Identidades trigonometricas

1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

Una identidad trigonométrica es una igualdad problemática condicional que se
verifica para cualquier valor de los ángulos que la forman.

Identidades trigonométricas primarias.

1. Sen x =
1
cosc x

2. Cos x =
1
sec x

3. Tan x =
1
cot x

Identidades trigonométricas inversas.
1. cosc x =
1
sen x


2. Cot x =
1
tan x

3. sec x =
1
cos x

Equivalencias por cociente.

1. Tan x =
sen x
cosx
7. Tan
2
x =
tan x
cot x
13. Cosc x =
sec x
tan x


2. Cot x =
cos x
senx
8. Cosc x =
cot x
cos x
14. Tan x =
sec x
cosc x


3. Sen x =
cos x
cot x
9. Cot
2
x =
cot x
tan x
15. Sen
2
x =
sen x
cosc x


4. Cos x =
sen x
tanx
10. Cos x =
cot x
cosc x
16. Sec x =
cosc x
cot x


5. Sen x =
tan x
secx
11. Cos
2
x =
cos x
secx
17. Cosc
2
x =
cosc x
sen x



6. Sec
2
x =
sec x
cos x
12. Sec x =
cosc x
cot x
18. Sec x =
tan x
sen x

2. Equivalencias por productos.

1. Tan x. cos x = sen x 7. Cosc x. cos x = cot x
2. Cot x. sen x = cos x 8. Cot
2
x. tan x = cot x
3. Sen x. sec x = tan x 9. Cos x. cosc x = cot x
4. Sec
2
x. cos x = sec x 10. Cos
2
x. sec x = cos x
5. Tan
2
x. cot x = tan x 11. Cosc
2
x. sen x = cosc x
6. Sec x. cot x = cosc x 12. Cosc x. tan x = sec x
Toda función multiplicada por su inversa es igual a uno.
Cualquier función dividida por su inversa es igual al cuadrado de dicha función.

Identidades pitagóricas.
Son aquellas identidades trigonométricas que se obtienen mediante la
aplicación del teorema de Pitágoras.

En el triangulo ABC, a
2
+b
2
=c
2
B

a c
C x A
b

Además si hacemos referencia en el triangulo anterior se cumple que:

Sen x =
a
c
Cosc x =
c
a


Cos x =
b
c
Sec x =
c
b


Tan x =
a
b
cot x =
b
a

3. Elevando al cuadrado las funciones anteriores tenemos:

Sen
2
x =
a
2
c
2
Cosc
2
x =
c
2
a
2


Cos
2
x =
b
2
c
2
Sec
2
x =
c
2
b
2


Tan
2
x =
a
2
b
2
Cot
2
x =
b
2
a
2


Tomamos ahora el teorema de Pitágoras a
2
+b
2
=c
2
y se divide por c
2
.

1.
a
2
c
2
+
b
2
c
2
=
c
2
c
2
como se observa en los cuadrados de las funciones
Sen
2
x =
a
2
c
2
, cos
2
x =
b
2
c
2
y
c
2
c
2
= 1 por lo que:
Sen
2
x + cos
2
x = 1

Se repite el procedimiento pero dividiendo ahora por b
2


2.
a
2
b
2
+
b
2
b
2
=
c
2
b
2
por lo que:

Tan
2
x + 1= sec
2


Por último se divide por a
2

a
2
a
2
+
b
2
a
2
=
c
2
a
2
por lo que

1+cot
2
x = cosc
2
x

En resumen las identidades trigonométricas pitagóricas primarias son

1. Sen
2
x + cos
2
x = 1
2. Tan
2
x + 1= sec
2

3. 1+cot
2
x = cosc
2
x

De las identidades anteriores se derivan:

1. Cos
2
x = 1- sen
2
x
2. Sen
2
x = 1- cos
2
x
3. Tan
2
x = sec
2
x – 1
4. Sec
2
– tan
2
x = 1
5. Cot
2
x = cosc
2
x – 1
6. Cosc
2
x – cot
2
x = 1

4. Las identidades anteriores se pueden escribirse también de la forma:

1. Cos x = 1−sen
2
x
2. Sen x= 1−cos
2
x
3. Tan x = sec
2
x−1
4. sec
2
x−tan
2
x = 1
5. Cot x = cosc
2
x−1
6. cosc
2
x−cot
2
x =1

Demostración de identidades trigonométricas.

