
LeibnizdehaberplagiadoaNewton,ensuya
mencionadaDequadraturacurvarum.
Newtonalega:«EnunacartaescritaaSr.Leibnizen1676y
publicadaporWallis,mencionounmétodoporelcual
habíaencontradoalgunosteoremasgeneralesacercadela
cuadraturadefigurascurvilíneas[...]Haceañosyopresté
unmanuscritoconteniendotalesteoremas;yhabiéndome
encontradodesdeentoncesconvariascosascopiadasde
él,lohagopúblicoenestaocasión».
La grandeza del hombre está en el pensamiento.
Blaise Pascal

35. EnunareseñadelDequadraturacurvarum,publicada
anónimamente-aunqueerafácilreconocerasuautor:
Leibniz-en1705enlasActassedice«Paraentender
mejorestelibrolossiguienteshechosdebenser
conocidos.Cuandounacantidadvaríacontinuamente
como,porejemplo,unalíneavaríaporelfluirdeunpunto
queladescribe,aquellosincrementosmomentáneosson
llamadosdiferencias[...]Yportantohaaparecidoel
cálculodiferencialysuconverso,elcálculosumatorio.Los
elementosdeestecálculohansidopublicadosporsu
inventorelDr.GottfriedWilhelmLeibnizenestas.
Lamayorsabiduríaqueexisteesconocersea
unomismo.
GalileoGalilei

36. SusvariosusoshansidomostradosporélyporlosDrs.y
hermanosBernoulliyporelDr.MarquézdeL'Hospital.En
vezdelasdiferenciasLeibnitzianas,elDr.Newtonempleó,
yhaempleadosiempre,fluxiones».
Estareseñafueeldetonantedelmayorataquecontra
LeibnizdesdelasPhilosophicalTransactionsfirmadopor
JohnKeillquienacusaabiertamenteaLeibnizdeplagio.
Nunca he encontrado una persona tan ignorante que no se
pueda aprender algo de ella.
Galileo Galilei

37. Leibnizprotesta,ylaRoyalSocietynombraunacomisión
-queresultóestarplagadadeamigosdeNewton-que
luegodevariasdeliberacionesdictaminóqueNewtonfue
elprimeroynoacusóaLeibnizdeplagio-aunque
tampocorectificólasduraspalabrasdeKeill-.
Estaabsurdaguerraduróhastaprincipiosdelsiglo
XIX,cuandofinalmentelosmatemáticosinglesesdeciden
adoptarlanotaciónLeibnitziana,-quehastaelmomento
habíanignorado-,congranperjuicioparalosmatemáticos
inglesesyaquelamatemáticainglesaquedóaisladadel
restodeladelcontinente.
El gran libro de la naturaleza está escrito en símbolos
matemáticos.
Galileo Galilei

38. Como fueron apareciendo alguno de los conceptos:
Función.Eltérminofunciónfueusadoporprimeravezen
1637porelmatemáticofrancésR.Descartespara
designarunapotenciadex.
NewtonyLeibnizcontribuyerondecisivamenteal
desarrollodelconceptodefunción.Descubrieronel
desarrollodefuncionesenseriedepotencias.
En1755Eulerdalaprimeradefinición:"Sialgunas
cantidadesdependendeotrasdemaneraquevarían
cuandovaríanlasúltimas,entoncessedicequelas
primerassonfuncióndelasúltimas.
Nunca andes por el camino trazado, pues te conducirá
únicamente hacia donde los otros fueron.
Graham Bell

39. Variable.AlmatemáticofrancésF.Vièteseleocurrióla
ideadeusarletraspararepresentarlasvariables
(normalmenteX,YyZparalosnúmerosrealesyNparalo
senteros).
Límites.Wallis(1616-1703)introduceelconceptode
límiteyelsímboloparaelinfinito(∞).
Losconocimientosdeloslímitesfueronasentadosenel
sigloXIXporCauchy,DedekindyWeierstrass.
El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la
ciencia logra abrir.
Albert Einstein

40. Continuidad.Elhombrellegóalconceptoabstractode
continuidadobservandolosmediosdensosquelerodean,
tantosólidos,líquidoscomogaseosos.
Elconceptomatemáticodecontinuidadjuegaungran
papelenlahidrodinámica,laaerodinámicaylateoríade
elasticidad.
Ladefinicióndefuncióncontinuaenunintervalofuedada
porprimeravezporCauchy.
Elhombrequehacequelascosasdifícilesparezcanfáciles,
eseleducador.
RalphEmerson

41. Derivabilidad.NewtonyLeibnizdescubrieronambosel
conceptodederivadademaneraindependiente.Newton
empezóapensaren1665enlavelocidaddecambioo
fluxióndemagnitudes.Sinembargo,fueLeibnizquien
utilizóenprimerlugarlanotaciónparaindicar
simbólicamenteelpasoallímitecambiandoDpord.
Máximosymínimos.ElmatemáticosuizoL.Euler
proporcionómuchasdelasherramientasmatemáticas
paralateoríademáximosymínimosdecantidades
escalares.
Los que renuncian son más numerosos que los que fracasan.
Henry Ford

42. RegladeL'Hôpital.Fuedescubiertaporunodelos
hermanosBernoulli,Jean.
Seconocecomo"RegladeL'Hôpital",debidoaqueJ.B.en
suestanciaenParísenseñómatemáticasaljovenmarqués
francés,G.F.A.deL'Hôpitalyfirmóconélunpacto,según
elcual,acambiodeunsalarioregular,secomprometíaa
enviarlealmarquéssusdescubrimientosenmatemáticas
paraqueelmarquéslosutilizaseasuvoluntad.
Lossabiosraravezhablanylosquehablan,raravezson
sabios. TutangLing

43. ElconceptodesumadeRiemannparaunafunciónf,es
anterioraRiemann.Lassumasllevansunombreporqueél
diolascondicionesnecesariasysuficientesparaqueuna
funciónacotadaseaintegrable.Suenfoquefue
generalizadoporDarbou(1875)yStieltjes(1894).
Realmente,elqueampliólateoríadelaintegraciónfue
Lebesgueen1902.
No hay viento favorable para el que no sabe a donde va,
Seneca

44. BIBLIOGRAFÍA
ElLegadodelasMatemáticas.
http://euler.us.es/~libros/calculo.html
HistoriadelCálculo
http://calculo.bitacoras.com/
DepartamentodeMatemáticasMurciaEspaña.
http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/in
dice.htm
Elaboró:Prof.CarlosVázquezLópezAcademiadeMatemáticas
PreparatoriaFederalporCooperaciónNo.5NicolásBravo
ZihuatanejoGro.