I QUADRILATERI

Lezione di geometria tenuta nella classe 2C dell'I.C. "E.Donadoni" di Sarnico, Bg.

1. A cura del prof. Panza Roberto
II
QUADRILATERIQUADRILATERI

2. DEFINIZIONE DI POLIGONODEFINIZIONE DI POLIGONO
A cura del prof. Panza Roberto
P O L I G O N I
UN POLIGONOPOLIGONO È UNA PORZIONE DI PIANO DELIMITATA DA UNA SPEZZATA
CHIUSA SEMPLICE
LATO
ANGOLO
ESTERNO
B
ANGOLO
INTERNO
A
E
D
F
C
DIAGONALE
VERTICE

3. TIPI DI POLIGONO & PERIMETROTIPI DI POLIGONO & PERIMETRO
P O L I G O N I
IL PERIMETROPERIMETRO DI UN POLIGONO È LA LUNGHEZZA DELLA SPEZZATA CHE LO
DEFINISCE. ESSO SI CALCOLA SOMMANDO LA LUNGHEZZA DEI LATI DEL
POLIGONO.
POLIGONO CONVESSOCONVESSO POLIGONO CONCAVOCONCAVO
C
D
A
F
E
B
C
D
A
F
E
B
p=AB+BC+CD+DE+EF+FA
PER I POLIGONI IN ALTO AVREMO:
A cura del prof. Panza Roberto

4. POLIGONI PARTICOLARIPOLIGONI PARTICOLARI
P O L I G O N I
UN POLIGONO SI DICE EQUILATEROEQUILATERO SE HA
TUTTI I LATI CONGRUENTI.
UN POLIGONO SI DICE EQUIANGOLOEQUIANGOLO SE
HA TUTTI GLI ANGOLI CONGRUENTI.
UN POLIGONO SI DICE REGOLAREREGOLARE SE È
CONTEMPORANEAMENTE EQUILATERO ED
EQUIANGOLO
A
B
C
D


A B
CD
90°
90°
90°
90°
A B
CD
90°
90°
90°
90°
A cura del prof. Panza Roberto

5. QUADRILATERIQUADRILATERI
IL QUADRILATERO È UN POLIGONO CHE HA QUATTRO LATI E
QUATTRO ANGOLI
A
L
A
T
O
L
A
T
O
L
A
T
O
ELEMENTI DI UN QUADRILATERO:
I LATI →
GLI ANGOLI INTERNI →
I VERTICI →A,B,C,D
AB,BC,CD,DA
̂A,̂B,̂C,̂D
̌
B
̌
C
̌A
GLI ANGOLI ESTERNI →
̌A,̌B,̌C,̌D
QUADRILATERI
B
C
D
̌
D
LATO
LE DIAGONALI →AC,BD
DUE VERTICI CHE NON APPARTENGONO ALLO
STESSO LATO, B e D, A e C, SONO DETTI OPPOSTI;
DUE LATI NON CONSECUTIVI, AB e CD, BC e DA,
SONO DETTI OPPOSTI;
A cura del prof. Panza Roberto
̂
C
̂
B
̂
A
̂
D

6. PROPRIETÀ GENERALIPROPRIETÀ GENERALI
ANGOLI
INTERNI
LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI IN UN QUADRILATERO
È SEMPRE 360°:
S
I=(n−2)×180°=(4−2)×180°=2×180°=360°
ANGOLI
ESTERNI
LA SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI IN UN QUALSIASI
POLIGONO È SEMPRE 360°;
LATI
IN UN QUADRILATERO OGNI LATO È MINORE DELLA
SOMMA DEGLI ALTRI TRE;
DIAGONALII QUADRILATERI HANNO DUE DIAGONALI;
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI

