Inecuaciones (1)

algebra

1. INECUACIONES

Pedro Mannuel Lopez
to4

2. Una inecuación lineal o de primer grado con una
variable x, es una desigualdad de la siguiente forma:
INECUACIONES LINEALES
ax+ b ≥ 0
ax+ b ≤ 0
ax+ b > 0
ax+ b > 0

3. Ejemplos:
Hallar el conjunto solución de:
3 x -5 > 5x + 1
Solución:
3 x -5 > 5x + 1
3 x -5x > 1 + 5
-2 x > 6
2x < -6
x < -6/2
x < -3
C.S = < -∞; -3>
Hallar el conjunto solución de:
6 x -3 -(2x –6) ≥ x -3
2 4
Solución:
12 x -6 –4 (2x –6) ≥ x -3
12 x -6 –8x +24 ≥ x –3
12x -8x –x ≥ -3 +6 -24
3x ≥ 21
x ≥ -21/3
x ≥ -7
C.S = < -7; ∞>

4. INECUACIONES CUADRÁTICAS
Una inecuación cuadrática o de segundo grado con
una variable x, es una desigualdad de la siguiente
forma:
Donde a, b y c pertencena los reales a ≠ 0.
ax
2
+ bx+ c ≥ 0
ax
2
+ bx+ c ≤ 0
ax
2
+ bx+ c> 0
ax
2
+ bx+ c > 0

5. METODOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRATICA
•Para determinar los valores de x que satisfagan las inecuaciones
existen los siguientes métodos:
1.Método de los Puntos Críticos
2.Método de Ley de Signos
3.Método de Complementación de Cuadrados Perfectos
4.Método del Discriminante

6. Ejemplos:
1.Hallar el conjunto solución de:
X
2
-X –6 ≥ 0
Solución: Método de los Puntos Críticos
1.Factorizamos la expresión (método del aspa
simple o formula general)
2.Hallamos los puntos críticos, Igualamos cada
factor a cero
3.Ubicamos en la recta numérica los puntos
críticos y alternamos con los signos +,-,+
4.Hallamos el conjunto solución si P(X) > 0
tomamos los intervalos con signo positivo y si
P(X) < 0 tomamos los intervalos con signo
negativo. -2 3
++ -
1. Hallar el conjunto solución de:
X
2
-X –6 ≥ 0
Solución
Factorizando la expresión (aspa simple):
(x-3) (x +2) ≥ 0
Hallando los puntos críticos: Igualando cada factor
a cero, se tiene:
x –3 = 0 x + 2 = 0
x = 3x = -2
Ubicando lo puntos críticos en la recta numérica:
C. S = <-∞;2] U [ 3; +∞>

7. Ejemplos:
1.Hallar el conjunto solución de:
X
2
-X –6 ≥ 0
Solución: Ley de Signos
1.Factorizamos la expresión de la forma: ab ≥ 0
2.Para que la expresión se mayor o igual que cero, solo
ocurre si los dos factores son positivos o los dos
factores son negativos . Entonces tenemos:
ab ≥ 0 ↔ (a ≥ 0 ^ b ≥ 0) ᵥ (a ≤ 0 ^ b ≤ 0)
ab ≤ 0 ↔ (a ≥ 0 ^ b ≤ 0) ᵥ (a ≤ 0 ^ b ≥ 0)
3. Se halla el conjunto solución según la operación
indicada.
-
1. Hallar el conjunto solución de:
X
2
-X –6 ≥ 0
Solución: Ley de Signos
Factorizando la expresión :
(x-3) (x +2) ≥ 0
Según la ley de signos:
(x-3) (x +2) ≥ 0 ↔ [x-3 ≥ 0 ^ x +2 ≥ 0] ᵥ [x-3 ≤ 0 ^ x +2 ≤ 0]
Graficando:
[x-3 ≥ 0 ^ x +2 ≥ 0]
CS
1= [ 3; +∞>
Graficando:
[x-3 ≤ 0 ^ x +2 ≤ 0]
C.S
2= <-∞;2]
C. S = CS
1 U C.S
2 = <-∞;2] U [ 3; +∞>
-2 3
-2 3