1. Pruebe que:

Sen x. Tan x =
sen x+tanx
cotx+cosc x

Solución:
Se sustituye tan x por
sen x
cos x
y cot x por
sen x
cos x

Sen x. Tan x =
Sen x+
Sen x
cosx

cosx
sen x
+ cosc x
se realiza la suma de quebrados

Sen x. Tan x =
sen x.cosx+sen x
cosx
cosx+1
sen x


Sen x. Tan x =
sen x(cosx+1)
cosx
cosx+1
sen x


Sen x. Tan x =
sen x(cosx+1)
cosx
÷
cosx+1
sen x
se realiza el producto cruzado

Sen x. Tan x =
sen
2
x(cosx+1)
cosx(cosx+1)
simplificando nos queda
sen
2
x
cosx


Sen x. Tan x =
sen
2
x
cosx
se expresa sen
2 x como Sen x . Sen x

Sen x. Tan x = sen x.
sen x
cosx
Se sustituye
sen x
cosx
por tan x

Sen x .Tan x = Sen x .Tan x L.Q.Q.D.

5. 2. Pruebe que:

tank−cot k
tank−cot k
= Cot k . Tan k

Solución:
Sustituimos tan k por
sen k
cosk
y cot k por
cosk
sen k



sen k
cos k
–
cos k
sen k
sen k
cos k
–
cosk
sen k
= Cot k . Tan k

Se realiza la suma de quebrados en el numerador y en el denominador


sen k .sen k –cosk .cos k
cosk . sen k
sen k .sen k –cosk .cos k
cos k . sen k
= Cot k . Tan k

Simplificamos cancelando los numeradores de las dos fracciones.


cosk .sen k
sen k .cosk
= Cot k . Tan k

Se escribe como


cosk
sen k
.
sen k
cos k
= Cot k . Tan k

Se sustituye
cosk
sen k
por cot k y
sen k
cos k
por tan k


Cot k . Tan k = Cot k . Tan k L.Q.Q.D.


3. Demuestre que 1+sen k = cos k .
1+sen k
1−sen k

Solución:
Racionalizamos multiplicando por 1+sen k

1+sen k = cos k .
1+sen k
1−sen k
.
1+sen k
1+sen k


(1+sen k)(1+sen k)= (1+sen k)
2
y (1- sen k)(1+sen k)= 1- sen
2
k

6. Se sustituyen estos resultados y la expresión toma la forma

1+sen k = cos k .
1+sen k
2
1−sen
2
k

1+sen k = cos k .
1+sen k
cos
2
k

1+sen k = cos k .
1+sen k
cosk

1+sen k =
cosk (1+sen k)
cosk


1+sen k = 1+sen k L.Q.Q.D.


4. Pruebe que sec
2
k = 1+Tan
2
k
Solución:
Sec
2
k = 1+
sen
2
??????
cos
2
k


Sec
2
k =
cos
2
??????+sen
2
??????
cos
2
k


Sec
2
k =
1
cos
2
k


Sec
2
k = sec
2
k L.Q.Q.D.


5. Demuestre que cosc
2
k = 1+cot
2
k

Cosc
2
k = 1+
cos
2
k
sen
2
k


Cosc
2
k =
sen
2
k+cos
2
k
sen
2
k

Cosc
2
k =
1
sen
2
k


Cosc
2
k = Cosc
2
k L.Q.Q.D.