7. CLASSIFICAZIONE CLASSIFICAZIONE DEIDEI QUADRILATERI QUADRILATERI
SCALENI
QUADRILATERI CON
QUATTRO LATI
GENERICI
TRAPEZI
QUADRILATERI CON
DUE LATI OPPOSTI
PARALLELI
PARALLELOG
RAMMI
QUADRILATERI
CON I LATI
OPPOSTI
PARALLELI
DELTOIDI
QUADRILATERI CON
DUE COPPIE DI LATI
CONSECUTIVI
CONGRUENTI
IL TRAPEZIO PUÒ
ESSERE:
ISOSCELE
RETTANGOLO
SCALENO
A TALE FAMIGLIA DI
QUADRILATERI
APPARTENGONO:
RETTANGOLO
QUADRATI
ROMBI
IL DELTOIDE PUÒ
ESSERE:
CONVESSO
CONCAVO
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI

8. I TRAPEZI SONO QUADRILATERI AVENTI DUE SOLI LATI OPPOSTI
PARALLELI
I TRAPEZII TRAPEZI
A
B C
D
H K
→ I LATI PARALLELI PRENDONO IL NOME DI BASE MAGGIORE (BC) E
BASE MINORE (AD); GLI ALTRI DUE LATI PRENDONO IL NOME DI
LATI OBLIQUI (AB e CD);
→ IL SEGMENTO PERPENDICOLARE CHE VA DA UN VERTICE DELLA
BASE MINORE ALLA BASE MAGGIORE SI CHIAMA ALTEZZA (AH e
DK);
→ I SEGMENTI BH E KC PRENDONO IL NOME DI PROIEZIONI DEI
LATI OBLIQUI AB e CD SULLA BASE MAGGIORE BC;
→ I SEGMENTI AC e BD SONO LE DIAGONALI CHE DIVIDONO IL
TRAPEZIO IN DUE TRIANGOLI;
IL TRAPEZIO PUÒ ESSERE:
TRAPEZIO
SCALENO
TRAPEZIO
RETTANGOLO
TRAPEZIO
ISOSCELE
➔
UN TRAPEZIO SI DICE ISCOSCELE SE I DUE LATI OBLIQUI SONO CONGRUENTI;
➔
UN TRAPEZIO SI DICE RETTANGOLO SE UNO DEI DUE LATI OBLIQUI È PERPENDICOLARE ALLE DUE BASI
E QUINDI HA DUE ANGOLI RETTI;
➔
UN TRAPEZIO SI DICE SCALENO I LATI OBLIQUI SONO DISUGUALI;
Base maggiore
Base minore
L
a
to
o
b
liq
u
o
L
a
t
o

o
b
l
i
q
u
o
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI

9. C
PROPRIETÀ DEI TRAPEZIPROPRIETÀ DEI TRAPEZI
IN UN QUALSIASI TRAPEZIO GLI ANGOLI ADIACENTI A CIACUN LATO OBLIQUO SONO SUPPLEMENTARI ,
OVVERO LA LORO SOMMA È UN ANGOLO PIATTO (180°).
NEL TRAPEZIO ABCD È STATO DISEGNATO IL SEGMENTO EF,
PERPENDICOLARE ALLE DUE BASI, CHE DIVIDE IL POLIGONO IN DUE
TRAPEZI RETTANGOLI.
TALI TRAPEZI HANNO RISPETTIVAMENTE DUE ANGOLI RETTI.
IN CIACUNO DEI DUE QUADRILATERI ADFE e BCFE COSÌ OTTENUTI AVREMO
CHE LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI È 360°.
PER IL TRAPEZIO ADFE ABBIAMO:
̂
E=
̂
F=90°→̂A+̂B=360°−(90°+90°)=180°
STESSO RAGIONAMENTO È POSSIBILE FARE PER IL TRAPEZIO CDEF.
C F
E
B
A D
SI CONCLUDE CHE:
CB
A D
H K
IN OGNI TRAPEZIO ISOSCELEISOSCELE:
→ GLI ANGOLI ADIACENTI ALLA BASE MINORE SONO OTTUSI E CONGRUENTI;
→ GLI ANGOLI ADIACENTI ALLA BASE MAGGIORE SONO ACUTI E CONGRUENTI;
→ LE DUE DIAGONALI SONO CONGRUENTI;
→ LE DUE PROIEZIONI DEI LATI OBLIQUI SULLA BASE MAGGIORE SONO CONGRUENTI;
̂
B≅
̂
C
̂A≅̂D
AC≅BD
BH≅CK ESSE SI CALCOLANO → BH≅CK=(BC−AD):2
K
A D
B
IN OGNI TRAPEZIO RETTANGOLORETTANGOLO :
→ IL LATO AB È ANCHE ALTEZZA DEL TRAPEZIO;
→ LA PROIEZIONE DEL LATO OBLIQUO CD SULLA BASE MAGGIORE È IL
SEGMENTO CK, CHE SI DETERMINA CALCOLANDO LA DIFFERENZA DELLE DUE
BASI:
CK=BC−AD
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI

