II. Las Primeras Axiomaticas

2. Con la aritmetización del análisis el
movimiento acelero, separaciones
sorprendentes se manifestaron así entre
las sugestiones falaces en la intuición y las
enseñanzas indubitables de la
demostración.
Fue quien en 1882 intentó la primera
axiomatización de la geometría.
Y planteó claramente el problema: “para que la
geometría llegue a ser verdaderamente una
ciencia deductiva, es necesario que la manera
como se sacan las consecuencias sea en
todas partes independiente del sentido de los
conceptos geométricos, como debe serlo de
las figuras; solo deben tomarse en
consideración las relaciones establecidas por
las proposiciones entre los conceptos
geométricos.

4. Un sistema geométrico
presupone
ordinariamente la
aritmética.

5. Indefinibles E Indemostrables. Sistemas Indefinibles E Indemostrables. Sistemas
EquivalentesEquivalentes
Uno de los rasgos que Uno de los rasgos que
caracterizan mas caracterizan mas
visiblemente la puesta visiblemente la puesta
en forma axiomática en forma axiomática
de una teoría de una teoría
deductiva, es la que deductiva, es la que
comienza por despejar comienza por despejar
los indefinibles e los indefinibles e
indemostrables indemostrables
aspectos de la teoría.aspectos de la teoría.
Dos sistemas de Dos sistemas de
proposiciones serán proposiciones serán
equivalentes si cualquier equivalentes si cualquier
proposición del uno se proposición del uno se
puede demostrar con la puede demostrar con la
sola ayuda de las sola ayuda de las
proposiciones del otro, y proposiciones del otro, y
recíprocamente; dos recíprocamente; dos
sistemas son sistemas son
equivalentes, si todo equivalentes, si todo
termino del uno se puede termino del uno se puede
definir con la sola ayuda definir con la sola ayuda
de los términos del otro y de los términos del otro y
recíprocamente.recíprocamente.

6. Las Definiciones Por PostuladosLas Definiciones Por Postulados

7. Dos Ejemplos De AxiomáticasDos Ejemplos De Axiomáticas
Peano preocupado por el problema de la expresión simbólica, Peano preocupado por el problema de la expresión simbólica,
construyo la teoría de los números naturales:construyo la teoría de los números naturales:
En primer lugar por la brevedad que permitiría exponerla toda En primer lugar por la brevedad que permitiría exponerla toda
entera, luego porque se encontraba en ella una ilustración entera, luego porque se encontraba en ella una ilustración
simple y notable del carácter de equivocidad.simple y notable del carácter de equivocidad.
Pues no comporta sino tres términos primeros: cero, el Pues no comporta sino tres términos primeros: cero, el
numero, el sucesor de- y cinco proposiones primeras, que numero, el sucesor de- y cinco proposiones primeras, que
se transcriben de la notación simbólica en el lenguaje usual:se transcriben de la notación simbólica en el lenguaje usual:
De los cuales sobresalían estos términos:De los cuales sobresalían estos términos:
►El ceroEl cero
► El NumeroEl Numero
► El sucesorEl sucesor
► Y cinco proposicionesY cinco proposiciones

8. 1.- Cero es un número.1.- Cero es un número.
2.- El sucesor de un número es un número2.- El sucesor de un número es un número
..
3.- Varios números cualesquiera no pueden tener el mismo 3.- Varios números cualesquiera no pueden tener el mismo
sucesor.sucesor.
4.- Cero no es el sucesor de ningún número.4.- Cero no es el sucesor de ningún número.
5.- Si una propiedad pertenece a cero y si cuando pertenece a 5.- Si una propiedad pertenece a cero y si cuando pertenece a
un número cualesquiera, pertenece también a su sucesor, un número cualesquiera, pertenece también a su sucesor,
entonces pertenece a todos los números (principio de entonces pertenece a todos los números (principio de
inducción).inducción).
Con la ayuda de las dos primeras proposiciones, se puede Con la ayuda de las dos primeras proposiciones, se puede
definir en primer lugar el número 1, después el número 2, y definir en primer lugar el número 1, después el número 2, y
así sucesivamente. Sobre estas bases, las nociones y así sucesivamente. Sobre estas bases, las nociones y
proposiciones elementales de la aritmética se pueden definir proposiciones elementales de la aritmética se pueden definir
o demostrar todas.o demostrar todas.

9. Modelos. Isomorfismo.Modelos. Isomorfismo.
Se puede llamar concreta, material o intuitiva a una teoría en
el estadio preaxiomatico, es decir, que mantiene aun el
contacto con los conocimientos que organiza, y que presenta
un contenido que conserva su sentido y su verdad empíricos.
Cuando los modelos no se distinguen así entre ellos, sino por
la diversidad de las interpretaciones concretas que se da a
sus termino, y coinciden exactamente cuando se hace
abstracción de estas para instalarse sobre el plano de la
axiomática formal, se dice que son isomorfos: tienen en efecto
igual estructuras.
El método axiomático tiene precisamente el interés de revelar
isomorfismos entre teorías concretas aparentemente
heterogéneas, restableciéndolas en la unidad de un sistema
abstracto.

10. Consistencia E Integridad. DecidibilidadConsistencia E Integridad. Decidibilidad
La elección de los postulados que se ponen por base La elección de los postulados que se ponen por base
de una axiomática no es por eso dejado al azar: de una axiomática no es por eso dejado al azar:
queda sujeto a exigencias internas diversas, mas o queda sujeto a exigencias internas diversas, mas o
menos imperiosas.menos imperiosas.
Si los diversos postulados de un sistema no fueran Si los diversos postulados de un sistema no fueran
compatibles entre ellos, el sistema llegaría a ser compatibles entre ellos, el sistema llegaría a ser
contradictorio. contradictorio.