Implicação Lógica

Um dos assuntos de Lógica Proposicional

1. LÓGICA MATEMÁTICA
CURSO: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
1º PERÍODO

Prof.: Hugo Souza
[email protected]
CENTRO UNIVERSITÁRIO – CESMAC
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS - FACET

2. Objetivo da aula de hoje...
•Continuaremos os conceitos de Lógica
Proposicional
•Conheceremos os conceitos de Implicação
Lógica

LÓGICA MATEMÁTICA 2

3. Sumário
•Correção do Exercício passado
•Implicação Lógica
•Exercícios
•Iniciar Revisão para a Avaliação 1 – 2014.1






LÓGICA MATEMÁTICA 3

4. Ementa
•Lógica Proposicional:
–Sintaxe
–Semântica
–Propriedades Semânticas
–Método para determinação da validade de fórmulas
•Lógica de Predicados:
–Sintaxe
–Semântica
–Propriedades Semânticas
–Resolução.

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5. Aviso!
•Avaliação 1
•02/09/2014
•Assuntos:
–Introdução e história de lógica
–Lógica Proposicional
•Sintaxe
•Semântica (Operações Lógicas; Tabela Verdade;
Tautologia, Contradição e Contingência)
LÓGICA MATEMÁTICA 5

6. Implicação
•Definição:
Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se
que ocorre uma implicação lógica (ou relação
de implicação) entre P e Q quando a
proposição condicional P  Q é uma
tautologia.

•Notação: P  Q

LÓGICA MATEMÁTICA 6

7. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 7
-Portanto, dizemos que P  Q quando nas respectivas
tabelas verdade dessas duas proposições não aparece V
na última coluna de P e F na última coluna de Q, com V e
F em uma mesma linha, isto é, não ocorre P e Q com
valores lógicos simultâneos respectivamente V e F.
- Em particular, toda proposição implica uma tautologia e
somente uma contradição implica outra contradição.

8. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 8
Exemplos:
a) 4 x 5 = 20  (2 + 1)² = 3².
Podemos usar o símbolo , pois a proposição
condicional: 4 x 5 = 20  3²= (2 + 1)² é verdadeira.

b) Não podemos escrever que 3 > 2  3 > 4, pois a
proposição condicional: 3 > 2  3 > 4 é falsa.

9. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 9
•Observação:

 DIFERENTE 

•O símbolo  entre duas proposições dadas indica
uma relação, isto é, que a proposição condicional
associada é uma tautologia, enquanto  realiza uma
operação entre proposições dando origem a uma
nova proposição p  q (que pode conter valores
lógicos V ou F).

10. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 10
Propriedade Reflexiva:
P(p,q,r,...)  P(p,q,r,...)
Propriedade Transitiva:
SE P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...) E
Q(p,q,r,...)  R(p,q,r,...), ENTÃO
P(p,q,r,...)  R(p,q,r,...)

11. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 11



p ^ q, p v q, p  q
p q p ^ q p v q p  q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
Assim, diz-se que p ^ q  p v q
e p ^ q  p  q

12. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 12
p ^ q, p v q, p  q
p q p ^ q p v q p  q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
REGRA DE INFERÊNCIA: p  p v q
(Adição)

13. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 13
p ^ q, p v q, p  q
p q p ^ q p v q p  q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q  p
(Simplificação)

14. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 14
p ^ q, p v q, p  q
p q p ^ q p v q p  q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q  q
(Simplificação)

15. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 15
(p v q) ^ ~p  q
(p v q) ^ ~q  p
REGRA DE INFERÊNCIA:
SILOGISMO DISJUNTIVO

16. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 16
(p  q) ^ p  q
REGRA MODUS ponens
(p  q) ^ ~q  ~p
REGRA MODUS tollens

17. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 17
•Teorema:
- A proposição P(p,q,r,...) IMPLICA a proposição
Q(p,q,r,...) se e somente se a condicional P  Q é
tautológica.
•P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...) se e somente se:
P  Q = V (tautológica)

18. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 18
•P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...) se e somente se:
P  Q = V (tautológica).
•A condicional:
(p  q) ^ (q ^ r)  (p  r) é Tautologia.

•Logo, deduz-se a implicação lógica:
(p  q) ^ (q ^ r)  p  r
- (Regra do SILOGISMO HIPOTÉTICO)

19. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 19
Exemplo: Mostrar que (p ^ q)  p
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
- Como (p ^ q)  p é uma tautologia, então (p ^ q) 
p, isto é, ocorre a implicação lógica.
(p ^ q)  p
V
V
V
V

20. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 20
1. As tabelas-verdade das proposições p ^ q, p v q, p  q são:
p ^ q  p v q e p ^ q  p  q
- A proposição “p ^ q” é verdadeira (V)
somente na linha 1 e, nesta linha, as
proposições “p v q” e “p  q” também
são verdadeiras (V). Logo, a primeira
posição implica cada uma das outras
posições, isto é:

21. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 21
- As mesmas tabelas-verdade também demonstram as
importantes Regras de Inferência:
p  p v q e q  p v q (Adição)
p ^ q  p e p ^ q  q (Simplificação)

22. Implicação
LÓGICA MATEMÁTICA 22
Regras de Inferência
Adição disjuntiva (AD) p  p  q
Simplificação conjuntiva(SIM) p  q  p ou p  q  q
Modus Ponens(MP) ( p  q )  p  q
Modus Tollens(MT) ( p  q )  ~q  ~p
Silogismo Disjuntivo(SD) ( p  q )  ~q  p
Silogismo Hipotético(SH) ( p  q )  ( q  r )  p  r
Dilema Construtivo(DC) ( p  q )  ( r  s )  ( p  r )  q  s
Dilema Destrutivo(DD) ( p  q )  ( r  s )  ( ~q  ~s )  ~p  ~r
Absorção(ABS) p  q  p  ( p  q )

23. E por hoje...
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•Vamos ter uma revisão para a Avaliação 1
•Obrigado!
•Até a próxima aula!