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Descripción matemática

1. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALES
Una función
Una función de variable real
es
es
y se simboliza con
tiene
que essi
si
si
que es
que es
puede ser
puede ser
El conjunto de
parejas ordenadas.
El conjunto de elementos
para los cuales la función
está defi nida.
El conjunto formado por
todas las imágenes de los
elementos del dominio.
Una función en la cual los conjuntos de
partida y de llegada son subconjuntos
del conjunto de números reales.
Una regla o
correspondencia que
asigna a cada elemento
de un conjunto A, uno y
solo un elemento de un
conjunto B.
Grafo Inyectiva
Creciente, decreciente o constante
Dominio
Sobreyectiva
Rango
Biyectiva
Par o impar
Periódica
Lineal o afín
Cuadrática
Cúbica
Logarítmica
Exponencial
Letras minúsculas f, g, h, i
así el símbolo f(x)
se lee “f de x”
Ningún elemento del
conjunto de llegada es
imagen de dos elementos
diferentes del dominio.
Todos los elementos del
conjunto de llegada son
imagen de por los menos de
un elemento del dominio.
Todos y cada uno de los
elementos del conjunto de
llegada es imagen a lo sumo
de un elemento del conjunto
de partida.
UNIDAD 1
MAPAS CONCEPTUALES
Funciones

2. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALES
MAPAS CONCEPTUALES
Funciones trigonométricas
Ángulo
se defi ne como
cuando
puede estar
si si
que son que son
que se utilizan
para calcular
puede ser se mide en
La rotación de
una semirrecta
sobre su origen
Su vértice está sobre el
origen y su lado inicial
coincide con el semieje
positivo de las x.
Se genera por
una rotación
en sentido
contrario al
de las
manecillas del
reloj.
Se genera por
una rotación
en el mismo
sentido de
las manecillas
del reloj.
Cada una de
las 360 partes
de la
rotación total.
Unidades del
sistema cíclico.
Un radián es la
medida
de un ángulo
central cuyo
arco mide un
radio.
• Longitud de arco
• Velocidad angular
• Velocidad lineal
Positivo Negativo Radianes
En posición
normal Grados
sexagesimales
Funciones trigonométricas
se les puede hallar se defi nen para
de la siguiente forma de la siguiente forma
y determinar y determinar
Valores para los ángulos
notables 30°, 45° y 60°.
Valores para los ángulos cuadrantales:
0°, 90°, 180°, 270°, 360° y sus múltiplos.
Dominio
y rango
Ángulos agudos de un
triángulo rectángulo
Ángulos en posición
normal
sen fi
cateto opuesto
hipotenusa
sec fi
hipotenusa
cateto adyacente
tan fi

cateto opuesto
cateto adyacente
cos fi
cateto adyacente
hipotenusa
csc fi
hipotenusa
cateto opuesto
cot fi
cateto adyacente
cateto opuesto
sen


y
r
cos
y
r
tan si x 0
y
x
sec si x 0
r
x
cot si y 0
x
y
csc si y 0
r
y
UNIDAD 2

3. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALES
MAPAS CONCEPTUALES
Gráfi cas de las funciones trigonométricas
Las gráfi cas de las funciones trigonométricas
Variaciones
Ecuación
Amplitud
Período
Desplazamiento
Gráfi ca
Las líneas trigonométricas
se realizan a partir de
que son
presentan
en
según en la
sique son
Segmentos cuya longitud coincide
con el valor absoluto de las seis
funciones trigonométricas de un
ángulo dado.
Se alarga verticalmente Si B fi 1, se comprime horizontalmente.
Si 0 B 1, se alarga horizontalmente.
Si C fi 0 se traslada C unidades a la izquierda.
Si C 0 se traslada C unidades hacia la derecha.
Las funciones trigonométricas inversas
• Arcoseno: arcsen o sen
1
• Arcocoseno: arccos o cos
1
• Arcotangente: arctan o tan
1
• Arcocotangente: arccot o cot
1
• Arcosecante: arcsec o sec
1
• Arcocosecante: arccsc o csc
1
f
1
(f(x)) x Restringir su dominio y su rango.
se defi ne como se debe son
UNIDAD 3

4. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALESUNIDAD 4
consiste en
se puede hallar
así
se presentan dos casos se puede hallar
y se presentan cuatro casos
y se utiliza
que se defi ne como que se defi ne como
Hallar la medida de los tres
lados y de los tres ángulos
interiores de un triángulo.
El área de un
triángulo
Caso 1. LAA: lado-ángulo-ángulo
Caso 2. LLA: lado-lado-ángulo
Caso 3. LAL: lado-ángulo-lado
Caso 4. LLL: lado-lado-lado
Triángulos
rectángulos
Triángulos
oblicuángulos
El ángulo de
elevación o el ángulo
de depresión.
Se conocen dos
lados.
Ley de los senos
Si en fiABC, a, b y c son las medidas de
los lados y A,B yC son los ángulos
que se oponen respectivamente
a dichos lados, se cumple que:

fi fi
El área de un triángulo ABC que tiene
medida de dos lados y un ángulo
entre ellos es
A fi
bcsen A
2
Si en fiABC, a, b y c son las medidas de
los lados y A,B y C son los ángulos
que se oponen respectivamente a
dichos lados, se cumple que:
a
2
fi b
2
c
2
2bc cos A
b
2
fi a
2
c
2
2ac cos B
c
2
fi a
2
b
2
2ab cos C
Ley de los cosenos
Se conocen un lado
y un ángulo.
Resolución de triángulos
a
sen A
b
sen B
c
sen C
MAPA CONCEPTUAL
Aplicaciones de las funciones trigonométricas
se trabaja en

5. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALES
z √ r (cos [ ]
sen [), donde
r √ z √ √a
2
] b
2
y [ es
el argumento de z
UNIDAD 5
Identidades trigonométricas
se defi nen comose pueden plantear se pueden plantear se puede
que consiste en
y se usan métodos de
con las fórmulas
se relacionan con
que es
sirven para resolver
se defi nen como
y se clasifi can en
Identidades que se deducen
a través de relaciones
trigonométricas básicas
y por la defi nición de
las funciones trigonométricas
Identidades para la suma de ángulos
sen( ) √ sen cos ] cos sen
cos ( ) √ cos sen cos sen
tan ( ) √
Identidades para la diferencia de ángulos
sen( ) √ sen cos cos sen
cos ( ) √ cos sen cos sen
tan ( ) √
Identidades para la suma de ángulos
sen 2 2sen cos
cos 2 cos
2
sen
2

tan 2
Forma trigonométrica para
números complejos
Ecuaciones
trigonométricas
Igualdades en las que se establecen
relaciones entre funciones
trigonométricas que se validan para
cualquier ángulo
Relaciones pitagóricas:
sen
2
] cos
2
√ 1
sec
2
√ tan
2
] 1
csc
2
√ cot
2
] 1
Relaciones recíprocas

cot √
csc
sec
Relaciones por cociente
tan
cot
Demostrar identidades
Transformación de productos
en sumas o diferencias
Transformar uno de los miembros de la
igualdad, en términos del otro miembro,
empleando sustituciones e identidades
trigonométricas fundamentales
sen cos [ sen ( ] ) ] sen ( )]
cos sen [ sen ( ] ) sen ( )]
cos cos [ cos ( ] ) ] sen ( )]
sen sen [ cos ( ) sen ( ] )]
Aquellas en las que intervienen funciones
trigonométricas de un ángulo [ y se
satisface sólo para ciertos valores de [.
1
tan
1
sen
1
cos
sen
cos
cos
sen
tan ] tan
1 tan tan
tan tan
1 ] tan tan 2 tan
1 tan
2

1
2
1
2
1
2
1
2
MAPA CONCEPTUAL
Trigonometría analítica

6. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALESUNIDAD 6
MAPAS CONCEPTUALES
Geometría analítica
Lugar geométrico
Superfi cie cónica de
revolución
Conjunto de puntos del plano
que tienen una característica
geométrica común.
y fi mx b donde m
es ala pendiente y b
es el intercepto de la
recta con el eje y.
Ax By C fi 0,
donde A, B y C son
números reales.
Posiciones relativas de
dos rectas en el plano.
Si es el ángulo de
inclinación de una recta
l, y 0, entonces, la
pendiente m de l es:
m fi tan
Además, si P(x
1
, y
1
) y Q(x
2
, y
2
)
son dos puntos distintos de
l, se cumple que

m fi
y
2

y
1
x
2

x
1
Aquella que se obtiene por la
rotación de una recta llamada
generatriz, alrededor de una recta
fi ja llamada eje.
Curvas obtenidas por la
intersección de un plano con una
superfi cie cónica de revolución.
• Una circunferencia, cuando
el plano es perpendicular al
eje de la superfi cie cónica. • Una parábola, cuando el
plano es paralelo al eje de
la superfi cie cónica. • Una elipse, cuando el plano
corta transversalmente a la
superfi cie cónica. • Una hipérbola, cuando el
plano corta las dos ramas
de la superfi cie cónica.
La línea recta
Pendiente
Ecuación canónica
Ecuación general
Coincidentes
Paralelas
Perpendiculares
Secciones cónicas
es el
como por ejemplo
que tiene entonces
y determina
que pueden ser
se defi ne como
se defi ne como
que se determina con
genera genera que son
y se defi ne como
se puede determinar
Secantes

7. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALESUNIDAD 6
La parábola La elipse
es el es el es el es el
Conjunto de puntos
del plano que
están a una distancia
constante r,
de un punto fi jo
llamado centro.
r es el radio de la
circunferencia.
Conjunto de
puntos del plano
que
equidistan de una
recta fi ja
llamada directriz y
de un punto
fi jo llamado foco
Ecuación canónica
• Si el vértice es (0, 0)

y
2
fi 4py, eje focal igual al eje x.

x
2
fi 4py, eje focal igual al eje y.
• Si el vértice es (
h, k).
(
yk)
2
fi 4p(xh), con eje
focal paralelo al eje
x.
(
xh)
2
fi 4p(yk), con eje
focal paralelo al eje
y.
Ecuación general
• y
2
Dx Ey F fi0 con eje
focal paralelo al eje x.
• x
2
Dx Ey F fi 0 con eje
focal paralelo al eje y.
Ecuación general
Ax
2
Cy
2
Dx Ey F fi 0
con A y C 0 pero con el mismo
signo.
Ecuación general
Ax
2
Cy
2
Dx Ey F fi 0
con A y C0 pero con signo
opuesto.
Conjunto de los
puntos del plano
tales que la suma
de las distancias
a dos puntos fi jos
llamados focos,
es constante
Ecuación canónica
• Si el centro es (0, 0)

fi1 con eje focal
paralelo al eje x.

fi1, con eje focal
paralelo al eje y.
• Si el centro es (h, k)

fi1, con
eje focal paralelo al eje x.

fi1, con
eje focal paralelo al eje y.
Ecuación canónica
• Si el centro es (0, 0)

fi1, con eje focal
paralelo al eje x.

fi1, con eje focal
paralelo al eje y.
• Si el centro es (h, k)

fi1, con
eje focal paralelo al eje x.

fi1, con
eje focal paralelo al eje y.
Conjunto de puntos
del plano tales
que la diferencia de
las distancias a
dos puntos fi jos
llamados focos es
una constante
positiva
se representa por se representa por se representa por
se representa por
Ecuación canónica • x
2
y
2
fi r
2
, con centro
en (0, 0) y radio r
• (x h)
2
(y k)
2
fi r
2
,
con centro en (h, k)
y radio r.
La circunferencia La hipérbola
Secciones cónicas
son
Ecuación general
x
2
y
2
D
x E
y F fi 0
con D
2
E
2
4F > 0, centro,
y radio r.
D
3
E
2(
(

al rotarla se generan
Paraboloides de resolución
se identifi can con
Ecuación general de segundo grado
que se defi ne como
Si A, B y C son diferentes de cero, la ecuación general de
segundo grado
Ax
2
Bxy Cy
2
Dx Ey F fi 0
puede representar
Una elipse, si B
2
4ac < 0 Una hipérbola, si B
2
4ac > 0Una parábola, si B
2
4ac fi 0
x
2
a
2
x
2
b
2
(xh)
2

a²
(xh)
2

b²
(xh)
2

a²
(xh)
2

b²
Geometría analítica
y
2
b
2
x
2
a
2
(yx)
2

b²
(yx)
2

a²
y
2
b
2
x
2
b
2
x
2
a
2
y
2
a
2
(yx)
2

b²
(yx)
2

a²
,

8. HIPERTEXTO MATEMÁTICAS 10 MAPAS CONCEPTUALESUNIDAD 7
se defi ne como
Ciencia de recolectar, describir
e interpretar datos
Ciencia que permite cuantifi car
la ocurrencia de un evento.
Variables estadísticas
Caracterización de variables
Técnicas de conteo
Estadística
puede ser
estudia
estudian
y se defi ne como
desarrolla
se clasifi can en
que se dividen en
para determinar
que son
Principio de
la multiplicación
ProbabilidadDescriptiva Inferencial
Cualitativas Cuantitativas
Medidas de
tendencia central
Medidas de
posición
Permutaciones
Factoriales
Medidas de localización
a partir de
Medidas de dispersiónGráfi cos
Distribución de frecuencias
Media Mediana Moda Cuartiles PercentilesDeciles
que son que son
Rango
Varianza
Desviación
estándar
que son
Diagrama de tallo y hojas
Diagrama de cajas
Series de tiempo
Histograma
Polígono de frecuencias
MAPA CONCEPTUAL
Estadística y probabilidad