8. Ejemplos:
1.Hallar el conjunto solución de:
X
2
-X –6 ≥ 0
Solución: Método de Completar Cuadrados:
1.Para aplicar este método se debe tener en cuenta las
siguiente propiedades:
Si : X
2
≤m ↔ -√ m ≤ X ≤ √ m
Si : X
2
≥ m ↔ X ≥ √ m ᵥ X ≤ -√ m
2.X
2
-X –6 ≥ 0
X
2
-X+ (1/2)
2
-(1/2)
2
–6 ≥ 0
(X-½)
2
≥ 25/4
Aplicando la propiedad:
Si : X
2
≥ m ↔
(X-½)
2
≥ 25/4↔ X-1/2 ≥ √ 25/4 ᵥ X-1/2 ≤ -√ 25/4
X ≥3 X ≤ -2
C.S = <-∞;2] U [ 3; +∞>
X ≥ √ m ᵥ X ≤ -√ m
Ejercicios
Hallar el conjunto solución de :
a)3x
2
-11x + 6 < 0
a)3x
2
-2x -5 < 0
a)2x
2
-x + 10 ≥0
a)x
2
-6x + 25 < 11

9. Es una desigualdad que tiene la siguiente forma:
DondeP(x)yQ(x)sonmonomios,binomiosopolinomiosnonuloscon
coeficientesreales.
Para resolverla inecuación racional o fraccionaria tenemos los
siguientes casos:
INECUACIONES RACIONALES
P(x)>0óP(x)<0;Q(x)≠0
Q(x) Q(x)

10. CASO I: Tiene la siguiente forma:
ax+ b> 0 ó ax+ b< 0
cx+d cx+d
Aplicando la propiedad:
(ax+ b )(cx+d) > 0 ó (ax+ b) (cx+ d )< 0
Seigualacadafactoraceroparahallarlos
puntoscríticos,teniendoencuentaqueel
denominadordebeserdiferentedecero.
Segraficanlospuntoscríticosenlarecta
numéricaysehallanlosintervalosdelconjunto
solución.
+
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución de:
x + 1> 0
x -2
(x + 1 )(x -2) > 0; x ≠ 2
C.S = <-∞; -1> U < 2; +∞>
-1 2
-+

11. CASO II: Tiene la siguiente forma:
ax
2
+ bx+ c> 0 ó ax
2
+ bx+ c< 0
a’x
2
+ b’x+ c’ a’x
2
+ b’x+ c’
Cuando uno de los trinomios no tiene soluciones
reales o tiene raíz doble
Parasaberquetipodesolucióntienela
inecuaciónsetrabajaconeldiscriminante(∆),si
unodelostrinomios:
Si∆>0tienedossolucionesrealesydiferentes
seprocedeafactorizar.
Si∆=0tienesolucióndoble.Entoncesesun
trinomiocuadradoperfectoparatodoxЄR.Se
analizaelpunto.
Si∆<0nopresentasolucionesenlosrealessino
enloscomplejos.Portantonosetomaparael
análisisdelconjuntosolución.
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución de:
x
2
–x -12< 0
x
2
-2x + 3
Analizamos cada trinomio:
x
2
–x –12 ∆= (-1)
2
-4(1)(-12)>0 Factorizar
x
2
-2x + 3 ∆= (-2)
2
-4(1)(3)<0 no se toma
como parte del CS
Luego la Inecuación equivalente es:
(x+3)(x-4)<0
C.S = <-3; 4>
-3 4
+
-+

12. Ejemplo:
Hallar el conjunto solución de:
1 + 15 –7x > 0
x
2
+ x-6
Resolviendo se tiene:
x
2
-6x+9 > 0
x
2
+ x-6
Analizando los trinomios:
x
2
–6x +9 ∆= (-6)
2
-4(1)(9)=0 solución doble . X ЄR –{-3}
x
2
+x -6 ∆= (1)
2
-4(1)(-6)>0 soluciones reales y diferentes
La Inecuación equivalente es:
1 > 01; x≠ 3; x ≠ -3; x≠ 2
(x+3)(x-2)
Luego, tenemos:
(x+3)(x-2)>0 ; x≠ 3; x ≠ -3; x≠ 2
-3 2
+-+
CS =<-∞;-3> U <2;+∞> -{3}

