Implicacion Logica y Argumentos .pdf

Logica Matematica

1. SedicequelaproposiciónPimplicalógicamentelaproposiciónQ,yse
escribeP⇒Q,SiQesverdadcuandoPesverdad.
Un p→qtambién es verdadero si p es falsa pero no es
nuestro caso ya que sabemos que p es verdadero, así
que no hay que analizar esa opción
•Si(p→q)^pesverdadera,alseruna
conjunción,tantop→qcomopson
verdaderas.Siobservamoslatablade
verdaddelcondicionalvemosque
dondeesoocurresetienequeqes
verdadera
Implicaciones Lógicas
PorEjemplo.
Laimplicaciónlógica[(p→q)^p]⇒qseconocecomomodusponenso
razonamientodirecto,veamosquecuandoP:[(p→q)^p]esverdadQ:q
esverdad

2. •Sip→(q→r)^qesverdadera,tenemosquep→(q→r)es
verdaderayqueqesverdadera
•Sisabemosquep→(q→r)esverdadera,puedendarsedos
casoparap:
Caso1:Quepseaverdadera,luegoq→rdebeserverdadera
yyaquesabemosqueqesverdadera,setienequerdebe
serverdadera.
Así,sipesverdaderartambien,porloquep→resverdadera
Caso2:Quepseafalsa,Sipesfalsanoimportaelvalorde
verdadder,p→resverdadera.
IMPORTANTE:
Enelprimercasoseusaelhechodeque“unverdaderoimplicaun
verdadero”.Sisesabequeelcondicionalesverdaderoylahipotesises
cierta,laconclusióndebesercierta
Enelsegundocasoseusoelhechoque“unfalsoimplicacualquiercosa”.
Sisesabequeelcondicionalesverdaderoylahipotesisesfalsa,la
conclusiónpuedeserverdaderaofalsa.
OtroEjemplo.
Probaremoslaimplicaciónlógica[p→(q→r)^q]⇒p→r

3. P implica lógicamente Q, P⇒Q, si, y solo si la proposición condicional
P→Q es una tautología.
Analizarunaimplicaciónlógicapuedeseralgounpococomplicado,
peroesosi,interesante,otraformadeprobarunaimplicaciónse
desprendedelsiguienteteorema:
pqrp→qq→r(p→q)ʌ(q→r))p→r((p→q)ʌ(q→r))→(p→r)
VVV V V V V V
VVF V F F F V
VFV F V F V V
VFF F V F F V
FVV V V V V V
FVF V F F V V
FFV V V V V V
FFF V V V V V
PorEjemplo.
Laimplicaciónlógica(p→q)ʌ(q→r))⇒(p→r)seconocecomo
transitividad,veamosque(p→q)ʌ(q→r))→(p→r)esunatautología
ElanálisisdesiQesverdadcuandoPesverdad,enestaimplicaciónesun
pocomasextensoquelosejemplosanteriores,peroeseanálisissepuede
observarenlatabladeverdad

4. Argumentos
Unargumentoesunalistadeproposicionesllamadaspremisasseguida
porunaproposiciónllamadalaconclusión.
Ejemplo1:“Siapruebolaclase,medaránunpremio,yestoyseguro
queaprobare,asíquetengoganadoesepremio.”
Sidefinimos,p:“aprobarlaclase”,yq:“recibirunpremio”
Premisas:
•p→q:“Siapruebolaclaseentonces
medaránunpremio”
•p:“aprobarelaclase”
Conclusión:
•q:“recibirelpremio”
Podemosescribirunargumentodeestaforma:
-Siapruebolaclase,medaránunpremio
-Estoyseguroqueaprobare
Portanto,Meganareelpremio
p→q
p
∴q
Premisas
Conclusión

5. Ejemplo2:“Sillueve,medagripe,ytengogripe,asíquellovió.”
Sidefinimos,p:“llueve”,yq:“tengogripe”
Podemosescribirunargumentodeestaforma:
-Sillueveentoncesmedagripe
-Tengogripe
Portanto,llovio
p→q
q
∴p
Premisas
Conclusión
Ejemplo3:“Cuandolluevesehacelodoycuandolatierraestalodosa
miszapatosseensucian.Asíque,cuandolluevemiszapatosse
ensucian.”
Seap:“llueve”,q:“haylodo”yr:“miszapatosseensucian”
Podemosescribirunargumentodeestaforma:
p→q
q→r
∴p→r

