Inecuaciones. algunos ejercicios resueltos

Algunos ejercicios resueltos sobre inecuaciones lineales, cuadráticas y polinómicas

1. INECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y POLINÓMICAS.
EJERCICIOS RESUELTOS.
1. Resolver e indicar el conjunto solución:
2x+4
3
x
2
+ 3x <
2x
7x+5
2
3
Solución:
Reduciendo las fracciones compuestas:
2x+43x
3
2
+ 3x <
4x(7x+5)
2
3
x+4
3
2
+ 3x <
4x7x5
2
3
x+4
3
2
+ 3x <
3x5
2
3
Simplicando extremos y medios:
x+4
3
2
1
+ 3x <
3x5
2
3
1
x+ 4
6
+ 3x <
3x5
6
calculando MCM = 6 y reduciendo:
x+ 4 + 6(3x)<3x5
x+ 4 + 18x <3x5
x+ 18x+ 3x <54
20x <9
x <
9
20
Ubicando en la recta real:
Por tanto,x2(1;
9
20
).
2. Resolver e indicar el conjunto Solución::
3x+ 5
4

92x
3

7x1
2
Solución:
Calculando MCM = 12 y simplicando:
3(3x+ 5)4(92x)6(7x1)
9x+ 1536 + 8x42x6
9x+ 8x42x 615 + 36
43x15 ( 1)
43x 15
x
15
43

2. Ubicando en la recta real:
Por tanto:x2[
15
43
;+1).
3. Resolver e indicar el conjunto Solución::
7x+ 9
5
+ 3x 3(5x3) + 8(32x)<
94x
3
+ 15
Solución:
En estos casos, se resuleven dos desigualdades simultáneas:
7x+ 9
5
+ 3x 3(5x3) + 8(32x)y3(5x3) + 8(32x)<
94x
3
+ 15
Resolviendo por separado:
7x+ 9
5
+ 3x 3(5x3) + 8(32x)
7x+ 9
5
+ 3x 15x+ 92416x
7x+ 9
5
+ 3x 31x15 MCM= 5
7x+ 9 + 5(3x)5(31x)5(15)
7x+ 9 + 15x 105x75
7x+ 15x+ 105x 759
113x 84
x
84
113
Luego,x2(1;
84
113
].
Por otro lado:
3(5x3) + 8(32x)<
94x
3
+ 15
15x+ 92416x <
94x
3
+ 15
31x15<
94x
3
+ 15 MCM= 3
3(31x)3(15)<(94x) + 3(15)
93x45<9 + 4x+ 45
93x4x <9 + 45 + 45
97x <81 ( 1)
97x >81
x >
81
97

3. Luego,x2(
81
97
;+1).
Ahora, intersectando ambos conjuntos:
Por tanto, se obtiene la Solución: a la inecuación original:x2(
81
97
;
84
113
].
4. Resolver e indicar el conjunto Solución::
(3x5)
2
+ 5(x+ 3)(23x)<(2x+ 1)(x1) + 5(3x+ 1)6
Solución:
Desarrollando los cuadrados y multiplicando:
9x
2
30x+ 25 + 5(2x3x
2
+ 69x)<2x
2
2x+x115x+ 5 + 2
9x
2
30x+ 25 + 5(3x
2
7x+ 6)<2x
2
16x+ 6
9x
2
30x+ 2515x
2
35x+ 30<2x
2
16x+ 6
9x
2
15x
2
2x
2
30x35x+ 16x+ 25 + 306<0
8x
2
49x+ 49<0 ( 1)
8x
2
+ 49x49>0
factorizando se obtiene:
(8x7)(x+ 7)>0
8x7 = 0 x+ 7 = 0
x=
7
8
x=7
Ubicando en la recta real:
Por tanto, escogiendo los signos (+) se tiene el conjunto Solución:
x2(1;7)[(
7
8
;+1)
5. Resolver e indicar el conjunto Solución::
(2x1)(3 + 2x)
3
+ 2x
3x
2
+ 1
2
Solución:
Primero, multiplicando y reduciendo el numerador:
6x+ 4x
2
32x
3
+ 2x
3x
2
+ 1
2
4x
2
+ 4x3
3
+ 2x
3x
2
+ 1
2

4. calculando MCM = 6 y reduciendo:
2(4x
2
+ 4x3) + 6(2x)3(3x
2
+ 1)
8x
2
+ 8x6 + 12x9x
2
+ 1
8x
2
9x
2
+ 8x+ 12x610
x
2
+ 20x70 ( 1)
x
2
20x+ 70
usando fórmula general:
x=
(20)
p
(20)
2
4(1)(7)
2(1)
=
20
p
372
2
=
202
p
93
2
= 10
p
93
donde los puntos críticos son:x1= 10
p
93,x2=
p
93.
Por tanto, escogiendo los signos (-) se tiene el conjunto Solución:
x2[10
p
93;10 +
p
93]
6. Resolver e indicar el conjunto Solución::x
4
+ 2x
3
13x
2
14x+ 240
Solución:
Factorizando por el método de Rufni:
(x1)(x3)(x+ 2)(x+ 4)0
x1 = 0; x3 = 0; x+ 2 = 0; x+ 4 = 0
x= 1; x = 3; x =2; x =4
Ubicando en la recta real:
Por tanto, escogiendo los signos (+) se tiene el conjunto Solución:
x2(1;4][[2;1][[3;+1)

5. 7. Resolver e indicar el conjunto Solución::x
5
4x
3
+ 2x
2
+ 3x2<0
Solución:
Factorizando por el método de Rufni:
(x1)(x1)(x1)(x+ 1)(x+ 2)<0
(x1)
3
(x+ 1)(x+ 2)<0
(x1)(x+ 1)(x+ 2)<0
x1 = 0; x+ 1 = 0; x+ 2 = 0
x= 1; x =1; x =2
Ubicando en la recta real:
Por tanto, escogiendo los signos (-) se tiene el conjunto Solución::
x2(1;2)[(1;1)
Observación:Cuando al factorizar se obtienen factores con potencias impares, se eliminan los
exponentes (como en este ejercicio) y se trabaja sólo con los factores. En cambio, si los factores
tuviesen potencias pares, entonces se simplican dichos factores con sus exponentes.
8. Resolver e indicar el conjunto Solución::2x
9
x3
> x
5
x3
Solución:
Colocando todos los términos en el primer miembro:
2x
9
x3
x+
5
x3
>0
Calculando MCM =(x3)y simplicando pero sin eliminar el denominador:
(x3)(2x)9(x3)x+ 5
x3
>0
2x
2
6x9x
2
+ 3x+ 5
x3
>0
x
2
3x4
x3
>0
Factorizando por Rufni:
(x4)(x+ 1)
x3
>0
Cuando una inecuación fraccionaria está simplicada, por propiedad, el de-
nominador pasa a multiplicar al numerador y le inecuación será equivalente a
la original, es decir:
(x4)(x+ 1)(x3)>0
x4 = 0; x+ 1 = 0; x3 = 0
x= 4; x =1; x = 3

6. Ubicando en la recta real:
Por tanto, escogiendo los signos (+) se tiene el conjunto Solución:
x2(1;3)[(4;+1)