13. Llamadastambiéninecuacionesde
ordensuperiorytienenlas
siguientesformas:
Donde:
{a
0,a
1,a
2,….a
n}ЄR;a
0≠0;nЄZ;n≥3
INECUACIONES POLINOMICAS
a
0x
n
+ a
1x
n-1
+ a
2x
n-2
+ … + a
n> 0
a
0x
n
+ a
1x
n-1
+ a
2x
n-2
+ … + a
n≥ 0
a
0x
n
+ a
1x
n-1
+ a
2x
n-2
+ … + a
n< 0
a
0x
n
+ a
1x
n-1
+ a
2x
n-2
+ … + a
n≤ 0
Existen3casospararesolver
inecuacionespolinómicas:
CASOI:Cuandolosfactoresdelpolinomiosonde
multiplicidadsimple
CASOII:Cuandolosfactoresdelpolinomioson
linealesyalgunosdemultiplicidadmúltiple
CASOIII:Cuandolosfactoresdelpolinomioson
delinealesycuadráticos

14. CASOI:Cuandolosfactoresdelpolinomio
sondemultiplicidadsimple
Ejemplo: Hallar el conjunto solución:
x
4
+ 2x
3
-9x
2
-2x +8 >0
Se resuelve:
Sefactorizalaexpresión
Cadafactorseigualaaceroparahallarlos
puntoscríticos.
Segraficalospuntoscríticosenlarecta
numérica.
Secoloca+,-,+,-sucesivamente
ElC.SseránpositivossiP(X)>0oseránnegativos
siP(x)<0
Solución:
Factorizandola expresión por aspa doble,
tenemos:
(x+4)(x+1)(x-1)(x-2) > 0
Igualando cada factor a cero para hallar los puntos
críticos:
x+4=0 x+1=0 x-1=0 x-2= 0
x=-4 x=-1 x=1 x=2
Graficando en la recta numérica:
CS = <-∞;-4> U <-1;1> U <2;+∞>
-4 -1 1 2
+-- +
+

15. CASO II: Cuando los factores del polinomio son
lineales y algunos de multiplicidad múltiple
Sea(x-r)unfactordelpolinomioqueserepitem
veces,entoncespuedeocurrirlosiguiente:
1.Simespar
(x-r)
m
(x-a)(x-b)>0↔(x-a)(x-b)yx≠r(restricción)
(x-r)
m
(x-a)(x-b)<0↔(x-a)(x-b)yx≠r(restricción)
(x-r)
m
(x-a)(x-b)≥0↔(x-a)(x-b);x=r
(x-r)
m
(x-a)(x-b)≤0↔(x-a)(x-b);x=r
Enconclusión:
Simespar,paraobtenerelconjuntosoluciónsolo
seconsideralosdemásfactoresteniendoen
cuentalasrestriccionessegúnseaelcaso.
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución: x
4
-9x
2
+4x +12 ≥ 0
Solución:
Factorizando: (x-2)
2
(x+1)(x+3) ≥ 0
El factor (x-2)
2
es de multiplicipadpar , la
inecuación equivalente es:
(x+1)(x+3) ≥ 0x = 2
-3 -1 2
++
-
C.S = <-∞;-3]U [-1; +∞>

16. CASO II: Cuando los factores del polinomio son
lineales y algunos de multiplicidad múltiple
Sea(x-r)unfactordelpolinomioqueserepitem
veces,entoncespuedeocurrirlosiguiente:
2.Simesimpar
(x-r)
m
(x-a)(x-b)>0↔(x-r)(x-a)(x-b)
(x-r)
m
(x-a)(x-b)<0↔)(x-r)(x-a)(x-b)
Enconclusión:
Simesimpar,lainecuaciónseresuelvecomoen
elcasoI
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución: x
5
-4x
3
+2x
2
+3x -2 < 0
Solución:
Factorizando: (x-1)
3
(x+1)(x+2) < 0
La inecuación equivalente es:
(x-1)(x+1)(x+2) < 0 x = 2
-2 -1 1
++ -
C.S = <-∞;-2>U <-1; +1>
-

17. CASO III: Cuando los factores del polinomio
son de lineales y cuadráticos
Cuandoelfactorcuadráticonotienesolucionesen
losrealesentoncessepuedeprescindirdeese
factor.Paraelloanalizamosusandoel
discriminante.
∆ = b
2
-4ac
Ejemplo:
Hallar el conjunto solución: x
5
-2x
4
–x
3
-2x
2
-20x +24 < 0
Solución:
Factorizando: (x+2)(x-1)(x-3)(x
2
+4) < 0
El factor (x
2
+4) no tiene soluciones en los reales, entonces
La inecuación equivalente es:
(x+2)(x-1)(x-3)< 0
-2 13
++ -
C.S = <-∞;-2>U <1; +3>
-