6. Validez de un argumento
Ejemplo1:“Siapruebolaclase,medaránunpremio,yestoyseguro
queaprobare,asíquetengoganadoesepremio.”
Elargumentoesdelaforma:
p→q
p
∴q
Decimosqueunargumentoesválidosilaconjuncióndesuspremisas
implicalógicamenteasuconclusión.(p
1^p
2^…^p
n)⇒C
En otras palabras: “Un argumento es valido si, la conclusión es
verdadera cuando todas las premisas son verdaderas”
No garantizamos la verdad de las premisas, se garantiza que si las
premisas son ciertas la conclusión también lo será
Analicemos la validez de nuestros ejemplos
RECORDAR: P⇒Q, si, y solo si P→Q es una tautología.
Delatablapodemosverque((p→q)ʌp)→qesunatautología,asíque
elargumentoesvalido
pqp→q(p→q)ʌp((p→q)ʌp)→q
VV V V V
VF F F V
FV V F V
FF V F V

7. Ejemplo2:“Sillueve,medagripe,ytengogripe,asíquellovió.”
Elargumentoesdelaforma:
p→q
q
∴p
Delatablapodemosverque((p→q)ʌq)→pnoesunatautología,así
queelargumentoesnovalido
pqp→q(p→q)ʌq((p→q)ʌq)→p
VV V V V
VF F F V
FV V V F
FF V F V
¿Qué significa No Valido?
Aunquelaspremisasseanciertas,sepuededarelcasoquela
conclusiónseafalsa,enlafilaremarcadasepuedeobservarquep→q
yq(laspremisas)sonverdaderasperop(laconclusión)esfalsa.
Podemosanalizarloconunejemplo:
“Puede ser que no haya llovido (conclusión pfalsa) y tengas gripe
(premisa qverdadera) por que te contagio un amigo.”
Nota que el enunciado: “Si llueve me da gripe” es verdadera ya
que un falso implica un verdadero (así premisa p→qverdadera)
En lógica, una falacia es un argumento que
parece válido, pero no lo es.

8. Ejemplo3:“Cuandolluevesehacelodoycuandolatierraesta
lodosamiszapatosseensucian.Asíque,cuandolluevemiszapatos
seensucian.”
Elargumentoesdelaforma:
Delatablapodemosverque(p→q)ʌ(q→r))→(p→r)esunatautología,
asíqueelargumentoesvalido
Si un argumento tiene demasiadas premisas
y proposiciones, probarlo de esta manera
puede ser demasiado costosa
p→q
q→r
∴p→r
pqrp→qq→r(p→q)ʌ(q→r))p→r(p→q)ʌ(q→r))→(p→r)
VVV V V V V V
VVF V F F F V
VFV F V F V V
VFF F V F F V
FVV V V V V V
FVF V F F V V
FFV V V V V V
FFF V V V V V

9. Recordar: “Un argumento es valido si, la conclusión es verdadera
cuando todas las premisas son verdaderas”
Estehechonospermitesimplificarnuestraverificacióndevalidez,en
unlugardeprobarunaimplicaciónlógicapodemosverificarqueen
losrenglonesdondelaspremisassonverdadera,laconclusión
tambiénloes.
En el argumento anterior, podemos eliminar todo lo sombreado de
la tabla de verdad, ya que no nos interesa saber si la conclusión
es verdadera o falsa, cuando algunas premisas son falsas
p→q
q→r
∴p→r
pqrp→qq→r(p→q)ʌ(q→r))p→r(p→q)ʌ(q→r))→(p→r)
VVVV V V V V
VVFV F F F V
VFV F V F V V
VFFF V F F V
FVVV V V V V
FVFV F F V V
FFVV V V V V
FFFV V V V V
la conclusión es verdadera cuando
las premisas son verdaderas
Premisas Conclusión