10. I PARALLELOGRAMMII PARALLELOGRAMMI
I PARALLELOGRAMMI SONO QUADRILATERI AVENTI I LATI
OPPOSTI A DUE A DUE PARALLELI E CONGRUENTI
→ QUALSIASI LATO DEL PARALLELOGRAMMA PUÒ ESSERE
CONSIDERATO BASE.
→ OGNUNO DEI SEGMENTI CHE UNISCE UN VERTICE CON IL LATO
OPPOSTO È DETTO ALTEZZA:
ESISTONO QUINDI DUE ALTEZZE, AH, DETTA ALTEZZA RELATIVA
AL LATO BC, e AK, DETTA ALTEZZA RELATIVA AL LATO CD;
IN PRATICA L'ALTEZZA È LA DISTANZA TRA DUE LATI OPPOSTI;
A
B C
D
H
K
A
B C
D
O
IN UN QUALSIASI PARALLELOGRAMMA :
→ DUE ANGOLI OPPOSTI SONO CONGRUENTI;
→ GLI ANGOLI ADIACENTI AD UNO STESSO LATO SONO
SUPPLEMENTARI (CIOÈ LA LORO SOMMA È 180°):
→ OGNI DIAGONALE DIVIDE IL PARALLELOGRAMMA IN DUE
TRIANGOLI CONGRUENTI ;
→ LE DIAGONALI SI INCONTRANO NEL LORO PUNTO MEDIO
DIVIDENDOSI SCAMBIEVOLMENTE A METÀ :
̂A+̂B=180°,̂B+̂C=180°,̂C+̂D=180°,̂D+̂A=180°
AO≅OC,BO≅OD
̂
A≅
̂
C;
̂
B≅
̂
D
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI

11. I PARALLELOGRAMMII PARALLELOGRAMMI
RETTANGOLI ROMBI QUADRATI
→ QUALSIASI LATO DEL RETTANGOLO PUÒ ESSERE CONSIDERATO BASE;
IL LATO PERPENDICOLARE ALLA BASE È DETTO ALTEZZA; BASE ED
ALTEZZA SONO LE DUE DIMENSIONI DEL RETTANGOLO;
→ I LATI OPPOSTI SONO PARALLELI E CONGRUENTI A DUE A DUE:
D C
O
RETTANGOLORETTANGOLO
A B
IL RETTANGOLO È UN PARTICOLARE PARALLELOGRAMMA
CON QUATTRO ANGOLI RETTI QUINDI CONGRUENTI;
AB≅CD;BC≅ADAB∥CD;BC∥AD
→ I QUATTRO ANGOLI SONO RETTI: IL RETTANGOLO È QUINDI UN QUADRILATERO EQUIANGOLO;
→ LE DIAGONALI SONO CONGRUENTI E SI DIMEZZANO SCAMBIEVOLMENTE :AC≅BDAO≅OC≅BO≅OD
I PARALLELOGRAMMIPARALLELOGRAMMI VENGONO CLASSIFICATI IN BASE AI LATI E AGLI ANGOLI:
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI

12. QUADRATI RETTANGOLI ROMBI
→ I LATI SONO CONGRUENTI, IL ROMBO È QUINDI UN POLIGONO EQUILATERO.
I LATI OPPOSTI SONO PARALLELI:
→ GLI ANGOLI OPPOSTI SONO CONGRUENTI; DUE ANGOLI SONO ACUTI E DUE OTTUSI:
D
C
O
ROMBOROMBO
A
B
IL ROMBO È UN PARTICOLARE PARALLELOGRAMMA CHE HA I QUATTRO LATI
CONGRUENTI;
AB≅BC≅CD≅DA AB∥CD;BC∥AD
→ LE DIAGONALI, UNA MAGGIORE E L'ALTRA MINORE, SONO PERPENDICOLARI E SI DIMEZZANO
SCAMBIEVOLMENTE :
AC⊥BD AO≅OC
I PARALLELOGRAMMIPARALLELOGRAMMI VENGONO CLASSIFICATI IN BASE AI LATI E AGLI ANGOLI:
̂
A≅
̂
C>90°
̂
B≅
̂
D<90°
BO≅OD
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI I PARALLELOGRAMMII PARALLELOGRAMMI

13. QUADRATI RETTANGOLI ROMBI
→ I LATI SONO CONGRUENTI E A DUE A DUE PARALLELI E PERPENDICOLARI :
→ GLI ANGOLI SONO CONGRUENTI E RETTI:
D C
O
QUADRATOQUADRATO
A B
IL QUADRATO È UN PARTICOLARE PARALLELOGRAMMA CHE HA QUATTRO
LATI CONGRUENTI E QUATTRO ANGOLI RETTI QUINDI CONGRUENTI;
AB≅BC≅CD≅DA AB∥CD;BC∥AD
→ LE DIAGONALI SONO CONGRUENTI E SI DIMEZZANO SCAMBIEVOLMENTE :
AC≅BD AO≅OC≅BO≅OD
I PARALLELOGRAMMIPARALLELOGRAMMI VENGONO CLASSIFICATI IN BASE AI LATI E AGLI ANGOLI:
AB⊥BC;CD⊥AD
̂
A≅
̂
B≅
̂
C≅
̂
D=90°
→ IL QUADRATO È UN POLIGONO CONTEMPORANEAMENTE EQUIANGOLO ED EQUILATERO ; POSSIAMO
CONCLUDERE CHE IL QUADRATO È UN POLIGONO REGOLARE.
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI I PARALLELOGRAMMII PARALLELOGRAMMI

14. PERIMETRO DEI QUADRILATERIPERIMETRO DEI QUADRILATERI
IL PERIMETRO DI UN QUADRILATERO È DATO DALLA SOMMA DELLE LUNGHEZZE DEI SUOI
QUATTRO LATI;
COME PER I TRIANGOLI ANCHE PER I QUADRILATERI:
DATO IL QUARILATERO SCALENO ABCD, IL SUO PERIMETRO SI CALCOLA
A
B
C
D
p=AB+BC+CD+DA
PER ALCUNI DEI QUADRILATERI CHE ABBIAMO STUDIATO, LA FORMULA DEL PERIMETRO PUÒ ASSUMERE ANCHE
LE SEGUENTI FORME:
b
h
l
1
l
2
p=(b+h)×2
b=
p
2
−h
h=
p
2
−b
p=(l
1+l
2)×2
l
1=
p
2
−l
2
l
2=
p
2
−l
1
p=l×4
l=p:4
l
l
p=l×4
l=p:4
R
E
T
T
A
N
G
O
L
O
R
E
T
T
A
N
G
O
L
O
Q
U
A
D
R
A
T
O
Q
U
A
D
R
A
T
O
P
A
R
A
L
L
E
L
O
G
R
.
P
A
R
A
L
L
E
L
O
G
R
.
R
O
M
B
O
R
O
M
B
O
A cura del prof. Panza Roberto
QUADRILATERI