18. Teoremas a tener en cuenta para la resolución de inecuaciones con
radicales:
INECUACIONES CON RADICALES
Teorema 1
Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a ≤ √b ↔ 0 ≤ a ≤b
Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a < √b ↔ 0 ≤ a <b
Teorema 2
√a+ √b≥0 ↔ a ≥ 0 ^ b ≥ 0
√a+ √b≤ 0 ↔ a = 0 ^ b = 0
Teorema 3
Si √a ≤b ↔ a ≥ 0 ^ (b > 0 ^a ≤b
2
)
Si √a <b ↔ a ≥ 0 ^ (b > 0 ^a <b
2
)
Teorema 4
Si √a ≥ b ↔ a ≥ 0 ^ [b<0 ᵥ (b ≥ 0 ^a ≥ b
2
)]
Si √a > b ↔ a ≥ 0 ^ [b<0 ᵥ (b ≥ 0 ^a > b
2
)]
Teorema 5: cuando el índice de la raíz es n
√a ≤ √b↔ a ≤b
√a < √b↔ a <b
√a > 0↔ a >0
√a < 0↔ a < 0

19. INECUACIONES CON RADICALES
Ejemplo: Resolver:
-
<
Por teorema se tiene:
Si a ≥ 0 y b ≥ 0 → √a < √b ↔ 0 ≤ a <b
0 ≤ x
2
+x -20 < x +16
x
2
+x -20≥ 0 ^ x
2
+x -20 < x +16
(x-5)(x+4) ≥ 0 x
2
≤ 36
CS =<-6;-5] U [4;6>
Ejemplo: Resolver: <
Por teorema se tiene:
√a+ √b≤ 0 ↔ a = 0 ^ b = 0
X
2
–6x +5 = 0 ^ x
2
-7x +10 = 0
(x-1)(x-5)=0 ^ (x-5)(x-2)=0
C.S = {5}

20. INECUACIONES EXPONENCIALES
Las inecuaciones exponenciales tienen
la siguiente forma:
b
P(x)
< b
Q(x)
b
P(x)
> b
Q(x)
Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Para
resolverlas se tiene en cuenta:
b
P(x)
≤ b
Q(x)
b
P(x)
≥ b
Q(x)
PRIMER CASO: si b>1
b
P(x)
> b
Q(x)
↔ P(x) >Q(x)
b
P(x)
< b
Q(x)
↔ P(x) <Q(x)
SEGUNDO CASO: si 0<b<1
b
P(x)
> b
Q(x)
↔ P(x) <Q(x)
b
P(x)
< b
Q(x)
↔ P(x) >Q(x)

21. INECUACIONES EXPONENCIALES
Ejemplo: Resolver 16(2
x-2
)
x
<
Ejemplo: Resolver (0,25)
(1,25)
<
-x
2
+2
[(
4
-x
2
4
(2
x2-2x
)<2
3
/2
x-3
2
x2 -2x +4
< 2
3-x+3
x
2
-2x + 4 < 3-x+3
X
2
–x-2 <0
(x-2)(x+1)<0
C.S=<-1;2>
Caso I:
Caso II:

22. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Teoremasatenerencuentapararesolver
inecuacionesconvalorabsoluto:
│x │≥ y ↔ x ≥ y ó x ≤ y
│x │≤ y ↔ -y ≤ x ≤ y
│x │≤│ y│ ↔ x
2
≤ y
2
Ejemplo: Resolver │2x + 1 │≥ 2
Solución:
2x + 1 ≥ 2 ó 2x + 1 ≤ 2
X ≥ ½ x ≤ -3/2
-3/2 1/2
C.S = <-∞;3/2> U <1/2; +∞>
Ejemplo: Resolver │4 -x │<│ 3 + 2x│
Solución:
│4 -x │<│ 3 + 2x│↔ (4 –x )
2
<( 3 + 2x)
2
16-8x +x
2
< 9+12x +4x
2
3x
2
+20x-7>0
(3x-1)(x+7)>0
C.S= <-∞;7> U <1/3; ∞>