10. Pasos para verificar la validez de un argumento
1.Identifiquelaspremisasylaconclusióndelaformade
argumento.
2.Construyaunatabladeverdadqueincluyatodaslaspremisasy
laconclusión.
3.Señalelosrenglonesenelquetodaslaspremisassonverdaderas
(renglonescríticos).
4.Sihayunrenglóncríticoenelquelaconclusiónesfalsa,laforma
delargumentoesnoválida.Silaconclusiónencadarenglón
críticoesverdadera,entonceslaformadelargumentoesválida.
Observa que si en un renglón, una
premisa es falsa, no es necesario
continuar con las demás columnas
p→q
q→r
∴p→r
pqrp→qq→rp→r
VVVV V V
VVFV F
VFV F
VFFF
FVVV V V
FVFV F
FFVV V V
FFFV V V
Ennuestroejemploanterior:
En cada renglón critico, la conclusión es
verdadera, el argumento es valido

11. Formas de Argumento Válidas

12. Modus Ponens (Razonamiento directo)
“Sipimplicaq,ysipesverdadera,
entoncesqdebeserverdadera.”
Ejemplo:
Si las rosas son rojas y las violetas son azules, entonces el azúcar
es dulce y tu también.
Las rosas son rojas y las violetas son azules.
•Por lo tanto, el azúcar es dulce y tu también.
p→q
p
∴q
Ensímbolos: Enpalabras:
Observación:Enlaconvenciónusada
enlatabladeformasdeargumentos
validasnosignificaquep,qyrsean
proposiciones simples,también
puedensercompuestascomoeneste
ejemplo
El ejemplo en símbolos:
(p^q)→(r^s)
p^q
∴r^s

13. Modus Tollens(Razonamiento indirecto)
“Sipimplicaq,yqesfalsa,entoncespes
falsatambién.”
Ejemplo:
Si José nació en California, seria estadounidense
José no es estadounidense.
•Por lo tanto, no nació en California
p→q
~q
∴~p
Ensímbolos: Enpalabras:
IMPORTANTE:Unerrorcomúnespensarquesipimplicaq,yqesverdadera,
sesiguequepesverdadera¿Cómoseriaensímbolos?
“Sifueraestadounidensehablaríaingles,yyohabloingles,asíquesoy
estadounidense”(argumentonovalido)
Estoerrorsellamalafalaciadeafirmarelconsecuenteoerrorconverso.
Otroerrorcomúnespensarquesipimplicaq,ypesfalsa,sesiguequeqes
falsa.Ennuestroejemplo,¿siJosénonacióenCalifornia,esgarantíaqueno
esestadounidense?
Estoerrorsellamafalaciadenegarelantecedenteoerrorcontrario.

14. Simplificación (Especialización)
“Si p y q son verdaderas, entonces en particular
p es verdadera.”
*igual para q en el otro caso”
Ejemplo:
El cielo es azul y la luna es redonda.
•Por lo tanto, el cielo es azul.
p^q
∴p
Ensímbolos: Enpalabras:
Adición (Generalización)
“Sipesverdadera,entoncessabemosquep
oqesverdadera.”
Ejemplo:
El cielo es azul.
•Por lo tanto, el cielo es azul
ólos perros vuelan
p
∴pvq
Ensímbolos: Enpalabras:
No importa lo que utilizamos como q,
tampoco importa si q es verdadera o falsa.
La disyunción es verdadera si una de los dos
proposiciones es verdadera

15. Eliminación (Silogismo disyuntivo)
“Sipoq,esverdadera,ypesfalsa,
entoncesqesverdadera.”
*Similarsiqesfalsa,pesverdadera
Ejemplo:
José o Juan lo hicieron.
José no lo hizo.
•Por lo tanto, Juan lo hizo.
pvq
~p
∴q
Ensímbolos: Enpalabras:
IMPORTANTE:Importante,noconfundirlasimplificaciónyla
adición,nosonformasdeargumentovalidaslassiguientes:
p
∴p^q
No se puede adicionar cualquier
proposición en forma de conjunción
pvq
∴p
No se puede simplificar una
disyunción, sabe que p o q es
verdadera, pero no si ambas o cual