7. 6. Demuestre que sec k + Tan k =
cosk
1−sen k

Solución:

1
cos k
+
senk
cos k
=
cosk
1−sen k



cosk+cosk .sen k
cos
2
k
=
cosk
1−sen k



cosk (1+sen k)
1−sen
2
k
=
cosk
1−sen k



cosk (1+sen k)
1+sen k (1−sen k)
=
cosk
1−sen k



cosk
1−sen k
=
cosk
1−sen k
L.Q.S.Q.D.


Otra forma.

Sec k + Tan k =
cosk
1−sen k
x
1+sen k
1+sen k

Sec k + Tan k =
cosk+cosk.sen k
1−sen
2
k

Sec k + Tan k =
cosk+cosk.sen k
cos
2
k

Sec k + Tan k =
cosk
cos
2
k
+
cosk.sen k
cos
2
k

Sec k + Tan k =
cosk
cos k.cosk
+
cosk.sen k
cosk.cosk

Sec k + Tan k =
1
cosk
+
sen k
cosk
pero
1
cosk
= sec k y
sen k
cosk
= tan k

Sec k + Tan k = Sec k + Tang k L.Q.S.Q.D.

8. 7. Pruebe que
Sec k- cos k = Tan k . Sen k
Solución:
Sec k- cos k =
sen k
cosk
Sen k
Sec k- cos k =
sen
2
k
cosk

Sec k- cos k =
1−cos
2
k
cosk

Sec k- cos k =
1
cosk
–
cos
2
k
cosk


Sec k- cos k =
1
cosk
–
cosk.cosk
cosk



Sec k – cos k = sec k – cos k L.Q.S.Q.D.


8. Demuestre que:

Cos k =
cosc k
tank+cotk

Solución:
Cos k =
cosc k
sen k
cosk
+
cosk
sen k

Cos k =
cosc k
sen
2
k+cos
2
k
cosk .sen k



Cos k =
cosc k
1
cosk .sen k


1
cosk.senk
=
1
cos k
x
1
senk

Cos k = Cosc k ÷
1
cosk
x
1
senk

Cos k =
cosc k
seck.cosc k

Cos k =
1
seck
pero
1
cosk
= cos k

Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D.

9. 9. Demuestre que:

Cos k =
cosc k−sen k
cot k


Solución:
Cos k =
1
sen k
−sen k
cos k
sen k
se sustituye cosc k por
1
senk
y cot k por
cosk
sen k


Cos k =
1−sen
2
??????
sen k
cos k
senk

Cos k =
cos
2
k
senk
÷
cos k
senk


Cos k =
cos
2
??????.sen??????
sen k.cosk

Cos k =
cosk.cosk
cosk


Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D


Otra forma de probar esta identidad es:
Cos k =
Cosc k −
1
Cosc k
Cot k


Cos k =

Cosc
2
k−1
Cosc k
Cot k
pero Cosc
2
k-1= Cot
2
k por lo que:

Cos k =

Cot
2
k
Cosc k
Cot k
=
Cot
2
k
Cosc k
÷
Cos k=
Cot
2
k
Cosc k.Cot k
=
Cot k
Cosc k
=
Cos k
Sen k
÷
1
Sen k

Cos k=
Cos k .Sen k
Sen k


Cos k = Cos k L.Q.S.Q.D




Cot k

10. 10. Pruebe que:

1+cosk
1−cosk
= Cosc k .Tan k

1+cosk
1−cosk
.
1+cosk
1+cosk
= Cosc k .Tan k

(1+cosk)
2

1−cos
2
k
= Cosc k .Tan k

1+cosk
sen
2
k
= Cosc k .Tan k

1+cosk
sen k
= Cosc k .Tan k

1
sen k
.
cosk
sen k
= Cosc k .Tan k
Cos k .Tan k = Cosc k .Tan k L.Q.Q.D
11.
Tan k−cosk
sen
3
k
=
Sec k
1+Cos k



Sen k
Cos k
–Sen k
sen
3
k
=
Sec k
1+Cos k



Sen k−Cos k .Sen k
Cos k

Sen k .Sen
2
k
=
Sec k
1+Cos k


Sen k (1−Cosk)
Cos k
÷
Sen k .Sen
2
k
1
=
Sec k
1+Cos k


Sen k (1−Cosk)
Sen k .Sen
2
k (Cos k)
=
Sec k
1+Cos k


(1−Cosk)
Sen
2
k (Cos k)
=
Sec k
1+Cos k


(1−Cosk)
1−Cos
2
k .Cos k
=
Sec k
1+Cos k


(1−Cosk)
1−Cos k (1+Cos k) Cos k
=
Sec k
1+Cos k


1
(1+Cos k) Cos k
=
Sec k
1+Cos k
Aquí
1
(1+Cos k) Cos k
=
1
Cos k
.
1
1+Cos k



Luego:
Sec k
1+Cos k
=
Sec k
1+Cos k
L.Q.Q.D
Para probar esta
identidad se racionaliza
multiplicando la fracción
original por el conjugado
del denominador lo que
da como resultado
(1+cosk)
2

1−cos
2
k
, lo que
simplificado es igual a:
1+cosk
sen k
ya que
1−cos
2
k= sen
2
k y
luego sustituimos
Cosc x por
1
Sen k
y

Tan x por
Cosk
Sen k

Y Como
1
?????????????????? ??????
= Sec k, tendremos que:

Sec k .
1
1+?????????????????? ??????
=
?????????????????? ??????
1+?????????????????? ??????

11. 12. Cos
2 x = Sen
2 x.Cos
2 x + Cos
4 x
Cos
2 x = (1−Cos
2 x) Cos
2 x + Cos
4 x
Cos
2 x = Cos
2 x −Cos
4 x + Cos
4 x
Cos
2 x = Cos
2 x
Otra forma
Cos
2 x = Sen
2 x.Cos
2 x + Cos
4 x
Cos
2 x = Sen
2 x.Cos
2 x + (Cos
2
x)
2
Cos
2 x = Sen
2 x.Cos
2 x + (1−Sen
2
x)
2
Cos
2 x = Sen
2 x.Cos
2 x +1−2Sen
2
x+Sen
4
Cos
2 x = Sen
2 x (1−Sen
2
x)+1−2Sen
2
x+Sen
4
Cos
2 x = Sen
2 x −Sen
4
x+1−2Sen
2
x+Sen
4
Cos
2 x = 1−Sen
2
x
Cos
2 x = Cos
2 x

13.
1
Cos k
−
Cos k
1+Sen k
= Tang k

1+Sen k−Cos
2
k
Cos k (1+Sen k)
= Tang k

1+Sen k−(1−Sen
2
k)
Cos k (1+Sen k)
= Tang k

1+Sen k−1+Sen
2
k
Cos k (1+Sen k)
= Tang k

1+Sen k−1+Sen
2
k
Cos k (1+Sen k)
= Tang k

Sen k+Sen
2
k
Cos k (1+Sen k)
= Tang k

Sen k (1+Sen k)
Cos k (1+Sen k)
= Tang k

Sen k
Cos k
= Tang k pero
Sen k
Cos k
= Tang k por lo que:
Tang k = Tang k
14.
Sen
2
k+Cos
2
k
Tang k
+ Cot k =2 Cot k
1
Tang k
+ Cot k =2 Cot k
1
Tan k
+ Cot k = 2 Cot k pero
1
Tan k
+ Cot k =
1+1
Tan k
=
2
Tan k

2
Tan k
=2 Cot k y como
2
Tan k
= 2÷
Sen k
Cos k
=
2 Cos k
Sen k
= 2 Cot k
Luego:
2 Cot k =2 Cot k L.Q.Q.D